Las sucesiones son secuencias ordenadas de términos que siguen una determinada regla de recurrencia o patrón. Estas pueden ser aritméticas o geométricas. Las aritméticas tienen una diferencia con el término anterior en una cantidad constante, por ejemplo, 2, 4, 6, 8,… En cambio, en las geométricas cada término (excepto el primero) es múltiplo del término anterior de la sucesión, por ejemplo, 2, 4, 8, 16, 32,… Las sucesiones se utilizan en las matemáticas, en entidades financieras, en ciencias naturales, en informática y hasta en el arte.
La espiral de Fibonacci se trata de una espiral áurea que podemos construir a partir de los números contenidos en la sucesión de Fibonacci: 1, 2, 3, 5, 8, 13,…
LA RECTA NUMÉRICA
La recta numérica es una representación gráfica unidimensional que nos permite ubicar los números reales (), lo cual resulta de gran utilidad para comparar valores o indicar soluciones de intervalos en las inecuaciones. Se caracteriza por poseer el cero centrado y se considera el origen de la recta; hacia la izquierda se ubican los números negativos y a la derecha los positivos. Entre dos números, será mayor el que esté más a la derecha. Existen métodos para representar con precisión algunos números radicales sobre la recta.
Las reglas graduadas son un ejemplo de rectas numéricas. En estas vemos las divisiones de las unidades enteras que equivalen a las décimas.
PLANO CARTESIANO
Es un sistema de representación bidimensional muy utilizado en matemática y otras áreas para la ubicación de puntos en el plano. Su nombre se debe al filósofo y matemático René Descartes, quien propuso su aplicación en el siglo XVII como una base del sistema de coordenadas rectangulares. Está formado por un eje horizontal denominado eje de las abscisas, que tradicionalmente denotamos con la letra x; y un eje vertical llamado eje de las ordenadas, que por lo general representamos con la letra y. Cada eje se comporta como una recta numérica que se prolonga hasta el infinito.
Por lo general, lo mapas contienen ejes de coordenadas que asemejan el plano cartesiano. Las unión de dos coordenadas dan la ubicación de un punto.
FUNCIONES
Son expresiones matemáticas que indican una relación de correspondencia entre un conjunto de partida y un conjunto de llegada. Para que una relación sea considerada función, debe cumplirse que cada elemento del dominio tenga una sola imagen en el conjunto de llegada. Las funciones pueden ser inyectivas, sobreyectivas o biyectivas.
Las funciones también se pueden clasificar de acuerdo con los operadores que contienen sus términos y estas pueden ser polinómicas, trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, entre otras.
FUNCIÓN LINEAL
La función lineal es un tipo de funciónpolinómica cuyo mayor grado de exponente es 1. Su representación gráfica es una línea recta que puede ser descrita a partir de la ecuación explícita: y = mx + b, donde m es la pendiente de la recta y b es su ordenada al origen. Si conocemos la función de la recta podemos graficarla por medio una tabla de valores que cumpla con las soluciones de la función.
Estas gráficas representan dos funciones lineales. Las que no pasan por el origen se llaman funciones afines. Con dos puntos como mínimo se puede construir la recta.
PROPORCIONES
Las proporciones son una medida que relaciona a dos razones mediante una constante. El cociente que resulta de dividir una razón de proporción se conoce como constante de proporcionalidad. Dos magnitudes son directamente proporcionales si al aumentar una cantidad, la otra también aumenta; o si al disminuir una cantidad, la otra también disminuye. En cambio, dos magnitudes son inversamente proporcionales si al incrementar el valor de una, el valor de la otra disminuye; o si al disminuir el valor de una, la otra aumenta.
La cantidad de productos que compramos son directamente proporcionales con el precio, ya que a medida que más compramos más dinero pagamos.
La proporción es una medida que utilizamos casi de manera intuitiva para expresar relaciones entre dos magnitudes, tales como la longitud, la masa, el tiempo o las unidades monetarias. El concepto de proporciones está implícito cuando graficamos funciones lineales o al aplicar una regla de tres.
Si para elaborar 10 panes se necesitan 300 g de harina y tú deseas preparar 20 panes, de seguro concluirás en que para duplicar la cantidad de panes, debes duplicar la cantidad de ingredientes, es decir, que utilizarás 600 g de harina. La relaciones (300 g de harina: 10 panes / 600 g de harina: 20 panes) se mantienen constantes, es decir, son proporcionales.
proporción numérica
Las proporciones expresan relaciones entre dos o más razones que se dan de manera constante, es decir, si el cociente entre dos razones (divisiones) diferentes da el mismo resultado, entonces, las dos razones son proporcionales. Supongamos que tenemos dos razones:
Decimos que ambas razones son proporcionales si se cumple que:
– Ejemplo:
, ya que y
Propiedad de las proporciones
En una proporción, siempre se debe cumplir que el producto de los valores medios, debe ser igual al producto de los valores extremos:
Donde:
a y d: valores extremos
b y c: valores medios
En el ejemplo anterior, porque 3 × 28 = 84 y 4 × 21 = 84.
– Otro ejemplo:
Determina si los rectángulos A y B son proporcionales.
Para saber si ambos rectángulos son proporcionales debemos comparar la relación de sus lados, en otras palabras, dividir la base entre la altura (o puede ser también la altura entre la base) de cada rectángulo, y si dicho cociente es el mismo, decimos que los rectángulos A y B son proporcionales.
Rectángulo A: (9,50 ÷ 7,50) = 1,27
Rectángulo B: (4,75 ÷ 3,75) = 1,27
Puesto que ambos rectángulos tienen la misma relación de proporción, concluimos en que sí son proporcionales.
PROPORCIONALIDAD DIRECTA
Dos magnitudes son directamente proporcionales si al aumentar una cantidad, la otra también aumenta; o si al disminuir una cantidad, la otra también disminuye. La razón entre dos cantidades siempre será la misma y se llama constante de proporcionalidad.
– Ejemplo:
El boleto para entrar al cine cuenta $ 2, 2 boletos cuestan $ 4, 3 boletos cuestan $ 6, …
Cantidad de boletos
Precio ($)
Constante de proporcionalidad
1
2
2/1 = 2
2
4
4/2 = 2
3
6
6/3 = 2
4
8
8/4 = 2
Observa que al dividir el valor de una magnitud entre otra, el resultado siempre es el mismo, es decir, es constante. Como una magnitud aumenta a medida que la otra aumenta, esta relación (cantidad de boletos-precio) es directamente proporcional.
¿Sabías qué?
Una magnitud es cualquier cualidad de un objeto que podemos medir, como la masa, la longitud, el tiempo o el número de alumnos, por ejemplo.
En una empresa se conoce que por cada artículo que se venda se obtiene una ganancia de $ 2/artículo, de manera que si se realiza una gráfica que relacione las ventas de artículos en función de las ganancias obtenidas, observaremos una recta inclinada en sentido creciente, lo que indica que la proporción es directa.
Desde el punto de vista gráfico podemos deducir que una proporción es directa si la recta que relaciona a los valores de una proporción es creciente de izquierda a derecha, es decir, si su pendiente es positiva.
¿Cómo resolver problemas de proporcionalidad directa?
Las proporciones, al igual que la regla de tres, se utilizan para resolver problemas de proporcionalidad. Sirven para hallar el cuarto término de una proporción si conocemos tres valores.
Lo primero que debemos ver en este problema son las magnitudes que intervienen, y en este caso son dos: el número de lápices y el precio. Ambas magnitudes son directamente proporcionales porque a medida que una aumenta también lo hace la otra.
De este problema conocemos 3 cantidades de estas magnitudes y desconoces una cuarta: lo que cuestan 9 lápices.
Resolvemso de la siguiente manera:
Lápices
Precio ($)
3
→
9
9
→
x
Planteamos la proporción, luego despejamos x:
Por lo tanto, 9 lápices costarán $ 27.
2. Un ciclista recorre 80 kilómetros en 2 horas. Si mantiene siempre la misma velocidad, ¿cuántos kilómetros recorrerá en 4 horas?
Horas
Kilómetros
2
→
80
4
→
x
Planteamos la proporción, luego despejamos x:
El ciclista recorrerá 160 kilómetros en 4 horas.
PROPORCIONALIDAD INVERSA
Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al incrementar el valor de una, el valor de la otra disminuye; o si al disminuir el valor de una, la otra aumenta. El producto entre dos cantidades siempre será la misma y se llama constante de proporcionalidad.
– Ejemplo:
Una empleada fabrica un paquete de cajas en 9 horas, dos empleadas fabrican un paquete en 4 horas y media, tres empleadas fabrican un paquete de cajas en 3 horas, …
Cantidad de empleadas
Horas
Constante de proporcionalidad
1
9
9 × 1 = 9
2
4,5
4, 5 × 2 = 9
3
3
3 × 3 = 9
4
2,25
2,25 × 4 = 9
Observa que al multiplicar el valor de una magnitud entre otra el resultado siempre es el mismo, es decir, es constante. Como una magnitud aumenta a medida que la otra disminuye, esta relación (cantidad de empleadas-horas) es inversamente proporcional.
Ciertas proporciones se dan de manera inversa. En la imagen observamos una gráfica que muestra una recta decreciente, la cual indica que al aumentar la dosis de antibiótico en un paciente, disminuye la concentración de bacterias en su organismo. La pendiente de esta recta sería negativa y su valor absoluto indicaría la constante de proporcionalidad.
¿Cómo resolver problemas de proporcionalidad inversa?
La regla de tres inversa o las mismas proporciones nos ayudan a resolver situaciones problemáticas que involucren magnitudes inversamente proporcionales.
– Ejemplo:
1. Si 10 albañiles pueden realizar una construcción en 30 días, ¿cuánto demorarán en realizar la misma construcción 20 albañiles?
Lo primero que vemos son las magnitudes: el número de albañiles y los días. Estas dos magnitudes son inversamente proporcionales porque a medida que una aumenta la otra disminuye.
Por lo tanto, planteamos las magnitudes conocidas y desconocidas:
Albañiles
Días
10
→
30
20
→
x
A partir de estas relaciones, planteamos la proporción. Como la relación es inversamente proporcional invertimos la segunda razón. Luego despejamos x:
Así que 20 albañiles demorarán 15 días en hacer la misma construcción.
2. En un campo, 12 caballos consumen una determinada cantidad de alimento en 3 días. Si la cantidad de caballos se triplica, ¿para cuántos días alcanza el alimento?
Como 12 × 3 = 36, realizamos la tabla con estos valores:
Caballos
Días
12
→
3
36
→
x
Planteamos la proporción, invertimos la segunda razón y luego despejamos x:
Por lo tanto, si se triplica la cantidad de caballo el alimento alcanzará para un día.
¡A practicar!
1. Determina si las siguientes razones son proporcionales:
a)
Solución
Sí, porque 5 × 49 = 245 y 7 × 35 = 245. Entonces,
b)
Solución
No, porque 64 × 9 = 576 y 21 × 8 = 168. Entonces,
c)
Solución
Sí, porque 11 × 52 = 572 y 13 × 44 = 572. Entonces,
2. Los rectángulos A y B son proporcionales, ¿qué altura debe tener X para que el rectángulo A sea proporcional al rectángulo B?
Solución
X debe ser igual a 6 m.
3. Dada la siguiente tabla de valores, determina la constante de proporcionalidad que relaciona los valores:
x
y
Constante
2
3
5
7,5
6
9
8
12
Solución
x
y
Constante
2
3
3 ÷ 2 = 1,5
5
7,5
7,5 ÷ 5 = 1, 5
6
9
9 ÷ 6 = 1,5
8
12
12 ÷ 8 = 1,5
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Proporcionalidad directa e inversa”
En este artículo encontrarás una explicación y ejemplos relacionados con los cálculos de proporcionalidad.
Cuando dos magnitudes se relacionan de manera directamente proporcional pueden representarse como una función de expresión algebraica y = mx + b. Estas funciones pueden identificarse rápidamente por medio de su gráfica, pues en el plano cartesiano siempre estarán representadas con una línea recta ascendente o descendente.
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
Si conocemos la función matemática que relaciona a dos variables, podemos construir su gráfica, o al menos una aproximación de ella. Para esta tarea solo calculamos, a partir de la función, una serie de puntos que cumplan con la solución. Debemos tener en cuenta que cuantos más puntos utilicemos para graficar una función, mayor precisión obtendremos.
Algunas funciones matemáticas tienen gráficas características en el plano cartesiano, por ejemplo:
Funciones lineales
f(x) = mx + b
Funciones potenciales
f(x) = x2
Funciones exponenciales
f(x) = 2x
Funciones irracionales
f(x) = √x
Funciones racionales
f(x) = 1/x
Funciones trigonométricas
f(x) = sen x
Las funciones lineales se denominan de esta manera ya que su gráfica característica en el plano cartesiano se representa como una recta. Para trazar de forma correcta esta línea, basta con que conozcamos dos puntos en el plano. Por lo general se determinan si calculamos los cortes con los ejes o por medio de la ecuación de la recta.
¿Qué es una función lineal?
Una función lineal es una función cuya gráfica es igual a una línea recta que pasa por el origen de coordenadas. Su expresión algebraica es la siguiente:
f(x) = mx
Donde:
m = constante de proporcionalidad o pendiente de la recta
¿Sabías qué?
Las funciones lineales también son llamadas “funciones de proporcionalidad directa”.
– Ejemplo:
Un tren tiene una velocidad media de 160 km/h. La relación entre la distancia y el tiempo se puede observa en la siguiente tabla:
Tiempo (h) = x
0
1
2
3
4
Distancia (km) = y
0
160
320
480
640
Por medio de esta tabla vemos que las dos magnitudes (tiempo y distancia) son directamente proporcionales porque a medida que una aumenta, la otra también lo hace. Si realizamos una gráfica entre estas dos magnitudes nos resulta una línea recta como esta:
Nota que la recta pasa por el origen (0, 0) y va en aumento, por lo tanto, la recta es continua y creciente. La constante de proporcionalidad es 160, así que la expresión algebraica de esta función es:
f(x) = 160x
Función afín
Una función afín es un tipo de función lineal que no pasa por el origen de coordenadas. Su expresión algebraica es:
f(x) = mx + b
Donde:
m = pendiente de la recta
b = ordenada en el origen: la recta corta al eje de ordenada en el punto (0, n)
– Ejemplo:
Se ha determinado el pago de agua en una casa. Cada recibo indica que por cada metro cúbico de agua consumida se pagan $ 5, mientras que por la distribución y depuración se pagan $ 10. Con estos datos elaboramos la siguiente tabla:
Agua consumida (m3) = x
0
1
2
3
4
Pago ($) = y
10
15
20
25
30
La expresión algebraica de esta función es f(x) = 5x + 10, cuya gráfica se muestra a continuación:
Observa que la línea recta no pasa por el origen, sino que corta en el punto (0, 10).
La función de costo lineal se usa frecuentemente en las operaciones de las pequeñas empresas. El costo es el total de dinero necesario para producir q unidades de un producto. La función se representa con la expresión C(q) que incluye tanto a los costos fijos (independientes) como a los costos variables (dependientes).
ecuación de la recta
La ecuación de la recta es una expresión algebraica que describe una línea recta y relaciona la variación de y con respecto a x, la cual se puede graficar en el plano cartesiano según los componentes en cada uno de los ejes. De manera general la ecuación de una recta se representa así:
y = mx + b
Donde:
y = eje de las ordenadas
x = eje de las abscisas
m = pendiente de la recta
b = punto de intersección de la recta con el eje y
Para determinar la pendiente de la recta usamos la fórmula:
– Ejemplo:
Hallemos la pendiente de la recta que pasa por los puntos A (−1, 1) y B (1, 7).
Primero identificamos los valores de los ejes. Como ya sabemos, los pares ordenados siempre tienen primero la coordenada del eje x y luego de la coma va la coordenada del eje y; entonces:
En el punto A (−1, 1), x1 = −1 y y1 = 1
En el punto B (1, 7), x2 = 1 y y2 = 7
Ahora solo sustituimos en la fórmula general:
Sabemos que la ecuación de esta recta es y = mx + b porque no pasa por el origen, es decir, representa una función afín. También sabemos que la pendiente (m) es 3, por lo tanto, y = 3x + b; así que faltaría hallar el valor de b.
Para calcula b podemos tomar cualquiera de los puntos A o B. Planteamos la ecuación y luego despejamos.
De este modo sabemos que la recta que pasa por los puntos A y B tiene por ecuación:
y = 3x + 4
Pendiente de la recta y = mx
Para un función lineal f(x) = mx, el coeficiente m se llama pendiente y representa el aumento o disminución de la variable dependiente en relación a la variable independiente.
– Ejemplo:
En la función f(x) = −3x, la pendiente es −3.
En la función f(x) = 5x, la pendiente es 5.
En una gráfica, la pendiente de una recta representa la inclinación de la misma respecto del eje x. La podemos hallar al dividir el valor de la variable dependiente entre el valor de la variable independiente.
– Ejemplo:
Esta gráfica muestra tres líneas rectas que pasan por el origen, así que cada una representa a un función lineal de forma f(x) = mx.
Para saber la pendiente de la recta solo debemos fijarnos en cualquiera de sus puntos y hallar su cociente.
Recta a
Recta b
Recta c
Valor de la pendiente
Si m es positiva, significa que la recta es creciente de izquierda a derecha.
Si m es negativa, significa que la recta es decreciente de izquierda a derecha.
Si m es cero, significa que la recta no posee inclinación respecto al eje horizontal, es decir, se trataría de una recta paralela al eje horizontal.
Una función lineal es una función polinómica de primer grado, es decir, el mayor exponente de x es 1. Para expresar cualquier tipo de recta, pase o no por el origen, se utiliza la ecuación explícita de la recta: y = mx + b. Donde y es la variable dependiente, x es la variable independiente, m es la pendiente y b es la ordenada al origen.
¿cómo Graficar una función lineal?
Dada la ecuación de la recta y = 2x + 3. La pendiente es 2 y el punto de intersección de la recta con el eje y es igual a 3. Para determinar el valor de y es necesario darle valores a x y efectuar la operación correspondiente, de la siguiente manera:
Si x = 1 y = 2(1) + 3 y = 2 + 3 y = 5
Si x = 2 y = 2(2) + 3 y = 4 + 3 y = 7
Si x = 3 y = 2(3) + 3 y = 6 + 3 y = 9
Si x = −1 y = 2(−1) + 3 y = −2 + 3 y = 1
Si x = −2 y = 2(−2) + 3 y = −4 + 3 y = −1
Si x = −3 y = 2(−3) + 3 y = −6 + 3 y = −3
Para obtener una recta bien definida es recomendable utilizar al menos tres puntos. Será de gran ayuda realizar una tabla de valores en la que observes las coordenadas de cada punto como esta:
x
y
Punto
−3
−3
(−3, −3)
−2
−1
(−2, −1)
−1
1
(−1, 1)
1
5
(1, 5)
2
7
(2, 7)
3
9
(3, 9)
Si usamos esta tabla como guía es más sencillo realizar la gráfica de la función.
Nota que la recta se corta en el punto (0, 3), pues b = 3.
¡A practicar!
1. Dadas las siguientes funciones, determina:
a. Pendiente (m)
b. Ordenada al origen (b)
f(x) = 2x − 6
Solución
b = −6
m = 2
f(x) = −x + 4
Solución
b = 4
m = −1
f(x) = 13/5x − 2
Solución
b = −2
m = 13/5
2. Construye una tabla con los siguientes valores de x para cada función.
x = −2, −1, 0, 1, 2, 3
f(x) = −x + 2
Solución
x
y
−2
4
−1
3
0
2
1
1
2
0
3
−1
f(x) = 5x − 3
Solución
x
y
−2
−13
−1
−8
0
−3
1
2
2
7
3
12
f(x) = 3x
Solución
x
y
−2
−6
−1
−3
0
0
1
3
2
6
3
9
f(x) = −2x + 1
Solución
x
y
−2
5
−1
3
0
1
1
−1
2
−3
3
−5
3. Realiza la gráfica de las siguientes funciones:
f(x) = −x + 2
f(x) = −2x + 1
Solución
f(x) = −x + 2
f(x) = −2x + 1
4. Dada la siguiente gráfica, determina:
a. Pendiente de la recta.
b. Ecuación de la recta.
Solución
a. m = −1
b. y = −x + 9
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Función Lineal”
En este artículo podrás encontrar ejercicios relacionados con la construcción de gráficas de funciones lineales a partir de su ecuación explícita, además de problemas de enunciados.
Una función es una relación entre variables en la que cada valor de una variable corresponde a un único valor de la otra. Por ejemplo, el peso en kilogramos de manzanas y el precio del kilogramo de ese producto son magnitudes relacionadas que representan una función, pues a cada número de kilogramos le corresponde un precio específico. La forma en las que las variables se relacionan determina el tipo de función.
Imagina que las funciones son máquinas que transforman números. Los valores del conjunto de entrada pasan por esta máquina y lo transforma en un nuevo producto que serían los valores del conjunto de salida. Este conocimiento sentó las bases del análisis del comportamiento teórico de las ondas de corriente alterna.
¿QUÉ ES UNA FUNCIÓN?
Es una expresión que indica una relación de correspondencia entre dos conjuntos. Siempre se debe cumplir que todo elemento del conjunto de partida tenga una única relación con algún elemento del conjunto de llegada.
Conjunto: es el grupo de elementos que no se repiten.
Dominio: es el conjunto de partida. Lo denotamos como Dom f.
Rango: son los elementos del codominio que se obtienen al aplicar la función. Se abrevia Rg f.
Codominio: es el conjunto de llegada. Se denota como Codom f.
Si denotamos al conjunto de partida con la letra A, al de llegada con la letra B y a la función que los relaciona con f, entonces, el diagrama sagital para indicar la relación entre A y B, sería:
Esta función se puede expresar como:
f: A → B = {(a, 3), (b, 2), (c, 6), (d, 1), (e, 4)}
Donde el dominio y el rango son:
Dom f = {a, b, c, d, e}
Rg f = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Si alguno de los elementos del conjunto de partida no tiene imagen en el conjunto de llegada, o bien, si posee más de una imagen en el conjunto de llegada, serían relaciones, pero no son funciones. Por ejemplo:
Esta relación no corresponde a la definición de función, ya que hay un elemento del conjunto de partida (a) que no tiene ninguna imagen en el conjunto de llegada.
Esta relación tampoco es una función, ya que un elemento del conjunto de partida (d) que tienen dos imágenes diferentes en el conjunto de llegada (1 y 5).
El estudio y uso de las funciones data del siglo XVII, cuando los matemáticos René Descartes y luego Leibniz y Newton las definieron como una manera de establecer relaciones entre dos variables. Posteriormente, el término “funciones” ha sido extendido a otras áreas de las ciencias e incluso en aplicaciones que contienen más de dos variables.
¿Cómo representar una función?
Existen diversas maneras de representar funciones matemáticas, entre ellas, las más comunes son las siguientes:
Diagrama sagital
Forma algebraica
Gráfico de la función
Es un gráfico compuesto por formas cerradas que representan los conjuntos que se relacionan a través de flechas.
Es la expresión algebraica de la función.
Es la relación gráfica de ambas variables. Cada eje representa un conjunto y la unión de los puntos muestra el comportamiento de la función.
TIPOS DE FUNCIONES
Función inyectiva
Es una función en la cual a cada elemento del rango le corresponde una única imagen en el dominio o conjunto de partida.
– Ejemplo:
f(x) = 3x − 2
Evaluada en los números enteros , para:
x = −2, −1, 0, 1, 2
Al sustituir en f(x) = 3x − 2, tenemos:
f(−2) = 3(−2) − 2 = −8
f(−1) = 3(−1) − 2 = −5
f(0) = 3(0) − 2 = −2
f(1) = 3(1) − 2 = 1
f(2) = 3(2) − 2 = 4
Así que podemos expresar:
Dom f = {−2, −1, 0, 1, 2}
Rg f = {−8, −5, −2, 1, 4}
Función sobreyectiva
Una función es sobreyectiva cuando cada elemento del rango es imagen de al menos un elemento del dominio.
– Por ejemplo:
f(x) = 2x
Evaluada en los números enteros , para:
x = −2, −1, 0, 1, 2
Sustituyendo en f(x) = 2x, tenemos:
f(-2) = 2(−2) = −4
f(−1) = 2(−1) = −2
f(0) = 2(0) = 0
f(1) = 2(1) = 2
f(2) = 2(2) = 4
Podemos expresar:
Dom f = {−2, −1, 0, 1, 2}
Rg f = {−4, −2, 0, 2, 4}
El diagrama sagital para el dominio y rango de la función sería:
Función biyectiva
Una función es biyectiva, cuando es inyectiva y sobreyectiva a la vez.
En la imagen observamos que cada botón del elevador está asociado a un único apartamento, de manera que si establecemos una analogía con las funciones biyectivas, el dominio estará formado por cada botón (enumerados del 1 al 8), y el rango está conformado por cada apartamento, desde la conserjería, hasta el apartamento 4º 2ª.
– Ejemplo:
f(x) = x
Evaluada en los números enteros , para:
x = −2, −1, 0, 1, 2
Al sustituir en f(x) = x, tenemos:
f(−2) = −2 = −2
f(−1) = −1 = −1
f(0) = 0 = 0
f(1) = 1 = 1
f(2) = 2 = 2
Podemos expresar:
Dom f = {−2, −1, 0, 1, 2}
Rg f = {−2, −1, 0, 1, 2}
Otra clasificación
Si ahora clasificamos las funciones de acuerdo con los operadores matemáticos que contienen, podemos agrupar las funciones en algunas de las siguientes categorías:
Funciones polinómicas: son funciones compuestas por la suma o resta de términos que tienen la forma ax2, conocidos como monomios, por ejemplo:
f(x) = −6x4 + 11x3 − 7x2 − x − 5
Funciones logarítmicas: son funciones que contienen entre sus términos al logaritmo, por ejemplo:
f(x) = logax, para a ˃ 1, y 0 ˂ a ˂ 1
¿Sabías qué?
La función logarítmica solo está definida para los números reales positivos (), ya que no existe para los números negativos.
La función logarítmica es la inversa de la función exponencial.
Funciones exponenciales: son aquellas que están formadas por una base constante y la variable independiente se encuentra en el exponente, digamos:
f(x) = −125x
Funciones trigonométricas: son las que se caracterizan por contener funciones trigonométricas en al menos uno de sus términos, por ejemplo:
f(x) = 9 · cos(−6x2) + sen2(8x) = 17
FUNCIONES EN LA VIDA COTIDIANA
Muchos avances tecnológicos y científicos han involucrado el uso de funciones. Tal es el caso del lanzamiento de cohetes, satélites y naves al espacio. En este tipo de aplicaciones, se requiere del conocimiento y dominio de varios tipos de funciones matemáticas como las logarítmicas y exponenciales, además de estudios avanzados en el área de física.
Son infinitas las utilidades que tienen las funciones tanto en la vida diaria como en ciertas áreas del conocimiento, que van desde las ciencias exactas, hasta la medicina y las ciencias naturales. A continuación, te mencionamos algunos ejemplos:
Para describir el movimiento de un cuerpo. Por ejemplo, si estudiamos el movimiento de un vehículo que se desplaza por una carretera recta, podemos determinar la distancia horizontal a la que se encuentra de un origen en cualquier instante de tiempo. Esto es posible mediante una ecuación polinómica que describe la posición horizontal de una partícula en función del tiempo.
Para determinar el crecimiento demográfico. Algunas poblaciones muestran crecimientos que los científicos has demostrado que obedecen a funciones exponenciales. Mediante dichas funciones es posible estimar la cantidad de habitantes que habrá en una zona en un determinado periodo de tiempo.
Para saber la velocidad de reproducción de colonias de bacterias. Muchas colonias de bacteria se reproducen a una tasa exponencial, por lo que si se determina la función que describe este comportamiento, los científicos pueden calcular la cantidad de colonias de bacterias en un espacio y tiempo específico.
¡A practicar!
1. Indique si la siguiente relación de conjuntos es una función. Justifique su respuesta.
Solución
Sí es una función, ya que cada elemento del conjunto de partida tiene una sola imagen en el conjunto de llegada.
2. Evalúa la función f(x) = 5x − 4 para el conjunto de los números enteros en el dominio Dom f = {−2, −1, 0, 1, 2}, e indica si es una función inyectiva, sobreyectiva o biyectiva.
Solución
Evaluada en los números enteros , para:
x = −2, −1, 0, 1, 2
Al sustituir en f(x) = 5x − 4, tenemos:
f(−2) = 5(−2) − 4 = −14
f(−1) = 5(−1) − 4 = −9
f(0) = 5(0) − 4 = −4
f(1) = 5(1) − 4 = 1
f(2) = 5(2) − 4 = 6
Podemos expresar:
Dom f = {−2, −1, 0, 1, 2}
Rg f = {−14, −9, −4, 1, 6}
Es una función inyectiva, ya que a cada elemento del dominio le corresponde una imagen diferente del rango.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva”
En este artículo encontrarás la descripción general de los tipos de funciones a partir de su definición, características, representación y ejemplos.
El plano cartesiano fue propuesto por René Descartes en el siglo XVII y desde entonces ha sido una herramienta empleada en múltiples áreas del conocimiento. Su uso radica principalmente en la ubicación de puntos en el plano y en el análisis de figuras geométricas.
¿QUÉ ES EL PLANO CARTESIANO?
El plano cartesiano es una representación gráfica de dos rectas numéricas que se intersecan de forma perpendicular, por lo que forman cuatro cuadrantes como se muestra:
En cada cuadrante del plano cartesiano podemos ubicar infinitos puntos, los cuales se definen mediante un par ordenado expresado de esta manera: (coordenada en x, coordenada en y).
El plano cartesiano es un sistema de ejes de coordenadas muy útiles para ubicar e identificar puntos en un plano. Este sistema se aplica en radares y mapas a nivel mundial, razón por la que actualmente podemos localizar cualquier persona o ciudad de forma rápida solo con ver una cuadrícula en un mapamundi o con un simple botón en el celular.
ELEMENTOS DEL PLANO CARTESIANO
El plano cartesiano está formado por un eje horizontal denominado eje de las abscisas, que tradicionalmente denotamos con la letra x; y un eje vertical llamado eje de las ordenadas, que por lo general representamos con la letra y. Cada eje se comporta como una recta numérica que se prolonga hasta el infinito.
Ambos ejes se intersecan a 90 grados en el origen (0, 0). Hacia la derecha del eje x están las coordenadas positivas y a la izquierda, las negativas. En el eje y tenemos las coordenadas positivas hacia arriba y las negativas hacia abajo. Además, debemos mostrar una escala sobre los ejes como se muestra a continuación.
Los ejes son la base para la construcción del plano cartesiano, el cual se forma con la intersección del eje x y el eje y en el origen. El eje x se llama también eje de las abscisas y el eje y, eje de las ordenadas. El par de número que resulta de la unión de dos datos de cada eje se llama par ordenado. Estos se escriben separados por una coma dentro de paréntesis.
UBICACIÓN DE PUNTOS EN EL PLANO
Los puntos a ubicar en el plano cartesiano deben venir expresados en pares ordenados, es decir, un valor que indique las coordenadas en x e y que tendrá dicho punto. Convencionalmente, el primer valor corresponde al eje x y el segundo al eje y. Por ejemplo, el par ordenado (−6, 5) significa que el punto se encuentra a 6 unidades a la izquierda del origen (0) y 5 unidades por encima del origen. Vemos los siguientes ejemplos:
Ubiquemos el punto (4, −3)
Al igual que en la recta numérica, podemos representar la escala de los números enteros de uno en uno. Ubicamos el primer valor que se indica en el par ordenado sobre el eje x, es decir, 4. Luego localizamos el segundo número del par ordenado, o sea, −3 en el eje y.
A continuación, trazamos dos líneas guías: una vertical que pase por la coordenada de x, y una horizontal que pase por la coordenada de y. A estas líneas se les conocen como proyecciones ortogonales. El lugar donde ambas líneas se intersecan es la ubicación del punto. Sin embargo, es frecuente que el plano cartesiano se dibuje sobre una hoja cuadriculada o papel milimetrado, de modo que ya se tengan todas las líneas guías y sea más fácil la ubicación del punto.
Uso de la escala
Puedes seleccionar una escala conveniente en los ejes para que puedas ubicar de manera sencilla los puntos; por ejemplo, si deseas ubicar el punto de coordenadas (1.500, −4.500), no resulta práctico que hagamos un plano y que contemos de 1 en 1 hasta 4.500 divisiones. En ese caso, podemos tomar cada división equivalente a 500 unidades.
Ubiquemos el punto (−1,5, 2)
El procedimiento a seguir para ubicar número decimales es el mismo que en el ejemplo anterior, sin embargo, tomaremos una escala diferente. Como las coordenadas a ubicar en el plano son −1,5 y 2; podemos asignarle a cada división un valor de 0,5 unidades como se muestra a continuación:
¿Sabías qué?
Se dice que las primeras ideas del plano cartesiano le surgieron a René Descartes a muy temprana edad mientras observaba una mosca en el techo y se preguntaba cómo podía indicar su posición en el plano a partir de dos coordenadas.
Ubiquemos el punto (8, 4)
Aplicamos de nuevo el mismo procedimiento, pero en esta ocasión, como se trata de números más elevados, tomaremos la escala de 2 en 2 unidades; es decir, que cada división, equivale a 2 unidades.
EMPLEO DEL PLANO CARTESIANO
Aunque en matemática es común que utilicemos el plano cartesiano para representar puntos, vectores o funciones al relacionar dos variables espaciales (posición en x y posición en y), el empleo del plano cartesiano no se limita solo a eso. En física, por ejemplo, se suele utilizar para relacionar la posición y el tiempo, o el comportamiento del voltaje en función de la resistencia. En geografía, puede ser aplicado para observar el crecimiento demográfico a lo largo del tiempo. En finanzas, por otra parte, es de utilidad para representar las ganancias de una empresa en función de sus ventas.
El plano cartesiano es muy utilizado para representar funciones que relacionan dos variables, e incluso podemos graficar varias funciones sobre un mismo diagrama, lo cual nos permite identificar puntos de corte entre las curvas, simetrías, proporciones y otras características que tal vez no resultan tan evidentes a partir de las ecuaciones.
Diagramas en el plano
Estos diagramas pueden tener diversas aplicaciones, por ejemplo, de izquierda a derecha en la imagen observamos: 1) la representación de un número complejo como un par ordenado, 2) una campana gaussiana estudiada en estadística en distribuciones normales o 3) la superposición de tres gráficas que pueden ser ondas de vibraciones.
¡A practicar!
1. Ubica los siguientes puntos en el plano cartesiano:
a) (0,5, −2)
Solución
b) (5, −5)
Solución
c) (−12, 8)
Solución
d) Dada la siguiente gráfica, indica el par ordenado del siguiente punto en el plano cartesiano:
Solución
(10, −16)
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Plano cartesiano”:
Este artículo ofrece información sobre los elementos que conforman el plano cartesiano, así como también la explicación para ubicar puntos en coordenadas rectangulares.
En este artículo encontrarás el contenido relacionado con la representación puntos en el plano cartesiano, así como actividades lúdicas con aplicaciones del plano cartesiano.
Se trata de una herramienta muy útil para representar de forma ordenada los números reales en una dimensión, de manera que podamos visualizar con facilidad aspectos como la secuencia y la relación entre varios números, así como también soluciones de inecuaciones. Fue propuesta por John Wallis y es la base para la construcción del plano cartesiano.
Al igual que en la recta numérica, los números de las escalas en los instrumentos de medición, tales como una regla o cinta métrica, se encuentran ubicados de forma ordenada y con números consecutivos equidistantes. Las divisiones pueden a su vez contener subdivisiones para expresar fracciones o decimales de una medida.
ELEMENTOS DE UNA RECTA NUMÉRICA
Los elementos que podemos incluir en una recta numérica son muy variables, ya que dependerán del uso que hagamos de ella; pero, en esencia, la recta numérica está conformada por una recta horizontal en la que se indican generalmente los números enteros () con un origen (0) ubicado en el centro. Sin embargo, esta recta no es exclusiva de los números enteros, ya que en ella podemos representar cualquier número real ().
A la izquierda del cero se encuentran los números negativos y hacia la derecha los positivos. Además, suponemos que la prolongación de los extremos de la recta representa el infinito tanto positivo (a la derecha) como negativo (a la izquierda).
Los valores en la recta numérica se pueden representar de uno en uno, pero también se puede seleccionar a conveniencia una escala diferente, por ejemplo, de 0,5 en 0,5; o bien, de 3 en 3. También, podemos subdividir cada espacio en la recta real para representar números decimales o fracciones.
La escala de la regla es equivalente a la sección positiva de una recta numérica con una cantidad finita de números. En este caso, los centímetros son la escala principal y las subdivisiones representan los milímetros que proporcionan la parte decimal de una medida. A la menor medida que se pueda obtener con un instrumento se le denomina apreciación.
EL ORDEN DE LOS NÚMEROS
En la recta numérica los números están ordenados en forma ascendente de izquierda a derecha, es decir, si se comparan dos números, será mayor el que se localice más a la derecha.
Como ya hemos visto, cada división puede subdividirse para representar fracciones, las cuales pertenecen al conjunto de los números racionales (). Si para una determinada fracción realizamos la división del numerador entre el denominador, encontraremos su expresión decimal equivalente, es decir, toda fracción se puede expresar como un decimal; sin embargo, no todos los decimales tienen una fracción generatriz.
Los números decimales que no podemos expresar en fracciones pertenecen al conjunto de los números irracionales (), por ejemplo, el valor o la constante . A su vez, los números irracionales son un subconjunto de los números reales.
¿Sabías qué?
Los números negativos fueron aceptados universalmente e incluidos en la recta numérica a finales del siglo XVIII.
La constante π (pi) es un valor que contiene infinitos dígitos no periódicos en su parte decimal, por lo que pertenece al conjunto de los números irracionales. Su ubicación exacta en la recta real supone un inconveniente, por lo que se suele realizar un redondeo, por ejemplo, hasta la centésima (3,14) al momento de representar su valor en la recta numérica.
Podemos utilizar la longitud de segmentos de línea a escala sobre la recta numérica para efectuar operaciones de suma y resta. Por ejemplo:
Si queremos sumar 3 + 5, a partir del 0 representamos de izquierda a derecha un segmento de recta de longitud igual a 3 unidades y seguidamente dibujamos de izquierda a derecha otro segmento de longitud igual a 5 unidades. El resultado, será el valor indicado desde cero hasta donde llegue el último segmento trazado:
Ahora bien, si queremos restar 6 − 4, a partir de 0 debemos dibujar de izquierda a derecha una recta de longitud 6 unidades y luego, donde termina dicha recta, trazamos ahora de derecha a izquierda otra recta de longitud 4 unidades (quedará sobre el primer segmento dibujado). El resultado, será el valor indicado desde cero hasta el punto donde coinciden los dos segmentos de recta:
¿CÓMO UBICAR UN RADICAL EN LA RECTA NUMÉRICA?
Algunos números, en especial los radicales, resultan complicados de ubicar con precisión en la recta real, sin embargo, en algunos casos podemos hacer uso del teorema de Pitágoras y un compás, para determinar la ubicación precisa de estos valores.
Cabe destacar que este método es útil cuando podemos expresar el radical como la suma de dos términos que tienen raíces exactas, digamos: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49… entre otros.
Uno de los legados más conocidos del filósofo griego Pitágoras fue el teorema que lleva su nombre, el cual establece que en cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los catetos. Hasta la fecha, este se considera uno de los teoremas más utilizados en la matemática y la física clásica.
Por ejemplo, si deseamos ubicar en la recta numérica el procedimiento es el siguiente:
Descomponemos el número dentro del radical como la suma de dos términos con raíces enteras:
Expresamos cada término como la suma de dos cuadrados, es decir, cada término será la raíz de ese valor elevado al cuadrado:
Si hacemos la analogía con el teorema de Pitágoras:
La base de cada cateto a y b son los valores de los términos que están elevados al cuadrado dentro de la raíz, es decir, 3 y 2.
Para representar el radical en la recta numérica, a partir del cero (0) se construye un rectángulo de base a y altura b (o viceversa); y la diagonal que parte de cero a la otra esquina será la hipotenusa del triángulo rectángulo que quedará con la medida del radical que deseas ubicar.
Con un compás, hacemos centro en el origen 0 y con abertura equivalente a la diagonal (hipotenusa), trazamos un arco de circunferencia hasta que corte la recta numérica y ese será el valor del radical que deseamos ubicar: .
Ubica los siguientes valores en la recta numérica:
a)
Solución
b)
Solución
c) −0,5
Solución
d) Ubica en la recta numérica el valor de
Solución
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “La recta numérica”
En este artículo encontrarás contenido relacionado con la ubicación de los diferentes conjuntos de números en la recta real, y en particular, la explicación de cómo ubicar un número irracional en dicha recta.
Las sucesiones son series de números con un orden establecido llamado patrón. Algunas tienen un patrón en el que se suman o restan cantidades constantes, mientras que en otras el patrón se forma por medio de la multiplicación o división de cantidades constantes. Hoy aprenderemos cómo se llaman estos tipos de sucesiones y cómo calcular sus términos generales.
Las sucesiones forman parte de nuestra vida cotidiana. Incluso desde muy temprana edad ya están presentes de manera implícita en actividades que van desde aprender a contar hasta el cálculo de intereses compuestos de créditos bancarios. Las sucesiones se aplican cuando aprendemos a multiplicar o en programación para el diseño de videojuegos, por ejemplo.
¿QUÉ ES UNA SUCESIÓN?
Una sucesión es una secuencia ordenada de números o elementos que obedecen a un patrón o regla de formación particular. Por ejemplo, veamos la siguiente sucesión:
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 …
En este caso, la sucesión está formada por números ordenados que reconocemos como cifras pares. Los puntos suspensivos al final nos indican que la sucesión es infinita.
Nota que cada número es 2 unidades superior al anterior, por lo tanto, el patrón de la sucesión consta de sumar 2.
¿Sabías qué?
Los elementos de una sucesión se llaman “terminos”.
Si denominamos a1 al primer término de la sucesión, a2 al segundo término, a3 al tercer término, y así sucesivamente, podemos determinar la regla de sucesión que sigue hasta el enésimo valor que llamaremos an. Los subíndices indican el lugar que ocupa cada elemento en la sucesión.
Observa que:
a1 = 2
a2 = 4
a3 = 6
a4 = 8
an = 2n
A partir de este análisis podemos obtener el término general de la sucesión:
an = 2n
Donde n es cualquier número entero. Por ejemplo, si n = 5, el quinto término de la sucesión es:
a5 = 2 × 5 = 10
Los término a20 y a25 de esta misma sucesión son los siguientes:
a20 = 2 × 20 = 40
a25 = 2 × 25 = 50
¿Qué es el término general de la sucesión?
Es el término que ocupa el enésimo lugar en la sucesión. Se escribe con la letra que denota la sucesión y el subíndice n. Por ejemplo, an.
Leonardo Pisa dio a conocer el uso de las sucesiones de Fibonacci en la solución de problemas (aunque ya se las usaban muchos años atrás). La espiral de Fibonacci, se construye trazando arcos circulares entre dos diagonales de cuadrados adosados, cuyos lados equivalen a los términos de la sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…
Existen varias maneras de clasificar las sucesiones, por ejemplo, podemos decir que las sucesiones pueden ser finitas, o infinitas. Sin embargo, también podemos clasificarlas de acuerdo a la diferencia o a la razón entre sus términos. En estos casos hablamos de sucesiones aritméticas y geométricas.
Sucesiones aritméticas
Son aquellas en las que cada término, con excepción del primero, tiene una diferencia con el término anterior en una cantidad constante. Por ejemplo:
20.000, 22.000, 24.000, 26.000, ..
Esta es una sucesión aritmética porque la diferencia entre un término y el siguiente es la misma en cada caso, es decir, la diferencia es constante.
A esta diferencia, denominada diferencia común y representada como d, la podemos obtener por medio de una resta entre cualquier término y su término anterior. Para la sucesión antes señalada la diferencia común d es:
d = 22.000 − 20.000 = 2.000
d = 24.000 − 22.000 = 2.000
d = 26.000 − 24.000 = 2.000
Observa que sin importar el término que elijas la diferencia siempre será la misma.
– Otro ejemplo:
Para la siguiente sucesión:
5, 1, −3, −7, −11, −15, …
La diferencia común d = −4 porque:
d = 1 − 5 = −4
d = −3 − 1 = −4
d = −15 − (−11) = −4
¡Es tu turno!
Observa estas sucesiones aritméticas, ¿cuál es la diferencia común d?
−15, −12, −9, −6, −3, 0, 3, …
Solución
d = 3
230, 345, 460, 575, 690, 805, …
Solución
d = 115
Término enésimo de una sucesión aritmética
El término enésimo de una sucesión aritmética con un primer término a1 y una diferencia común d es el siguiente:
an = a1 + d(n − 1)
– Ejemplo:
Para la siguiente sucesión:
−3, −1, 1, 3, 5, …
La diferencia común d = 2 porque:
d = −1 − (−3)
d = 2
Por lo tanto, si a1 = −3 y d = 2, el término enésimo de la sucesión es:
an = a1 + d(n −1)
an = −3 + 2(n − 1)
an = −3 + (2n − 2)
an = −3 + 2n − 2
an = 2n − 5
Entonces, si queremo determinar a10, a12 y a15 solo aplicamos:
a10 = 2n − 5 = 2 (10) − 5 = 20 − 5
a10 =15
a12 = 2n − 5 = 2 (12) − 5 = 24 − 5
a12 = 19
a15 = 2n − 5 = 2 (15) − 5 = 30 − 5
a15 = 25
Podemos considerar los ahorros como una sucesión aritmética. Por ejemplo, si tenemos $ 10 ahorrados y cada mes le sumamos $ 2, los primeros cuatro meses podríamos representarlos como: 10, 12, 14, 16, … Entonces, si a1 = 10 y la diferencia común d = 2, el término enésimo de esta sucesión sería: an = 8 + 2n. Calcula cuánto podemos ahorrar de esta manera en 6 meses.
Sucesiones geométricas
Son aquellas en las que cada término (excepto el primero) es múltiplo del término anterior de la sucesión. El cociente entre cualquier término y su precedente es constante. Por ejemplo:
20.000, 30.000, 45.000, 67.500, 101.250, …
Esta es una sucesión geométrica porque el cociente de la división entre cualquier término y su anterior es el mismo en cada caso.
Este cociente es igual al múltiplo común entre términos y se llama razón común (r). Se obtiene al dividir un término con el que le precede. Para esta sucesión la razón común se determina así:
r = 30.000 ÷ 20.000 = 1,5
r = 45.000 ÷ 30.000 = 1,5
r = 101.250 ÷ 67.500 = 1,5
Observa que sin importar el término que elijas la razón común es la misma: 1,5.
– Otro ejemplo:
Para la siguiente sucesión:
3, 12, 48, 192, 768, 3.072, …
La razón común es 4 porque:
r = 12 ÷ 3 = 4
r = 48 ÷ 12 = 4
r = 768 ÷ 192 = 4
¡Es tu turno!
Observa estas sucesiones geométricas, ¿cuál es la razón común?
5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, …
Solución
r = 2
−18, 54, −162, 486, −1.458, …
Solución
r = −3
Término enésimo de una sucesión geométrica
El término enésimo de una sucesión geométrica con un primer término a1 y una razón común r es el siguiente:
an = a1(rn − 1)
– Ejemplo:
Para la siguiente sucesión:
3, −6, 12, −24, 48, −96, …
La razón común r = −2 porque:
r = −6 ÷ 3 = −2
r = −24 ÷ 12 = −2
r = −96 ÷ 48 = −2
Por lo tanto, si a1 = 3 y r = −2, el término enésimo de la sucesión es:
an = a1(rn − 1)
an = 3(−2n − 1)
Entonces, si queremos determinar a8, a10 y a12 solo aplicamos:
La división celular es un ejemplo de sucesión geométrica, ya que si por ejemplo, partimos de una célula (a1 = 1), durante el proceso de meiosis esta se divide y obtenemos dos células nuevas (a2 = 2). Luego, estas dos células a su vez se dividen y se tienen 4 células más (a3 = 4). La razón de progresión r = 2 y an = 2n − 1.
Resolvamos unos problemas
1. Marcos comenzó un trabajo y su pago inicial fue de $ 15.000. Se le prometió un aumento de $ 1.500 después de cada año. ¿Cuál será su salario en el séptimo año de trabajo? ¿y en el décimo año?
Datos
Salario inicial = a1= $ 15.000
Aumento anual = d = $ 1.500
Reflexiona
Su salario después de los primeros años es: 15.000, 16.500, 18.000, 19.500 … Ya que se suma una cantidad constante, esta es una sucesión aritmética. El término general enésimo de una sucesión aritmética es an = a1 + d(n − 1). Donde a1 = 15.000. Tenemos que calcular la diferencia común, luego el término enésimo y finalmente a7 y a10.
Calcula
– Diferencia común, d
d = 16.500 − 15.000 = 1.500
– Término enésimo
an = a1 + d(n − 1)
an = 15.000 + 1.500(n − 1)
an = 15.000 + 1.500n − 1.500
an = 13.500 + 1.500n
– Términos a7 y a10
a7 = 13.500 + 1.500(7)
a7 = 13.500 + 10.500
a7 = 24.000
a10 = 13.500 + 1.500(10)
a10 = 13.500 + 15.000
a10 = 28.500
Responde
En su séptimo año Marcos tendrá un salario de $ 24.000.
En su décimo año Marcos tendrá un salario de $ 28.500.
2. Un auditorio tiene 15 asientos en la primera fila. Cada fila sucesiva tiene tres asientos más que el anterior. ¿Cuántos asientos hay en las primeras diez filas?
Datos
Asientos en la primera fila = a1 = 15
Diferencia con las demás filas = d = 3 asientos
Reflexiona
Como cada fila tiene 3 asientos más que la anterior se trata de una sucesión aritmética. Primero calculamos el término enésimo y luego determinamos los primeros diez términos.
Calcula
– Término enésimo
an = a1 + d(n − 1)
an = 15 + 3(n − 1)
an = 15 + 3n − 3
an = 12 + 3n
– Primeros diez términos
a1 = 12 + 3(1) = 12 + 3 = 15
a2 = 12 + 3(2) = 12 + 6 = 18
a3 = 12 + 3(3) = 12 + 9 = 21
a4 = 12 + 3(4) = 12 + 12 = 24
a5 = 12 + 3(5) = 12 + 15 = 27
a6 = 12 + 3(6) = 12 + 18 = 30
a7 = 12 + 3(7) = 12 + 21 = 33
a8 = 12 + 3(8) = 12 + 24 = 36
a9 = 12 + 3(9) = 12 + 27 = 39
a10 = 12 + 3(10) = 12 + 30 = 32
Responde
La cantidad de asientos en cada fila sigue este orden: 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 32.
3. José tiene una alcancía. Si el día 1 sacó $ 1, el día 2 sacó $ 2, el día 3 sacó $ 4, el día 4 sacó $ 8, y así sucesivamente, ¿cuánto dinero sacó después de 30 días?
Datos
Dinero sacado el día 1 = a1 = $ 1
Dinero sacado el día 2 = a2 = $ 2
Dinero sacado el día 3 = a3 = $ 4
Dinero sacado el día 4 = a4 = $ 8
Reflexiona
Como la cantidad de dinero sacado se multiplica cada día, se trata de una sucesión geométrica. Por lo tanto, a partir de la fórmula general del término enésimo (an = a1(rn − 1)) podremos saber el dinero sacado a los 30 días. Nota que a1 = 1 y r = 2.
Calcula
an = a1(rn − 1)
a30 = 1(230 − 1)
a30 = 1(229)
a30 = 536.870.912
Responde
José sacó $ 536.870.912.
Las sucesiones también pueden clasificarse como progresivas o ascendentes; o regresivas o descendentes. Las primeras son aquellas que van de menor a mayor, mientras que las segundas son las que van de mayor a menor. Un ejemplo de estas sucesiones podemos verlo en el orden en el que enumeran los asientos de un estadio.
¡A practicar!
Observa las siguientes sucesiones.
Indica si la sucesión es aritmética o geométrica.
Encuentra el término enésimo.
Determina a12 en cada caso.
20, 19,3, 18,6, 17,9, …
Solución
a.
Es una sucesión aritmética.
b.
Si d = −0,7 y a1 = 20 el término enésimo es:
an = a1 + d(n − 1)
an = 20 + 0,7(n − 1)
an = 20 + (0,7n − 0,7)
an = 20 − 0,7n + 0,7
an = 20,7 − 0,7n
c.
a12 = 20,7 − 0,7 (12) = 20,7 − 8,4
a12= 12,3
4, 2, 1, 0,5, 0,25, …
Solución
a.
Es una sucesión geométrica.
b.
Si a1 = 4 y r = 0,5 el término enésimo es:
an = a1(rn − 1)
an = 4(0,5n − 1)
c.
a12 = 4(0,512 − 1) = 4 (0,513)
a12 = 4,8 × 10−5
13, 23, 33, 43, 53, 63, …
Solución
a.
Es una sucesión aritmética.
b.
Si a1 = 13 y d = 10 el término enésimo es:
an = a1 + d(n − 1)
an = 13 + 10(n − 1)
an = 13 + 10n − 10
an = 3 + 10n
c.
a12 = 3 + 10(12) = 3 + 120
a12 = 123
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Sucesiones”
En el siguiente artículo encontrarás ejemplos relacionados con sucesiones aritméticas. Adicionalmente, el artículo describe algunos tipos de sucesiones.
Las fracciones son una forma de representar las partes de un todo. Tienen dos elementos: un numerador y un denominador, ambos separados por una raya fraccionaria. El denominador indica en cuántas partes dividimos el todo y el numerador es igual a las partes que se toman del mismo. Las fracciones las podemos clasificar, de acuerdo a la relación entre el numerador y el denominador, en propias, impropias o aparentes.
Cada vez que cortamos frutas y nos comemos una parte de ellas podemos utilizar una fracción, por ejemplo, “me comí media naranja”.
adición y sustracción de fracciones
Para sumar o restar fracciones homogéneas (aquellas con igual denominador) lo único que debemos hacer es sumar o restar los numeradores y mantener el denominador. En cambio, las fracciones heterogéneas (aquellas con denominadores diferentes) se suman o restan por distintos métodos. Uno consiste en calcular el mcm, otro en hallar una fracción equivalente y otro en multiplicar de forma cruzada.
Las fracciones, como parte de un todo, pueden ordenarse de mayor a menor, compararse, sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse.
Multiplicación y división de fracciones
Las multiplicaciones de fracciones son relativamente sencillas. Solo tenemos que multiplicar todos los numeradores de forma lineal y luego multiplicar de la misma manera todos los denominadores, y si es posible simplificamos. La división, en cambio, puede ser resuelta por dos métodos. El primero se trata de invertir la segunda fracción y multiplicarla por la primera, y el segundo es el de la doble c.
Las multiplicaciones y las divisiones son muy utilizadas en los problemas de reparto y porcentaje.
Fracciones y otros números
Muchas situaciones de nuestra vida cotidiana involucran no solo a los números naturales (), sino también a los enteros (), los racionales () y los decimales. Todos ellos, con excepción de algunos decimales, pueden ser representados como una fracción, por ejemplo, el número 25 puede ser representado como 25/1 y el número decimal 0,25 puede representarse como 2/8.
Cuando vamos a comprar podemos pedir medio kilo de pan. Eso lo podemos expresar como fracción 1/2 kg o como número decimal 0,5 kg.
Fracciones y porcentajes
Otra forma de representar fracciones son los porcentajes. Estos son iguales a una fracción con denominador igual a 100. Por ejemplo, 20 % es igual a 20/100. Asimismo, estas expresiones se pueden mostrar como un número decimal, por lo tanto, 20/100 = 0,2. Los porcentajes son muy usados en economía, estadística y tecnología, pues ayudan a simplificar relaciones de una parte de un todo de manera clara.
Los porcentajes suelen estar presentes en los comercios para promocionar un descuento.
¿Sabías qué el 70 % de la superficie de nuestro planeta está cubierto por agua? ¡Sí! Pero ¿qué significa 70 %? Los porcentajes son expresiones que, al igual que las fracciones, representan una parte de un todo. También los vemos a menudo en las rebajas en las tiendas del centro comercial o en los impuestos de los productos que compramos.
relación de las fracciones y el porcentaje
El porcentaje es una parte de un todo igual a 100, es decir, es una razón con denominador 100. Su símbolo es “%” y se puede expresar como una fracción o como un decimal. Por ejemplo, 70 % es igual a escribir 70/100 que a su vez es igual a 0,7.
Puedes ver la relación entre el porcentaje, las fracciones y los número decimales en esta tabla:
Porcentaje
Fracción
Decimal
Cantidad en relación a 100
Porcentaje/100
0,…
– Ejemplo:
Porcentaje
Fracción
Decimal
La relación no siempre es lineal, también podemos partir de una fracción y convertirla en porcentaje. Para esto, solo dividimos el numerador entre el denominador, y luego multiplicamos el cociente obtenido por 100.
Fracción
Decimal
Porcentaje
¿Sabías qué?
En los porcentajes se lee “por ciento”. Por ejemplo, el “15 % de los alumnos juegan al fútbol” se lee “el quince por ciento de los alumnos juegan al fútbol”.
Los porcentajes ya eran usados en la Antigüedad y hay registros sobre su aplicación en el Imperio romano. Aunque el símbolo original no era el que conocemos en la actualidad, este hacía alusión a los ceros del 100. De hecho, el símbolo “%” es una representación estética de los ceros de las centenas, pues un porcentaje se lee “por ciento”.
¡Es tu turno!
Convierte estas fracciones a porcentajes:
Solución
Solución
Cálculo de porcentajes
Para calcular el porcentaje de una cantidad, por ejemplo, el 15 % de 80, podemos optar por tres métodos diferentes:
1. Convierte el porcentaje a fracción. Luego multiplica.
2. Convierte el porcentaje a decimal. Luego multiplica.
3. Usa la regla de tres.
Nota que con cualquiera de los tres métodos el resultado será el mismo: 12.
¿Qué es el IVA?
El IVA o impuesto al valor agregado es un impuesto directo que pagan los consumidores al Estado por utilizar algún bien o servicio. Cada país tiene un porcentaje de IVA diferente, por ejemplo, en Argentina es de 21 %, en Colombia es de 19 %, en Costa Rica es de 13 % y en Venezuela es de 16 %.
¡Resolvamos algunos problemas!
1. En un curso hay 30 chicos y el 10 % de ellos juega al rugby, el 30 % juega al fútbol y el resto no hace ningún deporte. Responde:
a) ¿Cuántos de ellos juegan al rugby?
b) ¿Cuántos juegan al fútbol?
c) ¿Cuántos no hacen ningún deporte?
Datos
Cantidad de chicos: 30
Chicos que juegan al rugby: 10 %
Chicos que juegan al fútbol: 30 %
Chicos que no hacen ningún deporte: ?
Reflexión
a. Para saber la cantidad de chicos que juegan al rugby tenemos que multiplicar la cantidad total de chicos (30) por la fracción equivalente al porcentaje, en este caso, 10 % = 10/100.
b. La cantidad de jugadores de fútbol la sabremos si multiplicamos la cantidad total de chicos por la fracción equivalente al porcentaje, en este caso, 30 % = 30/100.
c. Cuando sepamos la cantidad de chicos que juegan al rugby y al fútbol, solo tendremos que restarle esa cantidad al total, es decir, los chicos que no hacen deporte = 30 − (a + b)
Cálculo
a.
b.
c.
Respuestas
a. 3 chicos juegan al rugby.
b. 9 chicos juegan al fútbol.
c. 18 chicos no hacen deporte.
2. A José le hicieron un descuento del 5 % en su compra. Si gastó en ese lugar $ 3.200, ¿qué monto debe pagar?
Datos
Cuenta total: $ 3.200
Descuento: 5 %
Reflexión
a. Lo primero que tenemos que hacer es calcular el 5 % de 3.200. Para esto solo multiplicamos la cantidad de dinero por la fracción equivalente al porcentaje, que sería 5 % = 5/100.
b. Como se trata de un descuento, tenemos que “quitar” la cantidad que represente ese porcentaje al monto total, por lo tanto, tenemos que restarlo.
Cálculo
a.
b.
Respuesta
José debe pagar $ 3.040.
3. Un equipo de baloncesto participó en 50 partidos este año y ganó el 30 % de ellos. ¿Cuántos partidos ganó este año?
Datos
Partidos jugados: 50
Partidos ganados: 30 %
Reflexión
Al tratarse del porcentaje de una cantidad total, basta con multiplicar la cantidad de partidos (50) por la fracción equivalente al porcentaje, es decir, 30 % = 30/100.
Cálculo
Respuesta
El equipo de baloncesto ganó 15 partidos de 50 jugados este año.
importancia del porcentaje
En la vida cotidiana, el porcentaje tiene distintos usos. Por ejemplo, a la hora de calcular la tasa de interés, al solicitar un crédito, al realizar una encuesta, en los descuentos y recargos en el pago de una cuenta, o cuando esperamos que una aplicación móvil se cargue y vemos una barra que muestra el porcentaje de descarga.
Los porcentajes son útiles cuando comparamos grandes partes de un todo. Por ejemplo, si de un instituto de 800 estudiantes, 360 estudiantes van a la feria de ciencias, y de otro van 360 de 600 estudiantes, es más práctico y claro decir que el 45 % de los estudiantes del primer instituto va a la feria de ciencias y que el 60 % del segundo va a la feria de ciencias.
Los gráficos circulares, también conocidos como gráficos de torta o pastel, se usan para comparar porcentajes con respecto a un total de datos. Para hallar los porcentajes parciales se dividen los 360° del círculo de acuerdo a los valores dados. Para dibujarlas en papel necesitarás un compás y un transportador para saber los grados a marcar por cada porcentaje.
¡A practicar!
1. Calcular los siguientes porcentajes:
12 % de 1.700
Solución
204
3 % de 4.400
Solución
132
15 % de 2.500
Solución
375
50 % de 45.000
Solución
22.500
78 % de 50.000
Solución
39.000
2. Resuelve:
a. Marta tiene 120 figuritas repetidas y le regaló el 20 % a su amiga. ¿Cuántas figuritas le quedan a Marta?
Solución
A Marta le quedan 96 figuritas.
b. Gabriela viajó dos quintas partes de lo que debía viajar. ¿Qué porcentaje del viaje realizó?
Solución
Gabriela realizó el 40 % del viaje.
c. Se realizó una encuesta a 200 personas sobre los géneros de películas que más les gustan y representaron los resultados en este gráfico circular como porcentajes. Indica a cuántas personas les gusta cada género.
Solución
Comedia: 110 personas
Suspenso: 40 personas
Familiares: 24 personas
Terror: 10 personas
Drama: 16 personas
3. Escribe las siguientes fracciones como porcentajes:
Solución
60 %
Solución
60 %
Solución
87,5 %
RECURSOS PARA DOCENTES
Tarjeta Educativa “Porcentaje”
En esta tarjeta encontrará reglas prácticas para el cálculo de porcentajes, sus características y aplicaciones.
Todos los días utilizamos distintos números. Los que usamos para contar, se llaman números naturales. Los que utilizamos en los precios, se llaman números decimales. Todos ellos pueden combinarse con las fracciones en las distintas operaciones. A continuación, verás cómo solucionar problemas de este tipo.
Las fracciones están presentes en la mayoría de las situaciones de nuestra vida cotidiana. Por ejemplo, cuando vamos al mercado y pedimos un cuarto de kilo de una fruta. También usamos fracciones cuando decimos la hora: “Son las tres y cuarto”. O cuando picamos o partimos alimentos, como en la imagen, en la que vemos medio aguacate.
operaciones de fracciones con otros números
Supongamos que compramos 3 barras de chocolate. Si nos comemos 1 chocolate y 2/3 de otro, y nuestro amigo se come 1 chocolate y 1/4 de otro, ¿nos sobró algo de chocolate?
Para resolver esta situación tenemos que sumar primero lo que nos comimos y restarlo a los chocolates que compramos. En este caso, convertimos los números mixtos a sus fracciones impropias equivalentes y luego sumamos.
Luego de tener la fracción equivalente a lo que comimos, podemos restarla a la cantidad total de chocolate comprado (3). Recuerda que todo número entero puede ser representado como una fracción con denominador igual a 1.
Ahora sabemos que nos sobró de chocolate.
A diario nos encontramos con situaciones en las que podemos combinar distintos tipos de números. En estos casos, aplicamos las propiedades de cada operación para cada tipo de número.
¡Es tu turno!
Solución
Solución
Solución
¿cómo transformar una fracción a un número decimal?
Para poder transformar una fracción en un número decimal debemos recordar que una fracción es una división en partes. Por lo tanto, lo que debemos hacer es dividir el numerador por el denominador y así convertimos una fracción en un número decimal. Veamos algunos ejemplos:
Existe otra manera de pasar las fracciones a números decimales pero esta forma no siempre es posible. Para poder utilizarla debemos buscar una fracción equivalente a la dada con denominador igual a 10, 100, 1.000, etc. Si amplificamos la fracción × 25, es decir, si multiplicamos tanto el numerador como el denominador por 25, tenemos que:
75/100 es la fracción decimal equivalente de 3/4. Ahora, si recordamos cómo se divide por potencias de 10, vemos que debemos correr la coma de derecha a izquierda tantos lugares como ceros haya en el denominador. Por lo tanto,
Hacemos lo mismo con el segundo ejemplo:
La conversión de una fracción a un decimal consiste en escribir dicha fracción como su número decimal equivalente mediante distintos métodos. Podemos dividir el numerador y el denominador para tener el cociente decimal. También podemos amplificar, es decir, multiplicar tanto el numerador como el denominador hasta tener un denominador igual a 10, 100, 1.000…
¡Es tu turno!
Pasar las siguientes fracciones a número decimal:
Solución
Amplificación: × 4
Solución
Amplificación: × 20
Solución
Amplificación: × 25
¿Sabías qué?
Los números decimales fueron utilizados por primera vez por Stevin que, para escribirlos, lo hacía de una forma particular. Por ejemplo, si quería escribir el número 43,527, la notación era 43⓪5①2②7③. El ⓪ representaba a los enteros, el ① a las décimas, el ② a las centésimas y así sucesivamente.
transformación de un número decimal a fracción
En el caso anterior, para pasar de fracción a número decimal, intentamos hacer fracciones decimales, que son las que poseen denominador igual a una potencia de 10. A partir de ahí, corrimos la coma en el numerador a la izquierda según la cantidad de ceros que había en el denominador.
Ahora vamos a seguir los mismos pasos pero al revés, así que, si tenemos un número decimal, vamos a contar los lugares decimales, que son los que se encuentran a la derecha de la coma. Estos lugares nos indicarán cuántos ceros deberá tener el denominador y el numerador de la fracción será el número decimal, pero sin escribir la coma. Observa este ejemplo:
Sea el número , da su fracción decimal:
Contamos los lugares que hay a la derecha de la coma hay 3 lugares, por lo tanto, el denominador será un 1 seguido de tres ceros: 1.000.
Para el numerador escribimos el número, pero sin coma 2.378.
Ahora escribimos la fracción correspondiente .
Si es posible, simplificamos la fracción .
Cuando convertimos un número decimal a una fracción reescribimos dicho decimal como su fracción equivalente por medio de la amplificación por unidades seguidas de cero. Para esto escribimos primero el decimal sobre 1 y luego amplificamos y simplificamos. Por ejemplo, 0,5 = 5/10. Luego simplificamos y 5/10 = 1/2.
Clasificación de los números decimales
Los números decimales se pueden clasificar en:
Exactos: su parte decimal es finita. Por ejemplo: 0,345, 1,0235, etc.
Periódicos puros: su parte decimal es infinita y se repiten uno o varios números. Se suele representar el período con un arco. Por ejemplo: 2,3333…, 0,121212…, etc.
Periódico mixto: su parte decimal tiene una parte pura y una periódica. Por ejemplo: 2,1655555…, 0,01222222…, etc.
¡A practicar!
1. Convierte los siguientes números decimales a fracciones y luego, si es posible, simplifica:
Solución
Solución
Solución
2. Resuelve los siguientes cálculos. Convierte los números decimales a fracciones.
Solución
Solución
Solución
RECURSOS PARA DOCENTES
Video “Fracciones y números decimales. Ejercicio 3”
En este video podrá ver qué pasa si la fracción es impropia
