CAPÍTULO 5 / TEMA 6

Aplicación de la geometría

La geometría se encuentra inmersa dentro de diferentes ciencias y situaciones de la vida. Muchos desarrollos de la actualidad no se habrían logrado sin los aportes de la geometría. La astronomía, la computación y la cartografía son algunos de los muchos campos donde la geometría es empleada.

Cálculo de área de una superficie

Para el cálculo de superficies usamos las fórmulas de área de las principales figuras geométricas. Las principales fórmulas son las siguientes:

Nombre	Figura	Área
Cuadrado		$\boldsymbol{A = l^{2}}$ Donde: A = área l = lado
Rectángulo		$\boldsymbol{A = a\times b}$ Donde: A = área a = altura b = base
Triángulo		$\boldsymbol{A = \frac{b\times h}{2}}$ Donde: A = área b = base h = altura
Rombo		$\boldsymbol{A = \frac{D\times d}{2}}$ Donde: A = área D = diagonal mayor d = diagonal menor
Paralelogramo		$\boldsymbol{A = b\times h}$ Donde: A = área b = base h = altura
Trapecio		$\boldsymbol{A = \left (\frac{a+ b}{2} \right )\times h}$ Donde: a = base menor b = base mayor h = altura
Círculo		$\boldsymbol{A = \pi \times r^{2}}$ Donde: A = área π = número pi r = radio
Polígono regular		$\boldsymbol{A = \frac{n\times b\times Ap}{2}}$ Donde: A = área n = número de lados regulares b = longitud de un lado Ap = apotema

Las figuras compuestas

Una figura compuesta es aquella que está formada por dos o más figuras geométricas más simples. Para calcular el área de estas figuras se suelen calcular las áreas de las figuras más simples por separado y la sumatoria de estas será el área total de la figura. Por otra parte, para el cálculo de perímetro suelen usarse ecuaciones trigonométricas, y teoremas como el de Pitágoras para calcular las longitudes de los lados de la figura.

Ejercicios

– Una cancha de fútbol mide 105 metros de largo y 68 metros de ancho. ¿Cuántos metros cuadrados de césped artificial se necesitarían para cubrir toda la cancha?

Es un problema de área porque al calcular los metros cuadrados de césped artificial que se necesitan, se calcula la superficie. Como todos sabemos, una cancha de fútbol tiene una forma rectangular, por lo tanto se debe aplicar la fórmula del rectángulo:

$A = a\times b$
$A = 105\, m\times 68\, m$
$A = \mathbf{7.140\, m^{2}}$

Por lo tanto, para cubrir toda la cancha se necesitarían 7.140 m² de césped artificial.

– La siguiente figura muestra el plano de una casa. ¿Cuántos metros cuadrados de cerámica se necesitan para cubrir el piso?

El piso de la casa forma una figura compuesta. Por lo tanto, antes de resolver el problema debemos separarlo en formas geométricas más simples:

La figura 1 corresponde a un rectángulo y la figura 2 a un cuadrado (ya que sus cuatro lados miden lo mismo). El área total del piso será igual a:

$A_{t} = A_{1}+A_{2}$

Donde:

A_t = área total del piso

A₁ = área de la figura 1

A₂ = área de la figura 2

Por lo tanto, para calcular el problema tenemos que resolver las áreas por separado:

En la figura 1 se cumple que:

$A_{1} = a\times b$

$A_{1} = 13\, m\times 5\, m$

$A_{1} = 65\, m^{2}$

En la figura 2 se cumple que:

$A_{2} = l^{2}$

$A_{2} = (10\, m)^{2}$

$A_{2} = 100\, m^{2}$

Al reemplazar los valores de A₁ y A₂ se tiene que:

$A_{t} = 65\, m^{2}+100\, m^{2}$

$A_{t} = \mathbf{165\, m^{2}}$

Por lo tanto, el piso de la casa necesita 165 m² de cerámica para cubrirlo.

¿Sabías qué?

La hectárea (ha) es una medida de área que equivale a 10.000 m².

Cálculo de volumen de un cuerpo

Todo cuerpo ocupa un lugar en el espacio. Se denomina volumen. Como ya sabemos, los principales cuerpos geométricos se calculan a través de fórmulas:

Nombre	Figura	Fórmula de volumen
Cubo		$\boldsymbol{V=l^{3}}$ Donde: V = volumen l = lado
Prisma		$\boldsymbol{V = A_{b}\times h}$ Donde: V = volumen *A_b* = área basal h = altura
Pirámide		$\boldsymbol{V = \frac{A_{b}\times h}{3}}$ Donde: V = volumen *A_b* = área basal h = altura
Cilindro		$\boldsymbol{V =\pi \times r^{2}\times h}$ Donde: V = volumen π = número pi (3,14…) r = radio h = altura
Cono		$\boldsymbol{V =\frac{\pi \times r^{2}\times h}{3}}$ Donde: V = volumen π = número pi (3,14…) r = radio h = altura
Esfera		$\boldsymbol{V =\frac{4}{3}\times \pi \times r^{3}}$ Donde: V = volumen π = número pi (3,14…) r = radio

En el caso de las pirámides y los primas, las formas de sus bases pueden ser diferentes.

Estas ecuaciones pueden aplicarse a figuras similares para resolver diferentes problemas.

Ejercicios

– Calcula el volumen de la Gran Pirámide de Guiza, cuya base es un cuadrado de aproximadamente 230 m cada lado y de altura mide aproximadamente 186 m.

La fórmula para calcular el volumen de una pirámide es la siguiente:

$V = \frac{A_{b}\times h}{3}$

Lo primero es calcular el valor de A_b que es el área de la base. En este caso, su base es un cuadrado de 230 metros de cada lado. Por lo tanto:

$A_{b} = l^{2}$

$A_{b} = (230\, m)^{2}$

$A_{b} = 52.900 \, m^{2}$

Reemplazamos el valor del área de la base y el de la altura (que es 186 m) en la fórmula:

$V = \frac{52.900\, m^{2}\times 186\, m}{3}$

$V = \frac{9.839.400\, m^{3}}{3}$

$V = \mathbf{3.279.800\, m^{3}}$

El volumen aproximado de la pirámide de Guiza es de 3.279.800 m³ (si se considera la pirámide como un cuerpo rígido sin cámaras interiores).

– Calcula el volumen de una canica de 2 centímetros de diámetro.

La forma de una canica es igual a la de una esfera por lo tanto se utiliza la siguiente ecuación:

$V =\frac{4}{3}\times \pi \times r^{3}$

El problema nos dice que el diámetro de la canica es de 2 cm, pero la fórmula está expresada en función del radio. Como ya sabemos, el radio es la mitad del diámetro, por lo tanto, el radio de la canica es de 1 cm.

$V =\frac{4}{3}\times \3,14 \times (1\, cm)^{3}$

$V =\frac{4}{3}\times \3,14 \times 1\, cm^{3}$

$V =\mathbf{4,18\, cm^{3}}$

La leyenda de la corona

Hay una leyenda popular que cuenta cómo el rey Hieron II de Siracusa le encomendó al reconocido matemático griego Arquímedes que comprobara si la corona que había mandado a hacer era de oro puro o no. Arquímedes pasó mucho tiempo sin resolver el misterio y estaba frustrado hasta que un día, al meterse a la bañera, se percató que el agua que se desplazaba tenía el mismo volumen de su cuerpo. Enseguida dio un salto al tiempo que decía la frase “¡Eureka!”.

Posteriormente le demostró al rey que el volumen desplazado por la corona debía ser el mismo que el desplazado por un lingote de oro puro de la misma masa. Cuando realizó el experimento, la cantidad de agua desplazada no fue la misma y concluyó que la corona no era de oro puro.

Otros usos

Desde su aparición, la geometría ha permitido al ser humano destacarse en varios campos como la arquitectura, la escultura, la pintura y, por su puesto, en las ciencias aplicadas como la física o la química. Disciplinas como la ingeniería aplican la geometría para el cálculo de ángulo y otras medidas. La química emplea la geometría para entender las estructuras moleculares, la agrupación de los átomos y la forma de los cristales de algunos compuestos, entre otros usos.

En el ámbito de la cartografía y la agronomía, se aplica la geometría para determinar áreas, calcular perímetros y planos de terrenos. La astronomía y la computación son otras áreas que emplean conocimientos geométricos.

La geometría y la arquitectura

La arquitectura clásica no habría podido lograr obras de singular belleza o armonía sin hacer uso de conocimientos geométricos. En la actualidad, los arquitectos emplean la geometría para lograr estructuras que se vean bien estéticamente, que permitan un ahorro de materiales y un mejor aprovechamiento de los espacios.

¡A practicar!

1. Una fábrica de quesos compró una granja de 14.300 m². ¿Cuáles son las medidas de la granja?

a) 150 m × 100 m
b) 130 m × 110 m
c) 40 m × 10 m
d) 280 m × 100 m

Solución

b) 130 m × 110 m

2. Un tablero de ajedrez mide 44 cm de alto y 44 cm de ancho, ¿cuál es el área del tablero?

a) 88 cm²
b) 1.936 cm²
c) 4.404 cm²
d) 3.854 cm²

Solución

b) 1.936 cm²

3. Una empresa inmobiliaria trabaja con propiedades que no superan los 20.000 m². ¿Cuál de las siguientes propiedades no cumple con este requisito de la empresa inmobiliaria?

a) Casa de playa de 155 m de ancho por 84 m de alto.
b) Departamento en la ciudad de 18 m de ancho por 14 m de alto.
c) Cabaña en la montaña de 320 m de ancho por 124 m de alto.
d) Chalet de 24 m de ancho por 20 m de alto.

Solución

c) Cabaña en la montaña de 320 m de ancho por 124 m de alto. El área de esta propiedad es de 39.680 m², por lo tanto, supera los 20.000 m² aceptados por la inmobiliaria.

4. Una pelota de fútbol tiene 22 cm de diámetro, ¿cuál es su volumen?

a) 2026,34 cm³
b) 44 cm³
c) 220 cm³
d) 5.572,45 cm³

Solución

d) 5.572,45 cm³

5. Una lata de tomates es cilíndrica y tiene una altura de 9 cm y un radio de 3 cm, ¿cuál es su volumen?

a) 384,35 cm³
b) 127,17 cm³
c) 954.44 cm³
d) 506,58 cm³

Solución

c) 254.34 cm³

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Los números ocultos en el universo”

El artículo trata de mostrar cómo la mayoría de los fenómenos del universo pueden explicarse a través de los números. También explica algunas formas geométricas que podemos encontrar en nuestro planeta.

VER

Enciclopedia “Nana y Enriqueta en el país de las matemáticas”

En este tomo, se platean los principales elementos de la geometría de una manera didáctica y sencilla. También se dan ejemplos y aplicaciones de la geometría.

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Artículo “Superficies de figuras geométricas”

El artículo plantea el cálculo de superficie de las principales figuras geométricas. También resuelve una serie de ejercicios y muestra al final algunos problemas propuestos.

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CAPÍTULO 5 / TEMA 7 (REVISIÓN)

GEOMETRÍA | ¿QUÉ APRENDIMOS?

CUADRÍCULA

Desde la elaboración de planos y dibujos a escalas en hojas cuadriculadas, hasta la localización de estrellas en la galaxia, la unión de rectas perpendiculares nos ayuda a distinguir la posición de cualquier objeto. Una cuadrícula es un sistema de coordenadas compuesto por líneas perpendiculares verticales y horizontales, que funciona como sistema de referencias y permite ubicar elementos en un espacio definido. El conjunto de líneas horizontales y verticales, también llamadas ejes, suelen nombrarse con números y letras.

TIPOS DE LÍNEAS

Las líneas son un conjunto de puntos ubicados uno junto al otro que generan un trazo continuo. Si los puntos están orientados en una misma dirección, entonces, forman una línea recta. Las líneas rectas son continuas e infinitas, no tienen ni principio ni final y se pueden clasificar según la forma en que interaccionan entre ellas en rectas paralelas (aquellas que nunca se cortan), rectas secantes perpendiculares (aquellas que se cortan formando ángulos rectos) y rectas secantes oblicuas (aquellas que se cortan sin formar ángulos rectos).

Un ejemplo de líneas rectas paralelas son las vías de un ferrocarril. Cuando se cortan con otras forman líneas secantes.

LOS ÁNGULOS Y SUS TIPOS

Un ángulo es una porción del plano delimitado por dos semirrectas. Cada semirrecta es uno de los lados del ángulo y coinciden en un punto de origen al que se denomina vértice. A la distancia entre lado y lado del ángulo se la denomina amplitud, y esta se mide en grados (°). Si queremos medir o trazar un ángulo es indispensable el uso del transportador. Según su amplitud, un ángulo puede ser convexo, cóncavo, nulo, completo, llano, agudo, recto u obtuso.

Las escuadras nos permiten estimar ángulos, pues tienen un ángulo de 90° y dos ángulos de 45°.

LOS TRIÁNGULOS

Los triángulos son polígonos regulares cerrados de tres lados, tres ángulos y tres vértices. Los ángulos interiores de un triángulo siempre suman 180° y los ángulos exteriores suman 360°. Son varios los criterios de clasificación que permiten agrupar a los triángulos de acuerdo a ciertas particularidades, los más utilizados son: la medida de sus lados y la medida de sus ángulos. Según la medida de sus lados, los triángulos se clasifican en equiláteros, isósceles y escalenos; mientras que, según la medida de sus ángulos se clasifican en acutángulo, obtusángulo y rectángulo.

CUADRILÁTEROS

Los cuadriláteros tienen cuatro lados, cuatro ángulos internos, cuatro ángulos externos, cuatro vértices y dos diagonales. Estos se clasifican en paralelogramos, trapecios y trapezoides. Los paralelogramos son aquellos cuadriláteros que poseen dos pares de lados opuestos paralelos y que comparten algunas propiedades específicas; los trapecios, por su parte, son figuras que presentan un par de lados opuestos paralelos a los que se suele denominar base; y los trapezoides son aquellos cuyos lados no son paralelos.

POLIEDROS

Los poliedros son cuerpos geométricos tridimensionales con caras planas formados por polígonos. Cada una de las caras de un poliedro es un polígono (triángulo, cuadrado, rombo, etc.). Los poliedros pueden ser regulares cuando sus caras están compuestas por el mismo polígono regular; o irregulares si sus caras presentan diferentes formas. En estos poliedros el número de caras no presenta límites como ocurre con los poliedros regulares y se dividen en prismas (tienen dos bases) y pirámides (tienen una sola base).

CAPÍTULO 5 / TEMA 8 (REVISIÓN)

Geometría y mediciones | ¿Qué aprendimos?

Perímetro

El perímetro es el contorno de una figura geométrica. En el caso de los polígonos regulares, el perímetro lo calculamos al multiplicar la cantidad de sus lados por la longitud de uno de estos. Otra forma de calcular el perímetro es a través de la suma de cada uno de los lados de una figura. En cambio, el perímetro del círculo es igual a la multiplicación del número pi por el diámetro de la circunferencia. Existen también figuras compuestas que están formadas por dos o más figuras geométricas, para calcular su perímetro basta con sumar cada uno de los lados.

Ángulos

Uno de los elementos fundamentales para la geometría es el ángulo, el cual está formado por un par de semirrectas denominadas lados que tienen un origen común o vértice. Uno de los sistemas más usados para medir ángulos es el sistema sexagesimal, en el que medimos los ángulos en grados, minutos y segundos. De acuerdo a su tamaño, los ángulos pueden clasificarse en agudos, rectos, obtusos y llanos. Los agudos son mayores a 0° pero menores a 90°, los rectos miden 90°, los obtusos son mayores a 90° pero menores de 180° y los llanos miden siempre 180°.

Área

Para calcular superficies usamos el área, que es la extensión comprendida por una figura. Para cada figura plana existe una fórmula que permite determinar su área. En el Sistema Internacional de Unidades se emplea el metro cuadrado (m²) como unidad de medida de área, pero también podemos usar otras unidades derivadas, como el centímetro cuadrado (cm²) o el milímetro cuadrado (mm²). Podemos obtener el área de las figuras compuestas al descomponerlas en figuras geométricas más simples, para luego sumar las áreas de cada una.

Sistemas de referencia

Uno de los sistemas de referencias más usados es el sistema cartesiano, el cual está formado por dos ejes en el plano: uno horizontal denominado eje X o de las abscisas y otro vertical denominado eje Y o de las ordenadas. Para representar un punto en el plano cartesiano necesitamos sus coordenadas en el eje X y en el eje Y: la intersección de ambas coordenadas constituye su ubicación. Por otro lado, las figuras pueden experimentar transformaciones isométricas, es decir, cambios de posición y orientación que no afectan su forma. Estas transformaciones son: traslación, rotación y simetría.

Cuadriláteros

Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados, y aunque se pueden clasificar en varios grupos, comparten elementos en común: tienen cuatro ángulos, la suma de estos es siempre igual 360° y tienen dos diagonales que dividen al cuadrado en triángulos. De manera general, los cuadriláteros son clasificados como paralelogramos, trapecios y trapezoides. Los paralelogramos tienen sus lados opuestos paralelos y pueden ser cuadrados, rombos y rectángulos. Los trapecios tienen dos de sus lados paralelos y los trapezoides no tienen ningún lado paralelo.

El campo de fútbol tiene forma de rectángulo que es un tipo de cuadrilátero.

Capacidad y volumen

El volumen es el espacio que ocupa un objeto mientras que la capacidad indica la cantidad que un objeto puede contener dentro de él. Todos los objetos tienen volumen pero no todos tienen capacidad. En el caso de los sólidos y los líquidos mientras mayor sea su volumen, mayor espacio van a ocupar. No es lo mismo el volumen de un grano de arroz que el de un edificio. Algunas unidades de volumen son el metro cúbico (m³), el centímetro cúbico (cm³) y milímetro cúbico (mm³), entre otras. El litro es una medida de capacidad que equivale a 1.000 cm³.

A pesar de estar muy relacionadas, no se deben confundir las medidas de volumen con las de capacidad.

La circunferencia

La circunferencia es una curva plana con todos sus puntos ubicados a la misma distancia del origen o centro. No debe ser confundida con el círculo que corresponde al área contenida dentro de ella, es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo. Presenta ciertos elementos como el radio, el diámetro, la tangente, la cuerda, el arco y la semicircunferencia. Uno de los instrumentos usados para su trazado es el compás.

CAPÍTULO 5 / TEMA 5

Cuadriláteros

Vemos cuadriláteros en todas partes: desde la cara de un dado hasta una hoja de papel. Estas figuras geométricas son polígonos de cuatro lados con múltiples aplicaciones en la geometría. Se caracterizan por su diversidad y de acuerdo a ciertos criterios se pueden clasificar como paralelogramos, trapecios y trapezoides.

Características de los cuadriláteros

La palabra “cuadrilátero” proviene del latín y quiere decir “que tiene cuatro lados”. Entonces, los cuadriláteros son polígonos con cuatro lados que forman entre sí cuatro ángulos. Estas características permiten clasificarlos en varios tipos.

Curiosidades de los cuadriláteros

1. Presentan cuatro lados, cuatro vértices y cuatro ángulos.

2. Todo cuadrilátero tiene dos diagonales.

3. Las dos diagonales del cuadrilátero dividen al mismo en cuatro triángulos.

4. También se denominan cuadrángulo y tetrágono (ambas hacen mención a sus cuatro ángulos y lados).

¿Sabías qué?

La suma de los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero siempre es igual a 360°.

VER INFOGRAFÍA

Ángulos

Un ángulo es la porción de plano comprendida entre dos semirrectas que tienen un origen común. Existen muchos tipos, algunos son:

Ángulo agudo: que tiene una amplitud menor a 90° pero mayor a 0°.
Ángulo recto: que tiene una amplitud igual a 90°.
Ángulo obtuso: que tiene una amplitud mayor a 90° pero menor a 180°.
Ángulo oblicuo: que no es recto. Los ángulos agudos y obtusos son ejemplo de ángulos oblicuos.

Clasificación de los cuadriláteros

La forma de un campo de fútbol no es igual a la forma de un campo de béisbol, pero en ambos casos hablamos de cuadriláteros. Este tipo de figuras se clasifica en tres grandes grupos: paralelogramos, trapecios y trapezoides.

Paralelogramos

Son cuadriláteros que presentan dos pares de lados paralelos. Los lados opuestos de todo cuadrilátero tienen la misma longitud. Se clasifican en:

Cuadrilátero	Nombre	Características
	Cuadrado	– Todos sus lados son iguales. – Sus ángulos internos son iguales y miden 90° (ángulo recto).
	Rectángulo	– Sus lados contiguos (lados que están juntos) no son iguales, pero sus lados opuestos sí lo son. – Sus ángulos interiores son iguales y miden 90° (ángulo recto).
	Rombo	– Todos sus lados son iguales. – Sus ángulos interiores son agudos (menores a 90°).
	Romboide	– Sus lados contiguos son desiguales. – Sus ángulos opuestos son iguales. – De sus cuatro ángulos interiores siempre hay un par de ángulos mayor que el otro.

¿Sabías qué?

Los ángulos opuestos de un paralelogramo son congruentes, es decir, tienen la misma medida.

Trapecios

Son cuadriláteros en los que solo dos de sus lados son paralelos, estos lados son llamados bases y siempre hay una de mayor longitud, denominada base mayor; y otra de menor longitud, denominada base menor. Se clasifican en:

Cuadrilátero	Nombre	Características
	Trapecio rectángulo	– Dos de sus ángulos interiores son iguales a 90°, es decir, son rectos.
	Trapecio isósceles	– Sus lados no paralelos tienen la misma medida. – Presentan dos ángulos agudos del mismo valor en una de las bases y dos ángulos obtusos del mismo valor sobre la otra base.
	Trapecio escaleno	– Ninguno de sus lados tiene la misma longitud. – Ninguno de sus ángulos es recto.

Trapezoides

Son cuadriláteros que no poseen ninguno de sus lados paralelos.

Cuadrilátero

Nombre

Características

Trapezoide

– Ninguno de sus lados consecutivos es igual.

Diagonales de los cuadriláteros

Las diagonales son los segmentos de rectas que unen el vértice de un ángulo con el vértice del ángulo opuesto no consecutivo. Todos los cuadriláteros tienen dos diagonales, pero sus características varían de acuerdo al tipo.

Paralelogramos

Las diagonales se cortan en el punto medio de ambas.

De acuerdo al tipo de paralelogramo las diagonales presentan estas características:

Cuadrado: sus diagonales son iguales y se cortan en ángulo recto.
Rombo: sus diagonales no son iguales pero se cortan en ángulo recto.
Rectángulo: sus diagonales tienen la misma longitud pero se cortan en un ángulo oblicuo.
Romboide: sus diagonales no son iguales y se cortan en un ángulo oblicuo.

Trapecios

Solo en los trapecios isósceles las diagonales son iguales, en los demás casos ambas diagonales son diferentes. En este tipo de figuras las diagonales siempre se cortan en un ángulo oblicuo.

Trapezoide

Los trapezoides presentan diagonales diferentes y oblicuas.

Disciplinas como la arquitectura, la ingeniería y las artes emplean las formas geométricas dentro de sus actividades. Conocer la geometría de las cosas permite tener una mejor visión de nuestro entorno y realizar comparaciones de manera más sencilla. De igual forma, muchas veces la geometría permite resolver problemas matemáticos de forma más simple.

¿Dónde podemos observar cuadriláteros?

Si prestamos atención a nuestro entorno seguramente vamos a ver más cuadriláteros de los que imaginábamos: las baldosas del piso, el techo de la casa, las puertas y ventanas… Incontables objetos tienen forma de cuadriláteros.

Conocer los cuadriláteros tiene muchas aplicaciones. Por ejemplo, si deseamos encontrar el punto medio de un objeto cuadrado como un cartón, basta con trazar dos diagonales y ubicar su punto de intersección.

El baloncesto es un deporte muy popular que emplea un tablero en forma de cuadrilátero, específicamente un rectángulo que mide por lo general 1,80 m de ancho y 1,05 m de alto. En su parte interna se encuentra otro rectángulo que permite calcular el tiro y de esta forma lograr que la pelota caiga sobre la canasta que se encuentra en su parte inferior.

¡A practicar!

Responde las siguientes preguntas.

a) ¿Cuántas diagonales tienen los cuadriláteros?

Solución

Dos diagonales.

b) ¿Qué tipo de trapecio tiene dos ángulos rectos?

Solución

Trapecio rectángulo.

c) ¿Qué tipo de paralelogramo tiene las dos diagonales diferentes pero se cortan en ángulo recto?

Solución

El rombo.

d) ¿Qué cuadrilátero no presenta ningún lado paralelo?

Solución

El trapezoide.

2. Identifica si las siguientes figuras corresponden a un paralelogramo, trapecio o trapezoide.

Solución

Trapezoide.

Solución

Paralelogramo.

Solución

Paralelogramo.

Solución

Trapecio.

Solución

Paralelogramo.

Solución

Trapecio.

Solución

Paralelogramo.

Solución

Trapecio.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Cuadriláteros”

Este artículo destacado describe los tipos de cuadriláteros y sus diferentes tipos y subtipos. También explica la importancia de reconocerlos y sus aplicaciones en la geometría y la publicidad.

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Infografía “Polígonos rectángulos”

Esta infografía permite comprender de manera ilustrada qué son los rectángulos y sus propiedades. También se enfoca en cómo construir este tipo de figura geométrica.

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Enciclopedia “Matemática en primaria”

En este tomo se explican las características de elementos básicos de la geometría, como las rectas y los ángulos.

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