CAPÍTULO 4 / TEMA 6 (REVISIÓN)

geometría | ¿QUÉ APRENDIMOS?

LAS LÍNEAS

LAS LÍNEAS SON UNA SUCESIÓN DE PUNTOS. SEGÚN SU FORMA, PUEDEN SER RECTAS SI TIENEN LA MISMA DIRECCIÓN; CURVAS SI CAMBIAN CONSTANTEMENTE DE DIRECCIÓN; MIXTAS SI ESTÁN FORMADAS POR LA COMBINACIÓN DE RECTAS Y CURVAS; O QUEBRADAS SI ESTÁN FORMADAS POR RECTAS QUE SE CORTAN ENTRE SÍ. ASIMISMO, LAS LÍNEAS PUEDEN SER ABIERTAS O CERRADAS. LAS LÍNEAS ABIERTAS TIENEN UN PUNTO DE INICIO Y UN PUNTO FINAL, MIENTRAS QUE LAS LÍNEAS CERRADAS NO TIENEN PUNTO DE INICIO NI PUNTO FINAL. POR OTRO LADO, TAMBIÉN LAS PODEMOS CLASIFICAR COMO HORIZONTALES, VERTICALES U OBLICUAS SEGÚN SU POSICIÓN.

ESTOS LÁPICES DE COLORES DIBUJAN LÍNEAS RECTAS PORQUE TIENEN LA MISMA DIRECCIÓN.

FORMAS

CASI TODOS LOS OBJETOS QUE NOS RODEAN TIENE UNA FORMA SIMILAR A LA DE UNA FIGURA GEOMÉTRICA, PUEDEN SER CUADRADOS, CIRCULARES, TRIANGULARES O RECTANGULARES. PERO NO TODOS LOS OBJETOS SON PLANOS, TAMBIÉN PUEDEN SER UN CUBO, UNA ESFERA O UN CILINDRO. LA PARTE EXTERIOR DE ESTOS SE LLAMA SUPERFICIE Y PUEDE SER PLANA, COMO LA DE UNA MESA, O CURVA COMO LA DE UN GLOBO.

ESTE ES UN CUBO DE RUBIK, UN JUEGO DE ROMPECABEZAS MUY POPULAR. ES UNA FIGURA CON FORMA DE CUBO Y CON TODAS SUS SUPERFICIE PLANAS.

FIGURAS PLANAS

TODAS LAS FIGURAS PLANAS ESTÁN DELIMITADAS POR LÍNEAS RECTAS O CURVAS, Y ADEMÁS, SOLO TIENEN DOS DIMENSIONES: ALTO Y ANCHO. LAS FIGURAS PLANAS MÁS CONOCIDAS SON EL CUADRADO, EL TRIÁNGULO, EL RECTÁNGULO Y EL CÍRCULO. LAS PRIMERAS TRES SE CARACTERIZAN POR TENER LADOS Y VÉRTICES, MIENTRAS QUE LA ÚLTIMA, EL CÍRCULO, SE CARACTERIZA POR TENER UN CENTRO, UN DIÁMETRO Y UN RADIO.

LA PANTALLA DE UNA COMPUTADORA, UN TELÉFONO O UNA TABLETA TIENE UNA FORMA PLANA COMO LA DE UN RECTÁNGULO.

FIGURAS TRIDIMENSIONALES

LAS FIGURAS TRIDIMENSIONALES TIENEN TRES DIMENSIONES: ALTO, ANCHO Y LARGO. LAS MÁS CONOCIDAS SON EL CONO, LA ESFERA, EL CUBO, EL PRISMA RECTANGULAR, LA PIRÁMIDE Y EL CILINDRO. ESTAS FIGURAS CUENTAN CON CARAS, ARISTAS Y VÉRTICES. A SU VEZ, SE CLASIFICAN EN POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS. LOS POLIEDROS SOLO TIENEN SUPERFICIES PLANAS Y NO PUEDEN RODAR; MIENTRAS QUE LOS CUERPOS REDONDOS TIENEN AL MENOS UNA SUPERFICIE CURVA Y SÍ PUEDEN RODAR.

TODAS ESTAS FIGURAS SON POLIEDROS PORQUE ESTÁN FORMADOS SOLO POR CARAS PLANAS Y NO PUEDEN RODAR.

CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS GEOMÉTRICAS

LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS ESTÁN PRESENTES EN NUESTRO DÍA A DÍA, ESTÁN EN LOS OBJETOS Y CREACIONES QUE NOS RODEAN. PARA PODER CONSTRUIRLAS ES NECESARIO QUE EMPLEEMOS LOS INSTRUMENTOS ADECUADOS, COMO LA REGLA GRADUADA, EL COMPÁS, LA ESCUADRA, EL CARTABÓN Y EL TRANSPORTADOR. SI DESEAMOS CONSTRUIR FIGURAS TRIDIMENSIONALES PODEMOS USAR PLANTILLAS.

LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS SON CONSTRUIDAS EN CADA PLANO DE UNA OBRA PARA REPRESENTAR ELEMENTOS COMO UNA BAÑO O UNA HABITACIÓN.

CAPÍTULO 4 / TEMA 5

CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS GEOMÉTRICAS

¿QUÉ FORMA TIENE UNA HOJA DE TU CUADERNO? ¿Y UNA LATA DE GASEOSA? LA PRIMERA ES UN RECTÁNGULO Y LA SEGUNDA ES UN CILINDRO. AMBAS SON FIGURAS GEOMÉTRICAS Y PUEDES DIBUJARLAS O CONSTRUIRLAS SI UTILIZAS LOS INSTRUMENTOS ADECUADOS. ES MUY SENCILLO, LEE ESTE ARTÍCULO Y APRENDERÁS CÓMO HACERLO.

¿QUÉ SON LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS?

LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS SON TODAS AQUELLAS QUE ESTÁN DEFINIDAS POR LÍNEAS RECTAS O CURVAS. PUEDEN TENER DOS O TRES DIMENSIONES Y ADEMÁS CONFORMAN LA SUPERFICIE DE LA MAYORÍA DE LOS OBJETOS QUE NOS RODEAN, POR EJEMPLO, LA PANTALLA DE UN TELÉFONO TIENE FORMA DE RECTÁNGULO Y UNA PELOTA TIENE FORMA DE ESFERA.

LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS O CON DOS DIMENSIONES SON:

CUADRADO

TRIÁNGULO

CÍRCULO

RECTÁNGULO

LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS TRIDIMENSIONALES O CON TRES DIMENSIONES SON:

CUBO

PRISMA RECTANGULAR

PIRÁMIDE

CONO

CILINDRO

ESFERA

¿QUÉ ES UNA LÍNEA?

UNA LÍNEA ES LA UNIÓN DE MUCHOS PUNTOS CONTINUOS EN EL PLANO. PUEDEN SER ABIERTAS, CERRADAS, RECTAS O CURVAS.

LA LÍNEA DE COLOR AZUL ES RECTA Y ABIERTA.
LA LÍNEA DE COLOR AMARILLO ES CURVA Y ABIERTA.
LA LÍNEA DE COLOR VERDE ES RECTA Y CERRADA.
LA LÍNEA DE COLOR ROJO ES CURVA Y CERRADA.

¿SABÍAS QUÉ?

A LAS FIGURAS TRIDIMENSIONALES TAMBIÉN SE LAS CONOCE COMO SÓLIDOS GEOMÉTRICOS.

INSTRUMENTOS PARA CONSTRUIR FIGURAS GEOMÉTRICAS

REGLA

ES UN INSTRUMENTO PLANO Y LARGO QUE SIRVE PARA TRAZAR LÍNEAS RECTAS Y PARA MEDIR LONGITUDES. POR LO GENERAL VIENE CON MARCAS QUE REPRESENTAN LOS CENTÍMETROS. CON UNA REGLA PUEDES TRAZAR LAS RECTAS DE UN CUADRADO O UN RECTÁNGULO.

ESCUADRA Y CARTABÓN

LA ESCUADRA ES UNA PLANTILLA CON FORMA DE TRIÁNGULO RECTÁNGULO ISÓSCELES. SE USA PARA TRAZAR LÍNEAS PARALELAS O PERPENDICULARES JUNTO CON EL CARTABÓN O LA REGLA GRADUADA. EN LA IMAGEN, LA ESCUADRA ES LA DE COLOR ROJO Y EL CARTABÓN ES EL DE COLOR AZUL.

TRANSPORTADOR

ES UN INSTRUMENTO CIRCULAR O SEMICIRCULAR QUE SIRVE PARA MEDIR ÁNGULOS. ES DE MUCHA AYUDA CUANDO DIBUJAMOS TRIÁNGULOS SEGÚN SUS ÁNGULOS.

COMPÁS

ES UN INSTRUMENTO DE GRAN UTILIDAD PARA DIBUJAR CIRCUNFERENCIAS. TIENE DOS PARTES QUE SE UNEN POR UNA BISAGRA AJUSTABLE. UNA PUNTA TIENE UN EXTREMO DE METAL Y LA OTRA TIENE UN LÁPIZ CON EL CUAL SE HACE EL DIBUJO.

CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS EN LO COTIDIANO

LA CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS GEOMÉTRICAS ES FUNDAMENTAL PARA LOS ARQUITECTOS E INGENIEROS, QUIENES ELABORAN PLANOS QUE MUESTRAN LOS DETALLES DE UNA OBRA EN UN PAPEL. ASIMISMO, GRANDES ARTISTAS DE LA HISTORIA HAN PRODUCIDO INCREÍBLES CREACIONES EN LAS QUE TOMAN LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS COMO BASE.

KANDINSKI FUE UN PINTOR RUSO DESTACADO EN EL ARTE ABSTRACTO. EN SU TRABAJO RESALTAN LOS COLORES VIVOS Y LA ABUNDANCIA DE FIGURAS GEOMÉTRICAS COMO LOS TRIÁNGULOS, CUADRADOS Y CÍRCULOS. EN 1913 CREÓ ESTA OBRA LLAMADA *ESTUDIO DE COLOR CON CUADROS* EN LA QUE PUEDES VER CÍRCULOS UNO DENTRO DE OTRO, CADA UNO DE UN COLOR DIFERENTE.

¡CONSTRUYE TUS PROPIAS FIGURAS!

CON ESTAS PLANTILLAS PUEDES CREAR FIGURAS TRIDIMENSIONALES. SOLO TIENES QUE COPIAR LA PLANTILLA, CORTAR Y PEGAR SUS LADOS. ¡INTÉNTALO!

CILINDRO

CONO

CUBO

PIRÁMIDE

PRISMA RECTANGULAR

¡A PRACTICAR!

1. ¿CÓMO SE LLAMAN ESTOS INSTRUMENTOS?

SOLUCIÓN

TRANSPORTADOR.

SOLUCIÓN

REGLA.

SOLUCIÓN

ESCUADRA.

SOLUCIÓN

COMPÁS.

SOLUCIÓN

CARTABÓN.

2. UNE LOS PUNTOS DEL MISMO COLOR EN ESTA CUADRÍCULA. UTILIZA TU REGLA O COMPÁS PARA CREAR LAS FIGURAS.

LOS PUNTOS VERDES FORMAN UN TRIÁNGULO.
LOS PUNTOS ROJOS FORMAN UN CUADRADO.
LOS PUNTOS AZULES FORMAN UN RECTÁNGULO.
EL PUNTO AMARILLO ES EL CENTRO DE UN CÍRCULO.

SOLUCIÓN

CAPITULO 5 / TEMA 5

Circunferencia y círculo

El círculo es la superficie contenida dentro de una circunferencia. En algunas ocasiones suelen confundirse estos términos por error, pero lo cierto es que gozan de características únicas que desde tiempos antiguos han cautivado a los matemáticos. Su conocimiento es importante para entender conceptos como el número pi.

Diferencia entre la circunferencia y el círculo

Aunque son conceptos que están estrechamente relacionados, circunferencia y círculo son dos cosas geométricamente diferentes. La circunferencia es la línea o perímetro que bordea y delimita la superficie de un círculo. Todos los puntos de la circunferencia se encuentran a una misma distancia del centro. El círculo, por otra parte, es una figura geométrica que está delimitada por una circunferencia.

¿Sabías qué?

El matemático griego Eratóstenes de Cirene fue la primera persona en calcular la circunferencia de la Tierra en el 230 a. C.

En este sentido, cuando hablamos de circunferencia nos referimos a una curva cerrada y cuando hablamos de círculo nos referimos a una superficie o área que está contenida dentro de una circunferencia.

Instrumento muy útil

Desde su invención en el año 200 a. C. por parte de los chinos, el compás ha sido uno de los inventos más usados en la geometría y en otras áreas. Su utilidad ha ido más allá del trazado de arcos y circunferencias, también permite transportar medidas y puede emplearse en la construcción de polígonos y en el cálculo de distancias empleado por la navegación.

Elementos de la circunferencia

Los elementos principales de una circunferencia se detallan a continuación:

Centro: es el punto que se ubica a la misma distancia de todos los puntos que conforman la circunferencia.
Radio: es el segmento de recta que une al centro con cualquiera de los puntos de la circunferencia.
Cuerda: es la recta que une dos puntos de la circunferencia.
Diámetro: es el segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro. Su longitud es igual al doble del radio.
Semicircunferencia: es la mitad de la circunferencia. El diámetro divide a la circunferencia en dos semicircunferencias.
Arco: es una porción de la circunferencia que se encuentra delimitada por una cuerda. Generalmente, a cada cuerda se le asocia el menor arco que delimita.

Relaciones entre rectas y circunferencias

Entre una circunferencia y una recta pueden darse tres tipos diferentes de relación:

Recta exterior: es aquella recta que nunca corta a la circunferencia.
Recta tangente: es aquella recta que corta a la circunferencia en uno de sus puntos.
Recta secante: es aquella recta que corta a la circunferencia en dos de sus puntos.

VER INFOGRAFÍA

Desde la Antigüedad, los geómetras se enfocaron en calcular la longitud de la circunferencia. Esta línea curva cerrada sin importar su tamaño siempre mide algo más que el triple de su diámetro. En este contexto, se emplea el número pi (π), un número con infinitos decimales que se obtiene al dividir la longitud de la circunferencia por su diámetro.

Trazado de circunferencias

Para trazar circunferencias empleamos el compás y debemos seguir los siguientes pasos:

Conocer la distancia que hay desde el centro de la circunferencia hasta alguno de sus puntos (el radio). Para esto puedes usar una regla y abrir el compás a dicha distancia. Otra forma de hacerlo es trazar el segmento de recta igual a la longitud del radio deseado, colocar la aguja de acero sobre uno de los extremos y abrir el compás hasta que la mina de grafito toque el otro extremo.
Apretar con suavidad la aguja de acero contra el papel para que no se mueva y girar el otro brazo de forma firme para trazar la circunferencia.
Marcar el centro de la circunferencia que será el mismo punto donde se apoyó la aguja de acero durante el trazado de la circunferencia.

Área del círculo

Para calcular el área de un círculo simplemente necesitamos conocer la longitud de su radio. La fórmula es la siguiente:

$A=\pi \times r^{2}$

Donde:

A = área del círculo
π = número pi
r = longitud del radio

Como el número pi (π) es un número irracional, sus decimales son infinitos (3,141592653589793238…), por lo tanto, para efectos de cálculo de área se suele aproximar a 3,14.

¿Sabías qué?

Existe otra fórmula para calcular el área del círculo en función de su diámetro: $A = \frac{\pi }{4}\times d^{2}$ .

– Calcula el área del siguiente círculo.

De acuerdo a la figura, la longitud del radio es 5 cm, por lo tanto, podemos aplicar la fórmula de área.

$A=\pi \times r^{2}$

$A=3,14 \times (5 \, cm)^{2}$

$A=3,14 \times 25 \, cm^{2}$

$A=\mathbf{78,5 \, cm^{2}}$

El sistema sexagesimal es uno de los sistemas usados para medir ángulos y tiempo. En el caso de los ángulos, el sistema emplea una circunferencia para establecer sus unidades de medición. Un grado (°) equivale a la 360 parte de una circunferencia, un minuto (′) equivale a la 60 parte de un grado y un segundo (″) equivale a la 60 parte de un minuto.

¡A practicar!

1. Calcula el área de los siguientes círculos.

Solución

A = 50,24 cm²

Solución

A = 254,34 cm²

Solución

A = 12,56 m²

Solución

A = 314 mm²

Solución

A =153,86 cm²

2. ¿Cuánto debe medir el radio de una circunferencia para que su área sea igual a 113,04 cm²?
a) 5 cm
b) 3 cm
c) 6 cm
d) 11 cm

Solución

c) 6 cm

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Circunferencia”

El artículo explica los elementos principales de la circunferencia y la relación que tiene esta con el número pi. En el artículo también se explica como calcular la longitud de una circunferencia y determinar el área de un círculo.

VER

Artículo “Círculo”

El artículo plantea de forma resumida cada uno de los elementos de un círculo como el semicírculo y el segmento circular. También presenta ilustraciones de cada uno para explicar el concepto de manera más clara.

VER

Infografía “Número pi (π)”

En esta infografía se explica más a detalle qué es el número pi, su desarrollo a través del tiempo y las diferentes aplicaciones del mismo.

VER

CAPÍTULO 5 / TEMA 6

POLIEDROS

La palabra “poliedro” proviene del griego y significa “que tiene muchas caras o planos”. Con este nombre se designa a aquellos cuerpos geométricos que están formados por polígonos y encierran un volumen. Cada una de las caras de un poliedro es un polígono (un triángulo, un cuadrado, un rombo, etc.) y se caracterizan por tener un mínimo de cuatro caras.

Solemos pensar que un balón de fútbol es una esfera, sin embargo, esto no es así. Un balón de fútbol es un poliedro que al ser hinchado con aire adopta una forma cercana a la esfera. A este tipo de poliedro se lo conoce como icosaedro truncado y combina 20 hexágonos regulares y 12 pentágonos regulares. Tiene 32 caras, 90 aristas y 60 vértices.

ELEMENTOS DE LOS POLIEDROS

Los poliedros son cuerpos geométricos tridimensionales con caras planas y que encierran un volumen. Es decir que un poliedro es una porción acotada de espacio limitada por distintos polígonos, a diferencia de los polígonos, que son porciones del plano limitadas por segmentos.

Los poliedros están constituidos por los siguientes elementos:

Bases	Caras	Aristas	Vértices

Son las caras sobre las cuales se apoya el poliedro.	Son las superficies planas que delimitan el espacio interno del poliedro.	Son las líneas que componen el cuerpo de un poliedro.	Son los puntos de encuentro entre tres o más aristas del poliedro.

TIPOS DE POLIEDROS

Poliedros regulares

Los poliedros regulares son aquellos cuyas caras están compuestas por el mismo polígono regular. Estos son conocidos también como sólidos platónicos.

Nombre del poliedro	Forma del poliedro	Número de caras	Polígonos que forman sus caras
Tetraedro		4	Triángulos equiláteros
Cubo		6	Cuadrados
Octaedro		8	Triángulos equiláteros
Dodecaedro		12	Pentágonos regulares
Icosaedro		20	Triángulos equiláteros

¿Sabías qué?

Se les llama sólidos platónicos porque Platón, filósofo griego del siglo IV a. C., en su diálogo el Timeo explicó la construcción del universo por asociación de cada uno de los poliedros regulares con los elementos fundamentales: agua, aire, tierra y fuego.

El nombre que recibe cada poliedro depende del número de caras que presente. Se utilizan para ello prefijos numerales de origen griego y la terminación *–aedro* (que significa “plano o cara”). Por ejemplo, el cubo también se llama hexaedro porque tiene 6 caras. No obstante, muchos poliedros tienen sus nombres propios, como el prisma o la pirámide.

Poliedros irregulares

Los poliedros irregulares pueden presentar diferentes formas. En estos poliedros, el número de caras no presenta límites como ocurre con los poliedros regulares. Los poliedros irregulares más comunes son los prismas, las pirámides y todas sus variedades

Prismas: son poliedros limitados por dos bases que son polígonos iguales y por caras laterales que son paralelogramos. Ellos se nombran de acuerdo al polígono de la base. Así puedes encontrar:

Prisma triangular	Prisma cuadrangular	Prisma pentagonal	Prisma hexagonal

Triángulos como bases.	Cuadrados como bases.	Pentágonos como bases.	Hexágonos como bases.

VER INFOGRAFÍA

Pirámides: son poliedros que tienen una sola base conformada por un polígono y por caras laterales de triángulos con un vértice común. Al igual que los prismas, se nombran por el polígono de la base.

Pirámide triangular	Pirámide cuadrangular	Pirámide pentagonal	Pirámide hexagonal

Triángulo como base.	Cuadrado como base.	Pentágono como base.	Hexágono como base.

¡Construyamos poliedros!

Los poliedros son cuerpos geométricos, esto quiere decir que son tridimensionales y puedes construirlos fácilmente con pocos materiales.

Para construir un cubo necesitarás:

Tijeras.
Regla.
Cartón o un papel duro.
Pegamento.

Copia esta plantilla en el papel. Luego recortalo y realizar pliegues en las líneas. Los cuadrados quedarán como caras del poliedro y las pequeñas solapas servirán para unir la figura. En esas solapas debes colocar pegamento, para unirlas con las caras correspondientes. Quedará formado un cubo, similar al de la imagen. Será útil, por ejemplo, para hacer tus propios dados.

Para construir un tetraedro sigue los mismos pasos. Esta es la plantilla:

Para construir un octaedro sigue los mismos pasos. Esta es la plantilla:

Para construir un dodecaedro sigue los mismos pasos. Esta es la plantilla:

Para construir un icosaedro sigue los mismos pasos. Esta es la plantilla:

Poliedros en la vida cotidiana

En la vida cotidiana puedes encontrar continuamente poliedros. A lo largo de la historia, dos ejemplos de ellos se han vuelto mundialmente reconocidos: el cubo de Rubik y las pirámides de Egipto. Estas últimas son poliedros piramidales triangulares, cuya base es un polígono cualquiera y sus caras son triángulos con un vértice común.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Poliedro irregulares”

En este artículo encontrarás el desarrollo teórico para ahondar en las características propias de los poliedros irregulares.

VER

CAPÍTULO 4 / TEMA 1

EL PUNTO Y LA LÍNEA

OBSERVA LOS OBJETOS QUE TE RODEAN, ES PROBABLE QUE NO TE HAYAS DADO CUENTA PERO TODOS ESTÁN COMPUESTOS POR LÍNEAS, Y ESTAS, A SU VEZ, POR UNA SUCESIÓN DE PUNTOS. SEGÚN LA DIRECCIÓN QUE TOMEN ESTOS PUNTOS LAS LÍNEAS PUEDEN SER RECTAS O CURVAS.

¿QUÉ ES EL PUNTO?

EL PUNTO ES ENTE FUNDAMENTAL DE LA GEOMETRÍA, NO TIENE LONGITUD, NO TIENE ÁREA Y NO TIENE DIMENSIÓN. EL PUNTO ES SOLO UNA POSICIÓN EN EL ESPACIO. PODEMOS IDENTIFICAR LOS PUNTOS CON UNA LETRA MAYÚSCULA.

– EJEMPLO:

OBSERVA LA CUADRÍCULA, ¿CUÁNTOS PUNTOS HAY?

A, B, C, D, E, F Y G SON PUNTOS. HAY 7 PUNTOS.

LAS LÍNEAS Y SUS TIPOS

LA LÍNEA ES UNA SUCESIÓN DE INFINITOS PUNTOS. UNA LÍNEA SE ASEMEJA A UNA CUERDA QUE PUEDE SER RECTA O CURVA, ABIERTA O CERRADA PERO QUE ESTÁ FORMADA POR PUNTOS MUY PEQUEÑOS Y JUNTOS. LAS LÍNEAS TIENEN UNA DIMENSIÓN: LA LONGITUD.

SUCESIÓN DE PUNTOS	LÍNEA

TIPOS DE LÍNEAS

EXISTEN DOS TIPOS DE LÍNEAS QUE EXPRESAN SU FORMA:

LÍNEA RECTA: ES LA LÍNEA CUYOS PUNTOS ESTÁN ALINEADOS EN UNA MISMA DIRECCIÓN.

LÍNEA CURVA: ES LA LÍNEA CUYOS PUNTOS NO ESTÁN ALINEADOS EN UNA MISMA DIRECCIÓN. EXISTEN DOS TIPOS DE LÍNEAS CURVAS, LAS ABIERTAS, EN LAS QUE SU INICIO Y SU FINAL NO COINCIDEN, Y LAS CERRADAS, EN LAS QUE SU INICIO Y FINAL SÍ COINCIDEN.

ESTAS SON LÍNEAS CURVAS ABIERTAS.

ESTAS SON LÍNEAS CURVAS CERRADAS.

LÍNEA POLIGONAL: ES LA COMBINACIÓN DE LÍNEAS RECTAS QUE EN UN DETERMINADO PUNTO CAMBIAN DE DIRECCIÓN. EXISTEN DOS TIPOS DE LÍNEAS POLIGONALES, LAS ABIERTAS, EN LAS QUE SU INICIO Y SU FINAL NO COINCIDEN, Y LAS CERRADAS, EN LAS QUE SU INICIO Y FINAL SÍ COINCIDEN.

ESTAS SON LÍNEAS POLIGONALES ABIERTAS.

ESTAS SON LÍNEAS POLIGONALES CERRADAS.

¿SABÍAS QUÉ?

USAMOS UNA LÍNEA PARA REPRESENTAR LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.

¿QUÉ ES UN SEGMENTO?

ES UNA LÍNEA RECTA LIMITADA POR DOS PUNTOS. EN LA IMAGEN HAY TRES SEGMENTOS: AB, CD Y FE.

¡IDENTIFIQUEMOS LÍNEAS!

OBSERVA ESTE DIBUJO, ¿QUÉ TIPO DE LÍNEAS PUEDES VER?

SOLUCIÓN

HAY MUCHAS LÍNEAS MÁS. ¡DESCÚBRELAS!

LAS LÍNEAS RECTAS SE EXTIENDEN EN UNA MISMA DIRECCIÓN, ES COMÚN VERLAS EN LOS BORDES DE LAS PANTALLAS DE NUESTROS TELÉFONOS MÓVILES, ASÍ COMO EN LAS SILUETAS DE MUCHAS FIGURAS GEOMÉTRICAS. LAS LÍNEAS RECTAS SON MUY USADAS EN EL SECTOR DE TRANSPORTES, PUES LAS VEMOS EN LOS RIELES DE LOS TRENES, EN LOS PASOS PEATONES, EN LAS CICLOVÍAS Y EN LAS CARRETERAS.

CONSTRUCCIÓN DE LOS DIFERENTES TIPOS DE LÍNEAS

PARA EL TRAZADO Y CONSTRUCCIÓN DE LAS DIFERENTES LÍNEAS DEBEMOS UTILIZAR ELEMENTOS GEOMÉTRICOS, COMO POR EJEMPLO, UNA REGLA O UNA ESCUADRA.

PARA CONSTRUIR LÍNEAS RECTAS O POLIGONALES BASTA CON USAR UNA REGLA O ESCUADRA PARA REALIZAR LOS TRAZOS. EN CAMBIO, SI QUIERES DIBUJAR UNA LÍNEA CURVA NO NECESITAS INSTRUMENTOS ADEMÁS DE TU LÁPIZ. RECUERDA QUE SI QUIERE DIBUJAR ALGUNA LÍNEA ABIERTA, EL PUNTO DE FINAL Y EL PUNTO DE INICIO NO DEBEN COINCIDIR, ES DECIR, DEBEN ESTAR SEPARADOS.

¡A PRACTICAR!

1. IDENTIFICA LAS SIGUIENTES LÍNEAS:

SOLUCIÓN

LÍNEA POLIGONAL CERRADA.
LÍNEA RECTA.
LÍNEA CURVA CERRADA.
LÍNEA POLIGONAL ABIERTA.
LÍNEA CURVA ABIERTA.

2. TRAZA LAS SIGUIENTES LÍNEAS:

UNA LÍNEA ROJA RECTA.
UNA LÍNEA VERDE POLIGONAL ABIERTA,
UNA LÍNEA AMARILLA CURVA ABIERTA.
UNA LÍNEA MORADA POLIGONAL CERRADA.

SOLUCIÓN

3. OBSERVA LA IMAGEN, IDENTIFICA LAS LÍNEAS QUE VES.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “El punto, la recta y el plano”

En el siguiente artículo hay información extra para ampliar los conceptos principales de la geometría.

VER

CAPÍTULO 4 / TEMA 2

CUERPOS GEOMÉTRICOS

Los cuerpos geométricos ocupan un lugar en el espacio y poseen tres dimensiones: alto, largo y ancho. Un ejemplo de esto son los dados, los cuales tienen forma de cubo; o una pelota de fútbol, que tiene forma de esfera. Si miras a tu alrededor, es posible que encuentres diferentes cuerpos geométricos con los que interactúas todos los días.

cuerpos geométricos y sus tipos

Existen dos tipos de cuerpos geométricos: los poliedros y los cuerpos redondos.

Los poliedros tienen todas sus caras planas y no pueden rodar. Entre los poliedros más conocidos encontramos:

VER INFOGRAFÍA

Pirámides de Egipto

Las pirámides de Egipto fueron construidas hace miles de años por el primer arquitecto reconocido en la historia: Imhotep. Estos increíbles monumentos servían como tumba para los faraones y fueron construidos en forma de pirámide cuadrangular porque simbolizan los rayos del Sol. Creían que, de esta manera, el alma de los faraones iría directo al cielo.

Los cuerpos redondos están formados por una cara en forma curva y pueden rodar. Encontramos los siguientes:

¿Sabías qué?

El Sol es la esfera más perfecta que se ha observado hasta el momento. Si esta esfera estuviese, vacía necesitaríamos un millón de planetas Tierra para llenarla.

elementos de los cuerpos geométricos

Los elementos de un cuerpo geométrico son: caras, aristas y vértices.

Caras: son figuras planas que rodean el cuerpo geométrico. Las caras de las bases sirven para apoyarse en el plano.
Aristas: son las uniones entre dos caras de un cuerpo.
Vértices: son los puntos de unión de tres o más aristas.

Atomium

Es una de las construcciones más impresionantes de Bruselas y fue construida para la exposición universal de 1958. Está construido por 9 esferas y su diseño completo tiene forma de cubo. En la esfera más alta los visitantes pueden conocer el restaurante circular y una de las vistas panorámicas más grandiosas de la ciudad. Una de las esferas tiene una exposición con los detalles de su construcción, mientras que otra está dedicada a juegos interactivos para niños.

¡Observa y responde!

¿Qué elementos de la imagen son cuerpos redondos?
Solución
La lata de gaseosa, la Tierra y el cono de tránsito.
¿Qué elementos son poliedros?
Solución
La caja de cereal, la pirámide y la caja marrón.
¿Cómo se llama el cuerpo geométrico representado por la lata de gaseosa?
Solución
Cilindro.
¿Cómo se llama el cuerpo geométrico representado por la caja marrón?
Solución
Cubo.
¿Qué forma tiene la base de la pirámide?
Solución
Cuadrangular.
¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene esta pirámide?
Solución
5 caras, 5 vértices y 8 aristas.
¿Qué cuerpo geométrico es la Tierra?
Solución
Una esfera.
¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene la caja de cereales?
Solución
6 caras, 8 vértice y 12 aristas.
¿Qué cuerpo geométrico representa la caja de cereal?
Solución
Un prisma cuadrangular.

construcción de cuerpos geométricos

Podemos dibujar figuras planas como el triángulo en una hoja con las herramientas de geometría, pero para construir un cuerpo geométrico necesitamos dibujar con perspectiva, ya que estos cuerpos tienen profundidad. Veremos que los diagramas nos ayudarán a identificar las características que tiene cada cuerpo geométrico.

¿Qué podemos observar en este diagrama? ¿Qué cuerpo geométrico será? Como vemos, está formado por triángulos que son las caras del cuerpo. El triángulo que se encuentra en el medio es la base de la figura y el resto serán las caras laterales. El cuerpo geométrico que cumple con estas características es la pirámide triangular.

¡A practicar!

Observa las características del diagrama, ¿qué cuerpo geométrico se forma?
Solución
Un cono.
Observa las características del diagrama, ¿qué cuerpo geométrico se forma?
Solución
Una pirámide cuadrangular.
Observa las características del diagrama, ¿qué cuerpo geométrico se forma?
Solución
Un cubo.

Relación de los cuerpos geométricos y las figuras planas

Las caras de los cuerpos geométricos están formadas por figuras planas. Si observamos una caja de zapatos con la tapa al frente, notaremos que la figura plana es un rectángulo. ¿Qué pasará con la forma de las caras si la apoyamos en la mesa?

La forma de las caras también son rectángulos, entonces, la caja en forma de prisma con caras rectangulares está relacionada directamente con la figura plana llamada rectángulo.

Pirámide del Louvre

El museo de Louvre en París es uno de los museos más importantes de Francia y en su entrada se encuentra una pirámide de cristal, justo en el patio del palacio y en frente al jardín de las Tullerías. La diseñó Ieoh Ming Pei y tiene las mismas medidas que la pirámide de Keops ubicada en Egipto. Este monumento con forma de pirámide cuadrangular posee todas sus caras triangulares cubiertas por 673 placas de vidrio con formas de triángulos y rombos.

¡Cuenta caras, vértices y aristas!

Observa el siguiente cuerpo geométrico. ¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene?
Solución
7 caras, 10 vértices y 15 aristas.
Observa el siguiente cuerpo geométrico. ¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene?
Solución
7 caras, 8 vértices y 12 aristas.

Observa el siguiente cuerpo geométrico. ¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene?
Solución
8 caras, 12 vértices y 18 aristas.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Prismas”

Este recurso le permitirá obtener más información sobre los prismas y sus características.

VER

Artículo “Cuerpos redondos. Áreas y volúmenes.”

Este artículo le permitirá profundizar sobre la manera en que se generan los cuerpos de redondos y las características de los mismos.

VER