CAPÍTULO 5 / TEMA 4

PROBABILIDAD

¿ALGUNA VEZ HAS LANZADO UN DADO? ¿SIEMPRE SABES QUE NÚMERO SALDRÁ? ¡NO! ¿VERDAD? AUNQUE SABES QUE PUEDE SALIR UN NÚMERO DEL 1 AL 6 NO TIENES SEGURIDAD DE CUÁL DE ESOS NÚMEROS SERÁ. GRACIAS A LA PROBABILIDAD PODEMOS CALCULAR LA CANTIDAD DE VECES QUE UN EVENTO ALEATORIO COMO ESTE PUEDE OCURRIR O NO.

evento ALEATORIO

UN EVENTO ALEATORIO ES AQUEL QUE PUEDE OCURRIR O NO PUEDE OCURRIR Y EN EL QUE INTERVIENE EL AZAR. ES DECIR, QUE SI REPETIMOS EL MISMO EL EVENTO PODEMOS TENER SIEMPRE DISTINTOS RESULTADOS.

– EJEMPLOS:

LANZAR UNA MONEDA.
LANZAR UN DADO.
ELEGIR UNA CARTA DE UN MAZO.
SACAR UN CARAMELO ROJO DE UNA BOLSA CON CARAMELOS DE MÚLTIPLES COLORES.

COMO VES, NO PODEMOS PREDECIR EL RESULTADO DE ESTOS EVENTOS.

LOS DADOS SON OBJETOS CON FORMA DE CUBO Y TIENEN SEIS CARAS. CADA CARA REPRESENTA UN NÚMERO DEL 1 AL 6. ES NORMAL QUE LOS VEAS EN JUEGOS DE MESA COMO EL LUDO, EL MONOPOLIO Y EL PASE INGLÉS. CUANDO LANZAMOS UN DADO ESTAMOS SEGUROS QUE SALDRÁ UNO DE ESOS NÚMEROS, PERO NO SABEMOS CON SEGURIDAD CUÁL, ES DECIR, NO PODEMOS PREDECIR EL RESULTADO. ESO ES LO QUE CONOCEMOS COMO AZAR.

sucesos posibles

OBSERVA ESTAS BOLSAS CON BOLAS DE COLORES. SI SACAMOS UNA BOLA CON LOS OJOS CERRADOS NO SABRÍAMOS DE QUÉ COLOR SALDRÍA LA BOLA. SIN EMBARGO, PODEMOS PREDECIR QUÉ TAN PROBABLE ES QUE SAQUEMOS UN COLOR U OTRO.

– EJEMPLO:

NOTA QUE:

HAY 2 BOLAS ROJAS.
HAY 10 BOLAS AMARILLAS.

HAY MÁS BOLAS DE COLOR AMARILLO, ASÍ QUE:

ES MÁS PROBABLE QUE SAQUEMOS UNA BOLA DE COLOR AMARILLO.

NOTA QUE:

HAY 6 BOLAS ROJAS.
HAY 6 BOLAS AMARILLAS.

HAY IGUAL CANTIDAD DE BOLAS DE COLOR ROJO Y AMARILLO, ASÍ QUE:

ES IGUAL DE PROBABLE QUE SAQUEMOS UNA BOLA DE COLOR AMARILLO O DE COLOR ROJO.

NOTA QUE:

HAY 10 BOLAS ROJAS.
HAY 2 BOLAS AMARILLAS.

HAY MENOS BOLAS DE COLOR AMARILLO, ASÍ QUE:

ES MENOS PROBABLE QUE SAQUEMOS UNA BOLA DE COLOR AMARILLO.

SEGURO, PROBABLE O IMPOSIBLE

LOS SUCESOS SON CADA UNO DE LOS RESULTADOS POSIBLES DE UN EVENTO ALEATORIO. ESTOS PUEDEN SER SEGUROS, PROBABLES O IMPOSIBLES.

LOS SUCESOS SEGUROS OCURREN SIEMPRE.
LOS SUCESOS PROBABLES OCURREN A VECES.
LOS SUCESOS IMPOSIBLES NO OCURREN NUNCA.

– EJEMPLO:

ES SEGURO SACAR UNA BOLA AMARILLA.

ES PROBABLE SACAR UNA BOLA VERDE.

ES IMPOSIBLE SACAR UNA BOLA AZUL.

¿SABÍAS QUÉ?

LOS SUCESOS QUE OCURREN CON SEGURIDAD SE LLAMAN “SUCESOS DETERMINISTAS”, POR EJEMPLO, LA HORA EN LA QUE ABRE UN BANCO SIEMPRE ES LA MISMA.

ALFONSO TIENE BLOQUES DE COLOR AMARILLO, AZUL, ROJO, VERDE, BLANCO Y NEGRO PARA JUGAR. SI ESTÁN TODOS EN UNA CAJA Y SACA DE A UNO SIN VER ES SEGURO QUE ALFONSO ELEGIRÁ UN BLOQUE DE CUALQUIERA DE ESOS COLORES, ES PROBABLE QUE ELIJA UN BLOQUE AMARILLO, PERO ES IMPOSIBLE QUE ELIJA UN BLOQUE DE COLOR ANARANJADO O GRIS.

RECOPILACIÓN DE DATOS

TODOS LOS DATOS PUEDEN ORGANIZARSE EN UNA TABLA, EN UNA TABLA DE PICTOGRAMAS O EN UN GRÁFICO DE BARRAS. POR EJEMPLO, SI QUEREMOS ORGANIZAR LOS BLOQUES PARA JUGAR POR COLOR TENEMOS QUE CONTAR UNO POR UNO Y HACER GRUPOS DE COLORES. LUEGO LOS REPRESENTAMOS. POR EJEMPLO:

TABLA

COLOR DEL BLOQUE	CANTIDAD DE BLOQUES
AMARILLO	16
AZUL	28
ROJO	32
VERDE	20

TABLA DE PICTOGRAMA

COLOR DEL BLOQUE	CANTIDAD DE BLOQUES
AMARILLO
AZUL
ROJO
VERDE

CLAVE

= 4 BLOQUES

GRÁFICO DE BARRAS

NOTA QUE TANTO LA TABLA, COMO LA TABLA DE PICTOGRAMAS Y EL GRÁFICO DE BARRAS REPRESENTAN LOS MISMOS DATOS.

¡A PRACTICAR!

COMPLETA CON “SEGURO”, “PROBABLE” O “IMPOSIBLE” LAS SIGUIENTES ORACIONES.

ES ____ LANZAR UN DADO Y QUE SALGA EL NÚMERO 7.

SOLUCIÓN

IMPOSIBLE

ES ____ LANZAR UNA MONEDA Y QUE SALGA CARA.

SOLUCIÓN

PROBABLE

ES ____ LANZAR UN DADO Y QUE SALGA UN NÚMERO MENOR A 7.

SOLUCIÓN

SEGURO

2. OBSERVA ESTA RULETA. LUEGO RESPONDE LAS PREGUNTAS.

¿CUÁNTAS ZONAS ROJAS HAY?
SOLUCIÓN
3
¿CUÁNTAS ZONAS VERDES HAY?
SOLUCIÓN
2
¿CUÁNTAS ZONAS MORADAS HAY?
SOLUCIÓN
2
¿CUÁNTAS ZONAS AMARILLAS HAY?
SOLUCIÓN
1
¿CUÁL COLOR ES MÁS PROBABLE QUE SALGA LUEGO DE GIRAR LA RULETA?
SOLUCIÓN
EL ROJO.
¿CUÁL COLOR ES MENOS PROBABLE QUE SALGA LUEGO DE GIRAR LA RULETA?
SOLUCIÓN
EL AMARILLO.
¿CUÁLES COLORES TIENEN IGUAL PROBABILIDAD DE SALIR LUEGO DE GIRAR LA RULETA?
SOLUCIÓN
EL VERDE Y EL MORADO.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Probabilidad”

Este artículo servirá de ayuda para profundizar sobre los conceptos básicos de la probabilidad.

VER

CAPÍTULO 4 / TEMA 3

Propiedades de la potencia

Cada vez que necesitamos hacer una multiplicación del mismo número repetidas veces, recurrimos a la potenciación. Esta operación, así como muchas otras, cumple con ciertas propiedades. ¿Cuál es la manera correcta de aplicarlas?, ¿cuáles son los beneficios? A continuación, aprenderás cuáles son y sus aplicaciones prácticas.

La potencia o potenciación es una operación matemática que consiste en multiplicar varias veces un mismo número. Consta de una base, que es el número que se multiplica, y de un exponente, que es el número que señala la cantidad de veces que se multiplica la base por sí misma. Es decir, la potenciación no es más que una multiplicación abreviada.

principales propiedades de la potencia

Las propiedades de potenciación tienen una gran cantidad de aplicaciones, pero también tienen ciertas restricciones y es importante conocerlas para no cometer errores en su resolución. Entonces, siempre que apliquemos las propiedades será a las operaciones de multiplicación y división, nunca será a las operaciones de suma y resta.

En verde están las operaciones a las que aplicaremos las propiedades de potenciación, y en rojo, las operaciones a las que no podremos aplicarlas nunca.

En la siguiente tabla podrás observar las propiedades de la potenciación:

Propiedades de la potenciación
Producto de potencia de igual base	a^m· aⁿ= a^{(m + n)}
Cociente de potencia de igual base	a^m/ aⁿ= a^{(m − n)}
Potencia de potencia	(a^m)ⁿ= a^{n · m}
Producto de potencias con bases diferentes y exponentes iguales	aⁿ· bⁿ = (a · b)ⁿ
Cociente de potencias con bases diferentes y exponentes iguales	aⁿ/ bⁿ= (a / b)ⁿ
Exponente negativo	a⁻ⁿ= 1 / aⁿ

¿Sabías qué?

Cuando el exponente es negativo, mientras mayor sea su valor más pequeño será el resultado.

Notación científica

La notación científica es una forma de expresar cantidades muy grandes o muy pequeñas que le ha permitido a los científicos simplificar sus cálculos. Es conocida también como notación o patrón exponencial porque emplea potencias de base 10 dentro de su expresión. Las potencias de base 10 son iguales a la unidad seguida de tantos ceros como indique el exponente. Un ejemplo de notación científica lo vemos en las masas de los objetos astronómicos, por ejemplo, la masa de la Luna es de aproximadamente 735 × 10²⁰ kg.

Ejemplos prácticos

Aplicación a la suma y resta

La aplicación de las propiedades corresponde a varias operaciones matemáticas pero no a la suma y la resta. Sin embargo, eso no significa que no pueda aplicarse a ejercicios donde existan muchos términos que se suman o se restan. Cuando esto sucede, se aplican las propiedades solo a los términos por separado.

Producto de una potencia de igual base

Cuando existe una multiplicación entre dos potencias con igual base, el resultado final será la misma base elevada a la suma de los exponente de potencias que se multiplicaron. Por ejemplo:

5³· 5² = 5^{(3 + 2)} = 5⁵
4²· 4⁰ = 4^{(2 + 0)} = 4²
6⁸ · 6² · 6³ = 6^{(8 + 2 + 3)} = 6¹³

Cociente de una potencia de igual base

Cuando dividimos dos potencias con igual base el procedimiento es similar al de la multiplicación, con la diferencia de que aquí restamos los exponentes de las potencias. Por ejemplo:

5³ / 5² = 5^{(3 − 2)} = 5¹
4² / 4⁰ = 4^{(2 − 0)} = 4²

Potencia de una potencia

Cuando tenemos una base elevada a un exponente n, y esta a su vez está elevada a otro exponente m, el resultado final lo obtenemos al multiplicar ambos exponentes (n · m). Por ejemplo:

(4²)⁴ = 4^{2 · 4} = 4⁸
(3³)³ = 3^{3 · 3} = 3⁹

Producto de potencias con bases diferentes y exponentes iguales

Si multiplicamos dos potencias con igual exponente y bases distintas, el resultado será igual a mantener el exponente y solo multiplicar las bases. Por ejemplo:

5³ · 4³ = (5 · 4)³
3² · 2² = (3 · 2)²

Cociente de potencias con bases diferentes y exponentes iguales

De igual manera que en el caso anterior, el resultado será el cociente de las bases elevadas al exponente. Por ejemplo:

5³ / 4³ = (5/4)³
3² / 2² = (3/2)²

Exponente negativo

Cuando el exponente es negativo, la potencia será igual a la inversa de su base y el mismo exponente con signo positivo. Por ejemplo:

(2)⁻² = (1/2)² = 1/2² = 1/4
(1/2)⁻¹ = 2

Los átomos son las unidades básicas de toda la materia. En conjunto crean las moléculas y son microscópicos. Para poder medir las distancias entre ellos se usa una unidad de longitud llamada angstrom (Å = 1 x 10⁻¹⁰ metros). El exponente igual a −10 nos indica que el valor en metros es equivalente a 0,0000000001 m.

Potencia de decimales y fracciones

Cuando las bases son decimales o fracciones, las propiedades se mantienen sin distinción. Por ejemplo:

(0,1)² = (0,1) · (0,1) = 0,01

Observa que 0,1 = 1 · 10⁻¹ , y aquí se puede aplicar la propiedad de potencia de potencia.

(0,1)² = (1 · 10⁽⁻¹⁾)² = 10^{(−1) · 2} = 10⁻² = 0,01

De la misma manera, si sabemos que 0,1 = 1/10:

(0,1)² = (1/10)² = 1/10² = 1/100 = 0,01

Cualquiera sea la expresión que se elija para resolver la operación se debe llegar al mismo resultado.

¡A practicar!

Aplica la propiedad correspondiente en cada caso:

3⁴ · 3¹· 3³

Solución

3⁴ · 3¹ · 3³ = 3^{(4 + 1 + 3)} = 3⁸ = 6.561

6² / 6²

Solución

6² / 6² = 6^{(2 − 2)} = 6⁰ = 1

(7⁻¹)⁻³

Solución

(7⁻¹)⁻³ = 7^{(−1) · (−3)} = 7³ = 343

6³ · 8³

Solución

6³ · 8³ = (6 · 8)³ = 48³ = 110.592

(−1/2)⁻²

Solución

(−1/2)⁻² = (−2)² = (−2) · (−2) = 4

8³ / 4³

Solución

8³ / 4³ = (8/4)³ = 2³ = 8

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Ejercicios de propiedades de la potencia”

En el artículo podrá reforzar las propiedades de potenciación vistas a partir de ejemplos y ejercicios. También se explica la importancia de la correcta aplicación de las propiedades en cada término al sumar o restar.

VER

CAPÍTULO 2 / TEMA 2

OPERACIONES COMBINADAS

En ocasiones necesitamos efectuar cálculos que combinan varios tipos de números y, por lo tanto, diferentes tipos de operaciones. Para estos casos lo más importante es saber las jerarquías o el orden en el que debemos resolverlos, y para eso están los signos de agrupación. Aprendamos cuáles son y cómo usarlos.

SIGNOS DE AGRUPACIÓN

En matemática, los signos de agrupación hacen referencia a los paréntesis “( )”, corchetes “[ ]” y llaves “{ }” que empleamos para saber el orden o prioridad en el que realizamos las operaciones. En este sentido, existe una convención respecto a la jerarquía de estos signos:

En primer lugar, resolvemos los cálculos que se encuentran entre paréntesis “( )”.
En segundo lugar, realizamos los cálculos que están agrupados dentro de los corchetes “[ ]”.
Finalmente, hacemos las operaciones que están dentro de las llaves “{ }”.

¿Sabías qué?

En una ecuación no deberían aparecer corchetes sin la presencia de paréntesis, ya que los paréntesis tienen la prioridad en el orden de operaciones.

Operaciones combinadas en la calculadora

Muchas calculadoras u hojas de cálculo no utilizan los corchetes ni las llaves para jerarquizar el orden de operaciones combinadas y solo aplican los paréntesis para indicar qué operaciones se realizan primero. Por ejemplo, si deseamos resolver la operación:

$\sqrt{\frac{\left ( 27-15 \right )\times 8}{\left [ (11+39)-(47-19) \right ]\times 6}}$

El modo de introducir esta operación en algunas calculadoras (con entrada de datos SVPAM) sería:

Como observamos, hay diferentes niveles de jerarquía en los paréntesis, que en este caso, los denotamos por colores.

En las calculadoras también debemos emplear los signos de agrupación para indicar el orden de las operaciones. El uso incorrecto de los paréntesis, o su omisión cuando se necesiten, arrojará resultados erróneos. Por ejemplo, la operación (12 − 10) / 4 da como resultado 0,5; sin embargo, si obviamos los paréntesis y solo escribimos 12 − 10 / 4, el resultado será 9,5.

METODOLOGÍA PARA RESOLVER PROBLEMAS COMBINADOS

Cuando se presentan ejercicios que combinan diversas operaciones, así como diferentes tipos de números, es recomendable que sigamos los siguientes pasos:

1. Identificamos los signos de agrupación que aparecen en el ejercicio para saber el orden en el que vamos a resolver los términos. En este ejemplo tenemos paréntesis, corchetes y llaves.

$\frac{1}{12}\times \left \{ -36\times \left [ \frac{5}{3}\times \left ( -\frac{9}{4}\times 7,81+22,06 \right ) \right ] \right \}=$

2. Realizamos primero las operaciones que se encuentran dentro del paréntesis.

$\frac{1}{12}\times \left \{ -36\times \left [ \frac{5}{3}\times \left ( {\color{Red} -\frac{9}{4}\times 7,81+22,06} \right ) \right ] \right \}=$

Multiplicación y división primero

Si en una operación tenemos dos o más términos que se suman o restan y no hay paréntesis, pero a su vez cada término tiene una multiplicación o una división, primero hacemos la multiplicación o la división antes de hacer la suma o la resta.

Multiplicamos la fracción por 7,81 ya que esta operación tiene prioridad sobre la suma. Las multiplicaciones se resuelven de manera lineal, así que basta con multiplicar −9 × 7,81, y dividir el producto de esta multiplicación entre el denominador de la fracción (4).

$-9\times 7,81 = -70,29$

$-70,29\div 4=-17,5725$

Luego realizamos la suma de este resultado con 22,06. Como se trata de una suma de números con signos diferentes, empleamos una regla de los signos: ambos números se restan y se mantiene el signo del número con mayor valor absoluto.

$(-17.5725)+ (22,06)=4,4875$

3. Una vez que realizamos todas las operaciones dentro del paréntesis, lo eliminamos y agregamos el resultado obtenido. Luego seguimos con las operaciones dentro de los corchetes:

$\frac{1}{12}\times \left \{ -36\times \left [ {\color{Blue} \frac{5}{3}}{\color{Blue} \times 4,4875} \right ] \right \}=$

Multiplicamos el número decimal por 5 y el producto lo dividimos entre 3.

$5\times 4,4875=22,4375$

$22,4375\div 3\approx 7,48$

4. Eliminamos los corchetes y colocamos el resultado obtenido. A continuación, realizamos la operación dentro de las llaves:

$\frac{1}{12}\times \left \{{\color{Green} -36\times 7,48} \right \}=$

Multiplicamos el número negativo por el número decimal. Aplicamos la regla de los signo para la multiplicación: (−)(+)=(−).

$-36\times 7,48 = -269,28$

5. Por último, resolvemos la multiplicación. En este caso solo tenemos que multiplicar el resultado anterior por la fracción 1/12, lo que es igual a solo dividir entre 12 el número −269,28.

$1\times -269,28=-269,28$

$-269,28\div 12=-22,44$

6. Escribimos el resultado:

$\frac{1}{12}\times \left \{ -36\times \left [ \frac{5}{3}\times \left ( -\frac{9}{4}\times 7,81+22,06 \right ) \right ] \right \}=\boldsymbol{-22,44}$

En ocasiones no se utilizan todos los signos de agrupación y se trabaja solo con paréntesis que tienen diferentes jerarquías como podemos ver en la parte superior de la imagen. En este caso, debemos resolver primero las operaciones que están dentro de los paréntesis más internos hasta terminar con los paréntesis externos.

EJERCICIOS COMBINADOS

Los ejercicios combinados pueden involucrar diferentes tipos de números y además varias operaciones, y de ser necesario, el orden para realizarlos viene determinado por los signos de agrupación.

Si los términos dentro de un signo de agrupación contienen diferentes tipos de números, por ejemplo, fracciones, decimales, potencias o radicales; será necesario que realicemos primero una transformación para unificar el tipo de número antes de resolver.

– Ejemplo:

$\left \{ \frac{8}{12}\left [ 5^{3}-\left ( \frac{9}{7}-\frac{2}{3} \right ) \right ]+\sqrt{4} \right \}=$

Primero resolvemos la operación dentro de los paréntesis:

$\left \{ \frac{8}{12}\left [ 5^{3}-\left ({\color{Red} \frac{9}{7}-\frac{2}{3} }\right ) \right ]+\sqrt{4} \right \}=$

En este caso, es una resta de fracciones:

$\frac{9}{7}-\frac{2}{3}=\frac{27-14}{21}=\frac{13}{21}$

Eliminamos los paréntesis y colocamos el resultado. Luego resolvemos la operación dentro de los corchetes:

$\left \{ \frac{8}{12}\left [ {\color{Blue} 5^{3}-\frac{13}{21}} \right ]+\sqrt{4} \right \}=$

Resolvemos la potencia:

$5^{3}=5\times 5\times 5 = 125$

Después resolvemos la resta:

$\frac{125}{1}-\frac{13}{21}=\frac{2.625-13}{21}=\frac{2.612}{21}$

Expresamos la fracción como su número decimal equivalente por medio de una división entre su numerador y denominador:

$2.612\div 21=124,38$

Eliminamos lo corchetes y escribimos el nuevo resultado. Ahora, resolvemos las operaciones dentro de las llaves:

$\left \{ {\color{Green} \frac{8}{12}\times 124,38} +\sqrt{4}\right \}=$

Tenemos dos operaciones dentro de las llaves, y como las multiplicaciones tienen prioridad sobre las sumas, hacemos la multiplicación de la fracción con el número decimal primero:

$8\times 124,38=995,04$

$995,04\div 12=82,92$

Después realizamos la suma con el radical:

$\left \{ 82,92+\sqrt{4} \right \}=$

Resolvemos la raíz cuadrada. En este caso, es un cuadrado perfecto y la raíz es exacta.

$\sqrt{4}=2$

Finalmente sumamos:

$82,92+2=84,92$

Por último, escribimos el resultado:

$\left \{ \frac{8}{12}\left [ 5^{3}-\left ( \frac{9}{7}-\frac{2}{3} \right ) \right ]+\sqrt{4} \right \}=\boldsymbol{84,92}$

Las operaciones básicas utilizadas en aritmética son la suma, la resta, la multiplicación y la división. Sin embargo, podemos encontrar otras operaciones, como la potenciación, que en esencia es una multiplicación sucesiva de factores iguales. Por ejemplo, si queremos conocer el resultado de 2³, solo efectuamos la operación 2 x 2 x 2 = 8.

¡A practicar!

Determina la solución de los siguientes ejercicios combinados.

$\frac{8}{9}\left \{ -14,7+\frac{6^{3}}{4}\left [ 3^{2}+\sqrt{9}\times \left ( 6,5-\frac{13}{4} \right ) \right ] \right \}=$

Solución

$\frac{8}{9}\left \{ -14,7+\frac{6^{3}}{4}\left [ 3^{2}+\sqrt{9}\times \left ( 6,5-\frac{13}{4} \right ) \right ] \right \}=\boldsymbol{886,9\widehat{3}}$

$\left \{ \frac{1}{3}\times \frac{7}{8}+\sqrt{4}\left [ 2^{3}-\frac{21}{9}\left ( 0,75+\frac{3}{2} \right ) \right ] \right \}=$

Solución

$\left \{ \frac{1}{3}\times \frac{7}{8}+\sqrt{4}\left [ 2^{3}-\frac{21}{9}\left ( 0,75+\frac{3}{2} \right ) \right ] \right \}=\boldsymbol{5,79}$

$2\left \{5^{3} \left [ \frac{1}{5}\left ( 8,36-\sqrt{25} \right )+3 \right ] \right \}=$

Solución

$2\left \{5^{3} \left [ \frac{1}{5}\left ( 8,36-\sqrt{25} \right )+3 \right ] \right \}=\boldsymbol{918}$

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “¿Cómo realizar ejercicios combinados con fracciones?”

Este recurso describe por medio de ejemplos el procedimiento para realizar operaciones combinadas entre números naturales, fracciones y potencias.

VER

Artículo “Los números irracionales”

El enlace que se presenta explica las características y propiedades de los números irracionales, así como ejemplos de esta categoría de números.

VER

Artículo “Resolución de cálculos combinados con paréntesis, corchetes y llaves”

Con este material podrá expandir la práctica sobre las operaciones combinadas y sus respectivos signos de agrupación.

VER

CAPÍTULO 5 / TEMA 3

GRÁFICO DE BARRAS

EXISTEN MUCHAS FORMAS DE REPRESENTAR UNA INFORMACIÓN, YA SEA POR TABLAS, PICTOGRAMAS O GRÁFICOS DE BARRAS. ¿SABES QUÉ SON LOS GRÁFICOS DE BARRAS? ESTOS GRÁFICOS SE UTILIZAN PARA EXPRESAR DATOS DE FORMA RÁPIDA POR MEDIO DE BARRAS VERTICALES U HORIZONTALES. ¡APRENDAMOS PARA QUÉ SIRVEN Y CUÁLES SON SUS ELEMENTOS!

¿QUÉ ES UN GRÁFICO DE BARRAS?

EL GRÁFICO DE BARRAS ES UNA MANERA DE MOSTRAR UNA INFORMACIÓN CLARA Y ORDENADA. CONSISTE EN UN CONJUNTOS DE BARRAS DONDE CADA UNA REPRESENTA UNA CATEGORÍA. LAS ALTURAS DE LAS BARRAS NOS AYUDAN A COMPARAR DATOS.

EL GRÁFICO DE BARRAS ES TAMBIÉN CONOCIDO COMO DIAGRAMA DE BARRAS. LAS BARRAS PUEDEN SER VERTICALES, COMO LAS DE LA IMAGEN; PERO TAMBIÉN PUEDEN SER HORIZONTALES. EL COLOR Y LA ALTURA DE CADA BARRA NOS PERMITE HACER COMPARACIONES. POR EJEMPLO, LA BARRA VERDE ES MÁS ALTA QUE LA ROJA, ASÍ QUE REPRESENTA UN VALOR MAYOR.

TIPOS DE GRÁFICOS DE BARRAS

LOS GRÁFICOS DE BARRAS PUEDEN SER VERTICALES, HORIZONTALES Y APILADOS.

FUNCIÓN DEL GRÁFICO DE BARRAS

LOS GRÁFICOS DE BARRAS FUNCIONAN PARA COMPARAR DATOS DE FORMA RÁPIDA.

– EJEMPLO:

SE LE PREGUNTARON A LOS ALUMNOS DE 2º GRADO CUÁL ES SU DEPORTE FAVORITO. LAS RESPUESTAS SE REPRESENTAN EN ESTE GRÁFICO DE BARRAS:

AL OBSERVAR EL GRÁFICO VEMOS QUE:

EL FÚTBOL FUE ELEGIDO POR 6 ALUMNOS.
EL BALONCESTO FUE ELEGIDO POR 2 ALUMNOS.
EL BÉISBOL FUE ELEGIDO POR 5 ALUMNOS.
EL TENIS FUE ELEGIDO POR 8 ALUMNOS.

¡ES TU TURNO!

OBSERVA LA TABLA ANTERIOR. RESPONDE:

¿CUÁL FUE EL DEPORTE MÁS ELEGIDO POR LOS ALUMNOS?
SOLUCIÓN
EL TENIS.

¿CUÁL FUE EL DEPORTE MENOS ELEGIDO POR LOS ALUMNOS?
SOLUCIÓN
EL BALONCESTO.

ELEMENTOS DEL GRÁFICO DE BARRAS

LOS ELEMENTOS DEL GRÁFICO DE BARRAS INDICAN LA FUNCIÓN DE CADA PARTE DEL MISMO. VEAMOS:

¿SABÍAS QUÉ?

TODAS LAS BARRAS DE ESTE GRÁFICO TIENEN EL MISMO ANCHO Y NO SE SUPERPONEN.

PROBLEMAS CON GRÁFICOS DE BARRAS

VEAMOS ALGUNOS PROBLEMAS PARA RESOLVER CON GRÁFICOS DE BARRAS. ¿TE ANIMAS?

EL SIGUIENTE GRÁFICO EXPRESA LA CANTIDAD DE LIBROS QUE HAN LEÍDO LOS NIÑOS AMIGOS DE TANIA.

¡ES TU TURNO!

DESPUÉS DE OBSERVAR EL GRÁFICO DE BARRAS PUEDES RESPONDER ESTAS PREGUNTAS:

¿CUÁNTOS LIBROS LEYÓ JULIANA?
SOLUCIÓN
JULIANA LEYÓ 12 LIBROS.

¿CUÁNTOS LIBROS LEYÓ CAMILA?
SOLUCIÓN
CAMILA LEYÓ 4 LIBROS.

¿CUÁNTOS LIBROS LEYÓ LEONEL?
SOLUCIÓN
LEONEL LEYÓ 10 LIBROS.

¿QUIÉN LEYÓ MÁS LIBROS?
SOLUCIÓN
JULIANA LEYÓ MÁS LIBROS.

¿QUIÉN LEYÓ MENOS LIBROS?
SOLUCIÓN
CAMILA LEYÓ MENOS LIBROS.

2. EL KIOSCO DE MERCEDES VENDIÓ EN UN DÍA LOS SIGUIENTES PRODUCTOS:

¡ES TU TURNO!

DESPUÉS DE OBSERVAR EL GRÁFICO DE BARRAS PUEDES RESPONDER ESTAS PREGUNTAS:

¿CUÁL PRODUCTO FUE EL MÁS VENDIDO?
SOLUCIÓN
LOS JUGOS.
¿CUÁL PRODUCTO FUE EL MENOS VENDIDO?
SOLUCIÓN
LOS CHOCOLATES.

¿CUÁNTOS JUGOS, CHOCOLATES Y FRUTAS SE VENDIERON?
SOLUCIÓN
MERCEDES VENDIÓ 4 CHOCOLATES, 10 JUGOS Y 8 FRUTAS.

3. EL SIGUIENTE GRÁFICO MUESTRA LA CANTIDAD DE TORNEOS DE AJEDREZ GANADOS DURANTE TRES AÑOS POR TOMÁS.

¡ES TU TURNO!

DESPUÉS DE OBSERVAR EL GRÁFICO DE BARRAS PUEDES RESPONDER ESTAS PREGUNTAS:

¿EN QUÉ AÑO LE FUE MEJOR A TOMÁS? ¿CUÁNTOS TORNEOS GANÓ ESE AÑO?
SOLUCIÓN
A TOMÁS LE FUE MEJOR EN EL TERCER AÑO. GANÓ 8 TORNEOS.

¿CUÁL FUE EL AÑO QUE NO LE FUE BIEN Y CUÁNTOS TORNEOS GANÓ ESE AÑO?
SOLUCIÓN
A TOMÁS NO LE FUE BIEN EL SEGUNDO AÑO. GANÓ 5 TORNEOS.

¿CUÁNTOS TORNEOS GANÓ EN TOTAL DURANTE LOS TRES AÑOS?
SOLUCIÓN
DURANTE LOS TRES AÑOS TOMÁS GANÓ 19 TORNEOS.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Gráficos estadísticos”

Con este recurso se podrá profundizar sobre los distintos tipos de gráficos estadísticos, incluyendo los gráficos de barras.

VER

CAPÍTULO 5 / TEMA 2

TABLAS

SI QUEREMOS INFORMAR SOBRE UN TEMA ESPECÍFICO TENEMOS QUE RECOLECTAR DATOS, POR EJEMPLO, PARA SABER LA CANTIDAD DE HOMBRES Y MUJERES EN UNA ESCUELA DEBEMOS CONTARLOS UNO POR UNO. ESTA INFORMACIÓN SE PUEDE GRAFICAR DE FORMA RESUMIDA Y CLARA EN UNA TABLA. LAS TABLAS PUEDEN SER CON NÚMEROS, PICTOGRAMAS O DE DOBLE ENTRADA.

¿QUÉ ES UNA TABLA?

ES UN GRÁFICO CON FORMA CUADRADA O RECTANGULAR. SIRVE PARA ORGANIZAR Y RESUMIR INFORMACIÓN. ESTÁ FORMADA POR FILAS, COLUMNAS Y CELDAS.

GRADO	NOMBRE Y APELLIDO	EDAD
2º	MARÍA PÉREZ	8
2º	JOSÉ COLINA	7
2º	CARLA GONZÁLEZ	8

LAS FILAS SON LAS HILERAS HORIZONTALES.

LAS COLUMNAS SON LAS HILERAS VERTICALES.

LAS CELDAS SON LAS CASILLAS QUE RESULTAN DE LA UNIÓN ENTRE UNA FILA Y UNA COLUMNA.

TABLA DE DATOS

LAS TABLAS DE DATOS EXPONEN INFORMACIÓN RECOLECTADA. VEAMOS UNA TABLA SIMPLE CON UNA INFORMACIÓN SOBRE UNA FAMILIA.

– EJEMPLO:

PRIMOS DE LUCAS	EDAD
ANGÉLICA	5
JOSÉ	9
MARIO	13
CARLA	15

ESTA TABLA EXPRESA UNA INFORMACIÓN SENCILLA, LAS EDADES DE LO PRIMOS DE LUCAS: 5, 9, 13 Y 15. AL MISMO TIEMPO PODEMOS LEER OTRA INFORMACIÓN: LUCAS TIENE 4 PRIMOS.

TAMBIÉN PODEMOS EXPRESAR UNA MAYOR CANTIDAD DE DATOS DE MANERA ORGANIZADA.

– EJEMPLO:

OBSERVA ESTA IMAGEN. ¿QUÉ CANTIDAD HAY DE CADA FRUTA Y VEGETAL?

LA CANTIDAD DE FRUTAS Y VEGETALES LA PODEMOS REPRESENTAR EN UNA TABLA COMO ESTA:

FRUTA O VEGETAL	CANTIDAD
MANZANAS	6
PERAS	4
ZANAHORIAS	9
FRESAS	9

¿SABÍAS QUÉ?

LAS COLUMNAS TAMBIÉN SON LLAMADAS “CAMPOS”.

¿CÓMO LEER UNA TABLA DE DATOS?

1. OBSERVA LA PRIMERA FILA. ESTA ES LA FILA DE ENCABEZADO Y MUESTRA LAS CATEGORÍAS DE LOS DATOS. POR EJEMPLO, EN ESTA TABLA LAS CATEGORÍAS SON “DEPORTE FAVORITO” Y “CANTIDAD DE ESTUDIANTES”.

DEPORTE FAVORITO	CANTIDAD DE ESTUDIANTES
FÚTBOL	12
BALONCESTO	8
NATACIÓN	5
TENIS	2
BÉISBOL	10
NINGUNO	5

2. CADA DATO DE UNA COLUMNA CORRESPONDE AL DATO DE LA OTRA COLUMNA. ASÍ, POR EJEMPLO, SI QUEREMOS SABER LA CANTIDAD DE ESTUDIANTES QUE PREFIEREN EL BALONCESTO, SOLO TENEMOS QUE OBSERVAR LA FILA DE ESE DEPORTE: PARA 8 ESTUDIANTES EL BALONCESTO ES SU DEPORTE FAVORITO.

DEPORTE FAVORITO	CANTIDAD DE ESTUDIANTES
FÚTBOL	12
BALONCESTO	8
NATACIÓN	5
TENIS	2
BÉISBOL	10
NINGUNO	5

¡ES TU TURNO!

OBSERVA DE NUEVO LA TABLA ANTERIOR Y RESPONDE:

¿CUÁNTOS ESTUDIANTES PREFIEREN JUGAR BÉISBOL?
SOLUCIÓN
10

¿CUÁL ES EL DEPORTE FAVORITO DE LA MAYORÍA DE ESTUDIANTES?
SOLUCIÓN
FÚTBOL

¿CUÁNTOS ESTUDIANTES NO TIENEN ALGÚN DEPORTE FAVORITO?
SOLUCIÓN
5

¿CUÁNTOS ESTUDIANTES HAY EN TOTAL?
SOLUCIÓN
12 + 8 + 5 + 2 + 10 + 5 = 42
HAY 42 ESTUDIANTES.

TABLA DE PICTOGRAMAS

ASÍ COMO COLOCAMOS LOS DATOS EN FORMA DE NÚMEROS, TAMBIÉN PODEMOS COLOCAR PICTOGRAMAS PARA REPRESENTAR LOS DATOS. POR EJEMPLO: CELESTE, ARIEL, LETICIA Y RAMIRO CONTARON LAS MONEDAS QUE LES QUEDARON PARA LOS JUEGOS. LOS RESULTADOS FUERON LOS SIGUIENTES:

NOMBRE	MONEDAS
CELESTE
ARIEL
LETICIA
RAMIRO

CLAVE

= 1 MONEDA

¡ES TU TURNO!

OBSERVA LA TABLA DE PICTOGRAMAS Y RESPONDE LAS PREGUNTAS:

¿CUÁNTAS MONEDAS TIENE CELESTE?
SOLUCIÓN
6

¿CUÁNTAS MONEDAS TIENE ARIEL?
SOLUCIÓN
3

¿CUÁNTAS MONEDAS TIENE LETICIA?
SOLUCIÓN
5

¿CUÁNTAS MONEDAS TIENE RAMIRO?
SOLUCIÓN
6

¿QUIÉNES TIENEN MÁS MONEDAS?
SOLUCIÓN
CELESTE Y RAMIRO.

¿QUIÉN TIENE MENOS MONEDAS?
SOLUCIÓN
ARIEL.

TABLA DE DOBLE ENTRADA

LAS TABLAS DE DOBLE ENTRADA MUESTRAN LA RELACIÓN ENTRE DOS O MÁS CATEGORÍAS.

– EJEMPLO:

EN EL SALÓN DE 2º GRADO SE LE PREGUNTARON A TODOS LOS ALUMNOS SI LES GUSTABA O NO LES GUSTABA EL ARTE. LAS RESPUESTAS SE GRAFICARON EN ESTA TABLA:

	LES GUSTA EL ARTE	NO LES GUSTA EL ARTE
NIÑOS	10	5
NIÑAS	12	8

EN ESTA TABLA PODEMOS VER LA CANTIDAD DE NIÑOS Y NIÑAS A LOS QUE LES GUSTA EL ARTE. TAMBIÉN PODEMOS VER LA CANTIDAD DE NIÑOS Y NIÑAS A LOS QUE NO LES GUSTA EL ARTE.

¡ES TU TURNO!

OBSERVA LA TABLA DE DOBLE ENTRADA Y RESPONDE LAS PREGUNTAS:

¿A CUÁNTAS NIÑAS LES GUSTA EL ARTE?
SOLUCIÓN
12

¿A CUÁNTOS NIÑOS LES GUSTA EL ARTE?
SOLUCIÓN
10

¿A CUÁNTOS NIÑOS NO LES GUSTA EL ARTE?
SOLUCIÓN
5

¿A CUÁNTAS NIÑAS NO LES GUSTA EL ARTE?
SOLUCIÓN
8

¿A CUÁNTOS NIÑOS Y NIÑAS LES GUSTA EL ARTE?
SOLUCIÓN
10 + 12 = 22
A 22 NIÑAS NO LES GUSTA EL ARTE.

¿A CUÁNTOS NIÑOS Y NIÑAS NO LES GUSTA EL ARTE?
SOLUCIÓN
8 + 5 = 13
A 13 NIÑOS Y NIÑAS NO LES GUSTA EL ARTE.

¿CUÁNTAS NIÑAS HAY EN EL SALÓN DE 2º GRADO?
SOLUCIÓN
12 + 8 = 20
HAY 20 NIÑAS.

¿CUÁNTOS NIÑOS HAY EN EL SALÓN DE 2º GRADO?
SOLUCIÓN
10 + 5 = 15
HAY 15 NIÑOS.

¿CUÁNTOS NIÑOS Y NIÑAS HAY EN EL SALÓN DE 2º GRADO?
SOLUCIÓN
10 + 12 + 5 + 8 = 35
HAY 35 NIÑOS Y NIÑAS.

TABLAS CON OPERACIONES

LAS TABLAS TAMBIÉN SON MUY ÚTILES PARA REPRESENTAR OPERACIONES MATEMÁTICAS COMO LA SUMA Y LA MULTIPLICACIÓN. EN ESTA TABLA VEMOS QUE CADA CELDA DE COLOR ES EL RESULTADO DE LA SUMA ENTRE UN DATO DE LA FILA DE ENCABEZADO Y LA COLUMNA DE ENCABEZADO. POR EJEMPLO, 3 + 6 = 9.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Estadística: tabla de valores”

Con este recurso se podrá profundizar sobre el uso de las tablas de datos en la estadística.

VER

CAPÍTULO 2 / TEMA 2

MULTIPLICACIÓN

Si queremos comprar 8 chocolates y cada uno cuesta $ 6, ¿cuánto dinero tenemos que pagar? Para responder esta pregunta debemos hacer una multiplicación. Esta es una operación que simplifica la tarea de sumar varias veces un mismo número. Así que, en lugar de contar 8 veces 6, lo podemos representar como 8 × 6 = 48. A continuación aprenderás cómo hacer estos cálculos con números grandes.

¿Qué es la multiplicación?

La multiplicación es una operación matemática que consiste en sumar varias veces un mismo número.

Los elementos de la multiplicación son:

Factores: son los números que se multiplican o suman reiteradas veces.
Producto: es el resultado de la multiplicación. Cuando las multiplicaciones son largas el producto final se obtiene por la suma de los productos parciales.

Multiplicaciones en la Fórmula 1

Las multiplicaciones se utilizan en una gran variedad de situaciones y las carreras de automóviles son un ejemplo. Supongamos que una vuelta completa a la pista de carrera es de 4 kilómetros y para realizar toda carrera el vehículo tiene que dar 52 vueltas. Si multiplicamos la cantidad de vueltas por los kilómetros de cada vuelta sabremos la distancia total recorrida por el vehículo, es decir, 52 × 4 = 208. Entonces, el vehículo recorre 208 kilómetros en toda la carrera.

multiplicación sin reagrupación

Es un método que consiste en multiplicar las unidades, las decenas y las centenas de 2 factores entre sí cuando ninguno de los productos formados supera la decena.

– Ejemplo: 234 × 21

Lo primero que tenemos que hacer es ubicar los factores uno arriba del otro, de manera tal que las unidades estén sobre las unidades, las decenas sobre las decenas y las centenas sobre las centenas.

Luego multiplicamos las unidades del factor de abajo por todas las cifras del factor de arriba (1 × 324 = 324). Colocamos el resultado en la fila inferior desde la derecha hacia la izquierda.

Después multiplicamos las decenas del factor de abajo por cada cifra del factor de arriba (2 × 324 = 648). Escribimos este resultado debajo del obtenido anteriormente y dejamos un espacio a la derecha.

Finalmente realizamos una suma de los productos parciales.

– Ejemplo: 122 × 332

Ubicamos los factores uno sobre otro.

Multiplicamos las unidades del segundo factor por todas las cifras del primer factor (2 x 122 = 244) y escribimos el resultado en la última fila.

Multiplicamos las decenas del segundo factor por cada cifra del primer factor (3 × 122 = 366). Escribimos el resultado y dejamos un espacio a la derecha.

Repetimos el procedimiento anterior, esta vez con las centenas del segundo factor (3 × 122 = 366).

Al final sumamos las tres filas. Ese será el resultado de nuestra multiplicación.

El área de un rectángulo es igual a una multiplicación de dos de sus lados. Por ejemplo, un campo de fútbol puede llegar a tener 120 metros de largo y 90 metros de ancho. Para saber el área del campo solo tenemos que multiplicar ambas medidas, es decir, 120 m x 90 m = 10.800 m². Por lo tanto, el campo tiene un área de 10.800 metros cuadrados.

¡A practicar!

Realiza las siguientes multiplicaciones:

231 × 32

Solución

321 x 123

Solución

MULTIPLICACIÓN CON REAGRUPACIÓN

Es un procedimiento que podemos utilizar cuando algún producto es igual o mayor a 10. Aquí reagrupamos decenas o centenas según sea el caso.

– Ejemplo: 469 x 73

Al igual que en el caso anterior, colocamos los factores uno sobre otros y nos aseguramos de que las unidades, decenas y centenas de cada factor estén en las mismas columnas.

Multiplicamos las unidades del factor ubicado debajo por todas las cifras del factor de arriba. En este caso comenzamos con 3 y lo multiplicamos por 9. Como 3 × 9 = 27, colocamos el 7 en la fila de los resultados y el 2 lo ubicamos en la columna de las decenas de los factores.

Ahora multiplicamos 3 x 6 = 18, pero debemos agrupar este resultado con el 2 que colocamos antes. Entonces, el resultado es 18 + 2 = 20. Escribimos el 0 en la fila del resultado y colocamos el 2 en la columna de las centenas.

El siguiente producto es 3 x 4 = 12 y agrupamos con el 2 de las centenas. Así que 12 + 2 = 14. En la fila del resultado colocamos las dos cifras del número.

Repetimos el mismo procedimiento con las decenas del factor de abajo y lo multiplicamos por cada cifra del primer factor (7 × 469 = 3.283).

Luego sumamos las dos filas y obtenemos el resultado de la multiplicación.

Tabla pitagórica

Es otro modelo de tabla de multiplicar. Fue construida por Pitágoras, filósofo y matemático griego del siglo V a. C., para enseñarles a multiplicar a los más pequeños. La primera columna y fila dispone de los números que van ser multiplicados, y cada una de las celdas internas de la tabla representa la multiplicación entre los números de la primera fila y columna.

– Ejemplo: 423 x 514

Cuando los dos factores tienen tres cifras el procedimiento es el mismo. Ubicamos los factores uno sobre otro, y multiplicamos las unidades del segundo factor por el primero (4 × 423 = 1.692).

Multiplicamos las decenas del segundo factor por cada cifra del primer factor (1 × 423 = 423).

Repetimos el procedimiento con las centenas del factor de abajo (5 × 423 = 2.115).

Sumamos las filas con los productos parciales.

¡A practicar!

Realiza esta multiplicación:

721 × 166

Solución

721 × 166 = 119.686

MULTIPLICACIÓN DE UN NÚMERO NATURAL POR 10, 100 Y 1.000

Veamos estas 3 multiplicaciones:

473 × 10 = 4.730
473 × 100 = 47.300
473 × 1.000 = 473.000

Como ves, cuando se multiplica un número natural por 10, 100 y 1.000 basta con agregar ceros al número original como se resume en la siguiente tabla:

Para multiplicar un número natural por…	Agregamos…	Ejemplo
10	un cero	912 × 10 = 9.120
100	dos ceros	411 × 100 = 41.100
1.000	tres ceros	746 × 1.000 = 746.000

LA MULTIPLICACIÓN Y LA PROPIEDAD DISTRIBUTIVA

La propiedad distributiva establece que si multiplicamos un número por una suma es igual a multiplicar ese número por cada sumando y luego sumar los productos finales.

– Ejemplo:

Esta propiedad también se cumple en la resta:

¿Sabías qué?

Puedes resolver primero la suma o resta que esté dentro de los paréntesis y luego hacer la multiplicación. El resultado será el mismo.

Las multiplicaciones forman parte de nuestro día a día. Las usamos cada vez que hacemos compras, contamos las butacas de un cine o jugamos con nuestros amigos. Por lo general hacemos esta operación cuando manejamos dinero, pues si tenemos 6 billetes de $ 100 es más fácil solo multiplicar 6 x 100 = 600 en lugar de contar de 100 en 100 hasta llegar a 600.

¡A practicar!

1. Resuelve las siguientes multiplicaciones:

414 x 24 =
Solución
414 x 24 = 9.936
121 x 38 =
Solución
121 x 38 = 4.598
741 x 51 =
Solución
741 x 51 = 37.791
620 x 324 =
Solución
620 x 324 = 200.880
496 x 531 =
Solución
496 x 531 = 263.376
589 x 10 =
Solución
589 x 10= 5.890
144 x 100 =
Solución
144 x 100 = 14.400
378 x 1.000 =
Solución
378 x 1.000 = 378.000

2. Usa la propiedad distributiva para resolver estas operaciones:

(25 + 30) x 2 =
Solución
(25 + 30) x 2 = 110
(10 + 9) x 4 =
Solución
(10 + 9) x 4 = 76
(15 − 8 ) x 100 =
Solución
(15 − 8) × 100 = 700
(24 − 22) × 5 =
Solución
(24 − 22) × 5 = 10

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Multiplicación por dos o más cifras”

En este artículo podrás acceder a información complementaria sobre algunos métodos de multiplicación

VER

Artículo “Trucos para aprender las tablas de multiplicar”

Este artículo brinda los recursos necesarios para estudiar las tablas de multiplicar.

VER

CAPÍTULO 5 / TEMA 2

TIPOS DE LÍNEAS

Cuando los puntos están ubicados uno junto al otro generan un trazo continuo, es decir, generan una línea. Ahora, si los puntos están orientados en una misma dirección forman una línea recta. Este tipo de líneas son continuas e infinitas, no tienen ni principio ni final y las podemos clasificar según la forma en que interaccionan entre ellas.

LÍNEAS PARALELAS

Las líneas paralelas son aquellas líneas rectas que sostienen una distancia determinada entre sí y, a pesar de extender su trayectoria, no se encuentran ni se tocan en ningún punto.

Un ejemplo de líneas rectas paralelas en la vida cotidiana son las vías de un ferrocarril. Las vías no son ni más ni menos que dos líneas rectas paralelas. En ellas se observa cómo a pesar de que la trayectoria de ambas se extiende a lo largo de todo el recorrido, estas rectas jamás se tocan. Sostienen la misma distancia entre ellas durante todo el trayecto.

Las líneas rectas paralelas se encuentran en un mismo plano y recorren trayectorias similares pero mantienen siempre la misma distancia una de la otra y en ningún momento se cruzan o se cortan. Entonces, las rectas paralelas no comparten ningún punto entre sí.

¿Sabías qué?

También se consideran rectas paralelas a las rectas coincidentes, es decir, a aquellas que comparten todos sus puntos. Esto es posible cuando dos rectas similares se superponen y ocupan el mismo espacio en el plano.

Propiedades de las rectas paralelas

Reflexiva: toda recta es paralela a sí misma.

La recta AB es paralela a sí misma.

Simétrica: si una recta es paralela a otra, esa otra será paralela a la primera.

La recta AB es paralela a la recta CD, así como la recta CD es paralela a la recta AB.

Transitiva: si una recta es paralela a otra y esta a su vez es paralela a una tercera, la primera será paralela a la tercera recta. Entonces, dos rectas paralelas a una tercera serán paralelas entre sí y todas las rectas paralelas presentan la misma dirección en su trayectoria.

La recta AB es paralela a la recta CD. La recta CD es paralela a la recta EF. Entonces, la recta AB también es paralela a la recta EF.[/su_note]

LÍNEAS PERPENDICULARES

Se llama líneas rectas perpendiculares a aquellas líneas que dentro de un mismo plano se cortan en un único punto y forman ángulos de 90°.

El tablero de ajedrez es cuadrado y consta de 64 casillas del mismo tamaño. Estas casillas están dispuestas en 8 líneas de 8 casilleros cada una, y alternan entre blancas y negras. Todas las líneas están dispuestas de manera perpendicular, de modo que al unirse una casilla de una letra con la de un número se forma un ángulo de 90 grados.

Cuando dos líneas que recorren el plano en diferente dirección se cruzan de forma perpendicular generan cuatro ángulos de 90°, o cuatro ángulos rectos. Es decir, el plano queda dividido en cuatro partes a las que llamamos cuadrantes.

Rectas secantes: rectas que también se cruzan en el plano

No todas las rectas que se cruzan en un plano tiene una relación de perpendicularidad. Observa:

En este caso, las rectas AB y CD se cortan de manera perpendicular, puedes confirmar esto al observar la medida del ángulo α = 90°; es decir, es un ángulo recto.

En cambio, en este caso puedes ver que si bien las rectas AB y CD están en el mismo plano y se cortan en un punto, el ángulo α no es un ángulo recto. A estas rectas que se cortan, pero no forman ángulos rectos, se las llama rectas secantes.

Propiedades de las líneas rectas perpendiculares

Reflexiva: las rectas perpendiculares no cumplen con la característica reflexiva, es decir, no son perpendiculares a sí mismas.

Simétrica: si una recta es perpendicular a otra, esta es perpendicular a la primera.

Como podrás observar, no es posible que la recta AB sea perpendicular a sí misma, así como no es posible que la recta CD sea perpendicular a sí misma. En cambio, las rectas AB y CD son perpendiculares entre sí.

Transitiva: las rectas perpendiculares no cumplen con la propiedad transitiva. Entonces, que dos rectas sean perpendiculares entre sí, y la segunda sea perpendicular a una tercera, no hace que esa tercera recta sea perpendicular a la primera.Aquí puedes ver que si bien la recta EF es perpendicular a la recta AB y a la recta CD, las rectas CD y AB no son perpendiculares entre sí, ya que no se cortan en ningún punto. Por el contrario, puedes observar que las rectas AB y CD son paralelas entre sí. [/su_note]

LÍNEAS SECANTES E INTERSECANTES

Las líneas rectas intersecantes son aquellas líneas rectas que existen en el mismo plano y comparten un punto en común, es decir, se cortan en algún punto.

Esta señal de tránsito indica que te encontrarás con una intersección. Una intersección no es otra cosa que el punto en el que dos o más rutas se tocan. Es decir, se trata de líneas que coinciden, o se cortan, en un mismo punto. Si observas el cartel, verás que al tocarse estas líneas no generan cuatro ángulos rectos, por lo tanto podemos decir que estas líneas son **líneas rectas secantes oblicuas**.

Clasificación de las líneas secantes

Las líneas rectas secantes se clasifican de acuerdo a la medida de los ángulos que generan con su corte.

Las líneas rectas secantes oblicuas son aquellas que al coincidir en algún punto generan ángulos distintos a 90°, es decir, no generan ángulos rectos. Por ejemplo, la recta EF es una recta secante oblicua con respecto a la recta AB.
Las líneas rectas secantes perpendiculares, tal como lo vimos anteriormente, son aquellas que al coincidir generan cuatro ángulos de 90°. Por ejemplo la recta CD es una recta secante perpendicular con respecto a la recta AB.

¿Sabías qué?

También existen las rectas concurrentes o convergentes que son las que, a pesar de que a simple vista no se observe, al extender su trayectoria se unen entre sí.

¡A practicar!

Observa con atención la imagen e identifica qué relación existe entre las rectas señaladas:

Recta	Relación
AB y CD	Paralelas
AB y GH
GH y EF
CD y IJ
KL y AB

Solución

Recta	Relación
AB y CD	Paralelas
AB y GH	Perpendiculares
GH y EF	Paralelas
CD y IJ	Secante oblicua
KL y AB	Secante oblicua

LÍNEAS EN NUESTRA VIDA COTIDIANA

Las líneas están presente en todo lo que nos rodea. Una línea puede ser una sucesión infinita de puntos interrelacionados y puedes verla graficada, pero también puede ser imaginaria; por ejemplo, cuando pensamos en qué dirección patear el balón para que logre entrar en el arco y hacer un gol, nos imaginamos una línea desde el balón hasta el arco que nos ayuda a orientarnos. Esto quiere decir que las líneas pueden ser visibles, pero también invisibles, ya que nuestro cerebro utiliza esquemas mentales.

Las líneas también se utilizan para describir la distancia entre dos puntos, y por eso se las ve en los mapas, o en el recorrido que indica el GPS. Por otro lado, las líneas están en los contornos de los objetos, figuras e imágenes.

Usos de las líneas

Tal como en los casos de las vías del ferrocarril, el tablero de ajedrez o la señal de intersección, en todas las imágenes y objetos que te rodean puedes identificar líneas.

Este es un templo de Acrópolis, si lo observas detalladamente verás que su techo y su piso establecen líneas paralelas, y así como las bellísimas estatuas que funcionan como columnas resultan paralelas entre sí, también resultan perpendiculares con respecto al suelo y al techo.

Otro gran ejemplo de las líneas imaginarias son las constelaciones, que se han usado durante mucho tiempo para orientarnos geográficamente. Las mismas son un conjunto de líneas imaginarias que unen determinadas estrellas y dan una forma específica.

VER INFOGRAFÍA

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Rectas”

Este artículo sobre las rectas brindará información clara y sistematizada para su definición.

VER

CAPÍTULO 1 / TEMA 2

NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS

Podemos clasificar los números según distintos criterios, y uno de esos es la cantidad de divisores que tengan. Si un número tiene solo dos divisores, el uno y él mismo, decimos que ese número es primo; en cambio, si el número tiene más de dos divisores, a ese número lo llamamos compuesto.

CARACTERÍSTICAS DE LOS NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS

Números primos

Los números primos son aquellos que solo son divisibles por el número uno y por sí mismos. Por ejemplo, el número 13 es un número primo porque solo es divisible por el número 1 y por el número 13.

Además, los números primos no pueden formarse como producto de la multiplicación de otros dos factores que no sean el 1 y el mismo número. Por ejemplo, el número 7 solo puede formarse al multiplicar 7 × 1 = 7.

Divisibilidad

Un número es divisible por otro cuando al efectuar la operación de división entre ellos el resto es cero.

El 12 es divisible por 2 porque el resto de la división en 0.
El 13 no es divisible por 2 porque el resto de la división no es 0.

El número 12 es divisible por 1, 2, 3, 4, 6 y 12.

Números compuestos

Los números compuestos son aquellos que aparte de ser divisibles por el uno y por sí mismos, también son divisibles por otro u otros números. Por ejemplo, el número 4 es un número compuesto porque tiene tres divisores: 1, 2 y 4.

A su vez, los números compuestos pueden ser formados como productos de la multiplicación de otros dos factores. Por ejemplo, el número 10 puede ser formado por la multiplicación de 5 x 2 = 10.

¿Sabías qué?

El número 1 no es primo ni compuesto ya que solo puede dividirse por sí mismo.

Los números primos solo son divisibles por el uno y por sí mismos, mientras que los números compuestos, además de ser divisibles por uno y por sí mismos, también pueden ser divididos por otro u otros números. No obstante, hay un número que no cumple con estas características: el uno. El número 1 no es primo ni compuesto.

CRIBA DE ERATÓSTENES

Es un procedimiento para identificar los números primos. La podemos elaborar de la siguiente manera:

Comenzamos desde el número 2, que es el primer número primo, por lo tanto no lo vamos a tachar. Pero sí eliminamos todos los siguientes múltiplos de 2: 4, 6, 8, 10, 12,…
El siguiente primo es el 3, así que debemos tachar todos los múltiplos de este número: 6, 9, 12, 15…
En esta instancia, ya tenemos gran parte de los números eliminados. Podemos observar que el siguiente número que aparece sin tachar es el 5, que sería el siguiente primo. Entonces, tachamos los múltiplos de 5 que aparecen a continuación: 5, 10, 15, 20…
Del mismo modo procedemos con el 7.
El siguiente número que aparece sin eliminar es el 11, pero… ¡Todos sus múltiplos están tachados! Por ello, aquellos números que han quedado sin descartar en esta instancia son los primos.

Observa que los números resaltados son los primos y los tachados son los compuestos.

¿Sabías qué?

El 2 es el único número primo que es par.

¡A practicar!

Marca con una circunferencia los números que sean primos:

Solución

EXPRESIÓN DE NÚMEROS EN FACTORES PRIMOS

Todos los números compuestos pueden representarse como producto de una multiplicación de 2 o más factores primos. Esto se conoce comúnmente como factorización en números primos, o factorización de números compuestos.

Así como podemos representar cualquier número como una suma (por ejemplo: 5 = 2 + 3) o como una resta (por ejemplo 5 = 7 − 2), también podemos descomponer un número compuesto por medio de una multiplicación de sus números primos.

Recuerda que:

Factor: es el número que multiplica.
Producto: es el resultado de una multiplicación.

Pasos para factorizar en números primos

Escribe el número compuesto que se quiere expresar en factores primos y a su derecha traza una semirrecta vertical.
Pon a la derecha de la semirrecta el número primo más pequeño que sea divisor, es decir, que pueda dividir de forma exacta el número compuesto elegido.
Escribe el cociente de la división anterior debajo del número compuesto elegido y a su derecha, del otro lado de la semirrecta, escribe el número primo más pequeño que sea divisor de este último.
Repite el procedimiento la cantidad de veces que sean necesarias hasta obtener el número 1 como cociente.

– Ejemplo:

Expresa el número 36 como producto de sus factores primos.

El número compuesto 36 se expresa como producto de factores primos así: 2 x 2 x 3 x 3.

Observa que también podemos expresar los factores primos como una potencia, de este modo, 2 × 2 = 2² y 3 × 3 = 3².

¡A practicar!

Expresa los siguientes números como productos de factores primos:

Solución

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Los criterios de divisibilidad son reglas que nos permiten reconocer si un número es divisible por otro sin necesidad de hacer la división. Es decir, por medio de la observación de las características de un número podemos darnos cuenta si se puede dividir o no por otro número determinado.

Todo número tiene sus múltiplos, de la misma manera, también tiene sus divisores; estos son números que lo dividen de forma exacta, es decir, que al hacer la operación el cociente es un número exacto y el resto es cero. Por ejemplo, 2 es divisor de 8 y 3 es divisor de 6 porque al calcular 2 : 8 = 4 y 6 : 3 = 2, el resto es cero en ambos casos.

Cada número tiene un criterio de divisibilidad distinto. En la siguiente tabla están desde el 2 hasta el 10:

Número	Criterio	Ejemplos
2	Un número es divisible por 2 si es un número par.	6 8 125.972 Son números pares.
3	Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras da como resultado un número múltiplo de 3.	93 porque 9 + 3 = 12 y 12 es múltiplo de 3. 123 porque 1 + 2 + 3 = 6 y 6 es múltiplo de 3.
4	Un número es divisible por 4 si las 2 últimas cifras del número forman un múltiplo de 4 o si son dos ceros.	140 porque 40 es múltiplo de 4. 33.624 porque 24 es múltiplo de 4. 700 porque termina con dos ceros.
5	Un número es divisible por 5 si su última cifra es un 0 o un 5.	495 porque termina en 5. 874.280 porque termina en 0.
6	Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3 a la vez.	12 porque es divisible por 2 y por 3 a la vez. 150 porque es divisible por 2 y por 3 a la vez.
7	Un número es divisible por 7 si al restar el doble de la unidad a el resto de la cantidad sin la última cifra el resultado es 0 o un múltiplo de 7.	91 porque 9 −2 = 7 y 7 es múltiplo de 7. 105 porque 10 − 10 = 0. 182 porque 18 − 4 = 14 y 14 es múltiplo de 7.
8	Un número es divisible por 8 si sus 3 últimas cifras forman un múltiplo de 8 o son tres ceros.	25.200 porque 200 es múltiplo de 8. 9.000 porque sus últimas 3 cifras son tres ceros.
9	Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras da como resultado un número múltiplo de 9.	99 porque 9 + 9 = 18 y 18 es múltiplo de 9. 207 porque 2 + 0 + 7 = 9 y 9 es múltiplo de 9.
10	Un número es divisible por 10 si su última cifra es un 0.	1.235.250 porque termina en 0. 2.000 porque termina en 0.

¡A practicar!

1. Expresa los siguientes números como productos de factores primos:

Solución

2. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

161 es divisible por 7.

Solución

Verdadero.

222 es divisible por 3.

Solución

Verdadero.

523 es divisible por 5.

Solución

Falso.

234 es divisible por 9.

Solución

Verdadero.

10.001 es divisible por 10.

Solución

Falso.

32 es divisible por 6.

Solución

Falso.

500 es divisible por 4.

Solución

Verdadero.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo destacado “Números primos y compuestos”

El siguiente artículo te permitirá ampliar la noción de números primos y compuestos.

VER

Artículo destacado “Criterios de divisibilidad”

El siguiente artículo profundiza en las explicaciones sobre los criterios de divisibilidad.

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CAPÍTULO 4 / TEMA 4

Conversión de unidades

Sin unidades de medidas no podríamos comparar las cosas y por ende, la medición no existiría. Es común que una misma magnitud tenga diferentes unidades de medida y por eso es necesario realizar conversiones entre ellas. La conversión de unidades permite simplificar cálculos y establecer comparaciones de manera más fácil.

Conversión de unidades de longitud

En el Sistema Internacional de Unidades (SI) se utiliza el metro como unidad de longitud. Se denota con el símbolo m y no lleva punto al final.

Existen medidas que provienen del metro y son conocidas como submúltiplos y múltiplos. Los submúltiplos son las subdivisiones de un metro. Por ejemplo, si dividimos un metro en diez partes iguales cada una de esas partes mide un decímetro, el decímetro es un submúltiplo del metro y se denota como dm.

Hay unidades derivadas del metro que son mucho más grandes, por ejemplo, mil metros equivalen a un kilómetro. En este caso el kilómetro es un múltiplo del metro y se denota como km.

Múltiplos y submúltiplos del metro

Unidad de medida	Símbolo	Equivalencia en metros
Kilómetros	km	1 km = 1.000 m
Hectómetro	hm	1 hm = 100 m
Decámetro	dam	1 dam = 10 m
Metro	m	1 m
Decímetro	dm	1 dm = 0,1 m
Centímetro	cm	1 cm = 0,01 m
Milímetro	mm	1 mm = 0,001 m

De menor a mayor, observa que las unidades aumentan un cero en relación al metro y si lo miramos en sentido contrario disminuyen un cero. Esto nos permite convertir unidades de este tipo entre sí.

¿Cómo realizar conversiones de longitud?

Para convertir unidades de longitud debemos imaginarnos que las unidades se encuentran ubicadas cada una de mayor a menor en cada escalón de una escalera. El kilómetro (km) se encuentra en el escalón más alto y el milímetro (mm) en el más bajo.

Para convertir una unidad en otra, debemos ubicarnos en el escalón de la unidad que queremos convertir y luego contar el número de escalones que tenemos que movernos para llegar a la unidad deseada. Si subimos de escalón tenemos que multiplicar por 10 en cada escalón que nos desplacemos y si bajamos de escalón tenemos que dividir entre 10 por cada escalón.

Un truco útil para estos ejercicios es multiplicar la medida inicial por el número 1 seguido de tantos ceros según el número de escalones que hayamos subido o bajado respectivamente. Por ejemplo, si bajamos dos escalones tenemos que multiplicar la medida inicial por 100, pero si subimos dos escalones dividimos la unidad inicial entre 100.

– Transforma 5 metros a centímetros

Lo primero es observar el diagrama y ubicarnos en la unidad inicial que es el metro. Observa que el centímetro se encuentra dos escalones por debajo, así que tenemos que multiplicar la medida inicial que es 5 por 100.

$5\times 100=500$

Por lo tanto:

$5\; m=\mathbf{500\; cm}$

Quiere decir que 5 m equivalen a 500 cm, en longitud miden lo mismo solo que con diferente unidad.

– Transformar 2.500 centímetros a decímetros

En este caso, para convertir centímetro a decímetros tenemos que subir un escalón, así que dividimos la unidad inicial entre 10.

$2.500 \, \div \, 10 = 250$

Por lo tanto:

$2.500\; cm = \mathbf{250\; dm}$

¿Sabías qué?

La palabra “metro” proviene del término griego “metron” que quiere decir “medida”.

Pequeñas unidades

Los investigadores usan unidades especiales para medir cosas que no se pueden percibir a simple vista como una bacteria, un virus o una molécula. En estos casos usan el micrómetro (µm) y el nanómetro (nm). El micrómetro equivale a la millonésima parte de un metro y el nanómetro es la mil millonésima parte de un metro.

Estas unidades son tan pequeñas que si pudieras dividir un milímetro de la regla en mil partes iguales, cada parte mediría un micrómetro y si este lo pudieras dividir a su vez en mil partes iguales, cada parte mediría un nanómetro. La mayoría de las bacterias miden entre 1 y 10 micrómetros mientras que los virus suelen medir de 30 a 90 nm.

Conversión de unidades de capacidad

La unidad de capacidad aceptada por el Sistema Internacional de unidades es el litro. Se denota con la letra ele mayúscula o minúscula: “l” o “L”. Al igual que en las unidades de longitud el litro tiene múltiplos y submúltiplos.

Múltiplos y submúltiplos del litro

De mayor a menor se indican los múltiplos y submúltiplos del litro:

Unidad de medida	Símbolo	Equivalencia en metros
Kilolitro	kL	1 kL = 1.000 L
Hectolitro	hL	1 hL = 100 L
Decalitro	daL	1 daL = 10 L
Litro	L	1 L
Decilitro	dL	1 dL = 0,1 L
Centilitro	cL	1 cL = 0,01 L
Mililitro	mL	1 mL = 0,001 L

¿Cómo realizar conversiones de capacidad?

El procedimiento es el mismo que el usado para transformar unidades de longitud, la diferencia son la unidades, porque en unidades de capacidad se emplea el litro con sus múltiplos y submúltiplos. De manera que el diagrama en este caso quedaría:

– Transforma 50 litros a mililitros

Para transformar litros a milímetros hay que bajar tres escalones, es decir, se debe multiplicar entre 1.000.

$50\times 1.000 = 50.000$

Por lo tanto:

$50\; L =\mathbf{50.000\; mL}$

– Transforma 300 decalitros a kilolitros

Para transformar decalitros a kilolitros se deben subir dos posiciones, por lo cual se debe dividir entre 100.

$300\div 100 = 100$

Por lo tanto:

$300\; daL = \mathbf{3\; kL}$

Origen del litro

Esta unidad de capacidad se empezó a utilizar por primera vez en el año 1795 en Francia. Hoy en día es muy usado para describir la capacidad de algunos electrodomésticos y utensilios de cocina.

Conversión de unidades de tiempo

Las unidades de tiempo más comunes de mayor a menor son la hora, el minuto y el segundo.

Unidad de tiempo	Símbolo
Hora	h
Minuto	min
Segundo	s

Se cumple que:

1 hora = 60 minutos
1 minuto = 60 segundos

Observa que cada unidad es sesenta veces menor que la anterior, por eso, se habla de que es un sistema sexagesimal. Para convertir unidades se aplica un formato similar al de la conversión de longitud y capacidad pero en vez de multiplicar o dividir por 10, se hace por 60.

– Transforma 13 horas a minutos

Para transformar horas a minutos tenemos que movernos una posición hacia abajo, de manera que hay que multiplicar por 60.

$13\times 60=780$

Por lo tanto:

$13\, h= \mathbf{780\, min}$

– Transforma 900 segundos a minutos

Para transformar segundos a minutos se debe subir un escalón hacia arriba, de manera que debemos dividir entre 60.

$900\div60=15$

Por lo tanto:

$900\; s=\mathbf{15\; min}$

Oficina Internacional de Pesas y Medidas

Es un organismo que fue creado en 1875 en París, Francia. Su misión es velar por la uniformidad en las mediciones a nivel mundial. En sus instalaciones se encuentra un cilindro de metal de 1 kg que hasta el año 2019 era usado como patrón de esta unidad.

¡A practicar!

1. Escribe el símbolo de las siguientes unidades de medición.

a) Hectómetro

Solución

b) Decilitro

Solución

c) Hora

Solución

d) Decámetro

Solución

dam

e) Kilolitro

Solución

2. ¿Cuál de las siguientes unidades permite medir la longitud?

a) Segundo

b) Hectolitro

c) Minuto

d) Centímetro

e) Hora

Solución

Centímetro.

3. Transforma las siguientes cantidades.

a) 5 kilómetros a metros.

Solución

5 km = 5.000 m

b) 10 minutos a segundos.

Solución

10 min = 600 s

c) 40 mililitros a centilitros.

Solución

40 mL = 4 cL

d) 8.000 decámetros a kilómetros.

Solución

8.000 dam = 80 km

e) 120 minutos a horas.

Solución

120 min = 2 h

e) 400 decímetros a metro.

Solución

400 dm = 40 m

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Medidas de longitud”

Este artículo explica qué son las unidades de longitud y se concentra en los múltiplos y submúltiplos del metro. También describe cómo realizar conversiones entre este tipo de magnitudes.

VER

Artículo “Múltiplos y submúltiplos del: metro, gramo, litro”

Este artículo no solamente detalla cada uno de los múltiplos y submúltiplos del metro, sino que también los de el gramo y el litro. En cada caso muestra como realizar las respectivas conversiones.

VER

Artículo “El tiempo”

Este artículo hace una breve descripción de lo que es el tiempo y por qué es tan difícil definirlo incluso para los científicos experimentados.

VER

CAPÍTULO 4 / TEMA 5 (REVISIÓN)

GEOMETRÍA DE LAS FORMAS | ¿qué aprendimos?

EL PUNTO Y LA LÍNEA

EL PUNTO ES EL ENTE FUNDAMENTAL DE LA GEOMETRÍA. UNA SUCESIÓN INFINITA DE PUNTOS FORMA UNA LÍNEA. SEGÚN LAS DIRECCIÓN QUE TENGAN ESTOS PUNTOS LAS LÍNEAS PUEDEN SER RECTAS, COMO LAS DEL BORDE DE UNA PANTALLA DE CELULAR; O PUEDEN SER CURVAS, COMO EL BORDE UN GLOBO. CUANDO EL PUNTO DE INICIO Y FIN SON EL MISMO EN UNA LÍNEA, DECIMOS QUE LA LÍNEA ES CERRADA, PERO SI ESTOS PUNTOS NO COINCIDEN, LA LÍNEA ES ABIERTA.

CUANDO OBSERVAMOS UN PAISAJE PODEMOS VER MUCHAS LÍNEAS FORMADAS POR LA NATURALEZA.

FIGURAS PLANAS

LAS FIGURAS PLANAS SOLO TIENEN DOS DIMENSIONES: ALTO Y ANCHO. EXISTEN DOS TIPOS DE FIGURAS PLANAS, LAS POLIGONALES Y LOS CÍRCULOS. LAS PRIMERAS ESTÁN FORMADAS POR LÍNEAS POLIGONALES CERRADAS, COMO UN CUADRADO O RECTÁNGULO. LAS SEGUNDAS ESTÁN FORMADAS POR LÍNEAS CURVAS CERRADAS, COMO EL CÍRCULO. TODOS LOS PUNTOS QUE CORRESPONDEN A LA LÍNEA CURVA SE ENCUENTRAN A LA MISMA DISTANCIA DEL CENTRO DE FIGURA. ESTA LÍNEA QUE DELIMITA AL CÍRCULO SE LLAMA CIRCUNFERENCIA.

FIGURAS TRIDIMENSIONALES

LAS FIGURAS TRIDIMENSIONALES OCUPAN UN LUGAR EN EL ESPACIO Y TIENEN TRES DIMENSIONES: ALTO, LARGO Y ANCHO. LAS FIGURAS TRIDIMENSIONALES TAMBIÉN SON LLAMADAS CUERPOS GEOMÉTRICOS Y EXISTEN DOS TIPOS: LOS POLIEDROS Y LOS CUERPOS REDONDOS. LOS PRIMEROS ESTÁN CONFORMADOS POR CARAS PLANAS COMO EL PRISMA Y LA PIRÁMIDE; Y LOS SEGUNDOS TIENEN SUPERFICIES CURVAS, COMO EL CILINDRO, LA ESFERA Y EL CONO.

LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS NO SE PUEDEN TRAZAR EN UNA REGIÓN DEL PLANO SINO QUE SE CONSTRUYEN PARA QUE TENGAN SUS DIMENSIONES REALES.

POSICIÓN Y DESPLAZAMIENTO

LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS, LOS PUNTOS, LAS FIGURAS Y LOS OBJETOS TIENEN UNA DETERMINADA POSICIÓN EN EL ESPACIO, PERO LA POSICIÓN NO SIEMPRE ES LA MISMA. DOS DE LOS MOVIMIENTOS MÁS COMUNES SON LA TRASLACIÓN Y LA ROTACIÓN. POR OTRO LADO, ES POSIBLE UBICAR CADA PUNTO EN EL ESPACIO GRACIAS A LOS EJES CARTESIANOS, UN CONJUNTO DE LÍNEAS QUE SE CRUZAN PARA DARNOS LAS COORDENADAS O POSICIÓN DE UN PUNTO.