Etiqueta: figuras

CAPÍTULO 5 / TEMA 3

Área

El área mide la extensión de una superficie, por eso permite saber información importante de las cosas, como el tamaño de un país o la cantidad de baldosas que se necesitan en el piso de una casa. De acuerdo al tipo de figura, el área puede calcularse a través de fórmulas o mediante la descomposición de las figuras en otras más sencillas.

Cálculo de áreas en figuras planas

El área es la superficie o extensión comprendida en una figura. En el caso de las figuras planas, para calcular su área es necesario reconocer cada figura, porque su cálculo es diferente en cada caso.

Triángulos

En los triángulos se cumple que su área es igual a la base por la altura y el resultado se divide entre dos:

A=\frac{b\times h}{2}

– Calcula el área del siguiente triángulo:

A=\frac{3 \, cm \times 4\, cm}{2} = \frac{12 \, cm^{2}}{2}=\mathbf{6\, cm^{2}}

Es importante tener en cuenta que al multiplicar dos unidades de longitud (en este caso centímetros) escribimos el producto al cuadrado; es decir, colocamos el exponente “2” arriba de la unidad de medida, por eso se escribe cm2, y se lee “centímetros cuadrados”.

El área y las unidades al cuadrado

En el Sistema Internacional de Unidades el área siempre se expresa en unidades de longitud elevadas al cuadrado, esto se debe a que el área es la medida de una superficie. Un área de 15 cm2 quiere decir que esa superficie está cubierta por 15 cuadrados que miden 1 cm en cada uno de sus lados. Otras unidades de área comunes son: mm2 (milímetros cuadrados), m2 (metro cuadrado) y km2 (kilómetro cuadrado).

VER INFOGRAFÍA

Cuadrados

El área de un cuadrado es igual a la multiplicación de dos de sus lados. Como los lados de un cuadrado son todos iguales, la fórmula también se puede expresar como la medida de un lado al cuadrado.

A = l\times l =l^{2}

– Calcula el área del siguiente cuadrado

A= 3\, m\times 3\,m = \mathbf{9\, m^{2}}

Es un cuadrado de nueve metros cuadrados de área.

Rectángulos y romboides

El área de los rectángulos y romboides es igual al producto de su base por su altura.

A=b\times h

 

 

– Calcula el área del siguiente rectángulo:

A=10\, mm\times 5\, mm =\mathbf{50\, mm^{2}}

Rombos

El área de un rombo es igual al producto de su diagonal mayor (D) y su diagonal menor (d) dividido entre 2.

A=\frac{D\times d}{2}

– Calcula el área del siguiente rombo:

A = \frac{9\, cm\times 5\, cm}{2}=\frac{45\, cm^{2}}{2}=\mathbf{22,5\, cm^{2}}

El área del rombo es de 22,5 centímetros cuadrados.

Trapecios

En el caso de los trapecios el área es igual a la suma de su base mayor y su base menor, el resultado se divide entre 2 y luego se multiplica por la altura.

A = \frac{B+ b}{2}\times h

– Calcula el área del siguiente trapecio:

\small A= \frac{9\, mm+ 15\, mm}{2}\times 4\, mm=\frac{24\, mm}{2}\times 4\, mm=12\, mm\times 4\, mm = \mathbf{48\, mm^{2}}

El trapecio tiene un área de 48 milímetros cuadrados.

Polígonos regulares

Los polígonos regulares son figuras geométricas donde todos sus lados miden lo mismo. En todos los polígonos regulares se cumple que:

A= \frac{N\times L\times ap}{2}

Donde:

N = número de lados del polígono regular.

L = longitud de uno de los lados.

ap = longitud de la apotema.

¿Sabías qué?
La apotema es la menor distancia que existe entre el centro de un polígono y cualquiera de sus lados.

– Calcula el área del siguiente polígono regular:

A=\frac{6\times 4\, cm\times 3,4\, cm}{2}=\frac{24\, cm\times 3,4\, cm}{2}= \frac{81,6\, cm^{2}}{2}=\mathbf{40,8\, \mathbf{cm^{2}}}

Observa que en este caso como el polígono regular tiene seis lados (hexágono) se coloca el número 6. El área de este hexágono es de 40,8 centímetros cuadrados.

¿Cómo calcular el área de un círculo?

Para determinar el área de un círculo se debe multiplicar el número pi (que aunque es un número infinito se redondea a 3,14) por el radio de la circunferencia elevado al cuadrado, es decir;  \bg_white A = \pi \times r^{2}. El área para un círculo con un radio igual a 2 cm, por ejemplo; se calcularía como A = 3,14\times (2\, cm)^{2}=3,14\times4\, cm^{2} =\mathbf{12,56\, cm^{2}}.

 

Cálculo de áreas en figuras compuestas

Las figuras compuestas se llaman así porque están formadas por dos o más figuras geométricas. Para calcular el área en estas figuras debemos “separar” las figuras geométricas presentes y calcular por separado el área de cada una. El área total de la figura compuesta será igual a la sumatoria de las áreas de las figuras geométricas que la conformen.

– Calcula el área de la siguiente figura compuesta:

Lo primero para resolver es identificar las figuras geométricas presentes, en este caso es un triángulo (figura 1) y un rectángulo (figura 2).

Calculamos las áreas de las figuras por separado.

– Área del triángulo:

La altura es un dato del problema y es 2 cm, la base del triángulo tiene la misma longitud que la base mayor del rectángulo, por lo tanto tiene el mismo valor que es 5 cm. Calculamos el área según la fórmula de área para el triángulo:

A_{1} = \frac{b\times h}{2}=\frac{5\, cm\times 2\, cm}{2}=\frac{10\, cm^{2}}{2} = \mathbf{5\, cm^{2}}

– Área del rectángulo:

Calculamos con la fórmula de área para rectángulos.

A_{2} = b\times h=5\, cm\times 4\, cm = \mathbf{20\, }\mathbf{cm^{2}}

 

El área total es igual a la sumatoria de las áreas de las figuras geométricas calculadas:

A = A_{1}+A_{2}= 5\, cm^{2}+20\, cm^{2} =\mathbf{25\, cm^{2}}

Quiere decir que el área de la figura compuesta es de 25 centímetros cuadrados.

¿Por qué es útil conocer el área?

Conocer la superficie del área tiene múltiples usos desde los cotidianos hasta lo científico. Por ejemplo, gracias al área podemos saber cuánta tela necesita un vestido, o cuántas baldosas son necesarias en la construcción de un piso. También se usa para realizar comparaciones, por ejemplo, con el área podemos comparar países de acuerdo a su tamaño. O, también, podemos estimar la superficie de un planeta de acuerdo a su forma.

Además, el área es un parámetro usado en otras fórmulas más avanzadas como los cálculos de presiones. Por otra parte, las diferentes medidas permiten cuantificar desde áreas de tamaños microscópicos hasta áreas del tamaño de una estrella.

Aunque el Sistema Internacional de Unidades es el más extendido en el mundo, no todos los países emplean el metro cuadrado y sus múltiplos o submúltiplos para hablar de área. Hay países, como Estados Unidos, que emplea la yarda cuadrada (equivalente a 0,863 metros cuadrados), otras unidades usadas son la pulgada cuadrada, el pie cuadrado, la hectárea y el acre.
¡A practicar!

1. Calcular el área de las siguientes figuras:

a)

Solución
A = 6 cm2
b) 
Solución
A = 20 m2
c) 
Solución
A = 18 cm2
d) 
Solución
A = 61,5 mm2
e) 
Solución
A = 79 cm2

2. ¿A cuál de estas figuras corresponde la fórmula de área A = b\times h?

a) 

b) 

c) 

d) 

e) 

Solución
d) Es un romboide.

RECURSOS PARA DOCENTES

Video “Resolución del área”

En este video se explica cómo resolver cálculos de áreas en figuras compuestas y se muestran dos de las fórmulas de área más usadas.

VER

Artículo “Perímetro y área”

Este artículo explica ejercicios de perímetro y áreas. Toma como referencia diferentes unidades de medida y conversiones.

VER

Artículo “Cuerpos redondos. Áreas y volúmenes”

En el presente artículo se explica como realizar cálculos de área en cuerpos redondos, sí como las características de este tipo de figuras.

VER

 

CAPÍTULO 4 / TEMA 2

Formas

SI OBSERVAMOS A NUESTRO ALREDEDOR, ENCONTRAREMOS DIFERENTES TIPOS DE OBJETOS. TODOS LOS OBJETOS TIENEN UNA FORMA, ES DECIR, UNA APARIENCIA EXTERNA ESPECÍFICA. GRACIAS A ESTO PODEMOS DECIR QUE ALGO ES REDONDO, CUADRADO, PLANO O CURVO.

formas de los objetos

OBSERVA ESTA ESCUELA, ¿RECONOCES ALGUNA FORMA?

  • LA VENTANA ES CUADRADA PORQUE SE PARECE A UN CUADRADO.

LA FIGURA DE COLOR VERDE ES UN CUADRADO.

  • EL RELOJ ES CIRCULAR PORQUE SE PARECE A UN CÍRCULO.

LA FIGURA DE COLOR AZUL ES UN CÍRCULO.

  • EL TECHO ES TRIANGULAR PORQUE SE PARECE A UN TRIÁNGULO.

 

LA FIGURA DE COLOR AMARILLO ES UN TRIÁNGULO.

  • LA PUERTA ES RECTANGULAR PORQUE SE PARECE A UN RECTÁNGULO.

LA FIGURA DE COLOR MORADO ES UN RECTÁNGULO.

NO TODOS LOS OBJETOS SON PLANOS Y SE PUEDEN CLASIFICAR COMO CUADRADOS, CIRCULARES, TRIANGULARES O RECTANGULARES. MUCHAS DE LAS COSAS QUE TENEMOS EN NUESTRA CASA SON SÓLIDOS GEOMÉTRICOS, ES DECIR, FIGURAS CON TRES DIMENSIONES: ALTO, ANCHO Y PROFUNDIDAD. PARA DESCRIBIRLAS NECESITAMOS CONOCER FORMAS NUEVAS.

¿QUÉ FORMA TIENEN LOS OBJETOS?

ES POSIBLE QUE TENGAS TODOS ESTOS OBJETOS EN TU CASA, ¿QUÉ FORMA TIENEN?

  • ESTOS OBJETOS TIENE FORMA DE CILINDRO.

  • ESTOS OBJETOS TIENEN FORMA DE ESFERA.

  • ESTOS OBJETOS TIENEN FORMA DE CUBO.

sUPERFICIE

AL TOCAR UNA COSA, TOCAS SU SUPERFICIE. LA SUPERFICIE ES LA PARTE EXTERIOR DE LOS OBJETOS.

CUANDO TOCAS UNA MESA, TOCAS UNA SUPERFICIE PLANA. LAS SUPERFICIES PLANAS PUEDEN TENER LÍNEAS RECTAS EN CUALQUIER POSICIÓN.

CUANDO TOCAS UN GLOBO, TOCAS UNA SUPERFICIE CURVA. LAS SUPERFICIES CURVAS PUEDEN TENER LÍNEAS CURVAS EN CUALQUIER POSICIÓN.

tIPOS DE SUPERFICIE

LAS SUPERFICIES DE LOS OBJETOS PUEDEN SER PLANAS, CURVAS O MIXTAS.

  • LOS OBJETOS CON SUPERFICIE PLANA NO RUEDAN Y PUEDES COLOCAR COSAS SOBRE ELLOS.

EL CUBO TIENE SUPERFICIE PLANA.

  • LOS OBJETOS CON SUPERFICIE CURVA RUEDAN Y NO PUEDES COLOCAR COSAS SOBRE ELLOS.

LA ESFERA TIENE SUPERFICIE CURVA.

  • LOS OBJETOS CON SUPERFICIE MIXTA TIENEN UNA COMBINACIÓN DE SUPERFICIES PLANAS Y CURVAS. ESTOS OBJETOS PUEDEN RODAR Y SOBRE ELLOS PUEDES COLOCAR COSAS.

EL CILINDRO TIENE SUPERFICIE MIXTA.

¡DESCUBRE LA SUPERFICIE!

MIRA DE NUEVO LOS OBJETOS DE ARRIBA, ¿CÓMO ES SU SUPERFICIE?

SOLUCIÓN

UNA NUEVA FORMA POR CONOCER

LAS PIRÁMIDES DE EGIPTO SON ENORMES MONUMENTOS QUE SERVÍAN COMO TUMBAS A LOS FARAONES HACE MILES DE AÑOS. ESTAS MAGNÍFICAS ESTRUCTURAS TIENEN EL MISMO NOMBRE DE UN CUERPO GEOMÉTRICO: PIRÁMIDE. LAS PIRÁMIDES SOLO TIENEN SUPERFICIES PLANAS, ES DECIR, SON FORMAS QUE NO PUEDEN RODAR Y QUE PUEDEN TENER LÍNEAS RECTAS EN CUALQUIER POSICIÓN.

 

¿Sabías qué?

EL CÍRCULO ES UNA FIGURA PLANA Y LA ESFERA ES UNA FIGURA SÓLIDA. SI DIBUJAS UN CÍRCULO EN EL PAPEL Y LO RECORTAS OBTENDRÁS UNA FIGURA PLANA, PERO SI HACES UNA PELOTA CON PLASTILINA OBTENDRÁS UN CUERPO SÓLIDO.

¡COMPAREMOS FORMAS!

OBSERVA ESTAS IMÁGENES.

  • ¿CUÁLES OBJETOS TIENEN FORMA DE ESFERA Y SUPERFICIE CURVA?
SOLUCIÓN

  • ¿CUÁLES OBJETOS TIENEN FORMA DE CUBO Y SUPERFICIE PLANA?
SOLUCIÓN

  • ¿CUÁLES OBJETOS TIENEN FORMA DE CILINDRO Y SUPERFICIE MIXTA?
SOLUCIÓN

 ¡A PRACTICAR!

COLOREA LAS FIGURAS QUE TIENEN SUPERFICIE CURVA Y MIXTA. SON AQUELLAS QUE PUEDEN RODAR.

SOLUCIÓN

 

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Aprendiendo las formas”

Este recurso le permitirá describir de forma didáctica una variedad de figuras geométricas planas.

VER

 

 

CAPÍTULO 1 / TEMA 5

SeCUENCIAS

Al contar los números naturales, ya sea de 1 en 1, 2 en 2, o de 5 en 5, se aplican secuencias de números ordenados que se rigen por ciertas reglas, de manera que cumplen con un orden establecido. Una de las más conocidas es la sucesión de Fibonacci, pero las secuencias pueden ser de varios tipos: finitas o infinas, ascendentes o descendentes.

SeCUENCIAS con figuras

Una secuencia es un conjunto de elementos que están relacionadas entre sí y que se encuentran ordenadas según un criterio.

En las secuencias ordenadas en función de un patrón de figuras, se observa que los objetos están organizados de acuerdo a uno o más atributos. Algunos ejemplos son:

  • Por tamaño:

  • Por color:

  • Por forma:

  • También pueden contener imágenes y patrones más complejos:

El orden de una secuencia numérica no siempre es el mismo, por ejemplo, los elementos pueden estar ordenados de forma ascendente, de manera alternada o de manera decreciente.

Partes de una secuencia numérica

Una de las primeras secuencias que la mayoría de las personas aprende es la secuencia de los números naturales y se expresa de la siguiente forma: \mathbb{N} = {1, 2, 3, 4 ,…} en donde cada uno de los números denominados elementos, se encuentran ordenados de 1 en 1. Los tres puntos suspensivos al final de la secuencia indican que los números continúan.

Las secuencias pueden ser infinitas, como pasa con los números naturales, que siguen la secuencia de manera ilimitada, y también pueden ser finitas como sucede con la secuencia de las vocales: {a, e, i, o, u}.

¿Sabías qué?
Las secuencias numéricas permiten desarrollar el razonamiento matemático.

Secuencias ascendentes y descendentes

– Secuencias ascendentes

Las secuencias numéricas tienen una regla que permite determinar el valor de cada término o elemento de la misma. Por ejemplo, cuando se cuentan los números de 2 en 2, en realidad se incrementan 2 números por cada elemento, es decir, la regla en este caso sería sumar 2 a cada elemento:

En la imagen se puede observar como cada elemento de la secuencia se incrementa por 2, esto significa que es una secuencia ascendente porque todos sus elementos van en aumento, por lo tanto, cada número es mayor que el anterior. Si a 2 se le suma 2, el resultado es 4 y si a este número se le suma 2 el resultado es 6, y así sucesivamente. En este caso, la secuencia numérica se representa como: {2, 4, 6, 8, …}.

– Secuencia descendente

Las secuencias descendentes, en cambio, se desarrollan en forma regresiva y cada número es menor que el anterior. En la siguiente imagen se puede observar un ejemplo de secuencia descendente:

La regla en esta secuencia descendente es restar 3 a cada número, de manera que es fácil calcular el número a continuación del 9, para ello realizamos la regla: 9 – 3 = 6, así, el número siguiente a 9 en esta secuencia es 6.

¿Sabías qué?
Hay secuencias ascendentes cuya regla consiste en multiplicar un número a cada elemento y secuencias descendentes donde se divide un número a cada elemento.

Números de Fibonacci

Son conocidos también como secuencia de Fibonacci. Su nombre proviene de quien la describió por primera vez en Europa: el matemático italiano Leonardo Fibonacci. Es una secuencia en la cual el número siguiente se obtiene al sumar los dos números anteriores a este y se detalla a continuación {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 ,…}. En la secuencia se puede observar que, por ejemplo, los dos números anteriores al 13 son el 5 y el 8, que al sumarlos dan como resultado al número siguiente: 5 + 8 = 13. Esto se cumple para todos los números de la secuencia.

VER INFOGRAFÍA

Divisiones y restas sucesivas

Antes de comenzar con este tema es importante recordar que multiplicar es lo mismo que sumar muchas veces el mismo número, por ejemplo:

4 x 3 = 12   es igual a   4 + 4 + 4= 12

Esto se debe a que la multiplicación está muy relacionada con la adición. Algo similar sucede con la división, la cual guarda relación con la resta. Por ejemplo, si se tiene la división 12 ÷ 3, hay que restarle 3 a 12 tantas veces como sea posible:

Al observar la imagen se razona que 12 fue restado 4 veces por el número 3. De esta manera se tiene que 12 ÷ 3 = 4.

Pasos para dividir a través de restas sucesivas

Las divisiones pueden realizarse a través de restas sucesivas de la siguiente manera:

  1. Resta el divisor al dividendo tantas veces como sea posible. Hazlo hasta que el resultado sea 0 o un número menor al divisor.
  2. Se cuenta el número de veces que se restó el divisor.
  3. El cociente de la división será igual al número de veces que se restó el divisor y el resto será igual al último número que dio como resultado la resta.

Otro ejemplo:

– Resuelve la división 30 ÷ 5

Se resuelve a través de los pasos anteriores, para simplificar se sugiere utilizar una tabla similar a esta:

El resultado es 30 ÷ 5 = 6, y se trata de una división exacta porque el resto es igual a 0.

A continuación se muestra otro ejemplo de división pero en este caso es inexacta:

En el ejercicio anterior 27 ÷ 4 = 6 pero existe un resto igual a 3, como 3 es menor que el divisor no se puede continuar las restas en este método.

Ejercicios

  1. Completa las siguientes oraciones:
    a. En las secuencias ________ todos sus elementos van en aumento.
    Solución
    ascendentes
    b. La secuencia {25, 20, 15, 10 , …} es una secuencia ______.
    Solución
    descendente
    c. Las divisiones pueden calcularse con el método de ______.
    Solución
    restas sucesivas
  2. Completa las siguientes secuencias numéricas:
    a. {50, 40, ___, 20, …}
    Solución
    30
    b. {12, ___, 8, 6, …}
    Solución
    10
    c) {15, 30, ___, 60, 75, …}
    Solución
    45
    d) { ___, 5.000, 4.000, 3.000, 2.000, …}
    Solución
    6.000
  3. Resuelve las siguientes divisiones a través de restas sucesivas
    a. 20 ÷ 5
    b. 24 ÷ 6
    c. 16 ÷ 5
    d. 20 ÷ 3
    Solución
RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Sucesiones y series”

El siguiente artículo explica la diferencia entre una serie y una sucesión:

VER

Video “Aprendiendo restas por descomposición” 

El video muestra cómo realizar restas por descomposición que el docente puede emplear para relacionar la secuencias de sistema decimal con las secuencias numéricas estudiadas.

VER