Los números desde su invención han servido para contar cosas y por eso existen diferentes sistemas y tipos de números que permiten un mejor conocimiento de las cantidades. Para comprender el sentido numérico, dentro del universo de los números se utilizan diversas clasificaciones. Un tipo de números son los ordinales que sirven para establecer un orden. Por otro lado, existen los cardinales que indican cantidades numéricas de elementos que pertenecen a un grupo o conjunto. Actualmente, el sistema más usado es el sistema numérico decimal pero no es el único que existe. Otras culturas crearon sistemas de numeración distintos al decimal, como por ejemplo, los mayas y los romanos.
El sistema de numeración binario se utiliza principalmente en la informática. Está conformado solo por dos cifras: el 0 y el 1.
NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS
De acuerdo a la cantidad de divisores que poseen los número, los podemos clasificar en primos y compuestos. Los números primos son aquellos que solo son divisibles por el número uno y por sí mismos. En cambio, los números compuestos son aquellos que además de ser divisibles por el uno y por sí mismos, también son divisibles por otro u otros números, es decir, tienen más de dos divisores. Todos los números compuestos pueden expresarse como un producto de factores primos.
Para determinar los factores primos de un número compuesto se emplean los criterios de divisibilidad.
VALOR POSICIONAL
Una de las principales características de nuestro sistema de numeración decimal es que el valor de los dígitos varía de acuerdo a su ubicación dentro del número. Esta característica se denomina valor posicional y aplica tanto en los números enteros como en los fraccionarios. Una herramienta que nos permite observar directamente el valor de cada dígito de acuerdo al lugar que ocupa es la tabla posicional.
Según la posición de cada dígito, los números pueden descomponerse en forma de suma (descomposición aditiva) o de multiplicación (descomposición multiplicativa).
NÚMEROS DECIMALES
Hay números que se ubican entre dos números enteros consecutivos, estos números se denominan números decimales y se caracterizan porque presentan una parte entera y una decimal, que se encuentran separadas por una coma o punto de acuerdo a la convención del país. Los números decimales se clasifican en racionales y en irracionales. Los racionales se pueden representar en forma de fracción, y los irracionales son números infinitos cuya parte decimal no sigue ningún patrón, como sucede en el caso del número pi.
A menudo se pueden aplicar redondeos en las cifras decimales de un número para simplificar los cálculos.
POTENCIAS
La potenciación es una operación compuesta de tres partes fundamentales: el exponente, la base y la potencia. El exponente indica cuántas veces se debe multiplicar la base por si misma. La base es el número que se multiplica por sí mismo las veces que indique el exponente. La potencia es el resultado de la operación de potenciación. Como toda operación matemática, las potencias cumplen con algunas propiedades. Por ejemplo, todo número elevado a 0 es igual a 1. Para resolver potencias se aplican sus propiedades y se realizan multiplicaciones sucesivas de la base.
Cuando el exponente es 1, la potencia es siempre igual a la base.
RAÍZ DE UN NÚMERO
La radicación es la operación inversa a la potenciación y por ello se encuentran estrechamente relacionadas. Esta operación emplea el símbolo (√) denominado radical. Sus elementos principales son el radicando, el índice y la raíz. El radicando es el número al cual se le va a calcular la raíz y se encuentra en la parte inferior del radical. El índice es el número que índica la cantidad de veces en las que debe multiplicarse un número por sí mismo para que el resultado sea igual al radicando, y se ubica en la parte izquierda del radical. La raíz es el resultado de la operación. Para calcular una raíz se debe buscar un número que multiplicado por sí mismo las veces que indique el índice dé como resultado el mismo valor del radicando.
En las raíces cuadradas, el índice 2 no se coloca en el radical: simplemente se denotan como (√).
Dentro del universo de los números nos encontramos con un tipo muy especial: el de los decimales. Estos números sirven para representar cantidades menores a la unidad. Sus aplicaciones son muchas y son muy importantes, sobre todo en el ámbito de las mediciones porque permiten establecer valores más exactos.
Características de los números decimales
Los números decimales son los que se encuentran entre dos números enteros. Por ejemplo, entre el 1 y el 2 se ubican: 1,1; 1,2; 1,3…
Este tipo de números no llega a conformar un nuevo entero, por lo tanto su composición es de dos partes: la entera y la decimal. Para dividir ambas partes del número se utiliza la coma.
En algunos países se emplea el punto en vez de la coma para separar a los números decimales de los enteros.
Distintos tipos de decimales
Los números decimales se dividen en racionales e irracionales. Los irracionales son números en los que sus cifras decimales son infinitas y no siguen un patrón. Un ejemplo de estos números es el número pi (π). Los racionales, por su parte, pueden ser expresados en forma de fracción y se dividen en exactos, periódicos puros y periódicos mixtos.
Los números decimales exactos son los que tienen un final, es decir; que la parte decimal del número no es infinita. Por ejemplo: 24,657.
Los números decimales periódicos tienen una parte decimal que contiene una o más cifras que se repiten infinitamente, a esta parte decimal se conoce como período. Cuando dicho período está compuesto por una cifra que se repite infinitamente se lo denomina periódico puro. Por ejemplo: 6,8888… Por otro lado, cuando la parte decimal está compuesta por un número que no se repite y otro que sí se repite se lo denomina periódico mixto. Por ejemplo: 4,287878787…
Para escribir un número decimal periódico (sea puro o mixto), se debe escribir un arco encima de la parte periódica del número para indicar que se repite infinitamente.
– Por ejemplo:
Decimal puro:
Decimal mixto:
¿Sabías qué?
Hay infinitos números decimales entre dos números enteros.
Lectura de números decimales
Para poder leer números decimales debemos tener presente la clasificación de cada cifra según su valor posicional; es decir, tenemos que recordar que las cifras decimales de los números decimales, de izquierda a derecha después de la coma, se denominan: décima, centésima y milésima. Estos serían valores posicionales de la parte decimal del número.
A la hora de leerlo podemos expresar la parte entera seguida de la preposición “con” y luego la parte decimal. Para esta última se lee el número que se forma con las cifras decimales y se asigna el valor posicional de la última cifra decimal. Por ejemplo, para leer el número 6,718 debemos hacerlo de la siguiente manera:
6,718 → “Seis con setecientas dieciocho milésimas”.
Otra manera posible es: leer la parte entera seguida de la palabra “coma” y luego el número que conforma la parte decimal, sin expresar el valor de la posición. Por ejemplo:
6,718 → “Seis coma setecientos dieciocho”.
Cero a la izquierda de la coma
Cuando un decimal tiene un cero a la izquierda de la coma quiere decir que es menor a la unidad y se suele leer solo la parte decimal de acuerdo a su última cifra. Por ejemplo:
0,45 → “Cuarenta y cinco centésimas”.
Otra forma es decir la palabra “cero” seguida de la palabra “coma” y luego el número que conforma la parte decimal, sin expresar el valor de la posición.
0,45 → “Cero coma cuarenta y cinco”.
Para tener en cuenta
Los ceros que están en la última cifra de la parte decimal del número pueden o no leerse.
5,20 = 5,2
Esto se debe a que veinte centésimas es equivalente (es decir que vale lo mismo) a dos décimas, ya que veinte centésimas son veinte partes de cien (20/100) y dos décimas son dos partes de diez (2/10).
Por lo tanto, el número del ejemplo puede leerse de estas dos maneras:
5,20 → “Cinco con veinte centésimas”.
5,2 → “Cinco con dos décimas”.
Redondeo de decimales
En primer lugar, debemos saber que el término “redondear” aplicado a los números decimales quiere decir: aproximar un número a otro (menor o mayor) que tenga menos cifras decimales para lograr reducir la cantidad y poder determinar de forma más fácil la ubicación del número.
– Por ejemplo:
5,649 se puede redondear a 5,65.
8,78 se puede redondear a 8,8.
15,86 se puede redondear a 15,9.
42,39 se puede redondear a 42,4.
Reglas para el redondeo de decimales
Cuando la última cifra decimal es 0, 1, 2, 3 o 4: el número se debe redondear hacia abajo (uno menor). Por lo tanto, se quita la última cifra del número. Por ejemplo: 7,6281 se puede redondear a 7,628.
Cuando la última cifra decimal es 5, 6, 7, 8 o 9: el número se debe redondear hacia arriba (uno mayor). Por lo tanto, se le quita la última cifra al número y se aumenta +1 la penúltima. Por ejemplo: 4,58 se puede redondear a 4,6.
¡A practicar!
1. Escribe en letras como se leerían los siguientes números.
64,15
21,4
9,285
7,406
Solución
64,15 → sesenta y cuatro con quince centésimas. / sesenta y cuatro coma quince.
21,4 → veintiuno con cuatro décimas. / veintiuno coma cuatro.
9,285 → nueve con doscientos ochenta y cinco milésimas. / nueve coma doscientos ochenta y cinco.
7,406 → siete con cuatrocientas seis milésimas. / siete coma cuatrocientos seis.
2. Ubica la coma donde corresponda.
Ocho con trescientas once milésimas → 8311
Solución
8,311
Cincuenta y cuatro centésimas → 054
Solución
,054
Veintisiete con setenta y siete centésimas → 2777
Solución
27,77
3. Escribe en letras los números decimales.
a. 15,02
b. 6,616
c. 71,25
d. 822,3
Solución
a. 15,02 → “quince con dos centésimas.”
b. 6,616 → “seis con seiscientas dieciséis milésimas.”
c. 71,25 → “setenta y uno con veinticinco centésimas.”
d. 822,3 → “ochocientos veintidós con tres décimas.”
4. Lee y escribe los números que correspondan.
a. Veintiuno con cinco décimas.
b. Doce con cuarenta y cinco centésimas.
c. Ciento veinte con trescientos veinte milésimas.
d. Setenta y cinco centésimas.
Solución
a. 21,5
b. 12,45
c. 120,320
d. 0,75
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo destacado “Números decimales”
El siguiente artículo te permitirá conocer más acerca de los números decimales:
Con los números decimales podemos realizar las mismas operaciones aritméticas que con los números enteros. Para la suma y la resta, las cifras deben tener la misma cantidad de decimales y las comas deben estar alineadas en una línea vertical. En la multiplicación, el resultado tendrá el total de decimales que tengan los factores. Existen tres posibles casos para dividir con decimales: decimal entre entero, entero entre decimal y decimal entre decimal.
Los decimales son parte de nuestra vida cotidiana, por ejemplo, los precios de los artículos vienen por lo general expresados en cifras decimales.
OPERACIONES COMBINADAS
Con frecuencia, en matemática debemos realizar cálculos que combinan diferentes operaciones algebraicas, así como varios tipos de números, y en ocasiones se requiere el uso de signos de agrupación que determinan las prioridades de dichas operaciones. Debemos resolver primero las operaciones dentro del paréntesis, luego las del corchete y, por último, las de las llaves. Es importante recordar que las multiplicaciones y las divisiones se resuelven primero que las sumas y las restas.
Los signos de agrupación sirven para expresar el orden de las operaciones. Para aplicar propiedades como la asociativa y la distributiva podemos usar paréntesis.
ECUACIONES
Las ecuaciones son expresiones algebraicas compuestas por miembros separados por una igualdad. Los miembros contienen términos y al menos una variable, también llamada incógnita. Por lo general, para obtener el valor de las incógnitas debemos realizar despejes: proceso que consiste en aplicar en ambos miembros de la ecuación la operación opuesta del término o coeficiente que se desea despejar.
Las ecuaciones son expresiones que deben contener una igualdad y al menos una variable o incógnita.
INECUACIONES
Son expresiones que muestran relaciones de desigualdad por medio de símbolos como <, >, ≤ o ≥. Deben contener por lo menos una variable, y la solución la representamos a través de un intervalo de valores que satisfacen la desigualdad. Los despejes en las inecuaciones siguen las mismas reglas que en las ecuaciones pero, además, si se multiplica o divide por un número negativo, debemos cambiar el sentido de la desigualdad.
Las inecuaciones se pueden utilizar para plantear situaciones cuya variable está limitada por algún rango de valores, por ejemplo, la rapidez de un vehículo.
El sistema de numeración decimal se caracteriza por ser de base 10 y por ser posicional. Esto significa que solo usa diez dígitos y que la posición de cada uno de ellos determina el valor que tienen. La tablas posicionales y la descomposición son algunas técnicas que podemos emplear para escribir y leer números con más de cinco cifras de manera sencilla. A continuación verás lo fácil que es.
VALOR POSICIONAL DE CIFRAS HASTA 1.000.000
En el sistema de numeración decimal contamos con los siguientes dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Con ellos podemos formar todos los números del sistema ya que si variamos la posición de las cifras dentro del número, también cambiamos su valor. Esta característica se denomina valor posicional.
Como podemos observar en este ejemplo, todas las cifras que componen el número 999.999 son las mismas: 9, pero cada una tiene un valordiferente debido a su posición dentro del número.
Como ya sabemos, luego de 3 cifras debemos colocar un punto. En este caso, dicho punto separa a los miles de los millones. El número que le sigue al 999.999 es el millón, que se escribe de la siguiente manera:
1.000.000
¿Sabías qué?
Si empiezas a contar de uno en uno no terminarás nunca porque los números no tienen un final, es decir, son infinitos.
Cuando algo no termina decimos que es infinito, y los números son un ejemplo de ello. No hay un límite final para los números, pero tampoco hay un comienzo, ya que antes del 0 hay una infinidad de número negativos. Cuando queramos expresar que una cuenta es infinita podemos utilizar el símbolo que lo representa: ∞.
LA TABLA POSICIONAL
Existe una clasificación según la posición que tengan las cifras dentro del número. Cada posición recibe el nombre de un orden, como las unidades, decenas y centenas. Cada tres órdenes se forma una clase, que va desde las unidades, miles, millones, millares de millón, billones, etc. Podemos observar toda esta información en una tabla posicional.
– Ejemplo:
Según la tabla posicional, los valores de cada cifra de derecha a izquierda son los siguientes:
2 unidades = 2 se lee “dos”.
3 decenas = 30 se lee “treinta”
5 centenas = 500 se lee “quinientos”.
9 unidades de mil = 9.000 se lee “nueve mil”.
4 decenas de mil = 40.000 se lee “cuarenta mil”.
8 centenas de mil = 800.000 se lee “ochocientos mil”.
1 unidad de millón = 1.000.000 se lee “un millón”
Por lo tanto, el número 1.849.532 se lee “un millón ochocientos cuarenta y nueve mil quinientos treinta y dos”.
– Otro ejemplo:
Según la tabla posicional, los valores son:
5 unidades = 5 se lee “cinco”.
8 decenas = 80 se lee “ochenta”.
9 centenas = 900 se lee “novecientos”.
2 unidades de mil = 2.000 se lee “dos mil”.
4 decenas de mil = 40.000 se lee “cuarenta mil”.
6 centenas de mil = 600.000 se lee “seiscientos mil”.
1 unidad de millón = 1.000.000 se lee “un millón”.
Entonces, el número 1.642.985 se lee “un millón seiscientos cuarenta y dos mil novecientos ochenta y cinco”.
¡Es tu turno!
Coloca los siguientes números en sus tablas posicionales:
1.022.467
Solución
270.628
Solución
896.501
Solución
VALOR POSICIONAL DE DECIMALES
Los números decimales se componen de una parte entera y una parte decimal que van separadas por una coma. Esto quiere decir que de un lado de la coma vamos a tener la parte de los números enteros con unidades, decenas, centenas, etc.; y del otro lado, la parte decimal que también tiene valores posicionales conocidos como décimas, centésimas, milésimas, etc.
La parte decimal de los números decimales también puede ser representada en una tabla posicional. Al igual que la parte entera, el valor cambia de acuerdo a la posición de la cifra.
Unidades decimales
Son las que obtenemos al dividir la unidad en partes iguales. Las primeras unidades decimales son las décimas, las centésimas y las milésimas.
Décimas
Centésimas
Milésimas
1 unidad = 10 décimas
1 décima = 0,1 unidades
1 unidad = 100 centésimas
1 centésima = 0,01 unidades
1 unidad = 1.000 milésimas
1 milésima = 0,001 unidades
– Ejemplo:
Podemos leer los números decimales de dos formas:
Leemos la parte entera seguida de la palabra “enteros”. Luego leemos la parte decimal como se lee la parte entera y mencionamos la posición en la que está la última cifra.
Leemos la parte entera seguida de la palabra “coma”. Después leemos la parte decimal de la misma forma en la que lees la parte entera.
De este modo, el número 5.897,234 puede ser leído de dos formas, ambas correctas:
“Cinco mil ochocientos noventa y siete enteros doscientos treinta y cuatro milésimas“.
“Cinco mil ochocientos noventa y siete coma doscientos treinta y cuatro”.
DESCOMPOSICIÓN ADITIVA DE UN NÚMERO
Todos los números pueden descomponerse de diversas maneras. Una de ellas es la descomposición aditiva, la cual consiste en representar números como la suma de otros.
Por ejemplo, podemos descomponer el número 128 de forma aditiva y representarlo así:
128 = 100 + 20 + 8
Observa que sumamos los valores posicionales de cada cifra.
Cualquier número puede ser expresado a través de la suma, en lo que se conoce como descomposición aditiva. Este tipo de descomposición considera el valor posicional de cada una de sus cifras, pero también es posible verlo como la suma de diferentes cifras, por ejemplo, 15 = 10 + 5, pero también lo podemos escribir como 15 = 7 + 8.
DESCOMPOSICIÓN MULTIPLICATIVA DE UN NÚMERO
Es otro tipo de descomposición en el que representamos números por medio de multiplicaciones. Aquí tomamos en cuenta el valor del dígito por el valor de su posición.
Todos los números representan una determinada cantidad. Por ejemplo, con $ 100 no compramos lo mismo que podemos comprar con $ 1.000, porque esas cantidades de dinero son distintas. Por ese motivo es de gran importancia saber cómo comparar cifras, y una herramienta muy útil para hacerlo es la recta numérica: una línea recta que tiene puntos con valores específicos.
¿Qué es la recta numérica?
La recta numérica es una herramienta en la que podemos representar de manera gráfica distintos números. Consiste en una línea recta marcada a intervalos regulares, a los cuales se le asigna un número. Estos intervalos no son más que las separaciones entre un número y otro.
Las rectas numéricas pueden incluir cualquier número que pertenezca al conjunto de los números reales (). En este ejemplo, la recta numérica abarca los números enteros () desde el −7 hasta el +7, incluido el cero (0).
¿Sabías qué?
El primero en utilizar una recta numérica fue el matemático inglés John Wallis. Él la utilizó para representar gráficamente los números naturales ().
Una regla graduada es muy parecida a una recta numérica. Este instrumento de medición tiene divisiones con valores asignados en centímetros o pulgadas. Gracias a ella sabemos la longitud de objetos pequeños, como la de un lápiz o un borrador. Además nos ayuda a dibujar líneas rectas.
¿Cómo construir una RECTA NUMÉRICA?
Para construir una recta numérica lo primero que debemos hacer es trazar una línea recta con flechas en sus extremos.
Luego colocamos los intervalos y marcamos sus extremos con un punto o con una pequeña línea vertical. Es importante que todos los intervalos sean del mismo tamaño para conservar la escala.
Una vez trazada la línea recta y los intervalos, colocamos los números sobre cada una de las pequeñas líneas verticales. Los números irán de menor a mayor, de izquierda a derecha.
Intervalos en la recta numérica
Los intervalos utilizados para construir una recta numérica deben ser siempre iguales entre un número y su consecutivo, pero pueden variar en cuanto a su valor.
Por ejemplo, podemos construir una recta numérica en la que cada intervalo entre un número y su consecutivo corresponda a un entero, es decir, de 1 en 1:
Pero también podemos construir rectas numéricas en las que cada intervalo corresponda a dos enteros, es decir, de 2 en 2:
¿Qué números se pueden incluir en una recta numérica?
Si bien, en un principio solo se ubicaban números naturales en la recta numérica (desde el cero hasta el infinito positivo), hoy día todos los números reales pueden representarse en ella. Estos incluyen a los números naturales (), los números enteros (), los números racionales () y los números irracionales ().
Representación de decimales y fracciones en la recta numérica
Los números decimales son aquellos formados por una parte entera y una parte menor a la unidad, y también pueden ser mostrados como fracciones. En la recta numérica podemos representar este tipo de números si subdividimos los enteros ya ubicados. Por ejemplo, entre 1 y 2 hay pequeños intervalos más pequeños que señalan a los decimales desde el 0,1 hasta el 0,9. También podemos mostrarlos en escalas de 2 en 2 décimas. Observa esta recta:
Dado que para cada fracción hay un número decimal equivalente, podemos representar ambas cantidades en una recta numérica. Por ejemplo, las fracción 1/5 = 0,2 y 8/5 = 1,6.
¡A practicar!
Realiza una recta numérica y luego marca en la misma los siguientes números:
0
2
2,8
4/5
Solución
SÍMBOLOS DE RELACIÓN
Los números de la recta numérica tienen relaciones entre sí. Los distintos tipos de relaciones que existen son los siguientes.
TIPO DE RELACIÓN
SIGNIFICADO
SÍMBOLO
“Mayor que”
Se utiliza para indicar que un número es mayor que otro.
>
“Igual a”
Se utiliza para indicar que un número es igual a otro.
=
“Menor que”
Se utiliza para indicar que un número es menor que otro.
<
Veamos algunos ejemplos:
Para indicar que el 3 es mayor que el 2, escribimos: 3 > 2
Para indicar que el 4 es igual que el 4, escribimos: 4 = 4
Para indicar que el 5 es menor que el 8, escribimos: 5 < 8
Todos los números tienen algún otro número mayor que él y otro menor. Todos los números guardan una relación con los demás. Para compararlos podemos utilizar los símbolos de relación, los cuales muestran cuando entre dos cantidades la primera es mayor que la segunda (>), menor que la segunda (<) o igual a la segunda (=).
Relaciones entre los números de la recta numérica
Si prestamos atención, notaremos que en una recta numérica siempre ocurre lo siguiente: entre dos números, el que se encuentra más a la derecha en la recta numérica será el mayor.
Por ejemplo, entre el 3 y el −5, el 3 se encuentra más a la derecha, entonces, podemos afirmar que 3 > −5. O al encontrarse el −5 más a la derecha que el −7, podemos afirmar que −5 > −7.
¡A practicar!
Coloca el símbolo de relación que corresponda en cada caso:
3,5 ____ 5,3
4,0 ____ 0,4
1 ____ −1
2 ____ 2
2,2 ____ 2,02
8,001 ____ 8,01
Solución
3,5 < 5,3
4,0 > 0,4
1 > −1
2 = 2
2,2 > 2,02
8,001 < 8,01
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “La recta numérica”
Este artículo te permitirá profundizar sobre el concepto de recta numérica y los conjuntos numéricos que pueden ser representados en la misma.
Los números decimales son todos aquellos que tienen una parte entera y una parte decimal, es decir, una cantidad menor que la unidad y mayor que cero. Estos números los podemos encontrar en todas partes, como en los precios de los productos del supermercado.
CARACTERÍSTICAS DE LOS NÚMEROS DECIMALES
Los números decimales están formados por dos partes separadas con una coma de la siguiente manera:
Los números decimales también son llamados números fraccionarios. Estos se utilizan para realizar mediciones con mayor precisión. Por ejemplo, al medir la estatura de una persona. Si decimos que alguien mide 1 m no sabríamos con exactitud la medida, en cambio, si usamos números decimales podemos decir que una persona mide 1,65 m o 165 cm.
Clasificación de números decimales
Números decimales exactos
Tienen un número limitado de cifras decimales. Por ejemplo:
Números decimales periódicos
Tienen una o más cifras decimales que se repiten de forma ilimitada o infinita. Podemos distinguir dos tipos de números decimales periódicos:
Números decimales periódicos puros: son aquellos números en los cuales la parte decimal periódica comienza inmediatamente después de la coma. La parte que se repite indefinidamente en estos números es señalada con una línea horizontal o arco en la parte superior. Por ejemplo:
Números decimales periódicos mixtos: son los que están formados por dos partes decimales: una cifra que no se repite que está justo después de la coma, denominada ante-período; y la parte periódica. Por ejemplo:
Números decimales no periódicos
No tienen cifras decimales con un patrón repetido indefinidamente. Un ejemplo de estos son los números irracionales, como el número pi.
¡A practicar!
Ya que conoces cómo están formados los números decimales, ¡consíguelos en este cuadro!
Solución
Número de Euler
Existen números decimales famosos y uno de ellos es el número de Euler, también denominado constante de Napier. Este número decimal fue utilizado por John Napier para introducir el concepto de logaritmo. No obstante, Leonhard Euler fue quien utilizó la letra e para representar dicha constante en el año 1727. El número es utilizado en cálculo, álgebra y números complejos.
LECTURA DE NÚMEROS DECIMALES
Podemos realizar la lectura de un número decimal de dos formas. Para ello, tomaremos como ejemplo el número 698,754980213, el cual podemos representarlo así de acuerdo a su valor posicional:
Primera forma de leer el número:
Lee la parte entera de izquierda a derecha seguida de la palabra “enteros”.
Lee toda la parte decimal como se lee la parte entera.
Menciona la posición en la que se encuentra la última cifra decimal.
Entonces, el número 698,754980213 se lee “seiscientos noventa y ocho enteros setecientos cincuenta y cuatro millones novecientos ochenta mil doscientos trece milmillonésimas“.
Segunda forma de leer el número:
Lee la parte entera de izquierda a derecha seguida de la palabra “coma”.
Lee toda la parte decimal como se lee la parte entera.
De este manera, el número 698,754980213 se lee “seiscientos noventa y ocho coma setecientos cincuenta y cuatro millones novecientos ochenta mil doscientos trece”.
¡Es tu turno!
Utiliza el primer método para leer estos números decimales:
456,268435
Solución
456,268435 = cuatrocientos cincuenta y seis enteros doscientos sesenta y ocho mil cuatrocientos treinta y cinco millonésimas.
35.413,9346103
Solución
35.413,9346103 = treinta y cinco mil cuatrocientos trece enteros nueve millones trescientos cuarenta y seis mil ciento tres diezmillonésimas.
58,79516428
Solución
58,79516428 = cincuenta y ocho enteros setenta y nueve millones quinientos dieciséis mil cuatrocientos veintiocho cienmillonésimas.
REDONDEO DE NÚMEROS DECIMALES
Todo número decimal puede ser redondeado. El redondeo se refiere a reducir la cantidad de cifras de un número para tener un valor similar. Las reglas son las siguientes:
Redondeo por defecto: si la última cifra del número que deseamos redondear es 1, 2, 3 o 4, la sustituimos por 0, y no variamos la penúltima cifra. Por ejemplo, el número 18,3.
Redondeo por exceso: si la última cifra es 5, 6, 7, 8 o 9, también sustituimos por 0, pero en este caso aumentamos la penúltima cifra en 1. Por ejemplo, el número 45,8.
El símbolo (≈) significa aproximado.
Todo número decimal puede ser redondeado. El redondeo se refiere a reducir la cantidad de cifras de un número para tener un valor similar. Saber esta práctica puede ser muy útil en nuestro día a día, pues cuando vamos a pagar una cuenta hacemos un redondeo de la cifra de forma mental para saber con qué billete vamos a pagar.
Redondeo por aproximación
Podemos aproximar los números decimales a la unidad más cercana, es decir, acercarlo a un número de la recta numérica que tenga menos decimales que este por medio de las mismas reglas. También los podemos aproximar a las décimas, centésimas, milésimas, etc., más cercanas. Por ejemplo, observa los siguientes números y redondéalos: 18,82653 y 45,73286.
El primer número lo aproximamos mediante la regla de redondeo por defecto, ya que la última cifra está entre 0 y 4. Aquí la cifra se aproximó a la diezmilésima más cercana.
Y para el segundo número seguimos la regla de exceso, ya que la última cifra está entre 5 y 9. Aquí la cifra se aproximó a la a la diezmilésima más cercana.
¡A practicar!
Convierte los siguientes números decimales a enteros por redondeo:
465,568
Solución
466
84,91
Solución
85
14,3
Solución
14
9.214,12
Solución
9.214
Aproxima estos números a las décimas, centésimas o milésimas más cercanas:
326,3462
Solución
326,346
486,945
Solución
486,95
45,87
Solución
45,9
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Números decimales”
Este artículo ayuda a complementar la información sobre los números decimales.
En la vida cotidiana muchas cantidades están expresadas con números decimales, tales como los precios de los artículos en un supermercado o la estatura de las personas. Estos números se componen de dos partes: una entera y una decimal o inferior a la unidad. A continuación verás cómo resolver operaciones con decimales.
Por lo general, los precios de los artículos en los supermercados son expresados con números decimales sin importar la moneda utilizada. También podemos ver números decimales en algunas frecuencias de las emisoras de radio, en la capacidad de algunos envases, y en una de las constantes más famosas de las matemáticas: la constante π (pi).
Para realizar la adición de números decimales debemos ubicar las cifras una debajo de la otra, de tal manera que las comas queden alineadas en una misma columna. Además, todos los números a sumar deben tener igual cantidad de dígitos en la parte decimal, de lo contrario, agregamos los ceros que sean necesarios para igualar las cifras. Por ejemplo:
– Resuelve esta operación:
7,2139 + 1.042 + 0,065 + 38,50 =
Lo primero que hacemos es ubicar todas las cifras una debajo de la otra y nos aseguramos de que las comas queden alineadas verticalmente. Añadimos ceros a las números que sean necesarios para que todos tengan la misma cantidad de decimales:
Luego sumamos cada dígito de derecha a izquierda. Los números en círculo azul indican el orden en que sumamos las columnas. Observa que la coma está en la misma línea vertical.
Por lo tanto, el resultado es el siguiente:
7,2139 + 1.042 + 0,065 + 38,50 = 1.087,7789
Las operaciones con números decimales se realizan de manera muy similar a como trabajamos con los números enteros. La única diferencia es que debemos mantener la coma en la misma línea vertical. Si vamos a sumar decimales, sumamos las columnas de derecha a izquierda con la coma alineada. Con este procedimiento podemos resolver la adición de cualquier cantidad de números.
Resta
El procedimiento para la resta o sustracción de números decimales es similar a la sustracción con números enteros. Recordemos, además, que la regla para la suma algebraica establece que cuando dos números tienen signos iguales se suman y se coloca el mismo signo, mientras que cuando los números tienen signos diferentes se restan y se coloca el signo del número mayor. Por ejemplo:
– Resuelve esta operación:
(+9.821,13) + (−20.130) =
Como observamos, se trata de una suma algebraica de dos números que tienen signos diferentes, por lo tanto, tratamos la operación como una resta y al resultado le colocamos el signo del número mayor.
Primero ubicamos las dos cifras a restar: en la parte superior el número mayor y en la parte inferior el número menor. Verificamos que las comas están alineadas de forma vertical y, de ser necesario, completamos con ceros los decimales de alguna de las cifras hasta que ambas tengan la misma cantidad de dígitos en su parte decimal.
Procedemos a realizar la resta del mismo modo que hacemos con los números enteros, pero agregamos la coma en el lugar que corresponde, es decir, alineada con la columna de las comas.
Finalmente, colocamos el signo que corresponda. En este caso, el valor absoluto de −20.130 es mayor que el valor absoluto de +9.821. Por esta razón, el signo que se mantiene en el resultado es el signo negativo.
(+9.821,13) + (−20.130) = −10.308,87
Valor absoluto
El valor absoluto de un número es igual a la distancia que existe entre ese número y cero.
La resta también la podemos considerar como una suma algebraica de dos números que tienen signos diferentes. El resultado siempre tendrá el signo del número con mayor valor absoluto. A diferencia de la suma, en la resta conviene que restemos cantidades de dos en dos. Además, debemos ubicar al número mayor en la parte superior y al menor en la parte inferior.
Multiplicación
En el caso del producto entre dos cifras decimales, el procedimiento es el mismo que aplicamos para los números enteros, y al resultado final le agregamos la coma con la cantidad de espacios (de derecha a izquierda) equivalentes al número de cifras decimales totales que haya en los factores. Por ejemplo:
– Resuelve esta operación:
3.807,93 × 186,2 =
Primero multiplicamos el último término del multiplicador (será el pivote) por cada uno de los términos del multiplicando.
Después multiplicamos el siguiente término del multiplicador (será ahora el pivote) por cada uno de los términos del multiplicando. Anotamos los resultados en la segunda línea pero dejamos un espacio debajo del primer dígito.
Repetimos este procedimiento hasta que el primer término del multiplicador haya multiplicado todos los términos del multiplicando. Siempre dejamos un espacio debajo del primer dígito desde la derecha de cada número.
Luego sumamos todos los resultados de las multiplicaciones.
Por último, ubicamos la coma en el resultado. Para esto, contamos de derecha izquierda la cantidad de espacios equivalente al número total de decimales que tienen tanto el multiplicando como el multiplicador; en este caso, hay tres decimales en el resultado, pues el multiplicando 3.807,93 tiene dos decimales: 9 y 3, y el multiplicador 186,2 tiene un decimal: 2.
Entonces:
3.807,93 × 186,2 = 70.903,566
División
Al dividir el numerador por el denominador de una fracción, el resultado puede ser un número decimal, por lo tanto, las fracciones y los números decimales son expresiones equivalentes. Además, la notación empleada para denotar los números decimales puede ser a través de coma o de punto como se observa en la imagen.
La división que involucre números decimales implica a su vez tres posibles casos:
1. El dividendo es un número entero y el divisor es un número decimal.
En este caso, convertimos al divisor en un número entero. Para ello, agregamos al dividendo tantos ceros a la derecha como cantidad de espacios se movió la coma del divisor para convertirlo en entero. De este modo, tendremos una división de números enteros. Por ejemplo, si deseamos dividir 12 ÷ 1,5 seguimos estos pasos:
Entonces, el resultado de la división es el siguiente:
12 ÷ 1,5 = 8
2. El dividendo es un número decimal y el divisor es un número entero.
Aquí el procedimiento es similar a la división entre números enteros, con la única salvedad de que cuando bajamos el dígito del dividendo que se encuentra a la derecha de la coma, agregamos una coma en el cociente. Por ejemplo, la división: 78,6 ÷ 24.
Entonces, el resultado de la división es el siguiente:
78,6 ÷ 24 = 3,275
3. El dividendo y el divisor son números decimales.
En este caso, convertimos primero el divisor en un número entero y desplazamos la coma a la derecha tanto en el dividendo como en el divisor hasta que el divisor sea entero. De ser necesario, agregamos en el dividendo ceros a la derecha. Por ejemplo, la división: 93,48 ÷ 51,2.
Entonces, el resultado de la división es el siguiente:
93,48 ÷ 51,2 = 1,82578125
OPERACIONES ENTRE NÚMEROS DECIMALES Y OTROS NÚMEROS
Es posible que en ocasiones necesitemos realizar operaciones combinadas con números decimales y otros números, por ejemplo, con fracciones. En ese caso, podemos transformar los números decimales a fracciones o convertir las fracciones a números decimales si dividimos el numerador por el denominador como veremos en este tema.
Veamos el siguiente ejemplo y determinemos el resultado de:
Existen diversas formas de resolver este problema, sin embargo, el orden siempre será el mismo: primero la multiplicación y al final la suma. Los pasos son los siguientes:
1. Resolvemos la multiplicación del número decimal con la fracción 7/4. Para esto debemos multiplicar 0,9277 por 7 y luego dividimos el resultado obtenido por cuatro (4).
Multiplicación:
División:
El resultado es el siguiente:
2. Determinamos la expresión decimal equivalente para 3/4. Para esto hacemos la división: 3 ÷ 4.
3. Calculamos el resultado de la suma de 0,75 + 1,623475:
4. Expresamos el resultado de la siguiente manera:
¡A practicar!
Te invitamos a resolver los siguientes ejercicios:
a)
Solución
9.313,301
b)
Solución
−8.672,08
c)
Solución
4.468.605,66602
d)
Solución
91,7044136657
e)
Solución
370,184236
RECURSOS PARA DOCENTES
Tarjetas educativas “Operaciones matemáticas”
En este enlace encontrarás una serie de tarjetas escolares. Cada una con un resumen relacionado con alguna operación matemática.
Día a día comparamos números. Lo hacemos al ver que un precio es más bajo que otro, que los grados aumentan o disminuyen en el termómetro de acuerdo a la temperatura, o que un compañero tuvo una calificación diferente a la nuestra. Todos los números pueden compararse entre sí y para hacerlo existen algunas reglas y símbolos especiales.
Los números de nuestro sistema decimal poseen valores absolutos y relativos. El valor absoluto no considera la posición de la cifra, mientras que el relativo sí. De este modo, y en su función de representar cantidades, podemos hallar números que son mayores que otros. Esta relación nos permite establecer un orden entre ellos.
USO DE LOS SÍMBOLOS DE RELACIÓN
¿Qué son los símbolos de relación?
Son aquellos que permiten comparar números según el valor que estos tengan. Así, al observar dos cantidades podemos determinar si una es mayor, menor o igual que la otra. Para indicar estas relaciones colocamos los siguientes símbolos:
>, se lee “mayor que”.
<, se lee “menor que”.
=, se lee “igual a”.
Mayor que (>)
Todo número ubicado a la izquierda del símbolo “>“ será mayor que el número ubicado a su derecha, entonces, si el símbolo se encuentra entre dos números, significa que el primero es mayor que el segundo.
Menor que (<)
Todo número ubicado a la izquierda del símbolo “<“ será menor que el número ubicado a su derecha, entonces, si el símbolo se encuentra entre dos números, significa que el primero es menor que el segundo.
Igual a (=)
Los números ubicados tanto a la derecha como a la izquierda del símbolo “=” son iguales.
¿Sabías qué?
El matemático inglés Robert Recorde fue quien inventó el símbolo de igualdad. Le dio esta forma porque decía que “dos cosas no pueden ser más iguales que dos rectas paralelas”.
Existe una manera sencilla de memorizar los símbolos de relación y su función, consiste en fijarse en sus extremos. “Mayor que” y “menor que” apuntan su parte más ancha y abierta hacia el número mayor y su parte más cerrada y fina hacia el número menor. Ya que leemos de izquierda a derecha, el primero de los dos extremos que veamos nos dirá cuál símbolo es.
ESTABLECER ORDEN ENTRE DIFERENTES CANTIDADES
Orden de los números naturales
Los números naturales son los números que usamos para contar y con los que estamos más familiarizados. El orden de estos números comienza con sus unidades básicas, que se distribuyen de la siguiente manera:
Posterior al número 9 comienzan los números de dos cifras, formados por decenas y unidades:
El orden de los números naturales continúa en crecimiento hasta alcanzar el número 100, momento en el que se llega a las 3 cifras y aparece la primera centena de la sucesión:
El proceso se repite mientras se suman más y más cifras a la izquierda del número, cada una en representación de un valor mayor:
Esto indica que mientras más cifras tenga un número natural, mayor será su valor. Sin embargo, si dos números poseen la misma cantidad de cifras, hay que diferenciar los valores de cada dígito.
Observa estos ejemplos:
– Compara los números 110 y 120.
Primero vemos sus centenas. En este caso, las dos centenas son iguales (1), así que pasamos a las decenas. Estas son distintas y, por lo tanto, comparamos esos dos dígitos. Como 1 es menor que 2, entonces 110 es menor que 120.
– Compara los números 122 y 123.
Estos números tienen centenas y decenas iguales, así que pasamos a comparar las unidades. Como 2 es menor que 3, decimos que 122 es menor que 123.
– Compara los números 5.392.897 y 5.403.121.
La primera cifra corresponde a las unidades de millón y es la misma en los dos números. Comparamos entonces la siguiente cifra: la centena de mil. Como 3 es menor que 4, decimos que 5.392.897 es menor que 5.403.121.
– Compara los números 25.072.518 y 25.072.523.
Al igual que los casos anteriores, comparamos de izquierda a derecha cada cifra hasta ubicar las que tienen distinto valor. En este ejemplo, las decenas son distintas. Como 1 es menor que 2, decimos que 25.072.518 es menor que 25.072.523.
¡Es tu turno!
– Compara estos números.
9.854.125.369 y 9.854.311.003
Solución
9.854.125.369 < 9.854.311.003
658.899.157.021 y 658.899.157.001
Solución
658.899.157.021 > 658.899.157.001
Desigualdades
Las desigualdades, también llamadas inecuaciones, son expresiones algebraicas que contienen incógnitas y emplean símbolos para expresar la relación entre las partes. Los símbolos usados son:
< menor que
> mayor que
≤ menor o igual que
≥ mayor o igual que
≠ no es igual a
Orden de los números enteros
Los números enteros están formados por los números naturales y los números negativos. Los números negativos poseen una peculiaridad que los diferencia de los positivos: sus valores actúan de forma completamente opuesta. A partir de cero hacia la derecha, los números naturales se hacen cada vez mayores; en cambio, a partir de cero hacia la izquierda, los números negativos se hacen cada vez menores.
Esto quiere decir que si 2 es mayor que 1, −2 es menor que −1.
Es así como los números negativos siguen las mismas reglas de jerarquía que los naturales, pero de forma opuesta. Por ejemplo:
Los dos números tienen la misma cantidad de centenas y de decenas, pero las unidades son distintas. Como −4 es menor que −3, decimos que −424 es menor que −423.
¡Colócalos en orden!
– Ordena los siguientes números enteros de menor a mayor y utiliza el símbolo correspondiente.
Los números decimales son aquellos que tienen una parte entera y una parte decimal, es decir, una cantidad inferior a la unidad. Ambas partes son separadas por una coma.
El orden que siguen los números decimales es parecido a los explicados anteriormente. Observa este ejemplo:
1,4 es menor que 2,4 porque solo se consideraron sus partes enteras.
Si la parte entera de los números es la misma, empezamos a considerar la parte decimal, la cual se divide en cifras con nombres específicos: décimas, centésimas y milésimas. Estas tres unidades decimales son las más comunes, pero la cantidad de cifras puede extenderse hasta el infinito.
Lo más importante a saber para poder ordenar números decimales es que las décimas tienen mayor valor que las centésimas, y estas, a su vez, valen más que las milésimas. Observa las equivalencias:
1 décima = 0,1 unidades
1 centésima = 0,01 unidades
1 milésima = 0,001 unidades
Por lo tanto: 0,1 > 0,01 > 0,001
Ejemplo:
– Compara los números 2,3462 y 2,35.
La parte entera del número es la misma, así que pasamos a la parte decimal. Las décimas son iguales, pero las centésimas no. Como 4 es menor que 5, decimos que 2,3462 es menor que 2,35.
¿Sabías qué?
A diferencia de los números enteros, la cantidad de decimales no determina el valor del número.
¡Colócalos en orden!
– Ordena los siguientes números decimales de menor a mayor y utiliza el símbolo correspondiente.
Los números fraccionarios o fracciones son aquellos números que representan una división o la separación de algo en varias partes. Están formados por un numerador y denominador, ambos separados por una barra horizontal.
La comparación de fracciones dependerá del numerador y el denominador. Los casos pueden ser los siguientes:
Fracciones con igual denominador.
Fracciones con igual numerador.
Fracciones con diferentes numeradores y denominadores.
Fracciones con igual denominador
Si dos fracciones tienen el mismo denominador, la mayor fracción será aquella con mayor numerador. Por ejemplo:
¿Por qué es menor que ?
Observa las gráficas:
Las dos gráficas están divididas en 8 partes, como lo indica el denominador. En la primera tomamos 2 partes de las 8 (2/8), y en la segunda tomamos 4 partes (4/8). Hay más partes tomadas en la segunda gráfica.
Puedes comprobarlo por medio de divisiones:
Si comparamos estos números decimales, tenemos que:
Que es igual a:
Fracciones con igual numerador
Si dos fracciones tienen el mismo numerador, la mayor fracción será aquella con menor denominador. Por ejemplo:
¿Por qué es menor que ?
Observa las gráficas:
En las dos gráficas tomamos 2 partes, como lo indica el numerador. La primera se dividió en 6 partes totales y la otra en 4 partes totales. A pesar de que el número 6 es mayor que 4, aquí el 6 indica una mayor cantidad de divisiones y esto le resta valor a la fracción.
Puedes comprobarlo por medio de divisiones:
Si comparamos estos números decimales, tenemos que:
Que es igual a:
Si tienes dificultades para encontrar el orden de las fracciones, puedes probar este otro método: simplemente divide el numerador entre el denominador, y obtendrás un número entero o un número decimal. Luego sólo tienes que ordenar estos resultados. Su orden será el mismo que el de las fracciones iniciales.
Fracciones con diferente numerador y denominador
Para conocer el orden que tienen estas fracciones no basta con observarlas a simple vista. Para lograrlo debemos seguir dos pasos:
Hallar una fracción equivalente a la que deseamos comparar. Ambas deben tener el mismo denominador.
Comparar las fracciones resultantes según el método ya explicado para las fracciones con igual denominador.
¿Cómo comparar estas fracciones:y ?
1. Calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores. Para ello, debes descomponer cada número en sus factores primos.
m.c.m (5; 9) = 5 x 32 = 5 x 9 = 45
2. Multiplica el denominador por un número cuyo producto sea el m.c.m. Luego multiplica el numerador por ese mismo número. El resultado será su fracción equivalente.
Observa que en la primera fracción 5 x 9 = 45. Por eso, toda la fracción se multiplica por 9/9. Lo mismo sucede con la fracción 5/9, como 9 x 5 = 45, toda la fracción se multiplica por 5/5.
3. Compara las nuevas fracciones con igual denominador. La mayor fracción será aquella con mayor numerador, y como 72 > 25, entonces:
Ejercicios
1. Coloca el símbolo correcto entre los siguientes números.
10 ____ 9
4 ____ 4
8 ____ 27
46 ____ 6
59 ____ 59
40 ____ 70
2 ____ 22
100 ____ 1
23 ____ 32
85 ____ 85
Solución
10 > 9
4 = 4
8 < 27
46 > 6
59 = 59
40 < 70
2 < 22
100 > 1
23 < 32
85 = 85
2. Ordena los siguientes números naturales de menor a mayor y utiliza el símbolo correspondiente para ello.
Todas las sociedades, desde las prehistóricas hasta las modernas, han empleado técnicas para saber cantidades. Desde palos, piedras y marcas, hasta llegar a los símbolos actuales, todos los sistemas de numeración nos ayudan a una importarte y necesaria tarea diaria: contar.
Sistema decimal
Es un sistema de numeración posicional compuesto por diez símbolos o cifras llamados números arábigos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 0. Es el sistema que más se utiliza en la vida cotidiana.
Al ser posicional, cada cifra adquiere un valor relativo de acuerdo a la posición en que se encuentre: unidades, decenas y centenas. De este modo, cada dígito del número 333 tiene un valor distinto a pesar de ser el mismo.
Observa que 300 + 30 + 3 = 333
También puedes escribir el número 333 como 33310 por pertenecer a un sistema de base diez.
Hallar la respuesta a la pregunta ¿cuántos hay? ha sido la razón principal por la que el hombre desarrolló distintos métodos de recuento y dio origen al concepto de “número”. Nuestro sistema de numeración decimal permite no solo escribir de manera efectiva cantidades muy grandes, sino también cantidades muy pequeñas por medio de un posicionamiento visible.
Orden y clase
El sistema de numeración decimal tiene órdenes y clases. La unidad, la decena y la centena son el primero, segundo y tercer orden, respectivamente. Cada orden superior equivale a 10 unidades del orden anterior, es decir, una decena equivale a diez unidades y una centena equivale a 10 decenas.
1 U = 1 U
1 D = 10 U
1 C = 10 D = 100 U
Donde:
U: unidad
D: decena
C: centena
Cada grupo de tres órdenes representa una clase. Así, el número 94.256.328.100.079 tienen dígitos en distintas clases. Observa la tabla:
Este número se lee: “noventa y cuatro billones doscientos cincuenta y seis mil trescientos veintiocho millones cien mil setenta y nueve”.
Equivalencias
1 unidad = 1 unidad
1 decena = 10 unidades
1 centena = 100 unidades
1 unidad de mil (millar) = 1.000 unidades
1 decena de mil (millar) = 10.000 unidades
1 centena de mil (millar) = 100.000 unidades
1 unidad de millón = 1.000.000 unidades
1 decena de millón = 10.000.000 unidades
1 centena de millón = 100.000.000 unidades
1 unidad de millar de millón = 1.000.000.000 unidades
1 decena de millar de millón = 10.000.000.000 unidades
1 centena de millar de millón = 100.000.000.000 unidades
1 unidad de billón = 1.000.000.000.000 unidades
1 decena de billón = 10.000.000.000.000 unidades
1 centena de billón = 100.000.000.000.000 unidades
¡A practicar!
¿Cuántas unidades equivalen a 15 centenas?
Solución
Si 1 centena = 100 unidades, entonces:
15 centenas equivalen a 1.500 unidades.
¿Cuántas unidades equivalen a 3 decenas de millón?
Solución
Si 1 decena de millón = 10.000.000 unidades, entonces:
También lo puedes representar así:
3 decenas de millón equivalen a 30.000.000 unidades.
Sistema binario
Es un sistema de numeración posicional que está constituido solo por dos dígitos: 1 y 0. Este sistema utiliza como base el número 2. Un ejemplo de número binario es:
1000100101002
¿Sabías qué?
El sistema de numeración binario se encuentra con frecuencia en los algoritmos usados en las computadoras y otros equipos electrónicos, pues resulta más sencillo operar solo con los dígitos 0 y 1.
Los sistemas electrónicos emplean una lógica binaria, es decir, manejan la información en base a 0 y 1, donde cero (0) significa que no circula corriente y uno (1) significa que circula corriente. Las computadoras procesan y almacenan en cuestión de segundos gran cantidad de información escrita mediante este sistema.
¿Cómo convertir un número del sistema binario al sistema decimal?
Para transformar un número binario, como 1012, al sistema decimal debes seguir estos pasos:
1. Como el número tiene tres cifras, calcula las tres primeras potencias de 2. Inicia por 20 y escríbelas en orden decreciente.
22 = 4
21 = 2
20 = 1
2. Multiplica cada resultado por el dígito correspondiente al número binario. En este caso 1012.
4 x 1 = 4
2 x 0 = 0
1 x 1 = 1
3. Suma los productos. El resultado será el número en el sistema decimal.
4 + 0 + 1 = 5
Por lo tanto:
1012 = 510
¿Cómo convertir un número del sistema decimal al binario?
Para transformar un número del sistema decimal, como 2510, al sistema binario debes seguir estos pasos:
1. Divide el número sucesivamente entre 2 hasta que el cociente sea igual a 1.
2. Lee la cifra, de derecha a izquierda, de abajo hacia arriba. Ese es el número binario equivalente.
2510 = 110012
¡A practicar!
Transforma los siguiente números al sistema de numeración decimal o binario según sea el caso.
11001002
Solución
En el sistema decimal es 10010.
3610
Solución
En el sistema binario es 1001002.
1110102
Solución
En el sistema decimal es 5810.
Sistema sexagesimal
Es un sistema de numeración posicional conformado por los mismos símbolos del sistema decimal: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 0, pero a diferencia de este último, 60 unidades de un orden forman una unidad de orden superior. Sirve para medir los ángulos y el tiempo.
En el sistema sexagesimal se divide un grado en 60 partes iguales. Cada una de estas partes se llama minuto, y este, a su vez, se divide en otras 60 partes iguales para obtener segundos. Observa la equivalencia:
1 grado = 60 minutos = 3.600 segundos
La unidad de medida de los ángulos es el grado. Esta unidad es el resultado de dividir un ángulo llano (ángulo de 180°) en 180 partes iguales. Por lo general, se utiliza el transportador para medir la amplitud de ángulos. Cada línea en el transportador representa un grado, o lo que es igual, la 1 / 180 parte de un ángulo llano.
¿Cómo se miden los ángulos?
La unidad principal para medir los ángulos es el grado. Si queremos medirlos con mayor precisión utilizamos, además de los grados, los minutos y los segundos.
Un grado se escribe 1°.
Un minuto se escribe 1′.
Un segundo se escribe 1”.
De este modo, 35° 22′ 36” se lee: “35 grados, 22 minutos y 36 segundos”.
Equivalencias
1° = 60′
1′ = 60″
1° = 3.600″
Observa el esquema:
Por ejemplo, para convertir 17 grados a minutos solo debes multiplicar por 60.
17 x 60 = 1.020
17° = 1.020′
Entonces, 17 grados son iguales a 1.020 minutos.
Si quieres convertir esos 17 grados a segundos solo debes multiplicar por 3.600 (60 x 60).
17 x 3.600 = 61.200
17° = 61.200″
Así, 17 grados son iguales a 61.200 segundos.
Esta tabla muestra algunos ejemplos:
Grados (°)
Minutos (‘)
Segundos (“)
17
17 x 60 = 1.020
17 x 3.600 = 61.200
45
45 x 60 = 2.700
45 x 3.600 = 162.000
22
22 x 60 = 1.320
22 x 3.600 = 79.200
También puedes convertir todas las medidas de un ángulo si sumas sus partes. De esta manera, si quieres pasar a segundos la medida del ángulo 6° 9′ 52″, solo sigue estos pasos:
1. Convierte los grados a segundos. Para esto debes multiplicar por 3.600.
6° = 6 x 3.600 = 21.600″
2. Convierte los minutos a segundos. Para estos debes multiplicar por 60.
9′ = 9 x 60 = 540″
3. Como el resultado final debe ser en segundos, los segundos quedan iguales.
52″ = 52″
4. Suma todos los resultados, lo que es igual a:
6° 9′ 52″ = (6 x 3.600) + (9 x 60) + 52 = 22.192″
Pasa a segundos estas medidas de ángulos
4° 35′ 17″
Solución
4° 35′ 17″ = (4 x 3.600) + (35 x 60) + 17 = 16.517″
5° 8′ 45″
Solución
5° 8′ 45″ = (5 x 3.600) + (8 x 60) + 45 = 18.525″
¿Cómo se mide el tiempo?
Las unidades para medir el tiempo son diversas y van desde los milenios hasta los segundos. Para medir tiempos menores a un día usamos las horas, los minutos y los segundos.
1 hora se escribe 1 h.
1 minuto se escribe 1 min.
1 segundo se escribe 1 s.
Equivalencias
1 h = 60 min
1 min = 60 s
1 h = 3.600 s
Observa el esquema:
Por ejemplo, 3 horas, 20 minutos y 2 segundos se representan así: 3 h 20 min 2 s; y si deseas expresar todo en una sola unidad, como segundos, el procedimiento es similar al de los ángulos. Observa:
3 h = 3 x 3.600 = 10.800 s
20 min = 20 x 60 = 1.200 s
2 s = 2 s
Luego sumas todos los resultados, lo que es igual a:
3 h 20 min 2 s = (3 x 3.600) + (20 x 60) + 2 = 12.002 s
Pasa a segundos estas medidas de tiempo
2 h 31 min 23 s
Solución
2 h 31 min 23 s = (2 x 3.600) + (31 x 60) + 23 = 9.083 s
5 h 50 min 5 s
Solución
5 h 50 min 5 s = (5 x 3.600) + (50 x 60) + 5 = 21.005
Números romanos
Este sistema de numeración desarrollado en la Antigua Roma es no posicional y se caracteriza por usar siete letras mayúsculas del alfabeto latino.
En la actualidad, el sistema decimal es el más utilizado para realizar operaciones, aunque, los números romanos también puedes verlos en la vida cotidiana. Este sistema de numeración romano se utiliza para dar la hora en algunos relojes, nombrar siglos, papas y reyes; también se usa en la enumeración de tomos de libros, sagas de películas, leyes, reformas y lápidas conmemorativas.
Sin importar la posición que ocupe cada letra, esta siempre tendrá el mismo valor. No obstante, es de gran importancia seguir las reglas de escritura:
I, X, C y M no pueden escribirse más de tres veces consecutivas en un mismo número.
Un símbolo de menor valor ubicado a la derecha de otro de mayor valor, se suma.
Un símbolo de menor valor ubicado a la izquierda de otro de mayor valor, se resta.
V, L y D se permite escribirlos solamente una vez y no se pueden escribir a la izquierda de otro de mayor valor.
I solo puede colocarse a la izquierda de V o X.
X solo puede colocarse a la izquierda de L o C.
C únicamente se coloca a la izquierda de D o M.
Cuando el número supera el valor 3.999, se traza una línea horizontal sobre el número romano la cual multiplica su valor por mil.
Si se colocan dos rayas horizontales sobre un número romano, su valor se multiplica por un millón.
¿Cómo se convierte un número romano a número arábigo?
Para conocer qué cantidad corresponde a un número romano se deben aplicar las reglas antes mencionadas. Por ejemplo, si deseas saber el número arábigo correspondiente al número romano , sigue estos pasos:
1. Determina los valores de cada letra.
D = 500
C = 100
L = 50
X = 10
I = 1
2. Suma los valores de las letras a la derecha de otra de mayor valor.
DC = 500 + 100 = 600
LXX = 50 + 10 + 10 = 70
3. Resta los valores de las letras a la izquierda de otras de mayor valor.
IX = 10 − 1 = 9
4. Suma todos los resultados, y como el número tiene una barra, multiplica su valor por mil.
¿Existen estos números?
VL
Solución
No. V no puede estar delante de un número de valor mayor como L. Para escribir el número 45 lo correcto es XLV.
LXXXXV
Solución
No. X solo puede escribirse un máximo de tres veces consecutivas en un número. Para escribir el número 95 lo correcto es XCV.
Hay ocasiones en las que los números enteros no son útiles para expresar ciertas magnitudes; los números decimales, en cambio, permiten indicar una cantidad ubicada entre dos enteros y por este motivo son usados a diario en diversas situaciones, como por ejemplo en los precios de los productos y la lectura de la temperatura del cuerpo.
¿Qué son los números decimales?
Son números formados por una parte entera y otra parte menor que la unidad. Los números decimales generalmente se representan con una coma (,) para indicar la separación entre la parte entera que puede ser igual a cero y la parte menor a la unidad.
Los decimales de un número pueden ser finitos o infinitos.
Por ejemplo:
– El número 3,15 es un decimal con un número finito de decimales.
– El número pi es un número con infinitos decimales: 3,1415926535… Al observar sus decimales se puede apreciar que no son periódicos, por lo tanto no siguen un patrón de repetición, a este tipo de números se lo conoce como número irracional.
Los puntos suspensivos (…) son usados para indicar que los decimales de un número son infinitos.
Elementos de un decimal
Como ya sabemos, los números decimales están formados por una parte entera y otra menor a la unidad (conocida también como parte decimal), la parte entera se ubica a la izquierda y la parte decimal a la derecha de la coma.
La parte entera puede ser igual a cero, como por ejemplo 0,5, que es la mitad del número 1.
La parte decimal es conocida también como parte fraccionaria, y siempre representa cantidades menores a la unidad.
Los números decimales pueden ser finitos si su parte fraccionaria es finita; o infinitos si su parte fraccionaria es infinita. Los decimales infinitos, a su vez, se clasifican en periódicos y no periódicos. Los periódicos presentan un patrón infinito en sus decimales, como el número 1,333… y los no periódicos no siguen ningún patrón, como en el caso del número pi.
Lectura de decimales
Antes de aprender a leer números decimales es importante conocer los conceptos de décima, centésima y milésima.
Décima: es el resultado de dividir la unidad en diez partes iguales. En la tabla de valor posicional se muestra con la letra d minúscula.
Centésima: es el resultado de dividir la unidad en cien partes iguales. En la tabla de valor posicional se muestra con la letra c minúscula. La centésima es menor que la décima.
Milésima: es el resultado de dividir la unidad en mil partes iguales. En la tabla de valor posicional se muestra con la letra m minúscula. La milésima es menor que la centésima.
La tabla de valor posicional para un número decimal es:
Para leer un número decimal debes seguir estos pasos:
Lee su parte entera de la misma forma como se hace en la lectura de números enteros en el siguiente orden: centena de mil, decena de mil, unidad de mil, centena, decena, unidad.
Agrega la palabra “unidades” o “enteros”.
Coloca una coma.
Lee la parte decimal de la misma manera en la que se leen los enteros y al final nombra el orden decimal que ocupa la última cifra (décimas, centésimas o milésimas).
Por ejemplo, 535,42 se lee: “quinientas treinta y cinco unidades, cuarenta y dos centésimas“.
En el ejemplo anterior, el 2 corresponde a la última cifra y ocupa el orden de las centésimas por eso se agrega dicho orden al final del número.
Si el decimal tiene una parte entera igual a cero solo se nombra la parte decimal de acuerdo al orden de la última cifra. Por ejemplo, 0,579 se lee: “quinientas setenta y nueve milésimas“.
¿Sabías qué?
Cuando un número decimal termina en cero este número puede omitirse sin alterar su valor. Así, 1,50 es igual a 1,5.
Utilidad de los decimales
Gracias a que permiten expresar números menores a la unidad, uno de sus principales usos son en las mediciones, desde la lectura de la temperatura hasta la determinación del tamaño de una bacteria, por ejemplo. Por esta razón, los decimales son indispensables en los cálculos empleados en disciplinas como la arquitectura, la medicina, la ingeniería y muchas otras más.
Para comparar dos números decimales lo primero que se debe hacer es comparar sus partes enteras, la que sea mayor corresponderá al número decimal mayor, por ejemplo: 21,5 es mayor que 9,785 porque 21 es mayor a 9. Cuando dos números decimales tienen igual parte entera se comparan sus partes decimales, por ejemplo: 7,58 es mayor a 7,49 porque 58 es mayor a 49.
¿Se usa punto o coma?
La respuesta es simple: ¡cualquiera de las dos! La diferencia en usar una u otra radica en el lugar en donde te encuentres. La coma y el punto son usados como separadores de los números decimales y ambos son válidos. En gran parte de Europa y América del Sur se emplea la coma, pero algunos países como Estados Unidos, Canadá, México y Reino Unido emplean el punto.
Sumas y restas de decimales
Las sumas y restas de números decimales se hacen del mismo modo que con los números enteros. En estos casos se deben colocar los números que se vayan a sumar o restar uno debajo del otro, de manera tal que las cifras del mismo orden se encuentren en la misma columna, es decir, las centenas con las centenas, las decenas con las decenas, las unidades con las unidades, las décimas con las décimas y así sucesivamente. De igual forma, las comas deben estar ubicadas en la misma columna.
Observa la manera correcta de sumar los números 124,32 + 267,11:
Luego, la suma se realiza como una suma normal sin considerar la coma, al final, la coma en el resultado estará ubicada en la columna correspondiente.
Si las cifras que se suman no tiene la misma cantidad de decimales, se completa con cero la cifra de menor número de decimales. Por ejemplo, 74,874 +41,41 se calcula de la siguiente manera:
En el caso de una resta se cumplen los mismos pasos para restar enteros y las cifras se ubican una debajo de la otra de acuerdo a su valor posicional. Si es necesario se agregan ceros en la parte decimal de forma tal que los números tengan la misma cantidad de decimales.
Por ejemplo, al realizar la resta de 945,5 − 307,182 el procedimiento sería:
Cuando se resuelvan ejercicios con números decimales que tengan la parte entera igual a cero, la suma o resta puede realizarse sin ningún tipo de inconveniente, pero con la previsión de que todas sus cifras estén correctamente ordenadas. Un error común es ubicar las comas de los números en columnas distintas con lo cual el resultado será incorrecto.
¡A practicar!
¿Cómo se leen los siguientes números decimales?
a) 457,5
Solución
Cuatrocientas cincuenta y siete unidades, 5 décimas.
b) 8,742
Solución
Ocho unidades, setecientas cuarenta y dos milésimas.
c) 0,92
Solución
Noventa y dos centésimas.
d) 100,102
Solución
Cien unidades, ciento dos milésimas.
Calcula el resultado de las siguientes sumas:
a) 178,45 + 278,73
Solución
457,18
b) 14,2 + 29,178
Solución
43,378
c) 402,745 + 61,45
Solución
464,195
d) 652,314 + 174,074
Solución
826,388
Calcula el resultado de las siguientes restas:
a) 279,3 − 142,1
Solución
137,2
b) 542,22 − 419,1
Solución
123,12
c) 547,943 − 390,451
Solución
157,492
d) 482,1 − 125,748
Solución
356,352
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Números decimales”
El siguiente artículo profundiza la información sobre los números decimales y explica su relación con las fracciones.
El video muestra ejemplos de sumas y restas de números decimales, así como los elementos a tener en cuenta durante la realización de este tipo de ejercicios.
En el ejemplo anterior, el 2 corresponde a la última cifra y ocupa el orden de las centésimas por eso se agrega dicho orden al final del número.
