CAPÍTULO 6 / TEMA 1

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE DATOS

Habrás observado que muchas veces la información en los medios de comunicación está acompañada por una variedad de gráficos. Los gráficos son representaciones visuales de un conjunto de datos; por ejemplo, la cantidad de habitantes de cada ciudad del país o el porcentaje del crecimiento interanual de una economía. Son muy efectivos para mostrar relaciones entre diferentes valores y permiten comprender fácilmente distintas situaciones de la realidad.

Es frecuente encontrar gráficos en los análisis estadísticos que refuercen de forma visual la información necesaria. Estas representaciones se adaptan en cada caso a aquello que se busca transmitir y al objetivo de la investigación. Dichos resultados se presentan de forma rápida, directa, atractiva y comprensible para un conjunto amplio de personas.

LOS DATOS Y LAS GRÁFICAS

Un dato no es más que una información que permite describir alguna característica de una situación de estudio. Este puede ser un número, una palabra o cualquier símbolo. Si un dato describe una cualidad se dice que es cualitativo, pero si señala una cantidad se llama cuantitativo. Por ejemplo:

Datos cualitativos

Datos cuantitativos

– Profesión: {médico, policía, ingeniero}

– Color de ojos: {negro, azul, verde, marrón}

– Estado civil: {soltero, casado, viudo}

– Edad: {10 años, 11 años, 13 años}

– Peso: {40 kg, 37 kg, 41 kg}

– Cantidad de hermanos: {1, 3, 4}

Cuando tenemos una cantidad numerosa de datos recurrimos a las tablas. Allí, organizamos en filas y columnas los valores obtenidos y luego los clasificamos de acuerdo a los objetivos de la investigación. Posteriormente graficamos la información, pues estas gráficas brindan una mayor rapidez en la comprensión de los datos porque los presentan de forma clara, organizada y llamativa.

– Ejemplo:

30 personas fueron encuestadas acerca de cuál era su fruta favorita. Las respuestas obtenidas fueron las siguientes:

Manzana	Pera	Ananá	Ananá	Naranja	Naranja
Banana	Fresa	Naranja	Manzana	Naranja	Manzana
Naranja	Durazno	Manzana	Ananá	Naranja	Pera
Banana	Fresa	Banana	Fresa	Manzana	Fresa
Ananá	Naranja	Manzana	Ananá	Naranja	Banana

Con estos datos podemos realizar una tabla que muestre la frecuencia o al cantidad de veces que cada fruta se repite.

Fruta	Frecuencia
Manzana	6
Banana	4
Naranja	8
Pera	2
Ananá	5
Fresa	4
Durazno	1
Total	30

Si bien los datos se ven claramente en esta tabla, podemos graficarlos para que sea aún más sencillo visualizar cuáles son las frutas más o menos preferidas por este grupo de personas.

Elementos de los gráficos

Existen diferentes tipos de gráficos y la selección dependerá de la información que se quiera mostrar, sin embargo todos los gráficos tienen algunos elementos en común:

Título: todo gráfico debe tener un título para saber rápidamente de qué se trata. El mismo se ubica en la parte superior de la gráfica, debe ser claro, breve e informar sobre el contenido del cuadro.
Cuerpo: el cuerpo varía en función al estilo de gráfico que se seleccione, entre los más usados se encuentran el lineal, el de barras y el circular.

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TIPOS DE GRÁFICOS

Gráficos de barras

En este tipo de gráficos se construyen barras cuyas longitudes permiten comparar las categorías, observar los diferentes valores y obtener información con respecto a lapsos de tiempo. Las variables estudiadas se colocan en el eje horizontal y las frecuencias se colocan en el eje vertical, luego ubicamos los puntos y trazamos barras verticales para cada variable.

– Ejemplo:

Esta gráfica muestra la cantidad de hombres y mujeres en cada grado de un colegio.

Con esta gráfica vemos de forma muy clara la cantidad de hombres y mujeres que hay en cada grado. Nota que las barras de colores azul corresponden a los hombres y las barras de color naranja corresponden a las mujeres.

De acuerdo a la tabla, el grado con mayor cantidad de hombres es 6º (20), y el grado con menor cantidad de hombres es 1º (9).

¡Es tu turno!

Realiza la tabla de datos de acuerdo a la gráfica anterior.

Solución

Grado	Hombres	Mujeres	Total
1º	9	11	20
2º	10	15	25
3º	14	14	28
4º	15	17	32
5º	14	10	24
6º	20	11	31
7º	18	15	33
Total	100	93	193

¿Sabías qué?

Los gráficos de barras pueden ser verticales, horizontales, agrupados o apilados.

Gráficos lineales

Los gráficos lineales, también llamados gráficos poligonales, se representan en un plano (dos dimensiones) mediante el uso de un sistema de coordenadas. Para construirlos basta con ubicar los puntos en el plano y luego unirlos por medio de líneas.

– Ejemplo:

Con los mismos datos del ejemplo anterior en el que realizamos un gráfico de barras podemos dibujar un gráfico lineal.

Gráficos circulares

También son conocidos como gráficos de torta o pastel. Se usan para comparar porcentajes con respecto a un total de datos. Son útiles cuando deseas mostrar una sola serie de datos, por ejemplo, el sexo de la población. Para hallar los porcentajes parciales se dividen los 360° del círculo de acuerdo a los valores dados.

– Ejemplo:

La siguiente tabla muestra la cantidad de huéspedes en un hotel según su nacionalidad:

Nacionalidad	Cantidad de turistas
Colombiana	12
Argentina	23
Chilena	5
Venezolana	15
Italiana	18
Total	73

Es normal colocar los valores de porcentajes en los gráficos de este tipo, para calcularlos solo dividimos la cantidad de cada nacionalidad entre el total de turista. Luego multiplicamos por 100. La suma de todos los porcentajes debe ser igual a 100 %.

Nacionalidad	Cantidad de turistas	Porcentaje
Colombiana	12	(12/73) × 100 = 16,44 %
Argentina	23	(23/73) × 100 = 31,50 %
Chilena	5	(5/73) × 100 = 6,85 %
Venezolana	15	(15/73) × 100 = 20,55 %
Italiana	18	(18/73) × 100 = 24,66 %
Total	73	100 %

Ahora, para ilustrar los datos en un círculo multiplicamos la fracción de cada nacionalidad por 360°. La suma de todos los grados debe ser igual a 360°. Por conveniencia redondeamos a la unidad cada producto.

Nacionalidad	Cantidad de turistas	Grados
Colombiana	12	(12/73) × 360° = 59,18° ≈ 59°
Argentina	23	(23/73) × 360° = 113,42° ≈ 113°
Chilena	5	(5/73) × 360° = 24,66° ≈ 25°
Venezolana	15	(15/73) × 360° = 73,97° ≈ 74°
Italiana	18	(18/73) × 360° = 88,77° ≈ 89°
Total	73	360°

De ese modo, tras dibujar la circunferencia, medimos con el transportador los grados correspondientes a cada porción y anotamos el porcentaje redondeado que lo representa.

¿Qué es una muestra?

Se denomina población al conjunto de elementos estudiados, es decir, al total. Una muestra es una parte de esa población, es decir, es una porción seleccionada que resulta representativa del conjunto. Se toman muestras cuando la población que se quiere estudiar es muy amplia e inabarcable, entonces se decide realizar una selección estratégica que recorte la cantidad de individuos a estudiar y que mantengan los rasgos representativos de toda la población analizada.

IMPORTANCIA DE REPRESENTAR DATOS EN GRÁFICOS

La estadística, entre otras cosas, se encarga de recopilar, analizar y sistematizar datos. Luego, debe comunicar la información generada en este proceso. La presentación de datos es uno de los aspectos mayormente utilizados en la estadística descriptiva. Los gráficos son muy importantes ya que posibilitan un abordaje dinámico, claro y entretenido.

En este sentido, los gráficos son una gran herramienta ya que permiten:

Registrar datos de manera clara y concreta.
Comunicar la información en forma sencilla.
Comprender la estructura del conjunto de datos.

La cartografía tiene como objetivo la concepción, redacción y realización de los mapas, es decir, la representación plana y simplificada de toda o de una parte de la superficie terrestre. Los mapas estadísticos o cartogramas son aquellos que presentan datos por regiones o zonas. Al igual que en un mapa topográfico, los colores y las tramas indican áreas que están en el mismo rango de valores.

¡A practicar!

Observa los gráficos y responde:

1. Marta vendió magdalenas durante toda la semana. La cantidad de magdalenas vendidas se muestra en el siguiente gráfico:

¿Cuántas magdalenas vendió Marta el lunes?
Solución
Vendió 10 magdalenas.

¿Cuál día vendió más magdalenas?
Solución
El martes.

¿Cuál día vendió menos magdalenas?
Solución
El domingo.

¿Cuántas magdalenas vendió durante la semana?
Solución
Vendió 68 magdalenas durante la semana.

¿Cuál día vendió solo 8 magdalenas?
Solución
El viernes.

2. Se hizo una encuesta sobre el deporte favorito de un grupo de estudiantes. Los resultados se muestran en este gráfico.

¿Cuál es el deporte favorito de la mayoría de encuestados?
Solución
El fútbol.

¿Qué porcentaje de encuestados prefiere el béisbol?
Solución
El 14 %.

¿Qué porcentaje de encuestados prefiere el baloncesto?
Solución
El 23 %.

¿Cuál es el deporte menos preferido por los encuestados?
Solución
El béisbol.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Gráficos estadísticos”

Con el siguiente artículo podrás ampliar tu conocimiento sobre tipos de gráficos estadísticos y sus funciones.

VER

Artículo “Lectura de gráficos”

En el siguiente artículo encontrarás ejemplos claros y explicados para abordar la interpretación y lectura de gráficos.

VER

CAPÍTULO 5 / TEMA 7 (REVISIÓN)

GEOMETRÍA | ¿QUÉ APRENDIMOS?

CUADRÍCULA

Desde la elaboración de planos y dibujos a escalas en hojas cuadriculadas, hasta la localización de estrellas en la galaxia, la unión de rectas perpendiculares nos ayuda a distinguir la posición de cualquier objeto. Una cuadrícula es un sistema de coordenadas compuesto por líneas perpendiculares verticales y horizontales, que funciona como sistema de referencias y permite ubicar elementos en un espacio definido. El conjunto de líneas horizontales y verticales, también llamadas ejes, suelen nombrarse con números y letras.

TIPOS DE LÍNEAS

Las líneas son un conjunto de puntos ubicados uno junto al otro que generan un trazo continuo. Si los puntos están orientados en una misma dirección, entonces, forman una línea recta. Las líneas rectas son continuas e infinitas, no tienen ni principio ni final y se pueden clasificar según la forma en que interaccionan entre ellas en rectas paralelas (aquellas que nunca se cortan), rectas secantes perpendiculares (aquellas que se cortan formando ángulos rectos) y rectas secantes oblicuas (aquellas que se cortan sin formar ángulos rectos).

Un ejemplo de líneas rectas paralelas son las vías de un ferrocarril. Cuando se cortan con otras forman líneas secantes.

LOS ÁNGULOS Y SUS TIPOS

Un ángulo es una porción del plano delimitado por dos semirrectas. Cada semirrecta es uno de los lados del ángulo y coinciden en un punto de origen al que se denomina vértice. A la distancia entre lado y lado del ángulo se la denomina amplitud, y esta se mide en grados (°). Si queremos medir o trazar un ángulo es indispensable el uso del transportador. Según su amplitud, un ángulo puede ser convexo, cóncavo, nulo, completo, llano, agudo, recto u obtuso.

Las escuadras nos permiten estimar ángulos, pues tienen un ángulo de 90° y dos ángulos de 45°.

LOS TRIÁNGULOS

Los triángulos son polígonos regulares cerrados de tres lados, tres ángulos y tres vértices. Los ángulos interiores de un triángulo siempre suman 180° y los ángulos exteriores suman 360°. Son varios los criterios de clasificación que permiten agrupar a los triángulos de acuerdo a ciertas particularidades, los más utilizados son: la medida de sus lados y la medida de sus ángulos. Según la medida de sus lados, los triángulos se clasifican en equiláteros, isósceles y escalenos; mientras que, según la medida de sus ángulos se clasifican en acutángulo, obtusángulo y rectángulo.

CUADRILÁTEROS

Los cuadriláteros tienen cuatro lados, cuatro ángulos internos, cuatro ángulos externos, cuatro vértices y dos diagonales. Estos se clasifican en paralelogramos, trapecios y trapezoides. Los paralelogramos son aquellos cuadriláteros que poseen dos pares de lados opuestos paralelos y que comparten algunas propiedades específicas; los trapecios, por su parte, son figuras que presentan un par de lados opuestos paralelos a los que se suele denominar base; y los trapezoides son aquellos cuyos lados no son paralelos.

POLIEDROS

Los poliedros son cuerpos geométricos tridimensionales con caras planas formados por polígonos. Cada una de las caras de un poliedro es un polígono (triángulo, cuadrado, rombo, etc.). Los poliedros pueden ser regulares cuando sus caras están compuestas por el mismo polígono regular; o irregulares si sus caras presentan diferentes formas. En estos poliedros el número de caras no presenta límites como ocurre con los poliedros regulares y se dividen en prismas (tienen dos bases) y pirámides (tienen una sola base).

CAPÍTULO 5 / TEMA 3

LOS ÁNGULOS Y SUS TIPOS

Es posible que identifiques diversas figuras geométricas al observar el mundo que te rodea y los objetos presentes en él. La mayoría de estas figuras están compuestas por semirrectas unidas por un punto en común, es decir, un vértice. Esa porción del plano delimitada por dos semirrectas que nacen de un mismo punto se conoce como ángulo y según su medida puede ser de distintos tipos.

¿qué es un ángulo?

Es una porción del plano delimitada por dos semirrectas, las cuales también son llamadas lados. Ambos lados coinciden en un punto de origen o vértice. La abertura de un lado con respecto al otro es la que denominamos ángulo.

VER INFOGRAFÍA

¿Cómo nombrar ángulos?

Con una letra griega, por ejemplo α y se lee “ángulo alpha”. En esta imagen vemos un ángulo α = 52,13°.

Con los puntos correspondientes a las semirrectas que lo constituyen y al vértice. Estos puntos se nombran mediante letras, por ejemplo, en la imagen vemos el ángulo AOB.

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS

Los ángulos se clasificar según tres criterios diferentes: su medida, su posición y la suma de sus medidas con otros ángulos.

¿Sabías qué?

Los ángulos se miden en grados (°).

Ángulos según su medida

Ángulo completo: tiene una amplitud de 360°, significa que es un giro completo.
Ángulo nulo: tiene una amplitud de 0°.
Ángulo llano: tiene una amplitud de 180°, podrás verlo representado como una línea recta.
Ángulo cóncavo: tiene una amplitud mayor que 180° pero menor que 360°.
Ángulo convexo: tiene una amplitud menor que 180°.

Dentro de los ángulos convexos encontramos otras clasificaciones:

Ángulos rectos: miden 90°.
Ángulos obtusos: miden más de 90°.
Ángulos agudos: miden menos de 90°.

Ángulos según su posición

Según su posición los ángulos pueden ser:

Adyacentes: son aquellos que tienen el vértice y un lado en común. Al sumar las amplitudes de cada uno de ellos el resultado será 180°.
Consecutivos: son aquellos que comparten tanto el vértice como uno de sus lados.
Opuestos por el vértice: son aquellos que solo tienen el vértice en común.

Ángulos según la suma de su medida con otros ángulos

Los ángulos también pueden clasificarse según el resultado obtenido al sumar la medida de la amplitud de un ángulo con la de otro ángulo, así sabrás que:

Un ángulo es suplementario con otro si la suma de sus amplitudes da como resultado un ángulo de 180°.
Un ángulo es complementario con otro si la suma de sus amplitudes da como resultado un ángulo de 90°.

MEDICIÓN DE ÁNGULOS

Por lo general, la medición de los ángulos se realiza por medio de un transportador.

¿Qué es un transportador?

Es un instrumento geométrico que puede tener una forma circular o semicircular y se utiliza para medir gráficamente un ángulo así como para construirlo. Cuenta con graduaciones o marcas iguales que sirven de escala para identificar la medida del ángulo. Los transportadores circulares están divididos en 360 partes iguales, mientras que los semicirculares están divididos en 180 partes iguales. Cada una de estas partes representa un grado (1°) .

Para medir un ángulo con transportador seguimos estos pasos:

1. Identificamos el vértice, es decir, el punto del que nacen las semirrectas y hacemos que coincida con el centro del transportador.

2. Verificamos que el cero (0) en el transportador esté justo sobre uno de los lados del ángulo.

3. Observamos el valor que marca el otro lado que pasa por la escala graduada. En este caso, la medida del ángulo â = 165°.

¿Sabías qué?

Los transportadores tienen escalas graduadas dobles: una va en sentido de las manecillas del reloj y las otra en sentido contrario. Siempre debes recordar comenzar a medir a partir del cero.

LOS ÁNGULOS EN LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS

Las figuras geométricas planas poseen ángulos interiores, ubicados dentro de la figuras; y ángulos exteriores, ubicados entre un lado de la figura y el otro lado siguiente.

VER INFOGRAFÍA

Ángulos interiores de los triángulos

Los ángulos interiores de los triángulos siempre suman 180°. Según sus ángulos los triángulos pueden ser:

Nombre	Figura	Características
Triángulo rectángulo		Tiene un ángulo recto (90°).
Triángulo acutángulo		Tiene todos sus ángulos agudos (menores a 90°).
Triángulo obtusángulo		Tiene un ángulo obtuso (mayores a 90° pero menores a 180°).

Ángulos interiores de los cuadriláteros

En el caso de los cuadriláteros, la suma de sus cuatro ángulos internos siempre es igual a 360°. De acuerdo al tipo de cuadrilátero el valor del ángulo puede variar. Su clasificación es la siguiente:

Nombre	Figura	Característica
Cuadrado		Tiene cuatro ángulos rectos (90°).
Rectángulo		Tiene cuatro ángulos rectos (90°).
Rombo		Tiene ángulos opuestos iguales.
Romboide		Tiene ángulos opuestos iguales.
Trapecio rectángulo		Tiene dos ángulos rectos (90°).
Trapecio isósceles		Los dos ángulos de la base menor son iguales. Los dos ángulos de la base mayor son iguales.
Trapecio escaleno		Todos sus ángulos son diferentes.

¿Sabías qué?

La palabra “geometría” viene de geo que significa “Tierra”, y de metría que significa “medir”.

Ángulos internos de polígonos regulares

Los polígonos regulares son aquellos que tienen todos sus ángulos internos iguales. Para calcular su valor se emplea la ecuación (n − 2) × 180°/n donde n es el número de lados que tiene el polígono. Por ejemplo, para un hexágono se sustituye la n por el número 6 que corresponde al número de sus lados y obtenemos que (6 − 2) × 180°/6 = 120°, lo que quiere decir que cada uno de los ángulos internos de un hexágono mide 120°.

¡A practicar!

1. Observa los ángulos entre estas rectas. Completa la tabla con los ángulos solicitados.

Tipo de ángulo	Nombre del ángulo
Recto	Ángulo α
Agudo
Obtuso
Complementario
Suplementario
Adyacente

Solución

Tipo de ángulo	Nombre del ángulo
Recto	Ángulo α
Agudo	Ángulo β
Obtuso	Ángulo GOC
Complementario	Ángulos BOE y EOC
Suplementario	Ángulos EOG y GOF
Adyacente	Ángulos AOC y COB

2. Calcula los ángulos complementarios y suplementarios para los siguientes ángulos:

β = 50°

Solución

Ángulo complementario = 40° porque 50° + 40° = 90°.

Ángulo suplementario = 130° porque 50° + 130° = 180°.

γ = 15°

Solución

Ángulo complementario = 75° porque 15° + 75° = 90°.

Ángulo suplementario = 165° porque 15° + 165° = 180°.

δ = 75°

Solución

Ángulo complementario = 15° porque 75° + 15 = 90°.

Ángulo suplementario = 105° porque 75° + 105° = 180°.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Ángulos”

En el siguiente artículo encontrarás información sistematizada sobre las diferentes clasificaciones de los ángulos.

VER

Enciclopedia “Matemática Tomo I”.

En esta enciclopedia podrás encontrar las explicaciones necesarias para comprender la clasificación de los ángulos y su medición.

VER

CAPÍTULO 5 / TEMA 2

Ángulos

Los ángulos están presentes en la mayoría de las figuras geométricas y en nuestra vida cotidiana. Se los considera indispensables para realizar cálculos trigonométricos y estudios en balística, arquitectura e ingeniería. De acuerdo a su amplitud, los ángulos se clasifican en varios tipos.

El ángulo y sus elementos principales

Un ángulo es una región del plano comprendida por dos semirrectas que tienen un origen en común. Los elementos de un ángulos son los siguientes:

Vértice: es el punto en común de las dos semirrectas.
Lados: son las dos semirrectas que conforman al ángulo.
Amplitud: es la medida de abertura de los lados de un ángulo. Esta medida usualmente se lee en grados sexagesimales.

¿Sabías qué?

Los ángulos suelen nombrarse con letras del alfabeto griego.

El sistema sexagesimal

Se usa principalmente para medir el tiempo y los ángulos. En este último caso, las unidades que emplea son grados, minutos y segundos. Al dividir un ángulo llano en 180 partes iguales, una de esas partes equivale a un grado (°). Si se divide un grado en sesenta partes iguales, una de esas partes equivale a un minuto (′). Y si el minuto se divide en 60 partes iguales, una de esas partes corresponde a un segundo (″). En resumen:

1° = 60′
1′ = 60″

Observa que este sistema emplea como base el número 60 y de ahí viene el origen de su nombre. El instrumento usado para su medición es el transportador.

VER INFOGRAFÍA

Clasificación de los ángulos

Los ángulos pueden clasificarse en:

Ángulo nulo: cuando mide 0°.
Ángulo agudo: cuando es mayor que 0° pero menor que 90°.
Ángulo recto: cuando mide exactamente 90°.
Ángulo obtuso: cuando es mayor de 90° pero menor que 180°.
Ángulo llano: cuando mide exactamente 180°.
Ángulo completo: cuando mide 360°.

Ángulos complementarios

Dos ángulos son complementarios si al ser sumados el resultado es igual a 90°. Al saber el valor de uno de los ángulos puedes calcular el valor del otro al restar 90° al ángulo conocido.

– Ejemplo:

Se tienen los ángulos complementarios α y β. El valor de β es de 35°. Calcula el valor de α.

Simplemente debes resolver la resta:

$\boldsymbol{\alpha =90^{\circ}-\beta}$

$\boldsymbol{\alpha =90^{\circ}-35^{\circ}}$

$\boldsymbol{\alpha =55^{\circ}}$

Por lo tanto el valor de α es 55°.

Ángulos suplementarios

Dos ángulos son suplementarios si al ser sumados el resultado es igual a 180°. Al igual que en el caso anterior puedes determinar el valor de un ángulo de este tipo si conoces el valor de otro y lo restas a 180°.

– Ejemplo:

Se tienen los ángulos suplementarios θ y δ. El valor de θ es de 160°. Calcular el valor de δ.

Resuelve la resta:

$\boldsymbol{\delta =180^{\circ}-\theta}$

$\boldsymbol{\delta =180^{\circ}-160^{\circ}}$

$\boldsymbol{\delta =20^{\circ}}$

El valor de δ es 20°.

Medida de un ángulo

La medición de los ángulos se realiza a menudo a través de un transportador, el cual puede ser de dos tipos: circular o semicircular. El circular mide los 360° de la circunferencia y el semicircular mide los 180°. Ambos transportadores cuentan con una marca en el centro que se debe colocar en el vértice del ángulo a medir. El 0° de la escala debe coincidir con uno de los lados del ángulo y la lectura del ángulo sería la que indica el otro lado en la escala.

Los transportadores suelen presentar dos numeraciones que van en diferentes sentidos según se lea el ángulo: en sentido horario (en el sentido de las manecillas del reloj) o en sentido antihorario.

Existe el convencionalismo de que los ángulos que se miden en sentido horario se consideran positivos mientras que los que se leen en sentido antihorario se consideran negativos. En el ámbito matemático, el enfoque se orienta más a la abertura de los ángulos. Otro dato importante es que aunque los transportadores son útiles, existen otros instrumentos más precisos como el goniómetro.

Los ángulos en las figuras planas

Las figuras planas poseen ángulos interiores y ángulos exteriores. Los ángulos interiores, como su nombre lo indica, se ubican en el interior de la figura, mientras que los exteriores se ubican entre un lado de la figura y el otro lado siguiente. Por ejemplo:

Cálculo de ángulos internos en triángulos

Los ángulos interiores de los triángulos siempre suman 180°. De manera que si conoces la medida de dos de sus ángulos internos puedes calcular la medida del tercero. Lo único que debes hacer es restar los valores de los ángulos conocidos a 180°. Por ejemplo:

– Calcula el valor del ángulo θ.

Como ya sabes, la sumas de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180°, entonces, si restas los valores de los ángulos conocidos a 180° obtendrás el valor de Θ:

$\boldsymbol{\theta = 180^{\circ}-\alpha -\beta}$
$\boldsymbol{\theta = 180^{\circ}-65^{\circ} -67^{\circ}}$
$\boldsymbol{\theta = 48^{\circ}}$

El valor del ángulo θ es 48°.

¿Sabías qué?

La suma de los ángulos externos de un triángulo es igual a 360°.

Cálculo de ángulos internos en cuadriláteros

En el caso de los cuadriláteros se cumple que la suma de sus cuatro ángulos internos siempre es igual a 360°. De acuerdo al tipo de cuadrilátero el valor del ángulo puede variar. Por ejemplo, en el caso del cuadrado y del rectángulo sus cuatro ángulos internos son iguales y miden 90°. En el caso del rombo y del romboide sus ángulos opuestos son iguales. Si el trapecio es rectángulo posee dos ángulos consecutivos que miden 90°. Si es isósceles tiene los ángulos adyacentes a la base mayor con la misma medida y si el trapecio es escaleno ninguno de sus ángulos mide lo mismo.

Los trapezoides son otro tipo de cuadrilátero con el valor de cada uno de sus ángulos internos diferentes. En resumen:

Figuras	Características
	El cuadrado y el rectángulo tienen ángulos internos iguales y miden 90°.
	El rombo tiene todos sus ángulos iguales (pero son agudos, es decir, menores a 90°). El romboide presenta cada par de ángulos opuestos con la misma medida.
	El trapecio rectángulo tiene dos ángulos rectos (miden 90° cada uno). El trapecio isósceles presenta los ángulos adyacentes a la base mayor con la misma medida. El trapecio escaleno presenta todos sus ángulos con diferente medida.
	El trapezoide no posee ningún ángulo con la misma medida.

Para calcular ángulos en un cuadrilátero simplemente tenemos que restar los ángulos conocidos a 360°.

– Ejemplo:

Calcula el valor del ángulo ε de la siguiente figura.

$\boldsymbol{\varepsilon =360^{\circ}-\delta -\theta -\rho}$

$\boldsymbol{\varepsilon =360^{\circ}-88^{\circ} -77^{\circ} -80^{\circ}}$

$\boldsymbol{\varepsilon =115^{\circ}}$

El valor del ángulo ε es 115°.

En los polígonos regulares los ángulos internos miden igual. Para calcular su valor se emplea la ecuación (*n − 2) × 180°/n* donde n es el número de lados que presenta el polígono. Por ejemplo, para un pentágono se sustituye la n por el número 5 que corresponde al número de sus lados y se obtiene que (5 − 2) × 180°/5 = 108°, lo que quiere decir que cada uno de los ángulos internos de un pentágono mide 108°.

¡A practicar!

1. ¿Qué tipo de ángulo observas?

Solución

Ángulo obtuso.

Solución

Ángulo llano.

Solución

Ángulo recto.

Solución

Ángulo agudo.

2. Calcula el valor del ángulo γ.

Solución

γ = 55°

3. Calcula el valor del ángulo θ.

Solución

θ = 70°

4. Calcula el valor del ángulo φ.

Solución

φ = 58°

5. Calcula el valor del ángulo β.

Solución

β = 105°

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Ángulos en triángulos. Resolución mediante ecuaciones”

El artículo explica los diferentes tipos de ángulos y cómo determinarlos a través de ecuaciones. También muestra una serie de ejemplos y ejercicios relacionados al tema.

VER

Artículo “Ángulos”

Este artículo plantea de forma resumida lo relacionado con los ángulos, como la manera de nombrarlos, su clasificación y el uso del transportador.

VER

Video “Tipo de triángulos según sus ángulos”

En el video se muestra la manera de clasificar los triángulos a partir de los ángulos y muestra ejemplos gráficos de cada uno de ellos.

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CAPÍTULO 5 / TEMA 8 (REVISIÓN)

Geometría y mediciones | ¿Qué aprendimos?

Perímetro

El perímetro es el contorno de una figura geométrica. En el caso de los polígonos regulares, el perímetro lo calculamos al multiplicar la cantidad de sus lados por la longitud de uno de estos. Otra forma de calcular el perímetro es a través de la suma de cada uno de los lados de una figura. En cambio, el perímetro del círculo es igual a la multiplicación del número pi por el diámetro de la circunferencia. Existen también figuras compuestas que están formadas por dos o más figuras geométricas, para calcular su perímetro basta con sumar cada uno de los lados.

Ángulos

Uno de los elementos fundamentales para la geometría es el ángulo, el cual está formado por un par de semirrectas denominadas lados que tienen un origen común o vértice. Uno de los sistemas más usados para medir ángulos es el sistema sexagesimal, en el que medimos los ángulos en grados, minutos y segundos. De acuerdo a su tamaño, los ángulos pueden clasificarse en agudos, rectos, obtusos y llanos. Los agudos son mayores a 0° pero menores a 90°, los rectos miden 90°, los obtusos son mayores a 90° pero menores de 180° y los llanos miden siempre 180°.

Área

Para calcular superficies usamos el área, que es la extensión comprendida por una figura. Para cada figura plana existe una fórmula que permite determinar su área. En el Sistema Internacional de Unidades se emplea el metro cuadrado (m²) como unidad de medida de área, pero también podemos usar otras unidades derivadas, como el centímetro cuadrado (cm²) o el milímetro cuadrado (mm²). Podemos obtener el área de las figuras compuestas al descomponerlas en figuras geométricas más simples, para luego sumar las áreas de cada una.

Sistemas de referencia

Uno de los sistemas de referencias más usados es el sistema cartesiano, el cual está formado por dos ejes en el plano: uno horizontal denominado eje X o de las abscisas y otro vertical denominado eje Y o de las ordenadas. Para representar un punto en el plano cartesiano necesitamos sus coordenadas en el eje X y en el eje Y: la intersección de ambas coordenadas constituye su ubicación. Por otro lado, las figuras pueden experimentar transformaciones isométricas, es decir, cambios de posición y orientación que no afectan su forma. Estas transformaciones son: traslación, rotación y simetría.

Cuadriláteros

Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados, y aunque se pueden clasificar en varios grupos, comparten elementos en común: tienen cuatro ángulos, la suma de estos es siempre igual 360° y tienen dos diagonales que dividen al cuadrado en triángulos. De manera general, los cuadriláteros son clasificados como paralelogramos, trapecios y trapezoides. Los paralelogramos tienen sus lados opuestos paralelos y pueden ser cuadrados, rombos y rectángulos. Los trapecios tienen dos de sus lados paralelos y los trapezoides no tienen ningún lado paralelo.

El campo de fútbol tiene forma de rectángulo que es un tipo de cuadrilátero.

Capacidad y volumen

El volumen es el espacio que ocupa un objeto mientras que la capacidad indica la cantidad que un objeto puede contener dentro de él. Todos los objetos tienen volumen pero no todos tienen capacidad. En el caso de los sólidos y los líquidos mientras mayor sea su volumen, mayor espacio van a ocupar. No es lo mismo el volumen de un grano de arroz que el de un edificio. Algunas unidades de volumen son el metro cúbico (m³), el centímetro cúbico (cm³) y milímetro cúbico (mm³), entre otras. El litro es una medida de capacidad que equivale a 1.000 cm³.

A pesar de estar muy relacionadas, no se deben confundir las medidas de volumen con las de capacidad.

La circunferencia

La circunferencia es una curva plana con todos sus puntos ubicados a la misma distancia del origen o centro. No debe ser confundida con el círculo que corresponde al área contenida dentro de ella, es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo. Presenta ciertos elementos como el radio, el diámetro, la tangente, la cuerda, el arco y la semicircunferencia. Uno de los instrumentos usados para su trazado es el compás.

CAPÍTULO 5 / TEMA 2

Ángulos

El ángulo es uno de los elementos fundamentales para la geometría porque está presente en las figuras ¡Incluso las paredes de nuestras casas forman ángulos entre ellas! Se puede definir como la porción del plano que se encuentra delimitada por dos semirrectas que comparten el mismo origen.

Tipos de ángulos

Antes de poder reconocer los diferentes tipos de ángulos es necesario comprender los elementos que los forman.

Lado: es cada una de las semirrectas que conforman el ángulo y que tienen un origen en común.
Vértice: es el punto común o de origen de los lados.

Sistema de medida

El sistema usado para medir ángulos se denomina sistema sexagesimal, su unidad de medida es el grado (°) y resulta de dividir un ángulo llano en 180 partes, cada una de ellas representa un grado. Para medidas más pequeñas se usa el minuto (′) y el segundo (′′). Se denomina sexagesimal porque cada unidad es 60 veces mayor que la siguiente y 60 veces inferior que la anterior. Es por ello que 1° = 60′ y 1′ = 60′′.

De acuerdo a su tamaño los ángulos se clasifican en:

Ángulo agudo: es aquel mayor a 0° pero menor a 90°.
Ángulo recto: es aquel que mide 90°.
Ángulo obtuso: es aquel cuya medida es mayor a 90°pero menor a 180°.
Ángulo llano: es aquel cuyo ángulo es igual a 180°.

VER INFOGRAFÍA

Medición de ángulos

Uno de los instrumentos más usados para medir ángulos es el transportador, este presenta una serie de marcas que indican los grados. El más común es el transportador semicircular el cual viene graduado en 180°. Sus partes fundamentales son:

Para medir un ángulo con el transportador debemos seguir los siguientes pasos:

Ubicar el origen del transportador en el vértice del ángulo que se va a medir.
Hacer coincidir uno de los lados del ángulo con la línea horizontal de la base.
Leer el ángulo que corta el segundo lado. Si el ángulo está abierto hacia la izquierda se usa la escala externa, si está abierto hacia la derecha se usa la escala interna (de acuerdo al tipo de instrumento las escalas pueden invertirse).

¿Sabías qué?

El teodolito es un instrumento con mayor precisión que el transportador que permite medir grados, minutos y segundos.

Construcción de ángulos

Una de las formas de construir ángulos es a través de una regla y un transportador. Para ello debemos realizar los siguientes pasos:

1. Trazamos con ayuda de la regla una semirrecta que será más adelante uno de los lados del ángulo.

2. Ubicamos el origen del transportador en uno de los extremos de la semirrecta (este también será el origen del ángulo), de manera que el número cero de la escala coincida con el otro extremo.

3. Ubicamos en la escala el ángulo que deseamos construir, para este ejemplo queremos construir un ángulo de 40°.

4. Hacemos una marca en el punto donde leímos el ángulo deseado.

5. Unimos el origen con la lectura marcada, de esta forma construimos un ángulo agudo de 40°.

Además del transportador, otros instrumentos usados para construir ángulos son el compás y la escuadra. Esta última permite construir ángulos rectos. Disciplinas como la arquitectura hacen uso de los ángulos en sus diseños. La exactitud en las mediciones es importante porque de lo contrario muchas de las estructuras podrían sufrir daños y afectar a las personas.

Comparación de ángulos

Luego de conocer cómo funciona el sistema sexagesimal en la medición de ángulos, podemos concluir que los ángulos llanos son mayores que los obtusos, que los obtusos son mayores que los rectos y que estos últimos son mayores que los agudos.

De manera que cuando necesitemos comparar ángulos lo primero que debemos hacer es identificar qué tipo de ángulo es. En el caso de conocer los valores de los ángulos, realizamos la comparación de de los números de acuerdo a la cantidad que representan, es decir: un ángulo de 35° es mayor que uno de 20°, pero es menor que uno de 150°.

Los ángulos y el triángulo

Los ángulos son tan importantes que en sí mismos determinan un criterio de clasificación de los triángulos. En este sentido, los triángulos se clasifican en acutángulos, rectángulos y obtusángulos. Los triángulos acutángulos tienen todos sus ángulos internos agudos, los triángulos rectángulos tienen un ángulo recto y los otros dos agudos, los triángulos obtusángulos tienen un ángulo obtuso y los otros dos agudos. En los triángulos se cumple que la suma de sus ángulos internos siempre es igual 180°.

¡A practicar!

1. ¿A qué tipo de ángulo corresponde cada imagen?

Solución

Ángulo recto.

Solución

Ángulo llano.

Solución

Ángulo obtuso.

Solución

Ángulo agudo.

2. ¿Cuál de los siguientes ángulos no es agudo?

a) 95°

b) 30°

c) 3°

d) 84°

Solución

a) 95°. No es agudo porque no es menor a 90°.

3. ¿Cuál de los siguientes ángulos no es obtuso?

a) 125°

b) 95°

c) 160°

d) 180°

Solución

d) 180°. No es obtuso porque es igual a 180°, los ángulos obtusos deben ser mayores a 90° y menores a 180°.

4. ¿Cuál de los siguientes ángulos es agudo?

a) 90°

b) 180°

c) 200°

d) 50°

Solución

d) 50°. Es agudo por ser menor a 90°.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Ángulos”

El presente artículo profundiza más en los diferentes tipos de ángulos que existen según su medida, su posición y sus características.

VER

Video “Propiedades de los ángulos de los polígonos”

En el presente video se muestra de manera animada cómo varían los ángulos externos e internos de los principales polígonos regulares.

VER

Artículo “Ángulo”

Este artículo detalla los elementos y tipos de ángulos, su construcción y el uso del transportador. Al final se proponen una serie de ejercicios relacionados.

VER

CAPÍTULO 1 / TEMA 1

Algunos sistemas de numeración

Todas las sociedades, desde las prehistóricas hasta las modernas, han empleado técnicas para saber cantidades. Desde palos, piedras y marcas, hasta llegar a los símbolos actuales, todos los sistemas de numeración nos ayudan a una importarte y necesaria tarea diaria: contar.

Sistema decimal

Es un sistema de numeración posicional compuesto por diez símbolos o cifras llamados números arábigos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 0. Es el sistema que más se utiliza en la vida cotidiana.

Al ser posicional, cada cifra adquiere un valor relativo de acuerdo a la posición en que se encuentre: unidades, decenas y centenas. De este modo, cada dígito del número 333 tiene un valor distinto a pesar de ser el mismo.

Observa que 300 + 30 + 3 = 333

También puedes escribir el número 333 como 333₁₀ por pertenecer a un sistema de base diez.

Hallar la respuesta a la pregunta ¿cuántos hay? ha sido la razón principal por la que el hombre desarrolló distintos métodos de recuento y dio origen al concepto de “número”. Nuestro sistema de numeración decimal permite no solo escribir de manera efectiva cantidades muy grandes, sino también cantidades muy pequeñas por medio de un posicionamiento visible.

Orden y clase

El sistema de numeración decimal tiene órdenes y clases. La unidad, la decena y la centena son el primero, segundo y tercer orden, respectivamente. Cada orden superior equivale a 10 unidades del orden anterior, es decir, una decena equivale a diez unidades y una centena equivale a 10 decenas.

1 U = 1 U

1 D = 10 U

1 C = 10 D = 100 U

Donde:

U: unidad

D: decena

C: centena

Cada grupo de tres órdenes representa una clase. Así, el número 94.256.328.100.079 tienen dígitos en distintas clases. Observa la tabla:

Este número se lee: “noventa y cuatro billones doscientos cincuenta y seis mil trescientos veintiocho millones cien mil setenta y nueve”.

Equivalencias

1 unidad = 1 unidad

1 decena = 10 unidades

1 centena = 100 unidades

1 unidad de mil (millar) = 1.000 unidades

1 decena de mil (millar) = 10.000 unidades

1 centena de mil (millar) = 100.000 unidades

1 unidad de millón = 1.000.000 unidades

1 decena de millón = 10.000.000 unidades

1 centena de millón = 100.000.000 unidades

1 unidad de millar de millón = 1.000.000.000 unidades

1 decena de millar de millón = 10.000.000.000 unidades

1 centena de millar de millón = 100.000.000.000 unidades

1 unidad de billón = 1.000.000.000.000 unidades

1 decena de billón = 10.000.000.000.000 unidades

1 centena de billón = 100.000.000.000.000 unidades

¡A practicar!

¿Cuántas unidades equivalen a 15 centenas?

Solución

Si 1 centena = 100 unidades, entonces:

$15\: C \times \frac{100\: U}{1\: C} = 1.500\: U$

15 centenas equivalen a 1.500 unidades.

¿Cuántas unidades equivalen a 3 decenas de millón?

Solución

Si 1 decena de millón = 10.000.000 unidades, entonces:

$3\: DM \times \frac{10.000.000 \: U}{1\: DM}= 30.000.000\: U$

También lo puedes representar así:

$3\: DM \times \frac{10^{7} \: U}{1\: DM}= 3 \times 10^{7}\: U$

3 decenas de millón equivalen a 30.000.000 unidades.

Sistema binario

Es un sistema de numeración posicional que está constituido solo por dos dígitos: 1 y 0. Este sistema utiliza como base el número 2. Un ejemplo de número binario es:

100010010100₂

¿Sabías qué?

El sistema de numeración binario se encuentra con frecuencia en los algoritmos usados en las computadoras y otros equipos electrónicos, pues resulta más sencillo operar solo con los dígitos 0 y 1.

Los sistemas electrónicos emplean una lógica binaria, es decir, manejan la información en base a 0 y 1, donde cero (0) significa que no circula corriente y uno (1) significa que circula corriente. Las computadoras procesan y almacenan en cuestión de segundos gran cantidad de información escrita mediante este sistema.

¿Cómo convertir un número del sistema binario al sistema decimal?

Para transformar un número binario, como 101₂, al sistema decimal debes seguir estos pasos:

1. Como el número tiene tres cifras, calcula las tres primeras potencias de 2. Inicia por 2⁰ y escríbelas en orden decreciente.

2² = 4

2¹ = 2

2⁰ = 1

2. Multiplica cada resultado por el dígito correspondiente al número binario. En este caso 101₂.

4 x 1 = 4

2 x 0 = 0

1 x 1 = 1

3. Suma los productos. El resultado será el número en el sistema decimal.

4 + 0 + 1 = 5

Por lo tanto:

101₂ = 5₁₀

¿Cómo convertir un número del sistema decimal al binario?

Para transformar un número del sistema decimal, como 25₁₀, al sistema binario debes seguir estos pasos:

1. Divide el número sucesivamente entre 2 hasta que el cociente sea igual a 1.

2. Lee la cifra, de derecha a izquierda, de abajo hacia arriba. Ese es el número binario equivalente.

25₁₀ = 11001₂

¡A practicar!

Transforma los siguiente números al sistema de numeración decimal o binario según sea el caso.

1100100₂

Solución

En el sistema decimal es 100₁₀.

36₁₀

Solución

En el sistema binario es 100100₂.

111010₂

Solución

En el sistema decimal es 58₁₀.

Sistema sexagesimal

Es un sistema de numeración posicional conformado por los mismos símbolos del sistema decimal: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 0, pero a diferencia de este último, 60 unidades de un orden forman una unidad de orden superior. Sirve para medir los ángulos y el tiempo.

En el sistema sexagesimal se divide un grado en 60 partes iguales. Cada una de estas partes se llama minuto, y este, a su vez, se divide en otras 60 partes iguales para obtener segundos. Observa la equivalencia:

1 grado = 60 minutos = 3.600 segundos

La unidad de medida de los ángulos es el grado. Esta unidad es el resultado de dividir un ángulo llano (ángulo de 180°) en 180 partes iguales. Por lo general, se utiliza el transportador para medir la amplitud de ángulos. Cada línea en el transportador representa un grado, o lo que es igual, la 1 / 180 parte de un ángulo llano.

¿Cómo se miden los ángulos?

La unidad principal para medir los ángulos es el grado. Si queremos medirlos con mayor precisión utilizamos, además de los grados, los minutos y los segundos.

Un grado se escribe 1°.
Un minuto se escribe 1′.
Un segundo se escribe 1”.

De este modo, 35° 22′ 36” se lee: “35 grados, 22 minutos y 36 segundos”.

Equivalencias

1° = 60′
1′ = 60″
1° = 3.600″

Observa el esquema:

Por ejemplo, para convertir 17 grados a minutos solo debes multiplicar por 60.

17 x 60 = 1.020

17° = 1.020′

Entonces, 17 grados son iguales a 1.020 minutos.

Si quieres convertir esos 17 grados a segundos solo debes multiplicar por 3.600 (60 x 60).

17 x 3.600 = 61.200

17° = 61.200″

Así, 17 grados son iguales a 61.200 segundos.

Esta tabla muestra algunos ejemplos:

Grados (°)	Minutos (‘)	Segundos (“)
17	17 x 60 = 1.020	17 x 3.600 = 61.200
45	45 x 60 = 2.700	45 x 3.600 = 162.000
22	22 x 60 = 1.320	22 x 3.600 = 79.200

También puedes convertir todas las medidas de un ángulo si sumas sus partes. De esta manera, si quieres pasar a segundos la medida del ángulo 6° 9′ 52″, solo sigue estos pasos:

1. Convierte los grados a segundos. Para esto debes multiplicar por 3.600.

6° = 6 x 3.600 = 21.600″

2. Convierte los minutos a segundos. Para estos debes multiplicar por 60.

9′ = 9 x 60 = 540″

3. Como el resultado final debe ser en segundos, los segundos quedan iguales.

52″ = 52″

4. Suma todos los resultados, lo que es igual a:

6° 9′ 52″ = (6 x 3.600) + (9 x 60) + 52 = 22.192″

Pasa a segundos estas medidas de ángulos

4° 35′ 17″

Solución

4° 35′ 17″ = (4 x 3.600) + (35 x 60) + 17 = 16.517″

5° 8′ 45″

Solución

5° 8′ 45″ = (5 x 3.600) + (8 x 60) + 45 = 18.525″

¿Cómo se mide el tiempo?

Las unidades para medir el tiempo son diversas y van desde los milenios hasta los segundos. Para medir tiempos menores a un día usamos las horas, los minutos y los segundos.

1 hora se escribe 1 h.
1 minuto se escribe 1 min.
1 segundo se escribe 1 s.

Equivalencias

1 h = 60 min
1 min = 60 s
1 h = 3.600 s

Observa el esquema:

Por ejemplo, 3 horas, 20 minutos y 2 segundos se representan así: 3 h 20 min 2 s; y si deseas expresar todo en una sola unidad, como segundos, el procedimiento es similar al de los ángulos. Observa:

3 h = 3 x 3.600 = 10.800 s
20 min = 20 x 60 = 1.200 s
2 s = 2 s

Luego sumas todos los resultados, lo que es igual a:

3 h 20 min 2 s = (3 x 3.600) + (20 x 60) + 2 = 12.002 s

Pasa a segundos estas medidas de tiempo

2 h 31 min 23 s

Solución

2 h 31 min 23 s = (2 x 3.600) + (31 x 60) + 23 = 9.083 s

5 h 50 min 5 s

Solución

5 h 50 min 5 s = (5 x 3.600) + (50 x 60) + 5 = 21.005

Números romanos

Este sistema de numeración desarrollado en la Antigua Roma es no posicional y se caracteriza por usar siete letras mayúsculas del alfabeto latino.

Sin importar la posición que ocupe cada letra, esta siempre tendrá el mismo valor. No obstante, es de gran importancia seguir las reglas de escritura:

I, X, C y M no pueden escribirse más de tres veces consecutivas en un mismo número.
Un símbolo de menor valor ubicado a la derecha de otro de mayor valor, se suma.
Un símbolo de menor valor ubicado a la izquierda de otro de mayor valor, se resta.
V, L y D se permite escribirlos solamente una vez y no se pueden escribir a la izquierda de otro de mayor valor.
I solo puede colocarse a la izquierda de V o X.
X solo puede colocarse a la izquierda de L o C.
C únicamente se coloca a la izquierda de D o M.
Cuando el número supera el valor 3.999, se traza una línea horizontal sobre el número romano la cual multiplica su valor por mil.
Si se colocan dos rayas horizontales sobre un número romano, su valor se multiplica por un millón.

¿Cómo se convierte un número romano a número arábigo?

Para conocer qué cantidad corresponde a un número romano se deben aplicar las reglas antes mencionadas. Por ejemplo, si deseas saber el número arábigo correspondiente al número romano $\overline{DCLXXIX}$ , sigue estos pasos:

1. Determina los valores de cada letra.

D = 500

C = 100

L = 50

X = 10

I = 1

2. Suma los valores de las letras a la derecha de otra de mayor valor.

DC = 500 + 100 = 600

LXX = 50 + 10 + 10 = 70

3. Resta los valores de las letras a la izquierda de otras de mayor valor.

IX = 10 − 1 = 9

4. Suma todos los resultados, y como el número tiene una barra, multiplica su valor por mil.

$\overline{DCLXXIX} = (600 + 70 + 9) \times 1.000 = 679.000$

¿Existen estos números?

Solución

No. V no puede estar delante de un número de valor mayor como L. Para escribir el número 45 lo correcto es XLV.

LXXXXV

Solución

No. X solo puede escribirse un máximo de tres veces consecutivas en un número. Para escribir el número 95 lo correcto es XCV.

VER INFOGRAFÍA

¿Sabías qué?

El número cero (0) fue posterior al sistema de numeración romana, se originó con la creación de los números arábigos.

Ejercicios

1. ¿A cuántas unidades equivalen?

2 unidades de millón.

Solución

2.000.000 unidades.

5 centenas de mil.

Solución

500.000 unidades.

4 decenas de billón.

Solución

40.000.000.000.000 unidades.

2) Indica orden y clase del número 3 en las siguientes cifras.

32.512.874

Solución

Decena de millón.

35.294

Solución

Decena de mil.

953.812.549.798.400

Solución

Unidad de billón.

3) Transforma los siguientes números al sistema de numeración decimal o binario según sea el caso.

1101₂

Solución

13₁₀

11000₂

Solución

24₁₀

23₁₀

Solución

10111₂

4) Convierte a segundos.

1° 22′ 15”

Solución

4.935”

2° 1′ 30”

Solución

7.290”

35 min 3 s

Solución

2.103 s

5) Completa la siguiente tabla.

Solución

RECURSOS PARA DOCENTES

Enciclopedia “Matemáticas primaria”

El siguiente recurso le brindará nociones sobre los sistemas de numeración y una variedad de ejercicios prácticos para desarrollar el tema.

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Tarjetas educativas “Números romanos”

Estas tarjetas le brindarán una herramienta pedagógica mediante imágenes para la enseñanza del tema.

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