CAPÍTULO 7 / TEMA 1

SUCESIONES

Las sucesiones son series de números con un orden establecido llamado patrón. Algunas tienen un patrón en el que se suman o restan cantidades constantes, mientras que en otras el patrón se forma por medio de la multiplicación o división de cantidades constantes. Hoy aprenderemos cómo se llaman estos tipos de sucesiones y cómo calcular sus términos generales.

¿QUÉ ES UNA SUCESIÓN?

Una sucesión es una secuencia ordenada de números o elementos que obedecen a un patrón o regla de formación particular. Por ejemplo, veamos la siguiente sucesión:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 …

En este caso, la sucesión está formada por números ordenados que reconocemos como cifras pares. Los puntos suspensivos al final nos indican que la sucesión es infinita.

Nota que cada número es 2 unidades superior al anterior, por lo tanto, el patrón de la sucesión consta de sumar 2.

¿Sabías qué?

Los elementos de una sucesión se llaman “terminos”.

Si denominamos a₁ al primer término de la sucesión, a₂ al segundo término, a₃ al tercer término, y así sucesivamente, podemos determinar la regla de sucesión que sigue hasta el enésimo valor que llamaremos a_n. Los subíndices indican el lugar que ocupa cada elemento en la sucesión.

Observa que:

a₁ = 2

a₂ = 4

a₃ = 6

a₄ = 8

a_n = 2n

A partir de este análisis podemos obtener el término general de la sucesión:

a_n = 2n

Donde n es cualquier número entero. Por ejemplo, si n = 5, el quinto término de la sucesión es:

a₅ = 2 × 5 = 10

Los término a₂₀ y a₂₅ de esta misma sucesión son los siguientes:

a₂₀ = 2 × 20 = 40
a₂₅ = 2 × 25 = 50

¿Qué es el término general de la sucesión?

Es el término que ocupa el enésimo lugar en la sucesión. Se escribe con la letra que denota la sucesión y el subíndice n. Por ejemplo, a_n.

Leonardo Pisa dio a conocer el uso de las sucesiones de Fibonacci en la solución de problemas (aunque ya se las usaban muchos años atrás). La espiral de Fibonacci, se construye trazando arcos circulares entre dos diagonales de cuadrados adosados, cuyos lados equivalen a los términos de la sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…

VER INFOGRAFÍA

TIPOS DE SUCESIONES

Existen varias maneras de clasificar las sucesiones, por ejemplo, podemos decir que las sucesiones pueden ser finitas, o infinitas. Sin embargo, también podemos clasificarlas de acuerdo a la diferencia o a la razón entre sus términos. En estos casos hablamos de sucesiones aritméticas y geométricas.

Sucesiones aritméticas

Son aquellas en las que cada término, con excepción del primero, tiene una diferencia con el término anterior en una cantidad constante. Por ejemplo:

20.000, 22.000, 24.000, 26.000, ..

Esta es una sucesión aritmética porque la diferencia entre un término y el siguiente es la misma en cada caso, es decir, la diferencia es constante.

A esta diferencia, denominada diferencia común y representada como d, la podemos obtener por medio de una resta entre cualquier término y su término anterior. Para la sucesión antes señalada la diferencia común d es:

d = 22.000 − 20.000 = 2.000

d = 24.000 − 22.000 = 2.000

d = 26.000 − 24.000 = 2.000

Observa que sin importar el término que elijas la diferencia siempre será la misma.

– Otro ejemplo:

Para la siguiente sucesión:

5, 1, −3, −7, −11, −15, …

La diferencia común d = −4 porque:

d = 1 − 5 = −4

d = −3 − 1 = −4

d = −15 − (−11) = −4

¡Es tu turno!

Observa estas sucesiones aritméticas, ¿cuál es la diferencia común d?

−15, −12, −9, −6, −3, 0, 3, …
Solución
d = 3

230, 345, 460, 575, 690, 805, …
Solución
d = 115

Término enésimo de una sucesión aritmética

El término enésimo de una sucesión aritmética con un primer término a₁ y una diferencia común d es el siguiente:

a_n = a₁ + d(n − 1)

– Ejemplo:

Para la siguiente sucesión:

−3, −1, 1, 3, 5, …

La diferencia común d = 2 porque:

d = −1 − (−3)

d = 2

Por lo tanto, si a₁ = −3 y d = 2, el término enésimo de la sucesión es:

a_n = a₁ + d(n −1)

a_n = −3 + 2(n − 1)

a_n = −3 + (2n − 2)

a_n = −3 + 2n − 2

a_n = 2n − 5

Entonces, si queremo determinar a₁₀, a₁₂ y a₁₅ solo aplicamos:

a₁₀ = 2n − 5 = 2 (10) − 5 = 20 − 5

a₁₀ =15

a₁₂ = 2n − 5 = 2 (12) − 5 = 24 − 5

a₁₂ = 19

a₁₅ = 2n − 5 = 2 (15) − 5 = 30 − 5

a₁₅ = 25

Podemos considerar los ahorros como una sucesión aritmética. Por ejemplo, si tenemos $ 10 ahorrados y cada mes le sumamos $ 2, los primeros cuatro meses podríamos representarlos como: 10, 12, 14, 16, … Entonces, si a₁ = 10 y la diferencia común d = 2, el término enésimo de esta sucesión sería: *a_n* = 8 + 2n. Calcula cuánto podemos ahorrar de esta manera en 6 meses.

Sucesiones geométricas

Son aquellas en las que cada término (excepto el primero) es múltiplo del término anterior de la sucesión. El cociente entre cualquier término y su precedente es constante. Por ejemplo:

20.000, 30.000, 45.000, 67.500, 101.250, …

Esta es una sucesión geométrica porque el cociente de la división entre cualquier término y su anterior es el mismo en cada caso.

Este cociente es igual al múltiplo común entre términos y se llama razón común (r). Se obtiene al dividir un término con el que le precede. Para esta sucesión la razón común se determina así:

r = 30.000 ÷ 20.000 = 1,5

r = 45.000 ÷ 30.000 = 1,5

r = 101.250 ÷ 67.500 = 1,5

Observa que sin importar el término que elijas la razón común es la misma: 1,5.

– Otro ejemplo:

Para la siguiente sucesión:

3, 12, 48, 192, 768, 3.072, …

La razón común es 4 porque:

r = 12 ÷ 3 = 4

r = 48 ÷ 12 = 4

r = 768 ÷ 192 = 4

¡Es tu turno!

Observa estas sucesiones geométricas, ¿cuál es la razón común?

5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, …
Solución
r = 2

−18, 54, −162, 486, −1.458, …
Solución
r = −3

Término enésimo de una sucesión geométrica

El término enésimo de una sucesión geométrica con un primer término a₁ y una razón común r es el siguiente:

a_n = a₁(r^{n − 1})

– Ejemplo:

Para la siguiente sucesión:

3, −6, 12, −24, 48, −96, …

La razón común r = −2 porque:

r = −6 ÷ 3 = −2

r = −24 ÷ 12 = −2

r = −96 ÷ 48 = −2

Por lo tanto, si a₁ = 3 y r = −2, el término enésimo de la sucesión es:

a_n = a₁(r^{n − 1})

a_n = 3(−2^{n − 1})

Entonces, si queremos determinar a₈, a₁₀ y a₁₂ solo aplicamos:

a₈ = 3(−2^{n − 1}) = 3(−2^{8 − 1}) = 3(−2⁷) = 3(−128)

a₈= −384

a₁₀ = 3(−2^{n − 1}) = 3(−2^{10 − 1}) = 3(−2⁹) = 3(−512)

a₁₀ = −1.536

a₁₂ = 3(−2^{n − 1}) = 3(−2^{12 − 1}) = 3(−2¹¹) = 3(−2.048)

a₁₂ = −6.144

La división celular es un ejemplo de sucesión geométrica, ya que si por ejemplo, partimos de una célula (a₁ = 1), durante el proceso de meiosis esta se divide y obtenemos dos células nuevas (a₂ = 2). Luego, estas dos células a su vez se dividen y se tienen 4 células más (a₃ = 4). La razón de progresión r = 2 y *a_n* = 2n − 1.

Resolvamos unos problemas

1. Marcos comenzó un trabajo y su pago inicial fue de $ 15.000. Se le prometió un aumento de $ 1.500 después de cada año. ¿Cuál será su salario en el séptimo año de trabajo? ¿y en el décimo año?

Datos

Salario inicial = a₁ = $ 15.000

Aumento anual = d = $ 1.500

Reflexiona

Su salario después de los primeros años es: 15.000, 16.500, 18.000, 19.500 … Ya que se suma una cantidad constante, esta es una sucesión aritmética. El término general enésimo de una sucesión aritmética es a_n = a₁ + d(n − 1). Donde a₁ = 15.000. Tenemos que calcular la diferencia común, luego el término enésimo y finalmente a₇y a₁₀.

Calcula

– Diferencia común, d

d = 16.500 − 15.000 = 1.500

– Término enésimo

a_n = a₁ + d(n − 1)

a_n = 15.000 + 1.500(n − 1)

a_n = 15.000 + 1.500n − 1.500

a_n = 13.500 + 1.500n

– Términos a₇ y a₁₀

a₇ = 13.500 + 1.500(7)

a₇ = 13.500 + 10.500

a₇ = 24.000

a₁₀ = 13.500 + 1.500(10)

a₁₀ = 13.500 + 15.000

a₁₀ = 28.500

Responde

En su séptimo año Marcos tendrá un salario de $ 24.000.

En su décimo año Marcos tendrá un salario de $ 28.500.

2. Un auditorio tiene 15 asientos en la primera fila. Cada fila sucesiva tiene tres asientos más que el anterior. ¿Cuántos asientos hay en las primeras diez filas?

Datos

Asientos en la primera fila = a₁ = 15

Diferencia con las demás filas = d = 3 asientos

Reflexiona

Como cada fila tiene 3 asientos más que la anterior se trata de una sucesión aritmética. Primero calculamos el término enésimo y luego determinamos los primeros diez términos.

Calcula

– Término enésimo

a_n = a₁ + d(n − 1)

a_n = 15 + 3(n − 1)

a_n = 15 + 3n − 3

a_n = 12 + 3n

– Primeros diez términos

a₁ = 12 + 3(1) = 12 + 3 = 15

a₂ = 12 + 3(2) = 12 + 6 = 18

a₃ = 12 + 3(3) = 12 + 9 = 21

a₄ = 12 + 3(4) = 12 + 12 = 24

a₅ = 12 + 3(5) = 12 + 15 = 27

a₆ = 12 + 3(6) = 12 + 18 = 30

a₇ = 12 + 3(7) = 12 + 21 = 33

a₈ = 12 + 3(8) = 12 + 24 = 36

a₉ = 12 + 3(9) = 12 + 27 = 39

a₁₀ = 12 + 3(10) = 12 + 30 = 32

Responde

La cantidad de asientos en cada fila sigue este orden: 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 32.

3. José tiene una alcancía. Si el día 1 sacó $ 1, el día 2 sacó $ 2, el día 3 sacó $ 4, el día 4 sacó $ 8, y así sucesivamente, ¿cuánto dinero sacó después de 30 días?

Datos

Dinero sacado el día 1 = a₁ = $ 1

Dinero sacado el día 2 = a₂ = $ 2

Dinero sacado el día 3 = a₃ = $ 4

Dinero sacado el día 4 = a₄ = $ 8

Reflexiona

Como la cantidad de dinero sacado se multiplica cada día, se trata de una sucesión geométrica. Por lo tanto, a partir de la fórmula general del término enésimo (a_n = a₁(r^{n − 1})) podremos saber el dinero sacado a los 30 días. Nota que a₁ = 1 y r = 2.

Calcula

a_n = a₁(r^{n − 1})

a₃₀ = 1(2^{30 − 1})

a₃₀ = 1(2²⁹)

a₃₀ = 536.870.912

Responde

José sacó $ 536.870.912.

Las sucesiones también pueden clasificarse como progresivas o ascendentes; o regresivas o descendentes. Las primeras son aquellas que van de menor a mayor, mientras que las segundas son las que van de mayor a menor. Un ejemplo de estas sucesiones podemos verlo en el orden en el que enumeran los asientos de un estadio.

¡A practicar!

Observa las siguientes sucesiones.

Indica si la sucesión es aritmética o geométrica.
Encuentra el término enésimo.
Determina a₁₂ en cada caso.

20, 19,3, 18,6, 17,9, …

Solución

Es una sucesión aritmética.

Si d = −0,7 y a₁ = 20 el término enésimo es:

a_n = a₁ + d(n − 1)

a_n = 20 + 0,7(n − 1)

a_n = 20 + (0,7n − 0,7)

a_n = 20 − 0,7n + 0,7

a_n = 20,7 − 0,7n

a₁₂ = 20,7 − 0,7 (12) = 20,7 − 8,4

a₁₂ = 12,3

4, 2, 1, 0,5, 0,25, …

Solución

Es una sucesión geométrica.

Si a₁ = 4 y r = 0,5 el término enésimo es:

a_n = a₁(r^{n − 1})

a_n = 4(0,5^{n − 1})

a₁₂ = 4(0,5^{12 − 1}) = 4 (0,5¹³)

a₁₂ = 4,8 × 10⁻⁵

13, 23, 33, 43, 53, 63, …

Solución

Es una sucesión aritmética.

Si a₁ = 13 y d = 10 el término enésimo es:

a_n = a₁ + d(n − 1)

a_n = 13 + 10(n − 1)

a_n = 13 + 10n − 10

a_n = 3 + 10n

a₁₂ = 3 + 10(12) = 3 + 120

a₁₂ = 123

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Sucesiones”

En el siguiente artículo encontrarás ejemplos relacionados con sucesiones aritméticas. Adicionalmente, el artículo describe algunos tipos de sucesiones.

VER

CAPÍTULO 1 / TEMA 3

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES

El conjunto de los números racionales está conformado por todos aquellos números que pueden ser expresados como una división. Entran en este grupo algunos números decimales y las fracciones. Tienen gran aplicación cotidiana para representar partes de un entero o porciones de una totalidad.

No podemos usar los números enteros para resolver todas las operaciones entre ellos. Por ejemplo, si cortamos una tabla de 1 metro en 2 partes iguales, ¿cuánto mide cada pedazo? La división 1 ÷ 2 no tiene solución dentro de los números enteros, por tal motivo, usamos el conjunto de los números racionales, en el que esta división se representa como 1/2.

¿Sabías qué?

La primera civilización en utilizar los números racionales fueron los egipcios.

¿QUÉ SON LOS NÚMEROS RACIONALES?

Son todos aquellos números que pueden representarse a través de una fracción. De ahí su nombre “racionales”, pues a las fracciones también se las conocen como “razones”.

El conjunto de los números racionales se denota con la letra $\mathbb{Q}$ , que alude al término quotient que significa “cociente”, ya que todo número racional puede ser representado como una fracción con cociente igual a un número decimal.

VER INFOGRAFÍA

Los números racionales como subconjunto de los números reales

Los números racionales ( $\mathbb{Q}$ ), en conjunto con los números enteros ( $\mathbb{Z}$ ) y los irracionales ( $\mathbb{I}$ ), conforman el conjunto de los números reales ( $\mathbb{R}$ ), donde se encuentran todos los números naturales y decimales.

ELEMENTOS DE LOS NÚMEROS RACIONALES

Los números racionales se forman al dividir dos números enteros que dan como resultado un número decimal. Los números racionales son todos los números del tipo $\frac{a}{b}$ donde a es el numerador y b es el denominador. Ambos elementos, a y b, son número enteros y b es distinto de cero.

Número irracionales

Toda fracción es un número racional. Sin embargo, no todo número decimal pertenece al conjunto de los números racionales, porque no todos tienen una fracción equivalente. Tal es el caso de los decimales no periódicos, los cuales pertenecen al conjunto de los números irracionales, denotados con la letra $\mathbb{I}$ . En esta categoría se encuentran, por ejemplo, $\sqrt{7}$ , $\pi$ o cualquier número con decimales infinitos.

orden de los números racionales

Comparar racionales permite establecer una relación de orden en $\mathbb{Q}$ . Cuando los racionales tienen igual denominador, será mayor aquel con mayor numerador. Por ejemplo, entre $\frac{8}{3}$ y $\frac{2}{3}$ , $\frac{8}{3}$ es mayor porque 8 > 2.

Cuando los racionales tienen denominadores diferentes tenemos que convertirlos en fracciones equivalentes de igual denominador y luego comparar. También podemos usar la siguiente regla:

Si $\frac{a}{b}$ y $\frac{c}{d}$ ∈ $\mathbb{Q}$ , con b y d positivos

Se cumple que:

Si $a\times d> b\times c$ , entonces $\frac{a}{b}> \frac{c}{d}$

Si $a\times d< b\times c$ , entonces $\frac{a}{b}< \frac{c}{d}$

– Ejemplo:

$\frac{8}{5}> \frac{6}{7}$ porque $8\times 7> 5\times 6$

$\frac{4}{7}< \frac{3}{5}$ porque $4\times 5< 7\times 3$

Fracciones negativas

Si el numerador o el denominador de una fracción es un número negativo podemos escribir el signo “−” antes de la fracción.

$\frac{-a}{b}=-\frac{a}{b}$

$\frac{a}{-b}=-\frac{a}{b}$

Las fracciones negativas, al estar más a la izquierda en la recta numérica, son menores que las fracciones positivas.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

Los números racionales se suelen utilizar para expresar partes de una totalidad. Por ejemplo, “un 1/4 de la población mundial utiliza Internet” o “un 1/3 de la población vive en situación de pobreza”, o bien “un 1/2 de los habitantes del planeta son mujeres”. En general, resulta más representativo hablar de fracciones de un total que solo indicar la cantidad de personas.

Para graficar números racionales tenemos que identificar primero qué tipo de fracción es. Si la fracción es propia, es decir, si tiene el numerador menor al denominador, basta con dividir una figura geométrica en tantas partes como indique el denominador y colorear las partes que indique el denominador. Por ejemplo:

$\boldsymbol{1=}$

$\boldsymbol{\frac{2}{2}=}$

$\boldsymbol{\frac{2}{3}=}$

$\boldsymbol{\frac{2}{4}=}$

$\boldsymbol{\frac{2}{5}=}$

$\boldsymbol{\frac{2}{6}=}$

$\boldsymbol{\frac{2}{7}=}$

$\boldsymbol{\frac{2}{8}=}$

$\boldsymbol{\frac{2}{9}=}$

$\boldsymbol{\frac{2}{10}=}$

Si la fracción es impropia tenemos que dividir la figura en tantas partes como muestre el denominador y repetirla hasta que se coloreen todas las partes que señale el numerador. Estas fracciones siempre tendrán más de un entero, así que también podemos convertir la fracción impropia en número mixto y seguir los pasos anteriores. Por ejemplo:

$\frac{20}{9}=2\frac{2}{9}=$

$\frac{10}{8}=1\frac{2}{8}=$

Fracciones y porcentajes

Los gráficos circulares o de sectores son ampliamente utilizados en estadística y otras áreas en las que son una herramienta de gran utilidad para expresar partes de un todo, por lo que las fracciones son necesarias para determinar las porciones de colores. No obstante, es mucho más práctico hacer estos gráficos con datos mostrados en porcentajes: una forma de representar a una fracción decimal, cuyo denominador es 100.

Convertir fracciones en porcentajes es muy sencillo, solo tenemos que dividir el numerador entre el denominador y después multiplicar por 100 %. Por ejemplo, 1/4 es igual a 25 % porque 1 ÷ 4 = 0,25 y 0,25 × 100 % = 25 %.

¡A practicar!

1. Señala cuáles números son racionales y cuáles son irracionales.

$\frac{4}{5}$

Solución

Es un número racional.

$\sqrt{2}$

Solución

Es un número irracional.

$\frac{\pi }{3}$

Solución

Es un número irracional.

$\frac{1}{4}$

Solución

Es un número racional.

2. Ordena de menor a mayor los siguientes número racionales.

$\frac{8}{5}$ , $\frac{6}{7}$ , $\frac{2}{9}$ , $\frac{1}{2}$

Solución

$\frac{2}{9}$ < $\frac{1}{2}$ < $\frac{6}{7}$ < $\frac{8}{5}$

$\frac{10}{3}$ , $\frac{6}{8}$ , $\frac{2}{3}$ , $\frac{5}{2}$

Solución

$\frac{2}{3}$ < $\frac{6}{8}$ < $\frac{5}{2}$ < $\frac{10}{3}$

$-\frac{8}{4}$ , $\frac{3}{7}$ , $1$ , $\frac{2}{5}$

Solución

$-\frac{8}{4}$ < $\frac{2}{5}$ < $\frac{3}{7}$ < $1$

3. ¿Qué fracción representan estos gráficos?

Solución

$\frac{7}{3}$

Solución

$\frac{2}{9}$

Solución

$\frac{8}{5}$

Solución

$\frac{4}{10}$

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “¿Cómo transformar un número decimal a fracción?”

En este artículo hallará el método y la explicación para obtener la fracción generatriz de un número decimal.

VER

Artículo “La recta numérica”

En este recurso encontrará un método para representar números racionales en la recta real.

VER

Artículo “La clasificación de los números”

En este artículo encontrará la clasificación de los diferentes conjuntos numéricos, a fin de identificar en qué categoría o a qué subconjunto pertenecen los números racionales.

VER