MÚLTIPLOS Y DIVISORES
Un múltiplo de un número es el resultado de multiplicar ese número por otro. Debido a esto, los múltiplos de un número son infinitos. Por otra parte, los divisores son los valores que dividen a un números en partes iguales y permiten saber si se trata de un número primo o compuesto.
nÚMEROS PRIMOS
Los números primos son aquellos números naturales que son divisibles por uno y por sí mismos, es decir, sus únicos divisores son ellos mismos y la unidad. Por ejemplo: 2, 3, 5, 7 y 11 son números primos.
| Número | Divisores |
| 2 | 2 y 1 |
| 3 | 3 y 1 |
| 5 | 5 y 1 |
| 7 | 7 y 1 |
| 11 | 11 y 1 |
La maravilla de los números primos
Los números primos son como los arquitectos de otros números, ya que la multiplicación de varios números primos da lugar a un número compuesto. Los números primos son equivalentes en las matemáticas a lo que los átomos son en la materia. Esta naturaleza los hace tan peculiares que muchos matemáticos los han estudiado a través de los años.
nÚMEROS COMPUESTOS
Los números compuestos son aquellos números naturales que tienen más de dos divisores, además del uno y de sí mismo. Estos números pueden ser expresados como un producto de números primos que es único para cada número.
Algunos números compuestos
| Número | Divisores |
| 4 | 4, 2 y 1 |
| 6 | 6, 3, 2 y 1 |
| 8 | 8, 4, 2 y 1 |
| 9 | 9, 3 y 1 |
| 10 | 10, 5, 2 y 1 |
DIVISORES
Un divisor es el número que divide a otro en una cantidad entera. Un número es divisible por otro si su división es exacta, es decir, el resto de la división es cero. Si un número “a” se divide por otro “b” y el resto de la división es cero quiere decir que “b” es divisor de “a” o que “a es divisible por b”. Por ejemplo, 4 es divisor de 8 porque 8 : 4 = 2 y el resto es cero. Por lo tanto, 8 es divisible por 4.
Para encontrar los divisores de un número se pueden usar las tablas de multiplicar o los criterios de divisibilidad. Por ejemplo, para buscar los divisores de 16 sabemos que se trata de un número par. Por lo tanto, va a ser divisible por 2. Por otra parte, el 16 se encuentra dentro de las tablas de multiplicar del 4 y del 8. Entonces, esos números forman parte de sus divisores. También sabemos que todos los números (primos o compuestos) son divisibles entre ellos mismos y entre 1, por lo tanto, los divisores de 16 son: 1, 2, 4, 8 y 16.
Números perfectos
El matemático griego Euclides estudiaba los números naturales y denominaba números perfectos a un tipo de números compuestos. Él describía a un número perfecto como aquel número natural que es igual a la suma de sus divisores excepto él mismo. Un ejemplo de número perfecto es el 6 ya que sus divisores son: 1, 2, 3 y 6. Si los sumamos a todos, menos al seis tenemos, el resultado es igual al mismo número: 1 + 2 + 3 = 6. El siguiente número con estas características es el 28. Sus divisores son 1, 2, 4, 7, 14 y 28. La cuenta sería: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
DESCOMPOSICIÓN DE NÚMEROS EN SUS FACTORES PRIMOS
Todos los números compuestos pueden descomponerse en un producto de sus factores primos. Para descomponer un número en sus factores primos, se divide por el menor de sus divisores primos. El cociente de esa división se vuelve a dividir por el menor divisor primo de este y así sucesivamente hasta conseguir como cociente el 1. La manera de representar la descomposición es a través de una raya vertical que separa la división del número y sus factores primos.
Por ejemplo, procedimiento para descomponer el número 84 en sus factores primos es el siguiente:
El menor divisor primo de 84 es 2, por lo tanto, se divide 84 : 2 = 42. El cociente se escribe en la parte inferior y se vuelve a repetir el procedimiento. El menor divisor primo de 42 es 2, se escribe el divisor y el resultado que es 21 se escribe debajo de 42. Luego, el menor divisor primo de 21 es 3, se escribe dicho divisor y el resultado, que es 7, se escribe en la parte inferior. Como 7 es un número primo, el mínimo divisor primo es sí mismo, por lo tanto, se escribe el divisor 7 y el resultado de la división es 1. Como el número 1 no es un número primo se da por concluida la descomposición.
De esta manera, el 84 se puede escribir como la multiplicación de todos sus factores primos:
84 = 2 · 2 · 3 · 7
En estos casos, las descomposiciones de factores primos suelen representarte en forma de potencia en aquellos factores que se repiten. Para este ejemplo, observamos que el número 2 se repite dos veces por lo tanto se puede expresar como 22. De esta forma, la descomposición quedaría expresada de la siguiente forma:
84 = 22 · 3 · 7
Códigos secretos
Los números se pueden descomponer en sus factores primos, pero cuando hablamos de números realmente grandes resulta casi imposible a menos que utilicemos herramientas informáticas o programas de computadora. Es por esto que los números primos son perfectos para crear códigos secretos indescifrables. Por ejemplo, cuando se hacen compras por internet, los datos de las personas que compran quedan ocultos por un código creado por números enormes que funcionan como una cerradura cuya llave son los factores primos de este número.
¡A ejercitar!
- Encierra en color azul los números primos y en rojo los números compuestos.
2. Encuentra los divisores de los siguientes números.
a) 24
b) 60
c) 73
d) 48
3. Señala cuál de los siguientes números es un número compuesto.
a) 53
b) 63
c) 73
d) 83
4. Descompone en factores primos los siguientes números:
a) 54
b) 150
c) 72
d) 100
e) 63
f) 132
2. Luego, el siguiente número es el 2, al ser un número primo no se tacha pero a partir de él se empieza a contar de dos en dos al mismo tiempo que se tachan los números que resulten de dicho conteo.
4. El siguiente número sin tachar es el 5, se deja sin tachar y se empieza a contar de 5 en 5 mientras se tachan los números.
