Categoría: Matemática

Trucos para aprender las tablas de multiplicar

La multiplicación es una de las operaciones básicas de matemática y su conocimiento es esencial durante la resolución de problemas. Para realizar multiplicaciones sencillas y complejas es necesario conocer las tablas de multiplicar, las cuales también se emplean en otras operaciones como la división.

Una gran herramienta

La multiplicación es la operación matemática que consiste en determinar el resultado de un número que se haya sumado tantas veces como indique otro. La palabra multiplicación proviene del latín de la palabra multus que significa “mucho” y plico que quiere decir “doblar”. En este sentido, multiplicar es doblar o repetir un número muchas veces.

En símbolo “x” fue utilizado por primera vez como signo de multiplicación en 1631 por el matemático inglés William Oughtred.
En símbolo “x” fue utilizado por primera vez como signo de multiplicación en 1631 por el matemático inglés William Oughtred.

La expresión 4 x 2 indica que el 4 se debe sumar a sí mismo 2 veces, es decir, que el resultado de esa operación sería 8 porque 4 + 4 = 8. Ese es el principio de esta operación matemática, sin embargo; existen multiplicaciones un poco más complejas como 9 x 8, 7 x 9, o 6 x 8, que para poder resolverlas hay que realizar sumas muy largas, lo que resultaría tedioso y poco práctico durante los cálculos.

Para hacer cálculos de multiplicaciones se idearon las tablas de multiplicar, que no son más que un atajo para realizar sumas largas de forma rápida. La forma más común de representar las tablas de multiplicación es, como su nombre lo indica, a través de tablas. Normalmente se muestran las tablas del 1 al 10 y cada una de ellas indica las multiplicaciones del número que representan del 1 al 10 o del 0 al 10.

Aprender las tablas, no memorizarlas
Aprender las tablas, no memorizarlas

Muchas veces los estudiantes se esmeran en memorizar las tablas y no en aprenderlas, por lo cual al poco tiempo las olvidan. Esto se debe a que no entiende el significado de la multiplicación, de sus propiedades y de sus elementos principales, memorizar las tablas sin ningún aprendizaje significativo es similar a leer una receta de cocina que al poco tiempo se olvida. Los maestros y padres deben trabajar por indagar más sobre la multiplicación, de esta forma sin necesidad de memorizaciones tediosas sin sentido, el estudiante las recordará porque sabe para qué sirven y cómo funcionan.

La matemática no tiene que ser una tortura. Padres y maestros deben trabajar porque el aprendizaje de los niños sea siempre significativo.
La matemática no tiene que ser una tortura. Padres y maestros deben trabajar porque el aprendizaje de los niños sea siempre significativo.

Elementos de la multiplicación

En una multiplicación se pueden observar los siguientes elementos:

Factores: son todos aquellos números que se multiplican. Dentro de los factores se encuentra un multiplicando que, como su nombre lo indica, es el número que se multiplica y el multiplicador que es el número que indica el número de veces que se suma el multiplicando por sí mismo.

Producto: es el resultado de la multiplicación de los factores.

Signo: es el símbolo que representa a la operación de la multiplicación, comúnmente se representa con la letra equis (x) pero en algunos casos puede ser expresado con un punto.

En el ejemplo anterior 4 x 2 = 8, los factores son 4 y 2 de los cuales el multiplicando es el 4 y el multiplicador es el 2. Por su parte, el producto en dicha multiplicación es 8.

Los factores también son denominados coeficientes.

Propiedades de la multiplicación

La multiplicación, al igual que las demás operaciones matemáticas básicas, tiene algunas propiedades que cumple. Estas propiedades permiten simplificar la resolución de problemas y también ayudan a entender cómo funciona esta operación.

Propiedad conmutativa

Esta propiedad establece que al multiplicar varios números, no importa el orden de los factores, el resultado siempre será el mismo.

4 x 2 = 8
2 x 4 = 8

Propiedad asociativa

Cuando se multiplican tres o más factores, pueden multiplicarse los dos primeros y el resultado multiplicarlo por el tercero, o multiplicar los dos últimos y el resultado multiplicarlo por el primero, en todo caso, sin importar cómo se agrupen los factores el resultado siempre será el mismo.

2 x 3 x 1 = (2 x 3) x 1 = 6 x 1 = 6
2 x 3 x 1 = 2 x (3 x 1) = 2 x 3 = 6

Propiedad del elemento neutro

El producto de cualquier número multiplicado por 1 siempre será igual al mismo número.

Ejemplo:

7 x 1 = 7
9 x 1 = 9
2 x 1 = 2

Propiedad distributiva

Al multiplicar un número por una suma o resta se puede resolver primero la suma o resta y el resultado multiplicarlo por el número o se puede multiplicar el número por cada uno de los elementos de la suma o resta y luego sumar o restar según sea el caso. En ambos casos, el resultado siempre es el mismo.

3 x (2 + 4) = 3 x 6 = 18
3 x (2 + 4) = (3 x 2) + (3 x 4) = 6 + 12 = 18

2 x (7 -2) = 2 x 5 = 10

2 x (7 -2) = (2 x 7) – (2 x 2) = 14 – 4 = 10

Las propiedades de la multiplicación son muy útiles para resolver problemas.

Algunos trucos

Después de reconocer los elementos esenciales de la multiplicación y sus propiedades, existen algunos trucos que permiten aprender las tablas con mayor facilidad y se presentan a continuación:

Tabla del 0: aunque no es común ver esta tabla, es importante saber que todos los números multiplicados por 0 dan como resultado el número 0.

Tabla del 1: como se mencionó con anterioridad en la propiedad del elemento neutro, todo número multiplicado por 1 da como resultado al mismo número.

Tabla del 2: en esta tabla el resultado de un número multiplicado por 2 es igual al doble del número.

Tabla del 5: los números de esta tabla terminan en 0 o en 5.

Tabla del 9: esta tabla presenta cierta regularidad en los productos mostrados. La siguiente imagen permite observar cómo las primeras cifras de los productos siguen una secuencia ascendente mientras que las demás cifras siguen una secuencia descendente.

Truco de la tabla del 9.
Truco de la tabla del 9.

Tabla del 10: en este caso solamente es necesario agregar un 0 al lado del multiplicando.

¿Sabías qué...?
Mientras aprendes las tablas es normal que no recuerdes el resultado de alguna multiplicación, en estos casos puedes recurrir mentalmente a la propiedad conmutativa, es decir, invertir la posición de los factores para saber el resultado.

Simetrías

Podemos ver figuras simétricas en cualquier sitio, simplemente prestando atención, una mariposa, un rostro humano o ciertos objetos pueden presentar esta cualidad. Para que la matemática considere a una figura simétrica, la misma tiene que cumplir ciertas condiciones, a continuación conocerás cuáles son.

La palabra simetría se relaciona con el equilibrio, la igualdad entre dos lados, vinculándose con el concepto de medida.
Para comprender el concepto de simetría, veamos unas imágenes:

IMAGEN ASIMÉTRICA

En la imagen anterior podemos observar que al trazar una línea por el punto medio de la fotografía no se observan los mismos elementos de un lado y del otro, por lo tanto es asimétrica.

IMAGEN SIMÉTRICA

La imagen simétrica presenta dos partes, cuyos elementos son iguales y mantienen la misma distancia con respecto a la línea vertical.

Una forma sencilla de identificar simetrías es imaginar que se dobla la figura sobre una línea y se superponen las mitades, si todos sus puntos y trazos quedan ubicados en la misma posición, a modo de espejo, estamos en presencia de una simetría.

De esta manera se comienza a comprender el concepto de simetría. Pero como ya hemos anticipado, las matemáticas requieren un poco más de rigurosidad para determinar que una figura cumple con dicha condición.

Definición de simetría

Es la ubicación de dos o más elementos o figuras geométricas que se relacionan con un punto recta o plano, de acuerdo a reglas establecidas.

Hay dos tipos fundamentales de simetría en geometría: axial y central.

Axial: Se produce con respecto a un eje. El eje de simetría es la línea que trazamos para comparar ambas partes de una figura.

Cada punto tiene la misma distancia con respecto al eje de simetría. A’ es el reflejo de A, al igual que B’ el de B y C’ el de C. Si tomamos la medida, perpendicularmente, entre cada punto o su reflejo y el eje de simetría, veremos que coinciden.

Central: Corresponde a la simetría con respecto a un punto. En este caso, todos los puntos de la figura mantienen la misma distancia con respecto a uno dado.

Eje de simetría:

Es la línea que colocamos sobre la figura y que la divide en dos partes, cumpliendo la condición de que todos los puntos opuestos tienen la misma distancia entre ellos, es decir, son equidistantes.

Tanto la simetría axial como la central poseen eje de simetría y puede haber más de uno en la misma figura, veamos el siguiente ejemplo:

El cuadrado, al igual que otras figuras geométricas, puede presentar varios ejes de simetría que dividen a la figura en dos partes iguales.

Las simetrías no existen únicamente en el campo de la matemática, como ya vimos hay muchas de ellas en la naturaleza, pero también en otras áreas como:

  • Física.
  • Química.
  • Dibujo.
  • Música.
  • Biología.
Imagen simétrica con respecto a un eje.
¿Sabías qué...?
La flor del girasol además de poseer simetría radial, tiene sus semillas colocadas de acuerdo a la sucesión de Fibonacci.

En la física, se evidencian en varias leyes, producto del análisis matemático, siendo desarrollos de elevada complejidad.

En cuanto a la química, muchas moléculas presentan simetría, que puede ser establecida empíricamente (experimentalmente) o utilizando el álgebra abstracta por ejemplo.

Con respecto al dibujo, las simetrías pueden incluir a las de traslación, rotación, abatimiento, ampliación, bilateral, entre otras.

La música y la matemática tienen un fuerte vínculo desde sus orígenes, siendo la simetría una de las características destacadas en la estructura musical. Los giros de media vuelta, la traslación y la simetría bilateral pueden apreciarse en obras de varios compositores, como el destacado Johann Sebastian Bach.

Por último, en la ciencia que nos explica todo acerca de los seres vivos, la biología, se hallan asombrosas simetrías, pudiéndose clasificar en dos grandes grupos: bilaterales y radiales.

El ser humano, como muchos animales, tiene un eje determinado que permite la formación de un sistema nervioso central. En cambio otros seres vivos, como las estrellas de mar o los girasoles, poseen una simetría radial, con un eje denominado heteropolar.

Los mamíferos poseen simetría bilateral.

Cálculo del ángulo a partir de sus razones trigonométricas

El problema inverso al de calcular las razones trigonométricas de un ángulo conocido, consiste en determinar el valor de dicho ángulo a partir de sus razones trigonométricas.

La resolución de este problema, que tradicionalmente se llevaba a cabo mediante el empleo de las tablas trigonométricas, se ve hoy facilitado por el hecho de que muchas de las modernas calculadoras electrónicas de bolsillo incorporan combinaciones de teclas que permiten obtener el valor del ángulo conocido el seno, el coseno o la tangente del mismo. La denominación tradicional con la que se hace referencia a la medida del ángulo correspondiente al valor de una determinada razón trigonométrica, que se supone conocida, utiliza el término “arco” en lugar de ángulo; es decir, que para cada una de las razones trigonométricas se habla, respectivamente, de arco seno (arc sen), arco coseno (arc cos), arco tangente (arc tg), arco cotangente (arc cotg), arco secante (arc sec) y arco cosecante (arc cosec).

Ejemplo:

a = senα

α = arc sen a

Es decir, si a es el valor numérico del seno de α, es el arco (o el ángulo) que corresponde al valor a del seno.

Observaciones

Arco seno. Como -1 senα 1, arc sen sólo está definido para valores comprendidos entre -1 y 1. Como senα = sen (180º – α), si a = senα , α = arc sen a, pero también 180º – α = arc sen a.
Arco coseno. El arco coseno sólo está definido para valores comprendidos entre -1 y 1. Como cosα = cos (-α) si a = cosα, se tiene α= arc cos a y -α = arc cos a.
Arco tangente. Como tgα = tg (180º + α), si a = tgα , α = arc tg a y 180º + α = arc tg a.

¿Cómo debe interpretarse el valor de la tangente de un ángulo recto?

La tangente de un ángulo resulta de dividir su seno entre su coseno. Si el ángulo mide 90º, la división anterior es 1/0=. Físicamente ninguna magnitud es igual a infinito, así que en cada caso deberá interpretarse el resultado de forma coherente. Por ejemplo, si la pendiente de una rampa fuera infinito debería entenderse que está dispuesta de forma vertical, de modo que todo movimiento sobre ella tiene una componente horizontal nula.

Inclinación

Si la pendiente de una recta es el ángulo que forma dicha recta con el plano horizontal, se define la inclinación como el ángulo entre ésta y el plano vertical de referencia. Si bien el plano horizontal es conocido, aquel que tiene todos sus puntos a la misma altura, los planos verticales pueden ser infinitos, ya que un plano es vertical cuando corta perpendicularmente al horizontal. Por eso es necesario referirse a uno determinado, que puede ser Norte-Sur, la dirección de una calle, etc.

Cálculo de los valores de una proporción matemática

Hallar el valor de un extremo.

1) a/b = c/x

Según la primera propiedad

a · x = b · c

por lo que se tiene que:

O sea, en toda proporción un extremo es igual al producto de los medios divididos por el otro extremo.

Ejemplo
Hallar el valor de un extremo en una proporción continua.
1) a / b = b / x
Según la primera propiedad
a · x = b · b
se pasa a al otro miembro

; o bien:
2) En toda proporción continua un extremo es igual al cuadrado del medio proporcional dividido por el otro extremo.
Ejemplo
Hallar el valor del medio de una proporción.
1) a / x = c / d
De acuerdo con la primera propiedad
a · d = c · x
y el factor c pasa al otro miembro
3) En toda proporción un medio es igual al producto de los extremos dividido por el otro medio.
Ejemplo
Hallar el valor del medio de una proporción continua.
a / x = x / d
De acuerdo con la primera propiedad


En toda proporción continua el medio es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos.

Las matemáticas en la música

Los sonidos emitidos por los instrumentos de cuerda tales como violín, guitarra, piano, etc., resultan de la vibración de las cuerdas que dicho instrumento posee.

Ahora bien, la altura de la nota musical dada depende tanto de la longitud de la cuerda con que se emite, como de la tensión que esta última soporta.

El monocordio de Pitágoras

Ya Pitágoras había descubierto a través de la utilización de un monocordio, que: “Si una cuerda y su tensión permanecen inalteradas, pero se varía su longitud, el período de vibración es proporcional a su longitud”. Supongamos que un fabricante de pianos utilizara, siguiendo a Pitágoras, cuerdas de idéntica estructura pero de diferentes longitudes para lograr la gama de frecuencias de que goza dicho instrumento. En un piano, con notas de frecuencia comprendida entre 27 y 4.096, la cuerda de mayor longitud resultaría 150 veces más larga que la de menor longitud.

Las leyes de Mersenne

Obviamente, ello hubiera impedido la construcción del piano de nuestro ejemplo, de no mediar las dos leyes del matemático francés Mersenne. La primera dice que: “Para cuerdas distintas de la misma longitud e igual tensión, el período de vibración es proporcional a la raíz cuadrada del peso de la cuerda”. El mayor peso se consigue, generalmente, arrollándole en espiral un alambre más delgado. Así se evita la excesiva longitud de las cuerdas asignadas a los graves.

La segunda ley expresa: “Cuando una cuerda y su longitud permanecen inalteradas pero se varía la tensión, la frecuencia de la vibración es proporcional a la raíz cuadrada de la tensión”. Siguiendo esta ley se evita que las cuerdas resulten demasiado cortas en los agudos, aumentando su tensión. La incorporación de marcos de acero a los modernos pianos, ha posibilitado tensar los alambres hasta valores insospechados antiguamente y que rondan las 30 toneladas.

¿Hay proporciones geométricas en un piano?

Desde fines del siglo XVIII existe la escala temperada que divide la octava en 12 semitonos iguales de distancia. Los intervalos entre notas en dicha escala siguen una progresión geométrica de razón 12 2. Así están afinados, por ejemplo, todos los pianos modernos.

Ángulos inscrito y semiinscrito en un arco de circunferencia

La circunferencia es un elemento sumamente importante dentro del estudio de la trigonometría. En ella se forman ciertos ángulos, por ejemplo, el inscrito, semiinscrito y el central.

Ángulo inscrito

Se llama ángulo inscrito en un arco de circunferencia al que tiene su vértice en un punto cualquiera de la circunferencia que contiene el arco y sus lados pasan por los extremos del arco.

Ejemplo

ángulo inscrito; el centro O de la circunferencia pertenece al lado del ángulo

que está inscrito en

y abarca

Ejemplo

ángulo inscrito; O es interior al ángulo

que está inscrito en el arco

que contiene al punto B, o sea

, y abarca

A todo ángulo inscrito le corresponde un ángulo central, cuyos lados son radios que pasan por los extremos del arco.

Ejemplo

 ángulo central correspondiente al ángulo inscrito

Ejemplo

 ángulo central correspondiente al ángulo inscrito

Propiedades del ángulo inscrito

1) Todo ángulo inscrito en un arco de circunferencia vale la mitad del ángulo central que le corresponde.

Ejemplo

 es un ángulo inscrito

es un ángulo central correspondiente
2) Todos los ángulos inscritos en una circunferencia que abarcan un mismo arco son iguales.
Ejemplo

 abarca el

abarca el

 abarca el
3) Los ángulos inscritos que abarcan una semicircunferencia son rectos.
Ejemplo

 es igual a 180° por ser llano

por ser ángulo inscrito que abarca el mismo arco.

Ángulo semiinscrito

Un ángulo semiinscrito en un arco de circunferencia es el que tiene su vértice en uno de los extremos del arco, uno de sus lados pasa por el otro extremo y el otro lado es tangente a la circunferencia, por el vértice.
Ejemplo
 ángulo semiinscrito
A todo ángulo semiinscrito en una circunferencia le corresponde un ángulo central que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y cuyos lados pasan por los extremos del arco.
 es el ángulo central que corresponde a

Propiedades del ángulo semiinscrito
1) Todo ángulo semiinscrito en un arco de circunferencia es igual a la mitad del ángulo central correspondiente.
Ejemplo
 ángulo semiinscrito
ángulo central correspondiente
2) El ángulo inscrito y el ángulo semiinscrito en un mismo arco de circunferencia son iguales.
Ejemplo
ángulo inscrito en
ángulo semiinscrito
y luego

3) Los ángulos semiinscritos en un mismo arco de circunferencia son iguales entre sí.Ejemploángulo semiinscrito en
ángulo semiinscrito en

Como ambos tienen el mismo ángulo central, son iguales, es decir:

Inecuaciones

Las inecuaciones son expresiones matemáticas ampliamente usadas por muchas disciplinas y su solución, a diferencia de la mayoría de las ecuaciones, no comprende valores concretos sino que abarca un conjunto de números.

¿Qué es una inecuación?

Es una expresión matemática que contiene al menos una variable y está caracterizada por incluir signos de desigualdad, de manera que su resultado es un conjunto de valores que la variable puede tomar para que se cumpla la desigualdad planteada.

El conjunto solución de una solución se denomina intervalo.

Símbolos de desigualdad

La desigualdad es una expresión algebraica que sirve para relacionar dos cantidades semejantes mediante signos. Los signos matemáticos más usuales para establecer estas relaciones son:

Símbolo Significado Ejemplo
> Mayor que 15 > 4
< Menor que 3 < 7
≥ Mayor o igual que* a ≥ b
≤ Menor o igual que* b ≤ a

*a y b pueden ser valores iguales o diferentes que permitan hacer cumplir la desigualdad.

Elementos de una inecuación

Algunos elementos son similares entre las ecuaciones y las inecuaciones. Pero se tratan de expresiones algebraicas distintas. Quizá el elemento más resaltante de toda inecuación es el signo de desigualdad. Debido a éste, la solución de dichas expresiones suelen variar un poco de la manera en la que se resuelven las ecuaciones.

  • Miembros: son las partes de una inecuación que están separadas por el signo de la desigualdad. En la imagen el primer miembro corresponde a 4x – 1 mientras que el segundo término corresponde a 2x + 1.
  • Términos: son las expresiones literales o numéricas separadas por los signos más (+) o menos (-). Son términos de la inecuación mostrada: 4x, -1, 2x y 1.
  • Variable: es la letra que representa al conjunto de valores que satisfacen la desigualdad.
  • Grado de la inecuación: se encuentra indicado por el mayor exponente que posea la variable. En el caso del ejemplo mostrado, se trata de una inecuación de primer grado porque su mayor exponente es 1. Si el mayor exponente fuera 2 sería una inecuación de segundo grado y así sucesivamente.
Las inecuaciones pueden presentarse de varias formas como fracción o valor absoluto.

Resolución de ecuaciones de primer grado

El objetivo de la resolución de una inecuación es encontrar todos los valores de la variable para los cuales es válida la expresión. Estos valores pueden pertenecer a uno o más intervalos que pueden graficarse en la recta real.

Al operar con inecuaciones se pueden observar las siguientes reglas:

  1. La inecuación no varía cuando se suma o resta un mismo valor en ambos miembros de la desigualdad.

Por ejemplo:

Si se suma 3 a ambos miembros se obtiene:

Al sumar y restar los términos semejantes se obtiene:

El conjunto solución son todos los valores mayores a 4.

  1. Si se multiplica o divide a ambos miembros de una inecuación por un mismo número positivo, la inecuación que resulta es equivalente a la inicial.

Se multiplican ambos miembros por 2:

Se resuelven las operaciones:

De esta forma, la ecuación

Es equivalente de la ecuación

y puede resolverse a través de la regla 1 explicada anteriormente.

  1. Si se multiplica o divide a ambos miembros de una inecuación por un mismo número negativo, la inecuación que resulta cambiará de sentido en su signo de desigualdad y la misma será equivalente de la inecuación inicial.

Por ejemplo:

Se multiplica ambos miembros de la igualdad por -1:

Se resuelve la multiplicación y se cambia el sentido de la desigualdad:

De manera que

Es una inecuación equivalente de

Y es la misma que se resolvió en el ejemplo de la regla 1.

Las inecuaciones serán válidas para unos valores y no serán válidas para otros.

Problemas

Para resolver problemas con inecuaciones se deben aplicar las reglas explicadas anteriormente de forma tal que la variable quede localiza en un miembro de la inecuación y los términos constantes en otro.

En este caso, para eliminar el -3 del primer miembro se debe sumar a ambos miembro el número 3:

Para eliminar la x del segundo miembro se debe restar –x a ambos miembros de la inecuación:

Se resuelven las operaciones:

Por lo tanto, el resultado de la inecuación 

 Es decir, todos los números menores o iguales a 8.

Se puede comprobar el resultado al seleccionar un número menor igual a 8 y luego reemplazarlo en la inecuación, al final debería obtenerse una desigualdad válida.

Por ejemplo, si se selecciona el 5 que es menor a 8, y se reemplaza en la inecuación se obtiene:

Como el 7 es menor que 10, entonces 5 es parte del conjunto solución de la desigualdad.

En caso de que se consideren a los valores diferentes al conjunto solución, la desigualdad que se obtiene no será lógica.

Por ejemplo, se sabe que la solución de este problema son todos los números menores o iguales a 8. Para comprobar si es cierto, seleccionamos un número mayor a 8, para este caso seleccionaremos el 9.

Se cumplen los mismos pasos anteriores:

Como 15 no es menor a 14, entonces 9 no pertenece al conjunto solución de la inecuación.

Hay problemas que involucran paréntesis y se debe aplicar en lo posible alguna propiedad matemática como la distributiva para eliminarlos.

Se multiplican ambos miembros por 3 para eliminar el denominador de la fracción:

Se dividen ambos miembros entre -10, como es un número negativo, la dirección de la desigualdad cambia:

Se multiplican ambos lados por 5 para eliminar el denominador de la variable:

La expresión anterior también puede escribirse de forma inversa. Sólo se debe intercambiar el signo de la desigualdad:

Para tener una mejor idea del conjunto solución se suele convertir la fracción a decimal, de este modo

Lo que quiere decir que el conjunto solución son todos los números mayores o iguales a 9,5.

Una de las aplicaciones de las inecuaciones es para calcular el costo, ingreso y utilidad de una empresa.

Operaciones básicas de los números naturales y sus propiedades

La matemática está constituida por numerosos tipos de operaciones, sin embargo, existen 4 operaciones básicas que todo individuo debe conocer. Estas operaciones son: la suma, la resta, la multiplicación y la división. A continuación estudiaremos las propiedades de dichas operaciones.

Operaciones básicas de la matemática.
Operaciones básicas de la matemática.

Propiedades de la suma

  • Propiedad asociativa: en esta propiedad, al sumar tres o más números, el resultado es el mismo sin importar el orden en el que se agrupan los sumandos.

{\color{Red} \left ( 2+7 \right )}+3={\color{Red} 9}+3=\mathbf{12}

2+{\color{Red} \left ( 7+3 \right )}=2+{\color{Red} 10}=\mathbf{12}

Así que:

\left ( 2+7 \right )+3=2+\left ( 7+3 \right )=\mathbf{12}

  • Propiedad conmutativa: en esta propiedad, al sumar dos o más números, el resultado es el mismo sin importar el orden de los sumandos, es decir, el orden de los sumandos no altera el resultado.

5+8=\mathbf{13}

8+5=\mathbf{13}

Así que:

5+8=8+5=\mathbf{13}

  • Elemento neutro: el elemento neutro de la suma es el cero. La suma de cualquier número y cero da como resultado el mismo número.

9+0=\mathbf{9}

Símbolos de suma y resta.
Símbolos de suma y resta.

Propiedades de la resta

  • Elemento neutro: el elemento neutro de la resta es el cero. La resta de cualquier número y cero da como resultado el mismo número.

15-0=\mathbf{15}

  • Elemento simétrico: restar un número con su opuesto, es decir, un número con el mismo valor, produce como resultado el elemento neutro de la resta 0.

15-15=\mathbf{0}

Propiedades de la multiplicación

  • Propiedad asociativa: al multiplicar tres o más números, el resultado es el mismo sin importar como se agrupen o efectúen los factores.

{\color{Red} (3\times4 )}\times 5={\color{Red} 12}\times 5=\mathbf{60}

3\times {\color{Red} (4\times 5)}=3\times {\color{Red} 20}=\mathbf{60}

Entones:

(3\times4 )\times5=3\times(4\times5)=\mathbf{60}

  • Propiedad conmutativa: al multiplicar dos números, el resultado es el mismo sin importar el orden de los multiplicandos, es decir, el orden de los factores no altera el producto.

9\times7=\mathbf{63}

7\times9=\mathbf{63}

Entonces:

9\times7=7\times9=\mathbf{63}

  • Elemento neutro: el elemento neutro de la multiplicación es el uno. La multiplicación de cualquier número y uno da como resultado el mismo número.

18\times1=\mathbf{18}

  • Propiedad distributiva: al multiplicar un número por una suma o una resta, se multiplica el número por cada uno de los elementos contenidos en el paréntesis y luego se suma o resta según sea el caso.

5\times (3{\color{Red} +}4)=(5\times3){\color{Red} +}(5\times4)=15+20=\mathbf{35}

6\times(5{\color{Red} -}2)=(6\times5){\color{Red} -}(6\times2)=30-12=\mathbf{18}

Tablas de multiplicar.
Tablas de multiplicar.

Propiedades de la división

  • Cuando se dividen dos números naturales o enteros, el resultado no siempre es otro número natural o entero, es decir, la división no es una operación interna de este tipo de números.

10\div 4=\boldsymbol{\mathbf{}2,5}

  • Cuando se intercambian de lugar el divisor con el dividendo no se obtiene el mismo resultado, es decir, la división no es una operación conmutativa.

10\div 4\neq 4\div 10

Porque:

10\div 4=\boldsymbol{\mathbf{}2,5}

4\div 10=\mathbf{0,4}

  • Como consecuencia de que no existe ningún cociente que multiplicado por cero sea igual al dividendo, no se puede dividir por dicho número.
  • Una división es exacta si el dividendo es igual al divisor por el cociente, y es entera si el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto.

→ División exacta

Donde:

20 = dividendo

4 = divisor

5 = cociente

0 = resto

 

→ División entera

Donde:

19 = dividendo

5 = divisor

3 = cociente

4 = resto

¡A practicar!

  • Resuelve las siguientes operaciones aplicando las propiedades necesarias:

a) 3\times(6+5)

b) 7+0

c) 6\times(3\times2)

d) 12\div 4

e) 24\times1

f) 35-35

g) 10+15

h) (1+2)+3

i) 8\times(4-2)

j) 15\div 3

k) 18\times1

l) 24-0

m) 9+(8+5)

n) 25\div 4

o) (8\times1)\times4

 

Soluciones

a) 33 | b) 7 | c) 36 | d) 3 | e) 24 | f) 0 | g) 25 | h) 6 | i) 16 | j) 5 | k) 18 | l) 24 | m) 22 | n) 6, resto = 1 | o) 32

 

Números romanos (sistemas de numeración)

Antes de implementarse la numeración arábiga existieron cientos de sistemas de numeración desarrollados por diferentes poblaciones. A pesar de que actualmente la mayoría de estos sistemas han sido eliminados, los números romanos aún están en vigencia y son utilizados en casos esenciales.

SISTEMA DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

La numeración romana es un sistema basado en el uso de letras mayúsculas, las cuales poseen un valor designado. Este sistema fue implementado por el Imperio romano y los números se representan mediante combinaciones de letras y métodos de adición y sustracción para la creación de cifras.

Los primeros pobladores en utilizar el sistema de numeración romano fueron los etruscos, una comunidad que habitó en Italia entre los siglos VII y IV antes de Cristo. Posteriormente, los romanos comenzaron a implementar este sistema mediante métodos de adición y sustracción.

La numeración romana se representa mediante letras mayúsculas.

Usos de los números romanos

Actualmente, los números romanos son poco utilizados debido a su dificultad en cuanto a lectura y escritura. Sin embargo, aún son utilizados en los siguientes casos:

  • En los nombres de personas de la realeza como reyes, emperadores y papas.

Ejemplo

El papa Juan Pablo II

Actualmente los números romanos son utilizados para designar nombres de personas de la realeza, como se observa en el monumento de la Puerta de Alcalá en Madrid, España.
  • En los números de capítulos y tomos de un libro u obra literaria.

Ejemplo

Capítulo II tomo I

  • En los actos y escenas de una representación teatral.

Ejemplo

Acto número V

  • En la designación de los nombres de congresos, olimpiadas, certámenes, etc.

Ejemplo

IX Congreso Nacional

Reglas de la numeración romana

  1. La representación de la numeración romana se basa en las siguientes siete letras mayúsculas:

I → 1

V → 5

X → 10

L → 50

C → 100

D → 500

M → 1.000

  1. Si a la derecha de un número romano dentro de una cifra se escribe otro número igual o menor se aplica el método de adición y se suma su valor a la cifra anterior.

Ejemplo

XVI → 16

XVII → 17

  1. El método de sustracción se aplica en los siguientes casos:
  • Cuando la I va a la izquierda de la V → IV = 4
  • Cuando la I va a la izquierda de la X → IX = 9
  • Cuando la X va a la izquierda de la L → XL = 40
  • Cuando la X va a la izquierda de la C → XC = 90
  • Cuando la C va a la izquierda de la D → CD = 400
  • Cuando la C va a la izquierda de la M → CM = 900
  1. Ningún número romano puede repetirse más de tres veces dentro de una misma cifra.
  1. Las letras V, L y D no pueden repetirse ya que otras letras representan su valor duplicado.
  1. Al colocar una línea horizontal sobre un número romano, este multiplica su valor por 1.000 tantas veces como líneas tenga el mismo.

Ejemplo

\overline{M} → 1.000.000

Números romanos Equivalencia en números arábigos Escritura en letras
I 1 Uno
II 2 Dos
III 3 Tres
IV 4 Cuatro
V 5 Cinco
VI 6 Seis
VII 7 Siete
VIII 8 Ocho
IX 9 Nueve
X 10 Diez
XI 11 Once
XII 12 Doce
XIII 13 Trece
XIV 14 Catorce
XV 15 Quince
XVI 16 Dieciseis
XVII 17 Diecisiete
XVIII 18 Dieciocho
XIX 19 Diecinueve
XX 20 Veinte
XXI 21 Veintiuno
XXII 22 Veintidos
XXIII 23 Veintitres
XXIV 24 Veinticuatro
XXV 25 Veinticinco
XVI 26 Veintiseis
XVII 27 Veintisiete
XVIII 28 Veintiocho
XXIX 29 Veintinueve
XXX 30 Treinta
XXXI 31 Treinta y uno
XXXII 32 Treinta y dos
XXXIII 33 Treinta y tres
XXXIV 34 Treinta y cuatro
XXXV 35 Treinta y cinco
XXXVI 36 Treinta y seis
XXXVII 37 Treinta y siete
XXXVIII 38 Treinta y ocho
XXXIX 39 Treinta y nueve
XL 40 Cuarenta
XLI 41 Cuarenta y uno
XLII 42 Cuarenta y dos
XLIII 43 Cuarenta y tres
XLIV 44 Cuarenta y cuatro
XLV 45 Cuarenta y cinco
XLVI 46 Cuarenta y seis
XLVII 47 Cuarenta y siete
XLVIII 48 Cuarenta y ocho
XLIX 49 Cuarenta y nueve
L 50 Cincuenta
LI 51 Cincuenta y uno
LII 52 Cincuenta y dos
LIII 53 Cincuenta y tres
LIV 54 Cincuenta y cuatro
LV 55 Cincuenta y cinco
LVI 56 Cincuenta y seis
LVII 57 Cincuenta y siete
LVIII 58 Cincuenta y ocho
LVIX 59 Cincuenta y nueve
LX 60 Sesenta
LXI 61 Sesenta y uno
LXII 62 Sesenta y dos
LXIII 63 Sesenta y tres
LXIV 64 Sesenta y cuatro
LXV 65 Sesenta y cinco
LXVI 66 Sesenta y seis
LXVII 67 Sesenta y siete
LXVIII 68 Sesenta y ocho
LXIX 69 Sesenta y nueve
LXX 70 Setenta
LXXI 71 Setenta y uno
LXXII 72 Setenta y dos
LXXIII 73 Setenta y tres
LXXIV 74 Setenta y cuatro
LXXV 75 Setenta y cinco
LXXVI 76 Setenta y seis
LXXVII 77 Setenta y siete
LXXVIII 78 Setenta y ocho
LXXIX 79 Setenta y nueve
LXXX 80 Ochenta
LXXXI 81 Ochenta y uno
LXXXII 82 Ochenta y dos
LXXXIII 83 Ochenta y tres
LXXXIV 84 Ochenta y cuatro
LXXXV 85 Ochenta y cinco
LXXXVI 86 Ochenta y seis
LXXXVII 87 Ochenta y siete
LXXXVIII 88 Ochenta y ocho
LXXXIX 89 Ochenta y nueve
XC 90 Noventa
XCI 91 Noventa y uno
XCII 92 Noventa y dos
XCIII 93 Noventa y tres
XCIV 94 Noventa y cuatro
XCV 95 Noventa y cinco
XCVI 96 Noventa y seis
XCVII 97 Noventa y siete
XCVIII 98 Noventa y ocho
XCIX 99 Noventa y nueve
C 100 Cien
CC 200 Doscientos
CCC 300 Trescientos
CD 400 Cuatrocientos
D 500 Quinientos
DC 600 Seiscientos
DCC 700 Setecientos
DCCC 800 Ochocientos
CM 900 Novecientos
M 1.000 Mil
¿Sabías qué...?
Actualmente, muchos diseñadores utilizan números romanos para la creación de piezas decorativas como relojes.

Sistemas de ecuaciones

En matemáticas y en otras disciplinas, el empleo de ecuaciones para calcular variables es frecuente y de gran ayuda. El conjunto de dos o más ecuaciones se conoce como sistema de ecuaciones, y según sea el caso, puede tener o no solución.

¿Qué es una ecuación?

Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones que contienen una o más variables. Se encuentran formadas por dos miembros separados por el signo igual.

El símbolo igual “=” fue inventado por Robert Recorde en 1557. Su forma hace alusión a dos rectas paralelas del mismo tamaño que representan la igualdad.

Estas expresiones matemáticas presentan valores conocidos o datos, además de elementos desconocidos denominados incógnitas y que son usualmente representados por letras del alfabeto.

El conjunto de valores que satisfacen a una ecuación se denomina solución. De este modo, una ecuación puede también definirse como una igualdad condicionada en la que sólo algunos valores de las incógnitas la hacen cierta.

Un ejemplo es la siguiente ecuación:

2x-1=3

La solución de la ecuación es 2, ya que es el único valor que puede tomar la incógnita para hacer cumplir la igualdad:

Cuando una ecuación incluye únicamente sumas y restas con una variable elevada a la primera potencia (sin presentar productos entre éstas) se denomina ecuación lineal.
Desde la Antigüedad

Sorprendentemente, muchos fundamentos básicos del álgebra que hoy en día usamos ya eran conocidos en el Antiguo Egipto y eran empleados para calcular problemas matemáticos en los cuales existía un valor desconocido.

El conocimiento avanzado de los egipcios en las matemáticas les permitió realizar cálculos que otras culturas desconocían.

Ecuaciones lineales

Las ecuaciones matemáticas pueden ser tan diversas como los números mismos. Se clasifican de acuerdo al máximo exponente al cual se encuentre elevada la incógnita o variable en lo que se denomina grado de la ecuación. Por ejemplo, 2x-3=4-x es una ecuación de primer grado porque el máximo exponente al cual se encuentra elevada la es 1. Por otro lado, una ecuación del tipo: 5x²-3x+1=0 es de segundo grado, por ser 2 el máximo exponente de la incógnita.

Adicionalmente, existen ecuaciones que incluyen funciones matemáticas como las trigonométricas, logarítmicas y exponenciales, entre otras. En estos casos se utiliza una metodología diferente para su resolución de acuerdo a las características de las funciones involucradas.

Las ecuaciones de segundo grado presentan la forma ax2 + bx + c y pueden resolverse con la fórmula mostrada.

Sistema de ecuación

Es un conjunto formado por dos o más ecuaciones que contienen varias incógnitas. Un sistema puede tener o no solución, en caso de tenerla consistirá en el valor o conjunto de valores que al ser sustituidos en las ecuaciones del sistema cumplen con la igualdad del sistema.

Las ecuaciones con una sola incógnita se resuelven a través de despejes. Para ecuaciones con dos o más incógnitas se recurre a los sistemas de ecuaciones.

Clasificación de los sistemas de ecuaciones

Los sistemas de ecuaciones pueden ser clasificados en compatibles o incompatibles de acuerdo a si tienen o no solución.

  • Sistemas compatibles: son aquellos que admiten solución, se subdividen en sistemas compatibles determinados y sistemas compatibles indeterminados. Los primeros se caracterizan por presentar un conjunto finito de valores que satisfacen la igualdad del sistema, es decir, tienen una sola solución. Los segundos por su parte, presentan un número infinito de soluciones.
  • Sistemas incompatibles: son aquellos que no admiten ninguna solución posible.

Métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales

Como se explicó anteriormente, las ecuaciones pueden presentar varios tipos de grado e incluir muchas funciones matemáticas. En este caso, el artículo se centrará en explicar los métodos principales para resolver sistemas de ecuaciones de primer grado, específicamente en ecuaciones lineales.

Los tres métodos más conocidos para su resolución son:

  • Método de reducción
  • Método de sustitución
  • Método de igualación

Sin embargo, existen otros métodos que hacen uso de matrices para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Método de reducción

A través de este método se trata de cancelar una de las variables para calcular la otra por medio de despejes. Para lograrlo se multiplica una de las ecuaciones de manera que al sumar todos los términos semejantes de todas las ecuaciones se elimine una de las incógnitas.

Por ejemplo:

Calcule la solución del siguiente sistema de ecuaciones por el método de reducción.

En la primera ecuación el coeficiente de la variable es 2, mientras que en la segunda es 1. Una forma de eliminar a la variable es multiplicar la segunda ecuación por -2, de esta forma al sumar los términos semejantes que incluyen dicha variable darán como resultado al número cero y de esta forma se cancela la incógnita.

De esta forma el sistema de ecuaciones queda:

Se suman los términos semejantes

De esta forma, se tiene la ecuación:

Con el valor de conocido se sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema y se despeja . Para este caso se seleccionará la primera ecuación del sistema:

De esta forma, el conjunto solución del sistema es x= -1 y y=2 .

En el caso de sistemas con una sola solución, si se sustituyen los valores solución en las ecuaciones se cumple la igualdad en todos los casos.

Método de sustitución

En este método se busca despejar una variable en una ecuación para luego sustituirla en otra de manera de reducir el número de incógnitas.

Por ejemplo:

Calcule la solución del siguiente sistema de ecuaciones por el método de sustitución.

Se despeja cualquiera de las variables de cualquiera de las dos ecuaciones. En este caso se despejará la variable de la primera ecuación:

Se sustituye la variable despejada en la otra ecuación. En este punto, se debe tener cuidado de no sustituir la ecuación despejada en la misma ecuación de la cual se obtuvo.

Se resuelven los cálculos hasta despejar la variable

Se sustituye la incógnita y en cualquiera de las ecuaciones iniciales y se calcula el valor de x. En este método como se despejó dicha incógnita en el primer paso, se puede sustituir directamente en dicha ecuación:

Método de igualación

Este método consiste en despejar una misma incógnita de dos ecuaciones y luego igualarlas para calcular el valor de otra incógnita.

Por ejemplo:

Calcule la solución del siguiente sistema de ecuaciones por el método de igualación.

Se despeja en ambas ecuaciones:

-Primera ecuación

-Segunda ecuación

Se igualan ambas ecuaciones despejadas:

Se despeja el valor de y:

Se sustituye el valor de en cualquiera de las ecuaciones, preferiblemente en cualquiera de las ecuaciones ya despejadas.

Operaciones con números decimales

En las matemáticas hay ocasiones en las que se desea hablar de cantidades de forma más precisa, por lo que se recurre a los números decimales, estos números cuentan con una forma propia de aplicar las operaciones básicas como la suma, resta, multiplicación y división.

¿Qué son los números decimales?

Son valores que sirven para expresar números racionales e irracionales. Todo número decimal está formado por una parte entera y una parte decimal. En este sentido, un número que pertenece al conjunto de los números reales, se representa de forma decimal de la siguiente manera:

d = a, a1, a2…an

Dónde:

a: es un número entero cualquiera.

a, a1, a2…an: representan los decimales donde se cumple para cada uno de ellos que 0 ≤ ai ≤ 9

En algunos países como Estados Unidos se usa el símbolo del punto para expresar la coma decimal.

Cifras decimales

Para leer e interpretar el valor posicional de números decimales se debe considerar la ubicación de los decimales.

0,1 Décima
0,01 Centésima
0,001 Milésima
0,0001 Diezmilésima
0,00001 Cienmilésima
0,000001 Millonésima

De esta forma, el número 132,486579 se puede descomponer en sus unidades de la siguiente forma:

Centena (C) Decena (D) Unidad (U) Coma decimal Décima (d) Centésima (c) Milésima (m) Diezmilésima Cienmilésima Millonésima
1 3 2 , 4 8 6 5 7 9

De este modo, 132 representa la parte decimal y resto de los números corresponden a su parte decimal.

Operaciones con decimales

  • Suma

Para realizar sumas de números decimales se deben colocar los números uno debajo del otro de forma tal que coincidan cada una de sus unidades. En caso de ser necesario se completa con 0 las unidades que no aparezcan reflejadas en la operación. Una vez hecho esto, se realiza a suma de forma convencional y se ubica la coma decimal en su respectivo lugar.

Por ejemplo:

– Resolver 2,785 + 5,14

Recordemos las unidades de dichos números:

Se colocan los números uno de bajo del otro, como 5,14 no tiene milésimas se coloca un 0 en la columna correspondiente a dicho número:

Se resuelve la suma de forma convencional y se coloca la coma decimal en su respectiva columna:

De manera que el resultado de 2,785 + 5,14 es igual a 7,925.

El número pi (π) es un número decimal y es el resultado de dividir la longitud de cualquier circunferencia entre su radio.

  • Resta

Se resuelve de forma similar a la suma. Es decir se ubican los números uno debajo del otro de manera que coincidan sus unidades correspondientes y luego se resuelve la operación de sustracción de forma convencional. Al final se coloca la coma en su columna respectiva.

Por ejemplo:

-Resuelva 8,513 − 4,372

Recordemos las unidades de dichos números:

Se colocan los números uno debajo del otro de acuerdo a su unidad y se resuelve la resta:

En este caso no se completó con 0 debido a que ambos números tenían la misma cantidad de cifras decimales.

El resultado de 8,513 − 4,372 es igual a 4,141.

  • Multiplicación

En las multiplicaciones puede haber cifras decimales en cualquiera de los dos factores, o incluso en ambos. Las multiplicaciones se resuelven de manera convencional, la única diferencia es que el número de cifras decimales de los factores corresponderá a las cifras decimales del resultado.

Por ejemplo:

-Resolver 635 x 2,5

Se resuelve la multiplicación de manera convencional sin considerar por el momento la coma:

El paso siguiente es colocar la coma en el resultado de manera tal que tenga el mismo número de decimales que los dos factores. En este caso los factores son 635 y 2,5:

635 → no tiene cifras decimales.

2,5 → tiene una sola cifra decimal.

Como 635 no tiene cifras decimales y 2,5 tiene una sola cifra decimal, entonces el resultado deberá tener una cifra decimal, de manera que el resultado de la multiplicación es 1.587,5:

Otra forma de saber la ubicación de la coma es mover la coma a partir de la última cifra de resultado tantos espacios como cifras significativas tengan los factores. De la siguiente forma:

Otro ejemplo:

-Resuelva 1,45 x 3,78

Se resuelve con el mismo procedimiento anterior:

El factor 1,45 tiene 2 cifras decimales y el factor 3,78 también tiene 2 cifras decimales. De manera que el número total de cifras decimales de los dos factores es 4. Es decir, el resultado deberá tener cuatro cifras decimales, por lo tanto será 5,8110:

Las cifras decimales que terminan en cero se pueden omitir, por lo tanto el 5,8110 es lo mismo que 5,811.

Multiplicación por la unidad seguida de cero

Cuando se multiplican decimales por la unidad seguida de cero, el resultado será igual a las mismas cifras que componen del número decimal. La diferencia es que la coma se moverá a la derecha tantos espacios como el número de ceros del número entero.

1,55 x 10 = 15,5

En caso de que el número de ceros de la unidad sea mayor al número de decimales, se completa con ceros has cumplir con los espacios.

2,479 x 10.000 = 24.790,0

El mismo resultado se obtiene si se multiplican dichos factores de la forma convencional explicada anteriormente.

  • División

Puede ser de tres formas diferentes: dividendo decimal y divisor entero, dividendo entero y divisor decimal, dividendo decimal y divisor decimal.

Dividendo decimal y divisor entero: se realiza la división como si fueran ambos números enteros, la diferencia, es que se coloca la coma al momento de bajar la primera cifra decimal del dividendo.

Por ejemplo:

-Resuelva 2,84 : 2

Se resuelve la división como si se tratase de divisiones con números enteros:

Como el 8 es la primera cifra decimal del dividendo, se coloca la coma al momento de bajar dicha cifra mientras se resuelve la división.

El resultado de 2,84 : 2 es 1,42

Dividendo entero y divisor decimal: en este caso se suprime la coma del divisor y se colocan tantos ceros al dividendo como cifras decimales tuviera el divisor inicialmente.

Por ejemplo:

Resolver 896 : 3,2

Se suprime la coma del divisor:

3,2 → 32

Como 3,2 tiene una sola cifra decimal, se agrega un cero al dividendo

896 → 8.960

De manera que la división quedaría 8.960 : 32 y se resuelve como una división convencional sin decimales:

 De esta manera el resultado de 896 : 3,2 es 280

Dividendo decimal y divisor decimal: en este caso se suprime la coma del divisor y se mueve la coma del dividendo hacia la derecha tantos espacios como cifras decimales tenga el divisor.

Por ejemplo:

-Resuelva 4,340 : 3,5

Se elimina la coma del divisor:

3,5 → 35

Se mueve la coma del dividendo tantos espacios a la derecha como cifras decimales tenga el divisor. En este caso, como el divisor es 3,5 tiene una cifra decimal por lo tanto, la coma del dividendo se debe mover un espacio a la derecha:

4,340 → 43,40

De esta manera la división a resolver quedaría 43,40 : 35, es del primer tipo que se explicó anteriormente (dividendo decimal y divisor entero) y se resuelve de la siguiente forma:

De manera que el resultado de 4,240 : 3,5 es 1,24

En caso de ser necesario, se pueden agregar ceros al divisor de la misma forma que se hace en las divisiones sin decimales.