Autor: Araceli Achkar

CAPÍTULO 2 / TEMA 5

DIVISIÓN

La división es una de las cuatro operaciones básicas de las matemáticas y consiste en repartir un número en varias partes iguales. Cada vez que compartimos nuestros dulces hacemos una división. Esta operación está muy relacionada con la resta y con la multiplicación. A continuación, aprenderás a hacer divisiones de números con una, dos o tres cifras.

LA DIVISIÓN y su relación con la sustracción

La división es una operación matemática que consiste en realizar reparticiones equitativas o formar grupos con la misma cantidad de elementos. Es una operación inversa a la multiplicación y puede considerarse una sustracción sucesiva.

La división a través de sustracciones sucesivas es una manera fácil de llegar a un resultado. Hay que recordar que la división tiene que ver con la resta y juntas tienen varias aplicaciones.

– Ejemplo:

Si deseamos repartir 8 magdalenas de 2 en 2, ¿cuántas personas tendrán  magdalenas?

Este problema lo podemos representar como una resta sucesiva:

Observa que se hicieron 4 restas de 2 hasta llegar a cero (0). Por lo tanto, 4 personas tendrá 2 magdalenas cada una.

Este proceso, también lo podemos representar como una división y decir que 8 ÷ 2 = 4 porque se puede restar 4 veces 2 al número 8.

– Otro ejemplo:

30 ÷ 5 = ?

Restas 30 − 5 = 25 25 − 5 = 2 20 − 5 = 15 15 − 5 = 10 10 − 5 = 0 5 − 5 = 0
Cantidad de veces que se hace la resta 1 2 3 4 5 6

Entonces, 30 ÷ 5 = 6 porque se puede restar 6 veces 5 al 30.

Las divisiones simbólicamente se puede expresar de la siguiente manera:

En todos los casos se lee “treinta entre cinco igual a seis”.

Elementos de la división

Los términos de la división son el dividendo, el divisor, el cociente y el residuo o resto.

El dividendo es la cantidad que se desea repartir en partes iguales; el divisor es la cantidad entre la cual se divide y el cociente es el resultado de la operación. La cantidad que no se logra dividir es el residuo, también llamado resto; y debe ser menor que el divisor.

Divisiones exactas e inexactas

Cuando el residuo es igual a cero, podemos decir que la división se realizó equitativamente sin sobrar elementos, por lo que es exacta; pero si el residuo es distinto de cero, se considera que la división es inexacta por sobrar elementos sin dividir o agrupar.

El propósito de la división como operación matemática es encontrar el cociente, el cual indica las veces que el divisor está contenido en el dividendo. El resto o residuo es la parte de la división que no se puede dividir como número entero por el divisor, si el resto es cero se habla de una división exacta, y si es mayor es una división inexacta.

¿Cómo resolver divisiones?

1. Colocamos a la izquierda al dividendo y dentro de la caja de división colocamos al divisor.

2. Luego, seleccionamos del dividendo una cifra que sea mayor o igual al divisor, para esto se comienza por la cifra de mayor orden. En este caso no hay un número que multiplicado por 5 resulte 3, por lo que seleccionamos una cifra más para dividir, es decir, 35.

3. Luego, buscamos un número que multiplicado por 5 nos de cómo resultado 35 o un número cercano a ese valor. Para esto es necesario emplear las tablas de multiplicación. Se sabe que 5 × 7 = 35, por lo tanto:

4. Encontramos que al multiplicar 5 por 7 da como resultado 35; entonces colocamos el 7 debajo del 5, restamos el producto obtenido de multiplicar el cociente por el divisor y lo escribimos en el resto. En este caso el resto es cero (0), por lo tanto, es una división exacta.

– Otro ejemplo:

1. Colocamos a la izquierda al dividendo y dentro de la caja de división colocamos al divisor.

2. Luego, seleccionamos del dividendo una cifra que sea mayor o igual al divisor, para esto se comienza por la cifra de mayor orden. En este caso no hay un número que multiplicado por 4 resulte 3, por lo que seleccionamos una cifra más para dividir, el 36.

3. Luego, buscamos un número que multiplicado por 4 de cómo resultado 36 o un número cercano a ese valor. Para esto es necesario emplear las tablas de multiplicación. Sabemos que 4 × 9 = 36, por lo tanto:

Encontramos que al multiplicar 4 por 9 da como resultado 36; entonces colocamos el 9 debajo del 4, restamos el producto obtenido de multiplicar el cociente por el divisor y lo escribimos en el resto.

4. Realizamos una nueva selección y repetimos los pasos hasta agotar las cifras del dividendo, en este caso solo nos resta el 5, lo bajamos y colocamos junto al resto obtenido anteriormente. Observa:

5. Buscamos un número que multiplicado por 4 de cómo resultado 5 o un número cercano a ese valor. Para esto es necesario emplear las tablas de multiplicación. Sabemos que 4 × 1 = 4, por lo tanto:

Encontramos que al multiplicar 4 por 1 da como resultado 4; entonces se coloca el 1 en el cociente, restamos el producto obtenido de multiplicar el cociente por el divisor y lo escribimos en el resto. Esto da como resultado 1, por lo tanto; la división es inexacta.

¿Sabías qué?
Al momento de resolver divisiones se busca el número que multiplicado por el divisor es igual al dividendo, de esta manera se obtiene el cociente.

SITUACIONES DE REPARTO EQUITATIVO

Cuando una cantidad de elementos se reparte en grupos iguales, se puede conocer la cantidad de elementos de cada grupo por medio de la división.

Cantidad de elementos ÷ cantidad de grupos = cantidad de elementos por grupo

Las situaciones de reparto equitativo son aquellas donde una cantidad de elementos se reparten en grupos iguales, en estas se conoce la cantidad de elementos y la cantidad de grupos formados, lo que se busca es conocer la cantidad de elementos de cada grupo mediante la división. Este caso se aplica solo en casos de divisiones exactas donde el resto es igual a cero.

Por ejemplo, tenemos una canasta con 12 manzanas y debemos repartirlas en 4 canastas equitativamente.

12 manzanas repartidas en 4 canastas corresponden a 3 manzanas por canasta.

12 ÷ 4 = 3

 

– Otro ejemplo:

25 esferas azules repartidas en 5 partes iguales.

25 esferas azules, repartidas en 5 partes iguales, corresponden a 5 esferas en cada parte.

25 ÷ 5 = 5

Para repartir en partes iguales una cantidad de elementos puedes poner un elemento por grupo hasta que se terminen de repartir todos los elementos.

SITUACIONES DE REPARTO POR MEDIDA

Cuando se conoce la cantidad total de elementos que se repartieron en grupos de medidas iguales se puede obtener la cantidad de grupos por medio de la división.

Cantidad de elementos ÷ cantidad de elementos por grupo = cantidad de grupos

En las operaciones de reparto por medida o agrupamiento por medida se conoce la cantidad total de elementos y la cantidad de elementos por grupo. El objetivo es conocer la cantidad de grupos para lo cual se emplea la división. Existen una serie de situaciones en las que encontramos problemas de este tipo y para ello conocer cómo resolver divisiones es esencial.

– Ejemplo:

Una maestra de tercer grado ha pedido a sus alumnos que lleven un artículo de periódico para realizar un trabajo en clase. De 24 alumnos que conforman la sección, solo la mitad llevó el artículo. La maestra tuvo que formar grupos de 2 niños para realizar la actividad. ¿Cuántos grupos formó la maestra?

La maestra formó 12 grupos de 2 alumnos cada uno.

24 ÷ 2 = 12

 

– Otro ejemplo:

En una biblioteca hay 18 libros, en cada tramo caben 6, ¿cuántos tramos se necesitan para guardarlos todos?

Para organizar los 18 libros se necesitan 3 tramos con 6 libros cada uno.

 18 ÷ 6 = 3

¿Sabías qué?
A principio del siglo XVII, John Napier diseñó un tablero para multiplicar y dividir conocido como “los huesos de Napier”.

RELACIÓN ENTRE LA MULTIPLICACIÓN Y LA DIVISIÓN

La división es la operación inversa a la multiplicación, pero con la multiplicación se puede comprobar el resultado de una división al multiplicar el cociente obtenido por el divisor, el resultado de esta multiplicación debe ser igual al dividendo. Entonces:

dividendo = cociente × divisor

Si la división es inexacta, se aplica el mismo procedimiento y se le suma el resto o residuo. Ejemplo:

La multiplicación y la división son operaciones inversas, así como lo son la adición y la sustracción. En la división, el orden de los factores sí altera el producto, por lo que no cumple con la propiedad conmutativa, mientras que la propiedad distributiva para la división solamente se cumple si la suma o resta se encuentra en el dividendo.

¡A practicar!

1. Resuelve las siguientes divisiones a través de restas sucesivas.

a) 12 ÷ 4

Solución
1 2 3 Cociente
12 − 4 = 8 8 − 4 = 4 4 − 4 = 0 3

12 ÷ 4 = 3

b) 49 ÷ 7

Solución
1 2 3 4 5 6 7 Cociente
49 − 7 = 42 42 − 7 = 35 35 − 7 = 28 28 − 7 = 21 21 − 7 = 14 14 − 7 = 7 7 − 7 = 0 7

49 ÷ 7 = 7

c) 54 ÷ 9

Solución
1 2 3 4 5 6 Cociente
54 − 9 = 45 45 − 9 = 36 36 − 9 = 27 27 − 9 = 18 18 − 9 = 9 9 − 9 = 0 6

54 ÷ 9 = 6

 

2. Efectúa las siguientes divisiones.

a) 88 ÷ 4

Solución

88 ÷ 4 = 22

b) 25 ÷ 3

Solución

25 ÷ 3 = 8 y resto = 1

c) 41 ÷ 6

Solución

41 ÷ 6 = 6 y resto = 5

 

3. Escribe y resuelve la división que representa cada situación de reparto equitativo.

a) Julián tiene 16 caramelos y quiere repartirlos por igual entre sus 4 amigos, ¿cuántos caramelos le corresponden a cada uno de sus amigos?

Solución
16 ÷ 4 = 4

A cada amigo le corresponden 4 caramelos.

b) Patricia debe empacar por igual 15 vestidos en 5 cajas. ¿Cuántos vestidos tendrá cada caja?

Solución
15 ÷ 5 = 3

Tendrá 3 vestidos por caja.

c) Leonardo tiene 36 naranjas y debe colocarlas en 6 cestos por igual. ¿Cuántas naranja debe colocar en cada cesto?

Solución
36 ÷ 6 = 6

Debe colocar 6 naranjas por cesto.

 

4. Escribe y resuelve la división que representa cada situación de reparto por medida.

a) Lucía tiene 45 galletas, si las guarda en pequeñas cajas en las que caben 9 galletas, ¿cuántas cajas necesita?

Solución
45 ÷ 9 = 5

Lucía necesita 5 cajas.

b) Felipe el panadero desea hornear 24 pastelitos, si caben 8 pastelitos en cada bandeja, ¿cuántas bandejas necesitará Felipe?

Solución
24 ÷ 8 = 3

Felipe necesitará 3 bandejas.

c) Alicia tiene 50 libros. Si guarda 10 libros en cada una de las repisas de un mueble. ¿Cuántas repisas del mueble ocupa para guardar todos sus libros?

Solución
50 ÷ 10 = 5

Alicia ocupa 5 repisas del mueble para guardar todos sus libros.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Divisiones por dos o más cifras”

El siguiente material trata sobre las divisiones desde un enfoque del método tradicional y del método del algoritmo desplegado de la división.

VER

Artículo “División: método americano”

En este artículo se explica cómo resolver divisiones a través del método americano, uno de los más usados en países de Centroamérica, México y los Estados Unidos.

VER

CAPÍTULO 2 / TEMA 4

MULTIPLICACIÓN

La multiplicación es una de las operaciones fundamentales que realizamos con los números. Se encuentra estrechamente relacionada con la adición, por lo tanto, cuando sumamos repetidas veces una misma cantidad, realmente hacemos una multiplicación. A partir de esto se crearon las tablas de multiplicar para facilitar los cálculos.

RELACIÓN ENTRE LA ADICIÓN Y LA MULTIPLICACIÓN

Se denomina adición iterada a la adición que posee todos sus sumandos iguales y se puede representar como una multiplicación.

– Ejemplo 1:

Observa que cada mariposa tiene 2 alas. Por lo tanto, en 4 mariposas hay 8 alas.

4 veces 2 es igual a 8.

4 × 2 = 8

– Ejemplo 2:

¿Cuántas patas (extremidades) hay en total?

5 veces 2 es igual a 10.

5 × 2 = 10

– Ejemplo 3:

Sofía tiene tres portalápices y en cada uno de ellos caben 5 lápices, ¿cuántos lápices tiene Sofía en total?

3 veces 5 es igual a 15.

3 × 5 es igual a 15.

La multiplicación es considerada como una adición con sumandos iguales (adición iterada). Nos ayuda a obtener resultados más rápidos de manera sencilla. Los elementos de la multiplicación son los factores y el producto. Los números multiplicados son los factores y el resultado es el producto. Para resolver multiplicaciones se usan las tablas de multiplicar.

¡Es tu turno!

  • ¿Cuántos huevos hay en total?

Solución

3 + 3 + 3 = 9

3 veces 3 es igual a 9.

3 × 3 = 9

  • ¿Cuántas flores hay en total?

Solución

4 + 4 + 4 + 4 = 16

4 veces 4 es igual a 16.

4 × 4 = 16

  • Expresa las adiciones como multiplicación, resuelve y completa:
Adición Multiplicación
1 + 1 + 1 + 1 = 4 1 × 4 = 4
5 + 5 + 5 =
6 + 6 + 6 + 6 + 6 =
7 + 7 + 7 + 7 =
2 + 2 + 2 =
3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 =

Solución
Adición Multiplicación
1 + 1 + 1 + 1 = 4 1 × 4 = 4
5 + 5 + 5 = 15 5 × 3 = 15
6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 30 6 × 5 = 30
7 + 7 + 7 + 7 = 28 7 × 4 = 28
2 + 2 + 2 = 6 2 × 3 = 6
3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 18 3 × 6 = 18

elementos de la multiplicación

Los términos de una multiplicación se denominan factores y producto. Los factores son los números que se multiplican, y el producto es el resultado de la operación de multiplicación.

Tablas de multiplicar

Para hacer cálculos de multiplicaciones se crearon las tablas de multiplicar, que no son más que un atajo para realizar sumas largas de forma rápida. La forma más común de representar las tablas de multiplicación es, como su nombre lo indica, a través de tablas. Normalmente se muestran las tablas del 1 al 10 y cada una de ellas a su vez indica las multiplicaciones del número que representan del 1 al 10 o del 0 al 10.

Multiplicación en forma vertical

La multiplicación es una adición de sumandos iguales, el signo de la multiplicación es “×” y se lee “por”.

La multiplicación es la operación matemática que consiste en determinar el resultado de un número que se haya sumado tantas veces como indique otro. La palabra multiplicación proviene del latín de la palabra multus que significa “mucho” y plico que quiere decir “doblar”. En este sentido, multiplicar es doblar o repetir un número muchas veces.

¿Sabías qué?
Además del símbolo de la cruz, en la multiplicación también puede usarse el punto a media altura (·).

Para multiplicar un número de una cifra por otro de dos cifras, multiplicamos cada cifra de los factores. Para esto seguimos los siguientes pasos:

1. Colocamos los factores uno sobre el sobre.

2. Multiplicamos la unidad del segundo factor por la unidad del primer factor: 3 × 3 = 9

3. Multiplicamos la unidad del segundo factor por las decenas de la primer factor: 3 × 2 = 6.

4. También podemos escribir el resultado de forma horizontal:

23 × 3 = 69

 

– Otros ejemplos:

Multiplicación con llevadas

Cuando multiplicamos las cifras de los factores y el resultado es mayor a 9, debemos hacer llevadas. Los pasos son los siguientes:

1. Colocamos los factores uno sobre otro según su valor posicional.

2. Multiplicamos la unidad del segundo factor por la unidad del primer factor: 4 × 3 = 12. Como el resultado es mayor a 9, colocamos la unidad (2) en la columna de las unidades y la cifra de la decena (1) la colocamos en la columna de la izquierda.

3. Multiplicamos la unidad del segundo factor por las decenas del segundo factor y consideramos el 1 que se lleva: 4 × 2 = 8 + 1 = 9.

– Otros ejemplos:

 

También es posible que llevemos cifras a las centenas. En estos casos los pasos son estos:

1. Colocamos los factores uno sobre otro según sus valores posicionales.

2. Multiplicamos la unidad del segundo factor por la unidad del primer factor: 7 × 4 = 28. Como el resultado es mayor a 9, escribimos el 8 en la columna de las unidades y llevamos la decena (2) a la columna de la izquierda.

3. Multiplicamos la unidad del segundo factor por las decenas del primer factor, como llevamos 2: 7 × 2 = 14 + 2 = 16. Escribimos el 6 en las decenas y el 1 en la columna de las centenas.

 

– Otros ejemplos:

¿Sabías qué?
Es común que en las multiplicaciones se escriba arriba el número mayor (multiplicando) y debajo el número menor (multiplicador).

MULTIPLICACIÓN POR 10, POR 100 Y POR 1.000

Para multiplicar un número natural por 10 agregamos un cero a la derecha del número. Si lo multiplicamos por 100 agregamos 2 ceros y si lo multiplicamos por 1.000 agregamos 3 ceros. Ejemplo:

  • ¿Cuál es el producto de 35 × 10?

Como se multiplica por 10, se agrega un cero a la derecha del 35, es decir:

35 × 10 = 350

  • ¿Cuál es el producto de 35 × 100?

Como se multiplica por 100, se agregan dos ceros a la derecha del 35, es decir:

35 × 100 = 3.500

  • ¿Cuál es el producto de 35 × 1.000?

Como se multiplica por 1.000, se agregan tres ceros a la derecha del 35, es decir:

35 × 1.000 = 35.000

– Otros ejemplos:

Factores 2 5 17 29 40 73 91
× 10 20 50 170 290 400 730 910
× 100 200 500 1.700 2.900 4.000 7.300 9.100
× 1.000 2.000 5.000 17.000 29.000 40.000 73.000 91.000
Las propiedades de la multiplicación permiten realizar operaciones de manera más sencilla. Por ejemplo, la propiedad conmutativa nos permite cambiar el orden de los factores sin alterar el producto, por esta razón, el número mayor se suele colocar arriba y el menor debajo al momento de resolver los cálculos. Lo mismo aplica para el resto de las propiedades.

PROBLEMAS DE MULTIPLICACIÓN

1. Tres camiones viajan del campo a la ciudad, cada uno con 800 sandías. ¿Cuántas sandías llevan en total?

  • Datos

Cantidad de camiones: 3

Cantidad de sandías por camión: 800

  • Pregunta

¿Cuántas sandías llevan en total?

  • Reflexiona

Para resolver el problema debemos multiplicar las 800 sandías por 3, para lo cual se ubica el 800 en el multiplicando por ser mayor y el 3 en el multiplicador.

  • Resuelve

 

  • Respuesta

Entre los camiones hay 2.400 sandías.

2. A la hermana de Susana le gusta coleccionar zapatos. Tiene tantos que los organiza en un estante por tramos. Si el estante tiene seis tramos y en cada uno hay catorce pares, ¿cuántos pares de zapatos tiene la hermana de Susana?

  • Datos

Tramos del estante: 6

Pares de zapatos por tramos: 14

  • Pregunta

¿Cuántos pares de zapatos tiene la hermana de Susana?

  • Reflexiona

Para resolver el problema debemos multiplicar los 14 pares de zapatos por los 6 tramos que tiene el estante. Para esto ubicamos el 14 arriba y el 6 debajo.

  • Resuelve

  • Respuesta

La hermana de Susana tiene 84 pares de zapatos.

3. Si un paquete de caramelos cuesta $ 843, ¿cuánto cuestan 9 paquetes?

  • Datos

Valor del paquete de caramelos: $ 843

  • Pregunta

¿Cuánto cuestan 9 paquetes de caramelos?

  • Reflexiona

Para resolver el problema debemos multiplicar el costo del paquete de caramelos que son $ 843 por el número de paquetes que pide el problema, es decir 9.

  • Resuelve

  • Respuesta

Nueve paquetes de caramelos tienen un valor de $ 7.587

¡A practicar!

1. Valentina compró cinco paquetes de palomitas de maíz por un valor de $ 1.569 cada uno. ¿Cuánto dinero gastó Valentina?

Solución
  • Datos

Valor del paquete de palomitas: $ 1.569

Cantidad de paquetes de palomitas comprado: 5

  • Pregunta

¿Cuánto gastó Valentina?

  • Reflexiona

Para resolver el problema debemos multiplicar el costo del paquete de palomitas que son $ 1.569 por el número de paquetes que compró Valentina, es decir 5.

  • Resuelve

  • Respuesta

Valentina gastó $17.845.

2. En un salón de clases hay 42 estudiantes, si cada uno de ellos trae 2 paletas de caramelo, ¿cuántas paletas de caramelo tendrían en total?

Solución
  • Datos

Cantidad de estudiantes: 42

Cantidad de paletas por estudiante: 2

  • Pregunta

¿Cuántas paletas de caramelo tendrían en total?

  • Reflexiona

Para resolver el problema debemos multiplicar el número total de estudiantes, que son 42 por la cantidad de paletas de caramelo que trajo cada estudiante, es decir 2.

  • Resuelve

  • Respuesta

Los alumnos tendrían en total 84 paletas de caramelo.

3. En la granja de don Tomás hay 8 vacas lecheras, cada una produce diariamente 52 litros. ¿Cuántos litros de leche se producen durante 7 días?

Solución
  • Datos

Cantidad de vacas: 8

Litros de leche producidos por una vaca en 1 día: 52

  • Pregunta

¿Cuántos litros de leche se producen durante 7 días en la granja de don Tomás?

  • Reflexiona

Para resolver el problema debemos hacerlo en dos partes, primero se debe sacar la cantidad de litros que producen diariamente por medio de una multiplicación entre 52 y 8. Luego, multiplicar ese resultado por 7.

  • Resuelve

 

  • Respuesta

Durante siete días se producen 2.912 litros de leche en la granja de don Tomás.

4. En una granja hay 3 corrales para cerdos y en cada corral caben seis cerdos, ¿qué adición iterada representaría la situación?

a) 4 + 4 + 4 + 4 + 4

b) 6 + 4

c) 6 + 6 + 6

d) 24 + 24 + 24 + 24

Solución
c) 6 + 6 + 6

5. Víctor lee cuatro páginas de su libro favorito por día, ¿cuántas páginas leerá en seis días?

Solución

1 día → 4 páginas

2 días → 4 + 4 = 8 páginas

3 días → 4 + 4 + 4 = 12 páginas

4 días → 4 + 4 + 4 + 4 = 16 páginas

5 días → 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20 páginas

6 días → 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24 páginas

 

Podemos ver que 6 veces 4 es 24, por lo tanto:

6 × 4 = 24

Victor leerá 24 página en 6 días.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Trucos para aprender las tablas de multiplicar”

El siguiente material ofrece algunos trucos para aprender las tablas de multiplicar sin necesidad de memorizarlas.

VER

Artículo “Multiplicación por una cifra”

El artículo muestra los procedimientos principales para resolver multiplicaciones por una cifra. También ofrece una serie de ejercicios propuestos.

VER

CAPÍTULO 2 / TEMA 3

OPERACIONES COMBINADAS

La adición y la sustracción están presentes en múltiples situaciones de nuestra vida cotidiana, son operaciones inversas que en muchas ocasiones pueden emplearse de forma combinadas. Para este tipo de problemas usamos ciertos símbolos como el paréntesis que permiten una resolución más sencilla.

OPERACIONES COMBINADAS

Las operaciones combinadas son aquellas en las que aparecen varias cálculos aritméticos para resolver.

La adición y la sustracción, además de ser operaciones básicas de las matemáticas, son dos operaciones inversas, por lo tanto, una adición puede ser comprobada a través de la sustracción y de igual modo, al resolver una sustracción, sus resultados pueden comprobarse a través de la adición. Conocer bien el desarrollo de las sumas y restas es fundamental para resolver cálculos combinados.

Para resolver operaciones combinadas de adición y sustracción debemos seguir ciertos pasos:

  • Operaciones con paréntesis
  1. Resolvemos las operaciones que están entre paréntesis.
  2. Resolvemos las demás según el orden en que aparecen, de izquierda a derecha.

– Ejemplo:

 

Observa que en primer lugar resolvimos lo que estaba dentro de los paréntesis y luego según el orden de izquierda a derecha.

  • Operaciones sin paréntesis

Si las operaciones combinadas de adición y sustracción no tienen operaciones entre paréntesis “()” debemos resolver según el orden en que aparecen de izquierda a derecha.

– Ejemplo:

Tal como lo muestra el ejemplo, resolvimos las operaciones en el orden que aparecen de izquierda a derecha.

¿Sabías qué?
Uno de los signos más usados en operaciones matemáticas es el paréntesis. Permite determinar el orden y prioridad de las operaciones.

¡Es tu turno!

  • (354 + 689) − 798
Solución

El resultado es 245.

  • 1.340 − 1.120 + 250
Solución

El resultado es 470.

  • (8.932 − 5670) + 990 − (459 + 615)
Solución

El resultado es 3.178.

  • 9.980 − 8.760 − 130 + 2700
Solución

 

El resultado es 3.790.

CÁLCULOS MENTALES

El cálculo mental, como su nombre lo indica, permite realizar cálculos sin que sea necesario un lápiz, una hoja o una calculadora. Para resolver problemas de forma mental usamos estrategias que aplican propiedades de los números y de las operaciones matemáticas.

Una de las mejores formas de desarrollar y ejercitar la comprensión numérica es a través de los cálculos mentales. Además de resolver problemas más rápido, permiten mejorar la concentración y la agilidad mental para otras situaciones. Con la práctica se pueden resolver cálculos más complejos en los cuales un papel y un lápiz no serían necesarios.

Para realizar cálculos mentales podemos hacer uso de diferentes estrategias:

Descomponer

La descomposición de un número mentalmente permite resolver adiciones y sustracciones de forma más sencilla. Para esto, se descompone el primero de los términos de acuerdo al valor posicional de sus cifras y luego se le suma o resta al número no descompuesto un valor posicional a la vez. Por ejemplo:

35 − 12 = ?

Descomponemos el número 12 de la siguiente forma:

12 = 10 + 2

Luego restamos un valor posicional a la vez al término no descompuesto, en este caso el término no descompuesto es el número 35.

35 − 10 = 25

25 − 2 = 23

Entonces:

 35 − 12 = 23

Completar la decena

Una estrategia que se puede emplear para resolver adiciones y sustracciones es completar la decena. Veamos un ejemplo:

35 + 8 = ?

El número 35 está entre las decenas 30 y 40, entonces sumamos las 5 unidades que faltan para que llegue a 40:

35 + 5 = 40

Luego, esas 5 unidades se las restamos al sumando 8:

8 − 5 = 3

Finalmente sumamos los dos resultados:

40 + 3 = 43

 

– Otro ejemplo:

22 − 12 = ?

El número 22 está entre la decenas 20 y 30, entonces restamos los 2 que es lo que faltan para llegar a 20:

22 − 2 = 20

Luego, restamos esas 2 unidades al sustraendo:

12 − 2 = 10

Al final hacemos la resta con esos resultados:

20 − 10 = 10

Aplicar la propiedad asociativa

Esta es una estrategia que permite resolver adiciones. La propiedad asociativa establece que al sumar tres o más sumandos, no importa el orden en que se realicen las operaciones, la suma es la misma. Por lo tanto, los sumandos pueden agruparse de forma que faciliten tus cálculos. Veamos un ejemplo:

320 + 300 + 80 = ?

En este caso, vamos a agrupar los siguientes términos:

320 + 300 + 80

(320 + 80) + 300

400 + 300 = 700

¿Sabías qué?
La palabra “cálculo” proviene del término latino calculus que significa “piedra”. Anteriormente se usaban las piedras para contar.

PROBLEMAS

Para resolver problemas aditivos es necesario comprender la situación y seleccionar los datos que permitan elegir una estrategia para encontrar la solución, y así dar una respuesta al problema. Veamos algunos:

1. En un maratón se deben correr 5.000 metros. Pablo avanzó 1.335 metros y se detuvo a tomar agua para refrescarse. Luego avanzó 1.280 metros más y volvió a tomar agua. ¿Cuántos metros de la maratón le faltan correr a Pablo?

  • Datos

Distancia que debe correr Pablo: 5.000 metros

Distancia 1 que recorrió Pablo: 1.335 metros

Distancia 2 que recorrió Pablo: 1.280 metros

  • Pregunta

¿Cuántos metros de la maratón le faltan correr a Pablo?

  • Reflexiona

Para conocer cuántos metros le faltan a Pablo por recorrer debemos restar a la distancia total, la suma de la distancia 1 y la distancia 2.

  • Resuelve

5.000 − (1.335 + 1.280)

5.000 − 2.615

2.385

  • Respuesta

A Pablo le faltan por correr 2.385 metros del maratón.

2. Daniela y su familia salieron de excursión a la montaña, durante su visita tomaron 243 fotografías de los paisajes y 125 fotografías de ellos mismos. Si en la excursión pasada tomaron 42 fotografías menos, ¿cuántas fotografías tomaron en la excursión anterior?

  • Datos

Fotografías de los paisajes: 243

Fotografías de ellos mismos: 125

Fotografías de la excursión anterior: 42

  • Pregunta

¿Cuántas fotografías tomaron en la excursión anterior?

  • Reflexiona

Para saber cuántas fotografías tomaron en la excursión pasada debemos sumar las fotografías de paisajes y de la familia que tomaron durante esta excursión y luego restar las 42 fotografías menos.

  • Resuelve

(243 + 125) − 42

368 − 42

326

  • Respuesta

La familia de Daniela tomó durante la excursión anterior 326 fotografías.

3. Un autobús se desplaza por la ciudad. En su primera parada recoge 12 pasajeros, en la segunda se suben 3 y se bajan 6, en la tercera se suben 9 y se bajan 8. Al llegar a la cuarta parada, ¿cuántos pasajeros lleva el bus?

  • Datos

Primera parada: suben 12 pasajeros

Segunda parada: suben 3 y se bajan 6 pasajeros

Tercera parada: suben 9 y se bajan 8 pasajeros

  • Pregunta

¿Cuántos pasajeros lleva el bus al llegar a la cuarta parada?

  • Reflexiona

Para resolver este tipo de problemas debemos asociar que cuando el bus recoge pasajeros, se realiza la operación sumar, y cuando se bajan pasajeros del bus, se realiza la operación restar. Así al traducir el problema al lenguaje matemático obtenemos: 12 + 3 − 6 + 9 − 8.

Una forma más fácil de resolverlo es contar primero el número de personas que se subieron al bus: (12 + 3 + 9) y después restarle el número de personas que se bajaron: (6 + 8). Obtenemos en ese caso la expresión: (12 + 3 + 9) − (6 + 8).

  • Resuelve

(12 + 3 + 9) − (6 + 8)

24 − 14

10

  • Respuesta

El bus al llegar a la cuarta parada lleva 10 pasajeros.

¿Por qué importan los cálculos combinados?

Resolver adiciones y sustracciones permite desarrollar la capacidad de solucionar situaciones en nuestra vida cotidiana y de esta forma crear, adaptar y resolver problemas matemáticos en un contexto familiar, escolar y social. Una de las situaciones en las que aplicamos esto es al momento de hacer una compra, pues si sumamos todos los precios de productos y luego lo restamos a la cantidad de dinero que tenemos, podremos saber cuánto dinero tendremos al final de una compra.

¡A practicar!

1. Resuelve los siguientes problemas:

a) Miguel tiene 25 años y Camila tiene 10 años más que él. Si Alejandro tiene 15 años menos que Camila, ¿cuántos años tiene Alejandro?

Solución

• Datos

Edad de Miguel: 25 años

Edad de Camila : 10 años más que Miguel

Edad de Alejandro: 15 años menos que Camila

• Pregunta

¿Cuántos años tiene Alejandro?

• Reflexiona

Para resolver el problema debemos sumar los años de más que tiene Camila a la edad de Miguel y luego restar los 15 años que tiene de diferencia la edad de Alejandro con la de Camila.

• Resuelve

(25 + 10) − 15

35 − 15

20

  • Respuesta

Alejandro tiene 20 años.

b) En una pequeña granja se recolectan aproximadamente 2.500 litros de leche de vaca, de ese total 1.800 litros se venden, 680 litros se emplean para elaborar postres y el resto, los granjeros lo dejan para su consumo. ¿Cuántos litros de leche de vaca dejan los granjeros para consumir?

Solución

• Datos

Litros de leche recolectada: 2.500

Litros de leche que se venden: 1.800

Litros de leche que se emplean para postres: 680

• Pregunta

¿Cuántos litros de leche de vaca dejan los granjeros para consumir?

• Reflexiona

Para resolver el problema debemos restar a la cantidad de leche recolectada, la cantidad de litros vendidos más los empleados para los postres.

• Resolvemos

2.500 − (1.800 + 680)

2.500 − 2.480

20

  • Respuesta

Los granjeros dejan 20 litros de leche de vaca para su consumo.

 

2. Resuelve las operaciones mentalmente con las estrategias mencionadas anteriormente:

  • 410 + 600 + 9
Solución
El resultado es 1.019.
  • 74 − 63
Solución
El resultado es 11.
  • 97 − 77
Solución
El resultado es 20.
  • 25 + 36
Solución
El resultado es 61.
  • 39 − 18
Solución
El resultado es 21.
  • 39 + 15
Solución
El resultado es 54.
  • 74 − 44
Solución
El resultado es 30.
  • 57 − 22
Solución
El resultado es 35.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Operaciones combinadas”

El siguiente material proporciona información sobre cómo resolver problemas de operaciones combinadas y los pasos para resolver sumas y restas con y sin paréntesis.

VER

Artículo “Cálculos mentales”

El artículo profundiza en algunas otras estrategias usadas para resolver cálculos mentales, también muestra algunos elementos útiles al momento de resolver problemas de forma mental.

VER

CAPÍTULO 2 / TEMA 2

SUSTRACCIÓN

La sustracción es una de las cuatro operaciones básicas de las matemáticas que nos permite resolver infinidad de situaciones cotidianas. Cuando decimos “me queda”, “me falta” o “la diferencia” nos referimos a la sustracción. A continuación aprenderás cómo restar número naturales.

La sustracción o resta es una operación aritmética elemental que consiste en quitar una cantidad a otra para averiguar la diferencia entre las dos; se representa con el signo “–” (menos). La resta es la operación opuesta a la suma. Para realizar problemas de este tipo es necesario reconocer el valor posicional de cada cifra que luego va a permitir ordenarlas.

la susTRACCIÓN 

La sustracción es una operación matemática que consiste en quitar o restar una cantidad a otra con el propósito de obtener la diferencia de ambas. Por esta razón, la sustracción es considerada la operación inversa a la adición.

Los términos de la sustracción son: minuendo, sustraendo y resta o diferencia. Observa:

  • El minuendo es la cantidad a la que se le va a restar la cantidad indicada por el sustraendo.
  • El sustraendo es la cantidad que se resta
  • La resta o diferencia es el resultado de la operación.

La sustracción no cumple con la propiedad conmutativa, es decir, el orden de los factores sí afecta el resultado, por lo tanto, para restar dos cantidades, la cantidad mayor, es decir el minuendo debe escribirse siempre en primer lugar.

¿cómo resolver una sustracción?

Si un número tiene más de tres cifras conviene usar el algoritmo de la resta. Esto consiste en ordenar el minuendo y el sustraendo de tal manera que las unidades, las decenas, las centenas y las unidades de mil estén en las mismas columnas. Luego restamos cada posición desde la derecha. Los pasos son los siguientes:

1. Restamos la unidades: 8 − 2 = 6.

2. Restamos las decenas: 7 − 2 = 5

3. Restamos las centenas: 5 − 3 = 2

4. Restamos la unidades de mil: 9 − 5.

¿Sabías qué?
Si le restamos cero (0) al cualquier número, la diferencia será el mismo número. Por eso el cero (0) es el elemento neutro de la sustracción.

 

– Otro ejemplo:

1. Restamos las unidades: 8 − 1 = 7.

2. Restamos las decenas: 7 − 2 = 5

3. Restamos las centenas: 3 − 3 = 0

4. Restamos las unidades de mil: 5 − 4 = 1

Los ejemplos anteriores representan una sustracción “sin canje” ya que cada cifra del minuendo es menor o igual a las cifras del sustraendo, lo que hace que estas cantidades se resten en forma sencilla.

La resta, al igual que el resto de las operaciones básicas de las matemáticas, tienen relación con muchas de las actividades de la vida cotidiana, por ejemplo, administrar dinero, preparar una receta de cocina, calcular la distancia que tenemos que recorrer para llegar a algún lugar, etc. A través de estas podemos resolver problemas y tomar decisiones.

¡Es tu turno!

Resuelve las sustracciones:

  • 8.971 – 3.801
  • 9.999 – 7.554
  • 5.649 – 2.628
Solución

SUSTRACCIÓN CON CANJE

Las sustracciones con y sin canje se resuelven de la misma manera. Solo se diferencian en que, al resolver sustracciones con canje, si en una posición el dígito del minuendo es menor que el del sustraendo, se desagrupa la cifra de la izquierda y se hace el canje. Para restas de números con más tres cifras los pasos son los siguientes:

1. Restamos las unidades: 9 − 6 = 3.

2. Como no le podemos restar 9 a 7, tomamos prestado o canjeamos una centena de la izquierda. Ahora, la decena 7 se transforma en 17 y la centena 3 se convierte en 2. Restamos 17 − 9 = 8.

3. Restamos las centenas: 2 − 2 = 0.

4. Restamos las unidades de mil: 4 − 2 = 2.

¿Sabías qué?
En una sustracción puede haber canje en una o más cifras.

– Otro ejemplo:

1. Restamos las unidades. Como no podemos restarle 9 a 1, prestamos una decena de de la izquierda. Ahora, a 11 le restamos 9 y la decena 3 se convierte en 2. Entonces. 11 − 9 = 2.

2. Restamos las decenas: 2 − 1 = 1.

 

3. Restamos las centenas: 7 − 3 = 4.

 

4. Restamos las unidades de mil: 9 − 6 = 3.

Ten presente que cuando el cero (0) está en el minuendo debes realizar las transformaciones respectivas. El mismo indica ausencia de valores en un orden específico.

¡Es tu turno!

Resuelve las siguientes sustracciones:

  • 4.353 – 1.845
  • 6.957 – 3.529
  • 9.843 – 7.626

Solución

En la sustracción no se cumple la propiedad conmutativa, lo que significa que el cambio del orden de los términos da como resultado diferente cantidad y cambia el signo de la respuesta. Esta operación tampoco cumple con la propiedad asociativa, lo que significa que cuando se restan más de dos números, importa el orden en el que se realiza la resta.

¡COMPRUEBA SUSTRACCIONES!

Cuando resuelvas sustracciones, es muy importante que verifiques su solución, de esta manera evitarás resultados incorrectos.

La sustracción se puede comprobar con su operación matemática inversa: la suma. Para comprobarla basta con sumar la diferencia con el sustraendo, si el resultado es igual al minuendo; entonces la operación está correcta. Ejemplo:

También podemos expresarlo como:

Sustraendo + Diferencia = Minuendo 

¡A practicar!

Resuelve las siguientes restas:

  • 2.652 − 1.398
Solución
2.652 − 1.398 = 1.254
  • 1.563 − 581
Solución
1.563 − 581 = 982
  • 3.862 − 1.475
Solución
3.862 − 1.475 = 2.387
  • 7.539 − 2.864
Solución
7.539 − 2.864 = 4.675
  • 2.841 − 1.563
Solución
2.841 − 1.563 = 1.278
  • 1.349 − 580
Solución
1.349 − 580 = 769

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Suma y resta utilizando el algoritmo de descomposición”

El siguiente artículo te permitirá trabajar con sus alumnos las operaciones de adición y sustracción por medio del algoritmo de descomposición.

VER

Artículo “Operaciones Matemáticas”

En este artículo se explican las operaciones básicas o elementales en matemática. También se hace un enfoque en sus diferentes propiedades y sus elementos.

VER

Video “Aprender a restar por descomposición”

Con este material audiovisual podrás explicar con mayor profundidad cómo realizar restas o sustracciones por medio de la descomposición de los números.

VER

CAPÍTULO 2 / TEMA 1

ADICIÓN

La adición o suma es una de las operaciones básicas de las matemáticas. La usamos casi todos los días y gracias a ella sabemos cuántos alumnos hay en una escuela, cuántas pelotas hay en la cancha o cuántos libros tenemos. Como verás, sumar números de 4 cifras implica un orden y podemos hacerlo de acuerdo a sus propiedades.

La adición es una operación matemática que nos permite agregar o reunir dos o más cantidades en un mismo número. Los términos de la adición son los sumandos y suma. Las cantidades que se suman son los sumandos y el resultado es la suma. Cuando los números son pequeños podemos hacer sumas con los dedos y escribirlo de forma horizontal.

la adición y sus elementos

La adición es una operación que consiste en añadir una cantidad a otra. Los términos de la adición son los sumandos y  la suma.

¿CÓMO resolver una adición?

Si un número tiene más de tres cifras conviene usar el algoritmo de la suma. Esto consiste en ordenar los sumandos de tal manera que las unidades, las decenas, las centenas y las unidades de mil están en las mismas columnas. Luego sumamos cada posición desde la derecha. Los pasos son los siguientes:

1. Sumamos las unidades: 8 + 1 = 9.

2. Sumamos las decenas: 7 + 2 = 9.

 

3. Sumamos las centenas: 4 + 3 = 7.

 

4. Sumamos las unidades de mil: 3 + 3 = 6.

– Otros ejemplos:

 

¡Es tu turno!

Realiza esta sumas:

  • 8.605 + 1.382
  • 5.074 + 4.523
  • 1.841 + 7.106
Solución

 

Equivalencia de interés

  • 1 unidad de mil = 1.000 unidades
  • 1 centena = 100 unidades
  • 1 decena = 10 unidades
  • 1 unidad = 1 unidad

¿Sabías qué?
La operación opuesta a la adición es la sustracción o resta.
Cuando colocamos los sumandos uno sobre otro y hacemos coincidir las posiciones, empleamos el algoritmo de la suma. En este proceso sumamos primero las unidades, luego las decenas, las centenas y finalmente las unidades de mil. Cuando un resultado es mayor a 9, se coloca la decena en la columna de la izquierda y se reagrupan las cifras.

¿cómo resolver una adición con llevadas?

Las adiciones o sumas con llevadas las podemos resolver de la misma manera que las adiciones anteriores, la única diferencia es que debemos reagrupar las decenas, centenas o unidades de mil cuando una de las sumas de las posiciones sea superior a 9. Para sumas de números de cuatro cifras los pasos son estos:

1. Sumamos las unidades: 2 + 5 = 7.

 

2. Sumamos las decenas: 3 + 6 = 9.

 

3. Sumamos las centenas: 6 + 6 = 12. Como el resultado es mayor a 9 colocamos la unidad (2) en la casilla debajo de la suma de centenas y el 1 lo colocamos en la columna de las unidades de mil.

4. Sumamos las unidades de mil y consideramos el 1 agregado antes: 1 + 2 + 3 = 6.

 

– Otros ejemplos:

 

¿Sabías qué?
En una adición o suma podemos hacer llevadas en una o más cifras.
La adición está presente en muchas situaciones de la vida diaria. Si observas a tu alrededor, hay muchas cosas en las que podemos utilizar esta operación. Uno de los casos más frecuentes es cuando compramos productos en el supermercado. Allí debemos sumar todos los precios de cada artículo para pagar un total. Las máquinas registradoras hacen este cálculo rápidamente.

 

propiedades de la adición

La adición tiene algunas propiedades que la caracterizan. Estas son: la propiedad conmutativa, la propiedad asociativa y el elemento neutro.

Propiedad conmutativa

Al invertir o cambiar de lugar los sumandos el resultado es el mismo, es decir, el orden de los sumandos no altera la suma obtenida.

Propiedad asociativa

Sin importar la agrupación de los términos el resultado será el mismo.

Elemento neutro

La suma de todo número más cero es igual al mismo número, de manera que 0 es el elemento neutro de la suma.

1.568 + 0 = 1.568

 

El ábaco es un instrumento que sirve para efectuar operaciones matemáticas sencillas. Este es un cuadro de madera con barras paralelas por las que corren bolas movibles. El ábaco no solo nos ayuda a sumar y restar con mayor fluidez, sino que además podemos resolver operaciones más complejas como la multiplicación y la división.

 

¡A practicar!

1. Resuelve las siguientes adiciones:

  • 5.328 + 2.419
Solución

  • 3.686 + 5.607
Solución

  • 4.368 + 5.177
Solución

  • 8.645 + 480
Solución

  • 5.502 + 3.199
Solución

  • 6.098 + 2.174
Solución

 

2. Resuelve estas adiciones y aplica la propiedad conmutativa:

  • 560 + 199
Solución

560 + 199 = 759

199 + 560 = 759

  • 1.795 + 528
Solución

1.795 + 528 = 2.323

528 + 1.795 = 2.323

  • 237 + 797
Solución

237 + 797 = 1.034

797 + 237 = 1.034

  • 1.300 + 788
Solución

1.300 + 788 = 2.088

788 + 1.300 = 2.088

 

3. Realiza la siguientes sumas y aplica la propiedad distributiva.

  • 150 + 430 + 670
Solución

(150 + 430) + 670 = 580 + 670 = 1.250

150 + (430 + 670) = 150 + 1.100 = 1.250

  • 720 + 340 + 480
Solución

(720 + 340) + 480 = 1.060 + 480 = 1.540

720 + (340 + 480) = 720 + 820 = 1.540

  • 500 + 200 + 400
Solución

(500 + 200) + 400 = 700 + 400 = 1.100

500 + (200 + 400) = 500 + 600 = 1.100

  • 6.000 + 500 + 1.000
Solución

(6.000 + 500) + 1.000 = 6.500 + 1.000 = 7.500

6.000 + (500 + 1.000) = 6.000 + 1.500 = 7.500

 

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Cómo enseñar a sumar y a restar”

El siguiente material le brindará orientaciones generales para enseñar a sus alumnos a sumar y a restar.

VER

Artículo “Propiedades de la suma”

Con este recurso se podrá ampliar la información referida a las propiedades de la adición.

VER

Artículo “Suma con tres sumandos”

Este artículo explica paso a paso cómo realizar cálculos con tres sumandos.

VER

CAPÍTULO 1 / TEMA 8 (REVISIÓN)

SISTEMA DE NUMERACIÓN | ¿qUÉ APRENDIMOS?

LECTURA DE NÚMEROS

Los números naturales (\boldsymbol{\mathbb{N}}) son los que utilizamos para contar. Cada número tiene un valor relativo según la posición que ocupe dentro de una cifra y esto permite una correcta lectura de los mismos. Además de los números naturales, existen los números decimales que están formados por una parte entera y otra decimal. También hay sistemas de numeración no posicionales como los números romanos, los cuales constan de siete letras del abecedario latino.

Para leer un número de manera correcta es necesario conocer el valor que ocupa cada una de sus cifras. Para esto podemos usar una tabla posicional.

descomposición de números

Existen distintas formas de descomponer números grandes: la aditiva con combinaciones básicas, la aditiva por medio de valor posicional, la polinómica o la multiplicativa. En la aditiva con combinaciones básicas usamos una o más sumas que expresen el mismo resultado; en la aditiva con valor posicional empleamos los valores posicionales de cada cifra; en la polinómica utilizamos las potencias de base 10; y en la multiplicativa descomponemos la cantidad en sus factores primos.

Estas diferentes maneras de expresar los números permiten resolver situaciones de forma más rápida y sencilla.

números enteros

Los números enteros (\boldsymbol{\mathbb{Z}}) están compuestos por todos los números naturales (\boldsymbol{\mathbb{N}}), sus opuestos negativos y el cero. Los enteros negativos requieren el uso obligatorio del signo (−) a diferencia de los positivos que pueden o no estar acompañados con el signo (+). Estos pueden ser representados en una recta numérica, la cual contiene todos los números reales (\boldsymbol{\mathbb{R}}). Los números enteros se aplican en diversas situaciones de la vida, como para indicar altitudes sobre el nivel del mar, registrar entradas y salidas de dinero de un banco, dibujar el eje de coordenadas, o para indicar temperaturas.

Otra de las tantas aplicaciones que se les da a los números enteros es para señalar los niveles de un edificios, en donde planta baja representa el 0, los niveles superiores los positivos y los niveles inferiores los negativos.

NÚMEROS decimales

Los números decimales están formados por una parte entera y una parte decimal, ambas divididas por una coma. Estos se clasifican en tres tipos según su parte decimal: exactos, periódicos y no periódicos. Los exactos tienen un número limitado de cifras; los periódicos poseen cifras decimales infinitas y, a su vez, estos se dividen en dos tipos: los puros y los mixtos; y los decimales no periódicos no tienen un patrón que se repita infinitamente. Estos números se pueden redondear para reducir la cantidad de cifras decimales y así obtener un valor muy parecido.

Los números decimales pueden ser utilizados en diversas situaciones de la vida, como para indicar la estatura de las personas o los precios de los productos.

sucesiones

Las sucesiones son un grupo de elementos que se ordenan uno detrás de otro. Estos elementos son llamados términos, siguen una regla dentro del conjunto y pueden ser números, letras, figuras o imágenes. En una sucesión, los términos son representados como subíndices (a1, a2, a3, …). Usamos sucesiones cada vez que contamos los días de la semana o las horas del día. También las usamos para ordenar de mayor a menor o de menor a mayor, o para aprender a leer el abecedario. Podemos encontrar sucesiones con operaciones matemáticas como la suma, la resta, la multiplicación, la división o la potencia.

Cuando se ordenan los ganadores de una carrera de automóviles, estos siguen un patrón de acuerdo al tiempo de llegada. Este es un ejemplo de sucesión.

potencias

La potenciación consiste en expresar de manera reducida una multiplicación de factores iguales. Tiene tres elementos: una base, un exponente y la potencia. La base es el número que se multiplicará tantas veces como indica el exponente y la potencia es el resultado de la multiplicación de los factores. Algunas de las propiedades de las potencias son: potencia de exponente 0, potencia de exponente 1, potencia de exponente negativo, multiplicación y división de potencias con igual base y la potencia de una potencia.

Las potencias sirven para aplicar teoremas, expresar notación científica, realizar sucesiones matemáticas y para demostrar problemas de crecimiento exponencial como la multiplicación de virus y bacterias.

raíz de un número

La raíz de un número es la operación inversa a la potencia de un número. Consiste en buscar el número que se ha multiplicado tantas como indica n bajo un operador radical. Los elementos de una raíz son el radicando, el índice, el radical y la raíz. El radicando es el resultado de la multiplicación de la raíz de un número tantas veces como indica el índice de la raíz. El índice indica el grado de una raíz, lo que se traduce en cuántas veces se multiplicó por sí mismo el resultado de la radicación. El radical representa el símbolo de la operación de radicación y la raíz es resultado de la operación matemática.

Todas las operaciones matemáticas poseen una operación inversa que revierte los cálculos realizados.

CAPÍTULO 1 / TEMA 7

RAÍZ DE UN NÚMERO

La radicación es la operación inversa de la potenciación. Su cálculo consiste en hallar un número que multiplicado por sí mismo cierta cantidad de veces resulte en otro número determinado. Para poder emplear de manera correcta esta operación es necesario saber sus elementos y propiedades.

Todos los cálculos matemáticos tienen una operación inversa. La suma es la operación inversa de la resta, la división lo es de la multiplicación y la radicación lo es de la potenciación. Posiblemente creas que la radicación es la operación más compleja, pero no es así. Si conoces sus elementos y propiedades podrás resolver cualquier raíz de un número.

¿qué es una raíz?

Es una operación matemática en la que se obtiene un número que se ha multiplicado por sí mismo n veces bajo el operador radical. Esta se encuentra formada por los siguientes elementos:

Donde:

  • Radical (\sqrt{\: \: }): representa el símbolo de la operación de radicación.
  • Índice de la raíz \left ( n \right ): indica el grado de una raíz, lo que se traduce en cuántas veces se multiplicó por sí mismo el resultado de la radicación. El índice de una raíz debe ser diferente de cero.
  • Radicando \left ( a \right ): es el producto de la multiplicación de la raíz según lo indique el índice. El radicando pertenece al conjunto de los números reales.
  • Raíz \left ( b \right ): es el resultado de la radicación.

Condiciones a cumplir

  • n \in \mathbb{N}\:\: ,\, n \geq 2
  • a \in \mathbb{R}
  • Si n es par, a debe ser \geq 0, para que el resultado sea un número real \left ( \mathbb{R} \right ).

¿Cómo se relacionan la potencia y la raíz de un número?

La relación de las operaciones matemáticas potenciación y radicación se refleja así:

  • La base de la potenciación es el resultado o raíz de la radicación.
  • La potencia de la potenciación es el radicando de la radicación.
  • El exponente de la potenciación coincide con el índice de la radicación.

Por lo tanto, podemos expresar a una raíz como un exponente fraccionario, en el cual el denominador de la fracción corresponde al índice de la raíz y el numerador al exponente del radicando.

\boldsymbol{\left ( \sqrt[n]{a}\right )^{m}=\sqrt[n]{a^{m}}={a^{\frac{m}{n}}}}

– Ejemplo:

\sqrt[3]{5^{2}}=5^{\frac{2}{3}}

\sqrt[3]{6}={6^{\frac{1}{3}}}

Origen del término

Antiguos papiros egipcios demuestran que en esta cultura se calculaban raíces. Muchos especialistas asocian el origen del símbolo de la raíz con la letra r de la palabra latina radix, que significa “raíz”. No obstante, este término fue introducido en siglo XVI por Christoph Rudolff, quien lo usó en su libro Coss.

propiedades de las raíces

Raíz de cero

La raíz con radicando 0 es igual a 0, siempre que su índice sea diferente de dicho número.

\boldsymbol{\sqrt[n]{0}=0\: ; n\neq 0}

– Ejemplo:

\sqrt[3]{0}=0

\sqrt[5]{0}=0

Raíz de la unidad

La raíz de 1 siempre será igual a 1.

\boldsymbol{\sqrt[n]{1}=1\: ; n\neq 0}

– Ejemplo:

\sqrt[4]{1}=1

\sqrt[7]{1}=1

Raíz de un producto

La raíz de un producto es igual al producto de las raíces de los factores.

\boldsymbol{\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}}

– Ejemplo:

\sqrt[3]{27\cdot 125}=\sqrt[3]{27}\cdot \sqrt[3]{125}=3\cdot 5=15

Raíz de un cociente

La raíz de un cociente es igual al cociente de las raíces del dividendo y del divisor.

\boldsymbol{\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}}

– Ejemplo

\sqrt[4]{\frac{81}{16}}=\frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{16}}=\frac{3}{2}

Raíz de una raíz

La raíz de una raíz es igual a una nueva raíz con el mismo radicando e índices multiplicados.

\boldsymbol{\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a}}

– Ejemplo:

\sqrt[3]{\sqrt[5]{32.768}}=\sqrt[3\cdot 5]{32.768}=\sqrt[15]{32.768}=2

Potencia de una raíz

La potencia de una raíz es igual a la misma raíz con el radicando elevado a dicha potencia.

\boldsymbol{\left ( \sqrt[n]{a}\right )^{m}=\sqrt[n]{a^{m}}}

– Ejemplo:

\left ( \sqrt[]{5}\right )^{4}=\sqrt[]{5^{4}}=\sqrt[]{625}=25

Los problemas con radicales pueden tener una, dos o ninguna solución, y esto depende principalmente del radicando y del índice de la raíz. Sin embargo, para poder resolverlos de manera correcta se requiere tener conocimiento tanto de sus propiedades como también de la regla de los signos.

Suma y resta de radicales

Los radicales pueden sumarse o restarse siempre y cuando sean semejantes, es decir, que tengan el mismo índice y radicando. En este caso, sumamos o restamos los coeficientes (los números que están fuera de la raíz) y dejamos el mismo índice y radicando.

\boldsymbol{x\sqrt[n]{a}+y\sqrt[n]{a}=(x+y)\sqrt[n]{a}}

\boldsymbol{x\sqrt[n]{a}-y\sqrt[n]{a}=(x-y)\sqrt[n]{a}}

– Ejemplo:

8\sqrt[3]{5}+7\sqrt[3]{5}=15\sqrt[3]{5}

3\sqrt{6}-2\sqrt{6} = (3-2)\sqrt{6}=\sqrt{6}

cálculo de raíces

En la actualidad existen herramientas que te ayudan a realizar las operaciones matemáticas de manera fácil y rápida, como por ejemplo la calculadora. Con una calculadora, podemos determinar la raíz de un número sin problemas, pero, ¿qué hacer si no tenemos una calculadora? Para ello, es bueno saber los pasos para calcular la raíz cuadrada de cualquier número.

Para calcular la raíz cuadrada de un número como 682.273 seguimos estos pasos:

1. Agrupamos el número en cifras de dos en dos desde la derecha a la izquierda.

2. Buscamos un número que elevado al cuadrado se aproxime a las dos primeras cifras de la izquierda. De este modo, colocamos el 8, pues 82 = 8 × 8 = 64 que se aproxima a 68.

3. Realizamos la resta entre las dos primeras cifras y el resultado de 82 = 64. Luego bajamos las dos cifras siguientes (22).

4. Tomamos el primer resultado de la raíz que es 8 y lo multiplicamos por 2: 8 × 2 = 16. Lo colocamos debajo.

5. El número multiplicado por dos lo usamos para dividir a los dos primeros números del resto anterior (422). Como 42/16 = 2,625, colocamos el número entero (2) después de 16 para formar una nueva cifra: 162. Ahora multiplicamos este nuevo resultado por 2: 162× 2.

6. Utilizamos el resultado de la multiplicación para restarlo a 422. Añadimos el 2 a la raíz.

7. Repetimos el procedimiento. Bajamos las dos cifras siguientes (76) junto al último resto (98) para formar 9.876. Multiplicamos por 2 la raíz hasta ahora obtenida (82 × 2) y la colocamos como nuevo cociente (164).

8. Del mismo modo, el número multiplicado por dos lo utilizamos para dividir a los tres primeros números del resto anterior (9.876), lo que nos da 987/164 = 6,018. De esta división, solo tomamos el número entero (6), que usaremos para colocarlo detrás del (164) para formar una nueva cifra (1.646) y, al mismo tiempo, para multiplicar esta nueva cifra (1646 × 6).

9. El resultado de la multiplicación se utiliza para restarlo al resto anterior (9.876) y el número entero utilizado para hacer esta multiplicación se coloca en la raíz (82) y queda así:

Entonces, \sqrt{682.276}=\boldsymbol{826}

¡A practicar!

1. Aplica las propiedades de las raíces para resolver los siguientes ejercicios:

  • \sqrt[3]{\frac{216}{27}}=

Solución

\sqrt[3]{\frac{216}{27}}=\frac{\sqrt[3]{216}}{\sqrt[3]{27}}=\frac{6}{3}=2

  • \sqrt[3]{\sqrt[2]{4^{6}\times 3^{12}}}=

Solución

\sqrt[3]{\sqrt[2]{4^{6}\times 3^{12}}}=\sqrt[6]{4^{6}\times 3^{12}}=4^{\frac{6}{6}}\times 3^{\frac{12}{6}}=4^{1}\times 3^{2}=4\times3 \times3= 36

  • \frac{\sqrt[3]{27\cdot 125}}{\sqrt[4]{625\cdot 6561}}=
Solución

\frac{\sqrt[3]{27\times 125}}{\sqrt[4]{625\times 6561}}=\frac{\sqrt[3]{27}\times \sqrt[3]{125}}{\sqrt[4]{625}\times \sqrt[4]{6561}}=\frac{3\times 5}{5\times 9}=\frac{1}{3}

  • \frac{9\sqrt[3]{27}+18\sqrt[3]{27}}{2\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{27}}=
Solución

\frac{9\sqrt[3]{27}+18\sqrt[3]{27}}{2\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{27}}= \frac{(9+18)\sqrt[3]{27}}{(2+1)\sqrt[3]{27}}= \frac{(27)\sqrt[3]{27}}{(3)\sqrt[3]{27}}= 9

2. Resuelve las siguientes raíces sin utilizar la calculadora:

\sqrt[]{262.144}=

Solución

\sqrt[]{262.144}=512

\sqrt[]{527.076}=

Solución

\sqrt[]{527.076}= 726

\sqrt[]{2.334.784}=

Solución

\sqrt[]{2.334.784}=1.528

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “La radicación”

Con este artículo, podrá ampliar los conocimiento respecto a la radicación y sus propiedades.

VER

Artículo “Cálculo de una raíz cuadrada”

Este recurso le permitirá tener mayor información sobre cómo realizar el cálculo de una raíz cuadrada.

VER

CAPÍTULO 1 / TEMA 6

POTENCIAS

La matemática está compuesta por numerosos tipos de operaciones que varían según su complejidad. Entre esas operaciones se encuentra la potenciación, que consiste en la multiplicación de factores iguales de acuerdo a un exponente. Al igual que otros cálculos, tiene sus propiedades y sus características particulares. ¡Las aprenderemos a continuación!

La potenciación también puede ser definida como la forma abreviada de escribir un producto de varios factores iguales. En muchas ocasiones, los ejercicios de potenciación pueden parecer algo complejos. Para resolverlos de manera correcta es indispensable conocer sus elementos y propiedades.

LA POTENCIA Y SUS ELEMENTOS

La potencia se define como el resultado (b) de la multiplicación de la base (a) tantas veces como lo indica el exponente (n). En esta operación, a y b son números reales y n es un número entero.

– Ejemplo:

\boldsymbol{4^{3}=4\times 4\times4 =64}

\boldsymbol{5^{4}=5\times 5\times 5\times 5=625}

\boldsymbol{8^{2}=8\times 8 = 64}

¿Cómo se lee una potencia?

Si quieres leer una potencia es necesario que hayas aprendido bien a identificar sus elementos para luego aplicar los siguientes pasos.

  1. Lee la base como cualquier número seguido de la expresión “elevado a la” o “elevado al” según sea el caso.
  2. Lee el exponente como un número ordinal. A excepción del 2 y 3 que se expresan como “al cuadrado” y “al cubo” respectivamente.

– Ejemplo:

\boldsymbol{5^{{\color{Red} 3}}} se lee “cinco al cubo”.

\boldsymbol{4^{{\color{Red} 2}}} se lee “cuatro al cuadrado”.

\boldsymbol{9^{{\color{Red} 5}}} se lee “nueve a la quinta”.

¿Sabías qué?
René Descartes (1596-1650) realizó contribuciones importantes a la matemática y popularizó la notación para la potenciación. 

VER INFOGRAFÍA

¡A practicar!

¿Cómo se leen estas potencias?

\boldsymbol{4^{3}}

Solución

Cuatro al cubo.

\boldsymbol{25^{6}}

Solución

Veinticinco a la sexta.

\boldsymbol{64^{9}}

Solución

Sesenta y cuatro a la novena.

PROPIEDADES DE LA POTENCIA

Potencia de un exponente 0

Todo número elevado a la potencia cero es igual a 1.

\boldsymbol{a^{0}=1}

– Ejemplo:

\boldsymbol{5^{0}=1}

\boldsymbol{\left ( -3 \right )^{0} = 1}

Potencia de un exponente 1

Todo número elevado a la potencia 1 es igual al mismo número.

\boldsymbol{a^{1}=a}

– Ejemplo:

\boldsymbol{5^{1}=5}

\boldsymbol{\left ( -3 \right )^{1} = -3}

Potencia de un exponente negativo

Todo número elevado a la potencia negativa es igual a la fracción de uno sobre la misma base con potencia positiva.

\boldsymbol{a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}}

– Ejemplo:

\boldsymbol{5^{-1}=\frac{1}{5^{1}}=\frac{1}{5}}

\boldsymbol{(-3)^{-2}=\frac{1}{(-3)^{2}} = \frac{1}{9}}

Multiplicación de potencias de igual base

En la multiplicación de potencias de igual base se coloca la misma base y se suman los exponentes.

\boldsymbol{a^{n}\times a^{m}=a^{n + m}}

– Ejemplo:

\boldsymbol{3^{2}\times 3^{4}=3^{2 + 4}=3^{6}}

\boldsymbol{(-7)^{5}\times (-7)^{-3}=(-7)^{5+( - 3)}=(-7)^{2}}

División de potencias de igual base

En la división de potencias se coloca la misma base y se restan los exponentes.

\boldsymbol{\frac{a^{n}}{a^{m}}=a^{n-m}}

– Ejemplo:

\boldsymbol{\frac{4^{6}}{4^{2}}=4^{6-2}=4^{4}}

\boldsymbol{\frac{(-3)^{-2}}{(-3)^{4}}=(-3)^{-2-4}= (-3)^{-6}}

Potencia de una potencia

En toda potencia elevada a otra potencia se coloca la misma base y se multiplican los exponentes.

\boldsymbol{(a^{n})^{m}=a^{n \times m}}

– Ejemplo:

\boldsymbol{(9^{2})^{3}=9^{2 \times 3}=9^{6}}

\boldsymbol{((-8)^{2})^{3}=(-8)^{2\times 3}=(-8)^{6}}

Potencia de un exponente racional

En una potencia con exponente fraccionario se extrae el denominador del exponente en forma de raíz y el numerador queda como exponente de la potencia.

\boldsymbol{a^{\frac{n}{m}}= \sqrt[m]{a^{n}}}

– Ejemplo:

\boldsymbol{5^{\frac{7}{3}}= \sqrt[3]{5^{7}}}

\boldsymbol{(-2)^{\frac{4}{5}}= \sqrt[5]{(-2)^{4}}}

Multiplicación de potencias con el mismo exponente

En la multiplicación de potencias de igual exponente se multiplican las bases y se coloca el mismo exponente.

\boldsymbol{a^{n}\times b^{n}=(a\times b)^{n}}

– Ejemplo:

\boldsymbol{5^{3}\times 4^{3}=(5\times 4)^{3}=(20)^{3}}

\boldsymbol{(-3)^{3}\times (-6)^{3}=((-3)\times (-6))^{3}=(18)^{3}}

División de potencias con el mismo exponente

En la división de potencias de igual exponente se coloca el mismo exponente y se dividen las bases.

\boldsymbol{\frac{a^{n}}{b^{n}}=(\frac{a}{b})^{n}}

– Ejemplo:

\boldsymbol{\frac{8^{2}}{4^{2}}=(\frac{8}{4})^{2}=2^{2}}

\boldsymbol{\frac{(-6)^{3}}{(-3)^{3}}=(\frac{(-6)}{(-3)})^{3}=2^{2}}

¿Resultado par o impar?

Toda potencia de base negativa con exponente par da como resultado un número positivo. Por ejemplo:

\boldsymbol{\left ( -3 \right )^{4} = (-3)\times (-3)\times (-3)\times (-3)=81}

Toda potencia de base negativa con exponente impar da como resultado un número negativo. Por ejemplo:

\boldsymbol{\left ( -2 \right )^{5} = (-2)\times (-2)\times (-2)\times (-2)\times (-2)=-32}

Potencias de base 10

Las potencias de base 10 son fáciles de calcular porque el valor es igual a la base seguida de tantos ceros como indica el exponente. Estas son muy útiles para escribir de forma polinómica un número, es decir, permiten escribir números muy grandes de forma reducida.

\boldsymbol{10^{2} = 10 \times 10 = 100}

\boldsymbol{10^{3} = 10 \times 10\times 10 = 1.000}

\boldsymbol{10^{4} = 10 \times 10\times 10\times 10 = 10.000}

\boldsymbol{10^{5} = 10 \times 10 \times 10\times 10\times 10 = 100.000}

\boldsymbol{10^{6} = 10 \times 10\times 10\times 10\times 10\times 10 = 1.000.000}

APLICACIONES DE LAS POTENCIAS

Debido a las diversas propiedades que estas poseen pueden utilizarse para:

  • Aplicar el teorema de Pitágoras
Uno de los teoremas más famosos de la geometría es el teorema de Pitágoras. Este emplea potencias para expresar su fórmula, la cual dice que la hipotenusa al cuadrado de un triángulo rectángulo es igual a la suma de sus catetos al cuadrado, es decir, C2 = A2 + B2.
  • Emplear la notación científica

La notación científica utiliza potencias de base 10 para expresar números muy grandes o muy pequeños en forma reducida. Observa cómo algunos números pueden ser expresados de forma simplificada:

\boldsymbol{0,00000465 = 465\times 10^{-8}}

\boldsymbol{0,00000465 = 46,5\times 10^{-7}}

\boldsymbol{0,00000465 = 4,65\times 10^{-6}}

  • Expresar sucesiones matemáticas y progresiones geométricas

Existen series matemáticas que requieren el uso de las potencias para expresar su forma general o enésima.

Uno de los campos o áreas que usan la potenciación es la biología, específicamente en el estudio de la reproducción de virus y bacterias. Allí, para poder expresar su rápido crecimiento, es necesario emplear este tipo de operación matemática.

¡A practicar!

1. Resuelve las siguientes potencias y aplica las propiedades necesarias:

\boldsymbol{4^{3}+5^{2}=}

Solución

\boldsymbol{4^{3}+5^{2}= 4\times 4\times 4+5\times 5=64+25 = 89}

\boldsymbol{3^{3}\times 9^{3}=}

Solución

\boldsymbol{3^{3}\times 9^{3}= (3\times 9)^{3}= (27)^{3}=27\times 27\times 27=19.683}

\boldsymbol{\frac{8^{5}}{8^{3}}=}

Solución

\boldsymbol{\frac{8^{5}}{8^{3}}= 8^{5-3}=8^{2}= 8\times 8=64}

\boldsymbol{(\frac{4^{3}}{4^{2}})^{2}+\frac{5^{6}\times4^{3}}{5^{5}\times4^{2}}-\frac{2^{0}\times1^{9}}{5^{0}}}

Solución

\boldsymbol{(\frac{4^{3}}{4^{2}})^{2}+\frac{5^{6}\times4^{3}}{5^{5}\times4^{2}}-\frac{2^{0}\times1^{9}}{5^{0}}= 4^{6-4}+5^{6-5}\times4^{3-2}-\frac{1\times1}{1}}

\boldsymbol{4^{2}+5^{1}\times4^{1}-\frac{1\times1}{1}=4\times4+20-1=16+19=35}

2. Expresa los siguientes números en notación científica.

  • \boldsymbol{1.320.000}
Solución

\boldsymbol{1.320.000=1,32\times 10^{6}=13,2\times 10^{5}=132\times 10^{4}}

  • \boldsymbol{0,000968}
Solución

\boldsymbol{0,000968 = 968\times 10^{-6}}

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Propiedades de potencias”

En el siguiente artículo hay más estrategias para ampliar los conocimientos acerca de las propiedades de las potencias.

VER

Artículo “Ejercicios de propiedades de la potencia”

El siguiente recurso le brindará apoyo con ejercicios de potencias, con sus resultados y explicaciones.

VER