La circunferencia es una línea curva, plana y cerrada que representa el perímetro de un círculo. Unas de sus características es que todos sus puntos se encuentran a una misma distancia de otro denominado origen. Sin importar su tamaño, siempre que se divida su longitud entre su diámetro da como resultado al número pi.
elementos de la circunferencia
La circunferencia es la forma geométrica en la cual todos sus puntos se encuentran equidistantes del centro, también conocido como origen. Eso quiere decir que todos los puntos están a la misma distancia de ese punto.
La circunferencia y sus elementos
Centro: es el punto interior que se encuentra a la misma distancia de todos los puntos de la circunferencia.
Radio: es la línea recta que une el centro con cualquier punto de la circunferencia.
Diámetro: es la mayor linea recta que puede unir dos puntos de la circunferencia. Es el doble del valor del radio y siempre pasa por el origen.
Arco: es un segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia.
Cuerda: es el segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia sin pasar por el origen.
Secante: es una recta que intersecta la circunferencia en dos puntos.
Tangente: es una recta que intersecta la circunferencia en un solo punto.
La circunferencia es una figura única. Sus puntos equidistantes entre sí respecto al centro han permitido resolver diversos problemas, desde cálculos matemáticos hasta problemas tan cotidianos como el transporte. Y es que aunque parezca sencilla, la rueda ha sido uno de los inventos que cambió definitivamente la vida del ser humano hasta la actualidad.
El número pi
Su nombre proviene de la letra griega pi (π) que se usa para expresarlo. Es un número irracional, es decir; un número decimal infinito, cuyos decimales no siguen un patrón que se repite. En la geometría y otras áreas ha tenido un fuerte impacto en la manera de resolver problemas porque relaciona la longitud de una circunferencia con su diámetro. La fórmula para calcular el número pi es π = C/D, donde C es la longitud de la circunferencia y D es el diámetro de la misma. El valor de este número con sus primeras 5 cifras decimales es: 3,14159…
¿Sabías qué?
Para simplificar los cálculos, el número pi suele escribirse como 3,14 para obtener resultados aproximados.
área de un Círculo
El círculo es la figura geométrica que se encuentra delimitada por una circunferencia; es decir, la circunferencia representa su perímetro. Para resolver el área de un círculo simplemente debemos multiplicar el cuadrado de su radio por el número pi.
Dónde:
A = área del círculo.
π = número pi.
r = longitud del radio de la circunferencia.
Ejemplos de cálculos de área de un círculo
1. Calcular el área de una circunferencia cuyo radio mide 3 cm.
En este caso simplemente tenemos que sustituir el valor del diámetro y del número pi en la ecuación de área:
Luego se resuelve la potencia. Recuerda que en este caso la unidad es centímetro y al resolver la potencia dicha unidad quedara expresada en centímetros cuadrados (cm2).
Al resolver el producto se obtiene que el área de la circunferencia es la siguiente:
Recordemos que el valor de pi que usamos para los cálculos es un aproximado porque 3,14 tiene dos decimales pero ¡pi en realidad tiene infinitos decimales! Como resultará lógico pensar, es imposible multiplicar el valor de pi con todos sus decimales, por esta razón en ejercicios cotidianos se emplean únicamente dos para obtener un resultado que, aunque no corresponde al valor exacto, si se encuentra cercano a este.
2. Calcular el área de un círculo con diámetro igual a 4 cm.
En este caso, el dato que nos proporciona el problema es el diámetro. Para aplicar la fórmula necesitamos el valor del radio. Lo único que debemos hacer es dividir el diámetro entre 2 (porque el diámetro corresponde al doble del valor del radio).
Luego se reemplaza en la ecuación y se resuelve de la misma forma que en el ejercicio anterior.
construcción de circunferencias
Para la construcción de las circunferencias, se emplea el compás y una regla o escuadra para medir. Debemos seguir los siguientes pasos:
Paso 1 Trazar un segmento con la longitud del radio de la circunferencia que se desea construir.
Paso 2
Ubicar la punta del compás en uno de los extremos del segmento y abrir la bisagra del mismo hasta que la otra punta con lápiz se encuentre a la misma distancia del otro extremo.
Paso 3
Marcar firmemente la circunferencia con la punta que contiene el lápiz de marcado al tiempo que se mantiene en su lugar la otra punta.
Al momento de realizar los trazados de circunferencias, es importante que el área de trabajo esté limpia al igual que los instrumentos que vas a usar. En el caso del compás hay varios tipos que varían en la forma, lo importante en cualquier caso es verificar que el extremo que contenga al lápiz o punta de grafito se encuentre afilado para que pueda realizar trazos uniformes.
¡A practicar!
¿Cuál es el área de las siguientes circunferencias?
a)
Solución
b)
Solución
c)
Solución
d)
Solución
e)
Solución
f)
Solución
g)
Solución
h)
Solución
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Circunferencia”
En este artículo se explican los elementos de la circunferencia y sus principales características.
Los primas y las pirámides son cuerpos geométricos que se caracterizan porque todas sus caras son polígonos. Se diferencian porque los prismas tienen dos de sus caras paraleles e iguales mientras que las pirámides tienen una base que puede ser cualquier polígono y sus caras son triángulos.
TIPOS
Ya sea para el caso de prismas o pirámides, existen ciertas clasificaciones que los diferencian entre sí y al mismo tiempo tienen ciertas semejanzas. A continuación, veremos qué son estas figuras geométricas y cuáles son sus tipos.
Prismas
Un prisma es una proyección de dos caras paralelas iguales que están unidas por paralelogramos. Estas caras se denominan bases y tienen una determinada cantidad de lados. La forma de estas bases es la que dará la clasificación a los prismas correspondientes.
Tipos de prismas
Los prismas son tan diversos como figuras geométricas existen. El nombre de un prisma viene dado por la figura geométrica que conforma sus bases. Por ejemplo: si la base es un triángulo el nombre de la figura será prisma triangular.
Pirámides
Una pirámide está compuesta por una base y triángulos que se comparten un lado con ella. Todos los triángulos coinciden en un punto en común, denominado vértice.
Tipos de pirámides
En las pirámides al igual que en los prismas, su nombre viene determinado por la figura que conforma su base. Por ejemplo: si la base es un cuadrado, el nombre de la figura será pirámide cuadrangular.
Esta no es la única clasificación de estos cuerpos geométricos: cada uno reciben una segunda clasificación. Esta depende del ángulo que tiene la base con respecto a las caras; por este motivo, estos cuerpos geométricos pueden ser rectos y oblicuos. Por ejemplo:
Un prisma, si sus ángulos son rectos, se denominará como prisma recto; en cambio, cuando sus ángulos no lo sean, se clasificará como prisma oblicuo. Las pirámides se denominan rectas cuando todas sus caras son triángulos isósceles iguales y la altura cae al punto medio de la base. Las pirámides oblicuas son aquellas en las que no todas sus caras son triángulos isósceles.
elementos principales
Los elementos principales de un prisma y una pirámide son similares entre sí. Solo se diferencian en que la pirámide tiene un vértice. Por lo tanto, los elementos principales de cada una de las figuras geométricas son:
Elementos de un prisma: bases, aristas y caras.
Elementos de una pirámide: base, aristas, caras y vértice.
En este ejemplo, podemos ver todos los elementos característicos de una pirámide. En el caso de los prismas, los elementos son los mismos, con la excepción del vértice, que no está presente.
construcción
Para la construcción de prismas y pirámides lo principal es la base. Esta cara tiene una cantidad de lados que será la misma cantidad que tenga el prisma o pirámide que resulta de su proyección. Por lo tanto, la construcción consta de los siguientes pasos:
Paso 1: construcción de la base.
Paso 2: construcción de la otra base (en prismas) o el vértice (en pirámides) a la altura correspondiente.
Paso 3: unión entre las bases con paralelogramos (en prismas) o entre la base y el vértice (en pirámides).
Construcción de prismas
Construcción de pirámides
reconocimiento de objetos en forma de prisma y pirámides
Para el reconocimiento de prismas y pirámides debemos utilizar el conocimiento previo de los elementos que forman cada una de estas figuras geométricas. Por lo tanto, procederemos a las siguientes definiciones:
Reconocimiento de prismas: se deben observar dos caras unidas entre sí por paralelogramos.
Reconocimiento de pirámides: se debe observar una base y un vértice unidos entre sí por triángulos.
La Gran Pirámide de Giza se encuentra en la meseta de Giza, Egipto. Se construyó hace 4.600 años por orden del faraón Keops por eso también se la conoce como pirámide de Keops. Se trata de una maravilla del Mundo Antiguo y tiene una altura de 138 metros. Sus dimensiones para la época en la que se construyó aún sorprenden a los arquéologos y es la única de las Siete Maravillas originales que aún existe.
ubicación de la altura
La ubicación de la altura en el caso de estas figuras geométricas tiene también cierta similitud. En los prismas la altura está determinada por las aristas; sin embargo, puede calcularse como la distancia entre el centro de las bases. En el caso de las pirámides, puede calcularse como la distancia entre el vértice y el centro de la base.
¡A practicar!
1. Determina si las siguientes figuras son prismas o pirámides, y nombrarlas.
a)
RESPUESTAS
La figura geométrica es un prisma. El nombre es prisma pentagonal ya que sus bases son pentágonos.
b)
RESPUESTAS
La figura geométrica es una pirámide. El nombre es pirámide hexagonal ya que su base es un hexágono.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Prismas”
En el siguiente artículo destacado se explican con mayor profundidad el concepto de prisma, sus elementos, sus tipos y se proporcionan algunos ejercicios de aplicación.
La ampliación y la reducción son transformaciones que permiten cambiar el alto y ancho de una figura sin alterar sus propiedades originales como ángulos, ejes de simetría, etc. Las transformaciones isométricas, en cambio, se refieren al cambio de posición de la figura en el plano sin variar sus dimensiones. La rotación y traslación son ejemplos de este tipo de transformaciones.
AMPLIACIONES DE FIGURAS
La ampliación de figuras es una proyección geométrica que produce una imagen de mayor tamaño. Esta transformación varía las dimensiones de la figura sin alterar su forma. Por lo tanto, las propiedades de cada una de las figuras ampliadas no variarán. El nivel de ampliación de las figuras está afectado por un factor de multiplicación.
Para su cálculo se deben multiplicar cada una de las medidas de la figura por su factor de multiplicación.
Factor de multiplicación
El factor de multiplicación es un factor de escala que se utiliza para ampliar la imagen en cada uno de sus lados en una determinada proporción. La transformación será ampliación cuando el factor sea mayor que 1 ya que este es una medida de cuánto se amplía la figura original.
REDUCCIÓN DE FIGURAS
De forma similar a la ampliación vista anteriormente, existe la reducción de figuras. Esta transformación consta de afectar una figura por un factor de reducción para disminuir las dimensiones de la imagen proporcionalmente de manera que se puedan mantener la forma y las propiedades de la imagen original.
Para su cálculo se deben dividir cada una de las medidas de la figura entre su factor de reducción.
Factor de reducción
El factor de reducción es un factor de escala que se utiliza para reducir la imagen en cada uno de sus lados en una determinada proporción. Muchas veces en los planos se emplean reducciones para expresar magnitudes como el tamaño de un edificio o el de un campo de fútbol, en estos casos se emplean escalas que indican a que proporción del tamaño real equivale cada una de las medidas del plano.
ROTACIÓN DE FIGURAS
La rotación de figuras es una transformación geométrica que consta de un giro de la figura sobre un determinado punto. El resultado de la transformación será una figura en el mismo lugar pero en diferente posición. El movimiento de la figura se da sobre un arco, y como todos los puntos lo hacen en igual proporción, la figura final no tendrá ningún cambio en la forma o en las propiedades.
Como puede observarse, la rotación de una figura no afectará su área o su forma. Simplemente es un cambio en la posición y orientación de la figura geométrica.
FIGURAS GEOMÉTRICAS Y EJES DE SIMETRÍA
Hay muchas figuras geométricas que tienen ejes de simetría. Estos ejes son líneas que dividen las figuras de tal forma que cualquiera de los puntos opuestos de las partes son equidistantes entre sí, lo que significa que son simétricos. Existen figuras que tienen incluso más de un eje de simetría. A continuación se observan algunos ejemplos:
¿Sabías qué?
El círculo es una figura geométrica con infinitos ejes de simetría.
Aplicaciones de la rotación
La rotación de figuras sobre ejes se utiliza para generar figuras en tres dimensiones. Por ejemplo, la rotación del triángulo isósceles sobre su propio eje genera un cono tridimensional. La rotación de un rectángulo da origen a un cilindro. A este tipo de cuerpos se los denomina sólidos de revolución.
¡A practicar!
1. Ampliar con un factor de multiplicación de 2 una circunferencia de 5 cm de radio. Calcular su área.
RESPUESTAS
El área será: A = π x r2 = 314 cm2
2. Reducir con un factor de 3 un triángulo rectángulo si sus catetos son de 6 cm cada uno. Calcular su área.
RESPUESTAS
El área será: A = C1 x C2 / 2 = 2 cm2
3. ¿Cuántos ejes de simetría tiene un rombo?
RESPUESTAS
Un rombo tiene dos ejes de simetría.
4. ¿Cuántos ejes de simetría tiene la figura?
RESPUESTAS
La figura no tiene ejes de simetría.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Simetrías”
En este artículo se explican los diferentes tipos simetrías, como la axial, y las diferentes transformaciones isométricas.
El plano, el punto y la recta son conceptos abstractos, lo que quiere decir que no se definen; sin embargo, son los pilares fundamentales de la geometría. Un segmento es un fragmento de recta que se encuentra delimitadas entre dos puntos. Todos estos sistemas pueden representarse en sistemas de coordenadas que tienen diferentes aplicaciones.
¿qué es un plano?
Un plano es un conjunto infinito de puntos y rectas expresado en dos dimensiones. Por lo tanto, no tiene volumen ya que es una superficie bidimensional.
¿Cuándo se puede definir un plano?
Para definir un plano se necesita de alguno de los siguientes elementos geométricos:
Tres puntos no alineados.
Una recta y un punto exterior a ella.
Dos rectas no coincidentes.
sistema de coordenadas
Un sistema de coordenadas es la utilización de dos ejes cartesianos coincidentes en un punto denominado origen (0;0). Esta representación sirve para poder ubicar un punto o representación geométrica. Los ejes se representan como X, al eje de las abscisas, y como Y, al eje de las ordenadas.
Este sistema de coordenadas es uno de los más usados hoy en día y fue inventado el el siglo XVII por el filósofo y matemático francés René Descartes. En este sistema se emplea un plano cartesiano que funciona como un mapa en el cuál cada punto está relacionado a las coordenadas determinadas por dos rectas numéricas perpendiculares denominadas ejes.
¿Sabías qué?
En la astronomía se utilizan los sistemas de coordenadas para expresar la ubicación de forma correcta de planetas y estrellas.
Para ubicar un punto en el sistema de coordenadas se debe especificar tanto la coordenada X como la Y. Un punto se representa con una letra mayúscula y presenta la siguiente estructura P(x;y). Para que se pueda ubicar en el sistema de coordenadas se utilizan los valores correspondientes a cada una de estas.
Los cuadrantes
En el sistema de coordenadas se puede hacer una distinción entre cuatro cuadrantes como se ve en la imagen. Ahí también se ven representados ambos ejes de coordenadas.
Los cuadrantes son utilizados comúnmente en la geometría para diferenciar la ubicación de diferentes ángulos:
El primer cuadrante estará comprendido entre 0º y 90º. Está formado por las cordenadas X positivas y las coordenadas Y positivas. Por ejemplo, el punto P(3;5) corresponde a este cuadrante.
El segundo cuadrante estará comprendido entre 90º y 180º. Está formado por las coordenadas X negativas y las coordenadas Y positivas. Por ejemplo, el punto F(−3;5) corresponde a este cuadrante.
El tercer cuadrante estará comprendido entre 180º y 270º. Está formado por las coordenadas X negativas y las coordenadas Y negativas. Por ejemplo, el punto H(−3;−5) corresponde a este cuadrante.
El cuarto cuadrante estará comprendido entre 270º y 360º. Está formado por las coordenadas X positivas y las coordenadas Y negativas. Por ejemplo, el punto M(3;−5) corresponde a este cuadrante.
Ejemplo de ubicación de puntos en el sistema de coordenadas
Ubicar en el sistema de coordenadas el punto P(3;5).
Para hacerlo se debe indicar primero cuál es el valor correspondiente a X y cuál es el valor correspondiente a Y:
X = 3, trazamos una línea vertical en el valor de 3 en el eje X.
Y = 5, trazamos una línea horizontal en el valor de 5 del eje Y.
La intersección de las dos rectas será el punto correspondiente.
La ubicación del punto P(3;5) se encuentra con la intersección de las rectas vertical y horizontal en los valores de X e Y correspondientes.
aplicación de los sistemas de coordenadas
Los sistemas de coordenadas tienen una gran cantidad de aplicaciones, no solo matemáticas. Estos se encuentran como representaciones de movimiento en física, como funciones de ingreso y egreso en contabilidad, o para representaciones de vida media en biología, entre otras cosas.
Funciones en sistemas de coordenadas
Una de las principales aplicaciones de los sistemas de coordenadas es la representación de funciones matemáticas. Estas son representaciones de Y en función de X. En la siguiente imagen, se muestran ejemplos de gráficas de funciones cuadráticas.
¡A practicar!
1. ¿A qué cuadrante corresponde cada uno de los siguientes puntos.
a) S(4;3)
Solución
Primer cuadrante.
b) T(1;−5)
Solución
Cuarto cuadrante.
c) D(−2;−8)
Solución
Tercer cuadrante.
d) R(−1;7)
Solución
Segundo cuadrante.
2. ¿Cuántas coordenadas se necesitan para representar un punto?
Solución
Dos
3. ¿Quién inventó el sistema de coordenadas?
Solución
René Descartes
4. ¿Cómo se denominan a los ejes de coordenadas cartesianas?
Solución
Eje X y eje Y.
5.Ubicar en el mismo sistema de coordenadas los siguientes puntos
a) A(−2;3) b) B(0;1) c) C(4;-2)
RESPUESTAS
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Artículo “Ejes cartesianos”
En este artículo se explica de manera muy didáctica la forma de ubicar puntos en el sistema de coordenadas. Además hay un complemento teórico sobre los ejes cartesianos, así como también ejercicios para practicar.
El plano cartesiano fue propuesto por René Descartes en el siglo XVII y desde entonces ha sido una herramienta empleada en múltiples áreas del conocimiento. Su uso radica principalmente en la ubicación de puntos en el plano y en el análisis de figuras geométricas.
¿QUÉ ES EL PLANO CARTESIANO?
El plano cartesiano es una representación gráfica de dos rectas numéricas que se intersecan de forma perpendicular, por lo que forman cuatro cuadrantes como se muestra:
En cada cuadrante del plano cartesiano podemos ubicar infinitos puntos, los cuales se definen mediante un par ordenado expresado de esta manera: (coordenada en x, coordenada en y).
El plano cartesiano es un sistema de ejes de coordenadas muy útiles para ubicar e identificar puntos en un plano. Este sistema se aplica en radares y mapas a nivel mundial, razón por la que actualmente podemos localizar cualquier persona o ciudad de forma rápida solo con ver una cuadrícula en un mapamundi o con un simple botón en el celular.
ELEMENTOS DEL PLANO CARTESIANO
El plano cartesiano está formado por un eje horizontal denominado eje de las abscisas, que tradicionalmente denotamos con la letra x; y un eje vertical llamado eje de las ordenadas, que por lo general representamos con la letra y. Cada eje se comporta como una recta numérica que se prolonga hasta el infinito.
Ambos ejes se intersecan a 90 grados en el origen (0, 0). Hacia la derecha del eje x están las coordenadas positivas y a la izquierda, las negativas. En el eje y tenemos las coordenadas positivas hacia arriba y las negativas hacia abajo. Además, debemos mostrar una escala sobre los ejes como se muestra a continuación.
Los ejes son la base para la construcción del plano cartesiano, el cual se forma con la intersección del eje x y el eje y en el origen. El eje x se llama también eje de las abscisas y el eje y, eje de las ordenadas. El par de número que resulta de la unión de dos datos de cada eje se llama par ordenado. Estos se escriben separados por una coma dentro de paréntesis.
UBICACIÓN DE PUNTOS EN EL PLANO
Los puntos a ubicar en el plano cartesiano deben venir expresados en pares ordenados, es decir, un valor que indique las coordenadas en x e y que tendrá dicho punto. Convencionalmente, el primer valor corresponde al eje x y el segundo al eje y. Por ejemplo, el par ordenado (−6, 5) significa que el punto se encuentra a 6 unidades a la izquierda del origen (0) y 5 unidades por encima del origen. Vemos los siguientes ejemplos:
Ubiquemos el punto (4, −3)
Al igual que en la recta numérica, podemos representar la escala de los números enteros de uno en uno. Ubicamos el primer valor que se indica en el par ordenado sobre el eje x, es decir, 4. Luego localizamos el segundo número del par ordenado, o sea, −3 en el eje y.
A continuación, trazamos dos líneas guías: una vertical que pase por la coordenada de x, y una horizontal que pase por la coordenada de y. A estas líneas se les conocen como proyecciones ortogonales. El lugar donde ambas líneas se intersecan es la ubicación del punto. Sin embargo, es frecuente que el plano cartesiano se dibuje sobre una hoja cuadriculada o papel milimetrado, de modo que ya se tengan todas las líneas guías y sea más fácil la ubicación del punto.
Uso de la escala
Puedes seleccionar una escala conveniente en los ejes para que puedas ubicar de manera sencilla los puntos; por ejemplo, si deseas ubicar el punto de coordenadas (1.500, −4.500), no resulta práctico que hagamos un plano y que contemos de 1 en 1 hasta 4.500 divisiones. En ese caso, podemos tomar cada división equivalente a 500 unidades.
Ubiquemos el punto (−1,5, 2)
El procedimiento a seguir para ubicar número decimales es el mismo que en el ejemplo anterior, sin embargo, tomaremos una escala diferente. Como las coordenadas a ubicar en el plano son −1,5 y 2; podemos asignarle a cada división un valor de 0,5 unidades como se muestra a continuación:
¿Sabías qué?
Se dice que las primeras ideas del plano cartesiano le surgieron a René Descartes a muy temprana edad mientras observaba una mosca en el techo y se preguntaba cómo podía indicar su posición en el plano a partir de dos coordenadas.
Ubiquemos el punto (8, 4)
Aplicamos de nuevo el mismo procedimiento, pero en esta ocasión, como se trata de números más elevados, tomaremos la escala de 2 en 2 unidades; es decir, que cada división, equivale a 2 unidades.
EMPLEO DEL PLANO CARTESIANO
Aunque en matemática es común que utilicemos el plano cartesiano para representar puntos, vectores o funciones al relacionar dos variables espaciales (posición en x y posición en y), el empleo del plano cartesiano no se limita solo a eso. En física, por ejemplo, se suele utilizar para relacionar la posición y el tiempo, o el comportamiento del voltaje en función de la resistencia. En geografía, puede ser aplicado para observar el crecimiento demográfico a lo largo del tiempo. En finanzas, por otra parte, es de utilidad para representar las ganancias de una empresa en función de sus ventas.
El plano cartesiano es muy utilizado para representar funciones que relacionan dos variables, e incluso podemos graficar varias funciones sobre un mismo diagrama, lo cual nos permite identificar puntos de corte entre las curvas, simetrías, proporciones y otras características que tal vez no resultan tan evidentes a partir de las ecuaciones.
Diagramas en el plano
Estos diagramas pueden tener diversas aplicaciones, por ejemplo, de izquierda a derecha en la imagen observamos: 1) la representación de un número complejo como un par ordenado, 2) una campana gaussiana estudiada en estadística en distribuciones normales o 3) la superposición de tres gráficas que pueden ser ondas de vibraciones.
¡A practicar!
1. Ubica los siguientes puntos en el plano cartesiano:
a) (0,5, −2)
Solución
b) (5, −5)
Solución
c) (−12, 8)
Solución
d) Dada la siguiente gráfica, indica el par ordenado del siguiente punto en el plano cartesiano:
Solución
(10, −16)
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Plano cartesiano”:
Este artículo ofrece información sobre los elementos que conforman el plano cartesiano, así como también la explicación para ubicar puntos en coordenadas rectangulares.
En este artículo encontrarás el contenido relacionado con la representación puntos en el plano cartesiano, así como actividades lúdicas con aplicaciones del plano cartesiano.
Se trata de una herramienta muy útil para representar de forma ordenada los números reales en una dimensión, de manera que podamos visualizar con facilidad aspectos como la secuencia y la relación entre varios números, así como también soluciones de inecuaciones. Fue propuesta por John Wallis y es la base para la construcción del plano cartesiano.
Al igual que en la recta numérica, los números de las escalas en los instrumentos de medición, tales como una regla o cinta métrica, se encuentran ubicados de forma ordenada y con números consecutivos equidistantes. Las divisiones pueden a su vez contener subdivisiones para expresar fracciones o decimales de una medida.
ELEMENTOS DE UNA RECTA NUMÉRICA
Los elementos que podemos incluir en una recta numérica son muy variables, ya que dependerán del uso que hagamos de ella; pero, en esencia, la recta numérica está conformada por una recta horizontal en la que se indican generalmente los números enteros () con un origen (0) ubicado en el centro. Sin embargo, esta recta no es exclusiva de los números enteros, ya que en ella podemos representar cualquier número real ().
A la izquierda del cero se encuentran los números negativos y hacia la derecha los positivos. Además, suponemos que la prolongación de los extremos de la recta representa el infinito tanto positivo (a la derecha) como negativo (a la izquierda).
Los valores en la recta numérica se pueden representar de uno en uno, pero también se puede seleccionar a conveniencia una escala diferente, por ejemplo, de 0,5 en 0,5; o bien, de 3 en 3. También, podemos subdividir cada espacio en la recta real para representar números decimales o fracciones.
La escala de la regla es equivalente a la sección positiva de una recta numérica con una cantidad finita de números. En este caso, los centímetros son la escala principal y las subdivisiones representan los milímetros que proporcionan la parte decimal de una medida. A la menor medida que se pueda obtener con un instrumento se le denomina apreciación.
EL ORDEN DE LOS NÚMEROS
En la recta numérica los números están ordenados en forma ascendente de izquierda a derecha, es decir, si se comparan dos números, será mayor el que se localice más a la derecha.
Como ya hemos visto, cada división puede subdividirse para representar fracciones, las cuales pertenecen al conjunto de los números racionales (). Si para una determinada fracción realizamos la división del numerador entre el denominador, encontraremos su expresión decimal equivalente, es decir, toda fracción se puede expresar como un decimal; sin embargo, no todos los decimales tienen una fracción generatriz.
Los números decimales que no podemos expresar en fracciones pertenecen al conjunto de los números irracionales (), por ejemplo, el valor o la constante . A su vez, los números irracionales son un subconjunto de los números reales.
¿Sabías qué?
Los números negativos fueron aceptados universalmente e incluidos en la recta numérica a finales del siglo XVIII.
La constante π (pi) es un valor que contiene infinitos dígitos no periódicos en su parte decimal, por lo que pertenece al conjunto de los números irracionales. Su ubicación exacta en la recta real supone un inconveniente, por lo que se suele realizar un redondeo, por ejemplo, hasta la centésima (3,14) al momento de representar su valor en la recta numérica.
Podemos utilizar la longitud de segmentos de línea a escala sobre la recta numérica para efectuar operaciones de suma y resta. Por ejemplo:
Si queremos sumar 3 + 5, a partir del 0 representamos de izquierda a derecha un segmento de recta de longitud igual a 3 unidades y seguidamente dibujamos de izquierda a derecha otro segmento de longitud igual a 5 unidades. El resultado, será el valor indicado desde cero hasta donde llegue el último segmento trazado:
Ahora bien, si queremos restar 6 − 4, a partir de 0 debemos dibujar de izquierda a derecha una recta de longitud 6 unidades y luego, donde termina dicha recta, trazamos ahora de derecha a izquierda otra recta de longitud 4 unidades (quedará sobre el primer segmento dibujado). El resultado, será el valor indicado desde cero hasta el punto donde coinciden los dos segmentos de recta:
¿CÓMO UBICAR UN RADICAL EN LA RECTA NUMÉRICA?
Algunos números, en especial los radicales, resultan complicados de ubicar con precisión en la recta real, sin embargo, en algunos casos podemos hacer uso del teorema de Pitágoras y un compás, para determinar la ubicación precisa de estos valores.
Cabe destacar que este método es útil cuando podemos expresar el radical como la suma de dos términos que tienen raíces exactas, digamos: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49… entre otros.
Uno de los legados más conocidos del filósofo griego Pitágoras fue el teorema que lleva su nombre, el cual establece que en cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los catetos. Hasta la fecha, este se considera uno de los teoremas más utilizados en la matemática y la física clásica.
Por ejemplo, si deseamos ubicar en la recta numérica el procedimiento es el siguiente:
Descomponemos el número dentro del radical como la suma de dos términos con raíces enteras:
Expresamos cada término como la suma de dos cuadrados, es decir, cada término será la raíz de ese valor elevado al cuadrado:
Si hacemos la analogía con el teorema de Pitágoras:
La base de cada cateto a y b son los valores de los términos que están elevados al cuadrado dentro de la raíz, es decir, 3 y 2.
Para representar el radical en la recta numérica, a partir del cero (0) se construye un rectángulo de base a y altura b (o viceversa); y la diagonal que parte de cero a la otra esquina será la hipotenusa del triángulo rectángulo que quedará con la medida del radical que deseas ubicar.
Con un compás, hacemos centro en el origen 0 y con abertura equivalente a la diagonal (hipotenusa), trazamos un arco de circunferencia hasta que corte la recta numérica y ese será el valor del radical que deseamos ubicar: .
Ubica los siguientes valores en la recta numérica:
a)
Solución
b)
Solución
c) −0,5
Solución
d) Ubica en la recta numérica el valor de
Solución
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Artículo “La recta numérica”
En este artículo encontrarás contenido relacionado con la ubicación de los diferentes conjuntos de números en la recta real, y en particular, la explicación de cómo ubicar un número irracional en dicha recta.
Las sucesiones son series de números con un orden establecido llamado patrón. Algunas tienen un patrón en el que se suman o restan cantidades constantes, mientras que en otras el patrón se forma por medio de la multiplicación o división de cantidades constantes. Hoy aprenderemos cómo se llaman estos tipos de sucesiones y cómo calcular sus términos generales.
Las sucesiones forman parte de nuestra vida cotidiana. Incluso desde muy temprana edad ya están presentes de manera implícita en actividades que van desde aprender a contar hasta el cálculo de intereses compuestos de créditos bancarios. Las sucesiones se aplican cuando aprendemos a multiplicar o en programación para el diseño de videojuegos, por ejemplo.
¿QUÉ ES UNA SUCESIÓN?
Una sucesión es una secuencia ordenada de números o elementos que obedecen a un patrón o regla de formación particular. Por ejemplo, veamos la siguiente sucesión:
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 …
En este caso, la sucesión está formada por números ordenados que reconocemos como cifras pares. Los puntos suspensivos al final nos indican que la sucesión es infinita.
Nota que cada número es 2 unidades superior al anterior, por lo tanto, el patrón de la sucesión consta de sumar 2.
¿Sabías qué?
Los elementos de una sucesión se llaman “terminos”.
Si denominamos a1 al primer término de la sucesión, a2 al segundo término, a3 al tercer término, y así sucesivamente, podemos determinar la regla de sucesión que sigue hasta el enésimo valor que llamaremos an. Los subíndices indican el lugar que ocupa cada elemento en la sucesión.
Observa que:
a1 = 2
a2 = 4
a3 = 6
a4 = 8
an = 2n
A partir de este análisis podemos obtener el término general de la sucesión:
an = 2n
Donde n es cualquier número entero. Por ejemplo, si n = 5, el quinto término de la sucesión es:
a5 = 2 × 5 = 10
Los término a20 y a25 de esta misma sucesión son los siguientes:
a20 = 2 × 20 = 40
a25 = 2 × 25 = 50
¿Qué es el término general de la sucesión?
Es el término que ocupa el enésimo lugar en la sucesión. Se escribe con la letra que denota la sucesión y el subíndice n. Por ejemplo, an.
Leonardo Pisa dio a conocer el uso de las sucesiones de Fibonacci en la solución de problemas (aunque ya se las usaban muchos años atrás). La espiral de Fibonacci, se construye trazando arcos circulares entre dos diagonales de cuadrados adosados, cuyos lados equivalen a los términos de la sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…
Existen varias maneras de clasificar las sucesiones, por ejemplo, podemos decir que las sucesiones pueden ser finitas, o infinitas. Sin embargo, también podemos clasificarlas de acuerdo a la diferencia o a la razón entre sus términos. En estos casos hablamos de sucesiones aritméticas y geométricas.
Sucesiones aritméticas
Son aquellas en las que cada término, con excepción del primero, tiene una diferencia con el término anterior en una cantidad constante. Por ejemplo:
20.000, 22.000, 24.000, 26.000, ..
Esta es una sucesión aritmética porque la diferencia entre un término y el siguiente es la misma en cada caso, es decir, la diferencia es constante.
A esta diferencia, denominada diferencia común y representada como d, la podemos obtener por medio de una resta entre cualquier término y su término anterior. Para la sucesión antes señalada la diferencia común d es:
d = 22.000 − 20.000 = 2.000
d = 24.000 − 22.000 = 2.000
d = 26.000 − 24.000 = 2.000
Observa que sin importar el término que elijas la diferencia siempre será la misma.
– Otro ejemplo:
Para la siguiente sucesión:
5, 1, −3, −7, −11, −15, …
La diferencia común d = −4 porque:
d = 1 − 5 = −4
d = −3 − 1 = −4
d = −15 − (−11) = −4
¡Es tu turno!
Observa estas sucesiones aritméticas, ¿cuál es la diferencia común d?
−15, −12, −9, −6, −3, 0, 3, …
Solución
d = 3
230, 345, 460, 575, 690, 805, …
Solución
d = 115
Término enésimo de una sucesión aritmética
El término enésimo de una sucesión aritmética con un primer término a1 y una diferencia común d es el siguiente:
an = a1 + d(n − 1)
– Ejemplo:
Para la siguiente sucesión:
−3, −1, 1, 3, 5, …
La diferencia común d = 2 porque:
d = −1 − (−3)
d = 2
Por lo tanto, si a1 = −3 y d = 2, el término enésimo de la sucesión es:
an = a1 + d(n −1)
an = −3 + 2(n − 1)
an = −3 + (2n − 2)
an = −3 + 2n − 2
an = 2n − 5
Entonces, si queremo determinar a10, a12 y a15 solo aplicamos:
a10 = 2n − 5 = 2 (10) − 5 = 20 − 5
a10 =15
a12 = 2n − 5 = 2 (12) − 5 = 24 − 5
a12 = 19
a15 = 2n − 5 = 2 (15) − 5 = 30 − 5
a15 = 25
Podemos considerar los ahorros como una sucesión aritmética. Por ejemplo, si tenemos $ 10 ahorrados y cada mes le sumamos $ 2, los primeros cuatro meses podríamos representarlos como: 10, 12, 14, 16, … Entonces, si a1 = 10 y la diferencia común d = 2, el término enésimo de esta sucesión sería: an = 8 + 2n. Calcula cuánto podemos ahorrar de esta manera en 6 meses.
Sucesiones geométricas
Son aquellas en las que cada término (excepto el primero) es múltiplo del término anterior de la sucesión. El cociente entre cualquier término y su precedente es constante. Por ejemplo:
20.000, 30.000, 45.000, 67.500, 101.250, …
Esta es una sucesión geométrica porque el cociente de la división entre cualquier término y su anterior es el mismo en cada caso.
Este cociente es igual al múltiplo común entre términos y se llama razón común (r). Se obtiene al dividir un término con el que le precede. Para esta sucesión la razón común se determina así:
r = 30.000 ÷ 20.000 = 1,5
r = 45.000 ÷ 30.000 = 1,5
r = 101.250 ÷ 67.500 = 1,5
Observa que sin importar el término que elijas la razón común es la misma: 1,5.
– Otro ejemplo:
Para la siguiente sucesión:
3, 12, 48, 192, 768, 3.072, …
La razón común es 4 porque:
r = 12 ÷ 3 = 4
r = 48 ÷ 12 = 4
r = 768 ÷ 192 = 4
¡Es tu turno!
Observa estas sucesiones geométricas, ¿cuál es la razón común?
5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, …
Solución
r = 2
−18, 54, −162, 486, −1.458, …
Solución
r = −3
Término enésimo de una sucesión geométrica
El término enésimo de una sucesión geométrica con un primer término a1 y una razón común r es el siguiente:
an = a1(rn − 1)
– Ejemplo:
Para la siguiente sucesión:
3, −6, 12, −24, 48, −96, …
La razón común r = −2 porque:
r = −6 ÷ 3 = −2
r = −24 ÷ 12 = −2
r = −96 ÷ 48 = −2
Por lo tanto, si a1 = 3 y r = −2, el término enésimo de la sucesión es:
an = a1(rn − 1)
an = 3(−2n − 1)
Entonces, si queremos determinar a8, a10 y a12 solo aplicamos:
La división celular es un ejemplo de sucesión geométrica, ya que si por ejemplo, partimos de una célula (a1 = 1), durante el proceso de meiosis esta se divide y obtenemos dos células nuevas (a2 = 2). Luego, estas dos células a su vez se dividen y se tienen 4 células más (a3 = 4). La razón de progresión r = 2 y an = 2n − 1.
Resolvamos unos problemas
1. Marcos comenzó un trabajo y su pago inicial fue de $ 15.000. Se le prometió un aumento de $ 1.500 después de cada año. ¿Cuál será su salario en el séptimo año de trabajo? ¿y en el décimo año?
Datos
Salario inicial = a1= $ 15.000
Aumento anual = d = $ 1.500
Reflexiona
Su salario después de los primeros años es: 15.000, 16.500, 18.000, 19.500 … Ya que se suma una cantidad constante, esta es una sucesión aritmética. El término general enésimo de una sucesión aritmética es an = a1 + d(n − 1). Donde a1 = 15.000. Tenemos que calcular la diferencia común, luego el término enésimo y finalmente a7 y a10.
Calcula
– Diferencia común, d
d = 16.500 − 15.000 = 1.500
– Término enésimo
an = a1 + d(n − 1)
an = 15.000 + 1.500(n − 1)
an = 15.000 + 1.500n − 1.500
an = 13.500 + 1.500n
– Términos a7 y a10
a7 = 13.500 + 1.500(7)
a7 = 13.500 + 10.500
a7 = 24.000
a10 = 13.500 + 1.500(10)
a10 = 13.500 + 15.000
a10 = 28.500
Responde
En su séptimo año Marcos tendrá un salario de $ 24.000.
En su décimo año Marcos tendrá un salario de $ 28.500.
2. Un auditorio tiene 15 asientos en la primera fila. Cada fila sucesiva tiene tres asientos más que el anterior. ¿Cuántos asientos hay en las primeras diez filas?
Datos
Asientos en la primera fila = a1 = 15
Diferencia con las demás filas = d = 3 asientos
Reflexiona
Como cada fila tiene 3 asientos más que la anterior se trata de una sucesión aritmética. Primero calculamos el término enésimo y luego determinamos los primeros diez términos.
Calcula
– Término enésimo
an = a1 + d(n − 1)
an = 15 + 3(n − 1)
an = 15 + 3n − 3
an = 12 + 3n
– Primeros diez términos
a1 = 12 + 3(1) = 12 + 3 = 15
a2 = 12 + 3(2) = 12 + 6 = 18
a3 = 12 + 3(3) = 12 + 9 = 21
a4 = 12 + 3(4) = 12 + 12 = 24
a5 = 12 + 3(5) = 12 + 15 = 27
a6 = 12 + 3(6) = 12 + 18 = 30
a7 = 12 + 3(7) = 12 + 21 = 33
a8 = 12 + 3(8) = 12 + 24 = 36
a9 = 12 + 3(9) = 12 + 27 = 39
a10 = 12 + 3(10) = 12 + 30 = 32
Responde
La cantidad de asientos en cada fila sigue este orden: 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 32.
3. José tiene una alcancía. Si el día 1 sacó $ 1, el día 2 sacó $ 2, el día 3 sacó $ 4, el día 4 sacó $ 8, y así sucesivamente, ¿cuánto dinero sacó después de 30 días?
Datos
Dinero sacado el día 1 = a1 = $ 1
Dinero sacado el día 2 = a2 = $ 2
Dinero sacado el día 3 = a3 = $ 4
Dinero sacado el día 4 = a4 = $ 8
Reflexiona
Como la cantidad de dinero sacado se multiplica cada día, se trata de una sucesión geométrica. Por lo tanto, a partir de la fórmula general del término enésimo (an = a1(rn − 1)) podremos saber el dinero sacado a los 30 días. Nota que a1 = 1 y r = 2.
Calcula
an = a1(rn − 1)
a30 = 1(230 − 1)
a30 = 1(229)
a30 = 536.870.912
Responde
José sacó $ 536.870.912.
Las sucesiones también pueden clasificarse como progresivas o ascendentes; o regresivas o descendentes. Las primeras son aquellas que van de menor a mayor, mientras que las segundas son las que van de mayor a menor. Un ejemplo de estas sucesiones podemos verlo en el orden en el que enumeran los asientos de un estadio.
¡A practicar!
Observa las siguientes sucesiones.
Indica si la sucesión es aritmética o geométrica.
Encuentra el término enésimo.
Determina a12 en cada caso.
20, 19,3, 18,6, 17,9, …
Solución
a.
Es una sucesión aritmética.
b.
Si d = −0,7 y a1 = 20 el término enésimo es:
an = a1 + d(n − 1)
an = 20 + 0,7(n − 1)
an = 20 + (0,7n − 0,7)
an = 20 − 0,7n + 0,7
an = 20,7 − 0,7n
c.
a12 = 20,7 − 0,7 (12) = 20,7 − 8,4
a12= 12,3
4, 2, 1, 0,5, 0,25, …
Solución
a.
Es una sucesión geométrica.
b.
Si a1 = 4 y r = 0,5 el término enésimo es:
an = a1(rn − 1)
an = 4(0,5n − 1)
c.
a12 = 4(0,512 − 1) = 4 (0,513)
a12 = 4,8 × 10−5
13, 23, 33, 43, 53, 63, …
Solución
a.
Es una sucesión aritmética.
b.
Si a1 = 13 y d = 10 el término enésimo es:
an = a1 + d(n − 1)
an = 13 + 10(n − 1)
an = 13 + 10n − 10
an = 3 + 10n
c.
a12 = 3 + 10(12) = 3 + 120
a12 = 123
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Sucesiones”
En el siguiente artículo encontrarás ejemplos relacionados con sucesiones aritméticas. Adicionalmente, el artículo describe algunos tipos de sucesiones.
El triángulo es una de las figuras geométricas más estudiadas en la geometría y, a pesar de su simplicidad, es muy usado en muchos cálculos para resolver diversos problemas. Este polígono de tres lados puede clasificarse en diferentes tipos según el criterio que se considere.
clasificación
Los triángulos son clasificados con respecto a sus lados en: equiláteros, isósceles y escalenos. Por otro lado, si se considera la medida de sus ángulos, pueden clasificarse en: acutángulos, rectángulos y obtusángulos.
Clasificación con respecto a los lados
Triángulo equilátero: tiene sus tres lados iguales.
Triángulo isósceles: tiene dos lados iguales.
Triángulo escaleno: tiene sus tres lados diferentes.
Clasificación con respecto a los ángulos
Triángulo acutángulo: tiene los tres ángulos agudos, es decir, menores a 90°.
Triángulo rectángulo: uno de sus ángulos es recto, es decir, mide 90°.
Triángulo obtusángulo: uno de sus ángulos es obtuso.
ángulos internos de un triángulo
Como vimos anteriormente, los ángulos internos tienen mucha importancia con respecto a la clasificación de los triángulos. Pero, además, existe una gran relación entre ellos: la suma de todos los ángulos internos de un triángulo es igual a 180º.
Suma de ángulos internos
Cada ángulo interno esta formado por dos lados que comparten un extremo en común, el vértice. La suma de estos ángulos internos de un triángulo siempre dará como resultado 180º, independientemente de qué tipo de triángulo sea.
¿Sabías qué?
El ángulo interno y externo de un triángulo son suplementarios; es decir, la suma de ellos es de 180º.
triángulos congruentes
Dos triángulos son congruentes si son isométricos entre sí. Esto quiere decir que tienen las mismas dimensiones, aunque no necesariamente la misma orientación.
Ejemplo de triángulos congruentes:
En la imagen anterior se observan dos triángulos con diferente posición y orientación. Sin embargo, son congruente porque sus dimensiones son las mismas y por lo tanto, son isométricos entre sí.
Los triángulos son unas de las figuras geométricas más estudiadas porque pueden formar otras más complejas. Los polígonos regulares, por ejemplo, pueden dividirse en tantos triángulos iguales como lados tengan. El hexágono es el único polígono regular en el que todos los triángulos que lo forman son equiláteros (tres lados iguales), el resto de polígonos regulares están formados por triángulos isósceles (dos lados iguales).
construcción de triángulos
Para la construcción de triángulos, la herramienta fundamental es el compás (aunque en algunos casos también puede usarse el transportador). Al conocer las distancias entre los puntos que conforman al triángulo se puede realizar su construcción.
¿Cómo construimos un triángulo?
Para construir un triángulo equilátero debemos seguir los siguientes pasos:
Paso 1.Dibujamos un segmento con la longitud deseada para cada uno de los lados del triángulo equilatero.
Paso 2. Con el compás apoyado en uno de los extremos, realizamos un arco con un radio igual al segmento .
Paso 3. Realizamos un arco de la misma longitud pero del lado opuesto para generar un punto de intersección.
Paso 4. Unimos con dos segmentos el extremo A y el punto de unión, y el extremo B y el mismo punto.
Paso 5. Borramos las lineas auxiliares realizadas por el compás y finalmente obtenemos el triángulo equilátero.
Todo triángulo tiene tres lados y tres ángulos. Para su construcción necesitamos conocer al menos tres de esos datos, con la salvedad de que uno de ellos sea un lado. De esta manera, se puede construir un triángulo si se conocen: tres lados; dos lados y el ángulo entre ellos; o un lado y sus dos ángulos contiguos.
¡A practicar!
1. Determina qué tipos de triángulo son los siguientes según sus lados.
a)
RESPUESTAS
Es un triángulo equilátero porque todos sus lados tienen la misma longitud.
b)
RESPUESTAS
Es un triángulo isósceles porque dos de sus lados son iguales.
c)
RESPUESTAS
Es un triángulo escaleno porque todos sus lados son diferentes.
2. ¿Cómo se denominan los triángulos que poseen un ángulo igual a 90°?
RESPUESTAS
Triángulos rectángulos.
3. ¿Qué tipo de triángulo posee todos sus ángulos menores a 90°?
RESPUESTAS
Los triángulos acutángulos.
4. Determina en cada caso si los triángulos son congruentes.
a)
RESPUESTAS
No son triángulos congruentes.
b)
RESPUESTAS
Son triángulos congruentes.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Triángulo”
En el siguiente artículo se profundiza el concepto de triángulo, se explica cómo denotarlos y se comentan sus propiedades principales.
Artículo “Determinación de rectas y puntos notables de los triángulos”
Este artículo, además de explicar las diferentes clasificaciones de los triángulos, hace hincapié en los diferentes puntos notables que tienen estas figuras y las características geométricas de los mismos.
La geometría es una rama de la matemática que estudia las formas de diferentes figuras como triángulos, cuadrados, y rectángulos, entre otras. Una parte de su estudio consta de la mediciones de áreas y perímetros. A continuación, trabajaremos sobre estos cálculos en algunas figuras geométricas.
cálculo de áreas en figuras geométricas
Las figuras geométricas comparten entre sí ciertas características que son de interés para la geometría. Entre esas características se encuentra el cálculo de áreas. El área es la extensión de la superficie de una figura, y para calcularla primero se debe saber ante qué tipo de figura nos encontramos. En esta sección, trabajaremos con rectángulos y triángulos.
Para calcular el área de un rectángulo se debe conocer su base y su altura. En la siguiente figura se muestran dichos valores.
El área se calculará entonces como la multiplicación de la longitud de sus lados:
Los rectángulos son un tipo de paralelogramo, es decir, cuadriláteros con sus lados opuestos paralelos dos a dos. Los rectángulos tienen la particularidad de que sus cuatro ángulos internos miden 90°. De esta forma, se puede afirmar que el cuadrado es un tipo de rectángulo que se diferencia del resto porque todos sus lados tienen la misma longitud.
Área de un triángulo:
Para calcular el área de un triángulo, debemos imaginarlo como la mitad de un rectángulo. En la siguiente figura se puede ver tal afirmación.
El área se calculará entonces como la multiplicación de la longitud de sus lados pero dividido por dos (porque hablamos de la mitad de un rectángulo):
Teorema de Pitágoras
Los triángulos rectángulos son aquellos que poseen un ángulo interno igual a 90º. Los catetos en este caso son la base (b) y la altura (h), y el lado de mayor longitud recibe el nombre de hipotenusa.
El teorema de Pitágoras dice que: “La hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los catetos al cuadrado“.
Si consideramos ambos catetos como C1 y C2, y la hipotenusa como H, el teorema de Pitágoras queda expresado de la siguiente manera:
Cálculo de área de un rectángulo
Se tiene una pieza de madera en forma de rectángulo que mide 1 metro de base y 3 metros de alto. ¿Cuál es el área de esta pieza?
La pieza tiene un área de 3 m2.
Cálculo de área de un triángulo
Se tiene un triángulo rectángulo de 2 centímetros de base y 4 centímetros de altura. ¿Cuál es su área?
El triángulo tiene un área de 4 cm2.
¿Sabías qué?
Según sus ángulos, los triángulos pueden clasificarse en agudos, rectángulos y obtusos.
unidades usadas para medir superficie o área
En los ejemplos anteriores, se observa que cuando se calcula un área el resultado tiene una unidad de longitud elevada al cuadrado. Las unidades sirven para poder expresar el tamaño de determinadas mediciones. En este caso, se trata del área de una figura geométrica.
Tipos de unidades
Las unidades más comunes para expresar áreas de figuras geométricas son los metros cuadrados (m2) y los centímetros cuadrados (cm2). Sin embargo, cualquier unidad de longitud puede ser utilizada para el cálculo de un área.
Existen otras unidades de área como la hectárea que equivale a la superficie de un cuadrado de 100 m en cada lado. Es decir, 1 hectárea equivale a 10.000 m2.
Ejemplo de cálculo de área con diferentes unidades
Se tiene el siguiente cuadrado (un rectángulo donde sus cuatro lados son iguales) con el valor de sus lados expresados en diferentes unidades.
El área del cuadrado se puede calcular de la siguiente manera:
Donde:
A = área.
L = longitud de uno de los lados del cuadrado.
De acuerdo al valor del número que se reemplace en la ecuación, el área será diferente numéricamente, pero las diferentes unidades de longitud permiten correlacionar todos los valores. De esta forma, representan al mismo valor de área pero con diferente unidad:
Área (m2) = (0,5 m)2 = 0,25 m2
Área (cm2) = (50 cm)2 = 2.500 cm2
Área (mm2)= (500 mm)2 = 250.000 mm2
Sin embargo, cualquiera de las tres opciones son el mismo resultado. Solo que con unidades diferentes. La diferencia es solo numérica.
Por lo tanto:
0,25 m2 = 2.500 cm2 = 250.000 mm2
cálculo de perímetro de figuras geométricas simples y compuestas
El cálculo del perímetro se realiza de modo similar al cálculo del área. El perímetro es el contorno de la figura, por lo tanto, para calcularlo se recurrirá simplemente a la suma de la longitud de sus lados.
Perímetro de figuras
A continuación, se mostrarán las fórmulas de cálculo de perímetro de triángulos, cuadrados y rectángulos.
Perímetro de un triángulo = cateto + cateto + hipotenusa
Perímetro de un cuadrado = lado + lado + lado + lado
Perímetro de un rectángulo = base + altura + base + altura
El cálculo del perímetro puede realizarse en figuras simples, como es el caso de los tres ejemplos anteriormente mencionados, o en figuras compuestas, cuando se combinan dos o más de estas figuras.
Ejemplo de cálculo de perímetro de una figura compuesta:
Para calcular el perímetro de la figura compuesta debe sumarse las longitudes de todo el contorno de esta. Por lo tanto:
El perímetro se calculará como la suma de los siguientes contornos:
2 lados del cuadrado de 45 cm
2 lados del rectángulo de 10 cm
1 lado del rectángulo de 45 cm
1 lado del triángulo de 45 cm
1 lado (la hipotenusa) del triángulo de 63,6 cm
Perímetro = (2 × 45 cm) + (2 × 10 cm) + 45 cm + 45 cm + 63,6 cm = 263,6 cm
Prestar atención a las unidades: en esta caso, como simplemente se calculó una longitud, la unidad del perímetro es en cm.
¡A practicar!
1. ¿Cuál es el área y el perímetro del siguiente triángulo?
RESPUESTAS
El área del triángulo es de 24 cm2.
El perímetro del triángulo es de 24 cm.
2. ¿Cuál es el área y el perímetro del siguiente rectángulo?
RESPUESTAS
El área del rectángulo es de 35 cm2.
El perímetro del rectángulo es de 24 cm.
3. ¿Cuál es el perímetro de la siguiente figura?
RESPUESTAS
3 lados del cuadrado de 7 cm
1 lado del rectángulo de 7 cm
1 lado del rectángulo de 6 cm
1 lado del triángulo de 5 cm
1 lado (la hipotenusa) del triángulo de 7,8 cm
El perímetro de la figura es de 46,8 cm.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Teorema de Pitágoras”
En este artículo se explica en qué consiste el teorema de Pitágoras, sus aplicaciones, y presenta distintos ejercicios.
La adición y la sustracción de fracciones se realiza con diferentes métodos. El método elegido va a depender del tipo de fracción que se vaya a sumar o a restar. Si las fracciones son homogéneas, se coloca el mismo denominador y se suman o restan sus numeradores. Cuando las fracciones son heterogéneas se pueden emplear diferentes procedimientos como la multiplicación cruzada, la aplicación del mínimo común múltiplo (mcm) a los denominadores de las fracciones o el uso de fracciones equivalentes.
Las fracciones también se pueden sumar o restar con los números enteros, para lo cual se convierte el número entero en fracción.
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES
La multiplicación de fracciones se realiza mediante la multiplicación lineal de sus factores, numerador por numerador y denominador por denominador. Por otra parte, la división de fracciones tiene tres formas de resolverse. Una de ellas es de forma cruzada, a través de la multiplicación del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y el resultado se coloca como numerador de la fracción resultante. Luego se multiplica el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda y el resultado se coloca en el denominador resultante. Otra manera es intercambiar el numerador y el denominador de la segunda fracción para resolverlo de manera lineal como la multiplicación. Y por último, otra opción consiste en el método de la doble c, en el cual la segunda fracción se coloca por debajo de la primera y se multiplican los términos exteriores para obtener el numerador resultante y los interiores para obtener el denominador resultante.
Conocer cómo simplificar fracciones es muy importante para facilitar los cálculos.
FRACCIONES Y DECIMALES
Las fracciones y los números decimales se encuentran muy relacionados, ya que las fracciones se pueden representar de forma decimal y algunos decimales se pueden expresar de forma fraccionaria. Las fracciones se encuentran formadas por el numerador y el denominador separados por una línea horizontal. Los decimales tienen una parte entera y una parte decimal divididas por una coma. Al dividir el numerador entre el denominador de una fracción se obtiene un número decimal (o entero cuando se trata de una fracción aparente). Por otra parte, los decimales se pueden convertir en fracciones por diferentes procedimientos, según el número decimal sea exacto, periódicopuro o periódico mixto. Existen números decimales que no pueden ser convertidos en fracciones como el número pi y son denominados números irracionales.
Los números periódicos son números decimales infinitos con una o más cifras decimales denominadas período que se repiten indefinidamente.
EL PORCENTAJE
El porcentaje se representa con el símbolo “%”. Es una forma de expresar una fracción dividida entre 100. Por esta razón, los números fraccionarios, los decimales y los porcentajes se encuentran muy relacionados. Los porcentajes se pueden transforman en números decimales al dividirlos entre el 100 %. Para calcular el porcentaje de una cifra se puede realizar mediante dos procedimientos. El primero es convertir el porcentaje en una fracción decimal y multiplicarlo por la cantidad total. Y el segundo método consiste en la regla de tres simple, en la cual el valor total es equivalente al 100 % y el porcentaje buscado corresponde al valor de la incógnita que queremos conocer.
El porcentaje es muy utilizado en el comercio para promocionar descuentos o realizar recargos al momento de la compra.
