Etiqueta: leonardo

CAPÍTULO 3 / TEMA 1

¿Qué son las fracciones?

Las fracciones, a diferencia de los números enteros, permiten expresar proporciones de algo. Son útiles en la vida cotidiana y se usan con más frecuencia de lo que piensas. Frases como “un cuarto de kilo” o “un tercio de taza” son algunos ejemplos. En matemática son tan relevantes que forman su propio conjunto de números: los racionales. 

Partes de una fracción

Una fracción resulta de dividir un número entero en partes iguales. En matemática es representada por dos números enteros ,denominados términos, que están separados por una línea horizontal, denominada raya de división o raya fraccionaria.

Los números que componen a una fracción se denominan numerador y denominador. El primero está ubicado en la parte superior de la raya de división y el segundo está en la parte inferior de esta. El numerador indica el número de partes que se han tomado de un entero, mientras que el denominador representa el número de partes en que se ha dividido el entero.

 

Podemos expresar las fracciones con una línea divisoria horizontal o diagonal. En este sentido, a la fracción \frac{1}{2} también la podríamos expresar como 1/2.

Para entender el significado de la fracción anterior imaginemos que una pizza representa el “todo”, es decir, sería el entero que queremos dividir, el denominador de una fracción representa el número de partes que se ha dividido el entero, lo que nos permite concluir que la pizza se ha dividido en dos parte. Por otro lado, el numerador representa el número de partes que se ha tomado, en este ejemplo es 1, lo que quiere decir que 1/2 de pizza sería una de las dos porciones de la pizza.

La expresión 1/2 de pizza sería lo mismo que dividir la pizza en dos partes iguales y tomar una de esas partes. En la cocina se emplean fracciones para hablar de unidades de medición como tazas de ingrediente, por ejemplo: 1/2 de taza de harina, 1/3 de taza de agua, etc. Recuerda que el denominador indica cuántas veces se ha dividido algo en partes iguales (una taza, un litro, una naranja…).
¿Sabías qué?
El denominador de una fracción nunca es igual a cero (0).

VER INFOGRAFÍA

Lectura de fracciones

Como ya sabemos, el denominador indica en cuántas partes se dividió un número entero. Cada una de esas partes recibe un nombre, por ejemplo, si dividimos en dos son medios, si dividimos en tres son tercios, si dividimos en cuatro son cuartos y así hasta el número once, a partir de ese número añadimos el sufijo –avos al número: onceavos, doceavos, treceavos y así sucesivamente.

Esta tabla muestra el nombre de cada una de las partes en las que se puede dividir un entero hasta el cien:

Partes que se divide del entero Nombre
2 Medios
3 Tercios
4 Cuartos
5 Quintos
6 Sextos
7 Séptimos
8 Octavos
9 Novenos
10 Décimos
11 Onceavos
12 Doceavos
13 Treceavos
14 Catorceavos
15 Quinceavos
16 Dieciseisavos
17 Diecisieteavos
18 Dieciochoavos
19 Diecinueveavos
20 Veinteavos
30 Treintavos
40 Cuarentavos
50 Cincuentavos
60 Sesentavos
70 Setentavos
80 Ochentavos
90 Noventavos
100 Centavo

Para leer una fracción primero indicamos el número del numerador y luego las partes en las que está dividido el entero de acuerdo a la tabla anterior. Por ejemplo, \frac{}{}\frac{1}{2} se lee como “un medio”. Observemos otros ejemplos:

a) \frac{2}{3} se lee “dos tercios”.

b) \frac{6}{8} se lee “seis octavos”.

c) \frac{15}{30} se lee “quince treintavos”.

d) \frac{12}{23} se lee “doce veintitresavos”.

e) \frac{32}{40} se lee “treinta y dos cuarentavos”.

f) \frac{97}{100} se lee “noventa y siete centavos”.

¿Sabías qué?
Los centavos también son llamados céntimos.

Origen muy antiguo

Las antiguas civilizaciones como la babilónica, la egipcia y la griega usaban las fracciones en sus cálculos. Cada una tenía una manera particular de expresarlas y no fue sino hasta el siglo XIII cuando el matemático italiano Leonardo Fibonacci difundió el uso de la línea horizontal, símbolo que se emplea en la actualidad para separar el numerador y denominador en una fracción.

Relación de las fracciones y la división

Las fracciones representan porciones de un todo, es por ello que de alguna manera están estrechamente relacionadas con la división. De hecho, toda fracción es una división sin resolver, es decir; \frac{a}{b} es equivalente a a\div b. Por lo tanto, \frac{1}{2} es igual a 1\div 2.

En algunas ocasiones podemos expresar operaciones en forma de fracción, pero también podemos hacerlo como división y resolver la misma.

¿Sabías qué?
Existen fracciones que están formadas por una parte entera y una fraccionaria, a ellas se las conoce como fracciones mixtas.

Aplicación en la vida cotidiana de las fracciones

El ser humano siempre ha tenido la necesidad de contar, medir y repartir; razón por la que inventó los números. Las fracciones no están lejos de esta realidad y son usadas para entender porciones de cosas.

Están presentes en recetas de cocinas, en mediciones de telas y de volúmenes de productos (como en las gaseosas de medio litro o 1/2 L). Hay autos donde los indicadores del nivel de gasolina son expresados en fracciones para saber si el tanque está lleno, tiene la mitad o un cuarto de su capacidada.

Incluso, están presentes en algunas monedas como el dólar, donde existe una denominación llamada “centavo de dólar”, es decir, si el valor de un dólar lo pudiéramos dividir en 100 partes iguales, una de esas partes sería el centavo.

En resumen, las fracciones permiten expresar cantidades cotidianas de manera más sencilla.

Además de sus múltiples aplicaciones en los cálculos matemáticos, las fracciones se emplean en situaciones cotidianas de la vida como lo son las mediciones. También se usan en gráficos que permiten comprender datos de manera más simple. Muchos países del mundo las emplean en sus monedas y ciertos dispositivos usan escalas expresadas en fracciones.
¡A practicar!

1. ¿Cómo se leen las siguientes fracciones?

a) \frac{5}{3}

Solución
Cinco tercios.

b) \frac{1}{100}

Solución
Un centavo.

c) \frac{23}{40}

Solución
Veintitrés cuarentavos.

d) \frac{3}{2}

Solución
Tres medios.

e) \frac{2}{5}

Solución
Dos quintos.

f) \frac{12}{11}

Solución
Doce onceavos.

g) \frac{7}{10}

Solución
Siete décimos.

h) \frac{11}{6}

Solución
Once sextos.

i) \frac{13}{4}

Solución
Trece cuartos.

j) \frac{58}{7}

Solución
Cincuenta y ocho séptimos.

2. ¿Cómo se escriben en número estas fracciones?

a) Nueve décimos.

Solución
\frac{9}{10}

b) Catorce novenos.

Solución
\frac{14}{9}

c) Setenta y tres centavos.

Solución
\frac{73}{100}

d) Ochenta y ocho novenos.

Solución
\frac{88}{9}

RECURSOS PARA DOCENTES

Video “Fracciones decimales”

Este video ayuda a entender la relación entre las fracciones y los números decimales así como la manera en transformar una fracción en decimal.

VER

Artículo “La clasificación de los números”

El presente artículo permite indagar más sobre los diferentes tipos de números y sus características principales.

VER

Enciclopedia “Matemáticas Primaria”

En el presente tomo de la Enciclopedia Matemáticas Primaria tendrás acceso a información más detallada sobre las fracciones, así como la posibilidad de obtener diferentes recursos educativos sobre este tema.

VER

CAPÍTULO 1 / TEMA 5

SeCUENCIAS

Al contar los números naturales, ya sea de 1 en 1, 2 en 2, o de 5 en 5, se aplican secuencias de números ordenados que se rigen por ciertas reglas, de manera que cumplen con un orden establecido. Una de las más conocidas es la sucesión de Fibonacci, pero las secuencias pueden ser de varios tipos: finitas o infinas, ascendentes o descendentes.

SeCUENCIAS con figuras

Una secuencia es un conjunto de elementos que están relacionadas entre sí y que se encuentran ordenadas según un criterio.

En las secuencias ordenadas en función de un patrón de figuras, se observa que los objetos están organizados de acuerdo a uno o más atributos. Algunos ejemplos son:

  • Por tamaño:

  • Por color:

  • Por forma:

  • También pueden contener imágenes y patrones más complejos:

El orden de una secuencia numérica no siempre es el mismo, por ejemplo, los elementos pueden estar ordenados de forma ascendente, de manera alternada o de manera decreciente.

Partes de una secuencia numérica

Una de las primeras secuencias que la mayoría de las personas aprende es la secuencia de los números naturales y se expresa de la siguiente forma: \mathbb{N} = {1, 2, 3, 4 ,…} en donde cada uno de los números denominados elementos, se encuentran ordenados de 1 en 1. Los tres puntos suspensivos al final de la secuencia indican que los números continúan.

Las secuencias pueden ser infinitas, como pasa con los números naturales, que siguen la secuencia de manera ilimitada, y también pueden ser finitas como sucede con la secuencia de las vocales: {a, e, i, o, u}.

¿Sabías qué?
Las secuencias numéricas permiten desarrollar el razonamiento matemático.

Secuencias ascendentes y descendentes

– Secuencias ascendentes

Las secuencias numéricas tienen una regla que permite determinar el valor de cada término o elemento de la misma. Por ejemplo, cuando se cuentan los números de 2 en 2, en realidad se incrementan 2 números por cada elemento, es decir, la regla en este caso sería sumar 2 a cada elemento:

En la imagen se puede observar como cada elemento de la secuencia se incrementa por 2, esto significa que es una secuencia ascendente porque todos sus elementos van en aumento, por lo tanto, cada número es mayor que el anterior. Si a 2 se le suma 2, el resultado es 4 y si a este número se le suma 2 el resultado es 6, y así sucesivamente. En este caso, la secuencia numérica se representa como: {2, 4, 6, 8, …}.

– Secuencia descendente

Las secuencias descendentes, en cambio, se desarrollan en forma regresiva y cada número es menor que el anterior. En la siguiente imagen se puede observar un ejemplo de secuencia descendente:

La regla en esta secuencia descendente es restar 3 a cada número, de manera que es fácil calcular el número a continuación del 9, para ello realizamos la regla: 9 – 3 = 6, así, el número siguiente a 9 en esta secuencia es 6.

¿Sabías qué?
Hay secuencias ascendentes cuya regla consiste en multiplicar un número a cada elemento y secuencias descendentes donde se divide un número a cada elemento.

Números de Fibonacci

Son conocidos también como secuencia de Fibonacci. Su nombre proviene de quien la describió por primera vez en Europa: el matemático italiano Leonardo Fibonacci. Es una secuencia en la cual el número siguiente se obtiene al sumar los dos números anteriores a este y se detalla a continuación {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 ,…}. En la secuencia se puede observar que, por ejemplo, los dos números anteriores al 13 son el 5 y el 8, que al sumarlos dan como resultado al número siguiente: 5 + 8 = 13. Esto se cumple para todos los números de la secuencia.

VER INFOGRAFÍA

Divisiones y restas sucesivas

Antes de comenzar con este tema es importante recordar que multiplicar es lo mismo que sumar muchas veces el mismo número, por ejemplo:

4 x 3 = 12   es igual a   4 + 4 + 4= 12

Esto se debe a que la multiplicación está muy relacionada con la adición. Algo similar sucede con la división, la cual guarda relación con la resta. Por ejemplo, si se tiene la división 12 ÷ 3, hay que restarle 3 a 12 tantas veces como sea posible:

Al observar la imagen se razona que 12 fue restado 4 veces por el número 3. De esta manera se tiene que 12 ÷ 3 = 4.

Pasos para dividir a través de restas sucesivas

Las divisiones pueden realizarse a través de restas sucesivas de la siguiente manera:

  1. Resta el divisor al dividendo tantas veces como sea posible. Hazlo hasta que el resultado sea 0 o un número menor al divisor.
  2. Se cuenta el número de veces que se restó el divisor.
  3. El cociente de la división será igual al número de veces que se restó el divisor y el resto será igual al último número que dio como resultado la resta.

Otro ejemplo:

– Resuelve la división 30 ÷ 5

Se resuelve a través de los pasos anteriores, para simplificar se sugiere utilizar una tabla similar a esta:

El resultado es 30 ÷ 5 = 6, y se trata de una división exacta porque el resto es igual a 0.

A continuación se muestra otro ejemplo de división pero en este caso es inexacta:

En el ejercicio anterior 27 ÷ 4 = 6 pero existe un resto igual a 3, como 3 es menor que el divisor no se puede continuar las restas en este método.

Ejercicios

  1. Completa las siguientes oraciones:
    a. En las secuencias ________ todos sus elementos van en aumento.
    Solución
    ascendentes
    b. La secuencia {25, 20, 15, 10 , …} es una secuencia ______.
    Solución
    descendente
    c. Las divisiones pueden calcularse con el método de ______.
    Solución
    restas sucesivas
  2. Completa las siguientes secuencias numéricas:
    a. {50, 40, ___, 20, …}
    Solución
    30
    b. {12, ___, 8, 6, …}
    Solución
    10
    c) {15, 30, ___, 60, 75, …}
    Solución
    45
    d) { ___, 5.000, 4.000, 3.000, 2.000, …}
    Solución
    6.000
  3. Resuelve las siguientes divisiones a través de restas sucesivas
    a. 20 ÷ 5
    b. 24 ÷ 6
    c. 16 ÷ 5
    d. 20 ÷ 3
    Solución
RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Sucesiones y series”

El siguiente artículo explica la diferencia entre una serie y una sucesión:

VER

Video “Aprendiendo restas por descomposición” 

El video muestra cómo realizar restas por descomposición que el docente puede emplear para relacionar la secuencias de sistema decimal con las secuencias numéricas estudiadas.

VER