El cálculo de áreas y perímetros de figuras geométricas se hace a partir de la longitud de sus lados. El área de los rectángulos se calcula como la multiplicación de la base por la altura, y la de los triángulos se define como la multiplicación de la base por la altura dividido por dos. Cuando se calculan los perímetros se recurre a la sumatoria de la longitud de los lados, independientemente de la figura que sea.
Las figuras pueden ser simples o compuestas. Sin embargo, el cálculo del perímetro se realiza de la misma manera a través de la suma de las longitudes del contorno de la figura.
triángulos
Los triángulos son clasificados respecto a sus lados como equiláteros, isósceles y escalenos; y respecto a sus ángulos como acutángulos, rectángulos y obtusángulos. La suma de los ángulos internos de un triángulo es siempre igual a 180º. Los triángulos congruentes son aquellos que son isométricos entre sí, es decir, poseen las mismas dimensiones.
Para la construcción de los triángulos se puede usar el compás. En primer lugar, se traza un segmento con la longitud de los lados, luego se trazan dos arcos y desde el punto de intersección se trazan dos rectas hasta los extremos del segmento inicial.
plano, punto y segmento
Un plano es un conjunto infinito de puntos y segmentos dispuestos de manera bidimensional. Para formar un plano se precisan tres puntos, una recta y un punto o dos rectas no coincidentes. Para ubicar un punto se utiliza un sistema de coordenadas denominado eje cartesiano, en el cual se deben considerar los valores de X e Y. En el sistema de coordenadas, se pueden distinguir cuatro cuadrantes delimitados por los ejes.
Para ubicar un punto se intersecta un eje vertical en el valor de X y un eje horizontal en el valor de Y del punto.
Circunferencia
La circunferencia es una figura geométrica que mantiene todos sus puntos equidistantes de su centro. Para calcular el área de una circunferencia se recurre a la siguiente fórmula . Donde r es el radio, y π corresponde al número pi. Para la construcción de circunferencias se utiliza un compás: se realiza un segmento con la longitud del radio y a partir de allí se genera el arco completo.
El número pi es un número irracional que se obtiene al dividir la longitud de la circunferencia por su diámetro.
Transformaciones isométricas
La ampliación y la reducción son transformaciones en las dimensiones de las figuras geométricas sin alterar las propiedades de la figura original. Las transformaciones isométricas como la rotación y la traslación permiten variar la posición de la figura en el plano sin alterar sus dimensiones. Hay figuras geométricas que poseen uno o más ejes de simetría en donde cada uno de sus puntos opuestos se encuentran a una misma distancia entre sí.
Las reducciones son usadas generalmente en los planos para expresar longitudes a una menor escala.
PRISMAS Y PIRÁMIDES
Los prismas son figuras geométricas tridimensionales formadas por dos caras o bases iguales y paralelas que se encuentran unidas por paralelogramos. Las pirámides presentan una base en la que todas sus caras son triángulos que se encuentran unidos en un vértice. Para su construcción se realiza primero la base y luego la base paralela (en el caso de un prisma) o el vértice (en el caso de una pirámide) a una determinada altura. Por último, se unen las bases por paralelogramos o triángulos según corresponda al tipo de figura.
La Gran Pirámide de Guiza es una pirámide rectangular y fue construida hace 4.600 años.
La circunferencia es una línea curva, plana y cerrada que representa el perímetro de un círculo. Unas de sus características es que todos sus puntos se encuentran a una misma distancia de otro denominado origen. Sin importar su tamaño, siempre que se divida su longitud entre su diámetro da como resultado al número pi.
elementos de la circunferencia
La circunferencia es la forma geométrica en la cual todos sus puntos se encuentran equidistantes del centro, también conocido como origen. Eso quiere decir que todos los puntos están a la misma distancia de ese punto.
La circunferencia y sus elementos
Centro: es el punto interior que se encuentra a la misma distancia de todos los puntos de la circunferencia.
Radio: es la línea recta que une el centro con cualquier punto de la circunferencia.
Diámetro: es la mayor linea recta que puede unir dos puntos de la circunferencia. Es el doble del valor del radio y siempre pasa por el origen.
Arco: es un segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia.
Cuerda: es el segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia sin pasar por el origen.
Secante: es una recta que intersecta la circunferencia en dos puntos.
Tangente: es una recta que intersecta la circunferencia en un solo punto.
La circunferencia es una figura única. Sus puntos equidistantes entre sí respecto al centro han permitido resolver diversos problemas, desde cálculos matemáticos hasta problemas tan cotidianos como el transporte. Y es que aunque parezca sencilla, la rueda ha sido uno de los inventos que cambió definitivamente la vida del ser humano hasta la actualidad.
El número pi
Su nombre proviene de la letra griega pi (π) que se usa para expresarlo. Es un número irracional, es decir; un número decimal infinito, cuyos decimales no siguen un patrón que se repite. En la geometría y otras áreas ha tenido un fuerte impacto en la manera de resolver problemas porque relaciona la longitud de una circunferencia con su diámetro. La fórmula para calcular el número pi es π = C/D, donde C es la longitud de la circunferencia y D es el diámetro de la misma. El valor de este número con sus primeras 5 cifras decimales es: 3,14159…
¿Sabías qué?
Para simplificar los cálculos, el número pi suele escribirse como 3,14 para obtener resultados aproximados.
área de un Círculo
El círculo es la figura geométrica que se encuentra delimitada por una circunferencia; es decir, la circunferencia representa su perímetro. Para resolver el área de un círculo simplemente debemos multiplicar el cuadrado de su radio por el número pi.
Dónde:
A = área del círculo.
π = número pi.
r = longitud del radio de la circunferencia.
Ejemplos de cálculos de área de un círculo
1. Calcular el área de una circunferencia cuyo radio mide 3 cm.
En este caso simplemente tenemos que sustituir el valor del diámetro y del número pi en la ecuación de área:
Luego se resuelve la potencia. Recuerda que en este caso la unidad es centímetro y al resolver la potencia dicha unidad quedara expresada en centímetros cuadrados (cm2).
Al resolver el producto se obtiene que el área de la circunferencia es la siguiente:
Recordemos que el valor de pi que usamos para los cálculos es un aproximado porque 3,14 tiene dos decimales pero ¡pi en realidad tiene infinitos decimales! Como resultará lógico pensar, es imposible multiplicar el valor de pi con todos sus decimales, por esta razón en ejercicios cotidianos se emplean únicamente dos para obtener un resultado que, aunque no corresponde al valor exacto, si se encuentra cercano a este.
2. Calcular el área de un círculo con diámetro igual a 4 cm.
En este caso, el dato que nos proporciona el problema es el diámetro. Para aplicar la fórmula necesitamos el valor del radio. Lo único que debemos hacer es dividir el diámetro entre 2 (porque el diámetro corresponde al doble del valor del radio).
Luego se reemplaza en la ecuación y se resuelve de la misma forma que en el ejercicio anterior.
construcción de circunferencias
Para la construcción de las circunferencias, se emplea el compás y una regla o escuadra para medir. Debemos seguir los siguientes pasos:
Paso 1 Trazar un segmento con la longitud del radio de la circunferencia que se desea construir.
Paso 2
Ubicar la punta del compás en uno de los extremos del segmento y abrir la bisagra del mismo hasta que la otra punta con lápiz se encuentre a la misma distancia del otro extremo.
Paso 3
Marcar firmemente la circunferencia con la punta que contiene el lápiz de marcado al tiempo que se mantiene en su lugar la otra punta.
Al momento de realizar los trazados de circunferencias, es importante que el área de trabajo esté limpia al igual que los instrumentos que vas a usar. En el caso del compás hay varios tipos que varían en la forma, lo importante en cualquier caso es verificar que el extremo que contenga al lápiz o punta de grafito se encuentre afilado para que pueda realizar trazos uniformes.
¡A practicar!
¿Cuál es el área de las siguientes circunferencias?
a)
Solución
b)
Solución
c)
Solución
d)
Solución
e)
Solución
f)
Solución
g)
Solución
h)
Solución
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Circunferencia”
En este artículo se explican los elementos de la circunferencia y sus principales características.
Los primas y las pirámides son cuerpos geométricos que se caracterizan porque todas sus caras son polígonos. Se diferencian porque los prismas tienen dos de sus caras paraleles e iguales mientras que las pirámides tienen una base que puede ser cualquier polígono y sus caras son triángulos.
TIPOS
Ya sea para el caso de prismas o pirámides, existen ciertas clasificaciones que los diferencian entre sí y al mismo tiempo tienen ciertas semejanzas. A continuación, veremos qué son estas figuras geométricas y cuáles son sus tipos.
Prismas
Un prisma es una proyección de dos caras paralelas iguales que están unidas por paralelogramos. Estas caras se denominan bases y tienen una determinada cantidad de lados. La forma de estas bases es la que dará la clasificación a los prismas correspondientes.
Tipos de prismas
Los prismas son tan diversos como figuras geométricas existen. El nombre de un prisma viene dado por la figura geométrica que conforma sus bases. Por ejemplo: si la base es un triángulo el nombre de la figura será prisma triangular.
Pirámides
Una pirámide está compuesta por una base y triángulos que se comparten un lado con ella. Todos los triángulos coinciden en un punto en común, denominado vértice.
Tipos de pirámides
En las pirámides al igual que en los prismas, su nombre viene determinado por la figura que conforma su base. Por ejemplo: si la base es un cuadrado, el nombre de la figura será pirámide cuadrangular.
Esta no es la única clasificación de estos cuerpos geométricos: cada uno reciben una segunda clasificación. Esta depende del ángulo que tiene la base con respecto a las caras; por este motivo, estos cuerpos geométricos pueden ser rectos y oblicuos. Por ejemplo:
Un prisma, si sus ángulos son rectos, se denominará como prisma recto; en cambio, cuando sus ángulos no lo sean, se clasificará como prisma oblicuo. Las pirámides se denominan rectas cuando todas sus caras son triángulos isósceles iguales y la altura cae al punto medio de la base. Las pirámides oblicuas son aquellas en las que no todas sus caras son triángulos isósceles.
elementos principales
Los elementos principales de un prisma y una pirámide son similares entre sí. Solo se diferencian en que la pirámide tiene un vértice. Por lo tanto, los elementos principales de cada una de las figuras geométricas son:
Elementos de un prisma: bases, aristas y caras.
Elementos de una pirámide: base, aristas, caras y vértice.
En este ejemplo, podemos ver todos los elementos característicos de una pirámide. En el caso de los prismas, los elementos son los mismos, con la excepción del vértice, que no está presente.
construcción
Para la construcción de prismas y pirámides lo principal es la base. Esta cara tiene una cantidad de lados que será la misma cantidad que tenga el prisma o pirámide que resulta de su proyección. Por lo tanto, la construcción consta de los siguientes pasos:
Paso 1: construcción de la base.
Paso 2: construcción de la otra base (en prismas) o el vértice (en pirámides) a la altura correspondiente.
Paso 3: unión entre las bases con paralelogramos (en prismas) o entre la base y el vértice (en pirámides).
Construcción de prismas
Construcción de pirámides
reconocimiento de objetos en forma de prisma y pirámides
Para el reconocimiento de prismas y pirámides debemos utilizar el conocimiento previo de los elementos que forman cada una de estas figuras geométricas. Por lo tanto, procederemos a las siguientes definiciones:
Reconocimiento de prismas: se deben observar dos caras unidas entre sí por paralelogramos.
Reconocimiento de pirámides: se debe observar una base y un vértice unidos entre sí por triángulos.
La Gran Pirámide de Giza se encuentra en la meseta de Giza, Egipto. Se construyó hace 4.600 años por orden del faraón Keops por eso también se la conoce como pirámide de Keops. Se trata de una maravilla del Mundo Antiguo y tiene una altura de 138 metros. Sus dimensiones para la época en la que se construyó aún sorprenden a los arquéologos y es la única de las Siete Maravillas originales que aún existe.
ubicación de la altura
La ubicación de la altura en el caso de estas figuras geométricas tiene también cierta similitud. En los prismas la altura está determinada por las aristas; sin embargo, puede calcularse como la distancia entre el centro de las bases. En el caso de las pirámides, puede calcularse como la distancia entre el vértice y el centro de la base.
¡A practicar!
1. Determina si las siguientes figuras son prismas o pirámides, y nombrarlas.
a)
RESPUESTAS
La figura geométrica es un prisma. El nombre es prisma pentagonal ya que sus bases son pentágonos.
b)
RESPUESTAS
La figura geométrica es una pirámide. El nombre es pirámide hexagonal ya que su base es un hexágono.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Prismas”
En el siguiente artículo destacado se explican con mayor profundidad el concepto de prisma, sus elementos, sus tipos y se proporcionan algunos ejercicios de aplicación.
La ampliación y la reducción son transformaciones que permiten cambiar el alto y ancho de una figura sin alterar sus propiedades originales como ángulos, ejes de simetría, etc. Las transformaciones isométricas, en cambio, se refieren al cambio de posición de la figura en el plano sin variar sus dimensiones. La rotación y traslación son ejemplos de este tipo de transformaciones.
AMPLIACIONES DE FIGURAS
La ampliación de figuras es una proyección geométrica que produce una imagen de mayor tamaño. Esta transformación varía las dimensiones de la figura sin alterar su forma. Por lo tanto, las propiedades de cada una de las figuras ampliadas no variarán. El nivel de ampliación de las figuras está afectado por un factor de multiplicación.
Para su cálculo se deben multiplicar cada una de las medidas de la figura por su factor de multiplicación.
Factor de multiplicación
El factor de multiplicación es un factor de escala que se utiliza para ampliar la imagen en cada uno de sus lados en una determinada proporción. La transformación será ampliación cuando el factor sea mayor que 1 ya que este es una medida de cuánto se amplía la figura original.
REDUCCIÓN DE FIGURAS
De forma similar a la ampliación vista anteriormente, existe la reducción de figuras. Esta transformación consta de afectar una figura por un factor de reducción para disminuir las dimensiones de la imagen proporcionalmente de manera que se puedan mantener la forma y las propiedades de la imagen original.
Para su cálculo se deben dividir cada una de las medidas de la figura entre su factor de reducción.
Factor de reducción
El factor de reducción es un factor de escala que se utiliza para reducir la imagen en cada uno de sus lados en una determinada proporción. Muchas veces en los planos se emplean reducciones para expresar magnitudes como el tamaño de un edificio o el de un campo de fútbol, en estos casos se emplean escalas que indican a que proporción del tamaño real equivale cada una de las medidas del plano.
ROTACIÓN DE FIGURAS
La rotación de figuras es una transformación geométrica que consta de un giro de la figura sobre un determinado punto. El resultado de la transformación será una figura en el mismo lugar pero en diferente posición. El movimiento de la figura se da sobre un arco, y como todos los puntos lo hacen en igual proporción, la figura final no tendrá ningún cambio en la forma o en las propiedades.
Como puede observarse, la rotación de una figura no afectará su área o su forma. Simplemente es un cambio en la posición y orientación de la figura geométrica.
FIGURAS GEOMÉTRICAS Y EJES DE SIMETRÍA
Hay muchas figuras geométricas que tienen ejes de simetría. Estos ejes son líneas que dividen las figuras de tal forma que cualquiera de los puntos opuestos de las partes son equidistantes entre sí, lo que significa que son simétricos. Existen figuras que tienen incluso más de un eje de simetría. A continuación se observan algunos ejemplos:
¿Sabías qué?
El círculo es una figura geométrica con infinitos ejes de simetría.
Aplicaciones de la rotación
La rotación de figuras sobre ejes se utiliza para generar figuras en tres dimensiones. Por ejemplo, la rotación del triángulo isósceles sobre su propio eje genera un cono tridimensional. La rotación de un rectángulo da origen a un cilindro. A este tipo de cuerpos se los denomina sólidos de revolución.
¡A practicar!
1. Ampliar con un factor de multiplicación de 2 una circunferencia de 5 cm de radio. Calcular su área.
RESPUESTAS
El área será: A = π x r2 = 314 cm2
2. Reducir con un factor de 3 un triángulo rectángulo si sus catetos son de 6 cm cada uno. Calcular su área.
RESPUESTAS
El área será: A = C1 x C2 / 2 = 2 cm2
3. ¿Cuántos ejes de simetría tiene un rombo?
RESPUESTAS
Un rombo tiene dos ejes de simetría.
4. ¿Cuántos ejes de simetría tiene la figura?
RESPUESTAS
La figura no tiene ejes de simetría.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Simetrías”
En este artículo se explican los diferentes tipos simetrías, como la axial, y las diferentes transformaciones isométricas.
El plano, el punto y la recta son conceptos abstractos, lo que quiere decir que no se definen; sin embargo, son los pilares fundamentales de la geometría. Un segmento es un fragmento de recta que se encuentra delimitadas entre dos puntos. Todos estos sistemas pueden representarse en sistemas de coordenadas que tienen diferentes aplicaciones.
¿qué es un plano?
Un plano es un conjunto infinito de puntos y rectas expresado en dos dimensiones. Por lo tanto, no tiene volumen ya que es una superficie bidimensional.
¿Cuándo se puede definir un plano?
Para definir un plano se necesita de alguno de los siguientes elementos geométricos:
Tres puntos no alineados.
Una recta y un punto exterior a ella.
Dos rectas no coincidentes.
sistema de coordenadas
Un sistema de coordenadas es la utilización de dos ejes cartesianos coincidentes en un punto denominado origen (0;0). Esta representación sirve para poder ubicar un punto o representación geométrica. Los ejes se representan como X, al eje de las abscisas, y como Y, al eje de las ordenadas.
Este sistema de coordenadas es uno de los más usados hoy en día y fue inventado el el siglo XVII por el filósofo y matemático francés René Descartes. En este sistema se emplea un plano cartesiano que funciona como un mapa en el cuál cada punto está relacionado a las coordenadas determinadas por dos rectas numéricas perpendiculares denominadas ejes.
¿Sabías qué?
En la astronomía se utilizan los sistemas de coordenadas para expresar la ubicación de forma correcta de planetas y estrellas.
Para ubicar un punto en el sistema de coordenadas se debe especificar tanto la coordenada X como la Y. Un punto se representa con una letra mayúscula y presenta la siguiente estructura P(x;y). Para que se pueda ubicar en el sistema de coordenadas se utilizan los valores correspondientes a cada una de estas.
Los cuadrantes
En el sistema de coordenadas se puede hacer una distinción entre cuatro cuadrantes como se ve en la imagen. Ahí también se ven representados ambos ejes de coordenadas.
Los cuadrantes son utilizados comúnmente en la geometría para diferenciar la ubicación de diferentes ángulos:
El primer cuadrante estará comprendido entre 0º y 90º. Está formado por las cordenadas X positivas y las coordenadas Y positivas. Por ejemplo, el punto P(3;5) corresponde a este cuadrante.
El segundo cuadrante estará comprendido entre 90º y 180º. Está formado por las coordenadas X negativas y las coordenadas Y positivas. Por ejemplo, el punto F(−3;5) corresponde a este cuadrante.
El tercer cuadrante estará comprendido entre 180º y 270º. Está formado por las coordenadas X negativas y las coordenadas Y negativas. Por ejemplo, el punto H(−3;−5) corresponde a este cuadrante.
El cuarto cuadrante estará comprendido entre 270º y 360º. Está formado por las coordenadas X positivas y las coordenadas Y negativas. Por ejemplo, el punto M(3;−5) corresponde a este cuadrante.
Ejemplo de ubicación de puntos en el sistema de coordenadas
Ubicar en el sistema de coordenadas el punto P(3;5).
Para hacerlo se debe indicar primero cuál es el valor correspondiente a X y cuál es el valor correspondiente a Y:
X = 3, trazamos una línea vertical en el valor de 3 en el eje X.
Y = 5, trazamos una línea horizontal en el valor de 5 del eje Y.
La intersección de las dos rectas será el punto correspondiente.
La ubicación del punto P(3;5) se encuentra con la intersección de las rectas vertical y horizontal en los valores de X e Y correspondientes.
aplicación de los sistemas de coordenadas
Los sistemas de coordenadas tienen una gran cantidad de aplicaciones, no solo matemáticas. Estos se encuentran como representaciones de movimiento en física, como funciones de ingreso y egreso en contabilidad, o para representaciones de vida media en biología, entre otras cosas.
Funciones en sistemas de coordenadas
Una de las principales aplicaciones de los sistemas de coordenadas es la representación de funciones matemáticas. Estas son representaciones de Y en función de X. En la siguiente imagen, se muestran ejemplos de gráficas de funciones cuadráticas.
¡A practicar!
1. ¿A qué cuadrante corresponde cada uno de los siguientes puntos.
a) S(4;3)
Solución
Primer cuadrante.
b) T(1;−5)
Solución
Cuarto cuadrante.
c) D(−2;−8)
Solución
Tercer cuadrante.
d) R(−1;7)
Solución
Segundo cuadrante.
2. ¿Cuántas coordenadas se necesitan para representar un punto?
Solución
Dos
3. ¿Quién inventó el sistema de coordenadas?
Solución
René Descartes
4. ¿Cómo se denominan a los ejes de coordenadas cartesianas?
Solución
Eje X y eje Y.
5.Ubicar en el mismo sistema de coordenadas los siguientes puntos
a) A(−2;3) b) B(0;1) c) C(4;-2)
RESPUESTAS
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Ejes cartesianos”
En este artículo se explica de manera muy didáctica la forma de ubicar puntos en el sistema de coordenadas. Además hay un complemento teórico sobre los ejes cartesianos, así como también ejercicios para practicar.
El triángulo es una de las figuras geométricas más estudiadas en la geometría y, a pesar de su simplicidad, es muy usado en muchos cálculos para resolver diversos problemas. Este polígono de tres lados puede clasificarse en diferentes tipos según el criterio que se considere.
clasificación
Los triángulos son clasificados con respecto a sus lados en: equiláteros, isósceles y escalenos. Por otro lado, si se considera la medida de sus ángulos, pueden clasificarse en: acutángulos, rectángulos y obtusángulos.
Clasificación con respecto a los lados
Triángulo equilátero: tiene sus tres lados iguales.
Triángulo isósceles: tiene dos lados iguales.
Triángulo escaleno: tiene sus tres lados diferentes.
Clasificación con respecto a los ángulos
Triángulo acutángulo: tiene los tres ángulos agudos, es decir, menores a 90°.
Triángulo rectángulo: uno de sus ángulos es recto, es decir, mide 90°.
Triángulo obtusángulo: uno de sus ángulos es obtuso.
ángulos internos de un triángulo
Como vimos anteriormente, los ángulos internos tienen mucha importancia con respecto a la clasificación de los triángulos. Pero, además, existe una gran relación entre ellos: la suma de todos los ángulos internos de un triángulo es igual a 180º.
Suma de ángulos internos
Cada ángulo interno esta formado por dos lados que comparten un extremo en común, el vértice. La suma de estos ángulos internos de un triángulo siempre dará como resultado 180º, independientemente de qué tipo de triángulo sea.
¿Sabías qué?
El ángulo interno y externo de un triángulo son suplementarios; es decir, la suma de ellos es de 180º.
triángulos congruentes
Dos triángulos son congruentes si son isométricos entre sí. Esto quiere decir que tienen las mismas dimensiones, aunque no necesariamente la misma orientación.
Ejemplo de triángulos congruentes:
En la imagen anterior se observan dos triángulos con diferente posición y orientación. Sin embargo, son congruente porque sus dimensiones son las mismas y por lo tanto, son isométricos entre sí.
Los triángulos son unas de las figuras geométricas más estudiadas porque pueden formar otras más complejas. Los polígonos regulares, por ejemplo, pueden dividirse en tantos triángulos iguales como lados tengan. El hexágono es el único polígono regular en el que todos los triángulos que lo forman son equiláteros (tres lados iguales), el resto de polígonos regulares están formados por triángulos isósceles (dos lados iguales).
construcción de triángulos
Para la construcción de triángulos, la herramienta fundamental es el compás (aunque en algunos casos también puede usarse el transportador). Al conocer las distancias entre los puntos que conforman al triángulo se puede realizar su construcción.
¿Cómo construimos un triángulo?
Para construir un triángulo equilátero debemos seguir los siguientes pasos:
Paso 1.Dibujamos un segmento con la longitud deseada para cada uno de los lados del triángulo equilatero.
Paso 2. Con el compás apoyado en uno de los extremos, realizamos un arco con un radio igual al segmento .
Paso 3. Realizamos un arco de la misma longitud pero del lado opuesto para generar un punto de intersección.
Paso 4. Unimos con dos segmentos el extremo A y el punto de unión, y el extremo B y el mismo punto.
Paso 5. Borramos las lineas auxiliares realizadas por el compás y finalmente obtenemos el triángulo equilátero.
Todo triángulo tiene tres lados y tres ángulos. Para su construcción necesitamos conocer al menos tres de esos datos, con la salvedad de que uno de ellos sea un lado. De esta manera, se puede construir un triángulo si se conocen: tres lados; dos lados y el ángulo entre ellos; o un lado y sus dos ángulos contiguos.
¡A practicar!
1. Determina qué tipos de triángulo son los siguientes según sus lados.
a)
RESPUESTAS
Es un triángulo equilátero porque todos sus lados tienen la misma longitud.
b)
RESPUESTAS
Es un triángulo isósceles porque dos de sus lados son iguales.
c)
RESPUESTAS
Es un triángulo escaleno porque todos sus lados son diferentes.
2. ¿Cómo se denominan los triángulos que poseen un ángulo igual a 90°?
RESPUESTAS
Triángulos rectángulos.
3. ¿Qué tipo de triángulo posee todos sus ángulos menores a 90°?
RESPUESTAS
Los triángulos acutángulos.
4. Determina en cada caso si los triángulos son congruentes.
a)
RESPUESTAS
No son triángulos congruentes.
b)
RESPUESTAS
Son triángulos congruentes.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Triángulo”
En el siguiente artículo se profundiza el concepto de triángulo, se explica cómo denotarlos y se comentan sus propiedades principales.
Artículo “Determinación de rectas y puntos notables de los triángulos”
Este artículo, además de explicar las diferentes clasificaciones de los triángulos, hace hincapié en los diferentes puntos notables que tienen estas figuras y las características geométricas de los mismos.
La geometría es una rama de la matemática que estudia las formas de diferentes figuras como triángulos, cuadrados, y rectángulos, entre otras. Una parte de su estudio consta de la mediciones de áreas y perímetros. A continuación, trabajaremos sobre estos cálculos en algunas figuras geométricas.
cálculo de áreas en figuras geométricas
Las figuras geométricas comparten entre sí ciertas características que son de interés para la geometría. Entre esas características se encuentra el cálculo de áreas. El área es la extensión de la superficie de una figura, y para calcularla primero se debe saber ante qué tipo de figura nos encontramos. En esta sección, trabajaremos con rectángulos y triángulos.
Para calcular el área de un rectángulo se debe conocer su base y su altura. En la siguiente figura se muestran dichos valores.
El área se calculará entonces como la multiplicación de la longitud de sus lados:
Los rectángulos son un tipo de paralelogramo, es decir, cuadriláteros con sus lados opuestos paralelos dos a dos. Los rectángulos tienen la particularidad de que sus cuatro ángulos internos miden 90°. De esta forma, se puede afirmar que el cuadrado es un tipo de rectángulo que se diferencia del resto porque todos sus lados tienen la misma longitud.
Área de un triángulo:
Para calcular el área de un triángulo, debemos imaginarlo como la mitad de un rectángulo. En la siguiente figura se puede ver tal afirmación.
El área se calculará entonces como la multiplicación de la longitud de sus lados pero dividido por dos (porque hablamos de la mitad de un rectángulo):
Teorema de Pitágoras
Los triángulos rectángulos son aquellos que poseen un ángulo interno igual a 90º. Los catetos en este caso son la base (b) y la altura (h), y el lado de mayor longitud recibe el nombre de hipotenusa.
El teorema de Pitágoras dice que: “La hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los catetos al cuadrado“.
Si consideramos ambos catetos como C1 y C2, y la hipotenusa como H, el teorema de Pitágoras queda expresado de la siguiente manera:
Cálculo de área de un rectángulo
Se tiene una pieza de madera en forma de rectángulo que mide 1 metro de base y 3 metros de alto. ¿Cuál es el área de esta pieza?
La pieza tiene un área de 3 m2.
Cálculo de área de un triángulo
Se tiene un triángulo rectángulo de 2 centímetros de base y 4 centímetros de altura. ¿Cuál es su área?
El triángulo tiene un área de 4 cm2.
¿Sabías qué?
Según sus ángulos, los triángulos pueden clasificarse en agudos, rectángulos y obtusos.
unidades usadas para medir superficie o área
En los ejemplos anteriores, se observa que cuando se calcula un área el resultado tiene una unidad de longitud elevada al cuadrado. Las unidades sirven para poder expresar el tamaño de determinadas mediciones. En este caso, se trata del área de una figura geométrica.
Tipos de unidades
Las unidades más comunes para expresar áreas de figuras geométricas son los metros cuadrados (m2) y los centímetros cuadrados (cm2). Sin embargo, cualquier unidad de longitud puede ser utilizada para el cálculo de un área.
Existen otras unidades de área como la hectárea que equivale a la superficie de un cuadrado de 100 m en cada lado. Es decir, 1 hectárea equivale a 10.000 m2.
Ejemplo de cálculo de área con diferentes unidades
Se tiene el siguiente cuadrado (un rectángulo donde sus cuatro lados son iguales) con el valor de sus lados expresados en diferentes unidades.
El área del cuadrado se puede calcular de la siguiente manera:
Donde:
A = área.
L = longitud de uno de los lados del cuadrado.
De acuerdo al valor del número que se reemplace en la ecuación, el área será diferente numéricamente, pero las diferentes unidades de longitud permiten correlacionar todos los valores. De esta forma, representan al mismo valor de área pero con diferente unidad:
Área (m2) = (0,5 m)2 = 0,25 m2
Área (cm2) = (50 cm)2 = 2.500 cm2
Área (mm2)= (500 mm)2 = 250.000 mm2
Sin embargo, cualquiera de las tres opciones son el mismo resultado. Solo que con unidades diferentes. La diferencia es solo numérica.
Por lo tanto:
0,25 m2 = 2.500 cm2 = 250.000 mm2
cálculo de perímetro de figuras geométricas simples y compuestas
El cálculo del perímetro se realiza de modo similar al cálculo del área. El perímetro es el contorno de la figura, por lo tanto, para calcularlo se recurrirá simplemente a la suma de la longitud de sus lados.
Perímetro de figuras
A continuación, se mostrarán las fórmulas de cálculo de perímetro de triángulos, cuadrados y rectángulos.
Perímetro de un triángulo = cateto + cateto + hipotenusa
Perímetro de un cuadrado = lado + lado + lado + lado
Perímetro de un rectángulo = base + altura + base + altura
El cálculo del perímetro puede realizarse en figuras simples, como es el caso de los tres ejemplos anteriormente mencionados, o en figuras compuestas, cuando se combinan dos o más de estas figuras.
Ejemplo de cálculo de perímetro de una figura compuesta:
Para calcular el perímetro de la figura compuesta debe sumarse las longitudes de todo el contorno de esta. Por lo tanto:
El perímetro se calculará como la suma de los siguientes contornos:
2 lados del cuadrado de 45 cm
2 lados del rectángulo de 10 cm
1 lado del rectángulo de 45 cm
1 lado del triángulo de 45 cm
1 lado (la hipotenusa) del triángulo de 63,6 cm
Perímetro = (2 × 45 cm) + (2 × 10 cm) + 45 cm + 45 cm + 63,6 cm = 263,6 cm
Prestar atención a las unidades: en esta caso, como simplemente se calculó una longitud, la unidad del perímetro es en cm.
¡A practicar!
1. ¿Cuál es el área y el perímetro del siguiente triángulo?
RESPUESTAS
El área del triángulo es de 24 cm2.
El perímetro del triángulo es de 24 cm.
2. ¿Cuál es el área y el perímetro del siguiente rectángulo?
RESPUESTAS
El área del rectángulo es de 35 cm2.
El perímetro del rectángulo es de 24 cm.
3. ¿Cuál es el perímetro de la siguiente figura?
RESPUESTAS
3 lados del cuadrado de 7 cm
1 lado del rectángulo de 7 cm
1 lado del rectángulo de 6 cm
1 lado del triángulo de 5 cm
1 lado (la hipotenusa) del triángulo de 7,8 cm
El perímetro de la figura es de 46,8 cm.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Teorema de Pitágoras”
En este artículo se explica en qué consiste el teorema de Pitágoras, sus aplicaciones, y presenta distintos ejercicios.
La potenciación y la radicación son operaciones estrechamente relacionadas. Mientras que la primera es una multiplicación condensada de un número por sí mismo n cantidad de veces, la segunda busca ese número que multiplicado por sí mismo resulte en el radicando. Si bien sus propiedades ya se trataron en temas anteriores, aquí aprenderás otras aplicaciones de estos cálculos.
operaciones que simplifican
Tanto la potenciación como la radicación son operaciones útiles para mostrar números de manera más simple. Por ejemplo, dentro del conjunto de los números reales encontramos otros tipos de números que no son sencillos de representar, como los números irracionales, cuyas expresiones decimales son ilimitadas y no periódicas, por lo que es más fácil mostrarlo como una raíz:
Por su parte, la potencia nos ayuda a expresar números muy grandes o muy pequeños de manera resumida, pues la potencia no es más que una multiplicación abreviada.
La descomposición en factores primos y la notación científica son solo dos de los procesos que pueden verse involucrados con la potenciación y la radicación. Ambas operaciones son empleadas en múltiples cálculos cotidianos y en diversas áreas como la astronomía, la ingeniería o la biología.
Las bacterias son microorganismos que crecen con un ritmo acelerado. Este crecimiento suele expresarse en forma de potencia con exponente positivo y se grafica en forma de línea curva ascendente. Saber que tan rápida puede ser la reproducción de una bacteria puede prevenir focos de infección en un paciente y evitar que este sea una víctima mortal.
descomposición en factores primos
También conocida como descomposición factorial o factorización, consiste en escribir un número como producto de sus números primos. Cada vez que un factor se repita en la descomposición, este se convertirá en la base de una potencia y la cantidad de veces que se repita será el exponente.
– Ejemplo:
¿Qué es un número primo?
Un número primo es un número natural que tiene dos divisores positivos: al uno y a sí mismo. Esta tabla muestra los primero números primos en color azul.
¿Sabías qué?
Las factorización es un paso indispensable para calcular el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de un número.
Las raíces también se pueden obtener por medio de la descomposición del radicando en sus números primos.
– Ejemplo:
Halla la raíz cuadrada de 625 por descomposición de sus factores primos.
1. Descomponemos al número 625 en sus factores primos.
2. Expresamos la raíz cuadrada con producto de la descomposición.
3. Aplicamos la propiedad “raíz de un potencia”.
4. Escribimos el resultado.
– Otro ejemplo:
Halla la raíz cuadrada de 196 por descomposición de sus factores primos.
1. Descomponemos al número 196 en sus factores primos.
2. Expresamos la raíz cuadrada con su radicando igual al producto de su descomposición.
3. Aplicamos la propiedad “raíz de un producto”.
4. Aplicamos la propiedad “raíz de una potencia”.
5. Escribimos el resultado.
– Otro ejemplo:
Halla la raíz cúbica de 1.728 por descomposición de sus factores primos.
Descomponemos el número 1.728 en sus factores primos.
2. Expresamos la raíz cúbica con su radicando igual al producto de su descomposición.
3. Aplicamos la propiedad “raíz de un producto”.
4. Aplicamos la propiedad “raíz de una potencia”.
5. Escribimos el resultado.
Velocidad de un auto en un accidente
Cuando ocurre una accidente de tránsito, por lo general las llantas de los autos dejan una marca sobre el pavimento al frenar. Esta marca es de gran utilidad para los fiscales de tránsito, pues la raíz cuadrada del producto entre la aceleración y la longitud de la marca de frenado es igual a la velocidad del vehículo al momento del choque.
Donde:
a = aceleración
x = longitud de las marcas de frenado
NOTACIÓN CIENTÍFICA
La notación científica es la expresión de números a partir de potencias de base 10. De forma general se representan así:
a × 10n
Donde:
a: es el número entero o decimal que multiplica a la potencia de base 10. Su módulo debe tener un valor igual o mayor que 1 pero menor que 10.
n: es un número entero distinto de cero que corresponde al exponente de la potencia de base 10. Es conocido también como “orden de magnitud”.
Se escriben de la siguientes manera:
10−5 = 0,00001
10−4 = 0,0001
10−3 = 0,001
10−2 = 0,01
10−1 = 0,1
100 = 1
101 = 10
102 = 100
103 = 1.000
104 = 10.000
105 = 100.000
Signos del exponente
Cuando los números son muy pequeños o menores a 1 el exponente es negativo, mientras que si el número es muy grande o mayores a 1 el exponente es positivo.
Los exponentes positivos indican la cantidad de ceros que se encuentran a la derecha del número que multiplica la potencia. Por ejemplo, el número 2.000.000 representado en notación científica es 2 × 106 en donde el exponente 6 indica la cantidad de ceros que están después del dos.
Los exponentes negativos indican la cantidad de ceros a la izquierda del número que multiplica la potencia. Por ejemplo, el número 0,00000004 representado en notación científica es 4 × 10−8. En este caso el signo menos indica que hay 8 ceros delante del 4.
Nuestro planeta Tierra se encuentra en la galaxia espiral llamada Vía Láctea, la cual tiene unos 100.000 años luz de diámetro. Los científicos estiman que hay alrededor de 400.000.000.000 estrellas en esta galaxia. Estos número tan grandes podemos expresarlos por medio de notación científica como 1 × 105 años luz de diámetro y 4 × 1011 estrellas.
– Otros ejemplos:
3,2 × 10−3 = 0,0032
4 × 10−4 = 0,0004
1,05 × 106 = 1.050.000
6,78 × 10−1 = 0,678
9,43 × 102 = 943
¿Sabías qué?
En el caso de números muy grandes, lo primero que se debe hacer es mover la coma decimal a un número que esté comprendido entre 1 y 10. El número de espacios recorridos hasta dicho número corresponderá al exponente de la potencia de base 10.
8.956.000.000.000 = 8,956 × 1012
243.000 = 2,43 × 105
90.000 = 9 × 104
0,00000045 = 4,5 × 10−7
0,007 = 7 × 10−3
¡A practicar!
1. Expresa los siguientes números como producto de sus factores primos.
520
Solución
520 = 23 × 5 × 13
156
Solución
156 = 22 × 3 × 13
200
Solución
200 = 23 × 52
86
Solución
86 = 2 × 43
22
Solución
22 = 2 × 11
2. Calcula las siguientes raíces por descomposición de sus factores primos.
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
3. Calcula:
6 × 108
Solución
6 × 108 = 600.000.000
3 × 10−5
Solución
3 × 10−5 = 0,00003
1,26 × 10−6
Solución
1,26 × 10−6 = 0,00000126
1,78 × 105
Solución
1,78 × 105 = 178.000
2 × 104
Solución
2 × 104 = 20.000
RECURSOS PARA DOCENTES
Video “Notación científica”
Este recurso audiovisual le permitirá poner en práctica lo aprendido sobre la notación científica.
La potencia es una operación matemática de multiplicación condensada formada por una base y un exponente. El resultado se obtiene al multiplicar por sí misma la base la cantidad de veces que lo señale el exponente, el cual es un número entero positivo o negativo. Cuando una potencia está elevada a la 2 o a la 3 se lee “elevado al cuadrado” y “elevado al cubo” respectivamente.
La potencia de base 10 es usada en la notación científica: método en el que expresamos números muy grandes, como la cantidad de estrellas de la galaxia; o cantidades muy pequeñas, como el tamaño de una bacteria.
radicales
La operación opuesta a la potenciación es la radicación, en esta se hallan las raíces de orden n de un determinado número. Cuando el radicando es un cuadrado perfecto decimos que la raíz es exacta, en cambio, si el radicando no es un cuadrado perfecto, la raíz es inexacta. Cuando el índice es 2 y 3 las raíces son llamadas “raíz cuadrada” y “raíz cúbica” respectivamente.
Los elementos de la radicación son el índice, el radicando y la raíz. Cuando el radicando es negativo, el índice debe ser impar para que el resultado (raíz) pertenezca a los números reales.
propiedades de la potencia
Las propiedades de la potencia pueden aplicarse siempre y cuando esta operación esté combinada con la multiplicación o la división, nunca con la suma o la resta. Cuando hay sumas y restas cada propiedad se aplica a cada término por separado. Algunas de estas propiedades son: producto de potencia de igual base, cociente de potencia de igual base, potencia de potencia, producto de potencias con bases diferentes y exponentes iguales, cociente de potencias con bases diferentes y exponentes iguales, y exponente negativo.
El exponente negativo en una potencia de base 10 nos indica que el número es muy pequeño y que debemos colocar tantos ceros a la izquierda del número como indique este exponente. Por ejemplo, una mitocondria tiene una longitud aproximada de 8 × 10−6 metros.
propiedades de las raíces
Las propiedades de la radicación tienen gran similitud con las de la potenciación. Algunas de ellas son producto y cociente de radicales de igual índice, potencia de un radical y raíz de raíces. Estas son parte fundamental de la representación de números irracionales. Los radicales se suman o restan siempre y cuando estos sean semejantes, es decir, que tengan el mismo índice y el mismo radicando.
Las propiedades de la radicación también pueden expresarse de forma combinada para la resolución de ejercicios matemáticos más complejos.
aplicación de la potencia y la radicación
La potenciación y la radicación nos ayudan a ver números irracionales o muy grandes de manera sencilla. Algunos procedimientos útiles para esta tarea son la descomposición en factores primos y la notación científica. Cuando factorizamos un número lo expresamos como producto de sus números primos; y cuando usamos la notación científica resumimos un número que puede ser muy grande o muy pequeño por medio de la potencia de base 10.
Los números primos son aquellos que solo tienen dos divisores: el 1 y él mismo. Al descomponer un número hacemos uso de ellos, por ejemplo, 12 = 22 × 3.
La radicación consiste en la obtención de un número que se ha multiplicado por sí mismo n cantidad de veces bajo el operador de la raíz, por eso también se conoce como “raíz enésima de un número”. De este modo, también podemos decir que la radicación es la operación inversa a la potenciación y, al igual que esta última, presenta propiedades importantes que aprenderás a continuación.
El origen del símbolo radical es incierto. Algunos autores coinciden en que provino de los árabes, mientras que otros afirman que fue introducido en siglo XVI por Christoph Rudolff, cuyo uso es evidenciado en su libro Coss. Muchos otros asocian el origen del signo de la raíz con la letra r, de la palabra latina radix que significa “raíz”.
¿Qué es la radicación?
Es una operación que consiste en hallar números que multiplicados por sí mismos tantas veces como indica el índice de la raíz den como resultado al radicando. Puede verse como la operación inversa a la potenciación.
– Ejemplo:
Elementos de una raíz
Toda raíz cuenta con tres elementos:
Índice (n): orden de la raíz que se aplica al radicando. Indica cuántas veces multiplicamos un número por sí mismo para obtener el radicando.
Radicando (a): número sometido a la raíz del orden determinado por el índice.
Raíz (b): resultado de la radicación, el cual elevado al orden de la raíz da como resultado el radicando.
principales propiedades de la radicación
Las propiedades de la radicación tienen una gran cantidad de aplicaciones y, del mismo modo que en la potenciación, no se deben aplicar las propiedades a las operaciones de suma y resta, sino solo a las de multiplicación y división.
Propiedades de la radicación
Raíz de cero
Raíz de la unidad
Raíz de un producto
Raíz de un cociente
Potencia de una raíz
Raíz de una raíz
¿Sabías qué?
La mayoría de los números irracionales pueden ser expresados a partir de una raíz, por ejemplo, o .
raíz cuadrada de números negativos
La raíz cuadrada de números negativos no tiene solución dentro de los números reales () porque no existe un número (positivo o negativo) que al ser multiplicado por sí mismo resulte en otro negativo. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 4 es igual a 2 porque 22 es igual a 4.
Pero esta raíz también tiene otra solución negativa:
Recuerda que la regla de los signos indica que al multiplicar símbolos iguales el resultado es positivo.
Ahora, ¿cuál será la raíz cuadrada de −4?
La raíz cuadrada de −4 no existe en los números reales porque no hay un número que al multiplicarse por sí mismo resulte en −4.
Sin embargo, esto no significa que no tenga solución posible, sino que pertenece a otro grupo numérico: los números complejos. Los números complejos incluyen una parte imaginaria que sirve para obtener resultados que no pertenecen a los reales.
Soluciones de una raíz
Siempre que el radicando sea negativo, la raíz tendrá solución real solo si el índice es impar, en cambio, si el índice es par, el resultado pertenecerá a los números imaginarios. Esto se debe a la regla de los signos, pues si multiplicamos por sí mismo un número negativo una cantidad de veces par (2, 4, 6, 8,…) el resultado será igualmente positivo.
aplicación de las propiedades de la radicación
Raíz de cero
Toda raíz cuyo radicando sea cero es igual a cero, siempre y cuando su índice sea diferente de dicho número.
– Ejemplo:
Raíz de la unidad
La raíz de la unidad es igual a uno.
– Ejemplo:
Raíz de un producto
La raíz de un producto es igual al producto de las raíces de los factores.
– Ejemplo:
Raíz de un cociente
La raíz de un cociente es igual al cociente de las raíces del dividendo y del divisor.
– Ejemplo:
Potencia de una raíz
La potencia de una raíz es igual a la misma raíz con el radicando elevado a dicha potencia.
– Ejemplo:
¡Existe otro método!
La potencia de una raíz es igual al radicando elevado al cociente de las potencias.
Raíz de una raíz
La raíz de una raíz es igual otra raíz con el mismo radicando y cuyo índice es igual al producto de los índices.
– Ejemplo:
Números irracionales
Existen números que no se pueden expresar como el cociente de dos enteros. Estos reciben el nombre de número irracionales y las raíces son un ejemplo de ellos. Uno de los números irracionales más famosos es el número pi (π). A lo largo de la historia el valor de pi ha tenido distintas aproximaciones y se lo usa, entre otras cosas, para el cálculo de superficies y volúmenes de circunferencias y esferas.
Suma y resta de radicales
Podemos sumar y restar radicales siempre y cuando estos sean semejantes, es decir, que tengan el mismo índice y el mismo radicando. Cuando esto sucede, solo sumamos o restamos los coeficientes y mantenemos el radical igual.
– Ejemplo:
¡A practicar!
Resuelve estas raíces y aplica las propiedades.
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Los números irracionales”
En el artículo podrá encontrar los números irracionales más conocidos y su representación en la recta numérica. Es un buen complemento para afianzar la importancia de la radicación y experimentar sus aplicaciones.
