Desde la elaboración de planos y dibujos a escalas en hojas cuadriculadas, hasta la localización de estrellas en la galaxia, la unión de rectas perpendiculares nos ayuda a distinguir la posición de cualquier objeto. Una cuadrícula es un sistema de coordenadas compuesto por líneas perpendiculares verticales y horizontales, que funciona como sistema de referencias y permite ubicar elementos en un espacio definido. El conjunto de líneas horizontales y verticales, también llamadas ejes, suelen nombrarse con números y letras.
Un claro ejemplo de cuadrícula es un tablero de ajedrez. En este cada cuadro representa una posición que puede ser ocupada por alguna pieza del juego.
TIPOS DE LÍNEAS
Las líneas son un conjunto de puntos ubicados uno junto al otro que generan un trazo continuo. Si los puntos están orientados en una misma dirección, entonces, forman una línea recta. Las líneas rectas son continuas e infinitas, no tienen ni principio ni final y se pueden clasificar según la forma en que interaccionan entre ellas en rectas paralelas (aquellas que nunca se cortan), rectas secantes perpendiculares (aquellas que se cortan formando ángulos rectos) y rectas secantes oblicuas (aquellas que se cortan sin formar ángulos rectos).
Un ejemplo de líneas rectas paralelas son las vías de un ferrocarril. Cuando se cortan con otras forman líneas secantes.
LOS ÁNGULOS Y SUS TIPOS
Un ángulo es una porción del plano delimitado por dos semirrectas. Cada semirrecta es uno de los lados del ángulo y coinciden en un punto de origen al que se denomina vértice. A la distancia entre lado y lado del ángulo se la denomina amplitud, y esta se mide en grados (°). Si queremos medir o trazar un ángulo es indispensable el uso del transportador. Según su amplitud, un ángulo puede ser convexo, cóncavo, nulo, completo, llano, agudo, recto u obtuso.
Las escuadras nos permiten estimar ángulos, pues tienen un ángulo de 90° y dos ángulos de 45°.
LOS TRIÁNGULOS
Los triángulos son polígonos regulares cerrados de tres lados, tres ángulos y tres vértices. Los ángulos interiores de un triángulo siempre suman 180° y los ángulos exteriores suman 360°. Son varios los criterios de clasificación que permiten agrupar a los triángulos de acuerdo a ciertas particularidades, los más utilizados son: la medida de sus lados y la medida de sus ángulos. Según la medida de sus lados, los triángulos se clasifican en equiláteros, isósceles y escalenos; mientras que, según la medida de sus ángulos se clasifican en acutángulo, obtusángulo y rectángulo.
Un mismo triángulo puede ser clasificado por más de un criterio, por ejemplo: todos los triángulos equiláteros son, a su vez, triángulos acutángulos, ya que sus tres ángulos iguales miden 60°.
CUADRILÁTEROS
Los cuadriláteros tienen cuatro lados, cuatro ángulos internos, cuatro ángulos externos, cuatro vértices y dos diagonales. Estos se clasifican en paralelogramos, trapecios y trapezoides. Los paralelogramos son aquellos cuadriláteros que poseen dos pares de lados opuestos paralelos y que comparten algunas propiedades específicas; los trapecios, por su parte, son figuras que presentan un par de lados opuestos paralelos a los que se suele denominar base; y los trapezoides son aquellos cuyos lados no son paralelos.
En primer lugar, los cuadriláteros pueden clasificarse en dos grandes grupos: paralelogramos y no paralelogramos. Las pantallas de nuestros móviles y tabletas son ejemplos de un paralelogramo.
POLIEDROS
Los poliedros son cuerpos geométricos tridimensionales con caras planas formados por polígonos. Cada una de las caras de un poliedro es un polígono (triángulo, cuadrado, rombo, etc.). Los poliedros pueden ser regulares cuando sus caras están compuestas por el mismo polígono regular; o irregulares si sus caras presentan diferentes formas. En estos poliedros el número de caras no presenta límites como ocurre con los poliedros regulares y se dividen en prismas (tienen dos bases) y pirámides (tienen una sola base).
Existen cinco poliedros regulares cuyas caras están conformados por polígonos regulares. Estos son conocidos como sólidos platónicos.
Es posible que identifiques diversas figuras geométricas al observar el mundo que te rodea y los objetos presentes en él. La mayoría de estas figuras están compuestas por semirrectas unidas por un punto en común, es decir, un vértice. Esa porción del plano delimitada por dos semirrectas que nacen de un mismo punto se conoce como ángulo y según su medida puede ser de distintos tipos.
¿qué es un ángulo?
Es una porción del plano delimitada por dos semirrectas, las cuales también son llamadas lados. Ambos lados coinciden en un punto de origen o vértice. La abertura de un lado con respecto al otro es la que denominamos ángulo.
Con una letra griega, por ejemplo α y se lee “ángulo alpha”. En esta imagen vemos un ángulo α = 52,13°.
Con los puntos correspondientes a las semirrectas que lo constituyen y al vértice. Estos puntos se nombran mediante letras, por ejemplo, en la imagen vemos el ángulo AOB.
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS
Los ángulos se clasificar según tres criterios diferentes: su medida, su posición y la suma de sus medidas con otros ángulos.
¿Sabías qué?
Los ángulos se miden en grados (°).
Ángulos según su medida
Ángulo completo: tiene una amplitud de 360°, significa que es un giro completo.
Ángulo nulo: tiene una amplitud de 0°.
Ángulo llano: tiene una amplitud de 180°, podrás verlo representado como una línea recta.
Ángulo cóncavo: tiene una amplitud mayor que 180° pero menor que 360°.
Ángulo convexo: tiene una amplitud menor que 180°.
Dentro de los ángulos convexos encontramos otras clasificaciones:
Ángulos rectos: miden 90°.
Ángulos obtusos: miden más de 90°.
Ángulos agudos: miden menos de 90°.
Ángulos según su posición
Según su posición los ángulos pueden ser:
Adyacentes: son aquellos que tienen el vértice y un lado en común. Al sumar las amplitudes de cada uno de ellos el resultado será 180°.
Consecutivos: son aquellos que comparten tanto el vértice como uno de sus lados.
Opuestos por el vértice: son aquellos que solo tienen el vértice en común.
Ángulos según la suma de su medida con otros ángulos
Los ángulos también pueden clasificarse según el resultado obtenido al sumar la medida de la amplitud de un ángulo con la de otro ángulo, así sabrás que:
Un ángulo es suplementario con otro si la suma de sus amplitudes da como resultado un ángulo de 180°.
Un ángulo es complementario con otro si la suma de sus amplitudes da como resultado un ángulo de 90°.
MEDICIÓN DE ÁNGULOS
Por lo general, la medición de los ángulos se realiza por medio de un transportador.
¿Qué es un transportador?
Es un instrumento geométrico que puede tener una forma circular o semicircular y se utiliza para medir gráficamente un ángulo así como para construirlo. Cuenta con graduaciones o marcas iguales que sirven de escala para identificar la medida del ángulo. Los transportadores circulares están divididos en 360 partes iguales, mientras que los semicirculares están divididos en 180 partes iguales. Cada una de estas partes representa un grado (1°) .
Para medir un ángulo con transportador seguimos estos pasos:
1. Identificamos el vértice, es decir, el punto del que nacen las semirrectas y hacemos que coincida con el centro del transportador.
2. Verificamos que el cero (0) en el transportador esté justo sobre uno de los lados del ángulo.
3. Observamos el valor que marca el otro lado que pasa por la escala graduada. En este caso, la medida del ángulo â = 165°.
¿Sabías qué?
Los transportadores tienen escalas graduadas dobles: una va en sentido de las manecillas del reloj y las otra en sentido contrario. Siempre debes recordar comenzar a medir a partir del cero.
LOS ÁNGULOS EN LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS
Las figuras geométricas planas poseen ángulos interiores, ubicados dentro de la figuras; y ángulos exteriores, ubicados entre un lado de la figura y el otro lado siguiente.
Los ángulos interiores de los triángulos siempre suman 180°. Según sus ángulos los triángulos pueden ser:
Nombre
Figura
Características
Triángulo rectángulo
Tiene un ángulo recto (90°).
Triángulo acutángulo
Tiene todos sus ángulos agudos (menores a 90°).
Triángulo obtusángulo
Tiene un ángulo obtuso (mayores a 90° pero menores a 180°).
Ángulos interiores de los cuadriláteros
En el caso de los cuadriláteros, la suma de sus cuatro ángulos internos siempre es igual a 360°. De acuerdo al tipo de cuadrilátero el valor del ángulo puede variar. Su clasificación es la siguiente:
Nombre
Figura
Característica
Cuadrado
Tiene cuatro ángulos rectos (90°).
Rectángulo
Tiene cuatro ángulos rectos (90°).
Rombo
Tiene ángulos opuestos iguales.
Romboide
Tiene ángulos opuestos iguales.
Trapecio rectángulo
Tiene dos ángulos rectos (90°).
Trapecio isósceles
Los dos ángulos de la base menor son iguales. Los dos ángulos de la base mayor son iguales.
Trapecio escaleno
Todos sus ángulos son diferentes.
¿Sabías qué?
La palabra “geometría” viene de geo que significa “Tierra”, y de metría que significa “medir”.
Ángulos internos de polígonos regulares
Los polígonos regulares son aquellos que tienen todos sus ángulos internos iguales. Para calcular su valor se emplea la ecuación (n − 2) × 180°/n donde n es el número de lados que tiene el polígono. Por ejemplo, para un hexágono se sustituye la n por el número 6 que corresponde al número de sus lados y obtenemos que (6 − 2) × 180°/6 = 120°, lo que quiere decir que cada uno de los ángulos internos de un hexágono mide 120°.
¡A practicar!
1. Observa los ángulos entre estas rectas. Completa la tabla con los ángulos solicitados.
Tipo de ángulo
Nombre del ángulo
Recto
Ángulo α
Agudo
Obtuso
Complementario
Suplementario
Adyacente
Solución
Tipo de ángulo
Nombre del ángulo
Recto
Ángulo α
Agudo
Ángulo β
Obtuso
Ángulo GOC
Complementario
Ángulos BOE y EOC
Suplementario
Ángulos EOG y GOF
Adyacente
Ángulos AOC y COB
2. Calcula los ángulos complementarios y suplementarios para los siguientes ángulos:
β = 50°
Solución
Ángulo complementario = 40° porque 50° + 40° = 90°.
Ángulo suplementario = 130° porque 50° + 130° = 180°.
γ = 15°
Solución
Ángulo complementario = 75° porque 15° + 75° = 90°.
Ángulo suplementario = 165° porque 15° + 165° = 180°.
δ = 75°
Solución
Ángulo complementario = 15° porque 75° + 15 = 90°.
Ángulo suplementario = 105° porque 75° + 105° = 180°.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Ángulos”
En el siguiente artículo encontrarás información sistematizada sobre las diferentes clasificaciones de los ángulos.
Los ángulos están presentes en la mayoría de las figuras geométricas y en nuestra vida cotidiana. Se los considera indispensables para realizar cálculos trigonométricos y estudios en balística, arquitectura e ingeniería. De acuerdo a su amplitud, los ángulos se clasifican en varios tipos.
El ángulo y sus elementos principales
Un ángulo es una región del plano comprendida por dos semirrectas que tienen un origen en común. Los elementos de un ángulos son los siguientes:
Vértice: es el punto en común de las dos semirrectas.
Lados: son las dos semirrectas que conforman al ángulo.
Amplitud: es la medida de abertura de los lados de un ángulo. Esta medida usualmente se lee en grados sexagesimales.
¿Sabías qué?
Los ángulos suelen nombrarse con letras del alfabeto griego.
El sistema sexagesimal
Se usa principalmente para medir el tiempo y los ángulos. En este último caso, las unidades que emplea son grados, minutos y segundos. Al dividir un ángulo llano en 180 partes iguales, una de esas partes equivale a un grado (°). Si se divide un grado en sesenta partes iguales, una de esas partes equivale a un minuto (′). Y si el minuto se divide en 60 partes iguales, una de esas partes corresponde a un segundo (″). En resumen:
1° = 60′
1′ = 60″
Observa que este sistema emplea como base el número 60 y de ahí viene el origen de su nombre. El instrumento usado para su medición es el transportador.
Ángulo agudo: cuando es mayor que 0° pero menor que 90°.
Ángulo recto: cuando mide exactamente 90°.
Ángulo obtuso: cuando es mayor de 90° pero menor que 180°.
Ángulo llano: cuando mide exactamente 180°.
Ángulo completo: cuando mide 360°.
Ángulos complementarios
Dos ángulos son complementarios si al ser sumados el resultado es igual a 90°. Al saber el valor de uno de los ángulos puedes calcular el valor del otro al restar 90° al ángulo conocido.
– Ejemplo:
Se tienen los ángulos complementarios α y β. El valor de β es de 35°. Calcula el valor de α.
Simplemente debes resolver la resta:
Por lo tanto el valor de α es 55°.
Ángulos suplementarios
Dos ángulos son suplementarios si alser sumados el resultado es igual a 180°. Al igual que en el caso anterior puedes determinar el valor de un ángulo de este tipo si conoces el valor de otro y lo restas a 180°.
– Ejemplo:
Se tienen los ángulos suplementarios θ y δ. El valor de θ es de 160°. Calcular el valor de δ.
Resuelve la resta:
El valor de δ es 20°.
Medida de un ángulo
La medición de los ángulos se realiza a menudo a través de un transportador, el cual puede ser de dos tipos: circular o semicircular. El circular mide los 360° de la circunferencia y el semicircular mide los 180°. Ambos transportadores cuentan con una marca en el centro que se debe colocar en el vértice del ángulo a medir. El 0° de la escala debe coincidir con uno de los lados del ángulo y la lectura del ángulo sería la que indica el otro lado en la escala.
Los transportadores suelen presentar dos numeraciones que van en diferentes sentidos según se lea el ángulo: en sentido horario (en el sentido de las manecillas del reloj) o en sentido antihorario.
Existe el convencionalismo de que los ángulos que se miden en sentido horario se consideran positivos mientras que los que se leen en sentido antihorario se consideran negativos. En el ámbito matemático, el enfoque se orienta más a la abertura de los ángulos. Otro dato importante es que aunque los transportadores son útiles, existen otros instrumentos más precisos como el goniómetro.
Los ángulos en las figuras planas
Las figuras planas poseen ángulos interiores y ángulos exteriores. Los ángulos interiores, como su nombre lo indica, se ubican en el interior de la figura, mientras que los exteriores se ubican entre un lado de la figura y el otro lado siguiente. Por ejemplo:
Cálculo de ángulos internos en triángulos
Los ángulos interiores de los triángulos siempre suman 180°. De manera que si conoces la medida de dos de sus ángulos internos puedes calcular la medida del tercero. Lo único que debes hacer es restar los valores de los ángulos conocidos a 180°. Por ejemplo:
– Calcula el valor del ángulo θ.
Como ya sabes, la sumas de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180°, entonces, si restas los valores de los ángulos conocidos a 180° obtendrás el valor de Θ:
El valor del ángulo θ es 48°.
¿Sabías qué?
La suma de los ángulos externos de un triángulo es igual a 360°.
Cálculo de ángulos internos en cuadriláteros
En el caso de los cuadriláteros se cumple que la suma de sus cuatro ángulos internos siempre es igual a 360°. De acuerdo al tipo de cuadrilátero el valor del ángulo puede variar. Por ejemplo, en el caso del cuadrado y del rectángulo sus cuatro ángulos internos son iguales y miden 90°. En el caso del rombo y del romboide sus ángulos opuestos son iguales. Si el trapecio es rectángulo posee dos ángulos consecutivos que miden 90°. Si es isósceles tiene los ángulos adyacentes a la base mayor con la misma medida y si el trapecio es escaleno ninguno de sus ángulos mide lo mismo.
Los trapezoides son otro tipo de cuadrilátero con el valor de cada uno de sus ángulos internos diferentes. En resumen:
Figuras
Características
El cuadrado y el rectángulo tienen ángulos internos iguales y miden 90°.
El rombo tiene todos sus ángulos iguales (pero son agudos, es decir, menores a 90°).
El romboide presenta cada par de ángulos opuestos con la misma medida.
El trapecio rectángulo tiene dos ángulos rectos (miden 90° cada uno).
El trapecio isósceles presenta los ángulos adyacentes a la base mayor con la misma medida.
El trapecio escaleno presenta todos sus ángulos con diferente medida.
El trapezoide no posee ningún ángulo con la misma medida.
Para calcular ángulos en un cuadrilátero simplemente tenemos que restar los ángulos conocidos a 360°.
– Ejemplo:
Calcula el valor del ángulo ε de la siguiente figura.
El valor del ángulo ε es 115°.
En los polígonos regulares los ángulos internos miden igual. Para calcular su valor se emplea la ecuación (n − 2) × 180°/n donde n es el número de lados que presenta el polígono. Por ejemplo, para un pentágono se sustituye la n por el número 5 que corresponde al número de sus lados y se obtiene que (5 − 2) × 180°/5 = 108°, lo que quiere decir que cada uno de los ángulos internos de un pentágono mide 108°.
¡A practicar!
1. ¿Qué tipo de ángulo observas?
a)
Solución
Ángulo obtuso.
b)
Solución
Ángulo llano.
c)
Solución
Ángulo recto.
d)
Solución
Ángulo agudo.
2. Calcula el valor del ángulo γ.
Solución
γ = 55°
3. Calcula el valor del ángulo θ.
Solución
θ = 70°
4. Calcula el valor del ángulo φ.
Solución
φ = 58°
5. Calcula el valor del ángulo β.
Solución
β = 105°
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Ángulos en triángulos. Resolución mediante ecuaciones”
El artículo explica los diferentes tipos de ángulos y cómo determinarlos a través de ecuaciones. También muestra una serie de ejemplos y ejercicios relacionados al tema.
El punto, la recta y el plano representan los cimientos de la geometría. Seguramente, muchos otros conceptos no podrían ser definidos sin ellos y por tal motivo son tan importantes. Cada uno está relacionado: infinitos puntos forman una recta, infinitos puntos y rectas forman un plano e infinitos puntos, rectas y planos forman el espacio.
El punto
El punto es el objeto más pequeño del espacio, por tanto no tiene longitud, área o volumen. Es adimensional, lo que quiere decir que no tiene dimensiones.
Una de las funciones del punto es describir la posición en un sistema de coordenadas como el cartesiano.
¿Sabías qué?
Los puntos se nombran con letras mayúsculas del abecedario, por ejemplo: A, B, C, D, etc.
Entes fundamentales de la geometría
Se denominan así a los entes que por sí solos no tienen definición y se comprenden a partir de las características de elementos similares. La mayoría de las personas tiene noción de lo que cada uno representa. Los entes fundamentales en la geometría son el punto, la recta y el plano.
La recta y sus tipos
Una recta es un tipo de línea que se extiende en una misma dirección y está formada por infinitos puntos. Por esta razón, la recta tiene longitud pero no anchura. En geometría, las rectas se suelen denominar con letras minúsculas.
De acuerdo a su posición en el plano, las rectas pueden ser paralelas, perpendiculares y secantes.
¿Sabías qué?
Entre dos puntos, solamente existe una recta que los une.
Rectas paralelas
Son rectas que no tienen ningún punto en común, es decir, nunca se interceptan. Para la construcción de este tipo de rectas se emplean la regla, la escuadra y el compás. En el siguiente ejemplo la recta a es paralela a la recta b.
Un ejemplo de rectas paralelas son los lados opuestos de un cuadrilátero como el cuadrado.
Son aquellas que se interceptan en un punto en común y forman cuatro ángulos internos. Las rectas c y d son secantes.
Un ejemplo de rectas secantes son dos calles que se interceptan en un punto en común.
Rectas perpendiculares
Son aquellas rectas secantes que al cortarse forman cuatro ángulos iguales, específicamente rectos (de 90°). Estas rectas dividen al plano en cuatro regiones. Las rectas e y f son perpendiculares entre sí.
Un ejemplo de rectas perpendiculares son los ejes del plano cartesiano.
La recta es un tipo de línea pero no es la única, existen líneas curvas, quebradas y mixtas. Además de su empleo en la geometría, los diferentes tipos de líneas son recursos usados por artistas plásticos y diseñadores gráficos en sus trabajos para proporcionar expresividad gráfica, dinamismo y movimiento. También son útiles para crear planos y texturas.
Otros conceptos relacionados
Semirrecta
Todo punto que pertenece a una línea recta la divide en dos partes denominadas semirrectas. Las semirrectas también son llamadas rayos y contienen infinitos puntos como la recta. La diferencia es que una recta no tiene origen y una semirrecta sí lo tiene.
Segmento
Corresponde a la parte de una recta que se encuentra delimitada entre dos de sus puntos, cada uno de ellos es denominado extremo. Los segmentos se escriben a través de la escritura sin espacio de sus extremos y con una raya horizontal en la parte superior. En el siguiente ejemplo, la figura corresponde al segmento .
El plano
Es un ente ideal que posee dos dimensiones (bidimensional). Se suele representar con letras del alfabeto griego. En geometría, un plano queda definido cuando se cumplen algunas de las siguientes condiciones:
Tres puntos no alineados.
Dos rectas que son paralelas.
Dos rectas secantes.
Un plano contiene infinitas rectas y puntos. En el siguiente ejemplo se puede observar un ejemplo de plano.
Otro ejemplo de plano sería la parte superior de una mesa.
Con el propósito de facilitar su gráfica y simplificar su visualización, los planos suelen representarse como una figura delimitada con bordes irregulares. Sin embargo, un plano contiene infinitos puntos, por lo tanto, al igual que sucede con la recta, sería imposible representarlo completamente, así que se muestra una pequeña porción de su superficie.
El plano cartesiano
Es un sistema de coordenadas desarrollado por el célebre matemático René Descartes en el siglo XVII. Permite asignar ubicación a cualquier punto del plano. Este sistema cuenta con dos ejes numerados que permiten localizar las coordenadas de los puntos. Un eje vertical denominado eje Y o de las ordenadas muestra las coordenadas en Y de un punto, y un eje horizontal denominado eje X o de las abscisas indica las coordenada en X de un punto.
¡A practicar!
1. Observa la siguiente imagen y responde qué tipo de rectas son las indicadas.
a) Las rectas e y h.
Solución
Secantes.
b) Las rectas d y g.
Solución
Secantes perpendiculares.
c) Las rectas e y f.
Solución
Paralelas.
d) Las rectas h y f.
Solución
Secantes.
2. De acuerdo al contenido explicado responde las siguientes preguntas.
a) ¿Cuántos puntos no alineados definen a un plano?
Solución
3
b) ¿Qué diferencia tiene una recta de una semirrecta?
Solución
La semirrecta tiene un origen y la recta no.
c) ¿De qué medida son los ángulos formados por dos rectas perpendiculares?
Solución
90°
d) ¿En cuántos puntos se intersectan dos rectas paralelas?
Solución
En ningún punto.
e) ¿Cuáles entes fundamentales de la geometría suelen nombrarse con letras del alfabeto griego?
Solución
Los planos.
f) ¿Cómo se denominan a los puntos que forman un segmento?
Solución
Extremos.
g) ¿Qué tipo de ente fundamental de la geometría tiene longitud pero no anchura?
Solución
La recta.
h) ¿Qué tipo de ente fundamental de la geometría no tiene dimensiones?
Solución
El punto.
i) ¿Con qué otro nombre se denominan las semirrectas?
Solución
Rayos.
j) ¿Quién inventó el sistema cartesiano?
Solución
René Descartes.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Determinación de rectas y puntos notables de los triángulos”
El artículo explica cuáles son las rectas y puntos notables que presentan los triángulos y qué características geométricas poseen.
Micrositio “Tarjetas educativas – Geometría y medidas”
En este micrositio podrá encontrar una variedad de tarjetas que resumen los elementos principales de la geometría como el punto, la recta y las principales figuras geométricas.
El artículo explica la clasificación de las rectas según su posición en el plano y muestra cómo graficar cada una de ellas mediante el uso de regla, escuadra y compás.
El ángulo es uno de los elementos fundamentales para la geometría porque está presente en las figuras ¡Incluso las paredes de nuestras casas forman ángulos entre ellas! Se puede definir como la porción del plano que se encuentra delimitada por dos semirrectas que comparten el mismo origen.
Tipos de ángulos
Antes de poder reconocer los diferentes tipos de ángulos es necesario comprender los elementos que los forman.
Lado: es cada una de las semirrectas que conforman el ángulo y que tienen un origen en común.
Vértice: es el punto común o de origen de los lados.
Sistema de medida
El sistema usado para medir ángulos se denomina sistema sexagesimal, su unidad de medida es el grado (°) y resulta de dividir un ángulo llano en 180 partes, cada una de ellas representa un grado. Para medidas más pequeñas se usa el minuto (′) y el segundo (′′). Se denomina sexagesimal porque cada unidad es 60 veces mayor que la siguiente y 60 veces inferior que la anterior. Es por ello que 1° = 60′ y 1′ = 60′′.
De acuerdo a su tamaño los ángulos se clasifican en:
Ángulo agudo: es aquel mayor a 0° pero menor a 90°.
Ángulo recto: es aquel que mide 90°.
Ángulo obtuso: es aquel cuya medida es mayor a 90°pero menor a 180°.
Ángulo llano: es aquel cuyo ángulo es igual a 180°.
Uno de los instrumentos más usados para medir ángulos es el transportador, este presenta una serie de marcas que indican los grados. El más común es el transportador semicircular el cual viene graduado en 180°. Sus partes fundamentales son:
Para medir un ángulo con el transportador debemos seguir los siguientes pasos:
Ubicar el origen del transportador en el vértice del ángulo que se va a medir.
Hacer coincidir uno de los lados del ángulo con la línea horizontal de la base.
Leer el ángulo que corta el segundo lado. Si el ángulo está abierto hacia la izquierda se usa la escala externa, si está abierto hacia la derecha se usa la escala interna (de acuerdo al tipo de instrumento las escalas pueden invertirse).
¿Sabías qué?
El teodolito es un instrumento con mayor precisión que el transportador que permite medir grados, minutos y segundos.
Construcción de ángulos
Una de las formas de construir ángulos es a través de una regla y un transportador. Para ello debemos realizar los siguientes pasos:
1. Trazamos con ayuda de la regla una semirrecta que será más adelante uno de los lados del ángulo.
2. Ubicamos el origen del transportador en uno de los extremos de la semirrecta (este también será el origen del ángulo), de manera que el número cero de la escala coincida con el otro extremo.
3. Ubicamos en la escala el ángulo que deseamos construir, para este ejemplo queremos construir un ángulo de 40°.
4. Hacemos una marca en el punto donde leímos el ángulo deseado.
5. Unimos el origen con la lectura marcada, de esta forma construimos un ángulo agudo de 40°.
Además del transportador, otros instrumentos usados para construir ángulos son el compás y la escuadra. Esta última permite construir ángulos rectos. Disciplinas como la arquitectura hacen uso de los ángulos en sus diseños. La exactitud en las mediciones es importante porque de lo contrario muchas de las estructuras podrían sufrir daños y afectar a las personas.
Comparación de ángulos
Luego de conocer cómo funciona el sistema sexagesimal en la medición de ángulos, podemos concluir que los ángulos llanos son mayores que los obtusos, que los obtusos son mayores que los rectos y que estos últimos son mayores que los agudos.
De manera que cuando necesitemos comparar ángulos lo primero que debemos hacer es identificar qué tipo de ángulo es. En el caso de conocer los valores de los ángulos, realizamos la comparación de de los números de acuerdo a la cantidad que representan, es decir: un ángulo de 35° es mayor que uno de 20°, pero es menor que uno de 150°.
Los ángulos y el triángulo
Los ángulos son tan importantes que en sí mismos determinan un criterio de clasificación de los triángulos. En este sentido, los triángulos se clasifican en acutángulos, rectángulos y obtusángulos. Los triángulos acutángulos tienen todos sus ángulos internos agudos, los triángulos rectángulos tienen un ángulo recto y los otros dos agudos, los triángulos obtusángulos tienen un ángulo obtuso y los otros dos agudos. En los triángulos se cumple que la suma de sus ángulos internos siempre es igual 180°.
¡A practicar!
1. ¿A qué tipo de ángulo corresponde cada imagen?
a)
Solución
Ángulo recto.
b)
Solución
Ángulo llano.
c)
Solución
Ángulo obtuso.
d)
Solución
Ángulo agudo.
2. ¿Cuál de los siguientes ángulos no es agudo?
a) 95°
b) 30°
c) 3°
d) 84°
Solución
a) 95°. No es agudo porque no es menor a 90°.
3. ¿Cuál de los siguientes ángulos no es obtuso?
a) 125°
b) 95°
c) 160°
d) 180°
Solución
d) 180°. No es obtuso porque es igual a 180°, los ángulos obtusos deben ser mayores a 90° y menores a 180°.
4. ¿Cuál de los siguientes ángulos es agudo?
a) 90°
b) 180°
c) 200°
d) 50°
Solución
d) 50°. Es agudo por ser menor a 90°.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Ángulos”
El presente artículo profundiza más en los diferentes tipos de ángulos que existen según su medida, su posición y sus características.
Este artículo detalla los elementos y tipos de ángulos, su construcción y el uso del transportador. Al final se proponen una serie de ejercicios relacionados.
