CAPÍTULO 4 / TEMA 6 (REVISIÓN)

ORDEN Y RELACIONES | ¿QUÉ APRENDIMOS?

RECTA NUMÉRICA

La recta numérica es un gráfico en el que podemos representar cualquier número que pertenezca al conjunto de los números reales ( $\mathbb{R}$ ). Tiene intervalos que señalan las unidades y siempre tienen la misma distancia entre un número y su consecutivo. Por otra parte, los distintos tipos de relaciones que existen entre los números se pueden mostrar por medio de los símbolos “<” y “>” que significan “menor que” y “mayor que” respectivamente.

ORDEN DE NÚMEROS NATURALES Y DECIMALES

Para ubicar los números naturales en la recta numérica ubicamos el 0 en una posición arbitraria y luego colocamos el resto de los números naturales en intervalos regulares. Si deseamos comparar números naturales usamos los símbolos < y > o la recta numérica, pues todo número que esté más a la derecha en la recta siempre será el mayor. Para ubicar números decimales en la recta numérica, debemos agregar subdivisiones entre los números enteros. Cuando queremos compararlos, primero tomamos en cuenta la parte entera y luego comparamos las cifras decimales de izquierda a derecha.

Sí bien algunos expertos afirman que el número cero (0) no pertenece al conjunto de los números naturales, otros aseguran que sí forma parte.

ORDEN DE FRACCIONES

Las fracciones también tiene un lugar en la recta numérica, para esto tenemos que considerar si la fracción es propia o impropia. De ser propia dividimos a la unidad en tantos segmentos como indique el denominador y contamos tantos segmentos como indique el numerador, luego marcamos la fracción. Si la fracción es impropia, tenemos que convertirla primero en un número mixto, en este caso, seguimos el procedimiento anterior pero a partir de la parte entera que tenga el número mixto.

Si comparamos fracciones con igual numerador y diferente denominador, será mayor aquella que tenga menor denominador.

PROPORCIONALIDAD

La proporcionalidad es una relación que existe entre dos magnitudes que podemos medir, y puede ser directa o inversa. Dos cantidades son directamente proporcionales si cuando una aumenta la otra aumenta o si cuando una disminuye la otra también lo hace. Por otro lado, al convertir medidas lo hacemos por medio de una regla de tres, un método muy útil para saber un valor desconocido entre 2 relaciones.

Siempre que vamos a un kiosco, sabemos que mientras más compremos, más tendremos que pagar; eso es porque la “cantidad que compramos” y la “cantidad que debemos pagar” tienen una relación directamente proporcional.

RELACIONES DE TIEMPO

El tiempo es quizás la magnitud más usada y medida diariamente. Sus unidades son variadas y van desde las menores a un día, como los segundos, los minutos y las horas; hasta las que sobrepasan al día como los meses, años y décadas. Si usamos una regla de tres podemos convertir una unidad a otra sin dificultad. También podemos hacer cálculos de suma y resta con el tiempo, esto nos ayuda a saber cuando empezó un partido de fútbol o qué hora salió un tren, por ejemplo.

Los calendarios o agendas son útiles para planificar las actividades a realizar a lo largo del día.

CAPÍTULO 4 / TEMA 1

RECTA NUMÉRICA

Todos los números representan una determinada cantidad. Por ejemplo, con $ 100 no compramos lo mismo que podemos comprar con $ 1.000, porque esas cantidades de dinero son distintas. Por ese motivo es de gran importancia saber cómo comparar cifras, y una herramienta muy útil para hacerlo es la recta numérica: una línea recta que tiene puntos con valores específicos.

¿Qué es la recta numérica?

La recta numérica es una herramienta en la que podemos representar de manera gráfica distintos números. Consiste en una línea recta marcada a intervalos regulares, a los cuales se le asigna un número. Estos intervalos no son más que las separaciones entre un número y otro.

Las rectas numéricas pueden incluir cualquier número que pertenezca al conjunto de los números reales ( $\mathbb{R}$ ). En este ejemplo, la recta numérica abarca los números enteros ( $\mathbb{Z}$ ) desde el −7 hasta el +7, incluido el cero (0).

¿Sabías qué?

El primero en utilizar una recta numérica fue el matemático inglés John Wallis. Él la utilizó para representar gráficamente los números naturales ( $\mathbb{N}$ ).

Una regla graduada es muy parecida a una recta numérica. Este instrumento de medición tiene divisiones con valores asignados en centímetros o pulgadas. Gracias a ella sabemos la longitud de objetos pequeños, como la de un lápiz o un borrador. Además nos ayuda a dibujar líneas rectas.

¿Cómo construir una RECTA NUMÉRICA?

Para construir una recta numérica lo primero que debemos hacer es trazar una línea recta con flechas en sus extremos.

Luego colocamos los intervalos y marcamos sus extremos con un punto o con una pequeña línea vertical. Es importante que todos los intervalos sean del mismo tamaño para conservar la escala.

Una vez trazada la línea recta y los intervalos, colocamos los números sobre cada una de las pequeñas líneas verticales. Los números irán de menor a mayor, de izquierda a derecha.

Intervalos en la recta numérica

Los intervalos utilizados para construir una recta numérica deben ser siempre iguales entre un número y su consecutivo, pero pueden variar en cuanto a su valor.

Por ejemplo, podemos construir una recta numérica en la que cada intervalo entre un número y su consecutivo corresponda a un entero, es decir, de 1 en 1:

Pero también podemos construir rectas numéricas en las que cada intervalo corresponda a dos enteros, es decir, de 2 en 2:

¿Qué números se pueden incluir en una recta numérica?

Si bien, en un principio solo se ubicaban números naturales en la recta numérica (desde el cero hasta el infinito positivo), hoy día todos los números reales $\mathbb{R}$ pueden representarse en ella. Estos incluyen a los números naturales ( $\mathbb{N}$ ), los números enteros ( $\mathbb{Z}$ ), los números racionales ( $\mathbb{Q}$ ) y los números irracionales ( $\mathbb{I}$ ).

Representación de decimales y fracciones en la recta numérica

Los números decimales son aquellos formados por una parte entera y una parte menor a la unidad, y también pueden ser mostrados como fracciones. En la recta numérica podemos representar este tipo de números si subdividimos los enteros ya ubicados. Por ejemplo, entre 1 y 2 hay pequeños intervalos más pequeños que señalan a los decimales desde el 0,1 hasta el 0,9. También podemos mostrarlos en escalas de 2 en 2 décimas. Observa esta recta:

Dado que para cada fracción hay un número decimal equivalente, podemos representar ambas cantidades en una recta numérica. Por ejemplo, las fracción 1/5 = 0,2 y 8/5 = 1,6.

¡A practicar!

Realiza una recta numérica y luego marca en la misma los siguientes números:

Solución

SÍMBOLOS DE RELACIÓN

Los números de la recta numérica tienen relaciones entre sí. Los distintos tipos de relaciones que existen son los siguientes.

TIPO DE RELACIÓN	SIGNIFICADO	SÍMBOLO
“Mayor que”	Se utiliza para indicar que un número es mayor que otro.	>
“Igual a”	Se utiliza para indicar que un número es igual a otro.	=
“Menor que”	Se utiliza para indicar que un número es menor que otro.	<

Veamos algunos ejemplos:

Para indicar que el 3 es mayor que el 2, escribimos: 3 > 2
Para indicar que el 4 es igual que el 4, escribimos: 4 = 4
Para indicar que el 5 es menor que el 8, escribimos: 5 < 8

Todos los números tienen algún otro número mayor que él y otro menor. Todos los números guardan una relación con los demás. Para compararlos podemos utilizar los símbolos de relación, los cuales muestran cuando entre dos cantidades la primera es mayor que la segunda (>), menor que la segunda (<) o igual a la segunda (=).

Relaciones entre los números de la recta numérica

Si prestamos atención, notaremos que en una recta numérica siempre ocurre lo siguiente: entre dos números, el que se encuentra más a la derecha en la recta numérica será el mayor.

Por ejemplo, entre el 3 y el −5, el 3 se encuentra más a la derecha, entonces, podemos afirmar que 3 > −5. O al encontrarse el −5 más a la derecha que el −7, podemos afirmar que −5 > −7.

¡A practicar!

Coloca el símbolo de relación que corresponda en cada caso:

3,5 ____ 5,3
4,0 ____ 0,4
1 ____ −1
2 ____ 2
2,2 ____ 2,02
8,001 ____ 8,01

Solución

3,5 < 5,3
4,0 > 0,4
1 > −1
2 = 2
2,2 > 2,02
8,001 < 8,01

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “La recta numérica”

Este artículo te permitirá profundizar sobre el concepto de recta numérica y los conjuntos numéricos que pueden ser representados en la misma.

VER

Artículo “Recta numérica”

En este artículo podrás detallar el procedimiento a realizar para poder ubicar números decimales y fracciones en la recta numérica.

VER

CAPÍTULO 4 / TEMA 1

EL PUNTO Y LA LÍNEA

OBSERVA LOS OBJETOS QUE TE RODEAN, ES PROBABLE QUE NO TE HAYAS DADO CUENTA PERO TODOS ESTÁN COMPUESTOS POR LÍNEAS, Y ESTAS, A SU VEZ, POR UNA SUCESIÓN DE PUNTOS. SEGÚN LA DIRECCIÓN QUE TOMEN ESTOS PUNTOS LAS LÍNEAS PUEDEN SER RECTAS O CURVAS.

¿QUÉ ES EL PUNTO?

EL PUNTO ES ENTE FUNDAMENTAL DE LA GEOMETRÍA, NO TIENE LONGITUD, NO TIENE ÁREA Y NO TIENE DIMENSIÓN. EL PUNTO ES SOLO UNA POSICIÓN EN EL ESPACIO. PODEMOS IDENTIFICAR LOS PUNTOS CON UNA LETRA MAYÚSCULA.

– EJEMPLO:

OBSERVA LA CUADRÍCULA, ¿CUÁNTOS PUNTOS HAY?

A, B, C, D, E, F Y G SON PUNTOS. HAY 7 PUNTOS.

LAS LÍNEAS Y SUS TIPOS

LA LÍNEA ES UNA SUCESIÓN DE INFINITOS PUNTOS. UNA LÍNEA SE ASEMEJA A UNA CUERDA QUE PUEDE SER RECTA O CURVA, ABIERTA O CERRADA PERO QUE ESTÁ FORMADA POR PUNTOS MUY PEQUEÑOS Y JUNTOS. LAS LÍNEAS TIENEN UNA DIMENSIÓN: LA LONGITUD.

SUCESIÓN DE PUNTOS	LÍNEA

TIPOS DE LÍNEAS

EXISTEN DOS TIPOS DE LÍNEAS QUE EXPRESAN SU FORMA:

LÍNEA RECTA: ES LA LÍNEA CUYOS PUNTOS ESTÁN ALINEADOS EN UNA MISMA DIRECCIÓN.

LÍNEA CURVA: ES LA LÍNEA CUYOS PUNTOS NO ESTÁN ALINEADOS EN UNA MISMA DIRECCIÓN. EXISTEN DOS TIPOS DE LÍNEAS CURVAS, LAS ABIERTAS, EN LAS QUE SU INICIO Y SU FINAL NO COINCIDEN, Y LAS CERRADAS, EN LAS QUE SU INICIO Y FINAL SÍ COINCIDEN.

ESTAS SON LÍNEAS CURVAS ABIERTAS.

ESTAS SON LÍNEAS CURVAS CERRADAS.

LÍNEA POLIGONAL: ES LA COMBINACIÓN DE LÍNEAS RECTAS QUE EN UN DETERMINADO PUNTO CAMBIAN DE DIRECCIÓN. EXISTEN DOS TIPOS DE LÍNEAS POLIGONALES, LAS ABIERTAS, EN LAS QUE SU INICIO Y SU FINAL NO COINCIDEN, Y LAS CERRADAS, EN LAS QUE SU INICIO Y FINAL SÍ COINCIDEN.