CAPÍTULO 4 / TEMA 5

CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS GEOMÉTRICAS

¿QUÉ FORMA TIENE UNA HOJA DE TU CUADERNO? ¿Y UNA LATA DE GASEOSA? LA PRIMERA ES UN RECTÁNGULO Y LA SEGUNDA ES UN CILINDRO. AMBAS SON FIGURAS GEOMÉTRICAS Y PUEDES DIBUJARLAS O CONSTRUIRLAS SI UTILIZAS LOS INSTRUMENTOS ADECUADOS. ES MUY SENCILLO, LEE ESTE ARTÍCULO Y APRENDERÁS CÓMO HACERLO. 

¿QUÉ SON LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS?

LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS SON TODAS AQUELLAS QUE ESTÁN DEFINIDAS POR LÍNEAS RECTAS O CURVAS. PUEDEN TENER DOS O TRES DIMENSIONES Y ADEMÁS CONFORMAN LA SUPERFICIE DE LA MAYORÍA DE LOS OBJETOS QUE NOS RODEAN, POR EJEMPLO, LA PANTALLA DE UN TELÉFONO TIENE FORMA DE RECTÁNGULO Y UNA PELOTA TIENE FORMA DE ESFERA.

LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS O CON DOS DIMENSIONES SON:

CUADRADO

 

 TRIÁNGULO

 CÍRCULO

 RECTÁNGULO

 

LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS TRIDIMENSIONALES O CON TRES DIMENSIONES SON:

CUBO

 PRISMA RECTANGULAR

 PIRÁMIDE
CONO

 CILINDRO

 ESFERA

¿QUÉ ES UNA LÍNEA?

UNA LÍNEA ES LA UNIÓN DE MUCHOS PUNTOS CONTINUOS EN EL PLANO. PUEDEN SER ABIERTAS, CERRADAS, RECTAS O CURVAS.

  • LA LÍNEA DE COLOR AZUL ES RECTA Y ABIERTA.
  • LA LÍNEA DE COLOR AMARILLO ES CURVA Y ABIERTA.
  • LA LÍNEA DE COLOR VERDE ES RECTA Y CERRADA.
  • LA LÍNEA DE COLOR ROJO ES CURVA Y CERRADA.

¿SABÍAS QUÉ?
A LAS FIGURAS TRIDIMENSIONALES TAMBIÉN SE LAS CONOCE COMO SÓLIDOS GEOMÉTRICOS.

INSTRUMENTOS PARA CONSTRUIR FIGURAS GEOMÉTRICAS

REGLA

ES UN INSTRUMENTO PLANO Y LARGO QUE SIRVE PARA TRAZAR LÍNEAS RECTAS Y PARA MEDIR LONGITUDES. POR LO GENERAL VIENE CON MARCAS QUE REPRESENTAN LOS CENTÍMETROS. CON UNA REGLA PUEDES TRAZAR LAS RECTAS DE UN CUADRADO O UN RECTÁNGULO.

ESCUADRA Y CARTABÓN

LA ESCUADRA ES UNA PLANTILLA CON FORMA DE TRIÁNGULO RECTÁNGULO ISÓSCELES. SE USA PARA TRAZAR LÍNEAS PARALELAS O PERPENDICULARES JUNTO CON EL CARTABÓN O LA REGLA GRADUADA. EN LA IMAGEN, LA ESCUADRA ES LA DE COLOR ROJO Y EL CARTABÓN ES EL DE COLOR AZUL.

TRANSPORTADOR

ES UN INSTRUMENTO CIRCULAR O SEMICIRCULAR QUE SIRVE PARA MEDIR ÁNGULOS. ES DE MUCHA AYUDA CUANDO DIBUJAMOS TRIÁNGULOS SEGÚN SUS ÁNGULOS.

COMPÁS

ES UN INSTRUMENTO DE GRAN UTILIDAD PARA DIBUJAR CIRCUNFERENCIAS. TIENE DOS PARTES QUE SE UNEN POR UNA BISAGRA AJUSTABLE. UNA PUNTA TIENE UN EXTREMO DE METAL Y LA OTRA TIENE UN LÁPIZ CON EL CUAL SE HACE EL DIBUJO.

CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS EN LO COTIDIANO

LA CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS GEOMÉTRICAS ES FUNDAMENTAL PARA LOS ARQUITECTOS E INGENIEROS, QUIENES ELABORAN PLANOS QUE MUESTRAN LOS DETALLES DE UNA OBRA EN UN PAPEL. ASIMISMO, GRANDES ARTISTAS DE LA HISTORIA HAN PRODUCIDO INCREÍBLES CREACIONES EN LAS QUE TOMAN LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS COMO BASE.

KANDINSKI FUE UN PINTOR RUSO DESTACADO EN EL ARTE ABSTRACTO. EN SU TRABAJO RESALTAN LOS COLORES VIVOS Y LA ABUNDANCIA DE FIGURAS GEOMÉTRICAS COMO LOS TRIÁNGULOS, CUADRADOS Y CÍRCULOS. EN 1913 CREÓ ESTA OBRA LLAMADA ESTUDIO DE COLOR CON CUADROS EN LA QUE PUEDES VER CÍRCULOS UNO DENTRO DE OTRO, CADA UNO DE UN COLOR DIFERENTE.

¡CONSTRUYE TUS PROPIAS FIGURAS!

CON ESTAS PLANTILLAS PUEDES CREAR FIGURAS TRIDIMENSIONALES. SOLO TIENES QUE COPIAR LA PLANTILLA, CORTAR Y PEGAR SUS LADOS. ¡INTÉNTALO!

CILINDRO

CONO

CUBO

PIRÁMIDE

PRISMA RECTANGULAR

 

¡A PRACTICAR!

1. ¿CÓMO SE LLAMAN ESTOS INSTRUMENTOS?

SOLUCIÓN
TRANSPORTADOR.

SOLUCIÓN
REGLA.

SOLUCIÓN
ESCUADRA.

SOLUCIÓN
COMPÁS.

SOLUCIÓN
CARTABÓN.

 

2. UNE LOS PUNTOS DEL MISMO COLOR EN ESTA CUADRÍCULA. UTILIZA TU REGLA O COMPÁS PARA CREAR LAS FIGURAS.

  • LOS PUNTOS VERDES FORMAN UN TRIÁNGULO.
  • LOS PUNTOS ROJOS FORMAN UN CUADRADO.
  • LOS PUNTOS AZULES FORMAN UN RECTÁNGULO.
  • EL PUNTO AMARILLO ES EL CENTRO DE UN CÍRCULO.

SOLUCIÓN

 

CAPÍTULO 1 / TEMA 5

Potencias

La potencia es una expresión matemática en la que un número denominado base está elevado a un exponente, el cual indica las veces que la base debe multiplicarse por si misma. Este tipo de operación tiene múltiples aplicaciones en los cálculos combinados y en una forma especial de escribir números: la notación científica.

¿Qué es una potencia?

La potenciación es una operación matemática compuesta por dos partes principales: la base y el exponente.

Como podemos observar, el exponente se escribe en la parte superior derecha de la base y su tamaño es mucho menor.

El exponente de una potencia indica cuántas veces se debe multiplicar a la base por si misma. La potencia es el producto de esa multiplicación.

Por ejemplo:

Una potencia es una multiplicación sucesiva de la base por si misma. Por ejemplo si el exponente fuera 6 y la base 5, esta última se repetiría exactamente 6 veces dentro de la multiplicación, es decir:

 56 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5.

Resolver potencias

Al calcular una potencia debemos saber que el número correspondiente a la base se va a repetir sin alterarse en todas las multiplicaciones según indique el exponente. Por lo tanto, cuando el número del exponente sea grande, se deben resolver las multiplicaciones de forma separada. Esto quiere decir que se comienza a resolver el primer producto y luego el resultado se multiplica nuevamente por la base y así sucesivamente hasta obtener el resultado. Por ejemplo:

En este caso la base de esta potencia es 5 y se multiplica por si misma las veces que indica el exponente. Como el exponente es 3, se debe multiplicar el 5 tres veces por si mismo. Se recomienda resolver el primer producto 5 × 5 y luego volver a multiplicar por 5 al resultado.

Algunas propiedades de la potencia

Existen algunos casos en las potencias que cumplen con ciertas propiedades. Algunas de ellas son:

Exponente cero

Cuando el exponente es 0 (cero), la potencia siempre va a ser igual a 1 (uno). Esto sucede con cualquier número como base diferente de cero. Por ejemplo: 70 = 1.

Exponente igual a uno

Cuando el exponente es 1 (uno), la potencia siempre va a ser igual al número perteneciente a la base. Por ejemplo: 81 = 8.

Base igual a 10

Cuando la base de una potencia es 10 (diez), la potencia va a ser igual a la unidad  seguida de tantos ceros como indique el exponente. Por ejemplo: 106 = 1.000.000. 

¿Sabías qué?
Cuando el exponente de una potencia es igual a uno, a menudo se escribe solo el valor de la base y se omite al exponente.

Elementos de la potencia

Los elementos de la potencia son los siguientes:

Base: es el número que se multiplica por si mismo las veces que indique el exponente.
Exponente: es el número que indica las veces en las se tiene que multiplicar la base por si misma. También se lo denomina índice.
Potencia: es el resultado.

¿Cómo leer una potencia?

La manera correcta es leer primero el número de la base, luego se dice la expresión “elevado a la” y por último se lee el valor del exponente en números ordinales (cuarta, quinta, sexta, etc.). De manera resumida se debe seguir la siguiente estructura:

Base + “elevado a la” + exponente

La expresión 34 se lee como “tres elevado a la cuarta“.

Otros ejemplos:

85 = ocho elevado a la quinta.

49 = cuatro elevado a la novena.

17 = uno elevado a la séptima.

Exponentes particulares

Existen dos exponentes que particularmente se leen de forma distinta al restos. Estos son el dos y el tres.

  • Cuando el exponente es 2, se dice que el número de la base está elevado al cuadrado. Por ejemplo: 42 se lee “cuatro elevado al cuadrado”.
  • Cuando el exponente es 3, se dice que el número de la base está elevado al cubo. Por ejemplo: 33 se lee “tres elevado al cubo”.

¿Sabías qué?
Si la base es 1, sin importar el exponente,  la potencia siempre va a ser igual a 1.

Cálculo de potencias

Como vimos anteriormente, el cálculo de una potencia se realiza al multiplicar la base según indique el exponente. Sin embargo, hay ejercicios que contienen otras operaciones además de la potencia.

Suma o resta de un número y una potencia

En estos casos se resuelve primero la potencia y luego se resuelve la suma o resta.

Observemos el siguiente caso:

82 − 4

Lo primero que debemos resolver es la potencia; es decir, resolver  82:

82 = 8 × 8 = 64

Luego se sustituye el valor de la potencia en la expresión inicial y se resuelve:

64 − 4 = 60

De esta forma se obtiene que:

82 − 4 = 60

 

Paréntesis con suma o resta

Cuando la base de una potencia se encuentra entre paréntesis, lo primero que debemos resolver es la operación que se encuentra dentro del paréntesis, posteriormente se resuelve la potencia del resultado obtenido.

Observemos el siguiente caso:

(6 + 2)3 

Lo primero es resolver la operación dentro del paréntesis:

6 + 2 = 8

Luego se reemplaza el resultado obtenido en la operación ubicada dentro del paréntesis:

(8)3 

Al resolver dicha potencia obtenemos el resultado del problema:

(8)3 = 8 × 8 × 8 = 512

De esta forma tenemos que:

(6 + 2)3  = 512

Conocer las propiedades de las potencias permite resolver problemas de este tipo de forma rápida. Por ejemplo, si tenemos (100 + 93)0 podemos responder rápidamente que el resultado es 1 sin realizar ningún cálculo. Esto se debe a que una de las propiedades indica que la potencia de todo número diferente de cero que tenga exponente cero va a ser igual a uno.

¡A practicar!

1. Resuelve las siguientes potencias.

a. 5^{3}

b. 7^{4}

c. 2^{6}

d. 4^{5}

e. 5^{0}

f. 9^{2}

g. 2^{1}

RESPUESTAS

a. 5^{3}= 125

b. 7^{4}= 2.401

c. 2^{6} = 64

d. 4^{5}= 1.024

e. 5^{0}= 1

f. 9^{2}= 81

g.2^{1} = 2

2. Escribe cómo deberían leerse las siguientes potencias.

a. 8^{7}

b. 3^{4}

c. 4^{3}

d. 9^{5}

e. 6^{6}

f. 1^{2}

RESPUESTAS

a. 8^{7} = ocho elevado a la séptima.

b. 3^{4} = tres elevado a la cuarta.

c. 4^{3} = cuatro elevado al cubo.

d. 9^{5} = nueve elevado a la quinta.

e. 6^{6} = seis elevado a la sexta.

f. 1^{2} = uno elevado al cuadrado.

3. Resuelve los siguientes cálculos.

a. 5^{2}+9

b.\left ( 15-3 \right )^{1} 

c. \left ( 2\times 5 \right )^{3}

RESPUESTAS

a. 5^{2}+9= 25 + 9 = 34

b. \left ( 15-3 \right )^{1}= (12)^{1} = 12

c. \left ( 2\times 5 \right )^{3}= (10)^{3} = 1.000

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo destacado “Potenciación: operaciones de exponentes”

El siguiente artículo ayuda a conocer cómo leer y resolver las operaciones básicas de las potencias. De igual forma, explica sus propiedades.

VER

Artículo destacado “Ejercicios de potenciación”

Este artículo está enfocado en la forma de resolver problemas relacionados con las potencias a través del empleo de sus propiedades.

VER

CAPÍTULO 5 / TEMA 6

Aplicación de la geometría

La geometría se encuentra inmersa dentro de diferentes ciencias y situaciones de la vida. Muchos desarrollos de la actualidad no se habrían logrado sin los aportes de la geometría. La astronomía, la computación y la cartografía son algunos de los muchos campos donde la geometría es empleada. 

Cálculo de área de una superficie

Para el cálculo de superficies usamos las fórmulas de área de las principales figuras geométricas. Las principales fórmulas son las siguientes:

Nombre Figura Área
Cuadrado \boldsymbol{A = l^{2}}

 

Donde:

A = área

l = lado
Rectángulo \boldsymbol{A = a\times b}

 

Donde:

A = área

a = altura

b = base
Triángulo \boldsymbol{A = \frac{b\times h}{2}}

 

Donde:

A = área

b = base

h = altura
Rombo \boldsymbol{A = \frac{D\times d}{2}}

 

Donde:

A = área

D = diagonal mayor

d = diagonal menor
Paralelogramo \boldsymbol{A = b\times h}

 

Donde:

A = área

b = base

h = altura
Trapecio \boldsymbol{A = \left (\frac{a+ b}{2} \right )\times h}

 

Donde:

a = base menor

b = base mayor

h = altura
Círculo \boldsymbol{A = \pi \times r^{2}}

 

Donde:

A = área

π = número pi

r = radio
Polígono regular \boldsymbol{A = \frac{n\times b\times Ap}{2}}

 

Donde:

A = área

n = número de lados regulares

b = longitud de un lado

Ap = apotema

Las figuras compuestas

Una figura compuesta es aquella que está formada por dos o más figuras geométricas más simples. Para calcular el área de estas figuras se suelen calcular las áreas de las figuras más simples por separado y la sumatoria de estas será el área total de la figura. Por otra parte, para el cálculo de perímetro suelen usarse ecuaciones trigonométricas, y teoremas como el de Pitágoras para calcular las longitudes de los lados de la figura.

Ejercicios

– Una cancha de fútbol mide 105 metros de largo y 68 metros de ancho. ¿Cuántos metros cuadrados de césped artificial se necesitarían para cubrir toda la cancha?

Es un problema de área porque al calcular los metros cuadrados de césped artificial que se necesitan, se calcula la superficie. Como todos sabemos, una cancha de fútbol tiene una forma rectangular, por lo tanto se debe aplicar la fórmula del rectángulo:

A = a\times b
A = 105\, m\times 68\, m
A = \mathbf{7.140\, m^{2}}

Por lo tanto, para cubrir toda la cancha se necesitarían 7.140 m2 de césped artificial.

– La siguiente figura muestra el plano de una casa. ¿Cuántos metros cuadrados de cerámica se necesitan para cubrir el piso?

El piso de la casa forma una figura compuesta. Por lo tanto, antes de resolver el problema debemos separarlo en formas geométricas más simples:

La figura 1 corresponde a un rectángulo y la figura 2 a un cuadrado (ya que sus cuatro lados miden lo mismo). El área total del piso será igual a:

A_{t} = A_{1}+A_{2}

Donde:

At = área total del piso

A1 = área de la figura 1

A2 = área de la figura 2

Por lo tanto, para calcular el problema tenemos que resolver las áreas por separado:

En la figura 1 se cumple que:

A_{1} = a\times b

A_{1} = 13\, m\times 5\, m

A_{1} = 65\, m^{2}

En la figura 2 se cumple que:

A_{2} = l^{2}

A_{2} = (10\, m)^{2}

A_{2} = 100\, m^{2}

Al reemplazar los valores de A1 y A2 se tiene que:

A_{t} = 65\, m^{2}+100\, m^{2}

A_{t} = \mathbf{165\, m^{2}}

Por lo tanto, el piso de la casa necesita 165 m2 de cerámica para cubrirlo.

¿Sabías qué?
La hectárea (ha) es una medida de área que equivale a 10.000 m2.

Cálculo de volumen de un cuerpo

Todo cuerpo ocupa un lugar en el espacio. Se denomina volumen. Como ya sabemos, los principales cuerpos geométricos se calculan a través de fórmulas:

Nombre Figura Fórmula de volumen
Cubo \boldsymbol{V=l^{3}}

 

 

Donde:

V = volumen

l = lado
Prisma \boldsymbol{V = A_{b}\times h}

 

 

Donde:

V = volumen

Ab = área basal

h = altura
Pirámide \boldsymbol{V = \frac{A_{b}\times h}{3}}

 

 

Donde:

V = volumen

Ab = área basal

h = altura
Cilindro \boldsymbol{V =\pi \times r^{2}\times h}

 

 

Donde:

V = volumen

π = número pi (3,14…)

r = radio

h = altura
Cono \boldsymbol{V =\frac{\pi \times r^{2}\times h}{3}}

 

 

Donde:

V = volumen

π = número pi (3,14…)

r = radio

h = altura
Esfera \boldsymbol{V =\frac{4}{3}\times \pi \times r^{3}}

 

 

Donde:

V = volumen

π = número pi (3,14…)

r = radio

En el caso de las pirámides y los primas, las formas de sus bases pueden ser diferentes.

Estas ecuaciones pueden aplicarse a figuras similares para resolver diferentes problemas.

Ejercicios

– Calcula el volumen de la Gran Pirámide de Guiza, cuya base es un cuadrado de aproximadamente 230 m cada lado y de altura mide aproximadamente 186 m.

La fórmula para calcular el volumen de una pirámide es la siguiente:

V = \frac{A_{b}\times h}{3}

Lo primero es calcular el valor de Ab que es el área de la base. En este caso, su base es un cuadrado de 230 metros de cada lado. Por lo tanto:

A_{b} = l^{2}

A_{b} = (230\, m)^{2}

A_{b} = 52.900 \, m^{2}

Reemplazamos el valor del área de la base y el de la altura (que es 186 m) en la fórmula:

V = \frac{52.900\, m^{2}\times 186\, m}{3}

V = \frac{9.839.400\, m^{3}}{3}

V = \mathbf{3.279.800\, m^{3}}

El volumen aproximado de la pirámide de Guiza es de 3.279.800 m3 (si se considera la pirámide como un cuerpo rígido sin cámaras interiores).

– Calcula el volumen de una canica de 2 centímetros de diámetro.

La forma de una canica es igual a la de una esfera por lo tanto se utiliza la siguiente ecuación:

V =\frac{4}{3}\times \pi \times r^{3}

El problema nos dice que el diámetro de la canica es de 2 cm, pero la fórmula está expresada en función del radio. Como ya sabemos, el radio es la mitad del diámetro, por lo tanto, el radio de la canica es de 1 cm.

V =\frac{4}{3}\times \3,14 \times (1\, cm)^{3}

V =\frac{4}{3}\times \3,14 \times 1\, cm^{3}

V =\mathbf{4,18\, cm^{3}}

La leyenda de la corona

Hay una leyenda popular que cuenta cómo el rey Hieron II de Siracusa le encomendó al reconocido matemático griego Arquímedes que comprobara si la corona que había mandado a hacer era de oro puro o no. Arquímedes pasó mucho tiempo sin resolver el misterio y estaba frustrado hasta que un día, al meterse a la bañera, se percató que el agua que se desplazaba tenía el mismo volumen de su cuerpo. Enseguida dio un salto al tiempo que decía la frase “¡Eureka!”.

Posteriormente le demostró al rey que el volumen desplazado por la corona debía ser el mismo que el desplazado por un lingote de oro puro de la misma masa. Cuando realizó el experimento, la cantidad de agua desplazada no fue la misma y concluyó que la corona no era de oro puro.

Otros usos

Desde su aparición, la geometría ha permitido al ser humano destacarse en varios campos como la arquitectura, la escultura, la pintura y, por su puesto, en las ciencias aplicadas como la física o la química. Disciplinas como la ingeniería aplican la geometría para el cálculo de ángulo y otras medidas. La química emplea la geometría para entender las estructuras moleculares, la agrupación de los átomos y la forma de los cristales de algunos compuestos, entre otros usos.

En el ámbito de la cartografía y la agronomía, se aplica la geometría para determinar áreas, calcular perímetros y planos de terrenos. La astronomía y la computación son otras áreas que emplean conocimientos geométricos.

La geometría y la arquitectura

La arquitectura clásica no habría podido lograr obras de singular belleza o armonía sin hacer uso de conocimientos geométricos. En la actualidad, los arquitectos emplean la geometría para lograr estructuras que se vean bien estéticamente, que permitan un ahorro de materiales y un mejor aprovechamiento de los espacios.

¡A practicar!

1. Una fábrica de quesos compró una granja de 14.300 m2. ¿Cuáles son las medidas de la granja?

a) 150 m × 100 m
b) 130 m × 110 m
c) 40 m × 10 m
d) 280 m × 100 m

Solución
b) 130 m × 110 m

2. Un tablero de ajedrez mide 44 cm de alto y 44 cm de ancho, ¿cuál es el área del tablero?

a) 88 cm2
b) 1.936 cm2
c) 4.404 cm2
d) 3.854 cm2

Solución
b) 1.936 cm2

3. Una empresa inmobiliaria trabaja con propiedades que no superan los 20.000 m2. ¿Cuál de las siguientes propiedades no cumple con este requisito de la empresa inmobiliaria?

a) Casa de playa de 155 m de ancho por 84 m de alto.
b) Departamento en la ciudad de 18 m de ancho por 14 m de alto.
c) Cabaña en la montaña de 320 m de ancho por 124 m de alto.
d) Chalet de 24 m de ancho por 20 m de alto.

Solución
c) Cabaña en la montaña de 320 m de ancho por 124 m de alto. El área de esta propiedad es de 39.680 m2, por lo tanto, supera los 20.000 m2 aceptados por la inmobiliaria.

4. Una pelota de fútbol tiene 22 cm de diámetro, ¿cuál es su volumen?

a) 2026,34 cm3
b) 44 cm3
c) 220 cm3
d) 5.572,45 cm3

Solución
d) 5.572,45 cm3

5. Una lata de tomates es cilíndrica y tiene una altura de 9 cm y un radio de 3 cm, ¿cuál es su volumen?

a) 384,35 cm3
b) 127,17 cm3
c) 954.44 cm3
d) 506,58 cm3

Solución
c) 254.34 cm3

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Los números ocultos en el universo”

El artículo trata de mostrar cómo la mayoría de los fenómenos del universo pueden explicarse a través de los números. También explica algunas formas geométricas que podemos encontrar en nuestro planeta.

VER

Enciclopedia “Nana y Enriqueta en el país de las matemáticas”

En este tomo, se platean los principales elementos de la geometría de una manera didáctica y sencilla. También se dan ejemplos y aplicaciones de la geometría.

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Artículo “Superficies de figuras geométricas”

El artículo plantea el cálculo de superficie de las principales figuras geométricas. También resuelve una serie de ejercicios y muestra al final algunos problemas propuestos.

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CAPÍTULO 4 / TEMA 3

ORDEN DE FRACCIONES

Si tienes que elegir entre 1/2 de pizza o 3/4 de pizza, ¿cuál elegirías? Para responder esta pregunta es importante que sepas comparar distintos tipos de fracciones. Estas expresiones matemáticas constan de un numerador y un denominador, y según la relación entre ellos pueden ser mayores o menores que otras. ¡Aprende cómo ordenar fracciones!

Una fracción es una división entre dos números: un numerador y un denominador. El denominador indica en cuantas partes se divide la unidad y el numerador señala cuántas de esas partes se han de tomar. Si el numerador es menor que el denominador, la fracción es propia; pero si es mayor al denominador, la fracción es impropia.

Ubicación de fracciones en la recta numérica

Fracciones propias

Las fracciones propias son aquellas que tienen el numerador menor al denominador, por lo que siempre son menores a 1. Para ubicar estas fracciones en la recta numérica dividimos a la unidad en tantos segmentos como indique el denominador de la fracción que queremos representar. Luego, contamos tantos espacios como indique el numerador a partir del cero.

– Ejemplo:

La fracción \frac{4}{5} es propia porque su numerador es menor al denominador (4 < 5).

Para representarla en la recta dividimos el segmento entre el 0 y el 1 en 5 espacios (denominador). Después contamos 4 espacios (numerador) y ubicamos la fracción.

Fracciones impropias

Las fracciones impropias son aquellas cuyo numerador es mayor al denominador, por lo que siempre son mayores a 1. Para representar este tipo de fracciones en la recta numérica tenemos que transformarlas a números mixtos.

¿Qué es un número mixto?

Es aquel que tiene una parte entera y una parte fraccionaria. Por ejemplo:

\boldsymbol{2\frac{1}{2}=} 

Este número mixto se lee “dos enteros y un medio”.

¿Cómo transformar una fracción impropia a un número mixto?

Realiza la división entre el numerador y el denominador. Al terminar con la cuenta, el cociente de la división indica el entero del número mixto; el resto junto al divisor van a conformar la parte fraccionaria: el resto será el numerador y el divisor será el denominador.

– Ejemplo:

¿Cuál es el número mixto equivalente a la fracción \frac{5}{2}?

Por lo tanto:

\boldsymbol{\frac{5}{2}=2\frac{1}{2}}

 

De este modo, para poder representar el número mixto 2\frac{1}{2} en la recta numérica consideramos el número entero, en este caso el 2, y a partir de este seguimos los mismos pasos que en las fracciones propias: dividimos el segmento entre el 2 y el 3 en 2 segmentos iguales (denominador), después contamos un espacio (numerador) y ubicamos la fracción.

VER INFOGRAFÍA

¡Es tu turno!

Representa las siguientes fracciones en una recta numérica.

  • \frac{7}{5}
Solución

Como la fracción es impropia, la transformamos a número mixto.

\boldsymbol{\frac{7}{5}=1\frac{2}{5}}

  • \frac{1}{5}
Solución

  • \frac{8}{10}
Solución

  • \frac{9}{6}
Solución

Como la fracción es impropia, la transformamos a número mixto.

\boldsymbol{\frac{9}{6}=1\frac{3}{6}}

 

Las fracciones representan una parte del todo. No solo son importantes en el ámbito escolar, sino que son muy utilizadas en la vida diaria. Usamos fracciones cada vez que partimos un pastel, cuando pedimos media docena de empanadas o cuando cortamos la mitad de un pan. También vemos fracciones en las etiquetas de los productos, por ejemplo, 1/2 litro de jugo.

comparación de fracciones

Cuando comparamos fracciones, determinamos cuál es mayor o menor que otra. Para esto, debemos tomar en cuenta sus elementos y ver si los denominadores son iguales o si sus numeradores son iguales.

Comparar fracciones con igual denominador

Entre dos fracciones con igual denominador será mayor la fracción que tenga mayor numerador.

– Ejemplo:

\boldsymbol{\frac{8}{3}>\frac{6}{3}}

Observa que los denominadores son iguales (3 = 3) pero los numeradores no; y como 8 > 6, la fracción 8/6 es mayor que 6/3.

Comparar fracciones con igual numerador

Entre dos fracciones con igual numerador será mayor la fracción que tenga menor denominador.

– Ejemplo:

\boldsymbol{\frac{12}{5}<\frac{12}{4}}

Observa que los numeradores son iguales (12 = 12) pero los denominadores no; y como 5 > 4, la fracción 12/4 es mayor que 12/5.

Fracciones con distintos numeradores y denominadores

Cuando las dos fracciones tienen numeradores y denominadores diferentes, buscamos homogeneizar, es decir, encontrar fracciones equivalentes con igual denominador.

¿Cómo homogeneizar dos fracciones?

Para encontrar las fracciones equivalentes con igual denominador de unas fracciones seguimos estos pasos:

  1. Determinamos el mínimo común múltiplo de los denominadores. Ese será el denominador de las fracciones equivalentes.
  2. Encontramos el número por el que hay que multiplicar el numerador y el denominador de las fracciones.

– Ejemplo:

Homogeneiza las fracciones \boldsymbol{\frac{2}{3}} y \boldsymbol{\frac{3}{4}}. Luego compara.

1. Calculamos el m. c. m. de los denominadores 3 y 4.

2. Encontramos el número por el que hay que multiplicar el numerador y el denominador de las fracciones.

Como 3 × 4 = 12, entonces también multiplicamos el numerador por 4.

\frac{2}{3}=\frac{2\times 4}{12}=\boldsymbol{ \frac{8}{12}}

Como 4 × 3 = 12, entonces también multiplicamos el numerador por 3.

\frac{3}{4}=\frac{3\times 3}{12}=\boldsymbol{\frac{9}{12}}

 

Ahora es más sencillo comparar las fracciones, pues tenemos fracciones homogéneas por lo que seguimos los pasos anteriores: entre dos fracciones con igual denominador será mayor la fracción que tenga mayor numerador. Así que:

\boldsymbol{\frac{9}{12}>\frac{8}{12}} Como \frac{9}{8} es la fracción equivalente de \frac{3}{4}; y \frac{8}{12} es la fracción equivalente de \frac{2}{3}, podemos decir que:

\boldsymbol{\frac{3}{4}>\frac{2}{3}}

 

¿Sabías qué?
En el año 1800 a. C. el pueblo babilonio introdujo las fracciones.

Comparación de números mixtos

Entre dos números mixtos, será mayor aquel que tenga mayor parte entera. Por ejemplo:

\boldsymbol{2\frac{3}{4}<3\frac{5}{3}}

Pero si las partes enteras son iguales, comparamos la parte fraccionaria por medio de cualquier de los métodos aplicados anteriormente. Por ejemplo:

\boldsymbol{1\frac{4}{6}>1\frac{1}{6}}

Las dos partes entera son iguales (1 = 1), pero las partes fraccionarias no. Como ves, ambas son fracciones homogéneas porque los denominadores son iguales (6 = 6), así que comparamos los numeradores, y como 4 > 1, el número mixto 1\frac{4}{6} es mayor que 1\frac{1}{6}.

Un uso muy popular de las fracciones es cuando damos la hora. Por ejemplo, cuando decimos que son “las dos y media”, hacemos referencia a un número mixto en la que la parte entera es 2, y la parte fraccionaria es 1/2. También ocurre cuando decimos que “son las cinco y cuarto”, allí la parte entera es 5 y la parte fraccionaria es 1/4.

 

¡A practicar!

1. Representa las siguientes fracciones en la recta numérica.

  • \frac{4}{9}
Solución

  • \frac{9}{5}
Solución

\frac{9}{5}=1\frac{4}{5}

  • \frac{2}{10}
Solución

  • 6\frac{3}{5}
Solución

 

2. Compara los siguientes números mixtos.

  • 4\frac{1}{6} y 2\frac{1}{2}
Solución
4\frac{1}{6}>2\frac{1}{2}
  • 1\frac{7}{8} y 2\frac{2}{6}
Solución
1\frac{7}{8}<2\frac{2}{6}
  • 1\frac{1}{3} y 1\frac{2}{6}
Solución
1\frac{1}{3}=1\frac{2}{6} porque \frac{1}{3}=\frac{2}{6}
  • 1\frac{5}{6} y 1\frac{1}{2}
Solución
1\frac{5}{6}>1\frac{1}{2}
RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Partes y porciones”

En este artículo podrás ampliar la información sobre la comparación de fracciones por medio del método del común denominador (sin utilizar recta numérica).

VER

Enciclopedia “Enciclopedia de Matemáticas Primaria”

Con el Tomo 2 de esta enciclopedia podrás profundizar en el concepto de fracciones y su clasificación, así como en la comparación de fracciones y números mixtos.

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Artículo “Clasificación de fracciones”

En este artículo podrás encontrar más información sobre la clasificación de fracciones.

VER

CAPITULO 5 / TEMA 5

Circunferencia y círculo

El círculo es la superficie contenida dentro de una circunferencia. En algunas ocasiones suelen confundirse estos términos por error, pero lo cierto es que gozan de características únicas que desde tiempos antiguos han cautivado a los matemáticos. Su conocimiento es importante para entender conceptos como el número pi.

Diferencia entre la circunferencia y el círculo

Aunque son conceptos que están estrechamente relacionados, circunferencia y círculo son dos cosas geométricamente diferentes. La circunferencia es la línea o perímetro que bordea y delimita la superficie de un círculo. Todos los puntos de la circunferencia se encuentran a una misma distancia del centro. El círculo, por otra parte, es una figura geométrica que está delimitada por una circunferencia.

¿Sabías qué?
El matemático griego Eratóstenes de Cirene fue la primera persona en calcular la circunferencia de la Tierra en el 230 a. C.

En este sentido, cuando hablamos de circunferencia nos referimos a una curva cerrada y cuando hablamos de círculo nos referimos a una superficie o área que está contenida dentro de una circunferencia.

Instrumento muy útil

Desde su invención en el año 200 a. C. por parte de los chinos, el compás ha sido uno de los inventos más usados en la geometría y en otras áreas. Su utilidad ha ido más allá del trazado de arcos y circunferencias, también permite transportar medidas y puede emplearse en la construcción de polígonos y en el cálculo de distancias empleado por la navegación.

Elementos de la circunferencia

Los elementos principales de una circunferencia se detallan a continuación:

  • Centro: es el punto que se ubica a la misma distancia de todos los puntos que conforman la circunferencia.
  • Radio: es el segmento de recta que une al centro con cualquiera de los puntos de la circunferencia.
  • Cuerda: es la recta que une dos puntos de la circunferencia.
  • Diámetro: es el segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro. Su longitud es igual al doble del radio.
  • Semicircunferencia: es la mitad de la circunferencia. El diámetro divide a la circunferencia en dos semicircunferencias.
  • Arco: es una porción de la circunferencia que se encuentra delimitada por una cuerda. Generalmente, a cada cuerda se le asocia el menor arco que delimita.

Relaciones entre rectas y circunferencias

Entre una circunferencia y una recta pueden darse tres tipos diferentes de relación:

  • Recta exterior: es aquella recta que nunca corta a la circunferencia.
  • Recta tangente: es aquella recta que corta a la circunferencia en uno de sus puntos.
  • Recta secante: es aquella recta que corta a la circunferencia en dos de sus puntos.

VER INFOGRAFÍA

Desde la Antigüedad, los geómetras se enfocaron en calcular la longitud de la circunferencia. Esta línea curva cerrada sin importar su tamaño siempre mide algo más que el triple de su diámetro. En este contexto, se emplea el número pi (π), un número con infinitos decimales que se obtiene al dividir la longitud de la circunferencia por su diámetro.

Trazado de circunferencias

Para trazar circunferencias empleamos el compás y debemos seguir los siguientes pasos:

  1. Conocer la distancia que hay desde el centro de la circunferencia hasta alguno de sus puntos (el radio). Para esto puedes usar una regla y abrir el compás a dicha distancia. Otra forma de hacerlo es trazar el segmento de recta igual a la longitud del radio deseado, colocar la aguja de acero sobre uno de los extremos y abrir el compás hasta que la mina de grafito toque el otro extremo.
  2. Apretar con suavidad la aguja de acero contra el papel para que no se mueva y girar el otro brazo de forma firme para trazar la circunferencia.
  3. Marcar el centro de la circunferencia que será el mismo punto donde se apoyó la aguja de acero durante el trazado de la circunferencia.

Área del círculo

Para calcular el área de un círculo simplemente necesitamos conocer la longitud de su radio. La fórmula es la siguiente:

A=\pi \times r^{2}

Donde:

A = área del círculo
π = número pi
r = longitud del radio

Como el número pi (π) es un número irracional, sus decimales son infinitos (3,141592653589793238…), por lo tanto, para efectos de cálculo de área se suele aproximar a 3,14.

¿Sabías qué?
Existe otra fórmula para calcular el área del círculo en función de su diámetro: A = \frac{\pi }{4}\times d^{2}.

– Calcula el área del siguiente círculo.

De acuerdo a la figura, la longitud del radio es 5 cm, por lo tanto, podemos aplicar la fórmula de área.

A=\pi \times r^{2}

A=3,14 \times (5 \, cm)^{2}

A=3,14 \times 25 \, cm^{2}

A=\mathbf{78,5 \, cm^{2}}

El sistema sexagesimal es uno de los sistemas usados para medir ángulos y tiempo. En el caso de los ángulos, el sistema emplea una circunferencia para establecer sus unidades de medición. Un grado (°) equivale a la 360 parte de una circunferencia, un minuto (′) equivale a la 60 parte de un grado y un segundo (″) equivale a la 60 parte de un minuto.

¡A practicar!

1. Calcula el área de los siguientes círculos.

a) 

Solución
A = 50,24 cm2

b)

Solución
A = 254,34 cm2

c)

Solución
A = 12,56 m2

d)

Solución
A = 314 mm2

e)

Solución
A =153,86 cm2

2. ¿Cuánto debe medir el radio de una circunferencia para que su área sea igual a 113,04 cm2?
a) 5 cm
b) 3 cm
c) 6 cm
d) 11 cm

Solución
c) 6 cm

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Circunferencia”

El artículo explica los elementos principales de la circunferencia y la relación que tiene esta con el número pi. En el artículo también se explica como calcular la longitud de una circunferencia y determinar el área de un círculo.

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Artículo “Círculo”

El artículo plantea de forma resumida cada uno de los elementos de un círculo como el semicírculo y el segmento circular. También presenta ilustraciones de cada uno para explicar el concepto de manera más clara.

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Infografía “Número pi (π)”

En esta infografía se explica más a detalle qué es el número pi, su desarrollo a través del tiempo y las diferentes aplicaciones del mismo.

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CAPÍTULO 1 / TEMA 4

Números decimales

Dentro del universo de los números nos encontramos con un tipo muy especial: el de los decimales. Estos números sirven para representar cantidades menores a la unidad. Sus aplicaciones son muchas y son muy importantes, sobre todo en el ámbito de las mediciones porque permiten establecer valores más exactos.

Características de los números decimales

Los números decimales son los que se encuentran entre dos números enteros. Por ejemplo, entre el 1 y el 2 se ubican: 1,1; 1,2; 1,3…

Este tipo de números no llega a conformar un nuevo entero, por lo tanto su composición es de dos partes: la entera y la decimal. Para dividir ambas partes del número se utiliza la coma.

En algunos países se emplea el punto en vez de la coma para separar a los números decimales de los enteros.

Distintos tipos de decimales

Los números decimales se dividen en racionales e irracionales. Los irracionales son números en los que sus cifras decimales son infinitas y no siguen un patrón. Un ejemplo de estos números es el número pi (π). Los racionales, por su parte, pueden ser expresados en forma de fracción y se dividen en exactos, periódicos puros y periódicos mixtos.

  • Los números decimales exactos son los que tienen un final, es decir; que la parte decimal del número no es infinita. Por ejemplo: 24,657.
  • Los números decimales periódicos tienen una parte decimal que contiene una o más cifras que se repiten infinitamente, a esta parte decimal se conoce como período. Cuando dicho período está compuesto por una cifra que se repite infinitamente se lo denomina periódico puro. Por ejemplo: 6,8888… Por otro lado, cuando la parte decimal está compuesta por un número que no se repite y otro que sí se repite se lo denomina periódico mixto. Por ejemplo: 4,287878787…

VER INFOGRAFÍA

¿Cómo escribir un número periódico?

Para escribir un número decimal periódico (sea puro o mixto), se debe escribir un arco encima de la parte periódica del número para indicar que se repite infinitamente.

– Por ejemplo:

Decimal puro: 5,222...=\boldsymbol{5,\widehat{2}}

Decimal mixto: 8,1646464...=\boldsymbol{8,1\widehat{64}}

¿Sabías qué?
Hay infinitos números decimales entre dos números enteros.

Lectura de números decimales

Para poder leer números decimales debemos tener presente la clasificación de cada cifra según su valor posicional; es decir, tenemos que recordar que las cifras decimales de los números decimales, de izquierda a derecha después de la coma, se denominan: décima, centésima y milésima. Estos serían valores posicionales de la parte decimal del número.

A la hora de leerlo podemos expresar la parte entera seguida de la preposición “con” y luego la parte decimal. Para esta última se lee el número que se forma con las cifras decimales y se asigna el valor posicional de la última cifra decimal. Por ejemplo, para leer el número 6,718 debemos hacerlo de la siguiente manera:

6,718 → “Seis con setecientas dieciocho milésimas”.

Otra manera posible es: leer la parte entera seguida de la palabra “coma” y luego el número que conforma la parte decimal, sin expresar el valor de la posición. Por ejemplo:

6,718 → “Seis coma setecientos dieciocho”.

Cero a la izquierda de la coma

Cuando un decimal tiene un cero a la izquierda de la coma quiere decir que es menor a la unidad y se suele leer solo la parte decimal de acuerdo a su última cifra. Por ejemplo:

0,45 → “Cuarenta y cinco centésimas”.

Otra forma es decir la palabra “cero” seguida de la palabra “coma” y luego el número que conforma la parte decimal, sin expresar el valor de la posición.

0,45 → “Cero coma cuarenta y cinco”.

Para tener en cuenta

Los ceros que están en la última cifra de la parte decimal del número pueden o no leerse.

5,20 = 5,2

Esto se debe a que veinte centésimas es equivalente (es decir que vale lo mismo) a dos décimas, ya que veinte centésimas son veinte partes de cien (20/100) y dos décimas son dos partes de diez (2/10).

Por lo tanto, el número del ejemplo puede leerse de estas dos maneras:

5,20 → “Cinco con veinte centésimas”.

5,2 → “Cinco con dos décimas”.

Redondeo de decimales

En primer lugar, debemos saber que el término “redondear” aplicado a los números decimales quiere decir: aproximar un número a otro (menor o mayor) que tenga menos cifras decimales para lograr reducir la cantidad y poder determinar de forma más fácil la ubicación del número.

– Por ejemplo:

  • 5,649 se puede redondear a 5,65.
  • 8,78 se puede redondear a 8,8.
  • 15,86 se puede redondear a 15,9.
  • 42,39 se puede redondear a 42,4.

Reglas para el redondeo de decimales

  • Cuando la última cifra decimal es 0, 1, 2, 3 o 4: el número se debe redondear hacia abajo (uno menor). Por lo tanto, se quita la última cifra del número. Por ejemplo: 7,6281 se puede redondear a 7,628.
  • Cuando la última cifra decimal es 5, 6, 7, 8 o 9: el número se debe redondear hacia arriba (uno mayor). Por lo tanto, se le quita la última cifra al número y se aumenta +1 la penúltima. Por ejemplo: 4,58 se puede redondear a 4,6.

¡A practicar!

1. Escribe en letras como se leerían los siguientes números.

  • 64,15
  • 21,4
  • 9,285
  • 7,406

Solución
  • 64,15 → sesenta y cuatro con quince centésimas. / sesenta y cuatro coma quince.
  • 21,4 → veintiuno con cuatro décimas. / veintiuno coma cuatro.
  • 9,285 → nueve con doscientos ochenta y cinco milésimas. / nueve coma doscientos ochenta y cinco.
  • 7,406 → siete con cuatrocientas seis milésimas. / siete coma cuatrocientos seis.

 

2. Ubica la coma donde corresponda.

  • Ocho con trescientas once milésimas → 8311

Solución
8,311
  • Cincuenta y cuatro centésimas → 054
Solución
,054
  • Veintisiete con setenta y siete centésimas → 2777
Solución
27,77

 

3. Escribe en letras los números decimales.

a. 15,02

b. 6,616

c. 71,25

d. 822,3

Solución

a. 15,02 → “quince con dos centésimas.”

b. 6,616 → “seis con seiscientas dieciséis milésimas.”

c. 71,25 → “setenta y uno con veinticinco centésimas.”

d. 822,3 → “ochocientos veintidós con tres décimas.”

 

4. Lee y escribe los números que correspondan.

a. Veintiuno con cinco décimas.

b. Doce con cuarenta y cinco centésimas.

c. Ciento veinte con trescientos veinte milésimas.

d. Setenta y cinco centésimas.

Solución

a. 21,5

b. 12,45

c. 120,320

d. 0,75

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo destacado “Números decimales”

El siguiente artículo te permitirá conocer más acerca de los números decimales:

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Video “Aproximación de decimales”

El video se enfoca en cómo calcular aproximaciones de números decimales a través de varios ejercicios que facilitan su comprensión.

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CAPÍTULO 5 / TEMA 4

Cuerpos geométricos

Uno de los objetos de estudio de la geometría son los cuerpos geométricos. Una pelota de fútbol, un cono de helado o un dado son algunos objetos cotidianos que podemos asociar con estos cuerpos, los cuales se caracterizan por ocupar volumen en el espacio y estar formados con figuras geométricas.

Principales cuerpos geométricos

Los cuerpos geométricos son infinitos y cada uno posee características propias. Los más comunes son el cubo, el prisma, la pirámide, el cilindro, el cono y la esfera. Ellos se clasifican en poliedros y cuerpos redondos.

  • Los poliedros son cuerpos geométricos. Todas sus caras son planas. Estos, a su vez, pueden ser regulares si sus caras son todas iguales o irregulares cuando son diferentes. Un ejemplo de poliedro es el cubo.
  • Los cuerpos redondos son cuerpos geométricos con al menos una cara curva, como sucede con el cilindro.

VER INFOGRAFÍA

¿Sabías qué?
Al cubo también se lo denomina hexaedro regular.

Elementos de los cuerpos geométricos

En la mayoría de los cuerpos geométricos se pueden identificar los siguientes elementos.

  • Cara: corresponde a cada una de las superficies planas que delimitan al cuerpo geométrico. Pueden ser caras basales, las que sirven de apoyo (base) al cuerpo en el plano, o caras laterales, que corresponden a las de los costados.
  • Vértice: es el punto en el que se juntan tres o más caras.
  • Arista: es el segmento de línea que se forma cuando dos caras se juntan.
La esfera y sus curiosidades

La esfera es un cuerpo geométrico que no posee ni caras, ni aristas ni vértice. Y se caracteriza porque todos los puntos de su superficie están a la misma distancia del centro.

Volumen de cuerpos geométricos

De acuerdo a su tipo, cada cuerpo geométrico tiene características propias que permiten calcular su volumen a través de fórmulas.

Nombre Figura Fórmula de volumen
Cubo \boldsymbol{V=l^{3}}

 

Donde:

V = volumen

l = lado
Prisma \boldsymbol{V = A_{b}\times h}

 

Donde:

V = volumen
Ab = área basal

h = altura
Pirámide \boldsymbol{V = \frac{A_{b}\times h}{3}}

 

Donde:

V = volumen

Ab = área basal

h = altura
Cilindro \boldsymbol{V =\pi \times r^{2}\times h}

 

Donde:

V = volumen

π = número pi (3,14…)

r = radio

h = altura
Cono \boldsymbol{V =\frac{\pi \times r^{2}\times h}{3}}

 

Donde:

V = volumen

π = número pi (3,14…)

r = radio

h = altura
Esfera \boldsymbol{V =\frac{4}{3}\times \pi \times r^{3}}

 

Donde:

V = volumen

π = número pi (3,14…)

r = radio

h = altura

VER INFOGRAFÍA

– Calcula el volumen de este cubo.

Un cubo se caracteriza porque todos sus lados miden lo mismo, de manera que al conocer solo la medida de un lado se puede aplicar la fórmula:

V=l^{3}

V=(3\, cm)^{3}

V=\mathbf{27\, cm^{3}}

– Calcula el volumen del siguiente cilindro.

Según la fórmula, los únicos datos que se necesitan son el radio del cilindro y su altura. De la imagen se obtienen los datos:

V =\pi \times r^{2}\times h

V =\pi \times (2\, cm)^{2}\times 6\, cm

En este caso observa que el radio está elevado al cuadrado, por lo tanto, al resolver esa potencia las unidades también se verán afectadas, por lo que quedarán centímetros cuadrados:

V =\pi \times 4\, cm^{2}\times 6\, cm

El número pi (π) es un número irracional, por lo cual es infinito. Para efectos de estos cálculos, usaremos solamente 2 de sus decimales, es decir, lo aproximamos a 3,14.

V =3,14 \times 4\, cm^{2}\times 6\, cm

Al resolver este producto se obtiene el volumen del cilindro.

V =\mathbf{75,36\, cm^{3}}

¿Sabías qué?
Cuando se usan múltiplos o submúltiplos del metro, el volumen siempre se expresa en unidades cúbicas: m3, cm3, mm3, km3, etc.
Los prismas son poliedros cuyos lados laterales son paralelogramos y con dos caras paralelas e iguales denominadas bases. Reciben su nombre de acuerdo a la forma de su base, por ejemplo, si su base es un triángulo, se denomina prisma triangular, si es un pentágono se denomina prisma pentagonal y así sucesivamente. Un paralelepípedo es un prisma cuya base es un paralelogramo.

Construcción de cuerpos geométricos

Los cuerpos geométricos tienen volumen y, por lo tanto, se pueden representar en tres dimensiones: largo, alto y ancho. Las imágenes a continuación son patrones que puedes usar para construir los cuerpos geométricos más comunes:

Cubo

Prisma rectangular

Pirámide

Cilindro

Cono

La construcción de cuerpos geométricos, además de su gran utilidad al momento de representar a estas figuras, permite trasladar estos conocimientos a otras áreas como la arquitectura y la ingeniería, en las cuales se realizan diseños a escalas. Conocer las diferentes fórmulas de cálculo y volumen de las figuras es fundamental para realizar operaciones más avanzadas.

¡A practicar!

1. Calcula el volumen de los siguientes cuerpos geométricos.

a)

      *La base es un rectángulo.

Solución
V = 133,33 cm3

b)

Solución
V = 64 cm3

c)

Solución
V = 904,32 cm3

d) 

Solución
V = 33,49 cm3

e)

Solución
V = 96 cm3

f)

Solución
V = 62,8 cm3

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Poliedros irregulares”

El artículo explica qué es un poliedro y qué caracteriza a los irregulares. También hace una breve explicación de los sólidos platónicos y muestra algunos ejemplos.

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Infografía “Cuerpos redondos”

La infografía explica de manera sencilla qué es un cuerpo redondo, sus características y su presencia en la vida cotidiana.

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Artículo “Volumen de figuras geométricas”

En este artículo destacado se explica qué es el volumen y cómo calcularlo en los diferentes cuerpos geométricos. También se plantean una serie de problemas resueltos y de ejercicios planteados.

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CAPÍTULO 1 / TEMA 6 (REVISIÓN)

SISTEMAS NUMÉRICOS | ¿QUÉ APRENDIMOS?

¿QUÉ SON LOS NÚMEROS?

LOS NÚMEROS SON EXPRESIONES GRÁFICAS DE UNA CANTIDAD. GRACIAS A ELLOS CONTAMOS JUGUETES, HORAS O EDADES. A LO LARGO DE LA HISTORIA LOS SERES HUMANOS HAN UTILIZADO DIFERENTES RECURSOS COMO PALOS Y PIEDRAS PARA CONTAR, HASTA LLEGAR A UTILIZAR LOS SÍMBOLOS DE LOS NÚMEROS TAL COMO LOS CONOCEMOS HOY: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Y 9.

LOS NÚMEROS SON NECESARIOS PARA EL HOMBRE PORQUE NOS PERMITEN LLEVAR A CABO UNA TAREA DIARIA: CONTAR.

TIPOS DE NÚMEROS

POR LO GENERAL UTILIZAMOS DOS TIPOS DE NÚMEROS: LOS CARDINALES, QUE NOS SIRVEN PARA INDICAR UNA CANTIDAD DE ELEMENTOS, Y LOS ORDINALES, QUE USAMOS PARA EXPRESAR EL ORDEN O LA POSICIÓN DE UN ELEMENTO DENTRO DE UN GRUPO. LOS NÚMEROS ROMANOS FUERON INVENTADOS MUCHO ANTES DE LOS NÚMEROS QUE USAMOS HOY DÍA, SIN EMBARGO, SU USO HA PERDURADO EN LA HISTORIA Y ES POSIBLE VERLOS EN LOS NOMBRES DE PAPAS, LA NUMERACIÓN DE LAS OLIMPÍADAS DEPORTIVAS O ALGUNOS RELOJES ANTIGUOS.

LOS NÚMEROS ROMANOS SE REPRESENTAN CON SÍMBOLOS PARECIDOS A ALGUNAS DE NUESTRAS LETRAS MAYÚSCULAS.

SERIES Y RELACIONES

UNA SERIE ES UNA SUCESIÓN DE NÚMEROS QUE SIGUEN UN PATRÓN O REGLA. ESTAS SERIES PUEDEN SER DE OBJETOS, FIGURAS O NÚMEROS Y PUEDEN SER ASCENDENTES O DESCENDENTES. LAS SERIES ASCENDENTES SON LAS QUE VAN DE MENOR A MAYOR, POR EJEMPLO, CUANDO CONTAMOS LA CANTIDAD DE LÁPICES QUE TENEMOS: 1, 2, 3, …POR OTRO LADO, LAS SERIES DESCENDENTES SON LAS QUE VAN DE MAYOR A MENOR, COMO CUANDO CONTAMOS LOS SEGUNDOS PARA EL AÑOS NUEVO: 5, 4, 3, 2, 1.

CUANDO CONTAMOS DE 1 EN 1 CREAMOS UNA SERIE NUMÉRICA ASCENDENTE PORQUE CADA NÚMERO TIENE UNA UNIDAD MÁS QUE EL ANTERIOR.

NÚMEROS NATURALES

LOS NÚMEROS NATURALES SON AQUELLOS QUE NOS PERMITEN CONTAR LOS ELEMENTOS DE UN CONJUNTO. CUANDO TIENEN MÁS DE UN DÍGITO, EL VALOR DE CADA UNO DEPENDE DE LA UBICACIÓN DENTRO DEL NÚMERO: SEGÚN SU POSICIÓN PODRÁ OCUPAR EL LUGAR DE LAS UNIDADES, LAS DECENAS O LAS CENTENAS. LOS NÚMEROS NATURALES SE PUEDEN EXPRESAR SIEMPRE COMO EL RESULTADO DE UNA SUMA POR MEDIO DE SU DESCOMPOSICIÓN ADITIVA.

LOS NÚMEROS NATURALES FUERON LOS PRIMEROS NÚMEROS QUE USÓ EL HOMBRE PARA CONTAR.

CONJUNTOS

UN CONJUNTO ES UNA COLECCIÓN DE OBJETOS A LOS QUE LLAMAMOS ELEMENTOS. PARA PODER SER ELEMENTOS DE UN MISMO CONJUNTO, TODOS DEBEN TENER ALGUNA CARACTERÍSTICA EN COMÚN QUE NOS PERMITA AGRUPARLOS, POR EJEMPLO, EL CONJUNTO DE LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS ESTARÍA CONFORMADO POR CÍRCULOS, TRIÁNGULOS, CUADRADOS Y RECTÁNGULOS. SI UN ELEMENTO POSEE ESA CARACTERÍSTICA COMÚN CON LOS OTROS OBJETOS SE DICE QUE PERTENECE AL CONJUNTO, SI NO POSEE ESA CARACTERÍSTICA EN COMÚN SE DICE QUE NO PERTENECE AL CONJUNTO.

AUNQUE EN LA IMAGEN VEMOS ELEMENTOS DISTINTOS, COMO ANIMALES, ALIMENTOS Y FIGURAS, TODOS TIENEN ALGO EN COMÚN: SON DE COLOR VERDE, POR LO TANTO, FORMAN UN CONJUNTO.

CAPÍTULO 1 / TEMA 5

CONJUNTOS

CASI TODOS LOS OBJETOS QUE USAMOS SE PUEDEN ORGANIZAR EN GRUPOS: NUESTROS JUGUETES, ÚTILES ESCOLARES, VESTIMENTA Y HASTA NUESTROS ALIMENTOS. CUANDO AGRUPAMOS VARIOS OBJETOS DE ACUERDO A UNA CARACTERÍSTICA HABLAMOS DE CONJUNTOS. ESTOS SON MUY FÁCILES DE REPRESENTAR Y NOS SIRVEN PARA CLASIFICAR Y HACER COLECCIONES.

LOS NÚMEROS QUE USAMOS PARA CONTAR FORMAN UN CONJUNTO LLAMADO “NÚMEROS NATURALES”. SON UN CONJUNTO PORQUE CUMPLEN CON CARACTERÍSTICAS EN COMÚN. POR EJEMPLO, EN ESTA IMAGEN VEMOS UN GRUPO DE NÚMEROS QUE PODEMOS REPRESENTAR CON NUESTROS DEDOS Y CON LOS QUE PODEMOS CREAR CUALQUIER CANTIDAD DE NÚMEROS, LAS CIFRAS 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Y 9.

NOCIÓN DE CONJUNTO

UN CONJUNTO ES UN GRUPO O UNA COLECCIÓN DE ELEMENTOS QUE COMPARTEN ALGUNA CARACTERÍSTICA. POR EJEMPLO:

OBSERVA ESTE GRUPO DE ELEMENTOS, ¿QUÉ TIENEN EN COMÚN?

TODAS SON FRUTAS. ESTE ES EL CONJUNTO DE LAS FRUTAS.

ELEMENTOS DE UN CONJUNTO

UN ELEMENTO ES UN OBJETO QUE FORMA PARTE DE UN CONJUNTO. POR EJEMPLO:

ESTE ES EL CONJUNTO DE LAS VOCALES, ¿CUÁNTOS ELEMENTOS TIENE?

TIENE 5 ELEMENTOS: A, E, I, O Y U.

 

– OTRO EJEMPLO:

ESTE ES EL CONJUNTO DE LOS ÚTILES ESCOLARES, ¿CUÁNTOS ELEMENTOS TIENE?

TIENE 7 ELEMENTOS: EL LÁPIZ, EL CUADERNO, EL CLIP, EL COMPÁS, LA TIJERA, LA REGLA Y LA MOCHILA.

¿SABÍAS QUÉ?
EN MATEMÁTICA, EL NOMBRE DE LOS CONJUNTOS SE REPRESENTA CON UNA LETRA MAYÚSCULA. POR EJEMPLO, EL CONJUNTO DE LOS ANIMALES SE PUEDE LLAMAR CONJUNTO A.
LOS CONJUNTOS ESTÁN PRESENTES EN NUESTRO DÍA A DÍA Y SON DE GRAN UTILIDAD CUANDO VAMOS CON NUESTROS PADRES DE COMPRAS. EN LOS SUPERMERCADOS VEMOS TODOS LOS ALIMENTOS POR CONJUNTOS. EN UN ESTANTE ESTÁ EL CONJUNTO DE LOS CEREALES, EN OTRO EL CONJUNTO DE LOS PRODUCTOS DE LIMPIEZA, EN OTRO EL CONJUNTO DE LAS CARNES Y EN OTRO EL CONJUNTO DE LAS GOLOSINAS.

REPRESENTACIÓN DE CONJUNTOS

UN CONJUNTO PUEDE SER REPRESENTADO POR MEDIO DEL DIAGRAMA DE VENN O ENTRE LLAVES.

CONJUNTO MEDIANTE DIAGRAMA DE VENN

CONSISTE EN UNA LÍNEA CERRADA QUE ENCIERRA EL GRUPO DE ELEMENTOS DEL CONJUNTO. EL CONJUNTO SE EXPRESA POR MEDIO DE UNA LETRA MAYÚSCULA. POR EJEMPLO:

ESTE ES EL CONJUNTO F O CONJUNTO DE LA FIGURAS GEOMÉTRICAS.

CONJUNTO MEDIANTE LLAVES

CONSISTE EN ESCRIBIR TODOS LOS ELEMENTOS DEL CONJUNTO DENTRO DE UNAS LLAVES. POR EJEMPLO:

F = {CUADRADO, TRIÁNGULO, CÍRCULO, RECTÁNGULO}

¡ES TU TURNO!

OBSERVA ESTOS ELEMENTOS. ¿QUÉ TIENEN EN COMÚN?

REPRESENTA EL CONJUNTO POR MEDIO DEL DIAGRAMA DE VENN Y MEDIANTE LLAVES.

SOLUCIÓN

TODOS SON GLOBOS. ESTE ES EL CONJUNTO G:

G = {GLOBO AMARILLO, GLOBO ROSA, GLOBO MORADO, GLOBO AZUL, GLOBO ROJO}

PERTENENCIA Y NO PERTENENCIA

SI UN ELEMENTO COMPARTE LA CARACTERÍSTICA QUE NOS PERMITE AGRUPARLO CON OTROS, SE DICE QUE PERTENECE A ESE CONJUNTO. SI NO LA TIENE SE DICE QUE ESE ELEMENTO NO PERTENECE A ESE CONJUNTO. POR EJEMPLO:

ESTE ES EL CONJUNTO L DE LOS LÁPICES DE COLORES.

 PERTENECE AL CONJUNTO L.                                        NO PERTENECE AL CONJUNTO L.

TODO EL CONJUNTO L TIENE OBJETOS CON UNA CARACTERÍSTICA EN COMÚN: SON LÁPICES DE COLORES. EL LÁPIZ ROJO PERTENECE AL CONJUNTO L, MIENTRAS QUE EL PINCEL, POR NO SER UN LÁPIZ DE COLOR, NO PERTENECE AL CONJUNTO L.

TAMBIÉN PODEMOS USAR SÍMBOLOS ESPECIALES COMO ∈ (PERTENECE) O ∉ (NO PERTENECE.)

– OTRO EJEMPLO:

OBSERVA ESTOS DOS CONJUNTOS.

 

∈ AL CONJUNTO P.                    ∉ AL CONJUNTO A.

∈ AL CONJUNTO A.                        ∉ AL CONJUNTO P.

CUANTIFICADORES

A VECES PODEMOS EXPRESAR LAS CANTIDADES Y RELACIONES DE LOS ELEMENTOS DE UN CONJUNTO SIN UTILIZAR NÚMEROS. LO HACEMOS POR MEDIO DE PALABRAS COMO “TODOS”, “ALGUNOS” O “NINGUNO”. POR EJEMPLO, EN LA IMAGEN SE MUESTRA UNA ENSALADA DE FRUTAS. ESTA ENSALADA REPRESENTA UN CONJUNTO EN EL QUE:

  • TODOS SUS ELEMENTOS SON FRUTAS.
  • ALGUNOS ELEMENTOS SON DE COLOR ROJOS.
  • NINGÚN ELEMENTO ES DE COLOR BLANCO .

¡A PRACTICAR!

1. OBSERVA ESTE CONJUNTO Y RESPONDE:

  • ¿QUÉ TIENEN EN COMÚN?
SOLUCIÓN
TODAS SON CAMISETAS.
  • ¿CUÁNTOS ELEMENTOS TIENE EL CONJUNTO R?
SOLUCIÓN
TIENE 4 ELEMENTOS.
  • ¿CÓMO REPRESENTARÍAS ESTE CONJUNTO MEDIANTE LLAVES?
SOLUCIÓN
R = {CAMISETA BLANCA, CAMISETA VERDE, CAMISETA ROJA, CAMISETA AZUL}

 

2. OBSERVA EL CONJUNTO H Y RESPONDE.

 

  • ¿CUÁNTOS ELEMENTOS TIENE EL CONJUNTO H?
SOLUCIÓN
TIENE 7 ELEMENTOS.
  • ¿QUÉ CARACTERÍSTICA TIENEN EN COMÚN?
SOLUCIÓN
TODOS SON ALIMENTOS DE COLOR AMARILLO.
  • COMPLETA CON ∈ (PERTENECE) O ∉ (NO PERTENECE) SEGÚN CORRESPONDA.

 ______ AL CONJUNTO H.

SOLUCIÓN

 ∈ AL CONJUNTO H.

 ______ AL CONJUNTO H.

SOLUCIÓN

 ∉ AL CONJUNTO H.

 ______ AL CONJUNTO H.

SOLUCIÓN

 ∈ AL CONJUNTO H.

______ AL CONJUNTO H.

SOLUCIÓN

∉ AL CONJUNTO H.

 ______ AL CONJUNTO H.

SOLUCIÓN

 ∉ AL CONJUNTO H.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Relaciones entre conjuntos”

Con este recurso se podrá profundizar en algunas nociones sobre el concepto de conjuntos y de qué manera se relacionan entre ellos.

VER

CAPÍTULO 1 / TEMA 4

NÚMEROS NATURALES

USAMOS NÚMEROS NATURALES TODOS LOS DÍAS: CUANDO CONTAMOS LAS HORAS, DAMOS UN NÚMERO DE TELÉFONO O AL DECIR NUESTRA EDAD. CON SOLO 10 DÍGITOS PODEMOS FORMAR CUALQUIER CANTIDAD DE NÚMEROS, Y PARA ESTO ES IMPORTANTE SABER LA POSICIÓN DE CADA CIFRA, ES DECIR, SU VALOR POSICIONAL.

¿QUÉ SON LOS NÚMEROS NATURALES?

LOS NÚMEROS NATURALES SON LOS QUE USAS A DIARIO PARA CONTAR. TODO NÚMERO NATURAL SIEMPRE TIENE UN SUCESOR, ES DECIR, UN NÚMERO QUE VIENE DESPUÉS Y ES MÁS GRANDE.

LOS NÚMEROS NATURALES SON LOS PRIMEROS QUE USÓ EL HOMBRE PARA CONTAR. DEBIDO A QUE ESTOS NÚMEROS SE UTILIZAN PARA SABER CANTIDADES, EL CERO PUEDE CONSIDERARSE EL NÚMERO IGUAL A LA AUSENCIA DE ALGO. LAS DIEZ CIFRAS DE NUESTRO SISTEMA DE NUMERACIÓN SON LOS PRIMEROS DIEZ NÚMEROS DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Y 9.

¿SABRÍAS QUÉ?
SI EMPIEZAS A CONTAR NO TERMINARÁS NUNCA, LOS NÚMEROS NO TIENEN FIN.

VALOR POSICIONAL DE LOS NÚMEROS

OBSERVA ESTOS DOS NÚMEROS, ¿SON IGUALES?

12             21

NO, NO SON IGUALES. EL PRIMERO ES EL DOCE Y EL SEGUNDO ES EL VEINTIUNO. 

SI BIEN LOS DOS UTILIZAN LAS MISMAS CIFRAS: 1 Y 2, LA POSICIÓN ES DIFERENTE Y POR LO TANTO, SU VALOR TAMBIÉN ES DIFERENTE. ESTO ES LO QUE CONOCEMOS COMO VALOR POSICIONAL.

 

UNIDADES, DECENAS Y CENTENAS

  • OBSERVA LA IMAGEN, ¿CUÁNTOS CARAMELOS HAY?

HAY UN SOLO CARAMELO.

1 = 1 UNIDAD

  • ¿CUÁNTOS CARAMELOS HAY?

HAY 10 CARAMELOS.

10 = 1 DECENA

  • ¿CUÁNTOS CARAMELOS HAY?

HAY 100 CARAMELOS.

100 = 1 CENTENA

 

AL CONTAR MONEDAS PODEMOS HACER GRUPOS DE 1 EN 1 HASTA TENER 10. SI UNIMOS 10 GRUPOS DE 10 TENDREMOS 100 MONEDAS. CADA MONEDA DE 1 ES IGUAL A LA UNIDAD, EL GRUPO DE 10 ES IGUAL A LA DECENA Y EL GRUPO DE 100 ES IGUAL A LA CENTENA. VISTO DE OTRO MODO:

1 CUADRO = 1 UNIDAD

10 CUADROS = 1 DECENA = 10 UNIDADES

100 CUADROS = 1 CENTENA = 10 DECENAS = 100 UNIDADES

TABLA DE VALOR POSICIONAL

PODEMOS UBICAR CUALQUIER NÚMERO EN UNA TABLA SEGÚN SU VALOR POSICIONAL. EL PRIMER NÚMERO DE DERECHA A IZQUIERDA SERÁ LA UNIDAD, EL SEGUNDO SERÁ LA DECENA Y EL TERCERO SERÁ LA CENTENA.

– EJEMPLO:

¿CUÁNTOS POLLITOS HAY?

SI CONTAMOS LOS PRIMEROS DIEZ Y LOS AGRUPAMOS TENEMOS UNA DECENA. LUEGO CONTAMOS LOS DEMÁS 1 POR 1.

1 DECENA Y 8 UNIDADES SON 18.

EN UNA TABLA DE VALOR POSICIONAL QUEDA ASÍ:

 

– OTRO EJEMPLO:

¿CUÁNTOS HUEVOS DE PASCUA HAY?

2 DECENAS Y 4 UNIDADES SON 24.

ES LA TABLA POSICIONAL:

¡ES TU TURNO!

¿CUÁNTOS GUSANOS HAY?

SOLUCIÓN

3 DECENAS Y 5 UNIDADES SON 35.

EN LA TABLA POSICIONAL QUEDA ASÍ:

DESCOMPOSICIÓN ADITIVA

EL ELEMENTO ENTERO MÁS PEQUEÑO QUE PODEMOS CONTAR SE LLAMA UNIDAD, 10 UNIDADES FORMAN UNA DECENA Y 10 DECENAS FORMAN UNA CENTENA.

TODO NÚMERO PUEDE SER REPRESENTADO COMO UNA SUMA DE SUS VALORES POSICIONALES, OBSERVA:

EL NÚMERO 24 TIENE:

  • 2 DECENAS = 2 VECES 10 = 20
  • 4 UNIDADES = 4 VECES 1 = 4

LA DESCOMPOSICIÓN ADITIVA SE ESCRIBE ASÍ:

24 = 20 + 4

– OTRO EJEMPLO:

EL NÚMERO 123 TIENE:

  • 1 CENTENA = 1 VEZ 100 = 100
  • 2 DECENAS = 2 VECES 10 = 20
  • 3 UNIDADES = 3 VECES 1 = 3

LA DESCOMPOSICIÓN ADITIVA ES:

123 = 100 + 20 + 3 

CUADRO DE NÚMEROS

ESTE CUADRO TIENE EN FORMA ORDENADA LOS NÚMEROS DEL 1 AL 100. ES MUY ÚTIL PARA APRENDER A CONTAR Y TAMBIÉN PARA APRENDER EL NOMBRE DE LOS NÚMEROS.

el sucesor de un número

EL SUCESOR DE UN NÚMERO NATURAL ES EL RESULTADO DE SUMARLE 1 A ESE NÚMERO.

– EJEMPLO:

  • EL SUCESOR DE 5 ES 6 PORQUE 5 + 1 = 6.
  • EL SUCESOR DE 26 ES 27 PORQUE 26 + 1 = 27.
  • EL SUCESOR DE 49 ES 50 PORQUE 49 + 1 = 50.

¡A PRACTICAR!

1. ¿CUÁL ES EL SUCESOR DE LOS SIGUIENTES NÚMEROS?

  • 7
SOLUCIÓN
8 PORQUE 7 + 1 = 8.
  • 10
SOLUCIÓN
11 PORQUE 10 + 1 = 11.
  • 56
SOLUCIÓN
57 PORQUE 56 + 1 = 57.
  • 79
SOLUCIÓN
80 PORQUE 79 + 1 = 80.
  • 23
SOLUCIÓN
24 PORQUE 23 + 1 = 24.
  • 4
SOLUCIÓN
5 PORQUE 4 + 1 = 5.
  • 99
SOLUCIÓN
100 PORQUE 99 + 1 = 100.

 

2. COLOCA CADA NÚMERO EN UNA TABLA POSICIONAL.

  • 46
SOLUCIÓN

  • 58
SOLUCIÓN

  • 32
SOLUCIÓN

  • 116
SOLUCIÓN

  • 9
SOLUCIÓN

  • 100
SOLUCIÓN

 

3. REALIZA LA DESCOMPOSICIÓN ADITIVA DE LOS SIGUIENTES NÚMEROS.

  • 32
SOLUCIÓN
32 = 30 + 2
  • 116
SOLUCIÓN
116 = 100 + 10 + 6
  • 91
SOLUCIÓN
91 = 90 + 1
  • 136
SOLUCIÓN
100 = 100 + 30 + 6
  • 58
SOLUCIÓN
58 = 50 + 8
  • 46
SOLUCIÓN
46 = 40 + 6

 

4. AYUDA A LA GALLINA A LLEGAR AL NIDO. ENCUENTRA EL SUCESOR DE CADA NÚMERO A PARTIR DEL 1.

SOLUCIÓN

 

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “¿Qué es un número natural?”

Este artículo te permitirá profundizar sobre los números naturales y sus características.

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Artículo “Composición y descomposición de números”

Con este recurso podrás ampliar la información sobre la composición de número naturales.

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