CAPÍTULO 3 / TEMA 1

noción de fracción

En la vida diaria usamos números para decir nuestra edad, dar la hora o para contar. Todos estos números son los que conocemos como números naturales, pero no siempre son útiles. Por ejemplo, si nos comemos medio alfajor, un cuarto de torta, o compramos medio kilo de naranjas, necesitamos emplear otro tipo de números: los fraccionarios.

¿Qué es una fracción?

Una fracción es la forma de representar una parte de un todo. Así, si queremos decir que nos comimos medio alfajor, lo podemos pensar como que a nuestro todo, el alfajor, lo cortamos en dos y de esas dos partes nos comimos una. En forma de fracción lo escribimos como:

En el numerador escribimos la cantidad que nos comimos y en el denominador la cantidad en la que cortamos el alfajor.

VER INFOGRAFÍA

¿Sabías qué?

Los egipcios trabajaban con fracciones para indicar la distribución del pan, para la construcción de las pirámides y para estudiar las medidas de la Tierra. Ellos usaban fracciones llamadas “unitarias” porque todas tenían numerador 1.

Para resolver el problema de repartir 6 panes entre 10 hombres ellos decían que a cada uno le tocaba panes. Esto significaba que cada pan lo dividían en mitades y el último lo hacían en décimos.

¡A practicar!

Escribe las fracciones que están representadas por los gráficos:

Solución

$\boldsymbol{\frac{3}{8}}$

Cantidad de divisiones: 8

Partes sombreadas: 3

Solución

$\boldsymbol{\frac{4}{8}}$

Cantidad de divisiones: 8

Partes sombreadas: 4

Solución

$\boldsymbol{\frac{5}{8}}$

Cantidad de divisiones: 8

Partes sombreadas: 5

Una fracción nos indica dos cosas: las partes en las que se ha dividido un todo y las partes que se han tomado de ese todo. Al primero lo llamamos denominador y al segundo lo llamamos numerador. Por ejemplo, en la imagen vemos un círculo que está dividido en 6 partes iguales, pero solo una, la parte azul, fue tomada. Esa pieza azul representa 1/6 del total.

Tipos de fracciones

Las fracciones se pueden clasificar en:

Propias: son las que tienen numerador menor al denominador. Esto quiere decir que representan un número menor a 1 entero. Ejemplo:

$\boldsymbol{\frac{2}{5}}=$

Impropias: son las que tienen el numerador mayor al denominador y representan números mayores a 1 entero. Ejemplo:

$\boldsymbol{\frac{9}{4}}=$

Aparentes: son aquellas en las que el numerador es múltiplo del denominador, por lo cual, al dividirlos resulta un número entero. Ejemplo:

$\boldsymbol{\frac{10}{5}}=$

También podemos clasificarlas en:

Puras: son las que se representan únicamente con una fracción.

Ejemplo: $\frac{2}{5}$ o $\frac{3}{8}$

Mixtas: son las que se representan con una parte entera y una parte fraccionaria. Para esto, es necesario que la fracción sea más grande que 1 entero.

Ejemplo: $2\frac{3}{8}$ o $4\frac{1}{7}$

¡A practicar!

Clasifica las siguientes fracciones en propias, impropias o aparentes

Solución

Propias

Impropias

Aparentes

¿Cómo convertimos una fracción impropia pura a una fracción impropia mixta y viceversa?

De impropia pura a mixta

Dividimos el numerador con el denominador y, según los valores obtenidos, los representamos de la siguiente manera:

De impropia mixta a pura

Multiplicamos el denominador por el entero y le sumamos el numerador. Este valor nos da el numerador de la fracción pura, mientras que el denominador de ambas es el mismo.

Una fracción mixta nos da una información más visible que una fracción impropia. Por ejemplo, si nosotros tenemos 7 galletitas para compartir entre tres amigos, sabemos que 7 dividido 3 nos da 2, o sea, 2 galletitas para cada uno. Pero la que nos sobra la partimos en tres partes y nos toca 1 parte a cada uno. Es decir, cada uno comerá 2 1/3 de galletitas.

Fracción irreducible

Una fracción es irreducible cuando su numerador y su denominador solo tienen como divisor común al 1.

Recordemos el mcd

Para calcularlo descomponemos los números en sus factores primos.

– Ejemplo: halla el mcd entre 15 y 18.

Ahora solo debemos elegir los factores que se repiten en ambos y la menor cantidad de veces que aparece. En este caso, el que se repite es el 3 y aparece una sola vez en el 15.

Entonces:

$mcd(15, 18) = \boldsymbol{3}$

Veamos algunas fracciones para ver si son irreducibles:

– Ejemplo 1:

$\frac{15}{4}$

Como ya vimos, podemos escribir los números como descomposición de sus factores primos y calcular su mcd:

$15 = 5\: \times 3$

$4 = 2^{2}$

Entonces, los números 15 y 4 no tienen factores en común por lo tanto la fracción es irreducible.

– Ejemplo 2:

$\frac{6}{8}$

Descomponemos cada número en sus factores primos y calculamos el mcd.

$6 = 2\: \times 3$

$8 = 2^{3}$

Los números 6 y 8 tienen un factor en común, el número 2, por lo tanto la fracción no es irreducible. Para convertirla en una fracción irreducible lo único que tenemos que hacer es dividir al numerador y denominador por el factor que tienen en común.

Y ahora la fracción que se obtuvo es irreducible.

¡A practicar!

Señala cuáles de las siguientes fracciones son irreducibles

Solución

simplificación de fracciones

Simplificar una fracción significa “achicarla” tanto como podamos, o sea, hacerla irreducible. Como lo vimos antes, para convertir una fracción en irreducible hay que dividir el numerador y el denominador por un número que sea divisor de ambos (mcd).

Este valor lo podemos buscar por medio de los factores primos, o si nos damos cuenta, podemos calcular por cuáles números se pueden dividir ambos. Podemos dividir tantas veces como consideremos necesarias hasta lograr la fracción irreducible.

También usamos las fracciones para decir la hora. Por ejemplo, si dividimos el reloj a la mitad como en la foto, podemos decir que son las nueve y media. Pero también lo podemos dividir en cuatro partes. Entonces, cuando la aguja de los minutos esté en el 3 diremos que son las nueve y cuarto, y cuando esté en el 9 diremos que falta un cuarto de hora para la diez.

Hagamos algunos ejemplos:

– Ejemplo 1:

$\frac{25}{35} = \frac{5}{7}$

Ambas fracciones fueron divididas por 5.

– Ejemplo 2:

$\frac{14}{36}=\frac{7}{18}$

Ambas fracciones fueron divididas por 2.

– Ejemplo 3:

$\frac{45}{105}=\frac{9}{21}=\frac{3}{7}$

Ambas fracciones fueron divididas primero por 5 y después por 3.

¡A practicar!

1. Simplifica las siguientes fracciones hasta su fracción irreducible.

$\boldsymbol{\frac{24}{36}}$

Solución

$\frac{2}{3}$

$\boldsymbol{\frac{40}{24}}$

Solución

$\frac{5}{3}$

$\boldsymbol{\frac{18}{63}}$

Solución

$\frac{2}{7}$

2. Clasifica las siguientes fracciones, en caso de que sea impropia escríbela como fracción mixta. Luego, indica si la fracción es irreducible. Si no lo es, simplifica.

$\boldsymbol{\frac{24}{36}}$

Solución

Fracción propia. No es irreducible.

Simplificación: $\frac{2}{3}$

$\boldsymbol{\frac{40}{24}}$

Solución

Fracción impropia. No es irreducible.

Fracción mixta: $1\frac{2}{3}$

$\boldsymbol{\frac{6}{9}}$

Solución

Fracción propia. No es irreducible.

Simplificación: $\frac{2}{3}$

$\boldsymbol{\frac{23}{4}}$

Solución

Fracción impropia. Es irreducible.

La fracción mixta es: $5\frac{3}{4}$

$\boldsymbol{\frac{21}{50}}$

Solución

Fracción propia. Es irreducible.

$\boldsymbol{\frac{18}{63}}$

Solución

Fracción propia. No es irreducible.

Simplificación: $\frac{2}{7}$

$\boldsymbol{\frac{120}{40}}$

Solución

Fracción aparente. No es irreducible.

La fracción es igual a $3$ .

$\boldsymbol{\frac{42}{9}}$

Solución

Fracción impropia. No es irreducible.

Fracción mixta: $4\frac{2}{3}$

$\boldsymbol{\frac{90}{50}}$

Solución

Fracción impropia. No es irreducible.

Fracción mixta: $1\frac{4}{5}$

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo sobre “Fracciones”

Es un artículo didáctico con más ejemplos sobre la representación y clasificación de las fracciones.

VER

Libro de “Matemáticas primaria”

El mismo cuenta con ejercicios, explicaciones y ejemplos de los temas vistos en este capítulo para poder ampliar en clase.

VER

CAPÍTULO 3 / TEMA 1

Las fracciones y sus usos

En diversas situaciones cotidianas usamos números naturales para expresar la hora, nuestra edad o un número de teléfono. Sin embargo, si queremos indicar las partes de algo debemos recurrir a los números racionales, también conocidos como fracciones. Usamos estos números frecuentemente: por ejemplo, cuando hacemos una receta o al comprar una bebida.

¿Qué es una fracción?

Una fracción es una parte de un número entero y se representa como una división o un cociente. Está formada por un numerador y un denominador, ambos separados por una raya fraccionaria.

El denominador nos indica en cuántas partes hemos dividido el entero, mientras que el numerador nos muestra cuántas de esas partes hemos tomado.

– Ejemplo:

Compramos una barra de chocolate muy grande, entonces decidimos dividirla en tres partes iguales y comernos solo dos de esas porciones, ¿cómo representamos esa cantidad?

Primero consideramos la barra como un todo.

Luego, dividimos el todo en tres partes. Esto significa que el denominador es igual a 3.

Sombreamos o pintamos las dos partes que no comimos. Esto significa que el numerador es 2.

Este último gráfico representa a la fracción 2/3. Es decir, nos comimos 2/3 de chocolate.

¿Sabías qué?

Además de la raya fraccionaria, podemos representar números fraccionarios con diagonales o como divisiones. Por ejemplo:

$\boldsymbol{\frac{1}{2}=1/2 =1\div 2}$

VER INFOGRAFÍA

Imagina que estás con tres amigos y debes repartir una pizza para todos, ¿cómo harías el reparto? ¡Muy sencillo! Solo debes cortarla en cuatro partes iguales y cada uno podrá comer una rebanada, es decir, cada quien tomará 1/4 de la pizza. Observa que el pedazo que comes es igual al numerador y la cantidad total de pedazos es igual al denominador.

¿Cómo se leen las fracciones?

Cada vez que dividimos un entero, este recibe un nombre diferente. Observa esta tabla:

Partes en la que dividimos al entero	¿Cómo se lee?
2	Medios
3	Tercios
4	Cuartos
5	Quintos
6	Sextos
7	Séptimos
8	Octavos
9	Novenos
10	Décimos
11	Onceavos
12	Doceavos
13	Treceavos
14	Catorceavos
15	Quinceavos
16	Dieciseisavos
17	Diecisieteavos
18	Dieciochoavos
19	Diecinueveavos
20	Veinteavos
30	Treintavos
40	Cuarentavos
50	Cincuentavos
60	Sesentavos
70	Setentavos
80	Ochentavos
90	Noventavos
100	Centavo

Así que para la lectura de fracciones seguimos estos pasos:

Lee el número del numerador.
Lee el número del denominador, es decir, las partes en las que se dividió el entero según la tabla.

– Ejemplos:

$\frac{2}{8}$ se lee “dos octavos”.

$\frac{1}{2}$ se lee “un medio”.

$\frac{13}{40}$ se lee “trece cuarentavos”.

$\frac{1}{10}$ se lee “un décimo”.

$\frac{7}{15}$ se lee “siete quinceavos”.

$\frac{25}{100}$ se lee “veinticinco centavos”.

Observa que cuando el numerador es 1, decimos “un” en lugar de “uno”.

Una fracción es una parte del número entero y se representa como una división o un cociente. Es un tipo de número muy usado en la cocina. Por ejemplo, cuando desayunamos podemos agregar a nuestro cereal 1/2 taza de leche o yogurt, también podemos añadir 1/4 de taza de frutas.

¿Sabías qué?

Una fracción con denominador 1 es igual a un número entero, por eso es común no escribir el denominador en estos casos. Por ejemplo, 8/1 = 8.

Tipos de Fracciones

Las fracciones pueden ser propias, impropias o aparentes.

Fracciones propias

Son aquellas fracciones en las que el numerador es menor que el denominador. Estas fracciones siempre son menores que 1. Por ejemplo:

$\frac{2}{3}$ , $\frac{1}{4}$ y $\frac{7}{10}$

Fracciones impropias

Son aquellas fracciones en las que el numerador es mayor que el numerador. Estas fracciones siempre son mayores que 1. Por ejemplo:

$\frac{4}{3}$ , $\frac{5}{2}$ y $\frac{8}{6}$

Fracciones aparentes

Son aquellas fracciones cuyo numerador es múltiplo del denominador. Por ejemplo:

$\frac{6}{3}=2$

$\frac{10}{2}=5$

¿Qué tipo de fracción es?

Clasifica las siguientes fracciones en propias, impropias o aparentes:

$\frac{8}{2}$

Solución

Fracción aparente.

$\frac{3}{5}$

Solución

Fracción propia.

$\frac{9}{4}$

Solución

Fracción impropia.

Gráfico de Fracciones

De acuerdo al tipo de fracción, podemos graficar un entero o más de uno. Si es una fracción propia, usaremos un entero; sin embargo, si se trata de una fracción impropia, utilizaremos más de un entero.

Gráfico de fracciones propias

Este tipo de fracciones tiene el numerador menor que el denominador y siempre son menores que 1. Para graficarlas solo dibujamos cualquier figura (será el entero) y la dividimos en tantas partes como indique el denominador. Luego, pintamos las partes que señale el numerador.

– Ejemplo:

Realiza el gráfico de la fracción $\frac{5}{8}$

1. Dibujamos una figura, esta será el entero o “el todo”. En este caso es un rectángulo.

2. Dividimos el entero en 8 partes iguales porque el denominador de la fracción es 8.

3. Pintamos 5 partes del entero porque el numerador de la fracción es 5. Este será el gráfico de la fracción.

Gráfico de fracciones impropias

Estas fracciones tienen el numerador mayor al denominador y siempre son mayores que 1. Para realizar sus gráficos debemos dibujar una figura (será el entero) y dividirla en tantas partes como señale el denominador. Como el numerador es mayor, repetimos la figura la cantidad de veces necesaria para poder pintar la partes que exprese el numerador.

– Ejemplo:

Realiza el gráfico de la fracción $\frac{9}{4}$

1. Dibujamos una figura que represente al entero, por ejemplo, un cuadrado.

2. Dividimos el entero en 4 partes iguales porque el denominador de la fracción es 4.

3. Pintamos 9 partes del entero, pero como el entero solo tiene 4, repetimos la misma figura hasta que podamos tener las nueve partes para pintar. Este será el gráfico de la fracción.

Gráfico de una fracción aparente

En las fracciones aparentes el numerador es múltiplo del denominador. Para graficar estas fracciones podemos seguir los pasos anteriores. Como resultado, los gráficos tendrán siempre todas sus partes pintadas.

– Ejemplo:

Realiza el gráfico de la fracción $\frac{6}{3}$

Observa que, si bien el numerador es mayor que el denominador, 6 es múltiplo de 3, por lo tanto, 6 ÷ 3 = 2.

Si tomamos un rectángulo como entero, lo dividimos en 3 partes iguales (por el denominador) y repetimos la figura para poder pintar 6 partes (por el numerador); observaremos que el gráfico es igual a dos enteros completos.

Usos de Fracciones

Sin darnos cuenta, hacemos uso de las fracciones a diario. Por ejemplo, en las instrucciones para una receta que necesite 1/4 de taza de azúcar; en el supermercado cuando pedimos 1/2 kilogramo de fresas; cuando hablamos de distancias y decimos que nuestras casa está a 1/2 cuadra del kiosco; o al medir el tiempo y decir que en 1/2 hora empieza una serie de televisión. Cada vez que dividamos un valor entero en partes iguales empleamos fracciones.

Toda fracción indica que un todo se ha dividido en partes iguales. Cada vez que repartimos alimentos tratamos de hacerlo de esta forma. Por ejemplo, podemos comernos “medio trozo de pan” cuya fracción es 1/2, lo que quiere decir que dividimos la unidad (el pan) en dos partes iguales (el denominador) y tomamos una (el numerador).

Equivalencias de interés

Este cuadro muestra las fracciones que están contenidas en una unidad.

De otro modo:

$1 = \frac{1}{2}+\frac{1}{2}$

$1 = \frac{1}{4}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{4}$

$\frac{1}{2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}$

$\frac{1}{2} = \frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}$

¡A practicar!

1. En la panadería venden el pan rallado en bolsitas de 1 kg, 1/2 kg y 1/4 kg. Si José quiere comprar 2 kg de pan rallado…

a) ¿Cuántas bolsitas de 1/4 de kilo necesita?

Solución

8 bolsitas de 1/4 de kg.

b) ¿Cuántas bolsitas de 1/2 kilo necesita?

Solución

4 bolsitas de 1/2 kg.

c) Si quiere llevar llevar 5 bolsitas para completar los 2 kg, ¿cuáles puede tomar?

Solución

1 bolsita de 1 kg y 4 bolsas de 1/4 de kg.

d) Si quiere llevar 3 bolsitas, ¿cuáles puede tomar?

Solución

1 bolsita de 1 kg y 2 bolsitas de 1/2 kg.

e) ¿Cuál es la menor cantidad de bolsitas que puede tomar? ¿y la mayor cantidad?

Solución

Puede tomar la menor cantidad de bolsitas si escoge las de mayor peso, es decir, las de 1 kg. Entonces, solo tomaría 2 bolsitas de 1 kg.

Para tomar la mayor cantidad de bolsita, debe escoger las de menor peso, que serían las de 1/4 de kg. En ese caso, llevaría 8 bolsitas de 1/4 de kg.

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2. ¿Qué fracción representa cada gráfico?

Solución

Partes en las que dividimos el entero: 16

Partes sombreada: 10

Solución

$\frac{4}{4}=1$

Partes en las que dividimos el entero: 4

Partes sombreada: 4

Solución

$\frac{6}{10}$

Partes en las que dividimos el entero: 10

Partes sombreada: 6

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Fracciones”

Este artículo te permitirá acceder a más ejemplos sobre las fracciones y sus tipos.

VER

Artículo “Clasificación de las fracciones”

El siguiente recurso proporciona más información sobre los tipo de fracciones y sus gráficos.

VER

CAPÍTULO 5 / TEMA 1

NOCIÓN DE FRACCIÓN

Así como usamos los números naturales para representar cantidades y decir que, por ejemplo, tenemos 3 pelotas; también existen otros números que nos permiten expresar partes de un todo. Estos números son conocidos como fracciones, hay varios tipos y tienen más usos de los que te imaginas.

¿qUÉ ES UNA FRACCIÓN?

Una fracción es una división e indica las partes de un entero. Por ejemplo, cuando cortamos una torta en varias partes hacemos una división de un entero, es decir, la torta es el entero y cada una de las partes en las que la cortamos puede ser representada con una fracción.

Si cortas en cuatro partes iguales una pizza y te comes una parte, ¿con qué número representarías ese pedazo? ¡Es muy fácil! Solo debes colocar un número sobre otro con una raya en medio: el número de pedazos que comemos va arriba, y el número de veces que dividimos la pizza va abajo. Entonces, ese pedazo de pizza es igual a 1/4.

¿Sabías qué?

En las culturas babilónicas y egipcias aparecieron inscripciones simbólicas que representaban el uso de fracciones.

Elementos de una fracción

Todas las fracciones están formadas por un numerador y un denominador separados por una línea horizontal llamada raya fraccionaria.

El numerador es el número de partes que tomamos del entero.
El denominador es el número de partes iguales en las que dividimos al entero.

Observa este gráfico:

El denominador es 4 porque el cuadrado está dividido en 4 partes iguales.
El numerador es 3 porque solo 3 cuadros están coloreados de rojo.

VER INFOGRAFÍA

Raya fraccionaria: ¿quién la creó?

Las fracciones eran empleadas en la antigüedad por los babilonios, romanos y egipcios. No obstante, fue hasta el siglo XIII que empezaron a usarse tal y como las conocemos en la actualidad. Esto sucedió gracias a los trabajos de Leonardo de Pisa, mejor conocido como Fibonacci. Él fue quien creó la raya para separar al numerador y denominador.

tipos de fracciones

Las fracciones pueden ser propias, impropias y aparentes.

Fracciones propias

Son aquellas en las que el numerador es menor que el denominador. La fracción propia representa un número menor que el entero.

– Ejemplo:

El cuadrado totalmente pintado de verde representa al número entero 1, mientras que el cuadrado con una sola parte pintada de verde representa a la fracción 1/2, es decir, la mitad de 1.

Observa que el gráfico de la fracción tiene menos partes verdes que el de la unidad, es decir, es menor que 1.

Símbolos de relación

Son los que usamos para indicar que una cantidad es mayor, menor o igual a otra. Estos son:

Símbolo	Significado
<	Menor que
>	Mayor que
=	Igual a

Fracciones impropias

Son aquellas en las que el numerador es mayor que el denominador. La fracción impropia representa un número mayor que el entero.

– Ejemplo:

El cuadrado totalmente pintado de morado representa al número 1. Para representar la fracción 4/3 fue necesario una unidad (un cuadrado morado) y 1/3 de otra unidad (tomar una parte de otro cuadrado).

Observa que el gráfico de la fracción tiene más partes moradas que el de la unidad, es decir, es mayor que 1.

¡Dibuja una fracción impropia!

$\frac{5}{2}$ es una fracción impropia porque su numerador es mayor a su denominador. Para graficar la fracción seguimos estos pasos:

1. Tomamos una figura como la unidad, por ejemplo un cuadrado.

2. Como el denominador es 2, dividimos en dos partes iguales el cuadrado.

3. Como el numerador es 5, debemos pintar cinco partes, pero cada figura de la unidad solo tiene 2 partes. Por ello, añadimos más figuras idénticas para poder pintar las cinco partes.

Observa que la fracción $\frac{5}{2}$ es mayor a 1 porque hicieron falta dos unidades completas y la mitad de otra para poder representarla.

Fracciones aparentes

Son aquellas en las que el resultado es igual a un número entero.

– Ejemplo:

Al ver el gráfico nos damos cuenta que 4/2 es igual a 2 enteros.

¿De qué tipo son estas fracciones?

Observa estas fracciones y responde:

¿Cuáles fracciones son impropias?

Solución

$\frac{9}{2}$ y $\frac{10}{6}$

¿Cuáles fracciones son propias?

Solución

$\frac{3}{6}$ , $\frac{2}{3}$ , $\frac{1}{2}$ y $\frac{6}{7}$

¿Cuáles fracciones son aparentes?

Solución

$\frac{8}{2}$ y $\frac{6}{3}$

Fracciones egipcias

Hace miles de años los egipcios escribieron cómo utilizaban las fracciones en el papiro de Rhind. Este documento muestra cómo clasificaban y sumaban las fracciones en su época.

fracciones en la vida cotidiana

En muchas actividades que realizamos en el día utilizamos fracciones. Cuando ayudamos en la cocina vemos como una receta tiene sus ingredientes con fracciones, por ejemplo, 1/2 taza de azúcar. También usamos este tipo de números cuando vamos a la panadería y nos venden 3/4 kilo de pan, o en la verdulería 1/4 kilo de tomates. Al repartir comida, golosinas y otras cosas empleamos una parte del todo para que el reparto sea igualitario.

¡A practicar!

1. Observa estas fracciones y responde las preguntas:

¿Cuáles fracciones son propias?

Solución

$\frac{6}{12}$ , $\frac{5}{6}$ , $\frac{15}{18}$ , $\frac{12}{20}$ y $\frac{10}{12}$

¿Cuáles fracciones son impropias?

Solución

$\frac{7}{5}$ , $\frac{9}{6}$ , $\frac{11}{3}$ y $\frac{5}{4}$

¿Cuáles fracciones son aparentes?

Solución

$\frac{8}{4}$

2. Observa estos gráficos, ¿qué fracción representan?

Solución

Partes pintadas: 4
Partes en las que se dividió el entero: 9

Fracción: $\mathbf{\frac{4}{9}}$

Solución

Partes pintadas: 6
Partes en las que se dividió el entero: 4

Fracción: $\mathbf{\frac{6}{4}}$

Solución

Partes pintadas: 5
Partes en las que se dividió el entero: 6

Fracción: $\mathbf{\frac{5}{6}}$

Solución

Partes pintadas: 3
Partes en las que se dividió el entero: 8

Fracción: $\mathbf{\frac{3}{8}}$

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Fracciones”

Este artículo permitirá profundizar la información sobre las fracciones.

VER

Artículo “Clasificación de fracciones”

Este recurso permitirá complementar la información sobre la clasificación de fracciones.

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CAPÍTULO 4 / TEMA 2

COMPARACIÓN DE CANTIDADES

Día a día comparamos números. Lo hacemos al ver que un precio es más bajo que otro, que los grados aumentan o disminuyen en el termómetro de acuerdo a la temperatura, o que un compañero tuvo una calificación diferente a la nuestra. Todos los números pueden compararse entre sí y para hacerlo existen algunas reglas y símbolos especiales.

Los números de nuestro sistema decimal poseen valores absolutos y relativos. El valor absoluto no considera la posición de la cifra, mientras que el relativo sí. De este modo, y en su función de representar cantidades, podemos hallar números que son mayores que otros. Esta relación nos permite establecer un orden entre ellos.

USO DE LOS SÍMBOLOS DE RELACIÓN

¿Qué son los símbolos de relación?

Son aquellos que permiten comparar números según el valor que estos tengan. Así, al observar dos cantidades podemos determinar si una es mayor, menor o igual que la otra. Para indicar estas relaciones colocamos los siguientes símbolos:

>, se lee “mayor que”.
<, se lee “menor que”.
=, se lee “igual a”.

Mayor que (>)

Todo número ubicado a la izquierda del símbolo “>“ será mayor que el número ubicado a su derecha, entonces, si el símbolo se encuentra entre dos números, significa que el primero es mayor que el segundo.

Menor que (<)

Todo número ubicado a la izquierda del símbolo “<“ será menor que el número ubicado a su derecha, entonces, si el símbolo se encuentra entre dos números, significa que el primero es menor que el segundo.

Igual a (=)

Los números ubicados tanto a la derecha como a la izquierda del símbolo “=” son iguales.

¿Sabías qué?

El matemático inglés Robert Recorde fue quien inventó el símbolo de igualdad. Le dio esta forma porque decía que “dos cosas no pueden ser más iguales que dos rectas paralelas”.

Existe una manera sencilla de memorizar los símbolos de relación y su función, consiste en fijarse en sus extremos. “Mayor que” y “menor que” apuntan su parte más ancha y abierta hacia el número mayor y su parte más cerrada y fina hacia el número menor. Ya que leemos de izquierda a derecha, el primero de los dos extremos que veamos nos dirá cuál símbolo es.

ESTABLECER ORDEN ENTRE DIFERENTES CANTIDADES

Orden de los números naturales

Los números naturales son los números que usamos para contar y con los que estamos más familiarizados. El orden de estos números comienza con sus unidades básicas, que se distribuyen de la siguiente manera:

Posterior al número 9 comienzan los números de dos cifras, formados por decenas y unidades:

El orden de los números naturales continúa en crecimiento hasta alcanzar el número 100, momento en el que se llega a las 3 cifras y aparece la primera centena de la sucesión:

El proceso se repite mientras se suman más y más cifras a la izquierda del número, cada una en representación de un valor mayor:

Esto indica que mientras más cifras tenga un número natural, mayor será su valor. Sin embargo, si dos números poseen la misma cantidad de cifras, hay que diferenciar los valores de cada dígito.

Observa estos ejemplos:

– Compara los números 110 y 120.

Primero vemos sus centenas. En este caso, las dos centenas son iguales (1), así que pasamos a las decenas. Estas son distintas y, por lo tanto, comparamos esos dos dígitos. Como 1 es menor que 2, entonces 110 es menor que 120.

– Compara los números 122 y 123.

Estos números tienen centenas y decenas iguales, así que pasamos a comparar las unidades. Como 2 es menor que 3, decimos que 122 es menor que 123.

– Compara los números 5.392.897 y 5.403.121.

La primera cifra corresponde a las unidades de millón y es la misma en los dos números. Comparamos entonces la siguiente cifra: la centena de mil. Como 3 es menor que 4, decimos que 5.392.897 es menor que 5.403.121.

– Compara los números 25.072.518 y 25.072.523.

Al igual que los casos anteriores, comparamos de izquierda a derecha cada cifra hasta ubicar las que tienen distinto valor. En este ejemplo, las decenas son distintas. Como 1 es menor que 2, decimos que 25.072.518 es menor que 25.072.523.

¡Es tu turno!

– Compara estos números.

9.854.125.369 y 9.854.311.003

Solución

9.854.125.369 < 9.854.311.003

658.899.157.021 y 658.899.157.001

Solución

658.899.157.021 > 658.899.157.001

Desigualdades

Las desigualdades, también llamadas inecuaciones, son expresiones algebraicas que contienen incógnitas y emplean símbolos para expresar la relación entre las partes. Los símbolos usados son:

< menor que

> mayor que

≤ menor o igual que

≥ mayor o igual que

≠ no es igual a

Orden de los números enteros

Los números enteros están formados por los números naturales y los números negativos. Los números negativos poseen una peculiaridad que los diferencia de los positivos: sus valores actúan de forma completamente opuesta. A partir de cero hacia la derecha, los números naturales se hacen cada vez mayores; en cambio, a partir de cero hacia la izquierda, los números negativos se hacen cada vez menores.

Esto quiere decir que si 2 es mayor que 1, −2 es menor que −1.

Es así como los números negativos siguen las mismas reglas de jerarquía que los naturales, pero de forma opuesta. Por ejemplo:

Los dos números tienen la misma cantidad de centenas y de decenas, pero las unidades son distintas. Como −4 es menor que −3, decimos que −424 es menor que −423.

¡Colócalos en orden!

– Ordena los siguientes números enteros de menor a mayor y utiliza el símbolo correspondiente.

4, 26, −26, 572, 54, −175, 274, −265, 675, 345, −98, 213, 0, 9, 73, −44

Solución

−265 < −175 < −98 < −44 < −26 < 0 < 4 < 9 < 26 < 54 < 73 < 213 < 274 < 345 < 572 < 675

El orden entre los números decimales

Los números decimales son aquellos que tienen una parte entera y una parte decimal, es decir, una cantidad inferior a la unidad. Ambas partes son separadas por una coma.

El orden que siguen los números decimales es parecido a los explicados anteriormente. Observa este ejemplo:

1,4 es menor que 2,4 porque solo se consideraron sus partes enteras.

Si la parte entera de los números es la misma, empezamos a considerar la parte decimal, la cual se divide en cifras con nombres específicos: décimas, centésimas y milésimas. Estas tres unidades decimales son las más comunes, pero la cantidad de cifras puede extenderse hasta el infinito.

Lo más importante a saber para poder ordenar números decimales es que las décimas tienen mayor valor que las centésimas, y estas, a su vez, valen más que las milésimas. Observa las equivalencias:

1 décima = 0,1 unidades
1 centésima = 0,01 unidades
1 milésima = 0,001 unidades

Por lo tanto: 0,1 > 0,01 > 0,001

Ejemplo:

– Compara los números 2,3462 y 2,35.

La parte entera del número es la misma, así que pasamos a la parte decimal. Las décimas son iguales, pero las centésimas no. Como 4 es menor que 5, decimos que 2,3462 es menor que 2,35.

¿Sabías qué?

A diferencia de los números enteros, la cantidad de decimales no determina el valor del número.

¡Colócalos en orden!

– Ordena los siguientes números decimales de menor a mayor y utiliza el símbolo correspondiente.

2,4398; 57,3; 42,45; 17,58; 17,123; 17,982; 17,512; 17,244935; 4,87; 17,983

Solución

2,4398 < 4,87 < 17,123 < 17,244935 < 17,512 < 17,58 < 17,982 < 17,983 < 42,45 < 57,3

Orden de números fraccionarios

Los números fraccionarios o fracciones son aquellos números que representan una división o la separación de algo en varias partes. Están formados por un numerador y denominador, ambos separados por una barra horizontal.

VER INFOGRAFÍA

La comparación de fracciones dependerá del numerador y el denominador. Los casos pueden ser los siguientes:

Fracciones con igual denominador.
Fracciones con igual numerador.
Fracciones con diferentes numeradores y denominadores.

Fracciones con igual denominador

Si dos fracciones tienen el mismo denominador, la mayor fracción será aquella con mayor numerador. Por ejemplo:

¿Por qué $\frac{2}{8}$ es menor que $\frac{4}{8}$ ?

Observa las gráficas:

Las dos gráficas están divididas en 8 partes, como lo indica el denominador. En la primera tomamos 2 partes de las 8 (2/8), y en la segunda tomamos 4 partes (4/8). Hay más partes tomadas en la segunda gráfica.

Puedes comprobarlo por medio de divisiones:

$\frac{2}{8} = 2 : 8 = \mathbf{0,25}$

$\frac{4}{8} = 4 : 8 = \mathbf{0,5}$

Si comparamos estos números decimales, tenemos que:

$0,25 < 0,5$

Que es igual a:

$\frac{2}{8}< \frac{4}{8}$

Fracciones con igual numerador

Si dos fracciones tienen el mismo numerador, la mayor fracción será aquella con menor denominador. Por ejemplo:

¿Por qué $\frac{2}{6}$ es menor que $\frac{2}{4}$ ?

Observa las gráficas:

En las dos gráficas tomamos 2 partes, como lo indica el numerador. La primera se dividió en 6 partes totales y la otra en 4 partes totales. A pesar de que el número 6 es mayor que 4, aquí el 6 indica una mayor cantidad de divisiones y esto le resta valor a la fracción.

Puedes comprobarlo por medio de divisiones:

$\frac{2}{6} = 2 : 6 = 0,\bar{\mathbf{33}}$

$\frac{2}{4} = 2 : 4 = \mathbf{0,5}$

Si comparamos estos números decimales, tenemos que:

$0,\bar{33} < 0,5$

Que es igual a:

$\frac{2}{6}< \frac{2}{4}$

Si tienes dificultades para encontrar el orden de las fracciones, puedes probar este otro método: simplemente divide el numerador entre el denominador, y obtendrás un número entero o un número decimal. Luego sólo tienes que ordenar estos resultados. Su orden será el mismo que el de las fracciones iniciales.

Fracciones con diferente numerador y denominador

Para conocer el orden que tienen estas fracciones no basta con observarlas a simple vista. Para lograrlo debemos seguir dos pasos:

Hallar una fracción equivalente a la que deseamos comparar. Ambas deben tener el mismo denominador.
Comparar las fracciones resultantes según el método ya explicado para las fracciones con igual denominador.

¿Cómo comparar estas fracciones: $\frac{8}{5}$ y $\frac{5}{9}$ ?

1. Calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores. Para ello, debes descomponer cada número en sus factores primos.

m.c.m (5; 9) = 5 x 3² = 5 x 9 = 45

2. Multiplica el denominador por un número cuyo producto sea el m.c.m. Luego multiplica el numerador por ese mismo número. El resultado será su fracción equivalente.

$\frac{8\times {\color{Red} 9}}{5\times {\color{Red} 9}}= \frac{72}{\mathbf{45}}$

$\frac{5\times {\color{Red} 5}}{9\times {\color{Red} 5}} = \frac{25}{\mathbf{45}}$

Observa que en la primera fracción 5 x 9 = 45. Por eso, toda la fracción se multiplica por 9/9. Lo mismo sucede con la fracción 5/9, como 9 x 5 = 45, toda la fracción se multiplica por 5/5.

3. Compara las nuevas fracciones con igual denominador. La mayor fracción será aquella con mayor numerador, y como 72 > 25, entonces:

$\frac{72}{45}> \frac{25}{45}$

Ejercicios

1. Coloca el símbolo correcto entre los siguientes números.

10 ____ 9
4 ____ 4
8 ____ 27
46 ____ 6
59 ____ 59
40 ____ 70
2 ____ 22
100 ____ 1
23 ____ 32
85 ____ 85

Solución

10 > 9
4 = 4
8 < 27
46 > 6
59 = 59
40 < 70
2 < 22
100 > 1
23 < 32
85 = 85

2. Ordena los siguientes números naturales de menor a mayor y utiliza el símbolo correspondiente para ello.

3.546, 12, 53, 4.080, 25.892, 634, 4, 824, 1.450, 234, 73, 896. 111, 724, 1.898, 246, 1, 11, 4.800, 424, 125, 353, 55, 2.

Solución

1 < 2 < 4 < 11 < 12 < 53 < 55 < 73 < 125 < 234 < 246 < 353 < 424 < 634 < 724 < 824 < 1.450 < 1.898 < 3.546 < 3.643 < 4.080 < 4.800 < 25.892 < 896.111

3. Compara estas fracciones. Coloca el signo que corresponda en cada caso.

$\frac{35}{4}$ y $\frac{24}{8}$

Solución

$\frac{35}{4} > \frac{24}{8}$

$\frac{3}{7}$ y $\frac{12}{28}$

Solución

$\frac{3}{7} = \frac{12}{28}$

$\frac{13}{12}$ y $\frac{2}{6}$

Solución

$\frac{13}{12} > \frac{2}{6}$

$\frac{11}{4}$ y $\frac{11}{6}$

Solución

$\frac{11}{4}> \frac{11}{6}$

$\frac{64}{89}$ y $\frac{56}{48}$

Solución

$\frac{64}{89} < \frac{56}{48}$

$\frac{25}{8}$ y $\frac{25}{9}$

Solución

$\frac{25}{8}> \frac{25}{9}$

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo destacado “Comparar y ordenar números”

Este recurso, orientado hacia los más pequeños de la casa, es ideal para repasar las bases de lo explicado aquí.

VER

CAPÍTULO 4 / TEMA 1

los números en la recta numérica

Una recta numérica, también llamada recta real, representa de forma gráfica el orden y la sucesión de un conjunto de números. Sin embargo, estos conjuntos no siempre son iguales y, como verás a continuación, se clasifican de acuerdo a sus características.

Cada día, el ser humano maneja números de diferentes conjuntos sin darse cuenta; por ejemplo, al contar los días de la semana, cortar un pastel en varias porciones o sumar los céntimos que forman parte del dinero. Todos estos números tienen una representación gráfica en un espacio coordenado unidimensional. Es decir, todos ellos se pueden mostrar en una recta numérica.

NÚMEROS NATURALES

Los números naturales son aquellos que se utilizan para contar los elementos de un grupo dado; gracias a ellos puedes saber cuántos dedos tienen las manos o cuántos integrantes hay en tu familia. Estos son los números más utilizados y su conjunto es representado con la letra ℕ.

Debido a que se utilizan para contar objetos, el cero puede considerarse el número que corresponde a la ausencia de los mismos, por lo tanto, el conjunto de los números naturales se presenta de dos maneras:

$\mathbb{N} = \left \{ 1,\, 2,\, 3,\, 4,... \right \}$

$\mathbb{N} = \left \{0,\, 1,\, 2,\, 3,\, 4,... \right \}$

¿Sabías qué?

Los números naturales fueron los primeros en ser utilizados por los seres humanos para contar y determinar cantidades.

En una recta numérica, los números naturales se colocan de tal forma que a medida que avanzas hacia la derecha, encuentras los números más grandes.

¿Cómo elaborar una recta numérica con números naturales?

Dibuja una semirrecta.
Señala el origen que corresponde al cero.
Coloca una flecha en la punta derecha de la recta. Esto indica que la recta se extiende hasta el infinito.
Escribe los números naturales en intervalos regulares. El intervalo entre números consecutivos siempre será el mismo.

Los intervalos en una recta numérica no solo representan a las unidades, sino también a las decenas y las centenas.

¡A practicar!

Ubica en la recta numérica los siguientes números: 5, 20, 35 y 48.

SOLUCIÓN

NÚMEROS ENTEROS

Los números enteros son aquellos que comprenden tanto a los números naturales como a sus opuestos, es decir, a los números negativos, y al número 0. Este conjunto se representa con la letra ℤ, que por definición es:

$\mathbb{Z}=\left \{ ...,-4,\, -3,\, -2,\, -1,\,0,\, +1,\, +2,\, +3,\, +4,... \right \}$

¿Sabías qué?

Los negativos se utilizan en casos comunes de la vida como, por ejemplo, una deuda o las temperaturas bajo cero.

En una recta numérica, los números enteros se distribuyen a partir del cero: a su izquierda se ubican los negativos y a su derecha se ubican los positivos.

Recuerda que …

1. Dados dos números enteros de signos distintos, +a y –a, con a > 0, el negativo es menor que el positivo: −a < +a.

−5 < +5

2. Dados dos números enteros con el mismo signo, el menor de los dos números es:

El de menor valor absoluto, si el signo común es “+“.

+8 < +10

El de mayor valor absoluto, si el signo común es “−”.

−10 < −8

3. El cero, 0, es menor que todos los positivos y mayor que todos los negativos.

−1 < 0 < +1

¡A practicar!

Ubica en la recta numérica los siguientes números: 15, −15, −35 y −39.

SOLUCIÓN

NÚMEROS DECIMALES

Los números decimales están formados por dos partes: una entera y una decimal, ambas separadas por una coma. A la izquierda de la coma se ubica la parte entera, y a la derecha de la coma está la parte decimal.

En una recta numérica, los números decimales se ubican entre dos números enteros. Para esto, se divide en diez partes la distancia entre los números y se incorporan los decimales que hay entre ellos.

Para representar a los decimales ubicados entre el 1 y el 2, la recta numérica se presenta así:

También puedes identificar los decimales entre dos decimales menos precisos. Por ejemplo, al dividir el espacio entre los decimales 1,1 y 1,2 en otras 10 partes iguales, tendrás las posiciones de los números del 1,11 al 1,19.

¡A seguir con la práctica!

Ubica en la recta numérica los siguientes números decimales: 20,2; 20,5; 20,8 y 20,95.

SOLUCIÓN

El número pi

El número pi es tal vez el número decimal más famoso. Este es un número con decimales infinitos, pero popularmente se simplifica como 3,1416. Solo estos dígitos permiten saber que pi se encuentra entre el 3 y el 4 en la recta numérica.

VER INFOGRAFÍA

NúMEROS FRACCIONARIOS

También conocidos simplemente como fracciones, son aquellos que representan una división entre números. Un ejemplo de fracción lo puedes ver al pedir medio kilo de pan o al cortar una torta en partes iguales.

Toda fracción está formada por dos partes: un numerador y un denominador separados por una línea horizontal.

Al igual que los números decimales, los números fraccionarios se encuentran entre dos números enteros o dos números decimales en una recta numérica. Para hallar su ubicación se siguen dos métodos diferentes según el tipo de fracción: propia o impropia.

Fracciones propias

Las fracciones propias poseen un numerador menor a su denominador. La división entre estos dos dígitos dará como resultado un número decimal menor a 1. Para saber la posición en la recta numérica se debe segmentar el espacio entre 0 y 1 la cantidad de veces que indique el denominador, y la fracción se ubicará al final del segmento que indique el numerador.

Por ejemplo, para hallar en la recta numérica la fracción $\frac{2}{3}$ debes seguir estos pasos:

Dividir el espacio entre 0 y 1 en 3 segmentos iguales.
Ubicar la fracción al final del segundo segmento.

Los números decimales y fraccionarios son diferentes a los números naturales y enteros, ya que, a diferencia de estos últimos, representan números “incompletos”. No obstante, todos ellos pertenecen al mismo conjunto numérico: el de los números racionales, un subconjunto de los números reales.

Fracciones impropias

Las fracciones impropias poseen un numerador mayor a su denominador. La división entre estos dos dígitos siempre dará como resultado un número mayor a 1. Para saber la posición de una fracción impropiar en la recta real se deben seguir dos pasos:

Convertir la fracción impropia en un número mixto, es decir, la combinación entre un número entero y una fracción propia.
Ubicar el número mixto en la recta numérica. El número entero indicará por dónde empezar a segmentar, mientras que el resto de la fracción se ubicará de la misma forma que una fracción propia: número de segmentos según el denominador y la ubicación de la fracción según el numerador.

¿Cómo convertir la fracción $\frac{27}{4}$ en un número mixto?

1. Divide el numerador por el denominador.

2. El resto de la división se convertirá en el nuevo numerador de la parte fraccionaria. El divisor será el denominador de la parte fraccionaria y el cociente será la parte entera del número mixto.

3. Construye el número mixto.

¡Pon en práctica lo aprendido!

¿Cómo conviertes la fracción $\frac{8}{5}$ en número mixto?

Para ubicar la fracción $\frac{8}{5}$ en la recta numérica, primero se dividen entre sí ambas cifras. Esta división tiene como cociente el número 1, como resto el número 3 y como divisor el número 5, por lo tanto el número mixto es:

Ahora solo debes dividir en 5 segmentos iguales (denominador de la parte fraccionaria) el espacio entre el número 1 y el número 2. Luego, marcar el final del tercer segmento (numerador de la parte fraccionaria). Allí está ubicada la fracción $\frac{8}{5}$ .