CAPÍTULO 1 / TEMA 6 (REVISIÓN)

SISTEMAS NUMÉRICOS | ¿QUÉ APRENDIMOS?

¿QUÉ SON LOS NÚMEROS?

LOS NÚMEROS SON EXPRESIONES GRÁFICAS DE UNA CANTIDAD. GRACIAS A ELLOS CONTAMOS JUGUETES, HORAS O EDADES. A LO LARGO DE LA HISTORIA LOS SERES HUMANOS HAN UTILIZADO DIFERENTES RECURSOS COMO PALOS Y PIEDRAS PARA CONTAR, HASTA LLEGAR A UTILIZAR LOS SÍMBOLOS DE LOS NÚMEROS TAL COMO LOS CONOCEMOS HOY: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Y 9.

LOS NÚMEROS SON NECESARIOS PARA EL HOMBRE PORQUE NOS PERMITEN LLEVAR A CABO UNA TAREA DIARIA: CONTAR.

TIPOS DE NÚMEROS

POR LO GENERAL UTILIZAMOS DOS TIPOS DE NÚMEROS: LOS CARDINALES, QUE NOS SIRVEN PARA INDICAR UNA CANTIDAD DE ELEMENTOS, Y LOS ORDINALES, QUE USAMOS PARA EXPRESAR EL ORDEN O LA POSICIÓN DE UN ELEMENTO DENTRO DE UN GRUPO. LOS NÚMEROS ROMANOS FUERON INVENTADOS MUCHO ANTES DE LOS NÚMEROS QUE USAMOS HOY DÍA, SIN EMBARGO, SU USO HA PERDURADO EN LA HISTORIA Y ES POSIBLE VERLOS EN LOS NOMBRES DE PAPAS, LA NUMERACIÓN DE LAS OLIMPÍADAS DEPORTIVAS O ALGUNOS RELOJES ANTIGUOS.

LOS NÚMEROS ROMANOS SE REPRESENTAN CON SÍMBOLOS PARECIDOS A ALGUNAS DE NUESTRAS LETRAS MAYÚSCULAS.

SERIES Y RELACIONES

UNA SERIE ES UNA SUCESIÓN DE NÚMEROS QUE SIGUEN UN PATRÓN O REGLA. ESTAS SERIES PUEDEN SER DE OBJETOS, FIGURAS O NÚMEROS Y PUEDEN SER ASCENDENTES O DESCENDENTES. LAS SERIES ASCENDENTES SON LAS QUE VAN DE MENOR A MAYOR, POR EJEMPLO, CUANDO CONTAMOS LA CANTIDAD DE LÁPICES QUE TENEMOS: 1, 2, 3, …POR OTRO LADO, LAS SERIES DESCENDENTES SON LAS QUE VAN DE MAYOR A MENOR, COMO CUANDO CONTAMOS LOS SEGUNDOS PARA EL AÑOS NUEVO: 5, 4, 3, 2, 1.

CUANDO CONTAMOS DE 1 EN 1 CREAMOS UNA SERIE NUMÉRICA ASCENDENTE PORQUE CADA NÚMERO TIENE UNA UNIDAD MÁS QUE EL ANTERIOR.

NÚMEROS NATURALES

LOS NÚMEROS NATURALES SON AQUELLOS QUE NOS PERMITEN CONTAR LOS ELEMENTOS DE UN CONJUNTO. CUANDO TIENEN MÁS DE UN DÍGITO, EL VALOR DE CADA UNO DEPENDE DE LA UBICACIÓN DENTRO DEL NÚMERO: SEGÚN SU POSICIÓN PODRÁ OCUPAR EL LUGAR DE LAS UNIDADES, LAS DECENAS O LAS CENTENAS. LOS NÚMEROS NATURALES SE PUEDEN EXPRESAR SIEMPRE COMO EL RESULTADO DE UNA SUMA POR MEDIO DE SU DESCOMPOSICIÓN ADITIVA.

CONJUNTOS

UN CONJUNTO ES UNA COLECCIÓN DE OBJETOS A LOS QUE LLAMAMOS ELEMENTOS. PARA PODER SER ELEMENTOS DE UN MISMO CONJUNTO, TODOS DEBEN TENER ALGUNA CARACTERÍSTICA EN COMÚN QUE NOS PERMITA AGRUPARLOS, POR EJEMPLO, EL CONJUNTO DE LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS ESTARÍA CONFORMADO POR CÍRCULOS, TRIÁNGULOS, CUADRADOS Y RECTÁNGULOS. SI UN ELEMENTO POSEE ESA CARACTERÍSTICA COMÚN CON LOS OTROS OBJETOS SE DICE QUE PERTENECE AL CONJUNTO, SI NO POSEE ESA CARACTERÍSTICA EN COMÚN SE DICE QUE NO PERTENECE AL CONJUNTO.

AUNQUE EN LA IMAGEN VEMOS ELEMENTOS DISTINTOS, COMO ANIMALES, ALIMENTOS Y FIGURAS, TODOS TIENEN ALGO EN COMÚN: SON DE COLOR VERDE, POR LO TANTO, FORMAN UN CONJUNTO.

CAPÍTULO 1 / TEMA 3

SERIES Y RELACIONES

UNA SERIE ES UNA SUCESIÓN DE ELEMENTOS O NÚMEROS QUE SIGUEN UNA REGLA O PATRÓN. CREAMOS SERIES CADA VEZ QUE ORGANIZAMOS NUESTROS CRAYONES POR COLOR, HACEMOS FILA EN LA ESCUELA POR ESTATURA, O CONTAMOS CON NUESTROS DEDOS. COMO VES, LAS SERIES ESTÁN EN CADA ASPECTO DE NUESTRO DÍA A DÍA.

SERIES Y PATRONES

OBSERVA ESTA IMAGEN, ¿QUÉ FIGURAS VES?, ¿TIENEN UN ORDEN PARTICULAR?

HAY CÍRCULOS Y TRIÁNGULOS. SÍ TIENEN UN ORDEN: HAY UN CÍRCULO AZUL Y LUEGO UN TRIÁNGULO AMARILLO, DESPUÉS VIENE OTRO CÍRCULO AZUL Y OTRO TRIÁNGULO AMARILLO. ESTE ES UN EJEMPLO DE SERIE.

UNA SERIE ES UNA SECUENCIA DE ELEMENTOS QUE SIGUEN UNA REGLA QUE LLAMAMOS PATRÓN.

– EJEMPLO:

OBSERVA ESTA SERIE, ¿CUÁL ES EL PATRÓN?

PARA IDENTIFICAR EL PATRÓN VEMOS FIGURA POR FIGURA:

PRIMERO: SOL
SEGUNDO: CÍRCULO
TERCERO: TRIÁNGULO

DESPUÉS SE REPITEN LAS MISMAS FIGURAS, ASÍ QUE EL PATRÓN ES SOL-CÍRCULO-TRIÁNGULO.

– OTRO EJEMPLO:

OBSERVA ESTA IMAGEN, ¿CUÁL ES EL PATRÓN?

EL PATRÓN ES CUADRADO-TRIÁNGULO-CÍRCULO.

SERIES NUMÉRICAS

LAS SERIES NO SOLO SE PUEDEN HACER CON OBJETOS Y FIGURAS, TAMBIÉN LAS PODEMOS CREAR CON NÚMEROS. DE HECHO, CADA VEZ QUE CONTAMOS DE 1 EN 1 HACEMOS UNA SERIE NUMÉRICA CON UN PATRÓN IGUAL A +1, PUES CADA NÚMERO ES UNA UNIDAD MAYOR AL ANTERIOR.

SERIES ASCENDENTES Y DESCENDENTES

LAS SERIES PUEDEN IR DE MAYOR A MENOR O DE MENOR A MAYOR.

SERIES ASCENDENTES

CUANDO EN LA SERIE UBICAMOS ELEMENTOS CON PATRONES QUE VAN DE MENOR A MAYOR, DECIMOS LA QUE LA SERIE ES ASCENDENTE. POR EJEMPLO:

ESTA ES UNA SERIE DE FIGURAS GEOMÉTRICAS. LA PRIMERA TIENE 3 LADOS, LA SEGUNDA TIENE 4 LADOS, LAS TERCERA TIENE 5 LADOS Y LA CUARTA FIGURA TIENE 6 LADOS. ASÍ QUE EL PATRÓN ES + 1 LADO.

TAMBIÉN SUCEDE CON LOS NÚMEROS, POR EJEMPLO:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

ESTA ES UNA SERIE NUMÉRICA ASCENDENTE PORQUE CADA NÚMERO ES MAYOR AL ANTERIOR Y EL PATRÓN ES + 1.

SERIE DESCENDENTE

CUANDO EN LA SERIE UBICAMOS ELEMENTOS CON PATRONES QUE VAN DE MAYOR A MENOR, DECIMOS LA QUE LA SERIE ES DESCENDENTE. POR EJEMPLO:

ESTA ES UNA SERIE DE RECTÁNGULOS EN LOS QUE CADA UNO ES MÁS PEQUEÑO EN TAMAÑO QUE EL ANTERIOR. EL SEGUNDO DE IZQUIERDA A DERECHA ES MÁS PEQUEÑO QUE EL ANTERIOR, EL TERCERO MÁS PEQUEÑO QUE LOS ANTERIORES, Y ASÍ SUCESIVAMENTE.

TAMBIÉN HAY SERIES NUMÉRICAS DESCENDENTES, POR EJEMPLO:

15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

ESTA ES UNA SERIE NUMÉRICA DESCENDENTE PORQUE CADA NÚMERO ES MENOR AL ANTERIOR Y EL PATRÓN ES − 1.

¡ES TU TURNO!

OBSERVA ESTAS SERIES, ¿CUÁL ES EL PATRÓN?

SOLUCIÓN

PATRÓN: CÍRCULO AZUL-CÍRCULO ROJO

SOLUCIÓN

PATRÓN: TRIÁNGULO-SOL-CUADRADO

TODOS LOS NÚMEROS TIENEN UN ORDEN, Y EN SU FUNCIÓN DE REPRESENTAR CANTIDADES, HAY UNOS QUE SON MAYORES QUE OTROS. SI TENEMOS QUE AGRUPAR FIGURAS, NOS DAMOS CUENTA QUE 4 ES MAYOR QUE 2; 5 ES MAYOR QUE 2; 3 ES MENOR QUE 4; O 3 ES MENOR QUE 5. ESTAS RELACIONES LAS MOSTRAMOS CON SIGNOS DE RELACIÓN COMO MENOR QUE “<” O MAYOR QUE “>”.

RELACIONES DE MENOR Y MAYOR QUE

OBSERVA ESTA IMAGEN, ¿CUÁL ÁRBOL TIENE MAYOR ALTURA?

EL ÁRBOL DE LA DERECHA TIENE UNA ALTURA MAYOR QUE EL DE LA IZQUIERDA.

LO MISMO SUCEDE CON LOS NÚMEROS Y PARA ESO USAMOS LOS SIGNOS DE RELACIÓN < Y >.

MENOR QUE “< “

CON ESTE SÍMBOLO < INDICAMOS QUE EL NÚMERO DE LA IZQUIERDA ES MENOR QUE EL DE LA DERECHA. POR EJEMPLO:

3 < 5 SE LEE “TRES ES MENOR QUE CINCO”.
8 < 10 SE LEE “OCHO ES MENOR QUE DIEZ”.
1 < 9 SE LEE “UNO ES MENOR QUE NUEVE”.

MAYOR “>”

CON ESTE SÍMBOLO < INDICAMOS QUE EL NÚMERO DE LA IZQUIERDA ES MAYOR QUE EL DE LA DERECHA. POR EJEMPLO:

7 > 1 SE LEE “SIETE ES MAYOR QUE UNO”.
10 > 8 SE LEE “DIEZ ES MAYOR QUE OCHO”.
5 > 4 SE LEE “CINCO ES MAYOR QUE CUATRO”.

USO DE ORDINALES PARA LA UBICACIÓN DE OBJETOS

LOS NÚMEROS ORDINALES SIRVEN PARA SABER LA POSICIÓN Y ORDEN DE LOS ELEMENTOS EN UN CONJUNTO. PUEDEN SER FEMENINOS Y MASCULINOS Y SE REPRESENTAN CON UN SÍMBOLO DEL LADO DERECHO. OBSERVA LA SIGUIENTE TABLA CON LOS PRIMEROS DIEZ NÚMERO ORDINALES:

MASCULINO		FEMENINO
1.º	PRIMERO	1.ª	PRIMERA
2.º	SEGUNDO	2.ª	SEGUNDA
3.º	TERCERO	3.ª	TERCERA
4.º	CUARTO	4.ª	CUARTA
5.º	QUINTO	5.ª	QUINTA
6.º	SEXTO	6.ª	SEXTA
7.º	SÉPTIMO	7.ª	SÉPTIMA
8.º	OCTAVO	8.ª	OCTAVA
9.º	NOVENO	9.ª	NOVENA
10.º	DÉCIMO	10.ª	DÉCIMA

– EJEMPLO:

ESTOS NIÑOS ESTÁN ORGANIZADOS SEGÚN SU ESTATURA, ¿REPRESENTAN UNA SERIE?

SÍ, ES UNA SERIE DESCENDENTE PORQUE VAN DE MAYOR A MENOR. JUAN ES EL PRIMERO Y EL MÁS ALTO; DIEGO ES EL DÉCIMO Y EL MÁS BAJO.

¡ES TU TURNO!

OBSERVA LA IMAGEN Y ESCRIBE EL ORDEN DE LAS PERSONAS.

SOLUCIÓN

EL LUGAR DE JUAN ES EL PRIMERO
EL LUGAR DE LOLO ES EL SEGUNDO.
EL LUGAR DE ANA ES EL TERCERO.
EL LUGAR DE SOFÍA ES EL CUARTO.
EL LUGAR DE NICO ES EL QUINTO.
EL LUGAR DE MAXI ES EL SEXTO.
EL LUGAR DE REINA ES EL SÉPTIMO.
EL LUGAR DE PABLO ES EL OCTAVO.
EL LUGAR DE LUNA ES EL NOVENO.
EL LUGAR DE DIEGO ES EL DÉCIMO.

¡A PRACTICAR!

1. COMPLETA LOS PATRONES.

SOLUCIÓN

2. COMPLETA LA SERIE NUMÉRICA. ¿CUÁL ES EL PATRÓN?

SOLUCIÓN

EL PATRÓN ES + 1.

3. COLOCA EL SIGNO > O < SEGÚN CORRESPONDA.

10 ____ 5

SOLUCIÓN

10 > 5

14 ____ 6

SOLUCIÓN

14 > 6

16 ____ 11

SOLUCIÓN

16 > 11

7 ____ 10

SOLUCIÓN

7 < 10

7 ____ 20

SOLUCIÓN

7 < 20

11 ____ 10

SOLUCIÓN

11 > 10

4 ____ 2

SOLUCIÓN

4 > 2

11 ____ 9

SOLUCIÓN

11 > 9

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Comparar y ordenar números”

Este artículo detalla cómo comprar y ordenar números por medio de los símbolos de relación.

VER

CAPÍTULO 1 / TEMA 6 (REVISIÓN)

NÚMEROS | ¿QUÉ APRENDIMOS?

El universo de los números

El ser humano ha creado muchos inventos, pero uno de los más significativos han sido los números. En la actualidad, el sistema de numeración más usado es el decimal, llamado así porque emplea diez dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Este sistema es posicional porque cada cifra adquiere un valor distinto de acuerdo a la posición en donde se encuentre. A lo largo del tiempo han existido otros sistemas de numeración como el romano, que es usado hoy en día en ciertas situaciones.

La falta del número cero y la imposibilidad de representar fracciones y números decimales hizo que el sistema romano quedara en desuso.

Números primos y compuestos

Los números enteros que solo son divisibles entre ellos mismos y la unidad se denominan números primos. Hay números que además de ser divisibles entre ellos mismos y la unidad pueden ser divisibles por otros números, y se conocen como números compuestos. Por convención, el 1 no es clasificado como número primo ni compuesto; por otro lado, el 0, al no poder ser dividido entre él mismo, tampoco entra en dichas clasificaciones.

La Criba de Eratóstenes es una tabla que permite identificar de manera simple los números primos.

Un vistazo a los números decimales

Los números que se encuentran entre dos números enteros consecutivos se denominan números decimales y se caracterizan por una parte entera y otra parte decimal. La parte entera puede ser igual o diferente de cero y la parte decimal está ubicada después del separador decimal que puede ser un punto o una coma de acuerdo a la convención de cada país. La suma y resta de decimales se hace igual que con los números enteros, pero se debe tener la precaución que cada cifra esté ordenada de acuerdo a su mismo valor posicional.

Los números decimales pueden tener decimales infinitos como sucede en el caso del número pi: 3,141592…

Valor posicional

Cada cifra adquiere un valor dentro de un número y por medio de una tabla posicional se pueden representar dichos valores. Para números de seis dígitos estos son, de mayor a menor: centena de mil, decena de mil, unidad de mil, centena, decena y unidad. Conocer los valores posicionales facilita realizar operaciones como la descomposición aditiva de un número.

La descomposición aditiva permite expresar un número en forma de suma. Este tipo de descomposición relaciona el valor relativo de cada cifra.

Secuencias

Al conjunto de elementos que guardan relación y conservan un orden particular se lo denomina “secuencia”. El orden de una secuencia viene dado por una regla que puede ser, por ejemplo, su forma, tamaño o color. Además, en el caso de las secuencias numéricas, la regla puede implicar que los números incrementen o disminuyan su valor, en estos casos se denominan secuencias ascendentes y descendentes respectivamente. Conocer las secuencias permite realizar operaciones como las divisiones con restas sucesivas.

Los números naturales corresponden a una secuencia numérica infinita del tipo ascendente donde cada número se encuentra ordenado de 1 en 1.

CAPÍTULO 1 / TEMA 5

SeCUENCIAS

Al contar los números naturales, ya sea de 1 en 1, 2 en 2, o de 5 en 5, se aplican secuencias de números ordenados que se rigen por ciertas reglas, de manera que cumplen con un orden establecido. Una de las más conocidas es la sucesión de Fibonacci, pero las secuencias pueden ser de varios tipos: finitas o infinas, ascendentes o descendentes.

SeCUENCIAS con figuras

Una secuencia es un conjunto de elementos que están relacionadas entre sí y que se encuentran ordenadas según un criterio.

En las secuencias ordenadas en función de un patrón de figuras, se observa que los objetos están organizados de acuerdo a uno o más atributos. Algunos ejemplos son:

Por tamaño:

Por color:

Por forma:

También pueden contener imágenes y patrones más complejos:

El orden de una secuencia numérica no siempre es el mismo, por ejemplo, los elementos pueden estar ordenados de forma ascendente, de manera alternada o de manera decreciente.

Partes de una secuencia numérica

Una de las primeras secuencias que la mayoría de las personas aprende es la secuencia de los números naturales y se expresa de la siguiente forma: $\mathbb{N}$ = {1, 2, 3, 4 ,…} en donde cada uno de los números denominados elementos, se encuentran ordenados de 1 en 1. Los tres puntos suspensivos al final de la secuencia indican que los números continúan.

Las secuencias pueden ser infinitas, como pasa con los números naturales, que siguen la secuencia de manera ilimitada, y también pueden ser finitas como sucede con la secuencia de las vocales: {a, e, i, o, u}.

¿Sabías qué?

Las secuencias numéricas permiten desarrollar el razonamiento matemático.

Secuencias ascendentes y descendentes

– Secuencias ascendentes

Las secuencias numéricas tienen una regla que permite determinar el valor de cada término o elemento de la misma. Por ejemplo, cuando se cuentan los números de 2 en 2, en realidad se incrementan 2 números por cada elemento, es decir, la regla en este caso sería sumar 2 a cada elemento:

En la imagen se puede observar como cada elemento de la secuencia se incrementa por 2, esto significa que es una secuencia ascendente porque todos sus elementos van en aumento, por lo tanto, cada número es mayor que el anterior. Si a 2 se le suma 2, el resultado es 4 y si a este número se le suma 2 el resultado es 6, y así sucesivamente. En este caso, la secuencia numérica se representa como: {2, 4, 6, 8, …}.

– Secuencia descendente

Las secuencias descendentes, en cambio, se desarrollan en forma regresiva y cada número es menor que el anterior. En la siguiente imagen se puede observar un ejemplo de secuencia descendente:

La regla en esta secuencia descendente es restar 3 a cada número, de manera que es fácil calcular el número a continuación del 9, para ello realizamos la regla: 9 – 3 = 6, así, el número siguiente a 9 en esta secuencia es 6.

¿Sabías qué?

Hay secuencias ascendentes cuya regla consiste en multiplicar un número a cada elemento y secuencias descendentes donde se divide un número a cada elemento.

Números de Fibonacci

Son conocidos también como secuencia de Fibonacci. Su nombre proviene de quien la describió por primera vez en Europa: el matemático italiano Leonardo Fibonacci. Es una secuencia en la cual el número siguiente se obtiene al sumar los dos números anteriores a este y se detalla a continuación {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 ,…}. En la secuencia se puede observar que, por ejemplo, los dos números anteriores al 13 son el 5 y el 8, que al sumarlos dan como resultado al número siguiente: 5 + 8 = 13. Esto se cumple para todos los números de la secuencia.

VER INFOGRAFÍA

Divisiones y restas sucesivas

Antes de comenzar con este tema es importante recordar que multiplicar es lo mismo que sumar muchas veces el mismo número, por ejemplo:

4 x 3 = 12 es igual a 4 + 4 + 4= 12

Esto se debe a que la multiplicación está muy relacionada con la adición. Algo similar sucede con la división, la cual guarda relación con la resta. Por ejemplo, si se tiene la división 12 ÷ 3, hay que restarle 3 a 12 tantas veces como sea posible:

Al observar la imagen se razona que 12 fue restado 4 veces por el número 3. De esta manera se tiene que 12 ÷ 3 = 4.

Pasos para dividir a través de restas sucesivas

Las divisiones pueden realizarse a través de restas sucesivas de la siguiente manera:

Resta el divisor al dividendo tantas veces como sea posible. Hazlo hasta que el resultado sea 0 o un número menor al divisor.
Se cuenta el número de veces que se restó el divisor.
El cociente de la división será igual al número de veces que se restó el divisor y el resto será igual al último número que dio como resultado la resta.

Otro ejemplo:

– Resuelve la división 30 ÷ 5

Se resuelve a través de los pasos anteriores, para simplificar se sugiere utilizar una tabla similar a esta:

El resultado es 30 ÷ 5 = 6, y se trata de una división exacta porque el resto es igual a 0.

A continuación se muestra otro ejemplo de división pero en este caso es inexacta:

En el ejercicio anterior 27 ÷ 4 = 6 pero existe un resto igual a 3, como 3 es menor que el divisor no se puede continuar las restas en este método.

Ejercicios

Completa las siguientes oraciones:
a. En las secuencias ________ todos sus elementos van en aumento.

Solución
ascendentes
b. La secuencia {25, 20, 15, 10 , …} es una secuencia ______.

Solución
descendente
c. Las divisiones pueden calcularse con el método de ______.

Solución
restas sucesivas
Completa las siguientes secuencias numéricas:
a. {50, 40, ___, 20, …}

Solución
30
b. {12, ___, 8, 6, …}

Solución
10
c) {15, 30, ___, 60, 75, …}

Solución
45
d) { ___, 5.000, 4.000, 3.000, 2.000, …}

Solución
6.000
Resuelve las siguientes divisiones a través de restas sucesivas
a. 20 ÷ 5
b. 24 ÷ 6
c. 16 ÷ 5
d. 20 ÷ 3

Solución

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Sucesiones y series”

El siguiente artículo explica la diferencia entre una serie y una sucesión:

VER

Video “Aprendiendo restas por descomposición”

El video muestra cómo realizar restas por descomposición que el docente puede emplear para relacionar la secuencias de sistema decimal con las secuencias numéricas estudiadas.

VER