CAPÍTULO 4 / TEMA 4

PROPORCIONALIDAD

Si compramos una gaseosa a $ 2, 2 gaseosas costarán $ 4 y 3 gaseosas costarán $ 6. Esto se llama proporcionalidad porque las dos magnitudes, precio y cantidad, tiene una relación directa entre sí. Esta relación sirve para hacer conversiones de unidades de medida. ¡Aprendamos a resolver problemas de proporcionalidad!

¿QUÉ ES LA PROPORCIONALIDAD?

La proporcionalidad es una relación que existe entre las magnitudes que podemos medir, como el tiempo, la longitud, la superficie o el peso.

Las proporciones son mucho más comunes de lo que pensamos. Las utilizamos al calcular la cantidad de ingredientes para hacer una torta, cuando convertimos unidades de medida o cuando vamos al cine con nuestros amigos y deseamos saber cuál es el costo total de las entradas.

Muchas de las cantidades que utilizamos cotidianamente están relacionadas entre sí. Por ejemplo, siempre que vamos a un kiosco, sabemos que mientras más productos compremos, más dinero tendremos que pagar. Eso es porque “la cantidad de productos que compramos” y “la cantidad que debemos pagar” tienen una relación directamente proporcional.

¿Sabías qué?

Existen dos tipos de proporcionalidad: la proporcionalidad directa y la proporcionalidad inversa.

PROPORCIONALIDAD DIRECTA

Cuando dos magnitudes están relacionadas mediante una proporcionalidad directa se comportan de tal manera que:

Cuando una cantidad aumenta, la otra también aumenta.
Cuando una cantidad disminuye, la otra también disminuye.

Si esto sucede, se dice que las cantidades son “directamente proporcionales”.

– Ejemplo:

Si una camiseta cuesta $ 3, ¿cuánto cuestan 2 camisetas?, ¿y 3 camisetas?

Cantidad de dinero	$ 3	$ 6	$ 9
Cantidad de camisetas	1	2	3

Observa que al aumentar la cantidad de camisetas también aumenta la cantidad de dinero, por eso, ambas son directamente proporcionales.

Siempre que dos magnitudes sean directamente proporcionales el cociente entre ellas será constante. A esta relación la podemos escribir y comprobar por medio de una fracción:

$\frac{{\color{Blue} 3}}{{\color{Red} 1}}=\boldsymbol{3}$

$\frac{{\color{Blue} 6}}{{\color{Red} 2}}=\boldsymbol{3}$

$\frac{{\color{Blue} 9}}{{\color{Red} 3}}=\boldsymbol{3}$

Los numeradores en azul representan la cantidad de dinero y los denominadores en rojo representan la cantidad de camiseta. Todos los cocientes son iguales, es decir, la proporción es constante.

Razón de proporcionalidad

Si dividimos entre sí las magnitudes que aumentan o disminuyen, obtendremos como resultado un número llamado razón de proporcionalidad, y si dividimos ambas cantidades luego de que aumenten o disminuyan, también obtendremos como resultado al mismo número. Por lo tanto, dos magnitudes son directamente proporcionales si:

magnitud 1 ÷ magnitud 2 = razón de proporcionalidad

¿cómo resolver problemas de PROPORCIONALIDAD DIRECTA?

Un método para resolver problemas de proporcionalidad es la regla de tres. Esta se utiliza para hallar el cuarto término de una proporción cuando ya conoces tres valores.

– Ejemplo 1:

En cada paquete de chicles hay 8 chicles. ¿Cuántos chicles hay en 4 paquetes?

1. Escribimos la primera relación, que es la que tiene los dos valores conocidos:

2. Luego escribimos la segunda relación. En esta solo conocemos un valor y al desconocido lo representamos con la letra equis (x).

En conjunto, estas relaciones se leen así: “si un paquete de chicles tiene ocho chicles, ¿cuántos chicles tienen cuatro paquetes de chicles?”.

Observa que colocamos una magnitud debajo de otra magnitud: paquetes de chicles debajo de paquetes de chicles y cantidad de chicles debajo de cantidad de chicles. La “x” es una valor que desconocemos, pero la magnitud buscada es “cantidad de chicles”.

3. Multiplicamos en diagonal y luego dividimos por el valor que quede solo.

4. Resolvemos las operaciones.

Nota que las magnitudes que son iguales tanto en el numerador como en el denominador se tachan y queda la magnitud deseada: cantidad de chicles.

5. Damos respuesta a la interrogante.

En 4 paquetes de chicles hay 32 chicles.

Dos magnitudes directamente proporcionales son la cantidad de kilómetros recorridos en un automóvil y la cantidad de combustible gastado. Cuando una de estas cantidades se modifica, la otra lo hace de igual manera; pues si recorremos 110 kilómetros gastaremos 10 litros de combustible, pero si recorremos 330 kilómetros gastaremos 30 litros.

– Ejemplo 2:

Para pintar 6 edificios son necesarios 80 galones de pintura, ¿cuántos galones de pintura son necesarios para pintar 18 edificios?

Relaciones

Reflexión

Este problema de proporcionalidad se resuelve al multiplicar en forma diagonal las relaciones antes mostradas, y después al dividir entre 6. No debemos olvidar tachar las magnitudes iguales en el numerador y en el denominador.

Operaciones

Respuesta

Para pintar 18 edificios se necesitan 240 galones de pintura.

– Ejemplo 3:

Si 10 lápices cuestan $ 5, ¿cuánto costarán 70 lápices?

Relaciones

Reflexión

Hay que resolver la regla de tres, para esto multiplicamos en forma diagonal: 70 × 5 y luego dividimos este resultado entre 10. Tachamos las unidades repetidas en los numeradores y denominadores.

Operaciones

Respuesta

70 lápices costarán $ 35.

¿Sabías qué?

En la cocina también utilizamos la proporcionalidad. Si tenemos una receta que indica las cantidades para 1 persona, pero queremos hacer la receta para 5 personas, debemos multiplicar a todas las cantidades por 5.

USOS DE LA PROPORCIONALIDAD DE LA CONVERSIÓN DE MEDIDAS

La proporcionalidad nos puede ser útil a la hora de convertir unidades de medidas. Por ejemplo, cuando conocemos la longitud de un objeto en centímetros y queremos conocerla en metros, o cuando conocemos nuestro peso en kilogramos pero queremos conocerlo en gramos.

La conversión de unidades de medida es usada en múltiples oficios. Los costureros y diseñadores utilizan a menudo la cinta métrica: una cinta flexible con marcas que muestran los metros y los centímetros. Esta es de gran utilidad para medir grandes o pequeñas longitudes de tela. También es usada por arquitectos y médicos.

Equivalencias de interés

Masa

Unidad principal: gramo (g)

1 g = 1.000 mg

1 g = 100 cg

1 g = 10 dg

1 g = 0,1 dag

1 g = 0,01 hg

1 g = 0,001 kg

Longitud

Unidad principal: metro (m)

1 m = 1.000 mm

1 m = 100 cm

1 m = 10 dm

1 m = 0,1 dam

1 m = 0,01 hm

1 m = 0,001 km

Capacidad

Unidad principal: litro (L)

1 L = 1.000 mL

1 L = 100 cL

1 L = 10 dL

1 L = 0,1 daL

1 L = 0,01 hL

1 L = 0,001 kL

– Ejemplo 1:

Convierte 1,90 m a cm.

Ya sabemos que 1 metro = 100 centímetros, por lo tanto, esta es nuestra primera relación para la regla de tres. Luego resolvemos:

1,90 m equivalen a 190 cm.

– Ejemplo 2:

Convierte 5.600 ml a L.

5.600 mL equivalen a 5,6 L.

– Ejemplo 3:

Convierte 8,96 km a m.

9,96 km equivalen a 8.960 m.

¡A practicar!

1. Resuelve estos problemas de proporcionalidad por medio de reglas de tres.

a) Un automóvil recorre 200 km en 4 horas, ¿cuánto tiempo tardará en recorrer 500 km si la velocidad es constante?

Solución

Tardará 10 horas.

b) José compró 25 servilletas por $ 5, ¿cuántas servilletas podrá comprar con $ 30?

Solución

José podrá comprar 150 servilletas.

c) Si 60 segundos son iguales a 1 minuto, ¿cuántos minutos hay en 2.160 segundos?

Solución

Hay 36 minutos.

d) 8 obreros realizaron una obra de 200 m, ¿cuántos metros de obras pueden hacer 10 obreros?

Solución

Pueden hacer 250 metros.

2. Realiza las siguientes conversiones de unidades de medida.

a) 0,69 g a mg.

Solución

690 mg.

b) 5.896 mg a g.

Solución

5,896 g.

c) 5 kg a g.

Solución

5.000 g.

d) 0,94 L a mL.

Solución

940 mL.

e) 3.216 mL a L.

Solución

3,216 L.

f) 1,5 g a mg.

Solución

15.000 mg.

g) 7.415 g a kg.

Solución

7,415 kg.

h) 0,05 kg a g.

Solución

5.000 g.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Regla de 3 simple y compuesta”

Este artículo trata sobre una herramienta que se utiliza para resolver problemas de proporcionalidad: la regla de 3 simple y compuesta.

VER

CAPÍTULO 4 / TEMA 5

RELACIONES DE TIEMPO

El tiempo es una magnitud que nos ayuda a medir la duración de un evento. Gracias al tiempo podemos ordenar sucesos y establecer un pasado, un presente y un futuro. Todas sus unidades de medidas pueden convertirse entre ellas. Aprender sus cálculos básicos permite saber, por ejemplo, en qué momento tenemos que hacer una tarea.

El tiempo es una de las magnitudes más utilizamos cotidianamente, por eso es normal que veas un reloj en todas las casa, escuelas y comercios. Las unidades menores a un día son las horas, minutos y segundo, y para medirlas usamos el reloj o un cronómetro; en cambio, las unidades mayores a un día, como los meses y los años, son medidas con un calendario.

UNIDADES DE Tiempo: equivalencias y conversiones

Todo lo que realizamos consume tiempo: sabemos que el recreo dura 10 minutos, que un partido de fútbol dura 90 minutos o que el día tiene 24 horas. Es una variable tan importante, que en todo el mundo se utilizan las mismas unidades para medir el tiempo, a diferencia de otras magnitudes, como la distancia o el volumen. A algunas de sus unidades más importantes puedes verlas en esta tabla, junto a sus equivalencias:

Unidades de tiempo y sus equivalencia

Menores a un día

1 día = 24 horas

1 hora = 60 minutos

1 minuto = 60 segundos

Mayores a un día

1 semana = 7 días

1 mes = 30 o 31 días

1 año = 365 días = 12 meses

Conversión de unidades de tiempo

Podemos hacer conversiones entre dos o más unidades de tiempo por medio de una regla de tres: método en el que establecemos relaciones, multiplicamos en forma diagonal y luego dividimos por la unidad restante.

– Ejemplo 1:

¿Cuánto días hay en 96 horas?

En 96 horas hay 4 días.

– Ejemplo 2:

¿Cuántos meses hay en 20 años?

En 20 años hay 240 meses.

– Ejemplo 3:

¿Cuántas horas tiene una semana?

Una semana (7 días) tiene 168 horas.

Otras unidades de tiempo

Para las medidas de tiempo más grandes, las equivalencias más prácticas son:

1 lustro = 5 años
1 década = 10 años
1 siglo = 100 años
1 milenio = 1.000 años

¿Sabías qué?

Hay una unidad de tiempo mucho menor que el segundo: el microsegundo. Su símbolo es µs y es igual a una millonésima parte de un segundo, es decir, 10⁻⁶ s.

En un calendario o agenda representamos todos los días del mes. Son útiles para planificar las actividades a realizar cada día; incluso, algunas agendas dividen cada día en horas, de manera que podamos organizar aún mejor nuestro tiempo. También son útiles para conocer las fechas de cada mes y los días feriados que hay en cada uno de ellos.

el reloj

El reloj es una instrumento para medir el tiempo, gracias a él sabemos las horas, los minutos y los segundos de un día. Pueden ser digitales o analógicos.

Este es un reloj analógico e indica que son “las 6 y 15 minutos”.

Este es un reloj digital e indica que son “las 10 y 20 minutos de la mañana”.

Abreviaturas am y pm

La abreviatura am significa que la hora leída corresponde a antes del mediodía.
La abreviatura pm significa que la hora leída corresponde a después del mediodía.

Sistema horario de 24 horas

Los relojes analógcos tienen un sistema de 12 horas, por lo que necesitan hacer dos ciclos completos para cubrir un día. En cambio, los relojes digitales pueden tener, además de un sistema de 12 horas, un sistema de 24 horas que se caracteriza por dividir al día en las 24 horas totales que lo conforman, por lo que no utiliza las abreviaturas am y pm.

La siguiente tabla muestra la relación entre ambos formatos:

Formato 24 horas	Formato 12 horas
00:00 h	12:00 am
01:00 h	01:00 am
02:00 h	02:00 am
03:00 h	03:00 am
04:00 h	04:00 am
05:00 h	05:00 am
06:00 h	06:00 am
07:00 h	07:00 am
08:00 h	08:00 am
09:00 h	09:00 am
10:00 h	10:00 am
11:00 h	11:00 am
12:00 h	12:00 pm
13:00 h	01:00 pm
14:00 h	02:00 pm
15:00 h	03:00 pm
16:00 h	04:00 pm
17:00 h	05:00 pm
18:00 h	06:00 pm
19:00 h	07:00 pm
20:00 h	08:00 pm
21:00 h	09:00 pm
22:00 h	10:00 pm
23:00 h	11:00 pm

operaciones con unidades de tiempo

Suma

Los pasos a seguir para sumar horas y minutos son los siguientes:

Sumamos los minutos y luego las horas.
Si los minutos son 60, colocamos 00 en la columna de los minutos y sumamos 1 hora en la columnas de las horas.
Si los minutos son más de 60, restamos 60 a ese resultado y sumamos 1 hora en la columnas de las horas.
Escribimos la hora final.

– Ejemplo 1:

¿Cuánto es 2:36 + 5:15?

Así que:

2 h y 36 min + 5 h y 15 min = 7 h y 51 min

También podemos representarlo de esta manera:

02:36 + 05:15 = 07:51

– Ejemplo 2:

Marta salió de su casa a las 3: 45 pm y luego de 2 horas y 15 minutos llegó a la casa de su abuela, ¿a qué hora llegó?

Datos

Hora de salida: 3 h y 45 min

Duración del recorrido: 2 h y 15 min

Analiza

Tenemos que sumar la hora de salida con el tiempo que duró en el recorrido para saber la hora de llegada. Para esto sumamos primero los minutos y luego las horas.

Calcula

Primero sumamos los minutos: 45 min + 15 min = 60 min. Como 60 min son iguales a 1 h, escribimos 00 y sumamos 1 hora a la columna de las horas.

Luego sumamos las horas: 1 h + 3 h + 2 h = 6 h.

Responde

Marta llegó a las 6 pm en punto.

– Ejemplo 3:

Carla entró a un examen a las 8:50 am y tardó 2 horas y 39 minutos en hacerlo, ¿a qué hora salió del examen?

Datos

Hora de entrada: 8 h y 50 min

Duración en el examen: 2 h y 39 min

Analiza

Si sumamos la hora de entrada con el tiempo que duró en el examen tendremos la hora de salida del examen. Primero sumamos los minutos y luego las horas.

Calcula

Sumamos los minutos: 50 + 39 = 89. Pero ya sabemos que 60 minutos forman una hora, así que tenemos que “sacar” 60 min de 89 min, es decir, 89 − 60 = 29.

Escribimos 29 min en la columna de los minutos y sumamos 1 h en la columna de las horas.

Luego sumamos las horas: 1 h + 8 h + 2 h = 11 h.

Responde

Carla salió a las 11:29 am.

Una de las primeras formas de medir el tiempo fue por medio de un reloj solar. Este funciona gracias a la sombra que genera el Sol durante el día sobre un estilo ubicado encima de una superficie. El movimiento diurno del Sol hace que la sombra cambie de dirección y de este modo se podía saber con bastante precisión la hora del día.

Resta

Los pasos a seguir para restar horas y minutos son los siguientes:

Restamos los minutos.
Si el minuendo es menor que el sustraendo, sumamos 60 minutos (que es igual a 1 hora) a ese minuendo. Luego restamos una hora de la columna de las horas.
Restamos las horas.
Escribimos el resultado.

– Ejemplo 1:

¿Cuánto es 4:11 – 2:47?

Lo primero que debemos hacer es colocar una hora sobre otra.

Como 11 es menor que 47 y no lo puede restar, tomamos “prestado” 60 minutos (1 hora) de la columna de las horas, es decir, sumamos a 11 min + 60 min = 71 min. Luego restamos esa hora de la columna de las horas: 4 h − 1 h = 3 h.

Ahora sí podemos hacer la resta de minutos: 71 min − 47 min = 24 min.

Después restamos las horas: 3 h − 2 h = 1 h.

Entonces:

4 h y 11 min − 2 h y 47 min = 1 h y 24 min

También lo podemos escribir así:

4:11 − 2:47 = 1:24

– Ejemplo 2:

Después de 45 min, un tren llegó a las 16 h y 15 min, ¿a qué hora salió el tren?

Datos

Duración de recorrido: 45 min

Hora de llegada: 16 h y 15 min

Analiza

Hay que restar el tiempo recorrido a la hora de llegada para saber la hora exacta de salida.

Calcula

Como 15 es menor que 45, tomamos prestado 60 minutos (1 hora) de la columna de las horas. Por lo tanto: 15 min + 60 min = 75 min. Al prestar 1 hora, tenemos que restarla de la columna de las horas, así que: 16 h − 1 h = 15 h. Luego hacemos la resta de minutos y horas.

Responde

El tren salió a las 15:30.

– Ejemplo 3:

Francisco tomó el bus para visitar a sus primos en otra ciudad. El bus salió a las 8:30 am y llegó a las 10:45 am ¿cuánto duró el viaje?

Datos

Hora de salida: 8 h y 30 min

Hora de llegada: 10 h y 45 min

Analiza

Si restamos la hora de salida a la hora de llegada tendremos la diferencia de tiempo entre ambas. Restamos primero los minutos y luego las horas.

Calcula

Responde

El viaje duró 2 h y 15 min.

¡A practicar!

1. Resuelve las operaciones de tiempo:

8:45 + 2:45

Solución

8:45 + 2:45 = 11:30

4:25 − 3:42

Solución

4:25 − 3:42 = 00:43

10:20 + 6:15

Solución

10:20 + 6:15 = 16:35

8:23 − 5:15

Solución

8:23 − 5:15 = 3:08

1:50 + 9:38

Solución

1:50 + 9:38 = 11:28

12:12 − 6:30

Solución

12:12 − 6:30 = 5:42

2. Responde:

¿Cuántas horas hay en 5 días?

Solución

120 horas.

¿Cuántos días hay en 1 década?

Solución

3.650 días.

¿Cuántos segundos hay en 2 horas?

Solución

7.200 segundos.

¿Cuántos meses hay en 2 lustros?

Solución

240 meses.

¿Cuántas décadas hay en 3 siglos?

Solución

30 décadas.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Operaciones en el sistema sexagesimal”

Este artículo explica la forma de realizar operaciones con unidades de tiempo en el sistema sexagesimal.

VER

Artículo “Medidas de tiempo”

Con este recurso podrás ampliar la información sobre cómo hacer operaciones de suma y resta con las medidas de tiempo.

VER

CAPÍTULO 3 / TEMA 6 (REVISIÓN)

FRACCIONES Y PORCENTAJES | REVISIÓN

LAS FRACCIONES Y SUS USOS

En toda fracción podemos distinguir dos partes principales: el numerador y el denominador, ambos se encuentran separados por una línea horizontal. El denominador indica en cuántas partes se divide la unidad y el numerador señala cuántas de esas partes se han de tomar. Las fracciones se pueden clasificar en propias, impropias y aparentes. Las fracciones propias son aquellas en las que el numerador es menor que el denominador y representan un número menor a uno. Las fracciones impropias son la que tienen el numerador mayor que el denominador y representan a un número mayor a uno. Las fracciones aparentes son aquellas cuyo numerador es múltiplo de su denominador.

Además de la raya horizontal también podemos representar a las fracciones con una raya diagonal “/” o con el símbolo de las divisiones “÷”.

FRACCIONES EQUIVALENTES

Decimos que dos o más fracciones son equivalentes cuando todas ellas representan a la misma cantidad. Las fracciones equivalentes se pueden obtener por medio de dos métodos: amplificación y simplificación. Para obtener fracciones equivalentes por amplificación debemos multiplicar al numerador y al denominador de la fracción por un mismo número, distinto de cero. Para obtenerlas por simplificación, debemos dividir al numerador y al denominador de la fracción por un mismo número, distinto de cero y que sea un divisor común entre ambos. Es importante recordar que las fracciones equivalentes se pueden utilizar para sumar y restar fracciones heterogéneas (que tienen distinto denominador).

OPERACIONES CON FRACCIONES

La suma y resta de fracciones depende del tipo de estas. En las fracciones homogéneas (mismo denominador) se suman o restan los numeradores y se conserva el mismo denominador. En las fracciones heterogéneas (diferente denominador) se debe multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y el resultado se suma o se resta al producto del numerador de la segunda fracción por el denominador de la primera, el número obtenido es el numerador de la fracción resultante; luego se multiplican ambos denominadores y el número obtenido corresponderá al denominador de la fracción resultante. Para la multiplicación se multiplican los numeradores y denominadores de forma lineal. Para la división, se debe multiplicar en forma de cruz: el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda es igual al numerador de la fracción resultante y el numerador de la segunda fracción por el denominador de la primera es igual al denominador de la fracción resultante.

Algunas fracciones se pueden simplificar, es decir, pueden expresarse en fracciones equivalentes más sencillas

FRACCIONES MIXTAS

Una fracción mixta o número mixto es una forma de representar a una cantidad compuesta por una parte entera y una parte fraccionaria. Para graficarla, dividimos al entero en tantas partes como indique el denominador de la parte fraccionaria. Luego, pintamos tantos enteros (completos) como indique el número entero de la fracción mixta. Por último, dibujamos otro entero y pintamos tantas partes de este como indique el numerador de la fracción mixta. Para transformar una fracción mixta a una fracción convencional, lo que se realiza es sumar la parte entera con la parte fraccionaria. Siempre se debe obtener una fracción impropia.

En este caso la parte entera de la fracción mixta es 2, y la parte fraccionaria es 1/3. Se lee “dos enteros y un tercio”.

PORCENTAJES

Un porcentaje, al igual que una fracción, es una forma de indicar una parte de un todo. Un porcentaje siempre representa a una fracción decimal cuyo denominador es 100. El símbolo que utilizamos para indicar un porcentaje es %. Para calcular el porcentaje de una cantidad conocida se multiplican ambos valores y se divide entre 100. Para convertir cualquier fracción a porcentaje, debemos dividir el numerador con el denominador, y luego multiplicar dicho resultado por cien. Por otro lado, para convertir un porcentaje a fracción, simplemente colocamos el porcentaje en el numerador y 100 como denominador, posteriormente se realiza una simplificación.

CAPÍTULO 1 / TEMA 3

SERIES Y RELACIONES

UNA SERIE ES UNA SUCESIÓN DE ELEMENTOS O NÚMEROS QUE SIGUEN UNA REGLA O PATRÓN. CREAMOS SERIES CADA VEZ QUE ORGANIZAMOS NUESTROS CRAYONES POR COLOR, HACEMOS FILA EN LA ESCUELA POR ESTATURA, O CONTAMOS CON NUESTROS DEDOS. COMO VES, LAS SERIES ESTÁN EN CADA ASPECTO DE NUESTRO DÍA A DÍA.

SERIES Y PATRONES

OBSERVA ESTA IMAGEN, ¿QUÉ FIGURAS VES?, ¿TIENEN UN ORDEN PARTICULAR?

HAY CÍRCULOS Y TRIÁNGULOS. SÍ TIENEN UN ORDEN: HAY UN CÍRCULO AZUL Y LUEGO UN TRIÁNGULO AMARILLO, DESPUÉS VIENE OTRO CÍRCULO AZUL Y OTRO TRIÁNGULO AMARILLO. ESTE ES UN EJEMPLO DE SERIE.

UNA SERIE ES UNA SECUENCIA DE ELEMENTOS QUE SIGUEN UNA REGLA QUE LLAMAMOS PATRÓN.

– EJEMPLO:

OBSERVA ESTA SERIE, ¿CUÁL ES EL PATRÓN?

PARA IDENTIFICAR EL PATRÓN VEMOS FIGURA POR FIGURA:

PRIMERO: SOL
SEGUNDO: CÍRCULO
TERCERO: TRIÁNGULO

DESPUÉS SE REPITEN LAS MISMAS FIGURAS, ASÍ QUE EL PATRÓN ES SOL-CÍRCULO-TRIÁNGULO.

– OTRO EJEMPLO:

OBSERVA ESTA IMAGEN, ¿CUÁL ES EL PATRÓN?

EL PATRÓN ES CUADRADO-TRIÁNGULO-CÍRCULO.

SERIES NUMÉRICAS

LAS SERIES NO SOLO SE PUEDEN HACER CON OBJETOS Y FIGURAS, TAMBIÉN LAS PODEMOS CREAR CON NÚMEROS. DE HECHO, CADA VEZ QUE CONTAMOS DE 1 EN 1 HACEMOS UNA SERIE NUMÉRICA CON UN PATRÓN IGUAL A +1, PUES CADA NÚMERO ES UNA UNIDAD MAYOR AL ANTERIOR.

SERIES ASCENDENTES Y DESCENDENTES

LAS SERIES PUEDEN IR DE MAYOR A MENOR O DE MENOR A MAYOR.

SERIES ASCENDENTES

CUANDO EN LA SERIE UBICAMOS ELEMENTOS CON PATRONES QUE VAN DE MENOR A MAYOR, DECIMOS LA QUE LA SERIE ES ASCENDENTE. POR EJEMPLO:

ESTA ES UNA SERIE DE FIGURAS GEOMÉTRICAS. LA PRIMERA TIENE 3 LADOS, LA SEGUNDA TIENE 4 LADOS, LAS TERCERA TIENE 5 LADOS Y LA CUARTA FIGURA TIENE 6 LADOS. ASÍ QUE EL PATRÓN ES + 1 LADO.

TAMBIÉN SUCEDE CON LOS NÚMEROS, POR EJEMPLO:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

ESTA ES UNA SERIE NUMÉRICA ASCENDENTE PORQUE CADA NÚMERO ES MAYOR AL ANTERIOR Y EL PATRÓN ES + 1.

SERIE DESCENDENTE

CUANDO EN LA SERIE UBICAMOS ELEMENTOS CON PATRONES QUE VAN DE MAYOR A MENOR, DECIMOS LA QUE LA SERIE ES DESCENDENTE. POR EJEMPLO:

ESTA ES UNA SERIE DE RECTÁNGULOS EN LOS QUE CADA UNO ES MÁS PEQUEÑO EN TAMAÑO QUE EL ANTERIOR. EL SEGUNDO DE IZQUIERDA A DERECHA ES MÁS PEQUEÑO QUE EL ANTERIOR, EL TERCERO MÁS PEQUEÑO QUE LOS ANTERIORES, Y ASÍ SUCESIVAMENTE.

TAMBIÉN HAY SERIES NUMÉRICAS DESCENDENTES, POR EJEMPLO:

15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

ESTA ES UNA SERIE NUMÉRICA DESCENDENTE PORQUE CADA NÚMERO ES MENOR AL ANTERIOR Y EL PATRÓN ES − 1.

¡ES TU TURNO!

OBSERVA ESTAS SERIES, ¿CUÁL ES EL PATRÓN?

SOLUCIÓN

PATRÓN: CÍRCULO AZUL-CÍRCULO ROJO

SOLUCIÓN

PATRÓN: TRIÁNGULO-SOL-CUADRADO

TODOS LOS NÚMEROS TIENEN UN ORDEN, Y EN SU FUNCIÓN DE REPRESENTAR CANTIDADES, HAY UNOS QUE SON MAYORES QUE OTROS. SI TENEMOS QUE AGRUPAR FIGURAS, NOS DAMOS CUENTA QUE 4 ES MAYOR QUE 2; 5 ES MAYOR QUE 2; 3 ES MENOR QUE 4; O 3 ES MENOR QUE 5. ESTAS RELACIONES LAS MOSTRAMOS CON SIGNOS DE RELACIÓN COMO MENOR QUE “<” O MAYOR QUE “>”.

RELACIONES DE MENOR Y MAYOR QUE

OBSERVA ESTA IMAGEN, ¿CUÁL ÁRBOL TIENE MAYOR ALTURA?

EL ÁRBOL DE LA DERECHA TIENE UNA ALTURA MAYOR QUE EL DE LA IZQUIERDA.

LO MISMO SUCEDE CON LOS NÚMEROS Y PARA ESO USAMOS LOS SIGNOS DE RELACIÓN < Y >.

MENOR QUE “< “

CON ESTE SÍMBOLO < INDICAMOS QUE EL NÚMERO DE LA IZQUIERDA ES MENOR QUE EL DE LA DERECHA. POR EJEMPLO:

3 < 5 SE LEE “TRES ES MENOR QUE CINCO”.
8 < 10 SE LEE “OCHO ES MENOR QUE DIEZ”.
1 < 9 SE LEE “UNO ES MENOR QUE NUEVE”.

MAYOR “>”

CON ESTE SÍMBOLO < INDICAMOS QUE EL NÚMERO DE LA IZQUIERDA ES MAYOR QUE EL DE LA DERECHA. POR EJEMPLO:

7 > 1 SE LEE “SIETE ES MAYOR QUE UNO”.
10 > 8 SE LEE “DIEZ ES MAYOR QUE OCHO”.
5 > 4 SE LEE “CINCO ES MAYOR QUE CUATRO”.

USO DE ORDINALES PARA LA UBICACIÓN DE OBJETOS

LOS NÚMEROS ORDINALES SIRVEN PARA SABER LA POSICIÓN Y ORDEN DE LOS ELEMENTOS EN UN CONJUNTO. PUEDEN SER FEMENINOS Y MASCULINOS Y SE REPRESENTAN CON UN SÍMBOLO DEL LADO DERECHO. OBSERVA LA SIGUIENTE TABLA CON LOS PRIMEROS DIEZ NÚMERO ORDINALES:

MASCULINO		FEMENINO
1.º	PRIMERO	1.ª	PRIMERA
2.º	SEGUNDO	2.ª	SEGUNDA
3.º	TERCERO	3.ª	TERCERA
4.º	CUARTO	4.ª	CUARTA
5.º	QUINTO	5.ª	QUINTA
6.º	SEXTO	6.ª	SEXTA
7.º	SÉPTIMO	7.ª	SÉPTIMA
8.º	OCTAVO	8.ª	OCTAVA
9.º	NOVENO	9.ª	NOVENA
10.º	DÉCIMO	10.ª	DÉCIMA

– EJEMPLO:

ESTOS NIÑOS ESTÁN ORGANIZADOS SEGÚN SU ESTATURA, ¿REPRESENTAN UNA SERIE?

SÍ, ES UNA SERIE DESCENDENTE PORQUE VAN DE MAYOR A MENOR. JUAN ES EL PRIMERO Y EL MÁS ALTO; DIEGO ES EL DÉCIMO Y EL MÁS BAJO.

¡ES TU TURNO!

OBSERVA LA IMAGEN Y ESCRIBE EL ORDEN DE LAS PERSONAS.

SOLUCIÓN

EL LUGAR DE JUAN ES EL PRIMERO
EL LUGAR DE LOLO ES EL SEGUNDO.
EL LUGAR DE ANA ES EL TERCERO.
EL LUGAR DE SOFÍA ES EL CUARTO.
EL LUGAR DE NICO ES EL QUINTO.
EL LUGAR DE MAXI ES EL SEXTO.
EL LUGAR DE REINA ES EL SÉPTIMO.
EL LUGAR DE PABLO ES EL OCTAVO.
EL LUGAR DE LUNA ES EL NOVENO.
EL LUGAR DE DIEGO ES EL DÉCIMO.

¡A PRACTICAR!

1. COMPLETA LOS PATRONES.

SOLUCIÓN

2. COMPLETA LA SERIE NUMÉRICA. ¿CUÁL ES EL PATRÓN?

SOLUCIÓN

EL PATRÓN ES + 1.

3. COLOCA EL SIGNO > O < SEGÚN CORRESPONDA.

10 ____ 5

SOLUCIÓN

10 > 5

14 ____ 6

SOLUCIÓN

14 > 6

16 ____ 11

SOLUCIÓN

16 > 11

7 ____ 10

SOLUCIÓN

7 < 10

7 ____ 20

SOLUCIÓN

7 < 20

11 ____ 10

SOLUCIÓN

11 > 10

4 ____ 2

SOLUCIÓN

4 > 2

11 ____ 9

SOLUCIÓN

11 > 9

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Comparar y ordenar números”

Este artículo detalla cómo comprar y ordenar números por medio de los símbolos de relación.

VER

CAPÍTULO 1 / TEMA 7

RELACIONES

LOS NÚMEROS NATURALES SON LOS QUE USAMOS PARA CONTAR, POR EJEMPLO, LA CANTIDAD DE JUGUETES QUE TENEMOS O LAS HORAS QUE FALTAN PARA SALIR A JUGAR. TODOS ELLOS TIENEN UNA RELACIÓN CON LOS DEMÁS NÚMEROS. PARA ESCRIBIR ESTAS RELACIONES USAMOS ALGUNOS SÍMBOLOS ESPECIALES QUE APRENDERÁS HOY.

RELACIONES ENTRE NÚMEROS

TODOS LOS NÚMEROS NATURALES TIENEN UNA RELACIÓN. EN LA IMAGEN VEMOS UN ORDEN DE 1 EN 1 PORQUE CADA NÚMERO A LA DERECHA TIENE UNA UNIDAD MÁS QUE EL ANTERIOR. SI QUEREMOS SABER QUÉ NÚMERO ES MAYOR O MENOR QUE OTRO PODEMOS UTILIZAR UNA RECTA NUMÉRICA. MIENTRAS MÁS A LA DERECHA DE LA RECTA ESTÉ EL NÚMERO, MAYOR SERÁ SU VALOR.

HAY NÚMEROS QUE REPRESENTAN MÁS CANTIDAD QUE OTROS Y POR LO TANTO, TAMBIÉN HAY NÚMEROS QUE REPRESENTAN MENOS CANTIDAD QUE OTROS. ESTA RELACIÓN SE LLAMA ORDEN Y LA USAMOS CADA VEZ QUE CONTAMOS O COMPARAMOS CIFRAS.

ENTRE DOS NÚMEROS, UNO PUEDE SER MAYOR QUE OTRO, IGUAL A OTRO O MENOR QUE OTRO. CADA RELACIÓN TIENE UN SÍMBOLO ÚNICO PARA QUE PUEDAS DIFERENCIARLO.

MAYOR QUE

CUANDO ESCRIBIMOS NÚMEROS PODEMOS VER QUE UNOS REPRESENTAN MÁS CANTIDADES QUE OTROS. POR EJEMPLO:

¿CUÁNTOS CANGREJOS HAY EN LA CAJA ROJA?

HAY 24 CANGREJOS.

¿CUÁNTO CANGREJOS HAY EN LA CAJA AZUL?

HAY 12 CANGREJOS.

¿CUÁL CAJA TIENE MAYOR CANTIDAD DE CANGREJOS?

LA CAJA ROJA TIENE MAYOR CANTIDAD DE CANGREJOS PORQUE 24 ES MAYOR QUE 12.

ESTA RELACIÓN ENTRE DOS NÚMEROS LA PODEMOS ESCRIBIR CON EL SÍMBOLO > QUE SIGNIFICA “MAYOR QUE”.

24 > 12

SI UBICAMOS CADA NÚMERO EN LA RECTA NUMÉRICA TENEMOS QUE:

EL NÚMERO 24 ES MAYOR QUE 12 PORQUE SE ENCUENTRA MÁS A LA DERECHA EN LA RECTA NUMÉRICA.

OTRO EJEMPLO:

OBSERVA ESTOS NÚMEROS, ¿CUÁL ES MAYOR?

365 357

PARA RESPONDER LA PREGUNTA DEBEMOS REPRESENTAR EN LA RECTA NUMÉRICA CADA NÚMERO Y COMPARARLOS:

COMO EL 365 ESTÁ MÁS A LA DERECHA EN LA RECTA, 365 ES MAYOR QUE 357. ENTONCES:

365 > 357

¡A ORDENAR NÚMEROS!

ORDENA DE MAYOR A MENOR ESTOS NÚMEROS. USA EL SÍMBOLO “MAYOR QUE” PARA REPRESENTAR LA RELACIÓN ENTRE CADA UNO DE ELLOS.

125 – 89 – 856 – 632

SOLUCIÓN

856 > 632 > 125 > 89

IGUAL QUE

ES POSIBLE QUE DOS CANTIDADES SEAN IGUALES. POR EJEMPLO:

CADA CAJA TIENE CARACOLAS MARINAS, ¿CUÁNTAS HAY EN LA CAJA ROJA?, ¿CUÁNTAS HAY EN LA CAJA AZUL?

EN LAS DOS CAJAS HAY LO MISMO: 15 CARACOLAS MARINAS.

CUANDO DOS NÚMEROS SON IGUALES USAMOS EL SÍMBOLO = QUE SIGNIFICA “IGUAL A “.

15 = 15

EL SÍMBOLO DE IGUALDAD TAMBIÉN SIRVE PARA DEMOSTRAR QUE UN NÚMERO ES IGUAL A LA SUMA DE OTROS. EJEMPLO:

15 = 10 + 5

15 = 5 + 5 + 5

15 = 2 + 3 + 2 + 3 + 2 + 3

SI BUSCAMOS REPRESENTAR LA IGUALDAD EN UNA RECTA NUMÉRICA, LOS DOS NÚMEROS SERÁN REPRESENTADOS EN EL MISMO LUGAR.

¡COMPAREMOS NÚMEROS!

INDICA SI ESTAS IGUALDADES SON CORRECTAS:

543 = 500 + 40 + 3

SOLUCIÓN

CORRECTO.

123 = 10 + 2 + 3

SOLUCIÓN

INCORRECTO. LA DESCOMPOSICIÓN ADITIVA DE 123 = 100 + 20 + 3.

LA IGUALDAD

SIEMPRE QUE DOS EXPRESIONES SEAN IGUALES DECIMOS QUE HAY UNA IGUALDAD MATEMÁTICA. EL SIGNO USADO ES =. ESTE SIGNO FUE CREADO POR ROBERT RECORDE EN 1557. ÉL USÓ DOS RECTAS PARALELAS PARA REPRESENTARLO.

MENOR QUE

ALGUNOS NÚMEROS REPRESENTAN MENOS CANTIDADES QUE OTROS. POR EJEMPLO:

¿CUÁNTOS PECES HAY EN LA CAJA ROJA?

HAY 18 PECES.

¿CUÁNTOS PECES HAY EN LA CAJA AZUL?

HAY 21 PECES.

¿CUÁL CAJA TIENE MENOR CANTIDAD DE PECES?

LA CAJA ROJA TIENE MENOR CANTIDAD DE PECES PORQUE 18 ES MENOR QUE 21.

ESTA RELACIÓN ENTRE DOS NÚMEROS LA PODEMOS ESCRIBIR CON EL SÍMBOLO < QUE SIGNIFICA “MENOR QUE”.

18 < 21

SI UBICAMOS CADA NÚMERO EN LA RECTA NUMÉRICA TENEMOS QUE:

EL NÚMERO 18 ES MENOR QUE 21 PORQUE SE ENCUENTRA MÁS A LA IZQUIERDA EN LA RECTA NUMÉRICA.

OTRO EJEMPLO:

OBSERVA ESTOS NÚMEROS, ¿CUÁL ES MENOR?

433 448

PARA RESPONDER LA PREGUNTA DEBEMOS REPRESENTAR EN LA RECTA NUMÉRICA CADA NÚMERO Y COMPARARLOS:

COMO EL 433 ESTÁ MÁS A LA IZQUIERDA EN LA RECTA, 433 ES MENOR QUE 448. ENTONCES:

433 < 448

¿SABÍAS QUÉ?

LA ABERTURA DE LOS SÍMBOLOS < Y > SIEMPRE IRÁ HACIA EL NÚMERO MAYOR, Y LA PUNTA IRÁ HACIA EL NÚMERO MENOR.

¡A ORDENAR NÚMEROS!

ORDENA DE MENOR A MAYOR ESTOS NÚMEROS. USA EL SÍMBOLO “MENOR QUE” PARA REPRESENTAR LA RELACIÓN ENTRE CADA UNO DE ELLOS.

489 – 511 – 263 – 384

SOLUCIÓN

263 < 384 < 489 < 511

LOS SÍMBOLOS DE RELACIÓN SIRVEN PARA QUE COMPAREMOS CANTIDADES. ES POSIBLE QUE NO NOS DEMOS CUENTA, PERO SIEMPRE LOS USAMOS. POR EJEMPLO, MIENTRAS MÁS AÑOS TENEMOS, MÁS ALTOS SOMOS. SI MARCAMOS EN LA PARED NUESTRA ESTATURA VEREMOS QUE CADA AÑO LA MEDIDA ES MAYOR QUE LA ANTERIOR, O VISTO DE OTRO MODO, QUE LA ESTATURA ANTERIOR ES MENOR QUE LA ACTUAL.

¡A PRACTICAR!

1. COLOCA EL SÍMBOLO DE RELACIÓN QUE CORRESPONDA:

64 ___ 89

SOLUCIÓN

64 < 89

159 ___ 685

SOLUCIÓN

159 < 685

745 ___ 700 + 40 + 5

SOLUCIÓN

745 = 700 + 40 + 5

4 + 40 ___ 20 + 7

SOLUCIÓN

4 + 40 = 44 > 27 = 20 + 7

999 ___ 654

SOLUCIÓN

999 > 654

80 + 4 ___ 84

SOLUCIÓN

80 + 4 = 84

2. ESCRIBE SI LA RELACIÓN ES VERDADERA O FALSA.

5 = 8

SOLUCIÓN

FALSO. 5 < 8

85 < 85

SOLUCIÓN

FALSO. 85 = 85

196 < 852

SOLUCIÓN

VERDADERO.

458 > 655

SOLUCIÓN

FALSO. 458 < 655

351 < 536

SOLUCIÓN

VERDADERO.

758 = 663

SOLUCIÓN

FALSO. 758 > 663

3. ORDENA DE MENOR A MAYOR:

78 – 96 – 499 – 164 – 8 – 968 – 781 – 63 – 19 – 82

SOLUCIÓN

8 < 19 < 63 < 78 < 82 < 96 < 164 < 499 < 781 < 968

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Comparar y ordenar números”

En el siguiente artículo hay más ejercicios para la práctica de la relación de números: mayor que y menor que.

VER

CAPÍTULO 4 / TEMA 4

POSICIÓN Y DESPLAZAMIENTO

CASI TODOS LOS CUERPOS ESTÁN EN MOVIMIENTO Y POR LO TANTO, SU POSICIÓN EN EL ESPACIO CAMBIA. JUSTO AHORA PODEMOS ESTAR FRENTE A LA COMPUTADORA, PERO LUEGO PODEMOS ESTAR EN OTRA CASA O CIUDAD. LOS EJES CARTESIANOS AYUDAN A UBICAR PUNTOS EN UN PLANO Y SI LOS USAMOS EN UN MAPA, TAMBIÉN NOS SIRVEN PARA UBICAR PERSONAS Y LUGARES DEL MUNDO.

RELACIONES ESPACIALES

PARA UBICAR ELEMENTOS EN EL ESPACIO USAMOS LAS RELACIONES ESPACIALES. ESTAS NO INDICAN LA POSICIÓN DE ALGO O ALGUIEN RESPECTO A OTRA COSA. POR LO GENERAL SE UTILIZAN LAS SIGUIENTES EXPRESIONES:

ARRIBA

↑

ABAJO

↓

IZQUIERDA

←

DERECHA

→

OBSERVA ESTA IMAGEN. ¿QUÉ POSICIÓN TIENEN LOS OBJETOS RESPECTO A OTROS? EJEMPLO: – LOS LIBROS ESTÁN ARRIBA DE LA REPISA. – LA PANTALLA DE LA COMPUTADORA ESTÁ DEBAJO DE LOS LIBROS. – EL RELOJ ESTÁ A LA DERECHA DE LA PANTALLA DE LA COMPUTADORA. – LA LÁMPARA ESTÁ A LA IZQUIERDA DE LOS MARCADORES. HAY MÁS RELACIONES ESPACIALES, ¡DESCÚBRELAS!

¡ES TU TURNO!

OBSERVA DE NUEVO LA IMAGEN Y RESPONDE:

¿EN QUÉ POSICIÓN ESTÁ LA PANTALLA DE LA COMPUTADORA RESPECTO A LA MESA?
SOLUCIÓN
LA PANTALLA DE LA COMPUTADORA ESTÁ ARRIBA DE LA MESA.

¿EN QUÉ POSICIÓN ESTÁ LA LÁMPARA RESPECTO A LA REPISA?
SOLUCIÓN
LA LÁMPARA ESTÁ ABAJO DE LA REPISA.

¿EN QUÉ POSICIÓN ESTÁN LOS MARCADORES RESPECTO A LA LÁMPARA?
SOLUCIÓN
LOS MARCADORES ESTÁN A LA DERECHA DE LA LÁMPARA.

¿cómo GRAFICAR LA POSICIÓN DE ELEMENTOS?

PODEMOS GRAFICAR Y UBICAR LA POSICIÓN DE CUALQUIER PUNTO EN UN PLANO POR MEDIO DE EJES DE COORDENADAS EN UN DIAGRAMA CARTESIANO.

LOS EJES CARTESIANOS SON DOS LÍNEAS QUE SE CRUZAN, UNA TIENE UNA ORIENTACIÓN VERTICAL, LLAMADA “Y”, Y LA OTRA UNA ORIENTACIÓN HORIZONTAL, LLAMADA “X“. EN CONJUNTO, DAN A CONOCER LA POSICIÓN DE UN PUNTO EN EL PLANO.

– EJEMPLO:

ESTA ES UNA CUADRÍCULA CON EJES COORDENADOS. CUANDO UN DATO DEL EJE X SE CRUZA CON UNA DATO DEL EJE Y TENEMOS LAS COORDENADAS O UBICACIÓN DEL OBJETO.

¿CÓMO ESCRIBIR LAS COORDENADAS DE UN PUNTO?

PARA ESCRIBIR LAS COORDENADAS PRIMERO VEMOS LAS DEL EJE X Y LUEGO LAS DEL EJE Y. LOS DOS NÚMEROS SE SEPARAN CON UNA COMA Y SE ENCIERRA ENTRE PARÉNTESIS. ENTONCES, LAS COORDENADAS DE LAS FIGURAS EN EL DIAGRAMA CARTESIANO ANTERIOR SON LAS LAS SIGUIENTES:

FIGURA	COORDENADAS
ESTRELLA	(3, 5)
LUNA	(1, 3)
CORAZÓN	(6, 2)

– EJEMPLO 2:

CADA PUNTO TIENE UNA LETRA. UBIQUEMOS LAS COORDENADAS DE CADA PUNTO.

PUNTO	COORDENADAS
A	(4, 2)
B	(1, 1)
C	(2, 3)
D	(5, 6)
E	(1, 6)
F	(0, 4)

¿SABÍAS QUÉ?

CUANDO UN PUNTO ESTÁ UBICADO DIRECTAMENTE SOBRE UN EJE, QUIERE DECIR QUE EL VALOR DEL OTRO EJE ES CERO, POR EJEMPLO (0, 4) SIGNIFICA QUE EL DATO DEL EJE X ES 0 Y EL DEL EJE Y ES 4.

¡ES TU TURNO!

OBSERVA DE NUEVO LA CUADRÍCULA. COMPLETA LA TABLA CON LAS COORDENADAS DE LOS PUNTOS.

SOLUCIÓN

PUNTO	COORDENADAS
A	(4, 2)
B	(1, 1)
C	(2, 3)
D	(5, 6)
E	(1, 6)
F	(0, 4)
G	(0, 5)
H	(6, 4)
I	(3, 5)

TRASLACIÓN

LA TRASLACIÓN ES UN MOVIMIENTO EN EL QUE CADA PUNTO DE LA FIGURA SIGUE UNA MISMA DIRECCIÓN. LA FIGURA GEOMÉTRICA TRASLADADA NO GIRA NI CAMBIA DE TAMAÑO.

ROTACIÓN

LA ROTACIÓN ES UN MOVIMIENTO O GIRO ALREDEDOR DE UN CENTRO DE ROTACIÓN.

MOVIMIENTOS DE LA TIERRA

NUESTRO PLANETA REALIZA TANTO EL MOVIMIENTO DE ROTACIÓN COMO EL DE TRASLACIÓN. CUANDO ROTA O GIRA SOBRE SU PROPIO EJE SE PRODUCE EL DÍA Y LA NOCHE. CUANDO SE TRASLADA ALREDEDOR DEL SOL SE CUMPLE UN AÑO O 365 DÍAS.

LOS MAPAS Y SU IMPORTANCIA

LOS EJES DE COORDENADAS TAMBIÉN LOS VEMOS EN LOS MAPAS. GRACIAS A ELLAS PODEMOS LOCALIZAR CUALQUIER CIUDAD O PERSONA EN EL MUNDO. LOS EJES DE COORDENADAS PERMITEN QUE CADA UBICACIÓN EN NUESTRO PLANETA SEA ESPECIFICADA CON NÚMEROS, LETRAS Y SÍMBOLOS. POR EJEMPLO, LA LATITUD DE LOS MAPAS DETERMINA EL EJE X Y LA LONGITUD DETERMINA EL EJE Y.

ESTE ES UN MAPAMUNDI, TAMBIÉN CONOCIDO COMO PLANISFERIO. EN ÉL VEMOS TODA LA SUPERFICIE DE NUESTRO PLANETA COMO UN PLANO. ESTE MAPA MUESTRA DOS TIPOS DE LÍNEAS: UNAS HORIZONTALES QUE REPRESENTAN LA LATITUD; Y UNAS VERTICALES QUE REPRESENTAN LA LONGITUD. ASÍ COMO EN UNA CUADRÍCULA, LA UNIÓN DE LOS DATOS NOS INFORMA LAS COORDENADAS DE UN PUNTO.

¡A PRACTICAR!

1. OBSERVA LA CUADRÍCULA. EN ELLA SE VEN LOS RECORRIDOS QUE PUEDE HACER EL PERRO HASTA SU HUESO, HASTA SU DUEÑO O HASTA SU CASA. RESPONDE LAS PREGUNTAS.

¿CÓMO ES EL RECORRIDO DEL PERRO HASTA SU HUESO?
SOLUCIÓN
5 ESPACIOS HACIA ARRIBA Y UN ESPACIO A LA DERECHA.

¿CÓMO ES EL RECORRIDO DEL PERRO HASTA SU DUEÑO?
SOLUCIÓN
3 ESPACIOS HACIA ARRIBA Y 3 ESPACIOS A LA DERECHA.

¿CÓMO ES EL RECORRIDO DEL PERRO HASTA SU CASA?
SOLUCIÓN
5 ESPACIOS A LA DERECHA Y UN ESPACIO HACIA ARRIBA.

¿CÓMO ES EL RECORRIDO DEL DUEÑO HASTA EL PERRO?
SOLUCIÓN
3 ESPACIOS A LA IZQUIERDA Y 3 ESPACIOS HACIA ABAJO.

¿CUÁLES SON LAS COORDENADAS DEL PERRO?
SOLUCIÓN
(1, 1)

¿CUÁLES SON LAS COORDENADAS DEL HUESO?
SOLUCIÓN
(2, 6)

¿CUÁLES SON LAS COORDENADAS DEL DUEÑO?
SOLUCIÓN
(4, 4)

¿CUÁLES SON LAS COORDENADAS DE LA CASA DEL PERRO?
SOLUCIÓN
(6, 2)

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Simetrías”

Con este recurso se podrá ampliar la información sobre los movimientos en el plano

VER

CAPÍTULO 5 / TEMA 7

La circunferencia

Una de las curvas más estudiadas en la geometría es, sin duda, la circunferencia. Tiene características únicas y ha sido pieza fundamental en invenciones humanas como la rueda. Para trazar esta figura usamos el compás, y su longitud está determinada por un número muy particular: el número pi.

¿Qué es una circunferencia?

Es la curva plana y cerrada cuyos puntos equidistan del centro; es decir, están a la misma distancia del centro de la circunferencia.

Los griegos y la circunferencia

Sin lugar a duda, los antiguos griegos tuvieron una gran influencia en el perfeccionamiento de la geometría. Para ellos, la línea recta y la circunferencia eran muy importantes en sus construcciones matemáticas, lo que permitió que realizaran increíbles descubrimientos para su época. Por ejemplo, Eratóstene de Cirene, que vivió entre 276 y 194 a. C., fue la primera persona en calcular la circunferencia de la Tierra.

Elementos de la circunferencia

En la circunferencia se pueden observar los siguientes elementos:

Centro: es el punto en torno al cual equidistan todos los puntos de la curva.

Radio: es un segmento de recta que une el centro de la circunferencia con cualquiera de sus puntos.

Diámetro: es un segmento de recta que une a dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro de la misma. Su longitud es igual al doble del radio.

Cuerda: es un segmento de recta que une a dos puntos de la circunferencia sin pasar por el centro.

Arco: es una porción de la circunferencia que se encuentra limitada por una cuerda.

Semicircunferencia: es la porción de circunferencia limitada por el diámetro. Equivale a la mitad de la circunferencia.

Posiciones de una recta en relación a la circunferencia

Recta tangente: es la recta que comparte un mismo y único punto con la circunferencia.

Recta secante: es la recta que comparte dos puntos con la circunferencia.

Recta exterior: es la recta que no comparte ningún punto con la circunferencia.

¿Sabías qué?

La circunferencia de la tierra mide cerca de 40.000 km de longitud.

Diferencia entre círculo y circunferencia

Es posible que confundamos los conceptos de círculo y circunferencia porque están muy relacionados entre sí, pero se trata de dos términos diferentes. El círculo es una figura plana que corresponde al área contenida dentro de una circunferencia. La circunferencia, por su parte, representa el perímetro del círculo, es decir, es la línea que forma el contorno de la figura.

VER INFOGRAFÍA

El círculo es una figura que presenta diferentes elementos, como el semicírculo, los sectores circulares y los segmentos circulares. El primero es el área comprendida entre el diámetro y una semicircunferencia; el segundo consiste en las regiones comprendidas entre dos radios y el arco que estos forman; y el tercero se trata de los segmentos que se forman entre una cuerda y su arco.

Trazado de circunferencias

El compás es el instrumento por excelencia para trazar circunferencias y su origen es muy antiguo. Un compás consta de los siguientes elementos principales:

Un mango.
Una punta metálica.
Una punta trazadora.
Dos brazos regulables.

El uso de esta herramienta es relativamente sencillo. Para trazar una circunferencia con un compás lo primero que debemos hacer es conocer el radio de la circunferencia y trazarlo con la ayuda de una regla. Luego posicionamos la punta metálica en uno de los extremos del segmento y luego abrimos los brazos hasta que la punta trazadora esté ubicada en el otro extremo del segmento. Finalmente, con ayuda del mango, trazamos la circunferencia.

Circunferencias a nuestro alrededor

Un anillo o un aro son ejemplos de circunferencias, pero hay muchos más. Al ser una circunferencia el contorno de un círculo, la observamos en los bordes de las ruedas de los autos, en un molde para hacer una torta o un pastel y hasta incluso en juguetes como los platos voladores.

Las circunferencias han sido elementos fundamentales en el desarrollo de la geometría y con ello también han permitido a los seres humanos realizar grandes invenciones como la rueda.

La circunferencia es el contorno de una de las figuras más comunes: el círculo. Es frecuente observarlas en platos, ruedas, pasteles, diseños y pinturas. Han permitido realizar cálculos y aproximaciones, como el descubrimiento del número pi que relaciona la longitud de la circunferencia con su radio y que ha tenido numerosas aplicaciones prácticas.

¡A practicar!

Además del centro, ¿qué elementos de la circunferencia observas?

Solución

Diámetro.

Solución

Arco.

Solución

Cuerda.

Solución

Radio.

2. ¿Cuál de las siguientes rectas es una tangente?

Solución

Es tangente porque solo comparte un punto en común con la circunferencia.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Circunferencia”

El siguiente artículo explica de forma resumida qué es una circunferencia y los diferentes elementos que la integran como el radio, la cuerda, el diámetro, etc.

VER

Artículo “Ángulos en la circunferencia”

Este artículo relaciona los conceptos de ángulo y circunferencia, así como también explica sus características.

VER

CAPÍTULO 1 / TEMA 8 (REVISIÓN)

SISTEMAS NUMÉRICOS | ¿QUÉ APRENDIMOS?

LECTURA Y CONTEO

NUESTRO SISTEMA DE NUMERACIÓN ES DECIMAL Y POSICIONAL. ES DECIMAL PORQUE ESTÁ FORMADO POR DIEZ CIFRAS Y ES POSICIONAL PORQUE CADA CIFRA TIENE UN VALOR DIFERENTE SEGÚN SU POSICIÓN. ESTOS DOS ASPECTOS DETERMINAN LA LECTURA Y ESCRITURA DE TODOS LOS NÚMEROS. CADA NÚMERO DEL 0 AL 29 SE NOMBRA CON UNA SOLA PALABRA, POR EJEMPLO, ONCE (11) O VEINTICINCO (25). A PARTIR DE 31 SE NOMBRAN CON TRES PALABRAS, COMO CUARENTA Y DOS (42) U OCHENTA Y UNO (81).

VALOR POSICIONAL

EL SISTEMA DE NUMERACIÓN ES POSICIONAL, ESTO QUIERE DECIR QUE, SEGÚN LA POSICIÓN QUE UNA CIFRA TENGA DENTRO DE UN NÚMERO, SU VALOR SERÁ DIFERENTE. LAS POSICIONES DE CADA CIFRA EN UN NÚMERO TIENEN UN NOMBRE. DE DERECHA A IZQUIERDA: LA UNIDAD ES LA PRIMERA CIFRA Y VALOR 1; LA CENTENA ES LA SEGUNDA CIFRA Y VALE 10; LA CENTENA ES LA TERCERA CIFRA Y VALE 100.

EL NÚMERO 324 TIENE 3 CENTENAS, 2 DECENAS Y 4 UNIDADES. NO ES IGUAL AL NÚMERO 423 QUE TIENE 4 CENTENAS, 2 DECENAS Y 3 UNIDADES.

NÚMEROS ORDINALES

LOS NÚMEROS ORDINALES NOS INDICAN EL ORDEN O POSICIÓN DE LOS OBJETOS, LAS PERSONAS O LAS COSAS. ESTOS SON MUY UTILIZADOS EN LA VIDA COTIDIANA Y LOS PODEMOS VER EN MUCHAS SITUACIONES. LA ESCRITURA DE LOS NÚMEROS ORDINALES VA A DEPENDER DEL GÉNERO CON EL QUE ESTÁ RELACIONADO, POR EJEMPLO, MARÍA ES LA PRIMERA DE SU CLASE, Y JOSÉ ES EL SEGUNDO.

NÚMEROS ROMANOS

EN LA ANTIGÜEDAD, DIFERENTES CIVILIZACIONES CREABAN SUS PROPIOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN. LOS ROMANOS CREARON EL SISTEMA DE NUMERACIÓN ROMANA QUE CUENTA CON SIETE LETRAS DE NUESTRO ALFABETO: I, V, X, L, C, D, M. CADA UNA TIENE UN VALOR QUE NO CAMBIARÁ SIN IMPORTAR EL ORDEN EN QUE SE ESCRIBAN. LAS COMBINACIONES ENTRE ESTAS LETRAS SIGUEN UNAS REGLAS DE SUMA, RESTA Y MULTIPLICACIÓN PARA FORMAR LOS NÚMEROS DEL SISTEMA DECIMAL.

SERIES NUMÉRICAS

LAS SERIES NUMÉRICAS NOS AYUDAN A ESTABLECER UN ORDEN Y UNA RELACIÓN ENTRE NÚMEROS. ESTA SUCESIÓN DE NÚMEROS UNO AL LADO DE OTRO TIENEN DISTINTAS CARACTERÍSTICAS QUE LAS RELACIONAN Y PUEDEN SER PROGRESIVAS, CUANDO VAN DE MENOR A MAYOR; O REGRESIVAS, CUANDO VAN DE MAYOR A MENOR. EL PATRÓN, O REGLA EN COMÚN, PUEDE ESTAR DETERMINADO POR UNA SUMA O UNA RESTA.

CONTAR DE UNO EN UNO ES UNA SERIE NUMÉRICA QUE SIGUE UN PATRÓN IGUAL A +1 PORQUE CADA NÚMERO TIENE UNA UNIDAD MÁS QUE EL ANTERIOR.

CONJUNTO

UN CONJUNTO ES UN GRUPO DE OBJETOS QUE ESTÁN AGRUPADOS Y COMPARTEN UNA CARACTERÍSTICA EN COMÚN. LOS OBJETOS QUE ESTÁN DENTRO DE UN CONJUNTO SE LLAMAN ELEMENTOS Y PUEDEN SER DE CUALQUIER TIPO. POR OTRO LADO, ALGUNOS ELEMENTOS DE UN CONJUNTO TAMBIÉN PUEDEN PERTENECER A OTRO CONJUNTO INTERNO POR OTRA CARACTERÍSTICA QUE LO IDENTIFIQUE, A ESTOS SE LOS DENOMINA SUBCONJUNTOS.

RELACIONES

TODOS LOS NÚMEROS QUE USAMOS PARA CONTAR TIENEN UNA RELACIÓN ENTRE SÍ. AL COMPARARLOS PODEMOS USAR SÍMBOLOS DE RELACIÓN: “>” QUE SIGNIFICA QUE UN NÚMERO ES MAYOR QUE OTRO (8 > 2), “=” QUE SIGNIFICA QUE UN NÚMERO ES IGUAL A OTRO (5 = 5); O “<” QUE SIGNIFICA QUE UN NÚMERO ES MENOR QUE OTRO (2 < 8). OTRA MANERA SENCILLA Y MUY ÚTIL DE COMPARAR NÚMEROS ES A TRAVÉS DE UNA RECTA NUMÉRICA.

EL SÍMBOLO DE LA IGUALDAD LO USAMOS PARA DEMOSTRAR QUE UN NÚMERO ES IGUAL A LA SUMA DE OTRO. POR EJEMPLO, 2 = 2, PERO TAMBIÉN 2 = 1 + 1.

CAPÍTULO 3 / TEMA 6 (REVISIÓN)

Fracciones | ¿Qué aprendimos?

¿Qué son las fracciones?

Una fracción está formada por dos términos principales: el numerador y el denominador. Estos son números enteros que están separados por una línea horizontal denominada raya divisoria o raya fraccionaria. Una fracción es la división de un entero o una unidad en partes iguales. El numerador indica las partes a considerar de esa división y el denominador indica las partes en las que se dividió el entero o unidad. Estos números son más antiguos que lo que se piensa y están relacionados con la división.

Fracciones diversas

De acuerdo a la relación que exista entre el numerador y el denominador, las fracciones pueden ser propias o impropias. Las fracciones propias son aquellas en las que el numerador es menor que el denominador, contrario a las fracciones impropias, en las que el numerador es mayor que el denominador. Por otro lado, si comparamos dos o más fracciones, estas pueden ser homogéneas o heterogéneas. Las fracciones homogéneas son las que poseen el mismo denominador, las heterogéneas, en cambio, presentan diferentes denominadores.

Las fracciones pueden expresarse en forma de gráfica o viceversa. Lo emocionante de ellas es que las usamos a diario para dividir cosas o cantidades.

Gráficas de fracciones

Las fracciones suelen expresarse en gráficos para interpretar de manera más sencilla los datos. La forma para representar estos gráficos dependen del tipo de fracción. Si la fracción es propia elegimos cualquier figura, la dividimos en partes iguales según el denominador y señalamos las partes que indique el numerador. Cuando se trata de una fracción impropia dividimos una figura geométrica en las partes que señale el denominador, pero debido a que en este tipo de fracción el numerador es mayor que el denominador, serán necesarias más de una figuras.

Los números mixtos son un tipo de número fraccionario que posee una parte entera y otra fraccionaria.

Orden de fracción

Las fracciones presentan un sentido de orden, es decir, hay fracciones que son mayores o menores que otras. Una herramienta muy útil para reconocer este orden es la recta numérica. Se trata de un gráfico en forma de línea horizontal en el que los números están ordenados de menor a mayor. Para ubicar fracciones propias en la recta numérica dividimos la unidad en segmentos iguales según indique el denominador y la fracción se ubicaría en el número de segmento indicado por el numerador. Las fracciones impropias, por su parte, deben ser transformadas en números mixtos.

En la recta numérica, si se toma un número como referencia, los números de su izquierda son menores a él y los de la derecha mayores.

Problemas con fracciones

Las fracciones, además de ayudarnos a resolver problemas que impliquen proporciones, nos permiten resolver las operaciones básicas matemáticas como la adición, la sustracción, la multiplicación y al división. En el caso de la adición y la sustracción de fracciones debemos tener en cuenta su tipo: si las fracciones son homogéneas sumamos o restamos los numeradores y colocamos el denominador, si son heterogéneas usamos el método de cruz para resolverlas. Las multiplicaciones se resuelven de forma lineal, al multiplicar los numeradores y los denominadores.

La adición y sustracción de fracciones heterogéneas suele realizarse por el método en cruz que permite calcular de manera directa fracciones equivalentes.

CAPÍTULO 3 / TEMA 4

Orden de Fracción

Las fracciones forman parte del conjunto de números racionales. Estos números pueden ser expresados como cociente de un número entero y un número natural. Todos los números siguen una secuencia, por lo tanto, es posible ordenarlos en la recta numérica y determinar cuál número es mayor, menor o igual a otro.

Ordenar fracciones en la recta numérica

La recta numérica es un recurso muy útil para comparar números. Consiste en un gráfico en forma de línea en el que se ordenan los números de menor a mayor en sentido de izquierda a derecha.

Las fracciones propias (las que tienen el numerador menor que el denominador) son las más fáciles de graficar porque solo tienes que dividir la unidad en tantos segmentos iguales como indique el denominador y luego, según el numerador, contar los segmentos y ubicar la fracción en la recta.

Por ejemplo, si queremos graficar la fracción $\frac{5}{6}$ , tenemos que dividir la unidad en seis segmentos iguales:

Para ubicar la fracción contamos los segmentos que nos indique el numerador, como en este caso el numerador es cinco (5), se cuentan cinco segmentos a partir del cero:

Por medio del diagrama anterior también podemos graficar la fracción $\frac{1}{6}$ , que es una fracción que comparte el mismo denominador con la fracción $\frac{5}{6}$ ya ubicada en la gráfica. Al seguir los mismos pasos anteriores se obtiene:

Las fracciones con el mismo denominador se pueden comparar fácilmente, la que tenga el numerador mayor será también la mayor fracción. Es por eso que $\frac{5}{6}$ es mayor que $\frac{1}{6}$ .

¿Sabías qué?

En la recta numérica, un número es mayor a los números ubicados a su izquierda y menor a los ubicados a su derecha.

¿Qué hacer si tenemos dos fracciones con denominadores diferentes?

Cuando existan dos fracciones con denominadores diferentes multiplicamos el numerador y denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción, y así, tendremos una fracción equivalente. Luego se hace lo mismo con la segunda fracción pero se multiplica su numerador y denominador por el denominador de la primera fracción.

Las dos fracciones obtenidas tendrán el mismo denominador y de esta manera, solo queda ubicar la fracción en la recta tal como se explicó en el punto anterior.

Por ejemplo, si queremos ubicar las fracciones $\frac{1}{2}$ y $\frac{3}{4}$ en la recta numérica, no podemos dividir la recta en segmentos iguales porque no comparten el mismo denominador. Entonces determinamos fracciones equivalentes de cada una, es decir, calculamos fracciones que con diferente valor de numerador y denominador representan la misma cantidad.

Para calcular la fracción equivalente de $\frac{1}{2}$ multiplicamos su numerador y denominador por el denominador de la segunda fracción que es cuatro (4):

$\frac{1\times 4}{2\times 4}= \frac{4}{8}$

En este sentido, la fracción $\frac{4}{8}$ es equivalente a $\frac{1}{2}$ .

Calculamos ahora la fracción equivalente de $\frac{3}{4}$ que se obtiene al multiplicar su numerador y denominador por el denominador de la primera fracción que es dos (2).

$\frac{3\times 2}{4\times 2}= \frac{6}{8}$

De esta manera obtenemos la fracción $\frac{6}{8}$ que es equivalente con $\frac{3}{4}$ .

Las fracciones $\frac{4}{8}$ y $\frac{6}{8}$ son equivalentes con las fracciones anteriores. Observemos que tienen el mismo denominador y para poder ubicarlas en la recta numérica debemos dividir la unidad en 8 segmentos iguales, después escribimos cada fracción en el número de segmento que indique su respectivo numerador. El gráfico quedaría:

Como $\frac{4}{8}$ representa la misma cantidad que $\frac{1}{2}$ , y $\frac{6}{8}$ representa la misma cantidad que $\frac{3}{4}$ . Estas fracciones pueden ser sustituidas en la recta numérica anterior:

De la imagen anterior se puede que concluir que $\frac{3}{4}$ es mayor que $\frac{1}{2}$ por estar ubicado a su derecha.

La recta numérica es una herramienta muy usada para ordenar y observar de manera más sencilla los datos. Este simple gráfico, además de los números naturales, permite ubicar números negativos, números racionales y números irracionales. Hay disciplinas como la física que emplean este tipo de diagrama para resolver problemas de cuerpos en movimiento.

¿Qué hacer si la fracción es impropia?

Si la fracción es impropia (aquella que su numerador es mayor que el denominador) se debe transformar a un número mixto: un número formado por una parte entera y una fracción. En la gráfica, la fracción impropia estará ubicada entre el número entero del número mixto y el número siguiente de la recta. La ubicación exacta la proporciona la parte fraccionaria y la graficamos como se explicó en los casos anteriores.

Pasos para transformar una fracción impropia a un número mixto

1. Divide el numerador entre el denominador.

2. Escribe el cociente de la división anterior, el mismo será la parte entera del número mixto.

3. Escribe al lado de la parte entera la fracción del número mixto. En esta, el numerador será igual al resto de la división y el denominador será el mismo de la fracción original.

– Grafiquemos la fracción $\frac{5}{3}$

Lo primero es transformar la fracción a número mixto, para esto solo debes dividir el numerador entre el denominador:

El número mixto será $1\frac{2}{3}$ . Observa que:

La parte entera es el cociente de la división: 1.
El numerador de la parte fraccionaria es el resto: 2.
El denominador de la parte fraccionaria es el mismo de la fracción original: 3.

Ahora que tenemos nuestro número mixto sabemos que la fracción se encuentra ubicada entre el 1 y el 2 de la recta numérica, pero no sabemos en qué lugar. Para ello debemos hacer los mismos pasos que hicimos inicialmente para graficar fracciones, es decir, dividir el entero o unidad (que en este caso será el intervalo comprendido entre 1 y 2. Como el divisor es tres (3) entonces dividimos el intervalo en tres segmentos iguales:

Luego ubicamos la fracción de acuerdo a la cantidad de segmentos que indique el numerador. De esta manera, el número mixto que es igual a la fracción original se ubicaría así:

Relación de orden entre fracciones y naturales

Los números que se representan en la recta numérica cumplen el mismo criterio: los números de la izquierda de un número son menores a este y los de su derecha son mayores. Es por ello que representar las fracciones en la recta es de gran utilidad, pues permite relacionar los números de manera más fácil.
En el ejemplo anterior, la fracción $\frac{5}{3}$ se ubica en la gráfica entre el número 1 y el número 2. De esta manera, la fracción es mayor a 1 por estar a su derecha pero es menor que 2 por estar a su izquierda.

Uso de los símbolos “>” y “<“

Hay números naturales o fraccionarios que representan una mayor cantidad que otros. Por ejemplo, no es lo mismo decir 3 computadoras que decir 1.500 computadoras. Esta relación entre los números se denomina orden y nos permite diferenciar números mayores o menores.

En la práctica se emplean los símbolos “>” y “<” para denotar el orden de los números:

Símbolo	Significado
>	Mayor que
<	Menor que

Por ejemplo, el 5 es mayor que el 2, entonces, se puede expresar como $5> 2$ . Por otro lado, el número 3 es menor que el 9, en este caso se expresaría como $3<9$ .

La misma teoría es aplicada a las fracciones. De los ejemplos anteriores tenemos que:

a) $\frac{3}{4}> \frac{1}{2}$

b) $\frac{5}{3}<2$

¿Cómo reconocer cuando una fracción es menor o mayor que otra?

Si las fracciones tienen el mismo denominador, se comparan los numeradores, el numerador mayor corresponde a la fracción mayor. Por ejemplo:

a) $\frac{5}{2}> \frac{3}{2}$

b) $\frac{2}{7}< \frac{6}{7}$

Si las fracciones tienen denominadores diferentes, se convierten ambas en fracciones equivalentes con el mismo denominador. Por ejemplo, las fracciones $\frac{3}{5}$ y $\frac{5}{2}$

$\frac{3}{5}\rightarrow \frac{3\times 2}{5\times 2}= {\color{Red} \frac{6}{10}}$

$\frac{5}{2}\rightarrow \frac{5\times 5}{2\times 5}= {\color{Red} \frac{25}{10}}$

En este ejemplo, como $\frac{6}{10}< \frac{25}{10}$ , entonces $\frac{3}{5}< \frac{5}{2}$ .

Las fracciones equivalentes son aquellas que aunque tengan diferente numerador y denominador, representan la misma cantidad. Son útiles para comparar fracciones y también para simplificar operaciones, como la suma de fracciones con diferentes denominadores. Existen varias formas de calcularlas, como el método del mínimo común múltiplo.

¡A practicar!

1. ¿Qué fracción representa la siguiente gráfica?

a) $\frac{6}{2}$

b) $\frac{3}{1}$

c) $\frac{3}{6}$

d) $\frac{3}{2}$

Solución

c) $\frac{3}{6}$

2. ¿Cuál de las siguientes imágenes representa la gráfica de la fracción $\frac{5}{9}$ ?
a)

Solución

3. ¿Cuál de las siguientes fracciones es mayor?

a) $\frac{9}{10}$ y $\frac{7}{10}$

Solución

$\frac{9}{10}$

b) $\frac{3}{2}$ y $\frac{1}{4}$

Solución

$\frac{3}{2}$

4. ¿Cuál de las siguientes fracciones es menor?

a) $\frac{2}{5}$ y $\frac{1}{2}$

Solución

$\frac{2}{5}$

b) $\frac{7}{4}$ y $\frac{9}{6}$

Solución

$\frac{9}{6}$

5. Completa la expresión con los símbolos “>” y “<“.

a) $\frac{3}{2}\sqsubset \sqsupset \frac{1}{2}$

Solución

b) $\frac{5}{9}\sqsubset \sqsupset \frac{8}{9}$

Solución

c) $\frac{5}{2}\sqsubset \sqsupset \frac{7}{4}$

Solución

d) $\frac{1}{9}\sqsubset \sqsupset \frac{3}{8}$

Solución

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “La recta numérica”

En este artículo destacado se explica con mayor detalle qué es la recta numérica y cómo representar en ella varios tipos de números como los fraccionarios.

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Artículo “Comparar y ordenar números”

El presente artículo permite conocer los símbolos usados en la comparación de números y muestra una serie de ejemplos de acuerdo a la cantidad de dígitos o cifras.

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