La recta numérica o recta real está compuesta por distintos conjuntos numéricos ordenados de menor a mayor. Entre ellos, encontramos el conjunto de los números naturales, los números enteros, los números racionales y los números irracionales. Todos juntos completan la recta.
Los números naturales son llamados así porque fueron los primeros que usó el hombre para contar.
Comparación de cantidades
Si trabajamos con números enteros, comparar es una tarea sencilla. En una recta numérica, los mayores números naturales y decimales son aquellos que están más a la derecha. Por ejemplo, entre el 25 y el 60, el 60 es mayor porque está más a la derecha en la recta numérica. En cambio, si deseamos comparar fracciones, tenemos que considerar los denominadores y los numeradores. Si en dos fracciones los denominadores son iguales, la fracción mayor será aquella que tenga mayor numerador, pero si los numeradores son iguales, la fracción mayor será aquella que tenga menor denominador.
Si comparamos porciones sabremos que la que veamos con mayor superficie será la más grande. Lo mismo pasa con los números racionales.
Proporciones
Las proporciones son relaciones entre cantidades. Estas relaciones nos permiten calcular una magnitud desconocida por medio de una relación conocida. Un método de gran utilidad para resolver estos problemas es la regla de tres, la cual puede ser directa (si la proporcionalidad es directa) o inversa (si la proporcionalidad es inversa).
La torta y otras comidas son elaboradas a partir de recetas pensadas para una cantidad determinada de personas. ¿Y si vienen más invitados? En estos casos, tenemos que recurrir a la regla de tres y ver cuánto de cada ingrediente necesitaremos.
Relaciones Espaciales
Todo el tiempo usamos relaciones espaciales. Estas nos ayudan a no perdernos al ir de compras o a ubicar una ciudad a cierta distancia de la nuestra. Podemos representar posiciones en un croquis, el cual no es tan preciso porque no tiene marcas de distancia, y también podemos hacerlo en un mapa, representación gráfica de un territorio con escalas métricas.
Cuando nos vamos de vacaciones nos llevamos un mapa de rutas para ver qué camino nos conviene tomar o programamos el GPS del vehículo.
Las relaciones espaciales nos orientan sobre las distancias a las que nos encontramos de algún objeto o lugar. Asimismo, sirven para especificar la posición de un territorio en el espacio. Los mapas y los croquis son ejemplos de herramientas usadas para encontrar distancias y ubicaciones específicas.
¿qué es un croquis?
Es un dibujo que indica nuestra ubicación o la de algún objeto o lugar. En él no hay medidas o distancias. Por ejemplo, cuando decimos que hacemos una representación mental de nuestra habitación, si la dibujamos tenemos un croquis.
Este podría ser el croquis de nuestra habitación. Observa que, después de pasar la puerta, a la izquierda tenemos una mesa, al frente está la cama y a la derecha de esta, justo al lado de la ventana, está ubicado el escritorio.
¡Es tu turno!
Observa este croquis de un zoológico, luego responde.
a) ¿Qué camino debe tomar Daniel para encontrarse con Laura?
Solución
Puede ir por la derecha del parque hasta donde están los caballos y allí se encontrará con Laura.
b) ¿Existe un solo camino?
Solución
No, hay varias maneras de llegar hasta donde está Laura.
c) ¿El canguro está al lado de la jirafa?
Solución
No. El canguro está entre el elefante y el oso.
d) ¿El caballo está frente al hipopótamo?
Solución
Sí, el caballo está frente al hipopótamo.
¿Qué son los mapas?
Son representaciones gráficas de un territorio. Por lo general, se representan de forma bidimensional pero también pueden encontrarse de forma esférica en los globos terráqueos y en modelos 3D.
Una de las características esenciales de todo mapa es su exactitud, por lo cual, debe poseer propiedades métricas a escala para permitir relacionar lo que representan con el mundo real. Toda distancia, ángulo o superficie denotada en un mapa debe cumplir con este principio.
Un planisferio, también conocido como mapamundi, es una representación gráfica a escala del mapa del mundo. Esta ilustración muestra todos los elementos del mapa de la Tierra de manera bidimensional. Muestra datos como relieve y altura sobre el nivel del mar, también señala ríos, regiones y otros elementos.
Los mapas se utilizan para distintos fines. Los más comunes indican:
Desde la organización de las primeras civilizaciones se utilizan los mapas como instrumento de ubicación. En la Edad Media se representaba a la Tierra de forma plana, y la ciudad de Jerusalén era el centro del mundo. Los mapas más antiguos que se tiene registro fueron realizados por los babilonios que vivieron en la Mesopotamia. Tallaban en tablillas de arcilla mediciones de sus tierras y luego las empleaban como herramienta de referencia para cobrar impuestos.
Característica de los mapas
Los mapas pertenecen a una forma de comunicación que emplea una serie de símbolos y nomenclaturas que permiten comprender amplias regiones de la Tierra en una pequeña porción de papel u otro material. Es por ello que es importante comprender los elementos más importantes de cualquier mapa:
Título del mapa: indica el objeto de estudio que se trata en el mapa.
Leyenda: presenta la codificación expresada en el mapa, es decir, explica los símbolos usados.
Escala: señala la proporción que existe entre la medida del mapa y la del terreno real.
Referencia de orientación: permite conocer la dirección de los elementos del mapa. Por convencionalismo, se suele usar una rosa de los vientos para señalar la ubicación de los puntos cardinales.
¿Sabías qué?
A comienzos de la Edad Moderna, cuando los exploradores como Cristóbal Colón comenzaron a recorrer los mares, la cartografía y los mapas empezaron a ser muy importantes para la sociedad.
La escala
¿Qué pasa si queremos dibujar un mapa de América? El continente no va a estar dibujado con su tamaño real porque no nos alcanzaría una hoja. Entonces, para poder dibujarlo, el creador del mapa coloca debajo del mismo una escala que indica los kilómetros que están representados por cada centímetro dibujados.
Una escala señala la proporción que existe entre la medida del mapa y la del terreno real. Las escalas pueden representarse de forma explícita cuando se indica, por ejemplo, que 1 cm = 100 km; de forma numérica cuando se muestra la fracción matemática, como por ejemplo 1/10.000; y de forma de regla graduada.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Lenguajes de mapas”
Con este artículo podrá ampliar la información sobre los mapas y sus partes.
Cuando hablamos de proporción nos referimos a una relación que existe entre cantidades o magnitudes medibles como el tiempo, la longitud o el peso. Son muy usadas día a día, sobre todo en los recargos y descuentos de un precio. Estas relaciones pueden ser directas o inversas y pueden resolverse por medio de una regla de tres.
Las proporciones son usadas en la cotidianidad, especialmente en la preparación de comidas y postres. Por ejemplo, si deseamos seguir una receta para hacer un pastel para 10 personas, pero esta viene con los ingredientes necesarios para 5 porciones, tenemos que hacer transformaciones entre las magnitudes para saber cuánto de cada ingrediente tendremos que utilizar.
Proporcionalidad directa
Cuando hablamos de proporcionalidad directa nos referimos a que dos cantidades se encuentran relacionadas de tal manera que, cuando una de ellas aumenta o disminuye, la otra lo hace en la misma forma. Es decir, si dividimos ambas cantidades, vamos a obtener como resultado un número constante llamado razón de proporción.
– Ejemplo:
Si un kilogramo de fresas cuesta $ 2,5 ¿cuál es el precio de venta según el peso?
Peso (kg)
Precio ($)
Razón de proporción ($/kg)
1
2,5
2,5/1 = 2,5
2
5
5/2 = 2,5
3
7,5
7,5/3 = 2,5
4
10
10/4 = 2,5
5
12,5
12,5/5= 2,5
Nota que al dividir una magnitud entre otra el resultado es el mismo.
Regla de tres directa
Una regla de tres es un método para calcular una magnitud desconocida y que es proporcional a otra. Las operaciones que se utilizan para resolver la regla de tres son una multiplicación y una división, pero lo más importante es saber cómo plantear la regla de tres.
– Ejemplo:
Si 1 kg de manzanas cuesta $ 3, ¿cuántos costarán 5 kg de manzanas?
Lo primero que debemos identificar es la clase de proporcionalidad que representa el problema. En este caso, se trata de dos magnitudes directamente proporcionales porque a medida que compramos más manzanas, el costo será mayor. Luego planteamos la regla de tres:
Observa que multiplicamos en diagonal dos magnitudes: 5 kg y $ 3. Luego dividimos entre 1 kg.
Por lo tanto, si 1 kg de manzanas cuesta $ 3, 5 kg de manzanas costarán $ 15.
– Ejemplo 2:
Si Marta compró 1 lápiz y pagó $ 25, ¿cuánto pagará por 10 lápices?
Los egipcios fueron los primeros en tratar de establecer un sistema de proporciones para el cuerpo humano. Para ellos, el cuerpo perfecto debía tener las siguientes proporciones con respecto al tamaño del puño de la persona: 2 veces para la cabeza, 6 veces para las piernas, 10 veces desde los hombros a las rodillas y 18 veces para la longitud de pies a cabeza.
proporcionalidad inversa
Cuando dos magnitudes o cantidades son inversamente proporcionales, quiere decir que a medida que una de estas aumenta la otra disminuye en la misma forma. El producto entre dos cantidades inversamente proporcionales da como resultado un número llamado constante de proporcionalidad.
– Ejemplo:
Carlos compró un pastel en $ 75. Si luego varios amigos deciden colaborar, ¿cuánto tendrán que pagar según el número de amigos que colaboren?
Personas
Precio ($)
Constante de proporcionalidad (personas × $)
1
75
75 × 1 = 75
2
37,5
37,5 × 2 = 75
3
25
25 × 3 = 75
4
18,75
18,75 × 4 = 75
5
15
15 × 5 = 75
Nota que el producto entre ambas magnitudes es el mismo.
Regla de tres inversa
Al igual que en el caso anterior, la regla de tres es un método para calcular una magnitud desconocida y que es proporcional a otra. También empleamos multiplicaciones y divisiones, pero el orden es diferente.
– Ejemplo 1:
Si 3 pintores terminan de pintar una pared en 75 minutos, ¿cuánto tardarán 5 pintores en pintar la misma pared?
Como ya sabemos, lo primero que debemos hacer es asegurarnos del tipo de proporcionalidad. En este caso, las magnitudes son inversamente proporcionales porque a medida que aumenta la cantidad de pintores, el tiempo que se tardará en pintar la pared disminuye. Luego planteamos la regla de tres:
Observa que multiplicamos de forma lineal las primeras dos magnitudes: 3 pintores × 75 min. Luego dividimos entre 5 pintores.
Por lo tanto, si 3 pintores terminan de pintar una pared en 75 minutos, 5 pintores lo harán en 45 minutos.
– Ejemplo 2:
Un coche que viaja a 100 km/h tarda en llegar 2 horas, si viajase a 40 km/h ¿cuánto tardaría en llegar?
Si el coche viaja a 40 km/h llegará en 5 horas.
¿Sabías qué?
Cuando tres magnitudes o cantidades se relacionan entre sí se usa otro tipo de método llamado regla de tres compuesta.
Aplicaciones
Dentro de las aplicaciones más conocidas de las reglas de tres encontramos problemas que se relacionan con el cálculo de porcentajes. Por ejemplo:
Saber el valor de un descuento o un recargo.
Calcular qué porcentaje representa un valor del total.
Calcular un porcentaje a partir de otro.
Ley de la gravitación
Isaac Newton es uno de los científicos más grandes de todos los tiempos. En 1684 estableció una serie de leyes que llevan su nombre y describió la ley de la gravitación universal. Esta ley establece que:
la fuerza que ejerce un objeto con masa sobre otro cuerpo con masa es directamente proporcional al producto de las masas.
la fuerza que ejerce un objeto con masa sobre otro cuerpo con masa es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa sus centros de gravedad.
¡A practicar!
1. Resuelve estos problemas con regla de tres:
a) Si con 12 metros de tela María puede hacer 18 remeras, ¿cuántas remeras puede hacer con 14 metros de tela?
Solución
21 remeras.
b) Una máquina llena 240 botellas en 20 minutos. ¿Cuántas botellas llenará en una hora y media?
Solución
Llenará 1.080 botellas.
c) Si cierta cantidad de paja alcanza para alimentar a 12 vacas durante 80 días, calcular cuánto duraría la misma cantidad de paja para alimentar a 30 vacas.
Solución
Duraría 32 días.
d) Al abrir 3 de sus desagües, la pileta se vacía en dos horas. ¿Cuánto tardará en vaciarse si abro los 12 desagües?
Solución
Tardará media hora en vaciarse.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Regla de tres”
Con este recurso podrá ampliar la información relacionada con la regla de tres como método para solucionar problemas de proporcionalidad.
A menudo usamos los números naturales para contar, pero hay ocasiones en las que presentan limitaciones y no nos permiten representar ciertos valores como las cantidades negativas. Los números naturales, sus opuestos y el cero conforman un conjunto de números que siguen sus propias reglas aritméticas: los enteros.
regla de los signos
La regla de los signos es una herramienta útil para determinar el signo del resultado de una operación. Es muy importante que tengas presente que para cada tipo de operación existen reglas particulares. Las veremos a continuación:
Operación
Regla de los signos
Ejemplo
Multiplicación
El resultado de multiplicar dos números enteros positivos es igual a un número entero positivo.
El resultado de multiplicar dos números enteros negativos es igual a un número entero positivo.
El resultado de multiplicar un número entero positivo por otro negativo es igual a un número entero negativo.
El resultado de multiplicar un número entero negativo por otro positivo es igual a un número entero negativo.
División
El resultado de dividir dos números enteros positivos es igual a un número entero positivo.
El resultado de dividir dos números enteros negativos es igual a un número entero positivo.
El resultado de dividir un número entero positivo entre otro negativo es igual a un número entero negativo.
El resultado de dividir un número entero negativo entre otro positivo es igual a un número entero negativo.
Adición y sustracción
Si los dos números enteros son positivos, se suman y el resultado es un número entero positivo.
Si los dos números enteros son negativos, se suman y el resultado es un número entero negativo.
Si los dos números enteros tienen signos diferentes diferentes, se restan y el resultado tendrá el signo del número mayor.
En este tipo de números, cuando no se indique el signo, se asume que es un número positivo.
Los números enteros contienen al conjunto de los números naturales y sus opuestos, es decir, contienen los números positivos y los negativos. Son muy importantes al momento de representar situaciones que los números naturales no podrían. Por ejemplo, algunas escalas representan temperaturas negativas y algunos sistemas de referencia también emplean números enteros.
¿Sabías qué?
El cero es el único número entero que no es ni positivo ni negativo, así que no sigue la regla de los signos.
adición y sustracción de números enteros
El conjunto de los números enteros están conformados por los números negativos, el cero y los números positivos. Con ellos se pueden resolver operaciones matemáticas, como la adición y la sustracción.
Adición
Para sumar números enteros existen tres casos distintos:
Si todos los números son positivos, el resultado de la suma será un número positivo:
Si todos los números son negativos, estos se suman y el resultado es un número negativo:
Si se suman números positivos y negativos, los positivos se suman con los positivos y los negativos con los negativos. Al final se restan ambos números resultantes y el resultado tendrá el signo del número mayor.
El número 3 quedó negativo porque el 11 era el número mayor y su signo era negativo.
¿Sabías qué?
Hace 2.400 años los chinos utilizaban varillas negras para representar a los números negativos y varillas rojas para los números positivos.
Sustracción
Para algunas sustracciones, como también para la suma, puede ser útil el siguiente recordatorio:
Hay que tener presente que el símbolo de resta cambia el signo al número que sigue. Entonces, si el número que sucede al signo menos es positivo, se convierte en negativo. Si el número que se resta es negativo, se convierte en positivo. Observemos los siguientes casos:
A un número positivo se le resta otro número positivo:
A un número positivo se le resta un número negativo:
A un número negativo se le resta otro número negativo:
A un número negativo se le resta un número positivo:
Los números negativos
Anteriormente a los números negativos se los conocía como “números deudos” o “números absurdos”. Se los empezó a utilizar en Asia durante el siglo V y en Europa en el siglo XVI. En Asia se operaban los números positivos y negativos a través del uso de ábacos, tablillas o bolas de colores. Los indios fueron los primeros en diferenciar los números positivos de los negativos ya que los interpretaban como créditos y débitos. Los símbolos de suma (+) y resta (-) como los conocemos en la actualidad fueron creados por el matemático alemán Michael Stifel.
En la vida cotidiana se nos presentan situaciones que no se pueden representar con números naturales, como por ejemplo, las temperaturas bajo cero, los pisos subterráneos de los edificios, las deudas y los gastos, entre otros.
multiplicación y división de números enteros
A los números enteros también se los puede operar a través de la multiplicación y de la división.
Multiplicación
Para multiplicar números enteros se pueden seguir los siguientes pasos:
Se multiplican los números para obtener el resultado.
Se determina el signo del resultado a través de la regla de los signos.
Veamos un ejemplo:
En este caso, el problema se resolvió a través de los pasos anteriores. Como se trata de enteros con diferente signo el resultado es negativo.
Observemos otro caso:
En esta operación, al tratarse de una multiplicación de dos números negativos, el resultado es positivo.
División
Para dividir los números enteros se pueden seguir los siguientes pasos:
Se dividen los números para obtener el resultado.
Se determina el signo del resultado a través de la regla de los signos.
Veamos un ejemplo:
Al ser una división entre dos números con signo diferente el resultado es un número negativo.
Observemos otro ejemplo:
En este caso, al ser una división de números negativos el resultado es positivo.
Conjunto de los números enteros
Está formado por los números positivos, negativos y el cero. Este conjunto de números no considera a los números decimales y se denota con la letra Z. Las operaciones con los números enteros obedecen reglas aritméticas particulares como la regla de los signos.
¿Sabías qué?
Los números que utilizamos se denominan arábigos porque fueron introducidos a Europa por los árabes.
¡A practicar!
Resuelve las siguientes operaciones:
RESPUESTAS
a) 1
b) −5
c) 14
d) −1
e) −36
f) 18
g) 7
h) −10
i) −80
j) −10
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Regla de los signos”
El siguiente recurso permite profundizar en la regla de los signos a través de ejercicios basados en situaciones en las que puede aplicarse.
Todo número natural se puede descomponer con la multiplicación de sus factores o números primos. La utilidad para descomponerlos de esta manera es que nos permitirá calcular el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de dos o más números. Y con ellos resolver diversos problemas.
mínimo común múltiplo Y Máximo común divisor
El mínimo común múltiplo (mcm), también conocido como múltiplo común menor de dos o más números naturales, es el menor múltiplo común de ambos números que sea distinto de cero.
El máximo común divisor (mcd), también conocido como divisor común mayor entre dos o más números naturales, es el mayor divisor entre ambos, es decir, el mayor número por el que son divisibles dos o más números.
CÁLCULO DEL Mínimo común múltiplo
Para calcular el mcm entre dos o más números podemos seguir los siguientes pasos:
Descomponer los números en sus factores primos.
Escribir los números como la multiplicación de sus factores primos.
Escribir en en la parte inferior el mcm que será igual al producto de todos los factores comunes y no comunes de los números a la mayor potencia. Es decir, si entre los números a los que se le realizó la descomposición se observa un factor que se repite pero con exponente diferente, se considera el que tiene el mayor exponente.
Resolver el producto del mcm.
Por ejemplo:
-Hallar el mcm entre 40 y 60.
Lo primero es descomponer los dos números en factores primos y expresar dicha descomposición en forma de multiplicación:
Luego se eligen los factores comunes y no comunes. En el caso del 2, está en ambas expresiones con diferente exponente, en este caso se considera el 23 porque es mayor. De esta forma, el mcm de ambos números es:
De esta forma, el mínimo común múltiplo entre 40 y 60 es 120.
CÁLCULO DEL Máximo común divisor
Para calcular el mcd entre dos o más números se pueden seguir los siguientes pasos:
Descomponer los números en sus factores primos.
Escribir los números como la multiplicación de sus factores primos.
Escribir en la parte inferior el mcd que será igual al producto de los factores que tienen en común a la menor potencia. Es decir, si se repite un factor se considera el que tiene la menor potencia.
Resolver el producto del mcd.
Por ejemplo:
-Hallar el mcd entre 56 y 48.
Primero se descomponen ambos números en sus factores primos:
Luego se seleccionan únicamente los factores que tienen en común. En este caso, el factor en común entre ambos números es el 2 que se encuentra expresado en diferente potencia: 23 y 24. Para calcular el mcd se toma únicamente la menor potencia, en este caso sería 23. De esta manera, el mcd queda expresado de la siguiente manera:
mcd (56, 48) = 23
Al resolver la potencia se obtiene el resultado:
mcd (56, 48) = 8
De esta manera, el mcd entre 56 y 48 es el número 8.
¿Sabías qué?
Calculamos el máximo común divisor porque si calculamos el mínimo común divisor entre dos números siempre sería 1, porque el 1 es divisor de todos los números.
El mcd de los números de Fibonacci
Los números de la secuencia de Fibonacci son: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 89 y siguen hasta el infinito. Esta secuencia consiste en sumar los dos números anteriores para hallar el siguiente número. Por ejemplo, 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 2 + 3 = 5, y así sucesivamente hasta el infinito.
Lo curioso de estos números es que si calculamos el máximo común divisor de dos números de Fibonacci obtenemos otro número de la secuencia de Fibonacci. Por ejemplo, el mcd (3, 21) = 3.
Para resolver problemas de mcm y mcd hay que tener en cuenta los datos del problema y la pregunta que nos hace, en ella estará la clave para saber si el problema se resuelve con mcm y mcd. Veremos unos ejemplos donde se tenga que aplicar alguno de los dos cálculos:
1. En una ciudad, el reloj de la catedral indica la hora a través de campanadas que suenan cada 3 horas, y el reloj de la torre de la plaza lo hace cada 8 horas. ¿Cada cuántas horas ambos relojes sonarán al mismo tiempo?
Los datos del problema indican que el reloj de la catedral suena cada 3 horas y el de la municipalidad cada 8 horas. Al descomponer ambos números se obtiene:
En este caso, se trata de un problema de mínimo común múltiplo, y se debe calcular el mismo entre ambos números para determinar cada cuántas horas sonarán al mismo tiempo los relojes.
mcm (3, 8) = 3 · 23
mcm (3, 8) = 24
De esta manera, se determinó que los relojes suenan al mismo tiempo cada 24 horas.
2. En la tienda de Jorge hay una caja con 12 naranjas y otra con 18 peras. Jorge quiere distribuir las frutas en cajas más pequeñas de forma que todas las cajas tengan la misma cantidad de fruta. Cada caja solo puede tener peras o naranjas y las cajas deben ser lo más grande posible. ¿Cuántas frutas debe haber en cada caja?
Los datos del problema son cajas de 12 naranjas y 18 peras. Al descomponer dichos números en factores primos se obtiene:
En este problema debemos separar o dividir las frutas en diferentes cajas, por lo tanto se resuelve a través del mcd.
mcd (12, 18) = 2 · 3
mcd (12, 18) = 6
De esta manera, se determinó que en cada caja debe haber 6 frutas.
¡A practicar!
Calcula el mínimo común múltiplo entre los siguientes números.
a) 30, 60 y 90
SOLUCIÓN
mcm (30,60,90) = 23 . 32 . 5 = 180
b) 15, 30, 20 y 40
SOLUCIÓN
mcm (15,30,20,40) = 23 . 3 . 5 = 120
2. Calcula el máximo común divisor entre los siguientes números.
a) 18, 26 y 40
SOLUCIÓN
mcd (18,26,40) = 2
b) 54, 60, 80 y 100
SOLUCIÓN
mcd (54,60,80,100) = 2
3. Marcos tiene una cuerda de 120 metros y otra de 96 metros. Desea cortarlas de modo que todos los trozos sean iguales pero lo más largos posible. ¿Cuánto medirá cada trozo de cuerda?
SOLUCIÓN
mcd (120,96) = 23 . 3 = 24
Cada trozo medirá 24 metros.
4. Un jardinero riega el césped de un parque cada 5 días y lo corta cada 8 días. ¿Cada cuántos días coincidirán sus funciones de riego y de corte del césped?
SOLUCIÓN
mcm (5,8) = 23 . 5 = 40
Las funciones de riego y corte de césped coincidirán cada 40 días.
5. Una tienda compra memorias USB de diferentes colores. Para Navidad hizo un pedido de 84 memorias rojas, 196 azules y 252 verdes. Para guardar la mercancía de forma organizada, exigió que le enviaran las memorias en cajas iguales, sin mezclar los colores y con el mayor número posible de memorias. ¿Cuántas memorias habrá en cada caja?
SOLUCIÓN
mcd (84,196,252) = 22 . 7 = 4 . 7 = 28
En cada caja habrá 28 memorias.
6. Adrián es un deportista de alto rendimiento que practica después del colegio. Cada 3 días recorre un trayecto en bicicleta por la ciudad, cada 4 días juega fútbol y cada 12 días juega al hockey. ¿Cuántos días pasarán para que realice las tres actividades en el mismo día?
SOLUCIÓN
mcm (3,4,12) = 22 . 3 = 4 . 3 = 12
Pasarán 12 días para que haga las tres actividades el mismo día.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Factorización de números”
Este recurso permite profundizar el tema de la factorización de números y el cálculo del mcm y el mcd.
Un múltiplo de un número es el resultado de multiplicar ese número por otro. Debido a esto, los múltiplos de un número son infinitos. Por otra parte, los divisores son los valores que dividen a un números en partes iguales y permiten saber si se trata de un número primo o compuesto.
nÚMEROS PRIMOS
Los números primos son aquellos números naturales que son divisibles por uno y por sí mismos, es decir, sus únicos divisores son ellos mismos y la unidad. Por ejemplo: 2, 3, 5, 7 y 11 son números primos.
Número
Divisores
2
2 y 1
3
3 y 1
5
5 y 1
7
7 y 1
11
11 y 1
¿Sabías qué?
El matemático griego Euclides demostró que los números primos son infinitos.
La maravilla de los números primos
Los números primos son como los arquitectos de otros números, ya que la multiplicación de varios números primos da lugar a un número compuesto. Los números primos son equivalentes en las matemáticas a lo que los átomos son en la materia. Esta naturaleza los hace tan peculiares que muchos matemáticos los han estudiado a través de los años.
¿Sabías qué?
El número 2 es el único número primo que es par.
nÚMEROS COMPUESTOS
Los números compuestos son aquellos números naturales que tienen más de dos divisores, además del uno y de sí mismo. Estos números pueden ser expresados como un producto de números primos que es único para cada número.
Esta cuadrícula es conocida como “la criba de Eratóstenes” y muestra en celeste los números primos y en naranja los números compuestos. Recuerda que los números son infinitos. Aquí mostramos los números primos y compuestos mayores que 1 hasta el 100, pero los números siguen hasta el infinito. El número 1, está en verde porque no es primo ni compuesto, ya que tiene un solo divisor que es él mismo.
Algunos números compuestos
Número
Divisores
4
4, 2 y 1
6
6, 3, 2 y 1
8
8, 4, 2 y 1
9
9, 3 y 1
10
10, 5, 2 y 1
DIVISORES
Un divisor es el número que divide a otro en una cantidad entera. Un número es divisible por otro si su división es exacta, es decir, el resto de la división es cero. Si un número “a” se divide por otro “b” y el resto de la división es cero quiere decir que “b” es divisor de “a” o que “a es divisible por b”. Por ejemplo, 4 es divisor de 8 porque 8 : 4 = 2 y el resto es cero. Por lo tanto, 8 es divisible por 4.
Para encontrar los divisores de un número se pueden usar las tablas de multiplicar o los criterios de divisibilidad. Por ejemplo, para buscar los divisores de 16 sabemos que se trata de un número par. Por lo tanto, va a ser divisible por 2. Por otra parte, el 16 se encuentra dentro de las tablas de multiplicar del 4 y del 8. Entonces, esos números forman parte de sus divisores. También sabemos que todos los números (primos o compuestos) son divisibles entre ellos mismos y entre 1, por lo tanto, los divisores de 16 son: 1, 2, 4, 8 y 16.
Números perfectos
El matemático griego Euclides estudiaba los números naturales y denominaba números perfectos a un tipo de números compuestos. Él describía a un número perfecto como aquel número natural que es igual a la suma de sus divisores excepto él mismo. Un ejemplo de número perfecto es el 6 ya que sus divisores son: 1, 2, 3 y 6. Si los sumamos a todos, menos al seis tenemos, el resultado es igual al mismo número: 1 + 2 + 3 = 6. El siguiente número con estas características es el 28. Sus divisores son 1, 2, 4, 7, 14 y 28. La cuenta sería: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
DESCOMPOSICIÓN DE NÚMEROS EN SUS FACTORES PRIMOS
Todos los números compuestos pueden descomponerse en un producto de sus factores primos. Para descomponer un número en sus factores primos, se divide por el menor de sus divisores primos. El cociente de esa división se vuelve a dividir por el menor divisor primo de este y así sucesivamente hasta conseguir como cociente el 1. La manera de representar la descomposición es a través de una raya vertical que separa la división del número y sus factores primos.
Por ejemplo, procedimiento para descomponer el número 84 en sus factores primos es el siguiente:
El menor divisor primo de 84 es 2, por lo tanto, se divide 84 : 2 = 42. El cociente se escribe en la parte inferior y se vuelve a repetir el procedimiento. El menor divisor primo de 42 es 2, se escribe el divisor y el resultado que es 21 se escribe debajo de 42. Luego, el menor divisor primo de 21 es 3, se escribe dicho divisor y el resultado, que es 7, se escribe en la parte inferior. Como 7 es un número primo, el mínimo divisor primo es sí mismo, por lo tanto, se escribe el divisor 7 y el resultado de la división es 1. Como el número 1 no es un número primo se da por concluida la descomposición.
De esta manera, el 84 se puede escribir como la multiplicación de todos sus factores primos:
84 = 2 · 2 · 3 · 7
En estos casos, las descomposiciones de factores primos suelen representarte en forma de potencia en aquellos factores que se repiten. Para este ejemplo, observamos que el número 2 se repite dos veces por lo tanto se puede expresar como 22. De esta forma, la descomposición quedaría expresada de la siguiente forma:
84 = 22 · 3 · 7
Códigos secretos
Los números se pueden descomponer en sus factores primos, pero cuando hablamos de números realmente grandes resulta casi imposible a menos que utilicemos herramientas informáticas o programas de computadora. Es por esto que los números primos son perfectos para crear códigos secretos indescifrables. Por ejemplo, cuando se hacen compras por internet, los datos de las personas que compran quedan ocultos por un código creado por números enormes que funcionan como una cerradura cuya llave son los factores primos de este número.
¡A ejercitar!
Encierra en color azul los números primos y en rojo los números compuestos.
RESPUESTAS
2. Encuentra los divisores de los siguientes números.
a) 24
RESPUESTAS
Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24.
b) 60
RESPUESTAS
Divisores de 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60.
c) 73
RESPUESTAS
Divisores de 73: 1 y 73
d) 48
RESPUESTAS
Divisores de 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 y 48.
3. Señala cuál de los siguientes números es un número compuesto.
a) 53
b) 63
c) 73
d) 83
RESPUESTAS
b) 63
4. Descompone en factores primos los siguientes números:
a) 54
RESPUESTAS
b) 150
RESPUESTAS
c) 72
RESPUESTAS
d) 100
RESPUESTAS
e) 63
RESPUESTAS
f) 132
RESPUESTAS
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Criterios de divisibilidad”
El artículo propone una serie de reglas que permiten identificar los divisores de un número.
Los seres humanos tenemos la capacidad de contar cosas. Para este proceso de conteo necesitamos un conjunto de operaciones que facilitan los cálculos. La adición, la sustracción, la multiplicación y la resta son conocidas como operaciones básicas y su uso va desde lo cotidiano hasta lo científico.
Adición y sustracción por reagrupación
Las adiciones y las sustracciones las utilizamos todos los días para contar cantidades como los puntos que obtenemos en un juego o cuando necesitamos saber lo que nos tienen que dar de vuelto al hacer una compra. Existen diversos métodos para realizar estas operaciones pero el resultado siempre es el mismo.
Adición por reagrupación
A menudo hacemos uso de las adiciones para resolver distintas situaciones. Cuando los números son pequeños usamos cálculos mentales, pero cuando los números son grandes generalmente hacemos la cuenta en un papel.
Los siguientes pasos te ayudarán a resolver adiciones por reagrupación:
1. Se escriben los números a sumar uno debajo del otro, de manera que coincidan las unidades, decenas, centenas, unidades de mil, etc.
2. Se inicia la suma de derecha a izquierda, a partir de las unidades. Si el resultado de la suma de las unidades es mayor a 9, se anota el resultado de la unidad de dicha suma y el valor de la otra cifra se anota sobre la columna de la izquierda. De esta manera, al resultado de la columna siguiente se le suma la cifra que se anotó con antelación.
Luego se procede a sumar las siguientes columnas junto con los números de las llevadas que se hayan podido generar en sumas de columnas anteriores.
Sustracción por reagrupación
Para resolver las sustracciones por reagrupación se pueden seguir los siguientes pasos:
1. Se escriben los números a restar uno debajo del otro, de manera que coincidan las unidades, decenas, centenas, etc.
2. Igual que en la adición, la sustracción se resuelve de derecha a izquierda. Si el número de la cifra superior es menor que el de la cifra inferior, no se puede restar de forma directa. En este caso, se coloca un 1 delante del número de arriba y se resuelve la resta. A este tipo de operación se la conoce como “resta con llevada” porque al resolver la siguiente columna se le debe restar el 1 que se tomó prestado anteriormente.
3. Se repite el procedimiento hasta abarcar todas las columnas.
Multiplicación
Las multiplicaciones nos sirven para simplificar situaciones en las que tendríamos que sumar reiteradamente un mismo número. De hecho, la multiplicación consiste en calcular el resultado de sumar un número por sí mismo tantas veces como indique otro número o multiplicador. Existen dos tipos de multiplicación: sin reagrupación y con reagrupación.
Multiplicación sin reagrupación
Las multiplicaciones sin reagrupación son aquellas que no tienen llevada, es decir, que cuando multiplicamos cada una de las cifras del multiplicador por el multiplicando da como resultado un número de una cifra.
Para resolver estas multiplicaciones se siguen estos pasos:
1. Primero se calculan los productos intermedios. Se comienza con la multiplicación de las unidades del multiplicador por todas las cifras del multiplicando de derecha a izquierda y se anotan las cifras correspondientes en cada columna. En este caso se multiplica 3 × 62.312 = 186.936.
2. Luego se multiplica la decena del multiplicador por las cifras del multiplicando, se deja un espacio y se anota el número obtenido debajo del resultado anterior. Aquí se multiplica 1 × 62.312 = 62.312.
3. Luego de obtener los productos intermedios, estos se suman para obtener el resultado de la multiplicación.
Observemos ahora un ejemplo en donde el multiplicador posee tres cifras:
1. Igual que en el ejemplo anterior, lo primero que hacemos es multiplicar las unidades del multiplicador (2) por cada una de las cifras.
2. Luego dejamos un espacio en la fila de abajo y anotamos el resultado de la multiplicación de las decenas del multiplicador y el multiplicando.
3. Después dejamos dos espacios y anotamos el resultado de multiplicar las centenas del multiplicador y el multiplicando.
4. Finalmente sumamos los tres productos obtenidos y obtenemos el resultado 45.245.252.
¿Sabías qué?
La multiplicación es una suma abreviada de sumandos iguales. El resultado de la multiplicación se llama producto.
La multiplicación presenta varias propiedades, como la del elemento neutro, en la que todo número multiplicado por 1 es igual al mismo número. Otra propiedad es la conmutativa que explica que el orden de los factores no altera el resultado. También presenta la propiedad distributiva la cual indica que no importan cómo se reagrupen los factores, el resultado siempre será el mismo.
Multiplicación con reagrupación
A diferencia de los ejemplos anteriores, las multiplicaciones por reagrupación tienen llevadas. Se resuelven con los mismos pasos anteriores, pero esta vez las llevadas se suman al resultado de cada multiplicación al momento de anotar los productos intermedios.
Para resolver este tipo de multiplicación se siguen estos pasos:
1. Primero se calculan los productos intermedios. Se comienza con la multiplicación de las unidades del multiplicador por todas las cifras del multiplicando de derecha a izquierda y se anotan las cifras correspondientes en cada columna. Cuando el producto de una cifra del multiplicador por una cifra del multiplicando tiene dos cifras, se anota la unidad de dicho número y la cifra correspondiente a las decenas se suma al producto siguiente.
Nota que 5 × 5 = 25. Así que colocamos la unidad (5) en la columna de los resultados y la decena (2) sobre la columna de la izquierda. Por lo tanto, al multiplicar 5 × 0 = 0 y 0 + 2 = 2.
2. Luego se multiplica la decena del multiplicador por las cifras del multiplicando, se deja un espacio y se anota el número obtenido debajo del resultado anterior.
3. Repetimos el paso anterior con las centenas del multiplicador.
4. Finalmente sumamos los productos parciales y obtenemos el resultado de la multiplicación.
división
Muchas veces tenemos la necesidad de hacer repartos de manera equitativa. La operación que nos permite hacerlo es la división. Esta puede ser exacta o inexacta.
Si la resta es la operación opuesta a la suma, la división es la opuesta a la multiplicación. Para expresar una división se pueden emplear los símbolos de “÷”, “:” y “/”. Esta operación nos sirve para repartir cantidades en partes iguales y pueden ser de dos tipos: divisiones exactas cuando el resto es igual a cero y divisiones inexactas cuando no lo es.
Divisiones exactas
Las divisiones exactas son aquellas cuyo resto es igual a cero. Esto lo determinamos al resolver la división por medio de los siguientes pasos:
Para dividir 323 ÷ 17 lo primero que debemos hacer es escribir los datos en su respectiva ubicación para poder comenzar a realizar cálculos:
2. Como tenemos dos cifras de divisor, tomamos dos de dividendo para comenzar la división y comprobamos que la cantidad sea menor a la del divisor.
3. Pensamos un número que multiplicado por 17 se acerque lo máximo posible a 32. Sabemos que 1 × 17 = 17 y 2 × 17 = 34 y es mayor que 32. Así que colocamos el 1 en el cociente, escribimos el producto debajo del 32 y restamos 32 − 17 = 15.
4. Bajamos el siguiente dígito del dividendo, en este caso el 3:
5. Buscamos un número que multiplicado por 17 sea igual o se acerque lo máximo posible a 153. En este caso sería 9, porque 17 × 9 = 153. Luego restamos el producto. Como 153 − 153 = 0 no seguimos la división y el resto de esta es cero, lo que significa que es exacta.
Podemos escribir que 323 ÷ 17 = 19.
Divisiones no exactas
Las divisiones no exactas son aquellas que tienen un resto distinto de cero. El procedimiento para resolverlas es igual al anterior lo único que cambia es que la división termina cuando el resto obtenido es menor al divisor. Observemos el siguiente ejemplo:
Podemos escribir esta división de la siguiente forma:
5.584 ÷ 24 = 232 y resto = 16.
Historia de los símbolos matemáticos
Muchos países en la Antigüedad utilizaban abreviaturas para indicar algunas operaciones matemáticas. Los italianos, por ejemplo, utilizaban una “p” y una “m” para indicar la suma y la resta (plus y minus, en latín). Luego se impuso el uso de la abreviatura alemana ”+” y “−”. Estos símbolos se usaron por primera vez en un libro alemán de Widman en 1489.
El primer símbolo que se utilizó para la multiplicación fue “×”, utilizado por Oughtred en 1631. Varios años después Leibniz impuso el punto “·” como símbolo de la multiplicación porque decía que el símbolo que se usaba era fácil de confundir con la letra equis “x”.
Fibonacci, en el siglo XIII, creó la barra horizontal para las fracciones. Esta separaba el numerador del denominador. En 1845, De Morgan ideó la barra oblicua (/) para denotar a la división. Antes de la barra oblicua, Rahn inventó para la división el signo ÷. Los dos puntos (:) los introdujo Leibniz en el caso de que se quisiese escribir una división en una sola línea.
¡A practicar!
1. Resuelve las siguientes adiciones y sustracciones.
a) 3.005.078 + 5.119.839 =
Solución
8.124.917
b) 4.313.528 − 499.999 =
Solución
3.813.529
c) 27.521.666 − 14.124.917 =
Solución
13.396.739
d) 187.324.949 + 153.286.084 =
Solución
340.611.033
2. Resuelve las siguientes multiplicaciones.
a) 2.321.231 × 231 =
Solución
536.204.361
b) 1.639.121 × 452 =
Solución
740.882.692
c) 3.141.243 × 221 =
Solución
694.214.703
d) 796.467 × 734 =
Solución
584.606.778
3. Resuelve las siguientes divisiones.
a) 48.321.564 : 12 =
Solución
4.026.797
b) 240.526 : 18 =
Solución
13.362 y su resto es 10.
c) 451.542 : 42 =
Solución
10.751
d) 2.795.615 : 26 =
Solución
107.523 y su resto es 17.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Operaciones básicas de los números naturales y sus propiedades”
El siguiente artículo destacado explica cuáles son las principales propiedades de las operaciones básicas en números naturales.
Artículo “Suma y resta utilizando el algoritmo de descomposición”
Este artículo explica uno de los métodos para resolver sumas y restas que se fundamenta en la descomposición de un número de acuerdo a los valores posicionales de sus cifras.
Los números naturales () son los que utilizamos para contar. Cada número tiene un valor relativo según la posición que ocupe dentro de una cifra y esto permite una correcta lectura de los mismos. Además de los números naturales, existen los números decimales que están formados por una parte entera y otra decimal. También hay sistemas de numeración no posicionales como los números romanos, los cuales constan de siete letras del abecedario latino.
Para leer un número de manera correcta es necesario conocer el valor que ocupa cada una de sus cifras. Para esto podemos usar una tabla posicional.
descomposición de números
Existen distintas formas de descomponer números grandes: la aditiva con combinaciones básicas, la aditiva por medio de valor posicional, la polinómica o la multiplicativa. En la aditiva con combinaciones básicas usamos una o más sumas que expresen el mismo resultado; en la aditiva con valor posicional empleamos los valores posicionales de cada cifra; en la polinómica utilizamos las potencias de base 10; y en la multiplicativa descomponemos la cantidad en sus factores primos.
Estas diferentes maneras de expresar los números permiten resolver situaciones de forma más rápida y sencilla.
números enteros
Los números enteros () están compuestos por todos los números naturales (), sus opuestos negativos y el cero. Los enteros negativos requieren el uso obligatorio del signo (−) a diferencia de los positivos que pueden o no estar acompañados con el signo (+). Estos pueden ser representados en una recta numérica, la cual contiene todos los números reales (). Los números enteros se aplican en diversas situaciones de la vida, como para indicar altitudes sobre el nivel del mar, registrar entradas y salidas de dinero de un banco, dibujar el eje de coordenadas, o para indicar temperaturas.
Otra de las tantas aplicaciones que se les da a los números enteros es para señalar los niveles de un edificios, en donde planta baja representa el 0, los niveles superiores los positivos y los niveles inferiores los negativos.
NÚMEROS decimales
Los números decimales están formados por una parte entera y una parte decimal, ambas divididas por una coma. Estos se clasifican en tres tipos según su parte decimal: exactos, periódicos y no periódicos. Los exactos tienen un número limitado de cifras; los periódicos poseen cifras decimales infinitas y, a su vez, estos se dividen en dos tipos: los puros y los mixtos; y los decimales no periódicos no tienen un patrón que se repita infinitamente. Estos números se pueden redondear para reducir la cantidad de cifras decimales y así obtener un valor muy parecido.
Los números decimales pueden ser utilizados en diversas situaciones de la vida, como para indicar la estatura de las personas o los precios de los productos.
sucesiones
Las sucesiones son un grupo de elementos que se ordenan uno detrás de otro. Estos elementos son llamados términos, siguen una regla dentro del conjunto y pueden ser números, letras, figuras o imágenes. En una sucesión, los términos son representados como subíndices (a1, a2, a3, …). Usamos sucesiones cada vez que contamos los días de la semana o las horas del día. También las usamos para ordenar de mayor a menor o de menor a mayor, o para aprender a leer el abecedario. Podemos encontrar sucesiones con operaciones matemáticas como la suma, la resta, la multiplicación, la división o la potencia.
Cuando se ordenan los ganadores de una carrera de automóviles, estos siguen un patrón de acuerdo al tiempo de llegada. Este es un ejemplo de sucesión.
potencias
La potenciación consiste en expresar de manera reducida una multiplicación de factores iguales. Tiene tres elementos: una base, un exponente y la potencia. La base es el número que se multiplicará tantas veces como indica el exponente y la potencia es el resultado de la multiplicación de los factores. Algunas de las propiedades de las potencias son: potencia de exponente 0, potencia de exponente 1, potencia de exponente negativo, multiplicación y división de potencias con igual base y la potencia de una potencia.
Las potencias sirven para aplicar teoremas, expresar notación científica, realizar sucesiones matemáticas y para demostrar problemas de crecimiento exponencial como la multiplicación de virus y bacterias.
raíz de un número
La raíz de un número es la operación inversa a la potencia de un número. Consiste en buscar el número que se ha multiplicado tantas como indica n bajo un operador radical. Los elementos de una raíz son el radicando, el índice, el radical y la raíz. El radicando es el resultado de la multiplicación de la raíz de un número tantas veces como indica el índice de la raíz. El índice indica el grado de una raíz, lo que se traduce en cuántas veces se multiplicó por sí mismo el resultado de la radicación. El radical representa el símbolo de la operación de radicación y la raíz es resultado de la operación matemática.
Todas las operaciones matemáticas poseen una operación inversa que revierte los cálculos realizados.
La radicación es la operación inversa de la potenciación. Su cálculo consiste en hallar un número que multiplicado por sí mismo cierta cantidad de veces resulte en otro número determinado. Para poder emplear de manera correcta esta operación es necesario saber sus elementos y propiedades.
Todos los cálculos matemáticos tienen una operación inversa. La suma es la operación inversa de la resta, la división lo es de la multiplicación y la radicación lo es de la potenciación. Posiblemente creas que la radicación es la operación más compleja, pero no es así. Si conoces sus elementos y propiedades podrás resolver cualquier raíz de un número.
¿qué es una raíz?
Es una operación matemática en la que se obtiene un número que se ha multiplicado por sí mismo n veces bajo el operador radical. Esta se encuentra formada por los siguientes elementos:
Donde:
Radical : representa el símbolo de la operación de radicación.
Índice de la raíz : indica el grado de una raíz, lo que se traduce en cuántas veces se multiplicó por sí mismo el resultado de la radicación. El índice de una raíz debe ser diferente de cero.
Radicando : es el producto de la multiplicación de la raíz según lo indique el índice. El radicando pertenece al conjunto de los números reales.
Raíz : es el resultado de la radicación.
Condiciones a cumplir
Si es par, debe ser , para que el resultado sea un número real .
¿Cómo se relacionan la potencia y la raíz de un número?
La relación de las operaciones matemáticas potenciación y radicación se refleja así:
La base de la potenciación es el resultado o raíz de la radicación.
La potencia de la potenciación es el radicando de la radicación.
El exponente de la potenciación coincide con el índice de la radicación.
Por lo tanto, podemos expresar a una raíz como un exponente fraccionario, en el cual el denominador de la fracción corresponde al índice de la raíz y el numerador al exponente del radicando.
– Ejemplo:
Origen del término
Antiguos papiros egipcios demuestran que en esta cultura se calculaban raíces. Muchos especialistas asocian el origen del símbolo de la raíz con la letra r de la palabra latina radix, que significa “raíz”. No obstante, este término fue introducido en siglo XVI por Christoph Rudolff, quien lo usó en su libro Coss.
propiedades de las raíces
Raíz de cero
La raíz con radicando 0 es igual a 0, siempre que su índice sea diferente de dicho número.
– Ejemplo:
Raíz de la unidad
La raíz de 1 siempre será igual a 1.
– Ejemplo:
Raíz de un producto
La raíz de un producto es igual al producto de las raíces de los factores.
– Ejemplo:
Raíz de un cociente
La raíz de un cociente es igual al cociente de las raíces del dividendo y del divisor.
– Ejemplo
Raíz de una raíz
La raíz de una raíz es igual a una nueva raíz con el mismo radicando e índices multiplicados.
– Ejemplo:
Potencia de una raíz
La potencia de una raíz es igual a la misma raíz con el radicando elevado a dicha potencia.
– Ejemplo:
Los problemas con radicales pueden tener una, dos o ninguna solución, y esto depende principalmente del radicando y del índice de la raíz. Sin embargo, para poder resolverlos de manera correcta se requiere tener conocimiento tanto de sus propiedades como también de la regla de los signos.
Suma y resta de radicales
Los radicales pueden sumarse o restarse siempre y cuando sean semejantes, es decir, que tengan el mismo índice y radicando. En este caso, sumamos o restamos los coeficientes (los números que están fuera de la raíz) y dejamos el mismo índice y radicando.
– Ejemplo:
cálculo de raíces
En la actualidad existen herramientas que te ayudan a realizar las operaciones matemáticas de manera fácil y rápida, como por ejemplo la calculadora. Con una calculadora, podemos determinar la raíz de un número sin problemas, pero, ¿qué hacer si no tenemos una calculadora? Para ello, es bueno saber los pasos para calcular la raíz cuadrada de cualquier número.
Para calcular la raíz cuadrada de un número como 682.273 seguimos estos pasos:
1. Agrupamos el número en cifras de dos en dos desde la derecha a la izquierda.
2. Buscamos un número que elevado al cuadrado se aproxime a las dos primeras cifras de la izquierda. De este modo, colocamos el 8, pues 82 = 8 × 8 = 64 que se aproxima a 68.
3. Realizamos la resta entre las dos primeras cifras y el resultado de 82 = 64. Luego bajamos las dos cifras siguientes (22).
4. Tomamos el primer resultado de la raíz que es 8 y lo multiplicamos por 2: 8 × 2 = 16. Lo colocamos debajo.
5. El número multiplicado por dos lo usamos para dividir a los dos primeros números del resto anterior (422). Como 42/16 = 2,625, colocamos el número entero (2) después de 16 para formar una nueva cifra: 162. Ahora multiplicamos este nuevo resultado por 2: 162× 2.
6. Utilizamos el resultado de la multiplicación para restarlo a 422. Añadimos el 2 a la raíz.
7. Repetimos el procedimiento. Bajamos las dos cifras siguientes (76) junto al último resto (98) para formar 9.876. Multiplicamos por 2 la raíz hasta ahora obtenida (82 × 2) y la colocamos como nuevo cociente (164).
8. Del mismo modo, el número multiplicado por dos lo utilizamos para dividir a los tres primeros números del resto anterior (9.876), lo que nos da 987/164 = 6,018. De esta división, solo tomamos el número entero (6), que usaremos para colocarlo detrás del (164) para formar una nueva cifra (1.646) y, al mismo tiempo, para multiplicar esta nueva cifra (1646 × 6).
9. El resultado de la multiplicación se utiliza para restarlo al resto anterior (9.876) y el número entero utilizado para hacer esta multiplicación se coloca en la raíz (82) y queda así:
Entonces,
¡A practicar!
1. Aplica las propiedades de las raíces para resolver los siguientes ejercicios:
Solución
Solución
Solución
Solución
2. Resuelve las siguientes raíces sin utilizar la calculadora:
Solución
Solución
Solución
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “La radicación”
Con este artículo, podrá ampliar los conocimiento respecto a la radicación y sus propiedades.
La matemática está compuesta por numerosos tipos de operaciones que varían según su complejidad. Entre esas operaciones se encuentra la potenciación, que consiste en la multiplicación de factores iguales de acuerdo a un exponente. Al igual que otros cálculos, tiene sus propiedades y sus características particulares. ¡Las aprenderemos a continuación!
La potenciación también puede ser definida como la forma abreviada de escribir un producto de varios factores iguales. En muchas ocasiones, los ejercicios de potenciación pueden parecer algo complejos. Para resolverlos de manera correcta es indispensable conocer sus elementos y propiedades.
LA POTENCIA Y SUS ELEMENTOS
La potencia se define como el resultado (b) de la multiplicación de la base (a) tantas veces como lo indica el exponente (n). En esta operación, a y b son números reales y n es un número entero.
– Ejemplo:
¿Cómo se lee una potencia?
Si quieres leer una potencia es necesario que hayas aprendido bien a identificar sus elementos para luego aplicar los siguientes pasos.
Lee la base como cualquier número seguido de la expresión “elevado a la” o “elevado al” según sea el caso.
Lee el exponente como un número ordinal. A excepción del 2 y 3 que se expresan como “al cuadrado” y “al cubo” respectivamente.
– Ejemplo:
se lee “cinco al cubo”.
se lee “cuatro al cuadrado”.
se lee “nueve a la quinta”.
¿Sabías qué?
René Descartes (1596-1650) realizó contribuciones importantes a la matemática y popularizó la notación para la potenciación.
Todo número elevado a la potencia cero es igual a 1.
– Ejemplo:
Potencia de un exponente 1
Todo número elevado a la potencia 1 es igual al mismo número.
– Ejemplo:
Potencia de un exponente negativo
Todo número elevado a la potencia negativa es igual a la fracción de uno sobre la misma base con potencia positiva.
– Ejemplo:
Multiplicación de potencias de igual base
En la multiplicación de potencias de igual base se coloca la misma base y se suman los exponentes.
– Ejemplo:
División de potencias de igual base
En la división de potencias se coloca la misma base y se restan los exponentes.
– Ejemplo:
Potencia de una potencia
En toda potencia elevada a otra potencia se coloca la misma base y se multiplican los exponentes.
– Ejemplo:
Potencia de un exponente racional
En una potencia con exponente fraccionario se extrae el denominador del exponente en forma de raíz y el numerador queda como exponente de la potencia.
– Ejemplo:
Multiplicación de potencias con el mismo exponente
En la multiplicación de potencias de igual exponente se multiplican las bases y se coloca el mismo exponente.
– Ejemplo:
División de potencias con el mismo exponente
En la división de potencias de igual exponente se coloca el mismo exponente y se dividen las bases.
– Ejemplo:
¿Resultado par o impar?
Toda potencia de base negativa con exponente par da como resultado un número positivo. Por ejemplo:
Toda potencia de base negativa con exponente impar da como resultado un número negativo. Por ejemplo:
Potencias de base 10
Las potencias de base 10 son fáciles de calcular porque el valor es igual a la base seguida de tantos ceros como indica el exponente. Estas son muy útiles para escribir de forma polinómica un número, es decir, permiten escribir números muy grandes de forma reducida.
APLICACIONES DE LAS POTENCIAS
Debido a las diversas propiedades que estas poseen pueden utilizarse para:
Aplicar el teorema de Pitágoras
Uno de los teoremas más famosos de la geometría es el teorema de Pitágoras. Este emplea potencias para expresar su fórmula, la cual dice que la hipotenusa al cuadrado de un triángulo rectángulo es igual a la suma de sus catetos al cuadrado, es decir, C2 = A2 + B2.
Emplear la notación científica
La notación científica utiliza potencias de base 10 para expresar números muy grandes o muy pequeños en forma reducida. Observa cómo algunos números pueden ser expresados de forma simplificada:
Expresar sucesiones matemáticas y progresiones geométricas
Existen series matemáticas que requieren el uso de las potencias para expresar su forma general o enésima.
Uno de los campos o áreas que usan la potenciación es la biología, específicamente en el estudio de la reproducción de virus y bacterias. Allí, para poder expresar su rápido crecimiento, es necesario emplear este tipo de operación matemática.
¡A practicar!
1. Resuelve las siguientes potencias y aplica las propiedades necesarias:
Solución
Solución
Solución
Solución
2. Expresa los siguientes números en notación científica.
Solución
Solución
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Propiedades de potencias”
En el siguiente artículo hay más estrategias para ampliar los conocimientos acerca de las propiedades de las potencias.
