CAPÍTULO 1 / TEMA 3

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES

El conjunto de los números racionales está conformado por todos aquellos números que pueden ser expresados como una división. Entran en este grupo algunos números decimales y las fracciones. Tienen gran aplicación cotidiana para representar partes de un entero o porciones de una totalidad.

No podemos usar los números enteros para resolver todas las operaciones entre ellos. Por ejemplo, si cortamos una tabla de 1 metro en 2 partes iguales, ¿cuánto mide cada pedazo? La división 1 ÷ 2 no tiene solución dentro de los números enteros, por tal motivo, usamos el conjunto de los números racionales, en el que esta división se representa como 1/2.

¿Sabías qué?

La primera civilización en utilizar los números racionales fueron los egipcios.

¿QUÉ SON LOS NÚMEROS RACIONALES?

Son todos aquellos números que pueden representarse a través de una fracción. De ahí su nombre “racionales”, pues a las fracciones también se las conocen como “razones”.

El conjunto de los números racionales se denota con la letra $\mathbb{Q}$ , que alude al término quotient que significa “cociente”, ya que todo número racional puede ser representado como una fracción con cociente igual a un número decimal.

VER INFOGRAFÍA

Los números racionales como subconjunto de los números reales

Los números racionales ( $\mathbb{Q}$ ), en conjunto con los números enteros ( $\mathbb{Z}$ ) y los irracionales ( $\mathbb{I}$ ), conforman el conjunto de los números reales ( $\mathbb{R}$ ), donde se encuentran todos los números naturales y decimales.

ELEMENTOS DE LOS NÚMEROS RACIONALES

Los números racionales se forman al dividir dos números enteros que dan como resultado un número decimal. Los números racionales son todos los números del tipo $\frac{a}{b}$ donde a es el numerador y b es el denominador. Ambos elementos, a y b, son número enteros y b es distinto de cero.

Número irracionales

Toda fracción es un número racional. Sin embargo, no todo número decimal pertenece al conjunto de los números racionales, porque no todos tienen una fracción equivalente. Tal es el caso de los decimales no periódicos, los cuales pertenecen al conjunto de los números irracionales, denotados con la letra $\mathbb{I}$ . En esta categoría se encuentran, por ejemplo, $\sqrt{7}$ , $\pi$ o cualquier número con decimales infinitos.

orden de los números racionales

Comparar racionales permite establecer una relación de orden en $\mathbb{Q}$ . Cuando los racionales tienen igual denominador, será mayor aquel con mayor numerador. Por ejemplo, entre $\frac{8}{3}$ y $\frac{2}{3}$ , $\frac{8}{3}$ es mayor porque 8 > 2.

Cuando los racionales tienen denominadores diferentes tenemos que convertirlos en fracciones equivalentes de igual denominador y luego comparar. También podemos usar la siguiente regla:

Si $\frac{a}{b}$ y $\frac{c}{d}$ ∈ $\mathbb{Q}$ , con b y d positivos

Se cumple que:

Si $a\times d> b\times c$ , entonces $\frac{a}{b}> \frac{c}{d}$

Si $a\times d< b\times c$ , entonces $\frac{a}{b}< \frac{c}{d}$

– Ejemplo:

$\frac{8}{5}> \frac{6}{7}$ porque $8\times 7> 5\times 6$

$\frac{4}{7}< \frac{3}{5}$ porque $4\times 5< 7\times 3$

Fracciones negativas

Si el numerador o el denominador de una fracción es un número negativo podemos escribir el signo “−” antes de la fracción.

$\frac{-a}{b}=-\frac{a}{b}$

$\frac{a}{-b}=-\frac{a}{b}$

Las fracciones negativas, al estar más a la izquierda en la recta numérica, son menores que las fracciones positivas.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

Los números racionales se suelen utilizar para expresar partes de una totalidad. Por ejemplo, “un 1/4 de la población mundial utiliza Internet” o “un 1/3 de la población vive en situación de pobreza”, o bien “un 1/2 de los habitantes del planeta son mujeres”. En general, resulta más representativo hablar de fracciones de un total que solo indicar la cantidad de personas.

Para graficar números racionales tenemos que identificar primero qué tipo de fracción es. Si la fracción es propia, es decir, si tiene el numerador menor al denominador, basta con dividir una figura geométrica en tantas partes como indique el denominador y colorear las partes que indique el denominador. Por ejemplo:

$\boldsymbol{1=}$

$\boldsymbol{\frac{2}{2}=}$

$\boldsymbol{\frac{2}{3}=}$

$\boldsymbol{\frac{2}{4}=}$

$\boldsymbol{\frac{2}{5}=}$

$\boldsymbol{\frac{2}{6}=}$

$\boldsymbol{\frac{2}{7}=}$

$\boldsymbol{\frac{2}{8}=}$

$\boldsymbol{\frac{2}{9}=}$

$\boldsymbol{\frac{2}{10}=}$

Si la fracción es impropia tenemos que dividir la figura en tantas partes como muestre el denominador y repetirla hasta que se coloreen todas las partes que señale el numerador. Estas fracciones siempre tendrán más de un entero, así que también podemos convertir la fracción impropia en número mixto y seguir los pasos anteriores. Por ejemplo:

$\frac{20}{9}=2\frac{2}{9}=$

$\frac{10}{8}=1\frac{2}{8}=$

Fracciones y porcentajes

Los gráficos circulares o de sectores son ampliamente utilizados en estadística y otras áreas en las que son una herramienta de gran utilidad para expresar partes de un todo, por lo que las fracciones son necesarias para determinar las porciones de colores. No obstante, es mucho más práctico hacer estos gráficos con datos mostrados en porcentajes: una forma de representar a una fracción decimal, cuyo denominador es 100.

Convertir fracciones en porcentajes es muy sencillo, solo tenemos que dividir el numerador entre el denominador y después multiplicar por 100 %. Por ejemplo, 1/4 es igual a 25 % porque 1 ÷ 4 = 0,25 y 0,25 × 100 % = 25 %.

¡A practicar!

1. Señala cuáles números son racionales y cuáles son irracionales.

$\frac{4}{5}$

Solución

Es un número racional.

$\sqrt{2}$

Solución

Es un número irracional.

$\frac{\pi }{3}$

Solución

Es un número irracional.

$\frac{1}{4}$

Solución

Es un número racional.

2. Ordena de menor a mayor los siguientes número racionales.

$\frac{8}{5}$ , $\frac{6}{7}$ , $\frac{2}{9}$ , $\frac{1}{2}$

Solución

$\frac{2}{9}$ < $\frac{1}{2}$ < $\frac{6}{7}$ < $\frac{8}{5}$

$\frac{10}{3}$ , $\frac{6}{8}$ , $\frac{2}{3}$ , $\frac{5}{2}$

Solución

$\frac{2}{3}$ < $\frac{6}{8}$ < $\frac{5}{2}$ < $\frac{10}{3}$

$-\frac{8}{4}$ , $\frac{3}{7}$ , $1$ , $\frac{2}{5}$

Solución

$-\frac{8}{4}$ < $\frac{2}{5}$ < $\frac{3}{7}$ < $1$

3. ¿Qué fracción representan estos gráficos?

Solución

$\frac{7}{3}$

Solución

$\frac{2}{9}$

Solución

$\frac{8}{5}$

Solución

$\frac{4}{10}$

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “¿Cómo transformar un número decimal a fracción?”

En este artículo hallará el método y la explicación para obtener la fracción generatriz de un número decimal.

VER

Artículo “La recta numérica”

En este recurso encontrará un método para representar números racionales en la recta real.

VER

Artículo “La clasificación de los números”

En este artículo encontrará la clasificación de los diferentes conjuntos numéricos, a fin de identificar en qué categoría o a qué subconjunto pertenecen los números racionales.

VER

CAPÍTULO 2 / TEMA 5 (REVISIÓN)

OPERACIONES │ ¿qué aprendimos?

OPERACIONES CON DECIMALES

Con los números decimales podemos realizar las mismas operaciones aritméticas que con los números enteros. Para la suma y la resta, las cifras deben tener la misma cantidad de decimales y las comas deben estar alineadas en una línea vertical. En la multiplicación, el resultado tendrá el total de decimales que tengan los factores. Existen tres posibles casos para dividir con decimales: decimal entre entero, entero entre decimal y decimal entre decimal.

Los decimales son parte de nuestra vida cotidiana, por ejemplo, los precios de los artículos vienen por lo general expresados en cifras decimales.

OPERACIONES COMBINADAS

Con frecuencia, en matemática debemos realizar cálculos que combinan diferentes operaciones algebraicas, así como varios tipos de números, y en ocasiones se requiere el uso de signos de agrupación que determinan las prioridades de dichas operaciones. Debemos resolver primero las operaciones dentro del paréntesis, luego las del corchete y, por último, las de las llaves. Es importante recordar que las multiplicaciones y las divisiones se resuelven primero que las sumas y las restas.

Los signos de agrupación sirven para expresar el orden de las operaciones. Para aplicar propiedades como la asociativa y la distributiva podemos usar paréntesis.

ECUACIONES

Las ecuaciones son expresiones algebraicas compuestas por miembros separados por una igualdad. Los miembros contienen términos y al menos una variable, también llamada incógnita. Por lo general, para obtener el valor de las incógnitas debemos realizar despejes: proceso que consiste en aplicar en ambos miembros de la ecuación la operación opuesta del término o coeficiente que se desea despejar.

INECUACIONES

Son expresiones que muestran relaciones de desigualdad por medio de símbolos como <, >, ≤ o ≥. Deben contener por lo menos una variable, y la solución la representamos a través de un intervalo de valores que satisfacen la desigualdad. Los despejes en las inecuaciones siguen las mismas reglas que en las ecuaciones pero, además, si se multiplica o divide por un número negativo, debemos cambiar el sentido de la desigualdad.

CAPÍTULO 2 / TEMA 4

INECUACIÓN

No todas las situaciones que se plantean en matemática tienen una solución puntual o exacta. Existen casos donde la respuesta a un planteamiento viene representada por un intervalo de valores que satisfacen la condición. Esto podemos verlo en las inecuaciones: expresiones matemáticas con un intervalo de números como solución.

la INECUACIÓN y sus elementos

Una inecuación es una expresión matemática que contiene al menos una variable y está caracterizada por incluir símbolos de desigualdad entre los miembros, de manera que su resultado es un conjunto de valores que la variable puede tomar para que se cumpla la desigualdad planteada.

Los elementos de las inecuaciones son los siguientes:

Miembros: son las partes de una inecuación que están separadas por el signo de la desigualdad.
Términos: son las expresiones literales o numéricas separadas por los signos más (+) o menos (−).
Variable: es la letra que representa al conjunto de valores que satisfacen la desigualdad.
Símbolo de desigualdad: es el que indica la relación entre los miembros, pueden ser <, >, ≤ o ≥.

Grado de una inecuación

El grado de una inecuación se encuentra indicado por el mayor exponente que tenga la variable. Si el mayor exponente de una inecuación es 3, esta es de tercer grado; si es 2, es de segundo grado; y si no tiene exponente, se entiende que está elevado a la unidad y, por lo tanto, la inecuación es de primer grado.

¿qué son los intervalos?

Los intervalos son los rangos de valores que definen la solución de la inecuación. Estos pueden ser abiertos, cerrados o semiabiertos.

Intervalos abiertos: no incluyen los límites del intervalo. Se denotan con paréntesis, por ejemplo (a, b) y en la gráfica se representan con el símbolo ○.
Intervalos cerrados: incluyen los límites del intervalo. Se representa con corchetes, por ejemplo [a, b] y en la gráfica se representan con el símbolo ●.
Intervalos semiabiertos: incluye uno de los extremos del intervalo. Así que un extremo es abierto y el otro es cerrado, por ejemplo [a, b).

¿Sabías qué?

Los límites de intervalos que incluyen a +∞ o −∞ siempre son abiertos.

– Ejemplo:

Este dibujo muestra todos los números comprendidos entre el 1 y el 7 pero no incluye ni al 1 ni al 7 porque están representados con ○. Cuando los extremos de un intervalo no están incluidos se usan paréntesis y el intervalo se denota como (1,7).

– Otros ejemplos:

(−5,1]

[1,7]

[−5,1)

símbolos de desigualdad

Símbolo	Significado	Ejemplo	Representación en la recta numérica	Notación del intervalo
>	Mayor que	x > 5		(5,+∞)
<	Menor que	x < 5		(−∞,5)
≥	Mayor o igual que	x ≥ 5		[5,+∞)
≤	Menor o igual que	x ≤ 5		(−∞,5]

Las soluciones de las inecuaciones pueden ser intervalos cuyos límites estén completamente definidos y conocidos, por ejemplo, [−2, 19) o bien, por rangos donde alguno o ambos límites incluyen el ∞ (ya sea hacia el valor positivo o negativo). Cuando la solución es (−∞, +∞) en notación de conjunto se dice que pertenece a los reales.

¿CÓMO resolver UNA INECUACIÓN?

El procedimiento es muy similar al que empleamos cuando despejamos ecuaciones. Las reglas son las siguientes:

Todo número que sume en un miembro de la desigualdad, pasa al otro miembro como resta.
Todo número que reste en un miembro de la desigualdad, pasa al otro miembro como suma.
Si en un miembro de la desigualdad hay un número negativo que multiplica a otro, este pasa al otro lado a dividir (con su signo) y el signo de desigualdad se debe invertir.
Si en un miembro de la desigualdad hay un número negativo que divide, pasa al otro lado a multiplicar (con su signo) y el signo de desigualdad se debe invertir.

En la imagen podemos ver cómo se comparan por medio de símbolos de desigualdad dos segmentos de rectas. En este caso, la expresión indica que el segmento que va de A’C tiene una mayor longitud que el segmento AB. No todas las expresiones que contengan desigualdades son inecuaciones, ya que además, se requiere de por lo menos una variable.

– Ejemplo 1:

$x-3> 1$

Como el número 3 está acompañado del signo negativo, pasa al otro lado del símbolo “mayor que” con el signo positivo.

$x> 1+3$

Luego resolvemos la suma.

$x> 4$

La solución de esta inecuación incluye a todos lo números mayores a 4, más no al 4.

Solución: (4,+∞)

En una recta numérica lo representamos así:

Si deseamos comprobar la solución, basta con sustituir la variable con valores mayores a 4. Si satisface la desigualdad, el resultado será correcto.

Recuerda que el intervalo es abierto y por lo tanto no debes tomar en cuenta al número 4. Observa:

$x-3> 1$

$\boldsymbol{4}-3> {\color{Red} \boldsymbol{1> 1}}$ No satisface la desigualdad porque 1 = 1.

Si sustituimos por valores mayores a 4, como 5, 6 o 7, la desigualdad sí se cumple. Observa:

$\boldsymbol{5}-3> 1\Rightarrow {\color{Blue} \boldsymbol{2> 1}}$

$\boldsymbol{6}-3> 1\Rightarrow \boldsymbol{{\color{Blue} 3> 1}}$

$\boldsymbol{7}-3> 1\Rightarrow \boldsymbol{{\color{Blue} 4> 1}}$

– Ejemplo 2:

$-4x-8\geq -2$

Primero unimos los términos semejantes en cada miembro. Los que están como resta pasan al otro lado de la igualdad a sumar.

$-4x\geq -2+8$

Después resolvemos las operaciones.

$-4x\geq 6$

Como −4 multiplica a la variable, esta pasa al otro miembro de la inecuación a dividir. Mantenemos el signo negativo e invertimos el signo de la desigualdad.

$x\leq -\frac{6}{4}$

La solución de esta inecuaçión incluye a todos los números menores o iguales a −6/4.

Solución: (−∞,−6/4]

En la recta numérica lo representamos así:

Comprobamos el resultado con números iguales y menores a −6/4.

$-4\left ( \boldsymbol{-\frac{6}{4}} \right )-8\geq -2\Rightarrow 6-8\geq -2\Rightarrow {\color{Blue} \boldsymbol{-2\geq -2}}$

$-4\left ( \boldsymbol{-\frac{7}{4}} \right )-8\geq -2\Rightarrow 7-8\geq -2\Rightarrow {\color{Blue} \boldsymbol{-1\geq -2}}$

$-4\left ( \boldsymbol{-\frac{8}{4}} \right )-8\geq -2\Rightarrow 8-8\geq -2\Rightarrow {\color{Blue} \boldsymbol{0\geq -2}}$

– Ejemplo 3:

$-3x+5> 15+2x$

Unimos términos semejantes en cada miembro. Los que están como suma pasan al otro lado de la igualdad a restar.

$-3x-2x> 15-5$

Resolvemos las operaciones.

$-5x> 10$

Como −5 multiplica a la variable, este número pasa al otro miembro de la inecuación a dividir. Mantenemos el signo negativo e invertimos el signo de la desigualdad.

$x< -\frac{10}{5}$

$x< -2$

La solución incluye a todos los números menores a −2.

Solución: (−∞,−2)

En la recta numérica lo representamos así:

Comprobamos el resultado al sustituir la variable con números menores a −2.

$-3(\boldsymbol{-3})+5> 15+2(\boldsymbol{-3})\Rightarrow 9+5> 15-6\Rightarrow {\color{Blue} \boldsymbol{14> 9}}$

$-3(\boldsymbol{-4})+5> 15+2(\boldsymbol{-4})\Rightarrow 12+5> 15-8\Rightarrow {\color{Blue} \boldsymbol{17>7}}$

$-3(\boldsymbol{-5})+5> 15+2(\boldsymbol{-5})\Rightarrow 15+5> 15-10\Rightarrow {\color{Blue} \boldsymbol{20>5}}$

DIFERENCIA ENTRE ECUACIÓN E INECUACIÓN

Una de las principales diferencias entre las ecuaciones y las inecuaciones se debe a que la primera emplea igualdad entre sus miembros, mientras que la segunda utiliza la desigualdad. Esto quiere decir que la solución de una ecuación representa un valor puntual en la recta real, mientras que en las inecuaciones, las soluciones se expresan mediante intervalos, lo que significa que entre los dos extremos del intervalo hay infinitos números que satisfacen la inecuación.

Las operaciones para despejar las variables en las inecuaciones obedecen las mismas reglas que con las ecuaciones, pero adicionalmente, debemos tener especial atención cuando multiplicamos o dividimos ambos miembros por un número negativo, ya que al hacerlo, debemos cambiar el sentido de la desigualdad.

USOS DE LAS INECUACIONES

Las inecuaciones tienen infinidades de usos, que van desde situaciones cotidianas hasta aplicaciones más avanzadas a nivel universitario como la programación lineal. Casi cualquier situación que implique un valor o intervalo límite dentro de los cuales pueda tomar valor una variable, puede ser formulado a partir de una inecuación. Por ejemplo:

Para expresar el tiempo máximo que disponemos para llegar a un lugar.
Para representar el saldo disponible en nuestro teléfono celular para realizar llamadas.
Para indicar el peso máximo que puede registrar una balanza.
Para expresar el límite máximo de velocidad en una autopista.
Para expresar costos totales máximos o utilidades mínimas en una empresa.

¡A practicar!

Resuelve las siguientes inecuaciones.

$2x-5\leq 5x$

Solución

$2x-5\leq 5x$

$2x-5x\leq 5$

$-3x\leq 5$

$x\geq -\frac{5}{3}$

$5x< 3x-5$

Solución

$5x< 3x-5$

$5x-3x< -5$

$2x< -5$

$x< -\frac{5}{2}$

$4x+6> 2x-8$

Solución

$4x+6> 2x-8$

$4x-2x> -8-6$

$2x> -14$

$x> -\frac{14}{2}$

$x> -7$

$13x-3x+2-5x\geq -10+2x+6$

Solución

$13x-3x+2-5x\geq -10+2x+6$

$13x-3x-5x-2x\geq -10+6-2$

$3x\geq -6$

$x\geq -\frac{6}{3}$

$x\geq -2$

$5x+6-3x> 34+8x-10$

Solución

$5x+6-3x> 34+8x-10$

$5x-3x-8x> 34-10-6$

$-6x> 18$

$x< -\frac{18}{6}$

$x< -3$

$2\left ( x-3 \right )\leq 4x+2$

Solución

$2\left ( x-3 \right )\leq 4x+2$

$2x-6\leq 4x+2$

$2x-4x\leq 2+6$

$-2x\leq 8$

$x\geq -\frac{8}{2}$

$x\geq -4$

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Inecuaciones”

En este artículo encontrará información acerca de las inecuaciones, sus elementos y algunos ejemplos.

VER

Artículo “Inecuaciones con valor absoluto”

Con este recurso podrá ampliar la información sobre las inecuaciones y aplicarla para resolver estos cálculos con valor absoluto.

VER

Artículo “Inecuación de primer grado”

El artículo describe cómo resolver problemas que involucren inecuaciones con variables elevadas a la unidad, es decir, de primer grado.

VER

CAPÍTULO 2 / TEMA 3

ECUACIÓN

Cuando vemos operaciones matemáticas con valores desconocidos es muy probable que estemos frente a ecuaciones. Estas son relaciones equivalentes con dos miembros separados por un símbolo de igualdad. Para saber cuánto valen estos términos desconocidos debemos despejar, es decir, dejar “sola” a la incógnita, lo que se hace por medio de diversos pasos mostrados a continuación.

La ecuación y sus elementos

Una ecuación es una igualdad que posee uno o más términos desconocidos llamados incógnitas. El valor numérico de dichas incógnitas es el único que cumple la igualdad.

Los elementos de toda ecuación son los siguientes:

Primer miembro: es el conjunto de términos que se encuentra del lado izquierdo de la igualdad.
Segundo miembro: es el conjunto de términos que se encuentra del lado derecho de la igualdad.
Términos: son todos los números y letras que conforman la ecuación.
Incógnita: es el valor desconocido en la igualdad. En una ecuación puede haber más de una incógnita.

¿Sabías qué?

Si una incógnita aparece sola se sobreentiende que el coeficiente es 1, es decir, que está multiplicada por 1.

Una ecuación es una igualdad establecida que permite determinar alguno de sus elementos respecto a los valores de los demás. Pueden ser literales o numéricas. Son literales cuando por lo menos un elemento conocido está representado por una letra; y son numéricas cuando sus elementos conocidos son números.

Ecuaciones según el grado

El grado de una ecuación es la mayor potencia a la que está elevada la incógnita. Según el grado las ecuaciones pueden ser:

Ecuaciones de primer grado

Son aquellas ecuaciones donde la incógnita está elevada a la primera potencia. También se las conoce como ecuaciones lineales. Por ejemplo:

$\boldsymbol{2x+5=3x-1}$

Ecuaciones de segundo grado

Son las igualdades cuya incógnita está elevada a la segunda potencia, es decir, al cuadrado. Por ejemplo:

$\boldsymbol{2x^{{\color{Red} 2}}+3x=-5x}$

Ecuaciones de tercer grado

Son aquellas que contienen la incógnita elevada al cubo en al menos uno de sus términos. Por ejemplo:

$\boldsymbol{4x^{{\color{Red} 3}}+3x=5-x^{2}}$

¡Es tu turno!

Observa esta ecuación y responde:

$\boldsymbol{x^{3}-7x^{2}+4x+12=0}$

¿Cuántos términos tiene en el primer miembro?

Solución

Tiene 4 términos.

¿De qué grado es la ecuación?

Solución

La ecuación es de tercer grado.

¿Cuántas incógnitas tiene?

Solución

Tiene una sola incógnita: x.

¿Sabías qué?

Las incógnitas aparecen en las ecuaciones con una letra, generalmente es la x, pero puede ser cualquiera.

Las ecuaciones pueden estar conformadas por una o más incógnitas y su solución no siempre es un número. De hecho, hay ecuaciones que tienen varias soluciones o incluso, hay otras que no tienen solución. En todos los casos, es imprescindible dominar los procedimientos de despejes para poder analizarlas.

REGLAS DE DESPEJE DE ECUACIONES

Para hallar la solución de una ecuación de primer grado debemos despejar la incógnita, esto significa que es necesario dejar a la incógnita “sola” en un miembro de la igualdad. Para esto seguimos las siguientes reglas:

Regla de la suma

Consiste en sumar la misma expresión algebraica en ambos lados de la igualdad, de este modo obtenemos una ecuación equivalente y por ende el mismo resultado. Por ejemplo:

$x-8=24$

Si sumamos 8 en ambos miembros de la ecuación tenemos:

$x-8+\boldsymbol{8}=24+\boldsymbol{8}$

Al resolverlo:

$x=\boldsymbol{32}$

A partir de ese principio, la regla de la suma también se denomina regla de transposición de términos debido a que, para cambiar un término a otro miembro, se tiene que cambiar su signo. Por lo tanto, todo número que se encuentre en forma de suma en un miembro de la igualdad pasa al otro miembro en forma de resta y viceversa.

Entonces, para despejar la incógnita lo único que debemos hacer es pasar el −8 como +8 al segundo miembro de la ecuación.

$x-8=24$

$x=24+8$

$x=\boldsymbol{32}$

Regla del producto

Establece que al multiplicar o dividir por un mismo número en ambos miembros de la ecuación el resultado es una ecuación equivalente de la primera. Por ejemplo:

$5x=20$

Si dividimos entre 5 ambos miembros de la ecuación tenemos:

$\frac{5x}{\boldsymbol{5}}=\frac{20}{\boldsymbol{5}}$

Al resolverlo:

$x=\boldsymbol{4}$

Por medio de esta regla se deduce que los elementos que multiplican pasan al otro lado a dividir y los elementos que dividen pasan al otro lado a multiplicar. En el ejemplo anterior basta con pasar el 5 que multiplica a la incógnita a dividir el segundo miembro de la ecuación.

$5x=20$

$x=\frac{20}{5}$

$x=\boldsymbol{4}$

¿cómo solucionar una ecuación de primer grado?

Las ecuaciones de primer grado o lineales se caracterizan por tener su incógnita elevada a la primera potencia. Los pasos para solucionar este tipo de ecuación son:

Quita los paréntesis en caso de que existieran (a través de la propiedad distributiva u otras operaciones).
Quita los denominadores en caso de que existieran.
Ubica los términos que tienen incógnitas en un miembro y los que no tienen incógnita en otro.
Suma los términos semejantes.
Despeja la incógnita a través de la regla del producto.
Simplifica el resultado obtenido en caso de que sea una fracción.

El valor o los valores de la incógnita de una ecuación que hacen que la igualdad de la misma sea cierta, se denominan solución de la ecuación o raíces de la ecuación. Cuando una ecuación tiene solución, se denomina compatible, en caso contrario, se denomina incompatible. Las ecuaciones que presentan la misma solución son llamadas ecuaciones equivalentes.

– Ejemplo:

$5(2x+3)-4x=-3+3(x-4)$

Primero eliminamos los paréntesis. Para eso, aplicamos la propiedad distributiva. En el primer caso, multiplicamos 5 por cada término dentro de los paréntesis (2x + 3), en el segundo caso, multiplicamos 3 por cada término dentro de los paréntesis (x − 4).

$10x+15-4x=-3+3x-12$

Después ubicamos los términos que tienen incógnitas en un mismo miembro y los que no tienen incógnitas en otro. Para lograrlo aplicamos la regla de la suma o de transposición.

$10x-4x-3x=-3-12-15$

Luego sumamos o restamos los términos semejantes.

$3x=-30$

Despejamos la incógnita. Para lograrlo, aplicamos la regla del producto por medio de la cual el 3 que multiplica pasa a dividir al otro miembro de la ecuación.

$x=\frac{-30}{3}=\boldsymbol{-10}$

Observa que simplificamos el resultado al resolver la fracción.

– Otro ejemplo:

$5(x+2)=1+\frac{x}{2}$

Eliminamos los paréntesis por medio de la propiedad distributiva.

$5x+10=1+\frac{x}{2}$

Quitamos el denominador al multiplicar todos los términos de la ecuación por ese denominador, en este caso es 2.

$2 (5x+10)=2(1+\frac{x}{2})\: \: \Rightarrow \: \: 10x+20=2+\frac{2x}{2}$

Luego efectuamos las divisiones correspondientes.

$10x+20=2+x$

Ubicamos los términos que tienen incógnitas en un mismo miembro y los que no tienen incógnitas en otro. Para lograrlo, aplicamos la regla de la suma o de transposición.

$10x-x=2-20$

Sumamos o restamos los términos semejantes.

$9x=-18$

Despejamos la incógnita. Para lograrlo, aplicamos la regla del producto por medio de la cual el 9 que multiplica pasa a dividir al otro miembro de la ecuación.

$x=-\frac{18}{9}=\boldsymbol{-2}$

¿Cómo comprobar una ecuación?

¡Muy sencillo! Solo tienes que sustituir en la ecuación el valor de la incógnita y resolver. Si la igualdad se cumple, el ejercicio está resuelto correctamente. En caso contrario, debes revisar dónde estuvo el error.

Despejemos esta ecuación:

$2x+6=10\: \: \Rightarrow \: \: 2x=10-6\: \: \Rightarrow \: \: 2x=4\: \: \Rightarrow \: \: x=\frac{4}{2}\: \: \Rightarrow \: \: \boldsymbol{x=2}$

Como x = 2, sustituimos y comprobamos.

$2(2)+6=10\: \: \Rightarrow \: \: 4+6=10\: \: \Rightarrow \: \: \boldsymbol{10=10}$

Por lo tanto, como las igualdades se cumplen, la ecuación está despejada correctamente.

APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES

Las ecuaciones son aplicables en mucho ámbitos de la vida, por ejemplo, para planificar nuestro dinero o para determinar cantidades por medio de igualdades. En otras áreas del saber, como la física, la química o la economía, las ecuaciones son de gran utilidad, pues sirven para expresar fórmulas y leyes que describen muchos fenómenos.

En general, algunas aplicaciones de las ecuaciones pueden ser:

Calcular longitudes, áreas, volúmenes y otras dimensiones de objetos.
Expresar cantidades físicas como densidad, peso específico o concentraciones de sustancias.
Formular algebraicamente un planteamiento teórico
Expresar leyes como la ley de gravitación universal en física o la ley para gases ideales en química.
Calcular ganancias y utilidades en el área de finanzas, entre otras aplicaciones.

¡A practicar!

Despeja la incógnita.

$2(1+2x)=10$

Solución

$2(1+2x)=10$

$2+4x=10$

$4x=10-2$

$4x=8$

$x=\frac{8}{4}$

$x=\boldsymbol{2}$

$1-\frac{x}{3}=\frac{5x}{3}$

Solución

$1-\frac{x}{3}=\frac{5x}{3}$

$3\left ( 1-\frac{x}{3} \right )=3\left ( \frac{5x}{3} \right )$

$3-\frac{3x}{3}=\frac{15x}{3}$

$3-x=5x$

$5x+x=3$

$6x=3$

$x=\frac{3}{6}=\boldsymbol{\frac{1}{2}}$

$15-6\left ( 2x-4 \right )=8+2\left ( 5x-1 \right )$

Solución

$15-6\left ( 2x-4 \right )=8+2\left ( 5x-1 \right )$

$15-12x+24=8+10x-2$

$15+24-12x=8-2+10x$

$39-12x=6+10x$

$12x-10x=6-39$

$-22x=-33$

$x=\frac{-33}{-22}=\boldsymbol{\frac{3}{2}}$

$x+\frac{x}{5}=18$

Solución

$x+\frac{x}{5}=18$

$5\left ( x+\frac{x}{5} \right )=5\left ( 18 \right )$

$5x+\frac{5x}{5}=90$

$5x+x=90$

$6x=90$

$x=\frac{90}{6}=\boldsymbol{15}$

$x+\frac{1}{3}=\frac{x}{3}$

Solución

$x+\frac{1}{3}=\frac{x}{3}$

$3\left ( x+\frac{1}{3} \right )=3\left ( \frac{x}{3} \right )$

$3x+\frac{3}{3}=\frac{3x}{3}$

$3x+1=x$

$3x-x=-1$

$2x=-1$

$x=\boldsymbol{-\frac{1}{2}}$

$x+7=12x-3-8x+1$

Solución

$x+7=12x-3-8x+1$ $x+7=12x-3+8x+1$

$x-12x+8x=-3+1-7$

$-3x=-9$

$x=\frac{-9}{-3}=\boldsymbol{3}$

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Ecuaciones y despejes”

Este artículo contiene información complementaria referente al manejo de las ecuaciones y los despejes. También presenta una serie de ejercicios resueltos y propuestos de ecuaciones lineales.

VER

Artículo “Ecuaciones”

Con este recurso podrá complementar la información y los ejemplos sobre ecuaciones de primer grado con una incógnita.

VER

CAPÍTULO 2 / TEMA 2

OPERACIONES COMBINADAS

En ocasiones necesitamos efectuar cálculos que combinan varios tipos de números y, por lo tanto, diferentes tipos de operaciones. Para estos casos lo más importante es saber las jerarquías o el orden en el que debemos resolverlos, y para eso están los signos de agrupación. Aprendamos cuáles son y cómo usarlos.

SIGNOS DE AGRUPACIÓN

En matemática, los signos de agrupación hacen referencia a los paréntesis “( )”, corchetes “[ ]” y llaves “{ }” que empleamos para saber el orden o prioridad en el que realizamos las operaciones. En este sentido, existe una convención respecto a la jerarquía de estos signos:

En primer lugar, resolvemos los cálculos que se encuentran entre paréntesis “( )”.
En segundo lugar, realizamos los cálculos que están agrupados dentro de los corchetes “[ ]”.
Finalmente, hacemos las operaciones que están dentro de las llaves “{ }”.

¿Sabías qué?

En una ecuación no deberían aparecer corchetes sin la presencia de paréntesis, ya que los paréntesis tienen la prioridad en el orden de operaciones.

Operaciones combinadas en la calculadora

Muchas calculadoras u hojas de cálculo no utilizan los corchetes ni las llaves para jerarquizar el orden de operaciones combinadas y solo aplican los paréntesis para indicar qué operaciones se realizan primero. Por ejemplo, si deseamos resolver la operación:

$\sqrt{\frac{\left ( 27-15 \right )\times 8}{\left [ (11+39)-(47-19) \right ]\times 6}}$

El modo de introducir esta operación en algunas calculadoras (con entrada de datos SVPAM) sería:

Como observamos, hay diferentes niveles de jerarquía en los paréntesis, que en este caso, los denotamos por colores.

En las calculadoras también debemos emplear los signos de agrupación para indicar el orden de las operaciones. El uso incorrecto de los paréntesis, o su omisión cuando se necesiten, arrojará resultados erróneos. Por ejemplo, la operación (12 − 10) / 4 da como resultado 0,5; sin embargo, si obviamos los paréntesis y solo escribimos 12 − 10 / 4, el resultado será 9,5.

METODOLOGÍA PARA RESOLVER PROBLEMAS COMBINADOS

Cuando se presentan ejercicios que combinan diversas operaciones, así como diferentes tipos de números, es recomendable que sigamos los siguientes pasos:

1. Identificamos los signos de agrupación que aparecen en el ejercicio para saber el orden en el que vamos a resolver los términos. En este ejemplo tenemos paréntesis, corchetes y llaves.

$\frac{1}{12}\times \left \{ -36\times \left [ \frac{5}{3}\times \left ( -\frac{9}{4}\times 7,81+22,06 \right ) \right ] \right \}=$

2. Realizamos primero las operaciones que se encuentran dentro del paréntesis.

$\frac{1}{12}\times \left \{ -36\times \left [ \frac{5}{3}\times \left ( {\color{Red} -\frac{9}{4}\times 7,81+22,06} \right ) \right ] \right \}=$

Multiplicación y división primero

Si en una operación tenemos dos o más términos que se suman o restan y no hay paréntesis, pero a su vez cada término tiene una multiplicación o una división, primero hacemos la multiplicación o la división antes de hacer la suma o la resta.

Multiplicamos la fracción por 7,81 ya que esta operación tiene prioridad sobre la suma. Las multiplicaciones se resuelven de manera lineal, así que basta con multiplicar −9 × 7,81, y dividir el producto de esta multiplicación entre el denominador de la fracción (4).

$-9\times 7,81 = -70,29$

$-70,29\div 4=-17,5725$

Luego realizamos la suma de este resultado con 22,06. Como se trata de una suma de números con signos diferentes, empleamos una regla de los signos: ambos números se restan y se mantiene el signo del número con mayor valor absoluto.

$(-17.5725)+ (22,06)=4,4875$

3. Una vez que realizamos todas las operaciones dentro del paréntesis, lo eliminamos y agregamos el resultado obtenido. Luego seguimos con las operaciones dentro de los corchetes:

$\frac{1}{12}\times \left \{ -36\times \left [ {\color{Blue} \frac{5}{3}}{\color{Blue} \times 4,4875} \right ] \right \}=$

Multiplicamos el número decimal por 5 y el producto lo dividimos entre 3.

$5\times 4,4875=22,4375$

$22,4375\div 3\approx 7,48$

4. Eliminamos los corchetes y colocamos el resultado obtenido. A continuación, realizamos la operación dentro de las llaves:

$\frac{1}{12}\times \left \{{\color{Green} -36\times 7,48} \right \}=$

Multiplicamos el número negativo por el número decimal. Aplicamos la regla de los signo para la multiplicación: (−)(+)=(−).

$-36\times 7,48 = -269,28$

5. Por último, resolvemos la multiplicación. En este caso solo tenemos que multiplicar el resultado anterior por la fracción 1/12, lo que es igual a solo dividir entre 12 el número −269,28.

$1\times -269,28=-269,28$

$-269,28\div 12=-22,44$

6. Escribimos el resultado:

$\frac{1}{12}\times \left \{ -36\times \left [ \frac{5}{3}\times \left ( -\frac{9}{4}\times 7,81+22,06 \right ) \right ] \right \}=\boldsymbol{-22,44}$

En ocasiones no se utilizan todos los signos de agrupación y se trabaja solo con paréntesis que tienen diferentes jerarquías como podemos ver en la parte superior de la imagen. En este caso, debemos resolver primero las operaciones que están dentro de los paréntesis más internos hasta terminar con los paréntesis externos.

EJERCICIOS COMBINADOS

Los ejercicios combinados pueden involucrar diferentes tipos de números y además varias operaciones, y de ser necesario, el orden para realizarlos viene determinado por los signos de agrupación.

Si los términos dentro de un signo de agrupación contienen diferentes tipos de números, por ejemplo, fracciones, decimales, potencias o radicales; será necesario que realicemos primero una transformación para unificar el tipo de número antes de resolver.

– Ejemplo:

$\left \{ \frac{8}{12}\left [ 5^{3}-\left ( \frac{9}{7}-\frac{2}{3} \right ) \right ]+\sqrt{4} \right \}=$

Primero resolvemos la operación dentro de los paréntesis:

$\left \{ \frac{8}{12}\left [ 5^{3}-\left ({\color{Red} \frac{9}{7}-\frac{2}{3} }\right ) \right ]+\sqrt{4} \right \}=$

En este caso, es una resta de fracciones:

$\frac{9}{7}-\frac{2}{3}=\frac{27-14}{21}=\frac{13}{21}$

Eliminamos los paréntesis y colocamos el resultado. Luego resolvemos la operación dentro de los corchetes:

$\left \{ \frac{8}{12}\left [ {\color{Blue} 5^{3}-\frac{13}{21}} \right ]+\sqrt{4} \right \}=$

Resolvemos la potencia:

$5^{3}=5\times 5\times 5 = 125$

Después resolvemos la resta:

$\frac{125}{1}-\frac{13}{21}=\frac{2.625-13}{21}=\frac{2.612}{21}$

Expresamos la fracción como su número decimal equivalente por medio de una división entre su numerador y denominador:

$2.612\div 21=124,38$

Eliminamos lo corchetes y escribimos el nuevo resultado. Ahora, resolvemos las operaciones dentro de las llaves:

$\left \{ {\color{Green} \frac{8}{12}\times 124,38} +\sqrt{4}\right \}=$

Tenemos dos operaciones dentro de las llaves, y como las multiplicaciones tienen prioridad sobre las sumas, hacemos la multiplicación de la fracción con el número decimal primero:

$8\times 124,38=995,04$

$995,04\div 12=82,92$

Después realizamos la suma con el radical:

$\left \{ 82,92+\sqrt{4} \right \}=$

Resolvemos la raíz cuadrada. En este caso, es un cuadrado perfecto y la raíz es exacta.

$\sqrt{4}=2$

Finalmente sumamos:

$82,92+2=84,92$

Por último, escribimos el resultado:

$\left \{ \frac{8}{12}\left [ 5^{3}-\left ( \frac{9}{7}-\frac{2}{3} \right ) \right ]+\sqrt{4} \right \}=\boldsymbol{84,92}$

Las operaciones básicas utilizadas en aritmética son la suma, la resta, la multiplicación y la división. Sin embargo, podemos encontrar otras operaciones, como la potenciación, que en esencia es una multiplicación sucesiva de factores iguales. Por ejemplo, si queremos conocer el resultado de 2³, solo efectuamos la operación 2 x 2 x 2 = 8.

¡A practicar!

Determina la solución de los siguientes ejercicios combinados.

$\frac{8}{9}\left \{ -14,7+\frac{6^{3}}{4}\left [ 3^{2}+\sqrt{9}\times \left ( 6,5-\frac{13}{4} \right ) \right ] \right \}=$

Solución

$\frac{8}{9}\left \{ -14,7+\frac{6^{3}}{4}\left [ 3^{2}+\sqrt{9}\times \left ( 6,5-\frac{13}{4} \right ) \right ] \right \}=\boldsymbol{886,9\widehat{3}}$

$\left \{ \frac{1}{3}\times \frac{7}{8}+\sqrt{4}\left [ 2^{3}-\frac{21}{9}\left ( 0,75+\frac{3}{2} \right ) \right ] \right \}=$

Solución

$\left \{ \frac{1}{3}\times \frac{7}{8}+\sqrt{4}\left [ 2^{3}-\frac{21}{9}\left ( 0,75+\frac{3}{2} \right ) \right ] \right \}=\boldsymbol{5,79}$

$2\left \{5^{3} \left [ \frac{1}{5}\left ( 8,36-\sqrt{25} \right )+3 \right ] \right \}=$

Solución

$2\left \{5^{3} \left [ \frac{1}{5}\left ( 8,36-\sqrt{25} \right )+3 \right ] \right \}=\boldsymbol{918}$

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “¿Cómo realizar ejercicios combinados con fracciones?”

Este recurso describe por medio de ejemplos el procedimiento para realizar operaciones combinadas entre números naturales, fracciones y potencias.

VER

Artículo “Los números irracionales”

El enlace que se presenta explica las características y propiedades de los números irracionales, así como ejemplos de esta categoría de números.

VER

Artículo “Resolución de cálculos combinados con paréntesis, corchetes y llaves”

Con este material podrá expandir la práctica sobre las operaciones combinadas y sus respectivos signos de agrupación.

VER

CAPÍTULO 2 / TEMA 1

OPERACIONES CON DECIMALES

En la vida cotidiana muchas cantidades están expresadas con números decimales, tales como los precios de los artículos en un supermercado o la estatura de las personas. Estos números se componen de dos partes: una entera y una decimal o inferior a la unidad. A continuación verás cómo resolver operaciones con decimales.

Por lo general, los precios de los artículos en los supermercados son expresados con números decimales sin importar la moneda utilizada. También podemos ver números decimales en algunas frecuencias de las emisoras de radio, en la capacidad de algunos envases, y en una de las constantes más famosas de las matemáticas: la constante π (pi).

VER INFOGRAFÍA

OPERACIONES BÁSICAS CON DECIMALES

Suma

Para realizar la adición de números decimales debemos ubicar las cifras una debajo de la otra, de tal manera que las comas queden alineadas en una misma columna. Además, todos los números a sumar deben tener igual cantidad de dígitos en la parte decimal, de lo contrario, agregamos los ceros que sean necesarios para igualar las cifras. Por ejemplo:

– Resuelve esta operación:

7,2139 + 1.042 + 0,065 + 38,50 =

Lo primero que hacemos es ubicar todas las cifras una debajo de la otra y nos aseguramos de que las comas queden alineadas verticalmente. Añadimos ceros a las números que sean necesarios para que todos tengan la misma cantidad de decimales:

Luego sumamos cada dígito de derecha a izquierda. Los números en círculo azul indican el orden en que sumamos las columnas. Observa que la coma está en la misma línea vertical.

Por lo tanto, el resultado es el siguiente:

7,2139 + 1.042 + 0,065 + 38,50 = 1.087,7789

Las operaciones con números decimales se realizan de manera muy similar a como trabajamos con los números enteros. La única diferencia es que debemos mantener la coma en la misma línea vertical. Si vamos a sumar decimales, sumamos las columnas de derecha a izquierda con la coma alineada. Con este procedimiento podemos resolver la adición de cualquier cantidad de números.

Resta

El procedimiento para la resta o sustracción de números decimales es similar a la sustracción con números enteros. Recordemos, además, que la regla para la suma algebraica establece que cuando dos números tienen signos iguales se suman y se coloca el mismo signo, mientras que cuando los números tienen signos diferentes se restan y se coloca el signo del número mayor. Por ejemplo:

– Resuelve esta operación:

(+9.821,13) + (−20.130) =

Como observamos, se trata de una suma algebraica de dos números que tienen signos diferentes, por lo tanto, tratamos la operación como una resta y al resultado le colocamos el signo del número mayor.

Primero ubicamos las dos cifras a restar: en la parte superior el número mayor y en la parte inferior el número menor. Verificamos que las comas están alineadas de forma vertical y, de ser necesario, completamos con ceros los decimales de alguna de las cifras hasta que ambas tengan la misma cantidad de dígitos en su parte decimal.

Procedemos a realizar la resta del mismo modo que hacemos con los números enteros, pero agregamos la coma en el lugar que corresponde, es decir, alineada con la columna de las comas.

Finalmente, colocamos el signo que corresponda. En este caso, el valor absoluto de −20.130 es mayor que el valor absoluto de +9.821. Por esta razón, el signo que se mantiene en el resultado es el signo negativo.

(+9.821,13) + (−20.130) = −10.308,87

Valor absoluto

El valor absoluto de un número es igual a la distancia que existe entre ese número y cero.

$\left | 15 \right | = 15$

$\left | -1.259 \right | = 1.259$

$\left | -20.130 \right |=20.130$

La resta también la podemos considerar como una suma algebraica de dos números que tienen signos diferentes. El resultado siempre tendrá el signo del número con mayor valor absoluto. A diferencia de la suma, en la resta conviene que restemos cantidades de dos en dos. Además, debemos ubicar al número mayor en la parte superior y al menor en la parte inferior.

Multiplicación

En el caso del producto entre dos cifras decimales, el procedimiento es el mismo que aplicamos para los números enteros, y al resultado final le agregamos la coma con la cantidad de espacios (de derecha a izquierda) equivalentes al número de cifras decimales totales que haya en los factores. Por ejemplo:

– Resuelve esta operación:

3.807,93 × 186,2 =

Primero multiplicamos el último término del multiplicador (será el pivote) por cada uno de los términos del multiplicando.

Después multiplicamos el siguiente término del multiplicador (será ahora el pivote) por cada uno de los términos del multiplicando. Anotamos los resultados en la segunda línea pero dejamos un espacio debajo del primer dígito.

Repetimos este procedimiento hasta que el primer término del multiplicador haya multiplicado todos los términos del multiplicando. Siempre dejamos un espacio debajo del primer dígito desde la derecha de cada número.

Luego sumamos todos los resultados de las multiplicaciones.

Por último, ubicamos la coma en el resultado. Para esto, contamos de derecha izquierda la cantidad de espacios equivalente al número total de decimales que tienen tanto el multiplicando como el multiplicador; en este caso, hay tres decimales en el resultado, pues el multiplicando 3.807,93 tiene dos decimales: 9 y 3, y el multiplicador 186,2 tiene un decimal: 2.

Entonces:

3.807,93 × 186,2 = 70.903,566

División

Al dividir el numerador por el denominador de una fracción, el resultado puede ser un número decimal, por lo tanto, las fracciones y los números decimales son expresiones equivalentes. Además, la notación empleada para denotar los números decimales puede ser a través de coma o de punto como se observa en la imagen.

La división que involucre números decimales implica a su vez tres posibles casos:

1. El dividendo es un número entero y el divisor es un número decimal.

En este caso, convertimos al divisor en un número entero. Para ello, agregamos al dividendo tantos ceros a la derecha como cantidad de espacios se movió la coma del divisor para convertirlo en entero. De este modo, tendremos una división de números enteros. Por ejemplo, si deseamos dividir 12 ÷ 1,5 seguimos estos pasos:

Entonces, el resultado de la división es el siguiente:

12 ÷ 1,5 = 8

2. El dividendo es un número decimal y el divisor es un número entero.

Aquí el procedimiento es similar a la división entre números enteros, con la única salvedad de que cuando bajamos el dígito del dividendo que se encuentra a la derecha de la coma, agregamos una coma en el cociente. Por ejemplo, la división: 78,6 ÷ 24.

Entonces, el resultado de la división es el siguiente:

78,6 ÷ 24 = 3,275

3. El dividendo y el divisor son números decimales.

En este caso, convertimos primero el divisor en un número entero y desplazamos la coma a la derecha tanto en el dividendo como en el divisor hasta que el divisor sea entero. De ser necesario, agregamos en el dividendo ceros a la derecha. Por ejemplo, la división: 93,48 ÷ 51,2.

Entonces, el resultado de la división es el siguiente:

93,48 ÷ 51,2 = 1,82578125

OPERACIONES ENTRE NÚMEROS DECIMALES Y OTROS NÚMEROS

Es posible que en ocasiones necesitemos realizar operaciones combinadas con números decimales y otros números, por ejemplo, con fracciones. En ese caso, podemos transformar los números decimales a fracciones o convertir las fracciones a números decimales si dividimos el numerador por el denominador como veremos en este tema.

Veamos el siguiente ejemplo y determinemos el resultado de:

$\frac{3}{4} + 0,9277 \times \frac{7}{4} =$

Existen diversas formas de resolver este problema, sin embargo, el orden siempre será el mismo: primero la multiplicación y al final la suma. Los pasos son los siguientes:

1. Resolvemos la multiplicación del número decimal con la fracción 7/4. Para esto debemos multiplicar 0,9277 por 7 y luego dividimos el resultado obtenido por cuatro (4).