Mes: agosto 2020

CAPÍTULO 1 / TEMA 4

Números decimales

Dentro del universo de los números nos encontramos con un tipo muy especial: el de los decimales. Estos números sirven para representar cantidades menores a la unidad. Sus aplicaciones son muchas y son muy importantes, sobre todo en el ámbito de las mediciones porque permiten establecer valores más exactos.

Características de los números decimales

Los números decimales son los que se encuentran entre dos números enteros. Por ejemplo, entre el 1 y el 2 se ubican: 1,1; 1,2; 1,3…

Este tipo de números no llega a conformar un nuevo entero, por lo tanto su composición es de dos partes: la entera y la decimal. Para dividir ambas partes del número se utiliza la coma.

En algunos países se emplea el punto en vez de la coma para separar a los números decimales de los enteros.

Distintos tipos de decimales

Los números decimales se dividen en racionales e irracionales. Los irracionales son números en los que sus cifras decimales son infinitas y no siguen un patrón. Un ejemplo de estos números es el número pi (π). Los racionales, por su parte, pueden ser expresados en forma de fracción y se dividen en exactos, periódicos puros y periódicos mixtos.

  • Los números decimales exactos son los que tienen un final, es decir; que la parte decimal del número no es infinita. Por ejemplo: 24,657.
  • Los números decimales periódicos tienen una parte decimal que contiene una o más cifras que se repiten infinitamente, a esta parte decimal se conoce como período. Cuando dicho período está compuesto por una cifra que se repite infinitamente se lo denomina periódico puro. Por ejemplo: 6,8888… Por otro lado, cuando la parte decimal está compuesta por un número que no se repite y otro que sí se repite se lo denomina periódico mixto. Por ejemplo: 4,287878787…

VER INFOGRAFÍA

¿Cómo escribir un número periódico?

Para escribir un número decimal periódico (sea puro o mixto), se debe escribir un arco encima de la parte periódica del número para indicar que se repite infinitamente.

– Por ejemplo:

Decimal puro: 5,222...=\boldsymbol{5,\widehat{2}}

Decimal mixto: 8,1646464...=\boldsymbol{8,1\widehat{64}}

¿Sabías qué?
Hay infinitos números decimales entre dos números enteros.

Lectura de números decimales

Para poder leer números decimales debemos tener presente la clasificación de cada cifra según su valor posicional; es decir, tenemos que recordar que las cifras decimales de los números decimales, de izquierda a derecha después de la coma, se denominan: décima, centésima y milésima. Estos serían valores posicionales de la parte decimal del número.

A la hora de leerlo podemos expresar la parte entera seguida de la preposición “con” y luego la parte decimal. Para esta última se lee el número que se forma con las cifras decimales y se asigna el valor posicional de la última cifra decimal. Por ejemplo, para leer el número 6,718 debemos hacerlo de la siguiente manera:

6,718 → “Seis con setecientas dieciocho milésimas”.

Otra manera posible es: leer la parte entera seguida de la palabra “coma” y luego el número que conforma la parte decimal, sin expresar el valor de la posición. Por ejemplo:

6,718 → “Seis coma setecientos dieciocho”.

Cero a la izquierda de la coma

Cuando un decimal tiene un cero a la izquierda de la coma quiere decir que es menor a la unidad y se suele leer solo la parte decimal de acuerdo a su última cifra. Por ejemplo:

0,45 → “Cuarenta y cinco centésimas”.

Otra forma es decir la palabra “cero” seguida de la palabra “coma” y luego el número que conforma la parte decimal, sin expresar el valor de la posición.

0,45 → “Cero coma cuarenta y cinco”.

Para tener en cuenta

Los ceros que están en la última cifra de la parte decimal del número pueden o no leerse.

5,20 = 5,2

Esto se debe a que veinte centésimas es equivalente (es decir que vale lo mismo) a dos décimas, ya que veinte centésimas son veinte partes de cien (20/100) y dos décimas son dos partes de diez (2/10).

Por lo tanto, el número del ejemplo puede leerse de estas dos maneras:

5,20 → “Cinco con veinte centésimas”.

5,2 → “Cinco con dos décimas”.

Redondeo de decimales

En primer lugar, debemos saber que el término “redondear” aplicado a los números decimales quiere decir: aproximar un número a otro (menor o mayor) que tenga menos cifras decimales para lograr reducir la cantidad y poder determinar de forma más fácil la ubicación del número.

– Por ejemplo:

  • 5,649 se puede redondear a 5,65.
  • 8,78 se puede redondear a 8,8.
  • 15,86 se puede redondear a 15,9.
  • 42,39 se puede redondear a 42,4.

Reglas para el redondeo de decimales

  • Cuando la última cifra decimal es 0, 1, 2, 3 o 4: el número se debe redondear hacia abajo (uno menor). Por lo tanto, se quita la última cifra del número. Por ejemplo: 7,6281 se puede redondear a 7,628.
  • Cuando la última cifra decimal es 5, 6, 7, 8 o 9: el número se debe redondear hacia arriba (uno mayor). Por lo tanto, se le quita la última cifra al número y se aumenta +1 la penúltima. Por ejemplo: 4,58 se puede redondear a 4,6.

¡A practicar!

1. Escribe en letras como se leerían los siguientes números.

  • 64,15
  • 21,4
  • 9,285
  • 7,406

Solución
  • 64,15 → sesenta y cuatro con quince centésimas. / sesenta y cuatro coma quince.
  • 21,4 → veintiuno con cuatro décimas. / veintiuno coma cuatro.
  • 9,285 → nueve con doscientos ochenta y cinco milésimas. / nueve coma doscientos ochenta y cinco.
  • 7,406 → siete con cuatrocientas seis milésimas. / siete coma cuatrocientos seis.

 

2. Ubica la coma donde corresponda.

  • Ocho con trescientas once milésimas → 8311

Solución
8,311
  • Cincuenta y cuatro centésimas → 054
Solución
,054
  • Veintisiete con setenta y siete centésimas → 2777
Solución
27,77

 

3. Escribe en letras los números decimales.

a. 15,02

b. 6,616

c. 71,25

d. 822,3

Solución

a. 15,02 → “quince con dos centésimas.”

b. 6,616 → “seis con seiscientas dieciséis milésimas.”

c. 71,25 → “setenta y uno con veinticinco centésimas.”

d. 822,3 → “ochocientos veintidós con tres décimas.”

 

4. Lee y escribe los números que correspondan.

a. Veintiuno con cinco décimas.

b. Doce con cuarenta y cinco centésimas.

c. Ciento veinte con trescientos veinte milésimas.

d. Setenta y cinco centésimas.

Solución

a. 21,5

b. 12,45

c. 120,320

d. 0,75

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo destacado “Números decimales”

El siguiente artículo te permitirá conocer más acerca de los números decimales:

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Video “Aproximación de decimales”

El video se enfoca en cómo calcular aproximaciones de números decimales a través de varios ejercicios que facilitan su comprensión.

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CAPÍTULO 5 / TEMA 4

Cuerpos geométricos

Uno de los objetos de estudio de la geometría son los cuerpos geométricos. Una pelota de fútbol, un cono de helado o un dado son algunos objetos cotidianos que podemos asociar con estos cuerpos, los cuales se caracterizan por ocupar volumen en el espacio y estar formados con figuras geométricas.

Principales cuerpos geométricos

Los cuerpos geométricos son infinitos y cada uno posee características propias. Los más comunes son el cubo, el prisma, la pirámide, el cilindro, el cono y la esfera. Ellos se clasifican en poliedros y cuerpos redondos.

  • Los poliedros son cuerpos geométricos. Todas sus caras son planas. Estos, a su vez, pueden ser regulares si sus caras son todas iguales o irregulares cuando son diferentes. Un ejemplo de poliedro es el cubo.
  • Los cuerpos redondos son cuerpos geométricos con al menos una cara curva, como sucede con el cilindro.

VER INFOGRAFÍA

¿Sabías qué?
Al cubo también se lo denomina hexaedro regular.

Elementos de los cuerpos geométricos

En la mayoría de los cuerpos geométricos se pueden identificar los siguientes elementos.

  • Cara: corresponde a cada una de las superficies planas que delimitan al cuerpo geométrico. Pueden ser caras basales, las que sirven de apoyo (base) al cuerpo en el plano, o caras laterales, que corresponden a las de los costados.
  • Vértice: es el punto en el que se juntan tres o más caras.
  • Arista: es el segmento de línea que se forma cuando dos caras se juntan.
La esfera y sus curiosidades

La esfera es un cuerpo geométrico que no posee ni caras, ni aristas ni vértice. Y se caracteriza porque todos los puntos de su superficie están a la misma distancia del centro.

Volumen de cuerpos geométricos

De acuerdo a su tipo, cada cuerpo geométrico tiene características propias que permiten calcular su volumen a través de fórmulas.

Nombre Figura Fórmula de volumen
Cubo \boldsymbol{V=l^{3}}

 

Donde:

V = volumen

l = lado
Prisma \boldsymbol{V = A_{b}\times h}

 

Donde:

V = volumen
Ab = área basal

h = altura
Pirámide \boldsymbol{V = \frac{A_{b}\times h}{3}}

 

Donde:

V = volumen

Ab = área basal

h = altura
Cilindro \boldsymbol{V =\pi \times r^{2}\times h}

 

Donde:

V = volumen

π = número pi (3,14…)

r = radio

h = altura
Cono \boldsymbol{V =\frac{\pi \times r^{2}\times h}{3}}

 

Donde:

V = volumen

π = número pi (3,14…)

r = radio

h = altura
Esfera \boldsymbol{V =\frac{4}{3}\times \pi \times r^{3}}

 

Donde:

V = volumen

π = número pi (3,14…)

r = radio

h = altura

VER INFOGRAFÍA

– Calcula el volumen de este cubo.

Un cubo se caracteriza porque todos sus lados miden lo mismo, de manera que al conocer solo la medida de un lado se puede aplicar la fórmula:

V=l^{3}

V=(3\, cm)^{3}

V=\mathbf{27\, cm^{3}}

– Calcula el volumen del siguiente cilindro.

Según la fórmula, los únicos datos que se necesitan son el radio del cilindro y su altura. De la imagen se obtienen los datos:

V =\pi \times r^{2}\times h

V =\pi \times (2\, cm)^{2}\times 6\, cm

En este caso observa que el radio está elevado al cuadrado, por lo tanto, al resolver esa potencia las unidades también se verán afectadas, por lo que quedarán centímetros cuadrados:

V =\pi \times 4\, cm^{2}\times 6\, cm

El número pi (π) es un número irracional, por lo cual es infinito. Para efectos de estos cálculos, usaremos solamente 2 de sus decimales, es decir, lo aproximamos a 3,14.

V =3,14 \times 4\, cm^{2}\times 6\, cm

Al resolver este producto se obtiene el volumen del cilindro.

V =\mathbf{75,36\, cm^{3}}

¿Sabías qué?
Cuando se usan múltiplos o submúltiplos del metro, el volumen siempre se expresa en unidades cúbicas: m3, cm3, mm3, km3, etc.
Los prismas son poliedros cuyos lados laterales son paralelogramos y con dos caras paralelas e iguales denominadas bases. Reciben su nombre de acuerdo a la forma de su base, por ejemplo, si su base es un triángulo, se denomina prisma triangular, si es un pentágono se denomina prisma pentagonal y así sucesivamente. Un paralelepípedo es un prisma cuya base es un paralelogramo.

Construcción de cuerpos geométricos

Los cuerpos geométricos tienen volumen y, por lo tanto, se pueden representar en tres dimensiones: largo, alto y ancho. Las imágenes a continuación son patrones que puedes usar para construir los cuerpos geométricos más comunes:

Cubo

Prisma rectangular

Pirámide

Cilindro

Cono

La construcción de cuerpos geométricos, además de su gran utilidad al momento de representar a estas figuras, permite trasladar estos conocimientos a otras áreas como la arquitectura y la ingeniería, en las cuales se realizan diseños a escalas. Conocer las diferentes fórmulas de cálculo y volumen de las figuras es fundamental para realizar operaciones más avanzadas.

¡A practicar!

1. Calcula el volumen de los siguientes cuerpos geométricos.

a)

      *La base es un rectángulo.

Solución
V = 133,33 cm3

b)

Solución
V = 64 cm3

c)

Solución
V = 904,32 cm3

d) 

Solución
V = 33,49 cm3

e)

Solución
V = 96 cm3

f)

Solución
V = 62,8 cm3

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Poliedros irregulares”

El artículo explica qué es un poliedro y qué caracteriza a los irregulares. También hace una breve explicación de los sólidos platónicos y muestra algunos ejemplos.

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Infografía “Cuerpos redondos”

La infografía explica de manera sencilla qué es un cuerpo redondo, sus características y su presencia en la vida cotidiana.

VER

Artículo “Volumen de figuras geométricas”

En este artículo destacado se explica qué es el volumen y cómo calcularlo en los diferentes cuerpos geométricos. También se plantean una serie de problemas resueltos y de ejercicios planteados.

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CAPÍTULO 1 / TEMA 6 (REVISIÓN)

SISTEMAS NUMÉRICOS | ¿QUÉ APRENDIMOS?

¿QUÉ SON LOS NÚMEROS?

LOS NÚMEROS SON EXPRESIONES GRÁFICAS DE UNA CANTIDAD. GRACIAS A ELLOS CONTAMOS JUGUETES, HORAS O EDADES. A LO LARGO DE LA HISTORIA LOS SERES HUMANOS HAN UTILIZADO DIFERENTES RECURSOS COMO PALOS Y PIEDRAS PARA CONTAR, HASTA LLEGAR A UTILIZAR LOS SÍMBOLOS DE LOS NÚMEROS TAL COMO LOS CONOCEMOS HOY: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Y 9.

LOS NÚMEROS SON NECESARIOS PARA EL HOMBRE PORQUE NOS PERMITEN LLEVAR A CABO UNA TAREA DIARIA: CONTAR.

TIPOS DE NÚMEROS

POR LO GENERAL UTILIZAMOS DOS TIPOS DE NÚMEROS: LOS CARDINALES, QUE NOS SIRVEN PARA INDICAR UNA CANTIDAD DE ELEMENTOS, Y LOS ORDINALES, QUE USAMOS PARA EXPRESAR EL ORDEN O LA POSICIÓN DE UN ELEMENTO DENTRO DE UN GRUPO. LOS NÚMEROS ROMANOS FUERON INVENTADOS MUCHO ANTES DE LOS NÚMEROS QUE USAMOS HOY DÍA, SIN EMBARGO, SU USO HA PERDURADO EN LA HISTORIA Y ES POSIBLE VERLOS EN LOS NOMBRES DE PAPAS, LA NUMERACIÓN DE LAS OLIMPÍADAS DEPORTIVAS O ALGUNOS RELOJES ANTIGUOS.

LOS NÚMEROS ROMANOS SE REPRESENTAN CON SÍMBOLOS PARECIDOS A ALGUNAS DE NUESTRAS LETRAS MAYÚSCULAS.

SERIES Y RELACIONES

UNA SERIE ES UNA SUCESIÓN DE NÚMEROS QUE SIGUEN UN PATRÓN O REGLA. ESTAS SERIES PUEDEN SER DE OBJETOS, FIGURAS O NÚMEROS Y PUEDEN SER ASCENDENTES O DESCENDENTES. LAS SERIES ASCENDENTES SON LAS QUE VAN DE MENOR A MAYOR, POR EJEMPLO, CUANDO CONTAMOS LA CANTIDAD DE LÁPICES QUE TENEMOS: 1, 2, 3, …POR OTRO LADO, LAS SERIES DESCENDENTES SON LAS QUE VAN DE MAYOR A MENOR, COMO CUANDO CONTAMOS LOS SEGUNDOS PARA EL AÑOS NUEVO: 5, 4, 3, 2, 1.

CUANDO CONTAMOS DE 1 EN 1 CREAMOS UNA SERIE NUMÉRICA ASCENDENTE PORQUE CADA NÚMERO TIENE UNA UNIDAD MÁS QUE EL ANTERIOR.

NÚMEROS NATURALES

LOS NÚMEROS NATURALES SON AQUELLOS QUE NOS PERMITEN CONTAR LOS ELEMENTOS DE UN CONJUNTO. CUANDO TIENEN MÁS DE UN DÍGITO, EL VALOR DE CADA UNO DEPENDE DE LA UBICACIÓN DENTRO DEL NÚMERO: SEGÚN SU POSICIÓN PODRÁ OCUPAR EL LUGAR DE LAS UNIDADES, LAS DECENAS O LAS CENTENAS. LOS NÚMEROS NATURALES SE PUEDEN EXPRESAR SIEMPRE COMO EL RESULTADO DE UNA SUMA POR MEDIO DE SU DESCOMPOSICIÓN ADITIVA.

LOS NÚMEROS NATURALES FUERON LOS PRIMEROS NÚMEROS QUE USÓ EL HOMBRE PARA CONTAR.

CONJUNTOS

UN CONJUNTO ES UNA COLECCIÓN DE OBJETOS A LOS QUE LLAMAMOS ELEMENTOS. PARA PODER SER ELEMENTOS DE UN MISMO CONJUNTO, TODOS DEBEN TENER ALGUNA CARACTERÍSTICA EN COMÚN QUE NOS PERMITA AGRUPARLOS, POR EJEMPLO, EL CONJUNTO DE LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS ESTARÍA CONFORMADO POR CÍRCULOS, TRIÁNGULOS, CUADRADOS Y RECTÁNGULOS. SI UN ELEMENTO POSEE ESA CARACTERÍSTICA COMÚN CON LOS OTROS OBJETOS SE DICE QUE PERTENECE AL CONJUNTO, SI NO POSEE ESA CARACTERÍSTICA EN COMÚN SE DICE QUE NO PERTENECE AL CONJUNTO.

AUNQUE EN LA IMAGEN VEMOS ELEMENTOS DISTINTOS, COMO ANIMALES, ALIMENTOS Y FIGURAS, TODOS TIENEN ALGO EN COMÚN: SON DE COLOR VERDE, POR LO TANTO, FORMAN UN CONJUNTO.

CAPÍTULO 1 / TEMA 5

CONJUNTOS

CASI TODOS LOS OBJETOS QUE USAMOS SE PUEDEN ORGANIZAR EN GRUPOS: NUESTROS JUGUETES, ÚTILES ESCOLARES, VESTIMENTA Y HASTA NUESTROS ALIMENTOS. CUANDO AGRUPAMOS VARIOS OBJETOS DE ACUERDO A UNA CARACTERÍSTICA HABLAMOS DE CONJUNTOS. ESTOS SON MUY FÁCILES DE REPRESENTAR Y NOS SIRVEN PARA CLASIFICAR Y HACER COLECCIONES.

LOS NÚMEROS QUE USAMOS PARA CONTAR FORMAN UN CONJUNTO LLAMADO “NÚMEROS NATURALES”. SON UN CONJUNTO PORQUE CUMPLEN CON CARACTERÍSTICAS EN COMÚN. POR EJEMPLO, EN ESTA IMAGEN VEMOS UN GRUPO DE NÚMEROS QUE PODEMOS REPRESENTAR CON NUESTROS DEDOS Y CON LOS QUE PODEMOS CREAR CUALQUIER CANTIDAD DE NÚMEROS, LAS CIFRAS 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Y 9.

NOCIÓN DE CONJUNTO

UN CONJUNTO ES UN GRUPO O UNA COLECCIÓN DE ELEMENTOS QUE COMPARTEN ALGUNA CARACTERÍSTICA. POR EJEMPLO:

OBSERVA ESTE GRUPO DE ELEMENTOS, ¿QUÉ TIENEN EN COMÚN?

TODAS SON FRUTAS. ESTE ES EL CONJUNTO DE LAS FRUTAS.

ELEMENTOS DE UN CONJUNTO

UN ELEMENTO ES UN OBJETO QUE FORMA PARTE DE UN CONJUNTO. POR EJEMPLO:

ESTE ES EL CONJUNTO DE LAS VOCALES, ¿CUÁNTOS ELEMENTOS TIENE?

TIENE 5 ELEMENTOS: A, E, I, O Y U.

 

– OTRO EJEMPLO:

ESTE ES EL CONJUNTO DE LOS ÚTILES ESCOLARES, ¿CUÁNTOS ELEMENTOS TIENE?

TIENE 7 ELEMENTOS: EL LÁPIZ, EL CUADERNO, EL CLIP, EL COMPÁS, LA TIJERA, LA REGLA Y LA MOCHILA.

¿SABÍAS QUÉ?
EN MATEMÁTICA, EL NOMBRE DE LOS CONJUNTOS SE REPRESENTA CON UNA LETRA MAYÚSCULA. POR EJEMPLO, EL CONJUNTO DE LOS ANIMALES SE PUEDE LLAMAR CONJUNTO A.
LOS CONJUNTOS ESTÁN PRESENTES EN NUESTRO DÍA A DÍA Y SON DE GRAN UTILIDAD CUANDO VAMOS CON NUESTROS PADRES DE COMPRAS. EN LOS SUPERMERCADOS VEMOS TODOS LOS ALIMENTOS POR CONJUNTOS. EN UN ESTANTE ESTÁ EL CONJUNTO DE LOS CEREALES, EN OTRO EL CONJUNTO DE LOS PRODUCTOS DE LIMPIEZA, EN OTRO EL CONJUNTO DE LAS CARNES Y EN OTRO EL CONJUNTO DE LAS GOLOSINAS.

REPRESENTACIÓN DE CONJUNTOS

UN CONJUNTO PUEDE SER REPRESENTADO POR MEDIO DEL DIAGRAMA DE VENN O ENTRE LLAVES.

CONJUNTO MEDIANTE DIAGRAMA DE VENN

CONSISTE EN UNA LÍNEA CERRADA QUE ENCIERRA EL GRUPO DE ELEMENTOS DEL CONJUNTO. EL CONJUNTO SE EXPRESA POR MEDIO DE UNA LETRA MAYÚSCULA. POR EJEMPLO:

ESTE ES EL CONJUNTO F O CONJUNTO DE LA FIGURAS GEOMÉTRICAS.

CONJUNTO MEDIANTE LLAVES

CONSISTE EN ESCRIBIR TODOS LOS ELEMENTOS DEL CONJUNTO DENTRO DE UNAS LLAVES. POR EJEMPLO:

F = {CUADRADO, TRIÁNGULO, CÍRCULO, RECTÁNGULO}

¡ES TU TURNO!

OBSERVA ESTOS ELEMENTOS. ¿QUÉ TIENEN EN COMÚN?

REPRESENTA EL CONJUNTO POR MEDIO DEL DIAGRAMA DE VENN Y MEDIANTE LLAVES.

SOLUCIÓN

TODOS SON GLOBOS. ESTE ES EL CONJUNTO G:

G = {GLOBO AMARILLO, GLOBO ROSA, GLOBO MORADO, GLOBO AZUL, GLOBO ROJO}

PERTENENCIA Y NO PERTENENCIA

SI UN ELEMENTO COMPARTE LA CARACTERÍSTICA QUE NOS PERMITE AGRUPARLO CON OTROS, SE DICE QUE PERTENECE A ESE CONJUNTO. SI NO LA TIENE SE DICE QUE ESE ELEMENTO NO PERTENECE A ESE CONJUNTO. POR EJEMPLO:

ESTE ES EL CONJUNTO L DE LOS LÁPICES DE COLORES.

 PERTENECE AL CONJUNTO L.                                        NO PERTENECE AL CONJUNTO L.

TODO EL CONJUNTO L TIENE OBJETOS CON UNA CARACTERÍSTICA EN COMÚN: SON LÁPICES DE COLORES. EL LÁPIZ ROJO PERTENECE AL CONJUNTO L, MIENTRAS QUE EL PINCEL, POR NO SER UN LÁPIZ DE COLOR, NO PERTENECE AL CONJUNTO L.

TAMBIÉN PODEMOS USAR SÍMBOLOS ESPECIALES COMO ∈ (PERTENECE) O ∉ (NO PERTENECE.)

– OTRO EJEMPLO:

OBSERVA ESTOS DOS CONJUNTOS.

 

∈ AL CONJUNTO P.                    ∉ AL CONJUNTO A.

∈ AL CONJUNTO A.                        ∉ AL CONJUNTO P.

CUANTIFICADORES

A VECES PODEMOS EXPRESAR LAS CANTIDADES Y RELACIONES DE LOS ELEMENTOS DE UN CONJUNTO SIN UTILIZAR NÚMEROS. LO HACEMOS POR MEDIO DE PALABRAS COMO “TODOS”, “ALGUNOS” O “NINGUNO”. POR EJEMPLO, EN LA IMAGEN SE MUESTRA UNA ENSALADA DE FRUTAS. ESTA ENSALADA REPRESENTA UN CONJUNTO EN EL QUE:

  • TODOS SUS ELEMENTOS SON FRUTAS.
  • ALGUNOS ELEMENTOS SON DE COLOR ROJOS.
  • NINGÚN ELEMENTO ES DE COLOR BLANCO .

¡A PRACTICAR!

1. OBSERVA ESTE CONJUNTO Y RESPONDE:

  • ¿QUÉ TIENEN EN COMÚN?
SOLUCIÓN
TODAS SON CAMISETAS.
  • ¿CUÁNTOS ELEMENTOS TIENE EL CONJUNTO R?
SOLUCIÓN
TIENE 4 ELEMENTOS.
  • ¿CÓMO REPRESENTARÍAS ESTE CONJUNTO MEDIANTE LLAVES?
SOLUCIÓN
R = {CAMISETA BLANCA, CAMISETA VERDE, CAMISETA ROJA, CAMISETA AZUL}

 

2. OBSERVA EL CONJUNTO H Y RESPONDE.

 

  • ¿CUÁNTOS ELEMENTOS TIENE EL CONJUNTO H?
SOLUCIÓN
TIENE 7 ELEMENTOS.
  • ¿QUÉ CARACTERÍSTICA TIENEN EN COMÚN?
SOLUCIÓN
TODOS SON ALIMENTOS DE COLOR AMARILLO.
  • COMPLETA CON ∈ (PERTENECE) O ∉ (NO PERTENECE) SEGÚN CORRESPONDA.

 ______ AL CONJUNTO H.

SOLUCIÓN

 ∈ AL CONJUNTO H.

 ______ AL CONJUNTO H.

SOLUCIÓN

 ∉ AL CONJUNTO H.

 ______ AL CONJUNTO H.

SOLUCIÓN

 ∈ AL CONJUNTO H.

______ AL CONJUNTO H.

SOLUCIÓN

∉ AL CONJUNTO H.

 ______ AL CONJUNTO H.

SOLUCIÓN

 ∉ AL CONJUNTO H.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Relaciones entre conjuntos”

Con este recurso se podrá profundizar en algunas nociones sobre el concepto de conjuntos y de qué manera se relacionan entre ellos.

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CAPÍTULO 1 / TEMA 4

NÚMEROS NATURALES

USAMOS NÚMEROS NATURALES TODOS LOS DÍAS: CUANDO CONTAMOS LAS HORAS, DAMOS UN NÚMERO DE TELÉFONO O AL DECIR NUESTRA EDAD. CON SOLO 10 DÍGITOS PODEMOS FORMAR CUALQUIER CANTIDAD DE NÚMEROS, Y PARA ESTO ES IMPORTANTE SABER LA POSICIÓN DE CADA CIFRA, ES DECIR, SU VALOR POSICIONAL.

¿QUÉ SON LOS NÚMEROS NATURALES?

LOS NÚMEROS NATURALES SON LOS QUE USAS A DIARIO PARA CONTAR. TODO NÚMERO NATURAL SIEMPRE TIENE UN SUCESOR, ES DECIR, UN NÚMERO QUE VIENE DESPUÉS Y ES MÁS GRANDE.

LOS NÚMEROS NATURALES SON LOS PRIMEROS QUE USÓ EL HOMBRE PARA CONTAR. DEBIDO A QUE ESTOS NÚMEROS SE UTILIZAN PARA SABER CANTIDADES, EL CERO PUEDE CONSIDERARSE EL NÚMERO IGUAL A LA AUSENCIA DE ALGO. LAS DIEZ CIFRAS DE NUESTRO SISTEMA DE NUMERACIÓN SON LOS PRIMEROS DIEZ NÚMEROS DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Y 9.

¿SABRÍAS QUÉ?
SI EMPIEZAS A CONTAR NO TERMINARÁS NUNCA, LOS NÚMEROS NO TIENEN FIN.

VALOR POSICIONAL DE LOS NÚMEROS

OBSERVA ESTOS DOS NÚMEROS, ¿SON IGUALES?

12             21

NO, NO SON IGUALES. EL PRIMERO ES EL DOCE Y EL SEGUNDO ES EL VEINTIUNO. 

SI BIEN LOS DOS UTILIZAN LAS MISMAS CIFRAS: 1 Y 2, LA POSICIÓN ES DIFERENTE Y POR LO TANTO, SU VALOR TAMBIÉN ES DIFERENTE. ESTO ES LO QUE CONOCEMOS COMO VALOR POSICIONAL.

 

UNIDADES, DECENAS Y CENTENAS

  • OBSERVA LA IMAGEN, ¿CUÁNTOS CARAMELOS HAY?

HAY UN SOLO CARAMELO.

1 = 1 UNIDAD

  • ¿CUÁNTOS CARAMELOS HAY?

HAY 10 CARAMELOS.

10 = 1 DECENA

  • ¿CUÁNTOS CARAMELOS HAY?

HAY 100 CARAMELOS.

100 = 1 CENTENA

 

AL CONTAR MONEDAS PODEMOS HACER GRUPOS DE 1 EN 1 HASTA TENER 10. SI UNIMOS 10 GRUPOS DE 10 TENDREMOS 100 MONEDAS. CADA MONEDA DE 1 ES IGUAL A LA UNIDAD, EL GRUPO DE 10 ES IGUAL A LA DECENA Y EL GRUPO DE 100 ES IGUAL A LA CENTENA. VISTO DE OTRO MODO:

1 CUADRO = 1 UNIDAD

10 CUADROS = 1 DECENA = 10 UNIDADES

100 CUADROS = 1 CENTENA = 10 DECENAS = 100 UNIDADES

TABLA DE VALOR POSICIONAL

PODEMOS UBICAR CUALQUIER NÚMERO EN UNA TABLA SEGÚN SU VALOR POSICIONAL. EL PRIMER NÚMERO DE DERECHA A IZQUIERDA SERÁ LA UNIDAD, EL SEGUNDO SERÁ LA DECENA Y EL TERCERO SERÁ LA CENTENA.

– EJEMPLO:

¿CUÁNTOS POLLITOS HAY?

SI CONTAMOS LOS PRIMEROS DIEZ Y LOS AGRUPAMOS TENEMOS UNA DECENA. LUEGO CONTAMOS LOS DEMÁS 1 POR 1.

1 DECENA Y 8 UNIDADES SON 18.

EN UNA TABLA DE VALOR POSICIONAL QUEDA ASÍ:

 

– OTRO EJEMPLO:

¿CUÁNTOS HUEVOS DE PASCUA HAY?

2 DECENAS Y 4 UNIDADES SON 24.

ES LA TABLA POSICIONAL:

¡ES TU TURNO!

¿CUÁNTOS GUSANOS HAY?

SOLUCIÓN

3 DECENAS Y 5 UNIDADES SON 35.

EN LA TABLA POSICIONAL QUEDA ASÍ:

DESCOMPOSICIÓN ADITIVA

EL ELEMENTO ENTERO MÁS PEQUEÑO QUE PODEMOS CONTAR SE LLAMA UNIDAD, 10 UNIDADES FORMAN UNA DECENA Y 10 DECENAS FORMAN UNA CENTENA.

TODO NÚMERO PUEDE SER REPRESENTADO COMO UNA SUMA DE SUS VALORES POSICIONALES, OBSERVA:

EL NÚMERO 24 TIENE:

  • 2 DECENAS = 2 VECES 10 = 20
  • 4 UNIDADES = 4 VECES 1 = 4

LA DESCOMPOSICIÓN ADITIVA SE ESCRIBE ASÍ:

24 = 20 + 4

– OTRO EJEMPLO:

EL NÚMERO 123 TIENE:

  • 1 CENTENA = 1 VEZ 100 = 100
  • 2 DECENAS = 2 VECES 10 = 20
  • 3 UNIDADES = 3 VECES 1 = 3

LA DESCOMPOSICIÓN ADITIVA ES:

123 = 100 + 20 + 3 

CUADRO DE NÚMEROS

ESTE CUADRO TIENE EN FORMA ORDENADA LOS NÚMEROS DEL 1 AL 100. ES MUY ÚTIL PARA APRENDER A CONTAR Y TAMBIÉN PARA APRENDER EL NOMBRE DE LOS NÚMEROS.

el sucesor de un número

EL SUCESOR DE UN NÚMERO NATURAL ES EL RESULTADO DE SUMARLE 1 A ESE NÚMERO.

– EJEMPLO:

  • EL SUCESOR DE 5 ES 6 PORQUE 5 + 1 = 6.
  • EL SUCESOR DE 26 ES 27 PORQUE 26 + 1 = 27.
  • EL SUCESOR DE 49 ES 50 PORQUE 49 + 1 = 50.

¡A PRACTICAR!

1. ¿CUÁL ES EL SUCESOR DE LOS SIGUIENTES NÚMEROS?

  • 7
SOLUCIÓN
8 PORQUE 7 + 1 = 8.
  • 10
SOLUCIÓN
11 PORQUE 10 + 1 = 11.
  • 56
SOLUCIÓN
57 PORQUE 56 + 1 = 57.
  • 79
SOLUCIÓN
80 PORQUE 79 + 1 = 80.
  • 23
SOLUCIÓN
24 PORQUE 23 + 1 = 24.
  • 4
SOLUCIÓN
5 PORQUE 4 + 1 = 5.
  • 99
SOLUCIÓN
100 PORQUE 99 + 1 = 100.

 

2. COLOCA CADA NÚMERO EN UNA TABLA POSICIONAL.

  • 46
SOLUCIÓN

  • 58
SOLUCIÓN

  • 32
SOLUCIÓN

  • 116
SOLUCIÓN

  • 9
SOLUCIÓN

  • 100
SOLUCIÓN

 

3. REALIZA LA DESCOMPOSICIÓN ADITIVA DE LOS SIGUIENTES NÚMEROS.

  • 32
SOLUCIÓN
32 = 30 + 2
  • 116
SOLUCIÓN
116 = 100 + 10 + 6
  • 91
SOLUCIÓN
91 = 90 + 1
  • 136
SOLUCIÓN
100 = 100 + 30 + 6
  • 58
SOLUCIÓN
58 = 50 + 8
  • 46
SOLUCIÓN
46 = 40 + 6

 

4. AYUDA A LA GALLINA A LLEGAR AL NIDO. ENCUENTRA EL SUCESOR DE CADA NÚMERO A PARTIR DEL 1.

SOLUCIÓN

 

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “¿Qué es un número natural?”

Este artículo te permitirá profundizar sobre los números naturales y sus características.

VER

Artículo “Composición y descomposición de números”

Con este recurso podrás ampliar la información sobre la composición de número naturales.

VER

CAPÍTULO 6 / TEMA 4 (REVISIÓN)

GRÁFICOS Y ESTADÍSTICA |¿QUÉ APRENDIMOS?

LA ENCUESTA

La encuesta es una técnica de investigación estadística que consiste en aplicar un cuestionario a un grupo de personas para obtener información sobre un tema específico. Las preguntas en un cuestionario pueden ser abiertas cuando el encuestado tiene la libertad de dar cualquier respuesta, o cerradas cuando solo se contestan a partir de varias opciones. A través de esta herramienta se puede conocer la opinión de las personas sobre algún tema y se pueden recabar datos específicos para una investigación. Los resultados de las encuestas a menudo se representan en tablas o en gráficas.

Las encuestas se pueden hacer de forma presencial, por vía telefónica, por correo o por Internet.

TABLAS Y GRÁFICOS

Los datos se pueden organizar de forma más clara y ordenada a través de las tablas de frecuencia, de los gráficos de barra y de los pictogramas. Una tabla de frecuencia permite la organización de los datos de acuerdo su frecuencia respectiva, es decir, el número de veces que se repiten. Estas tablas pueden ser simples o de doble entrada si representan uno o dos conjuntos de datos respectivamente. Por otra parte, un gráfico de barra emplea barras rectangulares para representar la frecuencia de un dato. Finalmente, un pictograma es un diagrama que al igual que las tablas y los gráficos de barra, representa las frecuencias de los datos pero a través de imágenes.

La longitud de los rectángulos en los gráficos de barra indica la frecuencia de la variable.

PROBABILIDAD

Hay eventos en los que no se puede saber con exactitud cuál será su resultado porque dependen del azar: lanzar una moneda, sacar una carta de un mazo, lanzar un dado, etc. Estos son ejemplos de eventos aleatorios que pueden ser más, menos o igual de probables que otros. De acuerdo a la posibilidad u ocurrencia de un fenómeno podemos clasificar los eventos en seguros, cuando siempre ocurren; posibles, cuando podrían ocurrir; e imposibles, cuando nunca ocurren. A menudo practicamos juegos como piedra, papel o tijera donde podemos observar eventos aleatorios.

En un juego aleatorio, el resultado de ganar o no depende de la destreza del jugador y del azar.

CAPÍTULO 6 / TEMA 3

PROBABILIDAD

Lanzar un dado, sacar un número de una esfera de bingo o tomar una carta de un mazo sin ver son algunos eventos en los que no conocemos con certeza qué resultado se va a obtener. Sin embargo, gracias a la probabilidad, sí podemos conocer qué tan probable es que sucedan.

evento aleatorio

Un evento es el resultado o conjunto de resultados que pueden ocurrir en un experimento. Se dice que un evento es aleatorio cuando no es posible determinarlo con exactitud y por ello, está sujeto al azar.

En un experimento aleatorio no se conoce con seguridad cuál será el resultado. Por ejemplo, un evento aleatorio puede ser lanzar una moneda y observar si cae la cara o la cruz. Esto se debe a que en los eventos aleatorios interviene el azar. Aunque nunca conoceremos con certeza cuál será el resultado, sí conocemos los posibles resultados, en este caso sería cara o cruz.

En ocasiones realizamos acciones como lanzar un dado, en donde conocemos de antemano los posibles resultados que se pueden dar (1, 2, 3, 4, 5 o 6), sin embargo; no sabemos exactamente cuál de ellos va a ocurrir.

Los resultados de estas acciones son eventos aleatorios.

Por ejemplo, observa los colores de las esferas que contiene la bolsa:

Al sacar al azar una esfera de la bolsa, puede suceder que la esfera sea verde, roja, violeta o azul, pero no puede suceder que la esfera sea de color amarillo, porque no hay en la bolsa esferas de color amarillo.

Regla de Laplace

El análisis de las probabilidades fue definido por el matemático francés Pierre de Laplace, quien la definió como el cociente entre los casos favorables entre los casos posibles.

\boldsymbol{probabilida = \frac{casos \: \: favorables}{casos\: \: posibles}}

El estudio de la probabilidad es usado desde una fábrica hasta las empresas de juegos de lotería. En la ciencia, las probabilidades han tenido una importancia incalculable porque permiten realizar estimaciones de eventos en donde participa el azar.

Los eventos pueden ser seguros, posibles o imposibles. Un evento seguro siempre sucede, por ejemplo, lanzar una moneda y que se obtenga cara o sello. Un evento imposible nunca ocurre, como por ejemplo lanzar un dado y obtener el número siete. Un evento posible es el que podría suceder, como sacar una carta de póquer de un mazo y que sea una reina.

OCURRENCIA de un suceso

Los eventos aleatorios pueden ser eventos o sucesos seguros, posibles e imposibles de que ocurran.

  • En un evento seguro el resultado siempre se va a dar.
  • En un evento posible el resultado podría darse.
  • En un evento imposible el resultado no podría darse.

Por ejemplo, observa las frutas que hay en la cesta:

Imagina que tienes los ojos vendados y tomas unas frutas, se pueden dar los diferentes tipos de eventos a continuación:

  • Un evento seguro es agarrar una manzana.
  • Un evento posible es agarrar una manzana roja.
  • Un evento imposible es agarrar una fresa.

Probabilidades de los eventos

Dentro de los posibles eventos podemos distinguir:

  • Evento igual de probable: es aquel resultado que tiene la misma probabilidad que los demás. Por ejemplo, cuando lanzamos una moneda, el evento “cara” tiene las mismas probabilidades que el evento “cruz”.
  • Evento muy probable: es aquel resultado que tiene muchas probabilidades de darse. Por ejemplo, en una caja con 10 tarjetas, 9 de color amarillo y 1 de color rojo, el evento “sacar una tarjeta amarilla” tiene muchas probabilidades de ocurrir.
  • Evento poco probable: es aquel resultado que tiene muy pocas probabilidades de darse. Por ejemplo, en una caja con 10 tarjetas, 9 de color azul y 1 de color verde, el suceso “sacar una tarjeta verde” tiene pocas probabilidades de ocurrir.

¿Sabías qué?
Si reúnes 23 personas al azar es muy probable que una ellas cumpla el mismo día que tú.

juegos aleatorios

Los juegos aleatorios populares en los casinos, como la ruleta y las cartas, son juegos en donde las posibilidades de ganar o perder no solo dependen de la habilidad que tenga el jugador, sino que además interviene el azar, esto se debe a que la probabilidad de ganar o perder es algo que no se puede predecir pero sí calcular de acuerdo a las probabilidades.

Juego de los dados

En este juego participan dos personas, las reglas son muy sencillas: cada jugador tira un dado y el jugador con la puntuación más alta gana.

La probabilidad de victoria es la misma para cada uno de los jugadores.

Para visualizarlo, imaginemos que el dado de un jugador es de color azul y el del oponente verde. Esto nos permite representar de un modo muy visual los 36 posibles desenlaces de una mano. Representamos en azul las victorias del dado azul y en verde las victorias del dado verde, y en blanco los empates. Observa:

Observamos que de los 36 posibles desenlaces 15 son victorias azules y 15 victorias verdes. Es decir, la probabilidad de que gane cada uno de los jugadores es la misma (15/36) y por lo tanto, ninguno tiene ventaja.

Pares o nones

Este es un juego que se utiliza para elegir entre dos personas a una de las dos, mediante un evento aleatorio: uno de los jugadores escoge “pares” y el otro “nones”, cada uno representa un número del 1 al 5 con una mano en la espalda, cuentan hasta tres y la sacan con cualquier número de dedos extendidos

CAPÍTULO 6 / TEMA 2

TABLAS Y GRÁFICOS

Las tablas y los gráficos son herramientas usadas para representar datos. Se emplean en votaciones electorales, en empresas e incluso en etiquetas de productos. Estos recursos son muy útiles, porque su diseño permite entender un problema de manera más clara y hace que el análisis de los datos sea más rápido.

tablas de frecuencia

Las tablas de frecuencia o estadísticas nos permiten organizar datos con su frecuencia respectiva. La frecuencia es el número de veces que se repite un dato. Están formadas por filas que son hileras de datos horizontales y por columnas que son hileras de datos verticales. Para leer una tabla hay que leer primero la columna del dato de interés y luego desplazarse horizontalmente hasta la frecuencia que existe para ese dato.

Por ejemplo, imaginemos que la maestra realiza esta pregunta a sus estudiantes: ¿qué edad tienes? Luego representa los resultados en la siguiente tabla:Como podrás observar, en la tabla aparecen organizadas las edades y el número de niños que tienen esa edad. De la misma podemos concluir lo siguiente:

  • Hay 14 niños que tienen 8 años.
  • Hay 19 niños que tienen 9 años.
  • hay 1 niño que tiene 10 años.

Las tablas nos suministran información y permiten relacionar los datos que en ellos se encuentran (edad y número de niños).

Las tablas y los gráficos se utilizan en varias áreas de la ciencia como la biología, la química, la geografía, la economía, la medicina, etc. La mayoría de las veces, los datos que son mostrados en tablas o gráficos que se obtienen a partir de encuestas y resultados de experimentos. Se suelen usar para representar la información obtenida de manera más clara.

tablas de frecuencia de doble entrada

Una tabla de frecuencia de doble entrada es una herramienta que ayuda a organizar datos y comparar varios elementos referentes al mismo tema.

Al igual que en las tablas de frecuencia, los datos se ordenan en filas y columnas. Se llaman tablas de doble entrada porque incluyen dos variables diferentes. La primera se sitúa en la parte superior y se ordena de forma horizontal, mientras que la segunda se suele ubicar en la primera columna y se ordena de forma vertical.

¿Sabías qué?
Una variable es toda característica que puede medirse y que puede adoptar diferentes valores.

– Veamos un ejemplo:

Roberto y Camila registraron en una tabla el número de películas que vieron cada día en una semana y estos fueron los resultados que obtuvieron:

xxxxxxxxxx Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo
Roberto 2 4 2 3 2 4 1
Camila 3 2 4 3 3 1 2

-¿Cuántas películas vio Roberto el lunes?

Para conocer cuántas películas vio Roberto el lunes, debemos ubicar la fila donde aparece el nombre de Roberto y luego ubicar la columna del día lunes. La intersección entre dicha fila y dicha columna será la respuesta:

xxxxxxxxxx Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo
Roberto 2 4 2 3 2 4 1
Camila 3 2 4 3 3 1 2

Roberto vio 2 películas el día lunes.

-¿Cuántas películas vio Camila el día viernes?

Para responder esta pregunta nos ubicamos en la fila donde aparece el nombre de Camila y luego nos desplazamos hasta la columna del día viernes, la respuesta será la intersección entre dicha fila y dicha columna.

xxxxxxxxxx Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo
Roberto 2 4 2 3 2 4 1
Camila 3 2 4 3 3 1 2

Camila vio 3 películas el día viernes.

gráficos de barra

Un gráfico de barra es una forma de representar un conjunto de datos a través de barras del mismo ancho, es uno de los gráficos más sencillos y uno de los más utilizados, seguramente lo has visto en el periódico o en la televisión cuando se habla de la variación de un fenómeno.

Los gráficos de barras están formados por columnas o barras que contienen el mismo ancho y su altura indica un valor que se encuentra asociado a una escala de frecuencia. Los elementos principales, además de la escala, son el nombre del gráfico, el nombre de las variables y las unidades de medida. Estos gráficos son muy usados en los análisis de resultados de investigaciones.

Este tipo de gráficos está formado por barras rectangulares de longitudes proporcionales a los valores que se indican en la escala. Sirven para comparar dos o más valores y están compuestos por dos ejes:

  • El eje horizontal: en este eje se coloca la variable, es decir; una característica o cualidad del elemento que se estudia y puede medirse. Por ejemplo, la edad de una persona, su peso, el lugar de nacimiento, su estatura, etc.
  • El eje vertical: en este eje se coloca la frecuencia del dato.

– Por ejemplo:

Se realizó una encuesta a 20 niños sobre su asignatura preferida, 7 respondieron Ciencias Naturales, 8 eligieron Lengua y 5 escogieron Matemáticas. De esta forma, sabemos que la frecuencia de la asignatura Ciencias Naturales es 7, la de la Lengua es 8 y la variable Matemáticas es 5. La representación gráfica es la siguiente:

Si invertimos los ejes y colocamos la variable en el eje vertical y la frecuencia en el eje horizontal, tendremos un diagrama de barras horizontal, es decir; las barras estarían en posición horizontal.

¿Sabías qué?
Los gráficos son herramientas necesarias para la comprensión de diferentes disciplinas como la demografía.

¿Cómo se elabora un gráfico de barra?

Para elaborar gráficos de barra podemos utilizar la información que nos suministra la tabla de frecuencia. Una vez analizada:

  1. Une dos líneas, una vertical y otra horizontal, hazlas coincidir en un punto en forma de L que será el origen de ambas. Estas serán los ejes. La línea vertical representará la escala o el eje de la frecuencia. La línea horizontal se empleará para describir a las variables estudiadas.
  2. Dibuja las barras en su variable correspondiente de forma tal que cada barra tenga la misma longitud de su frecuencia.
  3. Escribe el nombre del gráfico, las variables y las unidades de medida.

Tipos de gráficos de barra

Existen dos tipos principales:

  • Gráfico de barra sencillo: representa los datos de una única serie o conjunto de datos. El ejemplo que vimos anteriormente es de este tipo.
  • Gráfico de barra agrupado: compara los datos de dos o más series o conjuntos de datos, con este gráfico se pueden representar las tablas de frecuencia de doble entrada. Veamos un ejemplo de este tipo:

Supongamos que la encuesta del ejemplo anterior sobre las asignaturas favoritas se realizó en dos clases diferentes de primaria (3º y 4º grado). Vamos a representar cada grado con un color diferente. Sobre una misma variable se representan las frecuencia que obtuvo en cada grado. Para facilitar la lectura se suelen usar colores diferentes para cada conjunto de datos. En este caso el diagrama sería así:

pictogramas con escala

Un pictograma es un tipo de gráfico donde la información se grafica a través de dibujos o figuras, al igual que el gráfico de barra su propósito es representar datos.

Este tipo de gráficos está formado por dibujos o figuras que son proporcionales a los valores que representan. Está compuesto por dos ejes:

  • El eje horizontal: en este eje se coloca la variable, es decir, una característica o cualidad de un individuo o elemento.
  • El eje vertical: en este eje se coloca la frecuencia del dato.

¿Cómo se elaboran los pictogramas con escala?

Para elaborar pictogramas podemos utilizar la información que nos suministra la tabla de frecuencia. Y debemos realizar los siguientes pasos:

  1. Une dos líneas: dibuja los ejes horizontales y verticales en forma de L.
  2. Registra en la línea vertical una escala numérica a partir de cero (0) que servirá para representar la frecuencia.
  3. Debajo de la línea horizontal escribe los nombres de las variables.
  4. Haz que coincidan los datos en estudio con su frecuencia, a través de dibujos. Se suelen usar dibujos asociados al problema de estudio.
  5. Escribe el título del gráfico, escala y el nombre de las variables.

Veamos un ejemplo:

Se hizo una encuesta a 12 niños sobre su preferencia de animales domésticos, 6 niños eligieron a los perros, 2 eligieron a los conejos y 4 eligieron a los gatos. El pictograma que se obtuvo fue el siguiente:

Cada dibujo o figura representa un niño que eligió esa opción.

VER INFOGRAFÍA

¿cómo graficar los resultados de una encuesta

Los resultados de una encuesta se ordenan en una tabla de frecuencia, que según el caso, puede ser simple o de doble entradas. Los resultados se pueden graficar mediante gráficos de barra o pictogramas. El tipo de gráfico depende de la investigación. Por ejemplo, una empresa o laboratorio se suelen usar gráficos de barra porque las escalas son más precisas y son más formales. Los pictogramas se suelen usar en la prensa escrita porque permiten que el contenido sea captado de manera más simple y su diseño es más amigable.

¡A practicar!

1. Se encuestó a un grupo de 20 niños y 20 niñas para determinar qué tipo de publicaciones eran sus favoritas y se obtuvieron los siguientes resultados:

Los niños:

  • 9 niños eligieron los cuentos.
  • 7 niños eligieron las historietas.
  • 4 niños eligieron las revistas.

Las niñas:

  • 8 niñas eligieron los cuentos.
  • 5 niñas eligieron las historietas.
  • 7 niñas eligieron las revistas.

Representa los datos en una tabla de frecuencia y en un gráfico de barras.

Solución

2. Se encuestaron a un grupo de 15 personas sobre sus actividades preferidas y se obtuvieron los siguientes resultados:

  • 7 personas seleccionaron el baile.
  • 5 personas seleccionaron el canto.
  • 3 personas seleccionaron la actuación.

Ordena los datos en una tabla de frecuencia y represéntalos en un pictograma.

Solución

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Gráficos estadísticos”

El siguiente material explica qué son los gráficos estadísticos y sus diferentes tipos.

VER

Artículo “Estadística: tabla de valores”

El artículo explica qué son las variables y se enfoca en cómo construir una tabla de valores. También propone una serie de ejercicio con respuestas para practicar.

VER

CAPÍTULO 1 / TEMA 3

SERIES Y RELACIONES

UNA SERIE ES UNA SUCESIÓN DE ELEMENTOS O NÚMEROS QUE SIGUEN UNA REGLA O PATRÓN. CREAMOS SERIES CADA VEZ QUE ORGANIZAMOS NUESTROS CRAYONES POR COLOR, HACEMOS FILA EN LA ESCUELA POR ESTATURA, O CONTAMOS CON NUESTROS DEDOS. COMO VES, LAS SERIES ESTÁN EN CADA ASPECTO DE NUESTRO DÍA A DÍA.

SERIES Y PATRONES

OBSERVA ESTA IMAGEN, ¿QUÉ FIGURAS VES?, ¿TIENEN UN ORDEN PARTICULAR?

HAY CÍRCULOS Y TRIÁNGULOS. SÍ TIENEN UN ORDEN: HAY UN CÍRCULO AZUL Y LUEGO UN TRIÁNGULO AMARILLO, DESPUÉS VIENE OTRO CÍRCULO AZUL Y OTRO TRIÁNGULO AMARILLO. ESTE ES UN EJEMPLO DE SERIE.

UNA SERIE ES UNA SECUENCIA DE ELEMENTOS QUE SIGUEN UNA REGLA QUE LLAMAMOS PATRÓN.

 

– EJEMPLO:

OBSERVA ESTA SERIE, ¿CUÁL ES EL PATRÓN?

PARA IDENTIFICAR EL PATRÓN VEMOS FIGURA POR FIGURA:

  • PRIMERO: SOL
  • SEGUNDO: CÍRCULO
  • TERCERO: TRIÁNGULO

DESPUÉS SE REPITEN LAS MISMAS FIGURAS, ASÍ QUE EL PATRÓN ES SOL-CÍRCULO-TRIÁNGULO.

 

– OTRO EJEMPLO:

OBSERVA ESTA IMAGEN, ¿CUÁL ES EL PATRÓN?

EL PATRÓN ES CUADRADO-TRIÁNGULO-CÍRCULO.

SERIES NUMÉRICAS

LAS SERIES NO SOLO SE PUEDEN HACER CON OBJETOS Y FIGURAS, TAMBIÉN LAS PODEMOS CREAR CON NÚMEROS. DE HECHO, CADA VEZ QUE CONTAMOS DE 1 EN 1 HACEMOS UNA SERIE NUMÉRICA CON UN PATRÓN IGUAL A +1, PUES CADA NÚMERO ES UNA UNIDAD MAYOR AL ANTERIOR.

SERIES ASCENDENTES Y DESCENDENTES

LAS SERIES PUEDEN IR DE MAYOR A MENOR O DE MENOR A MAYOR.

SERIES ASCENDENTES

CUANDO EN LA SERIE UBICAMOS ELEMENTOS CON PATRONES QUE VAN DE MENOR A MAYOR, DECIMOS LA QUE LA SERIE ES ASCENDENTE. POR EJEMPLO:

ESTA ES UNA SERIE DE FIGURAS GEOMÉTRICAS. LA PRIMERA TIENE 3 LADOS, LA SEGUNDA TIENE 4 LADOS, LAS TERCERA TIENE 5 LADOS Y LA CUARTA FIGURA TIENE 6 LADOS. ASÍ QUE EL PATRÓN ES + 1 LADO.

 

TAMBIÉN SUCEDE CON LOS NÚMEROS, POR EJEMPLO:

1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15

ESTA ES UNA SERIE NUMÉRICA ASCENDENTE PORQUE CADA NÚMERO ES MAYOR AL ANTERIOR Y EL PATRÓN ES + 1.

SERIE DESCENDENTE

CUANDO EN LA SERIE UBICAMOS ELEMENTOS CON PATRONES QUE VAN DE MAYOR A MENOR, DECIMOS LA QUE LA SERIE ES DESCENDENTE. POR EJEMPLO:

ESTA ES UNA SERIE DE RECTÁNGULOS EN LOS QUE CADA UNO ES MÁS PEQUEÑO EN TAMAÑO QUE EL ANTERIOR. EL SEGUNDO DE IZQUIERDA A DERECHA ES MÁS PEQUEÑO QUE EL ANTERIOR, EL TERCERO MÁS PEQUEÑO QUE LOS ANTERIORES, Y ASÍ SUCESIVAMENTE.

 

TAMBIÉN HAY SERIES NUMÉRICAS DESCENDENTES, POR EJEMPLO:

15   14   13   12   11   10   9   8   7   6   5   4   3   2   1

ESTA ES UNA SERIE NUMÉRICA DESCENDENTE PORQUE CADA NÚMERO ES MENOR AL ANTERIOR Y EL PATRÓN ES − 1.

¡ES TU TURNO!

OBSERVA ESTAS SERIES, ¿CUÁL ES EL PATRÓN?

SOLUCIÓN
PATRÓN: CÍRCULO AZUL-CÍRCULO ROJO

 

SOLUCIÓN
PATRÓN: TRIÁNGULO-SOL-CUADRADO
TODOS LOS NÚMEROS TIENEN UN ORDEN, Y EN SU FUNCIÓN DE REPRESENTAR CANTIDADES, HAY UNOS QUE SON MAYORES QUE OTROS. SI TENEMOS QUE AGRUPAR FIGURAS, NOS DAMOS CUENTA QUE 4 ES MAYOR QUE 2; 5 ES MAYOR QUE 2; 3 ES MENOR QUE 4; O 3 ES MENOR QUE 5. ESTAS RELACIONES LAS MOSTRAMOS CON SIGNOS DE RELACIÓN COMO MENOR QUE “<” O MAYOR QUE “>”.

RELACIONES DE MENOR Y MAYOR QUE

OBSERVA ESTA IMAGEN, ¿CUÁL ÁRBOL TIENE MAYOR ALTURA?

EL ÁRBOL DE LA DERECHA TIENE UNA ALTURA MAYOR QUE EL DE LA IZQUIERDA.

LO MISMO SUCEDE CON LOS NÚMEROS Y PARA ESO USAMOS LOS SIGNOS DE RELACIÓN < Y >.

MENOR QUE “< “

CON ESTE SÍMBOLO < INDICAMOS QUE EL NÚMERO DE LA IZQUIERDA ES MENOR QUE EL DE LA DERECHA. POR EJEMPLO:

  • 3 < 5 SE LEE “TRES ES MENOR QUE CINCO”.
  • 8 < 10 SE LEE “OCHO ES MENOR QUE DIEZ”.
  • 1 < 9 SE LEE “UNO ES MENOR QUE NUEVE”.

MAYOR “>”

CON ESTE SÍMBOLO < INDICAMOS QUE EL NÚMERO DE LA IZQUIERDA ES MAYOR QUE EL DE LA DERECHA. POR EJEMPLO:

  • 7 > 1 SE LEE “SIETE ES MAYOR QUE UNO”.
  • 10 > 8 SE LEE “DIEZ ES MAYOR QUE OCHO”.
  • 5 > 4 SE LEE “CINCO ES MAYOR QUE CUATRO”.

USO DE ORDINALES PARA LA UBICACIÓN DE OBJETOS

LOS NÚMEROS ORDINALES SIRVEN PARA SABER LA POSICIÓN Y ORDEN DE LOS ELEMENTOS EN UN CONJUNTO. PUEDEN SER FEMENINOS Y MASCULINOS Y SE REPRESENTAN CON UN SÍMBOLO DEL LADO DERECHO. OBSERVA LA SIGUIENTE TABLA CON LOS PRIMEROS DIEZ NÚMERO ORDINALES:

MASCULINO FEMENINO
1.º PRIMERO 1.ª PRIMERA
2.º SEGUNDO 2.ª SEGUNDA
3.º TERCERO 3.ª TERCERA
4.º CUARTO 4.ª CUARTA
5.º QUINTO 5.ª QUINTA
6.º SEXTO 6.ª SEXTA
7.º SÉPTIMO 7.ª SÉPTIMA
8.º OCTAVO 8.ª OCTAVA
9.º NOVENO 9.ª NOVENA
10.º DÉCIMO 10.ª DÉCIMA

– EJEMPLO:

ESTOS NIÑOS ESTÁN ORGANIZADOS SEGÚN SU ESTATURA, ¿REPRESENTAN UNA SERIE?

SÍ, ES UNA SERIE DESCENDENTE PORQUE VAN DE MAYOR A MENOR. JUAN ES EL PRIMERO Y EL MÁS ALTO; DIEGO ES EL DÉCIMO Y EL MÁS BAJO.

¡ES TU TURNO!

OBSERVA LA IMAGEN Y ESCRIBE EL ORDEN DE LAS PERSONAS.

SOLUCIÓN
  • EL LUGAR DE JUAN ES EL PRIMERO
  • EL LUGAR DE LOLO ES EL SEGUNDO.
  • EL LUGAR DE ANA ES EL TERCERO.
  • EL LUGAR DE SOFÍA ES EL CUARTO.
  • EL LUGAR DE NICO ES EL QUINTO.
  • EL LUGAR DE MAXI ES EL SEXTO.
  • EL LUGAR DE REINA ES EL SÉPTIMO.
  • EL LUGAR DE PABLO ES EL OCTAVO.
  • EL LUGAR DE LUNA ES EL NOVENO.
  • EL LUGAR DE DIEGO ES EL DÉCIMO.

 

¡A PRACTICAR!

1. COMPLETA LOS PATRONES.

SOLUCIÓN

 

2. COMPLETA LA SERIE NUMÉRICA. ¿CUÁL ES EL PATRÓN?

SOLUCIÓN

EL PATRÓN ES + 1.

 

3. COLOCA EL SIGNO > O < SEGÚN CORRESPONDA.

  • 10 ____ 5
SOLUCIÓN
10 > 5
  • 14 ____ 6
SOLUCIÓN
14 > 6
  • 16 ____ 11
SOLUCIÓN
16 > 11
  • 7 ____ 10
SOLUCIÓN
7 < 10 
  • 7 ____ 20
SOLUCIÓN
7 < 20
  • 11 ____ 10
SOLUCIÓN
11 > 10
  • 4 ____ 2
SOLUCIÓN
4 > 2
  • 11 ____ 9
SOLUCIÓN
11 > 9
RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Comparar y ordenar números”

Este artículo detalla cómo comprar y ordenar números por medio de los símbolos de relación.

VER

CAPÍTULO 2 / TEMA 3

DIVISIÓN

La división es la operación inversa a la multiplicación. Mientras que en la multiplicación buscamos unir cantidades en grupos iguales, en la división buscamos separarlas en grupos iguales. Las divisiones pueden ser de dos tipos: exactas o inexactas. Hoy aprenderás las reglas necesarias para poder resolverlas.

la división y sus elementos

La división es una operación matemática que consiste en repartir una cantidad en partes iguales. Sus elementos son los siguientes:

  • Dividendo: es el número que se va dividir o repartir.
  • Divisor: es el número por el que se divide.
  • Cociente: es el resultado de la división.
  • Resto: es lo que sobra del dividiendo. No se puede dividir debido a que es un número más pequeño que el divisor.
Todo número tiene sus múltiplos, de la misma manera, también tiene sus divisores. Estos son números que lo dividen de forma exacta, es decir, los divisores de un número son los que dividen a este y el resultado de esa división es un número exacto. En forma general, dado un número b, si la división a/b es exacta, donde el resto c es cero, entonces se dice que b es divisor de a.

división exacta

La división exacta es aquella cuyo resto es igual a 0.

– Por ejemplo:

Carlos tiene 20 manzanas y las desea repartir entre 5 personas: Marta, Carla, Lucía, Pedro y Francisco. ¿Cuántas manzanas le corresponden a cada uno?

Como la división es la operación inversa a la multiplicación, podemos preguntarnos ¿qué número multiplicado por 5 da como producto el número 20?

5 × ? = 20

5 × 4 = 20

El factor desconocido será igual al cociente exacto de la división. En este caso es 4, porque ya sabemos que 5 × 4 = 20. Por lo tanto, toda división será exacta cuando el dividendo sea igual al producto entre el divisor y el cociente:

dividendo = divisor × cociente

Podemos comprobar esta relación  si realizamos la división:

Por lo tanto, Carlos puede repartir exactamente las 20 manzanas entre 5 personas si a cada una le da 4 manzanas.

división inexacta

La división inexacta es aquella cuyo resto es diferente de 0.

– Por ejemplo:

La maestra quiere repartir 23 lápices entre 4 niños: Lucas, Juan, Carlos y Luis. ¿Cuántos lápices le corresponden a cada uno?

A diferencia de las divisiones exactas, en las inexactas no hay números naturales que multiplicados por el divisor nos den por resultado el dividendo. Pues, 4 × 5 = 20, y su producto es menor al dividendo (23); en cambio, 4 × 6 = 24, y su producto es mayor al dividendo (23). Entonces, consideramos la opción más cercana e inferior al dividendo, es decir, 5; y lo que falte para llegar al dividendo será el resto.

dividendo = divisor × cociente + resto

Comprobamos la relación al realizar la división:

Por lo tanto, la maestra puede dar 5 lápices a cada niño y le sobrarán 3 lápices.

¿Sabías qué?
El signo de división también se puede representar con dos puntos (:). De esta forma, “36 : 9” se lee “36 entre 9”.

¿cómo resolver una división?

1. Observa las dos primeras cifras del dividendo. Si son mayores que el divisor, comienza por ellas.

2. Busca un número que multiplicado por 12 sea igual a 43 o cercano e inferior a él. En este caso: 12 × 3 = 36. Este producto lo restamos a la primeras dos cifras del dividendo: 43 − 36 = 7.

3. Baja la siguiente cifra del dividendo.

4. Repite el proceso anterior. Busca un número que multiplicado por 12 resulte 72 o se acerque a 72. En este caso: 12 × 6 = 72. Luego restamos este producto al 72 obtenido de la resta.

Esta división es exacta porque el resto es igual a cero (0) y podemos comprobarla si al multiplicar el cociente (36) por el divisor (12) el resultado es igual al dividendo (432): 12 × 36 = 432.

Entonces, 432 ÷ 12 = 36 porque 12 × 36 = 432.

 

– Otro ejemplo:

1. Observa las dos primeras cifras del dividendo, como son menores que el divisor (47 < 64), toma hasta la tercera para iniciar la división.

2. Busca un número que multiplicado por 64 sea igual o cercano a 476.

Como el resto es menor que divisor (28 < 64), queda así. Podemos comprobar esta división si multiplicamos el cociente (7) por el divisor (64) y le sumamos el resto (28). Si el resultado es igual al dividendo, la división está correcta.

64 × 7 + 28 = 476

Entonces, 476 ÷ 64 = 7 y resto = 28.

Fracciones: una división sin resolver

Las divisiones sin resolver se conocen como fracciones. Las fraccione representan una parte de un todo y se caracterizan por tener un numerador y un denominador separados por una raya fraccionaria. El denominador es un número que indica en cuantas partes se divide la unidad, y el numerador es el número que señala cuántas de esas partes se han de tomar.

división entre 10, 100 y 1.000

Las divisiones por la unidad seguida de cero son muy sencillas, solo debes desplazar una coma a la izquierda tantos lugares como ceros acompañen a la unidad. De faltar lugares, añadimos ceros.

– Ejemplo:

  • 1.789 ÷ 10 = 178,9 → Movemos una coma un lugar a la izquierda.
  • 1.789 ÷ 100 = 17,89 → Movemos una coma dos lugares a la izquierda.
  • 1.789 ÷ 1.000 = 1,789 → Movemos una coma tres lugares a la izquierda.

– Otros ejemplos:

275 489 70 6 1.652 3.698
÷ 10 27,5 48,9 7 0,6 165,3 369,8
÷ 100 2,75 4,89 0,7 0,06 16,52 36,98
÷ 1.000 0,275 0,489 0,07 0,006 1,652 3,698

 

Los grados centígrados que miden la temperatura son un ejemplo de división entre 10. Si tienes 1 grado y lo divides entre 10 el cálculo es 1 ÷ 10 = 0,1. Los termómetros muestran las mediciones por medio de sumas sucesivas de 0,1 grados. Por ejemplo 36,6; 36,7; 36,8; y así sucesivamente.

 

¡A practicar!

1. Resuelve la siguientes divisiones.

  • 27 ÷ 3 
    Solución
    27 ÷ 3 = 9
  • 100 ÷ 9 
    Solución
    100 ÷ 9 = 11 y resto = 1
  • 1.934 ÷ 23 
    Solución
    1.934 ÷ 23 = 84 y resto = 2
  • 2.487 ÷ 16
    Solución
    2.487 ÷16 = 155 y resto = 7
  • 3.432 ÷ 52
    Solución
    3.432 ÷ 52 = 66
  • 61.712 ÷ 76
    Solución
    61.712 ÷ 76 = 812

 

2. Resuleve la siguientes divisiones por la unidad seguida de cero.

  • 254 ÷ 10 
    Solución
    254 ÷ 10 = 25,4
  • 27 ÷ 10 
    Solución
    27 ÷ 10 = 2,7
  • 2 ÷ 10 
    Solución
    2 ÷ 10 = 0,2
  • 333 ÷ 100 
    Solución
    333 ÷ 100 = 3,33
  • 25 ÷ 1.000 
    Solución
    25 ÷ 1.000 = 0,025
  • 999 ÷ 1.000 = 
    Solución
    999 ÷ 1.000 = 0,999
  • 8.000 ÷ 1.000 = 
    Solución
    8.000 ÷ 1.000 = 8
RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Propiedades de la división”

Con este artículo podrás estudiar las propiedades adicionales de la división y realizar ejercicios complementarios.

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