CAPÍTULO 2 / TEMA 5 (REVISIÓN)

OPERACIONES │ ¿qué aprendimos?

OPERACIONES CON DECIMALES

Con los números decimales podemos realizar las mismas operaciones aritméticas que con los números enteros. Para la suma y la resta, las cifras deben tener la misma cantidad de decimales y las comas deben estar alineadas en una línea vertical. En la multiplicación, el resultado tendrá el total de decimales que tengan los factores. Existen tres posibles casos para dividir con decimales: decimal entre entero, entero entre decimal y decimal entre decimal.

Los decimales son parte de nuestra vida cotidiana, por ejemplo, los precios de los artículos vienen por lo general expresados en cifras decimales.

OPERACIONES COMBINADAS

Con frecuencia, en matemática debemos realizar cálculos que combinan diferentes operaciones algebraicas, así como varios tipos de números, y en ocasiones se requiere el uso de signos de agrupación que determinan las prioridades de dichas operaciones. Debemos resolver primero las operaciones dentro del paréntesis, luego las del corchete y, por último, las de las llaves. Es importante recordar que las multiplicaciones y las divisiones se resuelven primero que las sumas y las restas.

Los signos de agrupación sirven para expresar el orden de las operaciones. Para aplicar propiedades como la asociativa y la distributiva podemos usar paréntesis.

ECUACIONES

Las ecuaciones son expresiones algebraicas compuestas por miembros separados por una igualdad. Los miembros contienen términos y al menos una variable, también llamada incógnita. Por lo general, para obtener el valor de las incógnitas debemos realizar despejes: proceso que consiste en aplicar en ambos miembros de la ecuación la operación opuesta del término o coeficiente que se desea despejar.

INECUACIONES

Son expresiones que muestran relaciones de desigualdad por medio de símbolos como <, >, ≤ o ≥. Deben contener por lo menos una variable, y la solución la representamos a través de un intervalo de valores que satisfacen la desigualdad. Los despejes en las inecuaciones siguen las mismas reglas que en las ecuaciones pero, además, si se multiplica o divide por un número negativo, debemos cambiar el sentido de la desigualdad.

CAPÍTULO 2 / TEMA 3

ECUACIÓN

Cuando vemos operaciones matemáticas con valores desconocidos es muy probable que estemos frente a ecuaciones. Estas son relaciones equivalentes con dos miembros separados por un símbolo de igualdad. Para saber cuánto valen estos términos desconocidos debemos despejar, es decir, dejar “sola” a la incógnita, lo que se hace por medio de diversos pasos mostrados a continuación.

La ecuación y sus elementos

Una ecuación es una igualdad que posee uno o más términos desconocidos llamados incógnitas. El valor numérico de dichas incógnitas es el único que cumple la igualdad.

Los elementos de toda ecuación son los siguientes:

Primer miembro: es el conjunto de términos que se encuentra del lado izquierdo de la igualdad.
Segundo miembro: es el conjunto de términos que se encuentra del lado derecho de la igualdad.
Términos: son todos los números y letras que conforman la ecuación.
Incógnita: es el valor desconocido en la igualdad. En una ecuación puede haber más de una incógnita.

¿Sabías qué?

Si una incógnita aparece sola se sobreentiende que el coeficiente es 1, es decir, que está multiplicada por 1.

Una ecuación es una igualdad establecida que permite determinar alguno de sus elementos respecto a los valores de los demás. Pueden ser literales o numéricas. Son literales cuando por lo menos un elemento conocido está representado por una letra; y son numéricas cuando sus elementos conocidos son números.

Ecuaciones según el grado

El grado de una ecuación es la mayor potencia a la que está elevada la incógnita. Según el grado las ecuaciones pueden ser:

Ecuaciones de primer grado

Son aquellas ecuaciones donde la incógnita está elevada a la primera potencia. También se las conoce como ecuaciones lineales. Por ejemplo:

$\boldsymbol{2x+5=3x-1}$

Ecuaciones de segundo grado

Son las igualdades cuya incógnita está elevada a la segunda potencia, es decir, al cuadrado. Por ejemplo:

$\boldsymbol{2x^{{\color{Red} 2}}+3x=-5x}$

Ecuaciones de tercer grado

Son aquellas que contienen la incógnita elevada al cubo en al menos uno de sus términos. Por ejemplo:

$\boldsymbol{4x^{{\color{Red} 3}}+3x=5-x^{2}}$

¡Es tu turno!

Observa esta ecuación y responde:

$\boldsymbol{x^{3}-7x^{2}+4x+12=0}$

¿Cuántos términos tiene en el primer miembro?

Solución

Tiene 4 términos.

¿De qué grado es la ecuación?

Solución

La ecuación es de tercer grado.

¿Cuántas incógnitas tiene?

Solución

Tiene una sola incógnita: x.

¿Sabías qué?

Las incógnitas aparecen en las ecuaciones con una letra, generalmente es la x, pero puede ser cualquiera.

Las ecuaciones pueden estar conformadas por una o más incógnitas y su solución no siempre es un número. De hecho, hay ecuaciones que tienen varias soluciones o incluso, hay otras que no tienen solución. En todos los casos, es imprescindible dominar los procedimientos de despejes para poder analizarlas.

REGLAS DE DESPEJE DE ECUACIONES

Para hallar la solución de una ecuación de primer grado debemos despejar la incógnita, esto significa que es necesario dejar a la incógnita “sola” en un miembro de la igualdad. Para esto seguimos las siguientes reglas:

Regla de la suma

Consiste en sumar la misma expresión algebraica en ambos lados de la igualdad, de este modo obtenemos una ecuación equivalente y por ende el mismo resultado. Por ejemplo:

$x-8=24$

Si sumamos 8 en ambos miembros de la ecuación tenemos:

$x-8+\boldsymbol{8}=24+\boldsymbol{8}$

Al resolverlo:

$x=\boldsymbol{32}$

A partir de ese principio, la regla de la suma también se denomina regla de transposición de términos debido a que, para cambiar un término a otro miembro, se tiene que cambiar su signo. Por lo tanto, todo número que se encuentre en forma de suma en un miembro de la igualdad pasa al otro miembro en forma de resta y viceversa.

Entonces, para despejar la incógnita lo único que debemos hacer es pasar el −8 como +8 al segundo miembro de la ecuación.

$x-8=24$

$x=24+8$

$x=\boldsymbol{32}$

Regla del producto

Establece que al multiplicar o dividir por un mismo número en ambos miembros de la ecuación el resultado es una ecuación equivalente de la primera. Por ejemplo:

$5x=20$

Si dividimos entre 5 ambos miembros de la ecuación tenemos:

$\frac{5x}{\boldsymbol{5}}=\frac{20}{\boldsymbol{5}}$

Al resolverlo:

$x=\boldsymbol{4}$

Por medio de esta regla se deduce que los elementos que multiplican pasan al otro lado a dividir y los elementos que dividen pasan al otro lado a multiplicar. En el ejemplo anterior basta con pasar el 5 que multiplica a la incógnita a dividir el segundo miembro de la ecuación.

$5x=20$

$x=\frac{20}{5}$

$x=\boldsymbol{4}$

¿cómo solucionar una ecuación de primer grado?

Las ecuaciones de primer grado o lineales se caracterizan por tener su incógnita elevada a la primera potencia. Los pasos para solucionar este tipo de ecuación son:

Quita los paréntesis en caso de que existieran (a través de la propiedad distributiva u otras operaciones).
Quita los denominadores en caso de que existieran.
Ubica los términos que tienen incógnitas en un miembro y los que no tienen incógnita en otro.
Suma los términos semejantes.
Despeja la incógnita a través de la regla del producto.
Simplifica el resultado obtenido en caso de que sea una fracción.

El valor o los valores de la incógnita de una ecuación que hacen que la igualdad de la misma sea cierta, se denominan solución de la ecuación o raíces de la ecuación. Cuando una ecuación tiene solución, se denomina compatible, en caso contrario, se denomina incompatible. Las ecuaciones que presentan la misma solución son llamadas ecuaciones equivalentes.

– Ejemplo:

$5(2x+3)-4x=-3+3(x-4)$

Primero eliminamos los paréntesis. Para eso, aplicamos la propiedad distributiva. En el primer caso, multiplicamos 5 por cada término dentro de los paréntesis (2x + 3), en el segundo caso, multiplicamos 3 por cada término dentro de los paréntesis (x − 4).

$10x+15-4x=-3+3x-12$

Después ubicamos los términos que tienen incógnitas en un mismo miembro y los que no tienen incógnitas en otro. Para lograrlo aplicamos la regla de la suma o de transposición.

$10x-4x-3x=-3-12-15$

Luego sumamos o restamos los términos semejantes.

$3x=-30$

Despejamos la incógnita. Para lograrlo, aplicamos la regla del producto por medio de la cual el 3 que multiplica pasa a dividir al otro miembro de la ecuación.

$x=\frac{-30}{3}=\boldsymbol{-10}$

Observa que simplificamos el resultado al resolver la fracción.

– Otro ejemplo:

$5(x+2)=1+\frac{x}{2}$

Eliminamos los paréntesis por medio de la propiedad distributiva.

$5x+10=1+\frac{x}{2}$

Quitamos el denominador al multiplicar todos los términos de la ecuación por ese denominador, en este caso es 2.

$2 (5x+10)=2(1+\frac{x}{2})\: \: \Rightarrow \: \: 10x+20=2+\frac{2x}{2}$

Luego efectuamos las divisiones correspondientes.

$10x+20=2+x$

Ubicamos los términos que tienen incógnitas en un mismo miembro y los que no tienen incógnitas en otro. Para lograrlo, aplicamos la regla de la suma o de transposición.

$10x-x=2-20$

Sumamos o restamos los términos semejantes.

$9x=-18$

Despejamos la incógnita. Para lograrlo, aplicamos la regla del producto por medio de la cual el 9 que multiplica pasa a dividir al otro miembro de la ecuación.

$x=-\frac{18}{9}=\boldsymbol{-2}$

¿Cómo comprobar una ecuación?

¡Muy sencillo! Solo tienes que sustituir en la ecuación el valor de la incógnita y resolver. Si la igualdad se cumple, el ejercicio está resuelto correctamente. En caso contrario, debes revisar dónde estuvo el error.

Despejemos esta ecuación:

$2x+6=10\: \: \Rightarrow \: \: 2x=10-6\: \: \Rightarrow \: \: 2x=4\: \: \Rightarrow \: \: x=\frac{4}{2}\: \: \Rightarrow \: \: \boldsymbol{x=2}$

Como x = 2, sustituimos y comprobamos.

$2(2)+6=10\: \: \Rightarrow \: \: 4+6=10\: \: \Rightarrow \: \: \boldsymbol{10=10}$

Por lo tanto, como las igualdades se cumplen, la ecuación está despejada correctamente.

APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES

Las ecuaciones son aplicables en mucho ámbitos de la vida, por ejemplo, para planificar nuestro dinero o para determinar cantidades por medio de igualdades. En otras áreas del saber, como la física, la química o la economía, las ecuaciones son de gran utilidad, pues sirven para expresar fórmulas y leyes que describen muchos fenómenos.

En general, algunas aplicaciones de las ecuaciones pueden ser:

Calcular longitudes, áreas, volúmenes y otras dimensiones de objetos.
Expresar cantidades físicas como densidad, peso específico o concentraciones de sustancias.
Formular algebraicamente un planteamiento teórico
Expresar leyes como la ley de gravitación universal en física o la ley para gases ideales en química.
Calcular ganancias y utilidades en el área de finanzas, entre otras aplicaciones.

¡A practicar!

Despeja la incógnita.

$2(1+2x)=10$

Solución

$2(1+2x)=10$

$2+4x=10$

$4x=10-2$

$4x=8$

$x=\frac{8}{4}$

$x=\boldsymbol{2}$

$1-\frac{x}{3}=\frac{5x}{3}$

Solución

$1-\frac{x}{3}=\frac{5x}{3}$

$3\left ( 1-\frac{x}{3} \right )=3\left ( \frac{5x}{3} \right )$

$3-\frac{3x}{3}=\frac{15x}{3}$

$3-x=5x$

$5x+x=3$

$6x=3$

$x=\frac{3}{6}=\boldsymbol{\frac{1}{2}}$

$15-6\left ( 2x-4 \right )=8+2\left ( 5x-1 \right )$

Solución

$15-6\left ( 2x-4 \right )=8+2\left ( 5x-1 \right )$

$15-12x+24=8+10x-2$

$15+24-12x=8-2+10x$

$39-12x=6+10x$

$12x-10x=6-39$

$-22x=-33$

$x=\frac{-33}{-22}=\boldsymbol{\frac{3}{2}}$

$x+\frac{x}{5}=18$

Solución

$x+\frac{x}{5}=18$

$5\left ( x+\frac{x}{5} \right )=5\left ( 18 \right )$

$5x+\frac{5x}{5}=90$

$5x+x=90$

$6x=90$

$x=\frac{90}{6}=\boldsymbol{15}$

$x+\frac{1}{3}=\frac{x}{3}$

Solución

$x+\frac{1}{3}=\frac{x}{3}$

$3\left ( x+\frac{1}{3} \right )=3\left ( \frac{x}{3} \right )$

$3x+\frac{3}{3}=\frac{3x}{3}$

$3x+1=x$

$3x-x=-1$

$2x=-1$

$x=\boldsymbol{-\frac{1}{2}}$

$x+7=12x-3-8x+1$

Solución

$x+7=12x-3-8x+1$ $x+7=12x-3+8x+1$

$x-12x+8x=-3+1-7$

$-3x=-9$

$x=\frac{-9}{-3}=\boldsymbol{3}$

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Ecuaciones y despejes”

Este artículo contiene información complementaria referente al manejo de las ecuaciones y los despejes. También presenta una serie de ejercicios resueltos y propuestos de ecuaciones lineales.

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Artículo “Ecuaciones”

Con este recurso podrá complementar la información y los ejemplos sobre ecuaciones de primer grado con una incógnita.

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CAPÍTULO 5 / TEMA 3

Área

El área mide la extensión de una superficie, por eso permite saber información importante de las cosas, como el tamaño de un país o la cantidad de baldosas que se necesitan en el piso de una casa. De acuerdo al tipo de figura, el área puede calcularse a través de fórmulas o mediante la descomposición de las figuras en otras más sencillas.

Cálculo de áreas en figuras planas

El área es la superficie o extensión comprendida en una figura. En el caso de las figuras planas, para calcular su área es necesario reconocer cada figura, porque su cálculo es diferente en cada caso.

Triángulos

En los triángulos se cumple que su área es igual a la base por la altura y el resultado se divide entre dos:

$A=\frac{b\times h}{2}$

– Calcula el área del siguiente triángulo:

$A=\frac{3 \, cm \times 4\, cm}{2} = \frac{12 \, cm^{2}}{2}=\mathbf{6\, cm^{2}}$

Es importante tener en cuenta que al multiplicar dos unidades de longitud (en este caso centímetros) escribimos el producto al cuadrado; es decir, colocamos el exponente “2” arriba de la unidad de medida, por eso se escribe cm², y se lee “centímetros cuadrados”.

El área y las unidades al cuadrado

En el Sistema Internacional de Unidades el área siempre se expresa en unidades de longitud elevadas al cuadrado, esto se debe a que el área es la medida de una superficie. Un área de 15 cm² quiere decir que esa superficie está cubierta por 15 cuadrados que miden 1 cm en cada uno de sus lados. Otras unidades de área comunes son: mm² (milímetros cuadrados), m² (metro cuadrado) y km² (kilómetro cuadrado).

VER INFOGRAFÍA

Cuadrados

El área de un cuadrado es igual a la multiplicación de dos de sus lados. Como los lados de un cuadrado son todos iguales, la fórmula también se puede expresar como la medida de un lado al cuadrado.

$A = l\times l =l^{2}$

– Calcula el área del siguiente cuadrado

$A= 3\, m\times 3\,m = \mathbf{9\, m^{2}}$

Es un cuadrado de nueve metros cuadrados de área.

Rectángulos y romboides

El área de los rectángulos y romboides es igual al producto de su base por su altura.

$A=b\times h$

– Calcula el área del siguiente rectángulo:

$A=10\, mm\times 5\, mm =\mathbf{50\, mm^{2}}$

Rombos

El área de un rombo es igual al producto de su diagonal mayor (D) y su diagonal menor (d) dividido entre 2.

$A=\frac{D\times d}{2}$

– Calcula el área del siguiente rombo:

$A = \frac{9\, cm\times 5\, cm}{2}=\frac{45\, cm^{2}}{2}=\mathbf{22,5\, cm^{2}}$

El área del rombo es de 22,5 centímetros cuadrados.

Trapecios

En el caso de los trapecios el área es igual a la suma de su base mayor y su base menor, el resultado se divide entre 2 y luego se multiplica por la altura.

$A = \frac{B+ b}{2}\times h$

– Calcula el área del siguiente trapecio:

$\small A= \frac{9\, mm+ 15\, mm}{2}\times 4\, mm=\frac{24\, mm}{2}\times 4\, mm=12\, mm\times 4\, mm = \mathbf{48\, mm^{2}}$

El trapecio tiene un área de 48 milímetros cuadrados.

Polígonos regulares

Los polígonos regulares son figuras geométricas donde todos sus lados miden lo mismo. En todos los polígonos regulares se cumple que:

$A= \frac{N\times L\times ap}{2}$

Donde:

N = número de lados del polígono regular.

L = longitud de uno de los lados.

ap = longitud de la apotema.

¿Sabías qué?

La apotema es la menor distancia que existe entre el centro de un polígono y cualquiera de sus lados.

– Calcula el área del siguiente polígono regular:

$A=\frac{6\times 4\, cm\times 3,4\, cm}{2}=\frac{24\, cm\times 3,4\, cm}{2}= \frac{81,6\, cm^{2}}{2}=\mathbf{40,8\, \mathbf{cm^{2}}}$

Observa que en este caso como el polígono regular tiene seis lados (hexágono) se coloca el número 6. El área de este hexágono es de 40,8 centímetros cuadrados.

¿Cómo calcular el área de un círculo?

Para determinar el área de un círculo se debe multiplicar el número pi (que aunque es un número infinito se redondea a 3,14) por el radio de la circunferencia elevado al cuadrado, es decir; $\bg_white A = \pi \times r^{2}$ . El área para un círculo con un radio igual a 2 cm, por ejemplo; se calcularía como $A = 3,14\times (2\, cm)^{2}=3,14\times4\, cm^{2} =\mathbf{12,56\, cm^{2}}$ .

Cálculo de áreas en figuras compuestas

Las figuras compuestas se llaman así porque están formadas por dos o más figuras geométricas. Para calcular el área en estas figuras debemos “separar” las figuras geométricas presentes y calcular por separado el área de cada una. El área total de la figura compuesta será igual a la sumatoria de las áreas de las figuras geométricas que la conformen.

– Calcula el área de la siguiente figura compuesta:

Lo primero para resolver es identificar las figuras geométricas presentes, en este caso es un triángulo (figura 1) y un rectángulo (figura 2).

Calculamos las áreas de las figuras por separado.

– Área del triángulo:

La altura es un dato del problema y es 2 cm, la base del triángulo tiene la misma longitud que la base mayor del rectángulo, por lo tanto tiene el mismo valor que es 5 cm. Calculamos el área según la fórmula de área para el triángulo:

$A_{1} = \frac{b\times h}{2}=\frac{5\, cm\times 2\, cm}{2}=\frac{10\, cm^{2}}{2} = \mathbf{5\, cm^{2}}$

– Área del rectángulo:

Calculamos con la fórmula de área para rectángulos.

$A_{2} = b\times h=5\, cm\times 4\, cm = \mathbf{20\, }\mathbf{cm^{2}}$

El área total es igual a la sumatoria de las áreas de las figuras geométricas calculadas:

$A = A_{1}+A_{2}= 5\, cm^{2}+20\, cm^{2} =\mathbf{25\, cm^{2}}$

Quiere decir que el área de la figura compuesta es de 25 centímetros cuadrados.

¿Por qué es útil conocer el área?

Conocer la superficie del área tiene múltiples usos desde los cotidianos hasta lo científico. Por ejemplo, gracias al área podemos saber cuánta tela necesita un vestido, o cuántas baldosas son necesarias en la construcción de un piso. También se usa para realizar comparaciones, por ejemplo, con el área podemos comparar países de acuerdo a su tamaño. O, también, podemos estimar la superficie de un planeta de acuerdo a su forma.

Además, el área es un parámetro usado en otras fórmulas más avanzadas como los cálculos de presiones. Por otra parte, las diferentes medidas permiten cuantificar desde áreas de tamaños microscópicos hasta áreas del tamaño de una estrella.