CAPÍTULO 3 / TEMA 4

EL PORCENTAJE

En nuestra vida diaria es frecuente escuchar expresiones relacionadas con porcentajes como “la población creció un 20 %” o “hay un 50 % de descuento en ropa”. El porcentaje se utiliza para representar una porción de algo y se encuentra muy relacionado con los números decimales y los fraccionarios.

RELACIÓN DEL PORCENTAJE CON LAS FRACCIONES Y LOS DECIMALES

Para poder realizar el cálculo del porcentaje primero hay que saber que este representa a una fracción decimal cuyo denominador es 100, equivalente al 100 % del número entero, y el numerador es una porción de este. Analicemos el siguiente ejemplo: según la Organización Mundial de la Salud (OMS), el 80 % de las personas que se contagian con el SARS-CoV-2 y desarrollan COVID‑19 se recuperan de la enfermedad sin necesidad de tratamiento hospitalario.

El porcentaje quiere decir que de cada 100 personas que contraen coronavirus, 80 personas se recuperan sin tener que ser hospitalizadas. Por lo tanto, el numerador de la fracción representa la porción de la población que se recupera y el denominador será la población total del estudio. En esta relación de porcentajes y fracciones también es posible aplicar el método de simplificación.

Con el resultado anterior concluimos que 8 de cada 10 personas contagiadas se recuperan sin necesidad de ser hospitalizadas.

Veamos otro ejemplo. La OMS dice que aproximadamente 1 de cada 5 personas que contraen la COVID‑19 presentan un cuadro grave y experimenta dificultades para respirar. Esto quiere decir:

Entonces, quiere decir que aproximadamente el 20 % de la población que se contagia con la enfermedad presenta un cuadro grave.

Asimismo, los porcentajes pueden ser convertidos en forma de números decimales al dividirse entre el 100 %, que representa al total. Y por el contrario, para convertir un número decimal a porcentaje basta con multiplicarlo por 100 %. En este sentido, los dos ejemplos anteriores se pueden expresar en forma decimal de la siguiente manera:

Porcentaje	Fracción	Número decimal
$80\: %$	$\frac{80}{100}$	$0,8$

Fracción	Número decimal	Porcentaje
$\frac{1}{5}$	$0,2$	$0,2\times 100 = 20 \: %$

Los porcentajes son muy utilizados en diferentes campos, debido a que estos equivalen a una porción de un todo. Pueden ser representados en gráficos, lo que ayuda a una mejor comprensión y a un análisis más rápido de los datos. Por otra parte, los porcentajes se pueden representar en números decimales o en números fraccionarios.

CÁLCULO DE PORCENTAJE

Existen ocasiones en nuestro día a día en los que se requiere calcular el porcentaje de un total o viceversa. También hay veces que queremos conocer qué cantidad del total representa el porcentaje. En ese caso, se emplea el siguiente método:

Covertir un porcentaje a la porción que representa

Tomemos el siguiente ejemplo: un jugador de baloncesto durante toda la temporada realizó 120 lanzamientos y falló el 25 % de sus tiros. Se quiere saber cuántos lanzamientos falló durante la temporada.

Para conocer la cantidad que representa un porcentaje respecto a un total, lo primero que debemos hacer es convertir el porcentaje a una fracción decimal y luego se multiplica por el total que, en este caso, son los 120 lanzamientos que realizó el jugador.

Al transformar el porcentaje en una fracción decimal se obtiene el siguiente resultado:

$25\, % =\frac{25}{100} = \frac{5}{20}= \frac{1}{4}$

Luego multiplicamos esa fracción por la cantidad de lanzamientos que realizó el jugador.

$\frac{1}{4}\times 120=\frac{1}{4}\times \frac{120}{1}= \frac{120}{4}=30$

Esto quiere decir que, de los 120 lanzamientos que realizó el jugador, falló en 30 de sus lanzamientos, es decir, el 25 %.

Los porcentajes son muy empleados por los empresarios o dueños de tiendas como estrategia para generar mayores ventas y mejorar sus ingresos. Al ofrecer porcentajes de descuentos en sus productos, el índice de ventas aumenta y conlleva a un crecimiento de sus ingresos. Por otro lado, también pueden aplicar porcentajes de recargo como sucede en las compras con tarjetas de crédito.

Uso de la regla de tres

Cuando se trabaja con porcentajes, las cantidades son directamente proporcionales, por lo tanto, estos pueden ser calculados mediante el uso de la regla de tres simple. En estos casos, si una cantidad aumenta, la otra también, y en el caso de que una disminuya, la otra también lo hace. Por lo tanto, es una regla de tres directa.

Para emplear este método veamos el siguiente ejemplo: en un salón de clases hay 40 alumnos. El 30 % de ellos aprobó el examen con A, el 50 % aprobó con B y el resto obtuvo una C. ¿Cuántos alumnos obtuvieron A, B y C?

Si en el salón hay 40 alumnos, entonces ellos representan el 100 %. Entonces planteamos las reglas de la siguiente manera:

El 30 % de lo alumno obtuvieron A:

$100\: %\rightarrow 40$

$30\: % \rightarrow x$

$x=\frac{30\: % \times 40}{100\: %}$

$\boldsymbol{x=12}$

El 50 % de los alumnos obtuvieron B:

$100\: %\rightarrow 40$

$50\: %\rightarrow x$

$x=\frac{50\: %\times 40}{100\: %}$

$\boldsymbol{x=20}$

El 20 % de los alumnos obtuvieron C:

$100\: %\rightarrow 40$

$20\: %\rightarrow x$

$x=\frac{20\: %\times 40}{100\: %}$

$\boldsymbol{x=8}$

Entonces, se concluye que los 12 alumnos con A representan el 30 %, los 20 alumnos con B equivalen al 50 % y 8 de ellos obtuvieron C, el equivalente al 20 %.

¿Sabías qué?

Se tienen registros que señalan que el porcentaje se ha usado desde el siglo XV.

APLICACIÓN DEL PORCENTAJE EN EL COMERCIO

El porcentaje es muy utilizado de diferentes formas en el comercio, por ejemplo, para realizar descuentos o recargos a las compras.

Descuentos

Cuando se habla de descuento, quiere decir que a la cantidad total que se va a pagar hay que restarle el porcentaje. Por lo tanto, la cantidad que se obtiene como resultado es menor que la cantidad dada. Por ejemplo:

Una tienda de bicicletas eléctricas vende uno de sus modelos en 2.500 $ con un descuento de 30 % si se paga con tarjeta de crédito. ¿Cuánto será el costo de la bicicleta si se paga con tarjeta de crédito?

Para realizar este ejercicio utilizaremos el primer método visto anteriormente.

Se convierte el porcentaje en fracción.

$30\, %=\frac{30}{100}=\frac{3}{10}$

Se multiplica por el costo de la bicicleta.

$\frac{3}{10}\times 2.500 = \frac{7.500}{10}= 750$

Se resta el porcentaje de descuento (750 $) al total del costo de la bicicleta.

$2.500 -750= 1.750$

El costo de la bicicleta con descuento, por el pago con tarjeta de crédito, será de 1.750 $. Observa que, como era de esperarse, la cantidad con el descuento es menor que el precio inicial.

La estadística es una rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de individuos o acontecimientos a través de la recolección y organización de datos. Esta emplea procedimientos que permiten obtener resultados de manera gráfica para la elaboración de conclusiones. En este sentido, la estadística se vuelve una herramienta muy útil para muchas ciencias y actividades humanas, como la sociología, la psicología, la geografía, y la economía.

Recargos

Otro de los usos que se le puede dar al porcentaje es para realizar recargos. Esto se ve mucho cuando se quiere realizar compras de artículos y no se tiene el monto total del mismo. El monto es divido en varias cuotas mas pequeñas, pero al final el costo total aumenta.

Imaginemos que se desea comprar un auto de 350.000 $ y el concesionario permite pagarlo en 12 cuotas con un recargo del 8 % sobre su costo. ¿Cuánto será el costo real del auto?

Para este ejercicio aplicaremos el segundo método visto: la regla de tres simple. Así que el 8 % de aumento por las 12 cuotas se plantea de la siguiente forma:

$100\: %\rightarrow \$ \: 350.000$

$8\: %\rightarrow x$

$x=\frac{8\: %\times \$ \: 350.000}{100\: %}$

$\boldsymbol{x= \$ \: 28.000}$

Luego, al tener el 8 % de aumento, se le suma al costo del auto 28.000 $ de aumento. Eso da un total de 378.000 $. Este es el costo del auto si se paga en 12 cuotas. Como era de esperarse, el costo del auto con recargo es mayor que el costo inicial.

¡A practicar!

1. ¿Cuánto es el 38 % de 12.583?

RESPUESTAS

El 38 % de 12.583 es 4.781,54.

2. El costo de unos zapatos para jugar al fútbol tienen un valor de 130 $. Si se pagan en efectivo se realiza un descuento del 23 %. ¿Cuánto se ahorra si se pagan en efectivo?

RESPUESTAS

Se ahorrarían 29,90 $.

3. Si se realiza un viaje en auto con un motor usado se consumen 56 litros de gasolina. Si con un motor nuevo se ahorra 26 % de gasolina, ¿cuántos litros de gasolina ahorra el motor nuevo?

RESPUESTAS

El motor nuevo ahorra 14,56 litros de gasolina.

4. Desde el 2010 hasta el 2018, 7.954 personas han intentado subir al Monte Everest. Durante esa travesía, 72 personas no pudieron completar el viaje. ¿Cuánto fue el porcentaje de personas que no pudieron completar el viaje?

RESPUESTAS

El porcentaje de personas que no pudieron completar el viaje fue del 0,9 %.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Porcentajes”

Este artículo permite analizar diferentes ejercicios en los que se aplican los porcentajes.

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Tarjeta Educativa “Porcentaje”

Esta tarjeta educativa sirve para resumir los aspectos básicos del porcentaje como sus aplicaciones, características y ejemplos.

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Artículo “Regla de tres”

Este artículo permite entender qué es una regla de tres, sus tipos y cómo resolverla.

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CAPÍTULO 3 / TEMA 3

FRACCIONES Y DECIMALES

Algunos números decimales pueden ser representados a través de fracciones, por esta razón se dice que los números decimales y las fracciones se encuentran relacionados. Los números decimales que se pueden representar a través de fracciones se denominan racionales y de acuerdo a su tipo se realiza la conversión.

Los números fraccionarios están formados por el numerador y el denominador que se encuentran divididos por una raya horizontal. Por otro lado, los números decimales están formados por una parte entera y una parte decimal separadas por una coma. En el caso de números racionales es posible representar la misma cantidad en fracción o decimal.

LOS NÚMEROS DECIMALES

Los números decimales son aquellos que están formados por una parte entera y una parte decimal. Estos están separados por una coma o un punto. Estos números son otra forma de escribir el resultado de las fracciones. Ambas expresiones representan cualquier número no entero (aunque las fracciones pueden representar cantidades enteras en el caso de las fracciones aparentes).

En este sentido, las fracciones se pueden expresar en forma de números decimales, para lo cual se debe realizar la división de la fracción, es decir, numerador entre denominador. Por ejemplo, al dividir el numerador entre el denominador de la fracción 5/4 se obtiene 1,25, que corresponde a la misma cantidad.

Convertir una fracción a número decimal

Solo existe un método para convertir una fracción a número decimal y se realiza a través de la división. Si divides el numerador entre el denominador por lo general obtienes un número decimal. Siempre y cuando no sea una fracción aparente, en la que el resultado es un número entero (como en el caso de 4/2 = 2).

Algunos ejemplos de conversión de fracciones a decimales son los siguientes:

$\frac{9}{8}=1,125$

$\frac{3}{14}=0,214$

$\frac{26}{63}= 0,4127$

Convertir un número decimal a fracción

Existen diferentes procedimientos para convertir números decimales a fracciones. Estos pasos dependen del tipo de número que se va a transformar.

Tipos de números decimales

Los números decimales pueden ser racionales o irracionales. Los racionales pueden representarse en forma de fracción y los irracionales no. Los números racionales se clasifican en decimales exactos y decimales periódicos.

Decimales exactos: son aquellos números que tiene una parte limitada o finita de cifras decimales. Los decimales finitos representan a las fracciones decimales. Por ejemplo: 2,38; 4,681; 68,98135; 9647,3543.

Decimales periódicos: son aquellos en los que toda la parte decimal o una porción de esta sigue un patrón infinito de números denominado período y se denota en forma de arco en la parte superior del mismo.

Se pueden distinguir dos tipos de decimales periódicos:

Números decimales periódicos puros

Estos números decimales tienen la parte decimal periódica inmediatamente después de la coma. La parte periódica se suele señalar usualmente con una línea horizontal o arco en la parte superior del mismo. Por ejemplo: 2,3333… = $\inline 2,\widehat{33}$ .

Números decimales periódicos mixtos

Estos números decimales poseen dos partes decimales: una parte no periódica, denominada anteperíodo, y la otra parte es la periódica, que se denota con el arco superior. Por ejemplo: 2,147151515… = $\inline 2,147\widehat{15}$ .

¿Sabías qué?

Al dividir la longitud de una circunferencia entre su diámetro se obtiene un número irracional denominado número pi.

Convertir un número decimal exacto a fracción

Para transformar un número decimal exacto a una fracción decimal se debe escribir el decimal dividido por 1. Luego hay que multiplicar tanto el numerador como el denominador por una potencia de base diez (10, 100, 1.000, etc.) que tenga tantos ceros como cifras decimales tenga el número. Si la fracción que se obtiene no es irreducible, entonces se debe simplificar para obtener el resultado

Por ejemplo:

Otro ejemplo sería:

Al igual que las demás clases de números, los decimales y los fraccionarios pueden ubicarse en la recta numérica. Estos se encuentran entre dos números enteros, por lo tanto, permiten realizar e indicar mediciones mucho más precisas. Un ejemplo de esto son las llaves mecánicas, las cuales tienen medidas fraccionarias en pulgadas y decimales en milímetros.

Convertir un decimal periódico puro a fracción

Para convertir un decimal periódico puro a fracción es necesario aplicar los siguientes pasos:

1. Se coloca en el numerador una resta entre el número formado por la parte entera y la parte periódica sin la coma, y la parte entera. Observemos el siguiente ejemplo en el que se desea convertir en fracción el número $\inline 7,\widehat{66}$ .

2. Se coloca en el denominador un número formado por tantos 9 según la cantidad de cifras en el período, es decir, si hay un número bajo la línea periódica se coloca un solo 9, si hay dos números bajo el período se coloca 99 y así sucesivamente.

3. Se realizan las operaciones matemáticas necesarias para conseguir la fracción. Se simplifica si es necesario.

$7,\widehat{66}=\frac{766-7}{99}=\boldsymbol{\frac{759}{99}}$

Veamos otro ejemplo en el cual se aplicaron los mismos pasos:

$92,\widehat{35}=\frac{9235-92}{99}=\boldsymbol{\frac{9.143}{99}}$

Convertir un decimal periódico mixto a fracción.

Para llevar un número decimal mixto a fracción, seguimos los siguientes pasos:

1. Se coloca en el numerador una resta formada por el número completo sin la coma menos la parte entera y el anteperíodo. Observemos el siguiente ejemplo: $\inline 58,3\widehat{7}$ .

2. Se coloca el denominador de la fracción que será un número formado por tantos 9 como cifras tenga el período y tantos 0 como cifras tenga el anteperíodo.

Por último, se realizan los cálculos necesarios para conseguir la fracción y se simplifica si la misma lo requiere.

$58,3\widehat{7}=\frac{5837-583}{90}=\frac{5.254}{90}=\boldsymbol{\frac{2.627}{45}}$

Veamos otro ejemplo con el mismo procedimiento:

$64,12\widehat{91}=\frac{641291-6412}{9900}=\boldsymbol{\frac{634.879}{9.900}}$

Los números irracionales

Este tipo de números decimales no pueden ser convertidos en fracciones, debido a que tienen cifras decimales infinitas que no pueden ser definidas como un patrón. Por lo tanto, crear una fracción de estos números sería infinita. Podemos mencionar como ejemplos de estos números al número pi = 3,1416… o al resultado de $\sqrt{7}=2,6457512110...$

VER INFOGRAFÍA

La estadística es una de las ramas de la matemática que emplea el uso de los números fraccionarios y decimales para realizar el estudio de muestras y poblaciones. Por tal motivo, tener conocimientos sobre cómo convertir un número fraccionario a decimal, y viceversa, puede ser muy útil en diversos campos.

Operaciones entre fracciones y decimales

Los números decimales y las fracciones se pueden sumar, restar, dividir, y multiplicar, entre otras operaciones, siempre y cuando se apliquen los métodos anteriormente vistos, como convertir un número decimal a fracción o una fracción a número decimal. Es importante tener presente que para resolver estos ejercicios debemos convertir todos los números a decimales o todos los números a fracciones.

– Primer método: convertir la fracción en un número decimal. Esto se realiza al dividir el numerador entre el denominador.

Ejemplo:

$45,18 + \frac{38}{17}= 45,18 + 2,2353 = 47,4153$

– Segundo método: convertir el número decimal en una fracción. En este caso, se utiliza la conversión del número decimal a fracción. En el ejemplo anterior, se puede notar que el número decimal es exacto, por lo tanto, se utiliza la conversión de número decimal exacto a fracción.

$45,18+\frac{38}{17}=\frac{4.518}{100}+\frac{38}{17}=\frac{2.259}{50}+ \frac{38}{17}=\frac{2.259\times 17+50\times38}{50\times 17}= \frac{38.403+1.900}{850}=$

$\boldsymbol{=\frac{40.303}{850}}$

En ambos casos se obtuvo el mismo resultado expresado de una forma diferente $\frac{40.303}{850}=47,4153$

Estos pasos previos se utilizan para realizar los otros cálculos matemáticos como la división, la multiplicación, las potencias, las raíces y las operaciones combinadas.

¡A practicar!

1. Convierte los siguientes números a decimales:

a) $\frac{15}{12}$

RESPUESTAS

$\frac{15}{12}=1,25$

b) $\frac{28}{15}$

RESPUESTAS

$\frac{28}{15}= 1,8\widehat{6}$

2. Convierte los siguientes números a fracciones:

a) $42,56\widehat{3}$

RESPUESTAS

$42,56\widehat{3}=\frac{42.563-4.256}{900}=\frac{38.307}{900}$

b) $938,\widehat{7}$

RESPUESTAS

$938,\widehat{7}=\frac{9.387-938}{9}=\frac{8.449}{9}$

c) $456,328$

RESPUESTAS

$456,328=\frac{456.328}{1.000}=\frac{228.164}{500}=\frac{114.082}{250}=\frac{57.041}{125}$

3. Resuelve las siguientes operaciones:

a) $726,328+\frac{15}{6}$

RESPUESTAS

$726,328+\frac{15}{6}=\frac{726.328}{1.000}+\frac{15}{6}=\frac{90.791}{125}+\frac{15}{6}= 728,828$

b) $415,14-\frac{425}{3}$

RESPUESTAS

$415,14-\frac{425}{3}=415,14-141,66=273,48$

c) $26,31\times\frac{18}{23}$

RESPUESTAS

$26,31\times\frac{18}{23}=\frac{2.631}{100}\times\frac{18}{23}= \frac{47.358}{2.300}=\frac{23.679}{1.150}$

d) $92,78 :\frac{87}{17}$

RESPUESTAS

$92,78 :\frac{87}{17}=\frac{9.278}{100}:\frac{87}{17}=\frac{4.639}{50}:\frac{87}{17}=\frac{\frac{4.639}{50}}{\frac{87}{17}}=\frac{78.863}{4.350}$

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Resolución de cálculos combinados con paréntesis, corchetes y llaves”

Este artículo explica cómo resolver operaciones matemáticas con fracciones y decimales que incluyen paréntesis, corchetes y llaves.

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Artículo “Cómo realizar ejercicios combinados con fracciones”

El siguiente artículo destacado se enfoca en los pasos a seguir para resolver cálculos de operaciones combinadas con fracciones.

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CAPÍTULO 3 / TEMA 2

Multiplicación y división de fracciones

Las fracciones son números, por lo tanto, podemos realizar operaciones aritméticas básicas con ellas. Para multiplicar fracciones se debe realizar una multiplicación lineal de todos los numeradores y denominadores. Por otro lado, la división de estos números se puede realizar a través de varios procedimientos.

Diferentes métodos para la resolución de problemas

Una de las maravillas de las matemáticas es que generalmente para resolver un problema existen varios caminos que conducen al mismo resultado. Las operaciones con fracciones son un ejemplo, especialmente al momento de dividirlas se suelen aplicar varios métodos.

Multiplicación de fracciones

La multiplicación es una de las operaciones con fracciones mas sencillas. Para resolverla se deben multiplicar de forma lineal sus factores, es decir, numerador por numerador y denominador por denominador. En el caso de multiplicar más de dos fracciones el procedimiento es el mismo.

Por ejemplo:

a) $\frac{2}{9}\times \frac{5}{9}= \frac{2\times 5}{9\times 9}=\frac{10}{81}$

b) $\frac{5}{7}\times \frac{4}{3}= \frac{5\times 4}{7\times 3}=\frac{20}{21}$

En la multiplicación de fracciones no importa si son homogéneas o heterogéneas, el procedimiento siempre es el mismo. En los ejemplos anteriores observamos la resolución de fracciones de estos dos tipos.

Los criterios de divisibilidad son muy importantes a la hora de aplicar el método de simplificación o reducción de fracciones. Estos criterios permiten resolver las fracciones con mayor rapidez. Del mismo modo, se pueden aplicar a una o más fracciones siempre y cuando estas se multipliquen entre sí.

Simplificación de fracciones

Cuando se hace una multiplicación o división de fracciones, es necesario conocer cómo simplificarlas. Esto ahorra tiempo al momento de resolver el ejercicio y permite expresar cantidades de manera más sencilla. Para realizar una simplificación debemos tener presente los criterios de divisibilidad. A continuación, puedes ver algunos criterios:

Ahora, mira el siguiente ejemplo:

$\frac{48}{16}=$

Al comparar la fracción con la tabla anterior, se puede observar que tanto el numerador como el denominador son divisibles entre 2. Por lo tanto, se puede simplificar la fracción:

La fracción que se obtuvo se puede simplificar también:

Esta fracción se pudo convertir en un número entero porque se trata de una fracción aparente, pero en otros casos la simplificación de una fracción es otra con numerador y denominador menores que los de la fracción original. También debemos considerar que hay fracciones irreducibles, lo que quiere decir que no se pueden simplificar.

Simplificación de fracciones en multiplicaciones

En los casos de multiplicaciones se pueden realizar simplificaciones de términos pertenecientes a diferentes fracciones. Para ello, se realiza el mismo procedimiento explicado y se consideran de igual forma los criterios de divisibilidad.

Por ejemplo:

$\frac{26}{15}\times \frac{13}{18}=$

Como se puede observar, las dos fracciones, si se evalúan de forma separada, son irreducibles. Sin embargo, esta multiplicación se puede simplificar porque el numerador de la primera fracción y el denominador de la segunda son divisibles entre 2. Por lo tanto, al aplicar la simplificación queda de la siguiente manera:

Ahora sí se puede aplicar la multiplicación de fracciones con números más pequeños, ya que no tenemos ninguna posibilidad de simplificar.

Se debe simplificar el resultado si es necesario. En este caso, la fracción ya es irreducible.

En la multiplicación de tres o más fracciones se sigue el mismo procedimiento: simplificar, multiplicar todos los numeradores para obtener el numerador del resultado y luego se hace lo mismo con los denominadores para obtener el denominador del resultado.

División de fracciones

Para realizar la división de fracciones existen varios métodos.

Primer método

Se gira la segunda fracción, con el propósito de invertir de posición el numerador y el denominador y se aplica el método de multiplicación de fracciones.

Por ejemplo:

Se hace el cambio de la segunda fracción y el signo de división por multiplicación.

Luego se resuelve la multiplicación resultante.

Segundo método

Otra forma de realizar la división de fracciones es multiplicar en forma cruzada, de la siguiente forma:

Al igual que con las multiplicaciones, se debe revisar si el resultado es una fracción irreducible. Si no lo es, se procede a simplificar.

Tercer método

Otro método aplicado en la división de fracciones es la doble c. En este procedimiento, la segunda fracción se coloca debajo de la primera de la siguiente manera:Luego se procede a multiplicar los extremos de la fracción y el resultado de esa multiplicación se coloca como numerador. Luego se multiplican los números internos y el resultado de esta última multiplicación se coloca como denominador.Al igual que en los métodos anteriores, debemos asegurarnos que el resultado sea una fracción irreducible. Si no lo es, debemos aplicar la simplificación hasta obtenerla.

¿Sabías qué?

La multiplicación de fracciones cumple con las propiedades conmutativa y asociativa. Por otro lado, la división de fracciones no cumple con las propiedades asociativa ni distributiva.

VER INFOGRAFÍA

Multiplicación y división de fracciones con números enteros

El procedimiento para la multiplicación o división de fracciones con números enteros es muy sencillo. Para ello, es necesario representar primero al entero en forma de fracción y luego se resuelve la operación a través de los procedimientos explicados anteriormente.

Para expresar un entero en forma de fracción se debe colocar a la unidad como su denominador. Esto se hace ya que el número (1) como denominador no modifica el entero existente, porque todo número divido entre (1) es el mismo número.

Por ejemplo:

$\frac{5}{16}\times 18 =$

$\frac{5}{16}\times \frac{18}{{\mathbf{\color{Cyan} 1}}} =$
Ahora se procede a aplicar el método de la multiplicación como se explicó anteriormente. Numerador por numerador y denominador por denominador.Recuerda simplificar el resultado de la fracción.Este paso previo para convertir un número entero en fracción, también se aplica para la división de fracciones.

$\frac{3}{2}\div 2 =\frac{3}{2}\div\frac{2}{{\color{Red} \mathbf{}1}}=\frac{3}{2}\times \frac{2}{1}=\frac{6}{2}=3$

¡A practicar!

$\frac{17}{3}\times\frac{13}{5}=$

RESPUESTAS

$\frac{17}{3}\times \frac{13}{5}=\frac{221}{15}$

$\frac{26}{15}\times\frac{18}{28}=$

RESPUESTAS

$\frac{26}{15}\times \frac{18}{28}=\frac{26}{15}\times \frac{9}{14}= \frac{13}{5}\times \frac{3}{7}=\frac{39}{35}$

$\frac{41}{15} : \frac{20}{28}=$

RESPUESTAS

$\frac{41}{15} : \frac{20}{28}=\frac{\frac{41}{15}}{\frac{20}{28}}=\frac{\frac{41}{15}}{\frac{10}{14}}= \frac{574}{150}=\frac{287}{75}$

$\frac{36}{29} : \frac{58}{82}=$

RESPUESTAS

$\frac{36}{29} : \frac{58}{82}=\frac{\frac{36}{29}}{\frac{58}{82}}=\frac{\frac{36}{29}}{\frac{29}{41}}= \frac{1476}{841}$

$\frac{42}{43} : \frac{12}{13}=$

RESPUESTAS

$\frac{42}{43} : \frac{12}{13}=\frac{42}{43} \times \frac{13}{12}=\frac{546}{516}=\frac{273}{258}=\frac{91}{86}$

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Multiplicación y división de fracciones”

Este artículo explica cómo resolver multiplicaciones y divisiones de fracciones. También se enfoca en el procedimiento para su simplificación y ofrece una serie de ejercicios resueltos que facilitan su comprensión.

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Video “Fracciones decimales. Concepto y pasaje de fracción a número decimal”

En el siguiente video se explican los conceptos básicos de una fracción y se explica cómo se relacionan estos números con los decimales.

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CAPÍTULO 3 / TEMA 6 (REVISIÓN)

Fracciones | ¿qué aprendimos?

noción de fracción

Las fracciones son una forma de representar las partes de un todo. Tienen dos elementos: un numerador y un denominador, ambos separados por una raya fraccionaria. El denominador indica en cuántas partes dividimos el todo y el numerador es igual a las partes que se toman del mismo. Las fracciones las podemos clasificar, de acuerdo a la relación entre el numerador y el denominador, en propias, impropias o aparentes.

Cada vez que cortamos frutas y nos comemos una parte de ellas podemos utilizar una fracción, por ejemplo, “me comí media naranja”.

adición y sustracción de fracciones

Para sumar o restar fracciones homogéneas (aquellas con igual denominador) lo único que debemos hacer es sumar o restar los numeradores y mantener el denominador. En cambio, las fracciones heterogéneas (aquellas con denominadores diferentes) se suman o restan por distintos métodos. Uno consiste en calcular el mcm, otro en hallar una fracción equivalente y otro en multiplicar de forma cruzada.

Las fracciones, como parte de un todo, pueden ordenarse de mayor a menor, compararse, sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse.

Multiplicación y división de fracciones

Las multiplicaciones de fracciones son relativamente sencillas. Solo tenemos que multiplicar todos los numeradores de forma lineal y luego multiplicar de la misma manera todos los denominadores, y si es posible simplificamos. La división, en cambio, puede ser resuelta por dos métodos. El primero se trata de invertir la segunda fracción y multiplicarla por la primera, y el segundo es el de la doble c.

Las multiplicaciones y las divisiones son muy utilizadas en los problemas de reparto y porcentaje.

Fracciones y otros números

Muchas situaciones de nuestra vida cotidiana involucran no solo a los números naturales ( $\mathbb{N}$ ), sino también a los enteros ( $\mathbb{Z}$ ), los racionales ( $\mathbb{Q}$ ) y los decimales. Todos ellos, con excepción de algunos decimales, pueden ser representados como una fracción, por ejemplo, el número 25 puede ser representado como 25/1 y el número decimal 0,25 puede representarse como 2/8.

Cuando vamos a comprar podemos pedir medio kilo de pan. Eso lo podemos expresar como fracción 1/2 kg o como número decimal 0,5 kg.

Fracciones y porcentajes

Otra forma de representar fracciones son los porcentajes. Estos son iguales a una fracción con denominador igual a 100. Por ejemplo, 20 % es igual a 20/100. Asimismo, estas expresiones se pueden mostrar como un número decimal, por lo tanto, 20/100 = 0,2. Los porcentajes son muy usados en economía, estadística y tecnología, pues ayudan a simplificar relaciones de una parte de un todo de manera clara.

Los porcentajes suelen estar presentes en los comercios para promocionar un descuento.

CAPÍTULO 3 / TEMA 5

fracciones y porcentajes

¿Sabías qué el 70 % de la superficie de nuestro planeta está cubierto por agua? ¡Sí! Pero ¿qué significa 70 %? Los porcentajes son expresiones que, al igual que las fracciones, representan una parte de un todo. También los vemos a menudo en las rebajas en las tiendas del centro comercial o en los impuestos de los productos que compramos.

relación de las fracciones y el porcentaje

El porcentaje es una parte de un todo igual a 100, es decir, es una razón con denominador 100. Su símbolo es “%” y se puede expresar como una fracción o como un decimal. Por ejemplo, 70 % es igual a escribir 70/100 que a su vez es igual a 0,7.

Puedes ver la relación entre el porcentaje, las fracciones y los número decimales en esta tabla:

Porcentaje	Fracción	Decimal
Cantidad en relación a 100	Porcentaje/100	0,…

– Ejemplo:

Porcentaje	Fracción	Decimal
$70\: %$	$\frac{70}{100}$	$0,7$
$45\: %$	$\frac{45}{100}$	$0,45$

La relación no siempre es lineal, también podemos partir de una fracción y convertirla en porcentaje. Para esto, solo dividimos el numerador entre el denominador, y luego multiplicamos el cociente obtenido por 100.

Fracción	Decimal	Porcentaje
$\frac{1}{2}$	$1\div 2=0,5$	$0,5\times 100=50\: %$
$\frac{5}{6}$	$5\div 6=0,833$	$0,833\times 100=83,3\: %$

¿Sabías qué?

En los porcentajes se lee “por ciento”. Por ejemplo, el “15 % de los alumnos juegan al fútbol” se lee “el quince por ciento de los alumnos juegan al fútbol”.

Los porcentajes ya eran usados en la Antigüedad y hay registros sobre su aplicación en el Imperio romano. Aunque el símbolo original no era el que conocemos en la actualidad, este hacía alusión a los ceros del 100. De hecho, el símbolo “%” es una representación estética de los ceros de las centenas, pues un porcentaje se lee “por ciento”.

¡Es tu turno!

Convierte estas fracciones a porcentajes:

$\frac{1}{4}$

Solución

$\frac{1}{4}=1\div 4=0,25$

$0,25\times 100=\boldsymbol{25\: %}$

$\frac{2}{25}$

Solución

$\frac{2}{25}=2\div 25=0,08$

$0,08\times 100=\boldsymbol{8\: %}$

Cálculo de porcentajes

Para calcular el porcentaje de una cantidad, por ejemplo, el 15 % de 80, podemos optar por tres métodos diferentes:

1. Convierte el porcentaje a fracción. Luego multiplica.

$15\: % = \frac{15}{100}$

$\frac{15}{100}\times 80 = \boldsymbol{12}$

2. Convierte el porcentaje a decimal. Luego multiplica.

$15\: %=\frac{15}{100}=0,15$

$0,15\times 80=\boldsymbol{12}$

3. Usa la regla de tres.

$100\: %\rightarrow 80$

$\: \: 15\: %\rightarrow x$

$x=\frac{15\: %\times 80}{100\: %}=\boldsymbol{12}$

Nota que con cualquiera de los tres métodos el resultado será el mismo: 12.

¿Qué es el IVA?

El IVA o impuesto al valor agregado es un impuesto directo que pagan los consumidores al Estado por utilizar algún bien o servicio. Cada país tiene un porcentaje de IVA diferente, por ejemplo, en Argentina es de 21 %, en Colombia es de 19 %, en Costa Rica es de 13 % y en Venezuela es de 16 %.

¡Resolvamos algunos problemas!

1. En un curso hay 30 chicos y el 10 % de ellos juega al rugby, el 30 % juega al fútbol y el resto no hace ningún deporte. Responde:

a) ¿Cuántos de ellos juegan al rugby?

b) ¿Cuántos juegan al fútbol?

c) ¿Cuántos no hacen ningún deporte?

Datos

Cantidad de chicos: 30

Chicos que juegan al rugby: 10 %

Chicos que juegan al fútbol: 30 %

Chicos que no hacen ningún deporte: ?

Reflexión

a. Para saber la cantidad de chicos que juegan al rugby tenemos que multiplicar la cantidad total de chicos (30) por la fracción equivalente al porcentaje, en este caso, 10 % = 10/100.

b. La cantidad de jugadores de fútbol la sabremos si multiplicamos la cantidad total de chicos por la fracción equivalente al porcentaje, en este caso, 30 % = 30/100.

c. Cuando sepamos la cantidad de chicos que juegan al rugby y al fútbol, solo tendremos que restarle esa cantidad al total, es decir, los chicos que no hacen deporte = 30 − (a + b)

Cálculo

a. $30\times \frac{10}{100}=\boldsymbol{3}$

b. $30\times \frac{30}{100}= \boldsymbol{9}$

c. $30-(3+9)=30-12=\boldsymbol{18}$

Respuestas

a. 3 chicos juegan al rugby.

b. 9 chicos juegan al fútbol.

c. 18 chicos no hacen deporte.

2. A José le hicieron un descuento del 5 % en su compra. Si gastó en ese lugar $ 3.200, ¿qué monto debe pagar?

Datos

Cuenta total: $ 3.200

Descuento: 5 %

Reflexión

a. Lo primero que tenemos que hacer es calcular el 5 % de 3.200. Para esto solo multiplicamos la cantidad de dinero por la fracción equivalente al porcentaje, que sería 5 % = 5/100.

b. Como se trata de un descuento, tenemos que “quitar” la cantidad que represente ese porcentaje al monto total, por lo tanto, tenemos que restarlo.

Cálculo

a. $3.200\times \frac{5}{100}=\boldsymbol{160}$

b. $3.200-160=\boldsymbol{3.040}$

Respuesta

José debe pagar $ 3.040.

3. Un equipo de baloncesto participó en 50 partidos este año y ganó el 30 % de ellos. ¿Cuántos partidos ganó este año?

Datos

Partidos jugados: 50

Partidos ganados: 30 %

Reflexión

Al tratarse del porcentaje de una cantidad total, basta con multiplicar la cantidad de partidos (50) por la fracción equivalente al porcentaje, es decir, 30 % = 30/100.

Cálculo

$50\times \frac{30}{100}=\boldsymbol{15}$

Respuesta

El equipo de baloncesto ganó 15 partidos de 50 jugados este año.

importancia del porcentaje

En la vida cotidiana, el porcentaje tiene distintos usos. Por ejemplo, a la hora de calcular la tasa de interés, al solicitar un crédito, al realizar una encuesta, en los descuentos y recargos en el pago de una cuenta, o cuando esperamos que una aplicación móvil se cargue y vemos una barra que muestra el porcentaje de descarga.

Los porcentajes son útiles cuando comparamos grandes partes de un todo. Por ejemplo, si de un instituto de 800 estudiantes, 360 estudiantes van a la feria de ciencias, y de otro van 360 de 600 estudiantes, es más práctico y claro decir que el 45 % de los estudiantes del primer instituto va a la feria de ciencias y que el 60 % del segundo va a la feria de ciencias.

Los gráficos circulares, también conocidos como gráficos de torta o pastel, se usan para comparar porcentajes con respecto a un total de datos. Para hallar los porcentajes parciales se dividen los 360° del círculo de acuerdo a los valores dados. Para dibujarlas en papel necesitarás un compás y un transportador para saber los grados a marcar por cada porcentaje.

¡A practicar!

1. Calcular los siguientes porcentajes:

12 % de 1.700

Solución

204

3 % de 4.400

Solución

132

15 % de 2.500

Solución

375

50 % de 45.000

Solución

22.500

78 % de 50.000

Solución

39.000

2. Resuelve:

a. Marta tiene 120 figuritas repetidas y le regaló el 20 % a su amiga. ¿Cuántas figuritas le quedan a Marta?

Solución

$120\times \frac{20}{100}=\boldsymbol{24}$

$120-24=\boldsymbol{96}$

A Marta le quedan 96 figuritas.

b. Gabriela viajó dos quintas partes de lo que debía viajar. ¿Qué porcentaje del viaje realizó?

Solución

$\frac{2}{5}=2\div 5=0,4$

$0,4\times 100 = \boldsymbol{40 \: %}$

Gabriela realizó el 40 % del viaje.

c. Se realizó una encuesta a 200 personas sobre los géneros de películas que más les gustan y representaron los resultados en este gráfico circular como porcentajes. Indica a cuántas personas les gusta cada género.

Solución

Comedia: 110 personas

Suspenso: 40 personas

Familiares: 24 personas

Terror: 10 personas

Drama: 16 personas

3. Escribe las siguientes fracciones como porcentajes:

$\frac{3}{5}$

Solución

60 %

$\frac{12}{20}$

Solución

60 %

$\frac{7}{8}$

Solución

87,5 %

RECURSOS PARA DOCENTES

Tarjeta Educativa “Porcentaje”

En esta tarjeta encontrará reglas prácticas para el cálculo de porcentajes, sus características y aplicaciones.

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Artículo “Porcentajes”

El artículo habla sobre la presencia de los porcentajes en la vida cotidiana y su uso.

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CAPÍTULO 3 / TEMA 1

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES

Los números fraccionarios están en nuestra vida cotidiana, por lo tanto, es de mucha importancia conocer cómo realizar adiciones y sustracciones con ellos. Para realizar estas operaciones se usan diferentes métodos que requieren realizar a su vez otras operaciones como el mcm.

Diferentes métodos para la resolución de problemas

Para resolver problemas de fracciones es necesario compararlas y conocer el tipo de fracción. De esta manera, podemos elegir qué tipo de método usar para resolver la operación.

Fracciones homogéneas

Son aquellas fracciones que poseen el mismo denominador. Debido a esto, para la suma y la resta de fracciones se coloca el mismo denominador y se suman o restan los numeradores de la siguiente manera:

Suma de fracciones homogéneas

$\frac{6}{3}+\frac{4}{3}=\frac{6+4}{3}=\frac{10}{3}$

Resta de fracciones homogéneas

$\frac{9}{5}-\frac{8}{5}=\frac{9-8}{5}=\frac{1}{5}$

Muchas de las fórmulas matemáticas empleadas en la resolución de problemas contienen sumas y restas de fracciones. En este sentido, es necesario conocer los diferentes métodos que se pueden aplicar de acuerdo al tipo de fracción presente en los ejercicios. Entre estos métodos están: la multiplicación cruzada o el cálculo del mínimo común múltiplo.

Fracciones Heterogéneas

Son aquellas fracciones que poseen distinto denominador. Para este tipo, existen diferentes métodos o formas de resolver adiciones y sustracciones.

Primer método: multiplicar en forma cruzada.

Se multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y se coloca en el numerador. $\frac{{\color{Blue} 3}}{5}+\frac{6}{{\color{Blue} 4}}=\frac{({\color{Blue} 3\times 4})}{}$

Luego se multiplica el numerador de la segunda por el denominador de la primera y se suma con el numerador resultante de la multiplicación anterior.
$\frac{{\color{Blue} 3}}{{\color{Red} 5}}+\frac{{\color{Red} 6}}{{\color{Blue} 4}}=\frac{({\color{Blue} 3\times 4})+({\color{Red} 5\times 6})}{}$

Se procede a multiplicar los denominadores de ambas fracciones.

$\frac{{\color{Blue} 3}}{{\color{Red} 5}}+\frac{{\color{Red} 6}}{{\color{Blue} 4}}=\frac{({\color{Blue} 3\times 4})+({\color{Red} 5\times 6})}{{\color{Red} 5}\times {\color{Blue} 4}}$

Se realizan los cálculos necesarios y se obtiene la fracción resultante.

$\frac{{\color{Blue} 3}}{{\color{Red} 5}}+\frac{{\color{Red} 6}}{{\color{Blue} 4}}=\frac{({\color{Blue} 3\times 4})+({\color{Red} 5\times 6})}{{\color{Red} 5}\times {\color{Blue} 4}}=\frac{12+30}{20}=\mathbf{\frac{42}{20}}$

Segundo método: hallar el mínimo común múltiplo (mcm).

Se obtiene el mcm de los denominadores de la siguiente manera:

$\frac{5}{8}+\frac{7}{6}=$

Se coloca el mcm como denominador resultante y se divide entre el denominador de la primera fracción y se multiplica por el numerador de la misma fracción. El resultado se coloca de numerador.

$24\div 8={\color{Red} 3}$

${\color{Red} 3}\times 5={\color{Blue} 15}$

$\frac{5}{8}+\frac{7}{6}=\frac{{\color{Blue} 15}\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: }{24}$

Se realiza el mismo procedimiento con la segunda fracción.

$24\div 6={\color{Red} 4}$

${\color{Red} 4}\times 7={\color{DarkGreen} 28}$

$\frac{5}{8}+\frac{7}{6}=\frac{{\color{Blue} 15}+{\color{DarkGreen} 28}}{24}$

Se realizan las operaciones correspondientes para obtener el resultado final.

$\frac{5}{8}+\frac{7}{6}=\frac{15+28}{24}=\mathbf{\frac{43}{24}}$

Para encontrar el resultado de una suma o una resta de fracciones muchas veces se recomienda simplificar los términos para tener un mejor resultado. Esta técnica consiste en dividir ambos términos entre el mismo número. Por lo general, se utilizan los números primos para llegar a una fracción irreducible. Para simplificar fracciones rápidamente se recomienda tener presente los criterios de divisibilidad de un número.

¿Sabías qué?

Una fracción es irreducible cuando no se puede simplificar.

Otros tipos de fracciones

Fracciones aparentes: son aquellas que cumplen la condición de que al dividir el numerador entre el denominador, el resultado es un número entero. Por ejemplo, las fracciones $\inline \frac{8}{4},\frac{2}{2}$ y $\inline \frac{9}{3}$ son fracciones aparentes.

$8\div 4=2$

$2\div 2=1$

$9\div 3=3$

Fracciones equivalentes: son aquellas que se obtienen al multiplicar al numerador y al denominador por un mismo número. A este procedimiento también se lo denomina amplificación. Las fracciones $\inline \frac{3}{2}$ y $\inline \frac{15}{10}$ son fracciones equivalentes.Otro método para obtener fracciones equivalentes es por simplificación. En dicho caso, se divide tanto al numerador como al denominador por el mismo número. Las fracciones $\inline \frac{33}{15}$ y $\inline \frac{11}{5}$ son fracciones equivalentes.

Tercer método: utilizar las fracciones equivalentes.

Se convierten las fracciones en homogéneas mediante el uso de las fracciones equivalentes. Para hallar las equivalentes se multiplica una de las fracciones por una fracción aparente, cuyo resultado sea 1, como por ejemplo $\inline \frac{2}{2}$ , $\inline \frac{5}{5}$ , $\inline \frac{7}{7}$ que permite hallar una fracción equivalente de la primera. En la sumatoria de $\inline \frac{3}{2}+\frac{9}{10}$ , para convertir $\inline \frac{3}{2}$ en una equivalente de igual denominador de la segunda (10), se multiplicó por la fracción aparente $\frac{5}{5}$ .

Se reescribe la adición de fracciones con la nueva fracción equivalente. De esta manera, las fracciones son homogéneas, por lo que pueden realizarse los cálculos para dichas fracciones, es decir, se suman los numeradores y se coloca el mismo denominador común (10).

La sustracción o resta de fracciones se realiza con el mismo procedimiento que la adición o suma, con la diferencia que, en vez de sumarlas, se restan.

En matemáticas es posible representar los números enteros como una suma de fracciones. Asimismo, aunque parezca difícil, existen procedimientos como convertir un entero en fracción, que se utiliza para resolver combinaciones de números enteros y fraccionarios. En estos casos, se coloca 1 como denominador del número entero.

adición y sustracción de fracciones con números enteros

Existen problemas en los cuales se pueden conseguir fracciones con números enteros. Aunque parece más complicado resolver este tipo de ejercicios, no lo es. Para sumar $\inline \frac{4}{5}+3$ lo primero que debemos hacer es identificar el tipo de números involucrados en la operación.

$\frac{4}{5}+3=$

Luego se convierte el número entero en una fracción para lo cual colocamos como denominador del número entero la unidad (1). Esto se debe a que el número (1) como denominador no modifica el entero existente, porque todo número divido entre (1) es igual al mismo número.

Se procede a realizar los cálculos con cualquier método de fracciones heterogéneas visto anteriormente. En este caso, se aplicará el método cruzado.

$\frac{{\color{Blue} 4}}{{\color{Red} 5}}+\frac{{\color{Red} 3}}{{\color{Blue} 1}}=\frac{({\color{Blue} 4\times 1})+({\color{Red} 5\times 3})}{{\color{Red} 5}\times {\color{Blue} 1}}$

Por último, se realizan las operaciones matemáticas necesarias para hallar el resultado.

$\frac{{\color{Blue} 4}}{{\color{Red} 5}}+\frac{{\color{Red} 3}}{{\color{Blue} 1}}=\frac{({\color{Blue} 4\times 1})+({\color{Red} 5\times 3})}{{\color{Red} 5}\times {\color{Blue} 1}}=\frac{4+15}{5}=\mathbf{\frac{19}{5}}$

De esta forma, se pueden resolver las sustracciones o restas de números enteros y fracciones.

¿Sabías qué?

Se estima que en el 1650 a. C. se emplearon por primera vez fracciones con denominadores enteros positivos para representar las partes de un todo.

¡A practicar!

a) $\frac{8}{3}+\frac{17}{3}=$

RESPUESTAS

$\frac{8}{3}+\frac{17}{3}=\frac{8+17}{3}=\frac{25}{3}$

b) $\frac{5}{2}-\frac{11}{7}=$

RESPUESTAS

$\frac{5}{2}-\frac{11}{7}=\frac{5\times 7-2\times 11}{2 \times 7}= \frac{35-22}{14}=\frac{13}{14}$

c) $\frac{28}{13}+\frac{5}{2}=$

RESPUESTAS

$\frac{28}{13}+\frac{5}{2}=\frac{28\times 2+13\times 5}{13 \times 2}= \frac{56+65}{26}=\frac{121}{26}$

d) $9 + \frac{5}{6}=$

RESPUESTAS

$9+\frac{5}{6}=\frac{9}{1}+\frac{5}{6}=\frac{9\times 6+1\times 5}{1 \times 6}= \frac{54+5}{6}=\frac{59}{6}$

e) $26-\frac{38}{5}=$

RESPUESTAS

$26-\frac{38}{5}=\frac{26}{1}-\frac{38}{5}=\frac{26\times 5-1\times 38}{1 \times 5}= \frac{130-38}{5}=\frac{92}{5}$

f) $\frac{17}{3}-\frac{29}{6}=$

RESPUESTAS

$\frac{17}{3}-\frac{29}{6}=\frac{17}{3}\times\left (\frac{2}{2} \right )-\frac{29}{6}=\frac{34}{6}-\frac{29}{6}=\frac{34-29}{6}= \frac{5}{6}$

$\frac{27}{5}-\frac{13}{5}=$

RESPUESTAS

$\frac{27}{5}-\frac{13}{5}=\frac{27-13}{5}=\frac{14}{5}$

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Clasificación de fracciones”

Este artículo permite obtener información más amplia sobre cómo se clasifican las fracciones.

VER

Artículo “Multiplicación y división de fracciones”

En este artículo se explica como resolver problemas de fracciones cuando estas involucran otras operaciones como la multiplicación y la división.

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CAPÍTULO 3 / TEMA 4

fracciones y otros números

Todos los días utilizamos distintos números. Los que usamos para contar, se llaman números naturales. Los que utilizamos en los precios, se llaman números decimales. Todos ellos pueden combinarse con las fracciones en las distintas operaciones. A continuación, verás cómo solucionar problemas de este tipo.

Las fracciones están presentes en la mayoría de las situaciones de nuestra vida cotidiana. Por ejemplo, cuando vamos al mercado y pedimos un cuarto de kilo de una fruta. También usamos fracciones cuando decimos la hora: “Son las tres y cuarto”. O cuando picamos o partimos alimentos, como en la imagen, en la que vemos medio aguacate.

operaciones de fracciones con otros números

Supongamos que compramos 3 barras de chocolate. Si nos comemos 1 chocolate y 2/3 de otro, y nuestro amigo se come 1 chocolate y 1/4 de otro, ¿nos sobró algo de chocolate?

Para resolver esta situación tenemos que sumar primero lo que nos comimos y restarlo a los chocolates que compramos. En este caso, convertimos los números mixtos a sus fracciones impropias equivalentes y luego sumamos.

$1\frac{2}{3}+1\frac{1}{4}= \frac{5}{3}+\frac{5}{4}$

$\frac{5}{3}+\frac{5}{4}=\frac{(5\times 4)+(3\times 5)}{3\times4 }=\frac{20+15}{12}=\boldsymbol{\frac{35}{12}}$

Luego de tener la fracción equivalente a lo que comimos, podemos restarla a la cantidad total de chocolate comprado (3). Recuerda que todo número entero puede ser representado como una fracción con denominador igual a 1.

$\frac{3}{1}-\frac{35}{12}=\frac{(3\times 12)-(1\times 35)}{1\times 12}=\frac{36-35}{12}=\boldsymbol{\frac{1}{12}}$

Ahora sabemos que nos sobró $\frac{1}{12}$ de chocolate.

A diario nos encontramos con situaciones en las que podemos combinar distintos tipos de números. En estos casos, aplicamos las propiedades de cada operación para cada tipo de número.

¡Es tu turno!

$\left ( 1-\frac{3}{5} \right )\times \frac{3}{2}$

Solución

$\left ( \frac{1}{1}-\frac{3}{5} \right ) \times \frac{3}{2}=\left ( \frac{5}{5}-\frac{3}{5} \right ) \times \frac{3}{2}=\frac{2}{5} \times \frac{3}{2}=\frac{6}{10}=\boldsymbol{\frac{3}{5}}$

$\frac{9}{5} \div 3+\frac{9}{2}$

Solución

$\frac{9}{5} \div \frac{3}{1}+\frac{9}{2}=\frac{9}{5} \times \frac{1}{3}+\frac{9}{2}=\frac{9}{15}+\frac{9}{2}=\frac{3}{5}+\frac{9}{2}=\boldsymbol{\frac{51}{10}}$

$4\frac{1}{3}-\frac{2}{5}+1=$

Solución

$\frac{13}{3}-\frac{2}{5}+\frac{1}{1}=\frac{65}{15}-\frac{6}{15}+\frac{15}{15}=\boldsymbol{\frac{74}{15}}$

¿cómo transformar una fracción a un número decimal?

Para poder transformar una fracción en un número decimal debemos recordar que una fracción es una división en partes. Por lo tanto, lo que debemos hacer es dividir el numerador por el denominador y así convertimos una fracción en un número decimal. Veamos algunos ejemplos:

$\frac{3}{4}=0,75$

$\frac{9}{4}=2,25$

Existe otra manera de pasar las fracciones a números decimales pero esta forma no siempre es posible. Para poder utilizarla debemos buscar una fracción equivalente a la dada con denominador igual a 10, 100, 1.000, etc. Si amplificamos la fracción × 25, es decir, si multiplicamos tanto el numerador como el denominador por 25, tenemos que:

$\frac{3}{4}=\frac{75}{100}$

75/100 es la fracción decimal equivalente de 3/4. Ahora, si recordamos cómo se divide por potencias de 10, vemos que debemos correr la coma de derecha a izquierda tantos lugares como ceros haya en el denominador. Por lo tanto,

$\frac{3}{4}=\frac{75}{100}=0,75$

Hacemos lo mismo con el segundo ejemplo:

$\frac{9}{4}=\frac{225}{100}=2,25$

La conversión de una fracción a un decimal consiste en escribir dicha fracción como su número decimal equivalente mediante distintos métodos. Podemos dividir el numerador y el denominador para tener el cociente decimal. También podemos amplificar, es decir, multiplicar tanto el numerador como el denominador hasta tener un denominador igual a 10, 100, 1.000…

¡Es tu turno!

Pasar las siguientes fracciones a número decimal:

$\frac{1}{25}$

Solución

$\frac{1}{25}=\frac{4}{100}=0,04$

Amplificación: × 4

$\frac{3}{5}$

Solución

$\frac{3}{5}=\frac{60}{100}=0,6$

Amplificación: × 20

$\frac{5}{4}$

Solución

$\frac{5}{4}=\frac{125}{100}=1,25$

Amplificación: × 25

¿Sabías qué?

Los números decimales fueron utilizados por primera vez por Stevin que, para escribirlos, lo hacía de una forma particular. Por ejemplo, si quería escribir el número 43,527, la notación era 43⓪5①2②7③. El ⓪ representaba a los enteros, el ① a las décimas, el ② a las centésimas y así sucesivamente.

transformación de un número decimal a fracción

En el caso anterior, para pasar de fracción a número decimal, intentamos hacer fracciones decimales, que son las que poseen denominador igual a una potencia de 10. A partir de ahí, corrimos la coma en el numerador a la izquierda según la cantidad de ceros que había en el denominador.

Ahora vamos a seguir los mismos pasos pero al revés, así que, si tenemos un número decimal, vamos a contar los lugares decimales, que son los que se encuentran a la derecha de la coma. Estos lugares nos indicarán cuántos ceros deberá tener el denominador y el numerador de la fracción será el número decimal, pero sin escribir la coma. Observa este ejemplo:

Sea el número $2,378$ , da su fracción decimal:

Contamos los lugares que hay a la derecha de la coma $\rightarrow$ hay 3 lugares, por lo tanto, el denominador será un 1 seguido de tres ceros: 1.000.
Para el numerador escribimos el número, pero sin coma $\rightarrow$ 2.378.
Ahora escribimos la fracción correspondiente $\rightarrow$ $\frac{2.378}{1.000}$ .
Si es posible, simplificamos la fracción $\rightarrow$ $\frac{1.189}{500}$ .

Cuando convertimos un número decimal a una fracción reescribimos dicho decimal como su fracción equivalente por medio de la amplificación por unidades seguidas de cero. Para esto escribimos primero el decimal sobre 1 y luego amplificamos y simplificamos. Por ejemplo, 0,5 = 5/10. Luego simplificamos y 5/10 = 1/2.

Clasificación de los números decimales

Los números decimales se pueden clasificar en:

Exactos: su parte decimal es finita. Por ejemplo: 0,345, 1,0235, etc.
Periódicos puros: su parte decimal es infinita y se repiten uno o varios números. Se suele representar el período con un arco. Por ejemplo: 2,3333…, 0,121212…, etc.
Periódico mixto: su parte decimal tiene una parte pura y una periódica. Por ejemplo: 2,1655555…, 0,01222222…, etc.

¡A practicar!

1. Convierte los siguientes números decimales a fracciones y luego, si es posible, simplifica:

$5,75$

Solución

$\frac{575}{100}=\frac{23}{4}$

$2,03$

Solución

$\frac{203}{100}$

$7,5$

Solución

$\frac{75}{10}$

2. Resuelve los siguientes cálculos. Convierte los números decimales a fracciones.

$0,2+0,6\: \times \, \frac{5}{2}$

Solución

$\frac{2}{10}+\frac{6}{10}\: \times \, \frac{5}{2}=\frac{1}{5}+\frac{3}{5}\: \times \, \frac{5}{2}=\frac{1}{5}+\frac{15}{10}=\frac{2}{10}+\frac{15}{10}=\frac{17}{10}$

$0,25\: \times \, \left ( 1,5-\frac{2}{3} \right )$

Solución

$\frac{25}{100}\: .\, \left ( \frac{15}{10}-\frac{2}{3} \right )=\frac{1}{4}\: .\, \left ( \frac{3}{2}-\frac{2}{3} \right )=\frac{1}{4}\: .\, \left ( \frac{9}{6}-\frac{4}{6} \right )=\frac{1}{4}\: .\, \frac{5}{6}=\frac{5}{24}$

$1-0,4\: \times \, \frac{3}{4}$

Solución

$\frac{1}{1}-\frac{4}{10}\: \times \, \frac{3}{4}=\frac{1}{1}-\frac{2}{5}\: \times \, \frac{3}{4}=\frac{1}{1}-\frac{6}{20}=\frac{1}{1}-\frac{3}{10}=\frac{10}{10}-\frac{3}{10}=\frac{7}{10}$

RECURSOS PARA DOCENTES

Video “Fracciones y números decimales. Ejercicio 3”

En este video podrá ver qué pasa si la fracción es impropia

VER

CAPÍTULO 3 / TEMA 3

multiplicación y división de fracciones

Luego de la suma y la resta, la multiplicación y la división son las operaciones básicas más importantes. Estas se aplican a una amplia gama de números y las fracciones no son la excepción. Las reglas para resolver problemas de este tipo son muy sencillas. ¡Aprende cómo hacerlo!

¿Cómo se multiplican las fracciones?

Para multiplicar fracciones lo único que debemos hacer es multiplicar todos los numeradores y denominadores de forma lineal. Luego, si es necesario, simplificamos hasta su fracción irreducible.

$\frac{a}{b}$ y $\frac{c}{d}$ ∈ $\mathbb{Q}$ , se tiene que

$\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}=\frac{a\times c}{b\times d}$

– Ejemplo:

$\frac{2}{3}\times \frac{9}{4}\times \frac{1}{3}=\frac{2\times 9\times 1}{3\times 4\times 3}=\frac{18}{36}=\boldsymbol{\frac{1}{2}}$

$-\frac{6}{5}\times \frac{3}{2}=\frac{-6\times 3}{5\times 2}=\frac{-18}{10}=\boldsymbol{-\frac{9}{5}}$

¿Cómo simplificar una fracción?

Simplificar una fracción significa que tenemos que transformarla en otra equivalente e irreducible. Para esto, tenemos que dividir sucesivamente tanto el numerador como el denominador entre sus divisores comunes. Por ejemplo:

VER INFOGRAFÍA

Una manera simple de resolver problemas es por medio de la simplificación de sus factores. Observa que si multiplicamos dos fracciones y el numerador de la primera es igual al denominador de la segunda, cancelamos ambos factores. Esto sucede porque todo número sobre él mismo resultará en 1, y el producto de todo número con el 1 será igual al mismo número.

Fracción de un entero

Todo número entero puede ser representado como una fracción con denominador igual a 1.

$5=\frac{5}{1}$

$123=\frac{123}{1}$

Problemas de multiplicación

1. Carmen vende rosquillas en cajas de una docena. Si Laura le pide $\frac{5}{6}$ de una caja, ¿cuántas rosquillas debe venderle Carmen?

Datos

Cantidad de rosquillas en una caja: 1 docena = 12 rosquillas

Pedido de Laura: $\frac{5}{6}$ de una caja

Reflexión

Para saber la cantidad de rosquillas que Carmen debe vender solo tenemos que multiplicar la cantidad de rosquillas en una caja (12) por la fracciones que se desea (5/6).

Cálculo

$12\times \frac{5}{6}=\frac{12}{1}\times \frac{5}{6}=\frac{12\times 5}{1\times 6}=\frac{60}{6}=\boldsymbol{10}$

Respuesta

Carmen debe venderle a Laura 10 rosquillas.

2. En un club hay 72 chicos que practican algún deporte. Tres cuartas partes practican baloncesto, la tercera parte del resto practica natación y los demás practican fútbol. Responde:

¿Cuántos chicos practican baloncesto?
¿Cuántos practican natación?
¿Cuántos practican fútbol?
¿Qué fracción del total representan los chicos que juegan baloncesto, natación y fútbol?

Datos

Total de chicos: 72

Chicos que practican baloncesto: $\frac{3}{4}$ del total de chicos

Chicos que practican natación: $\frac{1}{3}$ del resto de los que practican baloncesto

Chicos que practican fútbol: ?

Reflexión

Para saber la cantidad de chicos que practican baloncesto tenemos que multiplicar la cantidad de chicos (72) por la fracción (3/4) que representan los que practican ese deporte.
La diferencia o resta entre el total de chicos y los que practican baloncesto (72 − a) tenemos que multiplicarla por la fracción que representa a los que juegan natación (1/3).
La cantidad de chicos que practican fútbol será igual a la resta entre el total de chicos y los que practican natación y baloncesto (c = 72 − (a + b)).
Con la cantidad de chicos que juega cada deporte, basta con considerarlos como numeradores con denominador igual a 72. Si la suma de todas las fracciones es igual a 1, entonces todas las fracciones serán correctas.

Cálculo

a. Chicos que practican baloncesto:

$72 \times \frac{3}{4}=\frac{72}{1}\times \frac{3}{4}=\frac{72\times 3}{4}=\frac{216}{4}=\boldsymbol{54}$

b. Chicos que practican natación:

– Restamos la cantidad de chicos que practican natación al total de chicos:

$72-54=\boldsymbol{18}$

– Luego calculamos la cantidad:

$18\times \frac{1}{3}=\frac{18}{1}\times \frac{1}{3}=\frac{18\times 1}{1\times 3}=\frac{18}{3}=\boldsymbol{6}$

c. Chicos que practican fútbol:

$72-(54+6)=72-60=\boldsymbol{12}$

d. Fracciones por deporte:

– Baloncesto:

$\frac{54}{72}=\frac{3}{4}$

– Natación:

$\frac{6}{72}=\frac{1}{12}$

– Fútbol:

$\frac{12}{72}=\frac{1}{6}$

* Todas las fracciones fueron simplificadas.

Podemos comprobar por medio de una suma:

$\frac{54}{72}+\frac{6}{72}+\frac{12}{72}=\frac{72}{72}=\boldsymbol{1}$

Como la suma de las fracciones es igual a 1, entonces son correctas.

Respuestas

a. ¿Cuántos chicos practican baloncesto?

54 chicos practican baloncesto.

b. ¿Cuántos practican natación?

6 chicos practican natación.

c. ¿Cuántos practican fútbol?

12 chicos practican fútbol.

d. ¿Qué fracción del total representan los chicos que juegan baloncesto, natación y fútbol?

$\frac{3}{4}$ del total practica baloncesto.

$\frac{1}{12}$ del total practica natación.

$\frac{1}{6}$ del total practica fútbol.

¿Sabías qué?

El tratado de matemática chino más antiguo es el Chou Pei Suan Ching. En él hay varios problemas de divisiones de fracciones que debían ser llevadas a fracciones de igual denominador para ser resueltas.

¿cómo se dividen las fracciones?

La división de dos fracciones es igual a la multiplicación de la primera por la inversa de la segunda.

$\frac{a}{b}$ y $\frac{c}{d}$ ∈ $\mathbb{Q}$ , se tiene que

$\frac{a}{b}\div \frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times \frac{d}{c}=\frac{a\times d}{b\times c}$

– Ejemplo:

$\frac{36}{5}\div \frac{9}{8}=\frac{36}{5}\times \frac{8}{9}=\boldsymbol{\frac{32}{5}}$

$\frac{4}{10}\div \frac{8}{15}=\frac{4}{10}\times \frac{15}{8}=\frac{60}{80}=\boldsymbol{\frac{3}{4}}$

La sandía o patilla es una fruta de gran tamaño y muy rica en agua, ¿cuántas partes de ella ves en la imagen? ¡Hay media sandía de un lado y un cuarto de sandía del otro lado! Cuando nos referimos a la mitad de algo usamos la fracción 1/2 y la mitad de esa mitad se representa con la fracción 1/4. Estas divisiones de fracciones las vemos a diario en los mercados y las verdulerías.

Método de la doble c

Este es un método alternativo para resolver divisiones de fracciones. Consiste en dibujar una línea curva grande, similar a la letra “c”, que una el numerador de la fracción de arriba con el denominador de la fracción de abajo. Después hacemos una “c” más pequeña que una el denominador de la fracción de arriba y el numerador de la fracción de abajo.

Por ejemplo, al hacer por medio de este método la división $\frac{2}{3}\div\frac{5}{6}$ podemos representarlo así:

Problemas de división

1. Luis es jardinero. Él utiliza dos quintos de litro de agua para regar una planta. Si tiene una tanque con 45 litros de agua, ¿cuántas plantas puede regar?

Datos

Agua gastada en una planta: $\frac{3}{5}$ litros

Agua en el tanque: 45 litros

Reflexión

Si dividimos los litros de agua que tiene el tanque entre los litros de agua que gasta Luis por planta sabremos cuántas plantas podrá regar. Para esto, multiplicamos la primera fracción (45 = 45/1) por la inversa de la segunda fracción (5/3).

Cálculo

$45\div \frac{3}{5}=\frac{45}{1}\times \frac{5}{3}=\frac{45\times 5}{1\times 3}=\frac{225}{3}=\boldsymbol{75}$

Respuesta

Luis podrá regar 75 plantas.

2. Carla organiza una fiesta para 12 personas. Si tiene 3 pizzas y media para ese día y cada una está cortada en 6 porciones, ¿le alcanzará para que cada persona coma 2 porciones?

Datos

Cantidad de invitados: 12

Cantidad de pizzas: $3\frac{1}{2}$

Cantidad de porciones por cada pizza: 6

Reflexión

Primero tenemos que saber la cantidad de porciones totales que tenemos. Si cada pizza tiene 6 porciones debemos hacer una división entre la cantidad de pizzas (3 y 1/2) y las porciones de esta (1/6). Primero dividimos 3 entre 1/6 y luego 1/2 entre 1/6.
Luego de saber el total de porciones debemos comparar con lo deseado. Para que 12 invitados coman 2 porciones, deberían haber 24 porciones totales de pizza. Si el resultado obtenido en a) es menor que 24, las 3 pizzas y media no alcanzarán, pero si el resultado obtenido es igual o mayor a 24, las pizzas sí serán suficientes para que todos coman 2 porciones.

Cálculo

a. Porciones totales:

– Dividimos las pizzas entre 1/6:

$3\div \frac{1}{6}=\frac{3}{1}\times \frac{6}{1}=\boldsymbol{18}$

$\frac{1}{2}\div \frac{1}{6}=\frac{1}{2}\times \frac{6}{1}=\frac{6}{2}=\boldsymbol{3}$

– Sumamos las porciones:

$18+3=\boldsymbol{21}$

b. Comparamos:

21 < 24

Respuesta

Las 3 pizzas y media no serán suficientes para que los 12 invitados coman 2 porciones.

3. Pablo compró tres cuartos de kilogramo de helado, pero pidió que se lo separaran en envases de un octavo de kilogramos para repartirlo entre sus sobrinos. ¿Para cuántos sobrinos le alcanzará el helado?

Datos

Helado comprado: $\frac{3}{4}$ kg

Peso de helado en los envases repartidos: $\frac{1}{8}$ kg

Reflexión

Si dividimos la cantidad de helado comprado entre lo que cabe en cada envase en el que se repartió, sabremos la cantidad de envases que usó y, por lo tanto, la cantidad de sobrinos a los que podrá darle un envase de helado.

Cálculo

$\frac{3}{4}\div \frac{1}{8}=\frac{3}{4}\times \frac{8}{1}=\frac{24}{4}=\boldsymbol{6}$

Respuesta

A Pablo le alcanzará para darle helado a 6 de sus sobrinos.

En la tienda, venden cartones con una docena de huevos. Si Marcos solo necesita 1/4 de docena para preparar una receta de un postre, ¿cuántos huevos debe comprar? ¡Muy sencillo! Tenemos que multiplicar la docena de huevos por la fracción deseada, entonces: 12 × 1/4 = 3. Así que Marcos solo tiene que comprar 3 huevos para hacer su postre.

¡A practicar!

Resuelve los siguientes ejercicios:

$\frac{\frac{12}{35}}{\frac{4}{21}}$

Solución

$\frac{\frac{12}{35}}{\frac{4}{21}}=\boldsymbol{\frac{9}{5}}$

$\frac{5}{6}\times \frac{10}{8}$

Solución

$\frac{5}{6}\times \frac{10}{8}=\boldsymbol{\frac{25}{24}}$

$\frac{6}{4}\div \frac{1}{2}$

Solución

$\frac{6}{4}\div \frac{1}{2}$ $\frac{6}{4}\div \frac{1}{2}=\boldsymbol{3}$

$\frac{\frac{6}{5}}{\frac{7}{15}}$

Solución

$\frac{\frac{6}{5}}{\frac{7}{15}}=\boldsymbol{\frac{18}{7}}$

$\frac{8}{3}\times \frac{3}{8}$

Solución

$\frac{8}{3}\times \frac{3}{8}=\boldsymbol{1}$

$\frac{30}{6}\div \frac{2}{5}$

Solución

$\frac{30}{6}\div \frac{2}{5}=\boldsymbol{\frac{25}{2}}$

$\frac{\frac{8}{18}}{\frac{4}{9}}$

Solución

$\frac{\frac{8}{18}}{\frac{4}{9}}=\boldsymbol{1}$

RECURSOS PARA DOCENTES

Tarjeta Educativa “Multiplicación de Fracciones”

La tarjeta tiene material adicional sobre multiplicación de fracciones y sus propiedades.

VER

Tarjeta Educativa “División de Fracciones”

La tarjeta tiene material adicional sobre división de fracciones y sus propiedades.

VER

Artículo “Multiplicación y división de fracciones”

Este recurso cuenta con una serie de ejemplos prácticos y ejercicios útiles sobre multiplicación y división de fracciones.

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CAPÍTULO 1 / TEMA 5 (REVISIÓN)

SISTEMA DE NUMERACIÓN | ¿QUÉ APRENDIMOS?

ALGUNOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN

Desde la Antigüedad, el hombre ha usado diversos sistemas con símbolos que le permiten contar. Algunos son no posicionales, como los números romanos; y otros son posicionales, como el sistema decimal, binario o sexagesimal. Los números romanos cuentan con solo siete símbolos, iguales a algunas letras de nuestro alfabeto. El sistema binario tiene base 2 y solo utiliza 2 cifras: el 1 y el 0. El sistema de numeración sexagesimal tiene como base el número 60. Y el sistema decimal, el que usamos normalmente, tiene como base el 10 y emplea diez dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

El sistema binario se considera fundamental en la computación. La base de este sistema son los números 0 y 1 y su combinación en cadena para generar algoritmos.

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS

Este conjunto está conformado por los números naturales ( $\mathbb{N}$ ), los enteros negativo ( $\mathbb{Z}^{-}$ ) y el cero que es neutro. Este conjunto de números lo utilizamos, por ejemplo, para expresar alturas que se encuentran por encima y por debajo de un sistema de referencia, o bien para indicar temperaturas por encima y debajo del cero.

Las temperaturas por encima de cero se leen como números positivos, mientras que las que están por debajo de cero se leen como números negativos. Ejemplo, 20 ºC y −10 ºC.

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES

El conjunto de los números racionales se denota con la letra $\mathbb{Q}$ e incluye todas las fracciones, es decir, las divisiones de dos números enteros. Tienen gran utilidad cuando deseamos expresar partes de una totalidad, por ejemplo, cantidades de ingredientes en una receta (1/2 taza de harina) o porciones de pizza (3/4 de pizza).

Los gráficos circulares son visualmente muy útiles cuando deseamos expresar un número racional.

LOS NÚMEROS DECIMALES

Los números decimales constituyen un amplio grupo de números que incluyen al conjunto de números racionales ( $\mathbb{Q}$ ) e irracionales ( $\mathbb{I}$ ). Están conformados por una parte entera y una parte decimal separados por una coma o un punto. Los empleamos para expresar valores que se encuentran entre dos números consecutivos.

CAPÍTULO 1 / TEMA 4

LOS NÚMEROS DECIMALES

No todos los problemas matemáticos involucran a los número enteros, muchas veces necesitamos una cantidad intermedia entre ese entero. Para eso están los números decimales. Estos tienen infinidad de aplicaciones en la vida cotidiana, como en la medida de nuestro peso o en los precios de un producto. Aquí aprenderás cuáles son y cómo leerlos.

¿QUÉ SON LOS NÚMEROS DECIMALES?

Los números decimales son aquellos que están compuestos por una parte entera y una parte decimal, ambas separadas por una coma.

Los utilizamos a diario para expresar cantidades que se encuentran entre dos números enteros consecutivos, ya que, como sabemos, entre dos números enteros de una recta numérica existen infinitos valores que pueden expresarse con decimales.

Valor posicional

De acuerdo con la ubicación que ocupe cada dígito en el número decimal su valor posicional será diferente. Observa este ejemplo:

A cada cifra decimal le corresponde un único valor que depende de su posición. Para leer este número podemos optar por cualquiera de las siguientes opciones:

Lee la parte entera seguida de la palabra “enteros”. Luego lee la parte decimal como si fuera un número natural y nombra la posición de la última cifra decimal. Ejemplo:

138,451067 se lee “ciento treinta y ocho enteros cuatrocientos cincuenta y un mil sesenta y siete millonésimas“.

Lee la parte entera seguida de la palabra “coma”. Después lee la parte decimal como si fuera un número natural. Ejemplo:

138,451067 se lee “ciento treinta y ocho coma cuatrocientos cincuenta y un mil sesenta y siete”.

DECIMALES EXACTOS

Son los números decimales que contienen una cantidad limitada o finita de dígitos en su parte decimal.

– Ejemplo:

−0,375 (contiene decimales hasta la milésima).
735.743,84653 (contiene decimales hasta la cienmilésima).
921,6 (contiene decimales hasta la décima).

¿Sabías qué?

Todos los números decimales exactos y periódicos pueden transformarse en una fracción equivalente.

A diario nos encontramos con cifras que son representadas a través de números decimales. Por ejemplo, cuando vamos al mercado hay una gran cantidad de precios expresados en números decimales, para lo cual se puede emplear una coma o un punto. El uso de la coma o el punto decimal dependerá del país en el que te encuentres.

NÚMEROS PERIÓDICOS

Son los números decimales que poseen una cantidad infinita de dígitos en su parte decimal y muestran un patrón de repetición. Los podemos clasificar en periódicos puros y periódicos mixtos.

Números decimales periódicos puros

Son los números decimales en los cuales la parte decimal se repite inmediatamente después de la coma. Se denotan con una línea horizontal o con una arco en la parte superior del dígito o los dígitos que se repitan.

– Ejemplo:

$\frac{4}{3}=1,333...=1,\overline{3}$

$\frac{2}{3}=0,666...=0,\overline{6}$

¿Cómo convertir un número decimal periódico puro a fracción?

Para convertir un número decimal periódico puro a su fracción equivalente tenemos que seguir estos pasos:

Escribe todo el número sin la coma.
Resta a esa cantidad la parte entera del número decimal.
Divide entre tantos nueves como decimales periódicos tenga el número.

– Ejemplo:

$1,\overline{12}=\frac{112-1}{99}=\frac{111}{99}=\boldsymbol{\frac{37}{33}}$
$0,\overline{3}=\frac{3-0}{9}=\frac{3}{9}=\boldsymbol{\frac{1}{3}}$
$34,\overline{36}=\frac{3.436-34}{99}=\frac{3.402}{99}=\boldsymbol{\frac{378}{11}}$

Nota que todas las fracciones fueron simplificadas.

Números decimales periódicos mixtos

Son los números cuya parte decimal contienen uno o más dígitos antes de los números periódicos. A los números que se encuentran antes del período se los denomina anteperíodo.

– Ejemplo:

$\frac{17}{15}=1,1333...=1,1\overline{3}$

$\frac{7}{12}=0,58333...=0,58\overline{3}$

¿Cómo convertir un número decimal periódico mixto a fracción?

Para convertir un número decimal periódico mixto a su fracción equivalente tenemos que seguir estos pasos:

Escribe todo el número sin la coma.
Resta a esa cantidad el número decimal sin la coma y sin el período.
Divide entre tantos nueves como decimales periódicos tenga el número junto a tantos ceros como tenga el anteperíodo.

– Ejemplo:

$7,0\overline{5}=\frac{705-70}{90}=\frac{635}{90}=\boldsymbol{\frac{127}{18}}$
$3,2\overline{45}=\frac{3.245-32}{990}=\frac{3.213}{990}=\boldsymbol{\frac{357}{110}}$
$6,53\overline{1}=\frac{6.531-653}{900}=\frac{5.878}{900}=\boldsymbol{\frac{2.939}{450}}$

DECIMALES NO EXACTOS Y NO PERIÓDICOS

Son todos los números decimales con infinitos dígitos no periódicos en su parte decimal. Este tipo de números decimales conforman el conjunto de los números irracionales.

– Ejemplo:

$\pi =3,1415...$

$\sqrt{2}=1,4142...$

El número pi (π) es un número decimal que contiene infinitos dígitos no periódicos en su parte decimal, por lo tanto, pertenece al conjunto de los números irracionales. Este valor es una constante que se obtiene si dividimos el perímetro de cualquier circunferencia entre su diámetro. Se suele aproximar su parte decimal hasta la centésima, por ejemplo, π = 3,14.

¡A practicar!

1. ¿Cómo se leen estos números?

a) 45,98

Solución

Cuarenta y cinco enteros noventa y ocho centésimas.

b) 903,65322

Solución

Novecientos tres enteros sesenta y cinco mil trescientos veintidós cienmilésimas.

c) 0,07

Solución

Siete centésimas.

2. Escribe en forma de número decimal las siguientes fracciones. Señala si son exactos o periódicos. Si son periódicos indica si son puros o mixtos.

a) $\frac{19}{15}$

Solución

$\frac{19}{15}=1,2\overline{6}$

Número decimal periódico mixto.

b) $\frac{4}{11}$

Solución

$\frac{4}{11}=0,\overline{36}$

Número decimal periódico puro.

c) $\frac{57}{20}$

Solución

$\frac{57}{20}=2,85$

Número decimal exacto.

d) $\frac{13}{6}$

Solución

$\frac{13}{6}=2,1\overline{6}$

Número decimal periódico mixto.

e) $\frac{4}{3}$

Solución

$\frac{4}{3}=1,\overline{3}$

Número decimal periódico puro.

f) $\frac{43}{8}$

Solución

$\frac{43}{8}=5,375$

Número decimal exacto.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Números decimales”

En este artículo encontrará información sobre las características de los números decimales, el sistema de numeración posicional y la clasificación de los números decimales.

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Artículo “¿Cómo Transformar un número decimal a fracción?”

Este contenido ofrece una detallada explicación sobre el procedimiento para obtener fracciones equivalentes de algunas expresiones decimales.

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Artículo “¿Qué es un número decimal?”

Este artículo ofrece información completa sobre los números decimales: su composición, sistema de numeración posicional y operaciones aritméticas con los números decimales.

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