EXISTEN DISTINTOS TIPOS DE NÚMEROS, COMO LOS CARDINALES, LOS ORDINALES Y LOS ROMANOS. NO TODOS SE ESCRIBEN IGUAL Y SUS FUNCIONES SON DIVERSAS. POR EJEMPLO, CON LOS NÚMEROS CARDINALES CONTAMOS LA CANTIDAD DE LÁPICES QUE TENEMOS Y CON LOS ORDINALES INDICAMOS LA POSICIÓN DE LLEGADA EN UNA CARRERA.
NÚMEROS CARDINALES
LOS NÚMEROS CARDINALES NOS PERMITEN CONTAR CANTIDADES: UNO, DOS, TRES, CUATRO, CINCO…
SIEMPRE QUE OBSERVEMOS UN CONJUNTO DE COSAS QUE PODAMOS CONTAR TAMBIÉN PODEMOS ASIGNARLE UN NÚMERO CARDINAL. POR EJEMPLO:
CONTAMOS TODOS ESTOS ELEMENTOS AGRUPADOS: LOS TOMATES, LOS CONOS DE HELADOS Y LAS PERAS. 6, 5 Y 4 SON LOS NÚMEROS CARDINALES QUE INDICAN LA CANTIDAD DE ELEMENTOS DE CADA CONJUNTO.
NUESTRO SISTEMA DE NUMERACIÓN
LOS NÚMEROS QUE USAMOS PARA CONTAR PERTENECEN AL SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL. SE LO LLAMA ASÍ PORQUE SOLO TIENE DIEZ DÍGITOS QUE VAN DESDE EL CERO (0) HASTA EL NUEVE (9). CON ESTOS DÍGITOS PODEMOS FORMAR CUALQUIER NÚMERO, COMO EL 568 O EL 123.
NÚMEROS ORDINALES
LOS NÚMEROS ORDINALES NOS INDICAN EL ORDEN O LA POSICIÓN DE LOS ELEMENTOS DE UNA SERIE.
QUIZÁS NO TE HAYAS DADO CUENTA PERO LOS USAMOS MUCHAS VECES EN NUESTRA VIDA COTIDIANA. POR EJEMPLO AL MENCIONAR LOS PISOS DE UN EDIFICIO, AL ANUNCIAR EL ORDEN DE LOS GANADORES DE UNA CARRERA, LA POSICIÓN EN LA FILA DE LA ESCUELA O EL TURNO DE LLEGADA AL MÉDICO.
OBSERVA ESTA IMAGEN, ¿QUIÉN ENTRARÁ PRIMERO AL SALÓN DE CLASES?
MARIO ENTRARÁ PRIMERO AL SALÓN DE CLASES. ¿Y LOS DEMÁS?
PARA RESPONDER ESTA PREGUNTA TIENES QUE SABER QUE LOS NÚMEROS ORDINALES PUEDEN SER MASCULINOS O FEMENINOS Y SE ESCRIBEN CON UN PEQUEÑO SÍMBOLO A LA DERECHA DEL NÚMERO.
ESTA TABLA MUESTRA LOS PRIMEROS DIEZ NÚMEROS ORDINALES:
MASCULINO
FEMENINO
1.º
PRIMERO
1.ª
PRIMERA
2.º
SEGUNDO
2.ª
SEGUNDA
3.º
TERCERO
3.ª
TERCERA
4.º
CUARTO
4.ª
CUARTA
5.º
QUINTO
5.ª
QUINTA
6.º
SEXTO
6.ª
SEXTA
7.º
SÉPTIMO
7.ª
SÉPTIMA
8.º
OCTAVO
8.ª
OCTAVA
9.º
NOVENO
9.ª
NOVENA
10.º
DÉCIMO
10.ª
DÉCIMA
¡ES TU TURNO!
OBSERVA DE NUEVO LA IMAGEN DE ARRIBA. INDICA EL ORDEN EN EL QUE ENTRARÁN LOS ESTUDIANTES AL SALÓN DE CLASES.
SOLUCIÓN
PRIMERO: MARIO
SEGUNDA: LUISA
TERCERO: JUAN
CUARTO: PEDRO
QUINTA: CARLA
SEXTO: JOSÉ
SÉPTIMA: ÁNGELA
¿SABÍAS QUÉ?
CUANDO DAMOS UNA FECHA CON EL PRIMER DÍA DEL MES USAMOS NÚMEROS ORDINALES, POR EJEMPLO, EL DÍA DEL TRABAJADOR ES EL PRIMERO DE MAYO.
NÚMEROS ROMANOS
LOS NÚMEROS ROMANOS ERAN MUY UTILIZADOS EN LA ANTIGUA ROMA HASTA QUE SURGIERON LOS NÚMEROS ARÁBIGOS, QUE SON LOS QUE CONOCEMOS EN LA ACTUALIDAD.
LOS NÚMEROS ROMANOS SON SOLO SIETE Y ESTÁN REPRESENTANDO CON LAS LETRAS DE NUESTRO ABECEDARIO:
Podemos representar datos en gráficos y tablas. Los gráfico de barras se utilizan para representar información numérica en un sistema de ejes coordenados: en el eje horizontal ubicamos las categorías y en el eje vertical los datos numéricos. Otro tipo de gráfico es el lineal, el cual sirve para comparar datos, representar la frecuencia de ciertas variables y mostrar la evolución o cambios que le ocurren a un fenómeno. También están los gráficos circulares que representan variables cualitativas por medio de porcentajes y porciones. Por otro lado están los pictogramas que se construyen igual que el diagrama de barras pero se sustituyen los rectángulos por dibujos.
Múltiples gráficos estadísticos muestran el crecimiento de la población mundial gracias a los avances en la ciencia, la higiene y la medicina.
cOMBINACIONES
Las combinaciones son una forma de agrupar elementos de un conjunto sin importar el orden. Por ejemplo, cada vez que nos vestimos hacemos combinaciones de camisas, pantalones y zapatos. Las tablas de dobleentrada permiten analizar los datos y combinarlos de todas las maneras posibles. Para resolver algunos problemas combinatorios también es posible utilizar los diagramas de árbol que permiten visualizar todas las formas posibles de combinar todos los elementos.
El cubo de Rubik posee millones de combinaciones posibles.
probabilidad
La probabilidad sirve para predecir de la mejor manera si un suceso puede ocurrir o no. A los fenómenos predecibles se los llama determinísticos; a los que no se pueden predecir, se los denomina aleatorios. Algunos fenómenos aleatorios pueden ser mas probables que otros, y esta probabilidad puede ser calculada matemáticamente. Por otra parte, si deseamos saber el valor característico de un conjunto, podemos calcular su media aritmética o promedio, que se obtiene al sumar los elementos de una muestra y dividir el resultado por el total de elementos.
El juego de ruleta posee 38 números para jugar: la probabilidad que salga el número al que se jugó es de 1/38.
Al lanzar una moneda al aire, ¿sabemos si saldrá cara o sello? Es seguro que la moneda caerá de un lado o del otro, pero no sabemos con exactitud cuál de esas dos opciones tendrá lugar. Por eso recurrimos a la probabilidad, la cual sirve para predecir de la mejor manera si un evento es posible o no.
fENÓMENOS aleatorios y deterministas
La probabilidad surgió de la necesidad de medir o determinar cuantitativamente la certeza o duda de que un fenómeno ocurra o no. A los fenómenos predecibles se los llama determinísticos; en cambio, a los fenómenos que están relacionados con el azar se los llama aleatorios.
Fenómenos aleatorios
Son los que suceden al azar y no es posible predecir su resultado. Ejemplos:
Al lanzar una moneda al aire se desconoce si al caer la cara superior será sello o cara.
Al lanzar un dado no es posible saber cuál de todas las caras quedará en la parte superior.
Fenómenos determinísticos
Son los que suceden con seguridad; es decir, son los fenómenos que al repetirse en las mismas condiciones producen los mismos resultados. Ejemplos:
Al arrojar un dado, el color que se observe en la cara superior siempre será el mismo.
La hora de apertura de un banco es siempre la misma.
Los juegos de azar y sus probabilidades
Los juegos de azar son eventos aleatorios de los cuales no se conocen sus resultados. Pierre Fermat y Blaise Pascal estudiaron estos juegos para darles una explicación matemática. Estudiaron lo que pasaba al realizar una misma acción al azar, como lanzar una moneda al aire, y observaron los resultados. Así apareció la teoría de la probabilidad, que trata de prever cuál será el resultado de un fenómeno determinado.
FENÓMENOS ALEATORIOS
Entre los fenómenos aleatorios hay suceso que son más o menos probables. Por ejemplo:
Marta hace girar esta ruleta y no sabe qué color saldrá cuando pare.
Como hay más zonas verdes que amarillas, es más probable que salga el color verde que el color amarillo.
Como hay menos zonas moradas que rojas, es menos probable que salga el color morado que el color rojo.
Como hay igual cantidad de zonas verdes y moradas, es igual de probable que salgan ambos colores.
El color rojo es el más probable que salga porque hay más zonas con ese color en toda la ruleta.
El color amarillo es el menos probable que salga porque hay menos zonas con ese color en toda la ruleta.
– Otro ejemplo:
José debe sacar una bola de esta caja con los ojos cerrados.
Como hay más bolas azules que verdes, sacar una bola azul es más probable que sacar una bola verde.
Como hay menos bolas amarillas que azules, sacar una bola amarilla es menos probable que sacar una bola azul.
Como hay la misma cantidad de bolas rojas y amarillas, sacar una bola roja es igual de probable que sacar una bola amarilla.
pROBABILIDAD DE OCURRENCIA DE UN FENÓMENO
Podemos determinar la probabilidad de ocurrencia de un acontecimiento si dividimos el número de casos favorables entre el número de casos igualmente posibles.
– Ejemplo:
Observa esta ruleta.
Tiene 10 zonas con diferentes colores:
5 son rojas.
2 son amarillas.
2 son verdes.
1 es morada.
Cada color tiene una probabilidad distinta de salir tras hacer girar la ruleta:
La probabilidad de que salga una el color rojo es:
La probabilidad de que salga el color amarillo es:
La probabilidad de que salga el color verde es:
La probabilidad de que salga el colormorado es:
El color con mayor probabilidad de salir es el rojo porque > >
¿Sabías qué?
La probabilidad de que caiga un rayo encima de una persona es de 1 entre 3 millones.
¡Es tu turno!
¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado salga un número mayor a 4?
Solución
Posibles resultados: 1, 2, 3, 4, 5 y 6 → Hay 6.
Resultados mayores a 4: 5 y 6 → Hay 2.
La probabilidad de que salga un número mayor a 4 es .
¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado salga un número par?
Solución
Posibles resultados: 1, 2, 3, 4, 5 y 6 → Hay 6.
Resultados pares: 2, 4 y 6 → Hay 3.
La probabilidad de que salga un número par es .
La paradoja del cumpleaños
Esta paradoja hace la siguiente pregunta: ¿cuántas personas se necesitan como mínimo para que sea más probable que al menos 2 de ellas cumplan años el mismo día? A pesar de lo que nos indica la intuición, si mantenemos el supuesto de que los años tienen 365 días, la paradoja establece que hacen falta 23 personas para que haya una probabilidad del 50 % de que al menos 2 de ellas cumplan años el mismo día. Y resulta que si en una fiesta hay más de 57 invitados, la probabilidad de que dos personas cumplan años el mismo día es del 99 % .
media o promedio
El la media aritmética o promedio se calcula al sumar todos los datos de un conjunto para luego dividirlo entre el número total de datos. Este resultado sirve como referencia, pues se considera el valor característico de un conjunto.
– Ejemplo:
En el equipo de fútbol del colegio, las estaturas (en centímetros) de 11 jugadores son las siguientes: 150, 160, 155, 153, 156, 158, 160, 157, 162, 165 y 154. ¿Cuál es la altura promedio de lo jugadores?
La media o promedio será igual a la suma de todas las estaturas divididas entre la cantidad de jugadores.
Los jugadores de fútbol tienen una estatura promedio de 162 centímetros.
– Otro ejemplo:
José registró las temperaturas máximas durante una semana en su ciudad. Los resultados fueron estos:
Lunes
Martes
Miércoles
Jueves
Viernes
Sábado
Domingo
21 °C
24 °C
21 °C
18 °C
18 °C
21 °C
24 °C
¿Cuál es la temperatura promedio?
La temperatura promedio registrada fue de 21 °C.
¡A practicar!
1. Clasifica los resultados de los siguientes eventos como determinísticos o aleatorios.
a) Sacar al azar una moneda de un monedero.
Solución
Aleatorio.
b) Introducir una bolsa de té a una taza con agua hirviendo.
Solución
Determinístico.
c) Elegir un número de lotería.
Solución
Aleatorio.
d) Lanzar un dado a un tablero de juego.
Solución
Aleatorio.
2. Observa la ruleta.
a) Completa con “más probable”, “menos probable” o “igual de probable”.
Es ____ que salga la letra A que la letra C.
Solución
Es más probable que salga la letra A que la letra C.
Es ____ que salga la letra I que la letra A.
Solución
Es menos probable que salga la letra I que la letra A.
Es ____ que salga la letra U que la letra C.
Solución
Es igual de probable que salga la letra U que la letra C.
Es ____ que salga la letra O que la letra J.
Solución
Es más probable que salga la letra O que la letra J.
Es ____ que salga la letra F que la letra A.
Solución
Es menos probable que salga la letra F que la letra A.
Es ____ que salga la letra J que la letra F.
Solución
Es igual de probable que salga la letra J que la letra F.
b) Responde.
¿Es probable que salga una letra?
Solución
Sí.
¿Es probable que salga un número?
Solución
No.
¿Cuál es la probabilidad de que salga la letra A?
Solución
¿Cuál es la probabilidad de que salga la letra U?
Solución
¿Cuál es la probabilidad de que salga la letra C?
Solución
¿Cuál es la probabilidad de que salga la letra O?
Solución
¿Cuál es la probabilidad de que salga la letra F?
Solución
¿Cuál es la probabilidad de que salga la letra I?
Solución
¿Cuál es la probabilidad de que salga la letra J?
Solución
3. Los pesos en kilogramos de 15 amigos son: 32, 30, 27, 32, 27, 30, 27, 26, 25, 22, 25, 32, 29, 25 y 31. ¿Cuál es el peso medio de estos amigos?
Solución
El peso medio de los amigos es 28 kilogramos.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Probabilidad”
Este recurso te permitirá complementar la información sobre probabilidad, fenómenos determinísticos y aleatorios y tipos de sucesos, entre otros temas.
La adición es una de las cuatro operaciones básicas que utilizamos de forma habitual y se caracteriza porque nos permite añadir una cantidad a otra. Los términos de la adición son los sumandos y la suma. Para resolver adiciones usamos el algoritmo de la suma que consiste ordenar los sumando de manera que las unidades de mil, las centenas, las decenas y las unidades se encuentren en una misma columna. Si la suma de una columna es un número de dos cifras (mayor a 9), se coloca el valor de la segunda cifra y el valor de la primera se suma al resultado de la siguiente columna a la izquierda. Esta operación cumple varias propiedades como la conmutativa, la asociativa y la del elemento neutro.
La propiedad conmutativa explica que no importa cómo ordenemos los sumandos, el resultado es siempre el mismo.
SUSTRACCIÓN
La sustracción es una operación matemática que consiste en quitar o restar una cantidad a otra para determinar la diferencia. Esta operación es inversa a la suma y está formada por el minuendo, elsustraendo y la diferencia. El minuendo es la cantidad a la que se le va a restar, el sustraendo es la cantidad que se resta y la diferencia es el resultado de la sustracción. En la sustracciones los números se agrupan en columnas al igual que en la adición. Si el minuendo es mayor al sustraendo restamos de forma convencional. En caso contrario, debemos desagrupar la cifra de la columna siguiente y canjear un valor posicional.
Una forma de comprobar una sustracción es sumar el sustraendo y la diferencia, el resultado debe ser igual al minuendo.
OPERACIONES COMBINADAS
Las operaciones combinadas son aquellas en las que aparecen varias cálculos aritméticos. Para este tipo de problemas resolvemos primero las operaciones que están entre paréntesis y luego resolvemos las operaciones en el orden que aparecen de izquierda a derecha. En caso de que la operación combinada no tenga paréntesis resolvemos de acuerdo al orden que aparecen los términos de izquierda a derecha.
Los cálculos mentales permiten resolver operaciones sin usar herramientas como un lápiz, una hoja o una calculadora.
multiplicación
La multiplicación es sumar un mismo números tantas veces como indique otro. Por esta razón, esta operación se encuentra estrechamente relacionada con la adición. De hecho, toda adición iterada (adición que posee todos sus sumandos iguales) puede ser representada a través de la multiplicación. Su elementos principales son los factores y el producto. Los primeros son los números que se multiplican y el segundo corresponde al resultado. Para multiplicaciones de una cifra se ordenan los factores de forma vertical, se multiplica la unidad del segundo factor por la unidad del primero y luego se anota el resultado en la parte inferior, después se multiplica la unidad del segundo factor por la decena del primero y se anota el resultado.
Al multiplicar un número por la unidad seguida de cero se añade a la derecha de este la misma cantidad de ceros que acompañen a la unidad.
división
La división es una operación matemática que consiste en realizar reparticiones equitativas o formar grupos con la misma cantidad de elementos. Es una operación inversa a la multiplicación y puede considerarse una sustracción sucesiva. Los elementos de la división son el dividendo, el divisor, el cociente y el residuo o resto. El dividendo es la cantidad que se va a repartir, el divisor es la cantidad en la que se va a dividir, el cociente es el resultado y el residuo o resto es la parte que no se puede dividir. Para resolver divisiones buscamos un número que al ser multiplicado por el divisor sea igual o cercano al valor del dividendo.
Cada vez que compartimos alimentos hacemos una división, por ejemplo, esta pizza se dividió en 6 porciones, lo que es igual a 1 ÷ 6.
Cuando queremos saber la opinión o las preferencias de un grupo de personas, la encuesta es la técnica más práctica de aplicar. Esta consiste en hacer preguntas a una población determinada con el fin de recaudar datos precisos sobre una situación. ¿Te gustaría hacer una encuesta en clase? Con este artículo sabrás cómo hacerlo.
¿QUÉ ES LA ENCUESTA?
Una encuesta es una técnica de investigación que consiste en aplicar el mismo conjunto de preguntas a un grupo de personas con un instrumento llamado cuestionario. Este se utiliza para obtener resultados sobre un tema y saber sus preferencias.
Las preguntas pueden aplicarse en forma de entrevista personal, entrevista en línea, mediante páginas web, aplicaciones, correo electrónico, vía telefónica o de forma escrita. Las preguntas deben ser pensadas para obtener información específica que nos ayude en la investigación.
La encuesta es una recopilación de datos obtenidos mediante consulta o interrogatorio a varias personas sobre un tema determinado. Se pueden hacer en persona, por teléfono, por correo o a través de aplicaciones para dispositivos móviles. Las encuestas permiten conocer la opinión de las personas sobre un tema o recabar datos sobre la población.
Los datos que arroje la encuesta se representan mediante tablas de frecuencia y gráficos para resumir la información obtenida y observar de manera más clara el fenómeno de estudio.
¿Qué es un cuestionario?
Los cuestionarios se componen de preguntas que se escriben con signos de interrogación al principio y al final como ¿qué?, ¿quién?, ¿cómo?, ¿dónde?, ¿cuál?, ¿cuándo? Por ejemplo, ¿cuál es tu deporte favorito?
La formulación de las respuestas correctas te permitirá obtener los resultados que necesitas.
Tipos de preguntas en un cuestionario
Preguntas abiertas: dan la libertad de dar cualquier respuesta.
Preguntas cerradas: se contestan a partir de varias opciones.
– Ejemplo:
Pregunta abierta
¿Cuál es tu fruta favorita?
________________________
Pregunta cerrada
¿Te gustan las fresas?
Sí
No
Elementos de un cuestionario
Las encuestas tienen cinco elementos principales:
Introducción: corta pero precisa, allí se explica para qué se hace la encuesta.
Presentación: debe especificarse a quién va dirigida la encuesta y el método empleado para la aplicación del cuestionario, ya sea de forma personal, telefónica o por correo.
Instrucciones para responder: indica la forma en la que se responderán las preguntas que pueden ser abiertas o cerradas.
Secciones de preguntas y respuestas: si son abiertas se debe responder con sus propias palabras, si son cerradas el encuestado deben elegir las opciones. También puede ser mixta.
Datos del encuestado: proporciona información de la persona que participó en la encuesta.
– Ejemplo:
María quiere vender helados y pasteles, pero desea conocer cuáles son los sabores preferidos de los niños, para ello ha decidido hacer una encuesta y su cuestionario consta de los siguientes elementos:
Cuestionario
Introducción
La encuesta tiene como objetivo determinar cuáles son los pasteles y sabores de helado preferidos por los niños.
Presentación
Está dirigida a niños entre 4 y 11 años de edad. El cuestionario se aplicará en forma presencial.
Instrucciones para responder
Instrucciones: marca con una equis (x) tu opción preferida.
Preguntas y respuestas
1. ¿Cuál pastel es tu preferido?
a) Vainilla ( )
b) Chocolate ( )
c) Limón ( )
2. ¿Cuál es tu sabor de helado preferido?
a) Vainilla ( )
b) Chocolate ( )
c) Fresa ( )
d) Naranja ( )
e) Limón ( )
3. ¿Cuál preferirías para cubrir tu helado?
a) Chocolate ( )
b) Dulce de leche ( )
c) Maní ( )
Datos del encuestado
Nombre: _________________________________
Edad: _________________
María en su encuesta solo formuló preguntas cerradas.
pasos para realizar una encuesta
Hay cinco pasos a seguir para realizar una encuesta:
Escoger el tema.
Elegir la población encuestada.
Elaborar las preguntas del cuestionario. Estas pueden ser abiertas o cerradas, el cuestionario también puede ser mixto, es decir; puede contener tanto preguntas abiertas como cerradas.
Recopilar la información, esto se refiere a la aplicación del cuestionario.
Llegar a las conclusiones. Es la parte final y en la que se conocen cuáles fueron los resultados de la encuesta.
– Ejemplo:
Jorge es un granjero que desea sembrar frutas pero en su huerto pero solo tiene espacio para sembrar de tres tipos. El granjero debe escoger entre plantar sandía, fresa, banana, uva, manzana o pera. Para decidir, el granjero realizará una encuesta que le permitirá saber cuáles de las seis frutas son las preferidas por sus vecinos.
Los pasos a seguir son:
1. Elegir el tema.
En este caso, el tema es determinar cuáles son las frutas preferidas de los vecinos de la granja.
2. Elegir a quién se aplicará la encuesta.
El granjero aplicará un cuestionario a los niños y adultos de la granja.
3. Elaborar las preguntas.
El granjero debe decidir si hacer su cuestionario con preguntas abiertas o cerradas. Si hace un pregunta abierta, como por ejemplo “¿cuál es su fruta favorita?”, los encuestados pueden responder cualquier tipo de fruta de todas las que existen en el planeta; en cambio, si el granjero hace una pregunta cerrada, él puede brindar solo las opciones que le interesan para cultivar. Por lo tanto, este es el tipo de pregunta que debe emplearse en el cuestionario.
Entonces, la pregunta que el granjero realizará en su encuesta es la siguiente:
¿Cuál de las siguientes frutas es su favorita?
Sandía ( )
Fresa ( )
Banana ( )
Uva ( )
Manzana ( )
Pera ( )
4. Recopilar los datos.
Una vez formulada la pregunta, el granjero debe aplicar el cuestionario.
5. Llegar a las conclusiones.
Tras su aplicación los resultados fueron los siguientes:
Fruta
Personas que la seleccionaron
Sandía
3
Fresa
6
Banana
2
Uva
2
Manzana
8
Pera
4
El granjero debe contar los resultados de la encuesta, para determinar cuáles son las tres frutas preferidas por sus vecinos y así poder sembrarlas en su huerto. Para el análisis de los resultados se utilizan las tablas de frecuencia y los gráficos.
Al observar la tabla anterior, podemos concluir que la mayoría de las personas prefirieron la manzana, la fresa y la pera. De esta manera, el granjero pudo determinar cuáles frutas cultivar de acuerdo a lo que prefiere la mayoría.
¿Sabías qué?
La frecuencia es el número de veces que se repite un dato.
Tablas de frecuencia
La tabla de frecuencias es una herramienta que permite ordenar los datos de manera que se presentan numéricamente.
Las tablas representan e interpretan información procedente de diferentes fuentes de forma clara, precisa y ordenada. Casi todo tipo de información puede organizarse en una tabla de datos y ser representada en algún tipo de gráfico.
En la tabla puedes observar pequeñas líneas que representan el conteo de las personas que eligieron esa fruta. Los números en la tabla representan el total de personas que eligieron cada fruta, esto es lo que se denomina frecuencia; en este caso, la fruta preferida es la manzana, ya que fue elegida por 8 personas.
usos de la encuesta
Usamos la encuesta para:
Medir las preferencias políticas de los ciudadanos.
Medir los efectos de ciertas medicinas.
Saber la opinión de las personas sobre un tema.
Conocer los niveles educativos de la población.
Calcular la preferencia de un producto sobre otro.
Saber a qué tipo de persona irá destinado un producto o servicio.
Saber si al público le ha gustado un servicio o producto.
Calcular a qué grupo de la población le afecta más un fenómeno.
Conocer cómo se encuentra compuesta la población de un país.
Saber los resultados de un programa.
Predecir la reacción de las personas ante algún cambio.
Las encuestas son herramientas usadas para recolectar información durante una investigación. Por esta razón, son usadas en diferentes contextos. Por ejemplo, antes de lanzar nuevo producto a la venta, las compañías realizan encuestas entre los consumidores para predecir si ese producto será aceptado o no por los compradores y evitar así posibles pérdidas.
¡A practicar!
1. Determina si las siguientes preguntas son abiertas o cerradas.
a) ¿Cuál es tu color favorito?
Solución
Pregunta abierta.
b) ¿Le tienes miedo a las alturas? Sí ( ) No ( )
Solución
Pregunta cerrada.
c) ¿Quién es tu personaje histórico favorito?
Solución
Pregunta abierta.
d) ¿Alguna vez has volado en avión? Sí( ) No ( )
Solución
Pregunta cerrada.
2. María hizo una encuesta a sus compañeros de clases sobre a qué lugares preferían ir de vacaciones y obtuvo la siguiente tabla de frecuencia:
Lugar preferido
Personas que lo eligieron
Montaña
7
Playa
9
Selva
2
Desierto
1
De acuerdo a la tabla responde las siguientes preguntas:
a) ¿Cuál fue el destino de vacaciones más elegido?
Solución
La playa.
b) ¿Cuál fue el destino menos elegido?
Solución
El desierto.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Instrumentos de medición”
El siguiente material le brindará información más detallada sobre las encuestas y su aplicación. También explica las ventajas y desventajas de este método de recolección de datos.
El artículo explica las características de la tabla de valores y su importante papel en la estadística. También se explican otros conceptos relacionados y se proponen algunos ejercicios.
Desde la elaboración de planos y dibujos a escalas en hojas cuadriculadas, hasta la localización de estrellas en la galaxia, la unión de rectas perpendiculares nos ayuda a distinguir la posición de cualquier objeto. Una cuadrícula es un sistema de coordenadas compuesto por líneas perpendiculares verticales y horizontales, que funciona como sistema de referencias y permite ubicar elementos en un espacio definido. El conjunto de líneas horizontales y verticales, también llamadas ejes, suelen nombrarse con números y letras.
Un claro ejemplo de cuadrícula es un tablero de ajedrez. En este cada cuadro representa una posición que puede ser ocupada por alguna pieza del juego.
TIPOS DE LÍNEAS
Las líneas son un conjunto de puntos ubicados uno junto al otro que generan un trazo continuo. Si los puntos están orientados en una misma dirección, entonces, forman una línea recta. Las líneas rectas son continuas e infinitas, no tienen ni principio ni final y se pueden clasificar según la forma en que interaccionan entre ellas en rectas paralelas (aquellas que nunca se cortan), rectas secantes perpendiculares (aquellas que se cortan formando ángulos rectos) y rectas secantes oblicuas (aquellas que se cortan sin formar ángulos rectos).
Un ejemplo de líneas rectas paralelas son las vías de un ferrocarril. Cuando se cortan con otras forman líneas secantes.
LOS ÁNGULOS Y SUS TIPOS
Un ángulo es una porción del plano delimitado por dos semirrectas. Cada semirrecta es uno de los lados del ángulo y coinciden en un punto de origen al que se denomina vértice. A la distancia entre lado y lado del ángulo se la denomina amplitud, y esta se mide en grados (°). Si queremos medir o trazar un ángulo es indispensable el uso del transportador. Según su amplitud, un ángulo puede ser convexo, cóncavo, nulo, completo, llano, agudo, recto u obtuso.
Las escuadras nos permiten estimar ángulos, pues tienen un ángulo de 90° y dos ángulos de 45°.
LOS TRIÁNGULOS
Los triángulos son polígonos regulares cerrados de tres lados, tres ángulos y tres vértices. Los ángulos interiores de un triángulo siempre suman 180° y los ángulos exteriores suman 360°. Son varios los criterios de clasificación que permiten agrupar a los triángulos de acuerdo a ciertas particularidades, los más utilizados son: la medida de sus lados y la medida de sus ángulos. Según la medida de sus lados, los triángulos se clasifican en equiláteros, isósceles y escalenos; mientras que, según la medida de sus ángulos se clasifican en acutángulo, obtusángulo y rectángulo.
Un mismo triángulo puede ser clasificado por más de un criterio, por ejemplo: todos los triángulos equiláteros son, a su vez, triángulos acutángulos, ya que sus tres ángulos iguales miden 60°.
CUADRILÁTEROS
Los cuadriláteros tienen cuatro lados, cuatro ángulos internos, cuatro ángulos externos, cuatro vértices y dos diagonales. Estos se clasifican en paralelogramos, trapecios y trapezoides. Los paralelogramos son aquellos cuadriláteros que poseen dos pares de lados opuestos paralelos y que comparten algunas propiedades específicas; los trapecios, por su parte, son figuras que presentan un par de lados opuestos paralelos a los que se suele denominar base; y los trapezoides son aquellos cuyos lados no son paralelos.
En primer lugar, los cuadriláteros pueden clasificarse en dos grandes grupos: paralelogramos y no paralelogramos. Las pantallas de nuestros móviles y tabletas son ejemplos de un paralelogramo.
POLIEDROS
Los poliedros son cuerpos geométricos tridimensionales con caras planas formados por polígonos. Cada una de las caras de un poliedro es un polígono (triángulo, cuadrado, rombo, etc.). Los poliedros pueden ser regulares cuando sus caras están compuestas por el mismo polígono regular; o irregulares si sus caras presentan diferentes formas. En estos poliedros el número de caras no presenta límites como ocurre con los poliedros regulares y se dividen en prismas (tienen dos bases) y pirámides (tienen una sola base).
Existen cinco poliedros regulares cuyas caras están conformados por polígonos regulares. Estos son conocidos como sólidos platónicos.
La división es una de las cuatro operaciones básicas de las matemáticas y consiste en repartir un número en varias partes iguales. Cada vez que compartimos nuestros dulces hacemos una división. Esta operación está muy relacionada con la resta y con la multiplicación. A continuación, aprenderás a hacer divisiones de números con una, dos o tres cifras.
LA DIVISIÓN y su relación con la sustracción
La división es una operación matemática que consiste en realizar reparticiones equitativas o formar grupos con la misma cantidad de elementos. Es una operación inversa a la multiplicación y puede considerarse una sustracción sucesiva.
La división a través de sustracciones sucesivas es una manera fácil de llegar a un resultado. Hay que recordar que la división tiene que ver con la resta y juntas tienen varias aplicaciones.
– Ejemplo:
Si deseamos repartir 8 magdalenas de 2 en 2, ¿cuántas personas tendrán magdalenas?
Este problema lo podemos representar como una resta sucesiva:
Observa que se hicieron 4 restas de 2 hasta llegar a cero (0). Por lo tanto, 4 personas tendrá 2 magdalenas cada una.
Este proceso, también lo podemos representar como una división y decir que 8 ÷ 2 = 4 porque se puede restar 4 veces 2 al número 8.
– Otro ejemplo:
30 ÷ 5 = ?
Restas
30 − 5 = 25
25 − 5 = 2
20 − 5 = 15
15 − 5 = 10
10 − 5 = 0
5 − 5 = 0
Cantidad de veces que se hace la resta
1
2
3
4
5
6
Entonces, 30 ÷ 5 = 6 porque se puede restar 6 veces 5 al 30.
Las divisiones simbólicamente se puede expresar de la siguiente manera:
En todos los casos se lee “treinta entre cinco igual a seis”.
Elementos de la división
Los términos de la división son el dividendo, el divisor, el cociente y el residuo o resto.
El dividendo es la cantidad que se desea repartir en partes iguales; el divisor es la cantidad entre la cual se divide y el cociente es el resultado de la operación. La cantidad que no se logra dividir es el residuo, también llamado resto; y debe ser menor que el divisor.
Divisiones exactas e inexactas
Cuando el residuo es igual a cero, podemos decir que la división se realizó equitativamente sin sobrar elementos, por lo que es exacta; pero si el residuo es distinto de cero, se considera que la división es inexacta por sobrar elementos sin dividir o agrupar.
El propósito de la división como operación matemática es encontrar el cociente, el cual indica las veces que el divisor está contenido en el dividendo. El resto o residuo es la parte de la división que no se puede dividir como número entero por el divisor, si el resto es cero se habla de una división exacta, y si es mayor es una división inexacta.
¿Cómo resolver divisiones?
1. Colocamos a la izquierda al dividendo y dentro de la caja de división colocamos al divisor.
2. Luego, seleccionamos del dividendo una cifra que sea mayor o igual al divisor, para esto se comienza por la cifra de mayor orden. En este caso no hay un número que multiplicado por 5 resulte 3, por lo que seleccionamos una cifra más para dividir, es decir, 35.
3. Luego, buscamos un número que multiplicado por 5 nos de cómo resultado 35 o un número cercano a ese valor. Para esto es necesario emplear las tablas de multiplicación. Se sabe que 5 × 7 = 35, por lo tanto:
4. Encontramos que al multiplicar 5 por 7 da como resultado 35; entonces colocamos el 7 debajo del 5, restamos el producto obtenido de multiplicar el cociente por el divisor y lo escribimos en el resto. En este caso el resto es cero (0), por lo tanto, es una división exacta.
– Otro ejemplo:
1. Colocamos a la izquierda al dividendo y dentro de la caja de división colocamos al divisor.
2. Luego, seleccionamos del dividendo una cifra que sea mayor o igual al divisor, para esto se comienza por la cifra de mayor orden. En este caso no hay un número que multiplicado por 4 resulte 3, por lo que seleccionamos una cifra más para dividir, el 36.
3. Luego, buscamos un número que multiplicado por 4 de cómo resultado 36 o un número cercano a ese valor. Para esto es necesario emplear las tablas de multiplicación. Sabemos que 4 × 9 = 36, por lo tanto:
Encontramos que al multiplicar 4 por 9 da como resultado 36; entonces colocamos el 9 debajo del 4, restamos el producto obtenido de multiplicar el cociente por el divisor y lo escribimos en el resto.
4. Realizamos una nueva selección y repetimos los pasos hasta agotar las cifras del dividendo, en este caso solo nos resta el 5, lo bajamos y colocamos junto al resto obtenido anteriormente. Observa:
5. Buscamos un número que multiplicado por 4 de cómo resultado 5 o un número cercano a ese valor. Para esto es necesario emplear las tablas de multiplicación. Sabemos que 4 × 1 = 4, por lo tanto:
Encontramos que al multiplicar 4 por 1 da como resultado 4; entonces se coloca el 1 en el cociente, restamos el producto obtenido de multiplicar el cociente por el divisor y lo escribimos en el resto. Esto da como resultado 1, por lo tanto; la división es inexacta.
¿Sabías qué?
Al momento de resolver divisiones se busca el número que multiplicado por el divisor es igual al dividendo, de esta manera se obtiene el cociente.
SITUACIONES DE REPARTO EQUITATIVO
Cuando una cantidad de elementos se reparte en grupos iguales, se puede conocer la cantidad de elementos de cada grupo por medio de la división.
Cantidad de elementos ÷ cantidad de grupos = cantidad de elementos por grupo
Las situaciones de reparto equitativo son aquellas donde una cantidad de elementos se reparten en grupos iguales, en estas se conoce la cantidad de elementos y la cantidad de grupos formados, lo que se busca es conocer la cantidad de elementos de cada grupo mediante la división. Este caso se aplica solo en casos de divisiones exactas donde el resto es igual a cero.
Por ejemplo, tenemos una canasta con 12 manzanas y debemos repartirlas en 4 canastas equitativamente.
12 manzanas repartidas en 4 canastas corresponden a 3 manzanas por canasta.
12 ÷ 4 = 3
– Otro ejemplo:
25 esferas azules repartidas en 5 partes iguales.
25 esferas azules, repartidas en 5 partes iguales, corresponden a 5 esferas en cada parte.
25 ÷ 5 = 5
Para repartir en partes iguales una cantidad de elementos puedes poner un elemento por grupo hasta que se terminen de repartir todos los elementos.
SITUACIONES DE REPARTO POR MEDIDA
Cuando se conoce la cantidad total de elementos que se repartieron en grupos de medidas iguales se puede obtener la cantidad de grupos por medio de la división.
Cantidad de elementos ÷ cantidad de elementos por grupo = cantidad de grupos
En las operaciones de reparto por medida o agrupamiento por medida se conoce la cantidad total de elementos y la cantidad de elementos por grupo. El objetivo es conocer la cantidad de grupos para lo cual se emplea la división. Existen una serie de situaciones en las que encontramos problemas de este tipo y para ello conocer cómo resolver divisiones es esencial.
– Ejemplo:
Una maestra de tercer grado ha pedido a sus alumnos que lleven un artículo de periódico para realizar un trabajo en clase. De 24 alumnos que conforman la sección, solo la mitad llevó el artículo. La maestra tuvo que formar grupos de 2 niños para realizar la actividad. ¿Cuántos grupos formó la maestra?
La maestra formó 12 grupos de 2 alumnos cada uno.
24 ÷ 2 = 12
– Otro ejemplo:
En una biblioteca hay 18 libros, en cada tramo caben 6, ¿cuántos tramos se necesitan para guardarlos todos?
Para organizar los 18 libros se necesitan 3 tramos con 6 libros cada uno.
18 ÷ 6 = 3
¿Sabías qué?
A principio del siglo XVII, John Napier diseñó un tablero para multiplicar y dividir conocido como “los huesos de Napier”.
RELACIÓN ENTRE LA MULTIPLICACIÓN Y LA DIVISIÓN
La división es la operación inversa a la multiplicación, pero con la multiplicación se puede comprobar el resultado de una división al multiplicar el cociente obtenido por el divisor, el resultado de esta multiplicación debe ser igual al dividendo. Entonces:
dividendo = cociente × divisor
Si la división es inexacta, se aplica el mismo procedimiento y se le suma el resto o residuo. Ejemplo:
La multiplicación y la división son operaciones inversas, así como lo son la adición y la sustracción. En la división, el orden de los factores sí altera el producto, por lo que no cumple con la propiedad conmutativa, mientras que la propiedad distributiva para la división solamente se cumple si la suma o resta se encuentra en el dividendo.
¡A practicar!
1. Resuelve las siguientes divisiones a través de restas sucesivas.
a) 12 ÷ 4
Solución
1
2
3
Cociente
12 − 4 = 8
8 − 4 = 4
4 − 4 = 0
3
12 ÷ 4 = 3
b) 49 ÷ 7
Solución
1
2
3
4
5
6
7
Cociente
49 − 7 = 42
42 − 7 = 35
35 − 7 = 28
28 − 7 = 21
21 − 7 = 14
14 − 7 = 7
7 − 7 = 0
7
49 ÷ 7 = 7
c) 54 ÷ 9
Solución
1
2
3
4
5
6
Cociente
54 − 9 = 45
45 − 9 = 36
36 − 9 = 27
27 − 9 = 18
18 − 9 = 9
9 − 9 = 0
6
54 ÷ 9 = 6
2. Efectúa las siguientes divisiones.
a) 88 ÷ 4
Solución
88 ÷ 4 = 22
b) 25 ÷ 3
Solución
25 ÷ 3 = 8 y resto = 1
c) 41 ÷ 6
Solución
41 ÷ 6 = 6 y resto = 5
3. Escribe y resuelve la división que representa cada situación de reparto equitativo.
a) Julián tiene 16 caramelos y quiere repartirlos por igual entre sus 4 amigos, ¿cuántos caramelos le corresponden a cada uno de sus amigos?
Solución
16 ÷ 4 = 4
A cada amigo le corresponden 4 caramelos.
b) Patricia debe empacar por igual 15 vestidos en 5 cajas. ¿Cuántos vestidos tendrá cada caja?
Solución
15 ÷ 5 = 3
Tendrá 3 vestidos por caja.
c) Leonardo tiene 36 naranjas y debe colocarlas en 6 cestos por igual. ¿Cuántas naranja debe colocar en cada cesto?
Solución
36 ÷ 6 = 6
Debe colocar 6 naranjas por cesto.
4. Escribe y resuelve la división que representa cada situación de reparto por medida.
a) Lucía tiene 45 galletas, si las guarda en pequeñas cajas en las que caben 9 galletas, ¿cuántas cajas necesita?
Solución
45 ÷ 9 = 5
Lucía necesita 5 cajas.
b) Felipe el panadero desea hornear 24 pastelitos, si caben 8 pastelitos en cada bandeja, ¿cuántas bandejas necesitará Felipe?
Solución
24 ÷ 8 = 3
Felipe necesitará 3 bandejas.
c) Alicia tiene 50 libros. Si guarda 10 libros en cada una de las repisas de un mueble. ¿Cuántas repisas del mueble ocupa para guardar todos sus libros?
Solución
50 ÷ 10 = 5
Alicia ocupa 5 repisas del mueble para guardar todos sus libros.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Divisiones por dos o más cifras”
El siguiente material trata sobre las divisiones desde un enfoque del método tradicional y del método del algoritmo desplegado de la división.
En este artículo se explica cómo resolver divisiones a través del método americano, uno de los más usados en países de Centroamérica, México y los Estados Unidos.
La multiplicación es una de las operaciones fundamentales que realizamos con los números. Se encuentra estrechamente relacionada con la adición, por lo tanto, cuando sumamos repetidas veces una misma cantidad, realmente hacemos una multiplicación. A partir de esto se crearon las tablas de multiplicar para facilitar los cálculos.
RELACIÓN ENTRE LA ADICIÓN Y LA MULTIPLICACIÓN
Se denomina adición iterada a la adición que posee todos sus sumandos iguales y se puede representar como una multiplicación.
– Ejemplo 1:
Observa que cada mariposa tiene 2 alas. Por lo tanto, en 4 mariposas hay 8 alas.
4 veces 2 es igual a 8.
4 × 2 = 8
– Ejemplo 2:
¿Cuántas patas (extremidades) hay en total?
5 veces 2 es igual a 10.
5 × 2 = 10
– Ejemplo 3:
Sofía tiene tres portalápices y en cada uno de ellos caben 5 lápices, ¿cuántos lápices tiene Sofía en total?
3 veces 5 es igual a 15.
3 × 5 es igual a 15.
La multiplicación es considerada como una adición con sumandos iguales (adición iterada). Nos ayuda a obtener resultados más rápidos de manera sencilla. Los elementos de la multiplicación son los factores y el producto. Los números multiplicados son los factores y el resultado es el producto. Para resolver multiplicaciones se usan las tablas de multiplicar.
¡Es tu turno!
¿Cuántos huevos hay en total?
Solución
3 + 3 + 3 = 9
3 veces 3 es igual a 9.
3 × 3 = 9
¿Cuántas flores hay en total?
Solución
4 + 4 + 4 + 4 = 16
4 veces 4 es igual a 16.
4 × 4 = 16
Expresa las adiciones como multiplicación, resuelve y completa:
Adición
Multiplicación
1 + 1 + 1 + 1 = 4
1 × 4 = 4
5 + 5 + 5 =
6 + 6 + 6 + 6 + 6 =
7 + 7 + 7 + 7 =
2 + 2 + 2 =
3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 =
Solución
Adición
Multiplicación
1 + 1 + 1 + 1 = 4
1 × 4 = 4
5 + 5 + 5 = 15
5 × 3 = 15
6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 30
6 × 5 = 30
7 + 7 + 7 + 7 = 28
7 × 4 = 28
2 + 2 + 2 = 6
2 × 3 = 6
3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 18
3 × 6 = 18
elementos de la multiplicación
Los términos de una multiplicación se denominan factores y producto. Los factores son los números que se multiplican, y el producto es el resultado de la operación de multiplicación.
Tablas de multiplicar
Para hacer cálculos de multiplicaciones se crearon las tablas de multiplicar, que no son más que un atajo para realizar sumas largas de forma rápida. La forma más común de representar las tablas de multiplicación es, como su nombre lo indica, a través de tablas. Normalmente se muestran las tablas del 1 al 10 y cada una de ellas a su vez indica las multiplicaciones del número que representan del 1 al 10 o del 0 al 10.
Multiplicación en forma vertical
La multiplicación es una adición de sumandos iguales, el signo de la multiplicación es “×” y se lee “por”.
La multiplicación es la operación matemática que consiste en determinar el resultado de un número que se haya sumado tantas veces como indique otro. La palabra multiplicación proviene del latín de la palabra multus que significa “mucho” y plico que quiere decir “doblar”. En este sentido, multiplicar es doblar o repetir un número muchas veces.
¿Sabías qué?
Además del símbolo de la cruz, en la multiplicación también puede usarse el punto a media altura (·).
Para multiplicar un número de una cifra por otro de dos cifras, multiplicamos cada cifra de los factores. Para esto seguimos los siguientes pasos:
1. Colocamos los factores uno sobre el sobre.
2. Multiplicamos la unidad del segundo factor por la unidad del primer factor: 3 × 3 = 9
3. Multiplicamos la unidad del segundo factor por las decenas de la primer factor: 3 × 2 = 6.
4. También podemos escribir el resultado de forma horizontal:
23 × 3 = 69
– Otros ejemplos:
Multiplicación con llevadas
Cuando multiplicamos las cifras de los factores y el resultado es mayor a 9, debemos hacer llevadas. Los pasos son los siguientes:
1. Colocamos los factores uno sobre otro según su valor posicional.
2. Multiplicamos la unidad del segundo factor por la unidad del primer factor: 4 × 3 = 12. Como el resultado es mayor a 9, colocamos la unidad (2) en la columna de las unidades y la cifra de la decena (1) la colocamos en la columna de la izquierda.
3. Multiplicamos la unidad del segundo factor por las decenas del segundo factor y consideramos el 1 que se lleva: 4 × 2 = 8 + 1 = 9.
– Otros ejemplos:
También es posible que llevemos cifras a las centenas. En estos casos los pasos son estos:
1. Colocamos los factores uno sobre otro según sus valores posicionales.
2. Multiplicamos la unidad del segundo factor por la unidad del primer factor: 7 × 4 = 28. Como el resultado es mayor a 9, escribimos el 8 en la columna de las unidades y llevamos la decena (2) a la columna de la izquierda.
3. Multiplicamos la unidad del segundo factor por las decenas del primer factor, como llevamos 2: 7 × 2 = 14 + 2 = 16. Escribimos el 6 en las decenas y el 1 en la columna de las centenas.
– Otros ejemplos:
¿Sabías qué?
Es común que en las multiplicaciones se escriba arriba el número mayor (multiplicando) y debajo el número menor (multiplicador).
MULTIPLICACIÓN POR 10, POR 100 Y POR 1.000
Para multiplicar un número natural por 10 agregamos un cero a la derecha del número. Si lo multiplicamos por 100 agregamos 2 ceros y si lo multiplicamos por 1.000 agregamos 3 ceros. Ejemplo:
¿Cuál es el producto de 35 × 10?
Como se multiplica por 10, se agrega un cero a la derecha del 35, es decir:
35 × 10 = 350
¿Cuál es el producto de 35 × 100?
Como se multiplica por 100, se agregan dos ceros a la derecha del 35, es decir:
35 × 100 = 3.500
¿Cuál es el producto de 35 × 1.000?
Como se multiplica por 1.000, se agregan tres ceros a la derecha del 35, es decir:
35 × 1.000 = 35.000
– Otros ejemplos:
Factores
2
5
17
29
40
73
91
× 10
20
50
170
290
400
730
910
× 100
200
500
1.700
2.900
4.000
7.300
9.100
× 1.000
2.000
5.000
17.000
29.000
40.000
73.000
91.000
Las propiedades de la multiplicación permiten realizar operaciones de manera más sencilla. Por ejemplo, la propiedad conmutativa nos permite cambiar el orden de los factores sin alterar el producto, por esta razón, el número mayor se suele colocar arriba y el menor debajo al momento de resolver los cálculos. Lo mismo aplica para el resto de las propiedades.
PROBLEMAS DE MULTIPLICACIÓN
1. Tres camiones viajan del campo a la ciudad, cada uno con 800 sandías. ¿Cuántas sandías llevan en total?
Datos
Cantidad de camiones: 3
Cantidad de sandías por camión: 800
Pregunta
¿Cuántas sandías llevan en total?
Reflexiona
Para resolver el problema debemos multiplicar las 800 sandías por 3, para lo cual se ubica el 800 en el multiplicando por ser mayor y el 3 en el multiplicador.
Resuelve
Respuesta
Entre los camiones hay 2.400 sandías.
2. A la hermana de Susana le gusta coleccionar zapatos. Tiene tantos que los organiza en un estante por tramos. Si el estante tiene seis tramos y en cada uno hay catorce pares, ¿cuántos pares de zapatos tiene la hermana de Susana?
Datos
Tramos del estante: 6
Pares de zapatos por tramos: 14
Pregunta
¿Cuántos pares de zapatos tiene la hermana de Susana?
Reflexiona
Para resolver el problema debemos multiplicar los 14 pares de zapatos por los 6 tramos que tiene el estante. Para esto ubicamos el 14 arriba y el 6 debajo.
Resuelve
Respuesta
La hermana de Susana tiene 84 pares de zapatos.
3. Si un paquete de caramelos cuesta $ 843, ¿cuánto cuestan 9 paquetes?
Datos
Valor del paquete de caramelos: $ 843
Pregunta
¿Cuánto cuestan 9 paquetes de caramelos?
Reflexiona
Para resolver el problema debemos multiplicar el costo del paquete de caramelos que son $ 843 por el número de paquetes que pide el problema, es decir 9.
Resuelve
Respuesta
Nueve paquetes de caramelos tienen un valor de $ 7.587
¡A practicar!
1. Valentina compró cinco paquetes de palomitas de maíz por un valor de $ 1.569 cada uno. ¿Cuánto dinero gastó Valentina?
Solución
Datos
Valor del paquete de palomitas: $ 1.569
Cantidad de paquetes de palomitas comprado: 5
Pregunta
¿Cuánto gastó Valentina?
Reflexiona
Para resolver el problema debemos multiplicar el costo del paquete de palomitas que son $ 1.569 por el número de paquetes que compró Valentina, es decir 5.
Resuelve
Respuesta
Valentina gastó $17.845.
2. En un salón de clases hay 42 estudiantes, si cada uno de ellos trae 2 paletas de caramelo, ¿cuántas paletas de caramelo tendrían en total?
Solución
Datos
Cantidad de estudiantes: 42
Cantidad de paletas por estudiante: 2
Pregunta
¿Cuántas paletas de caramelo tendrían en total?
Reflexiona
Para resolver el problema debemos multiplicar el número total de estudiantes, que son 42 por la cantidad de paletas de caramelo que trajo cada estudiante, es decir 2.
Resuelve
Respuesta
Los alumnos tendrían en total 84 paletas de caramelo.
3. En la granja de don Tomás hay 8 vacas lecheras, cada una produce diariamente 52 litros. ¿Cuántos litros de leche se producen durante 7 días?
Solución
Datos
Cantidad de vacas: 8
Litros de leche producidos por una vaca en 1 día: 52
Pregunta
¿Cuántos litros de leche se producen durante 7 días en la granja de don Tomás?
Reflexiona
Para resolver el problema debemos hacerlo en dos partes, primero se debe sacar la cantidad de litros que producen diariamente por medio de una multiplicación entre 52 y 8. Luego, multiplicar ese resultado por 7.
Resuelve
Respuesta
Durante siete días se producen 2.912 litros de leche en la granja de don Tomás.
4. En una granja hay 3 corrales para cerdos y en cada corral caben seis cerdos, ¿qué adición iterada representaría la situación?
a) 4 + 4 + 4 + 4 + 4
b) 6 + 4
c) 6 + 6 + 6
d) 24 + 24 + 24 + 24
Solución
c) 6 + 6 + 6
5. Víctor lee cuatro páginas de su libro favorito por día, ¿cuántas páginas leerá en seis días?
Solución
1 día → 4 páginas
2 días → 4 + 4 = 8 páginas
3 días → 4 + 4 + 4 = 12 páginas
4 días → 4 + 4 + 4 + 4 = 16 páginas
5 días → 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20 páginas
6 días → 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24 páginas
Podemos ver que 6 veces 4 es 24, por lo tanto:
6 × 4 = 24
Victor leerá 24 página en 6 días.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Trucos para aprender las tablas de multiplicar”
El siguiente material ofrece algunos trucos para aprender las tablas de multiplicar sin necesidad de memorizarlas.
La adición y la sustracción están presentes en múltiples situaciones de nuestra vida cotidiana, son operaciones inversas que en muchas ocasiones pueden emplearse de forma combinadas. Para este tipo de problemas usamos ciertos símbolos como el paréntesis que permiten una resolución más sencilla.
OPERACIONES COMBINADAS
Las operaciones combinadas son aquellas en las que aparecen varias cálculos aritméticos para resolver.
La adición y la sustracción, además de ser operaciones básicas de las matemáticas, son dos operaciones inversas, por lo tanto, una adición puede ser comprobada a través de la sustracción y de igual modo, al resolver una sustracción, sus resultados pueden comprobarse a través de la adición. Conocer bien el desarrollo de las sumas y restas es fundamental para resolver cálculos combinados.
Para resolver operaciones combinadas de adición y sustracción debemos seguir ciertos pasos:
Operaciones con paréntesis
Resolvemos las operaciones que están entre paréntesis.
Resolvemos las demás según el orden en que aparecen, de izquierda a derecha.
– Ejemplo:
Observa que en primer lugar resolvimos lo que estaba dentro de los paréntesis y luego según el orden de izquierda a derecha.
Operaciones sin paréntesis
Si las operaciones combinadas de adición y sustracción no tienen operaciones entre paréntesis “()” debemos resolver según el orden en que aparecen de izquierda a derecha.
– Ejemplo:
Tal como lo muestra el ejemplo, resolvimos las operaciones en el orden que aparecen de izquierda a derecha.
¿Sabías qué?
Uno de los signos más usados en operaciones matemáticas es el paréntesis. Permite determinar el orden y prioridad de las operaciones.
¡Es tu turno!
(354 + 689) − 798
Solución
El resultado es 245.
1.340 − 1.120 + 250
Solución
El resultado es 470.
(8.932 − 5670) + 990 − (459 + 615)
Solución
El resultado es 3.178.
9.980 − 8.760 − 130 + 2700
Solución
El resultado es 3.790.
CÁLCULOS MENTALES
El cálculo mental, como su nombre lo indica, permite realizar cálculos sin que sea necesario un lápiz, una hoja o una calculadora. Para resolver problemas de forma mental usamos estrategias que aplican propiedades de los números y de las operaciones matemáticas.
Una de las mejores formas de desarrollar y ejercitar la comprensión numérica es a través de los cálculos mentales. Además de resolver problemas más rápido, permiten mejorar la concentración y la agilidad mental para otras situaciones. Con la práctica se pueden resolver cálculos más complejos en los cuales un papel y un lápiz no serían necesarios.
Para realizar cálculos mentales podemos hacer uso de diferentes estrategias:
Descomponer
La descomposición de un número mentalmente permite resolver adiciones y sustracciones de forma más sencilla. Para esto, se descompone el primero de los términos de acuerdo al valor posicional de sus cifras y luego se le suma o resta al número no descompuesto un valor posicional a la vez. Por ejemplo:
35 − 12 = ?
Descomponemos el número 12 de la siguiente forma:
12 = 10 + 2
Luego restamos un valor posicional a la vez al término no descompuesto, en este caso el término no descompuesto es el número 35.
35 − 10 = 25
25 − 2 = 23
Entonces:
35 − 12 = 23
Completar la decena
Una estrategia que se puede emplear para resolver adiciones y sustracciones es completar la decena. Veamos un ejemplo:
35 + 8 = ?
El número 35 está entre las decenas 30 y 40, entonces sumamos las 5 unidades que faltan para que llegue a 40:
35 + 5 = 40
Luego, esas 5 unidades se las restamos al sumando 8:
8 − 5 = 3
Finalmente sumamos los dos resultados:
40 + 3 = 43
– Otro ejemplo:
22 − 12 = ?
El número 22 está entre la decenas 20 y 30, entonces restamos los 2 que es lo que faltan para llegar a 20:
22 − 2 = 20
Luego, restamos esas 2 unidades al sustraendo:
12 − 2 = 10
Al final hacemos la resta con esos resultados:
20 − 10 = 10
Aplicar la propiedad asociativa
Esta es una estrategia que permite resolver adiciones. La propiedad asociativa establece que al sumar tres o más sumandos, no importa el orden en que se realicen las operaciones, la suma es la misma. Por lo tanto, los sumandos pueden agruparse de forma que faciliten tus cálculos. Veamos un ejemplo:
320 + 300 + 80 = ?
En este caso, vamos a agrupar los siguientes términos:
320 + 300 + 80
(320 + 80) + 300
400 + 300 = 700
¿Sabías qué?
La palabra “cálculo” proviene del término latino calculus que significa “piedra”. Anteriormente se usaban las piedras para contar.
PROBLEMAS
Para resolver problemas aditivos es necesario comprender la situación y seleccionar los datos que permitan elegir una estrategia para encontrar la solución, y así dar una respuesta al problema. Veamos algunos:
1. En un maratón se deben correr 5.000 metros. Pablo avanzó 1.335 metros y se detuvo a tomar agua para refrescarse. Luego avanzó 1.280 metros más y volvió a tomar agua. ¿Cuántos metros de la maratón le faltan correr a Pablo?
Datos
Distancia que debe correr Pablo: 5.000 metros
Distancia 1 que recorrió Pablo: 1.335 metros
Distancia 2 que recorrió Pablo: 1.280 metros
Pregunta
¿Cuántos metros de la maratón le faltan correr a Pablo?
Reflexiona
Para conocer cuántos metros le faltan a Pablo por recorrer debemos restar a la distancia total, la suma de la distancia 1 y la distancia 2.
Resuelve
5.000 − (1.335 + 1.280)
5.000 − 2.615
2.385
Respuesta
A Pablo le faltan por correr 2.385 metros del maratón.
2. Daniela y su familia salieron de excursión a la montaña, durante su visita tomaron 243 fotografías de los paisajes y 125 fotografías de ellos mismos. Si en la excursión pasada tomaron 42 fotografías menos, ¿cuántas fotografías tomaron en la excursión anterior?
Datos
Fotografías de los paisajes: 243
Fotografías de ellos mismos: 125
Fotografías de la excursión anterior: 42
Pregunta
¿Cuántas fotografías tomaron en la excursión anterior?
Reflexiona
Para saber cuántas fotografías tomaron en la excursión pasada debemos sumar las fotografías de paisajes y de la familia que tomaron durante esta excursión y luego restar las 42 fotografías menos.
Resuelve
(243 + 125) − 42
368 − 42
326
Respuesta
La familia de Daniela tomó durante la excursión anterior 326 fotografías.
3. Un autobús se desplaza por la ciudad. En su primera parada recoge 12 pasajeros, en la segunda se suben 3 y se bajan 6, en la tercera se suben 9 y se bajan 8. Al llegar a la cuarta parada, ¿cuántos pasajeros lleva el bus?
Datos
Primera parada: suben 12 pasajeros
Segunda parada: suben 3 y se bajan 6 pasajeros
Tercera parada: suben 9 y se bajan 8 pasajeros
Pregunta
¿Cuántos pasajeros lleva el bus al llegar a la cuarta parada?
Reflexiona
Para resolver este tipo de problemas debemos asociar que cuando el bus recoge pasajeros, se realiza la operación sumar, y cuando se bajan pasajeros del bus, se realiza la operación restar. Así al traducir el problema al lenguaje matemático obtenemos: 12 + 3 − 6 + 9 − 8.
Una forma más fácil de resolverlo es contar primero el número de personas que se subieron al bus: (12 + 3 + 9) y después restarle el número de personas que se bajaron: (6 + 8). Obtenemos en ese caso la expresión: (12 + 3 + 9) − (6 + 8).
Resuelve
(12 + 3 + 9) − (6 + 8)
24 − 14
10
Respuesta
El bus al llegar a la cuarta parada lleva 10 pasajeros.
¿Por qué importan los cálculos combinados?
Resolver adiciones y sustracciones permite desarrollar la capacidad de solucionar situaciones en nuestra vida cotidiana y de esta forma crear, adaptar y resolver problemas matemáticos en un contexto familiar, escolar y social. Una de las situaciones en las que aplicamos esto es al momento de hacer una compra, pues si sumamos todos los precios de productos y luego lo restamos a la cantidad de dinero que tenemos, podremos saber cuánto dinero tendremos al final de una compra.
¡A practicar!
1. Resuelve los siguientes problemas:
a) Miguel tiene 25 años y Camila tiene 10 años más que él. Si Alejandro tiene 15 años menos que Camila, ¿cuántos años tiene Alejandro?
Solución
• Datos
Edad de Miguel: 25 años
Edad de Camila : 10 años más que Miguel
Edad de Alejandro: 15 años menos que Camila
• Pregunta
¿Cuántos años tiene Alejandro?
• Reflexiona
Para resolver el problema debemos sumar los años de más que tiene Camila a la edad de Miguel y luego restar los 15 años que tiene de diferencia la edad de Alejandro con la de Camila.
• Resuelve
(25 + 10) − 15
35 − 15
20
Respuesta
Alejandro tiene 20 años.
b) En una pequeña granja se recolectan aproximadamente 2.500 litros de leche de vaca, de ese total 1.800 litros se venden, 680 litros se emplean para elaborar postres y el resto, los granjeros lo dejan para su consumo. ¿Cuántos litros de leche de vaca dejan los granjeros para consumir?
Solución
• Datos
Litros de leche recolectada: 2.500
Litros de leche que se venden: 1.800
Litros de leche que se emplean para postres: 680
• Pregunta
¿Cuántos litros de leche de vaca dejan los granjeros para consumir?
• Reflexiona
Para resolver el problema debemos restar a la cantidad de leche recolectada, la cantidad de litros vendidos más los empleados para los postres.
• Resolvemos
2.500 − (1.800 + 680)
2.500 − 2.480
20
Respuesta
Los granjeros dejan 20 litros de leche de vaca para su consumo.
2. Resuelve las operaciones mentalmente con las estrategias mencionadas anteriormente:
410 + 600 + 9
Solución
El resultado es 1.019.
74 − 63
Solución
El resultado es 11.
97 − 77
Solución
El resultado es 20.
25 + 36
Solución
El resultado es 61.
39 − 18
Solución
El resultado es 21.
39 + 15
Solución
El resultado es 54.
74 − 44
Solución
El resultado es 30.
57 − 22
Solución
El resultado es 35.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Operaciones combinadas”
El siguiente material proporciona información sobre cómo resolver problemas de operaciones combinadas y los pasos para resolver sumas y restas con y sin paréntesis.
El artículo profundiza en algunas otras estrategias usadas para resolver cálculos mentales, también muestra algunos elementos útiles al momento de resolver problemas de forma mental.
La palabra “poliedro” proviene del griego y significa “que tiene muchas caras o planos”. Con este nombre se designa a aquellos cuerpos geométricos que están formados por polígonos y encierran un volumen. Cada una de las caras de un poliedro es un polígono (un triángulo, un cuadrado, un rombo, etc.) y se caracterizan por tener un mínimo de cuatro caras.
Solemos pensar que un balón de fútbol es una esfera, sin embargo, esto no es así. Un balón de fútbol es un poliedro que al ser hinchado con aire adopta una forma cercana a la esfera. A este tipo de poliedro se lo conoce como icosaedro truncado y combina 20 hexágonos regulares y 12 pentágonos regulares. Tiene 32 caras, 90 aristas y 60 vértices.
ELEMENTOS DE LOS POLIEDROS
Los poliedros son cuerpos geométricos tridimensionales con caras planas y que encierran un volumen. Es decir que un poliedro es una porción acotada de espacio limitada por distintos polígonos, a diferencia de los polígonos, que son porciones del plano limitadas por segmentos.
Los poliedros están constituidos por los siguientes elementos:
Bases
Caras
Aristas
Vértices
Son las caras sobre las cuales se apoya el poliedro.
Son las superficies planas que delimitan el espacio interno del poliedro.
Son las líneas que componen el cuerpo de un poliedro.
Son los puntos de encuentro entre tres o más aristas del poliedro.
TIPOS DE POLIEDROS
Poliedros regulares
Los poliedros regulares son aquellos cuyas caras están compuestas por el mismo polígono regular. Estos son conocidos también como sólidos platónicos.
Nombre del poliedro
Forma del poliedro
Número de caras
Polígonos que forman sus caras
Tetraedro
4
Triángulos equiláteros
Cubo
6
Cuadrados
Octaedro
8
Triángulos equiláteros
Dodecaedro
12
Pentágonos regulares
Icosaedro
20
Triángulos equiláteros
¿Sabías qué?
Se les llama sólidos platónicos porque Platón, filósofo griego del siglo IV a. C., en su diálogo el Timeo explicó la construcción del universo por asociación de cada uno de los poliedros regulares con los elementos fundamentales: agua, aire, tierra y fuego.
El nombre que recibe cada poliedro depende del número de caras que presente. Se utilizan para ello prefijos numerales de origen griego y la terminación –aedro (que significa “plano o cara”). Por ejemplo, el cubo también se llama hexaedro porque tiene 6 caras. No obstante, muchos poliedros tienen sus nombres propios, como el prisma o la pirámide.
Poliedros irregulares
Los poliedros irregulares pueden presentar diferentes formas. En estos poliedros, el número de caras no presenta límites como ocurre con los poliedros regulares. Los poliedros irregulares más comunes son los prismas, las pirámides y todas sus variedades
Prismas: son poliedros limitados por dos bases que son polígonos iguales y por caras laterales que son paralelogramos. Ellos se nombran de acuerdo al polígono de la base. Así puedes encontrar:
Pirámides: son poliedros que tienen una sola base conformada por un polígono y por caras laterales de triángulos con un vértice común. Al igual que los prismas, se nombran por el polígono de la base.
Pirámide triangular
Pirámide cuadrangular
Pirámide pentagonal
Pirámide hexagonal
Triángulo como base.
Cuadrado como base.
Pentágono como base.
Hexágono como base.
¡Construyamos poliedros!
Los poliedros son cuerpos geométricos, esto quiere decir que son tridimensionales y puedes construirlos fácilmente con pocos materiales.
Para construir un cubo necesitarás:
Tijeras.
Regla.
Cartón o un papel duro.
Pegamento.
Copia esta plantilla en el papel. Luego recortalo y realizar pliegues en las líneas. Los cuadrados quedarán como caras del poliedro y las pequeñas solapas servirán para unir la figura. En esas solapas debes colocar pegamento, para unirlas con las caras correspondientes. Quedará formado un cubo, similar al de la imagen. Será útil, por ejemplo, para hacer tus propios dados.
Para construir un tetraedro sigue los mismos pasos. Esta es la plantilla:
Para construir un octaedro sigue los mismos pasos. Esta es la plantilla:
Para construir un dodecaedro sigue los mismos pasos. Esta es la plantilla:
Para construir un icosaedro sigue los mismos pasos. Esta es la plantilla:
Poliedros en la vida cotidiana
En la vida cotidiana puedes encontrar continuamente poliedros. A lo largo de la historia, dos ejemplos de ellos se han vuelto mundialmente reconocidos: el cubo de Rubik y las pirámides de Egipto. Estas últimas son poliedros piramidales triangulares, cuya base es un polígono cualquiera y sus caras son triángulos con un vértice común.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Poliedro irregulares”
En este artículo encontrarás el desarrollo teórico para ahondar en las características propias de los poliedros irregulares.
