La recolección y conteo de datos es el procedimiento que se lleva a cabo para la obtención de información o respuesta de diferentes variables. Los datos pueden clasificarse como cualitativos cuando expresan cualidades o cuantitativos cuando expresan cantidades. Los datos cuantitativos se diferencian en continuos si tienen cualquier valor dentro de un intervalo; y discretos si solo ciertos valores están en un intervalo.
Los términos “niño” y “adulto” son datos cualitativos sobre una persona, mientras que la estatura, como “1,65 metros” o “1,2 metros” son datos cuantitativos.
gráficos estadísticos
Los gráficos estadísticos son una herramienta fundamental para lograr la correcta interpretación de los datos recolectados, ya que ofrecen un gran recurso visual. Existen diversos tipos de estos como el gráfico de barras, el poligonal o el circular. Los elementos principales de cada uno de estos son el título, el cuerpo y la escala.
Los gráficos de barras representan variables cualitativas o cuantitativas discretas, los poligonales representan magnitudes y frecuencias de diferentes variables y los circulares expresan porcentajes y proporciones de una variable en particular.
medidas de tendencia central
Las medidas de tendencia central se utilizan para poder representar una distribución de datos en un solo valor característico. Para esto puede calcularse la moda (Mo), la mediana (Md) o la media (). Estas estimaciones pueden hacerse a partir de la organización de todos los datos.
La moda es el valor de más frecuencia, la mediana es el valor central de la distribución de todos los datos y la media se calcula como la sumatoria de todos los valores dividido entre la cantidad total.
eventos y probabilidad
Los eventos aleatorios pueden ser seguros o imposibles, por ejemplo, al lanzar un moneda es seguro que saldrá cara o sello, pero es imposible que salga una tercera opción. La probabilidad de que ocurra un evento se mide al dividir la cantidad de casos favorables entre la cantidad de casos posibles, así, la probabilidad de que salga cara al lanzar una moneda es de 1/2. La probabilidad también se puede expresar como porcentaje. Por otro lado, los diagramas de Venn también nos ayudan a determinar visualmente probabilidades.
En los juegos de azar la suerte tiene un papel importante, no siempre el que tiene mejor habilidad gana.
No siempre estamos seguros de los eventos que pueden ocurrir, por ejemplo, no sabemos cómo estará el clima en tres días o cuál será el resultado de lanzar un dado. Sin embargo, gracias a la probabilidad podemos estudiar las diferentes posibilidades de que un evento ocurra o no.
experimentos ALEATORIOS Y DETERMINISTAS
Los experimentos aleatorios suceden al azar y no es posible predecir su resultado; por ejemplo, al lanzar una moneda al aire desconocemos si al caer la parte superior será sello o cara. Por otro lado, los experimentos deterministas son los que suceden con seguridad, es decir, al repetirlo en las mismas condiciones se obtiene el mismo resultado; por ejemplo, el agua siempre hierve a 100 °C.
¡Es tu turno!
Indica si los siguientes fenómenos son aleatorios o deterministas.
El Sol saldrá mañana.
Solución
Determinista.
Sacar el número 2 en una bola de bingo.
Solución
Aleatorio.
La semana tiene 7 días.
Solución
Determinista.
Sacar una carta de corazones de un mazo de cartas.
Solución
Aleatorio.
eventos aleatorios
Los eventos aleatorios pueden ser imposibles o seguros. Los eventos imposibles no pueden ocurrir nunca, mientras que los eventos seguros ocurren siempre y coinciden con el espacio muestral. Por ejemplo, al lanzar un dado es seguro que salga un número igual o menor a 6, pero es imposible que salga el número 20.
¿Qué es el espacio muestral?
Es el conjunto que contiene a todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Lo representamos con E. Se denomina “suceso elemental” a cada uno de los posibles resultados. Por ejemplo:
Experimento
Espacio muestral
Lanzar un dado
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Lanzar una moneda
E = {cara, cruz}
Los experimentos compuestos son aquellos que se conforman por varios experimentos simples. Un procedimiento que suele utilizarse es el diagrama de árbol. Con este se obtienen varias ramas que finalizan en sucesos simples. Son útiles para analizar, por ejemplo, las posibilidades de que salga el número 6 en dos dados después de lanzarlos.
¿Qué es la probabilidad?
Algunos eventos aleatorios tienen la misma probabilidad de ocurrir, como es el caso de arrojar una moneda, pues hay dos posibilidades: que salga sello o cara. Otros eventos aleatorios son más probables que otros, un ejemplo de esto sería un bolillero con 20 bolillas rojas y 4 azules, allí hay más probabilidad de extraer una azul que una roja.
La probabilidad estudia los resultados posibles de diferentes experimentos aleatorios y es una medida de la posibilidad de que un evento ocurra. Se denota con P, por ejemplo:
P(A) = probabilidad de que ocurra el evento A
La probabilidad se calcula como el cociente entre los casos favorables de que un evento ocurra y los casos posibles.
¿Sabías qué?
La probabilidad puede expresarse como una fracción, un número decimal o porcentaje. Su valor siempre estará entre 0 y 1 o 0 y 100 %.
– Ejemplo 1:
¿Cuál es la probabilidad de que salga el número 5 al lanzar un dado?
Casos favorables
Casos posibles
Casos favorables/Casos posibles
1
{5}
6
{1, 2, 3, 4, 5, 6}
1/6
La probabilidad de que salga el número 5 al lanzar un dado es de 1/6.
Podemos transformar la fracción a porcentaje si calculamos el cociente y multiplicamos por 100. Entonces, también podemos decir que la probabilidad de que salga el número 5 al lanzar un dado es de 16,66 %.
– Ejemplo 2:
¿Cuál es la probabilidad de que salga un número par al lanzar un dado?
Casos favorables
Casos posibles
Casos favorables/Casos posibles
3
{2, 4, 6}
6
{1, 2, 3, 4, 5, 6}
3/6
La probabilidad de que salga un número par al lanzar un dado es de 3/6 o de 50 %.
– Ejemplo 3:
En una bolsa hay 5 bolas blancas, 4 rojas y 3 verdes. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola roja?
Casos favorables
Casos posibles
Casos favorables/Casos posibles
4
5 + 4 + 3 = 12
4/12
La probabilidad de que salga una bola roja es de 4/12 o de 33,33 %.
¿Sabías qué?
El origen de la probabilidad data del siglo XVII, cuando dos científicos intentaron encontrar una fórmula de resultados para los juegos de azar.
Bingo: un juego de azar
El bingo es un clásico y popular juego de azar. Consiste en 90 bolas (algunos tienen 75) dentro de un bombo y al menos un tablero con números aleatorios por persona. Tras introducir las bolas en el bombo una persona encargada extrae una a una las bolas y canta el número. Los jugadores deben marcar el número cantado en su tablero y al completar algún patrón ganador gritar “¡bingo!”. La probabilidad de que salga un número es de 1/90 o del 1,11 %.
Observa esta ruleta, ¿cuál es la probabilidad de que salga cada color?
Solución
Representación gráfica de eventos
Los eventos son conjuntos cuyos elementos son resultados posibles de un experimento aleatorio. Estos se pueden representar gráficamente por medio de dibujos circulares llamados diagramas de Venn.
– Ejemplo:
Tras realizar una encuesta a 30 estudiantes para saber sus preferencias respecto a su asignatura favorita, que puede ser Matemática (M) o Lengua (L), se obtuvieron los siguientes resultados: a 20 estudiantes les gusta Matemáticas; a 21 les gusta Lengua, y a 15 les gusta tanto Matemática como Lengua.
1. Consideramos cada caso como subconjuntos independientes.
2. De cada subconjunto hay un grupo de personas que también le gusta otra asignatura, así que se intersecan.
3. Restamos el valor correspondiente a quienes les gusta ambas lecturas de los valores de los subconjuntos independientes.
4. Escribimos las respuestas. La suma de todos los valores debe ser igual al total de estudiantes, de no ser así, significa que hay otros que no les gusta ninguno de los dos géneros, en este caso son 4.
¡Es tu turno!
Observa el diagrama de Venn y responde:
¿Cuántos estudiantes prefieren las dos asignaturas?
Solución
15 estudiantes.
¿Cuántos estudiantes no prefieren Matemáticas?
Solución
4 + 6 = 10 10 estudiantes.
¿Cuántos estudiantes solo prefieren Matemática?
Solución
5 estudiantes.
¿Cuántos estudiante no prefieren Matemática ni Lengua?
Solución
4 estudiantes.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Probabilidad”
En este artículo encontrarás los fundamentos teóricos de fenómenos aleatorios y deterministas. También hay diversos ejemplos de los diferentes tipos de sucesos y ejercicios donde para poner en práctica todo lo aprendido.
Existen diversas formas de representar los datos con la finalidad de que su análisis y comprensión sea más fácil. Los gráficos y tablas son usados en diversas áreas y como recurso visual son de gran importancia. Los pictogramas permiten una comprensión más rápida de los datos porque emplean imágenes y símbolos. Las tablas son otro recurso que agrupa y ordena los datos en filas y columnas, y generalmente los ordena en función de los datos cualitativos y cuantitativos que se estudien. Finalmente, los gráficos de barra asocian el valor de los datos a columnas que se encuentran, a su vez, relacionadas a una escala.
Los gráficos como recurso visual permiten interpretar de forma rápida un conjunto de datos.
Interpretación de datos
Los datos por sí solos no tienen ningún valor si no se interpretan, pero antes de hacerlo hay que recopilarlos. La encuesta es una manera de obtener datos a través de un cuestionario prediseñado que es aplicado a un grupo de personas. El promedio aritmético o media aritmética corresponde al valor promedio de un conjunto de datos, y se obtiene al dividir la suma de todos los datos entre el número de datos. La moda, por su parte, es el dato que más se repite. Las tablas de doble entrada son una herramienta útil para entender las combinaciones posibles de un problema.
Los datos obtenidos en una encuesta se suelen representar en gráficos y tablas para su análisis.
Probabilidad
A los eventos que se pueden predecir y cuyo resultado se conoce con anterioridad se los conoce como sucesos deterministas o seguros. También hay eventos en los que el resultado no se conoce con certeza porque ocurre al azar. Es en este tipo de experimentos aleatorios donde más se concentra la probabilidad, la cual estudia la posibilidad de que un evento ocurra o no. Estos eventos pueden ser de varios tipos: mutuamente excluyentes cuando es imposible que ocurran de manera simultánea con otros; independientes cuando no se ven influenciados por la ocurrencia de otros eventos; y dependientes si se ven afectados por la ocurrencia de otros.
Los eventos aleatorios se caracterizan porque su resultado no se puede predecir.
Hay eventos que siempre ocurren con seguridad, por ejemplo, al día lunes siempre le sigue el martes; hay otros otros, en cambio, en los que no sucede lo mismo, y es allí cuando las leyes de la probabilidad juegan un papel fundamental. Por ejemplo, si lanzamos un dado sabemos que el resultado será un número del 1 al 6, pero no sabemos con certeza cuál de ellos será.
Fenómenos y hechos que se pueden predecir
Existen sucesos que ocurren con total seguridad y se denominan sucesos deterministas o seguros porque el resultado se conoce de antemano. Cuando se realizan experimentos de este tipo, el resultado siempre se puede predecir. Por ejemplo, “mañana será de día” es un suceso determinista porque sabemos que siempre va a pasar.
– Otros ejemplos de sucesos deterministas:
El número al lanzar un dado siempre será menor a 7.
Al lanzar una roca al suelo esta caerá.
La próxima semana tendrá 7 días.
Los sucesos deterministas contienen a todos los elementos del espacio muestral.
¿Sabías qué?
Se denomina espacio muestral al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.
Fenómenos deterministas
Los fenómenos en el universo que siguen las leyes de la física pueden considerarse como fenómenos deterministas porque siempre son iguales. Por ejemplo, la órbita de los planetas y las atracciones gravitacionales.
Fenómenos de azar
Hay experimentos aleatorios que son imposibles de predecir porque ocurren al azar y su resultado está dentro de los resultados posibles del fenómeno estudiado. Por ejemplo, al lanzar un dado sabemos que los resultados posibles son 1, 2, 3, 4, 5 y 6, pero no sabemos qué número se obtendrá con certeza, por eso se trata de un fenómeno de azar. En los experimentos de este tipo, el resultado no se puede predecir sin importar las veces que se repita la experiencia bajo las mismas condiciones.
– Algunos ejemplos de sucesos aleatorios:
Lanzar una moneda y que el resultado sea cara.
Extraer una carta de un manojo de cartas y que sea de corazones.
Extraer un número de las bolas de bingo y que sea par.
Los juegos de azar
Existen juegos en los que la posibilidad de ganar o perder dependen del azar, de donde proviene su nombre. En estos juegos la habilidad del jugador puede influir en los resultados y buscar minimizar la probabilidad de resultados desfavorables para aumentar la probabilidad de resultados favorables. Algunos ejemplos de juegos de azar son el bingo, los dados y la lotería.
Suceso imposible
Es lo contrario a un suceso determinista. Este tipo de suceso nunca se va a cumplir. Por ejemplo, lanzar un dado y obtener el número 7 es un suceso imposible porque el dado tiene valores del 1 al 6. Este tipo de eventos suele denotarse con el símbolo ∅.
¿Qué es la probabilidad?
Es un cálculo matemático que permite evaluar las posibilidades de que un evento ocurra cuando interviene el azar. Algunos eventos pueden ocurrir con mayor o menor frecuencia que otros, pero como no sabemos si pueden ocurrir o no, se denominan eventos aleatorios. En este tipo de eventos aplicamos el concepto de probabilidad.
La genética emplea la probabilidad para entender cuán posible sería para una persona heredar ciertos tipos de genes que la hagan más susceptibles a ciertas condiciones o enfermedades. Otros campos que emplean cálculos probabilísticos son la física, la biología, la mercadotecnia, las empresas aseguradoras y la industria.
Tipos de eventos
En estadística se denomina “evento” al resultado o conjunto de resultados posibles en un experimento. Se clasifican de la siguiente manera:
Eventos mutuamente excluyentes: son aquellos que no pueden ocurrir de manera simultánea. Por ejemplo, leer cara o sello luego de lanzar una moneda. Este es un evento mutuamente excluyente, porque no se puede tener un resultado de cara y sello al mismo tiempo.
Eventos independientes: son eventos que no se ven afectados por la ocurrencia de otro. Por ejemplo: comprar un auto y que llueva son eventos independientes, porque es posible comprar un auto sin que llueva o que llueva sin comprar el auto.
Eventos dependientes: son eventos en los que uno de ellos se ve afectado por la ocurrencia de otro. Por ejemplo, ir a un examen y obtener una calificación. Son eventos dependientes porque si no vas al examen no tienes calificación.
¡A practicar!
1. Determina si es un suceso determinista, aleatorio o imposible.
a) Que llueva y las gotas caigan hacia abajo.
Solución
Suceso determinista.
b) Lanzar una moneda y obtener cara.
Solución
Suceso aleatorio.
c) Jugar bingo y ganar.
Solución
Suceso aleatorio.
d) Lanzar una moneda y que no caiga hacia abajo nunca.
Solución
Suceso imposible.
e) Observar un cuadrado de cinco lados.
Solución
Suceso imposible.
2. Los experimentos __________ son imposibles de predecir.
a) aleatorios
b) seguros
c) deterministas
Solución
a) aleatorios
3. ¿Cuál de los siguientes sucesos no es aleatorio?
a) Lanzar un dado y que el número sea par.
b) Lanzar una moneda y que el resultado sea cara.
c) Sacar una carta y que sea una reina de corazones.
a) Lanzar un objeto y que este caiga.
Solución
a) Lanzar un objeto y que este caiga.
4. ¿A qué tipo de evento corresponde?
a) “Es un evento que no se ve afectado por la ocurrencia de otro”.
Solución
Evento independiente.
b) “Evento que no pueden ocurrir de manera simultánea con otro”.
Solución
Evento mutuamente excluyente.
c) “Evento que se ve afectado por la ocurrencia de otro”.
Solución
Evento dependiente.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Historia de la estadística”
Este artículo detalla las fases en las que se desarrolló la estadística hasta convertirse en una de las ramas más usadas de la matemática.
Este artículo describe los conceptos relacionados al campo de la probabilidad como lo son los fenómenos aleatorios y deterministas, así como los tipos de sucesos.
Artículo “Relación de la contabilidad con la administración y la estadística”
Este artículo explica por qué estas tres disciplinas se encuentran relacionadas entre sí, y se concentra en explicar qué es la estadística administrativa.
