CAPÍTULO 5 / TEMA 4

la circunferencia

La circunferencia es una línea curva, plana y cerrada que representa el perímetro de un círculo. Unas de sus características es que todos sus puntos se encuentran a una misma distancia de otro denominado origen. Sin importar su tamaño, siempre que se divida su longitud entre su diámetro da como resultado al número pi.

elementos de la circunferencia

La circunferencia es la forma geométrica en la cual todos sus puntos se encuentran equidistantes del centro, también conocido como origen. Eso quiere decir que todos los puntos están a la misma distancia de ese punto.

La circunferencia y sus elementos

Centro: es el punto interior que se encuentra a la misma distancia de todos los puntos de la circunferencia.

Radio: es la línea recta que une el centro con cualquier punto de la circunferencia.

Diámetro: es la mayor linea recta que puede unir dos puntos de la circunferencia. Es el doble del valor del radio y siempre pasa por el origen.

Arco: es un segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia.

Cuerda: es el segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia sin pasar por el origen.
Secante: es una recta que intersecta la circunferencia en dos puntos.

Tangente: es una recta que intersecta la circunferencia en un solo punto.

La circunferencia es una figura única. Sus puntos equidistantes entre sí respecto al centro han permitido resolver diversos problemas, desde cálculos matemáticos hasta problemas tan cotidianos como el transporte. Y es que aunque parezca sencilla, la rueda ha sido uno de los inventos que cambió definitivamente la vida del ser humano hasta la actualidad.

El número pi

Su nombre proviene de la letra griega pi (π) que se usa para expresarlo. Es un número irracional, es decir; un número decimal infinito, cuyos decimales no siguen un patrón que se repite. En la geometría y otras áreas ha tenido un fuerte impacto en la manera de resolver problemas porque relaciona la longitud de una circunferencia con su diámetro. La fórmula para calcular el número pi es π = C/D, donde C es la longitud de la circunferencia y D es el diámetro de la misma. El valor de este número con sus primeras 5 cifras decimales es: 3,14159…

¿Sabías qué?

Para simplificar los cálculos, el número pi suele escribirse como 3,14 para obtener resultados aproximados.

área de un Círculo

El círculo es la figura geométrica que se encuentra delimitada por una circunferencia; es decir, la circunferencia representa su perímetro. Para resolver el área de un círculo simplemente debemos multiplicar el cuadrado de su radio por el número pi.

$A = \pi \times r^{2}$

Dónde:

A = área del círculo.
π = número pi.
r = longitud del radio de la circunferencia.

Ejemplos de cálculos de área de un círculo

1. Calcular el área de una circunferencia cuyo radio mide 3 cm.

En este caso simplemente tenemos que sustituir el valor del diámetro y del número pi en la ecuación de área:

$A = \pi \times r^{2}$

$A = 3,14 \times (3\, cm)^{2}$

Luego se resuelve la potencia. Recuerda que en este caso la unidad es centímetro y al resolver la potencia dicha unidad quedara expresada en centímetros cuadrados (cm²).

$A = 3,14 \times 9\, cm^{2}$

Al resolver el producto se obtiene que el área de la circunferencia es la siguiente:

$A = 28,26\, cm^{2}$

Recordemos que el valor de pi que usamos para los cálculos es un aproximado porque 3,14 tiene dos decimales pero ¡pi en realidad tiene infinitos decimales! Como resultará lógico pensar, es imposible multiplicar el valor de pi con todos sus decimales, por esta razón en ejercicios cotidianos se emplean únicamente dos para obtener un resultado que, aunque no corresponde al valor exacto, si se encuentra cercano a este.

2. Calcular el área de un círculo con diámetro igual a 4 cm.

En este caso, el dato que nos proporciona el problema es el diámetro. Para aplicar la fórmula necesitamos el valor del radio. Lo único que debemos hacer es dividir el diámetro entre 2 (porque el diámetro corresponde al doble del valor del radio).

$r = \frac{D}{2}=\frac{4\, cm}{2}= \mathbf{2\, cm}$

Luego se reemplaza en la ecuación y se resuelve de la misma forma que en el ejercicio anterior.

$A = 3,14 \times (2\, cm)^{2}$

$A = 3,14 \times 4\, cm^{2}$

$A = 12,56\, cm^{2}$

construcción de circunferencias

Para la construcción de las circunferencias, se emplea el compás y una regla o escuadra para medir. Debemos seguir los siguientes pasos:

Paso 1
Trazar un segmento con la longitud del radio de la circunferencia que se desea construir.

Paso 2
Ubicar la punta del compás en uno de los extremos del segmento y abrir la bisagra del mismo hasta que la otra punta con lápiz se encuentre a la misma distancia del otro extremo.
Paso 3
Marcar firmemente la circunferencia con la punta que contiene el lápiz de marcado al tiempo que se mantiene en su lugar la otra punta.

Al momento de realizar los trazados de circunferencias, es importante que el área de trabajo esté limpia al igual que los instrumentos que vas a usar. En el caso del compás hay varios tipos que varían en la forma, lo importante en cualquier caso es verificar que el extremo que contenga al lápiz o punta de grafito se encuentre afilado para que pueda realizar trazos uniformes.

¡A practicar!

¿Cuál es el área de las siguientes circunferencias?

Solución

$A = 3,14\, cm^{2}$

Solución

$A = 50,24\, cm^{2}$

Solución

$A = 200,96\, cm^{2}$

Solución

$A = 78,5\, cm^{2}$

Solución

$A = 113,04\, cm^{2}$

Solución

$A = 254,34\, cm^{2}$

Solución

$A = 314\, cm^{2}$

Solución

$A = 153,86\, cm^{2}$

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Circunferencia”

En este artículo se explican los elementos de la circunferencia y sus principales características.

VER

Artículo “Ángulos en una circunferencia”

En este artículo destacado se explican otros elementos de las circunferencias: los ángulos.

VER

CAPÍTULO 5 / TEMA 7 (REVISIÓN)

Geometría | ¿Qué aprendimos?

Elementos geométricos

El punto, la recta y el plano se denominan entes fundamentales de la geometría porque no tienen definición y su comprensión depende de comparaciones con elementos similares. El punto es adimensional y se nombra con letras mayúsculas del alfabeto. La recta está formada por infinitos puntos que se extienden en una misma dirección. Las rectas pueden ser paralelas, secantes o perpendiculares. El plano es un ente bidimensional, es decir, posee dos dimensiones y se suele nombrar con letras del alfabeto griego.

Un segmento es una parte de la recta que se encuentra ubicada entre dos puntos.

Ángulos

La región del plano comprendida entre dos semirrectas se denomina ángulo. De acuerdo a su medida pueden ser nulos (cuando miden 0°), agudos (cuando no son nulos y miden menos de 90°), rectos (cuando miden 90°), obtusos (cuando son menores a 180° y mayores a 90°) y llanos (cuando miden 180°). Se habla de dos ángulos complementarios cuando la suma de estos es igual a 90°, por otra parte, dos ángulos son suplementarios si la suma de ambos es igual a 180°. La sumatoria de los ángulos internos de un triángulo da 180°, mientras que en un cuadrilátero da 360°.

Polígonos

Los polígonos son figuras caracterizadas por estar delimitadas por segmentos finitos rectos denominados lados. Si todos sus lados tienen la misma longitud se denominan polígonos regulares, de lo contrario, se denominan polígonos irregulares. En el caso de los polígonos regulares se cumple que sus ángulos internos son iguales, lo mismo sucede con sus ángulos externos. Los polígonos regulares también se caracterizan por tener igual cantidad de ejes de simetrías que de lados y sus diagonales son todas internas y de la misma longitud.

Cuerpos geométricos

Los cuerpos geométricos pueden clasificarse en poliedros cuando todas sus caras son iguales y planas, y en cuerpos redondos cuando poseen al menos una cara curva. Sus elementos principales son las caras, las aristas y los vértices. Cada uno de los cuerpos geométricos posee su fórmula para determinar su volumen. De igual forma, cada uno de los cuerpos geométricos pueden representarse en construcciones de tres dimensiones.

La esfera es un cuerpo geométrico que no posee caras, aristas ni vértices.

Circunferencia y círculo

La circunferencia es una línea cerrada que sobresale por ser el perímetro del círculo. Por otra parte, el círculo es una figura geométrica que se encuentra delimitada por una circunferencia. Los elementos principales de una circunferencia son: centro, radio, cuerda, diámetro, semicircunferencia y arco. Entre una circunferencia y una recta pueden darse tres tipos diferentes de relación: recta exterior (cuando no toca ningún punto de la circunferencia), recta tangente (cuando toca un solo punto de la circunferencia) y recta secante (cuando atraviesa la circunferencia en dos puntos). El área de un círculo es igual al producto de el número pi por el radio de la circunferencia al cuadrado.

El matemático griego Eratóstenes fue la primera persona en calcular el diámetro de la Tierra en el 230 a. C.

Aplicación de la geometría

Incontables son las disciplinas y las situaciones en las que se emplea la geometría. Desde que apareció esta rama de la matemática ha permitido resolver infinidad de problemas. El cálculo de áreas de superficies planas puede extenderse a situaciones cotidianas como el cálculo de la extensión de un terreno, esto se debe a que cada figura posee su fórmula particular. Lo mismo sucede con el cálculo de volumen y los cuerpos geométricos.

La geometría ha permitido a la arquitectura realizar obras de singular belleza.

CAPÍTULO 4 / TEMA 2

FIGURAS PLANAS

SI OBSERVAMOS DETENIDAMENTE EL LUGAR EN DONDE ESTAMOS PODEMOS ENCONTRAR INFINIDAD DE FIGURAS. LA UNIÓN DE DIFERENTES LÍNEAS HA FORMADO LAS FIGURAS Y LAS HAY DE DIFERENTES TIPOS. ES IMPOSIBLE NO ENCONTRAR EN NUESTRO ENTORNO CUADRADOS, RECTÁNGULOS Y CÍRCULOS. TODOS SON PARTE DE LA FORMA QUE TIENEN LOS OBJETOS QUE UTILIZAMOS A DIARIO.

FIGURAS PLANAS Y SUS TIPOS

LAS FIGURAS PLANAS SON AQUELLAS QUE TIENEN DOS DIMENSIONES: ALTO Y ANCHO. ALGUNOS EJEMPLOS DE FIGURAS PLANAS SON LO CÍRCULOS, LOS TRIÁNGULOS Y LO CUADRILÁTEROS.

LA FIGURA VERDE ES UN CÍRCULO.
LA FIGURA AZUL ES UN TRIÁNGULO.
LA FIGURA ROJA ES UN CUADRILÁTERO.

¿QUÉ SON LOS TRIÁNGULOS?

SON LAS FIGURAS FORMADAS POR TRES SEGMENTOS.

ALGUNOS EJEMPLOS DE TRIÁNGULOS SON LOS SIGUIENTES:

¿QUÉ SON LOS CUADRILÁTEROS?

SON LAS FIGURAS FORMADAS POR CUATRO SEGMENTOS.

ALGUNOS EJEMPLOS DE CUADRILÁTEROS SON LOS SIGUIENTES:

¿QUÉ SON LOS CÍRCULOS?

SON FIGURAS CURVAS CON IGUAL DISTANCIA ENTRE UN PUNTO DE SU EXTREMO Y EL CENTRO.

ALGUNOS EJEMPLOS DE CÍRCULOS SON LOS SIGUIENTES:

LAS FIGURAS CIRCULARES ESTÁN FORMADAS POR UNA LÍNEA CURVA CERRADA Y TIENEN UNA CARACTERÍSTICA FUNDAMENTAL: TODOS LOS PUNTOS DE LA LÍNEA CURVA ESTÁN A LA MISMA DISTANCIA DEL CENTRO DE LA FIGURA. LA LÍNEA QUE BORDEA AL CÍRCULO SE LLAMA CIRCUNFERENCIA. EN LA IMAGEN VEMOS EL TRAZO DE UNA CIRCUNFERENCIA. PARA DIBUJAR CIRCUNFERENCIAS USAMOS UN COMPÁS.

ELEMENTOS DE Los triángulos y cuadriláteros

LADOS

CON CADA UNO DE LOS SEGMENTOS QUE FORMAN LA FIGURA.

TRIÁNGULOS

CUADRILÁTEROS

LOS TRIÁNGULOS TIENEN 3 LADOS.

LOS CUADRILÁTEROS TIENEN 4 LADOS.

VÉRTICES

SON LOS PUNTOS DONDE SE UNEN DOS LADOS.

TRIÁNGULOS

CUADRILÁTEROS

LOS TRIÁNGULOS TIENEN 3 VÉRTICES.

LOS CUADRILÁTEROS TIENEN 4 VÉRTICES.

ÁNGULOS

SON LAS ABERTURAS QUE SE FORMAN ENTRE DOS LADOS.

TRIÁNGULOS

CUADRILÁTEROS

LOS TRIÁNGULOS TIENEN 3 ÁNGULOS.

LO CUADRILÁTEROS TIENEN 4 ÁNGULOS.

ELEMENTOS DEL CÍRCULO

CIRCUNFERENCIA

ES EL LÍNEA CURVA CERRADA.

CENTRO

ES EL PUNTO CENTRAL QUE TIENE LA MISMA DISTANCIA A CUALQUIER PUNTO DE LA CIRCUNFERENCIA.

DIÁMETRO

ES LA DISTANCIA DE UN PUNTO DE LA CIRCUNFERENCIA A OTRO QUE PASA POR EL CENTRO.

RADIO

ES LA DISTANCIA DESDE EL CENTRO DE LA FIGURA HASTA CUALQUIER PUNTO DE LA CIRCUNFERENCIA. EL RADIO ES IGUAL A LA MITAD DEL DIÁMETRO.

AVISOS Y GEOMETRÍA

LA MAYORÍA DE LOS AVISOS COMERCIALES Y DE TRÁNSITO SON FIGURAS PLANAS. POR EJEMPLO, ESTA SEÑAL NOS INDICA QUE PRONTO SE ACERCA UNA CURVA. LA SEÑAL TIENE FORMA DE CUADRILÁTERO PORQUE TIENE 4 LADOS, 4 VÉRTICES Y 4 ÁNGULOS.

TIPOS DE ÁNGULOS

EXISTEN VARIOS TIPOS DE ÁNGULOS Y SU CLASIFICACIÓN DEPENDE DE SU ABERTURA.

ÁNGULO	ABERTURA	REPRESENTACIÓN
RECTO	90°
AGUDO	MENOS DE 90° Y MÁS DE 0°
OBTUSO	MENOS DE 180° Y MÁS DE 90°
LLANO	180°

¿SABÍAS QUÉ?

LOS ÁNGULOS SE MIDEN EN GRADOS. EL SÍMBOLO DE LOS GRADOS ES °.

EL ÁREA Y SUPERFICIE

SI QUEREMOS SABER LA MEDIDA DE LA PARTES EXTERNA DE UN OBJETOS O DE UN TERRENO, TENEMOS QUE CALCULAR SU ÁREA.

LA SUPERFICIE ES LA PARTE EXTERNA DE UN OBJETO Y EL ÁREA ES LA MEDIDA DE LA SUPERFICIE. LA UNIDAD DE MEDIDA ES EL CENTÍMETRO CUADRADO (cm²).

EN LOS RECTÁNGULOS SOLO TENEMOS QUE MULTIPLICAR LA MEDIDA DE LA ALTURA POR LA DEL ANCHO.

ÁREA DE RECTÁNGULO = ALTO × ANCHO

– EJEMPLO:

OBSERVA ESTE RECTÁNGULO. ESTÁ FORMADO POR CUADRADOS MÁS PEQUEÑOS. SI CADA CUADRADO MIDE 1 CENTÍMETRO DE ALTO Y 1 CENTÍMETRO DE ANCHO. RESPONDE:

¿CUÁNTOS CENTÍMETROS DE LARGO MIDE ESTE RECTÁNGULO?
¿CUÁNTOS CENTÍMETROS DE ANCHO MIDE ESTE RECTÁNGULO?
¿CUÁL ES EL ÁREA DEL RECTÁNGULO?

A. EL RECTÁNGULO TIENE 4 cm DE ALTO.

B. EL RECTÁNGULO TIENE 5 cm DE ANCHO.

C. EL ÁREA DEL RECTÁNGULO ES DE 20 cm² PORQUE 4 cm × 5 cm = 20 cm².

– EJEMPLO 2:

¿CUÁL ES EL ÁREA DE ESTE RECTÁNGULO?

EL RECTÁNGULO TIENE 3 cm DE ALTO Y 4 cm DE ANCHO. POR LO TANTO:

ÁREA = 3 cm × 4 cm = 12 cm²

EL RECTÁNGULO TIENE UN ÁREA DE 12 cm².

¡A PRACTICAR!

1. COLOCAR EL TIPO DE ÁNGULO SEGÚN SU MEDIDA:

160°

SOLUCIÓN

ÁNGULO OBTUSO.

45°

SOLUCIÓN

ÁNGULO AGUDO.

79°

SOLUCIÓN

ÁNGULO AGUDO.

92°

SOLUCIÓN

ÁNGULO OBTUSO.

180°

SOLUCIÓN

ÁNGULO LLANO.

90°

SOLUCIÓN

ÁNGULO RECTO.

2. CALCULAR EL ÁREA DE LOS SIGUIENTES RECTÁNGULOS. CADA CUADRO MIDE 1 cm DE ALTO Y 1 cm DE ANCHO.

SOLUCIÓN

ÁREA = 9 cm x 5 cm

ÁREA = 45 cm²

SOLUCIÓN

ÁREA = 8 cm x 5 cm

ÁREA = 40 cm²

SOLUCIÓN

ÁREA = 5 cm × 2 cm

ÁREA = 10 cm²

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Área y perímetro de las figuras planas”

En el siguiente artículo se amplía la información sobre área con más tipos de figuras planas.

VER

CAPÍTULO 5 / TEMA 7

La circunferencia

Una de las curvas más estudiadas en la geometría es, sin duda, la circunferencia. Tiene características únicas y ha sido pieza fundamental en invenciones humanas como la rueda. Para trazar esta figura usamos el compás, y su longitud está determinada por un número muy particular: el número pi.

¿Qué es una circunferencia?

Es la curva plana y cerrada cuyos puntos equidistan del centro; es decir, están a la misma distancia del centro de la circunferencia.

Los griegos y la circunferencia

Sin lugar a duda, los antiguos griegos tuvieron una gran influencia en el perfeccionamiento de la geometría. Para ellos, la línea recta y la circunferencia eran muy importantes en sus construcciones matemáticas, lo que permitió que realizaran increíbles descubrimientos para su época. Por ejemplo, Eratóstene de Cirene, que vivió entre 276 y 194 a. C., fue la primera persona en calcular la circunferencia de la Tierra.

Elementos de la circunferencia

En la circunferencia se pueden observar los siguientes elementos:

Centro: es el punto en torno al cual equidistan todos los puntos de la curva.

Radio: es un segmento de recta que une el centro de la circunferencia con cualquiera de sus puntos.

Diámetro: es un segmento de recta que une a dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro de la misma. Su longitud es igual al doble del radio.

Cuerda: es un segmento de recta que une a dos puntos de la circunferencia sin pasar por el centro.

Arco: es una porción de la circunferencia que se encuentra limitada por una cuerda.

Semicircunferencia: es la porción de circunferencia limitada por el diámetro. Equivale a la mitad de la circunferencia.

Posiciones de una recta en relación a la circunferencia

Recta tangente: es la recta que comparte un mismo y único punto con la circunferencia.

Recta secante: es la recta que comparte dos puntos con la circunferencia.

Recta exterior: es la recta que no comparte ningún punto con la circunferencia.

¿Sabías qué?

La circunferencia de la tierra mide cerca de 40.000 km de longitud.

Diferencia entre círculo y circunferencia

Es posible que confundamos los conceptos de círculo y circunferencia porque están muy relacionados entre sí, pero se trata de dos términos diferentes. El círculo es una figura plana que corresponde al área contenida dentro de una circunferencia. La circunferencia, por su parte, representa el perímetro del círculo, es decir, es la línea que forma el contorno de la figura.

VER INFOGRAFÍA

El círculo es una figura que presenta diferentes elementos, como el semicírculo, los sectores circulares y los segmentos circulares. El primero es el área comprendida entre el diámetro y una semicircunferencia; el segundo consiste en las regiones comprendidas entre dos radios y el arco que estos forman; y el tercero se trata de los segmentos que se forman entre una cuerda y su arco.

Trazado de circunferencias

El compás es el instrumento por excelencia para trazar circunferencias y su origen es muy antiguo. Un compás consta de los siguientes elementos principales:

Un mango.
Una punta metálica.
Una punta trazadora.
Dos brazos regulables.

El uso de esta herramienta es relativamente sencillo. Para trazar una circunferencia con un compás lo primero que debemos hacer es conocer el radio de la circunferencia y trazarlo con la ayuda de una regla. Luego posicionamos la punta metálica en uno de los extremos del segmento y luego abrimos los brazos hasta que la punta trazadora esté ubicada en el otro extremo del segmento. Finalmente, con ayuda del mango, trazamos la circunferencia.

Circunferencias a nuestro alrededor

Un anillo o un aro son ejemplos de circunferencias, pero hay muchos más. Al ser una circunferencia el contorno de un círculo, la observamos en los bordes de las ruedas de los autos, en un molde para hacer una torta o un pastel y hasta incluso en juguetes como los platos voladores.

Las circunferencias han sido elementos fundamentales en el desarrollo de la geometría y con ello también han permitido a los seres humanos realizar grandes invenciones como la rueda.

La circunferencia es el contorno de una de las figuras más comunes: el círculo. Es frecuente observarlas en platos, ruedas, pasteles, diseños y pinturas. Han permitido realizar cálculos y aproximaciones, como el descubrimiento del número pi que relaciona la longitud de la circunferencia con su radio y que ha tenido numerosas aplicaciones prácticas.

¡A practicar!

Además del centro, ¿qué elementos de la circunferencia observas?

Solución

Diámetro.

Solución

Arco.

Solución

Cuerda.

Solución

Radio.

2. ¿Cuál de las siguientes rectas es una tangente?

Solución

Es tangente porque solo comparte un punto en común con la circunferencia.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Circunferencia”

El siguiente artículo explica de forma resumida qué es una circunferencia y los diferentes elementos que la integran como el radio, la cuerda, el diámetro, etc.

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Artículo “Ángulos en la circunferencia”

Este artículo relaciona los conceptos de ángulo y circunferencia, así como también explica sus características.

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