Adición y sustracción
En matemática existen cuatro operaciones básicas: adición, sustracción, multiplicación y división. De las dos primeras se desprenden las otras, lo que quiere decir que aprender a sumar y a restar es fundamental para resolver la mayoría de los ejercicios matemáticos y para realizar cuentas cotidianas como, por ejemplo, en compras del supermercado.
Elementos de la adición
La adición es una de las operaciones básicas de la aritmética que permite combinar dos o más números para obtener un total. Esta operación se representa con el símbolo “+” y es aplicada en los diferentes tipos de números: naturales, enteros, racionales, reales y complejos.
Una adición presenta dos partes básicas: los sumandos y la suma. Los sumandos son todos los números que se van a sumar y la suma se refiere al resultado.
La adición anterior tiene dos sumandos: 352 y 431, y el resultado o suma es 783. Es importante tener presente que en estos casos la palabra “suma” se emplea para hablar de la operación de adición y también para referirse al resultado.
Propiedades de la adición
La suma de números enteros cumple tres propiedades básicas:
Propiedad conmutativa
Sin importar cómo se ordenen los sumandos de una suma, el resultado siempre será el mismo. Por ejemplo:
Por lo tanto:
15 + 3 = 18
3 + 15 = 18
Propiedad asociativa
No importa como se agrupen los elementos de una suma, el resultado siempre será el mismo. Por ejemplo:
En el problema: 8 + 2 + 6, se pueden sumar primero el 8 y 2 para luego sumar el 6, o se pueden sumar el 2 y el 6 y después sumar el 8. Entonces:
8 + 2 = 10, 10 + 6 = 16
2 + 6 = 8; 8 + 8 = 16
Propiedad del elemento neutro
El cero es el único número que no altera el resultado en una suma, es decir, la suma de cualquier número con el cero es igual al mismo número:
5 + 0 = 5
45 + 0 = 45
219 + 0 = 219
Adición por reagrupación
Es un método en el que se agrupan las unidades, decenas, centenas, etc., de un número. Para resolver problemas de este tipo se suman primero las unidades, luego las decenas, después las centenas y así sucesivamente.
- Colocar los sumandos uno debajo del otro de manera que los valores posicionales iguales estén ubicados en una misma columna: unidades con unidades, decenas con decenas, centenas con centenas…
- Sumar cada columna por separado a partir de las unidades. El resultado de la suma de cada columna se escribe en la parte inferior de esta.
- En caso de obtener un número de dos cifras al momento de sumar una columna, se anotará el número de la unidad de dicho número y la decena se sumará a la columna siguiente.
Con estos ejemplos podrás ver mejor cómo resolver una suma por reagrupación:
– Sumar 242 + 351
Lo primero es colocar los números uno debajo del otro según sus mismos valores posicionales.
Luego suma la columna de las unidades y anota el resultado debajo de dicha columna.
Repite el procedimiento anterior en las demás columnas de derecha a izquierda hasta completarlas todas. En este caso el resultado es: 242 + 351 = 593.
– Sumar 198 + 23
Ordena los números de la siguiente manera:
Cuando sumas la columna de las unidades tienes que 8 + 3 = 11, entonces solo debes colocar el 1 de la unidad y el 1 de la decena lo sumas en la siguiente columna. Anota el número en la parte superior de la columna para no olvidar sumarlo al final.
Suma la segunda columna. Allí tienes que 9 + 2 = 11, pero hay que sumarle 1 de la columna anterior, entonces el resultado de la segunda columna es 12. Anota el 2 de la unidad y el 1 de la decena lo sumas a la siguiente columna.
En la tercera columna solamente está el número 1, así que el 1 de la columna anterior se suma a este. Anota el resultado.
El resultado de la suma anterior es: 198 + 23 = 221. En caso de sumar la última columna y obtener un número de dos cifras, este se anotará exactamente igual en el resultado.
Elementos de la sustracción
La sustracción es otra operación básica de la aritmética que consiste en quitar una cantidad a otra, por eso se considera como la operación opuesta a la suma. Se representa con el símbolo “−”.
Este tipo de operación cuenta con un minuendo, número al cual se le quita cierta cantidad; un sustraendo, número que resta al minuendo; y la diferencia, resultado de la operación.
Propiedades de la sustracción
La sustracción cumple con dos propiedades básicas:
Elemento neutro
El resultado de cualquier número y cero da como resultado el mismo número. Por ejemplo:
3 − 0 = 3
157 − 0 = 157
Elemento simétrico
El resultado de restar un número con su opuesto (número del mismo valor con signo opuesto) da como resultado el número cero.
5 − 5 = 0
74 − 74 = 0
Sustracción por reagrupación
Este tipo de problemas se realizan mediante la agrupación de los números uno debajo del otro de forma tal que valores posicionales entre las cifras de los números que se restan sean los mismos. Para las restas con naturales, el número mayor debe estar ubicado en la parte de arriba (minuendo) y el número menor debajo (sustraendo).
- Colocar el minuendo y el sustraendo uno debajo del otro de manera que los valores posicionales iguales estén ubicados en la misma columna. El número mayor siempre debe estar ubicado en la parte de arriba.
- Comenzar a restar desde la columna de las unidades, de derecha a izquierda.
- Si en una columna se tiene que la cifra de arriba es menor que la de abajo, esta cifra toma prestado un valor posicional a la columna del minuendo de la izquierda.
- En caso de que la cifra del minuendo le haya “prestado” un valor posicional a la cifra de al lado, esta se reduce en una unidad y se debe considerar el nuevo valor de la cifra al momento de restar en su columna.
Con estos ejemplos podrás apreciar mejor cómo resolver una resta por reagrupación:
– Restar 425 − 263
Lo primero es colocar los números uno debajo del otro con sus valores posicionales iguales, todos ubicados en la misma columna.
Luego resta las cifras en la columna de las unidades.
Repite la resta en la columna de las decenas, pero como en este caso el 2 es menor que el 6, el 4 presta una centena al 2. De este modo, 4 centenas y 2 decenas, se convierten en 3 centenas y 12 decenas. Ahora sí es posible restar 12 menos 6 en la columna de las decenas.
Resta las cifras en la columna de las centenas. Como el 4 le prestó 1 al 2, entonces quedó en 3 centenas que al restarse con el 2 el resultado de la columna es 1.
1. Resuelve las siguientes sumas:
a) 452 + 395 =
c) 603 + 113 =
d) 126 + 460 =
e) 1.830 + 2.178 =
2. Resuelve las siguientes restas:
a) 853 − 741 =
c) 1.789 − 1.354 =
d) 957 − 362 =
e) 4.780 − 3541 =
La regla en esta secuencia descendente es restar 3 a cada número, de manera que es fácil calcular el número a continuación del 9, para ello realizamos la regla: 9 – 3 = 6, así, el número siguiente a 9 en esta secuencia es 6.
En el ejercicio anterior 27 ÷ 4 = 6 pero existe un resto igual a 3, como 3 es menor que el divisor no se puede continuar las restas en este método.
