CAPÍTULO 3 / TEMA 5

Problemas con fracciones

La fracciones están presentes en la vida cotidiana. Su utilidad es inmensa y sin ellas muchos cálculos matemáticos serían más complejos. La resolución de operaciones como la suma, la resta, la división y la multiplicación se lleva a cabo de una manera particular cuando involucran fracciones.

Cálculo de fracciones equivalentes

Las fracciones equivalentes son aquellas que representan la misma cantidad pero sus numeradores y denominadores no son iguales. Se pueden calcular por amplificación o por simplificación:

Para encontrar una fracción equivalente por amplificación tenemos que multiplicar el numerador y denominador por un mismo número. En este caso, las fracciones $\frac{1}{2}$ y $\frac{2}{4}$ son equivalentes porque:

Por otro lado, para calcular una fracción equivalente por simplificación, debemos hacer el procedimiento contrario, es decir, dividir el numerador y denominador por un mismo número. En este caso, ambos términos de la fracción deben tener un divisor común, de lo contrario se dice que la fracción es irreducible.

Las fracciones $\frac{10}{4}$ y $\frac{5}{2}$ son fracciones equivalentes porque:

¿Sabías qué?

Las fracciones irreducibles son aquellas cuyo numerador y denominador no tienen un divisor común.

Adición y sustracción de fracciones homogéneas

Sumar o restar fracciones homogéneas es sencillo. Primero se suman o restan los numeradores según indique el signo y el número obtenido será el numerador de la fracción resultante, luego se coloca el mismo denominador. Por ejemplo:

Calcula: $\frac{1}{3}+\frac{4}{3}$

Suma los dos numeradores, que son 1 y 4, y luego coloca el mismo denominador de las fracciones. La fracción resultante es entonces $\frac{5}{3}$ .

Calcula: $\frac{7}{5}-\frac{3}{5}$

Resta los numeradores, 7 y 3, y el número obtenido será el numerador de la fracción resultante cuyo denominador será el mismo de las fracciones originales. En este caso, el resultado es $\frac{4}{5}$ .

En la práctica simplificamos fracciones hasta su mínima expresión, es decir, obtenemos fracciones equivalentes que no tengan divisores comunes entre su numerador y su denominador. Hacemos esto porque dichas fracciones simplifican la escritura y los cálculos. Por lo general, para reducir fracciones empleamos los criterios de la divisibilidad.

VER INFOGRAFÍA

Adición y sustracción de fracciones heterogéneas

Las fracciones heterogéneas son aquellas que tienen distinto denominador. Un método para resolver adiciones y sustracciones de este tipo de fracciones es el método en cruz, el cual consiste en calcular fracciones equivalentes con el mismo denominador y luego sumar o restar según indique el signo.

Pasos para resolver sumas y restas de fracciones heterogéneas

Multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción, luego coloca el signo según indique la operación y seguido de eso multiplica el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda. La suma o resta de esos dos productos será el numerador de la fracción resultante.
Multiplica el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda, el resultado de esa multiplicación será el denominador de la fracción resultante.

Calcula: $\frac{4}{3}+\frac{5}{2}$

Se aplican los pasos anteriores, es decir: multiplicamos el numerador de la primera fracción (4) por el denominador de la segunda (2), colocamos el signo más (+) y luego multiplicamos el denominador de la primera fracción (3) por el numerador de la segunda fracción (5). Ambos productos forman parte del numerador de la fracción resultante.

Luego multiplicamos los denominadores y el producto formará parte del denominador de la fracción resultante.

Resolvemos los productos.

Finalmente, resolvemos la suma en el denominador y obtenemos el resultado:

Calcula: $\frac{5}{2}-\frac{1}{4}$

El procedimiento es el mismo que el anterior, pero al momento de realizar los productos cruzados colocamos el signo menos (−) y luego restamos. El procedimiento sería el siguiente:

Simplificación

Podemos simplificar la fracción $\frac{18}{8}$ y llevarla a su mínima expresión, para esto solo dividimos el numerador y el denominador por dos (2). Por lo tanto:

$\frac{18}{8}=\frac{9}{4}$

Multiplicación de fracciones

La multiplicación de fracciones se realiza de forma lineal entre sus elementos, es decir, primero multiplicamos todos los numeradores y el producto será el numerador resultante. Luego multiplicamos todos los denominadores y el producto será el denominador de la fracción resultante.

Calcular: $\frac{5}{3}\times \frac{3}{2}$ .

Simplificación

Podemos simplificar la fracción $\frac{15}{6}$ y llevarla a su mínima expresión, para esto solo dividimos el numerador y el denominador por tres (3). Por lo tanto:

$\frac{15}{6}=\frac{5}{2}$

La inversa de una fracción es aquella en la que su numerador es igual al denominador y el denominador es igual al numerador de la primera fracción en ambos casos. La inversa de la fracción 3/2 es 2/3 y la inversa de 5/8 es 8/5. Si multiplicamos una fracción por su inversa, el resultado siempre va a ser la unidad. En este sentido 3/2 x 2/3 = 1 y 5/8 x 8/5 = 1.

¡A practicar!

1. Resuelve las siguientes adiciones y sustracciones de fracciones:

a) $\frac{7}{9}+\frac{1}{9}$

Solución

$\frac{8}{9}$

b) $\frac{3}{5}-\frac{1}{2}$

Solución

$\frac{1}{10}$

c) $\frac{9}{7}+\frac{5}{7}$

Solución

$\frac{14}{7}$

La fracción simplificada es $\frac{2}{1}=2$

d) $\frac{13}{20}-\frac{8}{20}$

Solución

$\frac{5}{20}$

La fracción simplificada es $\frac{1}{4}$ .

e) $\frac{4}{5}+\frac{6}{9}$

Solución

$\frac{66}{45}$

La fracción simplificada es $\frac{22}{15}$ .

2. Resuelve las siguientes multiplicaciones:

a) $\frac{3}{5}\times \frac{4}{9}$

Solución

$\frac{12}{45}$

La fracción simplificada es $\frac{4}{15}$ .

b) $\frac{5}{8}\times \frac{3}{9}$

Solución

$\frac{15}{72}$

La fracción simplificada es $\frac{5}{24}$ .

c) $\frac{1}{8}\times \frac{7}{2}$

Solución

$\frac{7}{16}$

d) $\frac{3}{8}\times \frac{4}{7}$

Solución

$\frac{12}{56}$

La fracción simplificada es $\frac{3}{14}$ .

e) $\frac{9}{4}\times \frac{8}{3}$

Solución

$\frac{72}{12}$

La fracción equivalente es $\frac{6}{1}=6$

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Adición y sustracción de fracciones”

En este artículo destacado se exponen diferentes formas de resolver adiciones y sustracciones de fracciones con igual o diferente denominador.

VER

Artículo “Multiplicación y división de fracciones”

En este artículo se expone cómo resolver problemas de multiplicación de fracciones. También describe como realizar la simplificación de estos números y ayuda a comenzar a trabajar con problemas de división de fracciones.

VER

CAPÍTULO 3 / TEMA 6 (REVISIÓN)

Fracciones | ¿Qué aprendimos?

¿Qué son las fracciones?

Una fracción está formada por dos términos principales: el numerador y el denominador. Estos son números enteros que están separados por una línea horizontal denominada raya divisoria o raya fraccionaria. Una fracción es la división de un entero o una unidad en partes iguales. El numerador indica las partes a considerar de esa división y el denominador indica las partes en las que se dividió el entero o unidad. Estos números son más antiguos que lo que se piensa y están relacionados con la división.

Las fracciones están presentes en la vida cotidiana, sobre todo en las mediciones usadas en la cocina, pero también están presentes en algunas monedas.

Fracciones diversas

De acuerdo a la relación que exista entre el numerador y el denominador, las fracciones pueden ser propias o impropias. Las fracciones propias son aquellas en las que el numerador es menor que el denominador, contrario a las fracciones impropias, en las que el numerador es mayor que el denominador. Por otro lado, si comparamos dos o más fracciones, estas pueden ser homogéneas o heterogéneas. Las fracciones homogéneas son las que poseen el mismo denominador, las heterogéneas, en cambio, presentan diferentes denominadores.

Las fracciones pueden expresarse en forma de gráfica o viceversa. Lo emocionante de ellas es que las usamos a diario para dividir cosas o cantidades.

Gráficas de fracciones

Las fracciones suelen expresarse en gráficos para interpretar de manera más sencilla los datos. La forma para representar estos gráficos dependen del tipo de fracción. Si la fracción es propia elegimos cualquier figura, la dividimos en partes iguales según el denominador y señalamos las partes que indique el numerador. Cuando se trata de una fracción impropia dividimos una figura geométrica en las partes que señale el denominador, pero debido a que en este tipo de fracción el numerador es mayor que el denominador, serán necesarias más de una figuras.

Los números mixtos son un tipo de número fraccionario que posee una parte entera y otra fraccionaria.

Orden de fracción

Las fracciones presentan un sentido de orden, es decir, hay fracciones que son mayores o menores que otras. Una herramienta muy útil para reconocer este orden es la recta numérica. Se trata de un gráfico en forma de línea horizontal en el que los números están ordenados de menor a mayor. Para ubicar fracciones propias en la recta numérica dividimos la unidad en segmentos iguales según indique el denominador y la fracción se ubicaría en el número de segmento indicado por el numerador. Las fracciones impropias, por su parte, deben ser transformadas en números mixtos.

En la recta numérica, si se toma un número como referencia, los números de su izquierda son menores a él y los de la derecha mayores.

Problemas con fracciones

Las fracciones, además de ayudarnos a resolver problemas que impliquen proporciones, nos permiten resolver las operaciones básicas matemáticas como la adición, la sustracción, la multiplicación y al división. En el caso de la adición y la sustracción de fracciones debemos tener en cuenta su tipo: si las fracciones son homogéneas sumamos o restamos los numeradores y colocamos el denominador, si son heterogéneas usamos el método de cruz para resolverlas. Las multiplicaciones se resuelven de forma lineal, al multiplicar los numeradores y los denominadores.

La adición y sustracción de fracciones heterogéneas suele realizarse por el método en cruz que permite calcular de manera directa fracciones equivalentes.

CAPÍTULO 2 / TEMA 4 (REVISIÓN)

OPERACIONES | ¿QUÉ APRENDIMOS?

Adición y sustracción

La matemática presenta cuatro operaciones básicas: adición o suma, sustracción o resta, multiplicación y división. La adición consiste en combinar dos o más números para obtener un total. Esta operación emplea el símbolo “+” y tiene dos elementos: los sumandos, que son los números que se van a sumar, y la suma, que consiste en el resultado en sí. La sustracción, por su parte, es una operación que consiste en quitar una cantidad a otra, por esto es considerada como la operación inversa a la adición, y emplea el símbolo “−”. Los elementos de una resta son: el minuendo que es el número al que se le va a quitar la cantidad, el sustraendo que es el número que resta y la diferencia que es el resultado de la operación.

Multiplicación y división

La multiplicación y la división son otras operaciones fundamentales de la matemática. Se dice que la multiplicación es una suma abreviada porque permite sumar tantas veces un número como indique otro, a menudo se usa la equis (x) para indicar esta operación pero también se usa el punto (·). Está formada por los factores, que son los números que se multiplican y por el producto que es el resultado de dicha operación. Por otro lado, la división es la operación opuesta a la multiplicación y consiste en repartir grupos de elementos en partes iguales. Su símbolo es “÷” y sus elementos principales son: el dividendo, que es el número que se reparte; el divisor, que es el número que indica las partes en las que se va a dividir el dividendo; el cociente, que es el resultado; y el resto, que es la cantidad que no se puede dividir.

Para resolver divisiones es muy importante dominar muy bien las multiplicaciones.

Operaciones combinadas

Las operaciones combinadas son aquellas en las que aparecen dos o más operaciones matemáticas. Aunque pueden incluir símbolos como los paréntesis, corchetes y llaves, cuando se aplican a números naturales estos símbolos no son necesarios. Para resolver cálculos combinados de suma y resta, se resuelven los números de izquierda a derecha en función de la operación que se indique. Cuando existan operaciones combinadas que además de suma o resta incluyan multiplicación, división o ambas, se resuelven las multiplicaciones y divisiones primero para luego sumar o restar de la manera mencionada anteriormente.

CAPÍTULO 2 / TEMA 3

Operaciones combinadas

Hay ocasiones en las que pueden aparecer varias operaciones matemáticas en un mismo problema: estas expresiones se conocen como operaciones combinadas. Para resolverlas, es importante que tengas buenas bases en las propiedades de la suma, la resta, la multiplicación y la división, así como también que sepas priorizar entre ellas.

¿Qué es una operación combinada?

Es una expresión que contiene dos o más operaciones matemáticas, como la suma, la resta, la división y la multiplicación. Algunas veces puede aparecer con paréntesis para separar términos dentro de la expresión.

Para estos problemas se deben tener en cuenta dos cosas:

La regla de los signos.
La prioridad de operaciones, lo que significa que hay operaciones que deben resolverse antes que otras.

Ley de los signos en suma y resta

Para resolver operaciones combinadas es indispensable comprender ciertos criterios que cumplen los números en relación a su signo, a estos criterios se los conoce como “ley de los signos”. A continuación, te mostramos aquellos orientados únicamente a operaciones de suma y resta.

Cuando se suman números positivos, el resultado es otro número con signo positivo:
10 + 13 = 23
Cuando se suman números negativos, se mantiene el signo negativo y suman los números:
(−3) + (−2) = −5
Cuando se tienen números con diferente signo, se restan y se coloca el signo que corresponda al número mayor:
15 − 3 = 12 → El número mayor es 15 y como no tiene signo se entiende que es positivo, ya que por convención los números que no presentan signo se asumen como números positivos, así que al resultado no se le coloca signo.

3 − 7 = −4 → El número mayor es el 7 y, por tener el signo menos, el resultado debe ser negativo.

¿Sabías qué?

El símbolo “÷” algunas veces es reemplazado por dos puntos “:” para indicar una división.

Ejercicios combinados de sumas y restas

Las operaciones combinadas de sumas y restas con números naturales son fáciles de reconocer porque no llevan paréntesis. En los ejercicios de este tipo, la resolución se hace de izquierda a derecha en el orden en que aparecen los números.

– Por ejemplo:

458 − 352 + 157 − 235 + 784 − 568

Primero debes resolver los dos primeros términos: 458 − 352 = 106, y colocar el resultado como reemplazo de esos números. Luego escribe los números siguientes con sus signos:

106 + 157 − 235 + 784 − 568

Suma el resultado anterior con el siguiente término:

106 + 157 − 235 + 784 − 568

Como el resultado de 106 + 157 es igual a 263, sustituye esos números y anota los números siguientes:

263 − 235 + 784 − 568

Debido a que el número que le sigue a 263 está precedido por un signo menos, la operación a realizar es una resta, es decir, 263 − 235, cuyo resultado es 28. Anota este resultado y resuelve con el número siguiente:

28 + 784 − 568

De 28 + 784 resulta 812, entonces, escribe este resultado junto con el último número que queda y resuelve:

812 − 568 = 244

Con esta última operación obtendrás el resultado del ejercicio. También puedes escribir la solución de esta forma:

458 − 352 + 157 − 235 + 784 − 568 = 244

En los ejercicios combinados de sumas y restas es importante conocer el valor posicional de los números y dominar correctamente estas operaciones. Aunque no es necesario mantener estrictamente el orden de resolución de izquierda a derecha (se pueden resolver los números positivos primero y los negativos después), se sugiere hacerlo para evitar errores.

Ejercicios combinados de multiplicación y división

Los ejercicios combinados que involucran multiplicación y división sin paréntesis se resuelven en este orden:

Realiza las multiplicaciones y las divisiones primero.
Realiza las sumas y restas de la manera en la que fue explicado en el punto anterior.

– Por ejemplo:

112 + 3 x 15 − 85

Resuelve primero la multiplicación 3 x 15:

112 + 3 x 15 − 85

Como 3 x 15 = 45, coloca el 45 como reemplazo de la expresión y respeta el orden de los demás números:

112 + 45 − 85

Ahora tenemos una operación combinada de suma y resta que puedes solucionar de izquierda a derecha como se explicó anteriormente:

112 + 45 − 85

157 − 85 = 72

El resultado es el siguiente:

112 + 3 x 15 − 85 = 72

– Otro ejemplo:

21 + 25 ÷ 5 − 12 + 8 x 6

Primero debes identificar los números que multiplican y dividen:

21 + 25 ÷ 5 − 12 + 8 x 6

Resuelve las operaciones de multiplicación y división y reemplaza por sus respectivos resultados. El orden y los signos del resto de los números se mantiene. Recuerda que 25 ÷ 5 = 5 y que 8 x 6 = 48. Al sustituir estos números queda:

21 + 5 − 12 + 48

Ya puedes resolver la operación combinada de suma y resta de la manera explicada anteriormente:

21 + 5 − 12 + 48

26 − 12 + 48

14 + 48 = 62

Expresa el resultado de la siguiente manera:

21 + 25 ÷ 5 − 12 + 8 x 6 = 62

Al momento de resolver ejercicios combinados, se debe prestar atención a los signos. Un signo que no sea correcto se traduce, en la mayoría de los casos, en un resultado erróneo. De igual forma se debe tener presente el orden de las operaciones a resolver, es decir, primero resolver multiplicaciones y divisiones, después resolver sumas y restas.

¡A practicar!

1. Resuelve las siguientes operaciones combinadas de sumas y restas sin paréntesis:

a) 115 − 94 + 525 − 32 =

Solución

514

b) 350 − 257 − 50 + 117 =

Solución

160

c) 450 − 358 + 15 + 452 − 527 + 13 =

Solución

d) 1.975 − 1.875 + 252 =

Solución

352

e) 759 − 651 + 875 − 532=

Solución

451

2. Resuelve las siguientes operaciones combinadas con multiplicaciones y divisiones sin paréntesis:

a) 14 − 6 x 3 − 11 =

Solución

−15

b) 28 − 12 ÷ 3 + 10 =

Solución

c) 42 + 5 x 5 − 48 + 42 ÷ 6 =

Solución

d) 272 − 105 + 6 x 6 − 15 + 2 x 2 =

Solución

192

e) 3.615 ÷ 15 + 9 − 90 + 5 x 2 =

Solución

170

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Ley de los signos: suma y resta”

Este artículo explica la ley de los signos para la suma y la resta. También muestra ejemplos de ejercicios para cada caso.

VER

Artículo “Números negativos”

Este artículo ayuda a ampliar el conocimiento sobre los números negativos y algunas de sus aplicaciones. También incluye una serie de ejercicios para resolver.

VER

Artículo “Cálculos combinados”

Este artículo destacado profundiza en explicaciones sobre los cálculos combinados y su metodología para resolverlos.

VER

CAPÍTULO 2 / TEMA 2

Multiplicación y división

La multiplicación y la división son operaciones básicas de la matemática. La primera consiste básicamente en sumar varias veces un mismo número y la segunda, en cambio, consiste en repartir cantidades. Ambas están muy relacionadas entre sí y su manejo es necesario para resolver otros tipos de problemas.

Elementos de la multiplicación

La multiplicación es una operación en la que se suma tantas veces un número como indica otro número, por ejemplo, 3 x 4 = 12 se puede representar como 3 + 3 + 3 + 3 = 12. El signo usado en la multiplicación es “x” y se lee “por”. Los elementos principales de una multiplicación son:

Factores o coeficientes: son los números que se multiplican, estos son multiplicando y multiplicador. El multiplicando es el número a sumar y el multiplicador es el número de veces que se suma al multiplicando. En la multiplicación 3 x 4 = 12, el número 3 es el multiplicando y el 4 corresponde al multiplicador.
Producto: es el resultado de la multiplicación de dos o más factores. Hay ocasiones en las que las multiplicaciones son largas y deben realizarse por medio de la suma de productos parciales.

¿Sabías qué?

En la multiplicación además de la equis también suele usarse el punto “·” como símbolo.

La multiplicación tiene la finalidad de calcular el producto o resultado que se obtiene de sumar el multiplicando tantas veces por sí mismo como indique el multiplicador. En estas operaciones, cuando el multiplicador es mayor a una cifra se requieren de productos parciales que se sumarán para obtener el resultado final de la multiplicación.

Propiedades de la multiplicación

Son cuatro propiedades: la conmutativa, la asociativa, la distributiva y la del elemento neutro.

Propiedad conmutativa

Esta propiedad permite que al multiplicar dos números el resultado sea el mismo sin importar el orden de los factores. Por ejemplo:

3 x 10 = 30
10 x 3 = 30

Por lo tanto, 3 x 10 = 10 x 3. Observa:

Propiedad asociativa

Esta propiedad permite que al multiplicar tres o más factores el producto siempre sea el mismo, sin importar como se agrupen estos. Por ejemplo, 2 x 4 x 6 se puede agrupar de estas formas:

(2 x 4) x 6 = 8 x 6 = 48
2 x (4 x 6) = 2 x 24 = 48

Por lo tanto, (2 x 4) x 6 = 2 x (4 x 6). Observa:

Propiedad distributiva

Esta propiedad permite que la suma de dos o más números multiplicada por otro número sea igual a la multiplicación de ese número por cada elemento de la suma. Por ejemplo:

Elemento neutro

El uno es el elemento neutro de la multiplicación, cualquier número multiplicado por él será igual a sí mismo. Por ejemplo:

0 x 1 = 0
3 x 1 = 3
10 x 1 =10
113 x 1 = 113

¿Sabías qué?

La propiedad distributiva también puede aplicarse a números que se restan.

Modelos de multiplicación

Una multiplicación es una suma abreviada y puede ser representada a través del modelo grupal, modelo lineal y modelo geométrico. Estas son diferentes formas de dar sentido a las multiplicaciones y se pueden aplicar en situaciones simples de la vida.

Modelo grupal

En este modelo se construyen secuencias con la misma cantidad de elementos, estos grupos de elementos representan la multiplicación.

Observa la representación del modelo en los siguientes ejemplos:

4 pelotas de tenis = 4
1 vez 4 = 4
1 x 4 = 4

4 + 4 = 8 raquetas de tenis
2 veces 4 = 8
2 x 4 = 8

4 + 4 + 4 = 12 pelotas de baloncesto
3 veces 4 = 12
3 x 4 = 12

¿Sabías qué?

En el modelo grupal, 3 x 4 se lee como “tres veces cuatro”.

Modelo lineal

En este modelo se emplea la semirrecta numérica para representar las multiplicaciones. Se comienza desde cero y se cuenta de acuerdo al número de elementos que tenga el conjunto a estudiar y al número de conjuntos. Por ejemplo:

Un árbol crece 2 metros cada año. ¿Cuántos metros crecerá en 4 años?

Planteado el sistema en la gráfica sería:
4 veces 2 = 8 metros
4 x 2 = 8

Modelo geométrico

En este método se comparan las cuadrículas en columnas y filas para representar una multiplicación. Se colocan tantas filas como indique el primer factor y el número de columnas será igual al segundo factor. Por ejemplo:

La multiplicación 3 x 4 = 12 se representa geométricamente de la siguiente manera:

Si se cuentan cada una de las cuadrículas se obtiene el resultado: 3 x 4 = 12

Pasos para resolver ejercicios con el algoritmo de la multiplicación

Multiplica las unidades del multiplicador por cada una de las cifras del multiplicando y coloca el resultado en la fila de abajo. Será el primer producto parcial.
Multiplica las decenas del multiplicador por cada una de las cifras del multiplicando y coloca el resultado en la fila de abajo pero con la diferencia que se debe desplazar una posición hacia la izquierda. Este será el segundo producto parcial.
Suma los dos productos parciales. El número que obtengas será el total de la multiplicación.

– Resuelve la multiplicación 453 x 24

Por tratarse de una multiplicación con números grandes no sería tan fácil de resolver a través de los modelos grupal, lineal y geométrico. En estos casos debes emplear el algoritmo de la multiplicación y seguir los pasos mencionados anteriormente.

Para iniciar, el multiplicando y el multiplicador tienen que estar uno debajo del otro:

Luego multiplica las unidades del multiplicador por el multiplicando, es decir, multiplica 4 por 453:

Después multiplica las decenas del multiplicador por el multiplicando, es decir, 2 por 453:

Por último, suma los dos productos parciales que se calcularon para obtener el resultado de la multiplicación:

Elementos de la división

La división consiste en repartir grupos de elementos en partes iguales. Sus elementos principales son:

Dividendo: es el número que se va a dividir, es decir, la cantidad que se quiere repartir.
Divisor: es el número que divide, este indica cuántas veces se va a repartir el dividendo.
Cociente: es el resultado de la división.
Resto: es la cantidad que sobra de la división o la que no se puede repartir por ser menor que el divisor.

La división también se expresa con el símbolo “÷“, por ejemplo:

Método para comprobar una división

En una división se cumple la relación:

Dividendo = (cociente x divisor) + resto

De esta manera es muy fácil comprobar que una división esté correcta, solo se debe multiplicar el cociente que se obtuvo por el divisor y luego sumarle el resto. Si el resultado que se obtiene es igual al número del dividendo, entonces la división es correcta.

¿Sabías qué?

Cuando el resto de una división es igual a cero la división es exacta y cuando no lo es se denomina división inexacta.

Algoritmo de división

Los pasos para resolver una división son los siguientes:

– Resuelve la división 3.654 ÷ 25

Lo primero que hay que hacer es tomar las dos primeras cifras del dividendo, si estas dos cifras forman un número menor que el divisor entonces se toman tres cifras del dividendo. En este caso, las dos primeras cifras son 36 y como es mayor que 25 se puede continuar.
Divide el primer número del dividendo (si tomaste tres cifras, entonces divide los dos primero) entre el primer número del divisor. Coloca el número resultado en el cociente. Como el primer número del dividendo es 3 y el primer número del divisor es 2, el resultado de dividirlo es 1.
Multiplica el número del cociente por el divisor y coloca el resultado debajo de los dos números seleccionados al principio del dividendo. Luego haz la resta y anota el resultado:
Baja la cifra siguiente del dividendo.
5. Si divides 11 entre 2, el resultado es 5; y cuando multiplicas 5 por 25 se obtiene 125 que no puede restarse con 115. Por esta razón, coloca 4 en el cociente y continúa con los pasos anteriores.
Baja la cifra siguiente del dividendo.
Si divides 15 entre 2, obtienes 6. Colócalo en el cociente y repite los pasos anteriores.
Como no existen más cifras del dividendo para bajar y el número que se obtuvo de la resta es menor que el divisor, entonces se culmina el ejercicios: 3.654 ÷ 25 = 146 y sobraron 4 unidades sin repartir (resto).

¡A practicar!

1. Resuelve las siguientes multiplicaciones:

a) 296 x 18

Solución

5.328

b) 593 x 29

Solución

17.197

c) 332 x 74

Solución

24.568

d) 375 x 16

Solución

6.000

e) 613 x 59

Solución

36.167

2. Resuelve las siguientes divisiones:

a) 4.739 ÷ 88

Solución

Cociente = 53; Resto = 75

b) 7.049 ÷ 41

Solución

Cociente = 171; Resto = 38

c) 9.370 ÷ 58

Solución

Cociente = 161; Resto = 32

d) 3.830 ÷ 40

Solución

Cociente = 95; Resto = 30

e) 5.378 ÷ 65

Solución

Cociente = 82; Resto = 48

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Trucos para aprender las tablas de multiplicar”

El siguiente artículo muestra algunas sugerencias para que el aprendizaje de las tablas de multiplicar sea más sencillo y significativo.

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Artículo “La tabla pitagórica”

Este artículo muestra esta útil herramienta en las primeras etapas del aprendizaje de las tablas.

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Enciclopedia “Números”

Con esta enciclopedia podrán estudiar los principales sistemas de numeración y las operaciones básicas de las matemáticas.

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CAPÍTULO 2 / TEMA 1

Adición y sustracción

En matemática existen cuatro operaciones básicas: adición, sustracción, multiplicación y división. De las dos primeras se desprenden las otras, lo que quiere decir que aprender a sumar y a restar es fundamental para resolver la mayoría de los ejercicios matemáticos y para realizar cuentas cotidianas como, por ejemplo, en compras del supermercado.

Elementos de la adición

La adición es una de las operaciones básicas de la aritmética que permite combinar dos o más números para obtener un total. Esta operación se representa con el símbolo “+” y es aplicada en los diferentes tipos de números: naturales, enteros, racionales, reales y complejos.

Una adición presenta dos partes básicas: los sumandos y la suma. Los sumandos son todos los números que se van a sumar y la suma se refiere al resultado.

La adición anterior tiene dos sumandos: 352 y 431, y el resultado o suma es 783. Es importante tener presente que en estos casos la palabra “suma” se emplea para hablar de la operación de adición y también para referirse al resultado.

¿Sabías qué?

La aritmética es una rama de la matemática que estudia los números y las operaciones elementales que se realizan con ellos.