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Gráfico circular

Los datos estadísticos pueden observarse de forma clara si los representamos en gráficos, de los cuales el circular es uno de los más usados. Este tipo de representación consiste es un círculo dividido en áreas proporcionales a la frecuencia de datos o porcentajes de una categoría. Son de gran ayuda para comparar partes de un todo.

Los gráfico estadísticos son herramientas visuales que nos permiten organizar y expresar datos de forma sencilla y clara; pueden ser lineales, de barras o circulares.

¿Qué es el gráfico circular?

Un gráfico circular, también denominado diagrama de pastel o gráfico de torta, es una representación gráfica en forma de círculo que se usa para comparar porcentajes o frecuencias respecto a un total de datos. El área de todo el círculo es igual al total de datos (100 %) y el área de cada porción del círculo representa el porcentaje de una categoría.

Los gráficos circulares tienen un título, una leyenda y unas etiquetas que muestran los porcentajes o valores de las variables.

– Ejemplo:

En este gráfico podemos ver que el 60 % de la población mundial reside en Asia, el 17 % en África, el 10 % en Europa, el 8 % en Latinoamérica y el Caribe; y el 5 % en América del Norte y Oceanía.

¿Sabías qué?

La invención del gráfico circular se le atribuye al ingeniero escocés y economista político William Playfair.

Tipos de gráficos circulares

Los diagramas de torta no siempre son iguales. Además del circular, también los hay de anillo, semicirculares o irregulares.

¿Cómo construir un gráfico circular?

1. Organiza las frecuencias relativas y absolutas de los datos.

Esta tabla muestra las edades de 30 estudiantes de un curso de inglés.

Edad	Frecuencia absoluta	Frecuencia relativa
14	5	5/30 = 0,2
15	12	12/30 = 0,4
16	10	10/30 = 0,3
17	3	3/30 = 0,1
Total	30	1

La frecuencia absoluta corresponde a la cantidad de veces que se repite una variable, por ejemplo, en el curso de inglés hay 5 estudiantes con 14 años. Por otro lado, la frecuencia relativa corresponde a la parte del total que representa cada valor de la variable. La suma de todas las frecuencias relativas es igual a 1.

2. Halla el porcentaje de cada variable.

Las frecuencias relativas pueden expresarse como un porcentaje si se multiplica cada valor por 100.

Edad	Frecuencia absoluta	Frecuencia relativa	Porcentaje
14	5	5/30 ≈ 0,2	20 %
15	12	12/30 = 0,4	40 %
16	10	10/30 ≈ 0,3	30 %
17	3	3/30 = 0,1	10 %
Total	30	1	100 %

3. Calcula el ángulo central de cada variable.

Los círculos tienen 360°, así que para ilustrar los datos en un gráfico circular debemos conocer los grados que representa cada sector de una variable en dicho círculo. Este cálculo consiste en multiplicar la frecuencia relativa por 360°. Por ejemplo, 0,2 × 360° = 72°.

Edad	Frecuencia absoluta	Frecuencia relativa	Porcentaje	Grados
14	5	5/30 ≈ 0,2	20 %	72°
15	12	12/30 = 0,4	40 %	144°
16	10	10/30 ≈ 0,3	30 %	108°
17	3	3/30 = 0,1	10 %	36°
Total	30	1	100 %	360°

4. Traza una circunferencia y uno de sus radios.

Usa el compás para dibujar una circunferencia, luego traza una línea recta desde el centro hasta el borde de la figura, ese será el radio.

5. Mide los ángulos.

A partir del radio, y con la ayuda de un transportador, marca los grados calculados anteriormente. Hazlo de mayor a menor y en sentido horario. Asigna a cada área de la circunferencia un color diferente.

6. Identifica cada sector del gráfico.

Escribe las etiquetas de los datos en porcentaje, el título y la leyenda según los colores que hayas usado en cada sector.

De esta manera podemos observar fácilmente que el 40 % de los estudiantes del curso de inglés tiene 15 años, mientras que el 30 % tiene 16 años, el 20 % tiene 14 años y el 10 % tiene 17 años.

– Ejemplo:

La siguiente tabla muestra la cantidad de diversos sabores de helado en una heladería, así como el porcentaje de cada variable y los grados que representan.

Sabor de helado	Frecuencia absoluta	Frecuencia relativa	Porcentaje	Grados
Chocolate	60	60/250 ≈ 0,2	20 %	72°
Mantecado	90	90/250 ≈ 0,4	40 %	144°
Fresa	50	50/250 = 0,2	20 %	72°
Colita	50	50/250 = 0,2	20 %	72°
Total	250	1	100 %	360°

El gráfico circular se muestra a continuación:

¿Cuándo utilizar gráficos circulares?

Este tipo de gráfico estadístico es muy útil para contrastar proporciones de un total siempre y cuando las categorías sean pocas, pues no es recomendable usarlo si hay muchas variables ya que genera confusión y el resultado podría ser incomprensible.

Transformaciones en el plano

Si nos desplazamos desde donde estamos a otra posición decimos que hay una transformación en el espacio. Sucede lo mismo si trasladamos un punto o una figura en el plano. Estos movimientos en el plano conservan la forma y tamaño de la figura, algunos ejemplos son la traslación, la rotación y la simetría.

Traslación

Es un movimiento directo sin cambios de orientación. La traslación depende de un sentido, una dirección y una magnitud, tres conceptos que se reducen un elemento geométrico: el vector. Así que podemos hallar la imagen de cualquier punto a través de un vector dado.

– Ejemplo:

Para determinar la imagen del punto A a través de una traslación por el vector $\vec{u}$ seguimos estos pasos:

Trazamos un vector equipolente a $\vec{u}$ cuyo origen coincida con el punto A.
Marcamos el punto A’, el cual es la imagen del punto A.

¿Sabías qué?

Un vector es equipolente a otro cuando tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.

Traslación en el plano cartesiano

Como la traslación depende de un vector determinado, cuando desplazamos una figura en el plano cartesiano dado un vector $\vec{u}$ debemos sumar las coordenadas de sus vértices con las del vector para saber las coordenadas de los vértices de la figura trasladada.

– Ejemplo:

Para trasladar un triángulo ABC según el vector $\vec{u}$ = (3, 2), debemos ubicar la imagen de cada punto en el plano de la manera antes explicada.

Las coordenadas de los vértices de la figura trasladada son iguales a la suma de las coordenadas iniciales con las coordenadas del vector:

$A(1, 1) + \vec{u}(3, 2)=A'(1+3,1+2)=\boldsymbol{A'(4,3)}$

$B(3, 1) + \vec{u}(3, 2)=B'(3+3,1+2)=\boldsymbol{B'(6,3)}$

$C(1, 6) + \vec{u}(3, 2)=C'(1+3,6+2)=\boldsymbol{C'(4,8)}$

¿Sabías qué?

Toda figura trasladada debe conservar la orientación y ser idéntica a la figura inicial.

Rotación

Es un movimiento que consiste en girar todos los puntos de una figura en un ángulo determinado en torno a un centro de rotación.

Ángulos dirigidos

En una rotación siempre se genera un ángulo con una lado inicial y un lado final. El ángulo dirigido será positivo si el giro es en sentido contrario al de las manecillas del reloj, en cambio, el ángulo será negativo si el giro es en sentido de las manecillas del reloj.

Ángulo positivo

Ángulo negativo

El centro de rotación es un punto en torno al cual se rota o gira la figura; en los cubos de Rubik este centro de rotación permite girar las caras del cubo en cualquier dirección.

Rotación en el plano

Para hallar la imagen de un punto R en el plano bajo un ángulo de rotación es necesario conocer el ángulo dirigido y el centro de rotación. Así que, si hay un punto fijo O en el plano y un ángulo dirigido α, la rotación de centro O y ángulo α de un punto R es una transformación en el plano que asigna a R un punto único R’.

– Ejemplo 1:

Cuando se rota un polígono en el plano cartesiano, debemos determinar la imagen de cada vértice y hallar las coordenadas de los vértices de la imagen del polígono original.

– Ejemplo 2:

El triángulo A’B’C es la imagen del triángulo ABC según el centro de rotación C y un ángulo dirigido de −90°.

Las coordenadas de los vértices del triángulo ABC son A(3, 0), B(0, 2) y C(0, 0).

Las coordenadas de los vértices del triángulos A’B’C son A’(0, −3, ), B’(2, 0) y C(0, 0).

Simetría axial

La simetría axial es una transformación en el plano en el que cada punto C se asocia a otro punto C’ llamado “imagen”. Los puntos C y C’ están a igual distancia de un recta que se llama “eje de simetría” y el segmento $\overline{CC'}$ es perpendicular a dicho eje.

– Ejemplo:

El triángulo A’B’C’ es la imagen simétrica del triángulo ABC respecto al eje de simetría m.

Simetría axial en el plano cartesiano

Dos puntos P y P’ son simétricos respecto al eje y (eje de las ordenadas) si sus abscisas son opuestas y sus ordenadas son iguales. Así que:

P(x, y) → P'(−x, y)

Por lo tanto:

x = −x’

y = y’

Por otro lado, dos puntos P y P’ son simétricos al eje x (eje de las abscisas) si sus abscisas son iguales y sus ordenadas son opuestas. Así que:

P(x, y) → P'(x, −y)

Por lo tanto:

x = x’

y = −y’

– Ejemplo 1:

El triángulo A’B’C’ con A’(2, 1), B’(4, 1) y C’(3, 3) es la imagen simétrica del triángulo ABC con A(−2, 1), B(−4, 1) y C(−3, 3).

– Ejemplo 2:

El triángulo A’B’C’ con A’(1, −1), B’(3, −1) y C’(2, −3) es la imagen simétrica del triángulo ABC con A(1, 1), B(3, 1) y C(2, 3).

Números mixtos

Las fracciones representan una parte de un todo, así que son útiles para expresar, por ejemplo, la cantidad de trozos de pizza que nos comimos. Cuando el numerador es mayor que el denominador se dicen que son impropias y se pueden expresar como un número mixto: una combinación de un número natural con una fracción propia.

recordemos las fracciones

Una fracción es una división de un entero en partes iguales. Está formada por un numerador y un denominador.

El numerador es el número de partes que se ha tomado del total.
El denominador es el número de partes en las que se dividió la unidad.

Las fracciones propias son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador, mientras que las fracciones impropias tienen su numerador mayor al denominador.

¿qué son los números mixtos?

Los números mixtos, también conocidos como fracciones mixtas, están formados por un número natural (parte entera) y una fracción propia (parte fraccionaria).

Los números mixtos son otra forma de representar fracciones impropias, las cuales siempre son mayores que la unidad.

Gráficas de fracciones impropias

Son una manera visual de ver las fracciones. Para realizar estas representaciones gráficas basta con dividir una figura en tantas partes como indique el denominador. Luego repetimos esta figura hasta poder colorear la cantidad de partes que señala el numerador.

– Ejemplos:

$\boldsymbol{\frac{5}{3}}=$ $=\boldsymbol{1\frac{2}{3}}$
$\boldsymbol{\frac{11}{5}}=$ $=\boldsymbol{2\frac{1}{5}}$
$\boldsymbol{\frac{10}{4}}=$ $=\boldsymbol{2\frac{2}{4}}$

Observa que la cantidad de partes enteras de las gráficas es igual al valor de la parte entera del número mixto, mientras que la última gráfica determina la parte fraccionaria. Así que el número mixto resulta de sumar un entero y una fracción propia.

¿Cómo transformar una fracción impropia a un número mixto?

Lo primero que debemos hacer es dividir el numerador entre el denominador de la fracción, el cociente será igual a la parte entera, mientras que el resto será igual al numerador de la parte fraccionaria y el denominador será igual al de la fracción impropia inicial.

– Ejemplo:

– Otros ejemplos:

Fracción impropia		División		Número mixto
$\frac{8}{5}$	→	$8 : {\color{Red} 5}={\color{Blue} 1}\: \: \: resto ={\color{DarkOrange} 3}$	→	$\boldsymbol{{\color{Blue} 1}\frac{{\color{DarkOrange} 3}}{{\color{Red} 5}}}$
$\frac{11}{4}$	→	$11 : {\color{Red} 4} = {\color{Blue} 2}\: \: resto={\color{DarkOrange} 3}$	→	$\boldsymbol{{\color{Blue} 2}\frac{{\color{DarkOrange} 3}}{{\color{Red} 4}}}$
$\frac{5}{3}$	→	$5:{\color{Red} 3}={\color{Blue} 1}\: \: resto={\color{DarkOrange} 2}$	→	$\boldsymbol{{\color{Blue} 1}\frac{{\color{DarkOrange} 2}}{{\color{Red} 3}}}$

¿cómo transformar un número mixto a una fracción impropia?

En esta conversión tenemos que multiplicar la parte entera por el denominador de la parte fraccionaria y sumar a ese resultado el numerador. Luego, colocamos como denominador de la fracción impropia el mismo denominador de la parte fraccionaria del número mixto.

– Ejemplo:

$\boldsymbol{{\color{Blue} 1}\frac{{\color{DarkOrange} 4}}{{\color{Red} 5}}}$

→

${\color{Blue} 1}\times {\color{Red} 5}=5+{\color{DarkOrange} 4}=\boldsymbol{9}$

→

$\boldsymbol{\frac{9}{{\color{Red} 5}}}$

– Otros ejemplos:

Número mixto		Operación		Fracción impropia
$\boldsymbol{{\color{Blue} 1}\frac{{\color{DarkOrange} 3}}{{\color{Red} 5}}}$	→	${\color{Blue} 1}\times {\color{Red} 5}=5+{\color{DarkOrange} 3}=\boldsymbol{8}$	→	$\boldsymbol{\frac{8}{{\color{Red} 5}}}$
$\boldsymbol{{\color{Blue} 2}\frac{{\color{DarkOrange} 3}}{{\color{Red} 4}}}$	→	${\color{Blue} 2}\times {\color{Red} 4}=8+{\color{DarkOrange} 3}=\boldsymbol{11}$	→	$\boldsymbol{\frac{11}{{\color{Red} 4}}}$
$\boldsymbol{{\color{Blue} 1}\frac{{\color{DarkOrange} 2}}{{\color{Red} 3}}}$	→	${\color{Blue} 1}\times {\color{Red} 3}=3+{\color{DarkOrange} 2}=\boldsymbol{5}$	→	$\boldsymbol{\frac{5}{{\color{Red} 3}}}$

Números mixtos en la vida cotidiana

Muchas veces usamos números mixtos para expresar cantidad de ingredientes o tiempo, por ejemplo:

Un partido de fútbol dura 1½ hora o un partido de fútbol dura una hora y media.
Faltan 2¼ horas para la película o faltan dos horas y cuarto para la película.
El postre necesita 3½ cucharadas de azúcar o el postre necesita tres cucharadas y media de azúcar.

¿Sabías qué?

Para sumar y restar números mixtos de forma sencilla primero debemos convertirlos en fracciones impropias.

números mixtos en la recta numérica

Para ubicar números mixtos en la recta numérica consideramos inicialmente la parte entera, esta nos indicará entre cuáles números está la parte fraccionaria. Como la parte fraccionaria consta de una fracción propia, solo tenemos que dividir el segmento entre los dos números enteros en la cantidad de partes que señale el denominador, luego contamos tantos espacios como muestre el numerador y marcamos el número mixto o su equivalente fracción impropia.

– Ejemplo:

Ubiquemos en la recta numérica el número mixto $1\frac{4}{5}$ .

La parte entera es 1, así que solo dibujamos la recta entre 1 y 2.

Como el denominador de la parte fraccionaria es 5, dividimos el segmento entre 1 y 2 en 5 partes iguales.

Contamos 4 espacios desde el número 1 porque el numerador de la parte fraccionaria es 4.

Escribimos el número mixto o su fracción impropia equivalente $\frac{9}{5}$ en ese punto.

¡A practicar!

1. ¿Qué número mixto representan estos gráficos?

2. Convierte los siguientes números mixtos a fracciones impropias.

a. $3\frac{2}{5}$

b. $1\frac{6}{7}$

c. $2\frac{3}{5}$

3. Convierte las siguientes fracciones impropias a números mixtos.

a. $\frac{4}{3}$

b. $\frac{10}{7}$

c. $\frac{15}{4}$

4. Ubica los siguientes número mixtos en la recta numérica.

a. $3\frac{3}{4}$

b. $1\frac{1}{3}$

c. $2\frac{3}{5}$

Respuestas

1a. $3\frac{3}{4}$

1b. $1\frac{1}{5}$

1c. $2\frac{4}{7}$

2a. $\frac{17}{5}$

2b. $\frac{13}{7}$

2c. $\frac{13}{5}$

3a. $1\frac{1}{3}$

3b. $1\frac{3}{7}$

3c. $3\frac{3}{4}$

4a.

4b.

4c.

¿Cómo leer el reloj?

El reloj es un instrumento que mide el tiempo y nos permite saber a qué hora ir a la escuela, cuánto dura un partido de fútbol o cuánto tardamos en ir de un lugar a otro. Conocer lo que significa la información de este instrumento es fundamental para que podamos controlar las actividades diarias. ¡Aprendamos a leer la hora en un reloj!

El tiempo es una magnitud que mide cuánto dura un evento. Podemos medir unidades de tiempo mayores al día, como las semanas, los meses y los años; y menores al día, como la hora, el minuto y el segundo.

Horas, minutos y segundos

Medimos el tiempo que transcurre en un día en horas, minutos y segundos. Es importante saber que:

1 día tiene 24 horas.
1 hora tiene 60 minutos.
1 minuto tiene 60 segundos.

el reloj analógico

Es un tipo de reloj circular que está dividido en 12 partes numeradas. Tiene manecillas o agujas que miden las horas, los minutos y los segundo.

La manecilla corta se llama horario y señala la hora. Tarda 24 horas (1 día) en dar una vuelta.
La manecilla larga se llama minutero y señala los minutos. Tarda 60 minutos (1 hora) en dar una vuelta.
La manecilla más delgada y corta de todas se llama segundero y mide los segundos. No todos lo relojes la tienen y tarda 60 segundos (1 minuto) en dar una vuelta.

Los números grandes indican las horas (1, 2, 3, 4, …), mientras que los minutos se cuentan de 5 en 5 (5, 10, 15, 20, …). Muchos relojes no tienen los números de lo minutos, sino que colocan pequeñas rayas entre las horas para poder identificarlos.

¿Qué hora es?

Para leer la hora en un reloj analógico seguimos estos pasos:

Vemos la manecilla de las horas (horario) y decimos el número que esta señala seguido de “y”.
Vemos la manecilla de los minutos (minutero) y decimos el número que esta señala.

Ejemplo:

Son las dos y cinco.

Son las ocho y veinte.

Hora en punto

Cuando el minutero marca los 60 minutos decimos la hora seguida se la expresión “… en punto”.

Son las nueve en punto.

Hora y cuarto

Cuando el minutero marca los 15 minutos decimos la hora seguida de la expresión “… y cuarto”.

Son las nueve y cuarto.

Hora y media

Cuando el minutero marca los 30 minutos decimos la hora seguida de la expresión “… y media”.

Son las nueve y media.

Un cuarto para …

Cuando el minutero marca los 45 minutos decimos la expresión “un cuarto para…” seguida de la próxima hora a marcar por el horario.

Un cuarto para las diez.

¿De la mañana o de la tarde?

Un día tiene 24 horas, así que un reloj analógico debe dar 2 vueltas enteras para cubrir las horas del día. Por lo general, al final de la hora añadimos la frase “de la mañana” si la hora corresponde a antes de mediodía o “de la tarde” si la hora corresponde a después de mediodía.


Son las siete en punto de la mañana.	Son las siete en punto de la tarde.

Todo reloj que tenga manecillas y esté dividido en 12 horas será llamado reloj analógico, no importa si el funcionamiento es mecánico, eléctrico o electrónico.

El reloj digital

Es un tipo de reloj que muestra la hora directamente con los números en una pantalla. Son dispositivos electrónicos que pueden dar la hora en dos formatos: de 12 horas o de 24 horas.

Formato de 12 horas

Este formato es similar al que usamos en los relojes analógicos, pues divide al día en dos ciclos de 12 horas cada uno. La numeración inicia en el 12 y sigue sucesivamente de 1 en 1 hasta el 11. Para diferenciar los ciclos usamos las abreviaturas a. m. y p. m. En un reloj digital, el número que está antes de los dos puntos corresponde a la hora y el que está después corresponde a los minutos.

¿Sabías qué?

La abreviatura a. m. significa “antes del mediodía” y la abreviatura p. m. significa “después del mediodía”.

Ejemplo:

Son las cinco y veinticinco de la tarde.

Son las diez en punto de la mañana.

Formato de 24 horas

Este formato toma en cuenta las 24 horas del día. La numeración comienza en 0 (medianoche) y continua de forma sucesiva hasta el 23. En este formato no es necesario el uso de las abreviaturas a. m. y p. m. La relación respecto al sistema horario de 12 horas está en la siguiente tabla:

Formato 24 horas	Formato 12 horas
00:00 h	12:00 a. m.
01:00 h	01:00 a. m.
02:00 h	02:00 a. m.
03:00 h	03:00 a. m.
04:00 h	04:00 a. m.
05:00 h	05:00 a. m.
06:00 h	06:00 a. m.
07:00 h	07:00 a. m.
08:00 h	08:00 a. m.
09:00 h	09:00 a. m.
10:00 h	10:00 a. m.
11:00 h	11:00 a. m.
12:00 h	12:00 m.
13:00 h	01:00 p. m.
14:00 h	02:00 p. m.
15:00 h	03:00 p. m.
16:00 h	04:00 p. m.
17:00 h	05:00 p. m.
18:00 h	06:00 p. m.
19:00 h	07:00 p. m.
20:00 h	08:00 p. m.
21:00 h	09:00 p. m.
22:00 h	10:00 p. m.
23:00 h	11:00 p. m.

Ejemplo:

Son las veinte horas o las ocho en punto de la tarde.

Son las catorce horas o las dos en punto de la tarde.

El reloj solar

Uno de los primero relojes usados por el hombre fue el reloj solar, el cual medía las horas y los minutos del día por medio de la sombra generada por la posición del Sol sobre un estilo o pieza triangular colocada sobre una superficie con marcas.

¡A practicar!

¿Qué hora es?

Respuestas:

a) Son las seis y veinte.

b) Son las doce y media.

c) Son las ocho y cuarto de la mañana o las ocho y quince de la mañana.

d) Es un cuarto para las tres de la tarde o las dos y cuarenta y cinco de la tarde.

e) Son las once horas.

f) Son las dieciocho horas.

Líneas

Desde tiempos remotos, el hombre ha utilizado las representaciones gráficas para comunicarse, y una de las bases de dichas representaciones son las líneas. Sus aplicaciones en la actualidad abarcan casi todos los espacios en la vida cotidiana, la escritura, el arte y las ciencias.

Las líneas se definen como una sucesión infinita de puntos que a su vez forman un trazo continuo.

Podemos representar un segmento de una línea cuando limitamos su trazado entre dos puntos, por ejemplo, una línea recta que conecta los puntos A y B.

Líneas abiertas y cerradas

Los contornos son trazos que se emplean para representar algunas figuras. Dichos contornos pueden ser abiertos o cerrados:

Línea abierta: esta es una línea que se emplea para representar un contorno abierto, es decir, sus dos extremos nunca se cortan.

Las líneas abiertas pueden emplearse para formar figuras geométricas parciales, es decir, contornos abiertos.

Línea cerrada: esta línea define un contorno cerrado, lo que implica que los dos extremos de la línea deben coincidir en algún punto.

Un círculo está formado por una línea cerrada, ya que se trata de una sucesión infinita de puntos que generan un contorno cerrado donde los extremos de la línea se interceptan en algún punto.

¿Sabías qué?

La dimensión asociada al tamaño de una línea es la longitud, por ello, sus unidades serán metros, centímetros, pulgadas, milímetros, yardas, pies y kilómetros, entre otras.

Tipos de líneas

Existen muchos tipos de líneas, y su clasificación varía según el criterio que se considere, por ejemplo: forma, posición o su relación con otras líneas.

Según su forma:

Línea recta: es una línea en la que todos sus puntos están orientados en la misma dirección.

En la ampliación del segmento de recta se observa el trazo formado por una sucesión de puntos que llevan una misma dirección.

Línea curva: es una sucesión de puntos cuya orientación camba continuamente de dirección.

En la ampliación del segmento de la curva se observa el trazo formado por una sucesión de puntos que llevan diferentes direcciones.

Línea quebrada: es una línea compuesta por segmentos de línea recta que se conectan con diferentes direcciones.

En la ampliación del segmento de la línea se observa un punto donde el trazo de la línea cambia abruptamente de dirección.

Líneas mixtas: son líneas compuestas cuyo trazado es la combinación de líneas curvas y rectas.

En la ampliación del segmento de la línea se observa la combinación de líneas rectas con líneas curvas.

Según su posición

Línea vertical: es una línea recta perpendicular al horizonte. Su trayectoria va de abajo hacia arriba o de arriba hacia abajo.

La altura es una característica que representa la longitud de una línea vertical.

Línea horizontal: es una línea que lleva la misma dirección del horizonte, es decir, que su trayectoria va de izquierda a derecha o a la inversa.

La palanca mostrada en la figura representa una línea horizontal que se mantiene en equilibrio cuando los dos pesos ubicados en sus extremos son iguales.

Línea inclinada: es una línea que no es ni horizontal, ni vertical, es decir, que forma un ángulo diferente a 0º o 90º con el horizonte. También se la conoce como línea oblicua.

La palanca mostrada en la figura representa una línea inclinada.

Según la relación entre ellas:

Líneas paralelas: dos o más líneas son paralelas cuando la distancia a la que se encuentran separadas es siempre la misma, es decir, que estas líneas nunca se interceptan. Pueden ser curvas o rectas.

Las barras metálicas por donde se deslizan las esferas del ábaco son líneas paralelas entre sí.

Líneas secantes: son líneas rectas que se interceptan en algún punto para formar cuatro ángulos diferentes de 90º.

Las rectas secantes se forman al cruzar dos líneas de manera no perpendicular.

Líneas perpendiculares: son dos líneas rectas que se cortan en algún punto para formar cuatro ángulos rectos.

Las líneas que definen el rayado de la cancha de fútbol forman en varios puntos ángulos rectos y generan líneas perpendiculares.

Líneas de trazos

En dibujo técnico y otras disciplinas suelen utilizar líneas discontinuas o segmentadas para proporcionar información implícita mediante ese trazo. Algunas de esas líneas son:

Línea de trazos cortos: esta línea se emplea para denotar algunas aristas, trayectorias o trazos ocultos.
Línea punteada: es una línea auxiliar que suele utilizarse para indicar por dónde se debe repasar.
Línea de trazos y puntos: son líneas empleadas para denotar ejes de simetría y líneas centrales. Siempre deben comenzar y finalizar en trazos.

Función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva

Una función es una relación entre dos conjuntos, un conjunto de partida y uno de llegada, bajo algunas condiciones. Existen diversas maneras de relacionar estos conjuntos numéricos o funciones, y se denominan funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. A continuación sus características:

	Función inyectiva	Función sobreyectiva	Función biyectiva
Definición	Función en la que cada elemento del rango es imagen de un único elemento del dominio o conjunto de partida.	Función en la que todos los elementos del conjunto de llegada deben ser imagen de algún elemento del conjunto de partida.	Función que es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo.
Enunciado	Una función $f: A\rightarrow B$ es inyectiva si, y sólo si, todo elemento de B es imagen de un sólo elemento de A.	Una función $f: A\rightarrow B$ es sobreyectiva si, y sólo si, $Rgo=B$ .	Una función $f: A\rightarrow B$ es biyectiva si, y sólo si, es inyectiva y sobreyectiva a la vez.
Representación
Ejemplo	$f(x)=3x$ $f(x)=2x+1$	$f(x)=x+1$ $f(x)=2x$	$f(x)=5x+1$ $f(x)=x$

Polígonos cóncavos y convexos

Los polígonos son figuras geométricas planas, cerradas y bidimensionales. Pueden clasificarse por medio de varios criterios, como el número de lados, los ángulos o sus medidas. De acuerdo a la medida de los ángulos internos en cada vértice, los polígonos pueden ser cóncavos o convexos.

	Polígono cóncavo	Polígono convexo
¿Qué es?	Polígono en el que al menos unos de sus ángulos internos es mayor a 180º.	Polígono en el que cada uno de sus ángulos internos tiene menos de 180º.
Clasificación	Siempre son irregulares.	Pueden ser regulares o irregulares.
Diagonal	Al menos una diagonal que contiene los puntos del exterior existe por cada ángulo entrante.	Todas las diagonales son internas al polígono en todos sus puntos.
Vértice	Hay al menos dos vértices que pueden unirse por un segmento que corte uno o más lados.	Todos los vértices están ubicados en su circunferencia circunscrita (polígonos simples cíclicos).
Ejemplos

Múltiplos y divisores

La multiplicación y la división son operaciones básicas de los números naturales. Ambas se relacionan con el concepto de divisibilidad del cual derivan nuevas definiciones: múltiplos y divisores. Ambos términos señalan la cantidad de veces que un número está contenido dentro de otro y la cantidad de veces que un número puede dividir a otro.

	Múltiplos	Divisores
¿Qué son?	Números que contienen a otros una cantidad entera o exacta de veces.	Números que dividen a otros una cantidad entera o exacta de veces.
¿Cuál es el primero?	Para cualquier número, el primer múltiplo siempre será 0.	Para cualquier número, el primer divisor siempre será 1.
Propiedad 1	Todos los números naturales son múltiplos de 1 y de sí mismos. $5.1=5$ 5 es múltiplo de 1 y de sí mismo.	Todos los número son divisores de sí mismo, excepto el número cero. $8\div 8=1$ 8 es divisor de sí mismo. El resto es cero, por eso es divisor.
Propiedad 2	El cero es múltiplo de todos los números. $14.0=0$ 0 es múltiplo de 14.	El número 1 es divisor de todos los números. $9\div 1=9$ 1 es divisor de 9.
Propiedad 3	Los múltiplos de un número natural son infinitos. $3 = \left \{0,3,6,9,12,15,18... \right \}$	Los divisores de un número distinto de cero son finitos. $12 = \left \{1,2,3,4,6,12 \right \}$
Ejemplos	$3 . 6=18$ 18 es múltiplo de 3 y de 6. $9.4=36$ 36 es múltiplo de 9 y de 4.	$72\div9 =8$ 9 es divisor de 72. $36 \div 4= 9$ 4 es divisor de 36.

Combinatoria

La teoría combinatoria se ocupa del ordenamiento de los elementos de un conjunto o su agrupación según varias leyes. Cuenta con fórmulas que permiten calcular el número de ordenaciones o la cantidad de grupos que pueden formarse. Las agrupaciones pueden clasificarse según diversas condiciones, teniendo en cuenta si sus elementos se repiten o no, cuántos de ellos se pueden tomar y si importa el orden de colocación.

Uno de los principios fundamentales que participan en la teoría combinatoria indica que:

Si algo se puede hacer de “p” maneras distintas, luego de haber hecho eso de una de las maneras quedan disponibles “q” maneras distintas para hacer otra cosa.

Es decir, como para cada una de las “p” maneras de realizar la primer cosa hay “q” maneras para realizar la segunda, el total de formas en las que ambas pueden hacerse es:

$q + q + . . . + q = pq$

EJEMPLO: si una persona tiene 3 pantalones y 5 camisas, ¿de cuántas formas puede usar un pantalón y una camisa?

Cada pantalón se puede usar con cada una de las 5 camisas, por lo tanto tiene 3⋅5=15 formas de combinar un pantalón y una camisa.

PERMUTACIONES, VARIACIONES Y COMBINACIONES

Dada cierta cantidad de elementos, hay distintos criterios para determinar las formas de agrupación que éstos pueden tener y las consideraciones que diferencian a un grupo de otro.

Combinaciones (ordinarias)

Se denominan combinaciones de m elementos tomados de n en n a los grupos que pueden formase con esos m elementos, teniendo en cuenta que dos grupos se consideran diferentes únicamente cuando tienen algún elemento diferente.

La notación para las combinaciones es:

Fórmula:

EJEMPLO:

¿Cuántos grupos pueden formarse con los 4 elementos A, B, C y D tomados de tres en tres?

La totalidad de elementos es 4, por lo tanto m=4.
La cantidad de elementos por grupo es 3, entonces n=3.
Se aplica la fórmula:

Los grupos serían: ABC, ABD, ACD, ACD.

FACTORIAL

El factorial de un número entero positivo es el producto de todos los números naturales desde dicho número hasta 1. Ejemplo:

4!=4⋅3⋅2⋅1 = 24

Variaciones (ordinarias)

Se denominan variaciones de m elementos tomados de n en n a los grupos que se pueden formar con m elementos dados. Dos grupos se consideran distintos cuando difieren en algún elemento o cuando el orden de los elementos cambia.

En el ejemplo anterior no importa el orden de los elementos, por ello, para las combinaciones es lo mismo que el grupo esté conformado por ABC, ACB o BCA. Para las combinaciones esos tres elementos forman un solo grupo. En cambio, en las variaciones se considerarían tres grupos distintos.

Un ejemplo para diferenciar combinaciones y variaciones es la selección de personas:

Si se desea elegir a tres personas de un grupo para viajar a una conferencia no importa el orden de elección de éstas en el grupo. En este caso se calcula mediante combinaciones.
Si en cambio se desea elegir a tres personas de un grupo para ocupar tres cargos en una empresa (gerente, subgerente y secretario) sí importa el orden.

Ejemplo:
María-gerente
David-subgerente
Rocío-secretaria

Es distinto a que sean:
David-gerente
Rocío-subgerente
María-secretaria

Por lo tanto, se utilizan variaciones para calcular todas las posibilidades de elección.

La notación para las variaciones es:

Fórmula:

EJEMPLO:

Formar las variaciones ternarias de los cuatro elementos A, B, C y D.

Se reemplazan los datos en la fórmula: m=4; n=3

Los grupos serían: ABC,ACB, BAC, BCA, CAB, CBA, ABD, ADB, BAD, BDA, DAB, DBA, ACD,ADC, CAD, CDA, DAC,DCA, BCD, BDC, CDB,CBD,DBC, DCB.

Permutaciones (ordinarias)

Es un caso particular de las variaciones en donde pueden intervenir todos los elementos. Se consideran distintos grupos cuando el orden de los elementos difiere.

La notación para las permutaciones es:, siendo n=m.

EJEMPLO:

¿Cuántas permutaciones pueden hacerse con las letras de la palabra MÉXICO?

Las letras de la palabra México son 6, por lo tanto n=6.

Para calcular de cuántas formas pueden sentarse un grupo de personas en una mesa se utilizan permutaciones circulares, cuya fórmula es:

Para seguir estudiando más contenidos de combinatoria puedes ingresar a la Enciclopedia de Matemática Secundaria, tomo 2, capítulo 2.

A PRACTICAR LO APRENDIDO

COMBINACIONES

Calcular el número de combinaciones de 8 objetos tomados de cinco en cinco.
¿Cuántos grupos diferentes de ocho cartas se pueden dar con una baraja de 40 cartas?

VARIACIONES

¿De cuantas maneras se pueden cubrir tres cargos directivos en un club deportivo si hay 10 postulantes?
¿De cuántas formas se pueden sentar 4 personas en 6 asientos?

PERMUTACIONES

¿De cuántas formas posibles se pueden ordenar 10 libros en un estante?
¿De cuántas maneras se pueden intercambiar las gomas de un automóvil, incluyendo la de repuesto?

RESPUESTAS

COMBINACIONES

56 maneras.
76.904.685 formas.

VARIACIONES

720 maneras.
360 formas.

PERMUTACIONES

3.628.800 formas.
120 maneras.

¿Sabías qué...?

La baraja inglesa consta de 52 naipes, las permutaciones posibles al mezclar las barajas son: 8,1 ⋅ 10⁶⁷.

Probabilidad

En el lenguaje cotidiano la palabra probabilidad se utiliza para expresar la posibilidad de que un hecho pueda ocurrir o no. En matemática, cuando los acontecimientos pueden ocurrir con mayor o menor frecuencia, pero no se sabe con certeza si van a ocurrir o no, son denominados aleatorios. El cálculo de probabilidades estudia las leyes que rigen estos acontecimientos.

En el área del cálculo de probabilidades las variables aleatorias pueden tomar dos o más valores que no se pueden anticipar con certeza.

Por ejemplo, al arrojar un dado los valores que se pueden observar en la cara superior son: 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Se sabe qué valores pueden salir, pero no puede asegurarse cuál de ellos será.

FENÓMENOS ALEATORIOS Y DETERMINISTAS

Aleatorios

Suceden al azar, no es posible predecir su resultado. Ejemplos:

Al lanzar una moneda al aire se desconoce si al caer la cara superior será sello o cara.
Al lanzar un dado no es posible saber cuál de todas las caras quedará sobre la superior.

Deterministas

Son los que suceden con seguridad, es decir, al repetirlo en las mismas condiciones se obtiene el mismo resultado. Ejemplos:

Al arrojar un dado el color que se observe en la cara superior siempre será el mismo.
La hora de apertura de un banco es siempre la misma.

FENÓMENOS ALEATORIOS

Entre los fenómenos aleatorios hay sucesos que:

Tienen la misma probabilidad de ocurrir
Como es el caso de arrojar una moneda, en donde hay dos posibilidades: que salga sello o cara.

Son más probables que otros
Un ejemplo de esto sería un bolillero con 20 bolillas rojas y 4 azules, hay más probabilidad de extraer una azul que una roja.

En los casos donde las posibilidades de obtener uno u otro resultado no son iguales, como el caso del bolillero, se analizan las probabilidades teniendo en cuenta la definición del matemático francés Pierre de Laplace.

DEFINICIÓN CLÁSICA DE LAPLACE

“La probabilidad de un acontecimiento es igual al cociente entre el número de casos favorables y el número de casos igualmente posibles”.

EJEMPLO 1

En un bolillero con 20 bolillas rojas y 4 azules, todas ellas iguales (misma superficie, volumen y peso), se encuentran 24 esferas en total. Como todas ellas son iguales las condiciones de ser extraídas son las mismas, por ello la cantidad de casos posibles es 24.

Para extraer 1 bolilla azul es necesario que salga una de las cuatro de ese color. Esto significa que hay 4 casos favorables para que el hecho suceda, contra 20 casos desfavorables.

La ley de Laplace se puede formular de la siguiente manera:

$P(A)= \frac{n ú m e r o s d e c a s o s f a v o r a b l e s a A}{n ú m e r o d e c a s o s p o s i b l e s}$

P(A): probabilidad de que ocurra un acontecimiento A.

Esta fórmula se puede expresar como:

$P (A) = \frac{h}{n}$

Donde “h” es el número de casos favorables con respecto al suceso A y “n” el número de casos posibles.

En el ejemplo anterior quedaría expresado de la siguiente manera:

$P (bolilla azul) = \frac{4}{24}$

$P (A) = \frac{4}{24}$

Siendo A= extracción de bolilla azul.

EJEMPLO 2

¿Cuál es la probabilidad de obtener una reina al sacar una carta de un mazo de cartas españolas (total 40 cartas y 4 de ellas son reinas)?

Casos posibles: 40
Casos favorables: 4

$P (reina) = \frac{4}{40}$

Simplificando queda:

$P (reina) = \frac{1}{10}$

Puede expresarse como:

$P (reina) = 0, 1$

TIPOS DE SUCESOS

Cuando es seguro que un acontecimiento no puede suceder los sucesos se consideran imposibles. Por ejemplo, una persona no puede estar físicamente en dos lugares al mismo tiempo. Como en este caso el número de casos favorables es cero, P(A)=0.
En caso contrario, hay sucesos que ocurren inevitablemente y que son igualmente posibles. Por ejemplo, cuando se compra una rifa existe la misma probabilidad de que salga cualquiera de los números. Esto se expresa como P(A)=1, es decir, la probabilidad de dicho suceso es 1.
Cuando el número de casos favorables varía entre el número de casos imposibles y el número de casos igualmente posibles la probabilidad se encuentra comprendida entre los valores 0 y 1:
$0 ⩽ P ⩽ 1$

A PRACTICAR LO APRENDIDO

Una urna tiene 15 esferas rojas, 5 amarillas y 20 azules. Si se extrae una esfera al azar calcular la probabilidad de que la misma sea azul.
Al arrojar un dado, ¿cuál es la probabilidad de que la cara que quede en la parte superior sea par?
Si en un curso hay 50 alumnos y el profesor elige al azar a uno de ellos para dar una lección, ¿qué probabilidad tiene el alumno en ser elegido?
En una facultad se presentan 1.280 aspirantes pero hay cupo para 800 alumnos. ¿Qué probabilidad tiene de ingresar cada uno de ellos?

RESPUESTAS

P(azul)=0,5
P(par)=0,5
P(alumno)=0,02
P(ingreso)=0,625

¿Sabías qué...?

Los matemáticos Persi Diaconis y David Bayer realizaron un análisis con computadora para calcular cuántas veces hay que barajar un mazo de cartas para que exista la probabilidad de que salga cualquiera de ellas. Como resultado obtuvieron que al mezclar las cartas 7 veces todas tienen la misma probabilidad de salir.

Si deseas seguir aprendiendo más sobre Probabilidad ingresa a la Enciclopedia Matemática, tomo Probabilidad y Estadística.