CAPÍTULO 1 / TEMA 6

RAÍZ DE UN NÚMERO

Estrechamente relacionada con la potenciación, existe otra operación matemática denominada “radicación”. Ambas operaciones matemáticas son inversas. La raíz cuadrada y la raíz cúbica son unas de las formas de radicación más conocidas. Este tipo de operaciones se emplea en varios ámbitos, especialmente en la geometría y en otras ciencias.

¿Qué es una raíz?

La raíz es el número que se obtiene como resultado de la operación matemática denominada “radicación”. La potenciación calcula el número o potencia que resulta de multiplicar la base por si misma las veces que indica el exponente. La radicación por su parte, calcula la base a partir del exponente y de la potencia. Por eso se dice que son operaciones inversas.

Elementos de las raíces

Para saber cómo encontrar la raíz de un número, primero debemos conocer todos los elementos de la radicación:

Radical: es el símbolo que se emplea en la radicación y se denota como (√).

Radicando: es el número al que se le va a hallar la raíz. Se ubica en la parte inferior del radical, por lo cual es denominado también cantidad subradical.

Índice: es el número que indica las veces que hay que multiplicar un número por sí mismo para obtener el radicando. Se ubica en la abertura izquierda del radical.

Raíz: es el número que al multiplicarse por si mismo las veces que indica el índice es igual al radicando.

¿Sabías qué?

Cuando el índice de una raíz es 2, se denomina raíz cuadrada. En este caso basta con escribir el símbolo de radical sin el índice.

Lectura de raíces

Para leer expresiones de este tipo se debe tener en cuenta que todo depende del número índice de la raíz.

Cuando el número índice es mayor a tres, se utilizan números ordinales para leer el valor de la raíz seguido del radicando. Por ejemplo:

$\sqrt[6]{64}$ = raíz sexta de sesenta y cuatro.

$\sqrt[4]{625}$ = raíz cuarta de seiscientos veintiocho.

Si el índice es 2 se lee “raíz cuadrada” y luego se menciona el número del radicando:

$\sqrt[]{5}$ = raíz cuadrada de cinco.

Cuando el índice es 3 se lee “raíz cúbica” y luego se menciona el número del radicando:

$\sqrt[3]{27}$ = raíz cúbica de veintisiete.

¿Cómo se encuentra la raíz?

La raíz de un número se debe calcular al buscar un número que multiplicado por sí mismo la cantidad de veces que exprese el índice dé como resultado el radicando.

Por ejemplo: si el índice es 3 y el radicando es 8, se debe buscar un número que multiplicado 3 veces por si mismo dé como resultado 8. En este caso, sería 2 porque 2 × 2 × 2 = 8. Por lo tanto, la raíz cúbica de 8 es igual a 2.

$\sqrt[3]{8}= 2$

En el siguiente ejemplo, la raíz cúbica de 64, se obtuvo al buscar un número que multiplicado tres veces por sí mismo dé como resultado 64. En este caso, el resultado es 4 porque 4 × 4 × 4 = 64.

$\sqrt[3]{64}= 4$

Relación entre potenciación y radicación

Existe una estrecha relación entre la potenciación y la radicación, esto se debe a que ambas operaciones son inversas entre sí.

Si consideramos el ejemplo anterior se podría afirmar que como cuatro elevado al cubo es igual a sesenta y cuatro, a su vez, la raíz cúbica de sesenta y cuatro es cuatro. En el siguiente diagrama podemos observar de forma más clara a esta relación:

Al utilizar la relación que existen entre la potenciación y la radicación podemos definir a esta última como la búsqueda de la base de una potencia cuyo exponente es el índice de la raíz; o, en otras palabras, la búsqueda de un número que elevado al índice dé como resultado el radicando. Esto se aplica de forma habitual en cálculos y fórmulas avanzadas.

¿Sabías qué?

No todos los números tienen una raíz exacta. Por ejemplo, $\sqrt{2}=1,41421356...$

Cálculo de raíces

Como vimos anteriormente, para encontrar una raíz debemos hacer multiplicaciones de un número por sí mismo según indique el índice. Sin embargo, en la radicación podemos encontrar uno o más cálculos dentro del radicando. Cuando esto sucede, debemos seguir los siguientes pasos.

Resolver las operaciones que están dentro del radicando.
Resolver la raíz

En los siguientes ejemplos veremos el cálculo cuando dentro del radicando existen sumas y restas:

$\sqrt{100 + 44}$ → $\sqrt{144} = 12$
$\sqrt{250 - 25}$ → $\sqrt{225}= 15$

Cuando se encuentren otras operaciones además de la suma o resta, se resuelven aquellas primero y luego se resuelven las sumas y restas:

$\sqrt[3]{50\times 6 + 43 }$ → $\sqrt[3]{300 + 43}$ → $\sqrt[3]{343}= 7$
$\sqrt{270 : 3 + 10}$ → $\sqrt{90 + 10}$ → $\sqrt{100}= 10$

Los elementos de la radicación son: el índice, el radicando y la raíz. Esta última se obtiene al buscar un número que multiplicado por sí mismo la cantidad de veces que exprese el índice dé como resultado el radicando. En la radicación podemos encontrar uno o más cálculos dentro del símbolo radical. Cuando esto sucede primero se realizan las operaciones y luego se busca la raíz.

¡A practicar!

1. ¿Cómo se leen las siguientes raíces?

a) $\sqrt[3]{1.000}$

b) $\sqrt{49}$

c) $\sqrt[3]{125}$

d) $\sqrt{144}$

e) $\sqrt[4]{256}$

f) $\sqrt[3]{343}$

g) $\sqrt{121}$

RESPUESTAS

a) $\sqrt[3]{1.000}$ = raíz cúbica de mil.

b) $\sqrt{49}$ = raíz cuadrada de cuarenta y nueve.

c) $\sqrt[3]{125}$ = raíz cúbica de ciento veinticinco.

d) $\sqrt{144}$ = raíz cuadrada de ciento cuarenta y cuatro.

e) $\sqrt[4]{256}$ = raíz cuarta de doscientos cincuenta y seis.

f) $\sqrt[3]{343}$ = raíz cúbica de trescientos cuarenta y tres.

g) $\sqrt{121}$ = raíz cuadrada de ciento veintiuno.

2. Calcula las siguientes raíces.

a) $\sqrt[3]{27}$

b) $\sqrt{36}$

c) $\sqrt{16}$

RESPUESTAS

a) $\sqrt[3]{27}$ = 3 → porque 3 x 3 x 3 (o 3³) es 27.

b) $\sqrt{36}$ = 6 → porque 6 x 6 (o 6²) es 36.

c) $\sqrt{16}$ = 4 → porque 4 x 4 (o 4²) es 16.

d) $\sqrt{81}$ = 9 → porque 9 x 9 (o 9²) es 81.

e) $\sqrt[3]{8}$ = 2 → porque 2 x 2 x 2 (o 2³) es 8.

f) $\sqrt[3]{64}$ = 4 → porque 4 x 4 x 4 (o 4³) es 64.

g) $\sqrt{9}$ = 3 → porque 3 x 3 (o 3²) es 9.

Resuelve los cálculos y luego encuentra las raíces:

a) $\sqrt{9 - 7 + 2}$

b) $\sqrt{32\times 2}$

c) $\sqrt{100 : 5 + 5}$

RESPUESTAS

a) $\sqrt{9 - 7 + 2}= \sqrt{2 + 2}=\sqrt{4}=2$

b) $\sqrt{32 \times 2} = \sqrt{64} = 8$

c) $\sqrt{100 : 5 + 5}= \sqrt{20 + 5}=\sqrt{25}=5$

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo destacado “La radicación”

El siguiente artículo explica qué es la radicación, cuáles son sus principales elementos y cómo resolver problemas de este tipo.

VER

Artículo destacado “Propiedades de raíces”

El siguiente artículo te ayudará a conocer en mayor profundidad cuáles son las propiedades de la radicación. Además, contiene algunos ejemplos en donde son aplicadas.

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CAPÍTULO 1 / TEMA 4

Números decimales

Dentro del universo de los números nos encontramos con un tipo muy especial: el de los decimales. Estos números sirven para representar cantidades menores a la unidad. Sus aplicaciones son muchas y son muy importantes, sobre todo en el ámbito de las mediciones porque permiten establecer valores más exactos.

Características de los números decimales

Los números decimales son los que se encuentran entre dos números enteros. Por ejemplo, entre el 1 y el 2 se ubican: 1,1; 1,2; 1,3…

Este tipo de números no llega a conformar un nuevo entero, por lo tanto su composición es de dos partes: la entera y la decimal. Para dividir ambas partes del número se utiliza la coma.

En algunos países se emplea el punto en vez de la coma para separar a los números decimales de los enteros.

Distintos tipos de decimales

Los números decimales se dividen en racionales e irracionales. Los irracionales son números en los que sus cifras decimales son infinitas y no siguen un patrón. Un ejemplo de estos números es el número pi (π). Los racionales, por su parte, pueden ser expresados en forma de fracción y se dividen en exactos, periódicos puros y periódicos mixtos.

Los números decimales exactos son los que tienen un final, es decir; que la parte decimal del número no es infinita. Por ejemplo: 24,657.
Los números decimales periódicos tienen una parte decimal que contiene una o más cifras que se repiten infinitamente, a esta parte decimal se conoce como período. Cuando dicho período está compuesto por una cifra que se repite infinitamente se lo denomina periódico puro. Por ejemplo: 6,8888… Por otro lado, cuando la parte decimal está compuesta por un número que no se repite y otro que sí se repite se lo denomina periódico mixto. Por ejemplo: 4,287878787…

VER INFOGRAFÍA

¿Cómo escribir un número periódico?

Para escribir un número decimal periódico (sea puro o mixto), se debe escribir un arco encima de la parte periódica del número para indicar que se repite infinitamente.

– Por ejemplo:

Decimal puro: $5,222...=\boldsymbol{5,\widehat{2}}$

Decimal mixto: $8,1646464...=\boldsymbol{8,1\widehat{64}}$

¿Sabías qué?

Hay infinitos números decimales entre dos números enteros.

Lectura de números decimales

Para poder leer números decimales debemos tener presente la clasificación de cada cifra según su valor posicional; es decir, tenemos que recordar que las cifras decimales de los números decimales, de izquierda a derecha después de la coma, se denominan: décima, centésima y milésima. Estos serían valores posicionales de la parte decimal del número.

A la hora de leerlo podemos expresar la parte entera seguida de la preposición “con” y luego la parte decimal. Para esta última se lee el número que se forma con las cifras decimales y se asigna el valor posicional de la última cifra decimal. Por ejemplo, para leer el número 6,718 debemos hacerlo de la siguiente manera:

6,718 → “Seis con setecientas dieciocho milésimas”.

Otra manera posible es: leer la parte entera seguida de la palabra “coma” y luego el número que conforma la parte decimal, sin expresar el valor de la posición. Por ejemplo:

6,718 → “Seis coma setecientos dieciocho”.

Cero a la izquierda de la coma

Cuando un decimal tiene un cero a la izquierda de la coma quiere decir que es menor a la unidad y se suele leer solo la parte decimal de acuerdo a su última cifra. Por ejemplo:

0,45 → “Cuarenta y cinco centésimas”.

Otra forma es decir la palabra “cero” seguida de la palabra “coma” y luego el número que conforma la parte decimal, sin expresar el valor de la posición.

0,45 → “Cero coma cuarenta y cinco”.

Para tener en cuenta

Los ceros que están en la última cifra de la parte decimal del número pueden o no leerse.

5,20 = 5,2

Esto se debe a que veinte centésimas es equivalente (es decir que vale lo mismo) a dos décimas, ya que veinte centésimas son veinte partes de cien (20/100) y dos décimas son dos partes de diez (2/10).

Por lo tanto, el número del ejemplo puede leerse de estas dos maneras:

5,20 → “Cinco con veinte centésimas”.

5,2 → “Cinco con dos décimas”.

Redondeo de decimales

En primer lugar, debemos saber que el término “redondear” aplicado a los números decimales quiere decir: aproximar un número a otro (menor o mayor) que tenga menos cifras decimales para lograr reducir la cantidad y poder determinar de forma más fácil la ubicación del número.

– Por ejemplo:

5,649 se puede redondear a 5,65.
8,78 se puede redondear a 8,8.
15,86 se puede redondear a 15,9.
42,39 se puede redondear a 42,4.

Reglas para el redondeo de decimales

Cuando la última cifra decimal es 0, 1, 2, 3 o 4: el número se debe redondear hacia abajo (uno menor). Por lo tanto, se quita la última cifra del número. Por ejemplo: 7,6281 se puede redondear a 7,628.

Cuando la última cifra decimal es 5, 6, 7, 8 o 9: el número se debe redondear hacia arriba (uno mayor). Por lo tanto, se le quita la última cifra al número y se aumenta +1 la penúltima. Por ejemplo: 4,58 se puede redondear a 4,6.

¡A practicar!

1. Escribe en letras como se leerían los siguientes números.

64,15
21,4
9,285
7,406

Solución

64,15 → sesenta y cuatro con quince centésimas. / sesenta y cuatro coma quince.
21,4 → veintiuno con cuatro décimas. / veintiuno coma cuatro.
9,285 → nueve con doscientos ochenta y cinco milésimas. / nueve coma doscientos ochenta y cinco.
7,406 → siete con cuatrocientas seis milésimas. / siete coma cuatrocientos seis.

2. Ubica la coma donde corresponda.

Ocho con trescientas once milésimas → 8311

Solución

8,311

Cincuenta y cuatro centésimas → 054

Solución

,054

Veintisiete con setenta y siete centésimas → 2777

Solución

27,77

3. Escribe en letras los números decimales.

a. 15,02

b. 6,616

c. 71,25

d. 822,3

Solución

a. 15,02 → “quince con dos centésimas.”

b. 6,616 → “seis con seiscientas dieciséis milésimas.”

c. 71,25 → “setenta y uno con veinticinco centésimas.”

d. 822,3 → “ochocientos veintidós con tres décimas.”

4. Lee y escribe los números que correspondan.

a. Veintiuno con cinco décimas.

b. Doce con cuarenta y cinco centésimas.

c. Ciento veinte con trescientos veinte milésimas.

d. Setenta y cinco centésimas.

Solución

a. 21,5

b. 12,45

c. 120,320

d. 0,75

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo destacado “Números decimales”

El siguiente artículo te permitirá conocer más acerca de los números decimales:

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Video “Aproximación de decimales”

El video se enfoca en cómo calcular aproximaciones de números decimales a través de varios ejercicios que facilitan su comprensión.

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CAPÍTULO 1 / TEMA 6 (REVISIÓN)

SISTEMAS NUMÉRICOS | ¿QUÉ APRENDIMOS?

¿QUÉ SON LOS NÚMEROS?

LOS NÚMEROS SON EXPRESIONES GRÁFICAS DE UNA CANTIDAD. GRACIAS A ELLOS CONTAMOS JUGUETES, HORAS O EDADES. A LO LARGO DE LA HISTORIA LOS SERES HUMANOS HAN UTILIZADO DIFERENTES RECURSOS COMO PALOS Y PIEDRAS PARA CONTAR, HASTA LLEGAR A UTILIZAR LOS SÍMBOLOS DE LOS NÚMEROS TAL COMO LOS CONOCEMOS HOY: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Y 9.

LOS NÚMEROS SON NECESARIOS PARA EL HOMBRE PORQUE NOS PERMITEN LLEVAR A CABO UNA TAREA DIARIA: CONTAR.

TIPOS DE NÚMEROS

POR LO GENERAL UTILIZAMOS DOS TIPOS DE NÚMEROS: LOS CARDINALES, QUE NOS SIRVEN PARA INDICAR UNA CANTIDAD DE ELEMENTOS, Y LOS ORDINALES, QUE USAMOS PARA EXPRESAR EL ORDEN O LA POSICIÓN DE UN ELEMENTO DENTRO DE UN GRUPO. LOS NÚMEROS ROMANOS FUERON INVENTADOS MUCHO ANTES DE LOS NÚMEROS QUE USAMOS HOY DÍA, SIN EMBARGO, SU USO HA PERDURADO EN LA HISTORIA Y ES POSIBLE VERLOS EN LOS NOMBRES DE PAPAS, LA NUMERACIÓN DE LAS OLIMPÍADAS DEPORTIVAS O ALGUNOS RELOJES ANTIGUOS.

LOS NÚMEROS ROMANOS SE REPRESENTAN CON SÍMBOLOS PARECIDOS A ALGUNAS DE NUESTRAS LETRAS MAYÚSCULAS.

SERIES Y RELACIONES

UNA SERIE ES UNA SUCESIÓN DE NÚMEROS QUE SIGUEN UN PATRÓN O REGLA. ESTAS SERIES PUEDEN SER DE OBJETOS, FIGURAS O NÚMEROS Y PUEDEN SER ASCENDENTES O DESCENDENTES. LAS SERIES ASCENDENTES SON LAS QUE VAN DE MENOR A MAYOR, POR EJEMPLO, CUANDO CONTAMOS LA CANTIDAD DE LÁPICES QUE TENEMOS: 1, 2, 3, …POR OTRO LADO, LAS SERIES DESCENDENTES SON LAS QUE VAN DE MAYOR A MENOR, COMO CUANDO CONTAMOS LOS SEGUNDOS PARA EL AÑOS NUEVO: 5, 4, 3, 2, 1.

CUANDO CONTAMOS DE 1 EN 1 CREAMOS UNA SERIE NUMÉRICA ASCENDENTE PORQUE CADA NÚMERO TIENE UNA UNIDAD MÁS QUE EL ANTERIOR.

NÚMEROS NATURALES

LOS NÚMEROS NATURALES SON AQUELLOS QUE NOS PERMITEN CONTAR LOS ELEMENTOS DE UN CONJUNTO. CUANDO TIENEN MÁS DE UN DÍGITO, EL VALOR DE CADA UNO DEPENDE DE LA UBICACIÓN DENTRO DEL NÚMERO: SEGÚN SU POSICIÓN PODRÁ OCUPAR EL LUGAR DE LAS UNIDADES, LAS DECENAS O LAS CENTENAS. LOS NÚMEROS NATURALES SE PUEDEN EXPRESAR SIEMPRE COMO EL RESULTADO DE UNA SUMA POR MEDIO DE SU DESCOMPOSICIÓN ADITIVA.

CONJUNTOS

UN CONJUNTO ES UNA COLECCIÓN DE OBJETOS A LOS QUE LLAMAMOS ELEMENTOS. PARA PODER SER ELEMENTOS DE UN MISMO CONJUNTO, TODOS DEBEN TENER ALGUNA CARACTERÍSTICA EN COMÚN QUE NOS PERMITA AGRUPARLOS, POR EJEMPLO, EL CONJUNTO DE LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS ESTARÍA CONFORMADO POR CÍRCULOS, TRIÁNGULOS, CUADRADOS Y RECTÁNGULOS. SI UN ELEMENTO POSEE ESA CARACTERÍSTICA COMÚN CON LOS OTROS OBJETOS SE DICE QUE PERTENECE AL CONJUNTO, SI NO POSEE ESA CARACTERÍSTICA EN COMÚN SE DICE QUE NO PERTENECE AL CONJUNTO.

AUNQUE EN LA IMAGEN VEMOS ELEMENTOS DISTINTOS, COMO ANIMALES, ALIMENTOS Y FIGURAS, TODOS TIENEN ALGO EN COMÚN: SON DE COLOR VERDE, POR LO TANTO, FORMAN UN CONJUNTO.

CAPÍTULO 1 / TEMA 4

NÚMEROS NATURALES

USAMOS NÚMEROS NATURALES TODOS LOS DÍAS: CUANDO CONTAMOS LAS HORAS, DAMOS UN NÚMERO DE TELÉFONO O AL DECIR NUESTRA EDAD. CON SOLO 10 DÍGITOS PODEMOS FORMAR CUALQUIER CANTIDAD DE NÚMEROS, Y PARA ESTO ES IMPORTANTE SABER LA POSICIÓN DE CADA CIFRA, ES DECIR, SU VALOR POSICIONAL.

¿QUÉ SON LOS NÚMEROS NATURALES?

LOS NÚMEROS NATURALES SON LOS QUE USAS A DIARIO PARA CONTAR. TODO NÚMERO NATURAL SIEMPRE TIENE UN SUCESOR, ES DECIR, UN NÚMERO QUE VIENE DESPUÉS Y ES MÁS GRANDE.

LOS NÚMEROS NATURALES SON LOS PRIMEROS QUE USÓ EL HOMBRE PARA CONTAR. DEBIDO A QUE ESTOS NÚMEROS SE UTILIZAN PARA SABER CANTIDADES, EL CERO PUEDE CONSIDERARSE EL NÚMERO IGUAL A LA AUSENCIA DE ALGO. LAS DIEZ CIFRAS DE NUESTRO SISTEMA DE NUMERACIÓN SON LOS PRIMEROS DIEZ NÚMEROS DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Y 9.

¿SABRÍAS QUÉ?

SI EMPIEZAS A CONTAR NO TERMINARÁS NUNCA, LOS NÚMEROS NO TIENEN FIN.

VALOR POSICIONAL DE LOS NÚMEROS

OBSERVA ESTOS DOS NÚMEROS, ¿SON IGUALES?

12 21

NO, NO SON IGUALES. EL PRIMERO ES EL DOCE Y EL SEGUNDO ES EL VEINTIUNO.

SI BIEN LOS DOS UTILIZAN LAS MISMAS CIFRAS: 1 Y 2, LA POSICIÓN ES DIFERENTE Y POR LO TANTO, SU VALOR TAMBIÉN ES DIFERENTE. ESTO ES LO QUE CONOCEMOS COMO VALOR POSICIONAL.

UNIDADES, DECENAS Y CENTENAS

OBSERVA LA IMAGEN, ¿CUÁNTOS CARAMELOS HAY?

HAY UN SOLO CARAMELO.

1 = 1 UNIDAD

¿CUÁNTOS CARAMELOS HAY?

HAY 10 CARAMELOS.

10 = 1 DECENA

¿CUÁNTOS CARAMELOS HAY?

HAY 100 CARAMELOS.

100 = 1 CENTENA

AL CONTAR MONEDAS PODEMOS HACER GRUPOS DE 1 EN 1 HASTA TENER 10. SI UNIMOS 10 GRUPOS DE 10 TENDREMOS 100 MONEDAS. CADA MONEDA DE 1 ES IGUAL A LA UNIDAD, EL GRUPO DE 10 ES IGUAL A LA DECENA Y EL GRUPO DE 100 ES IGUAL A LA CENTENA. VISTO DE OTRO MODO:

1 CUADRO = 1 UNIDAD

10 CUADROS = 1 DECENA = 10 UNIDADES

100 CUADROS = 1 CENTENA = 10 DECENAS = 100 UNIDADES

TABLA DE VALOR POSICIONAL

PODEMOS UBICAR CUALQUIER NÚMERO EN UNA TABLA SEGÚN SU VALOR POSICIONAL. EL PRIMER NÚMERO DE DERECHA A IZQUIERDA SERÁ LA UNIDAD, EL SEGUNDO SERÁ LA DECENA Y EL TERCERO SERÁ LA CENTENA.

– EJEMPLO:

¿CUÁNTOS POLLITOS HAY?

SI CONTAMOS LOS PRIMEROS DIEZ Y LOS AGRUPAMOS TENEMOS UNA DECENA. LUEGO CONTAMOS LOS DEMÁS 1 POR 1.

1 DECENA Y 8 UNIDADES SON 18.

EN UNA TABLA DE VALOR POSICIONAL QUEDA ASÍ:

– OTRO EJEMPLO:

¿CUÁNTOS HUEVOS DE PASCUA HAY?

2 DECENAS Y 4 UNIDADES SON 24.

ES LA TABLA POSICIONAL:

¡ES TU TURNO!

¿CUÁNTOS GUSANOS HAY?

SOLUCIÓN

3 DECENAS Y 5 UNIDADES SON 35.

EN LA TABLA POSICIONAL QUEDA ASÍ:

DESCOMPOSICIÓN ADITIVA

EL ELEMENTO ENTERO MÁS PEQUEÑO QUE PODEMOS CONTAR SE LLAMA UNIDAD, 10 UNIDADES FORMAN UNA DECENA Y 10 DECENAS FORMAN UNA CENTENA.

TODO NÚMERO PUEDE SER REPRESENTADO COMO UNA SUMA DE SUS VALORES POSICIONALES, OBSERVA:

EL NÚMERO 24 TIENE:

2 DECENAS = 2 VECES 10 = 20
4 UNIDADES = 4 VECES 1 = 4

LA DESCOMPOSICIÓN ADITIVA SE ESCRIBE ASÍ:

24 = 20 + 4

– OTRO EJEMPLO:

EL NÚMERO 123 TIENE:

1 CENTENA = 1 VEZ 100 = 100
2 DECENAS = 2 VECES 10 = 20
3 UNIDADES = 3 VECES 1 = 3

LA DESCOMPOSICIÓN ADITIVA ES:

123 = 100 + 20 + 3

CUADRO DE NÚMEROS

ESTE CUADRO TIENE EN FORMA ORDENADA LOS NÚMEROS DEL 1 AL 100. ES MUY ÚTIL PARA APRENDER A CONTAR Y TAMBIÉN PARA APRENDER EL NOMBRE DE LOS NÚMEROS.

el sucesor de un número

EL SUCESOR DE UN NÚMERO NATURAL ES EL RESULTADO DE SUMARLE 1 A ESE NÚMERO.

– EJEMPLO:

EL SUCESOR DE 5 ES 6 PORQUE 5 + 1 = 6.
EL SUCESOR DE 26 ES 27 PORQUE 26 + 1 = 27.
EL SUCESOR DE 49 ES 50 PORQUE 49 + 1 = 50.

¡A PRACTICAR!

1. ¿CUÁL ES EL SUCESOR DE LOS SIGUIENTES NÚMEROS?

SOLUCIÓN

8 PORQUE 7 + 1 = 8.

SOLUCIÓN

11 PORQUE 10 + 1 = 11.

SOLUCIÓN

57 PORQUE 56 + 1 = 57.

SOLUCIÓN

80 PORQUE 79 + 1 = 80.

SOLUCIÓN

24 PORQUE 23 + 1 = 24.

SOLUCIÓN

5 PORQUE 4 + 1 = 5.

SOLUCIÓN

100 PORQUE 99 + 1 = 100.

2. COLOCA CADA NÚMERO EN UNA TABLA POSICIONAL.

SOLUCIÓN

3. REALIZA LA DESCOMPOSICIÓN ADITIVA DE LOS SIGUIENTES NÚMEROS.

SOLUCIÓN

32 = 30 + 2

SOLUCIÓN

116 = 100 + 10 + 6

SOLUCIÓN

91 = 90 + 1

SOLUCIÓN

100 = 100 + 30 + 6

SOLUCIÓN

58 = 50 + 8

SOLUCIÓN

46 = 40 + 6

4. AYUDA A LA GALLINA A LLEGAR AL NIDO. ENCUENTRA EL SUCESOR DE CADA NÚMERO A PARTIR DEL 1.

SOLUCIÓN

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “¿Qué es un número natural?”

Este artículo te permitirá profundizar sobre los números naturales y sus características.

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Artículo “Composición y descomposición de números”

Con este recurso podrás ampliar la información sobre la composición de número naturales.

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CAPÍTULO 4 / TEMA 5

APLICACIÓN DE LA POTENCIA Y DE LA RADICACIÓN

La potenciación y la radicación son operaciones estrechamente relacionadas. Mientras que la primera es una multiplicación condensada de un número por sí mismo n cantidad de veces, la segunda busca ese número que multiplicado por sí mismo resulte en el radicando. Si bien sus propiedades ya se trataron en temas anteriores, aquí aprenderás otras aplicaciones de estos cálculos.

operaciones que simplifican

Tanto la potenciación como la radicación son operaciones útiles para mostrar números de manera más simple. Por ejemplo, dentro del conjunto de los números reales encontramos otros tipos de números que no son sencillos de representar, como los números irracionales, cuyas expresiones decimales son ilimitadas y no periódicas, por lo que es más fácil mostrarlo como una raíz:

$\boldsymbol{\sqrt{2}=1,414213562...}$

$\boldsymbol{\sqrt{3}=1,732050807...}$

$\boldsymbol{\sqrt{5}=2,236067977...}$

Por su parte, la potencia nos ayuda a expresar números muy grandes o muy pequeños de manera resumida, pues la potencia no es más que una multiplicación abreviada.

La descomposición en factores primos y la notación científica son solo dos de los procesos que pueden verse involucrados con la potenciación y la radicación. Ambas operaciones son empleadas en múltiples cálculos cotidianos y en diversas áreas como la astronomía, la ingeniería o la biología.

Las bacterias son microorganismos que crecen con un ritmo acelerado. Este crecimiento suele expresarse en forma de potencia con exponente positivo y se grafica en forma de línea curva ascendente. Saber que tan rápida puede ser la reproducción de una bacteria puede prevenir focos de infección en un paciente y evitar que este sea una víctima mortal.

descomposición en factores primos

También conocida como descomposición factorial o factorización, consiste en escribir un número como producto de sus números primos. Cada vez que un factor se repita en la descomposición, este se convertirá en la base de una potencia y la cantidad de veces que se repita será el exponente.

– Ejemplo:

¿Qué es un número primo?

Un número primo es un número natural que tiene dos divisores positivos: al uno y a sí mismo. Esta tabla muestra los primero números primos en color azul.

¿Sabías qué?

Las factorización es un paso indispensable para calcular el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de un número.

Las raíces también se pueden obtener por medio de la descomposición del radicando en sus números primos.

– Ejemplo:

Halla la raíz cuadrada de 625 por descomposición de sus factores primos.

1. Descomponemos al número 625 en sus factores primos.

2. Expresamos la raíz cuadrada con producto de la descomposición.

$\boldsymbol{\sqrt{625}=\sqrt{5^{4}}}$

3. Aplicamos la propiedad “raíz de un potencia”.

$\boldsymbol{\sqrt{5^{4}}=5^{\frac{4}{2}}=5^{2}=25}$

4. Escribimos el resultado.

$\boldsymbol{\sqrt{625}=25}$

– Otro ejemplo:

Halla la raíz cuadrada de 196 por descomposición de sus factores primos.

1. Descomponemos al número 196 en sus factores primos.

2. Expresamos la raíz cuadrada con su radicando igual al producto de su descomposición.

$\boldsymbol{\sqrt{196}=\sqrt{2^{2}\times 7^{2}}}$

3. Aplicamos la propiedad “raíz de un producto”.

$\boldsymbol{\sqrt{2^{2}\times 7^{2}}=\sqrt{2^{2}}\times \sqrt{7^{2}}}$

4. Aplicamos la propiedad “raíz de una potencia”.

$\boldsymbol{\sqrt{2^{2}}\times \sqrt{7^{2}}=2^{\frac{2}{2}}\times 7^{\frac{2}{2}}=2\times 7=14}$

5. Escribimos el resultado.

$\boldsymbol{\sqrt{196}=14}$

– Otro ejemplo:

Halla la raíz cúbica de 1.728 por descomposición de sus factores primos.

Descomponemos el número 1.728 en sus factores primos.

2. Expresamos la raíz cúbica con su radicando igual al producto de su descomposición.

$\boldsymbol{\sqrt[3]{1.728}=\sqrt[3]{2^{6}\times 3^{3}}}$

3. Aplicamos la propiedad “raíz de un producto”.

$\boldsymbol{\sqrt[3]{2^{6}\times 3^{3}}=\sqrt[3]{2^{6}}\times \sqrt[3]{3^{3}}}$

4. Aplicamos la propiedad “raíz de una potencia”.

$\boldsymbol{\sqrt[3]{2^{6}}\times \sqrt[3]{3^{3}}=2^{\frac{6}{3}}\times 3^{\frac{3}{3}}=2^{2}\times 3=4\times 3=12}$

5. Escribimos el resultado.

$\boldsymbol{\sqrt[3]{1.728}=12}$

Velocidad de un auto en un accidente

Cuando ocurre una accidente de tránsito, por lo general las llantas de los autos dejan una marca sobre el pavimento al frenar. Esta marca es de gran utilidad para los fiscales de tránsito, pues la raíz cuadrada del producto entre la aceleración y la longitud de la marca de frenado es igual a la velocidad del vehículo al momento del choque.

$\boldsymbol{\sqrt{-2ax}}$

Donde:

a = aceleración

x = longitud de las marcas de frenado

NOTACIÓN CIENTÍFICA

La notación científica es la expresión de números a partir de potencias de base 10. De forma general se representan así:

a × 10ⁿ

Donde:

a: es el número entero o decimal que multiplica a la potencia de base 10. Su módulo debe tener un valor igual o mayor que 1 pero menor que 10.

n: es un número entero distinto de cero que corresponde al exponente de la potencia de base 10. Es conocido también como “orden de magnitud”.

Se escriben de la siguientes manera:

10⁻⁵= 0,00001
10⁻⁴ = 0,0001
10⁻³ = 0,001
10⁻² = 0,01
10⁻¹ = 0,1
10⁰ = 1
10¹ = 10
10² = 100
10³ = 1.000
10⁴ = 10.000
10⁵ = 100.000

Signos del exponente

Cuando los números son muy pequeños o menores a 1 el exponente es negativo, mientras que si el número es muy grande o mayores a 1 el exponente es positivo.

Los exponentes positivos indican la cantidad de ceros que se encuentran a la derecha del número que multiplica la potencia. Por ejemplo, el número 2.000.000 representado en notación científica es 2 × 10⁶ en donde el exponente 6 indica la cantidad de ceros que están después del dos.
Los exponentes negativos indican la cantidad de ceros a la izquierda del número que multiplica la potencia. Por ejemplo, el número 0,00000004 representado en notación científica es 4 × 10⁻⁸. En este caso el signo menos indica que hay 8 ceros delante del 4.

Nuestro planeta Tierra se encuentra en la galaxia espiral llamada Vía Láctea, la cual tiene unos 100.000 años luz de diámetro. Los científicos estiman que hay alrededor de 400.000.000.000 estrellas en esta galaxia. Estos número tan grandes podemos expresarlos por medio de notación científica como 1 × 10⁵ años luz de diámetro y 4 × 10¹¹ estrellas.

– Otros ejemplos:

3,2 × 10⁻³ = 0,0032
4 × 10⁻⁴ = 0,0004
1,05 × 10⁶ = 1.050.000
6,78 × 10⁻¹ = 0,678
9,43 × 10² = 943

¿Sabías qué?

En el caso de números muy grandes, lo primero que se debe hacer es mover la coma decimal a un número que esté comprendido entre 1 y 10. El número de espacios recorridos hasta dicho número corresponderá al exponente de la potencia de base 10.

8.956.000.000.000 = 8,956 × 10¹²
243.000 = 2,43 × 10⁵
90.000 = 9 × 10⁴
0,00000045 = 4,5 × 10⁻⁷
0,007 = 7 × 10⁻³

¡A practicar!

1. Expresa los siguientes números como producto de sus factores primos.

Solución

520 = 2³ × 5 × 13

Solución

156 = 2² × 3 × 13

Solución

200 = 2³ × 5²

Solución

86 = 2 × 43

Solución

22 = 2 × 11

2. Calcula las siguientes raíces por descomposición de sus factores primos.

$\sqrt[3]{729}$

Solución

$\sqrt[3]{729}=9$

$\sqrt[3]{64}$

Solución

$\sqrt[3]{64}=4$

$\sqrt[3]{343}$

Solución

$\sqrt[3]{343}=7$

$\sqrt{324}$

Solución

$\sqrt{324}=18$

$\sqrt{400}$

Solución

$\sqrt{400}=20$

3. Calcula:

6 × 10⁸

Solución

6 × 10⁸ = 600.000.000

3 × 10⁻⁵

Solución

3 × 10⁻⁵ = 0,00003

1,26 × 10⁻⁶

Solución

1,26 × 10⁻⁶ = 0,00000126

1,78 × 10⁵

Solución

1,78 × 10⁵ = 178.000

2 × 10⁴

Solución

2 × 10⁴ = 20.000

RECURSOS PARA DOCENTES

Video “Notación científica”

Este recurso audiovisual le permitirá poner en práctica lo aprendido sobre la notación científica.

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Artículo “Factorización de números”

Este artículo detalla cómo descomponer números en sus factores primos y su relación con el cálculo del mínimo común múltiplo y máximo común divisor.

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CAPÍTULO 4 / TEMA 4

Propiedades de las Raíces

La radicación consiste en la obtención de un número que se ha multiplicado por sí mismo n cantidad de veces bajo el operador de la raíz, por eso también se conoce como “raíz enésima de un número”. De este modo, también podemos decir que la radicación es la operación inversa a la potenciación y, al igual que esta última, presenta propiedades importantes que aprenderás a continuación.

El origen del símbolo radical es incierto. Algunos autores coinciden en que provino de los árabes, mientras que otros afirman que fue introducido en siglo XVI por Christoph Rudolff, cuyo uso es evidenciado en su libro *Coss*. Muchos otros asocian el origen del signo de la raíz con la letra r, de la palabra latina *radix* que significa “raíz”.

¿Qué es la radicación?

Es una operación que consiste en hallar números que multiplicados por sí mismos tantas veces como indica el índice de la raíz den como resultado al radicando. Puede verse como la operación inversa a la potenciación.

$\boldsymbol{\sqrt[n]{a} = b\; \; \Leftrightarrow \; \; b^{n}=a}$

– Ejemplo:

$\boldsymbol{\sqrt{81}=9}\: \: \: porque\: \: \: \boldsymbol{9^{2}=9\times 9=81}$

$\boldsymbol{\sqrt[3]{27} = 3}\; \; porque\; \; \boldsymbol{ 3^{3} = 3\times 3\times 3 =27}$

Elementos de una raíz

Toda raíz cuenta con tres elementos:

$\huge \boldsymbol{\sqrt[n]{a}=b}$

Índice (n): orden de la raíz que se aplica al radicando. Indica cuántas veces multiplicamos un número por sí mismo para obtener el radicando.
Radicando (a): número sometido a la raíz del orden determinado por el índice.
Raíz (b): resultado de la radicación, el cual elevado al orden de la raíz da como resultado el radicando.

principales propiedades de la radicación

Las propiedades de la radicación tienen una gran cantidad de aplicaciones y, del mismo modo que en la potenciación, no se deben aplicar las propiedades a las operaciones de suma y resta, sino solo a las de multiplicación y división.

Propiedades de la radicación
Raíz de cero	$\boldsymbol{\sqrt[n]{0}=0\; \: \: \: \: \: n\neq 0}$
Raíz de la unidad	$\boldsymbol{\sqrt[n]{1}=1}$
Raíz de un producto	$\boldsymbol{\sqrt[n]{a\times b}=\sqrt[n]{a}\times \sqrt[n]{b}}$
Raíz de un cociente	$\boldsymbol{\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}}$
Potencia de una raíz	$\boldsymbol{\left ( \sqrt[n]{a} \right )^{x}=\sqrt[n]{a^{x}}}$
Raíz de una raíz	$\boldsymbol{\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\times m]{a}}$

¿Sabías qué?

La mayoría de los números irracionales pueden ser expresados a partir de una raíz, por ejemplo, $\sqrt{2}$ o $\sqrt{3}$ .

raíz cuadrada de números negativos

La raíz cuadrada de números negativos no tiene solución dentro de los números reales ( $\boldsymbol{\mathbb{R}}$ ) porque no existe un número (positivo o negativo) que al ser multiplicado por sí mismo resulte en otro negativo. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 4 es igual a 2 porque 2² es igual a 4.

$\boldsymbol{\sqrt{4}=2}\: \: \: porque \: \: \: \boldsymbol{2^{2}=2\times 2=4}$

Pero esta raíz también tiene otra solución negativa:

$\boldsymbol{\sqrt{4}=-2} \: \: \: porque\: \: \: \boldsymbol{\left ( -2 \right )^{2}=\left ( -2 \right )\times \left ( -2 \right )=4}$

Recuerda que la regla de los signos indica que al multiplicar símbolos iguales el resultado es positivo.

Ahora, ¿cuál será la raíz cuadrada de −4?

$\boldsymbol{\sqrt{-4}=} no \: \: existe$

La raíz cuadrada de −4 no existe en los números reales porque no hay un número que al multiplicarse por sí mismo resulte en −4.

Sin embargo, esto no significa que no tenga solución posible, sino que pertenece a otro grupo numérico: los números complejos. Los números complejos incluyen una parte imaginaria que sirve para obtener resultados que no pertenecen a los reales.

Soluciones de una raíz

Siempre que el radicando sea negativo, la raíz tendrá solución real solo si el índice es impar, en cambio, si el índice es par, el resultado pertenecerá a los números imaginarios. Esto se debe a la regla de los signos, pues si multiplicamos por sí mismo un número negativo una cantidad de veces par (2, 4, 6, 8,…) el resultado será igualmente positivo.

aplicación de las propiedades de la radicación

Raíz de cero

Toda raíz cuyo radicando sea cero es igual a cero, siempre y cuando su índice sea diferente de dicho número.

$\boldsymbol{\sqrt[n]{0}=0\; \: \: \: \: \: n\neq 0}$

– Ejemplo:

$\sqrt[3]{0}=0$

$\sqrt[5]{0}=0$

Raíz de la unidad

La raíz de la unidad es igual a uno.

$\boldsymbol{\sqrt[n]{1}=1}$

– Ejemplo:

$\sqrt[3]{1}=1$

$\sqrt{1}=1$

Raíz de un producto

La raíz de un producto es igual al producto de las raíces de los factores.

$\boldsymbol{\sqrt[n]{a\times b}=\sqrt[n]{a}\times \sqrt[n]{b}}$

– Ejemplo:

$\sqrt[3]{64\times 8}=\sqrt[3]{64}\times \sqrt[3]{8}=4\times 2=8$

$\sqrt{9\times 25}=\sqrt{9}\times \sqrt{25}=3\times 5=15$

Raíz de un cociente

La raíz de un cociente es igual al cociente de las raíces del dividendo y del divisor.

$\boldsymbol{\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}}$

– Ejemplo:

$\sqrt{\frac{576}{4}}=\frac{\sqrt{576}}{\sqrt{4}}=\frac{24}{2}=12$

$\sqrt[3]{\frac{64}{8}}=\frac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{8}}=\frac{4}{2}=2$

Potencia de una raíz

La potencia de una raíz es igual a la misma raíz con el radicando elevado a dicha potencia.

$\boldsymbol{\left ( \sqrt[n]{a} \right )^{x}=\sqrt[n]{a^{x}}}$

– Ejemplo:

$\left ( \sqrt{4} \right )^{4}=\sqrt{4^{4}}=\sqrt{256}=16$

$\left ( \sqrt[3]{3} \right )^{9}=\sqrt[3]{3^{9}}=\sqrt[3]{19.683}=27$

¡Existe otro método!

La potencia de una raíz es igual al radicando elevado al cociente de las potencias.

$\left ( \sqrt{4} \right )^{4}=4^{\frac{4}{2}}=4^{2}=16$

$\left ( \sqrt[3]{3} \right )^{9}=3^{\frac{9}{3}}=3^{3}=27$

Raíz de una raíz

La raíz de una raíz es igual otra raíz con el mismo radicando y cuyo índice es igual al producto de los índices.

$\boldsymbol{\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\times m]{a}}$

– Ejemplo:

$\sqrt{\sqrt[3]{64}}=\sqrt[2\times 3]{64}=\sqrt[6]{64}=2$

$\sqrt{\sqrt{81}}=\sqrt[2\times 2]{81}=\sqrt[4]{81}=3$

Números irracionales

Existen números que no se pueden expresar como el cociente de dos enteros. Estos reciben el nombre de número irracionales y las raíces son un ejemplo de ellos. Uno de los números irracionales más famosos es el número pi (π). A lo largo de la historia el valor de pi ha tenido distintas aproximaciones y se lo usa, entre otras cosas, para el cálculo de superficies y volúmenes de circunferencias y esferas.

Suma y resta de radicales

Podemos sumar y restar radicales siempre y cuando estos sean semejantes, es decir, que tengan el mismo índice y el mismo radicando. Cuando esto sucede, solo sumamos o restamos los coeficientes y mantenemos el radical igual.

$\boldsymbol{{\color{Red} b}\sqrt[n]{a}+{\color{Red} c}\sqrt[n]{a}=({\color{Red} b+c})\sqrt[n]{a}}$

– Ejemplo:

$5\sqrt{8}+\sqrt{8}+2\sqrt{8}=(5+1+2)\sqrt{8}=8\sqrt{8}$

$3\sqrt{25}+\sqrt{25}+\sqrt[3]{25}=4\sqrt{25}+\sqrt[3]{25}$

¡A practicar!

Resuelve estas raíces y aplica las propiedades.

$\sqrt{4}\times \sqrt{9}$

Solución

$\sqrt{4}\times \sqrt{9}=\sqrt{4\times 9}=\sqrt{36}=6$

$\frac{\sqrt[4]{64}}{\sqrt[4]{4}}$

Solución

$\frac{\sqrt[4]{64}}{\sqrt[4]{4}}=\sqrt[4]{\frac{64}{4}}=\sqrt[4]{16}=2$

$\sqrt{\sqrt[4]{256}}$

Solución

$\sqrt{\sqrt[4]{256}}=\sqrt[2\times 4]{256}=\sqrt[8]{256}=2$

$\sqrt[4]{3}\times \sqrt[4]{27}$

Solución

$\sqrt[4]{3}\times \sqrt[4]{27}=\sqrt[4]{3\times 27}=\sqrt[4]{81}=3$

$\frac{\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{2}}$

Solución

$\frac{\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{2}}=\sqrt[3]{\frac{16}{2}}=\sqrt[3]{8}=2$

$\sqrt{3}\times \sqrt{12}$

Solución

$\sqrt{3}\times \sqrt{12}=\sqrt{3\times 12}=\sqrt{36}=6$

$\sqrt{\frac{16}{9}}$

Solución

$\sqrt{\frac{16}{9}}=\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{9}}=\frac{4}{3}$

$\frac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}}$

Solución

$\frac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{98}{2}}=\sqrt{49}=7$

$\sqrt{8}\times \sqrt{2}$

Solución

$\sqrt{8}\times \sqrt{2}=\sqrt{8\times 2}=\sqrt{16}=4$

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Los números irracionales”

En el artículo podrá encontrar los números irracionales más conocidos y su representación en la recta numérica. Es un buen complemento para afianzar la importancia de la radicación y experimentar sus aplicaciones.

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Artículo “Propiedades de las raíces”

Este recurso contiene ejemplos prácticos muy útiles para profundizar sobre las propiedades de la radicación.

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CAPÍTULO 1 / TEMA 3

VALOR POSICIONAL

El sistema de numeración decimal se caracteriza por ser de base 10 y por ser posicional. Esto significa que solo usa diez dígitos y que la posición de cada uno de ellos determina el valor que tienen. La tablas posicionales y la descomposición son algunas técnicas que podemos emplear para escribir y leer números con más de cinco cifras de manera sencilla. A continuación verás lo fácil que es.

VALOR POSICIONAL DE CIFRAS HASTA 1.000.000

En el sistema de numeración decimal contamos con los siguientes dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Con ellos podemos formar todos los números del sistema ya que si variamos la posición de las cifras dentro del número, también cambiamos su valor. Esta característica se denomina valor posicional.

Como podemos observar en este ejemplo, todas las cifras que componen el número 999.999 son las mismas: 9, pero cada una tiene un valor diferente debido a su posición dentro del número.

Como ya sabemos, luego de 3 cifras debemos colocar un punto. En este caso, dicho punto separa a los miles de los millones. El número que le sigue al 999.999 es el millón, que se escribe de la siguiente manera:

1.000.000

¿Sabías qué?

Si empiezas a contar de uno en uno no terminarás nunca porque los números no tienen un final, es decir, son infinitos.

Cuando algo no termina decimos que es infinito, y los números son un ejemplo de ello. No hay un límite final para los números, pero tampoco hay un comienzo, ya que antes del 0 hay una infinidad de número negativos. Cuando queramos expresar que una cuenta es infinita podemos utilizar el símbolo que lo representa: ∞.

LA TABLA POSICIONAL

Existe una clasificación según la posición que tengan las cifras dentro del número. Cada posición recibe el nombre de un orden, como las unidades, decenas y centenas. Cada tres órdenes se forma una clase, que va desde las unidades, miles, millones, millares de millón, billones, etc. Podemos observar toda esta información en una tabla posicional.

– Ejemplo:

Según la tabla posicional, los valores de cada cifra de derecha a izquierda son los siguientes:

2 unidades = 2 se lee “dos”.
3 decenas = 30 se lee “treinta”
5 centenas = 500 se lee “quinientos”.
9 unidades de mil = 9.000 se lee “nueve mil”.
4 decenas de mil = 40.000 se lee “cuarenta mil”.
8 centenas de mil = 800.000 se lee “ochocientos mil”.
1 unidad de millón = 1.000.000 se lee “un millón”

Por lo tanto, el número 1.849.532 se lee “un millón ochocientos cuarenta y nueve mil quinientos treinta y dos”.

– Otro ejemplo:

Según la tabla posicional, los valores son:

5 unidades = 5 se lee “cinco”.
8 decenas = 80 se lee “ochenta”.
9 centenas = 900 se lee “novecientos”.
2 unidades de mil = 2.000 se lee “dos mil”.
4 decenas de mil = 40.000 se lee “cuarenta mil”.
6 centenas de mil = 600.000 se lee “seiscientos mil”.
1 unidad de millón = 1.000.000 se lee “un millón”.

Entonces, el número 1.642.985 se lee “un millón seiscientos cuarenta y dos mil novecientos ochenta y cinco”.

¡Es tu turno!

Coloca los siguientes números en sus tablas posicionales:

1.022.467

Solución

270.628

Solución

896.501

Solución

VALOR POSICIONAL DE DECIMALES

Los números decimales se componen de una parte entera y una parte decimal que van separadas por una coma. Esto quiere decir que de un lado de la coma vamos a tener la parte de los números enteros con unidades, decenas, centenas, etc.; y del otro lado, la parte decimal que también tiene valores posicionales conocidos como décimas, centésimas, milésimas, etc.

La parte decimal de los números decimales también puede ser representada en una tabla posicional. Al igual que la parte entera, el valor cambia de acuerdo a la posición de la cifra.

Unidades decimales

Son las que obtenemos al dividir la unidad en partes iguales. Las primeras unidades decimales son las décimas, las centésimas y las milésimas.

Décimas

Centésimas

Milésimas

$\boldsymbol{\frac{1}{10}=0,1}$

$\boldsymbol{\frac{1}{100}=0,01}$

$\boldsymbol{\frac{1}{1.000}=0,001}$

1 unidad = 10 décimas

1 décima = 0,1 unidades

1 unidad = 100 centésimas

1 centésima = 0,01 unidades

1 unidad = 1.000 milésimas

1 milésima = 0,001 unidades

– Ejemplo:

Podemos leer los números decimales de dos formas:

Leemos la parte entera seguida de la palabra “enteros”. Luego leemos la parte decimal como se lee la parte entera y mencionamos la posición en la que está la última cifra.
Leemos la parte entera seguida de la palabra “coma”. Después leemos la parte decimal de la misma forma en la que lees la parte entera.

De este modo, el número 5.897,234 puede ser leído de dos formas, ambas correctas:

“Cinco mil ochocientos noventa y siete enteros doscientos treinta y cuatro milésimas“.
“Cinco mil ochocientos noventa y siete coma doscientos treinta y cuatro”.

DESCOMPOSICIÓN ADITIVA DE UN NÚMERO

Todos los números pueden descomponerse de diversas maneras. Una de ellas es la descomposición aditiva, la cual consiste en representar números como la suma de otros.

Por ejemplo, podemos descomponer el número 128 de forma aditiva y representarlo así:

128 = 100 + 20 + 8

Observa que sumamos los valores posicionales de cada cifra.

– Otros ejemplos:

419.847 = 400.000 + 10.000 + 9.000 + 800 + 40 + 7
1.589.634 = 1.000.000 + 500.000 + 80.000 + 9.000 + 600 + 30 + 4
25,39 = 20 + 5 + 0,3 + 0,09

Cualquier número puede ser expresado a través de la suma, en lo que se conoce como descomposición aditiva. Este tipo de descomposición considera el valor posicional de cada una de sus cifras, pero también es posible verlo como la suma de diferentes cifras, por ejemplo, 15 = 10 + 5, pero también lo podemos escribir como 15 = 7 + 8.

DESCOMPOSICIÓN MULTIPLICATIVA DE UN NÚMERO

Es otro tipo de descomposición en el que representamos números por medio de multiplicaciones. Aquí tomamos en cuenta el valor del dígito por el valor de su posición.

– Ejemplo:

Este número tiene:

2 unidades = 2 × 1
3 decenas = 3 × 10
9 centenas = 9 × 100
6 unidades de mil = 6 × 1.000

Su descomposición multiplicativa es:

6.932 = 6 × 1.000 + 9 × 100 + 3 × 10 + 2 × 1

– Otros ejemplos:

958.348 = 9 × 100.000 + 5 × 10.000 + 8 × 1.000 + 3 × 100 + 4 × 10 + 8 × 1
22.076 = 2 × 10.000 + 2 × 1.000 + 7 × 10 + 6 × 1
143,896 =1 × 100 + 4 × 10 + 3 × 1 + 8 × 0,1 + 9 × 0,01 + 6 × 0,001

¡A practicar!

1. Coloca los siguientes números en tablas posicionales.

775.426

Solución

2.325,682

Solución

987.110,85

Solución

2. Escribe la descomposición aditiva de los siguientes números:

6.887

Solución

6.887 = 6.000 + 800 + 80 + 7

Solución

359 = 300 + 50 + 9

856.421

Solución

856.421 = 800.00 + 50.00 + 6.000 + 400 + 20 + 1

1.325.644,856

Solución

1.325.644,856 = 1.000.000 + 300.000 + 20.000 + 5.000 + 600 + 40 + 4 + 0,8 + 0,05 + 0,006

3. Escribe la descomposición multiplicativa de los siguientes números:

Solución

427 = 4 × 100 + 2 × 10 + 7 × 1

17.504

Solución

17.504 = 1 × 10.000 + 7 × 1.000 + 5 × 100 + 4 × 1

266.915

Solución

266.915 = 2 × 100.000 + 6 × 10.000 + 6 × 1.000 + 9 × 100 + 1 × 10 + 5 × 1

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo destacado “Sistemas posicionales de numeración”

El siguiente artículo te permitirá conocer más acerca del valor posicional en distintos sistemas de numeración.

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Artículo destacado “Composición y descomposición de números”

El siguiente artículo te permitirá profundizar la información sobre la composición y descomposición de los números.

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CAPÍTULO 1 / TEMA 1

¿QUÉ SON LOS NÚMEROS?

¿QUÉ EDAD TIENES?, ¿QUÉ HORA ES?, ¿CUÁNTOS HERMANOS TIENES?, ¿QUÉ FECHA ES HOY? PARA RESPONDER TODAS ESTAS PREGUNTAS TENEMOS QUE USAR LOS NÚMEROS. LOS NÚMEROS SON SÍMBOLOS QUE REPRESENTAN CANTIDADES Y LOS USAMOS TODOS LOS DÍAS PARA CONTAR. HOY APRENDERÁS CUÁLES SON Y CÓMO ESCRIBIRLOS.

LOS NÚMEROS ESTÁN POR TODAS PARTES: EN LAS RECETAS DE COMIDA, EN LOS BILLETES, EN LO CALENDARIOS, EN LA LISTA DE CLASE, EN NUESTRO DOCUMENTO DE IDENTIDAD, EN LOS TELÉFONOS Y HASTA EN LAS CAMISETAS DE LOS JUGADORES. TODOS LOS DÍAS USAMOS NÚMEROS, NO SOLO PARA CONTAR SINO TAMBIÉN PARA IDENTIFICAR COSAS O PERSONAS.

¿CUÁLES SON LOS PRIMEROS NÚMEROS?

¿HAS CONTADO CORDEROS CUANDO NO PUEDES DORMIR? SI ES ASÍ, ENTONCES YA PUEDES IMAGINAR LO QUE SIGNIFICA CADA NÚMERO. OBSERVA:

COMO VES, CADA NÚMERO TIENE UN SÍMBOLO QUE LO REPRESENTA. ¡Y PODEMOS SEGUIR CON LA CUENTA!

¿SABÍAS QUÉ?

CUANDO NO HAY NADA PARA CONTAR USAMOS EL NÚMERO CERO. SU SÍMBOLO ES 0.

HISTORIA DE LOS NÚMEROS

DESDE LA PREHISTORIA LOS SERES HUMANOS HAN NECESITADO USAR LOS NÚMEROS. AL PRINCIPIO UTILIZABAN LOS DEDOS DE LAS MANOS PARA CONTAR, ALGUNOS USARON PIEDRAS Y PALOS CUANDO TENÍAN QUE CONTAR MÁS DE DIEZ COSAS Y NO LES ALCANZABAN LOS DEDOS.

PASARON MILES DE AÑOS HASTA QUE SE INVENTARON SÍMBOLOS PARA REPRESENTAR A LOS NÚMEROS, Y MUCHOS AÑOS MÁS HASTA QUE SE INVENTARON LOS NÚMEROS TAL COMO LOS CONOCEMOS AHORA.

¿CUÁNTO DEDOS TIENE UNA DE TUS MANOS? ¡5! CON ESOS CINCO DEDOS PODEMOS HACER CUENTAS SENCILLAS, Y SABER, POR EJEMPLO, LA CANTIDAD DE PELOTAS QUE TENEMOS, O LA CANTIDAD DE TAREA QUE TENEMOS QUE HACER. LOS DEDOS DE LAS MANOS FUERON UNO DE LOS PRIMEROS SISTEMAS PARA CONTAR Y CON EL TIEMPO ESAS CANTIDADES SE REPRESENTARON CON SÍMBOLOS COMO 1, 2, 3, 4 Y 5.

USOS DE LOS NÚMEROS EN LA VIDA COTIDIANA

EN LA ACTUALIDAD USAMOS LOS NÚMEROS PARA MUCHAS COSAS MÁS QUE PARA CONTAR CORDERITOS. SI PRESTAS ATENCIÓN, HAY NÚMEROS POR TODAS PARTES.

EN LOS PASTELES DE CUMPLEAÑOS.

EN LAS CALCULADORAS.

EN LOS RELOJES.

EN LAS REGLAS Y ESCUADRAS DEL COLEGIO.

¡CONTEMOS!

¿CONOCES EL CUENTO DE LOS CERDITOS?, ¿RECUERDAS CUÁNTOS SON?

¡VAMOS A CONTARLOS! UNO, DOS Y TRES. ¡SON TRES CERDITOS!

EL NÚMERO TRES SE ESCRIBE ASÍ: 3

¿SABES CUÁNTOS SON LOS ENANITOS DEL CUENTO DE BLANCANIEVES?

¡VAMOS A CONTARLOS! UNO, DOS, TRES, CUATRO, CINCO, SEIS Y SIETE. ¡SON SIETE ENANITOS!

EL NÚMERO SIETE SE ESCRIBE ASÍ: 7

¿CUÁNTOS CARACOLES HAY?

¡VAMOS A CONTARLOS! UNOS, DOS, TRES, CUATRO, CINCO, SEIS, SIETE, OCHO Y NUEVE. ¡HAY NUEVE CARACOLES!

EL NÚMERO NUEVE SE ESCRIBE ASÍ: 9

CONTAR GRANDES CANTIDADES

CUANDO QUEREMOS CONTAR UN NÚMERO GRANDE DE OBJETOS ES IMPORTANTE SEGUIR UN ORDEN: DE IZQUIERDA A DERECHA. OTRO TRUCO PARA NO CONFUNDIRSE AL CONTAR ES HACERLE UNA PEQUEÑA MARCA AL OBJETO QUE YA HEMOS CONTADO.

¡A PRACTICAR!

1. PARA CADA GRUPO, ENCIERRA EN UN CÍRCULO EL NÚMERO CORRECTO.

SOLUCIÓN

2. RESPONDE LAS PREGUNTAS:

¿CUÁNTAS CAPERUCITAS HAY?

SOLUCIÓN

HAY 6 CAPERUCITAS.

¿CUÁNTOS LOBOS HAY?

SOLUCIÓN

HAY 8 LOBOS.

¿CUÁNTOS ZAPATOS HAY?

SOLUCIÓN

HAY 4 ZAPATOS.

3. COLOREA. SIGUE LAS CLAVES Y DESCUBRE LA IMAGEN.

4. COLOREA NUEVE CORDEROS.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Matemática en la vida cotidiana”

Este artículo permitirá profundizar sobre la presencia de los números en incontables aspectos de nuestra vida cotidiana.

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CAPÍTULO 1 / TEMA 8 (REVISIÓN)

SISTEMA DE NUMERACIÓN | ¿qUÉ APRENDIMOS?

LECTURA DE NÚMEROS

Los números naturales ( $\boldsymbol{\mathbb{N}}$ ) son los que utilizamos para contar. Cada número tiene un valor relativo según la posición que ocupe dentro de una cifra y esto permite una correcta lectura de los mismos. Además de los números naturales, existen los números decimales que están formados por una parte entera y otra decimal. También hay sistemas de numeración no posicionales como los números romanos, los cuales constan de siete letras del abecedario latino.

Para leer un número de manera correcta es necesario conocer el valor que ocupa cada una de sus cifras. Para esto podemos usar una tabla posicional.

descomposición de números

Existen distintas formas de descomponer números grandes: la aditiva con combinaciones básicas, la aditiva por medio de valor posicional, la polinómica o la multiplicativa. En la aditiva con combinaciones básicas usamos una o más sumas que expresen el mismo resultado; en la aditiva con valor posicional empleamos los valores posicionales de cada cifra; en la polinómica utilizamos las potencias de base 10; y en la multiplicativa descomponemos la cantidad en sus factores primos.

Estas diferentes maneras de expresar los números permiten resolver situaciones de forma más rápida y sencilla.

números enteros

Los números enteros ( $\boldsymbol{\mathbb{Z}}$ ) están compuestos por todos los números naturales ( $\boldsymbol{\mathbb{N}}$ ), sus opuestos negativos y el cero. Los enteros negativos requieren el uso obligatorio del signo (−) a diferencia de los positivos que pueden o no estar acompañados con el signo (+). Estos pueden ser representados en una recta numérica, la cual contiene todos los números reales ( $\boldsymbol{\mathbb{R}}$ ). Los números enteros se aplican en diversas situaciones de la vida, como para indicar altitudes sobre el nivel del mar, registrar entradas y salidas de dinero de un banco, dibujar el eje de coordenadas, o para indicar temperaturas.

NÚMEROS decimales

Los números decimales están formados por una parte entera y una parte decimal, ambas divididas por una coma. Estos se clasifican en tres tipos según su parte decimal: exactos, periódicos y no periódicos. Los exactos tienen un número limitado de cifras; los periódicos poseen cifras decimales infinitas y, a su vez, estos se dividen en dos tipos: los puros y los mixtos; y los decimales no periódicos no tienen un patrón que se repita infinitamente. Estos números se pueden redondear para reducir la cantidad de cifras decimales y así obtener un valor muy parecido.

sucesiones

Las sucesiones son un grupo de elementos que se ordenan uno detrás de otro. Estos elementos son llamados términos, siguen una regla dentro del conjunto y pueden ser números, letras, figuras o imágenes. En una sucesión, los términos son representados como subíndices (a₁, a₂, a₃, …). Usamos sucesiones cada vez que contamos los días de la semana o las horas del día. También las usamos para ordenar de mayor a menor o de menor a mayor, o para aprender a leer el abecedario. Podemos encontrar sucesiones con operaciones matemáticas como la suma, la resta, la multiplicación, la división o la potencia.

Cuando se ordenan los ganadores de una carrera de automóviles, estos siguen un patrón de acuerdo al tiempo de llegada. Este es un ejemplo de sucesión.

potencias

La potenciación consiste en expresar de manera reducida una multiplicación de factores iguales. Tiene tres elementos: una base, un exponente y la potencia. La base es el número que se multiplicará tantas veces como indica el exponente y la potencia es el resultado de la multiplicación de los factores. Algunas de las propiedades de las potencias son: potencia de exponente 0, potencia de exponente 1, potencia de exponente negativo, multiplicación y división de potencias con igual base y la potencia de una potencia.

raíz de un número

La raíz de un número es la operación inversa a la potencia de un número. Consiste en buscar el número que se ha multiplicado tantas como indica n bajo un operador radical. Los elementos de una raíz son el radicando, el índice, el radical y la raíz. El radicando es el resultado de la multiplicación de la raíz de un número tantas veces como indica el índice de la raíz. El índice indica el grado de una raíz, lo que se traduce en cuántas veces se multiplicó por sí mismo el resultado de la radicación. El radical representa el símbolo de la operación de radicación y la raíz es resultado de la operación matemática.

Todas las operaciones matemáticas poseen una operación inversa que revierte los cálculos realizados.

CAPÍTULO 6 / TEMA 3

Probabilidad

Hay eventos que siempre ocurren con seguridad, por ejemplo, al día lunes siempre le sigue el martes; hay otros otros, en cambio, en los que no sucede lo mismo, y es allí cuando las leyes de la probabilidad juegan un papel fundamental. Por ejemplo, si lanzamos un dado sabemos que el resultado será un número del 1 al 6, pero no sabemos con certeza cuál de ellos será.

Fenómenos y hechos que se pueden predecir

Existen sucesos que ocurren con total seguridad y se denominan sucesos deterministas o seguros porque el resultado se conoce de antemano. Cuando se realizan experimentos de este tipo, el resultado siempre se puede predecir. Por ejemplo, “mañana será de día” es un suceso determinista porque sabemos que siempre va a pasar.

– Otros ejemplos de sucesos deterministas:

El número al lanzar un dado siempre será menor a 7.
Al lanzar una roca al suelo esta caerá.
La próxima semana tendrá 7 días.

Los sucesos deterministas contienen a todos los elementos del espacio muestral.

¿Sabías qué?

Se denomina espacio muestral al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.

Fenómenos deterministas

Los fenómenos en el universo que siguen las leyes de la física pueden considerarse como fenómenos deterministas porque siempre son iguales. Por ejemplo, la órbita de los planetas y las atracciones gravitacionales.

Fenómenos de azar

Hay experimentos aleatorios que son imposibles de predecir porque ocurren al azar y su resultado está dentro de los resultados posibles del fenómeno estudiado. Por ejemplo, al lanzar un dado sabemos que los resultados posibles son 1, 2, 3, 4, 5 y 6, pero no sabemos qué número se obtendrá con certeza, por eso se trata de un fenómeno de azar. En los experimentos de este tipo, el resultado no se puede predecir sin importar las veces que se repita la experiencia bajo las mismas condiciones.

– Algunos ejemplos de sucesos aleatorios:

Lanzar una moneda y que el resultado sea cara.
Extraer una carta de un manojo de cartas y que sea de corazones.
Extraer un número de las bolas de bingo y que sea par.

Los juegos de azar

Existen juegos en los que la posibilidad de ganar o perder dependen del azar, de donde proviene su nombre. En estos juegos la habilidad del jugador puede influir en los resultados y buscar minimizar la probabilidad de resultados desfavorables para aumentar la probabilidad de resultados favorables. Algunos ejemplos de juegos de azar son el bingo, los dados y la lotería.

Suceso imposible

Es lo contrario a un suceso determinista. Este tipo de suceso nunca se va a cumplir. Por ejemplo, lanzar un dado y obtener el número 7 es un suceso imposible porque el dado tiene valores del 1 al 6. Este tipo de eventos suele denotarse con el símbolo ∅.

¿Qué es la probabilidad?

Es un cálculo matemático que permite evaluar las posibilidades de que un evento ocurra cuando interviene el azar. Algunos eventos pueden ocurrir con mayor o menor frecuencia que otros, pero como no sabemos si pueden ocurrir o no, se denominan eventos aleatorios. En este tipo de eventos aplicamos el concepto de probabilidad.

La genética emplea la probabilidad para entender cuán posible sería para una persona heredar ciertos tipos de genes que la hagan más susceptibles a ciertas condiciones o enfermedades. Otros campos que emplean cálculos probabilísticos son la física, la biología, la mercadotecnia, las empresas aseguradoras y la industria.

Tipos de eventos

En estadística se denomina “evento” al resultado o conjunto de resultados posibles en un experimento. Se clasifican de la siguiente manera:

Eventos mutuamente excluyentes: son aquellos que no pueden ocurrir de manera simultánea. Por ejemplo, leer cara o sello luego de lanzar una moneda. Este es un evento mutuamente excluyente, porque no se puede tener un resultado de cara y sello al mismo tiempo.
Eventos independientes: son eventos que no se ven afectados por la ocurrencia de otro. Por ejemplo: comprar un auto y que llueva son eventos independientes, porque es posible comprar un auto sin que llueva o que llueva sin comprar el auto.
Eventos dependientes: son eventos en los que uno de ellos se ve afectado por la ocurrencia de otro. Por ejemplo, ir a un examen y obtener una calificación. Son eventos dependientes porque si no vas al examen no tienes calificación.

¡A practicar!

1. Determina si es un suceso determinista, aleatorio o imposible.

a) Que llueva y las gotas caigan hacia abajo.

Solución

Suceso determinista.

b) Lanzar una moneda y obtener cara.

Solución

Suceso aleatorio.

c) Jugar bingo y ganar.

Solución

Suceso aleatorio.

d) Lanzar una moneda y que no caiga hacia abajo nunca.

Solución

Suceso imposible.

e) Observar un cuadrado de cinco lados.

Solución

Suceso imposible.

2. Los experimentos __________ son imposibles de predecir.

a) aleatorios

b) seguros

c) deterministas

Solución

a) aleatorios

3. ¿Cuál de los siguientes sucesos no es aleatorio?

a) Lanzar un dado y que el número sea par.

b) Lanzar una moneda y que el resultado sea cara.

c) Sacar una carta y que sea una reina de corazones.

a) Lanzar un objeto y que este caiga.

Solución

a) Lanzar un objeto y que este caiga.

4. ¿A qué tipo de evento corresponde?

a) “Es un evento que no se ve afectado por la ocurrencia de otro”.

Solución

Evento independiente.

b) “Evento que no pueden ocurrir de manera simultánea con otro”.

Solución

Evento mutuamente excluyente.

c) “Evento que se ve afectado por la ocurrencia de otro”.

Solución

Evento dependiente.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Historia de la estadística”

Este artículo detalla las fases en las que se desarrolló la estadística hasta convertirse en una de las ramas más usadas de la matemática.

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Artículo “Probabilidad”

Este artículo describe los conceptos relacionados al campo de la probabilidad como lo son los fenómenos aleatorios y deterministas, así como los tipos de sucesos.

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Artículo “Relación de la contabilidad con la administración y la estadística”

Este artículo explica por qué estas tres disciplinas se encuentran relacionadas entre sí, y se concentra en explicar qué es la estadística administrativa.

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