Desde la elaboración de planos y dibujos a escalas en hojas cuadriculadas, hasta la localización de estrellas en la galaxia, la unión de rectas perpendiculares nos ayuda a distinguir la posición de cualquier objeto. Una cuadrícula es un sistema de coordenadas compuesto por líneas perpendiculares verticales y horizontales, que funciona como sistema de referencias y permite ubicar elementos en un espacio definido. El conjunto de líneas horizontales y verticales, también llamadas ejes, suelen nombrarse con números y letras.
Un claro ejemplo de cuadrícula es un tablero de ajedrez. En este cada cuadro representa una posición que puede ser ocupada por alguna pieza del juego.
TIPOS DE LÍNEAS
Las líneas son un conjunto de puntos ubicados uno junto al otro que generan un trazo continuo. Si los puntos están orientados en una misma dirección, entonces, forman una línea recta. Las líneas rectas son continuas e infinitas, no tienen ni principio ni final y se pueden clasificar según la forma en que interaccionan entre ellas en rectas paralelas (aquellas que nunca se cortan), rectas secantes perpendiculares (aquellas que se cortan formando ángulos rectos) y rectas secantes oblicuas (aquellas que se cortan sin formar ángulos rectos).
Un ejemplo de líneas rectas paralelas son las vías de un ferrocarril. Cuando se cortan con otras forman líneas secantes.
LOS ÁNGULOS Y SUS TIPOS
Un ángulo es una porción del plano delimitado por dos semirrectas. Cada semirrecta es uno de los lados del ángulo y coinciden en un punto de origen al que se denomina vértice. A la distancia entre lado y lado del ángulo se la denomina amplitud, y esta se mide en grados (°). Si queremos medir o trazar un ángulo es indispensable el uso del transportador. Según su amplitud, un ángulo puede ser convexo, cóncavo, nulo, completo, llano, agudo, recto u obtuso.
Las escuadras nos permiten estimar ángulos, pues tienen un ángulo de 90° y dos ángulos de 45°.
LOS TRIÁNGULOS
Los triángulos son polígonos regulares cerrados de tres lados, tres ángulos y tres vértices. Los ángulos interiores de un triángulo siempre suman 180° y los ángulos exteriores suman 360°. Son varios los criterios de clasificación que permiten agrupar a los triángulos de acuerdo a ciertas particularidades, los más utilizados son: la medida de sus lados y la medida de sus ángulos. Según la medida de sus lados, los triángulos se clasifican en equiláteros, isósceles y escalenos; mientras que, según la medida de sus ángulos se clasifican en acutángulo, obtusángulo y rectángulo.
Un mismo triángulo puede ser clasificado por más de un criterio, por ejemplo: todos los triángulos equiláteros son, a su vez, triángulos acutángulos, ya que sus tres ángulos iguales miden 60°.
CUADRILÁTEROS
Los cuadriláteros tienen cuatro lados, cuatro ángulos internos, cuatro ángulos externos, cuatro vértices y dos diagonales. Estos se clasifican en paralelogramos, trapecios y trapezoides. Los paralelogramos son aquellos cuadriláteros que poseen dos pares de lados opuestos paralelos y que comparten algunas propiedades específicas; los trapecios, por su parte, son figuras que presentan un par de lados opuestos paralelos a los que se suele denominar base; y los trapezoides son aquellos cuyos lados no son paralelos.
En primer lugar, los cuadriláteros pueden clasificarse en dos grandes grupos: paralelogramos y no paralelogramos. Las pantallas de nuestros móviles y tabletas son ejemplos de un paralelogramo.
POLIEDROS
Los poliedros son cuerpos geométricos tridimensionales con caras planas formados por polígonos. Cada una de las caras de un poliedro es un polígono (triángulo, cuadrado, rombo, etc.). Los poliedros pueden ser regulares cuando sus caras están compuestas por el mismo polígono regular; o irregulares si sus caras presentan diferentes formas. En estos poliedros el número de caras no presenta límites como ocurre con los poliedros regulares y se dividen en prismas (tienen dos bases) y pirámides (tienen una sola base).
Existen cinco poliedros regulares cuyas caras están conformados por polígonos regulares. Estos son conocidos como sólidos platónicos.
La palabra “poliedro” proviene del griego y significa “que tiene muchas caras o planos”. Con este nombre se designa a aquellos cuerpos geométricos que están formados por polígonos y encierran un volumen. Cada una de las caras de un poliedro es un polígono (un triángulo, un cuadrado, un rombo, etc.) y se caracterizan por tener un mínimo de cuatro caras.
Solemos pensar que un balón de fútbol es una esfera, sin embargo, esto no es así. Un balón de fútbol es un poliedro que al ser hinchado con aire adopta una forma cercana a la esfera. A este tipo de poliedro se lo conoce como icosaedro truncado y combina 20 hexágonos regulares y 12 pentágonos regulares. Tiene 32 caras, 90 aristas y 60 vértices.
ELEMENTOS DE LOS POLIEDROS
Los poliedros son cuerpos geométricos tridimensionales con caras planas y que encierran un volumen. Es decir que un poliedro es una porción acotada de espacio limitada por distintos polígonos, a diferencia de los polígonos, que son porciones del plano limitadas por segmentos.
Los poliedros están constituidos por los siguientes elementos:
Bases
Caras
Aristas
Vértices
Son las caras sobre las cuales se apoya el poliedro.
Son las superficies planas que delimitan el espacio interno del poliedro.
Son las líneas que componen el cuerpo de un poliedro.
Son los puntos de encuentro entre tres o más aristas del poliedro.
TIPOS DE POLIEDROS
Poliedros regulares
Los poliedros regulares son aquellos cuyas caras están compuestas por el mismo polígono regular. Estos son conocidos también como sólidos platónicos.
Nombre del poliedro
Forma del poliedro
Número de caras
Polígonos que forman sus caras
Tetraedro
4
Triángulos equiláteros
Cubo
6
Cuadrados
Octaedro
8
Triángulos equiláteros
Dodecaedro
12
Pentágonos regulares
Icosaedro
20
Triángulos equiláteros
¿Sabías qué?
Se les llama sólidos platónicos porque Platón, filósofo griego del siglo IV a. C., en su diálogo el Timeo explicó la construcción del universo por asociación de cada uno de los poliedros regulares con los elementos fundamentales: agua, aire, tierra y fuego.
El nombre que recibe cada poliedro depende del número de caras que presente. Se utilizan para ello prefijos numerales de origen griego y la terminación –aedro (que significa “plano o cara”). Por ejemplo, el cubo también se llama hexaedro porque tiene 6 caras. No obstante, muchos poliedros tienen sus nombres propios, como el prisma o la pirámide.
Poliedros irregulares
Los poliedros irregulares pueden presentar diferentes formas. En estos poliedros, el número de caras no presenta límites como ocurre con los poliedros regulares. Los poliedros irregulares más comunes son los prismas, las pirámides y todas sus variedades
Prismas: son poliedros limitados por dos bases que son polígonos iguales y por caras laterales que son paralelogramos. Ellos se nombran de acuerdo al polígono de la base. Así puedes encontrar:
Pirámides: son poliedros que tienen una sola base conformada por un polígono y por caras laterales de triángulos con un vértice común. Al igual que los prismas, se nombran por el polígono de la base.
Pirámide triangular
Pirámide cuadrangular
Pirámide pentagonal
Pirámide hexagonal
Triángulo como base.
Cuadrado como base.
Pentágono como base.
Hexágono como base.
¡Construyamos poliedros!
Los poliedros son cuerpos geométricos, esto quiere decir que son tridimensionales y puedes construirlos fácilmente con pocos materiales.
Para construir un cubo necesitarás:
Tijeras.
Regla.
Cartón o un papel duro.
Pegamento.
Copia esta plantilla en el papel. Luego recortalo y realizar pliegues en las líneas. Los cuadrados quedarán como caras del poliedro y las pequeñas solapas servirán para unir la figura. En esas solapas debes colocar pegamento, para unirlas con las caras correspondientes. Quedará formado un cubo, similar al de la imagen. Será útil, por ejemplo, para hacer tus propios dados.
Para construir un tetraedro sigue los mismos pasos. Esta es la plantilla:
Para construir un octaedro sigue los mismos pasos. Esta es la plantilla:
Para construir un dodecaedro sigue los mismos pasos. Esta es la plantilla:
Para construir un icosaedro sigue los mismos pasos. Esta es la plantilla:
Poliedros en la vida cotidiana
En la vida cotidiana puedes encontrar continuamente poliedros. A lo largo de la historia, dos ejemplos de ellos se han vuelto mundialmente reconocidos: el cubo de Rubik y las pirámides de Egipto. Estas últimas son poliedros piramidales triangulares, cuya base es un polígono cualquiera y sus caras son triángulos con un vértice común.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Poliedro irregulares”
En este artículo encontrarás el desarrollo teórico para ahondar en las características propias de los poliedros irregulares.
Seguramente habrás notado a tu alrededor múltiples objetos con cuatro lados: una mesa, una caja o un teléfono móvil. Todos ellos tienen forma de cuadriláteros. Este tipo de figura tiene diversas clasificaciones según la longitud de sus lados y amplitud de sus ángulos. Con este artículos podrás diferenciar cada tipo de cuadrilátero y sabrás cómo calcular su perímetro.
¿qué es un cuadrilátero?
El término “cuadrilátero” proviene del latín quattuor que significa “cuatro” y latus que significa “lado”. Así que los cuadriláteros son aquellos polígonos que tienen cuatro lados. Estos lados pueden dibujarse de diversas formas: todos del mismo tamaño, de distintas medidas o con diferentes inclinaciones; pero lo fundamental es que estén unidos de forma tal que constituyan el contorno de una figura.
Todo cuadrilátero se caracteriza por tener cuatro lados. Estas figuras están en gran parte de los objetos que vemos en la cotidianidad: la pantalla que miramos de la computadora o el teléfono, las páginas de los libros, las paredes de la escuela, las hojas de un cuaderno, los anuncios publicitarios o simplemente en las cajas de nuestra casa.
La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360°.
La suma de los ángulos exteriores de un cuadrilátero es igual a 360°.
En el ejemplo anterior:
α + β + γ + δ = 360°
α’ + β’ + γ’ + δ’ = 360°
Clasificación de los cuadriláteros
Los cuadriláteros se clasifican en paralelogramos, trapecios y trapezoides.
Paralelogramos
Son figuras con lados paralelos dos a dos cuyas diagonales se cortan entre sí en segmentos iguales. Se clasifican en:
Figura
Característica
Cuadrado
4 lados iguales.
4 ángulos rectos (90°).
Rectángulo
Lados iguales dos a dos.
4 ángulos rectos (90°).
Rombo
4 lados iguales.
Ángulos iguales dos a dos.
Romboide
Lados iguales dos a dos.
Ángulos iguales dos a dos.
Eje de simetría de los paralelogramos
Todos los paralelogramos tienen un eje de simetría. El eje de simetría es el segmento que divide a la figura en dos partes iguales. El punto de intersección de las diagonales es el centro de simetría del paralelogramo.
Para diferenciar un rombo de un cuadrado invertido debes prestar atención a los ángulos, solo el cuadrado tiene cuatro ángulos rectos.
Trapecio
Son figuras con 2 lados paralelos denominados bases. Se clasifican en:
Figura
Característica
Trapecio rectángulo
2 ángulos rectos (90°), uno agudo (menor a 90°) y uno obtuso (mayor a 90°).
Un lado es perpendicular a sus bases (paralelas).
Trapecio isósceles
Sus lados no paralelos son de igual longitud.
2 ángulos internos agudos (menores a 90°) y 2 ángulos obtusos (mayores a 90°) iguales entre sí.
Sus ángulos opuestos son suplementarios.
Trapecio escaleno
Todos sus lados y ángulos son diferentes.
Trapezoide
Son figuras sin lados paralelos.
Figura
Características
Lados opuestos no paralelos.
La clasificación de cuadriláteros es de gran ayuda en la vida de algunos profesionales. Ingenieros, arquitectos y diseñadores habitualmente necesitan estos conocimientos básicos para poder construir, medir o diseñar. Pero no solo ellos acuden a estos conocimientos; quienes trabajan en publicidad también precisan la geometría.
CÁLCULO DEL PERÍMETRO DE PARALELOGRAMOS
El perímetro es la suma de las longitudes de los lados de cualquier figura geométrica, con excepción del círculo; sin embargo, con el fin de agilizar su cálculo puedes aplicar las siguientes fórmulas:
Figura
Fórmula de perímetro
Cuadrado
P = 4 × l
Rectángulo
P = 2 × l + 2 × b
Romboide
P = 2 × l1 + 2 × l2
Rombo
P = 4 × l
– Ejemplo:
Calcula el perímetro de este rectángulo:
P = 2 × b + 2 × a
P = 2 × 10 cm + 2 × 6 cm
P = 20 cm + 12 cm
P = 32 cm
El perímetro del rectángulo es de 32 cm.
– Otro ejemplo:
Calcula el área de este rombo:
P = 4 × l
P = 4 × 5 cm
P = 20 cm
El perímetro del rombo es de 20 cm.
Figuras geométricas en la publicidad
Las figuras geométricas son entendidas como símbolo de sencillez y perfección. Incluso, cada una de ellas, tiene un significado propio. Esto quiere decir que las figuras transmiten un concepto y las geométricas nos hablan de perfección. Las empresas no eligen al azar su logotipo sino que se dedican a estudiar su público e invierten mucho dinero para su elaboración. Un gran número de compañías optan por figuras geométricas porque está comprobado que tienen impacto seguro, profundo y duradero.
¡A practicar!
1. Clasifica las siguientes figuras como: paralelogramos, trapecio o trapezoide.
Solución
A. Paralelogramo
B. Paralelogramo
C. Trapecio
D. Trapecio
E. Paralelogramo
F. Trapezoide
G. Trapecio
H. Paralelogramo
I. Trapezoide
2. Calcula el perímetro de las siguientes figuras:
Solución
P = 2 × 12 cm + 2 × 9 cm
P = 24 cm + 18 cm
P = 42 cm
Solución
P = 4 × 7 cm
P = 28 cm
Solución
P = 2 × 12 cm + 2 × 6 cm
P = 24 cm + 12 cm
P = 36 cm
RECURSOS PARA DOCENTES
Enciclopedia “Matemática tomo 6”
En el tomo 6 de la enciclopedia de matemática encontrarás información detallada, ejemplos y ejercicios sobre una diversidad de temas vinculados a la geometría para el nivel primario.
Las combinaciones forman parte de nuestra vida: combinamos el café con la leche en el desayuno, las frutas para una ensalada, o la ropa cuando nos vestimos. En ninguno de estos casos el orden de los elementos importa, por lo que pueden agruparse de distintas maneras, dos de ellas son las tablas de doble entrada y los diagramas de árbol.
¿Qué son las combinaciones?
Las combinaciones son una forma de agrupar elementos de un conjunto sin importar el orden. Por ejemplo, una ensalada es una combinación de verduras como cebolla, lechuga y tomate. No importa el orden en el que coloques las verduras, la ensalada será la misma.
Lo mismo sucede si vamos a una heladería. Si hay vasos y conos; y además, solo tienen tres sabores para escoger: fresa, chocolate y vainilla, podemos hacer varias combinaciones, como un cono con helado de fresa o una vaso con helado de vainilla.
Podemos representar estos arreglos por medio de tablas de doble entrada o diagramas de árbol.
¿Sabías qué?
El cubo de Rubik tiene más de 40 trillones de combinaciones.
Tablas de doble entrada
Las tablas de doble entrada son una forma gráfica de analizar los datos y combinarlos de todas las maneras posibles. Estas tablas ordenan los elementos para poder ilustrar todas las combinaciones.
– Ejemplo:
Esta tabla muestra las posibles combinaciones entre los conos, los vasos y los tres sabores de helados de la heladería.
Un grupo de niños quieren comprar artículos de playa: cubo, pala y rastrillo; y a estos elementos los venden de tres diferentes colores. Para saber cuántos artículos de colores distintos pueden comprar, deben comparar los artículos y los colores.
El sistema Braille les permite a las personas no videntes poder leer artículos, libros y cuentos, entre otros textos. Este sistema está compuesto por la combinación de seis puntos en relieve que permiten obtener 64 combinaciones diferentes, incluida la que no tiene ningún punto en relieve que se utiliza para separar palabras y números.
diagrama de árbol
Los diagramas de árbol son formas gráficas de contar las posibles combinaciones que pueden surgir entre varios elementos. En ellos podemos usar dibujos, letras o palabras.
– Ejemplo:
Este diagrama de árbol muestra las posibles combinaciones entre los conos, los vasos y los tres sabores de helados posibles en la heladería.
Las combinaciones de genes otorgan a un organismo rasgos particulares. Estas se representan en el cuadro de Punnett, el cual determina todos los posibles arreglos de genes que se pueden producir en el cruce entre dos organismos. Los rasgos distintos que tenemos se deben a la unión entre dos copias de un gen, que provienen de nuestros progenitores.
¡A practicar!
1. En la siguiente tabla se encuentran los útiles que compró María para el comienzo de clases. ¿Cuántas combinaciones de útiles y colores compró?
Solución
Puede armar 12 combinaciones.
2. Todas las mañanas, la mamá de Camila le prepara el desayuno y ella puede elegir algunas opciones: puede combinar una bebida con algo dulce para acompañar. Observa las opciones de Camila y elabora diagramas de árbol para saber cuántas combinaciones tiene para armar su desayuno:
Solución
Camila tiene 9 combinaciones para desayunar.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Formas de agrupar”
Este recurso te permitirá profundizar la información sobre el diagrama de árbol.
Representamos datos en tablas y gráficos para interpretar la información de manera clara, precisa y ordenada. Esta tarea nos permite comparar y relacionar cantidades entre sí. Existe una variedad de gráficos: lineales, de barras, circulares o pictogramas. Todos tienen características particulares que los diferencian entre sí.
Los gráficos estadísticos son un conjunto de herramientas visuales que nos permiten organizar y presentar de manera más clara y atractiva datos que han sido tomados previamente. Su campo de aplicación no se limita solo al numérico, de hecho, se puede utilizar en casi cualquier estudio de investigación.
¿qué son los Gráficos?
Los gráficos son representaciones que nos permiten comprender distintas situaciones de la realidad. En matemática, particularmente en la estadística, brindan información a simple vista de los datos recopilados.
Los gráficos permiten el análisis de datos obtenidos y los presenta en forma tal que permita comparar, predecir y comprender las características del objeto de estudio.
Existen distintos tipos de gráficos, y la elección de uno en particular depende de la naturaleza de los datos y de lo que se quiera analizar. No obstante, los objetivos generales en todos ellos son los mismos:
Registrar datos de manera clara y concreta.
Comunicar la información en forma sencilla.
Comprender la estructura del conjunto de datos.
¿Sabías qué?
Los gráficos pueden funcionar como complementos explicativos de un texto para facilitar la transmisión de ideas.
gráfico de barras
En este tipo de gráficos, como su nombre lo indica, se emplean barras que pueden tener sus bases en el eje y o en el eje x. Las categorías se ubican en el eje horizontal y los datos numéricos en el eje vertical. La altura de cada barra muestra la cantidad de veces que se eligió una categoría. Para hacer el diagrama, generalmente la información se obtiene de una tabla de frecuencias en la que fueron volcados los datos recopilados.
– Ejemplo:
En una escuela iniciaron las inscripciones para los juegos olímpicos intercolegiales. La siguiente tabla muestra el deporte que eligió cada alumno:
Deporte
Alumnos inscritos
Atletismo
20
Fútbol
30
Baloncesto
16
Béisbol
24
Voleibol
10
Con los datos que aporta la tabla se representa el gráfico de barras. Las categorías son los deportes y se grafican en el eje horizontal, y los alumnos inscritos van en el eje vertical.
Por medio del gráfico de barras podemos ver rápidamente que el deporte más elegido por los estudiantes fue el fútbol, seguido del béisbol y del atletismo. Por otro lado, el deporte menos elegido fue el voleibol.
gráficos lineales
Los gráficos lineales se representan en un plano (dos dimensiones) mediante el uso de un sistema de coordenadas. Se grafica sobre un plano cartesiano donde dos variables son relacionadas y los puntos son unidos por una línea continua e irregular.
Estos gráficos se utilizan para mostrar la evolución o los cambios que le ocurren a un fenómeno durante algún período de tiempo, como por ejemplo la estatura de un niño, la variación del precio de un producto y otros fenómenos.
– Ejemplo:
Se registró el clima de la ciudad de Buenos Aires durante una semana y las temperaturas promedio del día fueron las siguientes:
Día
Temperatura (°C)
Lunes
17
Martes
19
Miércoles
12
Jueves
10
Viernes
14
Sábado
16
Domingo
16
A partir de estos datos podemos representar un gráfico lineal. Los días van en el eje horizontal y las temperaturas en el eje vertical.
Este tipo de gráfico permite distinguir de manera clara el desarrollo de la temperatura con el paso de los días. Notamos que el día con mayor temperatura fue el martes y el día con menor temperatura fue el jueves.
La estadística en otras ciencias
No solo en las matemáticas se utilizan gráficos estadísticos, sino también las ciencias sociales. La demografía y la sociología usan estas herramientas para comprender múltiples y diferentes fenómenos, como el crecimiento de la población mundial y la influencia de los los avances en ciencia, higiene y medicina en el proceso.
gráficos circulares
Los gráficos circulares muestran porciones y porcentajes. También son conocidos como gráficos de torta o pastel y se usan para comparar porcentajes con respecto a un total de datos. Para hallar los porcentajes parciales, se dividen los 360° del círculo de acuerdo a los valores dados.
– Ejemplo:
En un zoológico contaron la cantidad de animales que tienen por grupos de especie. Los datos fueron los siguientes:
Especie
Cantidad de animales
Porcentaje
Mamíferos
250
25 %
Reptiles
200
20 %
Anfibios
150
15 %
Aves
400
40 %
Como se puede observar, cada porción representa a una especie y el porcentaje que hay de ella en el zoológico con respecto al total.
¿Cómo obtener el porcentaje?
Una manera de hacerlo es por medio de una regla de tres. Para el ejemplo anterior seguimos los siguientes pasos:
1. Calculamos la cantidad total de animales por medio de una suma de cada grupo de especie.
Especie
Cantidad de animales
Mamíferos
250
Reptiles
200
Anfibios
150
Aves
400
1.000
2. Empleamos una regla de tres simple en la que el total de animales es igual al 100 %. Luego hacemos el cálculo con cada grupo, por ejemplo, con los mamíferos sería así:
1.000 → 100 %
250 → x
x = (250 × 100 %) : 1.000 = 25 %
Y con las aves sería así:
1.000 → 100 %
400 → x
x = (400 × 100 %) : 1.000 = 40 %
pictogramas
Un pictograma es un tipo de gráfico que incluye figuras o dibujos relacionados con los datos que se van a analizar. El pictograma se elabora del mismo modo que el gráfico de barras pero se sustituyen los rectángulos por dibujos.
– Ejemplo:
Sofía registró todas las llamadas que hizo durante la semana.
Día
Cantidad de llamadas
Lunes
3
Martes
2
Miércoles
1
Jueves
3
Viernes
4
Sábado
7
Domingo
2
Cada dibujo representa una llamada, es decir que el día que más llamadas hizo fue el sábado y el día que hizo menos llamadas fue el miércoles.
Existen muchos más gráficos, como los de dispersión, de burbujas, radiales o mapas estadísticos, también conocidos como cartograma. Los cartogramas presentan datos por regiones o zonas. Al igual que en un mapa topográfico, los colores y las tramas indican áreas que están en el mismo rango de valores.
¡A practicar!
1. Observa el gráfico de barras y responde:
En un curso se ha decidido recolectar botellas de plástico para reciclar. El gráfico muestra la cantidad de botellas recolectadas en una semana.
a) ¿Cuántos botellas se recolectaron esa semana?
Solución
1.150
b) ¿Cuál día se recolectó mayor cantidad de botellas plásticas?
Solución
El día martes.
c) ¿El día jueves se recolectaron 250 botellas plásticas?
Solución
No. El jueves se recolectaron 150 botellas plásticas.
d) ¿Cuál día recolectaron menos cantidad de botellas?
Solución
El día miércoles.
2. Este gráfico lineal representa la asistencia de los estudiantes al taller de carpintería. Responde las preguntas.
a) ¿Cuántos estudiantes asistieron al taller de carpintería la semana 4?
Solución
5 estudiantes.
b) ¿En cuál semana asistieron más estudiantes al taller de carpintería?
Solución
En la semana 1.
c) ¿En cuál semana asistieron menos estudiantes al taller de carpintería?
Solución
En la semana 4.
3. El siguiente gráfico muestra la cantidad de población mundial por continente para 2006. Responde las preguntas.
a) ¿Cuál continente tiene más población? ¿Y qué porcentaje representa?
Solución
Asia tiene más población y representa el 60 %.
b) ¿Cuál continente tiene menos población?
Solución
Oceanía.
c) ¿Qué lugar, ordenado de mayor a menor, ocupa la población de Europa?
Solución
Europa ocupa el cuarto lugar.
d) ¿Qué continente tiene mayor población después de Asia?
Solución
América y África.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Gráficos estadísticos”
El siguiente recurso te permitirá complementar la información sobre los diferentes tipos de gráficos estadísticos.
En la vida cotidiana es común observar triángulos. Los vemos en las porciones de pizza, en las señales de tránsito, en la vela de un velero, en las pirámides e incluso cuando estudiamos matemáticas. Los triángulos son figuras geométricas de tres lados y, aunque son los polígonos más simples, presentan ciertas particulares que los diferencian del resto.
Los triángulos forman parte de nuestro día a día y los vemos en múltiples objetos. Al triángulo también se lo conoce como trígono; en ambos casos su nombre indica la presencia de tres ángulos. La disciplina encargada de estudiar las relaciones y las características de estos polígonos regulares de tres lados es la trigonometría.
El triángulo y sus ELEMENTOS
Los triángulos son figuras geométricas que cuentan con tres lados, tres ángulos y tres vértices.
Vértice: es el punto de unión de dos lados de un polígono o un ángulo.
Lado: es cada uno de los segmentos que une un vértice con el siguiente.
Ángulo: es el formado por la unión de dos rectas con un vértice en común. Pueden ser interno o externos.
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.
Un ángulo interior y exterior de un triángulo son suplementarios, por lo tanto, suman 180°.
Ángulos
Todos los triángulos tienen tres ángulos, estos pueden ser:
Agudos, cuando son menores a 90°.
Rectos, cuando son iguales a iguales a 90°.
Obtusos, cuando son mayores a 90°.
¿Cómo nombrar un triángulo?
Los vértices de los triángulos se designan con letras mayúsculas, mientras que los lados se denominan por la misma letra que el vértice opuesto, pero en minúscula. Por ejemplo:
El lado a es el segmento que une los vértices B y C.
El lado b es el segmento que une los vértices A y C.
El lado c es el segmento que une los vértices A y B.
[/su_note]
CLASIFICACIÓN de los triángulos
Son varios los criterios de clasificación que permiten agrupar a los triángulos de acuerdo a ciertas particularidades, los más utilizados son la medida de sus lados y la medida de sus ángulos.
Triángulos según sus lados
Triángulo equilátero: tiene 3 lados con la misma longitud.
Triángulo isósceles: tiene 2 lados con la misma longitud.
Triángulo escaleno: tiene todos sus lados desiguales.
Triángulos según sus ángulos
Triángulo rectángulo: tiene un ángulo recto, es decir, que mide 90°.
Triángulo acutángulo: tiene todos sus ángulos agudos, es decir, ángulos menores que 90°.
Triángulo obtusángulo: tiene un ángulo obtuso, es decir, un ángulo mayor a 90°.
Los triángulos pueden cumplir con ambos criterios de clasificación. Así, un triángulo isósceles también puede ser un triángulo rectángulo.
¡A practicar!
Observa los siguientes triángulos y clasifícalos según sus lados:
Solución
A) Escaleno
B) Equilátero
C) Isósceles
Observa los siguientes triángulos y clasifícalos según sus ángulos:
Solución
A) Rectángulo
B) Obtusángulo
C) Rectángulo
El Triángulo de las Bermudas es un área ubicada en el océano Atlántico, se forma al trazar una línea imaginaría entre el estado de la Florida (EE. UU.), la isla de Puerto Rico y las Bermudas. Es conocido como un triángulo equilátero, ya que, las distancias geográficas entre cada uno de los puntos que lo conforman son iguales.
Perímetro de un triángulo
El perímetro es la medida del contorno de una figura. Lo calculamos al sumar la longitud de todos sus lados.
Donde:
P = perímetro
l = lados
– Ejemplo:
El perímetro de este triángulo isósceles es igual a la suma de la longitud de sus lados.
Este triángulo tiene un perímetro de 11 cm.
¿Sabías qué?
Para calcular el perímetro de un triángulo equilátero solo se debe multiplicar la longitud de un lado por 3. Esto se debe a que los tres lados miden lo mismo. Entonces, puedes utilizar la fórmula: P = 3 × l
área de un triángulo
El área es la medida de la superficie de la figura. La calculamos por medio de una expresión matemática que considera la longitud de la base y su altura:
Donde:
A = área
b = base
h = altura
– Ejemplo:
La base de este triángulo mide 6 cm y la altura 4 cm, así que solo sustituimos los valores en la fórmula y resolvemos:
Este triángulo tiene un área de 12 cm2.
Teorema de Pitágoras y el triángulo rectángulo
Pitágoras de Samos, un matemático griego del siglo VI a. C. descubrió que los triángulos rectángulos guardaban una relación respecto a sus lados. Él llegó a la conclusión de que el cuadrado del lado mayor de un triángulo rectángulo, es decir, la hipotenusa, siempre era igual a la suma del cuadrado de sus otros dos lados o catetos. A esta relación se la conoce como teorema de Pitágoras.
A cada número natural le corresponde una única posición en la recta numérica y a medida que nos movemos en ella hacia la derecha encontramos números mayores. Esto también sucede con los números decimales, es decir, aquellos más pequeños que la unidad. Todos tienen un orden y, por lo tanto, unos representan una mayor cantidad que otros.
números naturales en la recta numérica
Los números naturales son aquellos que usamos para contar y su conjunto se presenta como:
Como nuestro sistema de numeración decimal es posicional, cada cifra dentro de un número tiene un valor relativo. Así, un número de siete cifras está formado por unidades de millón, centenas de mil, decenas de mil, unidades de mil, centenas, decenas y unidades. Por ejemplo:
En la tabla vemos que el número 1.895.632 tiene:
1 unidad de millón = 1.000.000
8 centenas de mil = 800.000
9 decenas de mil = 90.000
5 unidades de mil = 5.000
6 centenas = 600
3 decenas = 30
2 unidades = 2
Para representar este tipo de números en la recta numérica lo primero que hacemos es ubicar en ella un punto arbitrario, este será el origen y la posición del cero (0). Luego hacemos marcas con rayas verticales de igual distancia entre una y otra.
Cada uno de los pequeños segmentos simboliza una unidad, por lo que en la línea vertical que se encuentra inmediatamente a la derecha del 0 se coloca el 1, después el 2 y así se continúa con el resto de los números naturales:
¿Siempre se comienza desde el 0?
No necesariamente. Podemos utilizar solo una parte de la recta y mostrar el intervalo de números. Por ejemplo, entre el 726.580 y el 726.590 está ubicado el número 726.586.
Los números naturales son los primeros números utilizados en la historia del hombre. Los usaban principalmente para contar objetos. Algunos autores coinciden en que el cero no es un número natural, pero algunos otros prefieren incluirlo por ser la ausencia de algo. Los números naturales no incluyen a las fracciones ni a los números decimales.
COMPARACIÓN DE NÚMEROS NATURALES
Todos los números naturales tienen un orden, es decir, siguen una secuencia en la que un número es mayor o menor que otro. Para mostrar esta relación usamos los siguientes símbolos:
> que significa “mayor que”.
< que significa “menor que”.
= que significa “igual a”.
En una recta numérica, el número que se encuentre más a la derecha será el mayor.
– Ejemplo:
Compara los números 726.589 con 726.592, ¿cuál es mayor?
Como 756.592 está más a la derecha en la recta numérica, decimos que 756.592 es mayor que 756.589. Se escribe así:
756.592> 726.589
– Otros ejemplos:
Compara los números 1.252 y 1.256.
1.252 < 1.256
1.256 > 1.252
Compara los números 500, 590 y 540.
500 < 540 < 590
590 > 540 > 500
Comparación de números naturales por el método aritmético
Si uno de los dos números tiene más cifras que el otro, entonces el que tenga mayor cantidad de cifras será el mayor. Por ejemplo, 1.225.988 > 899.999 ya que el primer número tiene 7 cifras y el segundo tiene 6.
Si los dos tienen la misma cantidad de cifras, comparamos cifra por cifra de izquierda a derecha. Por ejemplo, 8.225.988 y 8.225.899 tienen la misma cantidad de cifras, así que comparamos una por una:
Como 9 > 8, podemos afirmar que 8.225.988 > 8.225.899.
PROBLEMAS DE APLICACIÓN CON NÚMEROS NATURALES
1. Máximo, Joaquín y Lucía quieren comprar una guitarra. Máximo tiene $ 1.000, Lucía $ 2.000 y Joaquín $ 6.000. La guitarra cuesta $ 11.000. ¿Cuánto dinero falta para poder comprar la guitarra?
Datos
Dinero de Máximo: $ 1.000
Dinero de Lucía: $ 2.000
Dinero de Joaquín: $ 6.000
Pregunta
¿Cuánto dinero falta para poder comprar la guitarra?
Piensa
Para poder calcular la cantidad de dinero que falta debemos saber cuánto hay en total, así que sumamos las cantidades de Máximo, Lucía y Joaquín. Luego, por medio de una recta numérica, contamos los espacio que faltan desde el punto que representa la cantidad total de dinero hasta los $ 11.000.
Calcula
Total de dinero:
$ 1.000 + $ 2.000 + $ 6.000 = $ 9.000
Dinero que falta:
Faltan dos espacios para llegar a $ 11.000 y como cada espacio es igual a 1 unidad de mil: 2 × 1.000 = 2.000.
Respuesta
Faltan $ 2.000 para poder comprar la guitarra.
2. La cantidad de habitantes de la ciudad de Córdoba es 1.329.604 y la de Montevideo es 1.319.108. ¿Cuál ciudad tiene mayor cantidad de habitantes?
Datos
Habitantes de Córdoba: 1.329.604
Habitantes de Montevideo: 1.319.108
Pregunta
¿Cuál ciudad tiene mayor cantidad de habitantes?
Piensa
Como ambos número son grandes y tienen la misma cantidad de cifras, tenemos que comparar cifra por cifra. El primer dígito que sea diferente nos indicará cuál número es mayor.
Resuelve
Por lo tanto, 1.329.604 > 1.319.108
Respuesta
La ciudad de Córdoba tiene más habitantes que la de Montevideo.
3. Carla tiene 10 años. José es su hermano y tiene 5 años más que ella. Martina es su hermana y tiene 7 años menos que José. ¿Cuántos años tiene José y y cuántos tiene Martina? ¿Cuál es el hermano mayor?
Datos
Edad de Carla: 10 años
Edad de José: 5 años más que Carla
Edad de Martina: 7 años menos que José
Preguntas
¿Cuántos años tiene José y cuántos tiene Martina? ¿Cuál es el hermano mayor?
Piensa
Tenemos que realizar una recta numérica y ubicar la edad de Carla que es la única conocida. Luego nos movemos 5 espacios a la derecha para saber la edad de José y desde allí nos movemos 7 espacios a la izquierda para saber la edad de Martina. Finalmente comparamos cantidades.
Resuelve
15 > 10 > 8
Respuesta
José tiene 15 años y Martina tiene 8 años.
José es el hermano mayor.
Primeros números arábigos
La actual representación de los números arábigos encuentra su origen en la India, aunque se introdujo en Europa a través de textos árabes. El Codex Vigilanus es el primer texto europeo que los contiene, aunque no en el estado actual y, además, sin el 0. El nombre de este texto se debe a su autor, el monje Vigila, que lo redactó en el año 976, en Albelda, España.
NÚMEROS DECIMALES en la recta numérica
Los números decimales están formados por dos partes: una entera y una decimal, ambas separadas por una coma. Después de la coma, cada cifra tiene una valor según su posición.
Podemos observar en la tabla que el número 632,549 tiene:
6 centenas = 600
3 decenas = 30
2 unidades = 2
5 décimas = 0,5
4 centésimas = 0,04
9 milésimas = 0,009
Unidades decimales
Décimas
Centésimas
Milésimas
Es igual a la unidad dividida en 10 partes iguales.
Es igual a la unidad dividida en 100 partes iguales.
Es igual a la unidad dividida en 1.000 partes iguales.
Como los números decimales se encuentran entre los enteros, también podemos representarlos en una recta numérica, solo tenemos que crear subdivisiones. Por ejemplo, para ubicar las décimas entre los enteros 1 y 2 basta con dividir en diez partes iguales el espacio entre ambos números:
– Ejemplo:
El número 1,7 está ubicado entre los números 1 y 2.
También podemos representar las centésimas si subdividimos el espacio entre dos décimas.
– Ejemplo:
El número 1,74 está ubicado entre los números 1,7 y 1,8.
Los números decimales expresan números no enteros. Contienen una parte entera y una parte decimal. Para compararlos, debemos tomar en cuenta la parte entera. Siempre será mayor el número decimal que tenga mayor parte entera. En el caso de que las partes enteras sean iguales, procedemos a comparar las cifras decimales de izquierda a derecha.
COMPARACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES
Los números decimales siguen un orden y tal como en el caso de los números naturales usamos < y > para indicar que una cantidad es menor o mayor que otra. En una recta numérica, mientras más a la derecha esté el número mayor será su valor.
– Ejemplo:
Compara los números 4,31 y 4,35.
El número 4,35 es mayor que 4,31 porque está más a la derecha en la recta numérica. Se escribe así:
4,35 > 4,31
– Otros ejemplos:
Compara los números 9,5 y 9,3.
9,5 > 9,3
9,3 < 9,5
Compara los números 6,72 y 6,79.
6,79 > 6,72
6,72 < 6,79
¿Sabías qué?
Aunque en los números naturales la cantidad de cifras determina si un número es mayor que otro, en los números decimales no sucede lo mismo, por ejemplo, 3,5 > 3,359875.
Comparación de números decimales el método aritmético
En este método, primero comparamos las parte enteras. Si las partes enteras son iguales, seguimos con las décimas, y así sucesivamente hasta hallar las cifras que sean diferentes. Por ejemplo, 9,125 < 9,145 porque la centésima 2 es menor que 4.
PROBLEMAS DE APLICACIÓN CON NÚMEROS DECIMALES
1. Para un examen físico se midieron las estaturas de algunos estudiante. La estatura de Luis es 1,78 m, la de Carlos es 1,86 m y la de Juan 1,77 m. ¿Quién es el más alto de los tres?, ¿quien es el más bajo de los tres?
Datos
Estatura de Luis: 1,78 m
Estatura de Carlos: 1,86 m
Estatura de Juan: 1,76 m
Pregunta
¿Quién es el más alto de los tres?, ¿quien es el más bajo de los tres?
Piensa
Hay que saber quién es el más alto y el más bajo, así que solo tenemos que compara esos tres números por medio de una recta numérica.
Resuelve
1,86 > 1,78 > 1,76
Respuesta
Carlos es el estudiante más alto y Juan es el estudiante más bajo.
2. Varios estudiantes participaron en una prueba de saltos de longitud. María saltó 1,58 m; Pedro salto 1,62 m y Santiago saltó 1,56 m. Si Juan saltó más que Santiago y menos que María, ¿qué longitud pudo saltar Juan? ¿Quién hizo el salto de mayor longitud?
Datos
Salto de María: 1,58 m
Salto de Pedro: 1,62 m
Salto de Santiago: 1,56 m
Salto de Juan: mayor al de Santiago y menor al de María
Preguntas
¿Qué longitud pudo saltar Juan? ¿Quién hizo el salto con mayor longitud?
Piensa
Para saber la longitud del salto de Juan debemos dibujar una recta numérica y ver las posibles opciones entre 1,58 (salto de María) y 1,56 (salto de Santiago). Luego, para saber quién hizo el salto de mayor longitud, comparamos todos lo valores y el que esté más a la derecha en la recta numérica será el mayor.
Resuelve
1,62 > 1,58 >1,57 > 1,56
Respuesta
Juan saltó 1,57 m.
Pedro hizo el salto de mayor longitud.
3. En una carrera, Araceli tardó 8 minutos y 6 décimas en llegar a la meta; Francisco tardó 8 minutos y 6 centésimas y Agustín tardó 8 minutos y 6 milésimas. ¿Quién llegó primero a la meta? ¿quién llegó de último?
Datos
Tiempo que tardó Araceli: 8 minutos y 6 décimas = 8,6
Tiempo que tardó Francisco: 8 minutos y 6 centésimas = 8,06
Tiempo que tardó Agustín: 8 minutos y 6 milésimas = 8,006
Preguntas
¿Quién llegó primero a la meta? ¿quién llegó de último?
Piensa
Para comparar estos números debemos fijarnos solo en la parte decimal porque la parte entera es igual en los tres casos. Entonces vemos cifra por cifra, la primera que sea mayor o menor que otra indicará el valor del número.
Resuelve
Como 6 > 0, podemos decir que 8,6 > 8,06 > 8,006.
Respuesta
Agustín llegó primero y Araceli llegó última.
La coma y el punto son usados como separadores de los números decimales y ambos son válidos. La diferencia en usar una u otra radica en el lugar en donde te encuentres. En gran parte de Europa y América del Sur se emplea la coma, pero algunos países como Estados Unidos, Canadá, México y Reino Unido emplean el punto.
¡A practicar!
1. Escribe el símbolo de relación que sea necesario.
1.893.697 ____ 999.265
Solución
1.893.697 > 999.265
56,98 ____ 56,09
Solución
56,98 > 56,09
678.654 ____ 678.655
Solución
678.654 < 678.655
9.625.369 ____ 9.630.999
Solución
9.625.369 < 9.630.999
2.369.845 ____ 2.369.835
Solución
2.369.845 > 2.369.835
23,896 ____ 23,9
Solución
23,896 < 23,9
198.654,023 ____ 198.654,003
Solución
198.654,023 > 198.654,003
1.268,96 ____ 1.278,99
Solución
1.268,96 < 1.278,99
2. Ordena de mayor a menor los siguientes números. Usa los símbolos de relación necesarios.
Es posible que identifiques diversas figuras geométricas al observar el mundo que te rodea y los objetos presentes en él. La mayoría de estas figuras están compuestas por semirrectas unidas por un punto en común, es decir, un vértice. Esa porción del plano delimitada por dos semirrectas que nacen de un mismo punto se conoce como ángulo y según su medida puede ser de distintos tipos.
¿qué es un ángulo?
Es una porción del plano delimitada por dos semirrectas, las cuales también son llamadas lados. Ambos lados coinciden en un punto de origen o vértice. La abertura de un lado con respecto al otro es la que denominamos ángulo.
Con una letra griega, por ejemplo α y se lee “ángulo alpha”. En esta imagen vemos un ángulo α = 52,13°.
Con los puntos correspondientes a las semirrectas que lo constituyen y al vértice. Estos puntos se nombran mediante letras, por ejemplo, en la imagen vemos el ángulo AOB.
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS
Los ángulos se clasificar según tres criterios diferentes: su medida, su posición y la suma de sus medidas con otros ángulos.
¿Sabías qué?
Los ángulos se miden en grados (°).
Ángulos según su medida
Ángulo completo: tiene una amplitud de 360°, significa que es un giro completo.
Ángulo nulo: tiene una amplitud de 0°.
Ángulo llano: tiene una amplitud de 180°, podrás verlo representado como una línea recta.
Ángulo cóncavo: tiene una amplitud mayor que 180° pero menor que 360°.
Ángulo convexo: tiene una amplitud menor que 180°.
Dentro de los ángulos convexos encontramos otras clasificaciones:
Ángulos rectos: miden 90°.
Ángulos obtusos: miden más de 90°.
Ángulos agudos: miden menos de 90°.
Ángulos según su posición
Según su posición los ángulos pueden ser:
Adyacentes: son aquellos que tienen el vértice y un lado en común. Al sumar las amplitudes de cada uno de ellos el resultado será 180°.
Consecutivos: son aquellos que comparten tanto el vértice como uno de sus lados.
Opuestos por el vértice: son aquellos que solo tienen el vértice en común.
Ángulos según la suma de su medida con otros ángulos
Los ángulos también pueden clasificarse según el resultado obtenido al sumar la medida de la amplitud de un ángulo con la de otro ángulo, así sabrás que:
Un ángulo es suplementario con otro si la suma de sus amplitudes da como resultado un ángulo de 180°.
Un ángulo es complementario con otro si la suma de sus amplitudes da como resultado un ángulo de 90°.
MEDICIÓN DE ÁNGULOS
Por lo general, la medición de los ángulos se realiza por medio de un transportador.
¿Qué es un transportador?
Es un instrumento geométrico que puede tener una forma circular o semicircular y se utiliza para medir gráficamente un ángulo así como para construirlo. Cuenta con graduaciones o marcas iguales que sirven de escala para identificar la medida del ángulo. Los transportadores circulares están divididos en 360 partes iguales, mientras que los semicirculares están divididos en 180 partes iguales. Cada una de estas partes representa un grado (1°) .
Para medir un ángulo con transportador seguimos estos pasos:
1. Identificamos el vértice, es decir, el punto del que nacen las semirrectas y hacemos que coincida con el centro del transportador.
2. Verificamos que el cero (0) en el transportador esté justo sobre uno de los lados del ángulo.
3. Observamos el valor que marca el otro lado que pasa por la escala graduada. En este caso, la medida del ángulo â = 165°.
¿Sabías qué?
Los transportadores tienen escalas graduadas dobles: una va en sentido de las manecillas del reloj y las otra en sentido contrario. Siempre debes recordar comenzar a medir a partir del cero.
LOS ÁNGULOS EN LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS
Las figuras geométricas planas poseen ángulos interiores, ubicados dentro de la figuras; y ángulos exteriores, ubicados entre un lado de la figura y el otro lado siguiente.
Los ángulos interiores de los triángulos siempre suman 180°. Según sus ángulos los triángulos pueden ser:
Nombre
Figura
Características
Triángulo rectángulo
Tiene un ángulo recto (90°).
Triángulo acutángulo
Tiene todos sus ángulos agudos (menores a 90°).
Triángulo obtusángulo
Tiene un ángulo obtuso (mayores a 90° pero menores a 180°).
Ángulos interiores de los cuadriláteros
En el caso de los cuadriláteros, la suma de sus cuatro ángulos internos siempre es igual a 360°. De acuerdo al tipo de cuadrilátero el valor del ángulo puede variar. Su clasificación es la siguiente:
Nombre
Figura
Característica
Cuadrado
Tiene cuatro ángulos rectos (90°).
Rectángulo
Tiene cuatro ángulos rectos (90°).
Rombo
Tiene ángulos opuestos iguales.
Romboide
Tiene ángulos opuestos iguales.
Trapecio rectángulo
Tiene dos ángulos rectos (90°).
Trapecio isósceles
Los dos ángulos de la base menor son iguales. Los dos ángulos de la base mayor son iguales.
Trapecio escaleno
Todos sus ángulos son diferentes.
¿Sabías qué?
La palabra “geometría” viene de geo que significa “Tierra”, y de metría que significa “medir”.
Ángulos internos de polígonos regulares
Los polígonos regulares son aquellos que tienen todos sus ángulos internos iguales. Para calcular su valor se emplea la ecuación (n − 2) × 180°/n donde n es el número de lados que tiene el polígono. Por ejemplo, para un hexágono se sustituye la n por el número 6 que corresponde al número de sus lados y obtenemos que (6 − 2) × 180°/6 = 120°, lo que quiere decir que cada uno de los ángulos internos de un hexágono mide 120°.
¡A practicar!
1. Observa los ángulos entre estas rectas. Completa la tabla con los ángulos solicitados.
Tipo de ángulo
Nombre del ángulo
Recto
Ángulo α
Agudo
Obtuso
Complementario
Suplementario
Adyacente
Solución
Tipo de ángulo
Nombre del ángulo
Recto
Ángulo α
Agudo
Ángulo β
Obtuso
Ángulo GOC
Complementario
Ángulos BOE y EOC
Suplementario
Ángulos EOG y GOF
Adyacente
Ángulos AOC y COB
2. Calcula los ángulos complementarios y suplementarios para los siguientes ángulos:
β = 50°
Solución
Ángulo complementario = 40° porque 50° + 40° = 90°.
Ángulo suplementario = 130° porque 50° + 130° = 180°.
γ = 15°
Solución
Ángulo complementario = 75° porque 15° + 75° = 90°.
Ángulo suplementario = 165° porque 15° + 165° = 180°.
δ = 75°
Solución
Ángulo complementario = 15° porque 75° + 15 = 90°.
Ángulo suplementario = 105° porque 75° + 105° = 180°.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Ángulos”
En el siguiente artículo encontrarás información sistematizada sobre las diferentes clasificaciones de los ángulos.
El sistema de numeración decimal se caracteriza por ser de base 10 y por ser posicional. Esto significa que solo usa diez dígitos y que la posición de cada uno de ellos determina el valor que tienen. La tablas posicionales y la descomposición son algunas técnicas que podemos emplear para escribir y leer números con más de cinco cifras de manera sencilla. A continuación verás lo fácil que es.
VALOR POSICIONAL DE CIFRAS HASTA 1.000.000
En el sistema de numeración decimal contamos con los siguientes dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Con ellos podemos formar todos los números del sistema ya que si variamos la posición de las cifras dentro del número, también cambiamos su valor. Esta característica se denomina valor posicional.
Como podemos observar en este ejemplo, todas las cifras que componen el número 999.999 son las mismas: 9, pero cada una tiene un valordiferente debido a su posición dentro del número.
Como ya sabemos, luego de 3 cifras debemos colocar un punto. En este caso, dicho punto separa a los miles de los millones. El número que le sigue al 999.999 es el millón, que se escribe de la siguiente manera:
1.000.000
¿Sabías qué?
Si empiezas a contar de uno en uno no terminarás nunca porque los números no tienen un final, es decir, son infinitos.
Cuando algo no termina decimos que es infinito, y los números son un ejemplo de ello. No hay un límite final para los números, pero tampoco hay un comienzo, ya que antes del 0 hay una infinidad de número negativos. Cuando queramos expresar que una cuenta es infinita podemos utilizar el símbolo que lo representa: ∞.
LA TABLA POSICIONAL
Existe una clasificación según la posición que tengan las cifras dentro del número. Cada posición recibe el nombre de un orden, como las unidades, decenas y centenas. Cada tres órdenes se forma una clase, que va desde las unidades, miles, millones, millares de millón, billones, etc. Podemos observar toda esta información en una tabla posicional.
– Ejemplo:
Según la tabla posicional, los valores de cada cifra de derecha a izquierda son los siguientes:
2 unidades = 2 se lee “dos”.
3 decenas = 30 se lee “treinta”
5 centenas = 500 se lee “quinientos”.
9 unidades de mil = 9.000 se lee “nueve mil”.
4 decenas de mil = 40.000 se lee “cuarenta mil”.
8 centenas de mil = 800.000 se lee “ochocientos mil”.
1 unidad de millón = 1.000.000 se lee “un millón”
Por lo tanto, el número 1.849.532 se lee “un millón ochocientos cuarenta y nueve mil quinientos treinta y dos”.
– Otro ejemplo:
Según la tabla posicional, los valores son:
5 unidades = 5 se lee “cinco”.
8 decenas = 80 se lee “ochenta”.
9 centenas = 900 se lee “novecientos”.
2 unidades de mil = 2.000 se lee “dos mil”.
4 decenas de mil = 40.000 se lee “cuarenta mil”.
6 centenas de mil = 600.000 se lee “seiscientos mil”.
1 unidad de millón = 1.000.000 se lee “un millón”.
Entonces, el número 1.642.985 se lee “un millón seiscientos cuarenta y dos mil novecientos ochenta y cinco”.
¡Es tu turno!
Coloca los siguientes números en sus tablas posicionales:
1.022.467
Solución
270.628
Solución
896.501
Solución
VALOR POSICIONAL DE DECIMALES
Los números decimales se componen de una parte entera y una parte decimal que van separadas por una coma. Esto quiere decir que de un lado de la coma vamos a tener la parte de los números enteros con unidades, decenas, centenas, etc.; y del otro lado, la parte decimal que también tiene valores posicionales conocidos como décimas, centésimas, milésimas, etc.
La parte decimal de los números decimales también puede ser representada en una tabla posicional. Al igual que la parte entera, el valor cambia de acuerdo a la posición de la cifra.
Unidades decimales
Son las que obtenemos al dividir la unidad en partes iguales. Las primeras unidades decimales son las décimas, las centésimas y las milésimas.
Décimas
Centésimas
Milésimas
1 unidad = 10 décimas
1 décima = 0,1 unidades
1 unidad = 100 centésimas
1 centésima = 0,01 unidades
1 unidad = 1.000 milésimas
1 milésima = 0,001 unidades
– Ejemplo:
Podemos leer los números decimales de dos formas:
Leemos la parte entera seguida de la palabra “enteros”. Luego leemos la parte decimal como se lee la parte entera y mencionamos la posición en la que está la última cifra.
Leemos la parte entera seguida de la palabra “coma”. Después leemos la parte decimal de la misma forma en la que lees la parte entera.
De este modo, el número 5.897,234 puede ser leído de dos formas, ambas correctas:
“Cinco mil ochocientos noventa y siete enteros doscientos treinta y cuatro milésimas“.
“Cinco mil ochocientos noventa y siete coma doscientos treinta y cuatro”.
DESCOMPOSICIÓN ADITIVA DE UN NÚMERO
Todos los números pueden descomponerse de diversas maneras. Una de ellas es la descomposición aditiva, la cual consiste en representar números como la suma de otros.
Por ejemplo, podemos descomponer el número 128 de forma aditiva y representarlo así:
128 = 100 + 20 + 8
Observa que sumamos los valores posicionales de cada cifra.
Cualquier número puede ser expresado a través de la suma, en lo que se conoce como descomposición aditiva. Este tipo de descomposición considera el valor posicional de cada una de sus cifras, pero también es posible verlo como la suma de diferentes cifras, por ejemplo, 15 = 10 + 5, pero también lo podemos escribir como 15 = 7 + 8.
DESCOMPOSICIÓN MULTIPLICATIVA DE UN NÚMERO
Es otro tipo de descomposición en el que representamos números por medio de multiplicaciones. Aquí tomamos en cuenta el valor del dígito por el valor de su posición.
Hay fracciones que aunque parezcan diferentes representan la misma cantidad. Por ejemplo, si un amigo te ofrece 1/2 de un alfajor y otro te ofrece 2/4 de un alfajor, ¿quién te ofrece más? ¡Ninguno! ¡Los dos ofrecen lo mismo! Este tipo de fracciones son conocidas como fracciones equivalentes y son muy fáciles de distinguir.
¿QUÉ ES UNA FRACCIÓN EQUIVALENTE?
Decimos que dos o más fracciones son equivalentes cuando todas ellas representan a la misma cantidad, es decir, al mismo número. Veamos un ejemplo:
Podemos observar que en ambas fracciones pintamos la misma porción del entero, lo que quiere decir que ambas fracciones representan la misma cantidad. Por lo tanto, decimos que y son fracciones equivalentes, y las podemos escribir así:
¿Hay una sola fracción equivalente?
Cada fracción tiene muchas fracciones equivalentes. Por ejemplo, otra fracción equivalente de es :
Entonces, como las 3 fracciones son equivalentes entre sí, podemos escribir:
Decimos que dos o más fracciones son equivalentes cuando todas ellas representan a la misma cantidad, es decir, al mismo número. Por lo tanto, hay muchas formas de decir media sandía: 1/2 , 2/4 , 4/8 , 8/16 , 16/32 y muchas más. Todas ellas son fracciones equivalentes que indican la mitad de un entero.
¿Cómo saber si dos fracciones son equivalentes?
Dos fracciones son equivalentes si al multiplicar sus términos en forma de cruz el resultado el mismo.
y son fracciones equivalentes porque
y no son equivalentes porque
¡Es tu turno!
¿Estas fracciones son equivalentes?
y
Solución
y son fracciones equivalentes porque
y
Solución
y no son fracciones equivalentes porque
¿cómo CONVERTIR FRACCIONES EQUIVALENTES?
Las fracciones equivalentes se pueden obtener por medio de dos métodos: amplificación y simplificación.
Amplificación de fracciones
Para obtener fracciones equivalentes por amplificación debemos multiplicar al numerador y al denominador de la fracción por un mismo número distinto de cero.
Si al numerador y al denominador de la fracción los multiplicamos por 3, obtenemos y por lo tanto, ambas fracciones son equivalentes.
Así, si multiplicamos al numerador y al denominador por 4, obtenemos otra fracción equivalente: .
Y si multiplicamos por 5, obtenemos otra: .
Podemos escribir las fracciones obtenidas de la siguiente manera:
¡Puedes comprobarlo!
Las fracciones equivalentes, a pesar de tener numeradores y denominadores diferentes, representan una misma cantidad. Puedes corroborar esto si divides el numerador entre el denominador.
Simplificación de fracciones
Para obtener fracciones equivalentes por simplificación debemos dividir al numerador y al denominador de la fracción por un mismo número distinto de cero. Pero en este caso, el número debe ser un divisor común entre el numerador y el denominador. Es decir, tanto el numerador como el denominador se deben poder dividir por el número.
Si al numerador y al denominador de la fracción los dividimos por 3, obtenemos , que es una fracción equivalente.
Los divisores comunes entre 30 y 15 son: 3, 5, 15. Entonces, también podemos simplificar la fracción si dividimos el numerador y denominador por 5, cuyo resultado es .
Y si dividimos por 15, obtenemos , otra fracción equivalente.
Como todas representan la misma cantidad, podemos escribirlas de este modo:
¿Sabías qué?
Cuando una fracción no puede simplificarse se dice que es una fracción irreducible.
Para obtener fracciones equivalentes por amplificación debemos multiplicar al numerador y al denominador de la fracción por un mismo número distinto de cero; y para obtener fracciones equivalentes por simplificación debemos dividir al numerador y al denominador de la fracción por un mismo número distinto de cero que sea divisor común entre ambos.
APLICACIÓN DE LAS FRACCIONES EQUIVALENTES EN OPERACIONES DE FRACCIONES
Podemos usar las fracciones equivalentes para sumar y restar fracciones heterogéneas (aquellas que tienen distinto denominador). Para estos solo tenemos que convertirlas en fracciones homogéneas, es decir, en fracciones con igual denominador. Luego sumamos o restamos los numeradores y conservamos el denominador.
– Ejemplo:
Los denominadores son 4 y 2. Pero si en la segunda fracción multiplicamos numerador y denominador por 2, obtenemos , que es una fracción equivalente.
Entonces, la suma queda así:
También podemos representar esta fracción final de una manera más simple si encontramos un divisor común. Como 18 y 4 son divisible por 2, su fracción equivalente es .
Por lo tanto:
– Otro ejemplo:
Los denominadores son 5 y 2, así que debemos encontrar el mínimo común múltiplo entre ambos, que es 10. Para llegar de 5 a 10, debemos multiplicar a 5 por 2. Entonces, amplificamos la fracción por 2:
Y para llegar de 2 a 10, debemos multiplicar a 2 por 5. Amplificamos esta fracción por 5:
La resta queda así:
Las fracciones equivalentes se pueden utilizar para sumar y restar fracciones heterogéneas (que tienen distinto denominador). Para poder sumarlas o restarlas, debemos convertirlas en fracciones homogéneas, es decir, que tengan el mismo denominador. Y para convertirlas en fracciones homogéneas, utilizamos fracciones equivalentes de las originales.
¡A practicar!
1. Indica si estas equivalencias son verdaderas o falsas.
Solución
Falso. Estas fracciones no son equivalentes porque 8 × 44 ≠ 11 × 33.
Solución
Verdadero. Estas fracciones sí son equivalentes porque 1 × 15 = 5 × 3.
Solución
Falso. Estas fracciones no son equivalentes porque 4 × 24 ≠ 12 × 20.
Solución
Falso. Estas fracciones no son equivalentes porque 9 × 30 ≠ 10 × 36.
Solución
Verdadero. Estas fracciones sí son equivalentes porque 7 × 16 = 8 × 14.
Solución
Falso. Estas fracciones no son equivalentes porque 9 × 24 ≠ 6 × 36.
2. Realiza los siguientes cálculos. Utiliza sus fracciones equivalentes:
Solución
Solución
Solución
Solución
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Fracciones equivalentes”
En este artículo podrás ahondar en los conceptos de amplificación y simplificación de fracciones, hasta llegar al concepto de fracción irreducible.
En este micrositio, las tarjetas te ayudarán a profundizar en el procedimiento que debe realizarse en las operaciones matemáticas de adición, resta, multiplicación y división de fracciones homogéneas y heterogéneas.
