Hacemos uso de las sucesiones al contar los días de la semana, del mes o del año. También al contar las horas del día o simplemente al contar los pasos para llegar a casa. Las sucesiones no son más que un conjunto de números organizados de un forma determinada. No solo las podemos encontrar con números, sino también con figuras.
Las primeras nociones sobre las sucesiones fueron propuestas por Fibonacci. A él se le ocurrió estudiar este concepto por medio de la relación que tenía con la reproducción de los conejos. ¡Sí! Los conejos se reproducen de forma sucesiva. Cada mes una hembra puede dar a luz, y por lo tanto, puede tener cientos de hijos al año.
¿QUÉ SON SUCESIONES?
Una sucesión es un conjunto de elementos ordenados de forma ascendente o descendente. Los elementos de este conjunto se denominan términos y estos siguen una regla, la cual permite calcular cada uno de ellos.
Las sucesiones pueden ser finitas o infinitas. Las sucesiones finitas tienen un número determinado de términos y las infinitas no tienen término final. Por ejemplo:
Sucesión finita =
Sucesión infinita =
¿Sabías qué?
Los puntos suspensivos (…) indican que la sucesión continua hasta el infinito.
Términos de una sucesión
Los términos de una sucesión se expresan con subíndices: a1, a2, a3, a4, a5 …, los cuales indican la posición de cada uno dentro de la secuencia, por ejemplo, el término a1 ocupa la primera posición de la secuencia, el término a2 corresponde al segundo lugar y así sucesivamente con cada uno.
Podemos calcular cada término de una sucesión de acuerdo a esta relación:
an = a0 + nr
Donde:
a0: término anterior al primero.
r: regla de la sucesión.
n: número de término.
– Ejemplo:
Podemos representar una sucesión por un término general o enésimo. En este caso su fórmula es:
an = −1 + n · (+3)
an = −1 + 3n
Observa que la regla de sucesión (r) es +3, por lo tanto, el término anterior al primero (t0) es igual a −1. Si queremos hallar el término a8 solo aplicamos la fórmula anterior:
a8 = −1 + 3 · 8 ⇒ a8 = −1 + 24 ⇒ a8 = 23
¿Cuáles son los términos?
Emplea la fórmula y determina cuáles son los términos a10, a12 y a15 de la secuencia anterior.
Solución
a10 = −1 + 3 · 10 ⇒ a10 = −1 + 30 ⇒a10 = 29
a12 = −1 + 3 · 12 ⇒ a12 = −1 + 36 ⇒ a12 = 35
a15 = −1 + 3 · 15 ⇒ a15 = −1 + 45 ⇒ a15 = 44
Sucesión de Fibonacci
Una de las sucesiones conocidas más importantes es la de Fibonacci. Este tipo de secuencia lleva su nombre en honor al matemático italiano Leonardo Fibonacci y se caracteriza por el hecho de que cada número resulta de sumar los dos números anteriores a este. El término general de la misma es y la forma más básica de este tipo de sucesión es:
No solo podemos encontrar sucesiones de números, también es posible encontrar sucesiones con diferentes figuras. Por ejemplo:
En ella se puede ver que las figuras están en orden ascendente con respecto a sus lados. Cada figura tiene un lado más que la anterior.
– Ejemplo 2:
También es posible conseguir sucesiones con figuras en distintas posiciones, como este ejemplo:
Como puedes ver en la imagen, todas las flechas tienen una dirección y sentido diferente, pero si te fijas con atención, el movimiento es igual al de las agujas del reloj, es decir, van en sentido horario. Este patrón nos permite saber cuál será la próxima figura en la sucesión:
Uno de los campeonatos más vistos es el Mundial de fútbol de la FIFA. En este, se clasifican 32 selecciones y, a medida que transcurre el torneo, se eliminan la mitad de los equipos en encuentros entre ellos. Así, comienzan 32, luego 16, 8, 4, 2, hasta que solo queda 1, el equipo campeón. Como ves, esta es una sucesión descendente en la que cada término es igual a la mitad del anterior.
SUCESIONES CON SUMAS Y RESTAS
Podemos construir sucesiones por medio de sumas, restas o la combinación de ambas operaciones. Por ejemplo:
– Otro ejemplo:
En la sucesión anterior, a medida que disminuye el número en cada término, la resta entre el término siguiente y el anterior aumenta.
Algunas aplicaciones
Debido a lo práctico que resulta expresar en forma general una secuencia ordenada de números, las sucesiones matemáticas han sido aplicadas en muchas disciplinas además de la matemática. Por ejemplo, la sucesión de Fibonacci se ha aplicado en la arquitectura, el arte y la informática.
Las progresiones son un tipo de sucesiones que se utilizan para realizar diversos cálculos como la determinación del interés compuesto. Las progresiones aritméticas también se usan en las interpolaciones, que consisten en calcular valores que se encuentran entre dos dados.
¡A practicar!
1. Consigue la regla de la sucesión en cada caso.
{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}
Solución
{45, 44, 42, 39, 35, 30, 24, 17, 9}
Solución
2. ¿Cuál es la imagen que falta?
Solución
3. ¿Cuáles son las figuras que deben ir en los espacios en gris?
Solución
4. Selecciona cuál de las imágenes del segundo bloque es la que corresponde al cuadrado que falta en el primer bloque.
Solución
5. Calcula el término a25 de la siguiente sucesión:
{23, 27, 31, 35, 39}
Solución
Datos:
a0 = 19
r = +4
Término enésimo:
an = 19 + n · (+4)
an = 19 + 4n
Resultado:
a25 = 19 + 4 · 25
a25 = 19 + 100
a25 = 119
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Sucesiones”
Este artículo lo ayudará a complementar la información sobre las sucesiones.
Los números decimales son todos aquellos que tienen una parte entera y una parte decimal, es decir, una cantidad menor que la unidad y mayor que cero. Estos números los podemos encontrar en todas partes, como en los precios de los productos del supermercado.
CARACTERÍSTICAS DE LOS NÚMEROS DECIMALES
Los números decimales están formados por dos partes separadas con una coma de la siguiente manera:
Los números decimales también son llamados números fraccionarios. Estos se utilizan para realizar mediciones con mayor precisión. Por ejemplo, al medir la estatura de una persona. Si decimos que alguien mide 1 m no sabríamos con exactitud la medida, en cambio, si usamos números decimales podemos decir que una persona mide 1,65 m o 165 cm.
Clasificación de números decimales
Números decimales exactos
Tienen un número limitado de cifras decimales. Por ejemplo:
Números decimales periódicos
Tienen una o más cifras decimales que se repiten de forma ilimitada o infinita. Podemos distinguir dos tipos de números decimales periódicos:
Números decimales periódicos puros: son aquellos números en los cuales la parte decimal periódica comienza inmediatamente después de la coma. La parte que se repite indefinidamente en estos números es señalada con una línea horizontal o arco en la parte superior. Por ejemplo:
Números decimales periódicos mixtos: son los que están formados por dos partes decimales: una cifra que no se repite que está justo después de la coma, denominada ante-período; y la parte periódica. Por ejemplo:
Números decimales no periódicos
No tienen cifras decimales con un patrón repetido indefinidamente. Un ejemplo de estos son los números irracionales, como el número pi.
¡A practicar!
Ya que conoces cómo están formados los números decimales, ¡consíguelos en este cuadro!
Solución
Número de Euler
Existen números decimales famosos y uno de ellos es el número de Euler, también denominado constante de Napier. Este número decimal fue utilizado por John Napier para introducir el concepto de logaritmo. No obstante, Leonhard Euler fue quien utilizó la letra e para representar dicha constante en el año 1727. El número es utilizado en cálculo, álgebra y números complejos.
LECTURA DE NÚMEROS DECIMALES
Podemos realizar la lectura de un número decimal de dos formas. Para ello, tomaremos como ejemplo el número 698,754980213, el cual podemos representarlo así de acuerdo a su valor posicional:
Primera forma de leer el número:
Lee la parte entera de izquierda a derecha seguida de la palabra “enteros”.
Lee toda la parte decimal como se lee la parte entera.
Menciona la posición en la que se encuentra la última cifra decimal.
Entonces, el número 698,754980213 se lee “seiscientos noventa y ocho enteros setecientos cincuenta y cuatro millones novecientos ochenta mil doscientos trece milmillonésimas“.
Segunda forma de leer el número:
Lee la parte entera de izquierda a derecha seguida de la palabra “coma”.
Lee toda la parte decimal como se lee la parte entera.
De este manera, el número 698,754980213 se lee “seiscientos noventa y ocho coma setecientos cincuenta y cuatro millones novecientos ochenta mil doscientos trece”.
¡Es tu turno!
Utiliza el primer método para leer estos números decimales:
456,268435
Solución
456,268435 = cuatrocientos cincuenta y seis enteros doscientos sesenta y ocho mil cuatrocientos treinta y cinco millonésimas.
35.413,9346103
Solución
35.413,9346103 = treinta y cinco mil cuatrocientos trece enteros nueve millones trescientos cuarenta y seis mil ciento tres diezmillonésimas.
58,79516428
Solución
58,79516428 = cincuenta y ocho enteros setenta y nueve millones quinientos dieciséis mil cuatrocientos veintiocho cienmillonésimas.
REDONDEO DE NÚMEROS DECIMALES
Todo número decimal puede ser redondeado. El redondeo se refiere a reducir la cantidad de cifras de un número para tener un valor similar. Las reglas son las siguientes:
Redondeo por defecto: si la última cifra del número que deseamos redondear es 1, 2, 3 o 4, la sustituimos por 0, y no variamos la penúltima cifra. Por ejemplo, el número 18,3.
Redondeo por exceso: si la última cifra es 5, 6, 7, 8 o 9, también sustituimos por 0, pero en este caso aumentamos la penúltima cifra en 1. Por ejemplo, el número 45,8.
El símbolo (≈) significa aproximado.
Todo número decimal puede ser redondeado. El redondeo se refiere a reducir la cantidad de cifras de un número para tener un valor similar. Saber esta práctica puede ser muy útil en nuestro día a día, pues cuando vamos a pagar una cuenta hacemos un redondeo de la cifra de forma mental para saber con qué billete vamos a pagar.
Redondeo por aproximación
Podemos aproximar los números decimales a la unidad más cercana, es decir, acercarlo a un número de la recta numérica que tenga menos decimales que este por medio de las mismas reglas. También los podemos aproximar a las décimas, centésimas, milésimas, etc., más cercanas. Por ejemplo, observa los siguientes números y redondéalos: 18,82653 y 45,73286.
El primer número lo aproximamos mediante la regla de redondeo por defecto, ya que la última cifra está entre 0 y 4. Aquí la cifra se aproximó a la diezmilésima más cercana.
Y para el segundo número seguimos la regla de exceso, ya que la última cifra está entre 5 y 9. Aquí la cifra se aproximó a la a la diezmilésima más cercana.
¡A practicar!
Convierte los siguientes números decimales a enteros por redondeo:
465,568
Solución
466
84,91
Solución
85
14,3
Solución
14
9.214,12
Solución
9.214
Aproxima estos números a las décimas, centésimas o milésimas más cercanas:
326,3462
Solución
326,346
486,945
Solución
486,95
45,87
Solución
45,9
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Números decimales”
Este artículo ayuda a complementar la información sobre los números decimales.
¿Te has preguntado qué números utilizarías para representar temperaturas por debajo de 0 ºC? o ¿qué números utilizarías para indicar la altura del monte Everest? Para describir estas situaciones usamos los números enteros, un conjunto numérico que abarca desde los números negativos hasta los positivos.
Muchas situaciones de la vida cotidiana requieren el uso de los números enteros. Un ejemplo de ello es la economía a nivel mundial, la cual necesita de estos para poder registrar las entradas y salidas de dinero (las entradas serán enteros positivos y las salidas enteros negativos). Esto es con el fin de poder contabilizar las ganancias o las pérdidas.
¿QUÉ SON los NÚMEROS ENTEROS?
Los números enteros abarcan todos los números naturales , así como también el cero y los números negativos o menores que cero. Matemáticamente, el conjunto de números enteros es representado con la letra y se expresa de la siguiente manera:
Estos números continúan hasta infinito, tanto del lado de los positivos como del lado de los negativos.
Por lo general, los números enteros positivos no requieren el uso del signo más (+) para resaltarlos, caso contrario ocurre con los enteros negativos , que sí requieren el uso obligatorio del signo menos (−) para diferenciarlos.
Por ejemplo:
Los siguientes números enteros positivos: +3.674 y +5.876.541 se pueden escribir de dos formas:
Con el signo positivo antes del número: +3.674 y +5.876.541.
Sin el signo positivo antes del número: 3.674 y 5.876.541.
Por otra parte, los números enteros negativos−614 y−9.780 requieren el uso obligatorio del signo menos (−) antes de ellos. No colocar el signo negativo antes del número lo convierte en un número positivo.
LA RECTA NUMÉRICA
También es conocida como la recta real y se representa con una línea recta. Esta contiene todos los números reales .
¿Cómo dibujar una recta numérica?
Traza una línea de forma horizontal con flechas en ambos extremos como la siguiente:
Divide la línea en segmentos iguales con la misma distancia entre ellos:
Coloca el número cero (0) en el centro de la recta:Comienza a colocar los números en cada intervalo: del lado derecho del cero van los enteros positivos y del lado izquierdo van los enteros negativos.
Ubicación de los números en la recta numérica
La recta numérica puede contener:
Enteros positivos y negativos como: −17 y +11.
Números decimales o en forma de fracción como: −8/5 que es igual a −1,6 y 4/5 que es igual a 0,8.
¿Sabías qué?
La línea recta fue introducida por John Wallis, un matemático Inglés que alrededor del año 1670 la empleó para representar de modo gráfico los números naturales.
¡A practicar!
Ubica estos número en la recta numérica:
+150
Solución
−180
Solución
+19
Solución
3/2
Solución
−0,5
Solución
APLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
Los números enteros son utilizados en muchas situaciones de nuestra vida, algunos ejemplos son los siguientes:
Para indicar la altitud o altura sobre el nivel del mar.
En todo nuestro planeta existen distintas altitudes, tal son los casos del monte Everest en el Himalaya, el cual posee una altitud de +8.848 msnm y la costa del mar Muerto que se encuentra a unos −417 msnm.
Para indicar los pisos de un edificio.
Al caminar por el centro de la ciudad habrás visto algún edificio, estos están divididos por pisos y cada piso corresponde a un número. El piso que se encuentra en el mismo nivel de la calle es la planta baja, le corresponde el número 0. Los niveles que están arriba de él se indican con enteros positivos y los que se encuentra debajo, llamados subterráneos o sótanos, se señalan con los negativos.
Otras aplicaciones
Para realizar mediciones de temperatura.
¿Has escuchado hablar del Polo Sur y el Polo Norte de nuestro planeta tierra? La temperatura en esos lugares puede variar entre los −89 ºC y los 0ºC. A esos valores, por lo general se les llama temperaturas bajo 0.
Por otra parte, existen lugares como Kuwait con temperaturas que pueden llegar a los +63ºC.
Para contabilizar pérdidas o ganancias.
Las cuentas bancarias realizan registros de entradas de dinero con númerosenteros positivos, y los retiros o pagos con los números enteros negativos.
Por ejemplo:
Una persona recibe 2.000 $ en su cuenta y luego realiza una transferencia de 1.000 $ para pagar una computadora. ¿Cuánto dinero tendrá en la cuenta luego de la transferencia?
Recibe dinero: +2.000 $
Transferencia de dinero: −1.000 $
Total de dinero en la cuenta: +2.000 $ − 1.000 $ = +1.000 $
Entonces, el dinero que la persona tendrá en su cuenta luego de realizar la transferencia será 1.000 $.
Para dibujar ejes de coordenadas o eje cartesiano se emplean los números enteros.
Ejercicios
Juan se encuentra al nivel del mar y quiere escalar una montaña. Decide subir 50 m, luego desciende 25 m para tomar una herramienta que se le cayó. Al agarrar la herramienta decide terminar su escalada y sube 80 m. ¿A qué altura sobre el nivel del mar se encuentra?
Solución
Ubicación de Juan sobre el nivel del mar: 0 m
Juan sube: +50 m
Juan desciende: −25 m
Juan vuelve a subir: +80 m
Altura que escaló juan: 50 m − 25 m + 80 m = 105 m
Juan se encuentra a 105 metros sobre el nivel del mar.
Romina decide comprar un teléfono celular que cuesta 1.850 $, pero en su cuenta bancaria solo tiene 1.100 $. Decide decirle a su papá que le transfiera el dinero que le falta para comprar el teléfono y él le transfiere a su cuenta 1.350 $. ¿Cuánto dinero le quedó a Romina en su cuenta luego de comprar el teléfono?
Solución
Cuenta bancaria de Romina: +1.100 $
Transferencia del papá de Romina: +1.350 $
Compra del teléfono: −1.850 $
Total después de la compra: +1.100 $ + 1.350 $ − 1.850 $ = +600 $
A Romina le quedaron 600 $ en su cuenta luego de comprar el teléfono.
Felipe se encuentra parado en la posición +2 de una recta numérica, decide avanzar +6 posiciones y luego vuelve 11 posiciones atrás. ¿En qué posición quedó Felipe?
Solución
+2 + 6 − 11 = −3
Felipe quedó en la posición −3.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “La recta numérica”
Este artículo ayuda a complementar la información sobre la recta numérica.
Día a día comparamos números. Lo hacemos al ver que un precio es más bajo que otro, que los grados aumentan o disminuyen en el termómetro de acuerdo a la temperatura, o que un compañero tuvo una calificación diferente a la nuestra. Todos los números pueden compararse entre sí y para hacerlo existen algunas reglas y símbolos especiales.
Los números de nuestro sistema decimal poseen valores absolutos y relativos. El valor absoluto no considera la posición de la cifra, mientras que el relativo sí. De este modo, y en su función de representar cantidades, podemos hallar números que son mayores que otros. Esta relación nos permite establecer un orden entre ellos.
USO DE LOS SÍMBOLOS DE RELACIÓN
¿Qué son los símbolos de relación?
Son aquellos que permiten comparar números según el valor que estos tengan. Así, al observar dos cantidades podemos determinar si una es mayor, menor o igual que la otra. Para indicar estas relaciones colocamos los siguientes símbolos:
>, se lee “mayor que”.
<, se lee “menor que”.
=, se lee “igual a”.
Mayor que (>)
Todo número ubicado a la izquierda del símbolo “>“ será mayor que el número ubicado a su derecha, entonces, si el símbolo se encuentra entre dos números, significa que el primero es mayor que el segundo.
Menor que (<)
Todo número ubicado a la izquierda del símbolo “<“ será menor que el número ubicado a su derecha, entonces, si el símbolo se encuentra entre dos números, significa que el primero es menor que el segundo.
Igual a (=)
Los números ubicados tanto a la derecha como a la izquierda del símbolo “=” son iguales.
¿Sabías qué?
El matemático inglés Robert Recorde fue quien inventó el símbolo de igualdad. Le dio esta forma porque decía que “dos cosas no pueden ser más iguales que dos rectas paralelas”.
Existe una manera sencilla de memorizar los símbolos de relación y su función, consiste en fijarse en sus extremos. “Mayor que” y “menor que” apuntan su parte más ancha y abierta hacia el número mayor y su parte más cerrada y fina hacia el número menor. Ya que leemos de izquierda a derecha, el primero de los dos extremos que veamos nos dirá cuál símbolo es.
ESTABLECER ORDEN ENTRE DIFERENTES CANTIDADES
Orden de los números naturales
Los números naturales son los números que usamos para contar y con los que estamos más familiarizados. El orden de estos números comienza con sus unidades básicas, que se distribuyen de la siguiente manera:
Posterior al número 9 comienzan los números de dos cifras, formados por decenas y unidades:
El orden de los números naturales continúa en crecimiento hasta alcanzar el número 100, momento en el que se llega a las 3 cifras y aparece la primera centena de la sucesión:
El proceso se repite mientras se suman más y más cifras a la izquierda del número, cada una en representación de un valor mayor:
Esto indica que mientras más cifras tenga un número natural, mayor será su valor. Sin embargo, si dos números poseen la misma cantidad de cifras, hay que diferenciar los valores de cada dígito.
Observa estos ejemplos:
– Compara los números 110 y 120.
Primero vemos sus centenas. En este caso, las dos centenas son iguales (1), así que pasamos a las decenas. Estas son distintas y, por lo tanto, comparamos esos dos dígitos. Como 1 es menor que 2, entonces 110 es menor que 120.
– Compara los números 122 y 123.
Estos números tienen centenas y decenas iguales, así que pasamos a comparar las unidades. Como 2 es menor que 3, decimos que 122 es menor que 123.
– Compara los números 5.392.897 y 5.403.121.
La primera cifra corresponde a las unidades de millón y es la misma en los dos números. Comparamos entonces la siguiente cifra: la centena de mil. Como 3 es menor que 4, decimos que 5.392.897 es menor que 5.403.121.
– Compara los números 25.072.518 y 25.072.523.
Al igual que los casos anteriores, comparamos de izquierda a derecha cada cifra hasta ubicar las que tienen distinto valor. En este ejemplo, las decenas son distintas. Como 1 es menor que 2, decimos que 25.072.518 es menor que 25.072.523.
¡Es tu turno!
– Compara estos números.
9.854.125.369 y 9.854.311.003
Solución
9.854.125.369 < 9.854.311.003
658.899.157.021 y 658.899.157.001
Solución
658.899.157.021 > 658.899.157.001
Desigualdades
Las desigualdades, también llamadas inecuaciones, son expresiones algebraicas que contienen incógnitas y emplean símbolos para expresar la relación entre las partes. Los símbolos usados son:
< menor que
> mayor que
≤ menor o igual que
≥ mayor o igual que
≠ no es igual a
Orden de los números enteros
Los números enteros están formados por los números naturales y los números negativos. Los números negativos poseen una peculiaridad que los diferencia de los positivos: sus valores actúan de forma completamente opuesta. A partir de cero hacia la derecha, los números naturales se hacen cada vez mayores; en cambio, a partir de cero hacia la izquierda, los números negativos se hacen cada vez menores.
Esto quiere decir que si 2 es mayor que 1, −2 es menor que −1.
Es así como los números negativos siguen las mismas reglas de jerarquía que los naturales, pero de forma opuesta. Por ejemplo:
Los dos números tienen la misma cantidad de centenas y de decenas, pero las unidades son distintas. Como −4 es menor que −3, decimos que −424 es menor que −423.
¡Colócalos en orden!
– Ordena los siguientes números enteros de menor a mayor y utiliza el símbolo correspondiente.
Los números decimales son aquellos que tienen una parte entera y una parte decimal, es decir, una cantidad inferior a la unidad. Ambas partes son separadas por una coma.
El orden que siguen los números decimales es parecido a los explicados anteriormente. Observa este ejemplo:
1,4 es menor que 2,4 porque solo se consideraron sus partes enteras.
Si la parte entera de los números es la misma, empezamos a considerar la parte decimal, la cual se divide en cifras con nombres específicos: décimas, centésimas y milésimas. Estas tres unidades decimales son las más comunes, pero la cantidad de cifras puede extenderse hasta el infinito.
Lo más importante a saber para poder ordenar números decimales es que las décimas tienen mayor valor que las centésimas, y estas, a su vez, valen más que las milésimas. Observa las equivalencias:
1 décima = 0,1 unidades
1 centésima = 0,01 unidades
1 milésima = 0,001 unidades
Por lo tanto: 0,1 > 0,01 > 0,001
Ejemplo:
– Compara los números 2,3462 y 2,35.
La parte entera del número es la misma, así que pasamos a la parte decimal. Las décimas son iguales, pero las centésimas no. Como 4 es menor que 5, decimos que 2,3462 es menor que 2,35.
¿Sabías qué?
A diferencia de los números enteros, la cantidad de decimales no determina el valor del número.
¡Colócalos en orden!
– Ordena los siguientes números decimales de menor a mayor y utiliza el símbolo correspondiente.
Los números fraccionarios o fracciones son aquellos números que representan una división o la separación de algo en varias partes. Están formados por un numerador y denominador, ambos separados por una barra horizontal.
La comparación de fracciones dependerá del numerador y el denominador. Los casos pueden ser los siguientes:
Fracciones con igual denominador.
Fracciones con igual numerador.
Fracciones con diferentes numeradores y denominadores.
Fracciones con igual denominador
Si dos fracciones tienen el mismo denominador, la mayor fracción será aquella con mayor numerador. Por ejemplo:
¿Por qué es menor que ?
Observa las gráficas:
Las dos gráficas están divididas en 8 partes, como lo indica el denominador. En la primera tomamos 2 partes de las 8 (2/8), y en la segunda tomamos 4 partes (4/8). Hay más partes tomadas en la segunda gráfica.
Puedes comprobarlo por medio de divisiones:
Si comparamos estos números decimales, tenemos que:
Que es igual a:
Fracciones con igual numerador
Si dos fracciones tienen el mismo numerador, la mayor fracción será aquella con menor denominador. Por ejemplo:
¿Por qué es menor que ?
Observa las gráficas:
En las dos gráficas tomamos 2 partes, como lo indica el numerador. La primera se dividió en 6 partes totales y la otra en 4 partes totales. A pesar de que el número 6 es mayor que 4, aquí el 6 indica una mayor cantidad de divisiones y esto le resta valor a la fracción.
Puedes comprobarlo por medio de divisiones:
Si comparamos estos números decimales, tenemos que:
Que es igual a:
Si tienes dificultades para encontrar el orden de las fracciones, puedes probar este otro método: simplemente divide el numerador entre el denominador, y obtendrás un número entero o un número decimal. Luego sólo tienes que ordenar estos resultados. Su orden será el mismo que el de las fracciones iniciales.
Fracciones con diferente numerador y denominador
Para conocer el orden que tienen estas fracciones no basta con observarlas a simple vista. Para lograrlo debemos seguir dos pasos:
Hallar una fracción equivalente a la que deseamos comparar. Ambas deben tener el mismo denominador.
Comparar las fracciones resultantes según el método ya explicado para las fracciones con igual denominador.
¿Cómo comparar estas fracciones:y ?
1. Calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores. Para ello, debes descomponer cada número en sus factores primos.
m.c.m (5; 9) = 5 x 32 = 5 x 9 = 45
2. Multiplica el denominador por un número cuyo producto sea el m.c.m. Luego multiplica el numerador por ese mismo número. El resultado será su fracción equivalente.
Observa que en la primera fracción 5 x 9 = 45. Por eso, toda la fracción se multiplica por 9/9. Lo mismo sucede con la fracción 5/9, como 9 x 5 = 45, toda la fracción se multiplica por 5/5.
3. Compara las nuevas fracciones con igual denominador. La mayor fracción será aquella con mayor numerador, y como 72 > 25, entonces:
Ejercicios
1. Coloca el símbolo correcto entre los siguientes números.
10 ____ 9
4 ____ 4
8 ____ 27
46 ____ 6
59 ____ 59
40 ____ 70
2 ____ 22
100 ____ 1
23 ____ 32
85 ____ 85
Solución
10 > 9
4 = 4
8 < 27
46 > 6
59 = 59
40 < 70
2 < 22
100 > 1
23 < 32
85 = 85
2. Ordena los siguientes números naturales de menor a mayor y utiliza el símbolo correspondiente para ello.
Usamos los números en muchas situaciones de la vida cotidiana, pero algunas veces necesitamos descomponerlos para que una operación matemática sea más sencilla. Estas separaciones de números se pueden hacer de diversas formas y por medio de sumas, multiplicaciones o combinaciones de estas.
DESCOMPOSICIÓN ADITIVA DE UN NÚMERO
Saber cómo formar números a partir de otros más pequeños puede resultar muy útil en nuestro día a día. Si, por ejemplo, necesitamos pagar una cuenta de $ 150, podemos pagar con un billete de $ 100 y otro billete de $ 50; también podríamos pagar con tres billetes de $ 50. Como verás a continuación, esto es una descomposición aditiva.
Un número se puede descomponer en una suma de varios números más pequeños, para ello existen dos formas de realizarlo:
1. Descomposición aditiva por medio de combinaciones básicas
Consiste en descomponer el número a través de una o más sumas que den como resultado el número original. Por ejemplo, el número 589.478,12 se puede descomponer de muchas maneras. Estas son algunas:
2. Descomposición aditiva por medio del valor posicional
Consiste en descomponer el número a través de la suma de los valores posicionales de cada cifra. De este modo, si queremos descomponer el número 54.268,2789, lo primero que debemos hacer es ubicar cada uno de sus valores en la tabla posicional. Observa:
Vemos en la tabla que:
5 ocupa la posición de las decenas de mil → 50.000
4 ocupa la posición de las unidades de mil → 4.000
2 ocupa la posición de las centenas → 200
6 ocupa la posición de las decenas → 60
8 ocupa la posición de las unidades → 8
2 ocupa la posición de las décimas → 0,2
7 ocupa la posición de las centésimas → 0,07
6 ocupa la posición de las milésimas → 0,006
9 ocupa la posición de las diezmilésimas → 0,0009
Ahora solo debes sumar todos los valores posicionales:
Observa que no tomamos en cuenta el dígito cero (0) para la descomposición de números.
DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UN NÚMERO
La descomposición polinómica se hace al combinar la suma y la multiplicación de potencias de base 10. Para descomponer de forma polinómica el número 452.328.465, los pasos son los siguientes:
1. Haz la descomposición aditiva del número. Puedes apoyarte en una tabla posicional como esta:
2. Convierte cada sumando en la multiplicación de la cifra respectiva por la unidad seguida de cero.
452.328.465 = 4 x 100.000.000 + 5 x 10.000.000 + 2 x 1.000.000 + 3 x 100.000 + 2 x 10.000 + 8 x 1.000 + 4 x 100 + 6 x 10 + 5
3. Transforma las unidades seguidas de cero a potencias de base 10.
452.328.465 = 4 x 108 + 5 x 107 + 2 x 106 + 3 x 105 + 2 x 104 + 8 x 103 + 4 x 102 + 6 x 10 + 5 x 100
Potencia de base 10
Potencia igual a la unidad seguida de tantos ceros como exprese el exponente. Estas potencias son muy usadas para representar números grandes.
102 = 10 x 10 = 100
103 = 10 x 10 x 10 = 1.000
104 = 10 x 10 x 10 x 10 = 10.000
¿Sabías qué?
Los mayas utilizaban un sistema de numeración posicional de base 20, es decir, las cantidades se agrupaban de 20 en 20. Dichos valores permitían obtener sumas de números grandes.
DESCOMPOSICIÓN MULTIPLICATIVA DE UN NÚMERO
Las matemáticas han permitido que el ser humano resuelva situaciones de una manera más rápida y sencilla. Una de estas facilidades es expresar un número como una multiplicación de sus factores primos.
Un número se puede expresar de otra manera equivalente al utilizar la multiplicación de factores. Esta técnica matemática se realiza con el uso de los números primos.
¿Qué son los números primos?
Un número primo es aquel que solo puede dividirse por sí mismo y por el número uno. Es decir, que posee solo dos divisores. Los primeros 100 números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541.
Ejemplo: el número 60 puede descomponerse en distintas multiplicaciones.
60 = 6 x 10
60 = (2 x 3) x (2 x 5)
60 = 2 x 3 x 2 x 5
Observa que el número 6 se descompone en sus factores primos 2 y 3. Sucede lo mismo con el número 10 que se descompone en dos factores primos: 2 y 5. Otras maneras de descomponer el número 60 son estas:
60 = 4 x 15 = 2 x 2 x 3 x 5
60 = 20 x 3 = 2 x 2 x 5 x 3
Para números más grandes, observa estos ejemplos:
221.269 = 409 x 541
147.413.303 =521 x 523 x 541
1.738.066 = 2 x 11 x 199 x 397
¡A practicar!
1. Escribe la descomposición aditiva por medio del valor posicional de estos números:
Los números pueden parecer muy difíciles si tienen muchas cifras, pero no son tan complicados cuando conoces la posición de los dígitos y el valor relativo de cada uno. Con unos pasos muy sencillos podrás leerlos, ya sea que pertenezcan a nuestro sistema de numeración decimal o al sistema de numeración romano.
Lectura de números naturales
Brasil es un país ubicado en América del Sur. Tiene una superficie total de 8.515.770 km2 y una población estimada de 210.385.000 habitantes. Se trata del segundo país más poblado de todo el continente americano. ¿Puedes leer esos números?,¿cuántos habitantes hay en Brasil?,¿cuál es su superficie? En este artículo, veremos los pasos para saber cómo leerlos.
Los números naturales son aquellos que usas para contar. Inician desde el cero (0) y siguen hasta el infinito. Este conjunto de números fue el primero que se utilizó para calcular y por definición matemática se representan así:
Estos son los que más empleas día a día. Con ellos das la hora, tu fecha de cumpleaños o tu número de identificación. En cualquier caso, la ubicación de cada cifra cumple un valor relativo. Así, en el número 25.651, el 5 se ubica en dos posiciones: en las decenas y en las unidades de mil. El valor relativo de cada cifra es:
Y el número se lee: veinticinco milseiscientos cincuenta y uno.
Las posiciones de cada cifra permiten la correcta lectura de los números, en especial, cuando los números son grandes. Para leer un número natural, lo primero que debes hacer es escribirlo correctamente. Esto se logra por medio de agrupación de dígitos. Para leer el número 123604785219, los pasos son los siguientes:
Coloca un punto cada tres dígitos. Empieza de derecha a izquierda.
Cada punto rojo, de derecha a izquierda, representará la palabra “mil”.
Cada punto azul, de derecha a izquierda, representará en orden ascendente la secuencia: millones, billones, trillones, cuatrillones, quintillones, etc.
Por último, se lee el número de izquierda a derecha: ciento veintitrés mil seiscientos cuatro millones setecientos cincuenta y ocho mil doscientos diecinueve.
¿Cómo se leen estos números?
121.568.265
Solución
Ciento veintiún millones quinientos sesenta y ocho mil doscientos sesenta y cinco.
923.645.687.156
Solución
Novecientos veintitrés mil seiscientos cuarenta y cinco millones seiscientos ochenta y siete mil ciento cincuenta y seis.
216.035.548.665.021
Solución
Doscientos dieciséis billones treinta y cinco mil quinientos cuarenta y ocho millones seiscientos sesenta y cinco mil veintiuno.
¿Sabías qué?
El número de Graham es el número más grande que se ha representado matemáticamente. Su símbolo es la letra G y requirió el uso de símbolos y la notación flecha de Knuth para su representación.
LECTURA DE NÚMEROS DECIMALES
Los números decimales se componen de una parte entera y una parte decimal que va separada por una coma. Estos números están presentes en nuestro día a día: en nuestro peso, cuando usamos el termómetro o en los precios de los productos.
Las partes de un número decimal están divididas por un separador. Aunque el Sistema Internacional de Unidades (SI) y la ISO aceptan el punto y la coma como separador decimal, la Real Academia Española aclara que la coma es “el signo igual al ortográfico que se emplea para separar la parte entera de la parte decimal en las expresiones numéricas”.
Para el número 325,086 el valor relativo de cada cifra se representa así:
Según el lugar que ocupe el decimal se representará en orden ascendente la secuencia: décima, centésima, milésima, diezmilésima, cienmilésima, milmilésima, etc. Todos estos son valores más pequeños que uno (1). Observa la tabla:
Décimas
Centésimas
Milésimas
La décima parte de la unidad es
La centésima parte de la unidad es
La milésima parte de la unidad es
1 U = 10 d
1 U = 100 c
1 d = 10 c
1 U = 1.000 m
1 d = 100 m
1 c = 10 m
Donde:
U: unidad
d: décimas
c: centésimas
m: milésimas
De centenas a milésimas
Para leer un número decimal debes seguir estos pasos:
Lee la parte entera de izquierda a derecha seguida de la palabra “enteros”.
Lee toda la parte decimal como se lee la parte entera.
Menciona la posición en la que se encuentra la última cifra decimal.
Entonces, la lectura del número 122,96 es: ciento veintidós enterosnoventa y seis centésimas.
Existe otra forma de leer números decimales, los pasos son los siguientes:
Lee la parte entera de izquierda a derecha seguida de la palabra “coma”.
Lee toda la parte decimal como se lee la parte entera.
De este modo, la lectura del número 122,96 también es: ciento veintidós coma noventa y seis.
¿Cómo se leen estos números?
2,364
Solución
Dos enteros trescientos sesenta y cuatro milésimas.
5.879.009,587
Solución
Cinco millones ochocientos setenta y nueve mil nueve enteros quinientos ochenta y siete milésimas.
175.756,2
Solución
Ciento setenta y cinco mil setecientos cincuenta y seis enteros dos décimas.
¿Sabías qué?
El número pi (π) es un número con decimales infinitos y es una de las constantes matemáticas más utilizadas. Relaciona el perímetro de una circunferencia con la amplitud de su diámetro.
LECTURA DE NÚMEROS ROMANOS
La numeración romana tiene siete símbolos representados por siete letras del abecedario latino:
Número romano
I
V
X
L
C
D
M
Número arábigo
1
5
10
50
100
500
1.000
Por ejemplo, el número XVI es igual a 16 porque:
XVI = 10 + 5 + 1 = 16
Si bien los números romanos están en desuso en la actualidad, es posible verlos en relojes, capítulos y tomos de libros, materias en programas académicos, leyes y reformas, sagas de películas, concursos, actos y escenas de obras de teatro, nombres de papas, nombres de reyes, y en lápidas y esculturas conmemorativas.
Para poder realizar la lectura de los números romanos de pocas o muchas cifras necesitas conocer las siguientes reglas:
1. Regla de la suma
Si a la derecha de una número romano tenemos otro de menor valor, entonces las cifras se suman.
CL = 100 + 50 = 150
XXIII = 10 + 10 + 3 = 23
2. Regla de la resta
I solo puede colocarse delante de V y X.
IV = 5 − 1 = 4
IX = 10 − 1 = 9
X solo puede restar a L y C.
XL = 50 − 10 = 40
XC = 100 − 10 = 90
C solo puede restar a D y M.
CD = 500 − 100 = 400
CM = 1.000 − 100 = 900
V, L y D nunca pueden usarse para restar otros números.
3. Regla de la repetición
Podemos repetir I, X, C y M un máximo de tres veces. En cambio, V, L y D no se pueden repetir.
III = 1 + 1 + 1 = 3
MMM = 1.000 + 1.000 + 1.000 = 3.000
4. Regla de la multiplicación
Después de 3.999 el sistema es diferente y se coloca una raya horizontal encima del número romano, esto significa que se ha multiplicado por 1.000. Si se colocan dos rayas, el número será multiplicado por 1.000.000.
Al descomponer un número natural puedes encontrar el equivalente a su número romano. Para ello, solo debes usar los números 1, 5, 10, 50, 100, 500 o 1.000 en la descomposición. Las sumas y restas están permitidas.
Por ejemplo, el número romano equivalente a 279 se encuentra por medio de esta descomposición:
¿Estos números romanos son correctos?
VIIII
Solución
No. El número romano I solo puede repetirse un máximo de tres veces. Si deseas escribir el número 9 en números romanos lo correcto es:
IX = 10 − 1 = 9
VX
Solución
No. El número romano X solo puede restar a L y C. Si deseas escribir el número 15 en número romano lo correcto es:
XV = 10 + 5 = 15
DDD
Solución
No. El número romano D no puede repetirse. Si deseas escribir el número 1.500 en número romanos, lo correcto es:
MD = 1.000 + 500 = 1.500
VALOR POSICIONAL DE CIFRAS
El sistema de numeración decimal es el más usado en el mundo, se caracteriza por:
Estar conformado por 10 cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
Ser posicional, es decir, cada cifra tiene un valor de acuerdo a su posición dentro del número.
Mismos números, distintas posiciones
Con tres dígitos, como 8, 3 y 5, se pueden formar varios números, sin embargo, no todos tendrán el mismo valor posicional.
Según la posición que ocupe un dígito en un número su valor será diferente. Por ejemplo, el dígito 3 ocupa distintos puestos en el número 53.412.130.004.322,18, y por lo tanto, cada uno tiene un valor diferente. Observa la tabla de valores posicionales:
En este número, el dígito 3 ocupa tres posiciones:
Unidad de billón, que equivale a 1.000.000.000.000 unidades, entonces:
3 x 1.000.000.000.000 = 3.000.000.000.000
Decena de millón, equivalente a 10.000.000 unidades, entonces:
3 x 10.000.000 = 30.000.000
Centena, que equivale a 100 unidades, entonces:
3 x 100 = 300
Este número se lee: cincuenta y tres billones cuatrocientos doce mil ciento treinta millones cuatro mil trescientos veintidós enteros dieciocho centésimas.
Tabla de equivalencias
1 unidad = 1 unidad
1 decena = 10 unidades
1 centena = 100 unidades
1 unidad de mil (millar) = 1.000 unidades
1 decena de mil (millar) = 10.000 unidades
1 centena de mil (millar) = 100.000 unidades
1 unidad de millón = 1.000.000 unidades
1 decena de millón = 10.000.000 unidades
1 centena de millón = 100.000.000 unidades
1 unidad de millar de millón = 1.000.000.000 unidades
1 decena de millar de millón = 10.000.000.000 unidades
1 centena de millar de millón = 100.000.000.000 unidades
1 unidad de billón = 1.000.000.000.000 unidades
1 decena de billón = 10.000.000.000.000 unidades
1 centena de billón = 100.000.000.000.000 unidades
¿Qué valor posicional tienen los números marcados en rojo?
587.124.687,7956
Solución
Decena.
8.147.561,115
Solución
Unidad de millón.
64.789,185948
Solución
Milésima.
189.547.963.004.279
Solución
Centena de billón.
Ejercicios
1. Lee y escribe en letras los siguientes números:
3465268
Solución
3.465.268 = tres millones cuatrocientos sesenta y cinco mil doscientos sesenta y ocho.
12563,158
Solución
12.563,158 = doce mil quinientos sesenta y tres enteros ciento cincuenta y ocho milésimas.
684812313
Solución
684.812.313 = seiscientos ochenta y cuatro millones ochocientos doce mil trescientos trece.
Solución
Sesenta y cinco mil.
MM
Solución
Dos mil.
165,5346821
Solución
Ciento sesenta y cinco enteros cinco millones trescientos cuarenta y seis mil ochocientos veintiún diezmillonésimas.
Solución
Tres millones cien mil.
Solución
Quinientos once mil.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Números grandes: lectura y escritura”
El siguiente artículo le permitirá ampliar información sobre la lectura y escritura de números grandes.
Una recta numérica, también llamada recta real, representa de forma gráfica el orden y la sucesión de un conjunto de números. Sin embargo, estos conjuntos no siempre son iguales y, como verás a continuación, se clasifican de acuerdo a sus características.
Cada día, el ser humano maneja números de diferentes conjuntos sin darse cuenta; por ejemplo, al contar los días de la semana, cortar un pastel en varias porciones o sumar los céntimos que forman parte del dinero. Todos estos números tienen una representación gráfica en un espacio coordenado unidimensional. Es decir, todos ellos se pueden mostrar en una recta numérica.
NÚMEROS NATURALES
Los números naturales son aquellos que se utilizan para contar los elementos de un grupo dado; gracias a ellos puedes saber cuántos dedos tienen las manos o cuántos integrantes hay en tu familia. Estos son los números más utilizados y su conjunto es representado con la letra ℕ.
Debido a que se utilizan para contar objetos, el cero puede considerarse el número que corresponde a la ausencia de los mismos, por lo tanto, el conjunto de los números naturales se presenta de dos maneras:
¿Sabías qué?
Los números naturales fueron los primeros en ser utilizados por los seres humanos para contar y determinar cantidades.
En una recta numérica, los números naturales se colocan de tal forma que a medida que avanzas hacia la derecha, encuentras los números más grandes.
¿Cómo elaborar una recta numérica con números naturales?
Dibuja una semirrecta.
Señala el origen que corresponde al cero.
Coloca una flecha en la punta derecha de la recta. Esto indica que la recta se extiende hasta el infinito.
Escribe los números naturales en intervalos regulares. El intervalo entre números consecutivos siempre será el mismo.
Los intervalos en una recta numérica no solo representan a las unidades, sino también a las decenas y las centenas.
¡A practicar!
Ubica en la recta numérica los siguientes números: 5, 20, 35 y 48.
SOLUCIÓN
NÚMEROS ENTEROS
Los números enteros son aquellos que comprenden tanto a los números naturales como a sus opuestos, es decir, a los números negativos, y al número 0. Este conjunto se representa con la letra ℤ, que por definición es:
¿Sabías qué?
Los negativos se utilizan en casos comunes de la vida como, por ejemplo, una deuda o las temperaturas bajo cero.
En una recta numérica, los números enteros se distribuyen a partir del cero: a su izquierda se ubican los negativos y a su derecha se ubican los positivos.
Recuerda que …
1. Dados dos números enteros de signos distintos, +a y –a, con a > 0, el negativo es menor que el positivo: −a < +a.
−5 < +5
2. Dados dos números enteros con el mismo signo, el menor de los dos números es:
El de menor valor absoluto, si el signo común es “+“.
+8 < +10
El de mayor valor absoluto, si el signo común es “−”.
−10 < −8
3. El cero, 0, es menor que todos los positivos y mayor que todos los negativos.
−1 < 0 < +1
¡A practicar!
Ubica en la recta numérica los siguientes números: 15, −15, −35 y −39.
SOLUCIÓN
NÚMEROS DECIMALES
Los números decimales están formados por dos partes: una entera y una decimal, ambas separadas por una coma. A la izquierda de la coma se ubica la parte entera, y a la derecha de la coma está la parte decimal.
Los números decimales son usados para mostrar aquellos valores que se necesitan conocer con exactitud y precisión, por lo que indicarlos solo con una unidad no es suficiente. Las medidas de altura, el peso de un bebé y el precio de los productos de un supermercado, son algunos ejemplos de cifras decimales.
En una recta numérica, los números decimales se ubican entre dos números enteros. Para esto, se divide en diez partes la distancia entre los números y se incorporan los decimales que hay entre ellos.
Para representar a los decimales ubicados entre el 1 y el 2, la recta numérica se presenta así:
También puedes identificar los decimales entre dos decimales menos precisos. Por ejemplo, al dividir el espacio entre los decimales 1,1 y 1,2 en otras 10 partes iguales, tendrás las posiciones de los números del 1,11 al 1,19.
¡A seguir con la práctica!
Ubica en la recta numérica los siguientes números decimales: 20,2; 20,5; 20,8 y 20,95.
SOLUCIÓN
El número pi
El número pi es tal vez el número decimal más famoso. Este es un número con decimales infinitos, pero popularmente se simplifica como 3,1416. Solo estos dígitos permiten saber que pi se encuentra entre el 3 y el 4 en la recta numérica.
También conocidos simplemente como fracciones, son aquellos que representan una división entre números. Un ejemplo de fracción lo puedes ver al pedir medio kilo de pan o al cortar una torta en partes iguales.
Toda fracción está formada por dos partes: un numerador y un denominador separados por una línea horizontal.
Al igual que los números decimales, los números fraccionarios se encuentran entre dos números enteros o dos números decimales en una recta numérica. Para hallar su ubicación se siguen dos métodos diferentes según el tipo de fracción: propia o impropia.
Fracciones propias
Las fracciones propias poseen un numerador menor a su denominador. La división entre estos dos dígitos dará como resultado un número decimal menor a 1. Para saber la posición en la recta numérica se debe segmentar el espacio entre 0 y 1 la cantidad de veces que indique el denominador, y la fracción se ubicará al final del segmento que indique el numerador.
Por ejemplo, para hallar en la recta numérica la fracción debes seguir estos pasos:
Dividir el espacio entre 0 y 1 en 3 segmentos iguales.
Ubicar la fracción al final del segundo segmento.
Los números decimales y fraccionarios son diferentes a los números naturales y enteros, ya que, a diferencia de estos últimos, representan números “incompletos”. No obstante, todos ellos pertenecen al mismo conjunto numérico: el de los números racionales, un subconjunto de los números reales.
Fracciones impropias
Las fracciones impropias poseen un numerador mayor a su denominador. La división entre estos dos dígitos siempre dará como resultado un número mayor a 1. Para saber la posición de una fracción impropiar en la recta real se deben seguir dos pasos:
Convertir la fracción impropia en un número mixto, es decir, la combinación entre un número entero y una fracción propia.
Ubicar el número mixto en la recta numérica. El número entero indicará por dónde empezar a segmentar, mientras que el resto de la fracción se ubicará de la misma forma que una fracción propia: número de segmentos según el denominador y la ubicación de la fracción según el numerador.
¿Cómo convertir la fracción en un número mixto?
1. Divide el numerador por el denominador.
2. El resto de la división se convertirá en el nuevo numerador de la parte fraccionaria. El divisor será el denominador de la parte fraccionaria y el cociente será la parte entera del número mixto.
3. Construye el número mixto.
¡Pon en práctica lo aprendido!
¿Cómo conviertes la fracción en número mixto?
Para ubicar la fracción en la recta numérica, primero se dividen entre sí ambas cifras. Esta división tiene como cociente el número 1, como resto el número 3 y como divisor el número 5, por lo tanto el número mixto es:
Ahora solo debes dividir en 5 segmentos iguales (denominador de la parte fraccionaria) el espacio entre el número 1 y el número 2. Luego, marcar el final del tercer segmento (numerador de la parte fraccionaria). Allí está ubicada la fracción .
¡A practicar!
Ubica en la recta numérica las fracciones propias 1/2 y 6/10.
SOLUCIÓN
Ubica en la recta numérica las fracciones impropias 3/2 y 9/8.
SOLUCIÓN
¡A practicar!
1. Responde las siguientes preguntas:
a. ¿A cuál conjunto numérico pertenecen las notas que obtienes de tus exámenes en clase?
b. ¿Entre cuáles números se ubica el −8 en la recta numérica?
c. ¿Qué tipo de número es el 3,33?
d. ¿Qué número mixto se construye con la fracción 9/5?
2. Ubica los siguientes números en la recta numérica que se muestra a continuación:
4
−3
2,5
1/2
5/4
SOLUCIÓN
1a. Números naturales.
1b. Entre el −7 y el −9.
1c. Número decimal.
1d.
2.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo destacado “Recta numérica”
Con este recurso podrás complementar la información explicada y brindar ejercitación.
Comienza a colocar los números en cada intervalo: del lado derecho del cero van los enteros positivos y del lado izquierdo van los enteros negativos.
2. El resto de la división se convertirá en el nuevo numerador de la parte fraccionaria. El divisor será el denominador de la parte fraccionaria y el cociente será la parte entera del número mixto.
