El triángulo es una de las figuras geométricas más estudiadas en la geometría y, a pesar de su simplicidad, es muy usado en muchos cálculos para resolver diversos problemas. Este polígono de tres lados puede clasificarse en diferentes tipos según el criterio que se considere.
clasificación
Los triángulos son clasificados con respecto a sus lados en: equiláteros, isósceles y escalenos. Por otro lado, si se considera la medida de sus ángulos, pueden clasificarse en: acutángulos, rectángulos y obtusángulos.
Clasificación con respecto a los lados
Triángulo equilátero: tiene sus tres lados iguales.
Triángulo isósceles: tiene dos lados iguales.
Triángulo escaleno: tiene sus tres lados diferentes.
Clasificación con respecto a los ángulos
Triángulo acutángulo: tiene los tres ángulos agudos, es decir, menores a 90°.
Triángulo rectángulo: uno de sus ángulos es recto, es decir, mide 90°.
Triángulo obtusángulo: uno de sus ángulos es obtuso.
ángulos internos de un triángulo
Como vimos anteriormente, los ángulos internos tienen mucha importancia con respecto a la clasificación de los triángulos. Pero, además, existe una gran relación entre ellos: la suma de todos los ángulos internos de un triángulo es igual a 180º.
Suma de ángulos internos
Cada ángulo interno esta formado por dos lados que comparten un extremo en común, el vértice. La suma de estos ángulos internos de un triángulo siempre dará como resultado 180º, independientemente de qué tipo de triángulo sea.
¿Sabías qué?
El ángulo interno y externo de un triángulo son suplementarios; es decir, la suma de ellos es de 180º.
triángulos congruentes
Dos triángulos son congruentes si son isométricos entre sí. Esto quiere decir que tienen las mismas dimensiones, aunque no necesariamente la misma orientación.
Ejemplo de triángulos congruentes:
En la imagen anterior se observan dos triángulos con diferente posición y orientación. Sin embargo, son congruente porque sus dimensiones son las mismas y por lo tanto, son isométricos entre sí.
Los triángulos son unas de las figuras geométricas más estudiadas porque pueden formar otras más complejas. Los polígonos regulares, por ejemplo, pueden dividirse en tantos triángulos iguales como lados tengan. El hexágono es el único polígono regular en el que todos los triángulos que lo forman son equiláteros (tres lados iguales), el resto de polígonos regulares están formados por triángulos isósceles (dos lados iguales).
construcción de triángulos
Para la construcción de triángulos, la herramienta fundamental es el compás (aunque en algunos casos también puede usarse el transportador). Al conocer las distancias entre los puntos que conforman al triángulo se puede realizar su construcción.
¿Cómo construimos un triángulo?
Para construir un triángulo equilátero debemos seguir los siguientes pasos:
Paso 1.Dibujamos un segmento con la longitud deseada para cada uno de los lados del triángulo equilatero.
Paso 2. Con el compás apoyado en uno de los extremos, realizamos un arco con un radio igual al segmento .
Paso 3. Realizamos un arco de la misma longitud pero del lado opuesto para generar un punto de intersección.
Paso 4. Unimos con dos segmentos el extremo A y el punto de unión, y el extremo B y el mismo punto.
Paso 5. Borramos las lineas auxiliares realizadas por el compás y finalmente obtenemos el triángulo equilátero.
Todo triángulo tiene tres lados y tres ángulos. Para su construcción necesitamos conocer al menos tres de esos datos, con la salvedad de que uno de ellos sea un lado. De esta manera, se puede construir un triángulo si se conocen: tres lados; dos lados y el ángulo entre ellos; o un lado y sus dos ángulos contiguos.
¡A practicar!
1. Determina qué tipos de triángulo son los siguientes según sus lados.
a)
RESPUESTAS
Es un triángulo equilátero porque todos sus lados tienen la misma longitud.
b)
RESPUESTAS
Es un triángulo isósceles porque dos de sus lados son iguales.
c)
RESPUESTAS
Es un triángulo escaleno porque todos sus lados son diferentes.
2. ¿Cómo se denominan los triángulos que poseen un ángulo igual a 90°?
RESPUESTAS
Triángulos rectángulos.
3. ¿Qué tipo de triángulo posee todos sus ángulos menores a 90°?
RESPUESTAS
Los triángulos acutángulos.
4. Determina en cada caso si los triángulos son congruentes.
a)
RESPUESTAS
No son triángulos congruentes.
b)
RESPUESTAS
Son triángulos congruentes.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Triángulo”
En el siguiente artículo se profundiza el concepto de triángulo, se explica cómo denotarlos y se comentan sus propiedades principales.
Artículo “Determinación de rectas y puntos notables de los triángulos”
Este artículo, además de explicar las diferentes clasificaciones de los triángulos, hace hincapié en los diferentes puntos notables que tienen estas figuras y las características geométricas de los mismos.
La geometría es una rama de la matemática que estudia las formas de diferentes figuras como triángulos, cuadrados, y rectángulos, entre otras. Una parte de su estudio consta de la mediciones de áreas y perímetros. A continuación, trabajaremos sobre estos cálculos en algunas figuras geométricas.
cálculo de áreas en figuras geométricas
Las figuras geométricas comparten entre sí ciertas características que son de interés para la geometría. Entre esas características se encuentra el cálculo de áreas. El área es la extensión de la superficie de una figura, y para calcularla primero se debe saber ante qué tipo de figura nos encontramos. En esta sección, trabajaremos con rectángulos y triángulos.
Para calcular el área de un rectángulo se debe conocer su base y su altura. En la siguiente figura se muestran dichos valores.
El área se calculará entonces como la multiplicación de la longitud de sus lados:
Los rectángulos son un tipo de paralelogramo, es decir, cuadriláteros con sus lados opuestos paralelos dos a dos. Los rectángulos tienen la particularidad de que sus cuatro ángulos internos miden 90°. De esta forma, se puede afirmar que el cuadrado es un tipo de rectángulo que se diferencia del resto porque todos sus lados tienen la misma longitud.
Área de un triángulo:
Para calcular el área de un triángulo, debemos imaginarlo como la mitad de un rectángulo. En la siguiente figura se puede ver tal afirmación.
El área se calculará entonces como la multiplicación de la longitud de sus lados pero dividido por dos (porque hablamos de la mitad de un rectángulo):
Teorema de Pitágoras
Los triángulos rectángulos son aquellos que poseen un ángulo interno igual a 90º. Los catetos en este caso son la base (b) y la altura (h), y el lado de mayor longitud recibe el nombre de hipotenusa.
El teorema de Pitágoras dice que: “La hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los catetos al cuadrado“.
Si consideramos ambos catetos como C1 y C2, y la hipotenusa como H, el teorema de Pitágoras queda expresado de la siguiente manera:
Cálculo de área de un rectángulo
Se tiene una pieza de madera en forma de rectángulo que mide 1 metro de base y 3 metros de alto. ¿Cuál es el área de esta pieza?
La pieza tiene un área de 3 m2.
Cálculo de área de un triángulo
Se tiene un triángulo rectángulo de 2 centímetros de base y 4 centímetros de altura. ¿Cuál es su área?
El triángulo tiene un área de 4 cm2.
¿Sabías qué?
Según sus ángulos, los triángulos pueden clasificarse en agudos, rectángulos y obtusos.
unidades usadas para medir superficie o área
En los ejemplos anteriores, se observa que cuando se calcula un área el resultado tiene una unidad de longitud elevada al cuadrado. Las unidades sirven para poder expresar el tamaño de determinadas mediciones. En este caso, se trata del área de una figura geométrica.
Tipos de unidades
Las unidades más comunes para expresar áreas de figuras geométricas son los metros cuadrados (m2) y los centímetros cuadrados (cm2). Sin embargo, cualquier unidad de longitud puede ser utilizada para el cálculo de un área.
Existen otras unidades de área como la hectárea que equivale a la superficie de un cuadrado de 100 m en cada lado. Es decir, 1 hectárea equivale a 10.000 m2.
Ejemplo de cálculo de área con diferentes unidades
Se tiene el siguiente cuadrado (un rectángulo donde sus cuatro lados son iguales) con el valor de sus lados expresados en diferentes unidades.
El área del cuadrado se puede calcular de la siguiente manera:
Donde:
A = área.
L = longitud de uno de los lados del cuadrado.
De acuerdo al valor del número que se reemplace en la ecuación, el área será diferente numéricamente, pero las diferentes unidades de longitud permiten correlacionar todos los valores. De esta forma, representan al mismo valor de área pero con diferente unidad:
Área (m2) = (0,5 m)2 = 0,25 m2
Área (cm2) = (50 cm)2 = 2.500 cm2
Área (mm2)= (500 mm)2 = 250.000 mm2
Sin embargo, cualquiera de las tres opciones son el mismo resultado. Solo que con unidades diferentes. La diferencia es solo numérica.
Por lo tanto:
0,25 m2 = 2.500 cm2 = 250.000 mm2
cálculo de perímetro de figuras geométricas simples y compuestas
El cálculo del perímetro se realiza de modo similar al cálculo del área. El perímetro es el contorno de la figura, por lo tanto, para calcularlo se recurrirá simplemente a la suma de la longitud de sus lados.
Perímetro de figuras
A continuación, se mostrarán las fórmulas de cálculo de perímetro de triángulos, cuadrados y rectángulos.
Perímetro de un triángulo = cateto + cateto + hipotenusa
Perímetro de un cuadrado = lado + lado + lado + lado
Perímetro de un rectángulo = base + altura + base + altura
El cálculo del perímetro puede realizarse en figuras simples, como es el caso de los tres ejemplos anteriormente mencionados, o en figuras compuestas, cuando se combinan dos o más de estas figuras.
Ejemplo de cálculo de perímetro de una figura compuesta:
Para calcular el perímetro de la figura compuesta debe sumarse las longitudes de todo el contorno de esta. Por lo tanto:
El perímetro se calculará como la suma de los siguientes contornos:
2 lados del cuadrado de 45 cm
2 lados del rectángulo de 10 cm
1 lado del rectángulo de 45 cm
1 lado del triángulo de 45 cm
1 lado (la hipotenusa) del triángulo de 63,6 cm
Perímetro = (2 × 45 cm) + (2 × 10 cm) + 45 cm + 45 cm + 63,6 cm = 263,6 cm
Prestar atención a las unidades: en esta caso, como simplemente se calculó una longitud, la unidad del perímetro es en cm.
¡A practicar!
1. ¿Cuál es el área y el perímetro del siguiente triángulo?
RESPUESTAS
El área del triángulo es de 24 cm2.
El perímetro del triángulo es de 24 cm.
2. ¿Cuál es el área y el perímetro del siguiente rectángulo?
RESPUESTAS
El área del rectángulo es de 35 cm2.
El perímetro del rectángulo es de 24 cm.
3. ¿Cuál es el perímetro de la siguiente figura?
RESPUESTAS
3 lados del cuadrado de 7 cm
1 lado del rectángulo de 7 cm
1 lado del rectángulo de 6 cm
1 lado del triángulo de 5 cm
1 lado (la hipotenusa) del triángulo de 7,8 cm
El perímetro de la figura es de 46,8 cm.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Teorema de Pitágoras”
En este artículo se explica en qué consiste el teorema de Pitágoras, sus aplicaciones, y presenta distintos ejercicios.
La adición y la sustracción de fracciones se realiza con diferentes métodos. El método elegido va a depender del tipo de fracción que se vaya a sumar o a restar. Si las fracciones son homogéneas, se coloca el mismo denominador y se suman o restan sus numeradores. Cuando las fracciones son heterogéneas se pueden emplear diferentes procedimientos como la multiplicación cruzada, la aplicación del mínimo común múltiplo (mcm) a los denominadores de las fracciones o el uso de fracciones equivalentes.
Las fracciones también se pueden sumar o restar con los números enteros, para lo cual se convierte el número entero en fracción.
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES
La multiplicación de fracciones se realiza mediante la multiplicación lineal de sus factores, numerador por numerador y denominador por denominador. Por otra parte, la división de fracciones tiene tres formas de resolverse. Una de ellas es de forma cruzada, a través de la multiplicación del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y el resultado se coloca como numerador de la fracción resultante. Luego se multiplica el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda y el resultado se coloca en el denominador resultante. Otra manera es intercambiar el numerador y el denominador de la segunda fracción para resolverlo de manera lineal como la multiplicación. Y por último, otra opción consiste en el método de la doble c, en el cual la segunda fracción se coloca por debajo de la primera y se multiplican los términos exteriores para obtener el numerador resultante y los interiores para obtener el denominador resultante.
Conocer cómo simplificar fracciones es muy importante para facilitar los cálculos.
FRACCIONES Y DECIMALES
Las fracciones y los números decimales se encuentran muy relacionados, ya que las fracciones se pueden representar de forma decimal y algunos decimales se pueden expresar de forma fraccionaria. Las fracciones se encuentran formadas por el numerador y el denominador separados por una línea horizontal. Los decimales tienen una parte entera y una parte decimal divididas por una coma. Al dividir el numerador entre el denominador de una fracción se obtiene un número decimal (o entero cuando se trata de una fracción aparente). Por otra parte, los decimales se pueden convertir en fracciones por diferentes procedimientos, según el número decimal sea exacto, periódicopuro o periódico mixto. Existen números decimales que no pueden ser convertidos en fracciones como el número pi y son denominados números irracionales.
Los números periódicos son números decimales infinitos con una o más cifras decimales denominadas período que se repiten indefinidamente.
EL PORCENTAJE
El porcentaje se representa con el símbolo “%”. Es una forma de expresar una fracción dividida entre 100. Por esta razón, los números fraccionarios, los decimales y los porcentajes se encuentran muy relacionados. Los porcentajes se pueden transforman en números decimales al dividirlos entre el 100 %. Para calcular el porcentaje de una cifra se puede realizar mediante dos procedimientos. El primero es convertir el porcentaje en una fracción decimal y multiplicarlo por la cantidad total. Y el segundo método consiste en la regla de tres simple, en la cual el valor total es equivalente al 100 % y el porcentaje buscado corresponde al valor de la incógnita que queremos conocer.
El porcentaje es muy utilizado en el comercio para promocionar descuentos o realizar recargos al momento de la compra.
En nuestra vida diaria es frecuente escuchar expresiones relacionadas con porcentajes como “la población creció un 20 %” o “hay un 50 % de descuento en ropa”. El porcentaje se utiliza para representar una porción de algo y se encuentra muy relacionado con los números decimales y los fraccionarios.
RELACIÓN DEL PORCENTAJE CON LAS FRACCIONES Y LOS DECIMALES
Para poder realizar el cálculo del porcentaje primero hay que saber que este representa a una fracción decimal cuyo denominador es 100, equivalente al 100 % del número entero, y el numerador es una porción de este. Analicemos el siguiente ejemplo: según la Organización Mundial de la Salud (OMS), el 80 % de las personas que se contagian con el SARS-CoV-2 y desarrollan COVID‑19 se recuperan de la enfermedad sin necesidad de tratamiento hospitalario.
El porcentaje quiere decir que de cada 100 personas que contraen coronavirus, 80 personas se recuperan sin tener que ser hospitalizadas. Por lo tanto, el numerador de la fracción representa la porción de la población que se recupera y el denominador será la población total del estudio. En esta relación de porcentajes y fracciones también es posible aplicar el método de simplificación.
Con el resultado anterior concluimos que 8 de cada 10 personas contagiadas se recuperan sin necesidad de ser hospitalizadas.
Veamos otro ejemplo. La OMS dice que aproximadamente 1 de cada 5 personas que contraen la COVID‑19 presentan un cuadro grave y experimenta dificultades para respirar. Esto quiere decir:
Entonces, quiere decir que aproximadamente el 20 % de la población que se contagia con la enfermedad presenta un cuadro grave.
Asimismo, los porcentajes pueden ser convertidos en forma de números decimales al dividirse entre el 100 %, que representa al total. Y por el contrario, para convertir un número decimal a porcentaje basta con multiplicarlo por 100 %. En este sentido, los dos ejemplos anteriores se pueden expresar en forma decimal de la siguiente manera:
Porcentaje
Fracción
Número decimal
Fracción
Número decimal
Porcentaje
Los porcentajes son muy utilizados en diferentes campos, debido a que estos equivalen a una porción de un todo. Pueden ser representados en gráficos, lo que ayuda a una mejor comprensión y a un análisis más rápido de los datos. Por otra parte, los porcentajes se pueden representar en números decimales o en números fraccionarios.
CÁLCULO DE PORCENTAJE
Existen ocasiones en nuestro día a día en los que se requiere calcular el porcentaje de un total o viceversa. También hay veces que queremos conocer qué cantidad del total representa el porcentaje. En ese caso, se emplea el siguiente método:
Covertir un porcentaje a la porción que representa
Tomemos el siguiente ejemplo: un jugador de baloncesto durante toda la temporada realizó 120 lanzamientos y falló el 25 % de sus tiros. Se quiere saber cuántos lanzamientos falló durante la temporada.
Para conocer la cantidad que representa un porcentaje respecto a un total, lo primero que debemos hacer es convertir el porcentaje a una fracción decimal y luego se multiplica por el total que, en este caso, son los 120 lanzamientos que realizó el jugador.
Al transformar el porcentaje en una fracción decimal se obtiene el siguiente resultado:
Luego multiplicamos esa fracción por la cantidad de lanzamientos que realizó el jugador.
Esto quiere decir que, de los 120 lanzamientos que realizó el jugador, falló en 30 de sus lanzamientos, es decir, el 25 %.
Los porcentajes son muy empleados por los empresarios o dueños de tiendas como estrategia para generar mayores ventas y mejorar sus ingresos. Al ofrecer porcentajes de descuentos en sus productos, el índice de ventas aumenta y conlleva a un crecimiento de sus ingresos. Por otro lado, también pueden aplicar porcentajes de recargo como sucede en las compras con tarjetas de crédito.
Uso de la regla de tres
Cuando se trabaja con porcentajes, las cantidades son directamente proporcionales, por lo tanto, estos pueden ser calculados mediante el uso de la regla de tres simple. En estos casos, si una cantidad aumenta, la otra también, y en el caso de que una disminuya, la otra también lo hace. Por lo tanto, es una regla de tres directa.
Para emplear este método veamos el siguiente ejemplo: en un salón de clases hay 40 alumnos. El 30 % de ellos aprobó el examen con A, el 50 % aprobó con B y el resto obtuvo una C. ¿Cuántos alumnos obtuvieron A, B y C?
Si en el salón hay 40 alumnos, entonces ellos representan el 100 %. Entonces planteamos las reglas de la siguiente manera:
El 30 % de lo alumno obtuvieron A:
El 50 % de los alumnos obtuvieron B:
El 20 % de los alumnos obtuvieron C:
Entonces, se concluye que los 12 alumnos con A representan el 30 %, los 20 alumnos con B equivalen al 50 % y 8 de ellos obtuvieron C, el equivalente al 20 %.
¿Sabías qué?
Se tienen registros que señalan que el porcentaje se ha usado desde el siglo XV.
APLICACIÓN DEL PORCENTAJE EN EL COMERCIO
El porcentaje es muy utilizado de diferentes formas en el comercio, por ejemplo, para realizar descuentos o recargos a las compras.
Descuentos
Cuando se habla de descuento, quiere decir que a la cantidad total que se va a pagar hay que restarle el porcentaje. Por lo tanto, la cantidad que se obtiene como resultado es menor que la cantidad dada. Por ejemplo:
Una tienda de bicicletas eléctricas vende uno de sus modelos en 2.500 $ con un descuento de 30 % si se paga con tarjeta de crédito. ¿Cuánto será el costo de la bicicleta si se paga con tarjeta de crédito?
Para realizar este ejercicio utilizaremos el primer método visto anteriormente.
Se convierte el porcentaje en fracción.
Se multiplica por el costo de la bicicleta.
Se resta el porcentaje de descuento (750 $) al total del costo de la bicicleta.
El costo de la bicicleta con descuento, por el pago con tarjeta de crédito, será de 1.750 $. Observa que, como era de esperarse, la cantidad con el descuento es menor que el precio inicial.
La estadística es una rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de individuos o acontecimientos a través de la recolección y organización de datos. Esta emplea procedimientos que permiten obtener resultados de manera gráfica para la elaboración de conclusiones. En este sentido, la estadística se vuelve una herramienta muy útil para muchas ciencias y actividades humanas, como la sociología, la psicología, la geografía, y la economía.
Recargos
Otro de los usos que se le puede dar al porcentaje es para realizar recargos. Esto se ve mucho cuando se quiere realizar compras de artículos y no se tiene el monto total del mismo. El monto es divido en varias cuotas mas pequeñas, pero al final el costo total aumenta.
Imaginemos que se desea comprar un auto de 350.000 $ y el concesionario permite pagarlo en 12 cuotas con un recargo del 8 % sobre su costo. ¿Cuánto será el costo real del auto?
Para este ejercicio aplicaremos el segundo método visto: la regla de tres simple. Así que el 8 % de aumento por las 12 cuotas se plantea de la siguiente forma:
Luego, al tener el 8 % de aumento, se le suma al costo del auto 28.000 $ de aumento. Eso da un total de 378.000 $. Este es el costo del auto si se paga en 12 cuotas. Como era de esperarse, el costo del auto con recargo es mayor que el costo inicial.
¡A practicar!
1. ¿Cuánto es el 38 % de 12.583?
RESPUESTAS
El 38 % de 12.583 es 4.781,54.
2. El costo de unos zapatos para jugar al fútbol tienen un valor de 130 $. Si se pagan en efectivo se realiza un descuento del 23 %. ¿Cuánto se ahorra si se pagan en efectivo?
RESPUESTAS
Se ahorrarían 29,90 $.
3. Si se realiza un viaje en auto con un motor usado se consumen 56 litros de gasolina. Si con un motor nuevo se ahorra 26 % de gasolina, ¿cuántos litros de gasolina ahorra el motor nuevo?
RESPUESTAS
El motor nuevo ahorra 14,56 litros de gasolina.
4. Desde el 2010 hasta el 2018, 7.954 personas han intentado subir al Monte Everest. Durante esa travesía, 72 personas no pudieron completar el viaje. ¿Cuánto fue el porcentaje de personas que no pudieron completar el viaje?
RESPUESTAS
El porcentaje de personas que no pudieron completar el viaje fue del 0,9 %.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Porcentajes”
Este artículo permite analizar diferentes ejercicios en los que se aplican los porcentajes.
Algunos números decimales pueden ser representados a través de fracciones, por esta razón se dice que los números decimales y las fracciones se encuentran relacionados. Los números decimales que se pueden representar a través de fracciones se denominan racionales y de acuerdo a su tipo se realiza la conversión.
Los números fraccionarios están formados por el numerador y el denominador que se encuentran divididos por una raya horizontal. Por otro lado, los números decimales están formados por una parte entera y una parte decimal separadas por una coma. En el caso de números racionales es posible representar la misma cantidad en fracción o decimal.
LOS NÚMEROS DECIMALES
Los números decimales son aquellos que están formados por una parte entera y una parte decimal. Estos están separados por una coma o un punto. Estos números son otra forma de escribir el resultado de las fracciones. Ambas expresiones representan cualquier número no entero (aunque las fracciones pueden representar cantidades enteras en el caso de las fracciones aparentes).
En este sentido, las fracciones se pueden expresar en forma de números decimales, para lo cual se debe realizar la división de la fracción, es decir, numerador entre denominador. Por ejemplo, al dividir el numerador entre el denominador de la fracción 5/4 se obtiene 1,25, que corresponde a la misma cantidad.
Convertir una fracción a número decimal
Solo existe un método para convertir una fracción a número decimal y se realiza a través de la división. Si divides el numerador entre el denominador por lo general obtienes un número decimal. Siempre y cuando no sea una fracción aparente, en la que el resultado es un número entero (como en el caso de 4/2 = 2).
Algunos ejemplos de conversión de fracciones a decimales son los siguientes:
Convertir un número decimal a fracción
Existen diferentes procedimientos para convertir números decimales a fracciones. Estos pasos dependen del tipo de número que se va a transformar.
Tipos de números decimales
Los números decimales pueden ser racionales o irracionales. Los racionales pueden representarse en forma de fracción y los irracionales no. Los números racionales se clasifican en decimales exactos y decimales periódicos.
Decimales exactos: son aquellos números que tiene una parte limitada o finita de cifras decimales. Los decimales finitos representan a las fracciones decimales. Por ejemplo: 2,38; 4,681; 68,98135; 9647,3543.
Decimales periódicos: son aquellos en los que toda la parte decimal o una porción de esta sigue un patrón infinito de números denominado período y se denota en forma de arco en la parte superior del mismo.
Se pueden distinguir dos tipos de decimales periódicos:
Números decimales periódicos puros
Estos números decimales tienen la parte decimal periódica inmediatamente después de la coma. La parte periódica se suele señalar usualmente con una línea horizontal o arco en la parte superior del mismo. Por ejemplo: 2,3333… = .
Números decimales periódicos mixtos
Estos números decimales poseen dos partes decimales: una parte no periódica, denominada anteperíodo, y la otra parte es la periódica, que se denota con el arco superior. Por ejemplo: 2,147151515… = .
¿Sabías qué?
Al dividir la longitud de una circunferencia entre su diámetro se obtiene un número irracional denominado número pi.
Convertir un número decimal exacto a fracción
Para transformar un número decimal exacto a una fracción decimal se debe escribir el decimal dividido por 1. Luego hay que multiplicar tanto el numerador como el denominador por una potencia de base diez (10, 100, 1.000, etc.) que tenga tantos ceros como cifras decimales tenga el número. Si la fracción que se obtiene no es irreducible, entonces se debe simplificar para obtener el resultado
Por ejemplo:
Otro ejemplo sería:
Al igual que las demás clases de números, los decimales y los fraccionarios pueden ubicarse en la recta numérica. Estos se encuentran entre dos números enteros, por lo tanto, permiten realizar e indicar mediciones mucho más precisas. Un ejemplo de esto son las llaves mecánicas, las cuales tienen medidas fraccionarias en pulgadas y decimales en milímetros.
Convertir un decimal periódico puro a fracción
Para convertir un decimal periódico puro a fracción es necesario aplicar los siguientes pasos:
1. Se coloca en el numerador una resta entre el número formado por la parte entera y la parte periódica sin la coma, y la parte entera. Observemos el siguiente ejemplo en el que se desea convertir en fracción el número .
2. Se coloca en el denominador un número formado por tantos 9 según la cantidad de cifras en el período, es decir, si hay un número bajo la línea periódica se coloca un solo 9, si hay dos números bajo el período se coloca 99 y así sucesivamente.
3. Se realizan las operaciones matemáticas necesarias para conseguir la fracción. Se simplifica si es necesario.
Veamos otro ejemplo en el cual se aplicaron los mismos pasos:
Convertir un decimal periódico mixto a fracción.
Para llevar un número decimal mixto a fracción, seguimos los siguientes pasos:
1. Se coloca en el numerador una resta formada por el número completo sin la coma menos la parte entera y el anteperíodo. Observemos el siguiente ejemplo: .
2. Se coloca el denominador de la fracción que será un número formado por tantos 9 como cifras tenga el período y tantos 0 como cifras tenga el anteperíodo.
Por último, se realizan los cálculos necesarios para conseguir la fracción y se simplifica si la misma lo requiere.
Veamos otro ejemplo con el mismo procedimiento:
Los números irracionales
Este tipo de números decimales no pueden ser convertidos en fracciones, debido a que tienen cifras decimales infinitas que no pueden ser definidas como un patrón. Por lo tanto, crear una fracción de estos números sería infinita. Podemos mencionar como ejemplos de estos números al número pi = 3,1416… o al resultado de
La estadística es una de las ramas de la matemática que emplea el uso de los números fraccionarios y decimales para realizar el estudio de muestras y poblaciones. Por tal motivo, tener conocimientos sobre cómo convertir un número fraccionario a decimal, y viceversa, puede ser muy útil en diversos campos.
Operaciones entre fracciones y decimales
Los números decimales y las fracciones se pueden sumar, restar, dividir, y multiplicar, entre otras operaciones, siempre y cuando se apliquen los métodos anteriormente vistos, como convertir un número decimal a fracción o una fracción a número decimal. Es importante tener presente que para resolver estos ejercicios debemos convertir todos los números a decimales o todos los números a fracciones.
– Primer método: convertir la fracción en un número decimal. Esto se realiza al dividir el numerador entre el denominador.
Ejemplo:
– Segundo método: convertir el número decimal en una fracción. En este caso, se utiliza la conversión del número decimal a fracción. En el ejemplo anterior, se puede notar que el número decimal es exacto, por lo tanto, se utiliza la conversión de número decimal exacto a fracción.
En ambos casos se obtuvo el mismo resultado expresado de una forma diferente
Estos pasos previos se utilizan para realizar los otros cálculos matemáticos como la división, la multiplicación, las potencias, las raíces y las operaciones combinadas.
¡A practicar!
1. Convierte los siguientes números a decimales:
a)
RESPUESTAS
b)
RESPUESTAS
2. Convierte los siguientes números a fracciones:
a)
RESPUESTAS
b)
RESPUESTAS
c)
RESPUESTAS
3. Resuelve las siguientes operaciones:
a)
RESPUESTAS
b)
RESPUESTAS
c)
RESPUESTAS
d)
RESPUESTAS
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Resolución de cálculos combinados con paréntesis, corchetes y llaves”
Este artículo explica cómo resolver operaciones matemáticas con fracciones y decimales que incluyen paréntesis, corchetes y llaves.
Las fracciones son números, por lo tanto, podemos realizar operaciones aritméticas básicas con ellas. Para multiplicar fracciones se debe realizar una multiplicación lineal de todos los numeradores y denominadores. Por otro lado, la división de estos números se puede realizar a través de varios procedimientos.
Diferentes métodos para la resolución de problemas
Una de las maravillas de las matemáticas es que generalmente para resolver un problema existen varios caminos que conducen al mismo resultado. Las operaciones con fracciones son un ejemplo, especialmente al momento de dividirlas se suelen aplicar varios métodos.
Multiplicación de fracciones
La multiplicación es una de las operaciones con fracciones mas sencillas. Para resolverla se deben multiplicar de forma lineal sus factores, es decir, numerador por numerador y denominador por denominador. En el caso de multiplicar más de dos fracciones el procedimiento es el mismo.
Por ejemplo:
a)
b)
En la multiplicación de fracciones no importa si son homogéneas o heterogéneas, el procedimiento siempre es el mismo. En los ejemplos anteriores observamos la resolución de fracciones de estos dos tipos.
Los criterios de divisibilidad son muy importantes a la hora de aplicar el método de simplificación o reducción de fracciones. Estos criterios permiten resolver las fracciones con mayor rapidez. Del mismo modo, se pueden aplicar a una o más fracciones siempre y cuando estas se multipliquen entre sí.
Simplificación de fracciones
Cuando se hace una multiplicación o división de fracciones, es necesario conocer cómo simplificarlas. Esto ahorra tiempo al momento de resolver el ejercicio y permite expresar cantidades de manera más sencilla. Para realizar una simplificación debemos tener presente los criterios de divisibilidad. A continuación, puedes ver algunos criterios:
Ahora, mira el siguiente ejemplo:
Al comparar la fracción con la tabla anterior, se puede observar que tanto el numerador como el denominador son divisibles entre 2. Por lo tanto, se puede simplificar la fracción:
La fracción que se obtuvo se puede simplificar también:
Esta fracción se pudo convertir en un número entero porque se trata de una fracción aparente, pero en otros casos la simplificación de una fracción es otra con numerador y denominador menores que los de la fracción original. También debemos considerar que hay fracciones irreducibles, lo que quiere decir que no se pueden simplificar.
Simplificación de fracciones en multiplicaciones
En los casos de multiplicaciones se pueden realizar simplificaciones de términos pertenecientes a diferentes fracciones. Para ello, se realiza el mismo procedimiento explicado y se consideran de igual forma los criterios de divisibilidad.
Por ejemplo:
Como se puede observar, las dos fracciones, si se evalúan de forma separada, son irreducibles. Sin embargo, esta multiplicación se puede simplificar porque el numerador de la primera fracción y el denominador de la segunda son divisibles entre 2. Por lo tanto, al aplicar la simplificación queda de la siguiente manera:
Ahora sí se puede aplicar la multiplicación de fracciones con números más pequeños, ya que no tenemos ninguna posibilidad de simplificar.
Se debe simplificar el resultado si es necesario. En este caso, la fracción ya es irreducible.
En la multiplicación de tres o más fracciones se sigue el mismo procedimiento: simplificar, multiplicar todos los numeradores para obtener el numerador del resultado y luego se hace lo mismo con los denominadores para obtener el denominador del resultado.
La división de fracciones se puede realizar mediante el uso de cualquiera de los diferentes métodos existentes y el resultado siempre debe ser el mismo. Aplicar un segundo método de resolución puede resultar muy útil porque nos permite comprobar si el resultado obtenido es el correcto, o si se ha aplicado mal uno de los procedimientos.
División de fracciones
Para realizar la división de fracciones existen varios métodos.
Primer método
Se gira la segunda fracción, con el propósito de invertir de posición el numerador y el denominador y se aplica el método de multiplicación de fracciones.
Por ejemplo:
Se hace el cambio de la segunda fracción y el signo de división por multiplicación.
Luego se resuelve la multiplicación resultante.
Segundo método
Otra forma de realizar la división de fracciones es multiplicar en forma cruzada, de la siguiente forma:
Al igual que con las multiplicaciones, se debe revisar si el resultado es una fracción irreducible. Si no lo es, se procede a simplificar.
Tercer método
Otro método aplicado en la división de fracciones es la doble c. En este procedimiento, la segunda fracción se coloca debajo de la primera de la siguiente manera:Luego se procede a multiplicar los extremos de la fracción y el resultado de esa multiplicación se coloca como numerador. Luego se multiplican los números internos y el resultado de esta última multiplicación se coloca como denominador.Al igual que en los métodos anteriores, debemos asegurarnos que el resultado sea una fracción irreducible. Si no lo es, debemos aplicar la simplificación hasta obtenerla.
¿Sabías qué?
La multiplicación de fracciones cumple con las propiedades conmutativa y asociativa. Por otro lado, la división de fracciones no cumple con las propiedades asociativa ni distributiva.
Multiplicación y división de fracciones con números enteros
El procedimiento para la multiplicación o división de fracciones con números enteros es muy sencillo. Para ello, es necesario representar primero al entero en forma de fracción y luego se resuelve la operación a través de los procedimientos explicados anteriormente.
Para expresar un entero en forma de fracción se debe colocar a la unidad como su denominador. Esto se hace ya que el número (1) como denominador no modifica el entero existente, porque todo número divido entre (1) es el mismo número.
Por ejemplo:
Ahora se procede a aplicar el método de la multiplicación como se explicó anteriormente. Numerador por numerador y denominador por denominador.Recuerda simplificar el resultado de la fracción.Este paso previo para convertir un número entero en fracción, también se aplica para la división de fracciones.
¡A practicar!
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RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Multiplicación y división de fracciones”
Este artículo explica cómo resolver multiplicaciones y divisiones de fracciones. También se enfoca en el procedimiento para su simplificación y ofrece una serie de ejercicios resueltos que facilitan su comprensión.
Los números fraccionarios están en nuestra vida cotidiana, por lo tanto, es de mucha importancia conocer cómo realizar adiciones y sustracciones con ellos. Para realizar estas operaciones se usan diferentes métodos que requieren realizar a su vez otras operaciones como el mcm.
Diferentes métodos para la resolución de problemas
Para resolver problemas de fracciones es necesario compararlas y conocer el tipo de fracción. De esta manera, podemos elegir qué tipo de método usar para resolver la operación.
Fracciones homogéneas
Son aquellas fracciones que poseen el mismo denominador. Debido a esto, para la suma y la resta de fracciones se coloca el mismo denominador y se suman o restan los numeradores de la siguiente manera:
Suma de fracciones homogéneas
Resta de fracciones homogéneas
Muchas de las fórmulas matemáticas empleadas en la resolución de problemas contienen sumas y restas de fracciones. En este sentido, es necesario conocer los diferentes métodos que se pueden aplicar de acuerdo al tipo de fracción presente en los ejercicios. Entre estos métodos están: la multiplicación cruzada o el cálculo del mínimo común múltiplo.
Fracciones Heterogéneas
Son aquellas fracciones que poseen distinto denominador. Para este tipo, existen diferentes métodos o formas de resolver adiciones y sustracciones.
Primer método: multiplicar en forma cruzada.
Se multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y se coloca en el numerador.
Luego se multiplica el numerador de la segunda por el denominador de la primera y se suma con el numerador resultante de la multiplicación anterior.
Se procede a multiplicar los denominadores de ambas fracciones.
Se realizan los cálculos necesarios y se obtiene la fracción resultante.
Segundo método: hallar el mínimo común múltiplo (mcm).
Se obtiene el mcm de los denominadores de la siguiente manera:
Se coloca el mcm como denominador resultante y se divide entre el denominador de la primera fracción y se multiplica por el numerador de la misma fracción. El resultado se coloca de numerador.
Se realiza el mismo procedimiento con la segunda fracción.
Se realizan las operaciones correspondientes para obtener el resultado final.
Para encontrar el resultado de una suma o una resta de fracciones muchas veces se recomienda simplificar los términos para tener un mejor resultado. Esta técnica consiste en dividir ambos términos entre el mismo número. Por lo general, se utilizan los números primos para llegar a una fracción irreducible. Para simplificar fracciones rápidamente se recomienda tener presente los criterios de divisibilidad de un número.
¿Sabías qué?
Una fracción es irreducible cuando no se puede simplificar.
Otros tipos de fracciones
Fracciones aparentes: son aquellas que cumplen la condición de que al dividir el numerador entre el denominador, el resultado es un número entero. Por ejemplo, las fracciones y son fracciones aparentes.
Fracciones equivalentes: son aquellas que se obtienen al multiplicar al numerador y al denominador por un mismo número. A este procedimiento también se lo denomina amplificación. Las fracciones y son fracciones equivalentes.Otro método para obtener fracciones equivalentes es por simplificación. En dicho caso, se divide tanto al numerador como al denominador por el mismo número. Las fracciones y son fracciones equivalentes.
Tercer método: utilizar las fracciones equivalentes.
Se convierten las fracciones en homogéneas mediante el uso de las fracciones equivalentes. Para hallar las equivalentes se multiplica una de las fracciones por una fracción aparente, cuyo resultado sea 1, como por ejemplo , , que permite hallar una fracción equivalente de la primera. En la sumatoria de , para convertir en una equivalente de igual denominador de la segunda (10), se multiplicó por la fracción aparente .
Se reescribe la adición de fracciones con la nueva fracción equivalente. De esta manera, las fracciones son homogéneas, por lo que pueden realizarse los cálculos para dichas fracciones, es decir, se suman los numeradores y se coloca el mismo denominador común (10).
La sustracción o resta de fracciones se realiza con el mismo procedimiento que la adición o suma, con la diferencia que, en vez de sumarlas, se restan.
En matemáticas es posible representar los números enteros como una suma de fracciones. Asimismo, aunque parezca difícil, existen procedimientos como convertir un entero en fracción, que se utiliza para resolver combinaciones de números enteros y fraccionarios. En estos casos, se coloca 1 como denominador del número entero.
adición y sustracción de fracciones con números enteros
Existen problemas en los cuales se pueden conseguir fracciones con números enteros. Aunque parece más complicado resolver este tipo de ejercicios, no lo es. Para sumar lo primero que debemos hacer es identificar el tipo de números involucrados en la operación.
Luego se convierte el número entero en una fracción para lo cual colocamos como denominador del número entero la unidad (1). Esto se debe a que el número (1) como denominador no modifica el entero existente, porque todo número divido entre (1) es igual al mismo número.
Se procede a realizar los cálculos con cualquier método de fracciones heterogéneas visto anteriormente. En este caso, se aplicará el método cruzado.
Por último, se realizan las operaciones matemáticas necesarias para hallar el resultado.
De esta forma, se pueden resolver las sustracciones o restas de números enteros y fracciones.
¿Sabías qué?
Se estima que en el 1650 a. C. se emplearon por primera vez fracciones con denominadores enteros positivos para representar las partes de un todo.
¡A practicar!
a)
RESPUESTAS
b)
RESPUESTAS
c)
RESPUESTAS
d)
RESPUESTAS
e)
RESPUESTAS
f)
RESPUESTAS
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RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Clasificación de fracciones”
Este artículo permite obtener información más amplia sobre cómo se clasifican las fracciones.
Todos los días utilizamos operaciones básicas como la adición, la sustracción, la multiplicación y la división. Las adiciones con reagrupación de dos o más números se caracterizan por tener “llevadas” cuando sumamos sus unidades, decenas, centenas, etc. Las sustracciones con reagrupación son restas en las que existen cifras del minuendo que son menores a las del sustraendo. Por esta razón, hay que “pedirle” una unidad al dígito de al lado para así poder resolver el ejercicio. En el caso de la multiplicación, al igual que en la adición y en la sustracción, se observan dos tipos de operaciones: sin reagrupación y con reagrupación. Las multiplicaciones sin reagrupación son aquellas que no contienen llevadas cuando multiplicamos un dígito con otro. En cambio, las multiplicaciones con reagrupación sí poseen llevadas. En el caso de las divisiones, encontramos las exactas cuando el resto es igual a cero y las no exactas cuando el resto es diferente de cero.
Leibniz impuso el uso del punto como símbolo de la multiplicación e introdujo los dos puntos como símbolo de la división.
múltiplos y divisores
El múltiplo de un número es el resultado de multiplicar ese número por otro. Por otra parte, el divisor de un número es aquel que lo divide de manera exacta. Hay números cuyos únicos divisores son ellos mismos y el uno, a estos números se los conoce como números primos. Por otro lado, los números que poseen más de dos divisores se denominan números compuestos y pueden descomponerse en factores primos.
El número 1 no es ni primo ni compuesto porque solo tiene un divisor que es él mismo.
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR
Todo número natural se puede descomponer como una multiplicación de sus factores primos. Este tipo de expresión permite calcular el mínimo común múltiplo (mcm) y el máximo común divisor (mcd) entre dos o más números. El mínimo común múltiplo (también llamado múltiplo común menor) de dos o más números es el menor múltiplo común de dos o más números distintos de cero. Para calcularlo, hay que descomponer los números en sus factores primos y luego elegir los números que tienen y no tienen en común a mayor potencia. El número que resulta del producto es el menor múltiplo en común. El máximo común divisor (también conocido como divisor común mayor) es el mayor divisor entre dos o más números distintos de cero. Para calcularlo también se descomponen los números en sus factores primos y luego se eligen solo los números que tienen en común a menor potencia. El producto de estos es el mayor divisor en común.
Si calculamos el mcd entre dos números de la secuencia de Fibonacci obtenemos otro número de Fibonacci. Por ejemplo, el mcd de (2, 8) = 2.
problemas con los números enteros
Una de las características de los números enteros es que permiten representar cantidades positivas y negativas, por esta razón se emplea la regla de los signos para saber qué signo tendrá un número al realizar una operación con enteros. En una adición, cuando todos los números son negativos, se suman y el resultado que se obtiene es un número negativo. Si se suman números positivos y negativos, los números de igual signo se suman y al final los dos números obtenidos se restan y se coloca el signo del número mayor. Para sustraer números enteros, hay que tener en cuenta que el símbolo de la resta cambia el signo al número que sigue según la regla. Para multiplicar y dividir números enteros primero se operan los signos mediante la regla de los signos y luego se multiplican o dividen los números según corresponda.
En Oriente se operaba con números positivos y negativos a través de ábacos, tablillas o bolas de colores. A los números negativos se los conocía como “números deudos” o “números absurdos”.
problemas con números decimales
Cuando vamos al supermercado la mayoría de los precios de los productos están marcados con números decimales. Con estos números también se pueden desarrollar las operaciones básicas de la aritmética. Para sumar números decimales tienen que coincidir la parte entera, la coma y la parte decimal de los números de acuerdo a sus valores posicionales. También podemos sumar números decimales con enteros siempre y cuando coincidan sus valores posicionales. Para sustraer también deben coincidir los valores posicionales y se pueden restar dos decimales o un decimal y un número entero. Para multiplicar dos números decimales se multiplican los números como si fuesen números naturales y el producto final será un número decimal que tendrá la cantidad de decimales igual a la suma de todos los decimales de ambos números. Si se multiplica un decimal con un natural el producto final tendrá tantos decimales como tenga el número decimal que se multiplicó inicialmente. Para dividir a estos números, ya sea por otro decimal o por un entero, hay que convertir a los números decimales en enteros. Para esto, se debe multiplicar al dividendo y al divisor por la unidad seguida de tantos ceros como decimales tenga el número con la parte decimal de más cifras. Luego se realiza la división de manera habitual.
A comienzos del siglo XV, un matemático árabe desarrolló el conjunto de los números decimales y sus usos.
operaciones combinadas
Las operaciones combinadas son aquellas que involucran dos o más operaciones aritméticas agrupadas por diferentes símbolos. Los símbolos de agrupamiento son: los paréntesis (), los corchetes [] y las llaves {}. En una operación con estos símbolos primero se eliminan los paréntesis, luego los corchetes y, por último, las llaves. En los ejercicios combinados se pueden encontrar agrupados números enteros, fracciones, números decimales, potencias y raíces. A la hora de resolverlos, se tiene que tener en cuenta el orden de eliminación de los símbolos de agrupamiento como también el de las operaciones: primero se resuelven las potencias y las raíces, luego las multiplicaciones y las divisiones, y por último, las sumas y las restas.
El símbolo de igual “=” fue creado por el matemático inglés Robert Recorde en 1557 para evitar la expresión textual “es igual a”.
Las operaciones combinadas son aquellas operaciones formadas por diferentes operaciones aritméticas que son agrupadas por paréntesis, corchetes y llaves. Para llegar al resultado hay que seguir algunas reglas de los símbolos de agrupamiento y tener en cuenta la prioridad entre las operaciones.
símbolos de agrupamiento
Muchas veces necesitamos agrupar dos o más operaciones aritméticas para indicar qué orden se debe seguir al momento de resolver un problema. Para agrupar las operaciones se utilizan algunos signos que son denominados símbolos de agrupamiento. Estos son: los paréntesis (), los corchetes [] y las llaves {}.
Cómo eliminar los símbolos de agrupamiento
Cada símbolo de agrupamiento tiene un orden de eliminación:
Primero se eliminan los paréntesis, luego los corchetes y finalmente las llaves. Para lograrlo, se resuelven paulatinamente las operaciones que se encuentran dentro de ellos. Hay que tener presente el signo que hay delante. Cuando los signos que están dentro y fuera del paréntesis, corchete o llave son positivos (+) y negativos (−) se consideran los siguientes pasos:
1. Si el signo que está fuera del símbolo de agrupamiento es positivo, los signos que se encuentran en su interior no cambian.
2. Si el signo que está fuera del símbolo de agrupamiento es negativo, los signos que se ubican dentro este cambia.
Por ejemplo:
Otra forma sería:
Como se puede observar, de acuerdo al signo que se encuentre delante del paréntesis pueden cambiar o no los signos de los términos que se encuentran dentro del mismo. Estos términos pueden ser factores o simples sumandos.
¿Sabías qué?
Para resolver operaciones combinadas se suelen aplicar las propiedades de las operaciones.
operaciones combinadas
Las operaciones combinadas son expresiones formadas por diferentes operaciones aritméticas como: sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y algunas veces potencias y raíces que son agrupadas en paréntesis, corchetes y llaves.
Veremos el siguiente ejemplo:
Observa que primero se resuelven las operaciones que están dentro de los paréntesis y el resultado se coloca en el lugar donde se ubicaban las mismas. Luego se realiza la misma acción con los corchetes y finalmente con las llaves.
Cuando ya no quedan símbolos de agrupación hay que tener presente que también hay un orden en las operaciones: primero se resuelven potencias y raíces, luego multiplicaciones y divisiones, y por último, sumas y restas.
Observa este otro ejemplo:
Como te podrás dar cuenta, luego de eliminar los símbolos de agrupamiento se resuelven los términos que están fuera de estos con los resultados obtenidos.
Símbolo de igualdad
El símbolo del igual “=” fue creado por el matemático inglés Robert Recorde en 1557 para evitar la expresión textual “es igual a” que se usaba hasta ese momento. Para justificar la forma que obtuvo el símbolo expresó que “dos cosas no pueden ser más iguales que dos rectas paralelas” y, por eso, desde ese día sigue vigente para expresar igualdades en las operaciones.
Los ejercicios combinados, como se comentó anteriormente, además de incluir las operaciones básicas como la adición, la sustracción, la multiplicación y la resta pueden presentar potencias, raíces, decimales, fracciones y demás expresiones matemáticas.
Observa el siguiente ejercicio:
En el ejercicio anterior, la única diferencia es que observamos una potencia y una raíz. Para resolver el problema se realizan dichas operaciones a medida que se resuelven las operaciones según su orden de prioridad.
¿Sabías qué?
El símbolo de la raíz cuadrada fue introducido en 1525 por el matemático Christoph Rudolff.
Observa el siguiente ejemplo:
-Resolver
Lo primero que debemos tener en cuenta es que se resuelven primero las multiplicaciones y divisiones, luego las sumas y restas. En este caso, observamos fracciones y números decimales:
Importancia de las operaciones combinadas
A menudo nos enfrentamos a problemas en los que se deben realizar dos o más operaciones aritméticas. Es por ello que para poder resolver dichas situaciones debemos tener conocimiento sobre cómo abordar las operaciones combinadas. En el cálculo avanzado, las operaciones combinadas se resuelven de manera rutinaria porque permiten resolver problemas de manera más rápida y simple.
¡A resolver!
Resuelve las siguientes operaciones combinadas.
a)
Solución
1
b)
Solución
13
c)
Solución
−1
d)
Solución
20
e)
Solución
6
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Cálculos combinados”
Este artículo destacado permite entender como resolver una operación combinada de acuerdo al orden de prioridades que se debe seguir. También muestra unas series de ejemplos que facilitan su comprensión.
La presencia de los decimales en nuestras vidas ha permitido en ciertas ocasiones representar cantidades con mayor exactitud, por ejemplo, valores que se encuentran entre dos números enteros. Con este tipo de números podemos realizar operaciones básicas de la matemáticas a través de algoritmos similares a los usados en los números enteros.
Adición y sustracción de decimales
Los decimales se usan a diario. Un claro ejemplo son las cajas registradoras de los supermercados que suman y restan decimales todos los días, suman los productos que compramos y restan cuando obtenemos un descuento por alguna oferta. Como verás, los decimales son muy importantes para realizar operaciones en la vida cotidiana.
Adición
En el caso de la adición de números decimales, lo primero que se debe hacer es hacer coincidir los valores posicionales de los números, tanto de su parte entera (unidades, decenas, centenas, etc.) como de su parte decimal (décimos, centésimos, milésimos, etc.).
Una manera simple de ordenar los decimales es colocar uno debajo del otro de manera que la coma quede en una misma columna al igual que los valores de la izquierda. Si uno de los números tiene menos decimales que el otro, se completa con cero su parte decimal hasta que la cantidad de cifras decimales en ambos números sea la misma.
Finalmente, luego de ordenar los números, se suman con el mismo algoritmo de la suma usado en los números enteros. La única diferencia es que se debe colocar la coma del resultado en su columna correspondiente.
Por ejemplo:
-Resolver 10,357 + 7,23.
Al ordenar los números de acuerdo a sus valores posicionales y después de aplicar el algoritmo de la suma se obtuvo el siguiente resultado:
Observa que como 7,23 tiene dos decimales y 10,357 tiene tres, se agregó un cero en los decimales de 7,23 para poder sumarlos.
De esta manera, 10,357 + 7,23 es igual a 17,587.
Sumar números decimales y números enteros
Para sumar decimales y números enteros lo único que hay que hacer es transformar los enteros a decimales. Para ello, se deben agregar tantos ceros a estos como cifras decimales tenga el número decimal. Luego se ordenan los números de la manera explicada anteriormente.
Por ejemplo:
-Resolver 169 + 34,93.
En este caso, el número 34,93 tiene dos decimales, por lo tanto, al transformar el 169 a decimal quedaría expresado como 169,00. Luego se ordenan ambos números de acuerdo a sus valores posicionales. Observa que, en este caso, se trata de una suma “con llevada” y se realiza de la misma forma que una suma de este tipo con números enteros:
De esta manera, 169 + 34,93 es igual a 203,93.
A menudo se suelen convertir números decimales a fracciones para simplificar las operaciones. Los decimales que se pueden convertir de manera más fácil a fracción son los que tienen un cero antes de la coma. En estos casos, el denominador sería la unidad seguida de la cantidad de ceros consecutivos que tenga el decimal a la izquierda, y los números restantes serán iguales al denominador. De esta manera 0,037 es igual a 37/100.
Sustracción
La sustracción con decimales se realiza de manera similar a la sustracción de números enteros. En este caso, se deben hacer coincidir los valores posicionales del minuendo y del sustraendo. En caso de que alguno de los dos números tenga menor cantidad de decimales se completa con ceros.
Por ejemplo:
-Resolver 27,45 − 10,3
En este caso, completamos los decimales del 10,3 para que sean iguales, por lo tanto, se agrega un cero a la derecha. Luego posicionamos los números uno debajo del otro de manera que cada valor posicional se encuentre en una misma columna. Luego se resuelve la resta como lo hacemos con los números enteros. Al final, se debe anotar la coma en su columna correspondiente.
De esta forma, 27,45 − 10,3 es igual a 17,15.
Restar decimales y números enteros
La sustracción también se puede realizar entre números enteros y decimales. Para realizar los cálculos, el número entero se debe convertir a decimal y luego se resuelve la operación de la forma explicada anteriormente.
Por ejemplo:
-Resolver 973 − 632,38
En este caso, como el número decimal tiene dos decimales, debemos agregar dos ceros al número entero. De esta forma, el número 973 queda expresado como 973,00. Luego se posicionan ambos números uno debajo del otro, de manera que sus valores posicionales estén en una misma columna, y se resuelve la resta con decimal. De esta forma, el procedimiento es el siguiente:
El resultado de 973 − 632,38 es 340,62.
multiplicación y división de decimales
Otras de las operaciones básicas que podemos realizar con números decimales son la multiplicación y la división. La multiplicación permite realizar sumas reiteradas de manera rápida y la división permite repartir cantidades en partes iguales.
Multiplicación
Para multiplicar dos números decimales se pueden seguir los siguientes pasos:
Multiplicar los números decimales de la misma manera que se multiplican los números enteros.
El producto final será un número decimal que tendrá la cantidad de decimales igual a la suma de los decimales que tengan el multiplicando y el multiplicador. Por ejemplo, si el multiplicando tiene dos decimales y el multiplicador tiene un decimal, el resultado será un número con tres decimales porque 2 + 1 = 3.
Por ejemplo:
-Resolver 46,5 × 8,6.
Se resuelve la multiplicación de la misma forma en la que se resuelven multiplicaciones con números enteros. El resultado que se obtiene al sumar los dos productos parciales es 39990, como 46,5 tiene un decimal y 8,6 tiene un decimal también, el resultado debe tener dos decimales, es decir; dos números después de la coma, de esta forma el resultado será: 399,90. Observa el procedimiento:
Multiplicar decimales y números enteros
La multiplicación de decimales y números enteros se realiza de la misma forma que con los números enteros. Al final, el resultado tendrá la misma cantidad de decimales que el número decimal que se multiplica.
Por ejemplo:
-Resolver 7,809 × 4.
Al resolver la multiplicación se obtiene 31236, como 7,809 tiene tres decimales, el resultado de esta multiplicación tiene la misma cantidad de decimales, es decir, el resultado es 31,236. El procedimiento aplicado fue el siguiente:
Los decimales son tan usados que podemos encontrarlos en desde una factura de compra hasta una escala de medición. De acuerdo al país, se puede usar la coma o el punto para representarlos. Por ejemplo, en México y en varios países del Caribe se emplea al punto como símbolo para separar decimales, mientras que en España y en gran parte de los países del Cono Sur se usa la coma.
División
Dividir un número entero entre un número decimal
Para dividir un número entero entre un decimal se pueden seguir los siguientes pasos:
Convertir el número decimal en un número entero. Para esto, se va a multiplicar el divisor por la unidad seguida de tantos ceros como decimales tenga el número. Por ejemplo, imagina que tenemos la división 278 : 3,6. En este caso, al convertir el decimal a entero se obtiene: 3,6 x 10 = 36.
Multiplicar al dividendo por el mismo número que se haya multiplicado al divisor. En el ejemplo anterior sería: 278 x 10 = 2.780
Dividir los números obtenidos. En este caso serían 2.780 : 36.
El resultado de la división sería el siguiente:
Cuando se restó 260 − 252 se obtuvo 8. Agregamos una coma en el cociente que era 77 y luego colocamos un 0 al lado del 8 para luego continuar con la división. En este caso, observa que el resto seguirá siempre con el mismo valor, esto se debe a que el resultado de esta división particular es un número infinito periódico (77,22222222222…), es decir, es un número en el que se repite de manera infinita un patrón en su parte decimal.
¿Sabías qué?
Los números decimales pueden ser finitos o infinitos. Dentro de estos últimos están los periódicos y los irracionales.
Dividir un número decimal entre un número entero
Para dividir un número decimal por un número entero se divide de la misma manera, como si fuesen enteros. Al bajar el primer número decimal, se agrega una coma en el cociente y se continúa la división.
El ejemplo a continuación indica el procedimiento para resolver la división 77,5 : 25. Observa que después de resolver la parte entera (77) se agrega la coma en el cociente y se continúa con la operación.
Dividir dos números decimales
Para dividir un decimal con otro decimal se pueden seguir los siguientes pasos (278,1 : 2,52):
Convertir el dividendo y el divisor en números enteros. Para esto, se multiplican ambos números por la unidad seguida de tantos ceros como sea la mayor cantidad de decimales que tengan los números. Por ejemplo, imagina que tenemos 278,1 : 2,52. El número con mayor cantidad de decimales es 2,52 que tiene dos decimales, por lo tanto tenemos que multiplicar ambos números por 100:
278,1 × 100 = 27.810
2,52 × 100 = 252
Luego se dividen los dos números obtenidos. En este caso es 27.810 : 252 y el resultado es 110,3. El procedimiento se observa a continuación:
¿Sabías qué?
Los números decimales se pueden escribir como fracciones y viceversa.
Los números decimales en la historia
A comienzos del siglo XV, un matemático árabe organizó el conjunto de los números decimales y sus usos. Un siglo más tarde, Stevin desarrolló números decimales que expresaban las décimas, centésimas, milésimas, etc., pero utilizaba una forma complicada de escritura. Por ejemplo, al número 456,765 lo escribía como 456 (0) 7 (1) 6 (2) 5 (3).
En el siglo XVII, los números decimales se empezaron a escribir con punto o coma para separar la parte entera de la parte decimal del número. En 1792, los decimales se empezaron a utilizar en todos los países al extenderse el Sistema Métrico Decimal.
¡A resolver!
Resuelve las siguientes operaciones:
a) 32,98 + 16,2 =
RESPUESTAS
49,18
b) 1.589 + 6,98 =
RESPUESTAS
1.595,98
c) 2.549,8 – 1.563,89 =
RESPUESTAS
985,91
d) 450,64 – 315,5 =
RESPUESTAS
135,14
e) 1.330,6 + 906,8 =
RESPUESTAS
2.237,4
f) 23,369 – 3,963 =
RESPUESTAS
19,406
g) 190,3 x 15 =
RESPUESTAS
2.854,5
h) 987 x 3,118 =
RESPUESTAS
3.077,466
i) 73,24 x 5,1 =
RESPUESTAS
373,524
j) 14,57 x 8,29 =
RESPUESTAS
120,7853
k) 73,8 : 6 =
RESPUESTAS
12,3
l) 885,6 : 12 =
RESPUESTAS
73,8
m) 5.462,5 : 23 =
RESPUESTAS
237,5
n) 29,095 : 5,29 =
RESPUESTAS
5,5
o) 799,46 : 1,29 =
RESPUESTAS
619,73
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Números decimales”
El siguiente artículo destacado explica que es un número decimal y describe sus diferentes tipos.
Luego se resuelve la multiplicación resultante.
Luego se procede a multiplicar los extremos de la fracción y el resultado de esa multiplicación se coloca como numerador. Luego se multiplican los números internos y el resultado de esta última multiplicación se coloca como denominador.
Al igual que en los métodos anteriores, debemos asegurarnos que el resultado sea una fracción irreducible. Si no lo es, debemos aplicar la simplificación hasta obtenerla.
Recuerda simplificar el resultado de la fracción.
Este paso previo para convertir un número entero en fracción, también se aplica para la división de fracciones.
Otro método para obtener fracciones equivalentes es por simplificación. En dicho caso, se divide tanto al numerador como al denominador por el mismo número. Las fracciones 
Se procede a realizar los cálculos con cualquier método de fracciones heterogéneas visto anteriormente. En este caso, se aplicará el método cruzado.
