Los números desde su invención han servido para contar cosas y por eso existen diferentes sistemas y tipos de números que permiten un mejor conocimiento de las cantidades. Para comprender el sentido numérico, dentro del universo de los números se utilizan diversas clasificaciones. Un tipo de números son los ordinales que sirven para establecer un orden. Por otro lado, existen los cardinales que indican cantidades numéricas de elementos que pertenecen a un grupo o conjunto. Actualmente, el sistema más usado es el sistema numérico decimal pero no es el único que existe. Otras culturas crearon sistemas de numeración distintos al decimal, como por ejemplo, los mayas y los romanos.
El sistema de numeración binario se utiliza principalmente en la informática. Está conformado solo por dos cifras: el 0 y el 1.
NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS
De acuerdo a la cantidad de divisores que poseen los número, los podemos clasificar en primos y compuestos. Los números primos son aquellos que solo son divisibles por el número uno y por sí mismos. En cambio, los números compuestos son aquellos que además de ser divisibles por el uno y por sí mismos, también son divisibles por otro u otros números, es decir, tienen más de dos divisores. Todos los números compuestos pueden expresarse como un producto de factores primos.
Para determinar los factores primos de un número compuesto se emplean los criterios de divisibilidad.
VALOR POSICIONAL
Una de las principales características de nuestro sistema de numeración decimal es que el valor de los dígitos varía de acuerdo a su ubicación dentro del número. Esta característica se denomina valor posicional y aplica tanto en los números enteros como en los fraccionarios. Una herramienta que nos permite observar directamente el valor de cada dígito de acuerdo al lugar que ocupa es la tabla posicional.
Según la posición de cada dígito, los números pueden descomponerse en forma de suma (descomposición aditiva) o de multiplicación (descomposición multiplicativa).
NÚMEROS DECIMALES
Hay números que se ubican entre dos números enteros consecutivos, estos números se denominan números decimales y se caracterizan porque presentan una parte entera y una decimal, que se encuentran separadas por una coma o punto de acuerdo a la convención del país. Los números decimales se clasifican en racionales y en irracionales. Los racionales se pueden representar en forma de fracción, y los irracionales son números infinitos cuya parte decimal no sigue ningún patrón, como sucede en el caso del número pi.
A menudo se pueden aplicar redondeos en las cifras decimales de un número para simplificar los cálculos.
POTENCIAS
La potenciación es una operación compuesta de tres partes fundamentales: el exponente, la base y la potencia. El exponente indica cuántas veces se debe multiplicar la base por si misma. La base es el número que se multiplica por sí mismo las veces que indique el exponente. La potencia es el resultado de la operación de potenciación. Como toda operación matemática, las potencias cumplen con algunas propiedades. Por ejemplo, todo número elevado a 0 es igual a 1. Para resolver potencias se aplican sus propiedades y se realizan multiplicaciones sucesivas de la base.
Cuando el exponente es 1, la potencia es siempre igual a la base.
RAÍZ DE UN NÚMERO
La radicación es la operación inversa a la potenciación y por ello se encuentran estrechamente relacionadas. Esta operación emplea el símbolo (√) denominado radical. Sus elementos principales son el radicando, el índice y la raíz. El radicando es el número al cual se le va a calcular la raíz y se encuentra en la parte inferior del radical. El índice es el número que índica la cantidad de veces en las que debe multiplicarse un número por sí mismo para que el resultado sea igual al radicando, y se ubica en la parte izquierda del radical. La raíz es el resultado de la operación. Para calcular una raíz se debe buscar un número que multiplicado por sí mismo las veces que indique el índice dé como resultado el mismo valor del radicando.
En las raíces cuadradas, el índice 2 no se coloca en el radical: simplemente se denotan como (√).
El sistema de numeración decimal se caracteriza por ser de base 10 y por ser posicional. Esto significa que solo usa diez dígitos y que la posición de cada uno de ellos determina el valor que tienen. La tablas posicionales y la descomposición son algunas técnicas que podemos emplear para escribir y leer números con más de cinco cifras de manera sencilla. A continuación verás lo fácil que es.
VALOR POSICIONAL DE CIFRAS HASTA 1.000.000
En el sistema de numeración decimal contamos con los siguientes dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Con ellos podemos formar todos los números del sistema ya que si variamos la posición de las cifras dentro del número, también cambiamos su valor. Esta característica se denomina valor posicional.
Como podemos observar en este ejemplo, todas las cifras que componen el número 999.999 son las mismas: 9, pero cada una tiene un valordiferente debido a su posición dentro del número.
Como ya sabemos, luego de 3 cifras debemos colocar un punto. En este caso, dicho punto separa a los miles de los millones. El número que le sigue al 999.999 es el millón, que se escribe de la siguiente manera:
1.000.000
¿Sabías qué?
Si empiezas a contar de uno en uno no terminarás nunca porque los números no tienen un final, es decir, son infinitos.
Cuando algo no termina decimos que es infinito, y los números son un ejemplo de ello. No hay un límite final para los números, pero tampoco hay un comienzo, ya que antes del 0 hay una infinidad de número negativos. Cuando queramos expresar que una cuenta es infinita podemos utilizar el símbolo que lo representa: ∞.
LA TABLA POSICIONAL
Existe una clasificación según la posición que tengan las cifras dentro del número. Cada posición recibe el nombre de un orden, como las unidades, decenas y centenas. Cada tres órdenes se forma una clase, que va desde las unidades, miles, millones, millares de millón, billones, etc. Podemos observar toda esta información en una tabla posicional.
– Ejemplo:
Según la tabla posicional, los valores de cada cifra de derecha a izquierda son los siguientes:
2 unidades = 2 se lee “dos”.
3 decenas = 30 se lee “treinta”
5 centenas = 500 se lee “quinientos”.
9 unidades de mil = 9.000 se lee “nueve mil”.
4 decenas de mil = 40.000 se lee “cuarenta mil”.
8 centenas de mil = 800.000 se lee “ochocientos mil”.
1 unidad de millón = 1.000.000 se lee “un millón”
Por lo tanto, el número 1.849.532 se lee “un millón ochocientos cuarenta y nueve mil quinientos treinta y dos”.
– Otro ejemplo:
Según la tabla posicional, los valores son:
5 unidades = 5 se lee “cinco”.
8 decenas = 80 se lee “ochenta”.
9 centenas = 900 se lee “novecientos”.
2 unidades de mil = 2.000 se lee “dos mil”.
4 decenas de mil = 40.000 se lee “cuarenta mil”.
6 centenas de mil = 600.000 se lee “seiscientos mil”.
1 unidad de millón = 1.000.000 se lee “un millón”.
Entonces, el número 1.642.985 se lee “un millón seiscientos cuarenta y dos mil novecientos ochenta y cinco”.
¡Es tu turno!
Coloca los siguientes números en sus tablas posicionales:
1.022.467
Solución
270.628
Solución
896.501
Solución
VALOR POSICIONAL DE DECIMALES
Los números decimales se componen de una parte entera y una parte decimal que van separadas por una coma. Esto quiere decir que de un lado de la coma vamos a tener la parte de los números enteros con unidades, decenas, centenas, etc.; y del otro lado, la parte decimal que también tiene valores posicionales conocidos como décimas, centésimas, milésimas, etc.
La parte decimal de los números decimales también puede ser representada en una tabla posicional. Al igual que la parte entera, el valor cambia de acuerdo a la posición de la cifra.
Unidades decimales
Son las que obtenemos al dividir la unidad en partes iguales. Las primeras unidades decimales son las décimas, las centésimas y las milésimas.
Décimas
Centésimas
Milésimas
1 unidad = 10 décimas
1 décima = 0,1 unidades
1 unidad = 100 centésimas
1 centésima = 0,01 unidades
1 unidad = 1.000 milésimas
1 milésima = 0,001 unidades
– Ejemplo:
Podemos leer los números decimales de dos formas:
Leemos la parte entera seguida de la palabra “enteros”. Luego leemos la parte decimal como se lee la parte entera y mencionamos la posición en la que está la última cifra.
Leemos la parte entera seguida de la palabra “coma”. Después leemos la parte decimal de la misma forma en la que lees la parte entera.
De este modo, el número 5.897,234 puede ser leído de dos formas, ambas correctas:
“Cinco mil ochocientos noventa y siete enteros doscientos treinta y cuatro milésimas“.
“Cinco mil ochocientos noventa y siete coma doscientos treinta y cuatro”.
DESCOMPOSICIÓN ADITIVA DE UN NÚMERO
Todos los números pueden descomponerse de diversas maneras. Una de ellas es la descomposición aditiva, la cual consiste en representar números como la suma de otros.
Por ejemplo, podemos descomponer el número 128 de forma aditiva y representarlo así:
128 = 100 + 20 + 8
Observa que sumamos los valores posicionales de cada cifra.
Cualquier número puede ser expresado a través de la suma, en lo que se conoce como descomposición aditiva. Este tipo de descomposición considera el valor posicional de cada una de sus cifras, pero también es posible verlo como la suma de diferentes cifras, por ejemplo, 15 = 10 + 5, pero también lo podemos escribir como 15 = 7 + 8.
DESCOMPOSICIÓN MULTIPLICATIVA DE UN NÚMERO
Es otro tipo de descomposición en el que representamos números por medio de multiplicaciones. Aquí tomamos en cuenta el valor del dígito por el valor de su posición.
EL HOMBRE SIEMPRE HA TENIDO LA NECESIDAD DE CONTAR Y POR ESO INVENTÓ LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN. NOSOTROS USAMOS EL SISTEMA DECIMAL QUE SOLO TIENE DIEZ CIFRAS CON LAS QUE PODEMOS FORMAR CUALQUIER CANTIDAD DE NÚMEROS. PERO ¿CÓMO HACERLO? DEBEMOS SABER EL VALOR DE CADA CIFRA DENTRO DEL NÚMERO, ES DECIR, SU VALOR POSICIONAL.
ESTOS DIEZ DÍGITOS FORMAN NUESTRO SISTEMA DECIMAL Y CON ELLOS FORMAMOS MUCHOS NÚMEROS. ¿LOS HAS USADO? ¡SEGURO QUE SÍ! USAMOS LA COMBINACIÓN DE ESTAS CIFRAS PARA DAR UN NÚMERO DE TELÉFONO, LA FECHA DE NUESTRO CUMPLEAÑOS, EL NÚMERO DE IDENTIFICACIÓN O PARA CONTAR LA CANTIDAD DE JUGUETES QUE TENEMOS.
¿QUÉ ES EL VALOR POSICIONAL?
ES EL VALOR QUE TIENE UNA CIFRA SEGÚN SU POSICIÓN EN EL NÚMERO. ESTAS POSICIONES TIENEN UN NOMBRE Y PUEDEN SER UNIDADES, DECENAS O CENTENAS. OBSERVA Y RESPONDE:
EL NÚMERO 123 ESTÁ FORMADO POR TRES CIFRAS: 1, 2 Y 3. ¿PODEMOS CREAR MÁS NÚMERO CON ESTAS TRES CIFRAS? ¡CLARO QUE SÍ! POR EJEMPLO, EL NÚMERO 312 O EL 231. COMO VES, AUNQUE TENGAN LAS MISMAS CIFRAS, CADA NÚMERO TIENE UN VALOR DISTINTO PORQUE LAS POSICIONES SON DIFERENTES. EN 123 EL 1 VALE 100; EN 312 EL 1 VALE 10; Y EN 231 EL 1 VALE 1.
PARA SABER LOS VALORES DE CADA CIFRA EN UN NÚMERO USAMOS UNA TABLA DE VALOR POSICIONAL COMO ESTA:
EL NÚMERO 468 TIENE:
8 UNIDADES.
6 DECENAS.
4 CENTENAS.
¡CAMBIEMOS POSICIONES!
LA POSICIÓN DE UNA CIFRA EN UN NÚMERO INDICAN UN VALOR. SI UNA DE LAS CIFRAS CAMBIA DE POSICIÓN, ENTONCES SE CONVIERTE EN OTRO NÚMERO. OBSERVA ESTOS EJEMPLOS EN LOS QUE CAMBIAMOS LAS POSICIONES DE TRES CIFRAS: 4, 6 Y 8.
NÚMERO
VALOR POSICIONAL
SE LEE
468
4 CENTENAS
6 DECENAS
8 UNIDADES
CUATROCIENTOS SESENTA Y OCHO.
486
4 CENTENAS
8 DECENAS
6 UNIDADES
CUATROCIENTOS OCHENTA Y SEIS.
864
8 CENTENAS
6 DECENAS
4 UNIDADES
OCHOCIENTOS SESENTA Y CUATRO.
846
8 CENTENAS
4 DECENAS
6 UNIDADES
OCHOCIENTOS CUARENTA Y SEIS.
684
6 CENTENAS
8 DECENAS
4 UNIDADES
SEISCIENTOS OCHENTA Y CUATRO.
648
6 CENTENAS
4 DECENAS
8 UNIDADES
SEISCIENTOS CUARENTA Y OCHO.
DESCOMPOSICIÓN DE NÚMEROS
CONSISTE EN CONVERTIR UN NÚMERO EN UNA SUMA DE SUS VALORES POSICIONALES.
– EJEMPLO:
EL NÚMERO 183 TIENE:
1 CENTENA = 1 VEZ 100 = 100 UNIDADES
8 DECENAS = 8 VECES 10 = 80 UNIDADES
3 UNIDADES = 3 VECES 1 = 3 UNIDADES
ENTONCES, LA DESCOMPOSICIÓN DEL NÚMERO 183 ES LA SIGUIENTE:
183 = 1 C + 8 D + 3 U
183 = 100 + 80 + 3
¡A PRACTICAR!
REALIZA LA DESCOMPOSICIÓN ADITIVA DE LOS SIGUIENTES NÚMEROS:
642
SOLUCIÓN
642 = 6 C + 4 D + 2 U
642 = 600 + 40 + 2
789
SOLUCIÓN
789 = 7 C + 8 D + 9 U
789 = 700 + 80 + 9
453
SOLUCIÓN
453 = 4 C + 5 D + 3 U
453 = 400 + 50 + 3
998
SOLUCIÓN
998 = 9 C + 9 D + 8 U
998 = 900 + 90 + 8
¿SABÍAS QUÉ?
LA DESCOMPOSICIÓN DEL NÚMERO 1.000 TIENE UNA UNIDAD DE MIL Y SE ESCRIBE “1 UM”.
UBICACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA
ES UNA LÍNEA RECTA EN LA QUE UBICAMOS LOS NÚMEROS. EL 0 ES EL COMIENZO DE LA RECTA, LUEGO VAN LOS NÚMEROS DE 1 EN 1 DE MENOR A MAYOR.
– EJEMPLO:
LA REGLA ES UN ELEMENTO QUE UTILIZAMOS PARA MEDIR OBJETOS O PARA TRAZAR LAS LÍNEAS DE UN DIBUJO. SU FORMA ES DELGADA Y RECTANGULAR, PUEDE SER RÍGIDA O FLEXIBLE Y HAY DE DISTINTOS MATERIALES: PLÁSTICO, GOMA, METAL, MADERA. EXISTEN OTROS ELEMENTOS QUE CUMPLEN UNA FUNCIÓN SIMILAR, PERO SON MÁS LARGOS, COMO POR EJEMPLO, LA CINTA MÉTRICA O EL METRO.
– EJEMPLO:
LAS EDADES DE CINCO HERMANOS SON LAS SIGUIENTES:
JUAN: 2 AÑOS; INÉS: 5 AÑOS; ALDO: 9 AÑOS; CARLA: 12 AÑOS; y LUCÍA: 18 AÑOS.
SI DESEAMOS UBICAR EN UNA RECTA NUMÉRICA LAS EDADES DE LOS HERMANOS SEGUIMOS ESTOS PASOS:
1) DIBUJAMOS UNA RECTA CON LAS FLECHAS EN LOS EXTREMOS, HACEMOS DIVISIONES DE IGUAL DISTANCIA Y UBICAMOS EL 0.
2) EN ESTE CASO HICIMOS 20 DIVISIONES PARA UBICAR TODAS LAS EDADES.
3) COLOCAMOS UN PUNTO EN EL VALOR DE LAS EDADES.
OBSERVA QUE MIENTRAS MÁS AVANZA HACIA LA DERECHA, MAYORES SON LOS NÚMEROS.
¡A PRACTICAR!
1. REALIZA LA DESCOMPOSICIÓN DE ESTOS NÚMEROS.
275
SOLUCIÓN
275 = 2 C + 7 D + 5 U = 200 + 70 + 5
638
SOLUCIÓN
638 = 6 C + 3 D + 8 U = 600 + 30 + 8
996
SOLUCIÓN
996 = 9 C + 9 D + 6 U = 900 + 90 + 6
47
SOLUCIÓN
47 = 4 D + 7 U = 40 + 7
546
SOLUCIÓN
546 = 500 + 40 + 6
87
SOLUCIÓN
87 = 80 + 7
788
SOLUCIÓN
788 = 700 + 80 + 8
9 D + 2 U =
SOLUCIÓN
92 = 90 + 2
2. UBICA EN ESTA RECTA NUMÉRICA LOS SIGUIENTES NÚMEROS: 0, 3, 10, 15 Y 20.
SOLUCIÓN
RECURSOS PARA DOCENTES
Composición y descomposición de números
El siguiente artículo destacado te permitirá trabajar con los alumnos la composición y descomposición aditiva de números.
Hay ocasiones en las que los números enteros no son útiles para expresar ciertas magnitudes; los números decimales, en cambio, permiten indicar una cantidad ubicada entre dos enteros y por este motivo son usados a diario en diversas situaciones, como por ejemplo en los precios de los productos y la lectura de la temperatura del cuerpo.
¿Qué son los números decimales?
Son números formados por una parte entera y otra parte menor que la unidad. Los números decimales generalmente se representan con una coma (,) para indicar la separación entre la parte entera que puede ser igual a cero y la parte menor a la unidad.
Los decimales de un número pueden ser finitos o infinitos.
Por ejemplo:
– El número 3,15 es un decimal con un número finito de decimales.
– El número pi es un número con infinitos decimales: 3,1415926535… Al observar sus decimales se puede apreciar que no son periódicos, por lo tanto no siguen un patrón de repetición, a este tipo de números se lo conoce como número irracional.
Los puntos suspensivos (…) son usados para indicar que los decimales de un número son infinitos.
Elementos de un decimal
Como ya sabemos, los números decimales están formados por una parte entera y otra menor a la unidad (conocida también como parte decimal), la parte entera se ubica a la izquierda y la parte decimal a la derecha de la coma.
La parte entera puede ser igual a cero, como por ejemplo 0,5, que es la mitad del número 1.
La parte decimal es conocida también como parte fraccionaria, y siempre representa cantidades menores a la unidad.
Los números decimales pueden ser finitos si su parte fraccionaria es finita; o infinitos si su parte fraccionaria es infinita. Los decimales infinitos, a su vez, se clasifican en periódicos y no periódicos. Los periódicos presentan un patrón infinito en sus decimales, como el número 1,333… y los no periódicos no siguen ningún patrón, como en el caso del número pi.
Lectura de decimales
Antes de aprender a leer números decimales es importante conocer los conceptos de décima, centésima y milésima.
Décima: es el resultado de dividir la unidad en diez partes iguales. En la tabla de valor posicional se muestra con la letra d minúscula.
Centésima: es el resultado de dividir la unidad en cien partes iguales. En la tabla de valor posicional se muestra con la letra c minúscula. La centésima es menor que la décima.
Milésima: es el resultado de dividir la unidad en mil partes iguales. En la tabla de valor posicional se muestra con la letra m minúscula. La milésima es menor que la centésima.
La tabla de valor posicional para un número decimal es:
Para leer un número decimal debes seguir estos pasos:
Lee su parte entera de la misma forma como se hace en la lectura de números enteros en el siguiente orden: centena de mil, decena de mil, unidad de mil, centena, decena, unidad.
Agrega la palabra “unidades” o “enteros”.
Coloca una coma.
Lee la parte decimal de la misma manera en la que se leen los enteros y al final nombra el orden decimal que ocupa la última cifra (décimas, centésimas o milésimas).
Por ejemplo, 535,42 se lee: “quinientas treinta y cinco unidades, cuarenta y dos centésimas“.
En el ejemplo anterior, el 2 corresponde a la última cifra y ocupa el orden de las centésimas por eso se agrega dicho orden al final del número.
Si el decimal tiene una parte entera igual a cero solo se nombra la parte decimal de acuerdo al orden de la última cifra. Por ejemplo, 0,579 se lee: “quinientas setenta y nueve milésimas“.
¿Sabías qué?
Cuando un número decimal termina en cero este número puede omitirse sin alterar su valor. Así, 1,50 es igual a 1,5.
Utilidad de los decimales
Gracias a que permiten expresar números menores a la unidad, uno de sus principales usos son en las mediciones, desde la lectura de la temperatura hasta la determinación del tamaño de una bacteria, por ejemplo. Por esta razón, los decimales son indispensables en los cálculos empleados en disciplinas como la arquitectura, la medicina, la ingeniería y muchas otras más.
Para comparar dos números decimales lo primero que se debe hacer es comparar sus partes enteras, la que sea mayor corresponderá al número decimal mayor, por ejemplo: 21,5 es mayor que 9,785 porque 21 es mayor a 9. Cuando dos números decimales tienen igual parte entera se comparan sus partes decimales, por ejemplo: 7,58 es mayor a 7,49 porque 58 es mayor a 49.
¿Se usa punto o coma?
La respuesta es simple: ¡cualquiera de las dos! La diferencia en usar una u otra radica en el lugar en donde te encuentres. La coma y el punto son usados como separadores de los números decimales y ambos son válidos. En gran parte de Europa y América del Sur se emplea la coma, pero algunos países como Estados Unidos, Canadá, México y Reino Unido emplean el punto.
Sumas y restas de decimales
Las sumas y restas de números decimales se hacen del mismo modo que con los números enteros. En estos casos se deben colocar los números que se vayan a sumar o restar uno debajo del otro, de manera tal que las cifras del mismo orden se encuentren en la misma columna, es decir, las centenas con las centenas, las decenas con las decenas, las unidades con las unidades, las décimas con las décimas y así sucesivamente. De igual forma, las comas deben estar ubicadas en la misma columna.
Observa la manera correcta de sumar los números 124,32 + 267,11:
Luego, la suma se realiza como una suma normal sin considerar la coma, al final, la coma en el resultado estará ubicada en la columna correspondiente.
Si las cifras que se suman no tiene la misma cantidad de decimales, se completa con cero la cifra de menor número de decimales. Por ejemplo, 74,874 +41,41 se calcula de la siguiente manera:
En el caso de una resta se cumplen los mismos pasos para restar enteros y las cifras se ubican una debajo de la otra de acuerdo a su valor posicional. Si es necesario se agregan ceros en la parte decimal de forma tal que los números tengan la misma cantidad de decimales.
Por ejemplo, al realizar la resta de 945,5 − 307,182 el procedimiento sería:
Cuando se resuelvan ejercicios con números decimales que tengan la parte entera igual a cero, la suma o resta puede realizarse sin ningún tipo de inconveniente, pero con la previsión de que todas sus cifras estén correctamente ordenadas. Un error común es ubicar las comas de los números en columnas distintas con lo cual el resultado será incorrecto.
¡A practicar!
¿Cómo se leen los siguientes números decimales?
a) 457,5
Solución
Cuatrocientas cincuenta y siete unidades, 5 décimas.
b) 8,742
Solución
Ocho unidades, setecientas cuarenta y dos milésimas.
c) 0,92
Solución
Noventa y dos centésimas.
d) 100,102
Solución
Cien unidades, ciento dos milésimas.
Calcula el resultado de las siguientes sumas:
a) 178,45 + 278,73
Solución
457,18
b) 14,2 + 29,178
Solución
43,378
c) 402,745 + 61,45
Solución
464,195
d) 652,314 + 174,074
Solución
826,388
Calcula el resultado de las siguientes restas:
a) 279,3 − 142,1
Solución
137,2
b) 542,22 − 419,1
Solución
123,12
c) 547,943 − 390,451
Solución
157,492
d) 482,1 − 125,748
Solución
356,352
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Números decimales”
El siguiente artículo profundiza la información sobre los números decimales y explica su relación con las fracciones.
El video muestra ejemplos de sumas y restas de números decimales, así como los elementos a tener en cuenta durante la realización de este tipo de ejercicios.
En el ejemplo anterior, el 2 corresponde a la última cifra y ocupa el orden de las centésimas por eso se agrega dicho orden al final del número.
