CAPÍTULO 2 / TEMA 3

Operaciones combinadas

Hay ocasiones en las que pueden aparecer varias operaciones matemáticas en un mismo problema: estas expresiones se conocen como operaciones combinadas. Para resolverlas, es importante que tengas buenas bases en las propiedades de la suma, la resta, la multiplicación y la división, así como también que sepas priorizar entre ellas.

¿Qué es una operación combinada?

Es una expresión que contiene dos o más operaciones matemáticas, como la suma, la resta, la división y la multiplicación. Algunas veces puede aparecer con paréntesis para separar términos dentro de la expresión.

Para estos problemas se deben tener en cuenta dos cosas:

  1. La regla de los signos.
  2. La prioridad de operaciones, lo que significa que hay operaciones que deben resolverse antes que otras.

Ley de los signos en suma y resta

Para resolver operaciones combinadas es indispensable comprender ciertos criterios que cumplen los números en relación a su signo, a estos criterios se los conoce como “ley de los signos”. A continuación, te mostramos aquellos orientados únicamente a operaciones de suma y resta.

  1. Cuando se suman números positivos, el resultado es otro número con signo positivo:
    10 + 13 = 23
  2. Cuando se suman números negativos, se mantiene el signo negativo y suman los números:
    (−3) + (−2) = −5
  3. Cuando se tienen números con diferente signo, se restan y se coloca el signo que corresponda al número mayor:
    15 − 3 = 12 → El número mayor es 15 y como no tiene signo se entiende que es positivo, ya que por convención los números que no presentan signo se asumen como números positivos, así que al resultado no se le coloca signo.

    3 − 7 = −4 → El número mayor es el 7 y, por tener el signo menos, el resultado debe ser negativo.

¿Sabías qué?
El símbolo “÷” algunas veces es reemplazado por dos puntos “:” para indicar una división.

Ejercicios combinados de sumas y restas

Las operaciones combinadas de sumas y restas con números naturales son fáciles de reconocer porque no llevan paréntesis. En los ejercicios de este tipo, la resolución se hace de izquierda a derecha en el orden en que aparecen los números.

– Por ejemplo:

458 − 352 + 157 − 235 + 784 − 568

Primero debes resolver los dos primeros términos: 458 − 352 = 106, y colocar el resultado como reemplazo de esos números. Luego escribe los números siguientes con sus signos:

106 + 157 − 235 + 784 − 568

Suma el resultado anterior con el siguiente término:

106 + 157 − 235 + 784 − 568

Como el resultado de 106 + 157 es igual a 263, sustituye esos números y anota los números siguientes:

263 − 235 + 784 − 568

Debido a que el número que le sigue a 263 está precedido por un signo menos, la operación a realizar es una resta, es decir, 263 − 235, cuyo resultado es 28. Anota este resultado y resuelve con el número siguiente:

28 + 784 − 568

De 28 + 784 resulta 812, entonces, escribe este resultado junto con el último número que queda y resuelve:

812 − 568 = 244

Con esta última operación obtendrás el resultado del ejercicio. También puedes escribir la solución de esta forma:

458 − 352 + 157 − 235 + 784 − 568 = 244

En los ejercicios combinados de sumas y restas es importante conocer el valor posicional de los números y dominar correctamente estas operaciones. Aunque no es necesario mantener estrictamente el orden de resolución de izquierda a derecha (se pueden resolver los números positivos primero y los negativos después), se sugiere hacerlo para evitar errores.

Ejercicios combinados de multiplicación y división

Los ejercicios combinados que involucran multiplicación y división sin paréntesis se resuelven en este orden:

  1. Realiza las multiplicaciones y las divisiones primero.
  2. Realiza las sumas y restas de la manera en la que fue explicado en el punto anterior.

– Por ejemplo:

112 + 3 x 15 − 85

Resuelve primero la multiplicación 3 x 15:

112 + 3 x 15 − 85

Como 3 x 15 = 45, coloca el 45 como reemplazo de la expresión y respeta el orden de los demás números:

112 + 45 − 85

Ahora tenemos una operación combinada de suma y resta que puedes solucionar de izquierda a derecha como se explicó anteriormente:

112 + 45 − 85

157 − 85 = 72

El resultado es el siguiente:

112 + 3 x 15 − 85 = 72

 

– Otro ejemplo:

21 + 25 ÷ 5 − 12 + 8 x 6

Primero debes identificar los números que multiplican y dividen:

21 + 25 ÷ 5 − 12 + 8 x 6

Resuelve las operaciones de multiplicación y división y reemplaza por sus respectivos resultados. El orden y los signos del resto de los números se mantiene. Recuerda que 25 ÷ 5 = 5 y que 8 x 6 = 48. Al sustituir estos números queda:

21 + 5 − 12 + 48

Ya puedes resolver la operación combinada de suma y resta de la manera explicada anteriormente:

21 + 5 − 12 + 48

26 − 12 + 48

14 + 48 = 62

Expresa el resultado de la siguiente manera:

21 + 25 ÷ 5 − 12 + 8 x 6 = 62

 

Al momento de resolver ejercicios combinados, se debe prestar atención a los signos. Un signo que no sea correcto se traduce, en la mayoría de los casos, en un resultado erróneo. De igual forma se debe tener presente el orden de las operaciones a resolver, es decir, primero resolver multiplicaciones y divisiones, después resolver sumas y restas.
¡A practicar!

1. Resuelve las siguientes operaciones combinadas de sumas y restas sin paréntesis:

a) 115 − 94 + 525 − 32 =

Solución
514
b) 350 − 257 − 50 + 117 =
Solución
160
c) 450 − 358 + 15 + 452 − 527 + 13 =
Solución
45
d) 1.975 − 1.875 + 252 =
Solución
352
e) 759 − 651 + 875 − 532=
Solución
451

2. Resuelve las siguientes operaciones combinadas con multiplicaciones y divisiones sin paréntesis:

a) 14 − 6 x 3 − 11 =

Solución
−15
b) 28 − 12 ÷ 3 + 10 =
Solución
34
c) 42 + 5 x 5 − 48 + 42 ÷ 6 =
Solución
26
d) 272 − 105 + 6 x 6 − 15 + 2 x 2 =
Solución
192
e) 3.615 ÷ 15 + 9 − 90 + 5 x 2 =
Solución
170

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Ley de los signos: suma y resta”

Este artículo explica la ley de los signos para la suma y la resta. También muestra ejemplos de ejercicios para cada caso.

VER

Artículo “Números negativos”

Este artículo ayuda a ampliar el conocimiento sobre los números negativos y algunas de sus aplicaciones. También incluye una serie de ejercicios para resolver.

VER

Artículo “Cálculos combinados”

Este artículo destacado profundiza en explicaciones sobre los cálculos combinados y su metodología para resolverlos.

VER

CAPÍTULO 2 / TEMA 1

Adición y sustracción

En matemática existen cuatro operaciones básicas: adición, sustracción, multiplicación y división. De las dos primeras se desprenden las otras, lo que quiere decir que aprender a sumar y a restar es fundamental para resolver la mayoría de los ejercicios matemáticos y para realizar cuentas cotidianas como, por ejemplo, en compras del supermercado.

Elementos de la adición

La adición es una de las operaciones básicas de la aritmética que permite combinar dos o más números para obtener un total. Esta operación se representa con el símbolo “+” y es aplicada en los diferentes tipos de números: naturales, enteros, racionales, reales y complejos.

Una adición presenta dos partes básicas: los sumandos y la suma. Los sumandos son todos los números que se van a sumar y la suma se refiere al resultado.

La adición anterior tiene dos sumandos: 352 y 431, y el resultado o suma es 783. Es importante tener presente que en estos casos la palabra “suma” se emplea para hablar de la operación de adición y también para referirse al resultado.

¿Sabías qué?
La aritmética es una rama de la matemática que estudia los números y las operaciones elementales que se realizan con ellos.

Propiedades de la adición

La suma de números enteros cumple tres propiedades básicas:

Propiedad conmutativa

Sin importar cómo se ordenen los sumandos de una suma, el resultado siempre será el mismo. Por ejemplo:

Por lo tanto:

15 + 3 = 18

3 + 15 = 18

Propiedad asociativa

No importa como se agrupen los elementos de una suma, el resultado siempre será el mismo. Por ejemplo:

En el problema: 8 + 2 + 6, se pueden sumar primero el 8 y 2 para luego sumar el 6, o se pueden sumar el 2 y el 6 y después sumar el 8. Entonces:

8 + 2 = 10, 10 + 6 = 16

2 + 6 = 8; 8 + 8 = 16

Propiedad del elemento neutro

El cero es el único número que no altera el resultado en una suma, es decir, la suma de cualquier número con el cero es igual al mismo número:

5 + 0 = 5
45 + 0 = 45
219 + 0 = 219

Conocer las propiedades de la suma permite realizar cálculos de manera más rápida. Por ejemplo, si necesitamos sumar 6 + 85, es más fácil agregar mentalmente 6 a 85 que 85 a 6. También se usa la propiedad asociativa en la suma de números con diferentes cifras, estos se pueden ordenar de mayor a menor y luego realizar una suma por reagrupación más sencilla.

VER INFOGRAFÍA

Adición por reagrupación

Es un método en el que se agrupan las unidades, decenas, centenas, etc., de un número. Para resolver problemas de este tipo se suman primero las unidades, luego las decenas, después las centenas y así sucesivamente.

Pasos para resolver adiciones por reagrupación

  1. Colocar los sumandos uno debajo del otro de manera que los valores posicionales iguales estén ubicados en una misma columna: unidades con unidades, decenas con decenas, centenas con centenas…
  2. Sumar cada columna por separado a partir de las unidades. El resultado de la suma de cada columna se escribe en la parte inferior de esta.
  3. En caso de obtener un número de dos cifras al momento de sumar una columna, se anotará el número de la unidad de dicho número y la decena se sumará a la columna siguiente.

Con estos ejemplos podrás ver mejor cómo resolver una suma por reagrupación:

– Sumar 242 + 351

Lo primero es colocar los números uno debajo del otro según sus mismos valores posicionales.

Luego suma la columna de las unidades y anota el resultado debajo de dicha columna.

Repite el procedimiento anterior en las demás columnas de derecha a izquierda hasta completarlas todas. En este caso el resultado es: 242 + 351 = 593.

– Sumar 198 + 23

Ordena los números de la siguiente manera:

Cuando sumas la columna de las unidades tienes que 8 + 3 = 11, entonces solo debes colocar el 1 de la unidad y el 1 de la decena lo sumas en la siguiente columna. Anota el número en la parte superior de la columna para no olvidar sumarlo al final.

Suma la segunda columna. Allí tienes que 9 + 2 = 11, pero hay que sumarle 1 de la columna anterior, entonces el resultado de la segunda columna es 12. Anota el 2 de la unidad y el 1 de la decena lo sumas a la siguiente columna.

En la tercera columna solamente está el número 1, así que el 1 de la columna anterior se suma a este. Anota el resultado.

El resultado de la suma anterior es: 198 + 23 = 221. En caso de sumar la última columna y obtener un número de dos cifras, este se anotará exactamente igual en el resultado.

Elementos de la sustracción

La sustracción es otra operación básica de la aritmética que consiste en quitar una cantidad a otra, por eso se considera como la operación opuesta a la suma. Se representa con el símbolo “−”.

Este tipo de operación cuenta con un minuendo, número al cual se le quita cierta cantidad; un sustraendo, número que resta al minuendo; y la diferencia, resultado de la operación.

¿Sabías qué?
La diferencia de una resta es la cantidad que falta para que ambos números sean iguales.

Propiedades de la sustracción

La sustracción cumple con dos propiedades básicas:

Elemento neutro

El resultado de cualquier número y cero da como resultado el mismo número. Por ejemplo:

3 − 0 = 3

157 − 0 = 157

Elemento simétrico

El resultado de restar un número con su opuesto (número del mismo valor con signo opuesto) da como resultado el número cero.

5 − 5 = 0

74 − 74 = 0

¿Sabías qué?
En la sustracción no existen ni la propiedad conmutativa ni la asociativa.

Sustracción por reagrupación

Este tipo de problemas se realizan mediante la agrupación de los números uno debajo del otro de forma tal que valores posicionales entre las cifras de los números que se restan sean los mismos. Para las restas con naturales, el número mayor debe estar ubicado en la parte de arriba (minuendo) y el número menor debajo (sustraendo).

¿Sabías qué?
La resta por reagrupacion también es conocida como resta con llevada y sirve para restar una cifra mayor a una menor.
Pasos para resolver restas por reagrupación

  1. Colocar el minuendo y el sustraendo uno debajo del otro de manera que los valores posicionales iguales estén ubicados en la misma columna. El número mayor siempre debe estar ubicado en la parte de arriba.
  2. Comenzar a restar desde la columna de las unidades, de derecha a izquierda.
  3. Si en una columna se tiene que la cifra de arriba es menor que la de abajo, esta cifra toma prestado un valor posicional a la columna del minuendo de la izquierda.
  4. En caso de que la cifra del minuendo le haya “prestado” un valor posicional a la cifra de al lado, esta se reduce en una unidad y se debe considerar el nuevo valor de la cifra al momento de restar en su columna.

Con estos ejemplos podrás apreciar mejor cómo resolver una resta por reagrupación:

– Restar 425 − 263

Lo primero es colocar los números uno debajo del otro con sus valores posicionales iguales, todos ubicados en la misma columna.

Luego resta las cifras en la columna de las unidades.

Repite la resta en la columna de las decenas, pero como en este caso el 2 es menor que el 6, el 4 presta una centena al 2. De este modo, 4 centenas y 2 decenas, se convierten en 3 centenas y 12 decenas. Ahora sí es posible restar 12 menos 6 en la columna de las decenas.

 

Resta las cifras en la columna de las centenas. Como el 4 le prestó 1 al 2, entonces quedó en 3 centenas que al restarse con el 2 el resultado de la columna es 1.

Ejercicios

1. Resuelve las siguientes sumas:

a) 452 + 395 =

Solución
847
b) 256 + 122 =
Solución
378
c) 603 + 113 =
Solución
716
d) 126 + 460 =
Solución
586
e) 1.830 + 2.178 =
Solución
4.008

2. Resuelve las siguientes restas:

a) 853 − 741 =

Solución
112
b) 544 − 35 =
Solución
509
c) 1.789 − 1.354 =
Solución
435
d) 957 − 362 =
Solución
595
e) 4.780 − 3541 =
Solución
1.239
RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Operaciones básicas de los números naturales y sus propiedades”

El presente artículo permite profundizar el tema de las operaciones básicas y de sus diferentes propiedades.

VER

Enciclopedia “Nana y Enriqueta en el país de las matemáticas”

Es una enciclopedia diseñada para explicar de manera didáctica los conceptos matemáticos básicos desde la realidad de los niños.

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Video “Suma y resta de números decimales”

En este video se muestra como realizar sumas en el conjunto de los números decimales.

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CAPÍTULO 1 / TEMA 5

SeCUENCIAS

Al contar los números naturales, ya sea de 1 en 1, 2 en 2, o de 5 en 5, se aplican secuencias de números ordenados que se rigen por ciertas reglas, de manera que cumplen con un orden establecido. Una de las más conocidas es la sucesión de Fibonacci, pero las secuencias pueden ser de varios tipos: finitas o infinas, ascendentes o descendentes.

SeCUENCIAS con figuras

Una secuencia es un conjunto de elementos que están relacionadas entre sí y que se encuentran ordenadas según un criterio.

En las secuencias ordenadas en función de un patrón de figuras, se observa que los objetos están organizados de acuerdo a uno o más atributos. Algunos ejemplos son:

  • Por tamaño:

  • Por color:

  • Por forma:

  • También pueden contener imágenes y patrones más complejos:

El orden de una secuencia numérica no siempre es el mismo, por ejemplo, los elementos pueden estar ordenados de forma ascendente, de manera alternada o de manera decreciente.

Partes de una secuencia numérica

Una de las primeras secuencias que la mayoría de las personas aprende es la secuencia de los números naturales y se expresa de la siguiente forma: \mathbb{N} = {1, 2, 3, 4 ,…} en donde cada uno de los números denominados elementos, se encuentran ordenados de 1 en 1. Los tres puntos suspensivos al final de la secuencia indican que los números continúan.

Las secuencias pueden ser infinitas, como pasa con los números naturales, que siguen la secuencia de manera ilimitada, y también pueden ser finitas como sucede con la secuencia de las vocales: {a, e, i, o, u}.

¿Sabías qué?
Las secuencias numéricas permiten desarrollar el razonamiento matemático.

Secuencias ascendentes y descendentes

– Secuencias ascendentes

Las secuencias numéricas tienen una regla que permite determinar el valor de cada término o elemento de la misma. Por ejemplo, cuando se cuentan los números de 2 en 2, en realidad se incrementan 2 números por cada elemento, es decir, la regla en este caso sería sumar 2 a cada elemento:

En la imagen se puede observar como cada elemento de la secuencia se incrementa por 2, esto significa que es una secuencia ascendente porque todos sus elementos van en aumento, por lo tanto, cada número es mayor que el anterior. Si a 2 se le suma 2, el resultado es 4 y si a este número se le suma 2 el resultado es 6, y así sucesivamente. En este caso, la secuencia numérica se representa como: {2, 4, 6, 8, …}.

– Secuencia descendente

Las secuencias descendentes, en cambio, se desarrollan en forma regresiva y cada número es menor que el anterior. En la siguiente imagen se puede observar un ejemplo de secuencia descendente:

La regla en esta secuencia descendente es restar 3 a cada número, de manera que es fácil calcular el número a continuación del 9, para ello realizamos la regla: 9 – 3 = 6, así, el número siguiente a 9 en esta secuencia es 6.

¿Sabías qué?
Hay secuencias ascendentes cuya regla consiste en multiplicar un número a cada elemento y secuencias descendentes donde se divide un número a cada elemento.

Números de Fibonacci

Son conocidos también como secuencia de Fibonacci. Su nombre proviene de quien la describió por primera vez en Europa: el matemático italiano Leonardo Fibonacci. Es una secuencia en la cual el número siguiente se obtiene al sumar los dos números anteriores a este y se detalla a continuación {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 ,…}. En la secuencia se puede observar que, por ejemplo, los dos números anteriores al 13 son el 5 y el 8, que al sumarlos dan como resultado al número siguiente: 5 + 8 = 13. Esto se cumple para todos los números de la secuencia.

VER INFOGRAFÍA

Divisiones y restas sucesivas

Antes de comenzar con este tema es importante recordar que multiplicar es lo mismo que sumar muchas veces el mismo número, por ejemplo:

4 x 3 = 12   es igual a   4 + 4 + 4= 12

Esto se debe a que la multiplicación está muy relacionada con la adición. Algo similar sucede con la división, la cual guarda relación con la resta. Por ejemplo, si se tiene la división 12 ÷ 3, hay que restarle 3 a 12 tantas veces como sea posible:

Al observar la imagen se razona que 12 fue restado 4 veces por el número 3. De esta manera se tiene que 12 ÷ 3 = 4.

Pasos para dividir a través de restas sucesivas

Las divisiones pueden realizarse a través de restas sucesivas de la siguiente manera:

  1. Resta el divisor al dividendo tantas veces como sea posible. Hazlo hasta que el resultado sea 0 o un número menor al divisor.
  2. Se cuenta el número de veces que se restó el divisor.
  3. El cociente de la división será igual al número de veces que se restó el divisor y el resto será igual al último número que dio como resultado la resta.

Otro ejemplo:

– Resuelve la división 30 ÷ 5

Se resuelve a través de los pasos anteriores, para simplificar se sugiere utilizar una tabla similar a esta:

El resultado es 30 ÷ 5 = 6, y se trata de una división exacta porque el resto es igual a 0.

A continuación se muestra otro ejemplo de división pero en este caso es inexacta:

En el ejercicio anterior 27 ÷ 4 = 6 pero existe un resto igual a 3, como 3 es menor que el divisor no se puede continuar las restas en este método.

Ejercicios

  1. Completa las siguientes oraciones:
    a. En las secuencias ________ todos sus elementos van en aumento.
    Solución
    ascendentes
    b. La secuencia {25, 20, 15, 10 , …} es una secuencia ______.
    Solución
    descendente
    c. Las divisiones pueden calcularse con el método de ______.
    Solución
    restas sucesivas
  2. Completa las siguientes secuencias numéricas:
    a. {50, 40, ___, 20, …}
    Solución
    30
    b. {12, ___, 8, 6, …}
    Solución
    10
    c) {15, 30, ___, 60, 75, …}
    Solución
    45
    d) { ___, 5.000, 4.000, 3.000, 2.000, …}
    Solución
    6.000
  3. Resuelve las siguientes divisiones a través de restas sucesivas
    a. 20 ÷ 5
    b. 24 ÷ 6
    c. 16 ÷ 5
    d. 20 ÷ 3
    Solución
RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Sucesiones y series”

El siguiente artículo explica la diferencia entre una serie y una sucesión:

VER

Video “Aprendiendo restas por descomposición” 

El video muestra cómo realizar restas por descomposición que el docente puede emplear para relacionar la secuencias de sistema decimal con las secuencias numéricas estudiadas.

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CAPÍTULO 1 / TEMA 4

Valor posicional

El sistema de numeración decimal es el más usado en todo el mundo. Se caracteriza por ser posicional, es decir, cada cifra toma un valor diferente de acuerdo al lugar que ocupe dentro de un número. Esta característica es conocida como valor posicional, y es aplicable a todos los números incluidos los enteros y decimales.

Valor posicional de cifras hasta 100.000

Como se mencionó al comienzo, las cifras de un número adquieren distinto valor según la posición que ocupen. No es lo mismo una cifra ubicada en la columna de las unidades de mil que la misma localizada en la columna de las decenas. Por ejemplo, la posición que ocupa la cifra 1 en los números 1.524 y 4.314 no tiene el misma valor. En el número 1.524 está en la columna de las unidades de mil y en el número 4.314 ocupa el lugar de las decenas. Aunque es la misma cifra, representa magnitudes diferentes: 1.000 y 10 respectivamente. Por eso se dice que el valor de las cifras depende de la posición que ocupen.

Valores de una cifra

Toda cifra tiene dos valores: uno absoluto y otro relativo. El valor absoluto es el valor de la cifra en sí mismo, es decir, el que tiene por su figura. El valor relativo es el que tiene una cifra de acuerdo a la posición que ocupa dentro de un número. Por ejemplo, en el caso del número 5.050 el valor absoluto de los dos 5 es el mismo, es decir 5. Pero el valor relativo no es igual. Para el primer cinco, el valor relativo es 5.000 por estar en el lugar de las unidades de mil y para el segundo cinco el valor relativo es de 50 por estar ubicado en la columna de las decenas.

¿Sabías qué?
Conocer el valor posicional de un número facilita su descomposición, que es de gran ayuda al momento de realizar operaciones y de escribir en letras un número.

Tabla posicional

Permite ver de manera sencilla la ubicación de las cifras de un número. En la tabla se muestra por columna cada valor posicional correspondiente: centena de mil, decena de mil, unidad de mil, centena, decena y unidad.

La tabla posicional para un número de seis cifras se presenta así:

Representación de números en la tabla posicional

Las cifras de un número se ubican en la tabla posicional en la columna a la que corresponda su valor, de derecha a izquierda. De este modo, si quisiéramos representar el número 195.632 en la tabla posicional, quedaría de la siguiente forma:

Se puede observar el valor posicional de cada cifra:

  • El 1 pertenece a las centenas de mil.
  • El 9 pertenece a las decenas de mil.
  • El 5 pertenece a las unidades de mil.
  • El 6 pertenece a las centenas.
  • El 3 pertenece a las decenas.
  • El 2 pertenece a las unidades.

Es por ello que si se deseas conocer el valor relativo de una cifra es aconsejable emplear la tabla posicional.

¿Sabías qué?
Las centenas de mil, decenas de mil y unidades de mil también son conocidas como centenas de millar, decenas de millar y unidades de millar respectivamente.

Descomposición aditiva de un número

Cualquier número puede expresarse a través de la suma, en lo que se conoce como descomposición aditiva. Este tipo de descomposición expresa en forma de suma el valor posicional de cada una de sus cifras.

Por ejemplo, el número 1.458 se descompone de la siguiente manera:

1.458 = 1.000 + 400 + 50 + 8

Toda esta descomposición parte de que el número 1.458 esta formado por:

  • 1 unidad de mil = 1 x 1.000 = 1.000
  • 4 centenas = 4 x 100 = 400
  • 5 decenas = 5 x 10 = 50
  • 8 unidades = 8 x 1 = 8

Otros ejemplos son:

  • 254.331 = 200.000 + 50.000 + 4.000 + 300 + 30 + 1
  • 85.417 = 80.000 + 5.000 + 400 + 10 + 7
  • 30.154 = 30.000 + 100 + 50 + 4
  • 100.540 = 100.000 + 500 + 40
Los números pueden expresarse a través de la suma en una descomposición aditiva. Este tipo de descomposición no es más que una expresión en la que se representa un número en forma de suma y donde cada sumando corresponde al valor posicional que tenga cada dígito dentro de un número. Para realizar este tipo de descomposición es necesario conocer el valor posicional de las cifras.

¿Sabías qué?
Cuando se descomponen números de forma aditiva las cifras iguales a cero se omiten en los sumandos.

Valor posicional de decimales

La tabla posicional de los decimales es similar a la que se usa en los números enteros, la diferencia es que incluyen las cifras de la parte decimal: las décimas, centésimas y milésimas:

El procedimiento para ubicar los números en la tabla posicional es exactamente igual y se debe verificar que la coma o punto decimal se encuentre en su columna correspondiente.

El número 128.457,639 se expresa en la tabla de la siguiente forma:

En la tabla se puede observar el valor de cada cifra:

El 1 pertenece a las centenas de mil.

El 2 pertenece a las decenas de mil.

El 8 pertenece a las unidades de mil.

El 4 pertenece a las centenas.

El 5 pertenece a las decenas.

El 7 pertenece a las unidades.

El 6 pertenece a las décimas.

El 3 pertenece a las centésimas.

El 9 pertenece a las milésimas.

Descomposición aditiva de decimales

Los números decimales contienen dos partes: la parte entera y la parte decimal. La parte entera se descompone de la misma forma como se descomponen los números enteros; en la parte decimal por ser menor que la unidad se debe considerar el valor posicional que es diferente:

  • 1 décima equivale a 0,1 unidades.
  • 1 centésima a 0,01 unidades.
  • 1 milésima equivale a 0,001 unidades.

Al aplicar esto, la descomposición aditiva del número 0,584 sería: 0,584 = 0,5 + 0,08 + 0,004.

Ejercicios

  1. ¿Qué valor posicional tiene la cifra 2 en el número 125.534?
    Solución
    Decena de mil.
  2.  ¿Qué valor posicional tiene la cifra 5 en el número 24,25?
    Solución
    Centésima.
  3. ¿Qué valor posicional tiene la cifra 1 en el número 102.345?
    Solución
    Centena de mil.
  4. ¿Qué valor posicional tiene la cifra 7 en el número 1.007,468?
    Solución
    Unidad.
  5. Expresa la descomposición aditiva de los siguientes números:
    a) 1.865
    Solución
    1.865 = 1.000 + 800 + 60 + 5
    b) 198.456
    Solución
    198.056 = 100.000 + 90.000 + 8.000 + 50 + 6
    c) 74.600
    Solución
    74.600 = 70.000 + 4.000 + 600
    d) 0,54
    Solución
    0,54 = 0,5 + 0,04
    e) 105.111
    Solución
    105.111 = 100.000 + 5.000 + 100 + 10 + 1
    f) 3.333
    Solución
    3.333 = 3.000 + 300 + 30 + 3
    g) 15.287
    Solución
    15.287 = 10.000 + 5.000 + 200 + 80 +7
    d) 0,025
    Solución
    0,025 = 0,02 + 0,005
RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Valores absolutos y relativos”

El presente artículo permite ampliar el conocimiento del valor absoluto y relativo de una cifra.

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Artículo “Sistemas posicionales de numeración”

En el siguiente artículo se explica qué es un sistema de numeración y se mencionan algunos de los tipos más comunes.

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Artículo “Composición y descomposición de números”

Este artículo explica qué es una composición aditiva y su diferencia con la descomposición aditiva, así como la aplicación de esta última en problemas cotidianos.

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CAPÍTULO 1 / TEMA 3

Un vistazo a los números decimales

Hay ocasiones en las que los números enteros no son útiles para expresar ciertas magnitudes; los números decimales, en cambio, permiten indicar una cantidad ubicada entre dos enteros y por este motivo son usados a diario en diversas situaciones, como por ejemplo en los precios de los productos y la lectura de la temperatura del cuerpo.

¿Qué son los números decimales?

Son números formados por una parte entera y otra parte menor que la unidad. Los números decimales generalmente se representan con una coma (,) para indicar la separación entre la parte entera que puede ser igual a cero y la parte menor a la unidad.

Los decimales de un número pueden ser finitos infinitos.

Por ejemplo:

– El número 3,15 es un decimal con un número finito de decimales.

– El número pi es un número con infinitos decimales: 3,1415926535… Al observar sus decimales se puede apreciar que no son periódicos, por lo tanto no siguen un patrón de repetición, a este tipo de números se lo conoce como número irracional.

VER INFOGRAFÍA

¿Sabías qué?
Los puntos suspensivos (…) son usados para indicar que los decimales de un número son infinitos.

Elementos de un decimal

Como ya sabemos, los números decimales están formados por una parte entera y otra menor a la unidad (conocida también como parte decimal), la parte entera se ubica a la izquierda y la parte decimal a la derecha de la coma.

La parte entera puede ser igual a cero, como por ejemplo 0,5, que es la mitad del número 1.

La parte decimal es conocida también como parte fraccionaria, y siempre representa cantidades menores a la unidad.

Los números decimales pueden ser finitos si su parte fraccionaria es finita; o infinitos si su parte fraccionaria es infinita. Los decimales infinitos, a su vez, se clasifican en periódicos y no periódicos. Los periódicos presentan un patrón infinito en sus decimales, como el número 1,333… y los no periódicos no siguen ningún patrón, como en el caso del número pi.

Lectura de decimales

Antes de aprender a leer números decimales es importante conocer los conceptos de décima, centésima y milésima.

  • Décima: es el resultado de dividir la unidad en diez partes iguales. En la tabla de valor posicional se muestra con la letra d minúscula.
  • Centésima: es el resultado de dividir la unidad en cien partes iguales. En la tabla de valor posicional se muestra con la letra c minúscula. La centésima es menor que la décima.
  • Milésima: es el resultado de dividir la unidad en mil partes iguales. En la tabla de valor posicional se muestra con la letra m minúscula. La milésima es menor que la centésima.

La tabla de valor posicional para un número decimal es:

Para leer un número decimal debes seguir estos pasos:

  1. Lee su parte entera de la misma forma como se hace en la lectura de números enteros en el siguiente orden: centena de mil, decena de mil, unidad de mil, centena, decena, unidad.
  2. Agrega la palabra “unidades” o “enteros”.
  3. Coloca una coma.
  4. Lee la parte decimal de la misma manera en la que se leen los enteros y al final nombra el orden decimal que ocupa la última cifra (décimas, centésimas o milésimas).

Por ejemplo, 535,42 se lee: “quinientas treinta y cinco unidades, cuarenta y dos centésimas“.

En el ejemplo anterior, el 2 corresponde a la última cifra y ocupa el orden de las centésimas por eso se agrega dicho orden al final del número.

Si el decimal tiene una parte entera igual a cero solo se nombra la parte decimal de acuerdo al orden de la última cifra. Por ejemplo, 0,579 se lee: “quinientas setenta y nueve milésimas“.

¿Sabías qué?
Cuando un número decimal termina en cero este número puede omitirse sin alterar su valor. Así, 1,50 es igual a 1,5.

Utilidad de los decimales

Gracias a que permiten expresar números menores a la unidad, uno de sus principales usos son en las mediciones, desde la lectura de la temperatura hasta la determinación del tamaño de una bacteria, por ejemplo. Por esta razón, los decimales son indispensables en los cálculos empleados en disciplinas como la arquitectura, la medicina, la ingeniería y muchas otras más.

Para comparar dos números decimales lo primero que se debe hacer es comparar sus partes enteras, la que sea mayor corresponderá al número decimal mayor, por ejemplo: 21,5 es mayor que 9,785 porque 21 es mayor a 9. Cuando dos números decimales tienen igual parte entera se comparan sus partes decimales, por ejemplo: 7,58 es mayor a 7,49 porque 58 es mayor a 49.

¿Se usa punto o coma?

La respuesta es simple: ¡cualquiera de las dos! La diferencia en usar una u otra radica en el lugar en donde te encuentres. La coma y el punto son usados como separadores de los números decimales y ambos son válidos. En gran parte de Europa y América del Sur se emplea la coma, pero algunos países como Estados Unidos, Canadá, México y Reino Unido emplean el punto.

Sumas y restas de decimales

Las sumas y restas de números decimales se hacen del mismo modo que con los números enteros. En estos casos se deben colocar los números que se vayan a sumar o restar uno debajo del otro, de manera tal que las cifras del mismo orden se encuentren en la misma columna, es decir, las centenas con las centenas, las decenas con las decenas, las unidades con las unidades, las décimas con las décimas y así sucesivamente. De igual forma, las comas deben estar ubicadas en la misma columna.

Observa la manera correcta de sumar los números 124,32 + 267,11:

Luego, la suma se realiza como una suma normal sin considerar la coma, al final, la coma en el resultado estará ubicada en la columna correspondiente.

Si las cifras que se suman no tiene la misma cantidad de decimales, se completa con cero la cifra de menor número de decimales. Por ejemplo, 74,874 +41,41 se calcula de la siguiente manera:

En el caso de una resta se cumplen los mismos pasos para restar enteros y las cifras se ubican una debajo de la otra de acuerdo a su valor posicional. Si es necesario se agregan ceros en la parte decimal de forma tal que los números tengan la misma cantidad de decimales.

Por ejemplo, al realizar la resta de 945,5 − 307,182 el procedimiento sería:

Cuando se resuelvan ejercicios con números decimales que tengan la parte entera igual a cero, la suma o resta puede realizarse sin ningún tipo de inconveniente, pero con la previsión de que todas sus cifras estén correctamente ordenadas. Un error común es ubicar las comas de los números en columnas distintas con lo cual el resultado será incorrecto.

 

¡A practicar!

  1. ¿Cómo se leen los siguientes números decimales?
    a) 457,5
    Solución
    Cuatrocientas cincuenta y siete unidades, 5 décimas.
    b) 8,742
    Solución
    Ocho unidades, setecientas cuarenta y dos milésimas.
    c) 0,92
    Solución
    Noventa y dos centésimas.
    d) 100,102
    Solución
    Cien unidades, ciento dos milésimas.
  2. Calcula el resultado de las siguientes sumas:
    a) 178,45 + 278,73
    Solución
    457,18
    b) 14,2 + 29,178
    Solución
    43,378
    c) 402,745 + 61,45
    Solución
    464,195
    d) 652,314 + 174,074
    Solución
    826,388
  3. Calcula el resultado de las siguientes restas:
    a) 279,3 − 142,1
    Solución
    137,2
    b) 542,22 − 419,1
    Solución
    123,12
    c) 547,943 − 390,451
    Solución
    157,492
    d) 482,1 − 125,748
    Solución
    356,352
RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Números decimales”

El siguiente artículo profundiza la información sobre los números decimales y explica su relación con las fracciones.

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Video “Suma y resta de números decimales”

El video muestra ejemplos de sumas y restas de números decimales, así como los elementos a tener en cuenta durante la realización de este tipo de ejercicios.

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Tarjetas educativas “Operaciones matemáticas”

Las siguientes tarjetas sirven para mostrar de una manera más didácticas las operaciones matemáticas básicas.

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CAPÍTULO 1 / TEMA 2

Números primos y compuestos

Los números naturales son usados comúnmente para contar y se clasifican según sus divisores. Aquellos que solo pueden dividirse de forma exacta entre ellos mismos y entre el 1, es decir, tienen solo dos divisores, se denominan números primos; mientras que los que tienen más de dos divisores se denominan números compuestos.

Divisores de un número

Antes de abordar el tema de los números primos y números compuestos, es indispensable comprender el concepto de divisor. Este es un número natural que al dividir a otro natural da como resultado una división con cociente entero y resto igual a cero.

¿Sabías qué?
El divisor de un número siempre lo divide en partes exactas, por eso el resto siempre es igual a cero.

En este sentido, si deseas saber si un número es o no divisor de otro, debes realizar una división entre el número en cuestión y el posible divisor. Si el resultado es un cociente entero (no decimal) y si el resto es igual a cero (división exacta) entonces decimos que efectivamente es divisor de dicho número.

Por ejemplo:

– Para determinar si el número 2 es divisor del número 6:

Lo primero es dividir 6 entre 2.

En este caso, el número 2 es divisor del número 6 porque el cociente de la división es un número entero (no es decimal) y la división es exacta con el resto igual a cero.

Otro ejemplo:

– Para determinar si el número 3 es divisor del número 14:

 

 

 

Aunque la división es exacta, el número 4 no es divisor del número 14, porque el cociente de la división es un número decimal, en este caso se dice que el número 14 no es divisible entre 4.

Criterios de divisibilidad

Son simples reglas que permiten determinar de manera rápida si un número es divisor o no de otro sin necesidad de realizar la división. Algunos de estos criterios son:

– Un número es divisible entre 2 si es un número par o termina en 0.
Por ejemplo: 20, 54, 12, 1.050, 76 y 80.

– Un número es divisible entre 5 si termina en 5 o en 0.
Por ejemplo: 15, 225, 3.110 y 400.

– Un número es divisible entre 10 si termina en 0.
Por ejemplo: 10, 500, 3.410 y 780.

¡A practicar!

  1. ¿Cuáles de los siguientes números es divisor del número 12?
    a) 5
    b) 2
    c)10
    RESPUESTAS
    2
  2. ¿Cuáles de los siguientes números es divisor del número 25?
    a) 3
    b) 7
    c) 5
    RESPUESTAS
    5
  3. ¿Cuáles de los siguientes números es divisor del número 200?
    a) 10
    b) 3
    c) 6
    RESPUESTAS
    10
  4. ¿Cuáles de los siguientes números es divisor del número 16?
    a) 5
    b) 4
    c) 9
    RESPUESTAS
    4

Números primos

Son números que poseen únicamente dos divisores: ellos mismos y el 1.

Por ejemplo, el número 2 es un número primo porque solamente es divisible entre 2 y entre 1.

 

VER INFOGRAFÍA

¿Sabías qué?
El número uno es divisor de todos los números enteros pero solo es divisible por sí mismo.

Números compuestos

Los números compuestos son números divisibles por ellos mismos, por el uno (1) y por otros números, es decir, tienen más de dos divisores y son más frecuentes que los números primos.

Por ejemplo, el número 24 es un número compuesto, ya que es divisible entre 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24. En total tiene 8 números divisores.

Números especiales

Los números 1 y 0 son números muy particulares. En el caso del 1, su único divisor es él mismo y en el caso del número 0, aunque puede ser dividido entre infinitos números, no puede dividirse entre sí mismo porque la división entre cero no esta determinada. Por estas razones, los números 1 y 0 no se consideran números primos ni compuestos.

Tabla de los números primos y compuestos

Existe un simple procedimiento que permite determinar con facilidad los conjuntos de números primos y compuestos; se conoce como Criba de Eratóstenes y aunque su nombre parezca complicado, su procedimiento no lo es.

1. Lo primero que hay que hacer es realizar una tabla con los números del 1 al 100 y se deberán tachar los números que no son primos. El primer número que se tacha es el 1 al no ser considerado número primo.
2. Luego, el siguiente número es el 2, al ser un número primo no se tacha pero a partir de él se empieza a contar de dos en dos al mismo tiempo que se tachan los números que resulten de dicho conteo.

3. Luego del 2, el siguiente número que no se ha tachado es el 3, a partir de él se empieza a contar de 3 en 3 y se tachan los números al mismo tiempo.

4. El siguiente número sin tachar es el 5, se deja sin tachar y se empieza a contar de 5 en 5 mientras se tachan los números.

5. El siguiente número sin marcar el el 7, se mantiene en la tabla sin tachar y se empieza a contar de 7 en 7 mientras se tachan los números.

Los números que no fueron tachados corresponden a números primos, y los números tachados son los compuestos, es una manera gráfica de identificar estos tipos de números del 1 al 100.

La Criba de Eratóstenes es una herramienta muy práctica para tener una visión general de los números primos y compuestos, sin embargo; en la vida cotidiana no es necesario ni aconsejable memorizarlos para resolver los ejercicios, por el contrario; al entender los elementos de cada número se podrá determinar con mayor rapidez si es primo o no.

 

¡A practicar!

1. ¿Qué número tiene infinitos divisores?

RESPUESTAS
El número cero.

2. ¿Cómo se llaman los números que solo tienen dos divisores?

RESPUESTAS
Números primos.

3. ¿Qué números no son considerados ni primos ni compuestos?

RESPUESTAS
El cero y el uno.

4. Un número es divisible entre dos si es par o termina en __________.

RESPUESTAS
cero

5. ¿Cuáles de estos números no es primo?
a) 7
b) 19
c) 25
d) 2

RESPUESTAS
25

6. El número 32 es un número _________.

a) impar
b) primo
c) compuesto

RESPUESTAS
compuesto

7. Clasifica cada uno de los siguientes números como “primo” o “compuesto”:

a) 21
b) 59
c) 18
d) 13

RESPUESTAS
a) Compuesto.
b) Primo.
c) Compuesto.
d) Primo.
RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Números primos y compuestos”

En el siguiente artículo se desarrolla el tema de números primos y compuestos. Además se explica qué son los coprimos, y se señalan algunos números especiales.

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Artículo “Criterios de divisibilidad”

Este recurso ayuda a conocer los criterios de divisibilidad, ampliados para más números de los que se mencionaron en este artículo.

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CAPÍTULO 1 / TEMA 1

EL UNIVERSO DE LOS NÚMEROS

La vida sería más complicada si no existieran los números. Tareas como contar o sumar cosas no serían posibles y eso traería muchos problemas. A lo largo de la historia el ser humano ha inventado diferentes sistemas de numeración, porque si hay algo que no ha cambiado es nuestra necesidad de contar. 

Lectura y representación de números naturales

El sistema de numeración usado en la actualidad presenta dos características principales: es decimal, porque emplea diez dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) y es posicional, porque el valor de cada cifra obedece al lugar que ocupa dentro de un número. Como ya sabemos, a los números los agrupamos de diez en diez, de menor a mayor.

10 U = 1 D

10 D = 1 C

10 C = 1 UM

Donde:

U: unidad

D: decena

C: centena

UM: unidad de mil

¡Y así sucesivamente hasta el infinito!

En el número 3.145 la cifra 1 ocupa la posición de las centenas, como puede verse en el siguiente esquema:

¿Sabías qué?
La palabra “dígito” proviene del latín dígitus, que significa dedo, y surge al comparar el número de dedos de las manos con el número de dígitos.

En números de 6 cifras el esquema sería el siguiente:

Donde:

DM: decena de mil

CM: centena de mil

Para leer un número de seis cifras se comienza leer la cantidad del orden de los miles y luego se lee el resto de la cantidad.

Por ejemplo el número 254.873 se lee de la siguiente forma: doscientos cincuenta y cuatro mil ochocientos setenta y tres.

¡A practicar!

¿Cómo se leen estos números?

  • 145.254
Solución
Ciento cuarenta y cinco mil doscientos cincuenta y cuatro.
  • 927.630
Solución
Novecientos veintisiete mil seiscientos treinta.
  • 501.588
Solución
Quinientos un mil quinientos ochenta y ocho.
  • 470.625
Solución
Cuatrocientos setenta mil seiscientos veinticinco.
Con solo diez dígitos en el sistema decimal se pueden formar infinitos números al combinarlos. Estos símbolos son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. En la actualidad se considera el sistema más usado para expresar cantidades y magnitudes, pero existen otros sistemas menos conocidos como el binario y el octal, que son aplicados en áreas específicas.

Sistema de numeración romana

Hace muchos años, se desarrolló en la Antigua Roma un sistema de numeración basado en letras, dicho sistema fue implementado en todo el Imperio romano. La extensión de este era tal que ocupaba gran parte de los países europeos actuales y de algunos países de África y Asia, esto permitió que su influencia se mantuviera por mucho tiempo después de la caída del imperio.

A pesar de que se encuentran en desuso, todavía existen ciertas aplicaciones de los números romanos. Tanto en capítulos de libros como incluso en relojes están presentes los números romanos.

El Imperio romano fue, sin duda, uno de los imperios más influyentes de toda la historia. Se destacan sus aportes en la arquitectura, la escultura, la pintura y el derecho, además de novedosos inventos como el acueducto y el hormigón. También en el área de los números desarrollaron el sistema de numeración romano que surgió entre el 900 y el 800 a. C.

Características de los números romanos

– Es un sistema predominantemente aditivo, es decir; los valores de cada signo se suman (aunque hay ocasiones en los que se restan).

– Emplea letras del abecedario para representar a los números, por eso, podría catalogarse como un sistema alfanumérico.

– Los romanos, para ese momento, no conocían el número cero (que fue introducido más adelante a Europa con la numeración arábiga) y por ello no lo representaban.

– Las letras en este sistema siempre deben escribirse en mayúscula.

A pesar de su popularidad en el pasado, la numeración romana no era perfecta y presentaba ciertas limitaciones tales como la ausencia del número cero y la imposibilidad de representar fracciones o números decimales. Luego, con la llegada de la numeración arábiga (sistema decimal) los números romanos resultaban poco prácticos y entraron en desuso.

Reglas para escribir números romanos

Lo primero que se debe tener en cuenta es que este sistema emplea 7 letras del abecedario que se suman o restan entre ellas de acuerdo a ciertos criterios.

I = 1

V = 5

X = 10

L = 50

C = 100

D = 500

M = 1.000

Con los símbolos anteriores y a veces con algún símbolo auxiliar se pueden construir el resto de los números de acuerdo a los siguientes criterios:

Valores que se suman

– Las letras que se escriben a la derecha de otra de igual o mayor valor se suman:

VI = 5 + 1 = 6

XX = 10 + 10 = 20

CLI = 100 + 50 + 1 = 151

MMDCLII = 1.000 + 1.000 + 500 + 100 + 50 + 1 + 1 = 2.652

 

– Los símbolos I, X, C y M son los únicos que pueden repetirse dos o tres veces consecutivas:

III = 1 + 1 + 1 = 3

XXX = 10 + 10 + 10 = 30

CC = 100 + 100 = 200

MMM = 1.000 + 1.000 + 1.000 = 3.000

 

Los símbolos V, L y D pueden escribirse solo una vez en cada número y por ende no pueden repetirse nunca a diferencia del resto de los símbolos. A pesar de que hoy en día los usos de este sistema de numeración son muy limitados, pueden observarse en ciertos contextos como: siglos, nombres, capítulos de libros y monumentos o placas conmemorativas.

Valores que se restan

– Solo los símbolos I, X y C pueden restarse al símbolo siguiente. Esto sucede cuando el símbolo siguiente es mayor.

IV = 5 − 1 = 4

IX = 10 − 1 = 9

XL = 50 − 10 = 40

XC = 100 − 10 = 90

CD = 500 − 100 = 400

CM = 1.000 − 100 = 900

VER INFOGRAFÍA

¿Qué hacer con cantidades más grandes?

Números mayores a 3.999 (MMMCMXCIX) necesitan símbolos auxiliares, en estos caso se emplea una raya horizontal arriba de la letra para multiplicar su valor por 1.000.

\overline{IV} = 4 \times 1.000 = 4.000

\overline{XL} = 40 \times 1.000 = 40.000

\overline{CXX} = 120 \times 1.000 = 120.000

¿Sabías qué?
Si se colocan dos rayas horizontales sobre un número romano su valor se multiplica por 1 millón.

Ejercicios

1. Escribe con letra los siguientes números

  1. 45.987
    Solución
    Cuarenta y cinco mil novecientos ochenta y siete.
  2. 120.501
    Solución
    Ciento veinte mil quinientos uno.
  3. 197.234
    Solución
    Ciento noventa y siete mil doscientos treinta y cuatro.
  4. 100.985
    Solución
    Cien mil novecientos ochenta y cinco.

2. Escribe en número:

  1. Doscientos mil.
    Solución
    200.000
  2. Setenta y nueve mil ochocientos treinta y dos.
    Solución
    79.832
  3. Ciento veinticuatro mil quinientos sesenta y nueve.
    Solución
    124.569
  4. Cuarenta mil trescientos uno.
    Solución
    40.301

3. Escribe el valor de cada número:

  1. XXIV
    Solución
    24
  2. CLX
    Solución
    160
  3. MMMCLIX
    Solución
    3.159
  4. MMCMLXIV
    Solución
    2.964
  5. CLVIII
    Solución
    158

4. Escribe los siguientes números en número romanos:

  1. 2.157
    Solución
    MMCLVII
  2. 739
    Solución
    DCCXXXIX
  3. 1.199
    Solución
    MCXCIX
  4. 3.578
    Solución
    MMMDLXXVIII
  5. 5.000
    Solución
     
RECURSOS PARA DOCENTES

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Infografía “Números romanos”

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