CAPÍTULO 3 / TEMA 2

FRACCIONES EQUIVALENTES

Hay fracciones que aunque parezcan diferentes representan la misma cantidad. Por ejemplo, si un amigo te ofrece 1/2 de un alfajor y otro te ofrece 2/4 de un alfajor, ¿quién te ofrece más? ¡Ninguno! ¡Los dos ofrecen lo mismo! Este tipo de fracciones son conocidas como fracciones equivalentes y son muy fáciles de distinguir.

¿QUÉ ES UNA FRACCIÓN EQUIVALENTE?

Decimos que dos o más fracciones son equivalentes cuando todas ellas representan a la misma cantidad, es decir, al mismo número. Veamos un ejemplo:

$\boldsymbol{\frac{2}{3}} =$

$\boldsymbol{\frac{4}{6}}=$

Podemos observar que en ambas fracciones pintamos la misma porción del entero, lo que quiere decir que ambas fracciones representan la misma cantidad. Por lo tanto, decimos que $\frac{2}{3}$ y $\frac{4}{6}$ son fracciones equivalentes, y las podemos escribir así:

$\boldsymbol{\frac{2}{3}=\frac{4}{6}}$

¿Hay una sola fracción equivalente?

Cada fracción tiene muchas fracciones equivalentes. Por ejemplo, otra fracción equivalente de $\frac{2}{3}$ es $\frac{8}{12}$ :

Entonces, como las 3 fracciones son equivalentes entre sí, podemos escribir:

$\boldsymbol{\frac{2}{3}=\frac{4}{6}=\frac{8}{12}}$

Decimos que dos o más fracciones son equivalentes cuando todas ellas representan a la misma cantidad, es decir, al mismo número. Por lo tanto, hay muchas formas de decir media sandía: 1/2 , 2/4 , 4/8 , 8/16 , 16/32 y muchas más. Todas ellas son fracciones equivalentes que indican la mitad de un entero.

¿Cómo saber si dos fracciones son equivalentes?

Dos fracciones son equivalentes si al multiplicar sus términos en forma de cruz el resultado el mismo.

$\boldsymbol{\frac{3}{4}}$ y $\boldsymbol{\frac{6}{8}}$ son fracciones equivalentes porque $\boldsymbol{3\times 8=4\times 6}$

$\boldsymbol{\frac{3}{5}}$ y $\boldsymbol{\frac{6}{18}}$ no son equivalentes porque $\boldsymbol{3\times 18\neq 5\times 6}$

¡Es tu turno!

¿Estas fracciones son equivalentes?

$\boldsymbol{\frac{2}{5}}$ y $\boldsymbol{\frac{6}{15}}$

Solución

$\boldsymbol{\frac{2}{5}}$ y $\boldsymbol{\frac{6}{15}}$ son fracciones equivalentes porque $\boldsymbol{2\times 15=5\times 6}$

$\boldsymbol{\frac{4}{7}}$ y $\boldsymbol{\frac{3}{5}}$

Solución

$\boldsymbol{\frac{4}{7}}$ y $\boldsymbol{\frac{3}{5}}$ no son fracciones equivalentes porque $\boldsymbol{4\times 5\neq 7\times 3}$

¿cómo CONVERTIR FRACCIONES EQUIVALENTES?

Las fracciones equivalentes se pueden obtener por medio de dos métodos: amplificación y simplificación.

Amplificación de fracciones

Para obtener fracciones equivalentes por amplificación debemos multiplicar al numerador y al denominador de la fracción por un mismo número distinto de cero.

Si al numerador y al denominador de la fracción $\frac{3}{5}$ los multiplicamos por 3, obtenemos $\frac{9}{15}$ y por lo tanto, ambas fracciones son equivalentes.

Así, si multiplicamos al numerador y al denominador por 4, obtenemos otra fracción equivalente: $\frac{12}{20}$ .

Y si multiplicamos por 5, obtenemos otra: $\frac{15}{25}$ .

Podemos escribir las fracciones obtenidas de la siguiente manera:

$\boldsymbol{\frac{3}{5}=\frac{9}{15}=\frac{12}{20}=\frac{15}{25}}$

¡Puedes comprobarlo!

Las fracciones equivalentes, a pesar de tener numeradores y denominadores diferentes, representan una misma cantidad. Puedes corroborar esto si divides el numerador entre el denominador.

$\boldsymbol{\frac{3}{5}=3\div 5=0.6}$

$\boldsymbol{\frac{9}{15}=9\div 15=0.6}$

$\boldsymbol{\frac{12}{20}=12\div 20=0.6}$

$\boldsymbol{\frac{15}{25}=15\div 25=0.6}$

Simplificación de fracciones

Para obtener fracciones equivalentes por simplificación debemos dividir al numerador y al denominador de la fracción por un mismo número distinto de cero. Pero en este caso, el número debe ser un divisor común entre el numerador y el denominador. Es decir, tanto el numerador como el denominador se deben poder dividir por el número.

Si al numerador y al denominador de la fracción $\frac{30}{15}$ los dividimos por 3, obtenemos $\frac{10}{5}$ , que es una fracción equivalente.

Los divisores comunes entre 30 y 15 son: 3, 5, 15. Entonces, también podemos simplificar la fracción $\frac{30}{15}$ si dividimos el numerador y denominador por 5, cuyo resultado es $\frac{6}{3}$ .

Y si dividimos por 15, obtenemos $\frac{2}{1}$ , otra fracción equivalente.

Como todas representan la misma cantidad, podemos escribirlas de este modo:

$\boldsymbol{\frac{30}{15}=\frac{10}{5}=\frac{6}{3}=\frac{2}{1}}$

¿Sabías qué?

Cuando una fracción no puede simplificarse se dice que es una fracción irreducible.

Para obtener fracciones equivalentes por amplificación debemos multiplicar al numerador y al denominador de la fracción por un mismo número distinto de cero; y para obtener fracciones equivalentes por simplificación debemos dividir al numerador y al denominador de la fracción por un mismo número distinto de cero que sea divisor común entre ambos.

APLICACIÓN DE LAS FRACCIONES EQUIVALENTES EN OPERACIONES DE FRACCIONES

Podemos usar las fracciones equivalentes para sumar y restar fracciones heterogéneas (aquellas que tienen distinto denominador). Para estos solo tenemos que convertirlas en fracciones homogéneas, es decir, en fracciones con igual denominador. Luego sumamos o restamos los numeradores y conservamos el denominador.

– Ejemplo:

$\boldsymbol{\frac{2}{4}+\frac{8}{2}=}$

Los denominadores son 4 y 2. Pero si en la segunda fracción multiplicamos numerador y denominador por 2, obtenemos $\frac{16}{4}$ , que es una fracción equivalente.

$\boldsymbol{\frac{8}{2}=\frac{16}{4}}$

Entonces, la suma queda así:

$\boldsymbol{\frac{2}{4}+\frac{16}{4}=\frac{2+16}{4}=\frac{18}{4}}$

También podemos representar esta fracción final de una manera más simple si encontramos un divisor común. Como 18 y 4 son divisible por 2, su fracción equivalente es $\frac{9}{2}$ .

$\boldsymbol{\frac{18}{4}=\frac{9}{2}}$

Por lo tanto:

$\boldsymbol{\frac{2}{4}+\frac{16}{4}=\frac{2+16}{4}=\frac{18}{4}=\boldsymbol{\frac{9}{2}}}$

– Otro ejemplo:

$\boldsymbol{\frac{6}{5}-\frac{1}{2}=}$

Los denominadores son 5 y 2, así que debemos encontrar el mínimo común múltiplo entre ambos, que es 10. Para llegar de 5 a 10, debemos multiplicar a 5 por 2. Entonces, amplificamos la fracción $\frac{6}{5}$ por 2:

$\boldsymbol{\frac{6}{5}=\frac{12}{10}}$

Y para llegar de 2 a 10, debemos multiplicar a 2 por 5. Amplificamos esta fracción por 5:

$\boldsymbol{\frac{1}{2}=\frac{5}{10}}$

La resta queda así:

$\boldsymbol{\frac{12}{10}-\frac{5}{10}=\frac{12-5}{10}=\frac{7}{10}}$

Las fracciones equivalentes se pueden utilizar para sumar y restar fracciones heterogéneas (que tienen distinto denominador). Para poder sumarlas o restarlas, debemos convertirlas en fracciones homogéneas, es decir, que tengan el mismo denominador. Y para convertirlas en fracciones homogéneas, utilizamos fracciones equivalentes de las originales.

¡A practicar!

1. Indica si estas equivalencias son verdaderas o falsas.

$\boldsymbol{\frac{8}{11}=\frac{33}{44}}$

Solución

Falso. Estas fracciones no son equivalentes porque 8 × 44 ≠ 11 × 33.

$\boldsymbol{\frac{1}{5}=\frac{3}{15}}$

Solución

Verdadero. Estas fracciones sí son equivalentes porque 1 × 15 = 5 × 3.

$\boldsymbol{\frac{4}{12}=\frac{20}{24}}$

Solución

Falso. Estas fracciones no son equivalentes porque 4 × 24 ≠ 12 × 20.

$\boldsymbol{\frac{9}{10}=\frac{36}{30}}$

Solución

Falso. Estas fracciones no son equivalentes porque 9 × 30 ≠ 10 × 36.

$\boldsymbol{\frac{7}{8}=\frac{14}{16}}$

Solución

Verdadero. Estas fracciones sí son equivalentes porque 7 × 16 = 8 × 14.

$\boldsymbol{\frac{6}{9}=\frac{24}{36}}$

Solución

Falso. Estas fracciones no son equivalentes porque 9 × 24 ≠ 6 × 36.

2. Realiza los siguientes cálculos. Utiliza sus fracciones equivalentes:

$\boldsymbol{\frac{1}{4}+\frac{3}{2}=}$

Solución

$\boldsymbol{\frac{1}{4}+\frac{6}{4}=\frac{6+1}{4}=\frac{7}{4}}$

$\boldsymbol{\frac{2}{3}+\frac{6}{4}=}$

Solución

$\boldsymbol{\frac{8}{12}+\frac{18}{12}=\frac{8+18}{12}=\frac{26}{12}=\frac{13}{6}}$

$\boldsymbol{\frac{7}{5}-\frac{2}{2}=}$

Solución

$\boldsymbol{\frac{14}{10}-\frac{10}{10}=\frac{14-10}{10}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}}$

$\boldsymbol{\frac{8}{3}-\frac{2}{5}=}$

Solución

$\boldsymbol{\frac{40}{15}-\frac{6}{15}=\frac{40-6}{15}=\frac{34}{15}}$

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Fracciones equivalentes”

En este artículo podrás ahondar en los conceptos de amplificación y simplificación de fracciones, hasta llegar al concepto de fracción irreducible.

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Micrositio “Operaciones matemáticas”

En este micrositio, las tarjetas te ayudarán a profundizar en el procedimiento que debe realizarse en las operaciones matemáticas de adición, resta, multiplicación y división de fracciones homogéneas y heterogéneas.

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CAPÍTULO 4 / TEMA 3

Propiedades de la potencia

Cada vez que necesitamos hacer una multiplicación del mismo número repetidas veces, recurrimos a la potenciación. Esta operación, así como muchas otras, cumple con ciertas propiedades. ¿Cuál es la manera correcta de aplicarlas?, ¿cuáles son los beneficios? A continuación, aprenderás cuáles son y sus aplicaciones prácticas.

La potencia o potenciación es una operación matemática que consiste en multiplicar varias veces un mismo número. Consta de una base, que es el número que se multiplica, y de un exponente, que es el número que señala la cantidad de veces que se multiplica la base por sí misma. Es decir, la potenciación no es más que una multiplicación abreviada.

principales propiedades de la potencia

Las propiedades de potenciación tienen una gran cantidad de aplicaciones, pero también tienen ciertas restricciones y es importante conocerlas para no cometer errores en su resolución. Entonces, siempre que apliquemos las propiedades será a las operaciones de multiplicación y división, nunca será a las operaciones de suma y resta.

En verde están las operaciones a las que aplicaremos las propiedades de potenciación, y en rojo, las operaciones a las que no podremos aplicarlas nunca.

En la siguiente tabla podrás observar las propiedades de la potenciación:

Propiedades de la potenciación
Producto de potencia de igual base	a^m· aⁿ= a^{(m + n)}
Cociente de potencia de igual base	a^m/ aⁿ= a^{(m − n)}
Potencia de potencia	(a^m)ⁿ= a^{n · m}
Producto de potencias con bases diferentes y exponentes iguales	aⁿ· bⁿ = (a · b)ⁿ
Cociente de potencias con bases diferentes y exponentes iguales	aⁿ/ bⁿ= (a / b)ⁿ
Exponente negativo	a⁻ⁿ= 1 / aⁿ

¿Sabías qué?

Cuando el exponente es negativo, mientras mayor sea su valor más pequeño será el resultado.

Notación científica

La notación científica es una forma de expresar cantidades muy grandes o muy pequeñas que le ha permitido a los científicos simplificar sus cálculos. Es conocida también como notación o patrón exponencial porque emplea potencias de base 10 dentro de su expresión. Las potencias de base 10 son iguales a la unidad seguida de tantos ceros como indique el exponente. Un ejemplo de notación científica lo vemos en las masas de los objetos astronómicos, por ejemplo, la masa de la Luna es de aproximadamente 735 × 10²⁰ kg.

Ejemplos prácticos

Aplicación a la suma y resta

La aplicación de las propiedades corresponde a varias operaciones matemáticas pero no a la suma y la resta. Sin embargo, eso no significa que no pueda aplicarse a ejercicios donde existan muchos términos que se suman o se restan. Cuando esto sucede, se aplican las propiedades solo a los términos por separado.

Producto de una potencia de igual base

Cuando existe una multiplicación entre dos potencias con igual base, el resultado final será la misma base elevada a la suma de los exponente de potencias que se multiplicaron. Por ejemplo:

5³· 5² = 5^{(3 + 2)} = 5⁵
4²· 4⁰ = 4^{(2 + 0)} = 4²
6⁸ · 6² · 6³ = 6^{(8 + 2 + 3)} = 6¹³

Cociente de una potencia de igual base

Cuando dividimos dos potencias con igual base el procedimiento es similar al de la multiplicación, con la diferencia de que aquí restamos los exponentes de las potencias. Por ejemplo:

5³ / 5² = 5^{(3 − 2)} = 5¹
4² / 4⁰ = 4^{(2 − 0)} = 4²

Potencia de una potencia

Cuando tenemos una base elevada a un exponente n, y esta a su vez está elevada a otro exponente m, el resultado final lo obtenemos al multiplicar ambos exponentes (n · m). Por ejemplo:

(4²)⁴ = 4^{2 · 4} = 4⁸
(3³)³ = 3^{3 · 3} = 3⁹

Producto de potencias con bases diferentes y exponentes iguales

Si multiplicamos dos potencias con igual exponente y bases distintas, el resultado será igual a mantener el exponente y solo multiplicar las bases. Por ejemplo:

5³ · 4³ = (5 · 4)³
3² · 2² = (3 · 2)²

Cociente de potencias con bases diferentes y exponentes iguales

De igual manera que en el caso anterior, el resultado será el cociente de las bases elevadas al exponente. Por ejemplo:

5³ / 4³ = (5/4)³
3² / 2² = (3/2)²

Exponente negativo

Cuando el exponente es negativo, la potencia será igual a la inversa de su base y el mismo exponente con signo positivo. Por ejemplo:

(2)⁻² = (1/2)² = 1/2² = 1/4
(1/2)⁻¹ = 2

Los átomos son las unidades básicas de toda la materia. En conjunto crean las moléculas y son microscópicos. Para poder medir las distancias entre ellos se usa una unidad de longitud llamada angstrom (Å = 1 x 10⁻¹⁰ metros). El exponente igual a −10 nos indica que el valor en metros es equivalente a 0,0000000001 m.

Potencia de decimales y fracciones

Cuando las bases son decimales o fracciones, las propiedades se mantienen sin distinción. Por ejemplo:

(0,1)² = (0,1) · (0,1) = 0,01

Observa que 0,1 = 1 · 10⁻¹ , y aquí se puede aplicar la propiedad de potencia de potencia.

(0,1)² = (1 · 10⁽⁻¹⁾)² = 10^{(−1) · 2} = 10⁻² = 0,01

De la misma manera, si sabemos que 0,1 = 1/10:

(0,1)² = (1/10)² = 1/10² = 1/100 = 0,01

Cualquiera sea la expresión que se elija para resolver la operación se debe llegar al mismo resultado.

¡A practicar!

Aplica la propiedad correspondiente en cada caso:

3⁴ · 3¹· 3³

Solución

3⁴ · 3¹ · 3³ = 3^{(4 + 1 + 3)} = 3⁸ = 6.561

6² / 6²

Solución

6² / 6² = 6^{(2 − 2)} = 6⁰ = 1

(7⁻¹)⁻³

Solución

(7⁻¹)⁻³ = 7^{(−1) · (−3)} = 7³ = 343

6³ · 8³

Solución

6³ · 8³ = (6 · 8)³ = 48³ = 110.592

(−1/2)⁻²

Solución

(−1/2)⁻² = (−2)² = (−2) · (−2) = 4

8³ / 4³

Solución

8³ / 4³ = (8/4)³ = 2³ = 8

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Ejercicios de propiedades de la potencia”

En el artículo podrá reforzar las propiedades de potenciación vistas a partir de ejemplos y ejercicios. También se explica la importancia de la correcta aplicación de las propiedades en cada término al sumar o restar.

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CAPÍTULO 2 / TEMA 2

OPERACIONES COMBINADAS

En ocasiones necesitamos efectuar cálculos que combinan varios tipos de números y, por lo tanto, diferentes tipos de operaciones. Para estos casos lo más importante es saber las jerarquías o el orden en el que debemos resolverlos, y para eso están los signos de agrupación. Aprendamos cuáles son y cómo usarlos.

SIGNOS DE AGRUPACIÓN

En matemática, los signos de agrupación hacen referencia a los paréntesis “( )”, corchetes “[ ]” y llaves “{ }” que empleamos para saber el orden o prioridad en el que realizamos las operaciones. En este sentido, existe una convención respecto a la jerarquía de estos signos:

En primer lugar, resolvemos los cálculos que se encuentran entre paréntesis “( )”.
En segundo lugar, realizamos los cálculos que están agrupados dentro de los corchetes “[ ]”.
Finalmente, hacemos las operaciones que están dentro de las llaves “{ }”.

¿Sabías qué?

En una ecuación no deberían aparecer corchetes sin la presencia de paréntesis, ya que los paréntesis tienen la prioridad en el orden de operaciones.

Operaciones combinadas en la calculadora

Muchas calculadoras u hojas de cálculo no utilizan los corchetes ni las llaves para jerarquizar el orden de operaciones combinadas y solo aplican los paréntesis para indicar qué operaciones se realizan primero. Por ejemplo, si deseamos resolver la operación:

$\sqrt{\frac{\left ( 27-15 \right )\times 8}{\left [ (11+39)-(47-19) \right ]\times 6}}$

El modo de introducir esta operación en algunas calculadoras (con entrada de datos SVPAM) sería:

Como observamos, hay diferentes niveles de jerarquía en los paréntesis, que en este caso, los denotamos por colores.

En las calculadoras también debemos emplear los signos de agrupación para indicar el orden de las operaciones. El uso incorrecto de los paréntesis, o su omisión cuando se necesiten, arrojará resultados erróneos. Por ejemplo, la operación (12 − 10) / 4 da como resultado 0,5; sin embargo, si obviamos los paréntesis y solo escribimos 12 − 10 / 4, el resultado será 9,5.

METODOLOGÍA PARA RESOLVER PROBLEMAS COMBINADOS

Cuando se presentan ejercicios que combinan diversas operaciones, así como diferentes tipos de números, es recomendable que sigamos los siguientes pasos:

1. Identificamos los signos de agrupación que aparecen en el ejercicio para saber el orden en el que vamos a resolver los términos. En este ejemplo tenemos paréntesis, corchetes y llaves.

$\frac{1}{12}\times \left \{ -36\times \left [ \frac{5}{3}\times \left ( -\frac{9}{4}\times 7,81+22,06 \right ) \right ] \right \}=$

2. Realizamos primero las operaciones que se encuentran dentro del paréntesis.

$\frac{1}{12}\times \left \{ -36\times \left [ \frac{5}{3}\times \left ( {\color{Red} -\frac{9}{4}\times 7,81+22,06} \right ) \right ] \right \}=$

Multiplicación y división primero

Si en una operación tenemos dos o más términos que se suman o restan y no hay paréntesis, pero a su vez cada término tiene una multiplicación o una división, primero hacemos la multiplicación o la división antes de hacer la suma o la resta.

Multiplicamos la fracción por 7,81 ya que esta operación tiene prioridad sobre la suma. Las multiplicaciones se resuelven de manera lineal, así que basta con multiplicar −9 × 7,81, y dividir el producto de esta multiplicación entre el denominador de la fracción (4).

$-9\times 7,81 = -70,29$

$-70,29\div 4=-17,5725$

Luego realizamos la suma de este resultado con 22,06. Como se trata de una suma de números con signos diferentes, empleamos una regla de los signos: ambos números se restan y se mantiene el signo del número con mayor valor absoluto.

$(-17.5725)+ (22,06)=4,4875$

3. Una vez que realizamos todas las operaciones dentro del paréntesis, lo eliminamos y agregamos el resultado obtenido. Luego seguimos con las operaciones dentro de los corchetes:

$\frac{1}{12}\times \left \{ -36\times \left [ {\color{Blue} \frac{5}{3}}{\color{Blue} \times 4,4875} \right ] \right \}=$

Multiplicamos el número decimal por 5 y el producto lo dividimos entre 3.

$5\times 4,4875=22,4375$

$22,4375\div 3\approx 7,48$

4. Eliminamos los corchetes y colocamos el resultado obtenido. A continuación, realizamos la operación dentro de las llaves:

$\frac{1}{12}\times \left \{{\color{Green} -36\times 7,48} \right \}=$

Multiplicamos el número negativo por el número decimal. Aplicamos la regla de los signo para la multiplicación: (−)(+)=(−).

$-36\times 7,48 = -269,28$

5. Por último, resolvemos la multiplicación. En este caso solo tenemos que multiplicar el resultado anterior por la fracción 1/12, lo que es igual a solo dividir entre 12 el número −269,28.

$1\times -269,28=-269,28$

$-269,28\div 12=-22,44$

6. Escribimos el resultado:

$\frac{1}{12}\times \left \{ -36\times \left [ \frac{5}{3}\times \left ( -\frac{9}{4}\times 7,81+22,06 \right ) \right ] \right \}=\boldsymbol{-22,44}$

En ocasiones no se utilizan todos los signos de agrupación y se trabaja solo con paréntesis que tienen diferentes jerarquías como podemos ver en la parte superior de la imagen. En este caso, debemos resolver primero las operaciones que están dentro de los paréntesis más internos hasta terminar con los paréntesis externos.

EJERCICIOS COMBINADOS

Los ejercicios combinados pueden involucrar diferentes tipos de números y además varias operaciones, y de ser necesario, el orden para realizarlos viene determinado por los signos de agrupación.

Si los términos dentro de un signo de agrupación contienen diferentes tipos de números, por ejemplo, fracciones, decimales, potencias o radicales; será necesario que realicemos primero una transformación para unificar el tipo de número antes de resolver.

– Ejemplo:

$\left \{ \frac{8}{12}\left [ 5^{3}-\left ( \frac{9}{7}-\frac{2}{3} \right ) \right ]+\sqrt{4} \right \}=$

Primero resolvemos la operación dentro de los paréntesis:

$\left \{ \frac{8}{12}\left [ 5^{3}-\left ({\color{Red} \frac{9}{7}-\frac{2}{3} }\right ) \right ]+\sqrt{4} \right \}=$

En este caso, es una resta de fracciones:

$\frac{9}{7}-\frac{2}{3}=\frac{27-14}{21}=\frac{13}{21}$

Eliminamos los paréntesis y colocamos el resultado. Luego resolvemos la operación dentro de los corchetes:

$\left \{ \frac{8}{12}\left [ {\color{Blue} 5^{3}-\frac{13}{21}} \right ]+\sqrt{4} \right \}=$

Resolvemos la potencia:

$5^{3}=5\times 5\times 5 = 125$

Después resolvemos la resta:

$\frac{125}{1}-\frac{13}{21}=\frac{2.625-13}{21}=\frac{2.612}{21}$

Expresamos la fracción como su número decimal equivalente por medio de una división entre su numerador y denominador:

$2.612\div 21=124,38$

Eliminamos lo corchetes y escribimos el nuevo resultado. Ahora, resolvemos las operaciones dentro de las llaves:

$\left \{ {\color{Green} \frac{8}{12}\times 124,38} +\sqrt{4}\right \}=$

Tenemos dos operaciones dentro de las llaves, y como las multiplicaciones tienen prioridad sobre las sumas, hacemos la multiplicación de la fracción con el número decimal primero:

$8\times 124,38=995,04$

$995,04\div 12=82,92$

Después realizamos la suma con el radical:

$\left \{ 82,92+\sqrt{4} \right \}=$

Resolvemos la raíz cuadrada. En este caso, es un cuadrado perfecto y la raíz es exacta.

$\sqrt{4}=2$

Finalmente sumamos:

$82,92+2=84,92$

Por último, escribimos el resultado:

$\left \{ \frac{8}{12}\left [ 5^{3}-\left ( \frac{9}{7}-\frac{2}{3} \right ) \right ]+\sqrt{4} \right \}=\boldsymbol{84,92}$

Las operaciones básicas utilizadas en aritmética son la suma, la resta, la multiplicación y la división. Sin embargo, podemos encontrar otras operaciones, como la potenciación, que en esencia es una multiplicación sucesiva de factores iguales. Por ejemplo, si queremos conocer el resultado de 2³, solo efectuamos la operación 2 x 2 x 2 = 8.

¡A practicar!

Determina la solución de los siguientes ejercicios combinados.

$\frac{8}{9}\left \{ -14,7+\frac{6^{3}}{4}\left [ 3^{2}+\sqrt{9}\times \left ( 6,5-\frac{13}{4} \right ) \right ] \right \}=$

Solución

$\frac{8}{9}\left \{ -14,7+\frac{6^{3}}{4}\left [ 3^{2}+\sqrt{9}\times \left ( 6,5-\frac{13}{4} \right ) \right ] \right \}=\boldsymbol{886,9\widehat{3}}$

$\left \{ \frac{1}{3}\times \frac{7}{8}+\sqrt{4}\left [ 2^{3}-\frac{21}{9}\left ( 0,75+\frac{3}{2} \right ) \right ] \right \}=$

Solución

$\left \{ \frac{1}{3}\times \frac{7}{8}+\sqrt{4}\left [ 2^{3}-\frac{21}{9}\left ( 0,75+\frac{3}{2} \right ) \right ] \right \}=\boldsymbol{5,79}$

$2\left \{5^{3} \left [ \frac{1}{5}\left ( 8,36-\sqrt{25} \right )+3 \right ] \right \}=$

Solución

$2\left \{5^{3} \left [ \frac{1}{5}\left ( 8,36-\sqrt{25} \right )+3 \right ] \right \}=\boldsymbol{918}$

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “¿Cómo realizar ejercicios combinados con fracciones?”

Este recurso describe por medio de ejemplos el procedimiento para realizar operaciones combinadas entre números naturales, fracciones y potencias.

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Artículo “Los números irracionales”

El enlace que se presenta explica las características y propiedades de los números irracionales, así como ejemplos de esta categoría de números.

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Artículo “Resolución de cálculos combinados con paréntesis, corchetes y llaves”

Con este material podrá expandir la práctica sobre las operaciones combinadas y sus respectivos signos de agrupación.

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CAPÍTULO 2 / TEMA 2

MULTIPLICACIÓN

Si queremos comprar 8 chocolates y cada uno cuesta $ 6, ¿cuánto dinero tenemos que pagar? Para responder esta pregunta debemos hacer una multiplicación. Esta es una operación que simplifica la tarea de sumar varias veces un mismo número. Así que, en lugar de contar 8 veces 6, lo podemos representar como 8 × 6 = 48. A continuación aprenderás cómo hacer estos cálculos con números grandes.

¿Qué es la multiplicación?

La multiplicación es una operación matemática que consiste en sumar varias veces un mismo número.

Los elementos de la multiplicación son:

Factores: son los números que se multiplican o suman reiteradas veces.
Producto: es el resultado de la multiplicación. Cuando las multiplicaciones son largas el producto final se obtiene por la suma de los productos parciales.

Multiplicaciones en la Fórmula 1

Las multiplicaciones se utilizan en una gran variedad de situaciones y las carreras de automóviles son un ejemplo. Supongamos que una vuelta completa a la pista de carrera es de 4 kilómetros y para realizar toda carrera el vehículo tiene que dar 52 vueltas. Si multiplicamos la cantidad de vueltas por los kilómetros de cada vuelta sabremos la distancia total recorrida por el vehículo, es decir, 52 × 4 = 208. Entonces, el vehículo recorre 208 kilómetros en toda la carrera.

multiplicación sin reagrupación

Es un método que consiste en multiplicar las unidades, las decenas y las centenas de 2 factores entre sí cuando ninguno de los productos formados supera la decena.

– Ejemplo: 234 × 21

Lo primero que tenemos que hacer es ubicar los factores uno arriba del otro, de manera tal que las unidades estén sobre las unidades, las decenas sobre las decenas y las centenas sobre las centenas.

Luego multiplicamos las unidades del factor de abajo por todas las cifras del factor de arriba (1 × 324 = 324). Colocamos el resultado en la fila inferior desde la derecha hacia la izquierda.

Después multiplicamos las decenas del factor de abajo por cada cifra del factor de arriba (2 × 324 = 648). Escribimos este resultado debajo del obtenido anteriormente y dejamos un espacio a la derecha.

Finalmente realizamos una suma de los productos parciales.

– Ejemplo: 122 × 332

Ubicamos los factores uno sobre otro.

Multiplicamos las unidades del segundo factor por todas las cifras del primer factor (2 x 122 = 244) y escribimos el resultado en la última fila.

Multiplicamos las decenas del segundo factor por cada cifra del primer factor (3 × 122 = 366). Escribimos el resultado y dejamos un espacio a la derecha.

Repetimos el procedimiento anterior, esta vez con las centenas del segundo factor (3 × 122 = 366).

Al final sumamos las tres filas. Ese será el resultado de nuestra multiplicación.

El área de un rectángulo es igual a una multiplicación de dos de sus lados. Por ejemplo, un campo de fútbol puede llegar a tener 120 metros de largo y 90 metros de ancho. Para saber el área del campo solo tenemos que multiplicar ambas medidas, es decir, 120 m x 90 m = 10.800 m². Por lo tanto, el campo tiene un área de 10.800 metros cuadrados.

¡A practicar!

Realiza las siguientes multiplicaciones:

231 × 32

Solución

321 x 123

Solución

MULTIPLICACIÓN CON REAGRUPACIÓN

Es un procedimiento que podemos utilizar cuando algún producto es igual o mayor a 10. Aquí reagrupamos decenas o centenas según sea el caso.

– Ejemplo: 469 x 73

Al igual que en el caso anterior, colocamos los factores uno sobre otros y nos aseguramos de que las unidades, decenas y centenas de cada factor estén en las mismas columnas.

Multiplicamos las unidades del factor ubicado debajo por todas las cifras del factor de arriba. En este caso comenzamos con 3 y lo multiplicamos por 9. Como 3 × 9 = 27, colocamos el 7 en la fila de los resultados y el 2 lo ubicamos en la columna de las decenas de los factores.

Ahora multiplicamos 3 x 6 = 18, pero debemos agrupar este resultado con el 2 que colocamos antes. Entonces, el resultado es 18 + 2 = 20. Escribimos el 0 en la fila del resultado y colocamos el 2 en la columna de las centenas.

El siguiente producto es 3 x 4 = 12 y agrupamos con el 2 de las centenas. Así que 12 + 2 = 14. En la fila del resultado colocamos las dos cifras del número.

Repetimos el mismo procedimiento con las decenas del factor de abajo y lo multiplicamos por cada cifra del primer factor (7 × 469 = 3.283).

Luego sumamos las dos filas y obtenemos el resultado de la multiplicación.

Tabla pitagórica

Es otro modelo de tabla de multiplicar. Fue construida por Pitágoras, filósofo y matemático griego del siglo V a. C., para enseñarles a multiplicar a los más pequeños. La primera columna y fila dispone de los números que van ser multiplicados, y cada una de las celdas internas de la tabla representa la multiplicación entre los números de la primera fila y columna.

– Ejemplo: 423 x 514

Cuando los dos factores tienen tres cifras el procedimiento es el mismo. Ubicamos los factores uno sobre otro, y multiplicamos las unidades del segundo factor por el primero (4 × 423 = 1.692).

Multiplicamos las decenas del segundo factor por cada cifra del primer factor (1 × 423 = 423).

Repetimos el procedimiento con las centenas del factor de abajo (5 × 423 = 2.115).

Sumamos las filas con los productos parciales.

¡A practicar!

Realiza esta multiplicación:

721 × 166

Solución

721 × 166 = 119.686

MULTIPLICACIÓN DE UN NÚMERO NATURAL POR 10, 100 Y 1.000

Veamos estas 3 multiplicaciones:

473 × 10 = 4.730
473 × 100 = 47.300
473 × 1.000 = 473.000

Como ves, cuando se multiplica un número natural por 10, 100 y 1.000 basta con agregar ceros al número original como se resume en la siguiente tabla:

Para multiplicar un número natural por…	Agregamos…	Ejemplo
10	un cero	912 × 10 = 9.120
100	dos ceros	411 × 100 = 41.100
1.000	tres ceros	746 × 1.000 = 746.000

LA MULTIPLICACIÓN Y LA PROPIEDAD DISTRIBUTIVA

La propiedad distributiva establece que si multiplicamos un número por una suma es igual a multiplicar ese número por cada sumando y luego sumar los productos finales.

– Ejemplo:

Esta propiedad también se cumple en la resta:

¿Sabías qué?

Puedes resolver primero la suma o resta que esté dentro de los paréntesis y luego hacer la multiplicación. El resultado será el mismo.

Las multiplicaciones forman parte de nuestro día a día. Las usamos cada vez que hacemos compras, contamos las butacas de un cine o jugamos con nuestros amigos. Por lo general hacemos esta operación cuando manejamos dinero, pues si tenemos 6 billetes de $ 100 es más fácil solo multiplicar 6 x 100 = 600 en lugar de contar de 100 en 100 hasta llegar a 600.

¡A practicar!

1. Resuelve las siguientes multiplicaciones:

414 x 24 =
Solución
414 x 24 = 9.936
121 x 38 =
Solución
121 x 38 = 4.598
741 x 51 =
Solución
741 x 51 = 37.791
620 x 324 =
Solución
620 x 324 = 200.880
496 x 531 =
Solución
496 x 531 = 263.376
589 x 10 =
Solución
589 x 10= 5.890
144 x 100 =
Solución
144 x 100 = 14.400
378 x 1.000 =
Solución
378 x 1.000 = 378.000

2. Usa la propiedad distributiva para resolver estas operaciones:

(25 + 30) x 2 =
Solución
(25 + 30) x 2 = 110
(10 + 9) x 4 =
Solución
(10 + 9) x 4 = 76
(15 − 8 ) x 100 =
Solución
(15 − 8) × 100 = 700
(24 − 22) × 5 =
Solución
(24 − 22) × 5 = 10

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Multiplicación por dos o más cifras”

En este artículo podrás acceder a información complementaria sobre algunos métodos de multiplicación

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Artículo “Trucos para aprender las tablas de multiplicar”

Este artículo brinda los recursos necesarios para estudiar las tablas de multiplicar.

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CAPÍTULO 4 / TEMA 4

Conversión de unidades

Sin unidades de medidas no podríamos comparar las cosas y por ende, la medición no existiría. Es común que una misma magnitud tenga diferentes unidades de medida y por eso es necesario realizar conversiones entre ellas. La conversión de unidades permite simplificar cálculos y establecer comparaciones de manera más fácil.

Conversión de unidades de longitud

En el Sistema Internacional de Unidades (SI) se utiliza el metro como unidad de longitud. Se denota con el símbolo m y no lleva punto al final.

Existen medidas que provienen del metro y son conocidas como submúltiplos y múltiplos. Los submúltiplos son las subdivisiones de un metro. Por ejemplo, si dividimos un metro en diez partes iguales cada una de esas partes mide un decímetro, el decímetro es un submúltiplo del metro y se denota como dm.

Hay unidades derivadas del metro que son mucho más grandes, por ejemplo, mil metros equivalen a un kilómetro. En este caso el kilómetro es un múltiplo del metro y se denota como km.

Múltiplos y submúltiplos del metro

Unidad de medida	Símbolo	Equivalencia en metros
Kilómetros	km	1 km = 1.000 m
Hectómetro	hm	1 hm = 100 m
Decámetro	dam	1 dam = 10 m
Metro	m	1 m
Decímetro	dm	1 dm = 0,1 m
Centímetro	cm	1 cm = 0,01 m
Milímetro	mm	1 mm = 0,001 m

De menor a mayor, observa que las unidades aumentan un cero en relación al metro y si lo miramos en sentido contrario disminuyen un cero. Esto nos permite convertir unidades de este tipo entre sí.

¿Cómo realizar conversiones de longitud?

Para convertir unidades de longitud debemos imaginarnos que las unidades se encuentran ubicadas cada una de mayor a menor en cada escalón de una escalera. El kilómetro (km) se encuentra en el escalón más alto y el milímetro (mm) en el más bajo.

Para convertir una unidad en otra, debemos ubicarnos en el escalón de la unidad que queremos convertir y luego contar el número de escalones que tenemos que movernos para llegar a la unidad deseada. Si subimos de escalón tenemos que multiplicar por 10 en cada escalón que nos desplacemos y si bajamos de escalón tenemos que dividir entre 10 por cada escalón.

Un truco útil para estos ejercicios es multiplicar la medida inicial por el número 1 seguido de tantos ceros según el número de escalones que hayamos subido o bajado respectivamente. Por ejemplo, si bajamos dos escalones tenemos que multiplicar la medida inicial por 100, pero si subimos dos escalones dividimos la unidad inicial entre 100.

– Transforma 5 metros a centímetros

Lo primero es observar el diagrama y ubicarnos en la unidad inicial que es el metro. Observa que el centímetro se encuentra dos escalones por debajo, así que tenemos que multiplicar la medida inicial que es 5 por 100.

$5\times 100=500$

Por lo tanto:

$5\; m=\mathbf{500\; cm}$

Quiere decir que 5 m equivalen a 500 cm, en longitud miden lo mismo solo que con diferente unidad.

– Transformar 2.500 centímetros a decímetros

En este caso, para convertir centímetro a decímetros tenemos que subir un escalón, así que dividimos la unidad inicial entre 10.

$2.500 \, \div \, 10 = 250$

Por lo tanto:

$2.500\; cm = \mathbf{250\; dm}$

¿Sabías qué?

La palabra “metro” proviene del término griego “metron” que quiere decir “medida”.

Pequeñas unidades

Los investigadores usan unidades especiales para medir cosas que no se pueden percibir a simple vista como una bacteria, un virus o una molécula. En estos casos usan el micrómetro (µm) y el nanómetro (nm). El micrómetro equivale a la millonésima parte de un metro y el nanómetro es la mil millonésima parte de un metro.

Estas unidades son tan pequeñas que si pudieras dividir un milímetro de la regla en mil partes iguales, cada parte mediría un micrómetro y si este lo pudieras dividir a su vez en mil partes iguales, cada parte mediría un nanómetro. La mayoría de las bacterias miden entre 1 y 10 micrómetros mientras que los virus suelen medir de 30 a 90 nm.

Conversión de unidades de capacidad

La unidad de capacidad aceptada por el Sistema Internacional de unidades es el litro. Se denota con la letra ele mayúscula o minúscula: “l” o “L”. Al igual que en las unidades de longitud el litro tiene múltiplos y submúltiplos.

Múltiplos y submúltiplos del litro

De mayor a menor se indican los múltiplos y submúltiplos del litro:

Unidad de medida	Símbolo	Equivalencia en metros
Kilolitro	kL	1 kL = 1.000 L
Hectolitro	hL	1 hL = 100 L
Decalitro	daL	1 daL = 10 L
Litro	L	1 L
Decilitro	dL	1 dL = 0,1 L
Centilitro	cL	1 cL = 0,01 L
Mililitro	mL	1 mL = 0,001 L

¿Cómo realizar conversiones de capacidad?

El procedimiento es el mismo que el usado para transformar unidades de longitud, la diferencia son la unidades, porque en unidades de capacidad se emplea el litro con sus múltiplos y submúltiplos. De manera que el diagrama en este caso quedaría:

– Transforma 50 litros a mililitros

Para transformar litros a milímetros hay que bajar tres escalones, es decir, se debe multiplicar entre 1.000.

$50\times 1.000 = 50.000$

Por lo tanto:

$50\; L =\mathbf{50.000\; mL}$

– Transforma 300 decalitros a kilolitros

Para transformar decalitros a kilolitros se deben subir dos posiciones, por lo cual se debe dividir entre 100.

$300\div 100 = 100$

Por lo tanto:

$300\; daL = \mathbf{3\; kL}$

Origen del litro

Esta unidad de capacidad se empezó a utilizar por primera vez en el año 1795 en Francia. Hoy en día es muy usado para describir la capacidad de algunos electrodomésticos y utensilios de cocina.

Conversión de unidades de tiempo

Las unidades de tiempo más comunes de mayor a menor son la hora, el minuto y el segundo.

Unidad de tiempo	Símbolo
Hora	h
Minuto	min
Segundo	s

Se cumple que:

1 hora = 60 minutos
1 minuto = 60 segundos

Observa que cada unidad es sesenta veces menor que la anterior, por eso, se habla de que es un sistema sexagesimal. Para convertir unidades se aplica un formato similar al de la conversión de longitud y capacidad pero en vez de multiplicar o dividir por 10, se hace por 60.

– Transforma 13 horas a minutos

Para transformar horas a minutos tenemos que movernos una posición hacia abajo, de manera que hay que multiplicar por 60.

$13\times 60=780$

Por lo tanto:

$13\, h= \mathbf{780\, min}$

– Transforma 900 segundos a minutos

Para transformar segundos a minutos se debe subir un escalón hacia arriba, de manera que debemos dividir entre 60.

$900\div60=15$

Por lo tanto:

$900\; s=\mathbf{15\; min}$

Oficina Internacional de Pesas y Medidas

Es un organismo que fue creado en 1875 en París, Francia. Su misión es velar por la uniformidad en las mediciones a nivel mundial. En sus instalaciones se encuentra un cilindro de metal de 1 kg que hasta el año 2019 era usado como patrón de esta unidad.

¡A practicar!

1. Escribe el símbolo de las siguientes unidades de medición.

a) Hectómetro

Solución

b) Decilitro

Solución

c) Hora

Solución

d) Decámetro

Solución

dam

e) Kilolitro

Solución

2. ¿Cuál de las siguientes unidades permite medir la longitud?

a) Segundo

b) Hectolitro

c) Minuto

d) Centímetro

e) Hora

Solución

Centímetro.

3. Transforma las siguientes cantidades.

a) 5 kilómetros a metros.

Solución

5 km = 5.000 m

b) 10 minutos a segundos.

Solución

10 min = 600 s

c) 40 mililitros a centilitros.

Solución

40 mL = 4 cL

d) 8.000 decámetros a kilómetros.

Solución

8.000 dam = 80 km

e) 120 minutos a horas.

Solución

120 min = 2 h

e) 400 decímetros a metro.

Solución

400 dm = 40 m

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Medidas de longitud”

Este artículo explica qué son las unidades de longitud y se concentra en los múltiplos y submúltiplos del metro. También describe cómo realizar conversiones entre este tipo de magnitudes.

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Artículo “Múltiplos y submúltiplos del: metro, gramo, litro”

Este artículo no solamente detalla cada uno de los múltiplos y submúltiplos del metro, sino que también los de el gramo y el litro. En cada caso muestra como realizar las respectivas conversiones.

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Artículo “El tiempo”

Este artículo hace una breve descripción de lo que es el tiempo y por qué es tan difícil definirlo incluso para los científicos experimentados.

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CAPÍTULO 5 / TEMA 1

LOS PICTOGRAMAS

DESDE LA ANTIGÜEDAD, EL SER HUMANO HA INTENTADO COMUNICARSE A TRAVÉS DE PINTURAS EN CAVERNAS O CON TALLADOS EN METALES. LA NECESIDAD DE COMUNICARSE Y FALTA DE SÍMBOLO PARA ESCRIBIR LLEVARON AL HOMBRE A GRAFICAR LO QUE QUERÍA EXPRESAR A TRAVÉS DE DIBUJOS. A ESTAS REPRESENTACIONES HOY SE LAS LLAMAN PICTOGRAMAS.

¿QUÉ SON LOS PICTOGRAMAS?

UN PICTOGRAMA ES UN TIPO DE GRÁFICO QUE SE REPRESENTA A TRAVÉS DE DIBUJOS. EN LA ACTUALIDAD ES ENTENDIDO COMO UN AVISO CLARO DE UNA CIERTA INFORMACIÓN QUE SE NECESITA EXPRESAR.

LA SEÑALES DE TRÁNSITO

LAS SEÑALES DE TRÁNSITO RESULTAN DE LA COMBINACIÓN DE FORMAS GEOMÉTRICAS Y COLORES A LAS QUE SE LES AÑADE UN SÍMBOLO O PICTOGRAMA QUE TIENE UN SIGNIFICADO RELACIONADO A LA SEGURIDAD EN EL TRÁFICO. ESTOS PICTOGRAMAS SIRVEN PARA COMUNICAR DE FORMA SIMPLE Y RÁPIDA UNA INFORMACIÓN A CUALQUIER PERSONA DEL MUNDO.

¿SABÍAS QUÉ?

LAS HISTORIETAS, CÓMICS Y LOS CHISTES GRÁFICOS QUE NO TIENEN TEXTO TAMBIÉN SON PICTOGRAMAS.

INFORMACIÓN A TRAVÉS DE PICTOGRAMAS

LOS PICTOGRAMAS SON ÚTILES PARA REPRESENTAR DATOS. SI TENEMOS UNA TABLA CON PICTOGRAMAS LO PRIMERO QUE TENEMOS QUE VER ES LA CLAVE O LEYENDA.

– EJEMPLO:

MARÍA VENDIÓ HELADOS DE CHOCOLATE DURANTE 4 SEMANAS. DESPUÉS DE CONTAR SUS VENTAS SE OBTUVO LA SIGUIENTE TABLA:

COMO CADA DIBUJO REPRESENTA 5 UNIDADES, TENEMOS QUE MULTIPLICAR LA CANTIDAD DE DIBUJOS POR 5, DE ESTA MANERA SABREMOS LA CANTIDAD TOTAL DE HELADOS EN CADA SEMANA.

¡ES TU TURNO!

OBSERVA EL PICTOGRAMA ANTERIOR Y RESPONDE:

¿EN CUÁL SEMANA MARÍA VENDIÓ MÁS HELADOS DE CHOCOLATE?
SOLUCIÓN
EN LA SEGUNDA SEMANA.

¿EN CUÁL SEMANA VENDIÓ MENOS HELADOS DE CHOCOLATE?
SOLUCIÓN
EN LA CUARTA SEMANA.

¿CUÁNTOS HELADOS DE CHOCOLATE VENDIÓ LA PRIMERA SEMANA?
SOLUCIÓN
15 HELADOS.

– EJEMPLO 2:

EN UNA ESCUELA SE CONTARON LOS ESTUDIANTES QUE PRACTICAN ALGÚN DEPORTE Y SE OBTUVO ESTA TABLA:

¡ES TU TURNO!

OBSERVA EL PICTOGRAMA ANTERIOR Y RESPONDE:

¿EN CUÁL GRADO HAY MÁS ESTUDIANTES QUE PRACTICAN ALGÚN DEPORTE?
SOLUCIÓN
EN 5º.

¿EN CUÁL GRADO HAY MENOS ESTUDIANTES QUE PRACTICAN ALGÚN DEPORTE?
SOLUCIÓN
EN 1º.

¿CUÁNTOS ESTUDIANTES PRACTICAN ALGÚN DEPORTE EN TOTAL?
SOLUCIÓN
4 + 8 + 16 + 12 + 20 + 12 = 72
72 ESTUDIANTES PRACTICAN ALGÚN DEPORTE.

GRAFICAR INFORMACIÓN EN PICTOGRAMAS

PARA GRAFICAR INFORMACIÓN EN UN PICTOGRAMA ES NECESARIO QUE:

SEPAMOS LOS DATOS.
ESCOJAMOS UN DIBUJO.
DEMOS UN VALOR A CADA DIBUJO.
DIBUJEMOS UNA TABLA.
COLOQUEMOS LOS DIBUJOS Y LAS CUENTAS DENTRO DE LA TABLA.

– EJEMPLO:

MARCOS VENDIÓ 12 PANES EL LUNES, 9 PANES EL MARTES Y 6 PANES EL MIÉRCOLES. GRAFIQUEMOS CON PICTOGRAMAS ESTOS DATOS.

SI NOS UBICAMOS EN LA TABLA DEL 3, VEMOS QUE PODEMOS OBTENER TODOS LOS RESULTADOS POR MEDIO DE MULTIPLICACIONES CON ESTE NÚMERO. ASÍ QUE LA CLAVE ES ASÍ:

AHORA SOLO TENEMOS QUE REALIZAR UNA TABLA EN LA QUE SE OBSERVEN LOS DÍAS Y LA CANTIDAD DE PANES EQUIVALENTES A LAS VENTAS.

¡A PRACTICAR!

1. COMPLETA ESTE PICTOGRAMA. LUEGO RESPONDE:

SOLUCIÓN

¿EN QUÉ MES SE VENDIERON MÁS TORTAS?
SOLUCIÓN
EN ENERO.

¿EN QUÉ MES SE VENDIERON MENOS TORTAS?
SOLUCIÓN
EN FEBRERO.

¿CUÁNTAS TORTAS SE VENDIERON EN LOS TRES MESES?
SOLUCIÓN
30 + 10 + 20 = 60
SE VENDIERON 60 TORTAS.

¿EN QUÉ MES SE VENDIERON 20 TORTAS?
SOLUCIÓN
EN MARZO.

¿EN QUÉ MES SE VENDIERON MENOS DE 20 TORTAS?
SOLUCIÓN
EN FEBRERO.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Gráficos estadisticos”

Este recurso brinda más información sobre los gráficos y sus tipos, incluidos los pictogramas.

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CAPÍTULO 4 / TEMA 1

Potencia

La potencia, también llamada potenciación, es una operación matemática que implica multiplicar varias veces un mismo número. Como todo cálculo matemático, tiene sus partes y propiedades. A continuación, aprenderás cuáles son sus características y cómo resolver problemas de este tipo.

¿Qué es la potencia?

La potencia es una multiplicación abreviada. Esta operación consiste en multiplicar un número llamado base la cantidad de veces que indique otro número llamado exponente. Los exponentes los colocamos como superíndice de un número.

Donde:

a: base

n: exponente

¿Sabías qué?

La radicación es la operación inversa a la potenciación.

Elementos de la potencia

Toda potencia está formada por dos elementos:

La base: es el factor que será multiplicado n cantidad de veces.
El exponente: es el número de veces que se multiplica la base por sí misma.

Cálculo de la potencia de un número

Para calcular la potencia de un número debemos tener conocimientos sobre la multiplicación, ya que el proceso consiste en aplicar esta operación de forma repetitiva.

– Ejemplo:

5³ = 5 · 5 · 5 = 125

Como el exponente es 3, multiplicamos la base tres veces por sí misma.

– Otros ejemplos:

2³ = 2 · 2 · 2 = 8
3² = 3 · 3 = 9
6⁴ = 6 · 6 · 6 · 6 = 1.296

Casos especiales

Cuando el exponente es 1, el resultado será igual a la base.

8¹ = 8
12¹ = 12

Cuando el exponente es 0, el resultado siempre será 1.

3⁰ = 1
25⁰ = 1

Cuando la base es 0, el resultado siempre sera 0.

0⁵ = 0
0⁸ = 0

Cuando el exponente es igual a dos (2), decimos que un número está elevado al cuadrado. Esto lo vemos en ecuaciones matemáticas como la del teorema de Pitágoras. Este teorema explica la relación entre los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Así, si la hipotenusa mide “c”, y la medida de los catetos es “a” y “b”, se verifica que c2 = a2 + b2.

Potencia base 10

Cuando la base es igual a 10 solo se deben añadir tantos ceros como indique el exponente. Por ejemplo:

10⁴ = 10.000
10² = 100
10¹ = 10

Lectura de potencias

Existen dos formas válidas de leer potencias:

1. Nombrar el número de la base seguido de la expresión “elevado a“. Luego nombrar el número del exponente.

6⁵ se lee “seis elevado a cinco”.
2⁸ se lee “dos elevado a ocho”.

2. Nombrar el número de la base seguido de de la expresión “a la“. Luego nombrar el número de exponente como un número ordinal femenino.

6⁵ se lee “seis a la quinta”.
2⁸ se lee “dos a la octava”.

Cuadrados y cubos

Las potencias tienen una estrecha relación con el cálculo del área y el volumen de figuras geométricas. Gracias a esto, cuando el exponente es 2, la potencia se llama cuadrado; y cuando el exponente es 3, la potencia se llama cubo.

Por ejemplo, si un cuadrado está formado por tres cuadros más pequeños por cada lado, basta con hacer este cálculo de 3² que se lee “tres al cuadrado”:

3² = 3 · 3 = 9

En cambio, si tenemos un cubo compuesto por tres cubos más pequeños en sus tres dimensiones: alto, ancho y profundidad, calcularemos 3³ que se lee “tres al cubo”:

3³ = 3 · 3 · 3 = 27

Entonces, un cubo de Rubik está formado por 27 cubos más pequeños.

Bases negativas

Cuando la base es negativa, el resultado puede variar de estas formas:

Si el exponente es un número impar, el resultado será negativo.
Si el exponente es un número par, el resultado será positivo.

– Ejemplo:

(−2)³ =(−2) · (−2) · (−2) = −8
(−2)² = (−2) · (−2) = 4

¡A practicar!

¿Qué signo tendrá el resultado de las siguientes operaciones?

(−15)¹³
Solución
Negativo porque 13 es impar.

(14)²⁰
Solución
Positivo porque 20 es par.

(−5)⁴
Solución
Positivo porque 4 es par.

Usos de la potencia

Las aplicaciones de la potenciación son de amplio rango en diversas profesiones. Los astrónomos emplean la potencia de base 10 para representar medidas muy grandes, como la distancia de la Tierra al Sol. También las usan los oceanógrafos y geólogos para escribir el valor de grandes extensiones de tierra o agua, por ejemplo, el volumen del océano Atlántico es 3,54 · 10⁸ km³.

Además de expresar cantidades muy grandes, las potencias funcionan para representar números muy pequeños. La diferencia en esto casos es que la potencia tiene un exponente negativo, por ejemplo, un virus puede llegar a medir 2 · 10⁻⁸ cm, y la masa de un electrón es de 9,1 · 10⁻³¹ kg.

Uno de los tipos de potencias más usadas son las potencias de base 10 porque sirven para expresar cantidades muy grandes de manera sencilla. Estas potencias son iguales a la unidad seguida de tantos ceros como indique el exponente. Por ejemplo, la masa del planeta Tierra es de aproximadamente 6 x 10²⁴ kg, es decir, 6 seguido de 24 ceros.

¡A practicar!

1. Expresa en forma de potencia los siguientes productos:

8 · 8 · 8 · 8 =
Solución
8 · 8 · 8 · 8 = 8⁴

3 · 3 =
Solución
3 · 3 = 3²

10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 =
Solución
10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 10⁶

5 · 5 · 5 · 5 =
Solución
5 · 5 · 5 · 5 = 5⁴

7 · 7 · 7 =
Solución
7 · 7 · 7 = 7³

15 · 15 · 15 · 15 · 15 · 15 =
Solución
15 · 15 · 15 · 15 · 15 · 15 = 15⁶

2. ¿Cuál es el resultado de las siguientes operaciones?

9²
Solución
9² = 9 · 9 = 81

(−5)³
Solución
(−5)³ = (−5) · (−5) · (−5) = −125

10⁵
Solución
10⁵ = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 100.000

(−18)⁴
Solución
(−18)⁴ = (−18) · (−18) · (−18) · (−18) = 104.976

(−6)⁸
Solución
(−6)⁸ = (−6) · (−6) · (−6) · (−6) · (−6) · (−6) · (−6) · (−6) = 1.679.616

10⁹
Solución
10⁹ = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 1.000.000.000

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Potenciación y radicación”

Este artículo te permitirá tener más contenido sobre las potencias y la radicación, operación inversa a la potenciación.

VER

Artículo “Ejercicios de potenciación

Con este recurso podrás profundizar sobre qué es la potenciación y encontrarás una lista de ejercicios para reforzar lo aprendido.

VER

CAPÍTULO 2 / TEMA 5 (REVISIÓN)

OPERACIONES CON NATURALES | ¿QUÉ APRENDIMOS?

ADICIÓN

LA ADICIÓN ES UNA OPERACIÓN MATEMÁTICA QUE UNE O AGRUPA DOS O MÁS CANTIDADES. EN DICHA UNIÓN SE FORMA OTRA CANTIDAD QUE ES DENOMINADA SUMA O RESULTADO. LOS ELEMENTOS DE LA ADICIÓN SON LOS SUMANDOS Y LA SUMA. LA ADICIÓN ES UNA DE LAS CUATRO OPERACIONES BÁSICAS DE LAS MATEMÁTICAS.

EL SIGNO USADO PARA LA SUMA ES + Y SE LEE “MÁS”. EN LA IMAGEN VEMOS QUE “UNO MÁS TRES ES IGUAL A CUATRO”.

SUSTRACCIÓN

LA RESTA, TAMBIÉN LLAMADA SUSTRACCIÓN, ES UNA OPERACIÓN MATEMÁTICA EN LA QUE QUITAMOS UNA CANTIDAD LLAMADA SUSTRAENDO A OTRA LLAMADA MINUENDO. SIEMPRE EL SUSTRAENDO DEBE SER MENOR AL MINUENDO Y EL RESULTADO QUE SE OBTIENE SE DENOMINA RESTA. LA RESTA ES UNA DE LAS CUATRO OPERACIONES MATEMÁTICAS MÁS IMPORTANTES.

UNA MANERA SENCILLA DE RESTAR CANTIDADES PEQUEÑAS ES CON LOS DEDOS. CUENTA 4 DEDOS Y LUEGO QUITA 3 DEDOS, ¿CUÁNTOS QUEDAN? ¡1! ES DECIR: 4 V 3 = 1.

¿QUÉ ES LA MULTIPLICACIÓN?

LA MULTIPLICACIÓN ES UNA SUMA REPETIDA. ESTA OPERACIÓN CONSISTE EN SUMAR UN NÚMERO TANTAS VECES COMO INDICA OTRO NÚMERO, POR EJEMPLO, 3 × 5 ES IGUAL A SUMAR 3 VECES EL NÚMERO 5, ASÍ QUE 5 + 5 + 5 = 15 Y POR LO TANTO 3 × 5 = 15. SUS ELEMENTOS SE DENOMINAN FACTORES, Y EL RESULTADO OBTENIDO PRODUCTO.

LA MULTIPLICACIÓN SIRVE PARA ABREVIAR SUMAS REPETIDAS CON IGUALES CANTIDADES. 2 × 2 ES IGUAL A 2 VECES 2 QUE ES IGUAL A 4.

FRACCIONES

CADA VEZ QUE CONTAMOS OBJETOS USAMOS LOS NÚMEROS NATURALES: 1, 2, 3, 4,… PERO NO SIEMPRE ES POSIBLE USARLOS, PUES SI TENEMOS UNA PARTE DE UN ENTERO TENEMOS QUE USAR UN TIPO ESPECIAL DE NÚMERO LLAMADO FRACCIÓN. LAS FRACCIONES REPRESENTAN UNA PARTE DE UN TODO QUE SE HA DIVIDIDO EN PARTES IGUALES Y TIENEN DOS ELEMENTOS: UN NUMERADOR Y UN DENOMINADOR.

CAPÍTULO 2 / TEMA 3

¿QUÉ ES LA MULTIPLICACIÓN?

CUANDO UNA CANTIDAD SE REPITE VARIAS VECES PODEMOS ACUDIR A UNA OPERACIÓN BÁSICA DE LAS MATEMÁTICAS: LA MULTIPLICACIÓN. ESTA ES IGUAL A UNA SUMA RESUMIDA Y LA USAMOS CADA VEZ COMPRAMOS VARIOS PRODUCTOS IGUALES, POR EJEMPLO, 4 HELADOS A $ 2 ES IGUAL A 4 × 2 Y SE LEE “CUATRO POR DOS”.

TANTA VECES TANTO

SI TENEMOS LA MISMA CANTIDAD DE ELEMENTOS EN VARIOS GRUPOS PODEMOS SABER LA CANTIDAD TOTAL SI CONTAMOS CUÁNTOS GRUPOS HAY Y LUEGO CONTAMOS CUÁNTO HAY EN CADA GRUPO.

– EJEMPLO 1:

¿CUÁNTOS GRUPOS HAY?, ¿CUÁNTAS CEREZAS HAY EN CADA GRUPOS?, ¿CUÁNTAS CEREZAS HAY EN TOTAL?

HAY 3 GRUPOS.
HAY 2 CEREZAS EN CADA GRUPO.
HAY 6 CEREZAS EN TOTAL PORQUE 2 + 2 + 2 = 6

PODEMOS DECIR QUE:

3 VECES 2 ES IGUAL A 6

– EJEMPLO 2:

¿CUÁNTOS GRUPOS HAY?, ¿CUÁNTAS PALETAS HAY EN CADA GRUPO?, ¿CUÁNTAS PALETAS HAY EN TOTAL?

HAY 2 GRUPOS.
HAY 4 PALETAS EN CADA GRUPO.
HAY 8 PALETAS EN TOTAL PORQUE 4 + 4 = 8

PODEMOS DECIR QUE:

2 VECES 4 ES IGUAL A 8

¡ES TU TURNO!

¿CUÁNTOS GRUPOS HAY?, ¿CUÁNTAS BANANAS HAY EN CADA GRUPO?, ¿CUÁNTAS BANANAS HAY EN TOTAL?

SOLUCIÓN

HAY 3 GRUPOS.
HAY 3 BANANAS EN CADA GRUPO.
HAY 9 BANANAS EN TOTAL PORQUE 3 + 3 + 3 = 9

ASÍ QUE:

3 VECES 3 ES IGUAL A 9

LA MULTIPLICACIÓN Y SUS ELEMENTOS

CUANDO SABEMOS LA CANTIDAD DE GRUPOS Y LA CANTIDAD DE ELEMENTOS EN CADA GRUPO PODEMOS HACER UNA OPERACIÓN LLAMADA MULTIPLICACIÓN. LA USAMOS CADA VEZ QUE LA CANTIDAD DENTRO DE CADA GRUPO SEA LA MISMA. LA MULTIPLICACIÓN ESTÁ FORMADA POR FACTORES Y UN PRODUCTO.

¿SABÍAS QUÉ?

EL SIGNO DE MULTIPLICACIÓN ES × Y SE LEE “POR”.

– EJEMPLO 1:

¿CUÁNTAS FRESAS HAY EN TOTAL?

LA CANTIDAD TOTAL DE FRESAS EN ESTA IMAGEN LA PODEMOS REPRESENTAR ASÍ:

3 + 3 + 3 + 3 = 12

4 VECES 3 ES IGUAL A 12

O COMO UNA MULTIPLICACIÓN:

4 × 3 = 12

EL 4 REPRESENTA LA CANTIDAD DE GRUPOS. ES UN FACTOR.
EL 3 REPRESENTA LA CANTIDAD DE FRESAS EN CADA GRUPO. ES UNA FACTOR.
EL 12 REPRESENTA EL TOTAL DE FRESAS. ES EL PRODUCTO O RESULTADO.

RESPUESTA: HAY 12 FRESAS.

– EJEMPLO 2:

¿CUÁNTAS LAZOS HAY EN TOTAL?

4 + 4 + 4 + 4 = 16

4 VECES 4 ES IGUAL A 16

4 × 4 = 16

RESPUESTA: HAY 16 LAZOS.

LA MULTIPLICACIÓN ES UNA OPERACIÓN QUE SE UTILIZA PARA ABREVIAR SUMAS REPETIDAS. LA SUMA 4 + 4 ES IGUAL QUE 2 × 4, YA QUE SON 2 VECES LAS QUE SE REPITE EL 4. POR EJEMPLO, SI TENEMOS 5 CAJAS DE ALFAJORES CON 9 EN CADA UNA. LA SUMA REPETIDA SERÍA: 9 + 9 + 9 + 9 + 9 Y EN MULTIPLICACIÓN 9 × 5. AMBAS EXPRESIONES DARÁN EL MISMO RESULTADO: 45 ALFAJORES EN TOTAL.

EL ORDEN DE LOS FACTORES NO MODIFICA EL PRODUCTO

NO IMPORTA EN QUÉ ORDEN ESCRIBAS LOS FACTORES EN UNA MULTIPLICACIÓN, EL RESULTADO SIEMPRE SERÁ EL MISMO. EJEMPLO:

3 × 4 = 12 PORQUE 4 + 4 + 4 = 12

4 × 3 = 12 PORQUE 3 + 3 + 3 + 3 = 12

EL DOBLE

EL DOBLE DE UNA CANTIDAD ES IGUAL A ESA CANTIDAD MULTIPLICADA POR 2.

– EJEMPLO 1:

SI TENEMOS 5 MANZANAS, ¿CUÁL ES EL DOBLE?

PRIMERO DIBUJAMOS LAS 5 MANZANAS:

COMO DEBEMOS SABER EL DOBLE, REPETIMOS EL CONJUNTO PARA TENERLO 2 VECES:

CONTAMOS LAS MANZANAS O REPRESENTAMOS COMO UNA MULTIPLICACIÓN:

5 + 5 = 10

2 VECES 5 ES IGUAL A 10

2 × 5 = 10

LUEGO RESPONDEMOS:

EL DOBLE DE 5 MANZANAS SON 10 MANZANAS.

– EJEMPLO 2:

¿CUÁL ES EL DOBLE DE 8?

COMO YA SABEMOS EL PROCESO, BASTA CON QUE SUMEMOS DOS VECES EL MISMO NÚMERO (8) O QUE MULTIPLIQUEMOS 8 POR 2.

8 + 8 = 16

2 × 8 = 16

EL DOBLE DE 8 ES 16.

– EJEMPLO 3:

¿CUÁL ES EL DOBLE DE 7?

7 + 7 = 14

2 × 7 = 14

EL DOBLE DE 7 ES 14.

LAS TABLAS DE MULTIPLICAR

SON UN RECURSO EXPRESADO EN UNA CUADRÍCULA DONDE PODEMOS VER LA RELACIÓN DE LOS PRODUCTOS ENTRE DOS FACTORES. LAS TABLAS DE MULTIPLICAR MUESTRAN DE FORMA RESUMIDA EL RESULTADO DE LAS MULTIPLICACIONES.

¡CONSTRUYAMOS LA TABLA DEL 2!

EN CADA CUADRO HAY 2 PELOTAS.

	2 × 1 = 2
	2 × 2 = 4
	2 × 3 = 6
	2 × 4 = 8
	2 × 5 = 10
	2 × 6 = 12
	2 × 7 = 14
	2 × 8 = 16
	2 × 9 = 18

OBSERVA LOS PRODUCTOS (2, 4, 6, 8, 10, …). TODOS AUMENTAN DE 2 EN 2.

¡ES TU TURNO!

CONSTRUYE LA TABLA DE MULTIPLICAR DEL 3.

EN CADA CUADRO HAY 3 NUECES.

3 × 1 = 3

SOLUCIÓN

	3 × 1 = 3
	3 × 2 = 6
	3 × 3 = 9
	3 × 4 = 12
	3 × 5 = 15
	3 × 6 = 18
	3 × 7 = 21
	3 × 8 = 24
	3 × 9 = 27

UNA GRAN HERRAMIENTA

PARA HACER CÁLCULOS DE MULTIPLICACIONES SE IDEARON LAS TABLAS DE MULTIPLICAR, QUE NO SON MÁS QUE UN ATAJO PARA REALIZAR SUMAS LARGAS DE FORMA RÁPIDA. LA FORMA MÁS COMÚN DE REPRESENTAR LAS TABLAS DE MULTIPLICACIÓN ES, COMO SU NOMBRE LO INDICA, A TRAVÉS DE TABLAS. NORMALMENTE SE MUESTRAN LAS TABLAS DEL 1 AL 10 Y CADA UNA DE ELLAS INDICA LAS MULTIPLICACIONES DEL NÚMERO QUE REPRESENTAN DEL 1 AL 10 O DEL 0 AL 10.

¡A PRACTICAR!

1. OBSERVA LOS GRUPOS. RESUELVE COMO SUMA REPETIDA, TANTAS VECES TANTO Y MULTIPLICACIÓN.

SOLUCIÓN

5 + 5 + 5 = 15

3 VECES 5 ES IGUAL A 15

3 × 5 = 15

SOLUCIÓN

2 + 2 + 2 + 2 = 8

4 VECES 2 ES IGUAL A 8

4 × 2 = 8

SOLUCIÓN

4 + 4 + 4 + 4 = 16

4 VECES 4 ES IGUAL A 16

4 × 4 = 16

2. RESPONDE:

¿CUÁL ES EL DOBLE DE 9?

SOLUCIÓN

¿CUÁL ES EL DOBLE DE 2?

SOLUCIÓN

¿CUÁL ES EL DOBLE DE 6?

SOLUCIÓN

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Trucos para aprender las tablas de multiplicar”

En el siguiente artículo encontrarás un conjuntos de consejos para aprender las tablas de multiplicar.

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