La adición consiste en combinar, agrupar o sumar números; la sustracción, en cambio, consiste en quitar o restar números a un grupo. Siempre que queramos resolver cualquiera de estas operaciones, debemos considerar el valor posicional de cada una de las cifras de los números. Por otro lado, la adición cumple con ciertas propiedades como la asociativa y la conmutativa que no se pueden aplicar a la sustracción.
Un ejemplo de la adición por reagrupación es la suma de dinero. Si tienes $ 1.324 y luego te dan $ 3.984, tienes en total $ 1.324 + $ 3.984 = $ 5.318.
Multiplicación
La multiplicación es una operación matemática que consiste en sumar varias veces un mismo número. Los factores son los números que se multiplican o suman reiteradas veces y el producto es el resultado de la multiplicación. La multiplicación sin reagrupación es un método que consiste en multiplicar las unidades, las decenas y las centenas de 2 factores entre sí cuando ninguno de los productos formados supera la decena, mientras que la multiplicación con reagrupación es un procedimiento que podemos utilizar cuando algún producto entre dos cifras es igual o mayor a 10.
La multiplicación por reagrupación es útil en muchas situaciones cotidianas, como saber la cantidad de butacas que hay en el cine. Si cuentas las que hay en una fila (6) y las multiplicas por la cantidad de filas (3) tienes que 6 x 3 = 18. Así que hay 18 butacas.
División
La división es la operación opuesta a la multiplicación. Sus elementos son el dividendo, el divisor, el cociente y el resto. El dividendo es la cantidad que se quiere repartir; el divisor indica entre cuántas partes se reparte; el cociente es la cantidad que le corresponde a cada parte y también es el resultado de la división; y el resto representa lo que no se puede repartir. Cuando el resto es igual a cero (0) decimos que la división es exacta.
El cociente de una división también puede ser un número decimal, por ejemplo, si deseamos repartir 3 naranjas entre 6 personas, cada una tendrá 0,5 = 1/2, es decir, cada una tendrá media naranja.
OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES
Para la adición y sustracción de números decimales procedemos igual que en el caso de los números naturales, pues debemos colocar cada elemento uno sobre otro según su valor posicional, al final nos aseguramos de que la coma esté en la misma columna. En el caso de las multiplicaciones, realizamos la operación tal y como si fuera una de números naturales, luego le colocamos al producto final la coma de acuerdo a los decimales de los factores.
Si sube la temperatura corporal un grado más allá de los 36,6° de la imagen, la persona tiene fiebre. ¿Cuál es la temperatura a la que puede tener fiebre? El cálculo es 36,6° + 1° = 37,6°. Este es un ejemplo de adición de decimales.
OPERACIONES COMBINADAS
Las operaciones combinadas son aquellas que agrupan diversos cálculos en una sola expresión. Cuando no hay paréntesis debemos seguir un orden de resolución: primero las multiplicaciones y divisiones, luego las sumas y restas. Si la operación combinada tiene paréntesis tenemos que realizar primero los cálculos que están dentro de ellos, es decir, estos tienen prioridad sobre otros.
Los paréntesis son de gran importancia si deseamos realizar operaciones en una calculadora, pues indican que son prioritarias sobre las demás.
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR
El mínimo común múltiplo (mcm) y el máximo común divisor (mcd) son operaciones que nos ayudan a simplificar cálculos más complejos. El mcm es el mínimo múltiplo que tienen en común dos o más números y el mcd es el divisor mayor que tienen en común dos o más números. Ambos pueden ser calculados por comparación de múltiplos y divisores o por descomposición de su números en factores primos.
La descomposición en factores primos consiste en dividir cada número entre su divisor mínimo para representar un número como producto de sus números primos. Algunos números primos están en esta imagen.
CONVERSIONES DE MEDIDAS
Algunas magnitudes que podemos medir son la longitud, la masa, el volumen y el tiempo. Cada una de ellas tiene una unidad básica de medida pero no son las únicas. Para medir longitudes podemos usar unidades como el metro, el kilómetro o el centímetro; para medir masas usamos unidades como el gramo, el kilogramo o el miligramo; para medir el volumen usamos unidades como el centímetro cúbico o el metro cúbico; y para medir el tiempo usamos unidades como los segundos, los minutos, las horas, los días o los años.
Hay mariposas que solo viven 1 día. Si convertimos esta unidad, también podemos decir que hay mariposas que viven 24 horas.
La división es la operación inversa a la multiplicación. Mientras que en la multiplicación buscamos unir cantidades en grupos iguales, en la división buscamos separarlas en grupos iguales. Las divisiones pueden ser de dos tipos: exactas o inexactas. Hoy aprenderás las reglas necesarias para poder resolverlas.
la división y sus elementos
La división es una operación matemática que consiste en repartir una cantidad en partes iguales. Sus elementos son los siguientes:
Dividendo: es el número que se va dividir o repartir.
Divisor: es el número por el que se divide.
Cociente: es el resultado de la división.
Resto: es lo que sobra del dividiendo. No se puede dividir debido a que es un número más pequeño que el divisor.
Todo número tiene sus múltiplos, de la misma manera, también tiene sus divisores. Estos son números que lo dividen de forma exacta, es decir, los divisores de un número son los que dividen a este y el resultado de esa división es un número exacto. En forma general, dado un número b, si la división a/b es exacta, donde el resto c es cero, entonces se dice que b es divisor de a.
división exacta
La división exacta es aquella cuyo resto es igual a 0.
– Por ejemplo:
Carlos tiene 20 manzanas y las desea repartir entre 5 personas: Marta, Carla, Lucía, Pedro y Francisco. ¿Cuántas manzanas le corresponden a cada uno?
Como la división es la operación inversa a la multiplicación, podemos preguntarnos ¿qué número multiplicado por 5 da como producto el número 20?
5 × ? = 20
5 × 4 = 20
El factor desconocido será igual al cociente exacto de la división. En este caso es 4, porque ya sabemos que 5 × 4 = 20. Por lo tanto, toda división será exacta cuando el dividendo sea igual al producto entre el divisor y el cociente:
dividendo = divisor × cociente
Podemos comprobar esta relación si realizamos la división:
Por lo tanto, Carlos puede repartir exactamente las 20 manzanas entre 5 personas si a cada una le da 4 manzanas.
división inexacta
La división inexacta es aquella cuyo resto es diferente de 0.
– Por ejemplo:
La maestra quiere repartir 23 lápices entre 4 niños: Lucas, Juan, Carlos y Luis. ¿Cuántos lápices le corresponden a cada uno?
A diferencia de las divisiones exactas, en las inexactas no hay números naturales que multiplicados por el divisor nos den por resultado el dividendo. Pues, 4 × 5 = 20, y su producto es menor al dividendo (23); en cambio, 4 × 6 = 24, y su producto es mayor al dividendo (23). Entonces, consideramos la opción más cercana e inferior al dividendo, es decir, 5; y lo que falte para llegar al dividendo será el resto.
dividendo = divisor × cociente + resto
Comprobamos la relación al realizar la división:
Por lo tanto, la maestra puede dar 5 lápices a cada niño y le sobrarán 3 lápices.
¿Sabías qué?
El signo de división también se puede representar con dos puntos (:). De esta forma, “36 : 9” se lee “36 entre 9”.
¿cómo resolver una división?
1. Observa las dos primeras cifras del dividendo. Si son mayores que el divisor, comienza por ellas.
2. Busca un número que multiplicado por 12 sea igual a 43 o cercano e inferior a él. En este caso: 12 × 3 = 36. Este producto lo restamos a la primeras dos cifras del dividendo: 43 − 36 = 7.
3. Baja la siguiente cifra del dividendo.
4. Repite el proceso anterior. Busca un número que multiplicado por 12 resulte 72 o se acerque a 72. En este caso: 12 × 6 = 72. Luego restamos este producto al 72 obtenido de la resta.
Esta división es exacta porque el resto es igual a cero (0) y podemos comprobarla si al multiplicar el cociente (36) por el divisor (12) el resultado es igual al dividendo (432): 12 × 36 = 432.
Entonces, 432 ÷ 12 = 36 porque 12 × 36 = 432.
– Otro ejemplo:
1. Observa las dos primeras cifras del dividendo, como son menores que el divisor (47 < 64), toma hasta la tercera para iniciar la división.
2. Busca un número que multiplicado por 64 sea igual o cercano a 476.
Como el resto es menor que divisor (28 < 64), queda así. Podemos comprobar esta división si multiplicamos el cociente (7) por el divisor (64) y le sumamos el resto (28). Si el resultado es igual al dividendo, la división está correcta.
64 × 7 + 28 = 476
Entonces, 476 ÷ 64 = 7 y resto = 28.
Fracciones: una división sin resolver
Las divisiones sin resolver se conocen como fracciones. Las fraccione representan una parte de un todo y se caracterizan por tener un numerador y un denominador separados por una raya fraccionaria. El denominador es un número que indica en cuantas partes se divide la unidad, y el numerador es el número que señala cuántas de esas partes se han de tomar.
división entre 10, 100 y 1.000
Las divisiones por la unidad seguida de cero son muy sencillas, solo debes desplazar una coma a la izquierda tantos lugares como ceros acompañen a la unidad. De faltar lugares, añadimos ceros.
– Ejemplo:
1.789 ÷ 10 = 178,9 → Movemos una coma un lugar a la izquierda.
1.789 ÷ 100 = 17,89 → Movemos una coma dos lugares a la izquierda.
1.789 ÷ 1.000 = 1,789 → Movemos una coma tres lugares a la izquierda.
– Otros ejemplos:
275
489
70
6
1.652
3.698
÷ 10
27,5
48,9
7
0,6
165,3
369,8
÷ 100
2,75
4,89
0,7
0,06
16,52
36,98
÷ 1.000
0,275
0,489
0,07
0,006
1,652
3,698
Los grados centígrados que miden la temperatura son un ejemplo de división entre 10. Si tienes 1 grado y lo divides entre 10 el cálculo es 1 ÷ 10 = 0,1. Los termómetros muestran las mediciones por medio de sumas sucesivas de 0,1 grados. Por ejemplo 36,6; 36,7; 36,8; y así sucesivamente.
¡A practicar!
1. Resuelve la siguientes divisiones.
27 ÷ 3
Solución
27 ÷ 3 = 9
100 ÷ 9
Solución
100 ÷ 9 = 11 y resto = 1
1.934 ÷ 23
Solución
1.934 ÷ 23 = 84 y resto = 2
2.487 ÷ 16
Solución
2.487 ÷16 = 155 y resto = 7
3.432 ÷ 52
Solución
3.432 ÷ 52 = 66
61.712 ÷ 76
Solución
61.712 ÷ 76 = 812
2. Resuleve la siguientes divisiones por la unidad seguida de cero.
254 ÷ 10
Solución
254 ÷ 10 = 25,4
27 ÷ 10
Solución
27 ÷ 10 = 2,7
2 ÷ 10
Solución
2 ÷ 10 = 0,2
333 ÷ 100
Solución
333 ÷ 100 = 3,33
25 ÷ 1.000
Solución
25 ÷ 1.000 = 0,025
999 ÷ 1.000 =
Solución
999 ÷ 1.000 = 0,999
8.000 ÷ 1.000 =
Solución
8.000 ÷ 1.000 = 8
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Propiedades de la división”
Con este artículo podrás estudiar las propiedades adicionales de la división y realizar ejercicios complementarios.
La adición es una de las cuatro operaciones básicas que utilizamos de forma habitual y se caracteriza porque nos permite añadir una cantidad a otra. Los términos de la adición son los sumandos y la suma. Para resolver adiciones usamos el algoritmo de la suma que consiste ordenar los sumando de manera que las unidades de mil, las centenas, las decenas y las unidades se encuentren en una misma columna. Si la suma de una columna es un número de dos cifras (mayor a 9), se coloca el valor de la segunda cifra y el valor de la primera se suma al resultado de la siguiente columna a la izquierda. Esta operación cumple varias propiedades como la conmutativa, la asociativa y la del elemento neutro.
La propiedad conmutativa explica que no importa cómo ordenemos los sumandos, el resultado es siempre el mismo.
SUSTRACCIÓN
La sustracción es una operación matemática que consiste en quitar o restar una cantidad a otra para determinar la diferencia. Esta operación es inversa a la suma y está formada por el minuendo, elsustraendo y la diferencia. El minuendo es la cantidad a la que se le va a restar, el sustraendo es la cantidad que se resta y la diferencia es el resultado de la sustracción. En la sustracciones los números se agrupan en columnas al igual que en la adición. Si el minuendo es mayor al sustraendo restamos de forma convencional. En caso contrario, debemos desagrupar la cifra de la columna siguiente y canjear un valor posicional.
Una forma de comprobar una sustracción es sumar el sustraendo y la diferencia, el resultado debe ser igual al minuendo.
OPERACIONES COMBINADAS
Las operaciones combinadas son aquellas en las que aparecen varias cálculos aritméticos. Para este tipo de problemas resolvemos primero las operaciones que están entre paréntesis y luego resolvemos las operaciones en el orden que aparecen de izquierda a derecha. En caso de que la operación combinada no tenga paréntesis resolvemos de acuerdo al orden que aparecen los términos de izquierda a derecha.
Los cálculos mentales permiten resolver operaciones sin usar herramientas como un lápiz, una hoja o una calculadora.
multiplicación
La multiplicación es sumar un mismo números tantas veces como indique otro. Por esta razón, esta operación se encuentra estrechamente relacionada con la adición. De hecho, toda adición iterada (adición que posee todos sus sumandos iguales) puede ser representada a través de la multiplicación. Su elementos principales son los factores y el producto. Los primeros son los números que se multiplican y el segundo corresponde al resultado. Para multiplicaciones de una cifra se ordenan los factores de forma vertical, se multiplica la unidad del segundo factor por la unidad del primero y luego se anota el resultado en la parte inferior, después se multiplica la unidad del segundo factor por la decena del primero y se anota el resultado.
Al multiplicar un número por la unidad seguida de cero se añade a la derecha de este la misma cantidad de ceros que acompañen a la unidad.
división
La división es una operación matemática que consiste en realizar reparticiones equitativas o formar grupos con la misma cantidad de elementos. Es una operación inversa a la multiplicación y puede considerarse una sustracción sucesiva. Los elementos de la división son el dividendo, el divisor, el cociente y el residuo o resto. El dividendo es la cantidad que se va a repartir, el divisor es la cantidad en la que se va a dividir, el cociente es el resultado y el residuo o resto es la parte que no se puede dividir. Para resolver divisiones buscamos un número que al ser multiplicado por el divisor sea igual o cercano al valor del dividendo.
Cada vez que compartimos alimentos hacemos una división, por ejemplo, esta pizza se dividió en 6 porciones, lo que es igual a 1 ÷ 6.
La división es una de las cuatro operaciones básicas de las matemáticas y consiste en repartir un número en varias partes iguales. Cada vez que compartimos nuestros dulces hacemos una división. Esta operación está muy relacionada con la resta y con la multiplicación. A continuación, aprenderás a hacer divisiones de números con una, dos o tres cifras.
LA DIVISIÓN y su relación con la sustracción
La división es una operación matemática que consiste en realizar reparticiones equitativas o formar grupos con la misma cantidad de elementos. Es una operación inversa a la multiplicación y puede considerarse una sustracción sucesiva.
La división a través de sustracciones sucesivas es una manera fácil de llegar a un resultado. Hay que recordar que la división tiene que ver con la resta y juntas tienen varias aplicaciones.
– Ejemplo:
Si deseamos repartir 8 magdalenas de 2 en 2, ¿cuántas personas tendrán magdalenas?
Este problema lo podemos representar como una resta sucesiva:
Observa que se hicieron 4 restas de 2 hasta llegar a cero (0). Por lo tanto, 4 personas tendrá 2 magdalenas cada una.
Este proceso, también lo podemos representar como una división y decir que 8 ÷ 2 = 4 porque se puede restar 4 veces 2 al número 8.
– Otro ejemplo:
30 ÷ 5 = ?
Restas
30 − 5 = 25
25 − 5 = 2
20 − 5 = 15
15 − 5 = 10
10 − 5 = 0
5 − 5 = 0
Cantidad de veces que se hace la resta
1
2
3
4
5
6
Entonces, 30 ÷ 5 = 6 porque se puede restar 6 veces 5 al 30.
Las divisiones simbólicamente se puede expresar de la siguiente manera:
En todos los casos se lee “treinta entre cinco igual a seis”.
Elementos de la división
Los términos de la división son el dividendo, el divisor, el cociente y el residuo o resto.
El dividendo es la cantidad que se desea repartir en partes iguales; el divisor es la cantidad entre la cual se divide y el cociente es el resultado de la operación. La cantidad que no se logra dividir es el residuo, también llamado resto; y debe ser menor que el divisor.
Divisiones exactas e inexactas
Cuando el residuo es igual a cero, podemos decir que la división se realizó equitativamente sin sobrar elementos, por lo que es exacta; pero si el residuo es distinto de cero, se considera que la división es inexacta por sobrar elementos sin dividir o agrupar.
El propósito de la división como operación matemática es encontrar el cociente, el cual indica las veces que el divisor está contenido en el dividendo. El resto o residuo es la parte de la división que no se puede dividir como número entero por el divisor, si el resto es cero se habla de una división exacta, y si es mayor es una división inexacta.
¿Cómo resolver divisiones?
1. Colocamos a la izquierda al dividendo y dentro de la caja de división colocamos al divisor.
2. Luego, seleccionamos del dividendo una cifra que sea mayor o igual al divisor, para esto se comienza por la cifra de mayor orden. En este caso no hay un número que multiplicado por 5 resulte 3, por lo que seleccionamos una cifra más para dividir, es decir, 35.
3. Luego, buscamos un número que multiplicado por 5 nos de cómo resultado 35 o un número cercano a ese valor. Para esto es necesario emplear las tablas de multiplicación. Se sabe que 5 × 7 = 35, por lo tanto:
4. Encontramos que al multiplicar 5 por 7 da como resultado 35; entonces colocamos el 7 debajo del 5, restamos el producto obtenido de multiplicar el cociente por el divisor y lo escribimos en el resto. En este caso el resto es cero (0), por lo tanto, es una división exacta.
– Otro ejemplo:
1. Colocamos a la izquierda al dividendo y dentro de la caja de división colocamos al divisor.
2. Luego, seleccionamos del dividendo una cifra que sea mayor o igual al divisor, para esto se comienza por la cifra de mayor orden. En este caso no hay un número que multiplicado por 4 resulte 3, por lo que seleccionamos una cifra más para dividir, el 36.
3. Luego, buscamos un número que multiplicado por 4 de cómo resultado 36 o un número cercano a ese valor. Para esto es necesario emplear las tablas de multiplicación. Sabemos que 4 × 9 = 36, por lo tanto:
Encontramos que al multiplicar 4 por 9 da como resultado 36; entonces colocamos el 9 debajo del 4, restamos el producto obtenido de multiplicar el cociente por el divisor y lo escribimos en el resto.
4. Realizamos una nueva selección y repetimos los pasos hasta agotar las cifras del dividendo, en este caso solo nos resta el 5, lo bajamos y colocamos junto al resto obtenido anteriormente. Observa:
5. Buscamos un número que multiplicado por 4 de cómo resultado 5 o un número cercano a ese valor. Para esto es necesario emplear las tablas de multiplicación. Sabemos que 4 × 1 = 4, por lo tanto:
Encontramos que al multiplicar 4 por 1 da como resultado 4; entonces se coloca el 1 en el cociente, restamos el producto obtenido de multiplicar el cociente por el divisor y lo escribimos en el resto. Esto da como resultado 1, por lo tanto; la división es inexacta.
¿Sabías qué?
Al momento de resolver divisiones se busca el número que multiplicado por el divisor es igual al dividendo, de esta manera se obtiene el cociente.
SITUACIONES DE REPARTO EQUITATIVO
Cuando una cantidad de elementos se reparte en grupos iguales, se puede conocer la cantidad de elementos de cada grupo por medio de la división.
Cantidad de elementos ÷ cantidad de grupos = cantidad de elementos por grupo
Las situaciones de reparto equitativo son aquellas donde una cantidad de elementos se reparten en grupos iguales, en estas se conoce la cantidad de elementos y la cantidad de grupos formados, lo que se busca es conocer la cantidad de elementos de cada grupo mediante la división. Este caso se aplica solo en casos de divisiones exactas donde el resto es igual a cero.
Por ejemplo, tenemos una canasta con 12 manzanas y debemos repartirlas en 4 canastas equitativamente.
12 manzanas repartidas en 4 canastas corresponden a 3 manzanas por canasta.
12 ÷ 4 = 3
– Otro ejemplo:
25 esferas azules repartidas en 5 partes iguales.
25 esferas azules, repartidas en 5 partes iguales, corresponden a 5 esferas en cada parte.
25 ÷ 5 = 5
Para repartir en partes iguales una cantidad de elementos puedes poner un elemento por grupo hasta que se terminen de repartir todos los elementos.
SITUACIONES DE REPARTO POR MEDIDA
Cuando se conoce la cantidad total de elementos que se repartieron en grupos de medidas iguales se puede obtener la cantidad de grupos por medio de la división.
Cantidad de elementos ÷ cantidad de elementos por grupo = cantidad de grupos
En las operaciones de reparto por medida o agrupamiento por medida se conoce la cantidad total de elementos y la cantidad de elementos por grupo. El objetivo es conocer la cantidad de grupos para lo cual se emplea la división. Existen una serie de situaciones en las que encontramos problemas de este tipo y para ello conocer cómo resolver divisiones es esencial.
– Ejemplo:
Una maestra de tercer grado ha pedido a sus alumnos que lleven un artículo de periódico para realizar un trabajo en clase. De 24 alumnos que conforman la sección, solo la mitad llevó el artículo. La maestra tuvo que formar grupos de 2 niños para realizar la actividad. ¿Cuántos grupos formó la maestra?
La maestra formó 12 grupos de 2 alumnos cada uno.
24 ÷ 2 = 12
– Otro ejemplo:
En una biblioteca hay 18 libros, en cada tramo caben 6, ¿cuántos tramos se necesitan para guardarlos todos?
Para organizar los 18 libros se necesitan 3 tramos con 6 libros cada uno.
18 ÷ 6 = 3
¿Sabías qué?
A principio del siglo XVII, John Napier diseñó un tablero para multiplicar y dividir conocido como “los huesos de Napier”.
RELACIÓN ENTRE LA MULTIPLICACIÓN Y LA DIVISIÓN
La división es la operación inversa a la multiplicación, pero con la multiplicación se puede comprobar el resultado de una división al multiplicar el cociente obtenido por el divisor, el resultado de esta multiplicación debe ser igual al dividendo. Entonces:
dividendo = cociente × divisor
Si la división es inexacta, se aplica el mismo procedimiento y se le suma el resto o residuo. Ejemplo:
La multiplicación y la división son operaciones inversas, así como lo son la adición y la sustracción. En la división, el orden de los factores sí altera el producto, por lo que no cumple con la propiedad conmutativa, mientras que la propiedad distributiva para la división solamente se cumple si la suma o resta se encuentra en el dividendo.
¡A practicar!
1. Resuelve las siguientes divisiones a través de restas sucesivas.
a) 12 ÷ 4
Solución
1
2
3
Cociente
12 − 4 = 8
8 − 4 = 4
4 − 4 = 0
3
12 ÷ 4 = 3
b) 49 ÷ 7
Solución
1
2
3
4
5
6
7
Cociente
49 − 7 = 42
42 − 7 = 35
35 − 7 = 28
28 − 7 = 21
21 − 7 = 14
14 − 7 = 7
7 − 7 = 0
7
49 ÷ 7 = 7
c) 54 ÷ 9
Solución
1
2
3
4
5
6
Cociente
54 − 9 = 45
45 − 9 = 36
36 − 9 = 27
27 − 9 = 18
18 − 9 = 9
9 − 9 = 0
6
54 ÷ 9 = 6
2. Efectúa las siguientes divisiones.
a) 88 ÷ 4
Solución
88 ÷ 4 = 22
b) 25 ÷ 3
Solución
25 ÷ 3 = 8 y resto = 1
c) 41 ÷ 6
Solución
41 ÷ 6 = 6 y resto = 5
3. Escribe y resuelve la división que representa cada situación de reparto equitativo.
a) Julián tiene 16 caramelos y quiere repartirlos por igual entre sus 4 amigos, ¿cuántos caramelos le corresponden a cada uno de sus amigos?
Solución
16 ÷ 4 = 4
A cada amigo le corresponden 4 caramelos.
b) Patricia debe empacar por igual 15 vestidos en 5 cajas. ¿Cuántos vestidos tendrá cada caja?
Solución
15 ÷ 5 = 3
Tendrá 3 vestidos por caja.
c) Leonardo tiene 36 naranjas y debe colocarlas en 6 cestos por igual. ¿Cuántas naranja debe colocar en cada cesto?
Solución
36 ÷ 6 = 6
Debe colocar 6 naranjas por cesto.
4. Escribe y resuelve la división que representa cada situación de reparto por medida.
a) Lucía tiene 45 galletas, si las guarda en pequeñas cajas en las que caben 9 galletas, ¿cuántas cajas necesita?
Solución
45 ÷ 9 = 5
Lucía necesita 5 cajas.
b) Felipe el panadero desea hornear 24 pastelitos, si caben 8 pastelitos en cada bandeja, ¿cuántas bandejas necesitará Felipe?
Solución
24 ÷ 8 = 3
Felipe necesitará 3 bandejas.
c) Alicia tiene 50 libros. Si guarda 10 libros en cada una de las repisas de un mueble. ¿Cuántas repisas del mueble ocupa para guardar todos sus libros?
Solución
50 ÷ 10 = 5
Alicia ocupa 5 repisas del mueble para guardar todos sus libros.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Divisiones por dos o más cifras”
El siguiente material trata sobre las divisiones desde un enfoque del método tradicional y del método del algoritmo desplegado de la división.
En este artículo se explica cómo resolver divisiones a través del método americano, uno de los más usados en países de Centroamérica, México y los Estados Unidos.
Los números naturales son usados comúnmente para contar y se clasifican según sus divisores. Aquellos que solo pueden dividirse de forma exacta entre ellos mismos y entre el 1, es decir, tienen solo dos divisores, se denominan números primos; mientras que los que tienen más de dos divisores se denominan números compuestos.
Divisores de un número
Antes de abordar el tema de los números primos y números compuestos, es indispensable comprender el concepto de divisor. Este es un número natural que al dividir a otro natural da como resultado una división con cociente entero y resto igual a cero.
¿Sabías qué?
El divisor de un número siempre lo divide en partes exactas, por eso el resto siempre es igual a cero.
En este sentido, si deseas saber si un número es o no divisor de otro, debes realizar una división entre el número en cuestión y el posible divisor. Si el resultado es un cociente entero (no decimal) y si el resto es igual a cero (división exacta) entonces decimos que efectivamente es divisor de dicho número.
Por ejemplo:
– Para determinar si el número 2 es divisor del número 6:
Lo primero es dividir 6 entre 2.
En este caso, el número 2 es divisor del número 6 porque el cociente de la división es un número entero (no es decimal) y la división es exacta con el resto igual a cero.
Otro ejemplo:
– Para determinar si el número 3 es divisor del número 14:
Aunque la división es exacta, el número 4 no es divisor del número 14, porque el cociente de la división es un número decimal, en este caso se dice que el número 14 no es divisible entre 4.
Criterios de divisibilidad
Son simples reglas que permiten determinar de manera rápida si un número es divisor o no de otro sin necesidad de realizar la división. Algunos de estos criterios son:
– Un número es divisible entre 2 si es un número par o termina en 0.
Por ejemplo: 20, 54, 12, 1.050, 76 y 80.
– Un número es divisible entre 5 si termina en 5 o en 0.
Por ejemplo: 15, 225, 3.110 y 400.
– Un número es divisible entre 10 si termina en 0.
Por ejemplo: 10, 500, 3.410 y 780.
¡A practicar!
¿Cuáles de los siguientes números es divisor del número 12?
a) 5
b) 2
c)10
RESPUESTAS
2
¿Cuáles de los siguientes números es divisor del número 25?
a) 3
b) 7
c) 5
RESPUESTAS
5
¿Cuáles de los siguientes números es divisor del número 200?
a) 10
b) 3
c) 6
RESPUESTAS
10
¿Cuáles de los siguientes números es divisor del número 16?
a) 5
b) 4
c) 9
RESPUESTAS
4
Números primos
Son números que poseen únicamente dos divisores: ellos mismos y el 1.
Por ejemplo, el número 2 es un número primo porque solamente es divisible entre 2 y entre 1.
El número uno es divisor de todos los números enteros pero solo es divisible por sí mismo.
Números compuestos
Los números compuestos son números divisibles por ellos mismos, por el uno (1) y por otros números, es decir, tienen más de dos divisores y son más frecuentes que los números primos.
Por ejemplo, el número 24 es un número compuesto, ya que es divisible entre 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24. En total tiene 8 números divisores.
Números especiales
Los números 1 y 0 son números muy particulares. En el caso del 1, su único divisor es él mismo y en el caso del número 0, aunque puede ser dividido entre infinitos números, no puede dividirse entre sí mismo porque la división entre cero no esta determinada. Por estas razones, los números 1 y 0 no se consideran números primos ni compuestos.
Tabla de los números primos y compuestos
Existe un simple procedimiento que permite determinar con facilidad los conjuntos de números primos y compuestos; se conoce como Criba de Eratóstenes y aunque su nombre parezca complicado, su procedimiento no lo es.
1. Lo primero que hay que hacer es realizar una tabla con los números del 1 al 100 y se deberán tachar los números que no son primos. El primer número que se tacha es el 1 al no ser considerado número primo. 2. Luego, el siguiente número es el 2, al ser un número primo no se tacha pero a partir de él se empieza a contar de dos en dos al mismo tiempo que se tachan los números que resulten de dicho conteo.
3. Luego del 2, el siguiente número que no se ha tachado es el 3, a partir de él se empieza a contar de 3 en 3 y se tachan los números al mismo tiempo.
4. El siguiente número sin tachar es el 5, se deja sin tachar y se empieza a contar de 5 en 5 mientras se tachan los números.
5. El siguiente número sin marcar el el 7, se mantiene en la tabla sin tachar y se empieza a contar de 7 en 7 mientras se tachan los números.
Los números que no fueron tachados corresponden a números primos, y los números tachados son los compuestos, es una manera gráfica de identificar estos tipos de números del 1 al 100.
La Criba de Eratóstenes es una herramienta muy práctica para tener una visión general de los números primos y compuestos, sin embargo; en la vida cotidiana no es necesario ni aconsejable memorizarlos para resolver los ejercicios, por el contrario; al entender los elementos de cada número se podrá determinar con mayor rapidez si es primo o no.
¡A practicar!
1. ¿Qué número tiene infinitos divisores?
RESPUESTAS
El número cero.
2. ¿Cómo se llaman los números que solo tienen dos divisores?
RESPUESTAS
Números primos.
3. ¿Qué números no son considerados ni primos ni compuestos?
RESPUESTAS
El cero y el uno.
4. Un número es divisible entre dos si es par o termina en __________.
RESPUESTAS
cero
5. ¿Cuáles de estos números no es primo?
a) 7
b) 19
c) 25
d) 2
RESPUESTAS
25
6. El número 32 es un número _________.
a) impar
b) primo
c) compuesto
RESPUESTAS
compuesto
7. Clasifica cada uno de los siguientes números como “primo” o “compuesto”:
a) 21
b) 59
c) 18
d) 13
RESPUESTAS
a) Compuesto.
b) Primo.
c) Compuesto.
d) Primo.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Números primos y compuestos”
En el siguiente artículo se desarrolla el tema de números primos y compuestos. Además se explica qué son los coprimos, y se señalan algunos números especiales.
2. Luego, el siguiente número es el 2, al ser un número primo no se tacha pero a partir de él se empieza a contar de dos en dos al mismo tiempo que se tachan los números que resulten de dicho conteo.
4. El siguiente número sin tachar es el 5, se deja sin tachar y se empieza a contar de 5 en 5 mientras se tachan los números.
