CAPÍTULO 3 / TEMA 3

capacidad

Si tenemos un vaso de vidrio y una taza pequeña de té, ¿en cuál cabe más agua? En el vaso, ¿cierto? La propiedad que indica lo que cabe dentro de un recipiente se llama capacidad, y la vemos en todos los envases de gaseosas, aceites y jugos. A continuación aprenderás cuáles son sus unidades de medida y cómo convertirlas.

el litro y el mililitro

La capacidad nos permite conocer qué cabe dentro de un recipiente, por ejemplo, en uno de leche, perfume o champú. Estas cantidades se expresan con unidades de medida y las más usadas son el litro y el mililitro.

Capacidad y volumen: ¿son lo mismo?

No, la capacidad es la cantidad que cabe dentro de un recipiente, mientras que el volumen es la cantidad de espacio que ocupa un cuerpo. La unidad de medida del volumen es el metro cúbico, mientras que la unidad de medida de la capacidad es el litro.

El litro es la unidad principal de las medidas de capacidad y en forma abreviada se representa con la letra L. Al litro lo podemos dividir en medios litro y cuartos de litro. Observa:

– Ejemplo:

Esta jarra tiene capacidad para 1 litro de jugo. Si solo tenemos vasos de ½ litro, ¿cuántos vasos podríamos llenar? ¿y si son de ¼ de litro?

Si dividimos un litro en dos partes iguales, cada parte es igual a ½ litro o 0,5 L, es decir, que si tenemos vasos de ½ litro podemos llenar solo 2 vasos.

1 litro = ½ litro + ½ litro

Si dividimos un litro en cuatro partes iguales, cada parte es ¼ de litro o 0,25 L, entonces, si tenemos vasos de ¼ de litro podemos llenar solo 4 vasos.

1 litro = ¼ de litro + ¼ de litro + ¼ de litro + ¼ de litro

¡Es tu turno!

Susana llenó su termo con ocho vasos de ¼ de litro. ¿Qué capacidad tiene el termo?

Solución

2 litros.

Una pecera tiene una capacidad de 4 litros. ¿Cuántas botellas de medio litro son necesarias para llenarla?

Solución

8 botellas.

El litro tiene submúltiplos y con ellos podemos expresar cantidades pequeñas de capacidad, estos son el decilitro (dL), centilitro (cL) y el mililitro (mL). Las equivalencias son las siguientes:

1 decilitro (dL) = 0,1 litros (L)
1 centilitro (cL) = 0,01 litros (L)
1 mililitro (mL) = 0,001 litros (L)

Además de los submúltiplos, el litro tiene múltiplos, es decir, unidades que nos permiten expresar cantidades grandes de capacidad. Estos son el kilolitro (kL), el hectolitro (hL) y el decalitro (daL).

Sus equivalencias son:

1 kilolitro (kL) = 1.000 litros (L)
1 hectolitro (hL) = 100 litros (L)
1 decalitro (dL) = 10 litros (L)

Para que tengas una idea acerca de las unidades de capacidad veamos algunos ejemplos:

El mililitro es un submúltiplo del litro y se representa con las letras mL. Se utiliza a menudo para medir pequeñas cantidades de líquidos.

En las antiguas civilizaciones se usaban envases de cerámica de medida estándar para medir el volumen, estas se llamaban ánforas y eran empleadas en todos los territorios griegos. Tenían diferentes tamaños y formas que variaban de acuerdo a su uso y capacidad, había desde 2 litros hasta 26 litros.

conversión de las unidades de capacidad

Las principales unidades de capacidad son el litro y el mililitro. Si queremos comparar dos capacidades, la de un tanque y la de una botella, y una está en litros y la otra en mililitros, lo primero que debemos hacer es convertir las unidades. De esta manera las dos tendrán la misma unidad y podrás compararlas.

Con este esquema podemos convertir litros a sus submúltiplos y viceversa:

Para convertir unidades de capacidad existen dos métodos:

El primero consiste en mover a la derecha o a la izquierda la coma del número tantos lugares como casillas sean necesarias para llegar a la unidad deseada.
El segundo consiste en multiplicar o dividir por diez tantas veces como casillas se necesiten para llegar a la unidad deseada.

– Ejemplo:

Convierte 1,89 L a mL

Primer método

Dibuja el cuadro y mueve tantos lugares a la derecha como sean necesarios hasta llegar a la posición de los mililitros.

Como nos desplazamos tres lugares a la derecha, movemos la coma tres lugares a la derecha.

Observa que después del 9 agregamos un cero y al lado la coma.

Entonces, 1,89 L equivalen a 1.890 mL.

Segundo método

Multiplica tres veces seguidas por diez (10).

Observa que tres veces diez (10) es igual a 10 x 10 x 10 = 1.000. Así que puedes multiplicar de forma directa:

1,89 x 1.000 = 1.890

El resultado será el mismo, 1,89 L son equivalentes a 1.890 mL.

– Otro ejemplo:

Convierte 4.320 mL a L.

Primer método

Dibuja el cuadro y mueve tantos lugares a la izquierda como sean necesarios hasta llegar a la posición de los litros.

Como nos desplazamos tres lugares a la izquierda, movemos la coma tres lugares a la izquierda.

Entonces, 4.320 mL son equivalentes a 4,32 L.

Segundo método

Divide tres veces seguidas por diez (10).

Observa que tres veces diez (10) es igual a 10 x 10 x 10 = 1.000. Así que puedes dividir de forma directa:

4.320 ÷ 1.000 = 4,32

El resultado será el mismo, 4.320 mL son equivalentes a 4,32 L.

Otras medidas de capacidad

• El barril, que equivale a 159 litros, se utiliza para determinar la cantidad de petróleo y algunos de sus productos derivados como la gasolina.

• El galón, que equivale a 3,785 litros, se utiliza cuando compramos enormes cantidades de líquidos, por ejemplo la pintura para pintar la casa.

¿cómo medir la capacidad?

Muchos envases muestran con etiquetas o marcas la capacidad que tienen, y muchos otros sirven para medir el líquido contenido en ellos. En tu hogar puedes ver algunos como estos:

Este tipo de recipientes tienen una escala en litros o en mililitros que nos permite conocer la cantidad del líquido que se encuentra dentro de ellos.

– Ejemplo:

Si tenemos una botella llena de leche, pero no conocemos su capacidad, ¿cómo podemos saber cuántos mL de leche contiene la botella?

Para conocer la capacidad de la botella podemos usar un vaso graduado o jarra medidora como esta:

Como puedes ver, el vaso tiene marcas para indicar la medidas en mililitros (mL) hasta llegar a 1 litro (L), que es su capacidad máxima. Así que solo agregamos la leche de la botella en el vaso graduado para poder medir la cantidad de líquido.

Después de verter todo lo líquido, nos fijamos en qué marca quedó la leche. En este caso quedó en los 500 mL o ½ L.

Por lo tanto, la botella de leche tiene una capacidad de 500 mL o ½ L.

¡Es tu turno!

¿Cuánto jugo de naranja contiene el vaso graduado?

Solución

400 mL.

Usamos las unidades de medida de capacidad a diario. En el supermercado podemos encontrar diferentes productos como agua, jugo, leche, yogurt y aceite envasados en algún recipiente, el cual, sin importar la forma que tenga, tendrá un volumen determinado de ese líquido. Es decir, la forma del envase no tiene relación con su capacidad.

problemas de capacidad

1. Aurora compró 3 litros de jugo de naranja, 4 litros de jugo de manzana, 2 medios litros de jugo de fresa y 4 cuartos de litro de jugo de pera. ¿Cuántos litros de jugo compró en total?

Datos

Jugo de naranja: 3 L

Jugo de manzana: 4 L

Jugo de fresa: 2 veces ½ L

Jugo de pera: 4 veces ¼ L

Pregunta

¿Cuántos litros de jugo compró en total?

Piensa

Para saber la cantidad total de litros debes saber el total de litros por fruta. Así que primero suma los medios litros del jugo de fresa y los cuartos de litro del jugo de pera. Al final, suma con los litro de jugo de naranja y manzana.

Resuelve

Juego de fresa:

½ L + ½ L = 1 L

Compró 1 L de jugo de fresa.

Jugo de pera:

¼ L + ¼ L + ¼ L + ¼ L = 1 L

Compró 1 L de jugo de pera.

Todos lo sabores:

3 L + 4 L + 1 L + 1 L = 9 L

Solución

Aurora compró 9 litros de jugo en total.

2. Un balde de agua tiene 3,46 litros, si la capacidad total del balde es de 10.000 mililitros, ¿cuántos litros le falta al balde para llenarse?

Datos

Capacidad del balde: 10.000 mL

Volumen de agua en el balde: 3,46 L

Pregunta

¿Cuántos litros le falta al balde para llenarse?

Piensa

a. Tenemos que convertir los mililitros a litros para que los dos datos tengan las mimas unidades.

b. Hay que hacer una resta entre la capacidad total del balde y lo que ya tiene de agua.

Resuelve

a. Para convertir los mililitros a litros basta con dividir 10.000 ÷ 1.000.

10.000 ÷ 1.000 = 10

El balde tiene una capacidad total de 10 L.

b. Hacemos la resta:

10 L − 3,46 L = 6,54 L

Solución

Faltan 6,54 litros para llenar el balde.

3. Durante el día, Gloria se ha tomado 800 mililitros de jugo de naranja natural y Pedro se ha tomado 1,4 litros. ¿Cuál de los dos ha tomado más jugo?

Datos

Jugo tomado por Gloria: 800 mL

Jugo tomado por Pedro: 1,4 L

Pregunta

¿Cuál de los dos ha tomado más jugo?

Piensa

Tenemos que convertir los mililitros a litros para que los dos datos tengan las mismas unidades, para eso solo dividimos 800 entre 1.000. Luego comparamos el resultado con 1,4 para saber cuál es la mayor.

Resuelve

División:

800 ÷ 1.000 = 0,8

800 mL son equivalentes a 0,8 L.

Comparación

1,4 > 0,8.

Solución

Pedro ha tomado más jugo que Gloria.

4. Pablo está enfermo y el doctor le ha indicado tomar 0,7 centilitros de la medicina, pero su jeringuilla dosificadora tiene una escala en mililitros. ¿Cuántos mililitros debe tomar de su medicina?

Datos

Medicina indicada: 0,7 centilitros

Pregunta

¿Cuántos mililitros debe tomar de su medicina?

Piensa

Hay que convertir los centilitros a mililitros para saber cuánto puede tomar.

Calcula

0,7 x 10 = 7

Solución

Pablo debe tomar 7 mL de su medicina.

¡A practicar!

Realiza las siguientes conversiones:

2.000 mL a L

Solución

2 L

4,8 L a mL

Solución

4.800 mL

2.960 mL a L

Solución

2,96 L

5,97 L a mL

Solución

5.970 mL

500 mL a L

Solución

0,5 L

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Capacidad y volumen”

El siguiente material permitirá que trabajes con tus alumnos las unidades de capacidad y volumen y sus aplicaciones.

VER

CAPÍTULO 1 / TEMA 2

vALOR POSICIONAL

En nuestro sistema de numeración utilizamos solo 10 cifras para escribir todos los números, pero cada una de estas cifras puede tener valores distintos según su posición, por ejemplo, en el número 222, el primer 2 de izquierda a derecha vale 200, el segundo 20 y el tercero 2. Esto es lo que llamamos valor posicional y puedes aplicarlo a cualquier número.

¿qué es el Valor posicional?

Estos son los diez dígitos de nuestro sistema de numeración decimal. Con ellos podemos formar cualquier cantidad de números. El valor posicional de cada uno importa porque nos indica el valor total, pues no es lo mismo tener $ 321 que $ 123. A pesar de que tienen las mismas cifras (1, 2 y 3), con $ 321 puedes comprar más cosas que con $ 123.

El valor posicional es el valor que tiene una cifra en un número y depende de su posición o lugar. Estas posiciones se conocen como unidad, decena y centena; y según la clase pueden ser “de miles” o “de millones. Observa estas equivalencias:

1 unidad = 1 U
1 decena = 10 U
1 centena = 100 U
1 unidad de mil = 1.000 U
1 decena de mil = 10.000 U

– Ejemplo 1:

El número 473 tiene tres cifras y cada una ocupa estas posiciones:

– Ejemplo 2:

El número 2.984 tiene 4 cifras y cada una ocupa estas posiciones:

¿Sabías qué?

Los valores posicionales tienen estas abreviaturas: U (unidades), D (decenas), C (centenas), UM (unidades de mil) y DM (decenas de mil).

Tabla posicional

Podemos ubicar todas las cifras de un número en una tabla posicional. Esta nos ayuda a ver con facilidad el valor de cada una de las cifras por medio de columnas identificadas.

Esta es una tabla posicional para números de 6 cifras. Observa que en las columnas de color en azul están las unidades, las decenas y las centenas; mientras que en las columnas de color naranja están las unidades de mil, las decenas de mil y las centenas de mil.

¿cómo representar números en la tabla posicional?

Si queremo ubicar las cifras de un número en la tabla posicional tenemos que empezar por la primera cifra de derecha a izquierda, esa será la unidad. La segunda cifra de derecha a izquierda será la decena, la siguiente la centena y así sucesivamente.

– Ejemplo:

Ubica las cifras del número 7.946 en la tabla posicional.

Como la primera cifra de derecha a izquierda es el 6, colocamos el 6 en la casilla de las unidades. Luego el 4 en la de las decenas, el 9 en las centena y el 7 en las unidades de mil.

¡A practicar!

Ubica estos números en la tabla posicional:

8.104

Solución

1.789

Solución

Conocer el valor posicional de las cifras de cada número resulta de gran utilidad cuando manejamos dinero. Por lo general, los billetes y monedas vienen con valores de 1, 10 y 100 unidades. De este modo, si necesitamos pagar una cuenta de $ 483, solo debemos tomar 4 billetes de $ 100, 8 de $ 10 y 3 de $ 1.

– Problema 1

En una pastelería se hacen entregas de donas todas las semanas. El transporte de las donas se hace en cajas de 100, cajas de 10 y otras sueltas. Esta semana se pidieron las siguientes cantidades: 318, 173, 486 y 300. Si el encargado prepara los pedidos, ¿cuántas cajas de 100 y de 10 necesita para cada orden? ¿cuántas donas irán sueltas en cada caso?

Primer pedido

El primer pedido es de 318 donas. Lo primero que hacemos es ubicar este número en una tabla posicional.

En la tabla posicional vemos que hay:

3 centenas = 3 veces 100
1 decena = 1 vez 10
8 unidades = 8 veces 1

Hagamos la representación con las cajas y donas:

Por lo tanto, el encargado necesita 3 cajas de 100, 1 caja de 10 y 8 donas sueltas.

Segundo pedido

El segundo pedido es de 163 donas. Ubicamos este número en una tabla posicional.

En la tabla posicional vemos que hay:

1 centenas = 1 vez 100
6 decenas = 6 veces 10
3 unidades = 3 veces 1

Hagamos la representación con las cajas y donas:

Para este pedido el encargado necesita 1 caja de 100, 6 cajas de 10 y 3 donas sueltas.

¡Responde!

¿Cómo preparó el encargado los demás pedidos?

Tercer pedido

Solución

Este pedido es de 245 donas. Ubicamos este número en una tabla posicional.

En la tabla posicional vemos que hay:

2 centenas = 2 veces 100
4 decenas = 4 veces 10
5 unidades = 5 veces 1

Hagamos la representación con las cajas y donas:

Para este pedido el encargado necesita 2 cajas de 100, 4 cajas de 10 y 5 donas sueltas.

Cuarto pedido

Solución

Este pedido es de 300 donas. Ubicamos este número en una tabla posicional.

En la tabla posicional vemos que hay:

3 centenas = 3 veces 100

Hagamos la representación con las cajas y donas:

Para este pedido el encargado necesita 3 cajas de 100.

– Problema 2

En un juego de fichas, cada una de estas figuras indica una cantidad de puntos.

Observa que:

1 cubo azul = 1 unidad
1 barra roja = 1 decena
1 placa verde = 1 centena
1 caja amarilla = 1 unidad de mil

Carla sacó estas fichas, ¿cuántos puntos obtuvo?

Hay 2 cajas amarillas → 2 unidades de mil
Hay 1 placa verde → 1 centena
Hay 3 barras rojas → 3 decenas
Hay 8 cubos azules → 8 unidades

En una tabla posicional colocamos cada cifra según el valor que tenga.

Carla obtuvo 2.138 puntos.

Pedro sacó estas fichas, ¿cuántos puntos obtuvo?

Hay 5 cajas amarillas → 5 unidades de mil
Hay 0 placa verde → 0 centena
Hay 2 barras rojas → 2 decenas
Hay 3 cubos azules → 3 unidades

En una tabla posicional colocamos cada cifra según el valor que tenga.

Pedro obtuvo 5.023 puntos.

¿Sabías qué?

Hubo dos civilizaciones antiguas que usaron el principio de posición y representaron la ausencia de unidades mediante el cero: los babilonios y los mayas.

Descomposición aditiva de un número

La descomposición aditiva consiste en expresar un número como una suma de dos o más números. Para esta descomposición consideramos los valores posicionales.

Por ejemplo, el número 3.456 se coloca de esta manera en una tabla posicional:

En la tabla vemos que hay:

3 unidades de mil = 3 veces 1.000 = 3.000
4 centenas = 4 veces 100 = 400
5 decenas = 5 veces 10 = 50
6 unidades = 6 veces 1 = 6

Por lo tanto, podemos decir que el número 3.456 es igual a la suma de todos sus valores posicionales. Observa:

3.456 = 3.000 + 400 + 50 + 6

El ábaco es uno de los objetos más antiguos utilizados por el hombre para realizar sus operaciones matemáticas y quizás el de mayor distribución a nivel mundial. Esta herramienta o instrumento se utiliza para hacer cálculos manuales por medio de piezas de colores que representan los valores posicionales de una cifra.

¡A practicar!

Escribe la descomposición aditiva de los siguientes números:

7.342

Solución

Valores posicionales

7 unidades de mil = 7 veces 1.000 = 7.000
3 centenas = 3 veces 100 = 300
4 decenas = 4 veces 10 = 40
2 unidades = 2 veces 1 = 2

Descomposición aditiva

7.342 = 7.000 + 300 + 40 + 2

9.716

Solución

Valores posicionales

9 unidades de mil = 9 veces 1.000 = 9.000
7 centenas = 7 veces 100 = 700
1 decena = 1 vez 10 = 10
6 unidades = 6 veces 1 = 6

Descomposición aditiva

9.716 = 9.000 = 700 + 10 + 6

8.053

Solución

Valores posicionales

8 unidades de mil = 8 veces 1.000 = 8.000
5 decenas = 5 veces 10 = 50
3 unidades = 3 veces 1 = 3

Descomposición aditiva

8.053 = 8.000 + 50 + 3

¿Sabías qué?

Cuando el valor de una cifra es cero (0) no se escribe en la descomposición.

¡Hora de practicar!

1. Escribe el valor posicional de los dígitos en color rojo.

216

Solución

Unidad.

1.971

Solución

Centena.

7.031

Solución

Centena.

532

Solución

Decena.

828

Solución

Unidad.

6.220

Solución

Decena.

9.483

Solución

Unidad de mil.

2. Une la descomposición con el numero correspondiente.

Solución

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Composición y descomposición de números”

Este artículo explica cómo realizar composiciones y descomposiciones aditivas que ayudarán al alumno a realizar cálculos mentales con números naturales.

VER

Artículo “Sistemas posicionales de numeración”

En este artículo podrás profundizar sobre la representación de los números en varios sistemas de numeración.

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Artículo “Descomposición de números”

Con este recurso tendrás las herramientas necesarias para hacer la descomposición de aditiva de los números naturales.

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CAPÍTULO 5 / TEMA 1

NOCIÓN DE FRACCIÓN

Así como usamos los números naturales para representar cantidades y decir que, por ejemplo, tenemos 3 pelotas; también existen otros números que nos permiten expresar partes de un todo. Estos números son conocidos como fracciones, hay varios tipos y tienen más usos de los que te imaginas.

¿qUÉ ES UNA FRACCIÓN?

Una fracción es una división e indica las partes de un entero. Por ejemplo, cuando cortamos una torta en varias partes hacemos una división de un entero, es decir, la torta es el entero y cada una de las partes en las que la cortamos puede ser representada con una fracción.

Si cortas en cuatro partes iguales una pizza y te comes una parte, ¿con qué número representarías ese pedazo? ¡Es muy fácil! Solo debes colocar un número sobre otro con una raya en medio: el número de pedazos que comemos va arriba, y el número de veces que dividimos la pizza va abajo. Entonces, ese pedazo de pizza es igual a 1/4.

¿Sabías qué?

En las culturas babilónicas y egipcias aparecieron inscripciones simbólicas que representaban el uso de fracciones.

Elementos de una fracción

Todas las fracciones están formadas por un numerador y un denominador separados por una línea horizontal llamada raya fraccionaria.

El numerador es el número de partes que tomamos del entero.
El denominador es el número de partes iguales en las que dividimos al entero.

Observa este gráfico:

El denominador es 4 porque el cuadrado está dividido en 4 partes iguales.
El numerador es 3 porque solo 3 cuadros están coloreados de rojo.

VER INFOGRAFÍA

Raya fraccionaria: ¿quién la creó?

Las fracciones eran empleadas en la antigüedad por los babilonios, romanos y egipcios. No obstante, fue hasta el siglo XIII que empezaron a usarse tal y como las conocemos en la actualidad. Esto sucedió gracias a los trabajos de Leonardo de Pisa, mejor conocido como Fibonacci. Él fue quien creó la raya para separar al numerador y denominador.

tipos de fracciones

Las fracciones pueden ser propias, impropias y aparentes.

Fracciones propias

Son aquellas en las que el numerador es menor que el denominador. La fracción propia representa un número menor que el entero.

– Ejemplo:

El cuadrado totalmente pintado de verde representa al número entero 1, mientras que el cuadrado con una sola parte pintada de verde representa a la fracción 1/2, es decir, la mitad de 1.

Observa que el gráfico de la fracción tiene menos partes verdes que el de la unidad, es decir, es menor que 1.

Símbolos de relación

Son los que usamos para indicar que una cantidad es mayor, menor o igual a otra. Estos son:

Símbolo	Significado
<	Menor que
>	Mayor que
=	Igual a

Fracciones impropias

Son aquellas en las que el numerador es mayor que el denominador. La fracción impropia representa un número mayor que el entero.

– Ejemplo:

El cuadrado totalmente pintado de morado representa al número 1. Para representar la fracción 4/3 fue necesario una unidad (un cuadrado morado) y 1/3 de otra unidad (tomar una parte de otro cuadrado).

Observa que el gráfico de la fracción tiene más partes moradas que el de la unidad, es decir, es mayor que 1.

¡Dibuja una fracción impropia!

$\frac{5}{2}$ es una fracción impropia porque su numerador es mayor a su denominador. Para graficar la fracción seguimos estos pasos:

1. Tomamos una figura como la unidad, por ejemplo un cuadrado.

2. Como el denominador es 2, dividimos en dos partes iguales el cuadrado.

3. Como el numerador es 5, debemos pintar cinco partes, pero cada figura de la unidad solo tiene 2 partes. Por ello, añadimos más figuras idénticas para poder pintar las cinco partes.

Observa que la fracción $\frac{5}{2}$ es mayor a 1 porque hicieron falta dos unidades completas y la mitad de otra para poder representarla.

Fracciones aparentes

Son aquellas en las que el resultado es igual a un número entero.

– Ejemplo:

Al ver el gráfico nos damos cuenta que 4/2 es igual a 2 enteros.

¿De qué tipo son estas fracciones?

Observa estas fracciones y responde:

¿Cuáles fracciones son impropias?

Solución

$\frac{9}{2}$ y $\frac{10}{6}$

¿Cuáles fracciones son propias?

Solución

$\frac{3}{6}$ , $\frac{2}{3}$ , $\frac{1}{2}$ y $\frac{6}{7}$

¿Cuáles fracciones son aparentes?

Solución

$\frac{8}{2}$ y $\frac{6}{3}$

Fracciones egipcias

Hace miles de años los egipcios escribieron cómo utilizaban las fracciones en el papiro de Rhind. Este documento muestra cómo clasificaban y sumaban las fracciones en su época.

fracciones en la vida cotidiana

En muchas actividades que realizamos en el día utilizamos fracciones. Cuando ayudamos en la cocina vemos como una receta tiene sus ingredientes con fracciones, por ejemplo, 1/2 taza de azúcar. También usamos este tipo de números cuando vamos a la panadería y nos venden 3/4 kilo de pan, o en la verdulería 1/4 kilo de tomates. Al repartir comida, golosinas y otras cosas empleamos una parte del todo para que el reparto sea igualitario.

¡A practicar!

1. Observa estas fracciones y responde las preguntas:

¿Cuáles fracciones son propias?

Solución

$\frac{6}{12}$ , $\frac{5}{6}$ , $\frac{15}{18}$ , $\frac{12}{20}$ y $\frac{10}{12}$

¿Cuáles fracciones son impropias?

Solución

$\frac{7}{5}$ , $\frac{9}{6}$ , $\frac{11}{3}$ y $\frac{5}{4}$

¿Cuáles fracciones son aparentes?

Solución

$\frac{8}{4}$

2. Observa estos gráficos, ¿qué fracción representan?

Solución

Partes pintadas: 4
Partes en las que se dividió el entero: 9

Fracción: $\mathbf{\frac{4}{9}}$

Solución

Partes pintadas: 6
Partes en las que se dividió el entero: 4

Fracción: $\mathbf{\frac{6}{4}}$

Solución

Partes pintadas: 5
Partes en las que se dividió el entero: 6

Fracción: $\mathbf{\frac{5}{6}}$

Solución

Partes pintadas: 3
Partes en las que se dividió el entero: 8

Fracción: $\mathbf{\frac{3}{8}}$

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Fracciones”

Este artículo permitirá profundizar la información sobre las fracciones.

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Artículo “Clasificación de fracciones”

Este recurso permitirá complementar la información sobre la clasificación de fracciones.

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CAPÍTULO 4 / TEMA 7 (REVISIÓN)

GEOMETRÍA | ¿QUÉ APRENDIMOS?

UBICACIÓN ESPACIAL

La ubicación espacial nos sirve para conocer dónde estamos con respecto a todo lo que nos rodea, de este modo podemos señalar con facilidad nuestra ubicación. Términos como arriba, abajo, derecha, izquierda, delante y detrás son de gran utilidad para el desarrollo del sentido de la orientación. Si deseamos ubicar puntos en un plano podemos usar los ejes de coordenadas: un conjunto de líneas verticales y horizontales que nos brindan los datos necesarios para saber la posición exacta de un objeto en una cuadrícula.

En esta imagen, los crayones están dentro de un recipiente, el cuaderno está sobre la mesa y los bolígrafos están al lado del cuaderno.

CUERPOS GEOMÉTRICOS

Los cuerpos geométricos poseen tres dimensiones: alto, largo y ancho. Estos cuerpos pueden ser poliedros, tales como el cubo, la pirámide y el prisma; también pueden ser cuerpos redondos, como la esfera, el cono y el cilindro. Los elementos que los componen son las caras, las aristas y los vértices. Las caras de los cuerpos geométricos son figuras planas.

Las pirámides de Egipto fueron construidas con forma de pirámide cuadrangular porque simbolizaban los rayos del Sol.

ELEMENTOS GEOMÉTRICOS

El punto, la recta, el rayo y el segmento son elementos geométricos. El punto indica una posición, el rayo posee un origen y se extiende hacia el infinito, el segmento tiene un principio y un final, y la recta es una sucesión de puntos que siguen una misma dirección. Por otro lado, dos rectas pueden ser paralelas cuando no se cortan en ningún punto; perpendiculares cuando al cortarse forman cuatro ángulos rectos y oblicuas cuando al cortarse no forman ángulos rectos.

Los cables de electricidad representan rectas paralelas. Al verlos dan la ilusión de tres rectas que no se tocan entre sí.

ángulos

El ángulo es una porción comprendida entre dos lados con un origen en común llamado vértice. Según sus medidas el ángulo puede ser convexo, nulo, agudo, recto, obtuso, cóncavo, llano y completo. Según su posición existen ángulos adyacentes, consecutivos y opuestos por el vértice. Para estimar la medida de un ángulo es preferible usar medidas de referencia que ya conocemos, como ángulos de 45° y 90°.

perímetro

El perímetro es el contorno de una figura. Para averiguar el perímetro de polígonos regulares multiplicamos la cantidad de lados por la longitud del lado. En cambio, para polígonos no regulares el perímetro lo calculamos al sumar todos los lados de la figura. Conocer cuánto mide el perímetro de una figura te ayudará a saber cuánto material se utilizó para alambrar una cancha de fútbol y en otros múltiples usos.

transformaciones isométricas

Una transformación isométrica es el cambio de posición que sufre una figura. Estas transformaciones pueden ser por rotación, por traslación o por reflexión. La rotación se refiere al giro alrededor de un punto fijo; la traslación consiste en mover todos los puntos de una figura en la misma dirección, sentido y distancia; y la reflexión no es más que el reflejo de la figura respecto de un eje de simetría. Estas transformaciones no cambian ni la forma ni el tamaño de las figuras.

El planeta Tierra presenta varios movimientos, dos de ellos son la traslación y la rotación.

CAPÍTULO 4 / TEMA 6

TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS

Las figuras geométricas pueden sufrir diversas alteraciones y una de estas es la isométrica. Una transformación isométrica es el cambio de posición que puede sufrir una figura sin alterar su tamaño o forma. Existen tres tipos de transformaciones: la rotación, la traslación y la reflexión.

¿Qué es la isometría?

La palabra “isometría” significa “igual medida”, por esta razón cuando una figura recibe una transformación isométrica resulta que la figura original y la final son semejantes y congruentes, es decir no cambian ni de forma ni tamaño.

Las transformaciones isométricas que puede recibir una figura plana son la rotación, la traslación y la reflexión.

rOTACIÓN

Para rotar una figura se la gira en torno a un punto fijo llamado punto de rotación, alrededor de este punto la figura se moverá una cantidad de grados respecto de un ángulo. En este movimiento la figura mantiene la forma y el tamaño.

En la imagen, el triángulo azul giró 60° en sentido contrario a las agujas del reloj y se obtuvo otro triángulo de color rosa que no ha perdido sus dimensiones ni tamaño.

TRaslación

La traslación es un movimiento directo de una figura en la que todos sus puntos se mueven en la misma dirección y distancia. Al transformar una figura por traslación la misma no pierde la medida de sus lados ni ángulos como tampoco su orientación, no gira ni se refleja.

Podemos desplazar una figura de la siguiente manera:

En una dirección, ya sea horizontal, vertical u oblicua.
En un sentido, esto puede ser a la izquierda, a la derecha, arriba o abajo.
A una distancia, que es la longitud en la que se va a desplazar la figura inicial de la figura final.

En muchas situaciones de la vida cotidiana utilizamos el movimiento de traslación, por ejemplo, cuando movemos un mueble, subimos un ascensor o recorremos una ciudad en subterráneo (metro).

Movimientos de la Tierra

La Tierra se mueve constantemente en el espacio y posee dos movimientos principales: el movimiento de rotación y el movimiento de traslación. Cuando se produce el movimiento de rotación la Tierra da vueltas sobre su propio eje y tarda 24 horas en completarlo. Al mismo tiempo en el que la Tierra gira sobre su eje también se produce el movimiento de traslación alrededor del Sol que tarda 365 días.

REFLEXIÓN

La reflexión es un movimiento en la que dos figuras quedan reflejas respecto de un eje. Sobre una misma línea están todos los puntos que se asocian de una figura y la figura que se refleja. Los puntos también se encuentran a la misma distancia del eje pero en direcciones opuestas. Diferentes objetos que nos rodean se pueden reflejar en el agua, en un espejo y hasta en un vidrio de cristal.

¿Sabías qué?

El eje de simetría es una línea vertical que divide a dos figuras y funciona como “espejo” para mostrar que ambas son iguales pero invertidas.

Reflexión en el espejo

Cuando nos situamos frente a un espejo, la imagen que se refleja de nosotros mismos es una transformación isométrica: la reflexión. Para que esta reflexión ocurra la luz nos debe iluminar y rebotar hacia la superficie del espejo. Una vez que los rayos rebotan, cambian de dirección y son captados por nuestros ojos listos para observar nuestro reflejo.

Actividades

A las siguientes figuras se les aplicó un movimiento:

Observa esta imagen, ¿de qué forma se movió la figura verde?

Solución

La figura verde se movió hacia arriba y a la derecha.

¿La figura verde cambió de sentido respecto a la figura roja? ¿Cómo se llama el movimiento?

Solución

Sí, cambió de sentido. El movimiento se llama traslación.

Observa esta imagen, ¿la figura verde se movió de la misma manera que la anterior?

Solución

No.

¿Cuál es el movimiento que se le aplicó a esta figura?

Solución

Se le aplicó el movimiento de reflexión.

Observa esta imagen, ¿qué movimiento se le aplicó a la figura roja?

Solución

Se le aplicó el movimiento de rotación.

2. A la mariposa de la izquierda se le aplicaron distintas transformaciones isométricas que aparecen en las imágenes de la derecha. Responde las preguntas.

¿Qué transformación isométrica tuvo la mariposa A?
Solución
Una rotación.
¿Qué transformación isométrica tuvo la mariposa B?
Solución
Una traslación.
¿Qué transformación isométrica tuvo la mariposa C?
Solución
No hay transformación isométrica porque la figura cambia de tamaño.
¿Qué transformación isométrica tuvo la mariposa D?
Solución
Una rotación.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Simetría”

Este artículo le permitirá reforzar el concepto de simetría y su aplicación el a vida cotidiana.

VER

CAPÍTULO 4 / TEMA 4

Ángulos

Gracias al estudio de la geometría y la trigonometría, la humanidad evolucionó de tal manera que logró edificar ciudades, construir herramientas y diseñar su vestimenta; y los ángulos son parte de esto. Si observamos a nuestro alrededor todos los objetos tienen algún tipo de ángulo.

¿Qué es un ángulo?

Un ángulo es la porción comprendida entre dos semirrectas con un origen en común llamado vértice.

Tipos de ángulos

La clasificación de los ángulos dependerá por un lado de sus medidas y por el otro de sus posiciones.

Según sus medidas un ángulo puede ser:

Convexo: es el que mide menos de 180°.
Nulo: es que el que no tiene amplitud, mide 0°.
Agudo: es el que mide menos de 90°.
Recto: es el que mide 90°.
Obtuso: es el que mide más de 90° y menos de 180°.
Cóncavo: es el que mide más de 180°.
Llano: es el que mide 180°.
Completo: es el que mide 360°.

¿Sabías qué?

Los ángulos agudos, rectos y obtusos están dentro de la clasificación de ángulos convexos.

Según su posición, dos ángulos pueden ser:

Adyacentes: tienen un lado y un vértice en común. La suma de sus ángulos suma 180°.
Consecutivos: tienen un lado y un vértice en común.
Opuestos por el vértice: tienen en común solamente el vértice.

VER INFOGRAFÍA

¿Sabías qué?

Los egipcios fueron los primeros en establecer la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos.

¡Encuentra los ángulos!

Observa la siguiente imagen:

¿Qué tipos de ángulos encuentras en la casa?
Solución
Agudos, rectos y obtusos.
¿Dónde encontraste los ángulos agudos?
Solución
En el triángulo de la chimenea y en la unión de la pared con el techo.
¿Dónde encontraste los ángulos rectos?
Solución
En la puerta, en las ventanas y en la unión del suelo con las paredes.
¿Dónde encontraste los ángulos obtusos?
Solución
En el techo.

La vuelta del Sol

En la Antigüedad, los babilonios hicieron varios estudios sobre los astros porque creían que en ellos estaba escrito el futuro. Tras observar el cielo, consideraban que el Sol tardaba 360 días en volver a estar en la misma posición. Por esto decidieron dividir la circunferencia en 360 partes iguales. Llamamos grado a cada una de las 360 partes iguales en la que dividimos a un ángulo completo.

elementos de los ángulos

Como ya vimos, un ángulo es el espacio que existe entre dos semirrectas que parten desde un mismo punto. Los elementos que componen al ángulo son los siguientes:

Lado: es lo que antes llamábamos semirrecta.
Vértice: es el punto en el que coinciden las dos semirrectas.
Amplitud: es la apertura que hay entre los dos lados. Medimos la amplitud en grados y usamos un transportador para eso.

Transportador

El transportador es el instrumento que nos permite medir y construir un ángulo gráficamente. Por lo general son de plástico y poseen una forma circular o semicircular. Para utilizarlo apoyamos el centro del semicírculo en el vértice del ángulo, hacemos coincidir uno de los lados con el 0° y el otro lado del ángulo marcará la abertura en el punto del semicírculo graduado.

Estimación de ángulos

Para conocer la medida exacta de un ángulo se usa el transportador, pero también podemos estimar su valor. Para esto podemos usar como referencia medidas ya conocidas, como el ángulo de 45° y el ángulo de 90°; y así poder saber una medida aproximada del ángulo.

Escuadra y estimación

La escuadra es una herramienta de geometría que podemos utilizar para estimar ángulos, pues posee un ángulo de 90° como se observa en la imagen. El ángulo de 45° se obtiene de dividir a la mitad el ángulo de 90°. En la última escuadra vemos la estimación de un ángulo de 30° y otro de 80°. Para aproximar usamos las referencias de los ángulos conocidos. La abertura del ángulo de 30° es más pequeña que la de 45°, por eso el ángulo es menor. Lo mismo nos pasa con el ángulo de 80°, su apertura es menor que 90°.

Cuando un ángulo es mayor que 90°, uno de los lados del ángulo quedará a la izquierda de la escuadra. Veamos un ejemplo:

Vamos a imaginar que un espejo está enmarcado en esta figura y queremos estimar cuánto mide el ángulo que está señalado en color rojo. La escuadra ya está apoyada en uno de los lados pero el otro lado se inclina a la izquierda de la escuadra. Como ya sabemos que el ángulo de la escuadra mide 90°, entonces el ángulo que debemos estimar es mayor. Por lo tanto, ese ángulo puede medir aproximadamente 120°.

¡Estima medidas!

Estima las medidas de los ángulos marcados:

¿Cuánto estimas que mide el ángulo del objeto A?
Solución
Como la abertura es más pequeña que 45°, pero más grande que 0°, podemos decir que mide aproximadamente 30°.
¿Cuánto estimas que mide el ángulo objeto B?
Solución
Como la abertura es un poco más pequeña que 90°, pero mayor a 45°, podemos decir que mide aproximadamente 60°.
¿Cuánto estimas que mide el ángulo del objeto C?
Solución
Mide 90°.
¿Cuánto estimas que mide el ángulo del objeto D?
Solución
Como la abertura es mayor a los 90°, pero está lejos de llegar a 180°, podemos decir que mide aproximadamente 120°.
¿Cuánto estimas que mide el ángulo del objeto E?
Solución
Como la abertura es un poco más pequeña que 90°, pero mayor a 45°, podemos decir que mide aproximadamente 75°.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Ángulos”

Este recurso le permitirá profundizar la información sobre los ángulos y su clasificación.

VER

CAPÍTULO 3 / TEMA 1

longitud

Para determinar longitudes podemos utilizar distintas unidades de medida, la más conocida es el metro. Gracias a esta unidad sabemos qué tan altos somos, qué tan largo es nuestro cabello, o qué tan ancha es una piscina. Como verás a continuación, es posible medir todas las distancias.

Comparación de longitudes

La longitud permite conocer la distancia que separa dos puntos entre sí, es decir, es la cantidad de espacio que hay entre dos puntos. Por ejemplo, el recorrido que hay desde el colegio hasta nuestra casa tiene una longitud específica, así como la tiene un lápiz, una mesa o un autobús.

Todos los días comparamos la longitud de los objetos y lo hacemos sin instrumentos de medición, por medio de la observación indicamos cuáles son más altos, más largos o más anchos.

Ejemplos:

¿Cuál escalera es más alta?

¿Cuál mesa es más ancha?

¿Cuál crayón es más largo?

¿Cuál será la longitud de un autobús?

Una autobús puede tener hasta 8 metros de longitud, pero esto no podemos saberlo a simple vista. Es necesario que utilicemos instrumentos y unidades de medida.

El metro es la unidad básica y lo empleamos para medir distancias grandes, mientras que el centímetro lo empleamos para medir distancias pequeñas. Así, si queremos medir la altura de una casa, usamos el metro; pero si queremos medir el largo de un lápiz, usamos el centímetro.

¡Vamos a practicar!

1. ¿Cuál árbol es el más alto?, ¿con cuál unidad puedes medirlos?

Solución

El árbol A es más alto. Para saber su longitud debemos emplear el metro como unidad de medida.

2. ¿Cuál jirafa es la más alta?, ¿con cuál unidad puedes medirlas?

Solución

La jirafa B es más alta. Para saber su longitud debemos emplear el metro como unidad de medida.

3. ¿Cuál lápiz es más largo?, ¿con cuál unidad puedes medirlos?

Solución

El lápiz B es más largo. Para saber su longitud debemos emplear los centímetros como unidad de medida.

El metro y sus SUBMÚLTIPLOS

La unidad principal para medir la longitud es el metro (m), aunque no es la única unidad que existe. Por ejemplo, una guitarra tiene 1 metro de longitud, pero ¿qué hacemos si queremos medir objetos más pequeños?

El metro (m) es la unidad principal de longitud, pero no es la única unidad. Los submúltiplos del metro son empleados para medir objetos pequeños, estos son el decímetro, el centímetro y el milímetro. También están los múltiplos que sirven para medir grandes distancias y grandes objetos, estos son el decámetro, el hectómetro y el kilómetro.

Para medir distancias pequeñas, como el ancho de una hoja de papel, se emplean unidades que son menores al metro, estas se denominan submúltiplos y son: el decímetro, el centímetro y el milímetro.

Submúltiplo	Decímetro	Centímetro	Milímetros
Símbolos	dm	cm	mm
Equivalencia	0,1 m	0,01 m	0,001 m

Para que tengas una idea aproximada de las longitudes que miden los submúltiplos del metro, vamos a ver algunos ejemplos:

Unidades arbitrarias de longitud

Las personas miden los objetos desde hace miles de años, y como antes no existían los instrumentos de medición, utilizaban partes de su cuerpo. Esto se conocía, y aún se conoce, como unidades arbitrarias porque no son exactas, pues cada cuerpo es diferente. Algunas unidades son el pie, la cuarta, la brazada y la pulgada.

¡Haz la prueba!

Intenta medir el largo de tu mesa. Usa “una cuarta” o “palmo” (abertura de la mano desde el dedo pulgar al meñique).

Conversión de metros a sus SUBMÚLTIPLOS

Existen muchos instrumentos para medir longitudes, uno de ellos es la cinta métrica. Con ella se pueden medir metros, decímetros, centímetros e incluso milímetros. Existen distintos tipos y sus longitudes van desde 1,5 metros hasta los 5 metros. Es probable que tengas una en casa, ¡intenta medir objetos con ella!

En lo que se refiere a medidas de longitud, es muy importante tener en cuenta las unidades que empleamos, pues no es lo mismo una longitud expresada en metros que una expresada en milímetros. Por ejemplo, si queremos comparar dos longitudes, la de un lápiz y la de un autobús, y una está en centímetros y la otra en metros, lo primero que debemos hacer es convertir las unidades para que las dos tengan las mismas.

Con este esquema podrás convertir metros a sus submúltiplos y viceversa:

Para convertir unidades de longitud existen dos métodos:

El primero consiste en mover a la derecha o a la izquierda la coma del número tantos lugares como casillas sean necesarias para llegar a la unidad deseada.
El segundo consiste en multiplicar o dividir por diez tantas veces como casillas sean necesarias para llegar a la unidad deseada.

Ejemplo:

– Convierte 2,52 m a cm.

1. Dibuja el cuadro y mueve tantos lugares a la derecha como sean necesarios hasta llegar a la posición de los centímetros.

2. Como nos desplazamos dos lugares a la derecha, movemos la coma dos lugares a la derecha.

Si usamos el segundo método, el procedimiento es este:

Observa que multiplicamos 2,52 por 10 dos veces y 10 x 10 = 100. Por lo tanto, también puedes multiplicar de forma directa: 2,52 x 100 = 252.

Otro ejemplo:

– Convierte 456 mm a dm.

Para pasar de milímetros a decímetros seguimos estos pasos:

1. Dibuja el cuadro y mueve tantos lugares a la izquierda como sean necesarios hasta llegar a la posición de los decímetros.

2. Como nos desplazamos dos lugares a la izquierda, movemos la coma dos lugares a la izquierda.

Si usamos el segundo método, entonces debemos dividir entre 10 dos veces, tal como se demuestra a continuación:

¡A practicar!

– Martina tiene 1,20 metros de estatura, ¿cuántos centímetros mide?

Solución

1,20 x 10 x 10 = 120 cm

Martina mide 120 centímetros.

¿Sabías qué?

La unidad de longitud tradicional en China es el li, suele estar precedida por la palabra shi y equivale a 500 metros.

empleo de reglas para medir segmentos

La regla es un instrumento de medición con forma de plancha delgada y rectangular; la escuadra, en cambio, es una plantilla triangular que nos permite medir segmentos y realizar trazados horizontales y verticales. Estos dos instrumentos incluyen una escala graduada dividida en unidades de longitud.

La regla graduada y la escuadra son instrumentos útiles para medir segmentos u objetos. Suelen venir con graduaciones de unidades de medida, como milímetros o centímetros.

La regla tiene espacios iguales con números, cada uno de estos espacios se denomina “centímetro” y el espacio más pequeño sin números se denomina “milímetro”. Por ejemplo, esta regla tiene una longitud de 1 decímetro o 10 centímetros.

Si acercamos objetos pequeños a la escala graduada podemos determinar cuál es su longitud. En el ejemplo vemos que una tira de papel mide 7 centímetros. Observa que la tira se coloca al nivel del cero y luego se anota el número final.

¿Cuánto mide este lápiz?

Solución

El lápiz mide 5,5 centímetros.

Ejercicios

1. ¿Cuántos centímetros mide el borrador?

Solución

3 centímetros.

2. Realiza las siguientes conversiones de unidades.

5,489 m a cm.

Solución

548,9 cm.

259 cm a m.

Solución

2,59 m.

3,369 m a mm.

Solución

3.369 mm.

11,654 dm a m.

Solución

1,1654 m.

3. Juana la iguana mide 0,55 metros, ¿cuánto mide en centímetros?

Solución

55 centímetros.

4. Felipe tiene un gatito muy travieso al que le gusta trepar a los árboles. El gato subió a la rama de un árbol que está a 2,8 metros del suelo. Si Felipe tiene dos escaleras: una de 19 decímetros y otra de 28 decímetros, ¿cuál escalera debe usar para poder bajar a su gatito?

Solución

Felipe debe usar la escalera que mide 28 decímetros.

5. Juliana es la niña con el cabello más largo en la escuela, tiene una longitud de 4 decímetros, pero fue al salón de belleza y le cortaron 15 centímetros de su extensa melena. ¿Cuántos decímetros cortaron de su cabello? ¿Cuántos decímetros tiene de longitud su cabello ahora?

Solución

Cortaron 1,5 decímetros de su cabello y ahora tiene una longitud de 2,5 decímetros.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Múltiplos y submúltiplos del: metro, gramo y litro”

El siguiente artículo destacado le permitirá trabajar con sus alumnos los diferentes sistemas de medición.

VER

CAPÍTULO 3 / TEMA 2

MASA

Para determinar la masa de un cuerpo u objeto podemos utilizar distintas unidades de medida, la más conocida es el kilogramo. Gracias a esta unidad sabemos la masa de nuestro cuerpo y decimos qué tan pesados somos, o qué cantidad de ingredientes debemos utilizar para una receta.

El gramo y sus múltiplos

La masa es la cantidad de materia que contiene un cuerpo. Esta propiedad nos permite determinar el peso de cualquier persona, objeto, sustancia o material. Por ejemplo, cuando vamos al supermercado podemos pesar la cantidad productos que queremos comprar, como bananos, tomates y naranjas; también podemos determinar nuestro propio peso e incluso podemos saber cuánto pesa algo tan pequeño como un grano de arroz.

Las unidades principales para medir la masa son el gramo (g) y el kilogramo (kg).

El kilogramo lo empleamos para determinar la masa de cuerpos pesados o grandes, mientras que el gramo lo empleamos para determinar la masa de cuerpos livianos o pequeños. Así, si queremos conocer la masa de una sandía usamos el kilogramo y si queremos conocer la masa de una nuez usamos el gramo.

Representamos el gramo con la letra g y sus múltiplos son el kilogramo (kg), el hectogramo (hg) y el decagramo (dag). Las equivalencias son las siguientes:

1 kilogramo (kg) = 1.000 gramo (g)
1 hectogramo (hg) = 100 gramos (g)
1 decagramo (dag) = 10 gramos (g)

Unidad apropiada de acuerdo al tamaño del cuerpo

Además de lo múltiplos, el gramo tiene submúltiplos, es decir, unidades que nos permiten saber la masa de objetos muy pequeños. Estos son el decigramo (dg), el centigramo (cg) y el miligramo (mg). Sus equivalencias son las siguientes:

1 decigramo (dg) = 0,1 gramos (g)
1 centigramo (cg) = 0,01 gramos (g)
1 miligramo (mg) = 0,001 gramos (g)

Veamos algunos ejemplos:

Por lo general, algunos productos del supermercado están en empaques de 1 kilogramo, pero también los hay de 1/2 kilogramo o 1/4 de kilogramo. Observa estos ejemplos:

– Dos empaques de 1/2 kilogramo de arroz son iguales a un empaque de 1 kilogramo de arroz.

– Cuatro empaques de 1/4 de kilogramo de arroz son iguales a 1 kilogramo de arroz.

Del mismo modo puede verlo aquí:

¡Es tu turno!

1. ¿Cuántos kilogramos de arroz podemos formar con cuatro empaques de ½ kilogramo?

Solución

2 kilogramos.

2. ¿Cuántos ¼ de kilogramo de arroz necesitamos para formar ½ kilogramo de arroz?

Solución

Dos ¼ de kilogramo.

Origen del kilogramo

El kilogramo es la única unidad básica que se ha definido por un objeto: una barra de aleación de platino e iridio fabricada en 1879. En 1889, el prototipo fue ratificado como la masa estándar del kilogramo en la primera Conferencia General de Pesas y Medidas y en la actualidad está ubicado en Sèvres, Francia. En 2019, la barra prototipo dejó de ser el patrón de referencia del kilogramo.

conversiones

Si queremos comparar la masa de una roca y una nuez, pero una está en kilogramos y la otra en gramos, lo primero que debemos hacer es convertir las unidades. De esta manera las dos tendrán la misma unidad y podremos hacer la comparación.

Con este esquema podrás convertir gramos a sus múltiplos y viceversa:

Para convertir unidades de masa existen dos métodos:

El primero consiste en mover a la derecha o a la izquierda la coma del número tantos lugares como casillas sean necesarias para llegar a la unidad deseada.
El segundo consiste en multiplicar o dividir por diez tantas veces como casillas se necesiten para llegar a la unidad deseada.

Ejemplo:

– Convierte 5,82 kg a g.

Primer método

Dibuja el cuadro y mueve tantos lugares a la derecha de los kilogramos como sean necesarios hasta llegar a la posición de los gramos.

Como nos desplazamos tres lugares a la derecha, movemos la coma del número tres lugares a la derecha.

Observa que después de dos (2) agregamos un cero y al lado la coma.

Entonces, 5,82 kg son equivalentes a 5.820 g.

Segundo método

Multiplica tres veces seguidas por diez (10).

Observa que tres veces diez (10) es igual a 10 x 10 x 10 = 1.000. Así que puedes multiplicar de forma directa:

5,82 x 1.000 = 5.820

El resultado será el mismo, 5,82 kg son equivalentes a 5.820 g.

Otro ejemplo:

– Convierte 953 g a kg.

Primer método

Dibuja el cuadro y mueve tantos lugares a la izquierda de los gramos como sean necesarios hasta llegar a la posición de los kilogramos.

Como nos desplazamos tres lugares a la izquierda, movemos la coma tres lugares a la izquierda.

Entonces, 953 g son equivalentes a 0,953 kg.

Segundo método

Divide tres veces seguidas por diez (10).

Observa que tres veces diez (10) es igual a 10 x 10 x 10 = 1.000. Así que puedes multiplicar de forma directa:

953 ÷ 1.000 = 0,953

El resultado será el mismo, 953 g son equivalentes a 0,953 kg.

¡A practicar!

Convierte las unidades:

8 kg a g.

Solución

8.000 g.

58 dag a g.

Solución

580 g.

150 g a hg.

Solución

1,5 hg.

¿Sabías qué?

Muchos sistemas de medición estuvieron basados en el uso de las partes del cuerpo humano.

comparación de masas

Podemos comparar las masas de objetos por medio de expresiones como “mayor que”, “menor que” o “igual a”.

Todos los días comparamos la masa de los objetos por medio de la observación y consideramos su tamaño . Por ejemplo:

¿Cuál vehículo tiene mayor masa?

¿Cuál fruta tiene menor masa?

Aunque el tamaño de un objeto puede darnos una señal de su masa, no siempre indicará si es o no pesado, así que no podemos saber la masa de un cuerpo solo por observación. Para determinar la masa de un cuerpo con exactitud necesitamos un instrumento como la báscula o la balanza.

Por ejemplo:

¿Cuál de los niños es más pesado?

Para comparar estas masa, lo primero que debemos hacer es convertir una de ellas para tener unidades iguales. En este caso, vamos a convertir los gramos a kilogramos. Como ya sabemos, solo debemos dividir por diez (10) tres veces seguidas o dividir directamente por 1.000.

Vemos que 24.000 g son equivalentes a 24 kg.

Ahora sí podemos compararlas y determinar cuál de las cantidades es la mayor.

Como 30 es mayor que 24 (30 > 24), decimos que Miguel es más pesado que Patricia.

Masa y peso: ¿son lo mismo?

No. La masa es la cantidad de materia que posee un cuerpo, en cambio, el peso es la fuerza que ejerce la gravedad sobre un cuerpo de determinada masa. Si una persona tiene una masa de 75 kg en la Tierra, también la tendrá en la Luna, pero su peso será distinto, ya que la aceleración de la gravedad es diferente.

¡A practicar!

¿Cuál animal tiene mayor masa?

Solución

El elefante tiene mayor masa.

2. ¿Cuál de los objetos tiene mayor masa?

Solución

1.500 gramos son equivalentes a 1,5 kilogramos, y como 1,5 es menor que 3 (1,5 < 3), decimos que el objeto A tiene mayor masa.

balanza analógica

Aunque suelen confundirse los términos “balanza” y “báscula” no son lo mismo. Ambos instrumentos se usan para medir masa, pero la báscula mide la fuerza ejercida por un objeto fijado a la fuerza de gravedad, en cambio, la balanza mide la masa de un objeto por comparación con otra ya conocida.

La balanza es un instrumento usado para pesar, operación en la que se determina la masa de un cuerpo por medio de la comparación de su masa con la de otro cuerpo con masa definida. Las balanzas son muy comunes en los laboratorios y supermercados. Sus tipos son muy variados.

VER INFOGRAFÍA

Las balanzas analógicas se caracterizan por no utilizar ningún componente electrónico y están provistas de una escala en kilogramos o en gramos. En este tipo de balanzas el peso será la cifra que indique la aguja. Observa esta:

La balanza de la imagen tiene una capacidad máxima de medida de 7 kilogramos, cada uno de los espacios grandes con números representan a los kilogramos, entre ellos hay espacios con líneas de tamaño mediano que representan 0,5 kg y espacios pequeños sin números que representan a los decimales de la balanza, cada espacio tiene un valor de 0,1 kg.

Ejemplo:

– ¿Cuánto pesa la sandía?

La aguja está después del 3 pero antes del 4, entonces son 3 kilogramos. Los decimales están a cinco espacios pequeños después del 3, cada espacio representa 0,1 kg. Entonces:

5 x 0,1 kg = 0,5 kg

Al final, sumamos los kilogramos con los decimales:

3 kg + 0,5 kg = 3,5 kg

Por lo tanto, la sandía pesa 3,5 kilogramos.

¡A practicar!

¿Cuánto pesan las nueces?

RESPUESTAS

Las nueces pesan 1,2 kg.

problemas de masa

1. Fabián tiene dos cachorros, uno se llama Brando y el otro Manchas, Fabián quiere saber cuál de los dos cachorros es el más pesado, Brando pesa 2,5 kilogramos y Manchas pesa 2.800 gramos.

Solución

Primero convertimos los gramos a kilogramos. Para esto dividimos 2.800 entre 1.000:

2.800 ÷ 1.000 = 2,8

Como 2,8 es mayor que 2,5 (2,8 > 2,5) decimos que Mancha es más pesada que Brando.

2. Ana compró dos tartas, una de vainilla que pesa 2,3 kilogramos y una de chocolate que pesa 1.850 gramos. ¿Cuál de las dos tartas es más pesada?

Solución

Primero convertimos los gramos a kilogramos. Para esto dividimos 1.850 entre 1.000:

1.850 ÷ 1.000 = 1,85

Como 1,85 es menor que 2,3 (1,85 < 2,3) decimos que la torta de chocolate es menos pesada que la de vainilla.

3. Un albañil lleva una carretilla con 20 kilogramos de arena, si descarga 2.000 gramos en la obra ¿Cuántos kilos quedan en la carretilla?

Solución

Primero convertimos los gramos a kilogramos. Para esto dividimos 2.000 entre 1.000:

2.000 ÷ 1.000 = 2

Se descargaron 2 kilogramos.

Para saber la masa de arena que quedó debemos hacer una resta:

20 kg − 2 kg = 18 kg

Por lo tanto, quedaron 18 kilogramos de arena en la carretilla.

4. Mariana quiere hacer un pastel de chocolate, la receta le indica que debe utilizar 0,6 kg de harina y 0,14 kg de cacao, pero su balanza solo pesa en gramos, ¿cuáles son las conversiones que debe hacer Mariana para poder pesar los ingredientes en su balanza?

Solución

Primero convertimos los kilogramos a gramos. Para esto multiplicamos la masa deseada de harina y cacao por 1.000.

0,6 x 1.000 = 600

0,14 x 1.000 = 140

Mariana debe pesar 600 gramos de harina y 140 gramos de cacao.

RECURSOS PARA DOCENTES

Unidades de medida

El siguiente material le permitirá trabajar con sus alumnos las unidades de medida: longitud, peso, capacidad y tiempo.

VER

CAPÍTULO 4 / TEMA 3

elementos geométricos

Para dibujar elementos geométricos en una hoja de papel podemos inspirarnos en elementos que vemos a nuestro alrededor. Por ejemplo, un clavo en la pared, la senda peatonal o el cable de luz que atraviesa nuestra calle.

El punto

El punto sirve para indicar una posición y se nombra con una letra mayúscula.

¿Sabías qué?

El matemático griego Euclides fue el primero en dar una definición del punto en geometría.

la recta

La recta es una sucesión infinita de puntos orientada en una misma dirección. No tiene principio ni final y la longitud es su única dimensión. Con dos puntos podemos trazar una recta y la nombramos con una letra minúscula.

Según la posición que tomen las rectas en un plano estas pueden ser paralelas o secantes. También existen las coincidentes que se representan una sobre otra.

Dos rectas son paralelas cuando no se cortan en ningún punto por más que intentemos extenderlas.

Dos rectas son secantes cuando se cortan en un punto y pueden ser perpendiculares u oblicuas. Las rectas perpendiculares son aquellas que al cortarse en un punto forman cuatro ángulos rectos, mientras que las rectas oblicuas son aquellas que al cortarse en un punto no forman ángulos rectos.

Veremos un ejemplo para entender más cómo se cortan las rectas. El siguiente esquema representa las calles de una ciudad, cada una lleva un nombre para poder identificarlas.

Francia y Neuquén son calles paralelas, observa que nunca se cortan.
Italia y España son perpendiculares. Notarás que las rectas se cortan en forma de cruz, lo que formará cuatro ángulos rectos.
Peña y Quiroga son oblicuas porque al cruzarse no forman ángulos rectos.

¡A practicar!

¿Cómo son las calles Roca y Neuquén?
Solución
Son perpendiculares.
¿Como son las calles Italia y Quiroga?
Solución
Son oblicuas.
¿Cómo son las calles Peña y Roca?
Solución
Son paralelas.
¿Peña y Francia son calles paralelas?
Solución
No. Son perpendiculares.
Si extendemos más la calle Roca hasta que se cruce con Quiroga, ¿estas calles serán oblicuas?
Solución
Sí.
¿Italia y Francia son paralelas?
Solución
Sí, nunca se cortan.
¿España y Peña son perpendiculares?
Solución
No. Son paralelas.
¿Neuquén y Quiroga pueden ser calles oblicuas?
Solución
Sí, al extender las dos calles demostramos que se cortan.

El rayo

El rayo, también conocido como semirrecta, tiene un punto de origen pero no tiene fin, se extiende hacia el infinito.

el segmento

El segmento es la distancia que existe entre dos puntos de una recta, esto quiere decir que tiene un origen y un final. Además expresa gráficamente una medida.

Podemos marcar infinitos segmentos en una recta. Observa este ejemplo y anota los segmentos:

Desde el punto A al D hay tres segmentos: AB, AC y AD. Desde el punto B al D hay dos segmentos: BC y BD y por último nos queda el segmento CD. Por lo tanto, en la recta hay 6 segmentos.

¡A practicar!

En la recta k, ¿cuántos segmentos hay?
Solución
Hay 3 segmentos.
¿Qué segmentos se forman en la recta k?
Solución
AB, AC y BC.
En la recta s, ¿cuántos segmentos hay?
Solución
Hay 3 segmentos.
¿Qué segmentos se forman en la recta s?
Solución
FC, FG y CG.
¿En todas las rectas se forman la misma cantidad de segmentos?
Solución
Sí.
¿Qué segmentos se forman en la recta t?
Solución
DE, DB y BE.
¿Cuántos segmentos se forman en total?
Solución
9 segmentos.

elementos geométricos en la vida cotidiana

La geometría forma parte de nuestras vidas, a donde miremos hay figuras y cuerpos geométricos e incluso puntos que marcan donde estamos o dónde queremos ir. Las rectas pueden estar representadas por las calles de la ciudad, los cables de energía eléctrica, hasta el rayo o semirrecta se forma si un auto viaja desde un punto de inicio, por ejemplo una estación de servicio en línea recta. Los segmentos los podemos encontrar en los barrotes de una reja, todo lo que nos rodea puede convertirse en un elemento geométrico.

Las rectas pueden estar representadas por las calles de la ciudad, los cables de energía eléctrica, hasta el rayo o semirrecta se forma si un auto viaja desde un punto de inicio, por ejemplo una estación de servicio en línea recta. Los segmentos los podemos encontrar en los barrotes de una reja o en los rieles de un tren.

Al estilo de Mondrian

Para el pintor Piet Mondrian el arte era representado a través de líneas rectas y colores primarios, creía que mostraba el orden armonioso del universo. Si observamos esta imagen al estilo de las pinturas de Mondrian, las líneas rectas se convierten en rectas que al cortarse unas con otras obtenemos segmentos. Algunas de las rectas que se forman son paralelas y otras perpendiculares.

Actividades

Observa la siguiente imagen y responde.

¿Cuáles de las siguientes rectas son paralelas?
Solución
Las rectas a, b, c y d son paralelas entre sí.
¿Cuáles de las siguientes rectas son perpendiculares?
Solución
La recta “e” es perpendicular con a, b, c y d.
¿Cuáles de las siguientes rectas son oblicuas?
Solución
La recta f es oblicua con a, b y c.
Si extendemos la recta f, ¿las recta d y e también son oblicuas con ella?
Solución
Sí.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Rectas”

El siguiente recurso le permitirá profundizar la información brindada sobre las rectas.

VER

CAPÍTULO 1 / TEMA 1

LECTURA Y REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS

Los números son símbolos escritos que reflejan cantidades de objetos reales e imaginarios. Por ejemplo, vemos números en las medidas y posiciones en el orden de llegada de una carrera, en la tabla de puntajes de un juego o en actividades cotidianas, como cuando cambiamos de canal con el control remoto del televisor.

Lectura de números hasta el 10.000

Existen ocasiones en las que usamos números que involucran una, dos, tres o más cifras. Cada una de estas cifras tiene un valor según la posición que tengan dentro del número. De acuerdo a esta posición y a los nombres de cada dígito podremos nombrar números de hasta cinco o más cifras.

Desde hace miles de años, el hombre ha sentido la necesidad de expresar cantidades a partir de sistemas de signos comprensibles por toda su comunidad. Los números arábigos, desarrollados en la India y transmitidos por los árabes, son los diez dígitos del sistema de numeración decimal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Con ellos formamos infinidad de números.

Ejemplo:

Si queremos leer el número 542, lo primero que hacemos es ubicar cada cifra en una tabla de valor posicional como esta:

Donde:

U: unidades

D: decenas

C: centenas

Observa que:

El 5 está ubicado en la posición de las centenas → 5 x 100 = 500, se lee “quinientos”.
El 4 está ubicado en la posición de la decenas → 4 x 10 = 40, se lee “cuarenta”.
El 2 está ubicado en la posición de la unidades → 2 x 1 = 2, se lee “dos”.

Por lo tanto, el número 542 se lee: “quinientos cuarenta y dos”.

Otro ejemplo:

Para el leer el número 709 realizamos una tabla de valor posicional y ubicamos sus cifras:

Observa que:

El 7 está ubicado en la posición de las centenas → 7 x 100 = 700, se lee “setecientos”.
El 9 está ubicado en la posición de la unidades → 9 x 1 = 2, se lee “nueve”.

El número 709 se lee: “setecientos nueve”.

¡Atención a los ceros!

¿Qué pasa cuando una posición está ocupada por el cero (0)?

En estos casos no tomamos en cuenta su valor posicional para la lectura del número.

Para leer números mayores a 999 colocamos un punto después de las centenas, es decir, a la izquierda de la tercera cifra. Este punto indica el comienzo de una clase llamada miles.

De este modo, para escribir y leer correctamente el número 2435, primero colocamos un punto al lado izquierdo de la centena. El punto rojo se lee “mil”:

2.435

Luego ubicamos cada cifra en una tabla posicional. Esta vez, añadimos las unidades, decenas y centenas de mil.

Observa que:

El 2 está ubicado en la posición de las unidades de mil → 2 x 1.000 = 2.000, se lee “dos mil”.
El 4 está ubicado en la posición de la centenas → 4 x 100 = 400, se lee “cuatrocientos”.
El 3 está ubicado en la posición de la decenas → 3 x 10 = 30, se lee “treinta”.
El 5 está ubicado en la posición de las unidades → 5 x 1 = 5, se lee “cinco”.

El número 2.435 se lee: “dos mil cuatrocientos treinta y cinco”.

Ejemplo:

– Lee el número 6.028.

El 6 está ubicado en la posición de las unidades de mil → 6 x 1.000 = 6.000, se lee “seis mil”.
El 2 está ubicado en la posición de la decenas → 2 x 10 = 20, se lee “veinte”.
El 8 está ubicado en la posición de las unidades → 8 x 1 = 8, se lee “ocho”.

El número 6.028 se lee: “seis mil veintiocho”

Representación de cantidades

La cinta métrica o metro es un instrumento de medida que consiste en una cinta flexible graduada. Con ella medimos líneas rectas y superficies curvas. Se utiliza en casa y en la construcción. Tiene marcas divisorias con números que representan los centímetros (cm) y los milímetros (mm). Su largo promedio es de 2 metros.

Para representar cantidades utilizamos 10 dígitos que combinados entre sí forman infinitos números y, como ya sabes, cada dígito cambia su valor según la posición que tenga en el número. Por lo tanto, la misma cifra puede tener distintos valores. Observa:

Esta información es útil si tuviésemos, por ejemplo, que pagar una cuenta y debemos descomponer un número grande. Los billetes y monedas por lo general señalan el valor de una unidad (1), de una decena (10) o de una centena (100). Por ejemplo, si tienes monedas de $ 1 y billetes de $ 10 y $ 100 y debes pagar $ 435, ¿cuántos billetes y monedas tomarías de cada uno?

De la tabla de valor posicional observamos sus valores relativos:

Ahora sabemos que si tomamos 5 monedas de $ 1; 3 billetes de $ 10 y 4 billetes de $ 100, tenemos $ 435. De modo gráfico puedes verlo a continuación:

Podemos concluir que 435 = (4 x 100) + (3 x 10) + (5 x 1)

¡A practicar!

¿Cuántos billetes y monedas de $ 1 , $ 10 y $ 100 necesitarías para formar estas cantidades?

Solución

8 billetes de $ 100

7 billetes de $ 10

6 monedas de $ 1

1.000

Solución

10 billetes de $ 100

Solución

6 billetes de $ 100

1 billete de $ 10

1 moneda de $ 1

¿Dónde usamos los números?

En los carteles que indican la numeración de las calles. Por ejemplo, calle Maipú del 800 al 900.
En los precios de los productos que se compran y venden en la juguetería. Por ejemplo, una muñeca cuesta $ 850, es decir, ochocientos cincuenta pesos.
En el número que señala la balanza cuando nos pesamos. Por ejemplo, Juan se pesó en la balanza de la farmacia y su peso fue 65 kilogramos.
En el dinero entregado al vendedor cuando se paga el precio de un producto. Por ejemplo, la mamá de Pedro fue a la verdulería y gastó $ 420, entonces le dio al vendedor cuatro billetes de $ 100 y dos billetes de $ 10.

¿Sabías que...?

En el sistema de numeración egipcio se simbolizaban los múltiplos de 10 (1, 10, 100, 1.000, 10.000, 100.000 y 1.000.000) con dibujos denominados ideogramas que representaban conceptos o ideas.

Aproximación por redondeo

Consiste en reducir o aumentar la cantidad del número para acercarlo al número redondo más próximo en la recta númerica. Redondear números te ayudará a manejar mejor los cálculos mentales cuando no necesites una respuesta exacta.

Redondear números permite realizar las cuentas de manera más sencilla y estimar el resultado por medio de números más cercanos y redondos. En la vida cotidiana es muy común redondear cantidades cuando nos faltan monedas o queremos usar pocos billetes para pagar el precio exacto de los productos comprados en los comercios.

Pasos para aproximar un número a la decena más cercana

1. Identifica la cifra que está en la posición de las unidades.

2. Si la cifra que está en la posición de las unidades es menor que cinco (5), no cambies la decena y escribe un cero (0) en el lugar de las unidades.

3. Si la cifra que está ubicada en la posición de las unidades es igual o mayor que cinco (5), aumenta una unidad en la decena y escribe un cero (0) en el lugar de las unidades.

– Redondea el número 343 a su decena más cercana.

Primero identificamos la unidad:

343

Luego, como la unidad es menor que cinco (3 < 5), mantenemos la decena igual y escribimos un cero (0) en el lugar de la unidades:

343 ≈ 340

Por lo tanto, el número 343 es aproximadamente igual a 340.

¿Sabías qué?

El símbolo “≈” se lee “aproximadamente igual a”.

– Redondea el número 2.589 a su decena más cercana.

Primero identificamos la unidad.

2.589

Luego, como la unidad es mayor que cinco (9 > 5), aumentamos la decena una unidad y escribimos un cero en el lugar de las unidades.

2.589 ≈ 2.590

Por lo tanto, el número 2.589 es aproximadamente igual a 2.590.

Pasos para aproximar un número a la centena más cercana

1. Identifica la cifra que está en la posición de las decenas.

2. Si la cifra que está en la posición de las decenas es menor que cinco (5), no cambies la centena y escribe un cero (0) en el lugar de las decenas y de las unidades.

3. Si la cifra que está ubicada en la posición de las decenas es igual o mayor que cinco (5), aumenta una unidad en la centena y escribe un cero (0) en el lugar de las decenas y de las unidades.

– Redondea el número 9.411 a la centena más cercana

Primero identificamos la decena.

9.411

Luego, como la decena es menor que cinco (1 < 5), no cambiamos la centena y escribimos un cero (0) en el lugar de las decenas y de las unidades:

9.411 ≈ 9.400

Por lo tanto, el número 9.411 es aproximadamente igual a 9.400.

– Redondea el número 6.382 a la centena más cercana.

Primero identificamos la decena.

6.382

Luego, como la decena es mayor que cinco (8 > 5), aumentamos la centena una unidad y escribimos un cero en el lugar de las decenas y de las unidades.

6.382 ≈ 6.400

Por lo tanto, el número 6.382 es aproximadamente igual a 6.400.

¡A practicar!

Una familia se va de viaje y cuando llegan al kilómetro 485 hacen una parada para comer en una estación de servicio. Luego siguen su camino. En el kilómetro 495 se detiene el auto por falta de combustible y el padre tiene que salir a buscar gasolina. Él sabe que en el kilómetro 500 también hay una estación de servicio.

¿Hacia dónde le conviene ir si quiere caminar la menor cantidad de kilómetros posible? ¿Hacia la estación de servicio del kilómetro 485 o a la del kilómetro 500?

Solución

Le conviene ir a la estación de servicio del kilómetro 500 porque está a menor distancia que la otra.

Números ordinales

Los números ordinales nos indican la posición en la que se ubica un elemento en una sucesión o lista. Para representarlos usamos números naturales seguidos por una letra que indica el género (masculino-femenino) del sustantivo al que se refieren. Por ejemplo:

El 5.º auto, se lee “el quinto auto”.
La 6.ª mesa, se lee “la quinta mesa”.

Estos números sirven para designar los pisos que hay en un edificio e indicar la dirección de vivienda de una persona. Por ejemplo, departamento A del 2º piso:

Estos son los nombres de los números ordinales del 1 al 50:

Número arábigo	Número ordinal
1.º/1.ª	primero/primera
2.º/2.ª	segundo/segunda
3.º/3.ª	tercero/tercera
4.º/4.ª	cuarto/cuarta
5.º/5.ª	quinto/quinta
6.º/6.ª	sexto/sexta
7.º/7.ª	séptimo/séptima
8.º/8.ª	octavo/octava
9.º/9.ª	noveno/novena
10.º/10.ª	décimo/décima
11.º/11.ª	décimo primero/décimo primera
12.º/12.ª	décimo segundo/décimo segunda
13.º/13.ª	décimo tercero/décimo tercera
14.º/14.ª	décimo cuarto/décimo cuarta
15.º/15.ª	décimo quinto/décimo quinta
16.º/16.ª	décimo sexto/décimo sexta
17.º/17.ª	décimo séptimo/décimo séptima
18.º/18.ª	décimo octavo/décimo octava
19.º/19.ª	décimo noveno/décimo novena
20.º/20.ª	vigésimo/vigésima
30.º/30.ª	trigésimo/trigésima
40.º/40.ª	cuadragésimo/cuadragésima
50.º/50.ª	quincuagésimo/quincuagésima

Para escribir números ordinales mayores al 20 primero se escribe el número ordinal del primer valor relativo, luego se escribe el del segundo, por ejemplo:

25.º es igual a “vigésimo quinto”.
42.º es igual a “cuadragésimo segundo”.

¿Sabías qué?

El número ordinal correspondiente al once puede ser nombrado como “décimo primero” o “undécimo”. En el caso del número 12, se lo denomina “décimo segundo” o “duodécimo”.

Números romanos

El reloj de la imagen indica la hora en una circunferencia numerada según el sistema romano. Este sistema de numeración fue inventado en la Antigua Roma y se basaba en la suma y resta de valores representados por letras mayúsculas. A pesar de estar en desuso, se lo puede encontrar en libros, objetos y denominaciones en la actualidad.

Cuando hablamos de números romanos nos referimos a un sistema de numeración que usa letras mayúsculas para representar cantidades. Está compuesto por siete letras y cada una tiene un valor diferente.

¿Para qué se usan los números romanos en la actualidad?

Nombrar los siglos históricos: siglo I antes de Cristo o siglo XX.
Numerar tomos, capítulos, partes de una obra literaria, actos y escenas de una obra teatral: tomo III, capítulo IV o escena VIII.
Nombrar reyes, papas y emperadores: Felipe IV o Juan Pablo II.
Denominar congresos, campeonatos y festivales: IV Congreso de la infancia o XIII Muestra de cine independiente.

Reglas para escribir números romanos

– Si a la derecha de una letra se escribe otra igual o de menor valor, sus valores se suman. Ejemplo:

VI = 5 + 1 = 6

XXI = 10 + 10 + 1= 21

LXVII = 50 + 10 + 5 + 1 + 1 = 67

– La letra I, colocada a la izquierda de V o X, les resta 1. Ejemplo:

IV = 5 − 1 = 4

IX = 10 − 1 = 9

– La letra X, colocada a la izquierda de L o C, les resta 10. Ejemplo:

XC = 100 − 10 = 90

XL = 50 − 10 = 40

– La letra C, colocada a la izquierda de D o M, les resta 100. Ejemplo:

CD = 500 − 100 = 400

CM = 1.000 − 100 = 900

– No se pueden repetir las letras I, X, C y M más de tres veces seguidas. Ejemplo:

XIII = 10 + 1 + 1 + 1 = 13

XXXIII = 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 33

MMM = 1.000 + 1.000 + 1.000 = 3.000

– Las letras V, L y D no pueden duplicarse, porque otras ya representan su valor. Ejemplo:

X = 10 (2 veces 5)

C = 100 (2 veces 50)

M = 1.000 (2 veces 500)

– Una raya encima de una letra o grupo de letras multiplica su valor por mil.

$\overline{V} = 5.000$

$\overline{X} = 10.000$

VER INFOGRAFÍA

Ejercicios

a) Escribe los números en cifras o en palabras, según corresponda.

Setecientos cincuenta y dos

Solución

Setecientos cincuenta y dos = 752

Mil cien

Solución

Mil cien = 1.100

1.308

Solución

1.308 = mil trescientos ocho

8.444

Solución

8.444 = ocho mil cuatrocientos cuarenta y cuatro

10.000

Solución

10.000 = diez mil

b) Escribe los números ordinales en palabras:

4.ª

Solución

4.ª = cuarta

7.º

Solución

7.º = séptimo

12.º

Solución

12.º = décimo segundo o duodécimo

17.º

Solución

17.º = décimo séptimo

20.ª

Solución

20.ª = vigésima

23.º

Solución

23.º = vigésimo tercero

34.ª

Solución

34.ª = trigésima cuarta

40.º

Solución

40.º = cuadragésimo

46.ª

Solución

46.ª = cuadragésima sexta

c) Descubre los números romanos que están mal representados y escríbelos correctamente.

Número en sistema decimal	Número en sistema romano
4	IV
9	VIIII
15	VVV
40	XL
150	CL
1.000	CMC

Solución

VIIII no es la representación de 9, porque no se puede repetir la letra I más de tres veces. La escritura correcta es IX.
VVV no es la representación de 15, ya que no se puede repetir la letra V más de tres veces. La escritura correcta es XV.
CMC no es la representación de 1.000, porque hay un símbolo que tiene exactamente ese valor. La escritura correcta es M.

d) Aproxima por redondeo los siguientes números a la decena.

Solución

46 ≈ 50

Solución

493 ≈ 490

2.456

Solución

2.456 ≈ 2.460

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Sistemas de numeración”

Es una lectura ampliatoria sobre la numeración a lo largo de la historia. Una síntesis que contextualiza y explica el funcionamiento de algunos sistemas de numeración que han sentado las bases de lo que hoy conocemos como aritmética: babilónico, egipcio, chino, griego, romano y decimal.

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Artículo “Números grandes”

Artículo que explica cómo leer números grandes sin dificultades, a partir de dos saberes básicos en cuanto a la numeración: leer números de tres cifras y reconocer el valor posicional de cada dígito en un número. Recomendado para enseñar lectura y escritura de números a niños de 3.° grado en adelante.

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