Las fracciones son divisiones sin resolver. Están formadas por una raya de fracción que divide al numerador del denominador. El numerador es la parte que tomamos del entero y el denominador indica las partes en las que se divide al entero. Las fracciones pueden ser propias, impropias y aparentes. Las fracciones propias tienen un numerador menor que el denominador; las impropias tienen un numerador mayor que el denominador; y las aparentes son iguales a un entero.
La porción de pastel que se toma es igual a 1/8. El numerador es la parte tomada (1) y el denominador señala la cantidad de partes en las que se dividió el pastel (8).
representación de fracciones
Para leer una fracción solo tenemos que leer al numerador como cualquier otro número y al denominador según unas simples reglas: medios si es 2, tercios si es 3, cuartos si es 4, quintos si es 5 y así sucesivamente. A partir de números mayores a diez añadimos el sufijo –avos; como onceavos. Los gráficos de las fracciones se representan por medio de figuras divididas en tantas partes como muestra el denominador y con tantas partes pintadas como señala el numerador.
Podemos representar fracciones propias e impropias en gráficos con formas de figuras geométricas.
tipos de fracciones
Dos o más fracciones son homogéneas si comparten el mismo denominador, en cambio, si dos o más fracciones tienen distinto denominador se las llama heterogéneas. También existen las fracciones propias o puras, que son aquellas que tienen un numerador menor que el denominador y siempre son menores a un entero; y las fracciones impropias o impuras, que tienen un numerador mayor que el denominador y son mayores a uno.
Depende del país en el que nos encontramos, la fracción propia se puede llamar también fracción pura.
operaciones con fracciones homogéneas
Para sumar y restar fracciones homogéneas primero sumamos o restamos los numeradores y mantenemos el mismo denominador. Así como ordenamos números naturales, también lo podemos hacer con las fracciones, para esto usamos los símbolos de relación como > (mayor que) y < (menor que). Por otro lado, existen fracciones con distintos numeradores y denominadores pero que representan la misma cantidad, a estas se las conoce como fracciones equivalentes.
Las fracciones propias siempre tienen el numerador menor al denominador y representan una cantidad inferior a la unidad.
Existen diversas formas de representar los datos con la finalidad de que su análisis y comprensión sea más fácil. Los gráficos y tablas son usados en diversas áreas y como recurso visual son de gran importancia. Los pictogramas permiten una comprensión más rápida de los datos porque emplean imágenes y símbolos. Las tablas son otro recurso que agrupa y ordena los datos en filas y columnas, y generalmente los ordena en función de los datos cualitativos y cuantitativos que se estudien. Finalmente, los gráficos de barra asocian el valor de los datos a columnas que se encuentran, a su vez, relacionadas a una escala.
Los gráficos como recurso visual permiten interpretar de forma rápida un conjunto de datos.
Interpretación de datos
Los datos por sí solos no tienen ningún valor si no se interpretan, pero antes de hacerlo hay que recopilarlos. La encuesta es una manera de obtener datos a través de un cuestionario prediseñado que es aplicado a un grupo de personas. El promedio aritmético o media aritmética corresponde al valor promedio de un conjunto de datos, y se obtiene al dividir la suma de todos los datos entre el número de datos. La moda, por su parte, es el dato que más se repite. Las tablas de doble entrada son una herramienta útil para entender las combinaciones posibles de un problema.
Los datos obtenidos en una encuesta se suelen representar en gráficos y tablas para su análisis.
Probabilidad
A los eventos que se pueden predecir y cuyo resultado se conoce con anterioridad se los conoce como sucesos deterministas o seguros. También hay eventos en los que el resultado no se conoce con certeza porque ocurre al azar. Es en este tipo de experimentos aleatorios donde más se concentra la probabilidad, la cual estudia la posibilidad de que un evento ocurra o no. Estos eventos pueden ser de varios tipos: mutuamente excluyentes cuando es imposible que ocurran de manera simultánea con otros; independientes cuando no se ven influenciados por la ocurrencia de otros eventos; y dependientes si se ven afectados por la ocurrencia de otros.
Los eventos aleatorios se caracterizan porque su resultado no se puede predecir.
El sistema de numeración decimal se caracteriza por ser de base 10 y por ser posicional. Esto significa que solo usa diez dígitos y que la posición de cada uno de ellos determina el valor que tienen. La tablas posicionales y la descomposición son algunas técnicas que podemos emplear para escribir y leer números con más de cinco cifras de manera sencilla. A continuación verás lo fácil que es.
VALOR POSICIONAL DE CIFRAS HASTA 1.000.000
En el sistema de numeración decimal contamos con los siguientes dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Con ellos podemos formar todos los números del sistema ya que si variamos la posición de las cifras dentro del número, también cambiamos su valor. Esta característica se denomina valor posicional.
Como podemos observar en este ejemplo, todas las cifras que componen el número 999.999 son las mismas: 9, pero cada una tiene un valordiferente debido a su posición dentro del número.
Como ya sabemos, luego de 3 cifras debemos colocar un punto. En este caso, dicho punto separa a los miles de los millones. El número que le sigue al 999.999 es el millón, que se escribe de la siguiente manera:
1.000.000
¿Sabías qué?
Si empiezas a contar de uno en uno no terminarás nunca porque los números no tienen un final, es decir, son infinitos.
Cuando algo no termina decimos que es infinito, y los números son un ejemplo de ello. No hay un límite final para los números, pero tampoco hay un comienzo, ya que antes del 0 hay una infinidad de número negativos. Cuando queramos expresar que una cuenta es infinita podemos utilizar el símbolo que lo representa: ∞.
LA TABLA POSICIONAL
Existe una clasificación según la posición que tengan las cifras dentro del número. Cada posición recibe el nombre de un orden, como las unidades, decenas y centenas. Cada tres órdenes se forma una clase, que va desde las unidades, miles, millones, millares de millón, billones, etc. Podemos observar toda esta información en una tabla posicional.
– Ejemplo:
Según la tabla posicional, los valores de cada cifra de derecha a izquierda son los siguientes:
2 unidades = 2 se lee “dos”.
3 decenas = 30 se lee “treinta”
5 centenas = 500 se lee “quinientos”.
9 unidades de mil = 9.000 se lee “nueve mil”.
4 decenas de mil = 40.000 se lee “cuarenta mil”.
8 centenas de mil = 800.000 se lee “ochocientos mil”.
1 unidad de millón = 1.000.000 se lee “un millón”
Por lo tanto, el número 1.849.532 se lee “un millón ochocientos cuarenta y nueve mil quinientos treinta y dos”.
– Otro ejemplo:
Según la tabla posicional, los valores son:
5 unidades = 5 se lee “cinco”.
8 decenas = 80 se lee “ochenta”.
9 centenas = 900 se lee “novecientos”.
2 unidades de mil = 2.000 se lee “dos mil”.
4 decenas de mil = 40.000 se lee “cuarenta mil”.
6 centenas de mil = 600.000 se lee “seiscientos mil”.
1 unidad de millón = 1.000.000 se lee “un millón”.
Entonces, el número 1.642.985 se lee “un millón seiscientos cuarenta y dos mil novecientos ochenta y cinco”.
¡Es tu turno!
Coloca los siguientes números en sus tablas posicionales:
1.022.467
Solución
270.628
Solución
896.501
Solución
VALOR POSICIONAL DE DECIMALES
Los números decimales se componen de una parte entera y una parte decimal que van separadas por una coma. Esto quiere decir que de un lado de la coma vamos a tener la parte de los números enteros con unidades, decenas, centenas, etc.; y del otro lado, la parte decimal que también tiene valores posicionales conocidos como décimas, centésimas, milésimas, etc.
La parte decimal de los números decimales también puede ser representada en una tabla posicional. Al igual que la parte entera, el valor cambia de acuerdo a la posición de la cifra.
Unidades decimales
Son las que obtenemos al dividir la unidad en partes iguales. Las primeras unidades decimales son las décimas, las centésimas y las milésimas.
Décimas
Centésimas
Milésimas
1 unidad = 10 décimas
1 décima = 0,1 unidades
1 unidad = 100 centésimas
1 centésima = 0,01 unidades
1 unidad = 1.000 milésimas
1 milésima = 0,001 unidades
– Ejemplo:
Podemos leer los números decimales de dos formas:
Leemos la parte entera seguida de la palabra “enteros”. Luego leemos la parte decimal como se lee la parte entera y mencionamos la posición en la que está la última cifra.
Leemos la parte entera seguida de la palabra “coma”. Después leemos la parte decimal de la misma forma en la que lees la parte entera.
De este modo, el número 5.897,234 puede ser leído de dos formas, ambas correctas:
“Cinco mil ochocientos noventa y siete enteros doscientos treinta y cuatro milésimas“.
“Cinco mil ochocientos noventa y siete coma doscientos treinta y cuatro”.
DESCOMPOSICIÓN ADITIVA DE UN NÚMERO
Todos los números pueden descomponerse de diversas maneras. Una de ellas es la descomposición aditiva, la cual consiste en representar números como la suma de otros.
Por ejemplo, podemos descomponer el número 128 de forma aditiva y representarlo así:
128 = 100 + 20 + 8
Observa que sumamos los valores posicionales de cada cifra.
Cualquier número puede ser expresado a través de la suma, en lo que se conoce como descomposición aditiva. Este tipo de descomposición considera el valor posicional de cada una de sus cifras, pero también es posible verlo como la suma de diferentes cifras, por ejemplo, 15 = 10 + 5, pero también lo podemos escribir como 15 = 7 + 8.
DESCOMPOSICIÓN MULTIPLICATIVA DE UN NÚMERO
Es otro tipo de descomposición en el que representamos números por medio de multiplicaciones. Aquí tomamos en cuenta el valor del dígito por el valor de su posición.
Si la mamá de Carla compró 1/2 kg de naranjas y su papá compró 3/2 kg de naranjas, ¿cuántos kg de naranja hay en total? Esta situación la podemos encontrar a diario en nuestra vida. Para resolverla tenemos que involucrar operaciones básicas como la suma o la resta a números fraccionarios. Las características de cada fracción nos indicarán qué pasos tenemos que seguir.
Cada vez que dividimos un todo en varias partes iguales usamos fracciones. Todas las fracciones son divisiones sin resolver que tienen un numerador y un denominador, ambos separados por una raya fraccionaria. Las usamos cuando repartimos comida, seguimos instrucciones de recetas o pedimos una parte o porción de algo.
Recordemos que dos o más fracciones son homogéneas cuando comparten el mismo denominador. Sumar este tipo de fracciones es muy fácil. Primero sumamoslos numeradores, el número resultante será el numerador de la fracción y mantenemosel mismo denominador. Veamos un ejemplo:
– Otros ejemplos:
sustracción de fracciones homogéneas
Del mismo modo que se resuelve la suma de fracciones homogéneas, en la sustracción primero restamos los numeradores y conservamos el mismo denominador. Por ejemplo:
– Otros ejemplos:
fracciones equivalentes
Las fracciones equivalentes son fracciones que tienen distinto numerador y denominador pero representan una misma cantidad. Hay dos métodos para calcular fracciones equivalentes: por amplificación y por simplificación.
Por el método de amplificación multiplicamos el numerador y el denominador por un mismo número.
Por ejemplo, es la fracción equivalente a , porque tanto el numerador como el denominador fueron multiplicados por 3.
Por el método de simplificación dividimos el numerador y el denominador por un mismo número.
Por ejemplo, la fracción es equivalente a porque tanto el numerador como el denominador fueron divididos por 2.
Se puede simplificar una fracción hasta obtener su mínima expresión, es decir, hasta conseguir la fracción irreducible. Se la llama irreducible porque el numerador y el denominador no comparten los mismos divisores. Obtener esta expresión hace que se simplifiquen los cálculos y la escritura de fracciones.
¿Cómo sabemos si dos fracciones son equivalentes?
El cálculo que permite determinar si dos fracciones son iguales es el método de multiplicar cruzado los numeradores y denominadores de ambas fracciones.
Para saber si y son fracciones equivalentes debes seguir estos pasos:
1. Multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda.
2. Multiplica el numerador de la segunda fracción por el denominador de la primera.
3. Compara los dos resultados. Sin los dos son iguales significa que las dos fracciones son equivalentes.
orden de fracciones
Todos los números tienen un orden y las fracciones no son la excepción. Para establecer ese orden podemos comparar sus elementos y determinar si son mayores, menores o iguales unas con otras. Los símbolos que se usan para compararlas son:
Símbolo
Significado
>
Mayor que
<
Menor que
Cuando las fracciones tienen igual denominador y se quiere saber si una es mayor que la otra solo tenemos que comparar sus numeradores. Una fracción es mayor que otra si tiene el numerador más grande. Por ejemplo:
porque 7 es mayor que 5.
Para determinar si una fracción es menor que otra y sus denominadores son iguales, solo comparamos los numeradores. Veamos un ejemplo:
porque 8 es menor que 13.
problemas
Día a día nos cruzamos con problemas que involucran fracciones y son las diferentes operaciones básicas las que nos permiten resolverlos. Algunas veces nos toca comparar fracciones para saber, por ejemplo, quién comió más chocolate; otras veces cuántas partes de jugo se tomó y cuántas quedan.
Pasos a seguir para resolver problemas con fracciones
Los siguientes pasos también servirán para resolver problemas con números naturales.
Lee atentamente el problema.
Identifica y anota los datos del problema.
Piensa qué pide el problema, ¿qué pregunta hace?
Establece qué operaciones permiten resolver el problema.
Haz los cálculos.
Relee la pregunta del problema para luego contestarla.
1. Carla y María se repartieron una barra de chocolate en 6 partes iguales, Carla comió y María . ¿Quién comió más chocolate?
Datos
Cantidad de chocolate que comió Carla:
Cantidad de chocolate que comió María:
Pregunta
¿Quién comió más chocolate?
Piensa
Para saber quién comió más hay que comparar las dos fracciones. Como son homogéneas solo no fijamos en los numeradores.
Calcula
porque 3 es mayor que 2.
Respuesta
Carla comió más chocolate que María.
2. Pedro tenía en la heladera de litro de jugo de naranja. Si tomó de litro, ¿cuánto jugo le quedó?
Datos
Litros de jugo naranja en la heladera:
Litros de jugo que tomó Pedro:
Pregunta
¿Cuánto jugo le quedó?
Piensa
Hay que restar la cantidad de jugo que tomó Pedro a la cantidad de jugo que había en la heladera.
Calcula
Respuesta
A Pedro le quedaron de litro de jugo de naranja.
3. Si Pedro prepara de litro de jugo y los une con de litro de jugo que le quedaron, ¿cuánto jugo tiene ahora?
Datos
Litros de jugo que preparó Pedro:
Litro de jugo que ya tiene Pedro:
Pregunta
¿Cuánto jugo tiene ahora?
Piensa
Para saber la cantidad total de jugo hay que sumar las dos cantidades.
Calcula
Respuesta
Pedro tiene ahora de litro de jugo de naranja.
¡A practicar!
1. Resuelve las siguientes operaciones.
Solución
Solución
Solución
Solución
2. Ordenar de mayor a menor las siguientes fracciones.
Solución
3. Ordenar de menor a mayor las siguientes fracciones.
Solución
4. Determina si las siguientes fracciones son equivalentes.
y
Solución
Son fracciones equivalentes porque 3 × 15 = 45 y 9 × 5 = 45.
y
Solución
No son fracciones equivalentes porque 2 × 42 = 84 y 10 × 9 = 90.
y
Solución
Son fracciones equivalentes porque 6 × 9 = 54 y 18 × 3 = 54.
5. Marianela se va de vacaciones con su familia. En la primera hora de viaje recorrieron del trayecto y en la segunda hora, del trayecto. ¿Cuánto del trayecto ya recorrieron?
Solución
Recorrieron del trayecto.
6. Marcos tiene de una tarta y le regala a su vecino , ¿cuánto le queda de la tarta?
Solución
Le queda de tarta.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Adición y sustracción de fracciones”
Este recurso permitirá profundizar en el tema de la suma y resta de fracciones.
¿QUÉ EDAD TIENES?, ¿QUÉ HORA ES?, ¿CUÁNTOS HERMANOS TIENES?, ¿QUÉ FECHA ES HOY? PARA RESPONDER TODAS ESTAS PREGUNTAS TENEMOS QUE USAR LOS NÚMEROS. LOS NÚMEROS SON SÍMBOLOS QUE REPRESENTAN CANTIDADES Y LOS USAMOS TODOS LOS DÍAS PARA CONTAR. HOY APRENDERÁS CUÁLES SON Y CÓMO ESCRIBIRLOS.
LOS NÚMEROS ESTÁN POR TODAS PARTES: EN LAS RECETAS DE COMIDA, EN LOS BILLETES, EN LO CALENDARIOS, EN LA LISTA DE CLASE, EN NUESTRO DOCUMENTO DE IDENTIDAD, EN LOS TELÉFONOS Y HASTA EN LAS CAMISETAS DE LOS JUGADORES. TODOS LOS DÍAS USAMOS NÚMEROS, NO SOLO PARA CONTAR SINO TAMBIÉN PARA IDENTIFICAR COSAS O PERSONAS.
¿CUÁLES SON LOS PRIMEROS NÚMEROS?
¿HAS CONTADO CORDEROS CUANDO NO PUEDES DORMIR? SI ES ASÍ, ENTONCES YA PUEDES IMAGINAR LO QUE SIGNIFICA CADA NÚMERO. OBSERVA:
COMO VES, CADA NÚMERO TIENE UN SÍMBOLO QUE LO REPRESENTA. ¡Y PODEMOS SEGUIR CON LA CUENTA!
¿SABÍAS QUÉ?
CUANDO NO HAY NADA PARA CONTAR USAMOS EL NÚMERO CERO. SU SÍMBOLO ES 0.
HISTORIA DE LOS NÚMEROS
DESDE LA PREHISTORIA LOS SERES HUMANOS HAN NECESITADO USAR LOS NÚMEROS. AL PRINCIPIO UTILIZABAN LOS DEDOS DE LAS MANOS PARA CONTAR, ALGUNOS USARON PIEDRAS Y PALOS CUANDO TENÍAN QUE CONTAR MÁS DE DIEZ COSAS Y NO LES ALCANZABAN LOS DEDOS.
PASARON MILES DE AÑOS HASTA QUE SE INVENTARON SÍMBOLOS PARA REPRESENTAR A LOS NÚMEROS, Y MUCHOS AÑOS MÁS HASTA QUE SE INVENTARON LOS NÚMEROS TAL COMO LOS CONOCEMOS AHORA.
¿CUÁNTO DEDOS TIENE UNA DE TUS MANOS? ¡5! CON ESOS CINCO DEDOS PODEMOS HACER CUENTAS SENCILLAS, Y SABER, POR EJEMPLO, LA CANTIDAD DE PELOTAS QUE TENEMOS, O LA CANTIDAD DE TAREA QUE TENEMOS QUE HACER. LOS DEDOS DE LAS MANOS FUERON UNO DE LOS PRIMEROS SISTEMAS PARA CONTAR Y CON EL TIEMPO ESAS CANTIDADES SE REPRESENTARON CON SÍMBOLOS COMO 1, 2, 3, 4 Y 5.
USOS DE LOS NÚMEROS EN LA VIDA COTIDIANA
EN LA ACTUALIDAD USAMOS LOS NÚMEROS PARA MUCHAS COSAS MÁS QUE PARA CONTAR CORDERITOS. SI PRESTAS ATENCIÓN, HAY NÚMEROS POR TODAS PARTES.
EN LOS PASTELES DE CUMPLEAÑOS.
EN LAS CALCULADORAS.
EN LOS RELOJES.
EN LAS REGLAS Y ESCUADRAS DEL COLEGIO.
¡CONTEMOS!
¿CONOCES EL CUENTO DE LOS CERDITOS?, ¿RECUERDAS CUÁNTOS SON?
¡VAMOS A CONTARLOS! UNO, DOS Y TRES. ¡SON TRES CERDITOS!
EL NÚMERO TRES SE ESCRIBE ASÍ: 3
¿SABES CUÁNTOS SON LOS ENANITOS DEL CUENTO DE BLANCANIEVES?
¡VAMOS A CONTARLOS! UNO, DOS, TRES, CUATRO, CINCO, SEIS Y SIETE. ¡SON SIETE ENANITOS!
EL NÚMERO SIETE SE ESCRIBE ASÍ: 7
¿CUÁNTOS CARACOLES HAY?
¡VAMOS A CONTARLOS! UNOS, DOS, TRES, CUATRO, CINCO, SEIS, SIETE, OCHO Y NUEVE. ¡HAY NUEVE CARACOLES!
EL NÚMERO NUEVE SE ESCRIBE ASÍ: 9
CONTAR GRANDES CANTIDADES
CUANDO QUEREMOS CONTAR UN NÚMERO GRANDE DE OBJETOS ES IMPORTANTE SEGUIR UN ORDEN: DE IZQUIERDA A DERECHA. OTRO TRUCO PARA NO CONFUNDIRSE AL CONTAR ES HACERLE UNA PEQUEÑA MARCA AL OBJETO QUE YA HEMOS CONTADO.
¡A PRACTICAR!
1. PARA CADA GRUPO, ENCIERRA EN UN CÍRCULO EL NÚMERO CORRECTO.
SOLUCIÓN
2. RESPONDE LAS PREGUNTAS:
¿CUÁNTAS CAPERUCITAS HAY?
SOLUCIÓN
HAY 6 CAPERUCITAS.
¿CUÁNTOS LOBOS HAY?
SOLUCIÓN
HAY 8 LOBOS.
¿CUÁNTOS ZAPATOS HAY?
SOLUCIÓN
HAY 4 ZAPATOS.
3. COLOREA. SIGUE LAS CLAVES Y DESCUBRE LA IMAGEN.
4. COLOREA NUEVE CORDEROS.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Matemática en la vida cotidiana”
Este artículo permitirá profundizar sobre la presencia de los números en incontables aspectos de nuestra vida cotidiana.
Los números naturales () son los que utilizamos para contar. Cada número tiene un valor relativo según la posición que ocupe dentro de una cifra y esto permite una correcta lectura de los mismos. Además de los números naturales, existen los números decimales que están formados por una parte entera y otra decimal. También hay sistemas de numeración no posicionales como los números romanos, los cuales constan de siete letras del abecedario latino.
Para leer un número de manera correcta es necesario conocer el valor que ocupa cada una de sus cifras. Para esto podemos usar una tabla posicional.
descomposición de números
Existen distintas formas de descomponer números grandes: la aditiva con combinaciones básicas, la aditiva por medio de valor posicional, la polinómica o la multiplicativa. En la aditiva con combinaciones básicas usamos una o más sumas que expresen el mismo resultado; en la aditiva con valor posicional empleamos los valores posicionales de cada cifra; en la polinómica utilizamos las potencias de base 10; y en la multiplicativa descomponemos la cantidad en sus factores primos.
Estas diferentes maneras de expresar los números permiten resolver situaciones de forma más rápida y sencilla.
números enteros
Los números enteros () están compuestos por todos los números naturales (), sus opuestos negativos y el cero. Los enteros negativos requieren el uso obligatorio del signo (−) a diferencia de los positivos que pueden o no estar acompañados con el signo (+). Estos pueden ser representados en una recta numérica, la cual contiene todos los números reales (). Los números enteros se aplican en diversas situaciones de la vida, como para indicar altitudes sobre el nivel del mar, registrar entradas y salidas de dinero de un banco, dibujar el eje de coordenadas, o para indicar temperaturas.
Otra de las tantas aplicaciones que se les da a los números enteros es para señalar los niveles de un edificios, en donde planta baja representa el 0, los niveles superiores los positivos y los niveles inferiores los negativos.
NÚMEROS decimales
Los números decimales están formados por una parte entera y una parte decimal, ambas divididas por una coma. Estos se clasifican en tres tipos según su parte decimal: exactos, periódicos y no periódicos. Los exactos tienen un número limitado de cifras; los periódicos poseen cifras decimales infinitas y, a su vez, estos se dividen en dos tipos: los puros y los mixtos; y los decimales no periódicos no tienen un patrón que se repita infinitamente. Estos números se pueden redondear para reducir la cantidad de cifras decimales y así obtener un valor muy parecido.
Los números decimales pueden ser utilizados en diversas situaciones de la vida, como para indicar la estatura de las personas o los precios de los productos.
sucesiones
Las sucesiones son un grupo de elementos que se ordenan uno detrás de otro. Estos elementos son llamados términos, siguen una regla dentro del conjunto y pueden ser números, letras, figuras o imágenes. En una sucesión, los términos son representados como subíndices (a1, a2, a3, …). Usamos sucesiones cada vez que contamos los días de la semana o las horas del día. También las usamos para ordenar de mayor a menor o de menor a mayor, o para aprender a leer el abecedario. Podemos encontrar sucesiones con operaciones matemáticas como la suma, la resta, la multiplicación, la división o la potencia.
Cuando se ordenan los ganadores de una carrera de automóviles, estos siguen un patrón de acuerdo al tiempo de llegada. Este es un ejemplo de sucesión.
potencias
La potenciación consiste en expresar de manera reducida una multiplicación de factores iguales. Tiene tres elementos: una base, un exponente y la potencia. La base es el número que se multiplicará tantas veces como indica el exponente y la potencia es el resultado de la multiplicación de los factores. Algunas de las propiedades de las potencias son: potencia de exponente 0, potencia de exponente 1, potencia de exponente negativo, multiplicación y división de potencias con igual base y la potencia de una potencia.
Las potencias sirven para aplicar teoremas, expresar notación científica, realizar sucesiones matemáticas y para demostrar problemas de crecimiento exponencial como la multiplicación de virus y bacterias.
raíz de un número
La raíz de un número es la operación inversa a la potencia de un número. Consiste en buscar el número que se ha multiplicado tantas como indica n bajo un operador radical. Los elementos de una raíz son el radicando, el índice, el radical y la raíz. El radicando es el resultado de la multiplicación de la raíz de un número tantas veces como indica el índice de la raíz. El índice indica el grado de una raíz, lo que se traduce en cuántas veces se multiplicó por sí mismo el resultado de la radicación. El radical representa el símbolo de la operación de radicación y la raíz es resultado de la operación matemática.
Todas las operaciones matemáticas poseen una operación inversa que revierte los cálculos realizados.
La radicación es la operación inversa de la potenciación. Su cálculo consiste en hallar un número que multiplicado por sí mismo cierta cantidad de veces resulte en otro número determinado. Para poder emplear de manera correcta esta operación es necesario saber sus elementos y propiedades.
Todos los cálculos matemáticos tienen una operación inversa. La suma es la operación inversa de la resta, la división lo es de la multiplicación y la radicación lo es de la potenciación. Posiblemente creas que la radicación es la operación más compleja, pero no es así. Si conoces sus elementos y propiedades podrás resolver cualquier raíz de un número.
¿qué es una raíz?
Es una operación matemática en la que se obtiene un número que se ha multiplicado por sí mismo n veces bajo el operador radical. Esta se encuentra formada por los siguientes elementos:
Donde:
Radical : representa el símbolo de la operación de radicación.
Índice de la raíz : indica el grado de una raíz, lo que se traduce en cuántas veces se multiplicó por sí mismo el resultado de la radicación. El índice de una raíz debe ser diferente de cero.
Radicando : es el producto de la multiplicación de la raíz según lo indique el índice. El radicando pertenece al conjunto de los números reales.
Raíz : es el resultado de la radicación.
Condiciones a cumplir
Si es par, debe ser , para que el resultado sea un número real .
¿Cómo se relacionan la potencia y la raíz de un número?
La relación de las operaciones matemáticas potenciación y radicación se refleja así:
La base de la potenciación es el resultado o raíz de la radicación.
La potencia de la potenciación es el radicando de la radicación.
El exponente de la potenciación coincide con el índice de la radicación.
Por lo tanto, podemos expresar a una raíz como un exponente fraccionario, en el cual el denominador de la fracción corresponde al índice de la raíz y el numerador al exponente del radicando.
– Ejemplo:
Origen del término
Antiguos papiros egipcios demuestran que en esta cultura se calculaban raíces. Muchos especialistas asocian el origen del símbolo de la raíz con la letra r de la palabra latina radix, que significa “raíz”. No obstante, este término fue introducido en siglo XVI por Christoph Rudolff, quien lo usó en su libro Coss.
propiedades de las raíces
Raíz de cero
La raíz con radicando 0 es igual a 0, siempre que su índice sea diferente de dicho número.
– Ejemplo:
Raíz de la unidad
La raíz de 1 siempre será igual a 1.
– Ejemplo:
Raíz de un producto
La raíz de un producto es igual al producto de las raíces de los factores.
– Ejemplo:
Raíz de un cociente
La raíz de un cociente es igual al cociente de las raíces del dividendo y del divisor.
– Ejemplo
Raíz de una raíz
La raíz de una raíz es igual a una nueva raíz con el mismo radicando e índices multiplicados.
– Ejemplo:
Potencia de una raíz
La potencia de una raíz es igual a la misma raíz con el radicando elevado a dicha potencia.
– Ejemplo:
Los problemas con radicales pueden tener una, dos o ninguna solución, y esto depende principalmente del radicando y del índice de la raíz. Sin embargo, para poder resolverlos de manera correcta se requiere tener conocimiento tanto de sus propiedades como también de la regla de los signos.
Suma y resta de radicales
Los radicales pueden sumarse o restarse siempre y cuando sean semejantes, es decir, que tengan el mismo índice y radicando. En este caso, sumamos o restamos los coeficientes (los números que están fuera de la raíz) y dejamos el mismo índice y radicando.
– Ejemplo:
cálculo de raíces
En la actualidad existen herramientas que te ayudan a realizar las operaciones matemáticas de manera fácil y rápida, como por ejemplo la calculadora. Con una calculadora, podemos determinar la raíz de un número sin problemas, pero, ¿qué hacer si no tenemos una calculadora? Para ello, es bueno saber los pasos para calcular la raíz cuadrada de cualquier número.
Para calcular la raíz cuadrada de un número como 682.273 seguimos estos pasos:
1. Agrupamos el número en cifras de dos en dos desde la derecha a la izquierda.
2. Buscamos un número que elevado al cuadrado se aproxime a las dos primeras cifras de la izquierda. De este modo, colocamos el 8, pues 82 = 8 × 8 = 64 que se aproxima a 68.
3. Realizamos la resta entre las dos primeras cifras y el resultado de 82 = 64. Luego bajamos las dos cifras siguientes (22).
4. Tomamos el primer resultado de la raíz que es 8 y lo multiplicamos por 2: 8 × 2 = 16. Lo colocamos debajo.
5. El número multiplicado por dos lo usamos para dividir a los dos primeros números del resto anterior (422). Como 42/16 = 2,625, colocamos el número entero (2) después de 16 para formar una nueva cifra: 162. Ahora multiplicamos este nuevo resultado por 2: 162× 2.
6. Utilizamos el resultado de la multiplicación para restarlo a 422. Añadimos el 2 a la raíz.
7. Repetimos el procedimiento. Bajamos las dos cifras siguientes (76) junto al último resto (98) para formar 9.876. Multiplicamos por 2 la raíz hasta ahora obtenida (82 × 2) y la colocamos como nuevo cociente (164).
8. Del mismo modo, el número multiplicado por dos lo utilizamos para dividir a los tres primeros números del resto anterior (9.876), lo que nos da 987/164 = 6,018. De esta división, solo tomamos el número entero (6), que usaremos para colocarlo detrás del (164) para formar una nueva cifra (1.646) y, al mismo tiempo, para multiplicar esta nueva cifra (1646 × 6).
9. El resultado de la multiplicación se utiliza para restarlo al resto anterior (9.876) y el número entero utilizado para hacer esta multiplicación se coloca en la raíz (82) y queda así:
Entonces,
¡A practicar!
1. Aplica las propiedades de las raíces para resolver los siguientes ejercicios:
Solución
Solución
Solución
Solución
2. Resuelve las siguientes raíces sin utilizar la calculadora:
Solución
Solución
Solución
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “La radicación”
Con este artículo, podrá ampliar los conocimiento respecto a la radicación y sus propiedades.
Hay eventos que siempre ocurren con seguridad, por ejemplo, al día lunes siempre le sigue el martes; hay otros otros, en cambio, en los que no sucede lo mismo, y es allí cuando las leyes de la probabilidad juegan un papel fundamental. Por ejemplo, si lanzamos un dado sabemos que el resultado será un número del 1 al 6, pero no sabemos con certeza cuál de ellos será.
Fenómenos y hechos que se pueden predecir
Existen sucesos que ocurren con total seguridad y se denominan sucesos deterministas o seguros porque el resultado se conoce de antemano. Cuando se realizan experimentos de este tipo, el resultado siempre se puede predecir. Por ejemplo, “mañana será de día” es un suceso determinista porque sabemos que siempre va a pasar.
– Otros ejemplos de sucesos deterministas:
El número al lanzar un dado siempre será menor a 7.
Al lanzar una roca al suelo esta caerá.
La próxima semana tendrá 7 días.
Los sucesos deterministas contienen a todos los elementos del espacio muestral.
¿Sabías qué?
Se denomina espacio muestral al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.
Fenómenos deterministas
Los fenómenos en el universo que siguen las leyes de la física pueden considerarse como fenómenos deterministas porque siempre son iguales. Por ejemplo, la órbita de los planetas y las atracciones gravitacionales.
Fenómenos de azar
Hay experimentos aleatorios que son imposibles de predecir porque ocurren al azar y su resultado está dentro de los resultados posibles del fenómeno estudiado. Por ejemplo, al lanzar un dado sabemos que los resultados posibles son 1, 2, 3, 4, 5 y 6, pero no sabemos qué número se obtendrá con certeza, por eso se trata de un fenómeno de azar. En los experimentos de este tipo, el resultado no se puede predecir sin importar las veces que se repita la experiencia bajo las mismas condiciones.
– Algunos ejemplos de sucesos aleatorios:
Lanzar una moneda y que el resultado sea cara.
Extraer una carta de un manojo de cartas y que sea de corazones.
Extraer un número de las bolas de bingo y que sea par.
Los juegos de azar
Existen juegos en los que la posibilidad de ganar o perder dependen del azar, de donde proviene su nombre. En estos juegos la habilidad del jugador puede influir en los resultados y buscar minimizar la probabilidad de resultados desfavorables para aumentar la probabilidad de resultados favorables. Algunos ejemplos de juegos de azar son el bingo, los dados y la lotería.
Suceso imposible
Es lo contrario a un suceso determinista. Este tipo de suceso nunca se va a cumplir. Por ejemplo, lanzar un dado y obtener el número 7 es un suceso imposible porque el dado tiene valores del 1 al 6. Este tipo de eventos suele denotarse con el símbolo ∅.
¿Qué es la probabilidad?
Es un cálculo matemático que permite evaluar las posibilidades de que un evento ocurra cuando interviene el azar. Algunos eventos pueden ocurrir con mayor o menor frecuencia que otros, pero como no sabemos si pueden ocurrir o no, se denominan eventos aleatorios. En este tipo de eventos aplicamos el concepto de probabilidad.
La genética emplea la probabilidad para entender cuán posible sería para una persona heredar ciertos tipos de genes que la hagan más susceptibles a ciertas condiciones o enfermedades. Otros campos que emplean cálculos probabilísticos son la física, la biología, la mercadotecnia, las empresas aseguradoras y la industria.
Tipos de eventos
En estadística se denomina “evento” al resultado o conjunto de resultados posibles en un experimento. Se clasifican de la siguiente manera:
Eventos mutuamente excluyentes: son aquellos que no pueden ocurrir de manera simultánea. Por ejemplo, leer cara o sello luego de lanzar una moneda. Este es un evento mutuamente excluyente, porque no se puede tener un resultado de cara y sello al mismo tiempo.
Eventos independientes: son eventos que no se ven afectados por la ocurrencia de otro. Por ejemplo: comprar un auto y que llueva son eventos independientes, porque es posible comprar un auto sin que llueva o que llueva sin comprar el auto.
Eventos dependientes: son eventos en los que uno de ellos se ve afectado por la ocurrencia de otro. Por ejemplo, ir a un examen y obtener una calificación. Son eventos dependientes porque si no vas al examen no tienes calificación.
¡A practicar!
1. Determina si es un suceso determinista, aleatorio o imposible.
a) Que llueva y las gotas caigan hacia abajo.
Solución
Suceso determinista.
b) Lanzar una moneda y obtener cara.
Solución
Suceso aleatorio.
c) Jugar bingo y ganar.
Solución
Suceso aleatorio.
d) Lanzar una moneda y que no caiga hacia abajo nunca.
Solución
Suceso imposible.
e) Observar un cuadrado de cinco lados.
Solución
Suceso imposible.
2. Los experimentos __________ son imposibles de predecir.
a) aleatorios
b) seguros
c) deterministas
Solución
a) aleatorios
3. ¿Cuál de los siguientes sucesos no es aleatorio?
a) Lanzar un dado y que el número sea par.
b) Lanzar una moneda y que el resultado sea cara.
c) Sacar una carta y que sea una reina de corazones.
a) Lanzar un objeto y que este caiga.
Solución
a) Lanzar un objeto y que este caiga.
4. ¿A qué tipo de evento corresponde?
a) “Es un evento que no se ve afectado por la ocurrencia de otro”.
Solución
Evento independiente.
b) “Evento que no pueden ocurrir de manera simultánea con otro”.
Solución
Evento mutuamente excluyente.
c) “Evento que se ve afectado por la ocurrencia de otro”.
Solución
Evento dependiente.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Historia de la estadística”
Este artículo detalla las fases en las que se desarrolló la estadística hasta convertirse en una de las ramas más usadas de la matemática.
Este artículo describe los conceptos relacionados al campo de la probabilidad como lo son los fenómenos aleatorios y deterministas, así como los tipos de sucesos.
Artículo “Relación de la contabilidad con la administración y la estadística”
Este artículo explica por qué estas tres disciplinas se encuentran relacionadas entre sí, y se concentra en explicar qué es la estadística administrativa.
La recopilación e interpretación de datos son aspectos claves de toda investigación. La estadística es la ciencia encargada de este proceso: reúne información concerniente a individuos o grupos, organiza dichos datos y los analiza e interpreta. Este análisis permite tomar decisiones y realizar predicciones útiles.
La encuesta
Una encuesta es una técnica que consiste en recopilar datos por medio de un cuestionario, el cual tiene preguntas prediseñadas. La encuesta se emplea al momento de estudiar un fenómeno, pues los datos obtenidos se suelen representar en gráficos o tablas para su interpretación.
Por lo general, la encuesta se aplica a una muestra de la población. Por ejemplo, imagina que quieres realizar una encuesta sobre el programa de televisión más visto en un país. Lo ideal sería que la encuesta fuera respondida por todas las personas de ese país, pero eso resulta casi imposible. Por esta razón, se toma una muestra de esa población que consiste en una porción más pequeña de personas para aplicar la encuesta. Así los datos obtenidos son una aproximación muy cercana a toda la población y su recopilación es mucho más fácil.
– Ejemplo:
La maestra preguntó a sus estudiante si preferían viajar a la playa o a la montaña y estos fueron los resultados que obtuvo:
Nombre
Lugar preferido
María
Playa
Mónica
Playa
Samuel
Montaña
Alfredo
Playa
Ricardo
Montaña
Melina
Montaña
Pablo
Playa
Rubén
Playa
Araceli
Playa
Sergio
Montaña
De la tabla se observa que 6 estudiantes prefieren ir a la playa y 4 prefieren ir a la montaña. De manera que hay más estudiantes que prefieren la playa.
Importancia de las encuestas
Las encuestas son más usadas de lo que se piensas y las áreas que las aplican no se limitan a la estadística. La medicina, la sociología y la psicología son algunos de los campos en donde se hace uso de encuestas para recopilar información.
Promedio aritmético
Se denomina así porque corresponde al valor promedio de los datos. Es el resultado de sumar todos los datos que tenemos y luego dividirlos entre el número de datos.
– Ejemplo:
La maestra le preguntó a los niños cuántas mascotas tenían en sus casas y obtuvo los siguientes resultados:
Nombre
Número de mascotas
María
2
Mónica
2
Samuel
3
Alfredo
1
Ricardo
1
Melina
2
Pablo
1
Rubén
2
Araceli
2
Sergio
4
Para calcular el promedio de mascotas que tienen los estudiantes se cumple la siguiente fórmula:
En este caso, si sumamos todos los datos obtenemos lo siguiente:
El número de datos es igual a 10 (es el número de estudiantes en este caso).
Al sustituir en la fórmula se obtiene:
De esta manera, el promedio aritmético es 2, lo que nos indica que la mayoría de los estudiantes tienen como mínimo 2 mascotas.
¿Sabías qué?
En la estadística es más común hablar de media aritmética y no de promedio aritmético.
Uno de los cálculos usados a menudo en las empresas es el promedio. Aunque no siempre indica el valor real, permite por ejemplo, realizar estimaciones de las producciones por día, estimaciones de costos y proyecciones a futuro. Es importante tener presente que existen varios tipos de promedio además del aritmético y se emplean en otras situaciones.
Moda
Corresponde al valor del dato que más se repite. En el caso del ejemplo anterior la moda es 2 porque se repite más veces (5 veces):
Nombre
Número de mascotas
María
2
Mónica
2
Samuel
3
Alfredo
1
Ricardo
1
Melina
2
Pablo
1
Rubén
2
Araceli
2
Sergio
4
¿Sabías qué?
La media, la moda y la mediana son denominadas medidas de tendencia central.
Combinaciones
Para realizar combinaciones de datos se suelen emplear tablas de doble entrada, conocidas también como cuadros de doble entrada, que permiten de forma gráfica registrar la información y sacar conclusiones.
Por ejemplo, un equipo de voleibol quiere saber cuál color usar en su logo, uniforme y balón oficial. Para ello la mayoría decidió que los colores deberían ser rojo, naranja o amarillo. Al completar la tabla de doble entrada obtuvieron los siguientes resultados:
El equipo tiene en total 9 posibilidades para elegir porque en la tabla son 3 colores y 3 objetos:
Si analizamos la tabla verticalmente observamos que por cada columna está el mismo objeto pero de diferente color. Si analizamos la tabla horizontalmente observamos diferentes objetos pero con el mismo color.
Los datos en una investigación
Antes de lanzar al mercado un nuevo producto o de aprobar una vacuna es necesario obtener datos que permitan interpretar si, por ejemplo, ese producto será comprado en las cantidades deseadas o si esa vacuna será segura para la salud. Por tal motivo, los datos que se recopilan juegan un papel fundamental en toda investigación, sin ellos no sería posible llegar a conclusiones o resultados. Su análisis es crucial en todas las áreas de la ciencia.
¡A practicar!
1. Se hizo una encuesta a unos músicos para saber cuántos instrumentos sabían tocar. Observa la siguiente tabla de resultado y responde las preguntas.
Nombre
Número de instrumentos que sabe tocar
Carolina
3
Ezequiel
3
Francisco
5
Sofía
3
Victoria
4
Verónica
6
Diego
7
Luis
3
Tania
2
Andrés
4
a) ¿Cuál es el promedio aritmético?
Solución
4
b) ¿Cuál es la moda?
Solución
3
c) ¿Quién sabe tocar más instrumentos?
Solución
Diego
d) ¿Quién sabe tocar menos instrumentos?
Solución
Tania
2. Observa la siguiente tabla de doble entrada. ¿Cuántas combinaciones posibles observas?
Solución
4
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Instrumentos de medición”
Este artículo explica los principales instrumentos de medición usados en la estadística para recopilar datos como la encuesta y la entrevista.
Este artículo explica las medidas de tendencia central como la moda, media aritmética y la mediana, que permiten analizar un conjunto de datos y conocer la manera en la que se encuentra distribuidos.
Hay veces en las que los datos por sí solos no nos proporcionan ninguna información, pero al representarlos de manera gráfica podemos comprender mejor lo que significan. Por esta razón, en matemática y en estadística se suelen usar gráficos, diagramas y tablas para mostrar los valores.
Pictogramas
Son gráficos que emplean dibujos para representar los datos. Estos recursos visuales permiten una rápida comprensión de los datos porque usan símbolos o imágenes.
En matemática se pueden representar en varias formas:
Gráfico de barras con pictogramas
Gráfico de tablas con pictogramas
En ambos ejemplos se representa el número de goles que han hecho Juan, David, Tobías y Mario. Cada imagen de referencia representa los goles de cada uno. De esta forma, Juan metió 5 goles, David 3 goles, Tobías 4 goles y Mario 1 gol.
En este caso es fácil observar que la persona que hizo más goles fue Juan y quien hizo menos fue Mario. No hacen faltan los números ni contar porque los datos se ven fácilmente a través del gráfico.
¿Sabías qué?
A los pictogramas también se los denomina gráficos de imágenes.
Las tablas son otro recurso usado para representar datos. Por lo general, en las tablas se usan datos cualitativos y datos cuantitativos. Los datos cualitativos indican las características de algo, como nombre, tamaño o color. Los datos cuantitativos expresan la cantidad.
En el caso del ejemplo anterior del número de goles, podemos representarlo en formato de tabla de la siguiente manera:
Nombre
Número de goles
Juan
5
David
3
Tobías
4
Mario
1
Los datos cualitativos son los nombres y los datos cuantitativos son el número de goles.
Observa que en una tabla los datos se organizan en filas y columnas, las filas son las hileras horizontales y las columnas son las hileras de datos verticales de una tabla.
Por ejemplo, si queremos saber el número de goles que hizo Tobías debemos ubicar su nombre y luego movernos en esa fila hasta la columna de número de goles, de esa manera sabemos que Tobías hizo 4 goles.
La estadística y los gráficos
La estadística es una rama de la matemática que estudia la recolección, análisis e interpretación de datos con el propósito de establecer comparaciones que permitan entender el problema que se estudia. Los gráficos y tablas son tan importantes para la estadística como lo son el plano, la recta y el punto para la geometría.
Gráficos de barra
Son un tipo de diagrama que permite la representación de datos a través de columnas, por eso también se los conocen como gráficos de columnas. La longitud de cada barra o columna es completamente proporcional al valor que representan. Es por ello que se suelen representar con una escala numérica como referencia.
Seguimos con el mismo ejemplo del número de goles, pero esta vez representado en un gráfico de barras:
Observa que los tamaños de las barras son proporcionales a la cantidad que representa. La barra más grande es la del valor más grande y la más chica corresponde al valor más pequeño. Si queremos saber cuál es el valor representado por la gráfica solo tenemos que fijarnos en el tope de la barra y leer el número que indica la escala.
Los gráficos estadísticos además de proporcionar una rápida y fácil comprensión de los datos, también permiten realizar un mejor análisis. Muchas empresas emplean gráficos con el propósito de realizar proyecciones o estimaciones. En los medios de comunicación es frecuente observar gráficos para representar encuestas o resultados electorales.
¿Qué importancia tiene representar los datos gráficamente?
Imagina que se obtienen los datos de todos los vuelos internacionales que se hicieron en un país en los últimos veinte años, en efecto, serían demasiados números para interpretar, y si se quisieran comparar esos datos a simple vista no sería nada sencillo. Es por ello que se emplean gráficos, no solo para facilitar la comprensión sino también para organizar los datos de una manera más clara.
Las computadoras y muchos otros equipos como las calculadoras modernas, permiten realizar gráficos de manera sencilla. Gracias a los gráficos es posible realizar promedios, proyecciones y análisis. Por esto y más, son una herramienta muy útil en la actualidad.
Las economías de los países, el valor de las acciones en la bolsa y el precio del petróleo son algunos parámetros que suelen ser representados en gráficos para una rápida comprensión. Los gráficos son herramientas visuales que permiten organizar los datos de una manera más clara. Es común que el tipo de gráfico dependa del tipo de datos que se deseen representar.
¡A practicar!
1. Observa la siguiente imagen que muestra los trofeos que ganó una escuela y responde las siguientes preguntas.
a) ¿Qué tipo de gráfico es?
Solución
Pictograma.
b) ¿Cuántos trofeos obtuvo la escuela en el año 2020?
Solución
2
c) ¿En qué año la escuela obtuvo el mayor número de trofeos ?
Solución
2019
d) ¿En qué año la escuela obtuvo únicamente un trofeo?
Solución
2018
2. El siguiente gráfico muestra los libros prestados en una biblioteca durante una semana. Observa el gráfico y responde las preguntas.
a) ¿Qué tipo de libro se prestó más en esa semana?
Solución
Biología.
b) ¿Cuántas novelas se prestaron?
Solución
2
c) ¿Cuántos libros de arte se prestaron?
Solución
4
d) ¿De qué tipo de libro la biblioteca prestó solo 3 libros?
Solución
Idiomas.
3. Observa la siguiente tabla que muestra los animales en una granja y responde las preguntas.
Animales
Cantidad en una granja
Vaca
5
Perro
2
Gato
1
Caballo
3
Gallina
10
Oveja
15
a) ¿De cuál animal hay más cantidad en la granja?
Solución
Oveja.
b) ¿Cuántas gallinas hay?
Solución
10
c) ¿Cuántos perros hay?
Solución
2
d) ¿De cuál animal hay menos cantidad en la granja?
Solución
Gato.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Gráficos estadísticos”
Este artículo describe los principales gráficos usados en la estadística para representar datos. También explica las principales características de cada uno.
Este artículo expone una breve reseña del objeto de estudio de la estadística como rama de la matemática, y de igual forma explica cómo es el proceso de recolección y análisis de datos.
Este artículo explica las características de una tabla de valores y sus aplicaciones en la estadística, y proporciona unos ejemplos para comprender el texto.
