CAPÍTULO 2 / TEMA 2

MÚLTIPLOS Y DIVISORES

Un múltiplo de un número es el resultado de multiplicar ese número por otro. Debido a esto, los múltiplos de un número son infinitos. Por otra parte, los divisores son los valores que dividen a un números en partes iguales y permiten saber si se trata de un número primo o compuesto.

nÚMEROS PRIMOS

Los números primos son aquellos números naturales que son divisibles por uno y por sí mismos, es decir, sus únicos divisores son ellos mismos y la unidad. Por ejemplo: 2, 3, 5, 7 y 11 son números primos.

Número Divisores
2 2 y 1
3 3 y 1
5 5 y 1
7 7 y 1
11 11 y 1

¿Sabías qué?
El matemático griego Euclides demostró que los números primos son infinitos.

La maravilla de los números primos

Los números primos son como los arquitectos de otros números, ya que la multiplicación de varios números primos da lugar a un número compuesto. Los números primos son equivalentes en las matemáticas a lo que los átomos son en la materia. Esta naturaleza los hace tan peculiares que muchos matemáticos los han estudiado a través de los años.

¿Sabías qué?
El número 2 es el único número primo que es par.

nÚMEROS COMPUESTOS

Los números compuestos son aquellos números naturales que tienen más de dos divisores, además del uno y de sí mismo. Estos números pueden ser expresados como un producto de números primos que es único para cada número.

Esta cuadrícula es conocida como “la criba de Eratóstenes” y muestra en celeste los números primos y en naranja los números compuestos. Recuerda que los números son infinitos. Aquí mostramos los números primos y compuestos mayores que 1 hasta el 100, pero los números siguen hasta el infinito. El número 1, está en verde porque no es primo ni compuesto, ya que tiene un solo divisor que es él mismo.

Algunos números compuestos

Número Divisores
4 4, 2 y 1
6 6, 3, 2 y 1
8 8, 4, 2 y 1
9 9, 3 y 1
10 10, 5, 2 y 1

DIVISORES

Un divisor es el número que divide a otro en una cantidad entera. Un número es divisible por otro si su división es exacta, es decir, el resto de la división es cero. Si un número “a” se divide por otro “b” y el resto de la división es cero quiere decir que “b” es divisor de “a” o que “a es divisible por b”. Por ejemplo, 4 es divisor de 8 porque 8 : 4 = 2 y el resto es cero. Por lo tanto, 8 es divisible por 4.

Para encontrar los divisores de un número se pueden usar las tablas de multiplicar o los criterios de divisibilidad. Por ejemplo, para buscar los divisores de 16 sabemos que se trata de un número par. Por lo tanto, va a ser divisible por 2. Por otra parte, el 16 se encuentra dentro de las tablas de multiplicar del 4 y del 8. Entonces, esos números forman parte de sus divisores. También sabemos que todos los números (primos o compuestos) son divisibles entre ellos mismos y entre 1, por lo tanto, los divisores de 16 son: 1, 2, 4, 8 y 16.

Números perfectos

El matemático griego Euclides estudiaba los números naturales y denominaba números perfectos a un tipo de números compuestos. Él describía a un número perfecto como aquel número natural que es igual a la suma de sus divisores excepto él mismo. Un ejemplo de número perfecto es el 6 ya que sus divisores son: 1, 2, 3 y 6. Si los sumamos a todos, menos al seis tenemos, el resultado es igual al mismo número: 1 + 2 + 3 = 6. El siguiente número con estas características es el 28. Sus divisores son 1, 2, 4, 7, 14 y 28. La cuenta sería: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

DESCOMPOSICIÓN DE NÚMEROS EN SUS FACTORES PRIMOS

Todos los números compuestos pueden descomponerse en un producto de sus factores primos. Para descomponer un número en sus factores primos, se divide por el menor de sus divisores primos. El cociente de esa división se vuelve a dividir por el menor divisor primo de este y así sucesivamente hasta conseguir como cociente el 1. La manera de representar la descomposición es a través de una raya vertical que separa la división del número y sus factores primos.

Por ejemplo, procedimiento para descomponer el número 84 en sus factores primos es el siguiente:

El menor divisor primo de 84 es 2, por lo tanto, se divide 84 : 2 = 42. El cociente se escribe en la parte inferior y se vuelve a repetir el procedimiento. El menor divisor primo de 42 es 2, se escribe el divisor y el resultado que es 21 se escribe debajo de 42. Luego, el menor divisor primo de 21 es 3, se escribe dicho divisor y el resultado, que es 7, se escribe en la parte inferior. Como 7 es un número primo, el mínimo divisor primo es sí mismo, por lo tanto, se escribe el divisor 7 y el resultado de la división es 1. Como el número 1 no es un número primo se da por concluida la descomposición.

De esta manera, el 84 se puede escribir como la multiplicación de todos sus factores primos:

84 = 2 · 2 · 3 · 7

En estos casos, las descomposiciones de factores primos suelen representarte en forma de potencia en aquellos factores que se repiten. Para este ejemplo, observamos que el número 2 se repite dos veces por lo tanto se puede expresar como 22. De esta forma, la descomposición quedaría expresada de la siguiente forma:

84 = 22 · 3 · 7

Códigos secretos

Los números se pueden descomponer en sus factores primos, pero cuando hablamos de números realmente grandes resulta casi imposible a menos que utilicemos herramientas informáticas o programas de computadora. Es por esto que los números primos son perfectos para crear códigos secretos indescifrables. Por ejemplo, cuando se hacen compras por internet, los datos de las personas que compran quedan ocultos por un código creado por números enormes que funcionan como una cerradura cuya llave son los factores primos de este número.

¡A ejercitar!

  1. Encierra en color azul los números primos y en rojo los números compuestos.

RESPUESTAS

2. Encuentra los divisores de los siguientes números.

a) 24 

RESPUESTAS
Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24.

b) 60 

RESPUESTAS
Divisores de 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60.

c) 73 

RESPUESTAS
Divisores de 73: 1 y 73

d) 48 

RESPUESTAS
Divisores de 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 y 48.

3. Señala cuál de los siguientes números es un número compuesto.

a) 53

b) 63

c) 73

d) 83

RESPUESTAS
b) 63 

4. Descompone en factores primos los siguientes números:

a) 54 

RESPUESTAS

b) 150 

RESPUESTAS

c) 72 

RESPUESTAS

d) 100 

RESPUESTAS

e) 63 

RESPUESTAS

f) 132 

RESPUESTAS

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Criterios de divisibilidad”

El artículo propone una serie de reglas que permiten identificar los divisores de un número.

VER

CAPÍTULO 1 / TEMA 7 (REVISIÓN)

SENTIDO NUMÉRICO | REVISIÓN

UNIVERSO DE LOS NÚMEROS

Los números desde su invención han servido para contar cosas y por eso existen diferentes sistemas y tipos de números que permiten un mejor conocimiento de las cantidades. Para comprender el sentido numérico, dentro del universo de los números se utilizan diversas clasificaciones. Un tipo de números son los ordinales que sirven para establecer un orden. Por otro lado, existen los cardinales que indican cantidades numéricas de elementos que pertenecen a un grupo o conjunto. Actualmente, el sistema más usado es el sistema numérico decimal pero no es el único que existe. Otras culturas crearon sistemas de numeración distintos al decimal, como por ejemplo, los mayas y los romanos.

El sistema de numeración binario se utiliza principalmente en la informática. Está conformado solo por dos cifras: el 0 y el 1.

NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS

De acuerdo a la cantidad de divisores que poseen los número, los podemos clasificar en primos y compuestos. Los números primos son aquellos que solo son divisibles por el número uno y por sí mismos. En cambio, los números compuestos son aquellos que además de ser divisibles por el uno y por sí mismos, también son divisibles por otro u otros números, es decir, tienen más de dos divisores. Todos los números compuestos pueden expresarse como un producto de factores primos.

Para determinar los factores primos de un número compuesto se emplean los criterios de divisibilidad.

VALOR POSICIONAL

Una de las principales características de nuestro sistema de numeración decimal es que el valor de los dígitos varía de acuerdo a su ubicación dentro del número. Esta característica se denomina valor posicional y aplica tanto en los números enteros como en los fraccionarios. Una herramienta que nos permite observar directamente el valor de cada dígito de acuerdo al lugar que ocupa es la tabla posicional.

Según la posición de cada dígito, los números pueden descomponerse en forma de suma (descomposición aditiva) o de multiplicación (descomposición multiplicativa).

NÚMEROS DECIMALES

Hay números que se ubican entre dos números enteros consecutivos, estos números se denominan números decimales y se caracterizan porque presentan una parte entera y una decimal, que se encuentran separadas por una coma o punto de acuerdo a la convención del país. Los números decimales se clasifican en racionales y en irracionales. Los racionales se pueden representar en forma de fracción, y los irracionales son números infinitos cuya parte decimal no sigue ningún patrón, como sucede en el caso del número pi.

A menudo se pueden aplicar redondeos en las cifras decimales de un número para simplificar los cálculos.

POTENCIAS

La potenciación es una operación compuesta de tres partes fundamentales: el exponente, la base y la potencia. El exponente indica cuántas veces se debe multiplicar la base por si misma. La base es el número que se multiplica por sí mismo las veces que indique el exponente. La potencia es el resultado de la operación de potenciación. Como toda operación matemática, las potencias cumplen con algunas propiedades. Por ejemplo, todo número elevado a 0 es igual a 1. Para resolver potencias se aplican sus propiedades y se realizan multiplicaciones sucesivas de la base.

Cuando el exponente es 1, la potencia es siempre igual a la base.

RAÍZ DE UN NÚMERO

La radicación es la operación inversa a la potenciación y por ello se encuentran estrechamente relacionadas. Esta operación emplea el símbolo (√) denominado radical. Sus elementos principales son el radicando, el índice y la raíz. El radicando es el número al cual se le va a calcular la raíz y se encuentra en la parte inferior del radical. El índice es el número que índica la cantidad de veces en las que debe multiplicarse un número por sí mismo para que el resultado sea igual al radicando, y se ubica en la parte izquierda del radical. La raíz es el resultado de la operación. Para calcular una raíz se debe buscar un número que multiplicado por sí mismo las veces que indique el índice dé como resultado el mismo valor del radicando.

En las raíces cuadradas, el índice 2 no se coloca en el radical: simplemente se denotan como (√).

 

CAPÍTULO 1 / TEMA 2

NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS

Podemos clasificar los números según distintos criterios, y uno de esos es la cantidad de divisores que tengan. Si un número tiene solo dos divisores, el uno y él mismo, decimos que ese número es primo; en cambio, si el número tiene más de dos divisores, a ese número lo llamamos compuesto.

CARACTERÍSTICAS DE LOS NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS

Números primos

Los números primos son aquellos que solo son divisibles por el número uno y por sí mismos. Por ejemplo, el número 13 es un número primo porque solo es divisible por el número 1 y por el número 13.

Además, los números primos no pueden formarse como producto de la multiplicación de otros dos factores que no sean el 1 y el mismo número. Por ejemplo, el número 7 solo puede formarse al multiplicar 7 × 1 = 7.

Divisibilidad

Un número es divisible por otro cuando al efectuar la operación de división entre ellos el resto es cero.

  • El 12 es divisible por 2 porque el resto de la división en 0.
  • El 13 no es divisible por 2 porque el resto de la división no es 0.

El número 12 es divisible por 1, 2, 3, 4, 6 y 12.

Números compuestos

Los números compuestos son aquellos que aparte de ser divisibles por el uno y por sí mismos, también son divisibles por otro u otros números. Por ejemplo, el número 4 es un número compuesto porque tiene tres divisores: 1, 2 y 4.

A su vez, los números compuestos pueden ser formados como productos de la multiplicación de otros dos factores. Por ejemplo, el número 10 puede ser formado por la multiplicación de 5 x 2 = 10.

¿Sabías qué?
El número 1 no es primo ni compuesto ya que solo puede dividirse por sí mismo.
Los números primos solo son divisibles por el uno y por sí mismos, mientras que los números compuestos, además de ser divisibles por uno y por sí mismos, también pueden ser divididos por otro u otros números. No obstante, hay un número que no cumple con estas características: el uno. El número 1 no es primo ni compuesto.

CRIBA DE ERATÓSTENES

Es un procedimiento para identificar los números primos. La podemos elaborar de la siguiente manera:

  1. Comenzamos desde el número 2, que es el primer número primo, por lo tanto no lo vamos a tachar. Pero sí eliminamos todos los siguientes múltiplos de 2: 4, 6, 8, 10, 12,…
  2. El siguiente primo es el 3, así que debemos tachar todos los múltiplos de este número: 6, 9, 12, 15…
  3. En esta instancia, ya tenemos gran parte de los números eliminados. Podemos observar que el siguiente número que aparece sin tachar es el 5, que sería el siguiente primo. Entonces, tachamos los múltiplos de 5 que aparecen a continuación: 5, 10, 15, 20…
  4. Del mismo modo procedemos con el 7.
  5. El siguiente número que aparece sin eliminar es el 11, pero… ¡Todos sus múltiplos están tachados! Por ello, aquellos números que han quedado sin descartar en esta instancia son los primos.

Observa que los números resaltados son los primos y los tachados son los compuestos.

¿Sabías qué?
El 2 es el único número primo que es par.
¡A practicar!

Marca con una circunferencia los números que sean primos:

Solución

EXPRESIÓN DE NÚMEROS EN FACTORES PRIMOS

Todos los números compuestos pueden representarse como producto de una multiplicación de 2 o más factores primos. Esto se conoce comúnmente como factorización en números primos, o factorización de números compuestos.

Así como podemos representar cualquier número como una suma (por ejemplo: 5 = 2 + 3) o como una resta (por ejemplo 5 = 7 − 2), también podemos descomponer un número compuesto por medio de una multiplicación de sus números primos.

Recuerda que:

  • Factor: es el número que multiplica.
  • Producto: es el resultado de una multiplicación.

Pasos para factorizar en números primos

  1. Escribe el número compuesto que se quiere expresar en factores primos y a su derecha traza una semirrecta vertical.
  2. Pon a la derecha de la semirrecta el número primo más pequeño que sea divisor, es decir, que pueda dividir de forma exacta el número compuesto elegido.
  3. Escribe el cociente de la división anterior debajo del número compuesto elegido y a su derecha, del otro lado de la semirrecta, escribe el número primo más pequeño que sea divisor de este último.
  4. Repite el procedimiento la cantidad de veces que sean necesarias hasta obtener el número 1 como cociente.

– Ejemplo:

Expresa el número 36 como producto de sus factores primos.

El número compuesto 36 se expresa como producto de factores primos así: 2 x 2 x 3 x 3.

Observa que también podemos expresar los factores primos como una potencia, de este modo, 2 × 2 = 22 y 3 × 3 = 32.

¡A practicar!

Expresa los siguientes números como productos de factores primos:

  • 12
  • 40
  • 64
Solución

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Los criterios de divisibilidad son reglas que nos permiten reconocer si un número es divisible por otro sin necesidad de hacer la división. Es decir, por medio de la observación de las características de un número podemos darnos cuenta si se puede dividir o no por otro número determinado.

Todo número tiene sus múltiplos, de la misma manera, también tiene sus divisores; estos son números que lo dividen de forma exacta, es decir, que al hacer la operación el cociente es un número exacto y el resto es cero. Por ejemplo, 2 es divisor de 8 y 3 es divisor de 6 porque al calcular 2 : 8 = 4 y 6 : 3 = 2, el resto es cero en ambos casos.

 

Cada número tiene un criterio de divisibilidad distinto. En la siguiente tabla están desde el 2 hasta el 10:

Número Criterio Ejemplos
2 Un número es divisible por 2 si es un número par. 6

8

125.972

Son números pares.

3 Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras da como resultado un número múltiplo de 3. 93 porque 9 + 3 = 12 y 12 es múltiplo de 3.

 

123 porque 1 + 2 + 3 = 6 y 6 es múltiplo de 3.

4 Un número es divisible por 4 si las 2 últimas cifras del número forman un múltiplo de 4 o si son dos ceros. 140 porque 40 es múltiplo de 4.

 

33.624 porque 24 es múltiplo de 4.

 

700 porque termina con dos ceros.

5 Un número es divisible por 5 si su última cifra es un 0 o un 5. 495 porque termina en 5.

 

874.280 porque termina en 0.

6 Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3 a la vez. 12 porque es divisible por 2 y por 3 a la vez.

 

150 porque es divisible por 2 y por 3 a la vez.

7 Un número es divisible por 7 si al restar el doble de la unidad a el resto de la cantidad sin la última cifra el resultado es 0 o un múltiplo de 7. 91 porque 9 −2 = 7 y 7 es múltiplo de 7.

 

105 porque 10 − 10 = 0.

 

182 porque 18 − 4 = 14 y 14 es múltiplo de 7.

8 Un número es divisible por 8 si sus 3 últimas cifras forman un múltiplo de 8 o son tres ceros. 25.200 porque 200 es múltiplo de 8.

 

9.000 porque sus últimas 3 cifras son tres ceros.

9 Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras da como resultado un número múltiplo de 9. 99 porque 9 + 9 = 18 y 18 es múltiplo de 9.

 

207 porque 2 + 0 + 7 = 9 y 9 es múltiplo de 9.

10 Un número es divisible por 10 si su última cifra es un 0. 1.235.250 porque termina en 0.

 

2.000 porque termina en 0.

 

¡A practicar!

1. Expresa los siguientes números como productos de factores primos:

  • 98
  • 60
  • 18
  • 36
Solución

2. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

  • 161 es divisible por 7.
Solución
Verdadero.
  • 222 es divisible por 3.
Solución
Verdadero.
  • 523 es divisible por 5.
Solución
Falso.
  • 234 es divisible por 9.
Solución
Verdadero.
  • 10.001 es divisible por 10.
Solución
Falso.
  • 32 es divisible por 6.
Solución
Falso.
  • 500 es divisible por 4.
Solución
Verdadero.
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