EL PUNTO ES EL ENTE FUNDAMENTAL DE LA GEOMETRÍA. UNA SUCESIÓN INFINITA DE PUNTOS FORMA UNA LÍNEA. SEGÚN LAS DIRECCIÓN QUE TENGAN ESTOS PUNTOS LAS LÍNEAS PUEDEN SER RECTAS, COMO LAS DEL BORDE DE UNA PANTALLA DE CELULAR; O PUEDEN SER CURVAS, COMO EL BORDE UN GLOBO. CUANDO EL PUNTO DE INICIO Y FIN SON EL MISMO EN UNA LÍNEA, DECIMOS QUE LA LÍNEA ES CERRADA, PERO SI ESTOS PUNTOS NO COINCIDEN, LA LÍNEA ES ABIERTA.
CUANDO OBSERVAMOS UN PAISAJE PODEMOS VER MUCHAS LÍNEAS FORMADAS POR LA NATURALEZA.
FIGURAS PLANAS
LAS FIGURAS PLANAS SOLO TIENEN DOS DIMENSIONES: ALTO Y ANCHO. EXISTEN DOS TIPOS DE FIGURAS PLANAS, LAS POLIGONALES Y LOS CÍRCULOS. LAS PRIMERAS ESTÁN FORMADAS POR LÍNEAS POLIGONALES CERRADAS, COMO UN CUADRADO O RECTÁNGULO. LAS SEGUNDAS ESTÁN FORMADAS POR LÍNEAS CURVAS CERRADAS, COMO EL CÍRCULO. TODOS LOS PUNTOS QUE CORRESPONDEN A LA LÍNEA CURVA SE ENCUENTRAN A LA MISMA DISTANCIA DEL CENTRO DE FIGURA. ESTA LÍNEA QUE DELIMITA AL CÍRCULO SE LLAMA CIRCUNFERENCIA.
UNA LUPA TIENE FORMA DE CÍRCULO.
FIGURAS TRIDIMENSIONALES
LAS FIGURAS TRIDIMENSIONALES OCUPAN UN LUGAR EN EL ESPACIO Y TIENEN TRES DIMENSIONES: ALTO, LARGO Y ANCHO. LAS FIGURAS TRIDIMENSIONALES TAMBIÉN SON LLAMADAS CUERPOS GEOMÉTRICOS Y EXISTEN DOS TIPOS: LOS POLIEDROS Y LOS CUERPOS REDONDOS. LOS PRIMEROS ESTÁN CONFORMADOS POR CARAS PLANAS COMO EL PRISMA Y LA PIRÁMIDE; Y LOS SEGUNDOS TIENEN SUPERFICIES CURVAS, COMO EL CILINDRO, LA ESFERA Y EL CONO.
LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS NO SE PUEDEN TRAZAR EN UNA REGIÓN DEL PLANO SINO QUE SE CONSTRUYEN PARA QUE TENGAN SUS DIMENSIONES REALES.
POSICIÓN Y DESPLAZAMIENTO
LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS, LOS PUNTOS, LAS FIGURAS Y LOS OBJETOS TIENEN UNA DETERMINADA POSICIÓN EN EL ESPACIO, PERO LA POSICIÓN NO SIEMPRE ES LA MISMA. DOS DE LOS MOVIMIENTOS MÁS COMUNES SON LA TRASLACIÓN Y LA ROTACIÓN. POR OTRO LADO, ES POSIBLE UBICAR CADA PUNTO EN EL ESPACIO GRACIAS A LOS EJES CARTESIANOS, UN CONJUNTO DE LÍNEAS QUE SE CRUZAN PARA DARNOS LAS COORDENADAS O POSICIÓN DE UN PUNTO.
LA ROTACIÓN Y LA TRASLACIÓN DE ELEMENTOS GEOMÉTRICOS SE ASEMEJAN A LOS MOVIMIENTOS QUE REALIZA LA TIERRA.
LA GEOMETRÍA ES UNA DE LAS DISCIPLINAS MÁS ANTIGUAS. GRACIAS A ELLA SABEMOS LOS ELEMENTOS Y PROPIEDADES DE LAS FIGURAS QUE NOS RODEAN. YA SABEMOS QUE LAS FIGURAS PLANAS SON AQUELLAS QUE TIENEN DOS DIMENSIONES. HOY APRENDEREMOS CUÁLES SON ESAS FIGURAS QUE ADEMÁS DE ALTO Y ANCHO TIENEN PROFUNDIDAD: LAS FIGURAS TRIDIMENSIONALES.
¿QUÉ SON LaS figuras tridimensionales?
LAS FIGURAS TRIDIMENSIONALES, TAMBIÉN LLAMADAS CUERPOS GEOMÉTRICOS, SON AQUELLAS QUE TIENEN TRES DIMENSIONES: ALTO, LARGO Y ANCHO. A SU VEZ TIENEN VOLUMEN, ES DECIR, OCUPAN UN LUGAR EN EL ESPACIO.
EXISTE UNA CLASIFICACIÓN BÁSICA DE LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS: LOS POLIEDROS Y LOS CUERPOS REDONDOS.
– EJEMPLOS:
POLIEDROS
CUERPOS REDONDOS
LOS POLIEDROS SE DIFERENCIAN DE LOS CUERPOS REDONDOS POR SUS CARAS. LAS CARAS DE LOS POLIEDROS SON PLANAS, EN CAMBIO, LA CARA DE LOS CUERPOS REDONDOS SON CURVAS, ES DECIR QUE PUEDEN RODAR. LOS CUERPOS REDONDOS SON LA ESFERA, EL CONO Y EL CILINDRO. EL CILINDRO Y LA ESFERA NO TIENEN VÉRTICES PORQUE NO HAY UNA UNIÓN ENTRE DOS LADOS PLANOS.
ELEMENTOS DE LAS FIGURAS TRIDIMENSIONALES
POLIEDROS
CARAS: SON LAS SUPERFICIES QUE LIMITAN EL CUERPO GEOMÉTRICO. ESAS SUPERFICIES SON FIGURAS GEOMÉTRICAS. LAS CARAS BASALES SON LAS QUE SIRVEN PARA APOYAR EL CUERPO EN EL PLANO.
VÉRTICE: ES EL PUNTO DONDE SE UNEN TRES O MÁS CARAS.
ARISTAS: SON LAS LÍNEAS QUE SE FORMAN CUANDO SE UNEN DOS CARAS.
CUERPOS REDONDOS
CARAS BASALES: SON LAS QUE SIRVEN PARA APOYAR EL CUERPO EN EL PLANO.
ALTURA: INDICA LA LONGITUD DEL ALTO DEL CUERPO.
LOS POLIEDROS Y SUS TIPOS
UN POLIEDRO ES UN CUERPO GEOMÉTRICO QUE SOLO PRESENTA SUPERFICIES PLANAS. CADA UNA DE SUS CARAS ES UN POLÍGONO. EXISTEN LOS POLIEDROS IRREGULARES Y LOS REGULARES. VEAMOS CUÁLES SON:
POLIEDROS IRREGULARES
PRISMAS: SON POLIEDROS QUE TIENEN DOS CARAS PARALELAS LLAMADAS CARAS BASALES. LOS PRISMAS SE IDENTIFICAN POR SU CARA BASAL, SI ES UN TRIÁNGULO EL PRISMA ES TRIANGULAR, SI ES UN CUADRADO EL PRISMA ES CUADRANGULAR, Y SI ES UN RECTÁNGULO EL PRISMA ES RECTANGULAR.
PIRÁMIDE: SON POLIEDROS QUE TIENEN UN POLÍGONO CUALQUIERA COMO BASE Y SUS CARAS LATERALES SON TRIÁNGULOS QUE SE UNEN EN UN VÉRTICE COMÚN.
POLIEDROS REGULARES
SON POLIEDROS CON TODAS LAS CARAS FORMADAS POR POLÍGONOS REGULARES IGUALES. LA CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROS REGULARES DEPENDE DE SU NÚMERO DE CARAS:
[/su_note]
¿SABÍAS QUÉ?
EL CUBO TAMBIÉN ES UN PRISMA CUADRANGULAR.
FIGURAS TRIDIMENSIONALES EN EL ENTORNO
EN NUESTRO ENTORNO ENCONTRAMOS OBJETOS QUE OCUPAN UN LUGAR EN EL ESPACIO Y TIENEN UN VOLUMEN. AL MISMO TIEMPO, MUCHOS DE ESTOS SE PARECEN O TIENEN LA FORMA DE LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS, YA SEAN POLIEDROS O CUERPOS REDONDOS. POR EJEMPLO, UNA CAJA TIENE FORMA DE PRISMAS RECTANGULAR, UNA PIRÁMIDE EN EGIPTO TIENE FORMA DE PIRÁMIDE, UNA PELOTA DE TENIS ES UNA ESFERA, UNA VASO ES SIMILAR A UN CILINDRO Y UN DADO TIENE FORMA DE CUBO.
MUCHOS DE LOS OBJETOS QUE USAMOS COTIDIANAMENTE EN NUESTRAS CASAS O QUE OBSERVAMOS CUANDO RECORREMOS UNA CIUDAD SON CUERPOS GEOMÉTRICOS. POR EJEMPLO, EL JABÓN TIENE FORMA DE PRISMA PORQUE TIENE CARAS, VÉRTICES Y ARISTAS. ES DECIR, UNA BARRA DE JABÓN ES UN POLIEDRO PORQUE SUS CARAS SON PLANAS. SI SOLO TOMAMOS UNA CARA DEL PRISMA PODEMOS VER UNA FIGURA GEOMÉTRICA.
LAS PIRÁMIDES
LOS EGIPCIOS CREÍAN QUE LA PIRÁMIDE ESTABA RELACIONADA CON LAS RIQUEZAS Y LAS RELACIONES SOCIALES, POR ESO SUS MÁS GRANDES OBRAS TENÍAN ESTA FORMA. ESTAS PIRÁMIDES TIENEN UNA BASE CUADRANGULAR Y LAS CARAS SON IGUALES A LOS TRIÁNGULOS.
¡A PRACTICAR!
1. COMPLETA LA SIGUIENTE TABLA:
OBJETO
FIGURA TRIDIMENSIONAL QUE REPRESENTA
CUADERNO
DADO
VOLIGOMA
HELADERA
SOLUCIÓN
OBJETO
FIGURA TRIDIMENSIONAL QUE REPRESENTA
CUADERNO
PRISMA RECTANGULAR
DADO
CUBO
VOLIGOMA
CILINDRO
HELADERA
PRISMA DE BASE CUADRANGULAR
2. OBSERVA LOS SIGUIENTES CUERPOS Y RESPONDE:
¿CUÁNTOS LADOS TIENE LA FIGURA A?
SOLUCIÓN
LA FIGURA A TIENE 3 LADOS.
¿CUÁNTOS LADOS TIENE LA FIGURA B?
SOLUCIÓN
LA FIGURA B TIENE 6 LADOS.
¿AMBAS FIGURAS TIENEN VÉRTICES? ¿POR QUÉ?
SOLUCIÓN
NO. SOLO LA FIGURA B LOS TIENE, YA QUE ES UN POLIEDRO. LOS CUERPOS REDONDOS NO TIENEN VÉRTICES PORQUE SUS LADOS SON CURVOS, EXCEPTO EL CONO.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Poliedros irregulares”
Este recurso será de ayuda para profundizar sobre los cuerpos geométricos y es especial sobre los poliedros irregulares.
SI OBSERVAMOS DETENIDAMENTE EL LUGAR EN DONDE ESTAMOS PODEMOS ENCONTRAR INFINIDAD DE FIGURAS. LA UNIÓN DE DIFERENTES LÍNEAS HA FORMADO LAS FIGURAS Y LAS HAY DE DIFERENTES TIPOS. ES IMPOSIBLE NO ENCONTRAR EN NUESTRO ENTORNO CUADRADOS, RECTÁNGULOS Y CÍRCULOS. TODOS SON PARTE DE LA FORMA QUE TIENEN LOS OBJETOS QUE UTILIZAMOS A DIARIO.
FIGURAS PLANAS Y SUS TIPOS
LAS FIGURAS PLANAS SON AQUELLAS QUE TIENEN DOS DIMENSIONES: ALTO Y ANCHO. ALGUNOS EJEMPLOS DE FIGURAS PLANAS SON LO CÍRCULOS, LOS TRIÁNGULOS Y LO CUADRILÁTEROS.
LA FIGURA VERDE ES UN CÍRCULO.
LA FIGURA AZUL ES UN TRIÁNGULO.
LA FIGURA ROJA ES UN CUADRILÁTERO.
¿QUÉ SON LOS TRIÁNGULOS?
SON LAS FIGURAS FORMADAS POR TRES SEGMENTOS.
ALGUNOS EJEMPLOS DE TRIÁNGULOS SON LOS SIGUIENTES:
¿QUÉ SON LOS CUADRILÁTEROS?
SON LAS FIGURAS FORMADAS POR CUATRO SEGMENTOS.
ALGUNOS EJEMPLOS DE CUADRILÁTEROS SON LOS SIGUIENTES:
¿QUÉ SON LOS CÍRCULOS?
SON FIGURAS CURVAS CON IGUAL DISTANCIA ENTRE UN PUNTO DE SU EXTREMO Y EL CENTRO.
ALGUNOS EJEMPLOS DE CÍRCULOS SON LOS SIGUIENTES:
LAS FIGURAS CIRCULARES ESTÁN FORMADAS POR UNA LÍNEA CURVA CERRADA Y TIENEN UNA CARACTERÍSTICA FUNDAMENTAL: TODOS LOS PUNTOS DE LA LÍNEA CURVA ESTÁN A LA MISMA DISTANCIA DEL CENTRO DE LA FIGURA. LA LÍNEA QUE BORDEA AL CÍRCULO SE LLAMA CIRCUNFERENCIA. EN LA IMAGEN VEMOS EL TRAZO DE UNA CIRCUNFERENCIA. PARA DIBUJAR CIRCUNFERENCIAS USAMOS UN COMPÁS.
ELEMENTOS DE Los triángulos y cuadriláteros
LADOS
CON CADA UNO DE LOS SEGMENTOS QUE FORMAN LA FIGURA.
TRIÁNGULOS
CUADRILÁTEROS
LOS TRIÁNGULOS TIENEN 3 LADOS.
LOS CUADRILÁTEROS TIENEN 4 LADOS.
VÉRTICES
SON LOS PUNTOS DONDE SE UNEN DOS LADOS.
TRIÁNGULOS
CUADRILÁTEROS
LOS TRIÁNGULOS TIENEN 3 VÉRTICES.
LOS CUADRILÁTEROS TIENEN 4 VÉRTICES.
ÁNGULOS
SON LAS ABERTURAS QUE SE FORMAN ENTRE DOS LADOS.
TRIÁNGULOS
CUADRILÁTEROS
LOS TRIÁNGULOS TIENEN 3 ÁNGULOS.
LO CUADRILÁTEROS TIENEN 4 ÁNGULOS.
ELEMENTOS DEL CÍRCULO
CIRCUNFERENCIA
ES EL LÍNEA CURVA CERRADA.
CENTRO
ES EL PUNTO CENTRAL QUE TIENE LA MISMA DISTANCIA A CUALQUIER PUNTO DE LA CIRCUNFERENCIA.
DIÁMETRO
ES LA DISTANCIA DE UN PUNTO DE LA CIRCUNFERENCIA A OTRO QUE PASA POR EL CENTRO.
RADIO
ES LA DISTANCIA DESDE EL CENTRO DE LA FIGURA HASTA CUALQUIER PUNTO DE LA CIRCUNFERENCIA. EL RADIO ES IGUAL A LA MITAD DEL DIÁMETRO.
AVISOS Y GEOMETRÍA
LA MAYORÍA DE LOS AVISOS COMERCIALES Y DE TRÁNSITO SON FIGURAS PLANAS. POR EJEMPLO, ESTA SEÑAL NOS INDICA QUE PRONTO SE ACERCA UNA CURVA. LA SEÑAL TIENE FORMA DE CUADRILÁTERO PORQUE TIENE 4 LADOS, 4 VÉRTICES Y 4 ÁNGULOS.
TIPOS DE ÁNGULOS
EXISTEN VARIOS TIPOS DE ÁNGULOS Y SU CLASIFICACIÓN DEPENDE DE SU ABERTURA.
ÁNGULO
ABERTURA
REPRESENTACIÓN
RECTO
90°
AGUDO
MENOS DE 90° Y MÁS DE 0°
OBTUSO
MENOS DE 180° Y MÁS DE 90°
LLANO
180°
¿SABÍAS QUÉ?
LOS ÁNGULOS SE MIDEN EN GRADOS. EL SÍMBOLO DE LOS GRADOS ES °.
EL ÁREA Y SUPERFICIE
SI QUEREMOS SABER LA MEDIDA DE LA PARTES EXTERNA DE UN OBJETOS O DE UN TERRENO, TENEMOS QUE CALCULAR SU ÁREA.
LA SUPERFICIE ES LA PARTE EXTERNA DE UN OBJETO Y EL ÁREA ES LA MEDIDA DE LA SUPERFICIE. LA UNIDAD DE MEDIDA ES EL CENTÍMETRO CUADRADO (cm2).
EN LOS RECTÁNGULOS SOLO TENEMOS QUE MULTIPLICAR LA MEDIDA DE LA ALTURA POR LA DEL ANCHO.
ÁREA DE RECTÁNGULO = ALTO × ANCHO
– EJEMPLO:
OBSERVA ESTE RECTÁNGULO. ESTÁ FORMADO POR CUADRADOS MÁS PEQUEÑOS. SI CADA CUADRADO MIDE 1 CENTÍMETRO DE ALTO Y 1 CENTÍMETRO DE ANCHO. RESPONDE:
¿CUÁNTOS CENTÍMETROS DE LARGO MIDE ESTE RECTÁNGULO?
¿CUÁNTOS CENTÍMETROS DE ANCHO MIDE ESTE RECTÁNGULO?
¿CUÁL ES EL ÁREA DEL RECTÁNGULO?
A. EL RECTÁNGULO TIENE 4 cm DE ALTO.
B. EL RECTÁNGULO TIENE 5 cm DE ANCHO.
C. EL ÁREA DEL RECTÁNGULO ES DE 20 cm2PORQUE 4 cm × 5 cm = 20 cm2.
– EJEMPLO 2:
¿CUÁL ES EL ÁREA DE ESTE RECTÁNGULO?
EL RECTÁNGULO TIENE 3 cm DE ALTO Y 4 cm DE ANCHO. POR LO TANTO:
ÁREA = 3 cm × 4 cm = 12 cm2
EL RECTÁNGULO TIENE UN ÁREA DE 12 cm2.
¡A PRACTICAR!
1. COLOCAR EL TIPO DE ÁNGULO SEGÚN SU MEDIDA:
160°
SOLUCIÓN
ÁNGULO OBTUSO.
45°
SOLUCIÓN
ÁNGULO AGUDO.
79°
SOLUCIÓN
ÁNGULO AGUDO.
92°
SOLUCIÓN
ÁNGULO OBTUSO.
180°
SOLUCIÓN
ÁNGULO LLANO.
90°
SOLUCIÓN
ÁNGULO RECTO.
2. CALCULAR EL ÁREA DE LOS SIGUIENTES RECTÁNGULOS. CADA CUADRO MIDE 1 cm DE ALTO Y 1 cm DE ANCHO.
A.
SOLUCIÓN
ÁREA = 9 cm x 5 cm
ÁREA = 45 cm2
B.
SOLUCIÓN
ÁREA = 8 cm x 5 cm
ÁREA = 40 cm2
C.
SOLUCIÓN
ÁREA = 5 cm × 2 cm
ÁREA = 10 cm2
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Área y perímetro de las figuras planas”
En el siguiente artículo se amplía la información sobre área con más tipos de figuras planas.
El perímetro es el contorno de una figura geométrica. En el caso de los polígonos regulares, el perímetro lo calculamos al multiplicar la cantidad de sus lados por la longitud de uno de estos. Otra forma de calcular el perímetro es a través de la suma de cada uno de los lados de una figura. En cambio, el perímetro del círculo es igual a la multiplicación del número pi por el diámetro de la circunferencia. Existen también figuras compuestas que están formadas por dos o más figuras geométricas, para calcular su perímetro basta con sumar cada uno de los lados.
El perímetro tiene múltiples aplicaciones en disciplinas como la arquitectura y también se usa en el ámbito militar.
Ángulos
Uno de los elementos fundamentales para la geometría es el ángulo, el cual está formado por un par de semirrectas denominadas lados que tienen un origen común o vértice. Uno de los sistemas más usados para medir ángulos es el sistema sexagesimal, en el que medimos los ángulos en grados, minutos y segundos. De acuerdo a su tamaño, los ángulos pueden clasificarse en agudos, rectos, obtusos y llanos. Los agudos son mayores a 0° pero menores a 90°, los rectos miden 90°, los obtusos son mayores a 90° pero menores de 180° y los llanos miden siempre 180°.
El transportador es uno de los instrumentos más usados para medir ángulos.
Área
Para calcular superficies usamos el área, que es la extensión comprendida por una figura. Para cada figura plana existe una fórmula que permite determinar su área. En el Sistema Internacional de Unidades se emplea el metro cuadrado (m2) como unidad de medida de área, pero también podemos usar otras unidades derivadas, como el centímetro cuadrado (cm2) o el milímetro cuadrado (mm2). Podemos obtener el área de las figuras compuestas al descomponerlas en figuras geométricas más simples, para luego sumar las áreas de cada una.
El conocimiento del área puede ser aplicado para calcular cuántas baldosas son necesarias para cubrir una superficie.
Sistemas de referencia
Uno de los sistemas de referencias más usados es el sistema cartesiano, el cual está formado por dos ejes en el plano: uno horizontal denominado eje X o de las abscisas y otro vertical denominado eje Y o de las ordenadas. Para representar un punto en el plano cartesiano necesitamos sus coordenadas en el eje X y en el eje Y: la intersección de ambas coordenadas constituye su ubicación. Por otro lado, las figuras pueden experimentar transformaciones isométricas, es decir, cambios de posición y orientación que no afectan su forma. Estas transformaciones son: traslación, rotación y simetría.
Los sistemas de referencia son usados por el ser humano para medir las posiciones y las magnitudes de las cosas.
Cuadriláteros
Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados, y aunque se pueden clasificar en varios grupos, comparten elementos en común: tienen cuatro ángulos, la suma de estos es siempre igual 360° y tienen dos diagonales que dividen al cuadrado en triángulos. De manera general, los cuadriláteros son clasificados como paralelogramos, trapecios y trapezoides. Los paralelogramos tienen sus lados opuestos paralelos y pueden ser cuadrados, rombos y rectángulos. Los trapecios tienen dos de sus lados paralelos y los trapezoides no tienen ningún lado paralelo.
El campo de fútbol tiene forma de rectángulo que es un tipo de cuadrilátero.
Capacidad y volumen
El volumen es el espacio que ocupa un objeto mientras que la capacidad indica la cantidad que un objeto puede contener dentro de él. Todos los objetos tienen volumen pero no todos tienen capacidad. En el caso de los sólidos y los líquidos mientras mayor sea su volumen, mayor espacio van a ocupar. No es lo mismo el volumen de un grano de arroz que el de un edificio. Algunas unidades de volumen son el metro cúbico (m3), el centímetro cúbico (cm3) y milímetro cúbico (mm3), entre otras. El litro es una medida de capacidad que equivale a 1.000 cm3.
A pesar de estar muy relacionadas, no se deben confundir las medidas de volumen con las de capacidad.
La circunferencia
La circunferencia es una curva plana con todos sus puntos ubicados a la misma distancia del origen o centro. No debe ser confundida con el círculo que corresponde al área contenida dentro de ella, es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo. Presenta ciertos elementos como el radio, el diámetro, la tangente, la cuerda, el arco y la semicircunferencia. Uno de los instrumentos usados para su trazado es el compás.
Los antiguos griegos empleaban la recta y la circunferencia como figuras básicas en sus cálculos.
Una de las curvas más estudiadas en la geometría es, sin duda, la circunferencia. Tiene características únicas y ha sido pieza fundamental en invenciones humanas como la rueda. Para trazar esta figura usamos el compás, y su longitud está determinada por un número muy particular: el número pi.
¿Qué es una circunferencia?
Es la curva plana y cerrada cuyos puntos equidistan del centro; es decir, están a la misma distancia del centro de la circunferencia.
Los griegos y la circunferencia
Sin lugar a duda, los antiguos griegos tuvieron una gran influencia en el perfeccionamiento de la geometría. Para ellos, la línea recta y la circunferencia eran muy importantes en sus construcciones matemáticas, lo que permitió que realizaran increíbles descubrimientos para su época. Por ejemplo, Eratóstene de Cirene, que vivió entre 276 y 194 a. C., fue la primera persona en calcular la circunferencia de la Tierra.
Elementos de la circunferencia
En la circunferencia se pueden observar los siguientes elementos:
Centro: es el punto en torno al cual equidistan todos los puntos de la curva.
Radio: es un segmento de recta que une el centro de la circunferencia con cualquiera de sus puntos.
Diámetro: es un segmento de recta que une a dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro de la misma. Su longitud es igual al doble del radio.
Cuerda: es un segmento de recta que une a dos puntos de la circunferencia sin pasar por el centro.
Arco: es una porción de la circunferencia que se encuentra limitada por una cuerda.
Semicircunferencia: es la porción de circunferencia limitada por el diámetro. Equivale a la mitad de la circunferencia.
Posiciones de una recta en relación a la circunferencia
Recta tangente: es la recta que comparte un mismo y único punto con la circunferencia.
Recta secante: es la recta que comparte dos puntos con la circunferencia.
Recta exterior: es la recta que no comparte ningún punto con la circunferencia.
¿Sabías qué?
La circunferencia de la tierra mide cerca de 40.000 km de longitud.
Diferencia entre círculo y circunferencia
Es posible que confundamos los conceptos de círculo y circunferencia porque están muy relacionados entre sí, pero se trata de dos términos diferentes. El círculo es una figura plana que corresponde al área contenida dentro de una circunferencia. La circunferencia, por su parte, representa el perímetro del círculo, es decir, es la línea que forma el contorno de la figura.
El círculo es una figura que presenta diferentes elementos, como el semicírculo, los sectores circulares y los segmentos circulares. El primero es el área comprendida entre el diámetro y una semicircunferencia; el segundo consiste en las regiones comprendidas entre dos radios y el arco que estos forman; y el tercero se trata de los segmentos que se forman entre una cuerda y su arco.
Trazado de circunferencias
El compás es el instrumento por excelencia para trazar circunferencias y su origen es muy antiguo. Un compás consta de los siguientes elementos principales:
Un mango.
Una punta metálica.
Una punta trazadora.
Dos brazos regulables.
El uso de esta herramienta es relativamente sencillo. Para trazar una circunferencia con un compás lo primero que debemos hacer es conocer el radio de la circunferencia y trazarlo con la ayuda de una regla. Luego posicionamos la punta metálica en uno de los extremos del segmento y luego abrimos los brazos hasta que la punta trazadora esté ubicada en el otro extremo del segmento. Finalmente, con ayuda del mango, trazamos la circunferencia.
Circunferencias a nuestro alrededor
Un anillo o un aro son ejemplos de circunferencias, pero hay muchos más. Al ser una circunferencia el contorno de un círculo, la observamos en los bordes de las ruedas de los autos, en un molde para hacer una torta o un pastel y hasta incluso en juguetes como los platos voladores.
Las circunferencias han sido elementos fundamentales en el desarrollo de la geometría y con ello también han permitido a los seres humanos realizar grandes invenciones como la rueda.
La circunferencia es el contorno de una de las figuras más comunes: el círculo. Es frecuente observarlas en platos, ruedas, pasteles, diseños y pinturas. Han permitido realizar cálculos y aproximaciones, como el descubrimiento del número pi que relaciona la longitud de la circunferencia con su radio y que ha tenido numerosas aplicaciones prácticas.
¡A practicar!
Además del centro, ¿qué elementos de la circunferencia observas?
a)
Solución
Diámetro.
b)
Solución
Arco.
c)
Solución
Cuerda.
d)
Solución
Radio.
2. ¿Cuál de las siguientes rectas es una tangente?
a)
b)
c)
d)
Solución
c) Es tangente porque solo comparte un punto en común con la circunferencia.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Circunferencia”
El siguiente artículo explica de forma resumida qué es una circunferencia y los diferentes elementos que la integran como el radio, la cuerda, el diámetro, etc.
Vemos cuadriláteros en todas partes: desde la cara de un dado hasta una hoja de papel. Estas figuras geométricas son polígonos de cuatro lados con múltiples aplicaciones en la geometría. Se caracterizan por su diversidad y de acuerdo a ciertos criterios se pueden clasificar como paralelogramos, trapecios y trapezoides.
Características de los cuadriláteros
La palabra “cuadrilátero” proviene del latín y quiere decir “que tiene cuatro lados”. Entonces, los cuadriláteros son polígonos con cuatro lados que forman entre sí cuatro ángulos. Estas características permiten clasificarlos en varios tipos.
Curiosidades de los cuadriláteros
1. Presentan cuatro lados, cuatro vértices y cuatro ángulos.
2. Todo cuadrilátero tiene dos diagonales.
3. Las dos diagonales del cuadrilátero dividen al mismo en cuatro triángulos.
4. También se denominan cuadrángulo y tetrágono (ambas hacen mención a sus cuatro ángulos y lados).
¿Sabías qué?
La suma de los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero siempre es igual a 360°.
Un ángulo es la porción de plano comprendida entre dos semirrectas que tienen un origen común. Existen muchos tipos, algunos son:
Ángulo agudo: que tiene una amplitud menor a 90° pero mayor a 0°.
Ángulo recto: que tiene una amplitud igual a 90°.
Ángulo obtuso: que tiene una amplitud mayor a 90° pero menor a 180°.
Ángulo oblicuo: que no es recto. Los ángulos agudos y obtusos son ejemplo de ángulos oblicuos.
Clasificación de los cuadriláteros
La forma de un campo de fútbol no es igual a la forma de un campo de béisbol, pero en ambos casos hablamos de cuadriláteros. Este tipo de figuras se clasifica en tres grandes grupos: paralelogramos, trapecios y trapezoides.
Paralelogramos
Son cuadriláteros que presentan dos pares de lados paralelos. Los lados opuestos de todo cuadrilátero tienen la misma longitud. Se clasifican en:
Cuadrilátero
Nombre
Características
Cuadrado
– Todos sus lados son iguales.
– Sus ángulos internos son iguales y miden 90° (ángulo recto).
Rectángulo
– Sus lados contiguos (lados que están juntos) no son iguales, pero sus lados opuestos sí lo son.
– Sus ángulos interiores son iguales y miden 90° (ángulo recto).
Rombo
– Todos sus lados son iguales.
– Sus ángulos interiores son agudos (menores a 90°).
Romboide
– Sus lados contiguos son desiguales.
– Sus ángulos opuestos son iguales.
– De sus cuatro ángulos interiores siempre hay un par de ángulos mayor que el otro.
¿Sabías qué?
Los ángulos opuestos de un paralelogramo son congruentes, es decir, tienen la misma medida.
Trapecios
Son cuadriláteros en los que solo dos de sus lados son paralelos, estos lados son llamados bases y siempre hay una de mayor longitud, denominada base mayor; y otra de menor longitud, denominada base menor. Se clasifican en:
Cuadrilátero
Nombre
Características
Trapecio rectángulo
– Dos de sus ángulos interiores son iguales a 90°, es decir, son rectos.
Trapecio isósceles
– Sus lados no paralelos tienen la misma medida.
– Presentan dos ángulos agudos del mismo valor en una de las bases y dos ángulos obtusos del mismo valor sobre la otra base.
Trapecio escaleno
– Ninguno de sus lados tiene la misma longitud.
– Ninguno de sus ángulos es recto.
Trapezoides
Son cuadriláteros que no poseen ninguno de sus lados paralelos.
Cuadrilátero
Nombre
Características
Trapezoide
– Ninguno de sus lados consecutivos es igual.
Diagonales de los cuadriláteros
Las diagonales son los segmentos de rectas que unen el vértice de un ángulo con el vértice del ángulo opuesto no consecutivo. Todos los cuadriláteros tienen dos diagonales, pero sus características varían de acuerdo al tipo.
Paralelogramos
Las diagonales se cortan en el punto medio de ambas.
De acuerdo al tipo de paralelogramo las diagonales presentan estas características:
Cuadrado: sus diagonales son iguales y se cortan en ángulo recto.
Rombo: sus diagonales no son iguales pero se cortan en ángulo recto.
Rectángulo: sus diagonales tienen la misma longitud pero se cortan en un ángulo oblicuo.
Romboide: sus diagonales no son iguales y se cortan en un ángulo oblicuo.
Trapecios
Solo en los trapecios isósceles las diagonales son iguales, en los demás casos ambas diagonales son diferentes. En este tipo de figuras las diagonales siempre se cortan en un ángulo oblicuo.
Trapezoide
Los trapezoides presentan diagonales diferentes y oblicuas.
Disciplinas como la arquitectura, la ingeniería y las artes emplean las formas geométricas dentro de sus actividades. Conocer la geometría de las cosas permite tener una mejor visión de nuestro entorno y realizar comparaciones de manera más sencilla. De igual forma, muchas veces la geometría permite resolver problemas matemáticos de forma más simple.
¿Dónde podemos observar cuadriláteros?
Si prestamos atención a nuestro entorno seguramente vamos a ver más cuadriláteros de los que imaginábamos: las baldosas del piso, el techo de la casa, las puertas y ventanas… Incontables objetos tienen forma de cuadriláteros.
Conocer los cuadriláteros tiene muchas aplicaciones. Por ejemplo, si deseamos encontrar el punto medio de un objeto cuadrado como un cartón, basta con trazar dos diagonales y ubicar su punto de intersección.
El baloncesto es un deporte muy popular que emplea un tablero en forma de cuadrilátero, específicamente un rectángulo que mide por lo general 1,80 m de ancho y 1,05 m de alto. En su parte interna se encuentra otro rectángulo que permite calcular el tiro y de esta forma lograr que la pelota caiga sobre la canasta que se encuentra en su parte inferior.
¡A practicar!
Responde las siguientes preguntas.
a) ¿Cuántas diagonales tienen los cuadriláteros?
Solución
Dos diagonales.
b) ¿Qué tipo de trapecio tiene dos ángulos rectos?
Solución
Trapecio rectángulo.
c) ¿Qué tipo de paralelogramo tiene las dos diagonales diferentes pero se cortan en ángulo recto?
Solución
El rombo.
d) ¿Qué cuadrilátero no presenta ningún lado paralelo?
Solución
El trapezoide.
2. Identifica si las siguientes figuras corresponden a un paralelogramo, trapecio o trapezoide.
a)
Solución
Trapezoide.
b)
Solución
Paralelogramo.
c)
Solución
Paralelogramo.
d)
Solución
Trapecio.
e)
Solución
Paralelogramo.
f)
Solución
Trapecio.
g)
Solución
Paralelogramo.
h)
Solución
Trapecio.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Cuadriláteros”
Este artículo destacado describe los tipos de cuadriláteros y sus diferentes tipos y subtipos. También explica la importancia de reconocerlos y sus aplicaciones en la geometría y la publicidad.
Esta infografía permite comprender de manera ilustrada qué son los rectángulos y sus propiedades. También se enfoca en cómo construir este tipo de figura geométrica.
SI TIENES UN ALFAJOR Y DESEAS COMPARTIRLO CON UN AMIGO ¿CÓMO LO REPARTES? LO PARTES A LA MITAD ¿CIERTO? ES NORMAL QUE DIVIDAMOS ALIMENTOS PARA COMPARTIR Y PARA ESTOS CASOS USAMOS UN TIPO ESPECIAL DE NÚMEROS: LAS FRACCIONES. SON MÁS COMUNES DE LO QUE PIENSAS Y HOY APRENDERÁS A REPRESENTARLAS.
¿EN CUÁNTOS PEDAZOS ESTÁ CORTADO ESTE PASTEL? PARA RESPONDER ESTA PREGUNTA SOLO TENEMOS QUE CONTAR DE 1 EN 1: 1, 2, 3, …¡ESTÁ CORTADA EN 10 PEDAZOS! ESOS SON NÚMEROS NATURALES. PERO SI COMEMOS UNA DE ESAS PARTES ¿CÓMO REPRESENTARÍAS ESA CANTIDAD? EN ESTE CASO TENEMOS QUE USAR FRACCIONES: NÚMEROS QUE NOS AYUDAN A EXPRESAR PARTES DE UN TODO.
LA FRACCIÓN Y SUS ELEMENTOS
UNA FRACCIÓN ES UN NÚMERO QUE REPRESENTA LA PARTE O LAS PARTES QUE SE HAN TOMADO DE UN TODO CUANDO EL TODO ESTÁ DIVIDIDO EN PARTES IGUALES.
– EJEMPLO 1:
¿EN CUÁNTAS PARTES ESTÁ DIVIDIDA ESTA FIGURA?, ¿CUÁNTAS PARTES ESTÁN PINTADAS?
ESTE CUADRADO ESTÁ DIVIDIDO EN 4 PARTES IGUALES. UNA SOLA PARTE ESTÁ PINTADA.
¿QUÉ NÚMERO USARÍAS PARA REPRESENTAR QUE UNA PARTE SE HA TOMADO DE 4 PARTES IGUALES? PARA ESO ESTÁN LAS FRACCIONES, LAS CUALES SIEMPRE TIENEN DOS ELEMENTOS: UN NUMERADOR Y UN DENOMINADOR.
EL NUMERADOR ES IGUAL A LA CANTIDAD DE PARTES QUE SE TOMARON DEL TODO.
EL DENOMINADOR ES IGUAL A LA CANTIDAD DE PARTES EN LAS QUE SE HA DIVIDO EL ENTERO.
AMBOS ELEMENTOS SE COLOCAN UNO SOBRE OTRO CON UNA RAYA EN EL MEDIO, OBSERVA:
EN ESTE EJEMPLO, EL 1 ES EL NUMERADOR PORQUE REPRESENTA LA CANTIDAD DE PARTES QUE SE TOMARON DEL TODO Y EL 4 ES EL DENOMINADOR PORQUE REPRESENTA LA CANTIDAD DE PARTES EN LA QUE SE DIVIDIÓ AL TODO.
– EJEMPLO 2:
¿EN CUÁNTAS PARTES SE DIVIDIÓ EL CÍRCULO?
EN 5 PARTES. EL DENOMINADOR ES 5.
¿CUÁNTAS PARTES ESTÁN PINTADAS?
2 PARTES ESTÁN PINTADAS. EL NUMERADOR ES 2.
¿QUÉ FRACCIÓN REPRESENTA ESTE GRÁFICO?
– EJEMPLO 3:
¿EN CUÁNTAS PARTES SE DIVIDIÓ EL RECTÁNGULO?
EN 8 PARTES. EL DENOMINADOR ES 8.
¿CUÁNTAS PARTES ESTÁN PINTADAS?
3 PARTES ESTÁN PINTADAS. EL NUMERADOR ES 3.
¿QUÉ FRACCIÓN REPRESENTA ESTE GRÁFICO?
LAS FRACCIONES SON MUY UTILIZADAS EN LA VIDA COTIDIANA. EXISTEN SITUACIONES COMUNES DONDE PODEMOS ENCONTRARLAS, POR EJEMPLO, CUANDO PEDIMOS MEDIO KILOGRAMO DE PAN O CUANDO COMEMOS PIZZA. IMAGINA QUE LA PIZZA ES EL TODO Y ESTÁ PICADA EN 4 PARTES IGUALES; SI NOS COMEMOS UN TROZO ES IGUAL A DECIR QUE NOS COMIMOS 1/4 DE PIZZA.
¿SABÍAS QUÉ?
LAS FRACCIONES TAMBIÉN SE PUEDEN REPRESENTAR CON UNA DIAGONAL, ES DECIR, ES IGUAL A 1/4.
¿CÓMO GRAFICAR FRACCIONES?
SI QUEREMOS GRAFICAR UNA FRACCIÓN COMO DEBEMOS SEGUIR ESTOS PASOS:
1. DIBUJAMOS UNA FIGURA GEOMÉTRICA. POR EJEMPLO, UN RECTÁNGULO.
2. DIVIDIMOS EL RECTÁNGULO EN TANTAS PARTES COMO INDIQUE EL DENOMINADOR. EN ESTE CASO EL DENOMINADOR ES 6, ASÍ QUE LO DIVIDIMOS EN 6 PARTES IGUALES.
3. PINTAMOS LA CANTIDAD DE PARTES QUE INDIQUE EL NUMERADOR. AQUÍ PINTAMOS 5 PARTES. ¡ESE SERÁ EL GRÁFICO DE LA FRACCIÓN!
¡ES TU TURNO!
GRAFICA ESTAS FRACCIONES. DIBUJA UN CÍRCULO COMO EL TODO.
SOLUCIÓN
SOLUCIÓN
SOLUCIÓN
FRACCIONES IGUALES A LA UNIDAD
TODA FRACCIÓN QUE TENGA EL NUMERADOR IGUAL A SU DENOMINADOR SERÁ IGUAL A 1. EJEMPLO:
ESTE GRÁFICO REPRESENTA A LA FRACCIÓN QUE ES IGUAL A 1.
ESTE GRÁFICO REPRESENTA A LA FRACCIÓN QUE ES IGUAL A 1.
¿CÓMO LEER FRACCIONES?
LAS FRACCIONES SE LEEN DIFERENTES A LOS NÚMEROS NATURALES. ES IMPORTANTE QUE SIGAMOS ESTOS PASOS:
LEEMOS EL NUMERADOR COMO CUALQUIER NÚMERO NATURAL.
LEEMOS EL DENOMINADOR DE ACUERDO A LA SIGUIENTE TABLA:
DENOMINADOR
SE LEE
2
MEDIOS
3
TERCIOS
4
CUARTOS
5
QUINTOS
6
SEXTOS
7
SÉPTIMOS
8
OCTAVOS
9
NOVENOS
10
DÉCIMOS
– EJEMPLOS:
SE LEE “DOS CUARTOS”.
SE LEE “CUATRO DÉCIMOS”.
SE LEE “CINCO SÉPTIMOS”.
SE LEE “UN OCTAVO”.
LAS PARTES DE UN TODO
CADA PARTE DE UN TODO SE PUEDE REPRESENTAR POR MEDIO DE UNA FRACCIÓN. SEGÚN EL DENOMINADOR CADA PORCIÓN TENDRÁ UN NOMBRE DISTINTO. OBSERVA ESTA IMAGEN CON UN TODO DIVIDIDO DE 1 A 10 PARTES IGUALES.
¡A PRACTICAR!
1. ¿QUÉ FRACCIÓN REPRESENTAN ESTOS GRÁFICOS?
A.
SOLUCIÓN
B.
SOLUCIÓN
C.
SOLUCIÓN
D.
SOLUCIÓN
2. ¿CÓMO SE LEEN LAS SIGUIENTES FRACCIONES:
SOLUCIÓN
DOS DÉCIMOS.
SOLUCIÓN
UN DÉCIMO.
SOLUCIÓN
UN CUARTO.
SOLUCIÓN
CUATRO QUINTOS.
SOLUCIÓN
TRES SEXTOS.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Fracciones”
En el siguiente artículo podrás encontrar un abordaje de las fracciones con diferentes estrategias didácticas.
El contorno de una figura geométrica se denomina perímetro. De acuerdo al tipo de figura, el contorno puede ser calculado por medio de la suma de sus lados o a través de diferentes fórmulas. Estas operaciones tienen muchas aplicaciones en la vida cotidiana: por ejemplo, sirven para determinar la longitud de la cerca de una casa.
Cálculo de perímetro en figuras planas
El perímetro es la longitud del contorno de una figura. Para calcular el perímetro de una figura, simplemente tenemos que sumar cada uno de sus lados.
Es importante tener presente que existen figuras con lados regulares como el cuadrado, y figuras con lados irregulares como en el caso de un rectángulo. Las figuras regulares son conocidas como polígonos regulares y los más comunes son:
POLÍGONO
NÚMERO DE LADOS
Triángulo equilátero
3
Cuadrado
4
Pentágono
5
Hexágono
6
Heptágono
7
Octágono
8
Eneágono
9
Decágono
10
¿Sabías qué?
De acuerdo a sus lados, los triángulos son clasificados en: equiláteros (tres lados iguales), isósceles (dos lados iguales) y escalenos (ningún lado igual).
La ventaja de los polígonos regulares es que al tener todos sus lados iguales su perímetro es igual a la longitud de uno de sus lados multiplicada por la cantidad de lados que este tiene. La fórmula sería:
Donde: P = perímetro. n = número de lados de la figura. L = longitud de un lado de la figura.
Un ejemplo de cálculo de perímetro
– Calcula el perímetro de un cuadrado cuyos lados miden 5 cm:
El cuadrado es un polígono regular de cuatro lados iguales, por lo tanto, calculamos su perímetro de la siguiente forma:
P = 4 × 5 cm
Resolvemos la multiplicación y el resultado obtenido es:
P = 20 cm
Observa que al final añadimos la unidad de longitud inicial, que son centímetros (cm), pero puede ser cualquier otra unidad de medida, los pasos en estos casos siempre son los mismos.
Otro camino
Aunque las fórmulas permiten realizar cálculos más sencillos, el perímetro también puede determinarse a través de la suma de cada uno de los lados. En el caso del ejemplo anterior sabemos que cada lado mide 5 cm, de manera que tenemos que sumar los cuatro lados para obtener el perímetro:
P = 5 cm + 5 cm + 5 cm + 5 cm = 20 cm
Esta forma de calcular el perímetro suele aplicarse a figuras que tienen al menos un lado diferente, pues al no tener sus lados iguales, no es posible aplicar la fórmula de polígonos regulares. Un ejemplo sería:
– Calcula el perímetro del siguiente triángulo:
Al sumar cada uno de sus lados obtenemos que:
P = 6 cm + 7 cm + 5 cm = 18 cm
Este triángulo escaleno tiene un perímetro de 18 cm.
El perímetro de un círculo
El perímetro de un círculo se denomina circunferencia, y para calcularlo empleamos un número matemático muy particular: el número pi, llamado así porque se escribe con la letra π del alfabeto griego, que lleva ese mismo nombre. Este número es irracional, por lo tanto es infinito. Se obtiene al dividir la longitud de la circunferencia entre su diámetro. Los primeros 10 números decimales del número pi son 3,1415926535…
La fórmula para determinar el perímetro de un círculo es:
P = π × d
Donde:
π = número pi (en los cálculos generalmente se redondea hasta los dos decimales).
d = la longitud del diámetro de la circunferencia.
Perímetro de figuras compuestas
Primero que todo, es importante saber que una figura compuesta está formada por dos o más figuras geométricas, por lo que tienen un arreglo irregular de lados y ángulos. En el caso de estas figuras, realizamos el cálculo del perímetro de la misma forma que en el ejemplo anterior del triángulo.
Observemos esta figura:
Es una figura compuesta porque está formada por un cuadrado y un triángulo:
Determinamos el perímetro de esta figura al sumar solo los lados exteriores de la figura:
P = 5 cm + 5 cm + 1 cm + 7 cm + 9 cm = 27 cm
El perímetro de la figura es 27 cm.
Las figuras compuestas pueden estar formadas por triángulos, cuadrados, rectángulos, trapecios, círculos, etc. Conocer sus diferentes elementos es importante al momento de resolver problemas de perímetros y de áreas, ya que no se puede aplicar una fórmula en común: es necesario identificar las figuras geométricas que integran la figura compuesta.
Aplicaciones del perímetro
Debido a que el perímetro y el área representan las magnitudes fundamentales al momento de trabajar con figuras geométricas y polígonos, sus usos en la vida cotidiana son frecuentes.
En el caso del perímetro, disciplinas como la arquitectura lo emplean para determinar la frontera de un objeto como en el caso de la cerca de una edificación o la valla de un campo. Sus usos también se extiende al ámbito militar, donde permite delimitar las áreas de interés ofensivo o de defensa.
La geometría
Es una rama de la matemática encargada del estudio de las figuras, sus propiedades y medidas en el plano y en el espacio. Su origen no es reciente, de hecho, antiguas civilizaciones como las del Antiguo Egipto, Sumeria y Babilonia ya la empleaban en mediciones de terrenos y en la construcción de edificaciones. Mucho tiempo después, los antiguos griegos la empezaron a perfeccionar y hoy en día es una disciplina fundamental.
¡A practicar!
1. Calcular el perímetro de las siguientes figuras:
a)
Solución
P = 15 cm
b)
Solución
P = 12 cm
c)
Solución
P = 48 cm
d)
Solución
P = 18 cm
e)
Solución
P = 34 cm
2. ¿Cuál de las siguientes figuras es un polígono regular?
a)
b)
c)
d)
e)
Solución
c) Es un polígono regular porque tiene 6 lados iguales y se denomina hexágono.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Áreas y perímetro”
En este cuadro comparativo se muestra una tabla con las fórmulas de área y perímetro para las principales figuras geométricas.
TODOS LOS OBJETOS QUE NOS RODEAN TIENEN UNA FORMA Y MUCHOS DE ELLOS SON PLANOS, ES DECIR, SOLO TIENEN DOS DIMENSIONES Y NO TIENEN RELIEVE. LAS FIGURAS PLANAS MÁS COMUNES SON EL CÍRCULO, EL TRIÁNGULO EL CUADRADO Y EL RECTÁNGULO. CON ESTE ARTÍCULO APRENDERÁS A DIFERENCIAR ESTAS FIGURAS.
LAS FIGURAS PLANAS ESTÁN DELIMITADAS POR LÍNEAS RECTAS O CURVAS, ASÍ QUE MUCHOS DE LOS INSTRUMENTOS QUE USAMOS EN LA ESCUELA SIRVEN PARA DIBUJARLAS. POR EJEMPLO, CON LAS REGLAS Y ESCUADRAS PODEMOS DISEÑAR CUADRADOS, RECTÁNGULOS Y TRIÁNGULOS; MIENTRAS QUE CON EL COMPÁS PODEMOS HACER CÍRCULOS Y CIRCUNFERENCIAS CON PRECISIÓN. ¡INTÉNTALO!
¿QUÉ ES UNA FIGURA PLANA?
UNA FIGURA PLANA ES AQUELLA QUE ESTÁ DEFINIDA POR LÍNEAS RECTAS O CURVAS. ADEMÁS, SOLO TIENE DOS DIMENSIONES: ALTO Y ANCHO.
¿VES ALGUNA FIGURA?
ESTE DIBUJO ESTÁ ELABORADO SOLO CON FIGURAS PLANAS, ¿PUEDES RECONOCER ALGUNAS?
¿CUÁLES SON LAS FIGURAS PLANAS?
HAY MUCHOS TIPOS DE FIGURAS PLANAS, LAS MÁS COMUNES SON EL CÍRCULO, EL TRIÁNGULO, EL CUADRADO Y EL RECTÁNGULO.
OBSERVA ESTOS GRUPOS DE FIGURAS, ¿EN QUÉ SE PARECEN?
LAS FIGURAS DE COLOR ROJO SON CUADRADOS.
LAS FIGURAS DE COLOR AZUL SON CÍRCULOS.
LAS FIGURAS DE COLOR AMARILLO SON TRIÁNGULOS.
LAS FIGURAS DE COLOR VERDE SON RECTÁNGULOS.
¿CUÁLES SON LOS ELEMENTOS DE LAS FIGURAS?
CÍRCULO
UN CÍRCULO ES UNA FIGURA PLANA FORMADA POR UNA CURVA CERRADA Y REDONDA QUE SIEMPRE TIENE LA MISMA DISTANCIA DEL CENTRO.
¿CUÁLES SON SUS ELEMENTOS?
EL CENTRO, LA CIRCUNFERENCIA, EL DIÁMETRO Y EL RADIO.
¿SABÍAS QUÉ?
LA LÍNEA QUE BORDEA AL CÍRCULO SE LLAMA CIRCUNFERENCIA.
TRIÁNGULO
UN TRIÁNGULO ES UNA FIGURA PLANA FORMADA POR TRES LADOS.
¿CUÁLES SON SUS ELEMENTOS?
LOS LADOS Y LOS VÉRTICES.
CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS
SEGÚN SUS LADOS LOS TRIÁNGULOS PUEDEN SER EQUILÁTEROS, ISÓSCELES O ESCALENOS.
CUADRADO
UN CUADRADO ES UNA FIGURA PLANA CON CUATRO LADOS IGUALES.
¿CUÁLES SON SUS ELEMENTOS?
LOS LADOS Y LOS VÉRTICES.
RECTÁNGULO
UN RECTÁNGULO ES UNA FIGURA PLANA CON CUATRO RECTAS Y CON LADOS OPUESTOS PARALELOS.
¿CUÁLES SON SUS ELEMENTOS?
EL LARGO, EL ANCHO Y LOS VÉRTICES.
¿QUÉ ES EL TANGRAM?
ES UN JUEGO DE ORIGEN CHINO EN EL QUE PODEMOS FORMAR DIVERSAS FIGURAS CON SIETE PIEZAS BÁSICAS LLAMADAS “TANS”:
CINCO (5) TRIÁNGULOS.
UN (1) CUADRADO.
UN (1) PARALELOGRAMO.
ESTAS PIEZAS O “TANS” SE GUARDAN DE TAL MANERA QUE FORMAN UN CUADRADO.
FIGURAS PLANAS EN LOS OBJETOS
OBSERVA ESTOS OBJETOS, ¿A CUÁL FIGURA PLANA SE PARECEN?
RESPONDE:
¿CUÁLES OBJETOS SE PARECEN A UN CÍRCULO?
SOLUCIÓN
¿CUÁLES OBJETOS SE PARECEN A UN RECTÁNGULO?
SOLUCIÓN
¿CUÁLES OBJETOS SE PARECEN A UN CUADRADO?
SOLUCIÓN
¿CUÁLES OBJETOS SE PARECEN A UN TRIÁNGULO?
SOLUCIÓN
¡A PRACTICAR!
1. COLOREA LAS FIGURAS DE LA SIGUIENTE MANERA:
CÍRCULOS DE COLOR AZUL.
TRIÁNGULOS DE COLOR AMARILLO.
RECTÁNGULOS DE COLOR VERDE.
CUADRADO DE COLOR ROJO.
SOLUCIÓN
2. COLOREA DE ROJO LAS FIGURAS PLANAS FORMADAS POR TRES LADOS Y TRES VÉRTICES.
SOLUCIÓN
3. RESPONDE LAS PREGUNTAS.
¿CUÁNTOS LADOS TIENE EL CUADRADO?
SOLUCIÓN
EL CUADRADO TIENE CUATRO (4) LADOS IGUALES.
¿CUÁNTOS LADOS TIENE UN TRIÁNGULO?
SOLUCIÓN
EL TRIÁNGULO TIENE TRES LADOS.
¿QUÉ ES UNA CIRCUNFERENCIA?
SOLUCIÓN
ES LA LÍNEA QUE BORDEA AL CÍRCULO.
¿QUÉ ES UN TRIÁNGULO ISÓSCELES?
SOLUCIÓN
ES UNA TRIÁNGULO CON DOS LADOS IGUALES.
¿LOS RECTÁNGULOS TIENEN CUATRO LADOS IGUALES?
SOLUCIÓN
NO. LOS RECTÁNGULOS TIENEN DOS LADOS MÁS LARGOS QUE LOS OTROS DOS.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Clasificación de los triángulos”
Con este recurso podrá profundizar sobre los diversos tipos de triángulos, figura básica de la geometría plana.
Una fracción está formada por dos términos principales: el numerador y el denominador. Estos son números enteros que están separados por una línea horizontal denominada raya divisoria o raya fraccionaria. Una fracción es la división de un entero o una unidad en partes iguales. El numerador indica las partes a considerar de esa división y el denominador indica las partes en las que se dividió el entero o unidad. Estos números son más antiguos que lo que se piensa y están relacionados con la división.
Las fracciones están presentes en la vida cotidiana, sobre todo en las mediciones usadas en la cocina, pero también están presentes en algunas monedas.
Fracciones diversas
De acuerdo a la relación que exista entre el numerador y el denominador, las fracciones pueden ser propias o impropias. Las fracciones propias son aquellas en las que el numerador es menor que el denominador, contrario a las fracciones impropias, en las que el numerador es mayor que el denominador. Por otro lado, si comparamos dos o más fracciones, estas pueden ser homogéneas o heterogéneas. Las fracciones homogéneas son las que poseen el mismo denominador, las heterogéneas, en cambio, presentan diferentes denominadores.
Las fracciones pueden expresarse en forma de gráfica o viceversa. Lo emocionante de ellas es que las usamos a diario para dividir cosas o cantidades.
Gráficas de fracciones
Las fracciones suelen expresarse en gráficos para interpretar de manera más sencilla los datos. La forma para representar estos gráficos dependen del tipo de fracción. Si la fracción es propia elegimos cualquier figura, la dividimos en partes iguales según el denominador y señalamos las partes que indique el numerador. Cuando se trata de una fracción impropia dividimos una figura geométrica en las partes que señale el denominador, pero debido a que en este tipo de fracción el numerador es mayor que el denominador, serán necesarias más de una figuras.
Los números mixtos son un tipo de número fraccionario que posee una parte entera y otra fraccionaria.
Orden de fracción
Las fracciones presentan un sentido de orden, es decir, hay fracciones que son mayores o menores que otras. Una herramienta muy útil para reconocer este orden es la recta numérica. Se trata de un gráfico en forma de línea horizontal en el que los números están ordenados de menor a mayor. Para ubicar fracciones propias en la recta numérica dividimos la unidad en segmentos iguales según indique el denominador y la fracción se ubicaría en el número de segmento indicado por el numerador. Las fracciones impropias, por su parte, deben ser transformadas en números mixtos.
En la recta numérica, si se toma un número como referencia, los números de su izquierda son menores a él y los de la derecha mayores.
Problemas con fracciones
Las fracciones, además de ayudarnos a resolver problemas que impliquen proporciones, nos permiten resolver las operaciones básicas matemáticas como la adición, la sustracción, la multiplicación y al división. En el caso de la adición y la sustracción de fracciones debemos tener en cuenta su tipo: si las fracciones son homogéneas sumamos o restamos los numeradores y colocamos el denominador, si son heterogéneas usamos el método de cruz para resolverlas. Las multiplicaciones se resuelven de forma lineal, al multiplicar los numeradores y los denominadores.
La adición y sustracción de fracciones heterogéneas suele realizarse por el método en cruz que permite calcular de manera directa fracciones equivalentes.
RADIO
ESTE GRÁFICO REPRESENTA A LA FRACCIÓN 
ESTE GRÁFICO REPRESENTA A LA FRACCIÓN 
