CAPÍTULO 6 / TEMA 3

Probabilidad

Hay eventos que siempre ocurren con seguridad, por ejemplo, al día lunes siempre le sigue el martes; hay otros otros, en cambio, en los que no sucede lo mismo, y es allí cuando las leyes de la probabilidad juegan un papel fundamental. Por ejemplo, si lanzamos un dado sabemos que el resultado será un número del 1 al 6, pero no sabemos con certeza cuál de ellos será.

Fenómenos y hechos que se pueden predecir

Existen sucesos que ocurren con total seguridad y se denominan sucesos deterministas o seguros porque el resultado se conoce de antemano. Cuando se realizan experimentos de este tipo, el resultado siempre se puede predecir. Por ejemplo, “mañana será de día” es un suceso determinista porque sabemos que siempre va a pasar.

– Otros ejemplos de sucesos deterministas:

El número al lanzar un dado siempre será menor a 7.
Al lanzar una roca al suelo esta caerá.
La próxima semana tendrá 7 días.

Los sucesos deterministas contienen a todos los elementos del espacio muestral.

¿Sabías qué?

Se denomina espacio muestral al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.

Fenómenos deterministas

Los fenómenos en el universo que siguen las leyes de la física pueden considerarse como fenómenos deterministas porque siempre son iguales. Por ejemplo, la órbita de los planetas y las atracciones gravitacionales.

Fenómenos de azar

Hay experimentos aleatorios que son imposibles de predecir porque ocurren al azar y su resultado está dentro de los resultados posibles del fenómeno estudiado. Por ejemplo, al lanzar un dado sabemos que los resultados posibles son 1, 2, 3, 4, 5 y 6, pero no sabemos qué número se obtendrá con certeza, por eso se trata de un fenómeno de azar. En los experimentos de este tipo, el resultado no se puede predecir sin importar las veces que se repita la experiencia bajo las mismas condiciones.

– Algunos ejemplos de sucesos aleatorios:

Lanzar una moneda y que el resultado sea cara.
Extraer una carta de un manojo de cartas y que sea de corazones.
Extraer un número de las bolas de bingo y que sea par.

Los juegos de azar

Existen juegos en los que la posibilidad de ganar o perder dependen del azar, de donde proviene su nombre. En estos juegos la habilidad del jugador puede influir en los resultados y buscar minimizar la probabilidad de resultados desfavorables para aumentar la probabilidad de resultados favorables. Algunos ejemplos de juegos de azar son el bingo, los dados y la lotería.

Suceso imposible

Es lo contrario a un suceso determinista. Este tipo de suceso nunca se va a cumplir. Por ejemplo, lanzar un dado y obtener el número 7 es un suceso imposible porque el dado tiene valores del 1 al 6. Este tipo de eventos suele denotarse con el símbolo ∅.

¿Qué es la probabilidad?

Es un cálculo matemático que permite evaluar las posibilidades de que un evento ocurra cuando interviene el azar. Algunos eventos pueden ocurrir con mayor o menor frecuencia que otros, pero como no sabemos si pueden ocurrir o no, se denominan eventos aleatorios. En este tipo de eventos aplicamos el concepto de probabilidad.

La genética emplea la probabilidad para entender cuán posible sería para una persona heredar ciertos tipos de genes que la hagan más susceptibles a ciertas condiciones o enfermedades. Otros campos que emplean cálculos probabilísticos son la física, la biología, la mercadotecnia, las empresas aseguradoras y la industria.

Tipos de eventos

En estadística se denomina “evento” al resultado o conjunto de resultados posibles en un experimento. Se clasifican de la siguiente manera:

Eventos mutuamente excluyentes: son aquellos que no pueden ocurrir de manera simultánea. Por ejemplo, leer cara o sello luego de lanzar una moneda. Este es un evento mutuamente excluyente, porque no se puede tener un resultado de cara y sello al mismo tiempo.
Eventos independientes: son eventos que no se ven afectados por la ocurrencia de otro. Por ejemplo: comprar un auto y que llueva son eventos independientes, porque es posible comprar un auto sin que llueva o que llueva sin comprar el auto.
Eventos dependientes: son eventos en los que uno de ellos se ve afectado por la ocurrencia de otro. Por ejemplo, ir a un examen y obtener una calificación. Son eventos dependientes porque si no vas al examen no tienes calificación.

¡A practicar!

1. Determina si es un suceso determinista, aleatorio o imposible.

a) Que llueva y las gotas caigan hacia abajo.

Solución

Suceso determinista.

b) Lanzar una moneda y obtener cara.

Solución

Suceso aleatorio.

c) Jugar bingo y ganar.

Solución

Suceso aleatorio.

d) Lanzar una moneda y que no caiga hacia abajo nunca.

Solución

Suceso imposible.

e) Observar un cuadrado de cinco lados.

Solución

Suceso imposible.

2. Los experimentos __________ son imposibles de predecir.

a) aleatorios

b) seguros

c) deterministas

Solución

a) aleatorios

3. ¿Cuál de los siguientes sucesos no es aleatorio?

a) Lanzar un dado y que el número sea par.

b) Lanzar una moneda y que el resultado sea cara.

c) Sacar una carta y que sea una reina de corazones.

a) Lanzar un objeto y que este caiga.

Solución

a) Lanzar un objeto y que este caiga.

4. ¿A qué tipo de evento corresponde?

a) “Es un evento que no se ve afectado por la ocurrencia de otro”.

Solución

Evento independiente.

b) “Evento que no pueden ocurrir de manera simultánea con otro”.

Solución

Evento mutuamente excluyente.

c) “Evento que se ve afectado por la ocurrencia de otro”.

Solución

Evento dependiente.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Historia de la estadística”

Este artículo detalla las fases en las que se desarrolló la estadística hasta convertirse en una de las ramas más usadas de la matemática.

VER

Artículo “Probabilidad”

Este artículo describe los conceptos relacionados al campo de la probabilidad como lo son los fenómenos aleatorios y deterministas, así como los tipos de sucesos.

VER

Artículo “Relación de la contabilidad con la administración y la estadística”

Este artículo explica por qué estas tres disciplinas se encuentran relacionadas entre sí, y se concentra en explicar qué es la estadística administrativa.

VER

CAPÍTULO 6 / TEMA 2

Interpretación de datos

La recopilación e interpretación de datos son aspectos claves de toda investigación. La estadística es la ciencia encargada de este proceso: reúne información concerniente a individuos o grupos, organiza dichos datos y los analiza e interpreta. Este análisis permite tomar decisiones y realizar predicciones útiles.

La encuesta

Una encuesta es una técnica que consiste en recopilar datos por medio de un cuestionario, el cual tiene preguntas prediseñadas. La encuesta se emplea al momento de estudiar un fenómeno, pues los datos obtenidos se suelen representar en gráficos o tablas para su interpretación.

Por lo general, la encuesta se aplica a una muestra de la población. Por ejemplo, imagina que quieres realizar una encuesta sobre el programa de televisión más visto en un país. Lo ideal sería que la encuesta fuera respondida por todas las personas de ese país, pero eso resulta casi imposible. Por esta razón, se toma una muestra de esa población que consiste en una porción más pequeña de personas para aplicar la encuesta. Así los datos obtenidos son una aproximación muy cercana a toda la población y su recopilación es mucho más fácil.

– Ejemplo:

La maestra preguntó a sus estudiante si preferían viajar a la playa o a la montaña y estos fueron los resultados que obtuvo:

Nombre	Lugar preferido
María	Playa
Mónica	Playa
Samuel	Montaña
Alfredo	Playa
Ricardo	Montaña
Melina	Montaña
Pablo	Playa
Rubén	Playa
Araceli	Playa
Sergio	Montaña

De la tabla se observa que 6 estudiantes prefieren ir a la playa y 4 prefieren ir a la montaña. De manera que hay más estudiantes que prefieren la playa.

Importancia de las encuestas

Las encuestas son más usadas de lo que se piensas y las áreas que las aplican no se limitan a la estadística. La medicina, la sociología y la psicología son algunos de los campos en donde se hace uso de encuestas para recopilar información.

Promedio aritmético

Se denomina así porque corresponde al valor promedio de los datos. Es el resultado de sumar todos los datos que tenemos y luego dividirlos entre el número de datos.

– Ejemplo:

La maestra le preguntó a los niños cuántas mascotas tenían en sus casas y obtuvo los siguientes resultados:

Nombre	Número de mascotas
María	2
Mónica	2
Samuel	3
Alfredo	1
Ricardo	1
Melina	2
Pablo	1
Rubén	2
Araceli	2
Sergio	4

Para calcular el promedio de mascotas que tienen los estudiantes se cumple la siguiente fórmula:

$\boldsymbol{Promedio =\frac{Sumatoria \, de \, todos\, los\, datos}{Nro\, de \, datos}}$

En este caso, si sumamos todos los datos obtenemos lo siguiente:

$Sumatoria \, de \, todos\, los\, datos=2+2+3+1+1+2+1+2+2+4=\boldsymbol{\mathbf{}20}$

El número de datos es igual a 10 (es el número de estudiantes en este caso).

Al sustituir en la fórmula se obtiene:

$Promedio =\frac{20}{10} = \mathbf{2}$

De esta manera, el promedio aritmético es 2, lo que nos indica que la mayoría de los estudiantes tienen como mínimo 2 mascotas.

¿Sabías qué?

En la estadística es más común hablar de media aritmética y no de promedio aritmético.

Uno de los cálculos usados a menudo en las empresas es el promedio. Aunque no siempre indica el valor real, permite por ejemplo, realizar estimaciones de las producciones por día, estimaciones de costos y proyecciones a futuro. Es importante tener presente que existen varios tipos de promedio además del aritmético y se emplean en otras situaciones.

Moda

Corresponde al valor del dato que más se repite. En el caso del ejemplo anterior la moda es 2 porque se repite más veces (5 veces):

Nombre	Número de mascotas
María	2
Mónica	2
Samuel	3
Alfredo	1
Ricardo	1
Melina	2
Pablo	1
Rubén	2
Araceli	2
Sergio	4

¿Sabías qué?

La media, la moda y la mediana son denominadas medidas de tendencia central.

Combinaciones

Para realizar combinaciones de datos se suelen emplear tablas de doble entrada, conocidas también como cuadros de doble entrada, que permiten de forma gráfica registrar la información y sacar conclusiones.

Por ejemplo, un equipo de voleibol quiere saber cuál color usar en su logo, uniforme y balón oficial. Para ello la mayoría decidió que los colores deberían ser rojo, naranja o amarillo. Al completar la tabla de doble entrada obtuvieron los siguientes resultados:

El equipo tiene en total 9 posibilidades para elegir porque en la tabla son 3 colores y 3 objetos:

$3\times 3=9$

Si analizamos la tabla verticalmente observamos que por cada columna está el mismo objeto pero de diferente color. Si analizamos la tabla horizontalmente observamos diferentes objetos pero con el mismo color.

Los datos en una investigación

Antes de lanzar al mercado un nuevo producto o de aprobar una vacuna es necesario obtener datos que permitan interpretar si, por ejemplo, ese producto será comprado en las cantidades deseadas o si esa vacuna será segura para la salud. Por tal motivo, los datos que se recopilan juegan un papel fundamental en toda investigación, sin ellos no sería posible llegar a conclusiones o resultados. Su análisis es crucial en todas las áreas de la ciencia.

¡A practicar!

1. Se hizo una encuesta a unos músicos para saber cuántos instrumentos sabían tocar. Observa la siguiente tabla de resultado y responde las preguntas.

Nombre	Número de instrumentos que sabe tocar
Carolina	3
Ezequiel	3
Francisco	5
Sofía	3
Victoria	4
Verónica	6
Diego	7
Luis	3
Tania	2
Andrés	4

a) ¿Cuál es el promedio aritmético?

Solución

b) ¿Cuál es la moda?

Solución

c) ¿Quién sabe tocar más instrumentos?

Solución

Diego

d) ¿Quién sabe tocar menos instrumentos?

Solución

Tania

2. Observa la siguiente tabla de doble entrada. ¿Cuántas combinaciones posibles observas?

Solución

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Instrumentos de medición”

Este artículo explica los principales instrumentos de medición usados en la estadística para recopilar datos como la encuesta y la entrevista.

VER

Artículo “Medidas de tendencia central”

Este artículo explica las medidas de tendencia central como la moda, media aritmética y la mediana, que permiten analizar un conjunto de datos y conocer la manera en la que se encuentra distribuidos.

VER

Artículo “Datos estadísticos”

Este artículo explica de manera concisa qué son los datos estadísticos y los diferentes tipos de muestreos usados con el propósito de obtenerlos.

VER

CAPÍTULO 6 / TEMA 1

Recursos para representar datos

Hay veces en las que los datos por sí solos no nos proporcionan ninguna información, pero al representarlos de manera gráfica podemos comprender mejor lo que significan. Por esta razón, en matemática y en estadística se suelen usar gráficos, diagramas y tablas para mostrar los valores.

Pictogramas

Son gráficos que emplean dibujos para representar los datos. Estos recursos visuales permiten una rápida comprensión de los datos porque usan símbolos o imágenes.

En matemática se pueden representar en varias formas:

Gráfico de barras con pictogramas

Gráfico de tablas con pictogramas

En ambos ejemplos se representa el número de goles que han hecho Juan, David, Tobías y Mario. Cada imagen de referencia representa los goles de cada uno. De esta forma, Juan metió 5 goles, David 3 goles, Tobías 4 goles y Mario 1 gol.

En este caso es fácil observar que la persona que hizo más goles fue Juan y quien hizo menos fue Mario. No hacen faltan los números ni contar porque los datos se ven fácilmente a través del gráfico.

¿Sabías qué?

A los pictogramas también se los denomina gráficos de imágenes.

VER INFOGRAFÍA

Tablas

Las tablas son otro recurso usado para representar datos. Por lo general, en las tablas se usan datos cualitativos y datos cuantitativos. Los datos cualitativos indican las características de algo, como nombre, tamaño o color. Los datos cuantitativos expresan la cantidad.

En el caso del ejemplo anterior del número de goles, podemos representarlo en formato de tabla de la siguiente manera:

Nombre	Número de goles
Juan	5
David	3
Tobías	4
Mario	1

Los datos cualitativos son los nombres y los datos cuantitativos son el número de goles.

Observa que en una tabla los datos se organizan en filas y columnas, las filas son las hileras horizontales y las columnas son las hileras de datos verticales de una tabla.

Por ejemplo, si queremos saber el número de goles que hizo Tobías debemos ubicar su nombre y luego movernos en esa fila hasta la columna de número de goles, de esa manera sabemos que Tobías hizo 4 goles.

La estadística y los gráficos

La estadística es una rama de la matemática que estudia la recolección, análisis e interpretación de datos con el propósito de establecer comparaciones que permitan entender el problema que se estudia. Los gráficos y tablas son tan importantes para la estadística como lo son el plano, la recta y el punto para la geometría.

Gráficos de barra

Son un tipo de diagrama que permite la representación de datos a través de columnas, por eso también se los conocen como gráficos de columnas. La longitud de cada barra o columna es completamente proporcional al valor que representan. Es por ello que se suelen representar con una escala numérica como referencia.

Seguimos con el mismo ejemplo del número de goles, pero esta vez representado en un gráfico de barras:

Observa que los tamaños de las barras son proporcionales a la cantidad que representa. La barra más grande es la del valor más grande y la más chica corresponde al valor más pequeño. Si queremos saber cuál es el valor representado por la gráfica solo tenemos que fijarnos en el tope de la barra y leer el número que indica la escala.

Los gráficos estadísticos además de proporcionar una rápida y fácil comprensión de los datos, también permiten realizar un mejor análisis. Muchas empresas emplean gráficos con el propósito de realizar proyecciones o estimaciones. En los medios de comunicación es frecuente observar gráficos para representar encuestas o resultados electorales.

¿Qué importancia tiene representar los datos gráficamente?

Imagina que se obtienen los datos de todos los vuelos internacionales que se hicieron en un país en los últimos veinte años, en efecto, serían demasiados números para interpretar, y si se quisieran comparar esos datos a simple vista no sería nada sencillo. Es por ello que se emplean gráficos, no solo para facilitar la comprensión sino también para organizar los datos de una manera más clara.

Las computadoras y muchos otros equipos como las calculadoras modernas, permiten realizar gráficos de manera sencilla. Gracias a los gráficos es posible realizar promedios, proyecciones y análisis. Por esto y más, son una herramienta muy útil en la actualidad.

Las economías de los países, el valor de las acciones en la bolsa y el precio del petróleo son algunos parámetros que suelen ser representados en gráficos para una rápida comprensión. Los gráficos son herramientas visuales que permiten organizar los datos de una manera más clara. Es común que el tipo de gráfico dependa del tipo de datos que se deseen representar.

¡A practicar!

1. Observa la siguiente imagen que muestra los trofeos que ganó una escuela y responde las siguientes preguntas.

a) ¿Qué tipo de gráfico es?

Solución

Pictograma.

b) ¿Cuántos trofeos obtuvo la escuela en el año 2020?

Solución

c) ¿En qué año la escuela obtuvo el mayor número de trofeos ?

Solución

2019

d) ¿En qué año la escuela obtuvo únicamente un trofeo?

Solución

2018

2. El siguiente gráfico muestra los libros prestados en una biblioteca durante una semana. Observa el gráfico y responde las preguntas.

a) ¿Qué tipo de libro se prestó más en esa semana?

Solución

Biología.

b) ¿Cuántas novelas se prestaron?

Solución

c) ¿Cuántos libros de arte se prestaron?

Solución

d) ¿De qué tipo de libro la biblioteca prestó solo 3 libros?

Solución

Idiomas.

3. Observa la siguiente tabla que muestra los animales en una granja y responde las preguntas.

Animales	Cantidad en una granja
Vaca	5
Perro	2
Gato	1
Caballo	3
Gallina	10
Oveja	15

a) ¿De cuál animal hay más cantidad en la granja?

Solución

Oveja.

b) ¿Cuántas gallinas hay?

Solución

c) ¿Cuántos perros hay?

Solución

d) ¿De cuál animal hay menos cantidad en la granja?

Solución

Gato.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Gráficos estadísticos”

Este artículo describe los principales gráficos usados en la estadística para representar datos. También explica las principales características de cada uno.

VER

Artículo “Estadística”

Este artículo expone una breve reseña del objeto de estudio de la estadística como rama de la matemática, y de igual forma explica cómo es el proceso de recolección y análisis de datos.

VER

Artículo “Estadística: tabla de valores”

Este artículo explica las características de una tabla de valores y sus aplicaciones en la estadística, y proporciona unos ejemplos para comprender el texto.

VER

CAPÍTULO 4 / TEMA 5 (REVISIÓN)

Unidades y medidas | ¿Qué aprendimos?

Unidades de medición

Existen diferentes magnitudes físicas como la longitud, el área, el volumen y el tiempo que emplean unidades de medidas particulares. En el caso de la longitud, mide la distancia entre dos puntos; el área mide la superficie; el volumen mide el espacio y el tiempo mide la duración de un suceso. Desde 1960 se creó el Sistema Internacional de Unidades que busca que todos los países usen las mismas unidades de medición: el metro, el kilogramo, el metro cuadrado, el metro cúbico, el segundo, etc.

Los mayas usaban su propio calendario para medir el tiempo y planificar sus cosechas.

Instrumentos de medición

Medir es comparar con base en un patrón, de manera que para poder medir usamos instrumentos que se encuentran calibrados y presentan ciertas características como el rango de medición que soportan y que se indica en su cota superior e inferior. Algunos ejemplos de instrumentos que se usan en la escuela son la regla, la escuadra y el transportador. Los dos primeros miden longitudes y el último mide tamaños de ángulos.

Las reglas que usamos en la escuela generalmente vienen graduadas en centímetros y milímetros.

El tiempo

Para medir el tiempo usamos los relojes y cronómetros. Los relojes pueden ser análogos cuando emplean manecillas o digitales cuando no las emplean. La lectura del tiempo en estos casos se realiza de diferente manera. En un reloj analógico, la esfera se encuentra dividida en 12 horas que a su vez también presenta su división en minutos. Por otro lado, el formato de 24 horas es un sistema de medición que divide el día en 24 horas y comienza a partir de la medianoche hasta la medianoche siguiente.

Existen otras unidades de tiempo, como el día, la semana, el año, el lustro, la década, el siglo y el milenio.

Conversión de unidades

En el mundo existen diferentes unidades de medidas que pueden estar o no relacionados. Esto sucede con el metro, unidad usada para medir longitudes. El metro presenta submúltiplos como el decímetro, el centímetro y el milímetro; y múltiplos como el kilómetro, el hectómetro y el decámetro. Por medio de diagramas podemos transformar unidades de acuerdo a la relación que existan entre ellas, por ejemplo, las unidades de longitud y de capacidad aumentan de 10 en 10 y las de tiempo (segundo, minuto y hora) aumentan de 60 en 60.

El sistema para medir el tiempo es sexagesimal porque cada unidad es 60 veces menor que la anterior.

CAPÍTULO 4 / TEMA 1

Unidades de medición

Podemos medir muchas cosas como la altura de un edificio, el tiempo que tardamos en llegar a un lugar o el volumen de una pelota. Todo esto es posible gracias a las unidades de medición, que son referencias convencionales de una magnitud física. Las magnitudes más comunes son la longitud, el área, el volumen y el tiempo.

Longitud

Es una magnitud física que permite medir la distancia entre dos puntos, como la distancia que hay entre la casa y la escuela. Una de las unidades de longitud más aceptada es el metro (m). El metro puede multiplicarse varias veces sobre sí mismo para formar unidades mayores o múltiplos y también puede dividirse varias veces en partes iguales para formar unidades más pequeñas de referencia denominadas submúltiplos. Por ejemplo:

El kilómetro (km) es un múltiplo del metro porque equivale a 1.000 veces su tamaño.
El centímetro (cm) es un submúltiplo porque equivale a la centésima parte de un metro.

No es tan reciente

El metro como unidad de medida de longitud se empezó a utilizar durante la Revolución francesa, a finales del siglo XVIII, sin embargo, se oficializó 100 años después cuando la Comisión Internacional de Pesos y Medidas lo definió como la distancia que existía entre dos marcas ubicadas en una barra de platino e iridio. Hoy día, el metro es definido como la distancia recorrida por la luz en el vacío durante 1/299792458 de segundo.

Área o superficie

Es una magnitud que mide la extensión o superficie de una figura, por ejemplo, la superficie total del piso de una casa o de un campo de fútbol. Mientras mayor sea la región encerrada por una figura mayor será su área. Las unidades de medida comúnmente se expresan elevadas al cuadrado como el metro cuadrado (m²), el kilómetro cuadrado (km²) o el centímetro cuadrado (cm²).

Volumen

Es un tipo de magnitud que mide el espacio que ocupa un cuerpo: a mayor volumen, mayor será el espacio que ocupe. Las unidades de medidas más usadas son las elevadas al cubo como el metro cúbico (m³) y el centímetro cúbico (cm³).

VER INFOGRAFÍA

¿Sabías qué?

Se estima que el volumen total del agua en la Tierra es de 1.386 millones de kilómetros cúbicos (km³).

Tiempo

Es una magnitud física que permite medir la duración o separación de acontecimientos. Gracias al tiempo podemos medir cuánto dura un partido de fútbol o conocer qué pasó al comienzo o al final de una película.

Las medidas de tiempo más usadas son el segundo, el minuto y la hora.

Aunque no se sabe con exactitud cuándo se inventó el reloj mecánico, existen datos históricos que permiten estimar su invención en el siglo XIII. Los relojes de este tipo empleaban un sistema de ruedas giratorias que, por medio de un conjunto de pesas, ponían en movimiento a las manecillas. Este tipo de relojes anticipó a los modelos actuales.

Sistema Internacional de unidades (SI)

Es un sistema que busca la unificación de las unidades de medida usadas en diferentes países. A pesar de que la mayoría de ellos lo han adoptado como sistema de medida oficial, existen algunos que manejan sus propias unidades. Fue creado en 1960, en la XI Conferencia General de Pesas y Medidas celebrada en Francia.

Algunas unidades aceptadas por el Sistema Internacional de Medidas

Magnitud física	Unidad	Símbolo
Longitud	Metro	m
Volumen	Metro cúbico	m³
Área	Metro cuadrado	m²
Tiempo	Segundo	s
Masa	Kilogramo	kg
Temperatura	Kelvin	K

Unidades de medida extranjera

Muy pocos países no han adoptado al Sistema Internacional de Unidades como sistema de medida. De hecho, solo tres naciones no lo han declarado oficial en sus legislaciones: Estados Unidos, Liberia y Myammar.

Las unidades de medidas del Sistema Internacional no han sido las únicas empleadas en la medición. En la actualidad podemos usar otras, como las pulgadas, empleadas particularmente para identificar tornillos y medir pantallas de monitores y celulares.

El petróleo, por ejemplo, se suele medir en barriles y la mayoría de los biberones vienen graduados en onzas. Hay otras unidades de medidas usadas para fines específicos como la hectárea y el acre, empleadas para medir áreas de superficies.

Equivalencias de interés

1 pulgada = 2,54 centímetro
1 barril = 159 litros aproximadamente
1 onza = 28,35 gramos
1 hectárea = 10.000 metros cuadrados
1 acre = 4.046,86 metros cuadrados

Unidades de medidas usadas por los pueblos originarios

Nuestros pueblos originarios no eran la excepción si de medir las cosas se trataba. De hecho, cada una de las grandes civilizaciones precolombinas utilizaban unidades de medidas propias.

Los mayas tenían conocimientos avanzados en el campo de la astronomía, lo que les permitió elaborar su calendario por medio de medidas de tiempo propias. Gracias a esto, ellos podían calcular las estaciones y planificar el tiempo de las cosechas.

En el otro extremo del continente, los incas ya tenían un sistema de numeración propio: los quipus, que les permitieron realizar diversos cálculos matemáticos. En el campo de la medición, esta civilización también empleaba sus propias unidades: por ejemplo, para medir longitudes usaban partes del cuerpo como referencia, como la rikra, que consistía en la distancia de los dos dedos pulgares con los brazos extendidos en sentido horizontal.

Las antiguas civilizaciones emplearon sus propios sistemas de medición de unidades de tiempo, de longitud y de volumen. Había sistemas más precisos que otros pero todos servían para realizar diversas tareas, desde las más simples (como contabilizar o medir volúmenes de agua) hasta las más complejas (como la construcción de grandes edificaciones, templos y acueductos).

VER INFOGRAFÍA

¡A practicar!

1. ¿Cuál es la medida usada por el Sistema Internacional de Medidas para medir la longitud?

a) Kilómetro.

b) Centímetro.

c) Metro cúbico.

d) Metro.

Solución

d) Metro.

2. ¿Qué magnitud permite medir la duración de un acontecimiento?

a) El tiempo.

b) El volumen.

c) El área.

d) La longitud.

Solución

a) El tiempo.

3. ¿A qué unidad de medida representa el símbolo m³?

a) Segundo.

b) Milímetro cuadrado.

c) Metro cúbico.

d) Superficie cúbica.

Solución

c) Metro cúbico.

4. ¿En qué año se creó el Sistema Internacional de Medidas?

a) 1960.

b) 1540.

c) 2001.

d) 1998.

Solución

a) 1960.

5. ¿Cuál de estos países no emplea de manera oficial el Sistema Internacional de Medidas?

a) Argentina.

b) Rusia.

c) Italia.

d) Estados Unidos.

Solución

d) Estados Unidos.

6. ¿Cuál de las siguientes opciones se considera una unidad extranjera?

a) Metro.

b) Kilogramo.

c) Acre.

d) Centímetro cuadrado.

Solución

c) Acre.

7. Una hectárea mide __________.

a) 10 metros.

b) 5 centímetros cúbicos.

c) 10.000 metros cuadrados.

d) 20 segundos.

Solución

c) 10.000 metros cuadrados.

8. ¿Qué civilización americana usaba la rikra como medida de longitud?

a) Inca

b) Maya

c) Azteca

d) Olmeca

Solución

a) Inca

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Sistemas de medición”

Este artículo explica qué es un sistema de medición ,así como también algunas unidades de medida y sus instrumentos de medición.

VER

Artículo “Sistema Internacional de Unidades”

Este artículo destacado explica por qué se formó el Sistema Internacional de Unidades y describe las principales unidades que lo componen.

VER

Artículo “Volumen y capacidad: aplicaciones”

Este artículo explica qué es el volumen y la capacidad, así como sus unidades de medidas y transformaciones básicas en problemas cotidianos.

VER

CAPÍTULO 4 / TEMA 3

El tiempo

El tiempo es una magnitud física que permite llevar un orden de los sucesos. En otras palabras, gracias al tiempo podemos distinguir lo que pasó la semana pasada, ayer u hoy. En la actualidad, para determinar el tiempo usamos sistemas que dividen los días en 24 horas. Por medio de los relojes podemos conocer en qué hora del día estamos.

Lectura del tiempo

El ser humano siempre ha sentido la necesidad de medir el tiempo, ya sea para la duración de acontecimientos o para establecer separaciones de sucesos. Por eso, a lo largo de la historia han existido una serie de calendarios basados principalmente en ciclos lunares o solares.

Algunos calendarios son más precisos que otros, pero todos buscan una sola cosa: tener noción del tiempo.

VER INFOGRAFÍA

Unidades de tiempo

Las unidades de tiempo más comunes son la hora, el minuto y el segundo, donde se cumple que:

1 hora = 60 minutos
1 minuto = 60 segundos

Sin embargo, existen otras unidades para medir el tiempo:

1 día = 24 horas
1 semana = 7 días
1 año común = 365 días
1 año bisiesto = 366 días
1 lustro = 5 años
1 década = 10 años
1 siglo = 100 años
1 milenio = 1.000 años

Los relojes

Son instrumentos usados para medir el tiempo. A lo largo de la historia han pasado de ser relojes solares y de arena, a relojes cada vez más sofisticados como los relojes inteligentes de hoy en día. Los más usados en la actualidad son los relojes analógicos y los digitales.

¿Cómo leer la hora en relojes analógicos?

Una reloj analógico se caracteriza por tener agujas o manecillas que indican las horas, los minutos y los segundos a través de ciertos marcadores y números. Los elementos de un reloj analógico son los siguientes:

Las manecillas: son las agujas que marcan las horas, minutos y segundos. La más chica de ellas indica la hora y se denomina horario; la aguja grande más larga indica los minutos y se denomina minutero; la aguja más fina y que va más rápido indica los segundos y se denomina segundero.
Marcadores: son las doce partes en las que está dividida la circunferencia del reloj. Estas partes están rotuladas con los números del 1 al 12 y cada una, a su vez, está dividida en cinco subdivisiones más pequeñas marcadas con segmentos de rectas.

¿Sabías qué?

Existen relojes digitales que imitan a los relojes analógicos por contener agujas en pantallas LCD. Debido a su formato también son considerados relojes analógicos.

El horario tarda 12 horas en dar la vuelta completa, de manera que en un día tiene que realizar dos vueltas completas. El minutero tarda 60 minutos que equivalen a 1 hora en dar la vuelta completa, y el segundero tarda 60 segundos en dar una vuelta completa que equivalen a 1 minuto.

Cuando el minutero se encuentra en el número 12 significa que han transcurrido 0 minutos de la hora que marca el horario, por lo tanto, al leer la hora indicada y agregamos la expresión “en punto“. Por ejemplo:

El reloj muestra las ocho en punto.

El reloj muestra las dos en punto.

Como ya vimos, el reloj está dividido en 12 secciones y cada una de ellas está subdivide en cinco, es decir, el reloj está dividido en 60 partes iguales que equivalen a cada minuto contenido en una hora. Quiere decir que si partimos del número 12 y miramos solamente los segmentos donde aparecen marcados los números, notaremos como los minutos se incrementan de cinco en cinco.

En este sentido, si el minutero se encuentra sobre el número 1, significa que han pasado 5 minutos; si se encuentra en el número 2 indica que pasaron 10 minutos y así sucesivamente hasta el número 12 que indica que no ha pasado ningún minuto aún. Para leer la hora en estos casos, decimos la hora marcada por el horario y luego leemos los minutos.

El reloj muestra las ocho y cinco minutos.

El reloj muestra las diez y veinticinco minutos.

¿Sabías qué?

Cuando el horario se encuentra entre dos números, la hora que indica corresponde al número menor de los dos.

Cuando el minutero está en el número 3, 6 y 9, la hora se suele mencionar de manera particular.

– Cuando el minutero está en el 3 indica que han transcurrido 15 minutos, es decir una cuarta parte de lo que dura una hora. Por eso, después de decir la hora agregamos la expresión “…y cuarto”.

El reloj muestra las once y cuarto.

– Cuando el minutero está en el 6 significa que han pasado 30 minutos, es decir, la mitad de una hora, por eso decimos “…y media”.

El reloj muestra las nueve y media.

– Cuando el minutero está en el 9 han pasado 45 minutos lo significa que falta un cuarto de hora (quince minutos) para la hora siguiente. Por eso decimos “un cuarto para…” y luego la hora próxima.

El reloj muestra un cuarto para las siete.

En algunos países en lugar de decir “un cuarto para” se lee la hora próxima y se agrega la expresión “menos cuarto”. En este sentido, el ejemplo anterior se leería como “las siete menos cuarto”.

Para otros casos, se lee la hora mostrada por el horario y luego los minutos indicados por el minutero.

¿Cómo leer la hora en relojes digitales?

En el reloj digital no se observan manecillas sino que expresa la hora y los minutos separados por dos puntos. Las primeras dos cifras corresponden a las horas y las dos cifras que se encuentran a la derecha de los dos puntos indican los minutos.

La lectura es similar a la de los relojes analógicos, la diferencia es que la hora y los minutos se observan de manera más directa. Primero leemos la hora y después los minutos

En los casos a los cuales aplique se agregan las expresiones “…en punto”, “…y cuarto”, “…y media” y “un cuarto para…”.

Son las ocho en punto.

Son las ocho y cuarto.

Son las ocho y media.

Son un cuarto para las nueve.

Son las ocho y treinta y cinco minutos.

VER INFOGRAFÍA

Las abreviaturas a. m. y p. m.

Son abreviaturas que suelen aparecer en los relojes digitales. La abreviatura a. m. significa que la hora leída corresponde a antes del mediodía, mientras que p. m. se usa para indicar las horas después del mediodía.

Sistema horario de 24 horas

El sistema usado por los relojes analógicos es de 12 horas. Por lo tanto tiene que completar dos ciclos para cubrir un día. El sistema de 24 horas lleva este nombre porque divide al día en las 24 horas totales que lo conforman. Por eso no necesita de las siglas a. m. y p. m. En este sistema las 00:00 horas o 00:00 h corresponden a las 12 a. m., hora desde la cual se empiezan a contar las horas de manera ascendente. En esta convención de tiempo el día se mide de medianoche a medianoche.

Formato 24 horas	Formato 12 horas
00:00 h	12:00 a. m.
01:00 h	01:00 a. m.
02:00 h	02:00 a. m.
03:00 h	03:00 a. m.
04:00 h	04:00 a. m.
05:00 h	05:00 a. m.
06:00 h	06:00 a. m.
07:00 h	07:00 a. m.
08:00 h	08:00 a. m.
09:00 h	09:00 a. m.
10:00 h	10:00 a. m.
11:00 h	11:00 a. m.
12:00 h	12:00 m.
13:00 h	01:00 p. m.
14:00 h	02:00 p. m.
15:00 h	03:00 p. m.
16:00 h	04:00 p. m.
17:00 h	05:00 p. m.
18:00 h	06:00 p. m.
19:00 h	07:00 p. m.
20:00 h	08:00 p. m.
21:00 h	09:00 p. m.
22:00 h	10:00 p. m.
23:00 h	11:00 p. m.

El sistema de 24 horas es usado en diversas áreas, de hecho, en algunos países se ha estandarizado como sistema de notación del tiempo. Es común su empleo en el área militar y en el de la astronomía. También suele usarse en áreas como la medicina para llevar registros de la historia clínica de los pacientes. Otros usos se dan en aeropuertos y otras terminales de transportes.

¡A practicar!

1. ¿Qué hora indican los relojes?

Solución

Son las once y cinco minutos.

Solución

Son las once y media.

Solución

Son las ocho y cuarto.

Solución

Son las tres y media

2. ¿Qué hora observas en estos relojes?

Solución

Son las tres y veinte minutos.

Solución

Son las diez en punto.

Solución

Son las once y cuarto.

3. ¿A qué hora del sistema de 12 horas corresponde?

a) Las ocho y treinta y cinco minutos.

b) Las treinta y cinco para las diecinueve.

c) Las nueve y media.

d) Las seis y treinta y cinco minutos.

Solución

d) Las seis y treinta y cinco minutos.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Medidas de tiempo”

Este artículo describe las principales unidades de tiempo y propone una serie de operaciones que se pueden realizar con unidades de tiempo.

VER

Artículo “Reloj de arena”

El presente artículo destacado describe a este sencillo pero asombroso invento que utilizaban nuestros antepasados para medir el tiempo.

VER

Artículo “Los calendarios”

Este artículo describe el origen de los calendarios y las característica del calendario gregoriano, uno de los más usados hoy en día. También explica otros tipos de calendarios que han sido utilizados por diversas culturas como la maya y la egipcia.

VER

CAPÍTULO 4 / TEMA 2

Instrumentos de medición

Si hay algo que los seres humanos hemos necesitado desde siempre es tomar mediciones: las personas medimos desde las raciones de comida, hasta los grandes territorios. Los instrumentos de medición permiten conocer las cantidades de diferentes magnitudes como la longitud, el volumen, el tiempo, etc. Las unidades de medida son una referencia y pueden ser convencionales o no.

Características de los principales instrumentos de medición

Un instrumento de medición presenta las siguientes características:

Cota inferior: corresponde al valor mínimo de la magnitud que puede medir el instrumento.
Cota superior: corresponde al valor máximo que puede medir el instrumento.
Sensibilidad: corresponde a la mínima variación de la magnitud que puede detectar el instrumento.
Exactitud: corresponde a la capacidad del instrumento de acercarse al valor real de la magnitud leída.
Fiabilidad: corresponde a qué tan consistente sea la medición del instrumento, es decir, que el instrumento pueda medir la misma cantidad en las mismas condiciones y en diferentes ocasiones.

El termómetro de mercurio es un instrumento que en la actualidad comienza a estar en desuso en el área de la salud por los riesgos de toxicidad, sin embargo, en el pasado era usado para medir la temperatura corporal. Su cota inferior suele ser de 35 °C y su cota superior suele estar en los 42 °C. Quiere decir que puede medir valores entre esas dos temperaturas.

Calidad de medición

Hay instrumentos con mayor precisión y sensibilidad que otros, por lo tanto presentan mayor exactitud. Por ejemplo, las balanzas se usan para medir la masa de los cuerpos. En un mercado se usan balanzas convencionales con una cota inferior de 1 gramo y en lugares como laboratorios y fábricas pueden usar balanzas tan sensibles que permiten obtener lecturas muy pequeñas como 0,00001 g.

Para que tengas una idea, la masa de un grano de arroz es de 0,03 gramos y las balanzas de un laboratorio pueden medir cantidades 1.000 veces menores que eso, ¡increíble!

VER INFOGRAFÍA

Instrumentos de medición comunes en la escuela

En la escuela solemos usar instrumentos para medir longitudes de las cosas, como la regla o una escuadra. La longitud es una magnitud que permite medir distancias entre dos puntos, con ella podemos medir el tamaño de una recta o el de los lados de una figura geométrica.

Las reglas y escuadras que usamos en la escuela tienen una escala graduada en centímetros y milímetros. Cada centímetro está dividido en milímetros. Pueden estar construidas de materiales como metal, plástico o madera y pueden ser flexibles o rígidas. Las escuadras además de medir longitudes sirven para construir rectas paralelas y perpendiculares.

Otro instrumento de medición usado en la escuela es el transportador, que sirve para medir ángulos, presenta su escala en grados y es muy usado en disciplinas como la arquitectura y el dibujo técnico.

¿Sabías qué?

Hay dos tipos de transportador, el circular que se encuentra graduado de 0° a 360° y el semicircular que está graduado de 0° a 180°.

Cuando usamos el reloj, medimos el tiempo que ha transcurrido. Las unidades de tiempo se expresan en segundos minutos y horas. Hay otros instrumentos de medición de tiempo como el cronómetro, por ejemplo, que suele ser usado por los entrenadores para evaluar el desempeño de los deportistas.

Unidades de medidas no convencionales

Todas las unidades de medida son una referencia para medir la cosas. Hay unidades convencionales que se usan en gran parte del mundo, como el metro para medir la longitud o el segundo para medir el tiempo, pero también hay otras que podemos usar para medir de una manera menos convencional y que nos permiten establecer comparaciones, como nuestras manos, dedos o pies.

Podemos usar nuestra mano como unidad de medida para medir la longitud de un cuaderno, simplemente tenemos que ver cuántas veces ese patrón de medida se encuentra en el objeto. Incluso podemos usar otros objetos como un lápiz como referencia de medida. En este caso se habla de unidades no convencionales porque no pertenecen al Sistema Internacional de Unidades.

Por ejemplo:

– El cuaderno mide dos manos y media.
– El lápiz mide seis dedos.

La pulgada y los reyes

A lo largo de la historia se ha usado la pulgada como unidad de longitud. La pulgada era empleada por los monarcas, quienes empleaban la medida desde el nudillo del pulgar hasta el extremo del dedo. Este sistema de medida tuvo muchos inconvenientes porque no todos los reyes tenían el mismo tamaño de falanges, y existían pulgadas de diferentes medidas, lo que generaba confusión.

Por razones como esas, los sistemas de medición se unificaron en sistemas más homogéneos como el Sistema Internacional de Medidas. En la actualidad hay países como Estados Unidos que aún emplean la pulgada como medida de longitud que equivale a 2,54 cm.

¡A practicar!

1. ¿Cómo se denomina al máximo valor que puede medir un instrumento de medición?

a) Cota inferior.

b) Sensibilidad.

c) Cota superior.

d) Confiabilidad.

Solución

c) Cota superior.

2. ¿Cuál es una medida no convencional?

a) El metro.

b) El segundo.

c) El centímetro.

d) El dedo.

Solución

d) El dedo.

3. ¿Qué podemos medir con las unidades de longitud?

a) La distancia entre dos puntos.

b) La capacidad de un recipiente.

c) El tiempo.

d) La temperatura de una persona.

Solución

a) La distancia entre dos puntos.

4. Observa los siguientes instrumentos de medición y determina qué podemos medir con cada uno.

Solución

La longitud.

Solución

El tiempo.

Solución

La medida de ángulos.

Solución

La masa.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Sistema Internacional de unidades”

Este artículo explica qué es el Sistema Internacional de unidades y describe sus principales unidades básicas y derivadas, así como su importancia en la actualidad.

VER

Tarjetas educativas “Instrumentos de laboratorio”

Este micrositio muestra los principales instrumentos de laboratorio, dentro de los cuales se encuentran varios instrumentos de medición.

VER

Infografía “Balanza”

Esta infografía muestra uno de los instrumentos de medición más usados: la balanza. También describe sus tipos y sus características principales.

VER

CAPÍTULO 3 / TEMA 1

noción de fracción

En la vida diaria usamos números para decir nuestra edad, dar la hora o para contar. Todos estos números son los que conocemos como números naturales, pero no siempre son útiles. Por ejemplo, si nos comemos medio alfajor, un cuarto de torta, o compramos medio kilo de naranjas, necesitamos emplear otro tipo de números: los fraccionarios.

¿Qué es una fracción?

Una fracción es la forma de representar una parte de un todo. Así, si queremos decir que nos comimos medio alfajor, lo podemos pensar como que a nuestro todo, el alfajor, lo cortamos en dos y de esas dos partes nos comimos una. En forma de fracción lo escribimos como:

En el numerador escribimos la cantidad que nos comimos y en el denominador la cantidad en la que cortamos el alfajor.

VER INFOGRAFÍA

¿Sabías qué?

Los egipcios trabajaban con fracciones para indicar la distribución del pan, para la construcción de las pirámides y para estudiar las medidas de la Tierra. Ellos usaban fracciones llamadas “unitarias” porque todas tenían numerador 1.

Para resolver el problema de repartir 6 panes entre 10 hombres ellos decían que a cada uno le tocaba panes. Esto significaba que cada pan lo dividían en mitades y el último lo hacían en décimos.

¡A practicar!

Escribe las fracciones que están representadas por los gráficos:

Solución

$\boldsymbol{\frac{3}{8}}$

Cantidad de divisiones: 8

Partes sombreadas: 3

Solución

$\boldsymbol{\frac{4}{8}}$

Cantidad de divisiones: 8

Partes sombreadas: 4

Solución

$\boldsymbol{\frac{5}{8}}$

Cantidad de divisiones: 8

Partes sombreadas: 5

Una fracción nos indica dos cosas: las partes en las que se ha dividido un todo y las partes que se han tomado de ese todo. Al primero lo llamamos denominador y al segundo lo llamamos numerador. Por ejemplo, en la imagen vemos un círculo que está dividido en 6 partes iguales, pero solo una, la parte azul, fue tomada. Esa pieza azul representa 1/6 del total.

Tipos de fracciones

Las fracciones se pueden clasificar en:

Propias: son las que tienen numerador menor al denominador. Esto quiere decir que representan un número menor a 1 entero. Ejemplo:

$\boldsymbol{\frac{2}{5}}=$

Impropias: son las que tienen el numerador mayor al denominador y representan números mayores a 1 entero. Ejemplo:

$\boldsymbol{\frac{9}{4}}=$

Aparentes: son aquellas en las que el numerador es múltiplo del denominador, por lo cual, al dividirlos resulta un número entero. Ejemplo:

$\boldsymbol{\frac{10}{5}}=$

También podemos clasificarlas en:

Puras: son las que se representan únicamente con una fracción.

Ejemplo: $\frac{2}{5}$ o $\frac{3}{8}$

Mixtas: son las que se representan con una parte entera y una parte fraccionaria. Para esto, es necesario que la fracción sea más grande que 1 entero.

Ejemplo: $2\frac{3}{8}$ o $4\frac{1}{7}$

¡A practicar!

Clasifica las siguientes fracciones en propias, impropias o aparentes

Solución

Propias

Impropias

Aparentes

¿Cómo convertimos una fracción impropia pura a una fracción impropia mixta y viceversa?

De impropia pura a mixta

Dividimos el numerador con el denominador y, según los valores obtenidos, los representamos de la siguiente manera:

De impropia mixta a pura

Multiplicamos el denominador por el entero y le sumamos el numerador. Este valor nos da el numerador de la fracción pura, mientras que el denominador de ambas es el mismo.

Una fracción mixta nos da una información más visible que una fracción impropia. Por ejemplo, si nosotros tenemos 7 galletitas para compartir entre tres amigos, sabemos que 7 dividido 3 nos da 2, o sea, 2 galletitas para cada uno. Pero la que nos sobra la partimos en tres partes y nos toca 1 parte a cada uno. Es decir, cada uno comerá 2 1/3 de galletitas.

Fracción irreducible

Una fracción es irreducible cuando su numerador y su denominador solo tienen como divisor común al 1.

Recordemos el mcd

Para calcularlo descomponemos los números en sus factores primos.

– Ejemplo: halla el mcd entre 15 y 18.

Ahora solo debemos elegir los factores que se repiten en ambos y la menor cantidad de veces que aparece. En este caso, el que se repite es el 3 y aparece una sola vez en el 15.

Entonces:

$mcd(15, 18) = \boldsymbol{3}$

Veamos algunas fracciones para ver si son irreducibles:

– Ejemplo 1:

$\frac{15}{4}$

Como ya vimos, podemos escribir los números como descomposición de sus factores primos y calcular su mcd:

$15 = 5\: \times 3$

$4 = 2^{2}$

Entonces, los números 15 y 4 no tienen factores en común por lo tanto la fracción es irreducible.

– Ejemplo 2:

$\frac{6}{8}$

Descomponemos cada número en sus factores primos y calculamos el mcd.

$6 = 2\: \times 3$

$8 = 2^{3}$

Los números 6 y 8 tienen un factor en común, el número 2, por lo tanto la fracción no es irreducible. Para convertirla en una fracción irreducible lo único que tenemos que hacer es dividir al numerador y denominador por el factor que tienen en común.

Y ahora la fracción que se obtuvo es irreducible.

¡A practicar!

Señala cuáles de las siguientes fracciones son irreducibles

Solución

simplificación de fracciones

Simplificar una fracción significa “achicarla” tanto como podamos, o sea, hacerla irreducible. Como lo vimos antes, para convertir una fracción en irreducible hay que dividir el numerador y el denominador por un número que sea divisor de ambos (mcd).

Este valor lo podemos buscar por medio de los factores primos, o si nos damos cuenta, podemos calcular por cuáles números se pueden dividir ambos. Podemos dividir tantas veces como consideremos necesarias hasta lograr la fracción irreducible.

También usamos las fracciones para decir la hora. Por ejemplo, si dividimos el reloj a la mitad como en la foto, podemos decir que son las nueve y media. Pero también lo podemos dividir en cuatro partes. Entonces, cuando la aguja de los minutos esté en el 3 diremos que son las nueve y cuarto, y cuando esté en el 9 diremos que falta un cuarto de hora para la diez.

Hagamos algunos ejemplos:

– Ejemplo 1:

$\frac{25}{35} = \frac{5}{7}$

Ambas fracciones fueron divididas por 5.

– Ejemplo 2:

$\frac{14}{36}=\frac{7}{18}$

Ambas fracciones fueron divididas por 2.

– Ejemplo 3:

$\frac{45}{105}=\frac{9}{21}=\frac{3}{7}$

Ambas fracciones fueron divididas primero por 5 y después por 3.

¡A practicar!

1. Simplifica las siguientes fracciones hasta su fracción irreducible.

$\boldsymbol{\frac{24}{36}}$

Solución

$\frac{2}{3}$

$\boldsymbol{\frac{40}{24}}$

Solución

$\frac{5}{3}$

$\boldsymbol{\frac{18}{63}}$

Solución

$\frac{2}{7}$

2. Clasifica las siguientes fracciones, en caso de que sea impropia escríbela como fracción mixta. Luego, indica si la fracción es irreducible. Si no lo es, simplifica.

$\boldsymbol{\frac{24}{36}}$

Solución

Fracción propia. No es irreducible.

Simplificación: $\frac{2}{3}$

$\boldsymbol{\frac{40}{24}}$

Solución

Fracción impropia. No es irreducible.

Fracción mixta: $1\frac{2}{3}$

$\boldsymbol{\frac{6}{9}}$

Solución

Fracción propia. No es irreducible.

Simplificación: $\frac{2}{3}$

$\boldsymbol{\frac{23}{4}}$

Solución

Fracción impropia. Es irreducible.

La fracción mixta es: $5\frac{3}{4}$

$\boldsymbol{\frac{21}{50}}$

Solución

Fracción propia. Es irreducible.

$\boldsymbol{\frac{18}{63}}$

Solución

Fracción propia. No es irreducible.

Simplificación: $\frac{2}{7}$

$\boldsymbol{\frac{120}{40}}$

Solución

Fracción aparente. No es irreducible.

La fracción es igual a $3$ .

$\boldsymbol{\frac{42}{9}}$

Solución

Fracción impropia. No es irreducible.

Fracción mixta: $4\frac{2}{3}$

$\boldsymbol{\frac{90}{50}}$

Solución

Fracción impropia. No es irreducible.

Fracción mixta: $1\frac{4}{5}$

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo sobre “Fracciones”

Es un artículo didáctico con más ejemplos sobre la representación y clasificación de las fracciones.

VER

Libro de “Matemáticas primaria”

El mismo cuenta con ejercicios, explicaciones y ejemplos de los temas vistos en este capítulo para poder ampliar en clase.

VER

CAPÍTULO 5 / TEMA 8 (REVISIÓN)

Geometría y mediciones | ¿Qué aprendimos?

Perímetro

El perímetro es el contorno de una figura geométrica. En el caso de los polígonos regulares, el perímetro lo calculamos al multiplicar la cantidad de sus lados por la longitud de uno de estos. Otra forma de calcular el perímetro es a través de la suma de cada uno de los lados de una figura. En cambio, el perímetro del círculo es igual a la multiplicación del número pi por el diámetro de la circunferencia. Existen también figuras compuestas que están formadas por dos o más figuras geométricas, para calcular su perímetro basta con sumar cada uno de los lados.

Ángulos

Uno de los elementos fundamentales para la geometría es el ángulo, el cual está formado por un par de semirrectas denominadas lados que tienen un origen común o vértice. Uno de los sistemas más usados para medir ángulos es el sistema sexagesimal, en el que medimos los ángulos en grados, minutos y segundos. De acuerdo a su tamaño, los ángulos pueden clasificarse en agudos, rectos, obtusos y llanos. Los agudos son mayores a 0° pero menores a 90°, los rectos miden 90°, los obtusos son mayores a 90° pero menores de 180° y los llanos miden siempre 180°.

Área

Para calcular superficies usamos el área, que es la extensión comprendida por una figura. Para cada figura plana existe una fórmula que permite determinar su área. En el Sistema Internacional de Unidades se emplea el metro cuadrado (m²) como unidad de medida de área, pero también podemos usar otras unidades derivadas, como el centímetro cuadrado (cm²) o el milímetro cuadrado (mm²). Podemos obtener el área de las figuras compuestas al descomponerlas en figuras geométricas más simples, para luego sumar las áreas de cada una.

Sistemas de referencia

Uno de los sistemas de referencias más usados es el sistema cartesiano, el cual está formado por dos ejes en el plano: uno horizontal denominado eje X o de las abscisas y otro vertical denominado eje Y o de las ordenadas. Para representar un punto en el plano cartesiano necesitamos sus coordenadas en el eje X y en el eje Y: la intersección de ambas coordenadas constituye su ubicación. Por otro lado, las figuras pueden experimentar transformaciones isométricas, es decir, cambios de posición y orientación que no afectan su forma. Estas transformaciones son: traslación, rotación y simetría.

Cuadriláteros

Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados, y aunque se pueden clasificar en varios grupos, comparten elementos en común: tienen cuatro ángulos, la suma de estos es siempre igual 360° y tienen dos diagonales que dividen al cuadrado en triángulos. De manera general, los cuadriláteros son clasificados como paralelogramos, trapecios y trapezoides. Los paralelogramos tienen sus lados opuestos paralelos y pueden ser cuadrados, rombos y rectángulos. Los trapecios tienen dos de sus lados paralelos y los trapezoides no tienen ningún lado paralelo.

El campo de fútbol tiene forma de rectángulo que es un tipo de cuadrilátero.

Capacidad y volumen

El volumen es el espacio que ocupa un objeto mientras que la capacidad indica la cantidad que un objeto puede contener dentro de él. Todos los objetos tienen volumen pero no todos tienen capacidad. En el caso de los sólidos y los líquidos mientras mayor sea su volumen, mayor espacio van a ocupar. No es lo mismo el volumen de un grano de arroz que el de un edificio. Algunas unidades de volumen son el metro cúbico (m³), el centímetro cúbico (cm³) y milímetro cúbico (mm³), entre otras. El litro es una medida de capacidad que equivale a 1.000 cm³.

A pesar de estar muy relacionadas, no se deben confundir las medidas de volumen con las de capacidad.

La circunferencia

La circunferencia es una curva plana con todos sus puntos ubicados a la misma distancia del origen o centro. No debe ser confundida con el círculo que corresponde al área contenida dentro de ella, es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo. Presenta ciertos elementos como el radio, el diámetro, la tangente, la cuerda, el arco y la semicircunferencia. Uno de los instrumentos usados para su trazado es el compás.

CAPÍTULO 5 / TEMA 7

La circunferencia

Una de las curvas más estudiadas en la geometría es, sin duda, la circunferencia. Tiene características únicas y ha sido pieza fundamental en invenciones humanas como la rueda. Para trazar esta figura usamos el compás, y su longitud está determinada por un número muy particular: el número pi.

¿Qué es una circunferencia?

Es la curva plana y cerrada cuyos puntos equidistan del centro; es decir, están a la misma distancia del centro de la circunferencia.

Los griegos y la circunferencia

Sin lugar a duda, los antiguos griegos tuvieron una gran influencia en el perfeccionamiento de la geometría. Para ellos, la línea recta y la circunferencia eran muy importantes en sus construcciones matemáticas, lo que permitió que realizaran increíbles descubrimientos para su época. Por ejemplo, Eratóstene de Cirene, que vivió entre 276 y 194 a. C., fue la primera persona en calcular la circunferencia de la Tierra.

Elementos de la circunferencia

En la circunferencia se pueden observar los siguientes elementos:

Centro: es el punto en torno al cual equidistan todos los puntos de la curva.

Radio: es un segmento de recta que une el centro de la circunferencia con cualquiera de sus puntos.

Diámetro: es un segmento de recta que une a dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro de la misma. Su longitud es igual al doble del radio.

Cuerda: es un segmento de recta que une a dos puntos de la circunferencia sin pasar por el centro.

Arco: es una porción de la circunferencia que se encuentra limitada por una cuerda.

Semicircunferencia: es la porción de circunferencia limitada por el diámetro. Equivale a la mitad de la circunferencia.

Posiciones de una recta en relación a la circunferencia

Recta tangente: es la recta que comparte un mismo y único punto con la circunferencia.

Recta secante: es la recta que comparte dos puntos con la circunferencia.

Recta exterior: es la recta que no comparte ningún punto con la circunferencia.

¿Sabías qué?

La circunferencia de la tierra mide cerca de 40.000 km de longitud.

Diferencia entre círculo y circunferencia

Es posible que confundamos los conceptos de círculo y circunferencia porque están muy relacionados entre sí, pero se trata de dos términos diferentes. El círculo es una figura plana que corresponde al área contenida dentro de una circunferencia. La circunferencia, por su parte, representa el perímetro del círculo, es decir, es la línea que forma el contorno de la figura.

VER INFOGRAFÍA

El círculo es una figura que presenta diferentes elementos, como el semicírculo, los sectores circulares y los segmentos circulares. El primero es el área comprendida entre el diámetro y una semicircunferencia; el segundo consiste en las regiones comprendidas entre dos radios y el arco que estos forman; y el tercero se trata de los segmentos que se forman entre una cuerda y su arco.

Trazado de circunferencias

El compás es el instrumento por excelencia para trazar circunferencias y su origen es muy antiguo. Un compás consta de los siguientes elementos principales:

Un mango.
Una punta metálica.
Una punta trazadora.
Dos brazos regulables.

El uso de esta herramienta es relativamente sencillo. Para trazar una circunferencia con un compás lo primero que debemos hacer es conocer el radio de la circunferencia y trazarlo con la ayuda de una regla. Luego posicionamos la punta metálica en uno de los extremos del segmento y luego abrimos los brazos hasta que la punta trazadora esté ubicada en el otro extremo del segmento. Finalmente, con ayuda del mango, trazamos la circunferencia.

Circunferencias a nuestro alrededor

Un anillo o un aro son ejemplos de circunferencias, pero hay muchos más. Al ser una circunferencia el contorno de un círculo, la observamos en los bordes de las ruedas de los autos, en un molde para hacer una torta o un pastel y hasta incluso en juguetes como los platos voladores.

Las circunferencias han sido elementos fundamentales en el desarrollo de la geometría y con ello también han permitido a los seres humanos realizar grandes invenciones como la rueda.

La circunferencia es el contorno de una de las figuras más comunes: el círculo. Es frecuente observarlas en platos, ruedas, pasteles, diseños y pinturas. Han permitido realizar cálculos y aproximaciones, como el descubrimiento del número pi que relaciona la longitud de la circunferencia con su radio y que ha tenido numerosas aplicaciones prácticas.

¡A practicar!

Además del centro, ¿qué elementos de la circunferencia observas?

Solución

Diámetro.

Solución

Arco.

Solución

Cuerda.

Solución

Radio.

2. ¿Cuál de las siguientes rectas es una tangente?

Solución

Es tangente porque solo comparte un punto en común con la circunferencia.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Circunferencia”

El siguiente artículo explica de forma resumida qué es una circunferencia y los diferentes elementos que la integran como el radio, la cuerda, el diámetro, etc.

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Artículo “Ángulos en la circunferencia”

Este artículo relaciona los conceptos de ángulo y circunferencia, así como también explica sus características.

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