CAPÍTULO 6 / TEMA 1

REPRESENTACIÓN DE DATOS

Representamos datos en tablas y gráficos para interpretar la información de manera clara, precisa y ordenada. Esta tarea nos permite comparar y relacionar cantidades entre sí. Existe una variedad de gráficos: lineales, de barras, circulares o pictogramas. Todos tienen características particulares que los diferencian entre sí.

Los gráficos estadísticos son un conjunto de herramientas visuales que nos permiten organizar y presentar de manera más clara y atractiva datos que han sido tomados previamente. Su campo de aplicación no se limita solo al numérico, de hecho, se puede utilizar en casi cualquier estudio de investigación.

¿qué son los Gráficos?

Los gráficos son representaciones que nos permiten comprender distintas situaciones de la realidad. En matemática, particularmente en la estadística, brindan información a simple vista de los datos recopilados.

Los gráficos permiten el análisis de datos obtenidos y los presenta en forma tal que permita comparar, predecir y comprender las características del objeto de estudio.

Existen distintos tipos de gráficos, y la elección de uno en particular depende de la naturaleza de los datos y de lo que se quiera analizar. No obstante, los objetivos generales en todos ellos son los mismos:

  • Registrar datos de manera clara y concreta.
  • Comunicar la información en forma sencilla.
  • Comprender la estructura del conjunto de datos.

¿Sabías qué?
Los gráficos pueden funcionar como complementos explicativos de un texto para facilitar la transmisión de ideas.

gráfico de barras

En este tipo de gráficos, como su nombre lo indica, se emplean barras que pueden tener sus bases en el eje y o en el eje x. Las categorías se ubican en el eje horizontal y los datos numéricos en el eje vertical. La altura de cada barra muestra la cantidad de veces que se eligió una categoría. Para hacer el diagrama, generalmente la información se obtiene de una tabla de frecuencias en la que fueron volcados los datos recopilados.

– Ejemplo:

En una escuela iniciaron las inscripciones para los juegos olímpicos intercolegiales. La siguiente tabla muestra el deporte que eligió cada alumno:

Deporte Alumnos inscritos
Atletismo 20
Fútbol 30
Baloncesto 16
Béisbol 24
Voleibol 10

Con los datos que aporta la tabla se representa el gráfico de barras. Las categorías son los deportes y se grafican en el eje horizontal, y los alumnos inscritos van en el eje vertical.

Por medio del gráfico de barras podemos ver rápidamente que el deporte más elegido por los estudiantes fue el fútbol, seguido del béisbol y del atletismo. Por otro lado, el deporte menos elegido fue el voleibol.

gráficos lineales

Los gráficos lineales se representan en un plano (dos dimensiones) mediante el uso de un sistema de coordenadas. Se grafica sobre un plano cartesiano donde dos variables son relacionadas y los puntos son unidos por una línea continua e irregular.

Estos gráficos se utilizan para mostrar la evolución o los cambios que le ocurren a un fenómeno durante algún período de tiempo, como por ejemplo la estatura de un niño, la variación del precio de un producto y otros fenómenos.

– Ejemplo:

Se registró el clima de la ciudad de Buenos Aires durante una semana y las temperaturas promedio del día fueron las siguientes:

Día Temperatura (°C)
Lunes 17
Martes 19
Miércoles 12
Jueves 10
Viernes 14
Sábado 16
Domingo 16

A partir de estos datos podemos representar un gráfico lineal. Los días van en el eje horizontal y las temperaturas en el eje vertical.

Este tipo de gráfico permite distinguir de manera clara el desarrollo de la temperatura con el paso de los días. Notamos que el día con mayor temperatura fue el martes y el día con menor temperatura fue el jueves.

La estadística en otras ciencias

No solo en las matemáticas se utilizan gráficos estadísticos, sino también las ciencias sociales. La demografía y la sociología usan estas herramientas para comprender múltiples y diferentes fenómenos, como el crecimiento de la población mundial y la influencia de los los avances en ciencia, higiene y medicina en el proceso.

gráficos circulares

Los gráficos circulares muestran porciones y porcentajes. También son conocidos como gráficos de torta o pastel y se usan para comparar porcentajes con respecto a un total de datos. Para hallar los porcentajes parciales, se dividen los 360° del círculo de acuerdo a los valores dados.

– Ejemplo:

En un zoológico contaron la cantidad de animales que tienen por grupos de especie. Los datos fueron los siguientes:

Especie Cantidad de animales Porcentaje
Mamíferos 250 25 %
Reptiles 200 20 %
Anfibios 150 15 %
Aves 400 40 %

Como se puede observar, cada porción representa a una especie y el porcentaje que hay de ella en el zoológico con respecto al total.

¿Cómo obtener el porcentaje?

Una manera de hacerlo es por medio de una regla de tres. Para el ejemplo anterior seguimos los siguientes pasos:

1. Calculamos la cantidad total de animales por medio de una suma de cada grupo de especie.

Especie Cantidad de animales
Mamíferos 250
Reptiles 200
Anfibios 150
Aves 400
1.000

 

2. Empleamos una regla de tres simple en la que el total de animales es igual al 100 %. Luego hacemos el cálculo con cada grupo, por ejemplo, con los mamíferos sería así:

1.000 → 100 %

250 → x

x = (250 × 100 %) : 1.000 = 25 %

Y con las aves sería así:

1.000 → 100 %

400 → x

x = (400 × 100 %) : 1.000 = 40 %

pictogramas

Un pictograma es un tipo de gráfico que incluye figuras o dibujos relacionados con los datos que se van a analizar. El pictograma se elabora del mismo modo que el gráfico de barras pero se sustituyen los rectángulos por dibujos.

– Ejemplo:

Sofía registró todas las llamadas que hizo durante la semana.

Día Cantidad de llamadas
Lunes 3
Martes 2
Miércoles 1
Jueves 3
Viernes 4
Sábado 7
Domingo 2

 

Cada dibujo representa una llamada, es decir que el día que más llamadas hizo fue el sábado y el día que hizo menos llamadas fue el miércoles.

Existen muchos más gráficos, como los de dispersión, de burbujas, radiales o mapas estadísticos, también conocidos como cartograma. Los cartogramas presentan datos por regiones o zonas. Al igual que en un mapa topográfico, los colores y las tramas indican áreas que están en el mismo rango de valores.

¡A practicar!

1. Observa el gráfico de barras y responde:

En un curso se ha decidido recolectar botellas de plástico para reciclar. El gráfico muestra la cantidad de botellas recolectadas en una semana.

 

a) ¿Cuántos botellas se recolectaron esa semana?

Solución
1.150

b) ¿Cuál día se recolectó mayor cantidad de botellas plásticas?

Solución
El día martes.

c) ¿El día jueves se recolectaron 250 botellas plásticas?

Solución
No. El jueves se recolectaron 150 botellas plásticas.

d) ¿Cuál día recolectaron menos cantidad de botellas?

Solución
El día miércoles.

 

2. Este gráfico lineal representa la asistencia de los estudiantes al taller de carpintería. Responde las preguntas.

a) ¿Cuántos estudiantes asistieron al taller de carpintería la semana 4?

Solución
5 estudiantes.

b) ¿En cuál semana asistieron más estudiantes al taller de carpintería?

Solución
En la semana 1.

c) ¿En cuál semana asistieron menos estudiantes al taller de carpintería?

Solución
En la semana 4.

 

3. El siguiente gráfico muestra la cantidad de población mundial por continente para 2006. Responde las preguntas.

 

a) ¿Cuál continente tiene más población? ¿Y qué porcentaje representa?

Solución
Asia tiene más población y representa el 60 %.

b) ¿Cuál continente tiene menos población?

Solución
Oceanía.

c) ¿Qué lugar, ordenado de mayor a menor, ocupa la población de Europa?

Solución
Europa ocupa el cuarto lugar. 

d) ¿Qué continente tiene mayor población después de Asia?

Solución
América y África.
RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Gráficos estadísticos”

El siguiente recurso te permitirá complementar la información sobre los diferentes tipos de gráficos estadísticos.

VER

CAPÍTULO 1 / TEMA 5 (REVISIÓN)

números | ¿qué aprendimos?

Lectura y representación de números

Cada número está formado por diferentes cifras y cada una de estas cifras tiene un valor según la posición que ocupan dentro del número. Por ejemplo, el 300 se lee “trescientos” porque el 3 se ubica en el lugar de las centenas, pero el 30 se lee “treinta” porque el 3 está en el lugar de las decenas. Además de los números naturales que usamos para contar, también existen otros que representan orden, como los ordinales; y otros que podemos ver en relojes antiguos, como los números romanos.

Con los diez dígitos de nuestro sistema de numeración podemos crear cualquier número.

Valor posicional

El valor posicional es el valor que tiene una cifra dentro de un número, por ejemplo, el número 555, a pesar de tener tres cifras iguales, cada una tiene un valor distinto: 500, 50 y 5. Estos valores los podemos representar en una tabla posicional en la que están los órdenes (unidades, decenas, centenas) y las clases (miles, millones, etc.). Por otro lado, la descomposición aditiva nos ayuda a expresar un número como la suma de sus valores posicionales.

El ábaco es un instrumento que sirve para realizar diferentes operaciones matemáticas. Una esfera de color puede representar una unidad, una decena o una centena.

Recta numérica

La recta numérica, como su nombre lo indica, es una recta que contiene infinitos números. Para graficarla basta con hacer una línea recta, dibujar flechas a los lados, ubicar el cero (0) y hacer separaciones de igual distancia en las que colocaremos los puntos que simbolizan los números. Es importante recordar que cada número tiene un orden y pueden ser mayores o menores que otros. Para esto usamos símbolos de relación como mayor que (>), menor que (<) o igual a (=).

Con una regla graduada o escuadra podemos dibujar una recta numérica. Este instrumento nos ayudará no solo con el trazo de la línea recta, sino también con las separaciones entre punto y punto.

series

Las series numéricas son conjuntos de números organizados bajo una misma regla o patrón, pueden ser ascendentes y descendentes. Una serie es ascendente cuando los números están ordenados de menor a mayor y el patrón es una suma sucesiva; mientras que una serie numérica descendente es aquella en la que los números están ordenados de mayor a menor y el patrón es una resta sucesiva. A estos patrones los podemos identificar si restamos dos números contiguos de la serie. También vemos patrones en las tablas de 100 números.

Contar es una de las primeras tareas que aprendemos a hacer. Gracias al conteo con nuestros dedos podemos realizar operaciones básicas como la suma y resta de números pequeños.

CAPÍTULO 1 / TEMA 4

SERIES

Contamos desde hace miles de años y lo hacemos por diferentes razones, por ejemplo, para saber cuántos juguetes tenemos, cuánto tiempo falta para una película o cuántos deberes nos faltan por hacer. Las series numéricas son una forma de conteo y están creadas por varios números ordenados que siguen un patrón. Sin duda alguna, el conteo está presente en nuestro día a día.

conteo

Contar significa enumerar distintos elementos de manera ordenada y en orden creciente o decreciente.

El uso de los números y aprender a contar ha sido algo tan importante como lo fue aprender a cazar en la Antigüedad. Desde pequeños aprendemos cuáles son los números y cómo ordenarlos, lo que nos permite saber la cantidad de objetos que tenemos a nuestro alrededor. Para contar más rápido solemos contar de tanto en tanto, por ejemplo, de 2 en 2; de 5 en 5, etc.

– Ejemplo:

  • Cuando contamos las estrellas, contamos de manera creciente, es decir, de menor a mayor:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, … 

  • Cuando contamos los segundos que faltan para que sea año nuevo, contamos de manera decreciente, es decir, de mayor a menor:

10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0.

 

También podemos contar de 3 en 3, de 4 en 4, de 5 en 5, etc.

  • Cuando contamos de 3 en 3 solo sumamos 3 a un número, luego volvemos a sumar 3 al siguiente, y así sucesivamente. Por ejemplo:

En cada recuadro hay 3 mariposas, entonces hay 3 grupos de 3 mariposas. Otra forma de verlo es que hay un recuadro dentro de otro y la cantidad total de mariposas la podemos contar así: 3, 6 y 9 mariposas. El conteo va de 3 en 3.

¿Sabías qué?
Los diez dígitos de nuestro sistema de numeración decimal fueron inventados en la India.

series numéricas y sus tipos

Las series numéricas son un conjunto de números ordenados que siguen un patrón o regla determinada. Pueden ser ascendentes y descendentes.

Series ascendentes

Son las que se forman por sumas sucesivas y que van de menor a mayor. Por ejemplo, si al número 1 le sumamos 1 obtenemos 2 (1 + 1 = 2), luego a ese resultado le sumamos 1 y resulta en 3 (2 + 1 = 3). Seguimos el mismo proceso en cada resultado.

Series descendentes

Son las que se forman por restas sucesivas y van de mayor a menor. Por ejemplo, en esta serie cada número es tres unidades menor que el siguiente.

 

Miles de años de conteo

Desde hace miles de años los humanos contamos números. Las culturas primitivas utilizaban el conteo para registrar el número de personas en una comunidad o grupo; para contar animales o presas cazadas; para saber la cantidad de propiedades que poseían o las deudas contraídas. Con el paso del tiempo se desarrollaron sistemas numéricos de escritura y el uso de símbolos matemáticos.

¿cómo identificar el patrón numérico?

El patrón numérico es la regla que sigue toda la serie. En la siguiente serie el patrón es “sumar 5”, por que cada número es 5 unidades mayor al siguiente.

5, 10, 15, 20, 25, 30

Para identificar el patrón numérico de una serie restamos cada par de números consecutivos, si cada operación da como resultado el mismo número el patrón será la suma o resta de ese número. Por lo tanto:

  • Si la serie es ascendente, el patrón es sumar el resultado obtenido.
  • Si la serie es descendente, el patrón es restar el resultado obtenido.

A modo de ejemplo observemos la siguiente serie:

3,  7,  11,  15,  ___,  23

Restamos los primeros pares consecutivo:

7 − 3 = 4

11 − 7 = 4

Como los resultados son iguales y la serie es ascendente el patrón es “sumar 4”. Ahora podemos completar la serie. Como 15 + 4 = 19, colocamos el 19 en el espacio en blanco:

3,  7,  11,  15,  19,  23

¡Es tu turno!

Identifica el patrón de estas series.

  • 8, 14, 20, 26, 32, 38, 44
Solución
Patrón: + 6
  • 22, 20, 18, 16, 14, 12, 10
Solución
Patrón: − 2
  • 39, 30, 21, 12, 3
Solución
Patrón: − 9

patrones numéricos en tablas de 100

Podemos ver patrones numéricos en las tablas que van del 1 al 100. Observa esta tabla:

Puedes ver en la tabla que los números marcados en azul van de 9 en 9. Si comienzas en el 9 la serie tiene una patrón + 9, pero si comienzas en el 81, la serie tiene una patrón − 9.

¡A practicar!

1. Observa la imagen y luego responde:

  • ¿Cuántos grupos de caracoles hay? 
    Solución
    Hay 5 grupos de caracoles.
  • ¿Cuántos caracoles hay en total? 
    Solución
    Hay 20 caracoles en total.
  • ¿De cuánto en cuánto se agruparon los caracoles? 
    Solución
    Los caracoles se agruparon de 4 en 4.

 

2. Escribe de cuánto en cuánto van las siguientes series:

  • 586, 686, 786, 886, 986
    Solución
    La serie va de 100 en 100.
  • 3.443, 3.453, 3.463, 3.473, 3.483
    Solución
    La serie va de 10 en 10.
  • 675, 680, 685, 690, 695
    Solución
    La serie va de 5 en 5.
  • 7.702, 7.722, 7.742, 7.762, 7.782
    Solución
    La serie va de 20 en 20.

 

3. Completa la siguiente serie y escribe el patrón numérico:

  • 101, 104, 107, 110, ___, ___, ___, ___.
Solución

101, 104, 107, 110, 113, 116, 119, 122.

Patrón: + 3

  • 1.500, 2.500, 3.500, ___, ___, ___.
Solución

1.500, 2.500, 3.500, 4.500, 5.500, 6.500.

Patrón: + 1.000

  • 3.650, 3.640, 3.630, ___, ___, ___, ___.
Solución

3.650, 3.640, 3.630, 3.620, 3.610, 3.600, 3.590.

Patrón: − 10

 

4. Observa la tabla del 1 al 100 y luego resuelve los siguientes puntos:

  • Colorea en rojo una fila, columna o diagonal en la que los números vayan de 1 en 1.
  • Colorea en morado una fila, columna o diagonal en la que los números vayan de 11 en 11.
  • Colorea en verde una fila, columna o diagonal en la que los números vayan de 10 en 10.

Solución
Hay otras posibilidades, ¡descúbrelas!
RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Sucesiones y series”

Con este artículo podrás complementar la información relacionada a las series y las sucesiones.

VER

CAPÍTULO 1 / TEMA 3

RECTA NUMÉRICA

Todos los números se pueden representar en una recta numérica. Esta nos permite comparar números y saber si uno es mayor o menor que otro; como también redondear las decenas o centenas más cercana. Es probable que la hayas visto en las reglas de tu escuela, hoy sabrás cómo graficarlas y usarlas.

La regla graduada es un instrumento que usamos para medir distancias y para trazar líneas rectas. Es graduada porque tiene marcas que simbolizan la distancia entre un punto y otro. Estas marcas hacen que la regla sea lo más parecido a una recta numérica.

¿qUÉ ES LA RECTA NUMÉRICA?

Es una línea recta que tiene una sola dimensión y está compuesta por una sucesión de puntos que se prolongan en una misma dirección hasta el infinito, es decir, que no tiene fin. Si empezamos a contar los números de uno en uno, no terminaríamos nunca porque los números son infinitos.

¿Sabías qué?
El símbolo del infinito es ∞. 

¿Cómo graficar una recta numérica?

En un recta numérica podemos graficar los números como puntos que están separados por una misma distancia unos de otros. Los pasos son los siguientes:

1. Dibuja una línea recta con flechas en ambos extremos. Las flechas se colocan para representar que hay números sin fin tanto a la derecha como a la izquierda.

2. Ubica el cero. Ese será el inicio de la recta numérica.

3. Divide la recta en segmentos de la misma distancia y agrega los números.

4. Si deseas representar números grandes, también puedes hacerlo en la recta numérica. Por ejemplo:

De 10 en 10:

De 100 en 100:

De 1.000 en 1.000:

 

Recuerda que entre número y número hay divisiones más pequeñas que representan las cantidad intermedias. Por ejemplo, entre 1.000 y 2.000 podemos dibujar la recta así:

Aunque originalmente solo se colocaban los números naturales sobre la recta numérica, es decir, los números que usamos para contar: 1, 2, 3, 4, 5, … Hoy en día podemos representar cualquier tipo de número en ella. Así, podemos encontrar números decimales, como 6,5; números fraccionarios, como 1/2; o números negativos como −9.

representación de números en la recta numérica

En una recta numérica podemos ubicar cualquier número. Por ejemplo, si queremos representar el 7.500 tenemos que pensar que se encuentra entre el 7.000 y el 8.000, justo en el medio de ambos. Veamos cómo queda:

– Otro ejemplo:

 

También podemos representar los valores entre decenas de números grandes. Por ejemplo, para ubicar el número 2.130 tenemos que pensar que está entre el 2.100 y el 2.200. La recta quedaría así:

– Otro ejemplo:

Creación de la recta numérica

La recta numérica es un gráfico unidimensional de una línea recta, fue creada por John Wallis, un matemático Inglés que alrededor de 1670 la empleó para mostrar de modo gráfico los números naturales. A medida que nos movemos hacia la derecha sobre la recta vamos a encontrar números más grandes.

redondeo

Redondear un número significa llevarlo al número natural más cercano terminado en cero, es decir, consiste en encontrar la decena o centena más cercana al número. Por ejemplo, el redondeo del número 2.320 a la centena más cercana es 2.300, porque 2.320 está más cerca de 2.300 que de 2.400.

– Otro ejemplo:

El punto color rojo está ubicado en 4.870, entre el 4.800 y el 4.900, pero ¿a qué centena más cercana está? Como ves, en la recta, el punto rojo está más cerca de 4.900, por lo tanto, el redondeo a la centena de 4.870 es 4.900.

orden numérico

Hay números naturales mayores o menores que otros, a esta relación la llamamos orden. Para representar que un número es mayor, menor o igual a otro usamos los siguientes símbolos:

Símbolo Significado
> Mayor que
< Menor que
= Igual a

En una recta numérica, los números mayores están más a la derecha y los menores están más a la izquierda.

– Ejemplo:

  • 9.000 es mayor que 1.000 porque está más a la derecha en la recta numérica. Lo representamos así:

9.000 > 1.000

 

  • 4.840 es menor que 4.890 está más a la izquierda en la recta numérica. Lo representamos así:

4.840 < 4.890

– Otros ejemplos:

2.551 > 2.550

7.013 < 7.020

1.500 > 1.000

¿Sabías qué?
La boca más ancha de los símbolos < y > siempre mira al número más grande; y la parte más fina al número más pequeño.

¡A practicar!

  1. Representa en la recta numérica los siguientes números:
  1. 2.160
    Solución
  2. 9.540 
    Solución
  3. 5.365
    Solución
  4. 7.615 
    Solución

2. Observa la recta numérica y luego responde las preguntas:

  1. ¿Qué número está representado en el punto de color azul? 
    Solución
    3.300
  2. ¿Qué número está representado en el punto de color rosa? 
    Solución
    4.100
  3. ¿Qué número está representado en el punto de color lila? 
    Solución
    6.400
  4. ¿Qué número está representado en el punto de color negro? 
    Solución
    3.600
  5. ¿Qué número está representado en el punto de color verde? 
    Solución
    5.500
  6. ¿Qué número está representado en el punto de color naranja? 
    Solución
    6.900
  7. ¿Qué número está representado en el punto de color rojo? 
    Solución
    4.100
  8. ¿Qué número está representado en el punto de color celeste? 
    Solución
    5.800

3. Redondea las siguientes cantidades a la centena más cercana por medio de la recta numérica.

a. 2.530

Solución

El redondeo a la centena más cercana es 2.500.

b. 5.590

Solución

El redondeo a la centena más cercana es 5.600.

c. 9.970

Solución

El redondeo a la centena más cercana es 10.000.

4. Completa con >, < o = según corresponda.

  1. 3.550 ­­­_____ 3.549 
    Solución
    3.550 ­­­> 3.549
  2. 6.701 ­­­­_____ 6.711 
    Solución
    6.701 ­­­­< 6.711
  3. 1.566 _____ 1.566 
    Solución
    1.566 = 1.566
  4. 8.987 _____ 8.985 
    Solución
    8.987 > 8.985
  5. 9.620 _____ 9.625 
    Solución
    9.620 < 9.625
  6. 4.213 _____ 4.213 
    Solución
    4.213 = 4.213
RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Recta numérica”

Este recurso te permitirá complementar la información sobre la representación en la recta numérica.

VER

Artículo “Redondeo de números naturales”

El siguiente recurso te permitirá enriquecer el redondeo de números en la recta numérica.

VER

CAPÍTULO 5 / TEMA 5 (REVISIÓN)

FRACCIONES | ¿qué aprendimos?

nOCIÓN DE FRACCIÓN

Las fracciones son divisiones sin resolver. Están formadas por una raya de fracción que divide al numerador del denominador. El numerador es la parte que tomamos del entero y el denominador indica las partes en las que se divide al entero. Las fracciones pueden ser propias, impropias y aparentes. Las fracciones propias tienen un numerador menor que el denominador; las impropias tienen un numerador mayor que el denominador; y las aparentes son iguales a un entero.

La porción de pastel que se toma es igual a 1/8. El numerador es la parte tomada (1) y el denominador señala la cantidad de partes en las que se dividió el pastel (8).

representación de fracciones

Para leer una fracción solo tenemos que leer al numerador como cualquier otro número y al denominador según unas simples reglas: medios si es 2, tercios si es 3, cuartos si es 4, quintos si es 5 y así sucesivamente. A partir de números mayores a diez añadimos el sufijo –avos; como onceavos. Los gráficos de las fracciones se representan por medio de figuras divididas en tantas partes como muestra el denominador y con tantas partes pintadas como señala el numerador.

Podemos representar fracciones propias e impropias en gráficos con formas de figuras geométricas.

tipos de fracciones

Dos o más fracciones son homogéneas si comparten el mismo denominador, en cambio, si dos o más fracciones tienen distinto denominador se las llama heterogéneas. También existen las fracciones propias o puras, que son aquellas que tienen un numerador menor que el denominador y siempre son menores a un entero; y las fracciones impropias o impuras, que tienen un numerador mayor que el denominador y son mayores a uno.

Depende del país en el que nos encontramos, la fracción propia se puede llamar también fracción pura.

operaciones con fracciones homogéneas

Para sumar y restar fracciones homogéneas primero sumamos o restamos los numeradores y mantenemos el mismo denominador. Así como ordenamos números naturales, también lo podemos hacer con las fracciones, para esto usamos los símbolos de relación como > (mayor que) y < (menor que). Por otro lado, existen fracciones con distintos numeradores y denominadores pero que representan la misma cantidad, a estas se las conoce como fracciones equivalentes.

Las fracciones propias siempre tienen el numerador menor al denominador y representan una cantidad inferior a la unidad.

CAPÍTULO 5 / TEMA 4

OPERACIONES CON FRACCIONES homogéneas

Si la mamá de Carla compró 1/2 kg de naranjas y su papá compró 3/2 kg de naranjas, ¿cuántos kg de naranja hay en total? Esta situación la podemos encontrar a diario en nuestra vida. Para resolverla tenemos que involucrar operaciones básicas como la suma o la resta a números fraccionarios. Las características de cada fracción nos indicarán qué pasos tenemos que seguir.

Cada vez que dividimos un todo en varias partes iguales usamos fracciones. Todas las fracciones son divisiones sin resolver que tienen un numerador y un denominador, ambos separados por una raya fraccionaria. Las usamos cuando repartimos comida, seguimos instrucciones de recetas o pedimos una parte o porción de algo.

VER INFOGRAFÍA

suma de fracciones homogéneas

Recordemos que dos o más fracciones son homogéneas cuando comparten el mismo denominador. Sumar este tipo de fracciones es muy fácil. Primero sumamos los numeradores, el número resultante será el numerador de la fracción y mantenemos el mismo denominador. Veamos un ejemplo:

\boldsymbol{\frac{{\color{Blue} 1}}{{\color{Red} 5}}+\frac{{\color{Blue} 6}}{{\color{Red} 5}}=\frac{{\color{Blue} 1+6}}{{\color{Red} 5}}=\frac{7}{5}}

 

– Otros ejemplos:

\boldsymbol{\frac{{\color{Blue} 1}}{{\color{Red} 2}}+\frac{{\color{Blue} 3}}{{\color{Red} 2}}=\frac{{\color{Blue} 1+3}}{{\color{Red} 2}}=\frac{4}{2}=2}

 

\boldsymbol{\frac{{\color{Blue} 12}}{{\color{Red} 8}}+\frac{{\color{Blue} 4}}{{\color{Red} 8}}=\frac{{\color{Blue} 12+8}}{{\color{Red} 8}}=\frac{20}{8}}

sustracción de fracciones homogéneas

Del mismo modo que se resuelve la suma de fracciones homogéneas, en la sustracción primero restamos los numeradores y conservamos el mismo denominador. Por ejemplo:

\boldsymbol{\frac{{\color{Blue} 6}}{{\color{Red} 7}}-\frac{{\color{Blue} 3}}{{\color{Red} 7}}=\frac{{\color{Blue} 6-3}}{{\color{Red} 7}}=\frac{3}{7}}

– Otros ejemplos:

\boldsymbol{\frac{{\color{Blue} 8}}{{\color{Red} 5}}-\frac{{\color{Blue} 4}}{{\color{Red} 5}}=\frac{{\color{Blue} 8-4}}{{\color{Red} 5}}=\frac{4}{5}}

 

\boldsymbol{\frac{{\color{Blue} 10}}{{\color{Red} 3}}-\frac{{\color{Blue} 8}}{{\color{Red} 3}}=\frac{{\color{Blue} 10-8}}{{\color{Red} 3}}=\frac{2}{3}}

fracciones equivalentes

Las fracciones equivalentes son fracciones que tienen distinto numerador y denominador pero representan una misma cantidad. Hay dos métodos para calcular fracciones equivalentes: por amplificación y por simplificación.

  • Por el método de amplificación multiplicamos el numerador y el denominador por un mismo número.

Por ejemplo, \frac{1}{3} es la fracción equivalente a \frac{3}{9}, porque tanto el numerador como el denominador fueron multiplicados por 3.

 

  • Por el método de simplificación dividimos el numerador y el denominador por un mismo número.

Por ejemplo, la fracción \frac{22}{10} es equivalente a \frac{11}{5} porque tanto el numerador como el denominador fueron divididos por 2.

 

Se puede simplificar una fracción hasta obtener su mínima expresión, es decir, hasta conseguir la fracción irreducible. Se la llama irreducible porque el numerador y el denominador no comparten los mismos divisores. Obtener esta expresión hace que se simplifiquen los cálculos y la escritura de fracciones.

¿Cómo sabemos si dos fracciones son equivalentes?

El cálculo que permite determinar si dos fracciones son iguales es el método de multiplicar cruzado los numeradores y denominadores de ambas fracciones.

Para saber si \frac{2}{5} y \frac{4}{10} son fracciones equivalentes debes seguir estos pasos:

1. Multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda.

2. Multiplica el numerador de la segunda fracción por el denominador de la primera.

3. Compara los dos resultados. Sin los dos son iguales significa que las dos fracciones son equivalentes.

\boldsymbol{\frac{2}{5}=\frac{4}{10}}

orden de fracciones

Todos los números tienen un orden y las fracciones no son la excepción. Para establecer ese orden podemos comparar sus elementos y determinar si son mayores, menores o iguales unas con otras. Los símbolos que se usan para compararlas son:

Símbolo Significado
> Mayor que
< Menor que

Cuando las fracciones tienen igual denominador y se quiere saber si una es mayor que la otra solo tenemos que comparar sus numeradores. Una fracción es mayor que otra si tiene el numerador más grande. Por ejemplo:

\boldsymbol{\frac{7}{6}>\frac{5}{6}} porque 7 es mayor que 5.

Para determinar si una fracción es menor que otra y sus denominadores son iguales, solo comparamos los numeradores. Veamos un ejemplo:

\boldsymbol{\frac{8}{9}<\frac{13}{9}} porque 8 es menor que 13.

problemas

Día a día nos cruzamos con problemas que involucran fracciones y son las diferentes operaciones básicas las que nos permiten resolverlos. Algunas veces nos toca comparar fracciones para saber, por ejemplo, quién comió más chocolate; otras veces cuántas partes de jugo se tomó y cuántas quedan.

Pasos a seguir para resolver problemas con fracciones

Los siguientes pasos también servirán para resolver problemas con números naturales.

  1. Lee atentamente el problema.
  2. Identifica y anota los datos del problema.
  3. Piensa qué pide el problema, ¿qué pregunta hace?
  4. Establece qué operaciones permiten resolver el problema.
  5. Haz los cálculos.
  6. Relee la pregunta del problema para luego contestarla.

1. Carla y María se repartieron una barra de chocolate en 6 partes iguales, Carla comió \frac{3}{6} y María \frac{2}{6}. ¿Quién comió más chocolate?

  • Datos

Cantidad de chocolate que comió Carla: \frac{3}{6}

Cantidad de chocolate que comió María: \frac{2}{6}

  • Pregunta

¿Quién comió más chocolate?

  • Piensa

Para saber quién comió más hay que comparar las dos fracciones. Como son homogéneas solo no fijamos en los numeradores.

  • Calcula

\boldsymbol{\frac{3}{6}>\frac{2}{6}} porque 3 es mayor que 2.

  • Respuesta

Carla comió más chocolate que María.


2. Pedro tenía en la heladera \frac{3}{4} de litro de jugo de naranja. Si tomó \frac{1}{4} de litro, ¿cuánto jugo le quedó?

  • Datos

Litros de jugo naranja en la heladera: \frac{3}{4}

Litros de jugo que tomó Pedro: \frac{1}{4}

  • Pregunta

¿Cuánto jugo le quedó?

  • Piensa

Hay que restar la cantidad de jugo que tomó Pedro a la cantidad de jugo que había en la heladera.

  • Calcula

\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{3-1}{4}=\boldsymbol{\frac{2}{4}}

  • Respuesta

A Pedro le quedaron \frac{2}{4} de litro de jugo de naranja.


3. Si Pedro prepara \frac{5}{4} de litro de jugo y los une con \frac{2}{4} de litro de jugo que le quedaron, ¿cuánto jugo tiene ahora?

  • Datos

Litros de jugo que preparó Pedro: \frac{5}{4}

Litro de jugo que ya tiene Pedro: \frac{2}{4}

  • Pregunta

¿Cuánto jugo tiene ahora?

  • Piensa

Para saber la cantidad total de jugo hay que sumar las dos cantidades.

  • Calcula

\frac{5}{4}+\frac{2}{4}=\frac{5+2}{4}=\boldsymbol{\frac{7}{4}}

  • Respuesta

Pedro tiene ahora \frac{7}{4} de litro de jugo de naranja.

¡A practicar!

1. Resuelve las siguientes operaciones.

  • \frac{7}{8}-\frac{2}{8}=
Solución

\frac{7}{8}-\frac{2}{8}=\frac{7-2}{8}=\boldsymbol{\frac{5}{8}}

  • \frac{4}{3}+\frac{6}{3}=
Solución

\frac{4}{3}+\frac{6}{3}=\frac{4+6}{3}=\boldsymbol{\frac{10}{3}}

  • \frac{16}{5}-\frac{4}{5}=
Solución

\frac{16}{5}-\frac{4}{5}=\frac{16-4}{5}=\boldsymbol{\frac{12}{5}}

  • \frac{9}{7}+\frac{3}{7}=
Solución

\frac{9}{7}+\frac{3}{7}=\frac{9+3}{7}=\boldsymbol{\frac{12}{7}}

 

2. Ordenar de mayor a menor las siguientes fracciones.

\frac{4}{5},\: \: \: \frac{2}{5},\: \: \: \frac{1}{5},\: \: \: \frac{6}{5},\: \: \: \frac{3}{5}

Solución

\frac{6}{5}>\frac{4}{5}>\frac{3}{5}>\frac{2}{5}>\frac{1}{5}

3. Ordenar de menor a mayor las siguientes fracciones.

\frac{7}{7},\: \: \: \frac{3}{7},\: \: \: \frac{5}{7},\: \: \: \frac{2}{7},\: \: \: \frac{9}{7}

Solución

\frac{2}{7}<\frac{3}{7}<\frac{5}{7}<\frac{7}{7}<\frac{9}{7}

 

4. Determina si las siguientes fracciones son equivalentes.

  • \frac{3}{5} y \frac{9}{15}
Solución
Son fracciones equivalentes porque 3 × 15 = 45 y 9 × 5 = 45.

  • \frac{2}{9} y \frac{10}{42}
Solución
No son fracciones equivalentes porque 2 × 42 = 84 y 10 × 9 = 90.

  • \frac{6}{18} y \frac{3}{9}
Solución
Son fracciones equivalentes porque 6 × 9 = 54 y 18 × 3 = 54.

 

5. Marianela se va de vacaciones con su familia. En la primera hora de viaje recorrieron \frac{3}{8} del trayecto y en la segunda hora, \frac{2}{8} del trayecto. ¿Cuánto del trayecto ya recorrieron?

Solución
Recorrieron \frac{5}{8} del trayecto.

 

6. Marcos tiene \frac{9}{12} de una tarta y le regala a su vecino \frac{3}{12}, ¿cuánto le queda de la tarta?

Solución
Le queda \frac{6}{12} de tarta.
RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Adición y sustracción de fracciones”

Este recurso permitirá profundizar en el tema de la suma y resta de fracciones.

VER

Artículo “Fracciones decimales y equivalentes”

Este recurso permitirá complementar la información sobre fracciones equivalentes mediante múltiples ejemplos.

VER

Artículo “Partes y porciones”

El siguiente artículo profundiza temas tales como fracciones equivalentes, orden de las fracciones y otros.

VER

CAPÍTULO 5 / TEMA 3

TIPOS DE FRACCIONES

Aunque todas las fracciones se caracterizan por tener dos números divididos con una raya fraccionaria, no todas son iguales. Hay clasificaciones de fracciones que dependen de la relación que existe entre sus denominadores, entre ellas están las fracciones homogéneas y las fracciones heterogéneas. Otras clasificaciones dependen de la relación que existe entre los numeradores y denominadores, y pueden ser fracciones propias e impropias.

Las fracciones representan la parte de un todo que ha sido dividida en partes iguales. Todas ellas tienen un denominador, que indica el número de partes iguales en las que está dividido un todo; y un numerador, que indica qué partes de ese todo hemos considerado. En este ejemplo, 2 es el numerador y 8 es el denominador.

VER INFOGRAFÍA

fracciones homogéneas

Dos o más fracciones son homogéneas si tienen el mismo denominador. En estas fracciones el entero está dividido en la misma cantidad de partes.

\boldsymbol{\frac{1}{4}} y \boldsymbol{\frac{3}{4}} son fracciones homogéneas porque tienen el mismo denominador: 4.

– Ejemplos:

  • \boldsymbol{\frac{8}{10}} y \boldsymbol{\frac{3}{10}}

 

  • \boldsymbol{\frac{12}{9}}\boldsymbol{\frac{7}{9}} y \boldsymbol{\frac{20}{9}}

 

  • \boldsymbol{\frac{4}{20}}\boldsymbol{\frac{9}{20}} y \boldsymbol{\frac{1}{20}}

fracciones heterogéneas

Dos o más fracciones son heterogéneas si tienen diferentes denominadores, es por esto que el entero estará dividido en distintas partes según la fracción.

\boldsymbol{\frac{2}{3}} y \boldsymbol{\frac{3}{6}} son fracciones heterogéneas porque sus denominadores son diferentes.

– Ejemplos:

  • \boldsymbol{\frac{10}{12}}\boldsymbol{\frac{8}{9}} y \boldsymbol{\frac{1}{2}}

 

  • \boldsymbol{\frac{20}{3}}\boldsymbol{\frac{8}{5}} y \boldsymbol{\frac{3}{12}}

 

  • \boldsymbol{\frac{2}{9}} y \boldsymbol{\frac{8}{18}}

El ying y el yang en las fracciones

Los chinos representaban las fracciones con varillas, estas podían ser de bambú, hueso u otros materiales. A los elementos de una fracción le asignaban un rol femenino y otro masculino. Se referían al numerador como “el hijo” y al denominador como “la madre”. Este uso del ying y el yang los hacía seguir a la perfección las clasificaciones de fracciones y ser expertos conocedores de las operaciones con fracciones.

fracciones propias

Las fracciones propias son aquellas en las que el numerador es menor que el denominador. Estas fracciones también reciben el nombre de fracciones puras. Las fracciones de este tipo son menores a un entero y se encuentran entre el 0 y el 1.

Para comprender mejor que estas fracciones siempre se encuentran entre el 0 y el 1 mostramos algunos ejemplos representados en una recta numérica:

– Ejemplos:

  • \boldsymbol{\frac{5}{12}}

 

  • \boldsymbol{\frac{12}{20}}

 

  • \boldsymbol{\frac{9}{15}}

¿Sabías qué?
El símbolo “<” significa “menor que” y el símbolo “>” significa “mayor que”.
Cuando seguimos las instrucciones de una receta de cocina, usualmente fraccionamos los ingredientes, por ejemplo, media taza de leche (½) o tres cuartos de azúcar (¾). También usamos fracciones cuando ordenamos alimentos, como un cuarto de kilo de café (¼), medio kilo de queso (½) o litro y medio de gaseosa (1 ½).

fracciones impropias

Las fracciones impropias son aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador. Se las conoce también como fracciones impuras. Estas fracciones siempre son mayores a un entero, es decir mayores a 1.

En una recta numérica las fracciones impropias o impuras siempre se ubican del 1 en adelante porque son mayores a este, para entender mejor, observa los siguientes ejemplos:

– Ejemplos:

  • \boldsymbol{\frac{10}{8}}

 

  • \boldsymbol{\frac{25}{9}}

 

  • \boldsymbol{\frac{9}{2}}

 

Hay expresiones que en cada país se dicen de maneras distintas pero que significan lo mismo, como por ejemplo “fresa” y “frutilla”. En el ámbito de la matemática sucede lo mismo, depende del país se utilizarán los términos “fracción propia” o “fracción pura” para el mismo tipo de fracción; y “fracción impropia” o “fracción impura” para el mismo tipo de fracción.

¡A practicar!

  1. Determina si la siguientes fracciones son homogéneas o heterogéneas.
  • \boldsymbol{\frac{3}{7}} y \boldsymbol{\frac{5}{9}}
Solución
Heterogéneas
  • \boldsymbol{\frac{2}{5}} y \boldsymbol{\frac{16}{5}}
Solución
Homogéneas
  • \boldsymbol{\frac{62}{6}}; \boldsymbol{\frac{95}{66}} y \boldsymbol{\frac{17}{36}}
Solución
Heterogéneas
  • \boldsymbol{\frac{33}{13}}; \boldsymbol{\frac{57}{13}} y \boldsymbol{\frac{25}{13}}
Solución
Homogéneas

 

2. Determina si las fracciones a continuación son propias o impropias.

  • \boldsymbol{\frac{11}{12}}
Solución
Propia
  • \boldsymbol{\frac{8}{5}}
Solución
Impropia
  • \boldsymbol{\frac{7}{3}}
Solución
Impropia
  • \boldsymbol{\frac{21}{18}}
Solución
Impropia

 

3. Observa las fracciones en la recta numérica y responde.

a) ¿Cuál o cuáles son las fracciones que están entre 0 y 1? ¿Qué tipo de fracciones son?

Solución
Las fracciones que están entre 0 y 1 son 1/3 y 2/3. Son fracciones propias.

b) ¿Cuál o cuáles son las fracciones mayores que 1? ¿Qué tipo de fracciones son?

Solución
Las fracciones mayores a 1 son 5/3 y 7/3. Son fracciones impropias.

c) ¿Hay fracciones heterogéneas? ¿Cuáles?

Solución
No hay fracciones heterogéneas.

d) ¿Hay fracciones homogéneas? ¿Cuáles?

Solución
Sí, todas las fracciones de la recta son homogéneas.
RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Clasificación de fracciones”

Este recurso te permitirá profundizar las características y los criterios para clasificar las fracciones.

VER

 

CAPÍTULO 4 / TEMA 5

PERÍMETRO

Todas los objetos planos tienen un contorno o frontera que las delimita. Por ejemplo, un alambrado delimita una casa, o una acera delimita un parque. Este borde se llama perímetro y su cálculo es muy sencillo, solo tenemos que saber la cantidad de lados y la longitud de cada uno de ellos en la figura.

¿qué es el perímetro?

El perímetro es el contorno de una figura plana y permite conocer su medida. Para calcularlo sumamos todos los lados de la figura.

Si queremos decorar este portarretrato con un cordón dorado, ¿cuánto cordón debemos comprar? ¡Muy fácil! Tenemos que calcular el perímetro del objeto. Como tiene dos lados que miden 15 centímetros y dos lados que miden 10 cm, sumamos todas las medidas de cada lado: 15 cm + 15 cm + 10 cm + 10 cm = 50 cm. Tenemos que comprar 50 cm de cordón.

¿Cómo calcular el perímetro en polígonos regulares?

Una de las características de los polígonos regulares es que todos sus lados tienen la misma longitud. Entonces, para calcular su perímetro multiplicamos la cantidad de lados del polígono por la longitud de su lado.

Perímetro = número de lados × longitud del lado

– Ejemplo:

Un cuadrado tiene 4 lados iguales. Si cada lado mide 5 cm, ¿cuál es el perímetro de la figura?

Perímetro = 4 × 5 cm = 20 cm

 

– Ejemplo 2:

Los triángulos equiláteros tienen todos sus lados iguales. Si cada lado mide 8 cm, ¿cuál es el perímetro de la figura?

Perímetro = 3 × 8 cm = 24 cm

¿Sabías qué?
Todos los polígonos regulares tienen lados, vértices, centro y perímetro.

perímetros en otras figuras planas

Existen otras figuras como los polígonos no regulares que se caracterizan por no tener todos los lados iguales. Para calcular los perímetros de estas figuras sumamos cada una de las longitudes de sus lados.

– Ejemplo 1:

 

Perímetro = 10 cm + 6 cm + 10 cm + 6 cm = 32 cm

 

– Ejemplo 2:

Perímetro = 6 cm + 4 cm + 3 cm + 2 cm + 3 cm + 3 cm = 21 cm

– Ejemplo 3:

Cada cuadrado interno de la figura mide 1 cm. Si sumamos cada cuadro por lado podremos saber el perímetro de esta figura.

Perímetro = 4 cm + 1 cm + 2 cm + 2 cm + 4 cm + 1 cm + 1 cm + 1 cm + 1 cm + 1 cm = 18 cm

Palacio de la Alhambra

El palacio la Alhambra se encuentra en España. Las partes inferiores de sus paredes están cubiertas con azulejos diseñados con polígonos. Estas figuras se unieron para crear múltiples combinaciones. La belleza de estas paredes demuestra lo impresionante que es la geometría aplicada en el arte.

aplicación del perímetro

Como ya vimos, para determinar el perímetro tenemos que sumar la longitud de todos los lados de la figuras. Si la figura es regular, es decir, si tiene todos sus lados iguales, solo multiplicamos la cantidad de lados por la longitud de uno de ellos. En la vida cotidiana este cálculo tiene diversas aplicaciones. Por ejemplo:

1. Carla corre todas la mañanas en el parque. Si cada día da tres vueltas alrededor del parque, ¿cuánto metros corre?

Primero calculamos el perímetro del parque:

Perímetro = 30 m + 15 m + 30 m + 15 m = 90 m

Como da tres vueltas, multiplicamos el resultado del perímetro por 3.

90 m × 3 = 270 m

Por lo tanto, Carla corre 270 m en el parque cada mañana.


2. Una familia quiere colocar una cerca alrededor de la casa, ¿cuánto metros de material debe comprar?

Solo tenemos que calcular el perímetro de la región que se quiere cercar:

Perímetro = 20 m + 5 m + 12 m + 5 m + 20 m = 10 m = 72 m

Entonces, se necesitan 72 metros de cerca para la casa.


3. Un auto de carreras dio 5 vueltas alrededor de la pista. ¿Cuántos metros corrió?

Primero calculamos el perímetro de la pista de carreras:

Perímetro = 80 m + 25 m + 40 m + 35 m + 40 m = 220 m

Como dio 5 vueltas, multiplicamos el resultado del perímetro por 5.

220 m × 5 = 1.100 m

Por lo tanto, el auto corrió 1.100 metros.


Castillos amurallados

Las murallas se han usado desde la prehistoria y se hicieron populares en la Edad Media. Muchos castillos de todo el mundo fueron amurallados para proteger el perímetro que los rodea con el fin de frenar y alejar a los ejércitos que deseaban conquistar sus tierras. No solo se amurallaban castillos sino también ciudades enteras, como la ciudad de Quebec en Canadá para establecer un perímetro de defensa y proteger a los ciudadanos.

¡A practicar!

1. Observa las siguientes figuras regulares y responde las preguntas.

  • ¿Cuál es el perímetro del cuadrado morado?
    Solución
    El perímetro es de 16 cm.
  • ¿Cuál es el perímetro del pentágono naranja?
    Solución
    El perímetro es de 30 cm.
  • ¿Cuál es el perímetro del triángulo azul?
    Solución
    El perímetro es de 9 cm.
  • ¿Cuál es el perímetro del hexágono verde?
    Solución
    El perímetro es de 30 cm.

2. Observa las siguientes figuras no regulares y responde las preguntas.

  • ¿Cuál es el perímetro de la figura A?
    Solución
    El perímetro es 20 cm.
  • ¿Cuál es el perímetro de la figura B?
    Solución
    El perímetro es 19 cm.
  • ¿Cuál es el perímetro de la figura C?
    Solución
    El perímetro es 26 cm.
  • ¿Cuál es el perímetro de la figura D?
    Solución
    El perímetro es 25 cm.

3. Un granjero quiere separar las ovejas de las vacas con una cerca triangular en una parte de su granja. Cada lado de la cerca tiene 12 metros. ¿Cuál es el perímetro de la cerca?

Solución
El perímetro de la cerca es 36 metros.
RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Perímetro de polígonos”

El siguiente artículo permitirá ampliar la información sobre el perímetro de polígonos.

VER

CAPÍTULO 5 / TEMA 2

REPRESENTACIÓN DE FRACCIONES

Todas las fracciones representan una división o las partes de un entero. Las usamos día a día cuando queremos repartir chocolates con amigos, una pizza con familiares y hasta picar una torta de cumpleaños para los invitados. Cada vez que organizamos una reunión y pensamos cuántos invitados vendrán, hacemos uso de las fracciones.

lectura de fracciones

Toda fracción tiene un numerador y un denominador. Podemos representarlos en esta caja de rosquillas. ¡Observa! La caja es el entero y lo dividimos en 12 partes iguales porque hay 12 rosquillas. Ese es el denominador. El numerador será igual a las rosquillas repartidas. Si solo repartirmos 4, podemos decir que comimos 4/12 de la caja.

Las fracciones reciben diferentes nombres de acuerdo a los números que aparecen en el numerador y el denominador. El numerador lo leemos como cualquier número natural y el denominador de la siguiente manera:

Denominador Lectura
2 Medios
3 Tercios
4 Cuartos
5 Quintos
6 Sextos
7 Séptimos
8 Octavos
9 Novenos
10 Décimos

A partir del 11 el número se lee terminado en -avos. Por ejemplo, onceavos, doceavos, treceavos y así sucesivamente.

 

– Veamos algunos ejemplos:

  • \boldsymbol{\frac{3}{7}} se lee “tres séptimos”.

 

  • \boldsymbol{\frac{5}{3}} se lee “cinco tercios”.

 

  • \boldsymbol{\frac{7}{12}} se lee “siete doceavos”.

 

  • \boldsymbol{\frac{2}{10}} se lee “dos décimos”.

 

  • \boldsymbol{\frac{8}{2}} se lee “ocho medios”.

¡Es tu turno!

Observa las siguientes fracciones, ¿cómo se leen?

  • \boldsymbol{\frac{9}{4}}
Solución
Nueve cuartos.
  • \boldsymbol{\frac{25}{13}}
Solución
Veinticinco treceavos.
  • \boldsymbol{\frac{5}{8}}
Solución
Cinco octavos.

representación gráfica

En una fracción, el denominador indica las partes en las que se divide al entero y el numerador las partes que se toman.

Estas definiciones son importantes para realizar los gráficos de fracciones.

¿Cómo graficar una fracción propia?

  • Realicemos el gráfico de la fracción \boldsymbol{\frac{3}{5}}

Lo primero que hacemos es dibujar una figura. En este caso dibujaremos un rectángulo. Este será el entero.

Luego dividimos el entero en la cantidad de partes que nos indique el denominador. En este caso, como el denominador es 5, dividimos el rectángulo en 5 partes iguales.

Después pintamos la cantidad de partes que señale el numerador. Como en esta fracción el numerador es 3, pintamos 3 partes. El resultado será el gráfico de la fracción.

 

¿Cómo graficar una fracción impropia?

La fracciones impropias tienen el numerador mayor al denominador y por lo tanto son mayores que 1.

  • Realicemos el gráfico de la fracción \boldsymbol{\frac{6}{4}}

Primero dibujamos un figura que represente al entero. En este caso es un cuadrado.

Ahora dividimos el entero en tantas partes como nos señale el denominador. El denominador de esta fracción es 4, así que dividimos al cuadrado en 4 partes iguales.

Luego pintamos las partes que nos indique el numerador. Como el numerador es 6, no es suficiente con una sola figura, así que dibujamos de nuevo otro cuadrado con 4 partes y pintamos las partes necesarias para llegar a 6. Ese será el gráfico de la fracción.

¿Sabías qué?
Siempre que el numerador sea mayor que el denominador será necesario que dibujemos más de un entero para representar la fracción.

 

¡A practicar!

Representa gráficamente las siguientes fracciones:

  • \boldsymbol{\frac{4}{6}}
Solución

  • \boldsymbol{\frac{1}{4}}
Solución

  • \boldsymbol{\frac{7}{5}}
Solución

representación en la recta numérica

La recta numérica es una línea recta sin principio ni final que contiene a todos los números. Ubicamos los números a partir del cero en segmentos iguales.

Entre el 0 y el 1, el 1 y el 2, o entre cualquier entero podemos encontrar fracciones. Todas estas también se pueden ubicar en la recta numérica.

Para ubicar las fracciones en la recta numérica solo tenemos que dividir la unidad en segmentos iguales según lo que indica el denominador y a partir del cero contamos tantos lugares como indique el numerador. Luego marcamos la fracción.

 

– Ejemplo:

Para representar en la recta numérica la fracción \boldsymbol{\frac{2}{5}} sigue estos pasos:

  1. Divide el espacio entre 0 y 1 en 5 partes iguales.
  2. Cuenta desde el cero dos lugares porque el numerador es 2.
  3. Ubica la fracción.

¿Sabías qué?

Para representar en la recta numérica fracciones impropias se usan fracciones mixtas. Estas fracciones están formadas por una parte entera y una fraccionaria.

Ubica las fracciones

  • ¿Qué fracción se representa en esta recta numérica?

Solución
La fracción \boldsymbol{\frac{7}{8}}.
  • Ubica en una recta numérica la fracción \boldsymbol{\frac{2}{3}}.
Solución

VER INFOGRAFÍA

¿cómo se relacionan las fracciones y las divisiones?

Las fracciones son partes de un todo, es decir, son divisiones de ese todo. Por esta razón están directamente relacionadas una con la otra.

Toda fracción es una división sin resolver entre dos números: el numerador y el denominador.

Entonces, \boldsymbol{\frac{1}{4}} es igual a \boldsymbol{1\div 4}. Las dos son formas correctas de escribir una división.

¿Sabías qué?
Podemos expresar las fracciones con la raya horizontal o con una diagonal, por ejemplo, \boldsymbol{\frac{3}{4}} es igual a \boldsymbol{3/4}.

La representación de las horas

Un reloj analógico marca diferentes fracciones con el paso de las horas. En una hora hay cuatro cuartos de hora, así que, cuando decimos que pasaron 15 minutos después de las 12, realmente decimos que pasó 1/4 de hora. Cuando la aguja de los minutos (aguja larga) llega al 6 significa que pasó media (1/2) hora y a los 45 minutos pasaron 3/4 de una hora.

Actividades

1. ¿Cómo se lee la fracción 3/10? Realiza su gráfico.

Solución
3/10 se lee “tres décimos”.

Su gráfico es igual a este:

2. ¿Cómo se lee la fracción 5/12? Representa la fracción en la recta numérica.

Solución
5/12 se lee “cinco doceavos”.

En la recta se representa así:

3. Une cada fracción con su gráfico:

Solución

4. ¿Qué fracción está representada en la siguiente recta numérica?

Solución
La fracción 3/6.

5. ¿Qué fracción está representada en la siguiente recta numérica?

Solución
La fracción 1/5.
RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Partes y porciones”

Este recurso permitirá profundizar la representación en la recta numérica.

VER

Video “Cómo se lee una fracción”

Este recurso audiovisual explica, de manera clara, los pasos a seguir para nombrar fracciones al tiempo que las compara con la unidad.

VER

CAPÍTULO 5 / TEMA 1

NOCIÓN DE FRACCIÓN

Así como usamos los números naturales para representar cantidades y decir que, por ejemplo, tenemos 3 pelotas; también existen otros números que nos permiten expresar partes de un todo. Estos números son conocidos como fracciones, hay varios tipos y tienen más usos de los que te imaginas.

¿qUÉ ES UNA FRACCIÓN?

Una fracción es una división e indica las partes de un entero. Por ejemplo, cuando cortamos una torta en varias partes hacemos una división de un entero, es decir, la torta es el entero y cada una de las partes en las que la cortamos puede ser representada con una fracción.

Si cortas en cuatro partes iguales una pizza y te comes una parte, ¿con qué número representarías ese pedazo? ¡Es muy fácil! Solo debes colocar un número sobre otro con una raya en medio: el número de pedazos que comemos va arriba, y el número de veces que dividimos la pizza va abajo. Entonces, ese pedazo de pizza es igual a 1/4.

¿Sabías qué?
En las culturas babilónicas y egipcias aparecieron inscripciones simbólicas que representaban el uso de fracciones.

Elementos de una fracción

Todas las fracciones están formadas por un numerador y un denominador separados por una línea horizontal llamada raya fraccionaria.

  • El numerador es el número de partes que tomamos del entero.
  • El denominador es el número de partes iguales en las que dividimos al entero.

Observa este gráfico:

  • El denominador es 4 porque el cuadrado está dividido en 4 partes iguales.
  • El numerador es 3 porque solo 3 cuadros están coloreados de rojo.

VER INFOGRAFÍA



Raya fraccionaria: ¿quién la creó?

Las fracciones eran empleadas en la antigüedad por los babilonios, romanos y egipcios. No obstante, fue hasta el siglo XIII que empezaron a usarse tal y como las conocemos en la actualidad. Esto sucedió gracias a los trabajos de Leonardo de Pisa, mejor conocido como Fibonacci. Él fue quien creó la raya para separar al numerador y denominador.

tipos de fracciones

Las fracciones pueden ser propias, impropias y aparentes.

Fracciones propias

Son aquellas en las que el numerador es menor que el denominador. La fracción propia representa un número menor que el entero.

– Ejemplo:

El cuadrado totalmente pintado de verde representa al número entero 1, mientras que el cuadrado con una sola parte pintada de verde representa a la fracción 1/2, es decir, la mitad de 1.

Observa que el gráfico de la fracción tiene menos partes verdes que el de la unidad, es decir, es menor que 1.

Símbolos de relación

Son los que usamos para indicar que una cantidad es mayor, menor o igual a otra. Estos son:

Símbolo Significado
< Menor que
> Mayor que
= Igual a

Fracciones impropias

Son aquellas en las que el numerador es mayor que el denominador. La fracción impropia representa un número mayor que el entero.

– Ejemplo:

El cuadrado totalmente pintado de morado representa al número 1. Para representar la fracción 4/3 fue necesario una unidad (un cuadrado morado) y 1/3 de otra unidad (tomar una parte de otro cuadrado).

Observa que el gráfico de la fracción tiene más partes moradas que el de la unidad, es decir, es mayor que 1.

¡Dibuja una fracción impropia!

\frac{5}{2}  es una fracción impropia porque su numerador es mayor a su denominador. Para graficar la fracción seguimos estos pasos:

1. Tomamos una figura como la unidad, por ejemplo un cuadrado.

2. Como el denominador es 2, dividimos en dos partes iguales el cuadrado.

3. Como el numerador es 5, debemos pintar cinco partes, pero cada figura de la unidad solo tiene 2 partes. Por ello, añadimos más figuras idénticas para poder pintar las cinco partes.

Observa que la fracción \frac{5}{2} es mayor a 1 porque hicieron falta dos unidades completas y la mitad de otra para poder representarla.

Fracciones aparentes

Son aquellas en las que el resultado es igual a un número entero.

– Ejemplo:

Al ver el gráfico nos damos cuenta que 4/2 es igual a 2 enteros.

 

¿De qué tipo son estas fracciones?

Observa estas fracciones y responde:

  • ¿Cuáles fracciones son impropias?
Solución

\frac{9}{2} y \frac{10}{6}

  • ¿Cuáles fracciones son propias?
Solución

\frac{3}{6}\frac{2}{3}\frac{1}{2} y \frac{6}{7}

  • ¿Cuáles fracciones son aparentes?
Solución

\frac{8}{2} y \frac{6}{3}

 

Fracciones egipcias

Hace miles de años los egipcios escribieron cómo utilizaban las fracciones en el papiro de Rhind. Este documento muestra cómo clasificaban y sumaban las fracciones en su época.

fracciones en la vida cotidiana

En muchas actividades que realizamos en el día utilizamos fracciones. Cuando ayudamos en la cocina vemos como una receta tiene sus ingredientes con fracciones, por ejemplo, 1/2 taza de azúcar. También usamos este tipo de números cuando vamos a la panadería y nos venden 3/4 kilo de pan, o en la verdulería 1/4 kilo de tomates. Al repartir comida, golosinas y otras cosas empleamos una parte del todo para que el reparto sea igualitario.

¡A practicar!

1. Observa estas fracciones y responde las preguntas:

  • ¿Cuáles fracciones son propias?
Solución

\frac{6}{12}\frac{5}{6}\frac{15}{18}\frac{12}{20} y \frac{10}{12}

  • ¿Cuáles fracciones son impropias?
Solución

\frac{7}{5}\frac{9}{6}\frac{11}{3} y \frac{5}{4}

  • ¿Cuáles fracciones son aparentes?
Solución

\frac{8}{4}

 

2. Observa estos gráficos, ¿qué fracción representan?

a) 

Solución
  • Partes pintadas: 4
  • Partes en las que se dividió el entero: 9

Fracción: \mathbf{\frac{4}{9}}

 

b) 

Solución
  • Partes pintadas: 6
  • Partes en las que se dividió el entero: 4

Fracción: \mathbf{\frac{6}{4}}

 

c) 

Solución
  • Partes pintadas: 5
  • Partes en las que se dividió el entero: 6

Fracción: \mathbf{\frac{5}{6}}

 

d) 

Solución
  • Partes pintadas: 3
  • Partes en las que se dividió el entero: 8

Fracción: \mathbf{\frac{3}{8}}

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Fracciones”

Este artículo permitirá profundizar la información sobre las fracciones.

VER

Artículo “Clasificación de fracciones”

Este recurso permitirá complementar la información sobre la clasificación de fracciones.

VER