CAPÍTULO 3 / TEMA 2

FRACCIONES EQUIVALENTES

Hay fracciones que aunque parezcan diferentes representan la misma cantidad. Por ejemplo, si un amigo te ofrece 1/2 de un alfajor y otro te ofrece 2/4 de un alfajor, ¿quién te ofrece más? ¡Ninguno! ¡Los dos ofrecen lo mismo! Este tipo de fracciones son conocidas como fracciones equivalentes y son muy fáciles de distinguir.

¿QUÉ ES UNA FRACCIÓN EQUIVALENTE?

Decimos que dos o más fracciones son equivalentes cuando todas ellas representan a la misma cantidad, es decir, al mismo número. Veamos un ejemplo:

$\boldsymbol{\frac{2}{3}} =$

$\boldsymbol{\frac{4}{6}}=$

Podemos observar que en ambas fracciones pintamos la misma porción del entero, lo que quiere decir que ambas fracciones representan la misma cantidad. Por lo tanto, decimos que $\frac{2}{3}$ y $\frac{4}{6}$ son fracciones equivalentes, y las podemos escribir así:

$\boldsymbol{\frac{2}{3}=\frac{4}{6}}$

¿Hay una sola fracción equivalente?

Cada fracción tiene muchas fracciones equivalentes. Por ejemplo, otra fracción equivalente de $\frac{2}{3}$ es $\frac{8}{12}$ :

Entonces, como las 3 fracciones son equivalentes entre sí, podemos escribir:

$\boldsymbol{\frac{2}{3}=\frac{4}{6}=\frac{8}{12}}$

Decimos que dos o más fracciones son equivalentes cuando todas ellas representan a la misma cantidad, es decir, al mismo número. Por lo tanto, hay muchas formas de decir media sandía: 1/2 , 2/4 , 4/8 , 8/16 , 16/32 y muchas más. Todas ellas son fracciones equivalentes que indican la mitad de un entero.

¿Cómo saber si dos fracciones son equivalentes?

Dos fracciones son equivalentes si al multiplicar sus términos en forma de cruz el resultado el mismo.

$\boldsymbol{\frac{3}{4}}$ y $\boldsymbol{\frac{6}{8}}$ son fracciones equivalentes porque $\boldsymbol{3\times 8=4\times 6}$

$\boldsymbol{\frac{3}{5}}$ y $\boldsymbol{\frac{6}{18}}$ no son equivalentes porque $\boldsymbol{3\times 18\neq 5\times 6}$

¡Es tu turno!

¿Estas fracciones son equivalentes?

$\boldsymbol{\frac{2}{5}}$ y $\boldsymbol{\frac{6}{15}}$

Solución

$\boldsymbol{\frac{2}{5}}$ y $\boldsymbol{\frac{6}{15}}$ son fracciones equivalentes porque $\boldsymbol{2\times 15=5\times 6}$

$\boldsymbol{\frac{4}{7}}$ y $\boldsymbol{\frac{3}{5}}$

Solución

$\boldsymbol{\frac{4}{7}}$ y $\boldsymbol{\frac{3}{5}}$ no son fracciones equivalentes porque $\boldsymbol{4\times 5\neq 7\times 3}$

¿cómo CONVERTIR FRACCIONES EQUIVALENTES?

Las fracciones equivalentes se pueden obtener por medio de dos métodos: amplificación y simplificación.

Amplificación de fracciones

Para obtener fracciones equivalentes por amplificación debemos multiplicar al numerador y al denominador de la fracción por un mismo número distinto de cero.

Si al numerador y al denominador de la fracción $\frac{3}{5}$ los multiplicamos por 3, obtenemos $\frac{9}{15}$ y por lo tanto, ambas fracciones son equivalentes.

Así, si multiplicamos al numerador y al denominador por 4, obtenemos otra fracción equivalente: $\frac{12}{20}$ .

Y si multiplicamos por 5, obtenemos otra: $\frac{15}{25}$ .

Podemos escribir las fracciones obtenidas de la siguiente manera:

$\boldsymbol{\frac{3}{5}=\frac{9}{15}=\frac{12}{20}=\frac{15}{25}}$

¡Puedes comprobarlo!

Las fracciones equivalentes, a pesar de tener numeradores y denominadores diferentes, representan una misma cantidad. Puedes corroborar esto si divides el numerador entre el denominador.

$\boldsymbol{\frac{3}{5}=3\div 5=0.6}$

$\boldsymbol{\frac{9}{15}=9\div 15=0.6}$

$\boldsymbol{\frac{12}{20}=12\div 20=0.6}$

$\boldsymbol{\frac{15}{25}=15\div 25=0.6}$

Simplificación de fracciones

Para obtener fracciones equivalentes por simplificación debemos dividir al numerador y al denominador de la fracción por un mismo número distinto de cero. Pero en este caso, el número debe ser un divisor común entre el numerador y el denominador. Es decir, tanto el numerador como el denominador se deben poder dividir por el número.

Si al numerador y al denominador de la fracción $\frac{30}{15}$ los dividimos por 3, obtenemos $\frac{10}{5}$ , que es una fracción equivalente.

Los divisores comunes entre 30 y 15 son: 3, 5, 15. Entonces, también podemos simplificar la fracción $\frac{30}{15}$ si dividimos el numerador y denominador por 5, cuyo resultado es $\frac{6}{3}$ .

Y si dividimos por 15, obtenemos $\frac{2}{1}$ , otra fracción equivalente.

Como todas representan la misma cantidad, podemos escribirlas de este modo:

$\boldsymbol{\frac{30}{15}=\frac{10}{5}=\frac{6}{3}=\frac{2}{1}}$

¿Sabías qué?

Cuando una fracción no puede simplificarse se dice que es una fracción irreducible.

Para obtener fracciones equivalentes por amplificación debemos multiplicar al numerador y al denominador de la fracción por un mismo número distinto de cero; y para obtener fracciones equivalentes por simplificación debemos dividir al numerador y al denominador de la fracción por un mismo número distinto de cero que sea divisor común entre ambos.

APLICACIÓN DE LAS FRACCIONES EQUIVALENTES EN OPERACIONES DE FRACCIONES

Podemos usar las fracciones equivalentes para sumar y restar fracciones heterogéneas (aquellas que tienen distinto denominador). Para estos solo tenemos que convertirlas en fracciones homogéneas, es decir, en fracciones con igual denominador. Luego sumamos o restamos los numeradores y conservamos el denominador.

– Ejemplo:

$\boldsymbol{\frac{2}{4}+\frac{8}{2}=}$

Los denominadores son 4 y 2. Pero si en la segunda fracción multiplicamos numerador y denominador por 2, obtenemos $\frac{16}{4}$ , que es una fracción equivalente.

$\boldsymbol{\frac{8}{2}=\frac{16}{4}}$

Entonces, la suma queda así:

$\boldsymbol{\frac{2}{4}+\frac{16}{4}=\frac{2+16}{4}=\frac{18}{4}}$

También podemos representar esta fracción final de una manera más simple si encontramos un divisor común. Como 18 y 4 son divisible por 2, su fracción equivalente es $\frac{9}{2}$ .

$\boldsymbol{\frac{18}{4}=\frac{9}{2}}$

Por lo tanto:

$\boldsymbol{\frac{2}{4}+\frac{16}{4}=\frac{2+16}{4}=\frac{18}{4}=\boldsymbol{\frac{9}{2}}}$

– Otro ejemplo:

$\boldsymbol{\frac{6}{5}-\frac{1}{2}=}$

Los denominadores son 5 y 2, así que debemos encontrar el mínimo común múltiplo entre ambos, que es 10. Para llegar de 5 a 10, debemos multiplicar a 5 por 2. Entonces, amplificamos la fracción $\frac{6}{5}$ por 2:

$\boldsymbol{\frac{6}{5}=\frac{12}{10}}$

Y para llegar de 2 a 10, debemos multiplicar a 2 por 5. Amplificamos esta fracción por 5:

$\boldsymbol{\frac{1}{2}=\frac{5}{10}}$

La resta queda así:

$\boldsymbol{\frac{12}{10}-\frac{5}{10}=\frac{12-5}{10}=\frac{7}{10}}$

Las fracciones equivalentes se pueden utilizar para sumar y restar fracciones heterogéneas (que tienen distinto denominador). Para poder sumarlas o restarlas, debemos convertirlas en fracciones homogéneas, es decir, que tengan el mismo denominador. Y para convertirlas en fracciones homogéneas, utilizamos fracciones equivalentes de las originales.

¡A practicar!

1. Indica si estas equivalencias son verdaderas o falsas.

$\boldsymbol{\frac{8}{11}=\frac{33}{44}}$

Solución

Falso. Estas fracciones no son equivalentes porque 8 × 44 ≠ 11 × 33.

$\boldsymbol{\frac{1}{5}=\frac{3}{15}}$

Solución

Verdadero. Estas fracciones sí son equivalentes porque 1 × 15 = 5 × 3.

$\boldsymbol{\frac{4}{12}=\frac{20}{24}}$

Solución

Falso. Estas fracciones no son equivalentes porque 4 × 24 ≠ 12 × 20.

$\boldsymbol{\frac{9}{10}=\frac{36}{30}}$

Solución

Falso. Estas fracciones no son equivalentes porque 9 × 30 ≠ 10 × 36.

$\boldsymbol{\frac{7}{8}=\frac{14}{16}}$

Solución

Verdadero. Estas fracciones sí son equivalentes porque 7 × 16 = 8 × 14.

$\boldsymbol{\frac{6}{9}=\frac{24}{36}}$

Solución

Falso. Estas fracciones no son equivalentes porque 9 × 24 ≠ 6 × 36.

2. Realiza los siguientes cálculos. Utiliza sus fracciones equivalentes:

$\boldsymbol{\frac{1}{4}+\frac{3}{2}=}$

Solución

$\boldsymbol{\frac{1}{4}+\frac{6}{4}=\frac{6+1}{4}=\frac{7}{4}}$

$\boldsymbol{\frac{2}{3}+\frac{6}{4}=}$

Solución

$\boldsymbol{\frac{8}{12}+\frac{18}{12}=\frac{8+18}{12}=\frac{26}{12}=\frac{13}{6}}$

$\boldsymbol{\frac{7}{5}-\frac{2}{2}=}$

Solución

$\boldsymbol{\frac{14}{10}-\frac{10}{10}=\frac{14-10}{10}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}}$

$\boldsymbol{\frac{8}{3}-\frac{2}{5}=}$

Solución

$\boldsymbol{\frac{40}{15}-\frac{6}{15}=\frac{40-6}{15}=\frac{34}{15}}$

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Fracciones equivalentes”

En este artículo podrás ahondar en los conceptos de amplificación y simplificación de fracciones, hasta llegar al concepto de fracción irreducible.

VER

Micrositio “Operaciones matemáticas”

En este micrositio, las tarjetas te ayudarán a profundizar en el procedimiento que debe realizarse en las operaciones matemáticas de adición, resta, multiplicación y división de fracciones homogéneas y heterogéneas.

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CAPÍTULO 1 / TEMA 6

POTENCIAS

La matemática está compuesta por numerosos tipos de operaciones que varían según su complejidad. Entre esas operaciones se encuentra la potenciación, que consiste en la multiplicación de factores iguales de acuerdo a un exponente. Al igual que otros cálculos, tiene sus propiedades y sus características particulares. ¡Las aprenderemos a continuación!

La potenciación también puede ser definida como la forma abreviada de escribir un producto de varios factores iguales. En muchas ocasiones, los ejercicios de potenciación pueden parecer algo complejos. Para resolverlos de manera correcta es indispensable conocer sus elementos y propiedades.

LA POTENCIA Y SUS ELEMENTOS

La potencia se define como el resultado (b) de la multiplicación de la base (a) tantas veces como lo indica el exponente (n). En esta operación, a y b son números reales y n es un número entero.

– Ejemplo:

$\boldsymbol{4^{3}=4\times 4\times4 =64}$

$\boldsymbol{5^{4}=5\times 5\times 5\times 5=625}$

$\boldsymbol{8^{2}=8\times 8 = 64}$

¿Cómo se lee una potencia?

Si quieres leer una potencia es necesario que hayas aprendido bien a identificar sus elementos para luego aplicar los siguientes pasos.

Lee la base como cualquier número seguido de la expresión “elevado a la” o “elevado al” según sea el caso.
Lee el exponente como un número ordinal. A excepción del 2 y 3 que se expresan como “al cuadrado” y “al cubo” respectivamente.

– Ejemplo:

$\boldsymbol{5^{{\color{Red} 3}}}$ se lee “cinco al cubo”.

$\boldsymbol{4^{{\color{Red} 2}}}$ se lee “cuatro al cuadrado”.

se lee “nueve a la quinta”.

¿Sabías qué?

René Descartes (1596-1650) realizó contribuciones importantes a la matemática y popularizó la notación para la potenciación.

VER INFOGRAFÍA

¡A practicar!

¿Cómo se leen estas potencias?

$\boldsymbol{4^{3}}$

Solución

Cuatro al cubo.

$\boldsymbol{25^{6}}$

Solución

Veinticinco a la sexta.

$\boldsymbol{64^{9}}$

Solución

Sesenta y cuatro a la novena.

PROPIEDADES DE LA POTENCIA

Potencia de un exponente 0

Todo número elevado a la potencia cero es igual a 1.

$\boldsymbol{a^{0}=1}$

– Ejemplo:

$\boldsymbol{5^{0}=1}$

$\boldsymbol{\left ( -3 \right )^{0} = 1}$

Potencia de un exponente 1

Todo número elevado a la potencia 1 es igual al mismo número.

$\boldsymbol{a^{1}=a}$

– Ejemplo:

$\boldsymbol{5^{1}=5}$

$\boldsymbol{\left ( -3 \right )^{1} = -3}$

Potencia de un exponente negativo

Todo número elevado a la potencia negativa es igual a la fracción de uno sobre la misma base con potencia positiva.

$\boldsymbol{a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}}$

– Ejemplo:

$\boldsymbol{5^{-1}=\frac{1}{5^{1}}=\frac{1}{5}}$

$\boldsymbol{(-3)^{-2}=\frac{1}{(-3)^{2}} = \frac{1}{9}}$

Multiplicación de potencias de igual base

En la multiplicación de potencias de igual base se coloca la misma base y se suman los exponentes.

$\boldsymbol{a^{n}\times a^{m}=a^{n + m}}$

– Ejemplo:

$\boldsymbol{3^{2}\times 3^{4}=3^{2 + 4}=3^{6}}$

$\boldsymbol{(-7)^{5}\times (-7)^{-3}=(-7)^{5+( - 3)}=(-7)^{2}}$

División de potencias de igual base

En la división de potencias se coloca la misma base y se restan los exponentes.

$\boldsymbol{\frac{a^{n}}{a^{m}}=a^{n-m}}$

– Ejemplo:

$\boldsymbol{\frac{4^{6}}{4^{2}}=4^{6-2}=4^{4}}$

$\boldsymbol{\frac{(-3)^{-2}}{(-3)^{4}}=(-3)^{-2-4}= (-3)^{-6}}$

Potencia de una potencia

En toda potencia elevada a otra potencia se coloca la misma base y se multiplican los exponentes.

$\boldsymbol{(a^{n})^{m}=a^{n \times m}}$

– Ejemplo:

$\boldsymbol{(9^{2})^{3}=9^{2 \times 3}=9^{6}}$

$\boldsymbol{((-8)^{2})^{3}=(-8)^{2\times 3}=(-8)^{6}}$

Potencia de un exponente racional

En una potencia con exponente fraccionario se extrae el denominador del exponente en forma de raíz y el numerador queda como exponente de la potencia.

$\boldsymbol{a^{\frac{n}{m}}= \sqrt[m]{a^{n}}}$

– Ejemplo:

$\boldsymbol{5^{\frac{7}{3}}= \sqrt[3]{5^{7}}}$

$\boldsymbol{(-2)^{\frac{4}{5}}= \sqrt[5]{(-2)^{4}}}$

Multiplicación de potencias con el mismo exponente

En la multiplicación de potencias de igual exponente se multiplican las bases y se coloca el mismo exponente.

$\boldsymbol{a^{n}\times b^{n}=(a\times b)^{n}}$

– Ejemplo:

$\boldsymbol{5^{3}\times 4^{3}=(5\times 4)^{3}=(20)^{3}}$

$\boldsymbol{(-3)^{3}\times (-6)^{3}=((-3)\times (-6))^{3}=(18)^{3}}$

División de potencias con el mismo exponente

En la división de potencias de igual exponente se coloca el mismo exponente y se dividen las bases.

$\boldsymbol{\frac{a^{n}}{b^{n}}=(\frac{a}{b})^{n}}$

– Ejemplo:

$\boldsymbol{\frac{8^{2}}{4^{2}}=(\frac{8}{4})^{2}=2^{2}}$

$\boldsymbol{\frac{(-6)^{3}}{(-3)^{3}}=(\frac{(-6)}{(-3)})^{3}=2^{2}}$

¿Resultado par o impar?

Toda potencia de base negativa con exponente par da como resultado un número positivo. Por ejemplo:

$\boldsymbol{\left ( -3 \right )^{4} = (-3)\times (-3)\times (-3)\times (-3)=81}$

Toda potencia de base negativa con exponente impar da como resultado un número negativo. Por ejemplo:

$\boldsymbol{\left ( -2 \right )^{5} = (-2)\times (-2)\times (-2)\times (-2)\times (-2)=-32}$

Potencias de base 10

Las potencias de base 10 son fáciles de calcular porque el valor es igual a la base seguida de tantos ceros como indica el exponente. Estas son muy útiles para escribir de forma polinómica un número, es decir, permiten escribir números muy grandes de forma reducida.

$\boldsymbol{10^{2} = 10 \times 10 = 100}$

$\boldsymbol{10^{3} = 10 \times 10\times 10 = 1.000}$

$\boldsymbol{10^{4} = 10 \times 10\times 10\times 10 = 10.000}$

$\boldsymbol{10^{5} = 10 \times 10 \times 10\times 10\times 10 = 100.000}$

$\boldsymbol{10^{6} = 10 \times 10\times 10\times 10\times 10\times 10 = 1.000.000}$

APLICACIONES DE LAS POTENCIAS

Debido a las diversas propiedades que estas poseen pueden utilizarse para:

Aplicar el teorema de Pitágoras

Uno de los teoremas más famosos de la geometría es el teorema de Pitágoras. Este emplea potencias para expresar su fórmula, la cual dice que la hipotenusa al cuadrado de un triángulo rectángulo es igual a la suma de sus catetos al cuadrado, es decir, C²= A²+ B².

Emplear la notación científica

La notación científica utiliza potencias de base 10 para expresar números muy grandes o muy pequeños en forma reducida. Observa cómo algunos números pueden ser expresados de forma simplificada:

$\boldsymbol{0,00000465 = 465\times 10^{-8}}$

$\boldsymbol{0,00000465 = 46,5\times 10^{-7}}$

$\boldsymbol{0,00000465 = 4,65\times 10^{-6}}$

Expresar sucesiones matemáticas y progresiones geométricas

Existen series matemáticas que requieren el uso de las potencias para expresar su forma general o enésima.

Uno de los campos o áreas que usan la potenciación es la biología, específicamente en el estudio de la reproducción de virus y bacterias. Allí, para poder expresar su rápido crecimiento, es necesario emplear este tipo de operación matemática.

¡A practicar!

1. Resuelve las siguientes potencias y aplica las propiedades necesarias:

$\boldsymbol{4^{3}+5^{2}=}$

Solución

$\boldsymbol{4^{3}+5^{2}= 4\times 4\times 4+5\times 5=64+25 = 89}$

$\boldsymbol{3^{3}\times 9^{3}=}$

Solución

$\boldsymbol{3^{3}\times 9^{3}= (3\times 9)^{3}= (27)^{3}=27\times 27\times 27=19.683}$

$\boldsymbol{\frac{8^{5}}{8^{3}}=}$

Solución

$\boldsymbol{\frac{8^{5}}{8^{3}}= 8^{5-3}=8^{2}= 8\times 8=64}$

$\boldsymbol{(\frac{4^{3}}{4^{2}})^{2}+\frac{5^{6}\times4^{3}}{5^{5}\times4^{2}}-\frac{2^{0}\times1^{9}}{5^{0}}}$

Solución

$\boldsymbol{(\frac{4^{3}}{4^{2}})^{2}+\frac{5^{6}\times4^{3}}{5^{5}\times4^{2}}-\frac{2^{0}\times1^{9}}{5^{0}}= 4^{6-4}+5^{6-5}\times4^{3-2}-\frac{1\times1}{1}}$

$\boldsymbol{4^{2}+5^{1}\times4^{1}-\frac{1\times1}{1}=4\times4+20-1=16+19=35}$

2. Expresa los siguientes números en notación científica.

$\boldsymbol{1.320.000}$

Solución

$\boldsymbol{1.320.000=1,32\times 10^{6}=13,2\times 10^{5}=132\times 10^{4}}$

$\boldsymbol{0,000968}$

Solución

$\boldsymbol{0,000968 = 968\times 10^{-6}}$

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Propiedades de potencias”

En el siguiente artículo hay más estrategias para ampliar los conocimientos acerca de las propiedades de las potencias.

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Artículo “Ejercicios de propiedades de la potencia”

El siguiente recurso le brindará apoyo con ejercicios de potencias, con sus resultados y explicaciones.

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CAPÍTULO 1 / TEMA 5

SUCESIONES

Hacemos uso de las sucesiones al contar los días de la semana, del mes o del año. También al contar las horas del día o simplemente al contar los pasos para llegar a casa. Las sucesiones no son más que un conjunto de números organizados de un forma determinada. No solo las podemos encontrar con números, sino también con figuras.

¿QUÉ SON SUCESIONES?

Una sucesión es un conjunto de elementos ordenados de forma ascendente o descendente. Los elementos de este conjunto se denominan términos y estos siguen una regla, la cual permite calcular cada uno de ellos.

Las sucesiones pueden ser finitas o infinitas. Las sucesiones finitas tienen un número determinado de términos y las infinitas no tienen término final. Por ejemplo:

Sucesión finita = $\boldsymbol{\left \{ 2,4,6,8,10 \right \}}$
Sucesión infinita = $\boldsymbol{\left \{ 3,6,9,12,15,18... \right \}}$

¿Sabías qué?

Los puntos suspensivos (…) indican que la sucesión continua hasta el infinito.

Términos de una sucesión

Los términos de una sucesión se expresan con subíndices: a₁, a₂, a₃, a₄, a₅ …, los cuales indican la posición de cada uno dentro de la secuencia, por ejemplo, el término a₁ ocupa la primera posición de la secuencia, el término a₂ corresponde al segundo lugar y así sucesivamente con cada uno.

Podemos calcular cada término de una sucesión de acuerdo a esta relación:

a_n = a₀ + nr

Donde:

a₀: término anterior al primero.

r: regla de la sucesión.

n: número de término.

– Ejemplo:

Podemos representar una sucesión por un término general o enésimo. En este caso su fórmula es:

a_n = −1 + n · (+3)

a_n = −1 + 3n

Observa que la regla de sucesión (r) es +3, por lo tanto, el término anterior al primero (t₀) es igual a −1. Si queremos hallar el término a₈ solo aplicamos la fórmula anterior:

a₈ = −1 + 3 · 8 ⇒ a₈ = −1 + 24 ⇒ a₈ = 23

¿Cuáles son los términos?

Emplea la fórmula y determina cuáles son los términos a₁₀, a₁₂ y a₁₅de la secuencia anterior.

Solución

a₁₀ = −1 + 3 · 10 ⇒ a₁₀ = −1 + 30 ⇒ a₁₀ = 29

a₁₂ = −1 + 3 · 12 ⇒ a₁₂ = −1 + 36 ⇒ a₁₂ = 35

a₁₅ = −1 + 3 · 15 ⇒ a₁₅ = −1 + 45 ⇒ a₁₅ = 44

Sucesión de Fibonacci

Una de las sucesiones conocidas más importantes es la de Fibonacci. Este tipo de secuencia lleva su nombre en honor al matemático italiano Leonardo Fibonacci y se caracteriza por el hecho de que cada número resulta de sumar los dos números anteriores a este. El término general de la misma es $a_{n}= a_{n-1} + a_{n-2}$ y la forma más básica de este tipo de sucesión es: $1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233...$

VER INFOGRAFÍA

SUCESIONES CON FIGURAS

No solo podemos encontrar sucesiones de números, también es posible encontrar sucesiones con diferentes figuras. Por ejemplo:

En ella se puede ver que las figuras están en orden ascendente con respecto a sus lados. Cada figura tiene un lado más que la anterior.

– Ejemplo 2:

También es posible conseguir sucesiones con figuras en distintas posiciones, como este ejemplo:

Como puedes ver en la imagen, todas las flechas tienen una dirección y sentido diferente, pero si te fijas con atención, el movimiento es igual al de las agujas del reloj, es decir, van en sentido horario. Este patrón nos permite saber cuál será la próxima figura en la sucesión:

Uno de los campeonatos más vistos es el Mundial de fútbol de la FIFA. En este, se clasifican 32 selecciones y, a medida que transcurre el torneo, se eliminan la mitad de los equipos en encuentros entre ellos. Así, comienzan 32, luego 16, 8, 4, 2, hasta que solo queda 1, el equipo campeón. Como ves, esta es una sucesión descendente en la que cada término es igual a la mitad del anterior.

SUCESIONES CON SUMAS Y RESTAS

Podemos construir sucesiones por medio de sumas, restas o la combinación de ambas operaciones. Por ejemplo:

– Otro ejemplo:

En la sucesión anterior, a medida que disminuye el número en cada término, la resta entre el término siguiente y el anterior aumenta.

Algunas aplicaciones

Debido a lo práctico que resulta expresar en forma general una secuencia ordenada de números, las sucesiones matemáticas han sido aplicadas en muchas disciplinas además de la matemática. Por ejemplo, la sucesión de Fibonacci se ha aplicado en la arquitectura, el arte y la informática.

Las progresiones son un tipo de sucesiones que se utilizan para realizar diversos cálculos como la determinación del interés compuesto. Las progresiones aritméticas también se usan en las interpolaciones, que consisten en calcular valores que se encuentran entre dos dados.

¡A practicar!

1. Consigue la regla de la sucesión en cada caso.

{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}

Solución

{45, 44, 42, 39, 35, 30, 24, 17, 9}

Solución

2. ¿Cuál es la imagen que falta?

Solución

3. ¿Cuáles son las figuras que deben ir en los espacios en gris?

Solución

4. Selecciona cuál de las imágenes del segundo bloque es la que corresponde al cuadrado que falta en el primer bloque.

Solución

5. Calcula el término a₂₅ de la siguiente sucesión:

{23, 27, 31, 35, 39}

Solución

Datos:

a₀ = 19

r = +4

Término enésimo:

a_n = 19 + n · (+4)

a_n = 19 + 4n

Resultado:

a₂₅ = 19 + 4 · 25

a₂₅ = 19 + 100

a₂₅ = 119

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Sucesiones”

Este artículo lo ayudará a complementar la información sobre las sucesiones.

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Artículo “Sucesiones y series”

Con este artículo podrá ampliar los conocimiento sobre las series y sucesiones.

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CAPÍTULO 5 / TEMA 3

TIPOS DE FRACCIONES

Aunque todas las fracciones se caracterizan por tener dos números divididos con una raya fraccionaria, no todas son iguales. Hay clasificaciones de fracciones que dependen de la relación que existe entre sus denominadores, entre ellas están las fracciones homogéneas y las fracciones heterogéneas. Otras clasificaciones dependen de la relación que existe entre los numeradores y denominadores, y pueden ser fracciones propias e impropias.

Las fracciones representan la parte de un todo que ha sido dividida en partes iguales. Todas ellas tienen un denominador, que indica el número de partes iguales en las que está dividido un todo; y un numerador, que indica qué partes de ese todo hemos considerado. En este ejemplo, 2 es el numerador y 8 es el denominador.

VER INFOGRAFÍA

fracciones homogéneas

Dos o más fracciones son homogéneas si tienen el mismo denominador. En estas fracciones el entero está dividido en la misma cantidad de partes.

$\boldsymbol{\frac{1}{4}}$ y $\boldsymbol{\frac{3}{4}}$ son fracciones homogéneas porque tienen el mismo denominador: 4.

– Ejemplos:

$\boldsymbol{\frac{8}{10}}$ y $\boldsymbol{\frac{3}{10}}$

$\boldsymbol{\frac{12}{9}}$ ; $\boldsymbol{\frac{7}{9}}$ y $\boldsymbol{\frac{20}{9}}$

$\boldsymbol{\frac{4}{20}}$ ; $\boldsymbol{\frac{9}{20}}$ y $\boldsymbol{\frac{1}{20}}$

fracciones heterogéneas

Dos o más fracciones son heterogéneas si tienen diferentes denominadores, es por esto que el entero estará dividido en distintas partes según la fracción.

$\boldsymbol{\frac{2}{3}}$ y $\boldsymbol{\frac{3}{6}}$ son fracciones heterogéneas porque sus denominadores son diferentes.

– Ejemplos:

$\boldsymbol{\frac{10}{12}}$ ; $\boldsymbol{\frac{8}{9}}$ y $\boldsymbol{\frac{1}{2}}$

$\boldsymbol{\frac{20}{3}}$ ; $\boldsymbol{\frac{8}{5}}$ y $\boldsymbol{\frac{3}{12}}$

$\boldsymbol{\frac{2}{9}}$ y $\boldsymbol{\frac{8}{18}}$

El ying y el yang en las fracciones

Los chinos representaban las fracciones con varillas, estas podían ser de bambú, hueso u otros materiales. A los elementos de una fracción le asignaban un rol femenino y otro masculino. Se referían al numerador como “el hijo” y al denominador como “la madre”. Este uso del ying y el yang los hacía seguir a la perfección las clasificaciones de fracciones y ser expertos conocedores de las operaciones con fracciones.

fracciones propias

Las fracciones propias son aquellas en las que el numerador es menor que el denominador. Estas fracciones también reciben el nombre de fracciones puras. Las fracciones de este tipo son menores a un entero y se encuentran entre el 0 y el 1.

Para comprender mejor que estas fracciones siempre se encuentran entre el 0 y el 1 mostramos algunos ejemplos representados en una recta numérica:

– Ejemplos:

$\boldsymbol{\frac{5}{12}}$

$\boldsymbol{\frac{12}{20}}$

$\boldsymbol{\frac{9}{15}}$

¿Sabías qué?

El símbolo “<” significa “menor que” y el símbolo “>” significa “mayor que”.

Cuando seguimos las instrucciones de una receta de cocina, usualmente fraccionamos los ingredientes, por ejemplo, media taza de leche (½) o tres cuartos de azúcar (¾). También usamos fracciones cuando ordenamos alimentos, como un cuarto de kilo de café (¼), medio kilo de queso (½) o litro y medio de gaseosa (1 ½).

fracciones impropias

Las fracciones impropias son aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador. Se las conoce también como fracciones impuras. Estas fracciones siempre son mayores a un entero, es decir mayores a 1.

En una recta numérica las fracciones impropias o impuras siempre se ubican del 1 en adelante porque son mayores a este, para entender mejor, observa los siguientes ejemplos:

– Ejemplos:

$\boldsymbol{\frac{10}{8}}$

$\boldsymbol{\frac{25}{9}}$

$\boldsymbol{\frac{9}{2}}$

Hay expresiones que en cada país se dicen de maneras distintas pero que significan lo mismo, como por ejemplo “fresa” y “frutilla”. En el ámbito de la matemática sucede lo mismo, depende del país se utilizarán los términos “fracción propia” o “fracción pura” para el mismo tipo de fracción; y “fracción impropia” o “fracción impura” para el mismo tipo de fracción.

¡A practicar!

Determina si la siguientes fracciones son homogéneas o heterogéneas.

$\boldsymbol{\frac{3}{7}}$ y $\boldsymbol{\frac{5}{9}}$

Solución

Heterogéneas

$\boldsymbol{\frac{2}{5}}$ y $\boldsymbol{\frac{16}{5}}$

Solución

Homogéneas

$\boldsymbol{\frac{62}{6}}$ ; $\boldsymbol{\frac{95}{66}}$ y $\boldsymbol{\frac{17}{36}}$

Solución

Heterogéneas

$\boldsymbol{\frac{33}{13}}$ ; $\boldsymbol{\frac{57}{13}}$ y $\boldsymbol{\frac{25}{13}}$

Solución

Homogéneas

2. Determina si las fracciones a continuación son propias o impropias.

$\boldsymbol{\frac{11}{12}}$

Solución

Propia

$\boldsymbol{\frac{8}{5}}$

Solución

Impropia

$\boldsymbol{\frac{7}{3}}$

Solución

Impropia

$\boldsymbol{\frac{21}{18}}$

Solución

Impropia

3. Observa las fracciones en la recta numérica y responde.

a) ¿Cuál o cuáles son las fracciones que están entre 0 y 1? ¿Qué tipo de fracciones son?

Solución

Las fracciones que están entre 0 y 1 son 1/3 y 2/3. Son fracciones propias.

b) ¿Cuál o cuáles son las fracciones mayores que 1? ¿Qué tipo de fracciones son?

Solución

Las fracciones mayores a 1 son 5/3 y 7/3. Son fracciones impropias.

c) ¿Hay fracciones heterogéneas? ¿Cuáles?

Solución

No hay fracciones heterogéneas.

d) ¿Hay fracciones homogéneas? ¿Cuáles?

Solución

Sí, todas las fracciones de la recta son homogéneas.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Clasificación de fracciones”

Este recurso te permitirá profundizar las características y los criterios para clasificar las fracciones.

VER

CAPÍTULO 4 / TEMA 5

PERÍMETRO

Todas los objetos planos tienen un contorno o frontera que las delimita. Por ejemplo, un alambrado delimita una casa, o una acera delimita un parque. Este borde se llama perímetro y su cálculo es muy sencillo, solo tenemos que saber la cantidad de lados y la longitud de cada uno de ellos en la figura.

¿qué es el perímetro?

El perímetro es el contorno de una figura plana y permite conocer su medida. Para calcularlo sumamos todos los lados de la figura.

Si queremos decorar este portarretrato con un cordón dorado, ¿cuánto cordón debemos comprar? ¡Muy fácil! Tenemos que calcular el perímetro del objeto. Como tiene dos lados que miden 15 centímetros y dos lados que miden 10 cm, sumamos todas las medidas de cada lado: 15 cm + 15 cm + 10 cm + 10 cm = 50 cm. Tenemos que comprar 50 cm de cordón.

¿Cómo calcular el perímetro en polígonos regulares?

Una de las características de los polígonos regulares es que todos sus lados tienen la misma longitud. Entonces, para calcular su perímetro multiplicamos la cantidad de lados del polígono por la longitud de su lado.

Perímetro = número de lados × longitud del lado

– Ejemplo:

Un cuadrado tiene 4 lados iguales. Si cada lado mide 5 cm, ¿cuál es el perímetro de la figura?

Perímetro = 4 × 5 cm = 20 cm

– Ejemplo 2:

Los triángulos equiláteros tienen todos sus lados iguales. Si cada lado mide 8 cm, ¿cuál es el perímetro de la figura?

Perímetro = 3 × 8 cm = 24 cm

¿Sabías qué?

Todos los polígonos regulares tienen lados, vértices, centro y perímetro.

perímetros en otras figuras planas

Existen otras figuras como los polígonos no regulares que se caracterizan por no tener todos los lados iguales. Para calcular los perímetros de estas figuras sumamos cada una de las longitudes de sus lados.

– Ejemplo 1:

Perímetro = 10 cm + 6 cm + 10 cm + 6 cm = 32 cm

– Ejemplo 2:

Perímetro = 6 cm + 4 cm + 3 cm + 2 cm + 3 cm + 3 cm = 21 cm

– Ejemplo 3:

Cada cuadrado interno de la figura mide 1 cm. Si sumamos cada cuadro por lado podremos saber el perímetro de esta figura.

Perímetro = 4 cm + 1 cm + 2 cm + 2 cm + 4 cm + 1 cm + 1 cm + 1 cm + 1 cm + 1 cm = 18 cm

Palacio de la Alhambra

El palacio la Alhambra se encuentra en España. Las partes inferiores de sus paredes están cubiertas con azulejos diseñados con polígonos. Estas figuras se unieron para crear múltiples combinaciones. La belleza de estas paredes demuestra lo impresionante que es la geometría aplicada en el arte.

aplicación del perímetro

Como ya vimos, para determinar el perímetro tenemos que sumar la longitud de todos los lados de la figuras. Si la figura es regular, es decir, si tiene todos sus lados iguales, solo multiplicamos la cantidad de lados por la longitud de uno de ellos. En la vida cotidiana este cálculo tiene diversas aplicaciones. Por ejemplo:

1. Carla corre todas la mañanas en el parque. Si cada día da tres vueltas alrededor del parque, ¿cuánto metros corre?

Primero calculamos el perímetro del parque:

Perímetro = 30 m + 15 m + 30 m + 15 m = 90 m

Como da tres vueltas, multiplicamos el resultado del perímetro por 3.

90 m × 3 = 270 m

Por lo tanto, Carla corre 270 m en el parque cada mañana.

2. Una familia quiere colocar una cerca alrededor de la casa, ¿cuánto metros de material debe comprar?

Solo tenemos que calcular el perímetro de la región que se quiere cercar:

Perímetro = 20 m + 5 m + 12 m + 5 m + 20 m = 10 m = 72 m

Entonces, se necesitan 72 metros de cerca para la casa.

3. Un auto de carreras dio 5 vueltas alrededor de la pista. ¿Cuántos metros corrió?

Primero calculamos el perímetro de la pista de carreras:

Perímetro = 80 m + 25 m + 40 m + 35 m + 40 m = 220 m

Como dio 5 vueltas, multiplicamos el resultado del perímetro por 5.

220 m × 5 = 1.100 m

Por lo tanto, el auto corrió 1.100 metros.

Castillos amurallados

Las murallas se han usado desde la prehistoria y se hicieron populares en la Edad Media. Muchos castillos de todo el mundo fueron amurallados para proteger el perímetro que los rodea con el fin de frenar y alejar a los ejércitos que deseaban conquistar sus tierras. No solo se amurallaban castillos sino también ciudades enteras, como la ciudad de Quebec en Canadá para establecer un perímetro de defensa y proteger a los ciudadanos.

¡A practicar!

1. Observa las siguientes figuras regulares y responde las preguntas.

¿Cuál es el perímetro del cuadrado morado?
Solución
El perímetro es de 16 cm.
¿Cuál es el perímetro del pentágono naranja?
Solución
El perímetro es de 30 cm.
¿Cuál es el perímetro del triángulo azul?
Solución
El perímetro es de 9 cm.
¿Cuál es el perímetro del hexágono verde?
Solución
El perímetro es de 30 cm.

2. Observa las siguientes figuras no regulares y responde las preguntas.

¿Cuál es el perímetro de la figura A?
Solución
El perímetro es 20 cm.
¿Cuál es el perímetro de la figura B?
Solución
El perímetro es 19 cm.
¿Cuál es el perímetro de la figura C?
Solución
El perímetro es 26 cm.
¿Cuál es el perímetro de la figura D?
Solución
El perímetro es 25 cm.

3. Un granjero quiere separar las ovejas de las vacas con una cerca triangular en una parte de su granja. Cada lado de la cerca tiene 12 metros. ¿Cuál es el perímetro de la cerca?

Solución

El perímetro de la cerca es 36 metros.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Perímetro de polígonos”

El siguiente artículo permitirá ampliar la información sobre el perímetro de polígonos.

VER

CAPÍTULO 4 / TEMA 5 (REVISIÓN)

Unidades y medidas | ¿Qué aprendimos?

Unidades de medición

Existen diferentes magnitudes físicas como la longitud, el área, el volumen y el tiempo que emplean unidades de medidas particulares. En el caso de la longitud, mide la distancia entre dos puntos; el área mide la superficie; el volumen mide el espacio y el tiempo mide la duración de un suceso. Desde 1960 se creó el Sistema Internacional de Unidades que busca que todos los países usen las mismas unidades de medición: el metro, el kilogramo, el metro cuadrado, el metro cúbico, el segundo, etc.

Los mayas usaban su propio calendario para medir el tiempo y planificar sus cosechas.

Instrumentos de medición

Medir es comparar con base en un patrón, de manera que para poder medir usamos instrumentos que se encuentran calibrados y presentan ciertas características como el rango de medición que soportan y que se indica en su cota superior e inferior. Algunos ejemplos de instrumentos que se usan en la escuela son la regla, la escuadra y el transportador. Los dos primeros miden longitudes y el último mide tamaños de ángulos.

Las reglas que usamos en la escuela generalmente vienen graduadas en centímetros y milímetros.

El tiempo

Para medir el tiempo usamos los relojes y cronómetros. Los relojes pueden ser análogos cuando emplean manecillas o digitales cuando no las emplean. La lectura del tiempo en estos casos se realiza de diferente manera. En un reloj analógico, la esfera se encuentra dividida en 12 horas que a su vez también presenta su división en minutos. Por otro lado, el formato de 24 horas es un sistema de medición que divide el día en 24 horas y comienza a partir de la medianoche hasta la medianoche siguiente.

Existen otras unidades de tiempo, como el día, la semana, el año, el lustro, la década, el siglo y el milenio.

Conversión de unidades

En el mundo existen diferentes unidades de medidas que pueden estar o no relacionados. Esto sucede con el metro, unidad usada para medir longitudes. El metro presenta submúltiplos como el decímetro, el centímetro y el milímetro; y múltiplos como el kilómetro, el hectómetro y el decámetro. Por medio de diagramas podemos transformar unidades de acuerdo a la relación que existan entre ellas, por ejemplo, las unidades de longitud y de capacidad aumentan de 10 en 10 y las de tiempo (segundo, minuto y hora) aumentan de 60 en 60.

El sistema para medir el tiempo es sexagesimal porque cada unidad es 60 veces menor que la anterior.

CAPÍTULO 4 / TEMA 1

Unidades de medición

Podemos medir muchas cosas como la altura de un edificio, el tiempo que tardamos en llegar a un lugar o el volumen de una pelota. Todo esto es posible gracias a las unidades de medición, que son referencias convencionales de una magnitud física. Las magnitudes más comunes son la longitud, el área, el volumen y el tiempo.

Longitud

Es una magnitud física que permite medir la distancia entre dos puntos, como la distancia que hay entre la casa y la escuela. Una de las unidades de longitud más aceptada es el metro (m). El metro puede multiplicarse varias veces sobre sí mismo para formar unidades mayores o múltiplos y también puede dividirse varias veces en partes iguales para formar unidades más pequeñas de referencia denominadas submúltiplos. Por ejemplo:

El kilómetro (km) es un múltiplo del metro porque equivale a 1.000 veces su tamaño.
El centímetro (cm) es un submúltiplo porque equivale a la centésima parte de un metro.

No es tan reciente

El metro como unidad de medida de longitud se empezó a utilizar durante la Revolución francesa, a finales del siglo XVIII, sin embargo, se oficializó 100 años después cuando la Comisión Internacional de Pesos y Medidas lo definió como la distancia que existía entre dos marcas ubicadas en una barra de platino e iridio. Hoy día, el metro es definido como la distancia recorrida por la luz en el vacío durante 1/299792458 de segundo.

Área o superficie

Es una magnitud que mide la extensión o superficie de una figura, por ejemplo, la superficie total del piso de una casa o de un campo de fútbol. Mientras mayor sea la región encerrada por una figura mayor será su área. Las unidades de medida comúnmente se expresan elevadas al cuadrado como el metro cuadrado (m²), el kilómetro cuadrado (km²) o el centímetro cuadrado (cm²).

Volumen

Es un tipo de magnitud que mide el espacio que ocupa un cuerpo: a mayor volumen, mayor será el espacio que ocupe. Las unidades de medidas más usadas son las elevadas al cubo como el metro cúbico (m³) y el centímetro cúbico (cm³).

VER INFOGRAFÍA

¿Sabías qué?

Se estima que el volumen total del agua en la Tierra es de 1.386 millones de kilómetros cúbicos (km³).

Tiempo

Es una magnitud física que permite medir la duración o separación de acontecimientos. Gracias al tiempo podemos medir cuánto dura un partido de fútbol o conocer qué pasó al comienzo o al final de una película.

Las medidas de tiempo más usadas son el segundo, el minuto y la hora.

Aunque no se sabe con exactitud cuándo se inventó el reloj mecánico, existen datos históricos que permiten estimar su invención en el siglo XIII. Los relojes de este tipo empleaban un sistema de ruedas giratorias que, por medio de un conjunto de pesas, ponían en movimiento a las manecillas. Este tipo de relojes anticipó a los modelos actuales.

Sistema Internacional de unidades (SI)

Es un sistema que busca la unificación de las unidades de medida usadas en diferentes países. A pesar de que la mayoría de ellos lo han adoptado como sistema de medida oficial, existen algunos que manejan sus propias unidades. Fue creado en 1960, en la XI Conferencia General de Pesas y Medidas celebrada en Francia.

Algunas unidades aceptadas por el Sistema Internacional de Medidas

Magnitud física	Unidad	Símbolo
Longitud	Metro	m
Volumen	Metro cúbico	m³
Área	Metro cuadrado	m²
Tiempo	Segundo	s
Masa	Kilogramo	kg
Temperatura	Kelvin	K

Unidades de medida extranjera

Muy pocos países no han adoptado al Sistema Internacional de Unidades como sistema de medida. De hecho, solo tres naciones no lo han declarado oficial en sus legislaciones: Estados Unidos, Liberia y Myammar.

Las unidades de medidas del Sistema Internacional no han sido las únicas empleadas en la medición. En la actualidad podemos usar otras, como las pulgadas, empleadas particularmente para identificar tornillos y medir pantallas de monitores y celulares.

El petróleo, por ejemplo, se suele medir en barriles y la mayoría de los biberones vienen graduados en onzas. Hay otras unidades de medidas usadas para fines específicos como la hectárea y el acre, empleadas para medir áreas de superficies.

Equivalencias de interés

1 pulgada = 2,54 centímetro
1 barril = 159 litros aproximadamente
1 onza = 28,35 gramos
1 hectárea = 10.000 metros cuadrados
1 acre = 4.046,86 metros cuadrados

Unidades de medidas usadas por los pueblos originarios

Nuestros pueblos originarios no eran la excepción si de medir las cosas se trataba. De hecho, cada una de las grandes civilizaciones precolombinas utilizaban unidades de medidas propias.

Los mayas tenían conocimientos avanzados en el campo de la astronomía, lo que les permitió elaborar su calendario por medio de medidas de tiempo propias. Gracias a esto, ellos podían calcular las estaciones y planificar el tiempo de las cosechas.

En el otro extremo del continente, los incas ya tenían un sistema de numeración propio: los quipus, que les permitieron realizar diversos cálculos matemáticos. En el campo de la medición, esta civilización también empleaba sus propias unidades: por ejemplo, para medir longitudes usaban partes del cuerpo como referencia, como la rikra, que consistía en la distancia de los dos dedos pulgares con los brazos extendidos en sentido horizontal.

Las antiguas civilizaciones emplearon sus propios sistemas de medición de unidades de tiempo, de longitud y de volumen. Había sistemas más precisos que otros pero todos servían para realizar diversas tareas, desde las más simples (como contabilizar o medir volúmenes de agua) hasta las más complejas (como la construcción de grandes edificaciones, templos y acueductos).

VER INFOGRAFÍA

¡A practicar!

1. ¿Cuál es la medida usada por el Sistema Internacional de Medidas para medir la longitud?

a) Kilómetro.

b) Centímetro.

c) Metro cúbico.

d) Metro.

Solución

d) Metro.

2. ¿Qué magnitud permite medir la duración de un acontecimiento?

a) El tiempo.

b) El volumen.

c) El área.

d) La longitud.

Solución

a) El tiempo.

3. ¿A qué unidad de medida representa el símbolo m³?

a) Segundo.

b) Milímetro cuadrado.

c) Metro cúbico.

d) Superficie cúbica.

Solución

c) Metro cúbico.

4. ¿En qué año se creó el Sistema Internacional de Medidas?

a) 1960.

b) 1540.

c) 2001.

d) 1998.

Solución

a) 1960.

5. ¿Cuál de estos países no emplea de manera oficial el Sistema Internacional de Medidas?

a) Argentina.

b) Rusia.

c) Italia.

d) Estados Unidos.

Solución

d) Estados Unidos.

6. ¿Cuál de las siguientes opciones se considera una unidad extranjera?

a) Metro.

b) Kilogramo.

c) Acre.

d) Centímetro cuadrado.

Solución

c) Acre.

7. Una hectárea mide __________.

a) 10 metros.

b) 5 centímetros cúbicos.

c) 10.000 metros cuadrados.

d) 20 segundos.

Solución

c) 10.000 metros cuadrados.

8. ¿Qué civilización americana usaba la rikra como medida de longitud?

a) Inca

b) Maya

c) Azteca

d) Olmeca

Solución

a) Inca

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Sistemas de medición”

Este artículo explica qué es un sistema de medición ,así como también algunas unidades de medida y sus instrumentos de medición.

VER

Artículo “Sistema Internacional de Unidades”

Este artículo destacado explica por qué se formó el Sistema Internacional de Unidades y describe las principales unidades que lo componen.

VER

Artículo “Volumen y capacidad: aplicaciones”

Este artículo explica qué es el volumen y la capacidad, así como sus unidades de medidas y transformaciones básicas en problemas cotidianos.

VER

CAPÍTULO 1 / TEMA 7

RELACIONES

LOS NÚMEROS NATURALES SON LOS QUE USAMOS PARA CONTAR, POR EJEMPLO, LA CANTIDAD DE JUGUETES QUE TENEMOS O LAS HORAS QUE FALTAN PARA SALIR A JUGAR. TODOS ELLOS TIENEN UNA RELACIÓN CON LOS DEMÁS NÚMEROS. PARA ESCRIBIR ESTAS RELACIONES USAMOS ALGUNOS SÍMBOLOS ESPECIALES QUE APRENDERÁS HOY.

RELACIONES ENTRE NÚMEROS

TODOS LOS NÚMEROS NATURALES TIENEN UNA RELACIÓN. EN LA IMAGEN VEMOS UN ORDEN DE 1 EN 1 PORQUE CADA NÚMERO A LA DERECHA TIENE UNA UNIDAD MÁS QUE EL ANTERIOR. SI QUEREMOS SABER QUÉ NÚMERO ES MAYOR O MENOR QUE OTRO PODEMOS UTILIZAR UNA RECTA NUMÉRICA. MIENTRAS MÁS A LA DERECHA DE LA RECTA ESTÉ EL NÚMERO, MAYOR SERÁ SU VALOR.

HAY NÚMEROS QUE REPRESENTAN MÁS CANTIDAD QUE OTROS Y POR LO TANTO, TAMBIÉN HAY NÚMEROS QUE REPRESENTAN MENOS CANTIDAD QUE OTROS. ESTA RELACIÓN SE LLAMA ORDEN Y LA USAMOS CADA VEZ QUE CONTAMOS O COMPARAMOS CIFRAS.

ENTRE DOS NÚMEROS, UNO PUEDE SER MAYOR QUE OTRO, IGUAL A OTRO O MENOR QUE OTRO. CADA RELACIÓN TIENE UN SÍMBOLO ÚNICO PARA QUE PUEDAS DIFERENCIARLO.

MAYOR QUE

CUANDO ESCRIBIMOS NÚMEROS PODEMOS VER QUE UNOS REPRESENTAN MÁS CANTIDADES QUE OTROS. POR EJEMPLO:

¿CUÁNTOS CANGREJOS HAY EN LA CAJA ROJA?

HAY 24 CANGREJOS.

¿CUÁNTO CANGREJOS HAY EN LA CAJA AZUL?

HAY 12 CANGREJOS.

¿CUÁL CAJA TIENE MAYOR CANTIDAD DE CANGREJOS?

LA CAJA ROJA TIENE MAYOR CANTIDAD DE CANGREJOS PORQUE 24 ES MAYOR QUE 12.

ESTA RELACIÓN ENTRE DOS NÚMEROS LA PODEMOS ESCRIBIR CON EL SÍMBOLO > QUE SIGNIFICA “MAYOR QUE”.

24 > 12

SI UBICAMOS CADA NÚMERO EN LA RECTA NUMÉRICA TENEMOS QUE:

EL NÚMERO 24 ES MAYOR QUE 12 PORQUE SE ENCUENTRA MÁS A LA DERECHA EN LA RECTA NUMÉRICA.

OTRO EJEMPLO:

OBSERVA ESTOS NÚMEROS, ¿CUÁL ES MAYOR?

365 357

PARA RESPONDER LA PREGUNTA DEBEMOS REPRESENTAR EN LA RECTA NUMÉRICA CADA NÚMERO Y COMPARARLOS:

COMO EL 365 ESTÁ MÁS A LA DERECHA EN LA RECTA, 365 ES MAYOR QUE 357. ENTONCES:

365 > 357

¡A ORDENAR NÚMEROS!

ORDENA DE MAYOR A MENOR ESTOS NÚMEROS. USA EL SÍMBOLO “MAYOR QUE” PARA REPRESENTAR LA RELACIÓN ENTRE CADA UNO DE ELLOS.

125 – 89 – 856 – 632

SOLUCIÓN

856 > 632 > 125 > 89

IGUAL QUE

ES POSIBLE QUE DOS CANTIDADES SEAN IGUALES. POR EJEMPLO:

CADA CAJA TIENE CARACOLAS MARINAS, ¿CUÁNTAS HAY EN LA CAJA ROJA?, ¿CUÁNTAS HAY EN LA CAJA AZUL?

EN LAS DOS CAJAS HAY LO MISMO: 15 CARACOLAS MARINAS.

CUANDO DOS NÚMEROS SON IGUALES USAMOS EL SÍMBOLO = QUE SIGNIFICA “IGUAL A “.

15 = 15

EL SÍMBOLO DE IGUALDAD TAMBIÉN SIRVE PARA DEMOSTRAR QUE UN NÚMERO ES IGUAL A LA SUMA DE OTROS. EJEMPLO:

15 = 10 + 5

15 = 5 + 5 + 5

15 = 2 + 3 + 2 + 3 + 2 + 3

SI BUSCAMOS REPRESENTAR LA IGUALDAD EN UNA RECTA NUMÉRICA, LOS DOS NÚMEROS SERÁN REPRESENTADOS EN EL MISMO LUGAR.

¡COMPAREMOS NÚMEROS!

INDICA SI ESTAS IGUALDADES SON CORRECTAS:

543 = 500 + 40 + 3

SOLUCIÓN

CORRECTO.

123 = 10 + 2 + 3

SOLUCIÓN

INCORRECTO. LA DESCOMPOSICIÓN ADITIVA DE 123 = 100 + 20 + 3.

LA IGUALDAD

SIEMPRE QUE DOS EXPRESIONES SEAN IGUALES DECIMOS QUE HAY UNA IGUALDAD MATEMÁTICA. EL SIGNO USADO ES =. ESTE SIGNO FUE CREADO POR ROBERT RECORDE EN 1557. ÉL USÓ DOS RECTAS PARALELAS PARA REPRESENTARLO.

MENOR QUE

ALGUNOS NÚMEROS REPRESENTAN MENOS CANTIDADES QUE OTROS. POR EJEMPLO:

¿CUÁNTOS PECES HAY EN LA CAJA ROJA?

HAY 18 PECES.

¿CUÁNTOS PECES HAY EN LA CAJA AZUL?

HAY 21 PECES.

¿CUÁL CAJA TIENE MENOR CANTIDAD DE PECES?

LA CAJA ROJA TIENE MENOR CANTIDAD DE PECES PORQUE 18 ES MENOR QUE 21.

ESTA RELACIÓN ENTRE DOS NÚMEROS LA PODEMOS ESCRIBIR CON EL SÍMBOLO < QUE SIGNIFICA “MENOR QUE”.

18 < 21

SI UBICAMOS CADA NÚMERO EN LA RECTA NUMÉRICA TENEMOS QUE:

EL NÚMERO 18 ES MENOR QUE 21 PORQUE SE ENCUENTRA MÁS A LA IZQUIERDA EN LA RECTA NUMÉRICA.

OTRO EJEMPLO:

OBSERVA ESTOS NÚMEROS, ¿CUÁL ES MENOR?

433 448

PARA RESPONDER LA PREGUNTA DEBEMOS REPRESENTAR EN LA RECTA NUMÉRICA CADA NÚMERO Y COMPARARLOS:

COMO EL 433 ESTÁ MÁS A LA IZQUIERDA EN LA RECTA, 433 ES MENOR QUE 448. ENTONCES:

433 < 448

¿SABÍAS QUÉ?

LA ABERTURA DE LOS SÍMBOLOS < Y > SIEMPRE IRÁ HACIA EL NÚMERO MAYOR, Y LA PUNTA IRÁ HACIA EL NÚMERO MENOR.

¡A ORDENAR NÚMEROS!

ORDENA DE MENOR A MAYOR ESTOS NÚMEROS. USA EL SÍMBOLO “MENOR QUE” PARA REPRESENTAR LA RELACIÓN ENTRE CADA UNO DE ELLOS.

489 – 511 – 263 – 384

SOLUCIÓN

263 < 384 < 489 < 511

LOS SÍMBOLOS DE RELACIÓN SIRVEN PARA QUE COMPAREMOS CANTIDADES. ES POSIBLE QUE NO NOS DEMOS CUENTA, PERO SIEMPRE LOS USAMOS. POR EJEMPLO, MIENTRAS MÁS AÑOS TENEMOS, MÁS ALTOS SOMOS. SI MARCAMOS EN LA PARED NUESTRA ESTATURA VEREMOS QUE CADA AÑO LA MEDIDA ES MAYOR QUE LA ANTERIOR, O VISTO DE OTRO MODO, QUE LA ESTATURA ANTERIOR ES MENOR QUE LA ACTUAL.

¡A PRACTICAR!

1. COLOCA EL SÍMBOLO DE RELACIÓN QUE CORRESPONDA:

64 ___ 89

SOLUCIÓN

64 < 89

159 ___ 685

SOLUCIÓN

159 < 685

745 ___ 700 + 40 + 5

SOLUCIÓN

745 = 700 + 40 + 5

4 + 40 ___ 20 + 7

SOLUCIÓN

4 + 40 = 44 > 27 = 20 + 7

999 ___ 654

SOLUCIÓN

999 > 654

80 + 4 ___ 84

SOLUCIÓN

80 + 4 = 84

2. ESCRIBE SI LA RELACIÓN ES VERDADERA O FALSA.

5 = 8

SOLUCIÓN

FALSO. 5 < 8

85 < 85

SOLUCIÓN

FALSO. 85 = 85

196 < 852

SOLUCIÓN

VERDADERO.

458 > 655

SOLUCIÓN

FALSO. 458 < 655

351 < 536

SOLUCIÓN

VERDADERO.

758 = 663

SOLUCIÓN

FALSO. 758 > 663

3. ORDENA DE MENOR A MAYOR:

78 – 96 – 499 – 164 – 8 – 968 – 781 – 63 – 19 – 82

SOLUCIÓN

8 < 19 < 63 < 78 < 82 < 96 < 164 < 499 < 781 < 968

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Comparar y ordenar números”

En el siguiente artículo hay más ejercicios para la práctica de la relación de números: mayor que y menor que.

VER

CAPÍTULO 5 / TEMA 2

REPRESENTACIÓN DE FRACCIONES

Todas las fracciones representan una división o las partes de un entero. Las usamos día a día cuando queremos repartir chocolates con amigos, una pizza con familiares y hasta picar una torta de cumpleaños para los invitados. Cada vez que organizamos una reunión y pensamos cuántos invitados vendrán, hacemos uso de las fracciones.

lectura de fracciones

Toda fracción tiene un numerador y un denominador. Podemos representarlos en esta caja de rosquillas. ¡Observa! La caja es el entero y lo dividimos en 12 partes iguales porque hay 12 rosquillas. Ese es el denominador. El numerador será igual a las rosquillas repartidas. Si solo repartirmos 4, podemos decir que comimos 4/12 de la caja.

Las fracciones reciben diferentes nombres de acuerdo a los números que aparecen en el numerador y el denominador. El numerador lo leemos como cualquier número natural y el denominador de la siguiente manera:

Denominador	Lectura
2	Medios
3	Tercios
4	Cuartos
5	Quintos
6	Sextos
7	Séptimos
8	Octavos
9	Novenos
10	Décimos

A partir del 11 el número se lee terminado en -avos. Por ejemplo, onceavos, doceavos, treceavos y así sucesivamente.

– Veamos algunos ejemplos:

$\boldsymbol{\frac{3}{7}}$ se lee “tres séptimos”.

$\boldsymbol{\frac{5}{3}}$ se lee “cinco tercios”.

$\boldsymbol{\frac{7}{12}}$ se lee “siete doceavos”.

$\boldsymbol{\frac{2}{10}}$ se lee “dos décimos”.

$\boldsymbol{\frac{8}{2}}$ se lee “ocho medios”.

¡Es tu turno!

Observa las siguientes fracciones, ¿cómo se leen?

$\boldsymbol{\frac{9}{4}}$

Solución

Nueve cuartos.

$\boldsymbol{\frac{25}{13}}$

Solución

Veinticinco treceavos.

$\boldsymbol{\frac{5}{8}}$

Solución

Cinco octavos.

representación gráfica

En una fracción, el denominador indica las partes en las que se divide al entero y el numerador las partes que se toman.

Estas definiciones son importantes para realizar los gráficos de fracciones.

¿Cómo graficar una fracción propia?

Realicemos el gráfico de la fracción $\boldsymbol{\frac{3}{5}}$

Lo primero que hacemos es dibujar una figura. En este caso dibujaremos un rectángulo. Este será el entero.

Luego dividimos el entero en la cantidad de partes que nos indique el denominador. En este caso, como el denominador es 5, dividimos el rectángulo en 5 partes iguales.

Después pintamos la cantidad de partes que señale el numerador. Como en esta fracción el numerador es 3, pintamos 3 partes. El resultado será el gráfico de la fracción.

¿Cómo graficar una fracción impropia?

La fracciones impropias tienen el numerador mayor al denominador y por lo tanto son mayores que 1.

Realicemos el gráfico de la fracción $\boldsymbol{\frac{6}{4}}$

Primero dibujamos un figura que represente al entero. En este caso es un cuadrado.

Ahora dividimos el entero en tantas partes como nos señale el denominador. El denominador de esta fracción es 4, así que dividimos al cuadrado en 4 partes iguales.

Luego pintamos las partes que nos indique el numerador. Como el numerador es 6, no es suficiente con una sola figura, así que dibujamos de nuevo otro cuadrado con 4 partes y pintamos las partes necesarias para llegar a 6. Ese será el gráfico de la fracción.

¿Sabías qué?

Siempre que el numerador sea mayor que el denominador será necesario que dibujemos más de un entero para representar la fracción.

¡A practicar!

Representa gráficamente las siguientes fracciones:

$\boldsymbol{\frac{4}{6}}$

Solución

$\boldsymbol{\frac{1}{4}}$

Solución

$\boldsymbol{\frac{7}{5}}$

Solución

representación en la recta numérica

La recta numérica es una línea recta sin principio ni final que contiene a todos los números. Ubicamos los números a partir del cero en segmentos iguales.

Entre el 0 y el 1, el 1 y el 2, o entre cualquier entero podemos encontrar fracciones. Todas estas también se pueden ubicar en la recta numérica.

Para ubicar las fracciones en la recta numérica solo tenemos que dividir la unidad en segmentos iguales según lo que indica el denominador y a partir del cero contamos tantos lugares como indique el numerador. Luego marcamos la fracción.

– Ejemplo:

Para representar en la recta numérica la fracción $\boldsymbol{\frac{2}{5}}$ sigue estos pasos:

Divide el espacio entre 0 y 1 en 5 partes iguales.
Cuenta desde el cero dos lugares porque el numerador es 2.
Ubica la fracción.

¿Sabías qué?

Para representar en la recta numérica fracciones impropias se usan fracciones mixtas. Estas fracciones están formadas por una parte entera y una fraccionaria.

Ubica las fracciones

¿Qué fracción se representa en esta recta numérica?

Solución

La fracción $\boldsymbol{\frac{7}{8}}$ .

Ubica en una recta numérica la fracción $\boldsymbol{\frac{2}{3}}$ .

Solución

VER INFOGRAFÍA

¿cómo se relacionan las fracciones y las divisiones?

Las fracciones son partes de un todo, es decir, son divisiones de ese todo. Por esta razón están directamente relacionadas una con la otra.

Toda fracción es una división sin resolver entre dos números: el numerador y el denominador.

Entonces, $\boldsymbol{\frac{1}{4}}$ es igual a $\boldsymbol{1\div 4}$ . Las dos son formas correctas de escribir una división.

¿Sabías qué?

Podemos expresar las fracciones con la raya horizontal o con una diagonal, por ejemplo, $\boldsymbol{\frac{3}{4}}$ es igual a $\boldsymbol{3/4}$ .

La representación de las horas

Un reloj analógico marca diferentes fracciones con el paso de las horas. En una hora hay cuatro cuartos de hora, así que, cuando decimos que pasaron 15 minutos después de las 12, realmente decimos que pasó 1/4 de hora. Cuando la aguja de los minutos (aguja larga) llega al 6 significa que pasó media (1/2) hora y a los 45 minutos pasaron 3/4 de una hora.

Actividades

1. ¿Cómo se lee la fracción 3/10? Realiza su gráfico.

Solución

3/10 se lee “tres décimos”.

Su gráfico es igual a este:

2. ¿Cómo se lee la fracción 5/12? Representa la fracción en la recta numérica.

Solución

5/12 se lee “cinco doceavos”.

En la recta se representa así:

3. Une cada fracción con su gráfico:

Solución

4. ¿Qué fracción está representada en la siguiente recta numérica?

Solución

La fracción 3/6.

5. ¿Qué fracción está representada en la siguiente recta numérica?

Solución

La fracción 1/5.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Partes y porciones”

Este recurso permitirá profundizar la representación en la recta numérica.

VER

Video “Cómo se lee una fracción”

Este recurso audiovisual explica, de manera clara, los pasos a seguir para nombrar fracciones al tiempo que las compara con la unidad.

VER

CAPÍTULO 5 / TEMA 5 (REVISIÓN)

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD | ¿QUÉ APRENDIMOS?

LOS PICTOGRAMAS

EL SER HUMANO SIEMPRE HA INTENTADO COMUNICARSE A TRAVÉS DE PINTURAS EN CAVERNAS O CON TALLADOS EN METALES Y MADERA. HOY DÍA TAMBIÉN LO HACEMOS Y EXPRESAMOS NUESTROS SENTIMIENTOS O DESEOS POR MEDIO DE IMÁGENES, COSA QUE LLAMAMOS “PICTOGRAMAS“. ESTOS PICTOGRAMAS SON USADOS EN SEÑALES DE TRÁNSITO, CARTELES PUBLICITARIOS, HISTORIETAS, AVISOS Y GRÁFICOS DE DE INFORMACIÓN QUE PUEDEN SER ENTENDIDOS POR TODAS LAS PERSONAS DEL MUNDO DE FORMA CLARA.

TABLAS

LOS DATOS RECOLECTADOS TRAS UNA ENCUESTA PUEDEN ORGANIZARSE EN UNA TABLA. UNA TABLA ES UN CUADRO FORMADO POR FILAS, COLUMNAS Y CELDAS. LAS COLUMNAS SON LAS HILERAS VERTICALES, LAS FILAS SON LAS HILERAS HORIZONTALES Y LAS CELDAS RESULTAN DE LA UNIÓN ENTRE UNA FILA Y UNA COLUMNA. PUEDEN HACERSE CON NÚMEROS, CON PICTOGRAMAS Y CON MÁS DE DOS DATOS.

GRÁFICO DE BARRAS

LOS GRÁFICOS DE BARRAS MUESTRAN CON RECTÁNGULOS UNA INFORMACIÓN. ESTOS GRÁFICOS EXPRESAN A TRAVÉS DE BARRAS EL VALOR DE UNA CATEGORÍA Y SON MUY ÚTILES PARA VER DE FORMA RÁPIDA CUÁL TIENE UN MAYOR VALOR O UN MENOR VALOR. PARA REALIZARLO EN NECESARIO QUE PRIMERO ORGANICEMOS LOS DATOS EN UNA TABLA.

LOS GRÁFICOS DE BARRAS PUEDEN SER VERTICALES, HORIZONTALES O APILADOS.

PROBABILIDAD

LA PROBABILIDAD ESTUDIA LA POSIBILIDAD DE QUE UN EVENTO OCURRA O NO. POR EJEMPLO, SI LANZAMOS UN PAR DE DADOS NO SABEMOS CON SEGURIDAD QUÉ NÚMERO SALDRÁ, PERO SÍ SABEMOS QUE SALDRÁ EN CADA UNO UN NÚMERO MENOR A 7. ESTOS SON SUCESOS ALEATORIOS EN LOS QUE INTERVIENE EL AZAR, ES DECIR, QUE NO PODEMOS PREDECIR.