CAPÍTULO 7 / TEMA 1

SUCESIONES

Las sucesiones son series de números con un orden establecido llamado patrón. Algunas tienen un patrón en el que se suman o restan cantidades constantes, mientras que en otras el patrón se forma por medio de la multiplicación o división de cantidades constantes. Hoy aprenderemos cómo se llaman estos tipos de sucesiones y cómo calcular sus términos generales.

¿QUÉ ES UNA SUCESIÓN?

Una sucesión es una secuencia ordenada de números o elementos que obedecen a un patrón o regla de formación particular. Por ejemplo, veamos la siguiente sucesión:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 …

En este caso, la sucesión está formada por números ordenados que reconocemos como cifras pares. Los puntos suspensivos al final nos indican que la sucesión es infinita.

Nota que cada número es 2 unidades superior al anterior, por lo tanto, el patrón de la sucesión consta de sumar 2.

¿Sabías qué?

Los elementos de una sucesión se llaman “terminos”.

Si denominamos a₁ al primer término de la sucesión, a₂ al segundo término, a₃ al tercer término, y así sucesivamente, podemos determinar la regla de sucesión que sigue hasta el enésimo valor que llamaremos a_n. Los subíndices indican el lugar que ocupa cada elemento en la sucesión.

Observa que:

a₁ = 2

a₂ = 4

a₃ = 6

a₄ = 8

a_n = 2n

A partir de este análisis podemos obtener el término general de la sucesión:

a_n = 2n

Donde n es cualquier número entero. Por ejemplo, si n = 5, el quinto término de la sucesión es:

a₅ = 2 × 5 = 10

Los término a₂₀ y a₂₅ de esta misma sucesión son los siguientes:

a₂₀ = 2 × 20 = 40
a₂₅ = 2 × 25 = 50

¿Qué es el término general de la sucesión?

Es el término que ocupa el enésimo lugar en la sucesión. Se escribe con la letra que denota la sucesión y el subíndice n. Por ejemplo, a_n.

Leonardo Pisa dio a conocer el uso de las sucesiones de Fibonacci en la solución de problemas (aunque ya se las usaban muchos años atrás). La espiral de Fibonacci, se construye trazando arcos circulares entre dos diagonales de cuadrados adosados, cuyos lados equivalen a los términos de la sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…

VER INFOGRAFÍA

TIPOS DE SUCESIONES

Existen varias maneras de clasificar las sucesiones, por ejemplo, podemos decir que las sucesiones pueden ser finitas, o infinitas. Sin embargo, también podemos clasificarlas de acuerdo a la diferencia o a la razón entre sus términos. En estos casos hablamos de sucesiones aritméticas y geométricas.

Sucesiones aritméticas

Son aquellas en las que cada término, con excepción del primero, tiene una diferencia con el término anterior en una cantidad constante. Por ejemplo:

20.000, 22.000, 24.000, 26.000, ..

Esta es una sucesión aritmética porque la diferencia entre un término y el siguiente es la misma en cada caso, es decir, la diferencia es constante.

A esta diferencia, denominada diferencia común y representada como d, la podemos obtener por medio de una resta entre cualquier término y su término anterior. Para la sucesión antes señalada la diferencia común d es:

d = 22.000 − 20.000 = 2.000

d = 24.000 − 22.000 = 2.000

d = 26.000 − 24.000 = 2.000

Observa que sin importar el término que elijas la diferencia siempre será la misma.

– Otro ejemplo:

Para la siguiente sucesión:

5, 1, −3, −7, −11, −15, …

La diferencia común d = −4 porque:

d = 1 − 5 = −4

d = −3 − 1 = −4

d = −15 − (−11) = −4

¡Es tu turno!

Observa estas sucesiones aritméticas, ¿cuál es la diferencia común d?

−15, −12, −9, −6, −3, 0, 3, …
Solución
d = 3

230, 345, 460, 575, 690, 805, …
Solución
d = 115

Término enésimo de una sucesión aritmética

El término enésimo de una sucesión aritmética con un primer término a₁ y una diferencia común d es el siguiente:

a_n = a₁ + d(n − 1)

– Ejemplo:

Para la siguiente sucesión:

−3, −1, 1, 3, 5, …

La diferencia común d = 2 porque:

d = −1 − (−3)

d = 2

Por lo tanto, si a₁ = −3 y d = 2, el término enésimo de la sucesión es:

a_n = a₁ + d(n −1)

a_n = −3 + 2(n − 1)

a_n = −3 + (2n − 2)

a_n = −3 + 2n − 2

a_n = 2n − 5

Entonces, si queremo determinar a₁₀, a₁₂ y a₁₅ solo aplicamos:

a₁₀ = 2n − 5 = 2 (10) − 5 = 20 − 5

a₁₀ =15

a₁₂ = 2n − 5 = 2 (12) − 5 = 24 − 5

a₁₂ = 19

a₁₅ = 2n − 5 = 2 (15) − 5 = 30 − 5

a₁₅ = 25

Podemos considerar los ahorros como una sucesión aritmética. Por ejemplo, si tenemos $ 10 ahorrados y cada mes le sumamos $ 2, los primeros cuatro meses podríamos representarlos como: 10, 12, 14, 16, … Entonces, si a₁ = 10 y la diferencia común d = 2, el término enésimo de esta sucesión sería: *a_n* = 8 + 2n. Calcula cuánto podemos ahorrar de esta manera en 6 meses.

Sucesiones geométricas

Son aquellas en las que cada término (excepto el primero) es múltiplo del término anterior de la sucesión. El cociente entre cualquier término y su precedente es constante. Por ejemplo:

20.000, 30.000, 45.000, 67.500, 101.250, …

Esta es una sucesión geométrica porque el cociente de la división entre cualquier término y su anterior es el mismo en cada caso.

Este cociente es igual al múltiplo común entre términos y se llama razón común (r). Se obtiene al dividir un término con el que le precede. Para esta sucesión la razón común se determina así:

r = 30.000 ÷ 20.000 = 1,5

r = 45.000 ÷ 30.000 = 1,5

r = 101.250 ÷ 67.500 = 1,5

Observa que sin importar el término que elijas la razón común es la misma: 1,5.

– Otro ejemplo:

Para la siguiente sucesión:

3, 12, 48, 192, 768, 3.072, …

La razón común es 4 porque:

r = 12 ÷ 3 = 4

r = 48 ÷ 12 = 4

r = 768 ÷ 192 = 4

¡Es tu turno!

Observa estas sucesiones geométricas, ¿cuál es la razón común?

5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, …
Solución
r = 2

−18, 54, −162, 486, −1.458, …
Solución
r = −3

Término enésimo de una sucesión geométrica

El término enésimo de una sucesión geométrica con un primer término a₁ y una razón común r es el siguiente:

a_n = a₁(r^{n − 1})

– Ejemplo:

Para la siguiente sucesión:

3, −6, 12, −24, 48, −96, …

La razón común r = −2 porque:

r = −6 ÷ 3 = −2

r = −24 ÷ 12 = −2

r = −96 ÷ 48 = −2

Por lo tanto, si a₁ = 3 y r = −2, el término enésimo de la sucesión es:

a_n = a₁(r^{n − 1})

a_n = 3(−2^{n − 1})

Entonces, si queremos determinar a₈, a₁₀ y a₁₂ solo aplicamos:

a₈ = 3(−2^{n − 1}) = 3(−2^{8 − 1}) = 3(−2⁷) = 3(−128)

a₈= −384

a₁₀ = 3(−2^{n − 1}) = 3(−2^{10 − 1}) = 3(−2⁹) = 3(−512)

a₁₀ = −1.536

a₁₂ = 3(−2^{n − 1}) = 3(−2^{12 − 1}) = 3(−2¹¹) = 3(−2.048)

a₁₂ = −6.144

La división celular es un ejemplo de sucesión geométrica, ya que si por ejemplo, partimos de una célula (a₁ = 1), durante el proceso de meiosis esta se divide y obtenemos dos células nuevas (a₂ = 2). Luego, estas dos células a su vez se dividen y se tienen 4 células más (a₃ = 4). La razón de progresión r = 2 y *a_n* = 2n − 1.

Resolvamos unos problemas

1. Marcos comenzó un trabajo y su pago inicial fue de $ 15.000. Se le prometió un aumento de $ 1.500 después de cada año. ¿Cuál será su salario en el séptimo año de trabajo? ¿y en el décimo año?

Datos

Salario inicial = a₁ = $ 15.000

Aumento anual = d = $ 1.500

Reflexiona

Su salario después de los primeros años es: 15.000, 16.500, 18.000, 19.500 … Ya que se suma una cantidad constante, esta es una sucesión aritmética. El término general enésimo de una sucesión aritmética es a_n = a₁ + d(n − 1). Donde a₁ = 15.000. Tenemos que calcular la diferencia común, luego el término enésimo y finalmente a₇y a₁₀.

Calcula

– Diferencia común, d

d = 16.500 − 15.000 = 1.500

– Término enésimo

a_n = a₁ + d(n − 1)

a_n = 15.000 + 1.500(n − 1)

a_n = 15.000 + 1.500n − 1.500

a_n = 13.500 + 1.500n

– Términos a₇ y a₁₀

a₇ = 13.500 + 1.500(7)

a₇ = 13.500 + 10.500

a₇ = 24.000

a₁₀ = 13.500 + 1.500(10)

a₁₀ = 13.500 + 15.000

a₁₀ = 28.500

Responde

En su séptimo año Marcos tendrá un salario de $ 24.000.

En su décimo año Marcos tendrá un salario de $ 28.500.

2. Un auditorio tiene 15 asientos en la primera fila. Cada fila sucesiva tiene tres asientos más que el anterior. ¿Cuántos asientos hay en las primeras diez filas?

Datos

Asientos en la primera fila = a₁ = 15

Diferencia con las demás filas = d = 3 asientos

Reflexiona

Como cada fila tiene 3 asientos más que la anterior se trata de una sucesión aritmética. Primero calculamos el término enésimo y luego determinamos los primeros diez términos.

Calcula

– Término enésimo

a_n = a₁ + d(n − 1)

a_n = 15 + 3(n − 1)

a_n = 15 + 3n − 3

a_n = 12 + 3n

– Primeros diez términos

a₁ = 12 + 3(1) = 12 + 3 = 15

a₂ = 12 + 3(2) = 12 + 6 = 18

a₃ = 12 + 3(3) = 12 + 9 = 21

a₄ = 12 + 3(4) = 12 + 12 = 24

a₅ = 12 + 3(5) = 12 + 15 = 27

a₆ = 12 + 3(6) = 12 + 18 = 30

a₇ = 12 + 3(7) = 12 + 21 = 33

a₈ = 12 + 3(8) = 12 + 24 = 36

a₉ = 12 + 3(9) = 12 + 27 = 39

a₁₀ = 12 + 3(10) = 12 + 30 = 32

Responde

La cantidad de asientos en cada fila sigue este orden: 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 32.

3. José tiene una alcancía. Si el día 1 sacó $ 1, el día 2 sacó $ 2, el día 3 sacó $ 4, el día 4 sacó $ 8, y así sucesivamente, ¿cuánto dinero sacó después de 30 días?

Datos

Dinero sacado el día 1 = a₁ = $ 1

Dinero sacado el día 2 = a₂ = $ 2

Dinero sacado el día 3 = a₃ = $ 4

Dinero sacado el día 4 = a₄ = $ 8

Reflexiona

Como la cantidad de dinero sacado se multiplica cada día, se trata de una sucesión geométrica. Por lo tanto, a partir de la fórmula general del término enésimo (a_n = a₁(r^{n − 1})) podremos saber el dinero sacado a los 30 días. Nota que a₁ = 1 y r = 2.

Calcula

a_n = a₁(r^{n − 1})

a₃₀ = 1(2^{30 − 1})

a₃₀ = 1(2²⁹)

a₃₀ = 536.870.912

Responde

José sacó $ 536.870.912.

Las sucesiones también pueden clasificarse como progresivas o ascendentes; o regresivas o descendentes. Las primeras son aquellas que van de menor a mayor, mientras que las segundas son las que van de mayor a menor. Un ejemplo de estas sucesiones podemos verlo en el orden en el que enumeran los asientos de un estadio.

¡A practicar!

Observa las siguientes sucesiones.

Indica si la sucesión es aritmética o geométrica.
Encuentra el término enésimo.
Determina a₁₂ en cada caso.

20, 19,3, 18,6, 17,9, …

Solución

Es una sucesión aritmética.

Si d = −0,7 y a₁ = 20 el término enésimo es:

a_n = a₁ + d(n − 1)

a_n = 20 + 0,7(n − 1)

a_n = 20 + (0,7n − 0,7)

a_n = 20 − 0,7n + 0,7

a_n = 20,7 − 0,7n

a₁₂ = 20,7 − 0,7 (12) = 20,7 − 8,4

a₁₂ = 12,3

4, 2, 1, 0,5, 0,25, …

Solución

Es una sucesión geométrica.

Si a₁ = 4 y r = 0,5 el término enésimo es:

a_n = a₁(r^{n − 1})

a_n = 4(0,5^{n − 1})

a₁₂ = 4(0,5^{12 − 1}) = 4 (0,5¹³)

a₁₂ = 4,8 × 10⁻⁵

13, 23, 33, 43, 53, 63, …

Solución

Es una sucesión aritmética.

Si a₁ = 13 y d = 10 el término enésimo es:

a_n = a₁ + d(n − 1)

a_n = 13 + 10(n − 1)

a_n = 13 + 10n − 10

a_n = 3 + 10n

a₁₂ = 3 + 10(12) = 3 + 120

a₁₂ = 123

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Sucesiones”

En el siguiente artículo encontrarás ejemplos relacionados con sucesiones aritméticas. Adicionalmente, el artículo describe algunos tipos de sucesiones.

VER

CAPÍTULO 1 / TEMA 8 (REVISIÓN)

SISTEMA DE NUMERACIÓN | ¿qUÉ APRENDIMOS?

LECTURA DE NÚMEROS

Los números naturales ( $\boldsymbol{\mathbb{N}}$ ) son los que utilizamos para contar. Cada número tiene un valor relativo según la posición que ocupe dentro de una cifra y esto permite una correcta lectura de los mismos. Además de los números naturales, existen los números decimales que están formados por una parte entera y otra decimal. También hay sistemas de numeración no posicionales como los números romanos, los cuales constan de siete letras del abecedario latino.

Para leer un número de manera correcta es necesario conocer el valor que ocupa cada una de sus cifras. Para esto podemos usar una tabla posicional.

descomposición de números

Existen distintas formas de descomponer números grandes: la aditiva con combinaciones básicas, la aditiva por medio de valor posicional, la polinómica o la multiplicativa. En la aditiva con combinaciones básicas usamos una o más sumas que expresen el mismo resultado; en la aditiva con valor posicional empleamos los valores posicionales de cada cifra; en la polinómica utilizamos las potencias de base 10; y en la multiplicativa descomponemos la cantidad en sus factores primos.

Estas diferentes maneras de expresar los números permiten resolver situaciones de forma más rápida y sencilla.

números enteros

Los números enteros ( $\boldsymbol{\mathbb{Z}}$ ) están compuestos por todos los números naturales ( $\boldsymbol{\mathbb{N}}$ ), sus opuestos negativos y el cero. Los enteros negativos requieren el uso obligatorio del signo (−) a diferencia de los positivos que pueden o no estar acompañados con el signo (+). Estos pueden ser representados en una recta numérica, la cual contiene todos los números reales ( $\boldsymbol{\mathbb{R}}$ ). Los números enteros se aplican en diversas situaciones de la vida, como para indicar altitudes sobre el nivel del mar, registrar entradas y salidas de dinero de un banco, dibujar el eje de coordenadas, o para indicar temperaturas.

NÚMEROS decimales

Los números decimales están formados por una parte entera y una parte decimal, ambas divididas por una coma. Estos se clasifican en tres tipos según su parte decimal: exactos, periódicos y no periódicos. Los exactos tienen un número limitado de cifras; los periódicos poseen cifras decimales infinitas y, a su vez, estos se dividen en dos tipos: los puros y los mixtos; y los decimales no periódicos no tienen un patrón que se repita infinitamente. Estos números se pueden redondear para reducir la cantidad de cifras decimales y así obtener un valor muy parecido.

sucesiones

Las sucesiones son un grupo de elementos que se ordenan uno detrás de otro. Estos elementos son llamados términos, siguen una regla dentro del conjunto y pueden ser números, letras, figuras o imágenes. En una sucesión, los términos son representados como subíndices (a₁, a₂, a₃, …). Usamos sucesiones cada vez que contamos los días de la semana o las horas del día. También las usamos para ordenar de mayor a menor o de menor a mayor, o para aprender a leer el abecedario. Podemos encontrar sucesiones con operaciones matemáticas como la suma, la resta, la multiplicación, la división o la potencia.

Cuando se ordenan los ganadores de una carrera de automóviles, estos siguen un patrón de acuerdo al tiempo de llegada. Este es un ejemplo de sucesión.

potencias

La potenciación consiste en expresar de manera reducida una multiplicación de factores iguales. Tiene tres elementos: una base, un exponente y la potencia. La base es el número que se multiplicará tantas veces como indica el exponente y la potencia es el resultado de la multiplicación de los factores. Algunas de las propiedades de las potencias son: potencia de exponente 0, potencia de exponente 1, potencia de exponente negativo, multiplicación y división de potencias con igual base y la potencia de una potencia.

raíz de un número

La raíz de un número es la operación inversa a la potencia de un número. Consiste en buscar el número que se ha multiplicado tantas como indica n bajo un operador radical. Los elementos de una raíz son el radicando, el índice, el radical y la raíz. El radicando es el resultado de la multiplicación de la raíz de un número tantas veces como indica el índice de la raíz. El índice indica el grado de una raíz, lo que se traduce en cuántas veces se multiplicó por sí mismo el resultado de la radicación. El radical representa el símbolo de la operación de radicación y la raíz es resultado de la operación matemática.

Todas las operaciones matemáticas poseen una operación inversa que revierte los cálculos realizados.

CAPÍTULO 1 / TEMA 5

SUCESIONES

Hacemos uso de las sucesiones al contar los días de la semana, del mes o del año. También al contar las horas del día o simplemente al contar los pasos para llegar a casa. Las sucesiones no son más que un conjunto de números organizados de un forma determinada. No solo las podemos encontrar con números, sino también con figuras.

¿QUÉ SON SUCESIONES?

Una sucesión es un conjunto de elementos ordenados de forma ascendente o descendente. Los elementos de este conjunto se denominan términos y estos siguen una regla, la cual permite calcular cada uno de ellos.

Las sucesiones pueden ser finitas o infinitas. Las sucesiones finitas tienen un número determinado de términos y las infinitas no tienen término final. Por ejemplo:

Sucesión finita = $\boldsymbol{\left \{ 2,4,6,8,10 \right \}}$
Sucesión infinita = $\boldsymbol{\left \{ 3,6,9,12,15,18... \right \}}$

¿Sabías qué?

Los puntos suspensivos (…) indican que la sucesión continua hasta el infinito.

Términos de una sucesión

Los términos de una sucesión se expresan con subíndices: a₁, a₂, a₃, a₄, a₅ …, los cuales indican la posición de cada uno dentro de la secuencia, por ejemplo, el término a₁ ocupa la primera posición de la secuencia, el término a₂ corresponde al segundo lugar y así sucesivamente con cada uno.

Podemos calcular cada término de una sucesión de acuerdo a esta relación:

a_n = a₀ + nr

Donde:

a₀: término anterior al primero.

r: regla de la sucesión.

n: número de término.

– Ejemplo:

Podemos representar una sucesión por un término general o enésimo. En este caso su fórmula es:

a_n = −1 + n · (+3)

a_n = −1 + 3n

Observa que la regla de sucesión (r) es +3, por lo tanto, el término anterior al primero (t₀) es igual a −1. Si queremos hallar el término a₈ solo aplicamos la fórmula anterior:

a₈ = −1 + 3 · 8 ⇒ a₈ = −1 + 24 ⇒ a₈ = 23

¿Cuáles son los términos?

Emplea la fórmula y determina cuáles son los términos a₁₀, a₁₂ y a₁₅de la secuencia anterior.

Solución

a₁₀ = −1 + 3 · 10 ⇒ a₁₀ = −1 + 30 ⇒ a₁₀ = 29

a₁₂ = −1 + 3 · 12 ⇒ a₁₂ = −1 + 36 ⇒ a₁₂ = 35

a₁₅ = −1 + 3 · 15 ⇒ a₁₅ = −1 + 45 ⇒ a₁₅ = 44

Sucesión de Fibonacci

Una de las sucesiones conocidas más importantes es la de Fibonacci. Este tipo de secuencia lleva su nombre en honor al matemático italiano Leonardo Fibonacci y se caracteriza por el hecho de que cada número resulta de sumar los dos números anteriores a este. El término general de la misma es $a_{n}= a_{n-1} + a_{n-2}$ y la forma más básica de este tipo de sucesión es: $1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233...$

VER INFOGRAFÍA

SUCESIONES CON FIGURAS

No solo podemos encontrar sucesiones de números, también es posible encontrar sucesiones con diferentes figuras. Por ejemplo:

En ella se puede ver que las figuras están en orden ascendente con respecto a sus lados. Cada figura tiene un lado más que la anterior.

– Ejemplo 2:

También es posible conseguir sucesiones con figuras en distintas posiciones, como este ejemplo:

Como puedes ver en la imagen, todas las flechas tienen una dirección y sentido diferente, pero si te fijas con atención, el movimiento es igual al de las agujas del reloj, es decir, van en sentido horario. Este patrón nos permite saber cuál será la próxima figura en la sucesión:

Uno de los campeonatos más vistos es el Mundial de fútbol de la FIFA. En este, se clasifican 32 selecciones y, a medida que transcurre el torneo, se eliminan la mitad de los equipos en encuentros entre ellos. Así, comienzan 32, luego 16, 8, 4, 2, hasta que solo queda 1, el equipo campeón. Como ves, esta es una sucesión descendente en la que cada término es igual a la mitad del anterior.

SUCESIONES CON SUMAS Y RESTAS

Podemos construir sucesiones por medio de sumas, restas o la combinación de ambas operaciones. Por ejemplo:

– Otro ejemplo:

En la sucesión anterior, a medida que disminuye el número en cada término, la resta entre el término siguiente y el anterior aumenta.

Algunas aplicaciones

Debido a lo práctico que resulta expresar en forma general una secuencia ordenada de números, las sucesiones matemáticas han sido aplicadas en muchas disciplinas además de la matemática. Por ejemplo, la sucesión de Fibonacci se ha aplicado en la arquitectura, el arte y la informática.

Las progresiones son un tipo de sucesiones que se utilizan para realizar diversos cálculos como la determinación del interés compuesto. Las progresiones aritméticas también se usan en las interpolaciones, que consisten en calcular valores que se encuentran entre dos dados.

¡A practicar!

1. Consigue la regla de la sucesión en cada caso.

{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}

Solución

{45, 44, 42, 39, 35, 30, 24, 17, 9}

Solución

2. ¿Cuál es la imagen que falta?

Solución

3. ¿Cuáles son las figuras que deben ir en los espacios en gris?

Solución

4. Selecciona cuál de las imágenes del segundo bloque es la que corresponde al cuadrado que falta en el primer bloque.

Solución

5. Calcula el término a₂₅ de la siguiente sucesión:

{23, 27, 31, 35, 39}

Solución

Datos:

a₀ = 19

r = +4

Término enésimo:

a_n = 19 + n · (+4)

a_n = 19 + 4n

Resultado:

a₂₅ = 19 + 4 · 25

a₂₅ = 19 + 100

a₂₅ = 119

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Sucesiones”

Este artículo lo ayudará a complementar la información sobre las sucesiones.

VER

Artículo “Sucesiones y series”

Con este artículo podrá ampliar los conocimiento sobre las series y sucesiones.

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CAPÍTULO 4 / TEMA 5 (REVISIÓN)

GEOMETRÍA DE LAS FORMAS | ¿qué aprendimos?

EL PUNTO Y LA LÍNEA

EL PUNTO ES EL ENTE FUNDAMENTAL DE LA GEOMETRÍA. UNA SUCESIÓN INFINITA DE PUNTOS FORMA UNA LÍNEA. SEGÚN LAS DIRECCIÓN QUE TENGAN ESTOS PUNTOS LAS LÍNEAS PUEDEN SER RECTAS, COMO LAS DEL BORDE DE UNA PANTALLA DE CELULAR; O PUEDEN SER CURVAS, COMO EL BORDE UN GLOBO. CUANDO EL PUNTO DE INICIO Y FIN SON EL MISMO EN UNA LÍNEA, DECIMOS QUE LA LÍNEA ES CERRADA, PERO SI ESTOS PUNTOS NO COINCIDEN, LA LÍNEA ES ABIERTA.

CUANDO OBSERVAMOS UN PAISAJE PODEMOS VER MUCHAS LÍNEAS FORMADAS POR LA NATURALEZA.

FIGURAS PLANAS

LAS FIGURAS PLANAS SOLO TIENEN DOS DIMENSIONES: ALTO Y ANCHO. EXISTEN DOS TIPOS DE FIGURAS PLANAS, LAS POLIGONALES Y LOS CÍRCULOS. LAS PRIMERAS ESTÁN FORMADAS POR LÍNEAS POLIGONALES CERRADAS, COMO UN CUADRADO O RECTÁNGULO. LAS SEGUNDAS ESTÁN FORMADAS POR LÍNEAS CURVAS CERRADAS, COMO EL CÍRCULO. TODOS LOS PUNTOS QUE CORRESPONDEN A LA LÍNEA CURVA SE ENCUENTRAN A LA MISMA DISTANCIA DEL CENTRO DE FIGURA. ESTA LÍNEA QUE DELIMITA AL CÍRCULO SE LLAMA CIRCUNFERENCIA.

FIGURAS TRIDIMENSIONALES

LAS FIGURAS TRIDIMENSIONALES OCUPAN UN LUGAR EN EL ESPACIO Y TIENEN TRES DIMENSIONES: ALTO, LARGO Y ANCHO. LAS FIGURAS TRIDIMENSIONALES TAMBIÉN SON LLAMADAS CUERPOS GEOMÉTRICOS Y EXISTEN DOS TIPOS: LOS POLIEDROS Y LOS CUERPOS REDONDOS. LOS PRIMEROS ESTÁN CONFORMADOS POR CARAS PLANAS COMO EL PRISMA Y LA PIRÁMIDE; Y LOS SEGUNDOS TIENEN SUPERFICIES CURVAS, COMO EL CILINDRO, LA ESFERA Y EL CONO.

LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS NO SE PUEDEN TRAZAR EN UNA REGIÓN DEL PLANO SINO QUE SE CONSTRUYEN PARA QUE TENGAN SUS DIMENSIONES REALES.

POSICIÓN Y DESPLAZAMIENTO

LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS, LOS PUNTOS, LAS FIGURAS Y LOS OBJETOS TIENEN UNA DETERMINADA POSICIÓN EN EL ESPACIO, PERO LA POSICIÓN NO SIEMPRE ES LA MISMA. DOS DE LOS MOVIMIENTOS MÁS COMUNES SON LA TRASLACIÓN Y LA ROTACIÓN. POR OTRO LADO, ES POSIBLE UBICAR CADA PUNTO EN EL ESPACIO GRACIAS A LOS EJES CARTESIANOS, UN CONJUNTO DE LÍNEAS QUE SE CRUZAN PARA DARNOS LAS COORDENADAS O POSICIÓN DE UN PUNTO.

LA ROTACIÓN Y LA TRASLACIÓN DE ELEMENTOS GEOMÉTRICOS SE ASEMEJAN A LOS MOVIMIENTOS QUE REALIZA LA TIERRA.

CAPÍTULO 4 / TEMA 1

EL PUNTO Y LA LÍNEA

OBSERVA LOS OBJETOS QUE TE RODEAN, ES PROBABLE QUE NO TE HAYAS DADO CUENTA PERO TODOS ESTÁN COMPUESTOS POR LÍNEAS, Y ESTAS, A SU VEZ, POR UNA SUCESIÓN DE PUNTOS. SEGÚN LA DIRECCIÓN QUE TOMEN ESTOS PUNTOS LAS LÍNEAS PUEDEN SER RECTAS O CURVAS.

¿QUÉ ES EL PUNTO?

EL PUNTO ES ENTE FUNDAMENTAL DE LA GEOMETRÍA, NO TIENE LONGITUD, NO TIENE ÁREA Y NO TIENE DIMENSIÓN. EL PUNTO ES SOLO UNA POSICIÓN EN EL ESPACIO. PODEMOS IDENTIFICAR LOS PUNTOS CON UNA LETRA MAYÚSCULA.

– EJEMPLO:

OBSERVA LA CUADRÍCULA, ¿CUÁNTOS PUNTOS HAY?

A, B, C, D, E, F Y G SON PUNTOS. HAY 7 PUNTOS.

LAS LÍNEAS Y SUS TIPOS

LA LÍNEA ES UNA SUCESIÓN DE INFINITOS PUNTOS. UNA LÍNEA SE ASEMEJA A UNA CUERDA QUE PUEDE SER RECTA O CURVA, ABIERTA O CERRADA PERO QUE ESTÁ FORMADA POR PUNTOS MUY PEQUEÑOS Y JUNTOS. LAS LÍNEAS TIENEN UNA DIMENSIÓN: LA LONGITUD.

SUCESIÓN DE PUNTOS	LÍNEA

TIPOS DE LÍNEAS

EXISTEN DOS TIPOS DE LÍNEAS QUE EXPRESAN SU FORMA:

LÍNEA RECTA: ES LA LÍNEA CUYOS PUNTOS ESTÁN ALINEADOS EN UNA MISMA DIRECCIÓN.

LÍNEA CURVA: ES LA LÍNEA CUYOS PUNTOS NO ESTÁN ALINEADOS EN UNA MISMA DIRECCIÓN. EXISTEN DOS TIPOS DE LÍNEAS CURVAS, LAS ABIERTAS, EN LAS QUE SU INICIO Y SU FINAL NO COINCIDEN, Y LAS CERRADAS, EN LAS QUE SU INICIO Y FINAL SÍ COINCIDEN.

ESTAS SON LÍNEAS CURVAS ABIERTAS.

ESTAS SON LÍNEAS CURVAS CERRADAS.

LÍNEA POLIGONAL: ES LA COMBINACIÓN DE LÍNEAS RECTAS QUE EN UN DETERMINADO PUNTO CAMBIAN DE DIRECCIÓN. EXISTEN DOS TIPOS DE LÍNEAS POLIGONALES, LAS ABIERTAS, EN LAS QUE SU INICIO Y SU FINAL NO COINCIDEN, Y LAS CERRADAS, EN LAS QUE SU INICIO Y FINAL SÍ COINCIDEN.

ESTAS SON LÍNEAS POLIGONALES ABIERTAS.

ESTAS SON LÍNEAS POLIGONALES CERRADAS.

¿SABÍAS QUÉ?

USAMOS UNA LÍNEA PARA REPRESENTAR LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.

¿QUÉ ES UN SEGMENTO?

ES UNA LÍNEA RECTA LIMITADA POR DOS PUNTOS. EN LA IMAGEN HAY TRES SEGMENTOS: AB, CD Y FE.

¡IDENTIFIQUEMOS LÍNEAS!

OBSERVA ESTE DIBUJO, ¿QUÉ TIPO DE LÍNEAS PUEDES VER?

SOLUCIÓN

HAY MUCHAS LÍNEAS MÁS. ¡DESCÚBRELAS!

LAS LÍNEAS RECTAS SE EXTIENDEN EN UNA MISMA DIRECCIÓN, ES COMÚN VERLAS EN LOS BORDES DE LAS PANTALLAS DE NUESTROS TELÉFONOS MÓVILES, ASÍ COMO EN LAS SILUETAS DE MUCHAS FIGURAS GEOMÉTRICAS. LAS LÍNEAS RECTAS SON MUY USADAS EN EL SECTOR DE TRANSPORTES, PUES LAS VEMOS EN LOS RIELES DE LOS TRENES, EN LOS PASOS PEATONES, EN LAS CICLOVÍAS Y EN LAS CARRETERAS.

CONSTRUCCIÓN DE LOS DIFERENTES TIPOS DE LÍNEAS

PARA EL TRAZADO Y CONSTRUCCIÓN DE LAS DIFERENTES LÍNEAS DEBEMOS UTILIZAR ELEMENTOS GEOMÉTRICOS, COMO POR EJEMPLO, UNA REGLA O UNA ESCUADRA.

PARA CONSTRUIR LÍNEAS RECTAS O POLIGONALES BASTA CON USAR UNA REGLA O ESCUADRA PARA REALIZAR LOS TRAZOS. EN CAMBIO, SI QUIERES DIBUJAR UNA LÍNEA CURVA NO NECESITAS INSTRUMENTOS ADEMÁS DE TU LÁPIZ. RECUERDA QUE SI QUIERE DIBUJAR ALGUNA LÍNEA ABIERTA, EL PUNTO DE FINAL Y EL PUNTO DE INICIO NO DEBEN COINCIDIR, ES DECIR, DEBEN ESTAR SEPARADOS.

¡A PRACTICAR!

1. IDENTIFICA LAS SIGUIENTES LÍNEAS:

SOLUCIÓN

LÍNEA POLIGONAL CERRADA.
LÍNEA RECTA.
LÍNEA CURVA CERRADA.
LÍNEA POLIGONAL ABIERTA.
LÍNEA CURVA ABIERTA.

2. TRAZA LAS SIGUIENTES LÍNEAS:

UNA LÍNEA ROJA RECTA.
UNA LÍNEA VERDE POLIGONAL ABIERTA,
UNA LÍNEA AMARILLA CURVA ABIERTA.
UNA LÍNEA MORADA POLIGONAL CERRADA.

SOLUCIÓN

3. OBSERVA LA IMAGEN, IDENTIFICA LAS LÍNEAS QUE VES.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “El punto, la recta y el plano”

En el siguiente artículo hay información extra para ampliar los conceptos principales de la geometría.

VER

CAPÍTULO 4 / TEMA 1

LAS LÍNEAS

ES POSIBLE QUE NO TE DES CUENTA, PERO ESTAMOS RODEADOS DE MUCHAS LÍNEAS. LAS USAMOS PARA ESCRIBIR, JUGAR, CAMINAR Y HASTA PARA COMER. LO PRIMERO QUE DEBES SABER ES QUE TODAS ESTÁN FORMADAS POR PUNTOS Y QUE ESTOS PUNTOS PUEDEN TENER RECORRIDOS MUY DIVERSOS.

¿QUÉ ES UNA LÍNEA?

UNA LÍNEA ES LA UNIÓN DE MUCHOS PUNTOS CONTINUOS EN EL PLANO.

ESTA IMAGEN REPRESENTA UNA SUCESIÓN DE PUNTOS. LA UNIÓN DE LOS PUNTOS FORMA UNA LÍNEA.

TE PUEDE PARECER EXTRAÑO QUE UNA LÍNEA ESTÉ FORMADA POR INFINITOS PUNTOS PORQUE SOLO VES UN TRAZO CONTINUO, PERO SI TE APROXIMAS LO SUFICIENTE VERÁS QUE EN REALIDAD SON PUNTOS SITUADOS UNO AL LADO DE OTROS. COMO LAS LÍNEAS DESCRIBEN LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS, HAY INFINITAS LÍNEAS.

LÍNEAS ABIERTAS Y CERRADAS

OBSERVA ESTAS LÍNEAS, ¿TODAS SON IGUALES?

NO, NO SON IGUALES.

LAS LÍNEAS DE COLOR ROJO SON LÍNEAS ABIERTAS.

LAS LÍNEAS DE COLOR VERDE SON LÍNEAS CERRADAS.

LAS LÍNEAS ABIERTAS TIENEN UN PUNTO DE INICIO Y UN PUNTO FINAL. NO SE CIERRAN. SI ESTUVIERAS DENTRO DE UNA LÍNEA ABIERTA PODRÍAS SALIR.

LA LÍNEA DE COLOR ROJO ES UNA LÍNEA ABIERTA.

LAS LÍNEAS CERRADAS NO TIENEN PUNTO DE INICIO NI PUNTO FINAL. SE CIERRAN. SI ESTUVIERAS DENTRO DE UNA LÍNEA CERRADA NO PODRÍAS SALIR.

LA LÍNEA DE COLOR VERDE ES UNA LÍNEA CERRADA.

LAS LÍNEAS SEGÚN SU FORMA

OBSERVA LAS LÍNEAS DE ESTAS LETRAS Y NÚMEROS, ¿TODAS SON IGUALES?

NO, SON SON IGUALES. TODAS TIENEN FORMAS DISTINTAS.

SEGÚN SU FORMA, LAS LÍNEAS PUEDEN SER RECTAS, CURVAS, MIXTAS O QUEBRADAS.

LA LÍNEA RECTA SIEMPRE TIENE LA MISMA DIRECCIÓN.

LAS LÍNEAS DE COLOR ROJO SON LÍNEAS RECTAS.

LA LÍNEA CURVA CAMBIA CONSTANTEMENTE DE DIRECCIÓN.

LAS LÍNEAS DE COLOR AZUL SON LÍNEAS CURVAS.

LAS LÍNEAS CURVAS PUEDEN SER ABIERTAS O CERRADAS

LAS LÍNEAS CURVAS ABIERTAS TIENEN UN PUNTO DE INICIO Y UN PUNTO FINAL. SI HACES ESTA SUCESIÓN DE PUNTOS CON UN LÁPIZ Y NO LO LEVANTAS DEL PAPEL, NO LLEGARÁS AL PUNTO EN EL QUE COMENZASTE.

LAS LÍNEAS CURVAS CERRADAS NO TIENEN UN PUNTO DE INICIO NI UN PUNTO FINAL. SI HACES ESTA SUCESIÓN DE PUNTOS CON UN LÁPIZ Y NO LO LEVANTAS DEL PAPEL, LLEGARÁS AL PUNTO EN EL QUE COMENZASTE.