En ocasiones necesitamos efectuar cálculos que combinan varios tipos de números y, por lo tanto, diferentes tipos de operaciones. Para estos casos lo más importante es saber las jerarquías o el orden en el que debemos resolverlos, y para eso están los signos de agrupación. Aprendamos cuáles son y cómo usarlos.
SIGNOS DE AGRUPACIÓN
En matemática, los signos de agrupación hacen referencia a los paréntesis “( )”, corchetes “[ ]” y llaves “{ }” que empleamos para saber el orden o prioridad en el que realizamos las operaciones. En este sentido, existe una convención respecto a la jerarquía de estos signos:
En primer lugar, resolvemos los cálculos que se encuentran entre paréntesis “( )”.
En segundo lugar, realizamos los cálculos que están agrupados dentro de los corchetes “[ ]”.
Finalmente, hacemos las operaciones que están dentro de las llaves “{ }”.
¿Sabías qué?
En una ecuación no deberían aparecer corchetes sin la presencia de paréntesis, ya que los paréntesis tienen la prioridad en el orden de operaciones.
Operaciones combinadas en la calculadora
Muchas calculadoras u hojas de cálculo no utilizan los corchetes ni las llaves para jerarquizar el orden de operaciones combinadas y solo aplican los paréntesis para indicar qué operaciones se realizan primero. Por ejemplo, si deseamos resolver la operación:
El modo de introducir esta operación en algunas calculadoras (con entrada de datos SVPAM) sería:
Como observamos, hay diferentes niveles de jerarquía en los paréntesis, que en este caso, los denotamos por colores.
En las calculadoras también debemos emplear los signos de agrupación para indicar el orden de las operaciones. El uso incorrecto de los paréntesis, o su omisión cuando se necesiten, arrojará resultados erróneos. Por ejemplo, la operación (12 − 10) / 4 da como resultado 0,5; sin embargo, si obviamos los paréntesis y solo escribimos 12 − 10 / 4, el resultado será 9,5.
METODOLOGÍA PARA RESOLVER PROBLEMAS COMBINADOS
Cuando se presentan ejercicios que combinan diversas operaciones, así como diferentes tipos de números, es recomendable que sigamos los siguientes pasos:
1. Identificamos los signos de agrupación que aparecen en el ejercicio para saber el orden en el que vamos a resolver los términos. En este ejemplo tenemos paréntesis, corchetes y llaves.
2. Realizamos primero las operaciones que se encuentran dentro del paréntesis.
Multiplicación y división primero
Si en una operación tenemos dos o más términos que se suman o restan y no hay paréntesis, pero a su vez cada término tiene una multiplicación o una división, primero hacemos la multiplicación o la división antes de hacer la suma o la resta.
Multiplicamos la fracción por 7,81 ya que esta operación tiene prioridad sobre la suma. Las multiplicaciones se resuelven de manera lineal, así que basta con multiplicar −9 × 7,81, y dividir el producto de esta multiplicación entre el denominador de la fracción (4).
Luego realizamos la suma de este resultado con 22,06. Como se trata de una suma de números con signos diferentes, empleamos una regla de los signos: ambos números se restan y se mantiene el signo del número con mayor valor absoluto.
3. Una vez que realizamos todas las operaciones dentro del paréntesis, lo eliminamos y agregamos el resultado obtenido. Luego seguimos con las operaciones dentro de los corchetes:
Multiplicamos el número decimal por 5 y el producto lo dividimos entre 3.
4. Eliminamos los corchetes y colocamos el resultado obtenido. A continuación, realizamos la operación dentro de las llaves:
Multiplicamos el número negativo por el número decimal. Aplicamos la regla de los signo para la multiplicación: (−)(+)=(−).
5. Por último, resolvemos la multiplicación. En este caso solo tenemos que multiplicar el resultado anterior por la fracción 1/12, lo que es igual a solo dividir entre 12 el número −269,28.
6. Escribimos el resultado:
En ocasiones no se utilizan todos los signos de agrupación y se trabaja solo con paréntesis que tienen diferentes jerarquías como podemos ver en la parte superior de la imagen. En este caso, debemos resolver primero las operaciones que están dentro de los paréntesis más internos hasta terminar con los paréntesis externos.
EJERCICIOS COMBINADOS
Los ejercicios combinados pueden involucrar diferentes tipos de números y además varias operaciones, y de ser necesario, el orden para realizarlos viene determinado por los signos de agrupación.
Si los términos dentro de un signo de agrupación contienen diferentes tipos de números, por ejemplo, fracciones, decimales, potencias o radicales; será necesario que realicemos primero una transformación para unificar el tipo de número antes de resolver.
– Ejemplo:
Primero resolvemos la operación dentro de los paréntesis:
En este caso, es una resta de fracciones:
Eliminamos los paréntesis y colocamos el resultado. Luego resolvemos la operación dentro de los corchetes:
Resolvemos la potencia:
Después resolvemos la resta:
Expresamos la fracción como su número decimal equivalente por medio de una división entre su numerador y denominador:
Eliminamos lo corchetes y escribimos el nuevo resultado. Ahora, resolvemos las operaciones dentro de las llaves:
Tenemos dos operaciones dentro de las llaves, y como las multiplicaciones tienen prioridad sobre las sumas, hacemos la multiplicación de la fracción con el número decimal primero:
Después realizamos la suma con el radical:
Resolvemos la raíz cuadrada. En este caso, es un cuadrado perfecto y la raíz es exacta.
Finalmente sumamos:
Por último, escribimos el resultado:
Las operaciones básicas utilizadas en aritmética son la suma, la resta, la multiplicación y la división. Sin embargo, podemos encontrar otras operaciones, como la potenciación, que en esencia es una multiplicación sucesiva de factores iguales. Por ejemplo, si queremos conocer el resultado de 23, solo efectuamos la operación 2 x 2 x 2 = 8.
¡A practicar!
Determina la solución de los siguientes ejercicios combinados.
Solución
Solución
Solución
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “¿Cómo realizar ejercicios combinados con fracciones?”
Este recurso describe por medio de ejemplos el procedimiento para realizar operaciones combinadas entre números naturales, fracciones y potencias.
Seguramente ya conoces qué es la potenciación, pero ¿sabías que hay otro tipo de operación muy relacionada con ella? Esta es la radicación y consiste en encontrar un número que al multiplicarse por sí mismo tenga como producto otro número determinado. La radicación es la operación inversa a la potenciación. Hoy aprenderás qué es y cómo calcularla.
¿Qué es la radicación?
Es una operación en la que hallamos raíces de orden n de un determinado número. La raíz n-ésima de un número a es igual a un número b que elevado a la n resulta en a.
Ejemplo:
Como ves, la radicación y la potenciación tienen mucho en común, incluso en sus elementos. De modo que también podemos expresar a un radical como una potencia de exponente fraccionario.
Ejemplo:
Relación entre potenciación y radicación
Existe una gran relación complementaria entre la potenciación y la radicación, y la podemos observar con la semejanza que existe entre los elementos que la componen.
Al exponente de la potencia se lo llama índice de radical.
Al resultado denominado potencia se lo llama raíz.
A la base de la potencia se la llama radicando.
Elementos de los radicales
Al igual que en la potenciación, aquí existen 3 elementos a definir que son los que componen la radicación:
Índice (n): orden de la raíz que se aplica al radicando. Indica cuántas veces multiplicamos un número por sí mismo para obtener el radicando.
Radicando (a): número sometido a la raíz del orden determinado por el índice.
Raíz (b): resultado de la radicación, el cual elevado al orden de la raíz da como resultado el radicando.
¿Sabías qué?
Si el radicando es un número negativo, y el índice es par, no podrá aplicarse la operación de radicación porque el resultado no pertenecerá a los reales.
Raíces cuadradas y cúbicas
De la misma manera que en la potenciación, cuando el índice de la raíz es n = 2 y n = 3 merece una distinción. Por lo tanto, a estos los vamos a denominar como raíz cuadrada y cúbica, respectivamente.
La raíz cuadrada es aquella cuyo índice es 2. No es necesario escribir el índice de la raíces cuadradas. Por ejemplo:
Se lee “raíz cuadrada de nueve”.
La raíz cúbica es aquella cuyo índice es 3. Por ejemplo:
Se lee “raíz cúbica de 8”.
Para encontrar la solución de un radical se debe pensar: ¿qué número habrá que elevar al índice n para que el resultado sea el valor del radicando? Ese número será el resultado denominado como raíz. Por ejemplo, para resolver √9 se debe pensar: ¿qué número debo elevar al cuadrado (n = 2) para que el resultado sea 9?. La respuesta es 3.
Solución de raíces
La solución de una raíz depende principalmente del radicando y del índice de la raíz. En algunas ocasiones puede tener una o dos soluciones y, en otros casos, puede que no tenga solución.
Radicando mayor que cero con n par.
Hay dos soluciones: una positiva y una negativa.
Radicando mayor que cero con n impar.
Hay una solución positiva.
Radicando menor que cero con n par.
No tiene solución dentro de los números reales.
Radicando menor que cero con n impar.
Hay una sola negativa.
[/su_note]
– Ejemplos de raíces:
¿Sabías qué?
Cuando el índice de potencia es una fracción se puede expresar como un radical. Por ejemplo: 91/3 = 3√9
¡A practicar!
¿Cuál es el resultado de los siguientes ejercicios?
Solución
Solución
Solución
La radicación es la operación opuesta a la potenciación y consiste en hallar raíces de orden n de un determinado número. Consta de tres elementos llamados índice, radicando y raíz. El símbolo usado para mostrar esta operación se lo conoce como raíz o radical y el primero en utilizarlo fue el matemático Christoph Rudolff en 1525.
Raíces exactas e inexactas
La raíz cuadrada exacta es aquella que tiene como radicando un cuadrado perfecto, mientras que la raíz cuadrada inexacta es la que no tiene como radicando un cuadrado perfecto.
Cuadrados perfectos
Un cuadrado perfecto resulta de multiplicar un número por sí mismo dos veces. Estos números los podemos ordenar en un cuadrado, por ejemplo, 9 es un cuadrado perfecto porque lo podemos escribir como 3 x 3 y lo ordenamos como:
En esta tabla verás la relación de los diez primeros cuadrados perfectos con sus raíces:
Cuadrado perfecto
Raíz cuadrada exacta
Pero no todos los números tienen raíces cuadradas exactas. En esos casos, calculamos la raíz cuadrada entera y luego contamos el resto. Por ejemplo, 55 no tiene raíz cuadrada exacta porque 72 = 49 y 82 = 64.
Por aproximación o tanteo, decimos que la raíz cuadrada entera de 55 es 7 y el resto lo obtenemos por la resta 55 − 49 = 6.
Entonces, .
¡A practicar!
1. ¿Qué tipo de raíz dará como resultado cada uno de los siguientes ejercicios?
Solución
Raíz exacta.
Solución
Raíz inexacta.
Solución
Raíz inexacta.
Solución
Raíz inexacta
2. Completa.
Solución
Solución
Solución
Solución
3. Resuelve las siguientes raíces cuadradas.
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “La radicación”
En es artículo encontrará los aspectos inherentes a la radicación y encontrará una introducción a las propiedades de radicación y potenciación.
En la vida diaria usamos números para decir nuestra edad, dar la hora o para contar. Todos estos números son los que conocemos como números naturales, pero no siempre son útiles. Por ejemplo, si nos comemos medio alfajor, un cuarto de torta, o compramos medio kilo de naranjas, necesitamos emplear otro tipo de números: los fraccionarios.
¿Qué es una fracción?
Una fracción es la forma de representar una parte de un todo. Así, si queremos decir que nos comimos medio alfajor, lo podemos pensar como que a nuestro todo, el alfajor, lo cortamos en dos y de esas dos partes nos comimos una. En forma de fracción lo escribimos como:
En el numerador escribimos la cantidad que nos comimos y en el denominador la cantidad en la que cortamos el alfajor.
Los egipcios trabajaban con fracciones para indicar la distribución del pan, para la construcción de las pirámides y para estudiar las medidas de la Tierra. Ellos usaban fracciones llamadas “unitarias” porque todas tenían numerador 1.
Para resolver el problema de repartir 6 panes entre 10 hombres ellos decían que a cada uno le tocaba panes. Esto significaba que cada pan lo dividían en mitades y el último lo hacían en décimos.
¡A practicar!
Escribe las fracciones que están representadas por los gráficos:
Solución
Cantidad de divisiones: 8
Partes sombreadas: 3
Solución
Cantidad de divisiones: 8
Partes sombreadas: 4
Solución
Cantidad de divisiones: 8
Partes sombreadas: 5
Una fracción nos indica dos cosas: las partes en las que se ha dividido un todo y las partes que se han tomado de ese todo. Al primero lo llamamos denominador y al segundo lo llamamos numerador. Por ejemplo, en la imagen vemos un círculo que está dividido en 6 partes iguales, pero solo una, la parte azul, fue tomada. Esa pieza azul representa 1/6 del total.
Tipos de fracciones
Las fracciones se pueden clasificar en:
Propias: son las que tienen numerador menor al denominador. Esto quiere decir que representan un número menor a 1 entero. Ejemplo:
Impropias: son las que tienen el numerador mayor al denominador y representan números mayores a 1 entero. Ejemplo:
Aparentes: son aquellas en las que el numerador es múltiplo del denominador, por lo cual, al dividirlos resulta un número entero. Ejemplo:
También podemos clasificarlas en:
Puras: son las que se representan únicamente con una fracción.
Ejemplo: o
Mixtas: son las que se representan con una parte entera y una parte fraccionaria. Para esto, es necesario que la fracción sea más grande que 1 entero.
Ejemplo: o
¡A practicar!
Clasifica las siguientes fracciones en propias, impropias o aparentes
Solución
Propias
Impropias
Aparentes
¿Cómo convertimos una fracción impropia pura a una fracción impropia mixta y viceversa?
De impropia pura a mixta
Dividimos el numerador con el denominador y, según los valores obtenidos, los representamos de la siguiente manera:
De impropia mixta a pura
Multiplicamos el denominador por el entero y le sumamos el numerador. Este valor nos da el numerador de la fracción pura, mientras que el denominador de ambas es el mismo.
Una fracción mixta nos da una información más visible que una fracción impropia. Por ejemplo, si nosotros tenemos 7 galletitas para compartir entre tres amigos, sabemos que 7 dividido 3 nos da 2, o sea, 2 galletitas para cada uno. Pero la que nos sobra la partimos en tres partes y nos toca 1 parte a cada uno. Es decir, cada uno comerá 2 1/3 de galletitas.
Fracción irreducible
Una fracción es irreducible cuando su numerador y su denominador solo tienen como divisor común al 1.
Recordemos el mcd
Para calcularlo descomponemos los números en sus factores primos.
– Ejemplo: halla el mcd entre 15 y 18.
Ahora solo debemos elegir los factores que se repiten en ambos y la menor cantidad de veces que aparece. En este caso, el que se repite es el 3 y aparece una sola vez en el 15.
Entonces:
Veamos algunas fracciones para ver si son irreducibles:
– Ejemplo 1:
Como ya vimos, podemos escribir los números como descomposición de sus factores primos y calcular su mcd:
Entonces, los números 15 y 4 no tienen factores en común por lo tanto la fracción es irreducible.
– Ejemplo 2:
Descomponemos cada número en sus factores primos y calculamos el mcd.
Los números 6 y 8 tienen un factor en común, el número 2, por lo tanto la fracción no es irreducible. Para convertirla en una fracción irreducible lo único que tenemos que hacer es dividir al numerador y denominador por el factor que tienen en común.
Y ahora la fracción que se obtuvo es irreducible.
¡A practicar!
Señala cuáles de las siguientes fracciones son irreducibles
Solución
simplificación de fracciones
Simplificar una fracción significa “achicarla” tanto como podamos, o sea, hacerla irreducible. Como lo vimos antes, para convertir una fracción en irreducible hay que dividir el numerador y el denominador por un número que sea divisor de ambos (mcd).
Este valor lo podemos buscar por medio de los factores primos, o si nos damos cuenta, podemos calcular por cuáles números se pueden dividir ambos. Podemos dividir tantas veces como consideremos necesarias hasta lograr la fracción irreducible.
También usamos las fracciones para decir la hora. Por ejemplo, si dividimos el reloj a la mitad como en la foto, podemos decir que son las nueve y media. Pero también lo podemos dividir en cuatro partes. Entonces, cuando la aguja de los minutos esté en el 3 diremos que son las nueve y cuarto, y cuando esté en el 9 diremos que falta un cuarto de hora para la diez.
Hagamos algunos ejemplos:
– Ejemplo 1:
Ambas fracciones fueron divididas por 5.
– Ejemplo 2:
Ambas fracciones fueron divididas por 2.
– Ejemplo 3:
Ambas fracciones fueron divididas primero por 5 y después por 3.
¡A practicar!
1. Simplifica las siguientes fracciones hasta su fracción irreducible.
Solución
Solución
Solución
2. Clasifica las siguientes fracciones, en caso de que sea impropia escríbela como fracción mixta. Luego, indica si la fracción es irreducible. Si no lo es, simplifica.
Solución
Fracción propia. No es irreducible.
Simplificación:
Solución
Fracción impropia. No es irreducible.
Fracción mixta:
Solución
Fracción propia. No es irreducible.
Simplificación:
Solución
Fracción impropia. Es irreducible.
La fracción mixta es:
Solución
Fracción propia. Es irreducible.
Solución
Fracción propia. No es irreducible.
Simplificación:
Solución
Fracción aparente. No es irreducible.
La fracción es igual a .
Solución
Fracción impropia. No es irreducible.
Fracción mixta:
Solución
Fracción impropia. No es irreducible.
Fracción mixta:
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo sobre “Fracciones”
Es un artículo didáctico con más ejemplos sobre la representación y clasificación de las fracciones.
La potencia, también llamada potenciación, es una operación matemática que implica multiplicar varias veces un mismo número. Como todo cálculo matemático, tiene sus partes y propiedades. A continuación, aprenderás cuáles son sus características y cómo resolver problemas de este tipo.
¿Qué es la potencia?
La potencia es una multiplicación abreviada. Esta operación consiste en multiplicar un número llamado base la cantidad de veces que indique otro número llamado exponente. Los exponentes los colocamos como superíndice de un número.
Donde:
a: base
n: exponente
¿Sabías qué?
La radicación es la operación inversa a la potenciación.
Elementos de la potencia
Toda potencia está formada por dos elementos:
La base: es el factor que será multiplicado n cantidad de veces.
El exponente: es el número de veces que se multiplica la base por sí misma.
Cálculo de la potencia de un número
Para calcular la potencia de un número debemos tener conocimientos sobre la multiplicación, ya que el proceso consiste en aplicar esta operación de forma repetitiva.
– Ejemplo:
53 = 5 · 5 · 5 = 125
Como el exponente es 3, multiplicamos la base tres veces por sí misma.
– Otros ejemplos:
23 = 2 · 2 · 2 = 8
32 = 3 · 3 = 9
64 = 6 · 6 · 6 · 6 = 1.296
Casos especiales
Cuando el exponente es 1, el resultado será igual a la base.
81 = 8
121 = 12
Cuando el exponente es 0, el resultado siempre será 1.
30 = 1
250 = 1
Cuando la base es 0, el resultado siempre sera 0.
05 = 0
08 = 0
Cuando el exponente es igual a dos (2), decimos que un número está elevado al cuadrado. Esto lo vemos en ecuaciones matemáticas como la del teorema de Pitágoras. Este teorema explica la relación entre los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Así, si la hipotenusa mide “c”, y la medida de los catetos es “a” y “b”, se verifica que c2 = a2 + b2.
Potencia base 10
Cuando la base es igual a 10 solo se deben añadir tantos ceros como indique el exponente. Por ejemplo:
104 = 10.000
102 = 100
101 = 10
Lectura de potencias
Existen dos formas válidas de leer potencias:
1. Nombrar el número de la base seguido de la expresión “elevado a“. Luego nombrar el número del exponente.
65 se lee “seis elevado a cinco”.
28 se lee “dos elevado a ocho”.
2. Nombrar el número de la base seguido de de la expresión “a la“. Luego nombrar el número de exponente como un número ordinal femenino.
65 se lee “seis a la quinta”.
28 se lee “dos a la octava”.
Cuadrados y cubos
Las potencias tienen una estrecha relación con el cálculo del área y el volumen de figuras geométricas. Gracias a esto, cuando el exponente es 2, la potencia se llama cuadrado; y cuando el exponente es 3, la potencia se llama cubo.
Por ejemplo, si un cuadrado está formado por tres cuadros más pequeños por cada lado, basta con hacer este cálculo de 32 que se lee “tres al cuadrado”:
32 = 3 · 3 = 9
En cambio, si tenemos un cubo compuesto por tres cubos más pequeños en sus tres dimensiones: alto, ancho y profundidad, calcularemos 33 que se lee “tres al cubo”:
33 = 3 · 3 · 3 = 27
Entonces, un cubo de Rubik está formado por 27 cubos más pequeños.
Bases negativas
Cuando la base es negativa, el resultado puede variar de estas formas:
Si el exponente es un número impar, el resultado será negativo.
Si el exponente es un número par, el resultado será positivo.
– Ejemplo:
(−2)3 =(−2) · (−2) · (−2) = −8
(−2)2 = (−2) · (−2) = 4
¡A practicar!
¿Qué signo tendrá el resultado de las siguientes operaciones?
(−15)13
Solución
Negativo porque 13 es impar.
(14)20
Solución
Positivo porque 20 es par.
(−5)4
Solución
Positivo porque 4 es par.
Usos de la potencia
Las aplicaciones de la potenciación son de amplio rango en diversas profesiones. Los astrónomos emplean la potencia de base 10 para representar medidas muy grandes, como la distancia de la Tierra al Sol. También las usan los oceanógrafos y geólogos para escribir el valor de grandes extensiones de tierra o agua, por ejemplo, el volumen del océano Atlántico es 3,54 · 108 km3.
Además de expresar cantidades muy grandes, las potencias funcionan para representar números muy pequeños. La diferencia en esto casos es que la potencia tiene un exponente negativo, por ejemplo, un virus puede llegar a medir 2 · 10−8 cm, y la masa de un electrón es de 9,1 · 10−31 kg.
Uno de los tipos de potencias más usadas son las potencias de base 10 porque sirven para expresar cantidades muy grandes de manera sencilla. Estas potencias son iguales a la unidad seguida de tantos ceros como indique el exponente. Por ejemplo, la masa del planeta Tierra es de aproximadamente 6 x 1024 kg, es decir, 6 seguido de 24 ceros.
¡A practicar!
1. Expresa en forma de potencia los siguientes productos:
8 · 8 · 8 · 8 =
Solución
8 · 8 · 8 · 8 = 84
3 · 3 =
Solución
3 · 3 = 32
10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 =
Solución
10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 106
5 · 5 · 5 · 5 =
Solución
5 · 5 · 5 · 5 = 54
7 · 7 · 7 =
Solución
7 · 7 · 7 = 73
15 · 15 · 15 · 15 · 15 · 15 =
Solución
15 · 15 · 15 · 15 · 15 · 15 = 156
2. ¿Cuál es el resultado de las siguientes operaciones?
En la vida cotidiana muchas cantidades están expresadas con números decimales, tales como los precios de los artículos en un supermercado o la estatura de las personas. Estos números se componen de dos partes: una entera y una decimal o inferior a la unidad. A continuación verás cómo resolver operaciones con decimales.
Por lo general, los precios de los artículos en los supermercados son expresados con números decimales sin importar la moneda utilizada. También podemos ver números decimales en algunas frecuencias de las emisoras de radio, en la capacidad de algunos envases, y en una de las constantes más famosas de las matemáticas: la constante π (pi).
Para realizar la adición de números decimales debemos ubicar las cifras una debajo de la otra, de tal manera que las comas queden alineadas en una misma columna. Además, todos los números a sumar deben tener igual cantidad de dígitos en la parte decimal, de lo contrario, agregamos los ceros que sean necesarios para igualar las cifras. Por ejemplo:
– Resuelve esta operación:
7,2139 + 1.042 + 0,065 + 38,50 =
Lo primero que hacemos es ubicar todas las cifras una debajo de la otra y nos aseguramos de que las comas queden alineadas verticalmente. Añadimos ceros a las números que sean necesarios para que todos tengan la misma cantidad de decimales:
Luego sumamos cada dígito de derecha a izquierda. Los números en círculo azul indican el orden en que sumamos las columnas. Observa que la coma está en la misma línea vertical.
Por lo tanto, el resultado es el siguiente:
7,2139 + 1.042 + 0,065 + 38,50 = 1.087,7789
Las operaciones con números decimales se realizan de manera muy similar a como trabajamos con los números enteros. La única diferencia es que debemos mantener la coma en la misma línea vertical. Si vamos a sumar decimales, sumamos las columnas de derecha a izquierda con la coma alineada. Con este procedimiento podemos resolver la adición de cualquier cantidad de números.
Resta
El procedimiento para la resta o sustracción de números decimales es similar a la sustracción con números enteros. Recordemos, además, que la regla para la suma algebraica establece que cuando dos números tienen signos iguales se suman y se coloca el mismo signo, mientras que cuando los números tienen signos diferentes se restan y se coloca el signo del número mayor. Por ejemplo:
– Resuelve esta operación:
(+9.821,13) + (−20.130) =
Como observamos, se trata de una suma algebraica de dos números que tienen signos diferentes, por lo tanto, tratamos la operación como una resta y al resultado le colocamos el signo del número mayor.
Primero ubicamos las dos cifras a restar: en la parte superior el número mayor y en la parte inferior el número menor. Verificamos que las comas están alineadas de forma vertical y, de ser necesario, completamos con ceros los decimales de alguna de las cifras hasta que ambas tengan la misma cantidad de dígitos en su parte decimal.
Procedemos a realizar la resta del mismo modo que hacemos con los números enteros, pero agregamos la coma en el lugar que corresponde, es decir, alineada con la columna de las comas.
Finalmente, colocamos el signo que corresponda. En este caso, el valor absoluto de −20.130 es mayor que el valor absoluto de +9.821. Por esta razón, el signo que se mantiene en el resultado es el signo negativo.
(+9.821,13) + (−20.130) = −10.308,87
Valor absoluto
El valor absoluto de un número es igual a la distancia que existe entre ese número y cero.
La resta también la podemos considerar como una suma algebraica de dos números que tienen signos diferentes. El resultado siempre tendrá el signo del número con mayor valor absoluto. A diferencia de la suma, en la resta conviene que restemos cantidades de dos en dos. Además, debemos ubicar al número mayor en la parte superior y al menor en la parte inferior.
Multiplicación
En el caso del producto entre dos cifras decimales, el procedimiento es el mismo que aplicamos para los números enteros, y al resultado final le agregamos la coma con la cantidad de espacios (de derecha a izquierda) equivalentes al número de cifras decimales totales que haya en los factores. Por ejemplo:
– Resuelve esta operación:
3.807,93 × 186,2 =
Primero multiplicamos el último término del multiplicador (será el pivote) por cada uno de los términos del multiplicando.
Después multiplicamos el siguiente término del multiplicador (será ahora el pivote) por cada uno de los términos del multiplicando. Anotamos los resultados en la segunda línea pero dejamos un espacio debajo del primer dígito.
Repetimos este procedimiento hasta que el primer término del multiplicador haya multiplicado todos los términos del multiplicando. Siempre dejamos un espacio debajo del primer dígito desde la derecha de cada número.
Luego sumamos todos los resultados de las multiplicaciones.
Por último, ubicamos la coma en el resultado. Para esto, contamos de derecha izquierda la cantidad de espacios equivalente al número total de decimales que tienen tanto el multiplicando como el multiplicador; en este caso, hay tres decimales en el resultado, pues el multiplicando 3.807,93 tiene dos decimales: 9 y 3, y el multiplicador 186,2 tiene un decimal: 2.
Entonces:
3.807,93 × 186,2 = 70.903,566
División
Al dividir el numerador por el denominador de una fracción, el resultado puede ser un número decimal, por lo tanto, las fracciones y los números decimales son expresiones equivalentes. Además, la notación empleada para denotar los números decimales puede ser a través de coma o de punto como se observa en la imagen.
La división que involucre números decimales implica a su vez tres posibles casos:
1. El dividendo es un número entero y el divisor es un número decimal.
En este caso, convertimos al divisor en un número entero. Para ello, agregamos al dividendo tantos ceros a la derecha como cantidad de espacios se movió la coma del divisor para convertirlo en entero. De este modo, tendremos una división de números enteros. Por ejemplo, si deseamos dividir 12 ÷ 1,5 seguimos estos pasos:
Entonces, el resultado de la división es el siguiente:
12 ÷ 1,5 = 8
2. El dividendo es un número decimal y el divisor es un número entero.
Aquí el procedimiento es similar a la división entre números enteros, con la única salvedad de que cuando bajamos el dígito del dividendo que se encuentra a la derecha de la coma, agregamos una coma en el cociente. Por ejemplo, la división: 78,6 ÷ 24.
Entonces, el resultado de la división es el siguiente:
78,6 ÷ 24 = 3,275
3. El dividendo y el divisor son números decimales.
En este caso, convertimos primero el divisor en un número entero y desplazamos la coma a la derecha tanto en el dividendo como en el divisor hasta que el divisor sea entero. De ser necesario, agregamos en el dividendo ceros a la derecha. Por ejemplo, la división: 93,48 ÷ 51,2.
Entonces, el resultado de la división es el siguiente:
93,48 ÷ 51,2 = 1,82578125
OPERACIONES ENTRE NÚMEROS DECIMALES Y OTROS NÚMEROS
Es posible que en ocasiones necesitemos realizar operaciones combinadas con números decimales y otros números, por ejemplo, con fracciones. En ese caso, podemos transformar los números decimales a fracciones o convertir las fracciones a números decimales si dividimos el numerador por el denominador como veremos en este tema.
Veamos el siguiente ejemplo y determinemos el resultado de:
Existen diversas formas de resolver este problema, sin embargo, el orden siempre será el mismo: primero la multiplicación y al final la suma. Los pasos son los siguientes:
1. Resolvemos la multiplicación del número decimal con la fracción 7/4. Para esto debemos multiplicar 0,9277 por 7 y luego dividimos el resultado obtenido por cuatro (4).
Multiplicación:
División:
El resultado es el siguiente:
2. Determinamos la expresión decimal equivalente para 3/4. Para esto hacemos la división: 3 ÷ 4.
3. Calculamos el resultado de la suma de 0,75 + 1,623475:
4. Expresamos el resultado de la siguiente manera:
¡A practicar!
Te invitamos a resolver los siguientes ejercicios:
a)
Solución
9.313,301
b)
Solución
−8.672,08
c)
Solución
4.468.605,66602
d)
Solución
91,7044136657
e)
Solución
370,184236
RECURSOS PARA DOCENTES
Tarjetas educativas “Operaciones matemáticas”
En este enlace encontrarás una serie de tarjetas escolares. Cada una con un resumen relacionado con alguna operación matemática.
Todas las sociedades, desde las prehistóricas hasta las modernas, han empleado técnicas para saber cantidades. Desde palos, piedras y marcas, hasta llegar a los símbolos actuales, todos los sistemas de numeración nos ayudan a una importarte y necesaria tarea diaria: contar.
Sistema decimal
Es un sistema de numeración posicional compuesto por diez símbolos o cifras llamados números arábigos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 0. Es el sistema que más se utiliza en la vida cotidiana.
Al ser posicional, cada cifra adquiere un valor relativo de acuerdo a la posición en que se encuentre: unidades, decenas y centenas. De este modo, cada dígito del número 333 tiene un valor distinto a pesar de ser el mismo.
Observa que 300 + 30 + 3 = 333
También puedes escribir el número 333 como 33310 por pertenecer a un sistema de base diez.
Hallar la respuesta a la pregunta ¿cuántos hay? ha sido la razón principal por la que el hombre desarrolló distintos métodos de recuento y dio origen al concepto de “número”. Nuestro sistema de numeración decimal permite no solo escribir de manera efectiva cantidades muy grandes, sino también cantidades muy pequeñas por medio de un posicionamiento visible.
Orden y clase
El sistema de numeración decimal tiene órdenes y clases. La unidad, la decena y la centena son el primero, segundo y tercer orden, respectivamente. Cada orden superior equivale a 10 unidades del orden anterior, es decir, una decena equivale a diez unidades y una centena equivale a 10 decenas.
1 U = 1 U
1 D = 10 U
1 C = 10 D = 100 U
Donde:
U: unidad
D: decena
C: centena
Cada grupo de tres órdenes representa una clase. Así, el número 94.256.328.100.079 tienen dígitos en distintas clases. Observa la tabla:
Este número se lee: “noventa y cuatro billones doscientos cincuenta y seis mil trescientos veintiocho millones cien mil setenta y nueve”.
Equivalencias
1 unidad = 1 unidad
1 decena = 10 unidades
1 centena = 100 unidades
1 unidad de mil (millar) = 1.000 unidades
1 decena de mil (millar) = 10.000 unidades
1 centena de mil (millar) = 100.000 unidades
1 unidad de millón = 1.000.000 unidades
1 decena de millón = 10.000.000 unidades
1 centena de millón = 100.000.000 unidades
1 unidad de millar de millón = 1.000.000.000 unidades
1 decena de millar de millón = 10.000.000.000 unidades
1 centena de millar de millón = 100.000.000.000 unidades
1 unidad de billón = 1.000.000.000.000 unidades
1 decena de billón = 10.000.000.000.000 unidades
1 centena de billón = 100.000.000.000.000 unidades
¡A practicar!
¿Cuántas unidades equivalen a 15 centenas?
Solución
Si 1 centena = 100 unidades, entonces:
15 centenas equivalen a 1.500 unidades.
¿Cuántas unidades equivalen a 3 decenas de millón?
Solución
Si 1 decena de millón = 10.000.000 unidades, entonces:
También lo puedes representar así:
3 decenas de millón equivalen a 30.000.000 unidades.
Sistema binario
Es un sistema de numeración posicional que está constituido solo por dos dígitos: 1 y 0. Este sistema utiliza como base el número 2. Un ejemplo de número binario es:
1000100101002
¿Sabías qué?
El sistema de numeración binario se encuentra con frecuencia en los algoritmos usados en las computadoras y otros equipos electrónicos, pues resulta más sencillo operar solo con los dígitos 0 y 1.
Los sistemas electrónicos emplean una lógica binaria, es decir, manejan la información en base a 0 y 1, donde cero (0) significa que no circula corriente y uno (1) significa que circula corriente. Las computadoras procesan y almacenan en cuestión de segundos gran cantidad de información escrita mediante este sistema.
¿Cómo convertir un número del sistema binario al sistema decimal?
Para transformar un número binario, como 1012, al sistema decimal debes seguir estos pasos:
1. Como el número tiene tres cifras, calcula las tres primeras potencias de 2. Inicia por 20 y escríbelas en orden decreciente.
22 = 4
21 = 2
20 = 1
2. Multiplica cada resultado por el dígito correspondiente al número binario. En este caso 1012.
4 x 1 = 4
2 x 0 = 0
1 x 1 = 1
3. Suma los productos. El resultado será el número en el sistema decimal.
4 + 0 + 1 = 5
Por lo tanto:
1012 = 510
¿Cómo convertir un número del sistema decimal al binario?
Para transformar un número del sistema decimal, como 2510, al sistema binario debes seguir estos pasos:
1. Divide el número sucesivamente entre 2 hasta que el cociente sea igual a 1.
2. Lee la cifra, de derecha a izquierda, de abajo hacia arriba. Ese es el número binario equivalente.
2510 = 110012
¡A practicar!
Transforma los siguiente números al sistema de numeración decimal o binario según sea el caso.
11001002
Solución
En el sistema decimal es 10010.
3610
Solución
En el sistema binario es 1001002.
1110102
Solución
En el sistema decimal es 5810.
Sistema sexagesimal
Es un sistema de numeración posicional conformado por los mismos símbolos del sistema decimal: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 0, pero a diferencia de este último, 60 unidades de un orden forman una unidad de orden superior. Sirve para medir los ángulos y el tiempo.
En el sistema sexagesimal se divide un grado en 60 partes iguales. Cada una de estas partes se llama minuto, y este, a su vez, se divide en otras 60 partes iguales para obtener segundos. Observa la equivalencia:
1 grado = 60 minutos = 3.600 segundos
La unidad de medida de los ángulos es el grado. Esta unidad es el resultado de dividir un ángulo llano (ángulo de 180°) en 180 partes iguales. Por lo general, se utiliza el transportador para medir la amplitud de ángulos. Cada línea en el transportador representa un grado, o lo que es igual, la 1 / 180 parte de un ángulo llano.
¿Cómo se miden los ángulos?
La unidad principal para medir los ángulos es el grado. Si queremos medirlos con mayor precisión utilizamos, además de los grados, los minutos y los segundos.
Un grado se escribe 1°.
Un minuto se escribe 1′.
Un segundo se escribe 1”.
De este modo, 35° 22′ 36” se lee: “35 grados, 22 minutos y 36 segundos”.
Equivalencias
1° = 60′
1′ = 60″
1° = 3.600″
Observa el esquema:
Por ejemplo, para convertir 17 grados a minutos solo debes multiplicar por 60.
17 x 60 = 1.020
17° = 1.020′
Entonces, 17 grados son iguales a 1.020 minutos.
Si quieres convertir esos 17 grados a segundos solo debes multiplicar por 3.600 (60 x 60).
17 x 3.600 = 61.200
17° = 61.200″
Así, 17 grados son iguales a 61.200 segundos.
Esta tabla muestra algunos ejemplos:
Grados (°)
Minutos (‘)
Segundos (“)
17
17 x 60 = 1.020
17 x 3.600 = 61.200
45
45 x 60 = 2.700
45 x 3.600 = 162.000
22
22 x 60 = 1.320
22 x 3.600 = 79.200
También puedes convertir todas las medidas de un ángulo si sumas sus partes. De esta manera, si quieres pasar a segundos la medida del ángulo 6° 9′ 52″, solo sigue estos pasos:
1. Convierte los grados a segundos. Para esto debes multiplicar por 3.600.
6° = 6 x 3.600 = 21.600″
2. Convierte los minutos a segundos. Para estos debes multiplicar por 60.
9′ = 9 x 60 = 540″
3. Como el resultado final debe ser en segundos, los segundos quedan iguales.
52″ = 52″
4. Suma todos los resultados, lo que es igual a:
6° 9′ 52″ = (6 x 3.600) + (9 x 60) + 52 = 22.192″
Pasa a segundos estas medidas de ángulos
4° 35′ 17″
Solución
4° 35′ 17″ = (4 x 3.600) + (35 x 60) + 17 = 16.517″
5° 8′ 45″
Solución
5° 8′ 45″ = (5 x 3.600) + (8 x 60) + 45 = 18.525″
¿Cómo se mide el tiempo?
Las unidades para medir el tiempo son diversas y van desde los milenios hasta los segundos. Para medir tiempos menores a un día usamos las horas, los minutos y los segundos.
1 hora se escribe 1 h.
1 minuto se escribe 1 min.
1 segundo se escribe 1 s.
Equivalencias
1 h = 60 min
1 min = 60 s
1 h = 3.600 s
Observa el esquema:
Por ejemplo, 3 horas, 20 minutos y 2 segundos se representan así: 3 h 20 min 2 s; y si deseas expresar todo en una sola unidad, como segundos, el procedimiento es similar al de los ángulos. Observa:
3 h = 3 x 3.600 = 10.800 s
20 min = 20 x 60 = 1.200 s
2 s = 2 s
Luego sumas todos los resultados, lo que es igual a:
3 h 20 min 2 s = (3 x 3.600) + (20 x 60) + 2 = 12.002 s
Pasa a segundos estas medidas de tiempo
2 h 31 min 23 s
Solución
2 h 31 min 23 s = (2 x 3.600) + (31 x 60) + 23 = 9.083 s
5 h 50 min 5 s
Solución
5 h 50 min 5 s = (5 x 3.600) + (50 x 60) + 5 = 21.005
Números romanos
Este sistema de numeración desarrollado en la Antigua Roma es no posicional y se caracteriza por usar siete letras mayúsculas del alfabeto latino.
En la actualidad, el sistema decimal es el más utilizado para realizar operaciones, aunque, los números romanos también puedes verlos en la vida cotidiana. Este sistema de numeración romano se utiliza para dar la hora en algunos relojes, nombrar siglos, papas y reyes; también se usa en la enumeración de tomos de libros, sagas de películas, leyes, reformas y lápidas conmemorativas.
Sin importar la posición que ocupe cada letra, esta siempre tendrá el mismo valor. No obstante, es de gran importancia seguir las reglas de escritura:
I, X, C y M no pueden escribirse más de tres veces consecutivas en un mismo número.
Un símbolo de menor valor ubicado a la derecha de otro de mayor valor, se suma.
Un símbolo de menor valor ubicado a la izquierda de otro de mayor valor, se resta.
V, L y D se permite escribirlos solamente una vez y no se pueden escribir a la izquierda de otro de mayor valor.
I solo puede colocarse a la izquierda de V o X.
X solo puede colocarse a la izquierda de L o C.
C únicamente se coloca a la izquierda de D o M.
Cuando el número supera el valor 3.999, se traza una línea horizontal sobre el número romano la cual multiplica su valor por mil.
Si se colocan dos rayas horizontales sobre un número romano, su valor se multiplica por un millón.
¿Cómo se convierte un número romano a número arábigo?
Para conocer qué cantidad corresponde a un número romano se deben aplicar las reglas antes mencionadas. Por ejemplo, si deseas saber el número arábigo correspondiente al número romano , sigue estos pasos:
1. Determina los valores de cada letra.
D = 500
C = 100
L = 50
X = 10
I = 1
2. Suma los valores de las letras a la derecha de otra de mayor valor.
DC = 500 + 100 = 600
LXX = 50 + 10 + 10 = 70
3. Resta los valores de las letras a la izquierda de otras de mayor valor.
IX = 10 − 1 = 9
4. Suma todos los resultados, y como el número tiene una barra, multiplica su valor por mil.
¿Existen estos números?
VL
Solución
No. V no puede estar delante de un número de valor mayor como L. Para escribir el número 45 lo correcto es XLV.
LXXXXV
Solución
No. X solo puede escribirse un máximo de tres veces consecutivas en un número. Para escribir el número 95 lo correcto es XCV.
panes. Esto significaba que cada pan lo dividían en mitades y el último lo hacían en décimos.
Ahora solo debemos elegir los factores que se repiten en ambos y la menor cantidad de veces que aparece. En este caso, el que se repite es el 3 y aparece una sola vez en el 15.
