Mes: agosto 2020

CAPÍTULO 5 / TEMA 3

Polígonos

Podemos observar polígonos en múltiples objetos de nuestro alrededor. Estos son muy diversos y los hay con lados y ángulos iguales o desiguales entre sí. Son elementos fundamentales de la geometría y su conocimiento es esencial en diversos campos del conocimiento, como la ingeniería o la arquitectura.

¿Qué es un polígono?

En geometría, un polígono es una figura geométrica plana delimitada por un número finito de segmentos rectos.

¿Sabías qué?
La palabra “polígono” proviene del griego antiguo que quiere decir “muchos ángulos”.

Los polígonos presentan los siguientes elementos:

  • Lados: son los segmentos rectos que conforman al polígono.
  • Vértices: son los puntos en común entre dos lados consecutivos.
  • Diagonales: son los segmentos que unen a dos lados no consecutivos de un polígono.
  • Ángulos interiores: están formados por dos lados consecutivos en el interior del polígono.
  • Ángulos exteriores: están formados en el exterior del polígono entre un lado y la prolongación de otro lado consecutivo.

Polígonos regulares y sus tipos

Un polígono regular tiene lados con la misma longitud. Se caracterizan también porque sus ángulos internos y externos también son iguales. Otra característica es que poseen la misma cantidad de ejes de simetrías que de lados. Las diagonales en este tipo de polígonos tienen la misma longitud y siempre son interiores.

Polígono Número de lados Número de diagonales Medida de cada ángulo interno Medida de cada ángulo externo
Triángulo equilátero 3 0 60° 120°
Cuadrado 4 2 90° 90°
Pentágono 5 5 108° 72°
Hexágono 6 9 120° 60°
Heptágono 7 14 128,57° 51,43°
Octágono 8 20 135° 45°
Eneágono 9 27 140° 40°
Decágono 10 35 144° 36°
Endecágono 11 44 147,27° 32,73°
Dodecágono 12 54 150° 30°

VER INFOGRAFÍA

El círculo y los polígonos

Todo polígono regular puede estar circunscrito en una circunferencia, lo que quiere decir que cada uno de sus vértices corresponde a un punto de la circunferencia. Mientras más lados tenga el polígono, más se va a aproximar a la forma de la circunferencia. Por esta razón, se asocia a la circunferencia (de forma informal) a un polígono de infinitos lados.

Área de polígonos regulares

Para medir el área de los polígonos es necesario conocer las definiciones de perímetro y apotema.

  • Perímetro: es la suma de los lados que forman una figura geométrica. En el caso de los polígonos regulares, se calcula al multiplicar el número de lados por la longitud de uno de sus lados.

P= n\times L

Donde:

P: perímetro
n: número de lados del polígono regular.
L: longitud de uno de los lados del polígono.

  • Apotema: es la distancia perpendicular desde el centro de un polígono hasta uno de sus lados.

El área de un polígono regular se define como el producto de su perímetro por la apotema (a) dividido entre dos.

A = \frac{P\times a}{2}

Donde:

A: área

P: perímetro

a: apotema

 

– Ejemplo:

Calcular el área de un pentágono cuyos lados miden 6 cm y su apotema es de 4,13 cm.

Lo que debemos hacer es calcular primero el perímetro para luego sustituir en la fórmula junto con la apotema para calcular el área.

P= n\times L
P= 5\times 6\, cm
P= 30\, cm

El perímetro del apotema es 30 cm, al sustituir en la fórmula de área nos queda:

A = \frac{30\, cm\times 4,13\,cm }{2}

A = \frac{123,9\,cm^{2} }{2}

A = \mathbf{61,95\, cm^{2}}

El área del pentágono es de 61,95 cm2.

¿Sabías qué?
El Departamento de Defensa de los Estados Unidos es un edificio en forma de Pentágono que mide 140.000 metros cuadrados aproximadamente.
Debido a sus características geométricas, todo polígono regular puede estar inscrito o circunscrito a una circunferencia. Un polígono inscrito tiene todos sus vértices contenidos en la circunferencia. Por otro lado, un polígono circunscrito posee todos sus lados tangentes a la circunferencia. En ambos casos, el centro del polígono coincide con el centro de la circunferencia.

Polígonos irregulares y sus tipos

En los polígonos irregulares se pueden cumplir algunas de estas condiciones:

– Tener sus lados con igual longitud pero sus ángulos internos diferentes.
– Tener sus ángulos de igual medida pero sus lados con diferente longitud.
– Tener sus lados con diferente longitud y sus ángulos internos con diferente medida.

Ejemplos de polígonos irregulares

  • Rombo

El rombo tiene los cuatro lados con igual longitud pero sus cuatro ángulos internos son diferentes: solo los ángulos opuestos de este polígono son iguales. Por eso se trata de un polígono irregular.

  • Rectángulo (no cuadrado)

Es un cuadrilátero con sus cuatro ángulos iguales (90°), pero sus lados tienen diferente longitud entre sí. Solo los lados paralelos comparten la misma longitud.

  • Triángulo (no equilátero)

Todo triángulo con un ángulo interior diferente de 60 grados es un polígono irregular.

Triángulos regulares e irregulares

Según sus lados, los triángulos se clasifican en equiláteros, isósceles y escalenos. Los equiláteros son los únicos triángulos que cumplen con las características de un polígono regular. Los triángulos escalenos son aquellos en los que las longitudes de sus lados y la medida de sus ángulos internos son diferentes, por lo tanto no son polígonos regulares. Por otra parte, los triángulos isósceles al contar solo con dos lados y dos ángulos iguales tampoco son considerados como polígonos regulares.

Perímetro de polígonos

Calculamos el perímetro de los polígonos regulares a través de la fórmula planteada anteriormente:

P= n\times L

En cambio, en los polígonos irregulares, cuyos lados generalmente son diferentes, esta ecuación no siempre aplica. Para lo cual debemos sumar de forma separada las longitudes de cada uno de los lados.

P= L_{1}+L_{2}+L_{3}+...+L_{n}

Por ejemplo, para calcular el perímetro del siguiente triángulo isósceles simplemente sumamos cada una de las longitudes de sus lados.

P= 60\,\, cm+60\,\, cm+40\,\, cm

P= \mathbf{160\,\, cm}

El perímetro de este triángulo irregular es de 160 cm.

 

¡A practicar!

1. Determina el perímetro y el área de los siguientes polígonos regulares según los datos mostrados.

a) Un eneágono regular cuyos lados miden 7 cm y su apotema 9,62 cm.

Solución
P = 63 cm
A = 303,03 cm2

b) Un pentágono regular cuyos lados miden 6 cm y su apotema 4,13 cm.

Solución
P = 30 cm
A = 61,95 cm2

c) Un heptágono regular cuyos lados miden 8 cm y su apotema 8,31.

Solución
P = 56 cm
A = 232,68 cm2

d) Un triángulo regular (equilátero) cuyos lados miden 5 cm y su apotema 1,44 cm.

Solución
P= 15 cm
A = 10,8 cm2

e) Un decágono regular cuyos lados miden 3 cm y su apotema 4,62 cm.

Solución
P= 30 cm
A = 69,3 cm2

f) Un dodecágono regular cuyos lados miden 4 cm y su apotema 7,46 cm.

Solución
P= 48 cm
A = 179,04 cm2

g) Un hexágono regular cuyos lados miden 7 cm y su apotema 6,06 cm.

Solución
P= 42 cm
A = 127,26 cm2

h) Un octágono regular cuyos lados miden 2 cm y su apotema 2,41 cm.

Solución
P= 16 cm
A = 19,28 cm2

i) Un endecágono regular cuyos lados miden 3 cm y su apotema 5,11 cm.

Solución
P= 33 cm
A = 84,315 cm2

j) Un cuadrado cuyos lados miden 4 cm y su apotema 2 cm.

Solución
P= 16 cm
A = 16 cm2

 

2. ¿A qué polígono con una apotema de 4,33 cm le corresponde un área de 64,95 cm2.

a) Un decágono de 2 cm de lado.
b) Un hexágono de 5 cm de lado.
c) Un pentágono de 7 cm de lado.
d) Un octágono de 4 cm de lado.

Solución
b) Un hexágono de 5 cm de lado.

 

3. ¿Qué polígono irregular tiene sus lados de igual longitud pero sus ángulos internos son diferentes?

a) Círculo
b) Cuadrado
c) Rectángulo
d) Rombo

Solución
d) Rombo

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Perímetro de los polígonos”

Este artículo define qué es un polígono, cuáles son sus clasificaciones y cómo se calcula su el perímetro. También plantea una serie de ejercicios para resolver.

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Artículo “Cuadriláteros”

Este recurso explica los diferentes tipos de cuadriláteros que existen y sus características principales.

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Micrositio “Tarjetas Educativas – Geometría y medidas”

En este micrositio se puede encontrar una serie de tarjetas interactivas que resumen los elementos principales de la geometría, como los polígonos y sus principales características.

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CAPÍTULO 5 / TEMA 3

LOS ÁNGULOS Y SUS TIPOS

Es posible que identifiques diversas figuras geométricas al observar el mundo que te rodea y los objetos presentes en él. La mayoría de estas figuras están compuestas por semirrectas unidas por un punto en común, es decir, un vértice. Esa porción del plano delimitada por dos semirrectas que nacen de un mismo punto se conoce como ángulo y según su medida puede ser de distintos tipos.

¿qué es un ángulo?

Es una porción del plano delimitada por dos semirrectas, las cuales también son llamadas lados. Ambos lados coinciden en un punto de origen o vértice. La abertura de un lado con respecto al otro es la que denominamos ángulo.

 

VER INFOGRAFÍA 

¿Cómo nombrar ángulos?

  • Con una letra griega, por ejemplo α y se lee “ángulo alpha”. En esta imagen vemos un ángulo α = 52,13°.

  • Con los puntos correspondientes a las semirrectas que lo constituyen y al vértice. Estos puntos se nombran mediante letras, por ejemplo, en la imagen vemos el ángulo AOB.

 

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS

Los ángulos se clasificar según tres criterios diferentes: su medida, su posición y la suma de sus medidas con otros ángulos.

¿Sabías qué?
Los ángulos se miden en grados (°).

Ángulos según su medida

  • Ángulo completo: tiene una amplitud de 360°, significa que es un giro completo.
  • Ángulo nulo: tiene una amplitud de 0°.
  • Ángulo llano: tiene una amplitud de 180°, podrás verlo representado como una línea recta.
  • Ángulo cóncavo: tiene una amplitud mayor que 180° pero menor que 360°.
  • Ángulo convexo: tiene una amplitud menor que 180°.

Dentro de los ángulos convexos encontramos otras clasificaciones:

  • Ángulos rectos: miden 90°.
  • Ángulos obtusos: miden más de 90°.
  • Ángulos agudos: miden menos de 90°.

 

Ángulos según su posición

Según su posición los ángulos pueden ser:

  • Adyacentes: son aquellos que tienen el vértice y un lado en común. Al sumar las amplitudes de cada uno de ellos el resultado será 180°.
  • Consecutivos: son aquellos que comparten tanto el vértice como uno de sus lados.
  • Opuestos por el vértice: son aquellos que solo tienen el vértice en común.

Ángulos según la suma de su medida con otros ángulos

Los ángulos también pueden clasificarse según el resultado obtenido al sumar la medida de la amplitud de un ángulo con la de otro ángulo, así sabrás que:

  • Un ángulo es suplementario con otro si la suma de sus amplitudes da como resultado un ángulo de 180°.
  • Un ángulo es complementario con otro si la suma de sus amplitudes da como resultado un ángulo de 90°.

MEDICIÓN DE ÁNGULOS

Por lo general, la medición de los ángulos se realiza por medio de un transportador.

¿Qué es un transportador?

Es un instrumento geométrico que puede tener una forma circular o semicircular y se utiliza para medir gráficamente un ángulo así como para construirlo. Cuenta con graduaciones o marcas iguales que sirven de escala para identificar la medida del ángulo. Los transportadores circulares están divididos en 360 partes iguales, mientras que los semicirculares están divididos en 180 partes iguales. Cada una de estas partes representa un grado (1°) .

Para medir un ángulo con transportador seguimos estos pasos:

1. Identificamos el vértice, es decir, el punto del que nacen las semirrectas y hacemos que coincida con el centro del transportador.

2. Verificamos que el cero (0) en el transportador esté justo sobre uno de los lados del ángulo.

3. Observamos el valor que marca el otro lado que pasa por la escala graduada. En este caso, la medida del ángulo â = 165°.

¿Sabías qué?
Los transportadores tienen escalas graduadas dobles: una va en sentido de las manecillas del reloj y las otra en sentido contrario. Siempre debes recordar comenzar a medir a partir del cero. 

LOS ÁNGULOS EN LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS

Las figuras geométricas planas poseen ángulos interiores, ubicados dentro de la figuras; y ángulos exteriores, ubicados entre un lado de la figura y el otro lado siguiente.

VER INFOGRAFÍA 

Ángulos interiores de los triángulos

Los ángulos interiores de los triángulos siempre suman 180°. Según sus ángulos los triángulos pueden ser:

Nombre Figura Características
Triángulo rectángulo Tiene un ángulo recto (90°).
Triángulo acutángulo Tiene todos sus ángulos agudos (menores a 90°).
Triángulo obtusángulo Tiene un ángulo obtuso (mayores a 90° pero menores a 180°).

 

Ángulos interiores de los cuadriláteros

En el caso de los cuadriláteros, la suma de sus cuatro ángulos internos siempre es igual a 360°. De acuerdo al tipo de cuadrilátero el valor del ángulo puede variar. Su clasificación es la siguiente:

Nombre Figura Característica
Cuadrado Tiene cuatro ángulos rectos (90°).
Rectángulo Tiene cuatro ángulos rectos (90°).
Rombo Tiene ángulos opuestos iguales.
Romboide Tiene ángulos opuestos iguales.
Trapecio rectángulo Tiene dos ángulos rectos (90°).
Trapecio isósceles Los dos ángulos de la base menor son iguales. Los dos ángulos de la base mayor son iguales.
Trapecio escaleno Todos sus ángulos son diferentes.

¿Sabías qué?
La palabra “geometría” viene de geo que significa “Tierra”, y de metría que significa “medir”.

Ángulos internos de polígonos regulares

Los polígonos regulares son aquellos que tienen todos sus ángulos internos iguales. Para calcular su valor se emplea la ecuación (n − 2) × 180°/n donde n es el número de lados que tiene el polígono. Por ejemplo, para un hexágono se sustituye la n por el número 6 que corresponde al número de sus lados y obtenemos que (6 − 2) × 180°/6 = 120°, lo que quiere decir que cada uno de los ángulos internos de un hexágono mide 120°.

¡A practicar!

1. Observa los ángulos entre estas rectas. Completa la tabla con los ángulos solicitados.

Tipo de ángulo Nombre del ángulo
Recto  Ángulo α
Agudo
Obtuso
Complementario
Suplementario
Adyacente
Solución
Tipo de ángulo Nombre del ángulo
Recto Ángulo α
Agudo Ángulo β
Obtuso Ángulo GOC
Complementario Ángulos BOE y EOC
Suplementario Ángulos EOG y GOF
Adyacente Ángulos AOC y COB

2. Calcula los ángulos complementarios y suplementarios para los siguientes ángulos:

  • β = 50°
Solución

Ángulo complementario = 40° porque 50° + 40° = 90°.

Ángulo suplementario = 130° porque 50° + 130° = 180°.

  • γ = 15°
Solución

Ángulo complementario = 75° porque 15° + 75° = 90°.

Ángulo suplementario = 165° porque 15° + 165° = 180°.

  • δ = 75°
Solución

Ángulo complementario = 15° porque 75° + 15 = 90°.

Ángulo suplementario = 105° porque 75° + 105° = 180°.

 

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Ángulos”

En el siguiente artículo encontrarás información sistematizada sobre las diferentes clasificaciones de los ángulos.

VER

Enciclopedia “Matemática Tomo I”.

En esta enciclopedia podrás encontrar las explicaciones necesarias para comprender la clasificación de los ángulos y su medición.

VER 

CAPÍTULO 5 / TEMA 2

Ángulos

Los ángulos están presentes en la mayoría de las figuras geométricas y en nuestra vida cotidiana. Se los considera indispensables para realizar cálculos trigonométricos y estudios en balística, arquitectura e ingeniería. De acuerdo a su amplitud, los ángulos se clasifican en varios tipos.

El ángulo y sus elementos principales

Un ángulo es una región del plano comprendida por dos semirrectas que tienen un origen en común. Los elementos de un ángulos son los siguientes:

  • Vértice: es el punto en común de las dos semirrectas.
  • Lados: son las dos semirrectas que conforman al ángulo.
  • Amplitud: es la medida de abertura de los lados de un ángulo. Esta medida usualmente se lee en grados sexagesimales.

¿Sabías qué?
Los ángulos suelen nombrarse con letras del alfabeto griego.

El sistema sexagesimal

Se usa principalmente para medir el tiempo y los ángulos. En este último caso, las unidades que emplea son grados, minutos y segundos. Al dividir un ángulo llano en 180 partes iguales, una de esas partes equivale a un grado (°). Si se divide un grado en sesenta partes iguales, una de esas partes equivale a un minuto (′). Y si el minuto se divide en 60 partes iguales, una de esas partes corresponde a un segundo (″). En resumen:

1° = 60′
1′ = 60″

Observa que este sistema emplea como base el número 60 y de ahí viene el origen de su nombre. El instrumento usado para su medición es el transportador.

VER INFOGRAFÍA

Clasificación de los ángulos

Los ángulos pueden clasificarse en:

  • Ángulo nulo: cuando mide 0°.
  • Ángulo agudo: cuando es mayor que 0° pero menor que 90°.
  • Ángulo recto: cuando mide exactamente 90°.
  • Ángulo obtuso: cuando es mayor de 90° pero menor que 180°.
  • Ángulo llano: cuando mide exactamente 180°.
  • Ángulo completo: cuando mide 360°.

Ángulos complementarios

Dos ángulos son complementarios si al ser sumados el resultado es igual a 90°. Al saber el valor de uno de los ángulos puedes calcular el valor del otro al restar 90° al ángulo conocido.

– Ejemplo:

Se tienen los ángulos complementarios α y β. El valor de β es de 35°. Calcula el valor de α.


Simplemente debes resolver la resta:

\boldsymbol{\alpha =90^{\circ}-\beta}

\boldsymbol{\alpha =90^{\circ}-35^{\circ}}

\boldsymbol{\alpha =55^{\circ}}

Por lo tanto el valor de α es 55°.

Ángulos suplementarios

Dos ángulos son suplementarios si al ser sumados el resultado es igual a 180°. Al igual que en el caso anterior puedes determinar el valor de un ángulo de este tipo si conoces el valor de otro y lo restas a 180°.

– Ejemplo:

Se tienen los ángulos suplementarios θ y δ. El valor de θ es de 160°. Calcular el valor de δ.

Resuelve la resta:

\boldsymbol{\delta =180^{\circ}-\theta}

\boldsymbol{\delta =180^{\circ}-160^{\circ}}

\boldsymbol{\delta =20^{\circ}}

El valor de δ es 20°.

Medida de un ángulo

La medición de los ángulos se realiza a menudo a través de un transportador, el cual puede ser de dos tipos: circular o semicircular. El circular mide los 360° de la circunferencia y el semicircular mide los 180°. Ambos transportadores cuentan con una marca en el centro que se debe colocar en el vértice del ángulo a medir. El 0° de la escala debe coincidir con uno de los lados del ángulo y la lectura del ángulo sería la que indica el otro lado en la escala.

Los transportadores suelen presentar dos numeraciones que van en diferentes sentidos según se lea el ángulo: en sentido horario (en el sentido de las manecillas del reloj) o en sentido antihorario.

Existe el convencionalismo de que los ángulos que se miden en sentido horario se consideran positivos mientras que los que se leen en sentido antihorario se consideran negativos. En el ámbito matemático, el enfoque se orienta más a la abertura de los ángulos. Otro dato importante es que aunque los transportadores son útiles, existen otros instrumentos más precisos como el goniómetro.

Los ángulos en las figuras planas

Las figuras planas poseen ángulos interiores y ángulos exteriores. Los ángulos interiores, como su nombre lo indica, se ubican en el interior de la figura, mientras que los exteriores se ubican entre un lado de la figura y el otro lado siguiente. Por ejemplo:

Cálculo de ángulos internos en triángulos

Los ángulos interiores de los triángulos siempre suman 180°. De manera que si conoces la medida de dos de sus ángulos internos puedes calcular la medida del tercero. Lo único que debes hacer es restar los valores de los ángulos conocidos a 180°. Por ejemplo:

– Calcula el valor del ángulo θ.

Como ya sabes, la sumas de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180°, entonces, si restas los valores de los ángulos conocidos a 180° obtendrás el valor de Θ:

\boldsymbol{\theta = 180^{\circ}-\alpha -\beta}
\boldsymbol{\theta = 180^{\circ}-65^{\circ} -67^{\circ}}
\boldsymbol{\theta = 48^{\circ}}

El valor del ángulo θ es 48°.

¿Sabías qué?
La suma de los ángulos externos de un triángulo es igual a 360°.

Cálculo de ángulos internos en cuadriláteros

En el caso de los cuadriláteros se cumple que la suma de sus cuatro ángulos internos siempre es igual a 360°. De acuerdo al tipo de cuadrilátero el valor del ángulo puede variar. Por ejemplo, en el caso del cuadrado y del rectángulo sus cuatro ángulos internos son iguales y miden 90°. En el caso del rombo y del romboide sus ángulos opuestos son iguales. Si el trapecio es rectángulo posee dos ángulos consecutivos que miden 90°. Si es isósceles tiene los ángulos adyacentes a la base mayor con la misma medida y si el trapecio es escaleno ninguno de sus ángulos mide lo mismo.

Los trapezoides son otro tipo de cuadrilátero con el valor de cada uno de sus ángulos internos diferentes. En resumen:

Figuras Características
El cuadrado y el rectángulo tienen ángulos internos iguales y miden 90°.
El rombo tiene todos sus ángulos iguales (pero son agudos, es decir, menores a 90°).

El romboide presenta cada par de ángulos opuestos con la misma medida.
El trapecio rectángulo tiene dos ángulos rectos (miden 90° cada uno).

 

El trapecio isósceles presenta los ángulos adyacentes a la base mayor con la misma medida.

 

El trapecio escaleno presenta todos sus ángulos con diferente medida.
El trapezoide no posee ningún ángulo con la misma medida.

Para calcular ángulos en un cuadrilátero simplemente tenemos que restar los ángulos conocidos a 360°.

– Ejemplo:

Calcula el valor del ángulo ε de la siguiente figura.

\boldsymbol{\varepsilon =360^{\circ}-\delta -\theta -\rho}

\boldsymbol{\varepsilon =360^{\circ}-88^{\circ} -77^{\circ} -80^{\circ}}

\boldsymbol{\varepsilon =115^{\circ}}

El valor del ángulo ε es 115°.

En los polígonos regulares los ángulos internos miden igual. Para calcular su valor se emplea la ecuación (n − 2) × 180°/n donde n es el número de lados que presenta el polígono. Por ejemplo, para un pentágono se sustituye la n por el número 5 que corresponde al número de sus lados y se obtiene que (5 − 2) × 180°/5 = 108°, lo que quiere decir que cada uno de los ángulos internos de un pentágono mide 108°.

¡A practicar!

1. ¿Qué tipo de ángulo observas?

a)

Solución
Ángulo obtuso.

b)

Solución
Ángulo llano.

c)

Solución
Ángulo recto.

d)

Solución
Ángulo agudo.

2. Calcula el valor del ángulo γ.


Solución
γ = 55°

3. Calcula el valor del ángulo θ.


Solución
θ = 70°

4. Calcula el valor del ángulo φ.

Solución
φ = 58°

5. Calcula el valor del ángulo β.

Solución
β = 105°

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Ángulos en triángulos. Resolución mediante ecuaciones”

El artículo explica los diferentes tipos de ángulos y cómo determinarlos a través de ecuaciones. También muestra una serie de ejemplos y ejercicios relacionados al tema.

VER

Artículo “Ángulos”

Este artículo plantea de forma resumida lo relacionado con los ángulos, como la manera de nombrarlos, su clasificación y el uso del transportador.

VER

Video “Tipo de triángulos según sus ángulos”

En el video se muestra la manera de clasificar los triángulos a partir de los ángulos y muestra ejemplos gráficos de cada uno de ellos.

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CAPÍTULO 5 / TEMA 1

Elementos geométricos

El punto, la recta y el plano representan los cimientos de la geometría. Seguramente, muchos otros conceptos no podrían ser definidos sin ellos y por tal motivo son tan importantes. Cada uno está relacionado: infinitos puntos forman una recta, infinitos puntos y rectas forman un plano e infinitos puntos, rectas y planos forman el espacio.

El punto

El punto es el objeto más pequeño del espacio, por tanto no tiene longitud, área o volumen. Es adimensional, lo que quiere decir que no tiene dimensiones.

Una de las funciones del punto es describir la posición en un sistema de coordenadas como el cartesiano.

¿Sabías qué?
Los puntos se nombran con letras mayúsculas del abecedario, por ejemplo: A, B, C, D, etc.

Entes fundamentales de la geometría

Se denominan así a los entes que por sí solos no tienen definición y se comprenden a partir de las características de elementos similares. La mayoría de las personas tiene noción de lo que cada uno representa. Los entes fundamentales en la geometría son el punto, la recta y el plano.

La recta y sus tipos

Una recta es un tipo de línea que se extiende en una misma dirección y está formada por infinitos puntos. Por esta razón, la recta tiene longitud pero no anchura. En geometría, las rectas se suelen denominar con letras minúsculas.

De acuerdo a su posición en el plano, las rectas pueden ser paralelas, perpendiculares y secantes.

¿Sabías qué?
Entre dos puntos, solamente existe una recta que los une.

Rectas paralelas

Son rectas que no tienen ningún punto en común, es decir, nunca se interceptan. Para la construcción de este tipo de rectas se emplean la regla, la escuadra y el compás. En el siguiente ejemplo la recta a es paralela a la recta b.

Un ejemplo de rectas paralelas son los lados opuestos de un cuadrilátero como el cuadrado.

VER INFOGRAFÍA

Rectas secantes

Son aquellas que se interceptan en un punto en común y forman cuatro ángulos internos. Las rectas c y d son secantes.

Un ejemplo de rectas secantes son dos calles que se interceptan en un punto en común.

Rectas perpendiculares

Son aquellas rectas secantes que al cortarse forman cuatro ángulos iguales, específicamente rectos (de 90°). Estas rectas dividen al plano en cuatro regiones. Las rectas e y f son perpendiculares entre sí.

Un ejemplo de rectas perpendiculares son los ejes del plano cartesiano.

La recta es un tipo de línea pero no es la única, existen líneas curvas, quebradas y mixtas. Además de su empleo en la geometría, los diferentes tipos de líneas son recursos usados por artistas plásticos y diseñadores gráficos en sus trabajos para proporcionar expresividad gráfica, dinamismo y movimiento. También son útiles para crear planos y texturas.

Otros conceptos relacionados

Semirrecta

Todo punto que pertenece a una línea recta la divide en dos partes denominadas semirrectas. Las semirrectas también son llamadas rayos y contienen infinitos puntos como la recta. La diferencia es que una recta no tiene origen y una semirrecta sí lo tiene.

Segmento

Corresponde a la parte de una recta que se encuentra delimitada entre dos de sus puntos, cada uno de ellos es denominado extremo. Los segmentos se escriben a través de la escritura sin espacio de sus extremos y con una raya horizontal en la parte superior. En el siguiente ejemplo, la figura corresponde al segmento \overline{PQ}.

El plano

Es un ente ideal que posee dos dimensiones (bidimensional). Se suele representar con letras del alfabeto griego. En geometría, un plano queda definido cuando se cumplen algunas de las siguientes condiciones:

  • Tres puntos no alineados.
  • Dos rectas que son paralelas.
  • Dos rectas secantes.

Un plano contiene infinitas rectas y puntos. En el siguiente ejemplo se puede observar un ejemplo de plano.

Otro ejemplo de plano sería la parte superior de una mesa.

Con el propósito de facilitar su gráfica y simplificar su visualización, los planos suelen representarse como una figura delimitada con bordes irregulares. Sin embargo, un plano contiene infinitos puntos, por lo tanto, al igual que sucede con la recta, sería imposible representarlo completamente, así que se muestra una pequeña porción de su superficie.

El plano cartesiano

Es un sistema de coordenadas desarrollado por el célebre matemático René Descartes en el siglo XVII. Permite asignar ubicación a cualquier punto del plano. Este sistema cuenta con dos ejes numerados que permiten localizar las coordenadas de los puntos. Un eje vertical denominado eje Y o de las ordenadas muestra las coordenadas en Y de un punto, y un eje horizontal denominado eje X o de las abscisas indica las coordenada en X de un punto.

¡A practicar!

1. Observa la siguiente imagen y responde qué tipo de rectas son las indicadas.

a) Las rectas e y h.

Solución
Secantes.

b) Las rectas d y g.

Solución
Secantes perpendiculares.

c) Las rectas e y f.

Solución
Paralelas.

d) Las rectas h y f.

Solución
Secantes.

2. De acuerdo al contenido explicado responde las siguientes preguntas.

a) ¿Cuántos puntos no alineados definen a un plano?

Solución
3

b) ¿Qué diferencia tiene una recta de una semirrecta?

Solución
La semirrecta tiene un origen y la recta no.

c) ¿De qué medida son los ángulos formados por dos rectas perpendiculares?

Solución
90°

d) ¿En cuántos puntos se intersectan dos rectas paralelas?

Solución
En ningún punto.

e) ¿Cuáles entes fundamentales de la geometría suelen nombrarse con letras del alfabeto griego?

Solución
Los planos.

f) ¿Cómo se denominan a los puntos que forman un segmento?

Solución
Extremos.

g) ¿Qué tipo de ente fundamental de la geometría tiene longitud pero no anchura?

Solución
La recta.

h) ¿Qué tipo de ente fundamental de la geometría no tiene dimensiones?

Solución
El punto.

i) ¿Con qué otro nombre se denominan las semirrectas?

Solución
Rayos.

j) ¿Quién inventó el sistema cartesiano?

Solución
René Descartes.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Determinación de rectas y puntos notables de los triángulos”

El artículo explica cuáles son las rectas y puntos notables que presentan los triángulos y qué características geométricas poseen.

VER

Micrositio “Tarjetas educativas – Geometría y medidas”

En este micrositio podrá encontrar una variedad de tarjetas que resumen los elementos principales de la geometría como el punto, la recta y las principales figuras geométricas.

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Artículo “Las rectas en el plano”

El artículo explica la clasificación de las rectas según su posición en el plano y muestra cómo graficar cada una de ellas mediante el uso de regla, escuadra y compás.

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CAPÍTULO 5 / TEMA 5 (REVISIÓN)

FRACCIONES | ¿qué aprendimos?

nOCIÓN DE FRACCIÓN

Las fracciones son divisiones sin resolver. Están formadas por una raya de fracción que divide al numerador del denominador. El numerador es la parte que tomamos del entero y el denominador indica las partes en las que se divide al entero. Las fracciones pueden ser propias, impropias y aparentes. Las fracciones propias tienen un numerador menor que el denominador; las impropias tienen un numerador mayor que el denominador; y las aparentes son iguales a un entero.

La porción de pastel que se toma es igual a 1/8. El numerador es la parte tomada (1) y el denominador señala la cantidad de partes en las que se dividió el pastel (8).

representación de fracciones

Para leer una fracción solo tenemos que leer al numerador como cualquier otro número y al denominador según unas simples reglas: medios si es 2, tercios si es 3, cuartos si es 4, quintos si es 5 y así sucesivamente. A partir de números mayores a diez añadimos el sufijo –avos; como onceavos. Los gráficos de las fracciones se representan por medio de figuras divididas en tantas partes como muestra el denominador y con tantas partes pintadas como señala el numerador.

Podemos representar fracciones propias e impropias en gráficos con formas de figuras geométricas.

tipos de fracciones

Dos o más fracciones son homogéneas si comparten el mismo denominador, en cambio, si dos o más fracciones tienen distinto denominador se las llama heterogéneas. También existen las fracciones propias o puras, que son aquellas que tienen un numerador menor que el denominador y siempre son menores a un entero; y las fracciones impropias o impuras, que tienen un numerador mayor que el denominador y son mayores a uno.

Depende del país en el que nos encontramos, la fracción propia se puede llamar también fracción pura.

operaciones con fracciones homogéneas

Para sumar y restar fracciones homogéneas primero sumamos o restamos los numeradores y mantenemos el mismo denominador. Así como ordenamos números naturales, también lo podemos hacer con las fracciones, para esto usamos los símbolos de relación como > (mayor que) y < (menor que). Por otro lado, existen fracciones con distintos numeradores y denominadores pero que representan la misma cantidad, a estas se las conoce como fracciones equivalentes.

Las fracciones propias siempre tienen el numerador menor al denominador y representan una cantidad inferior a la unidad.

CAPÍTULO 6 / TEMA 4 (REVISIÓN)

Estadística y probabilidad | ¿Qué aprendimos?

Recursos para representar datos

Existen diversas formas de representar los datos con la finalidad de que su análisis y comprensión sea más fácil. Los gráficos y tablas son usados en diversas áreas y como recurso visual son de gran importancia. Los pictogramas permiten una comprensión más rápida de los datos porque emplean imágenes y símbolos. Las tablas son otro recurso que agrupa y ordena los datos en filas y columnas, y generalmente los ordena en función de los datos cualitativos y cuantitativos que se estudien. Finalmente, los gráficos de barra asocian el valor de los datos a columnas que se encuentran, a su vez, relacionadas a una escala.

Los gráficos como recurso visual permiten interpretar de forma rápida un conjunto de datos.

Interpretación de datos

Los datos por sí solos no tienen ningún valor si no se interpretan, pero antes de hacerlo hay que recopilarlos. La encuesta es una manera de obtener datos a través de un cuestionario prediseñado que es aplicado a un grupo de personas. El promedio aritmético o media aritmética corresponde al valor promedio de un conjunto de datos, y se obtiene al dividir la suma de todos los datos entre el número de datos. La moda, por su parte, es el dato que más se repite. Las tablas de doble entrada son una herramienta útil para entender las combinaciones posibles de un problema.

Los datos obtenidos en una encuesta se suelen representar en gráficos y tablas para su análisis.

Probabilidad

A los eventos que se pueden predecir y cuyo resultado se conoce con anterioridad se los conoce como sucesos deterministas o seguros. También hay eventos en los que el resultado no se conoce con certeza porque ocurre al azar. Es en este tipo de experimentos aleatorios donde más se concentra la probabilidad, la cual estudia la posibilidad de que un evento ocurra o no. Estos eventos pueden ser de varios tipos: mutuamente excluyentes cuando es imposible que ocurran de manera simultánea con otros; independientes cuando no se ven influenciados por la ocurrencia de otros eventos; y dependientes si se ven afectados por la ocurrencia de otros.

Los eventos aleatorios se caracterizan porque su resultado no se puede predecir.

CAPÍTULO 1 / TEMA 3

VALOR POSICIONAL

El sistema de numeración decimal se caracteriza por ser de base 10 y por ser posicional. Esto significa que solo usa diez dígitos y que la posición de cada uno de ellos determina el valor que tienen. La tablas posicionales y la descomposición son algunas técnicas que podemos emplear para escribir y leer números con más de cinco cifras de manera sencilla. A continuación verás lo fácil que es.

VALOR POSICIONAL DE CIFRAS HASTA 1.000.000

En el sistema de numeración decimal contamos con los siguientes dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Con ellos podemos formar todos los números del sistema ya que si variamos la posición de las cifras dentro del número, también cambiamos su valor. Esta característica se denomina valor posicional.

Como podemos observar en este ejemplo, todas las cifras que componen el número 999.999 son las mismas: 9, pero cada una tiene un valor diferente debido a su posición dentro del número.

Como ya sabemos, luego de 3 cifras debemos colocar un punto. En este caso, dicho punto separa a los miles de los millones. El número que le sigue al 999.999 es el millón, que se escribe de la siguiente manera:

1.000.000

¿Sabías qué?
Si empiezas a contar de uno en uno no terminarás nunca porque los números no tienen un final, es decir, son infinitos.
Cuando algo no termina decimos que es infinito, y los números son un ejemplo de ello. No hay un límite final para los números, pero tampoco hay un comienzo, ya que antes del 0 hay una infinidad de número negativos. Cuando queramos expresar que una cuenta es infinita podemos utilizar el símbolo que lo representa: ∞.

LA TABLA POSICIONAL

Existe una clasificación según la posición que tengan las cifras dentro del número. Cada posición recibe el nombre de un orden, como las unidades, decenas y centenas. Cada tres órdenes se forma una clase, que va desde las unidades, miles, millones, millares de millón, billones, etc. Podemos observar toda esta información en una tabla posicional.

– Ejemplo:

Según la tabla posicional, los valores de cada cifra de derecha a izquierda son los siguientes:

  • 2 unidades = 2 se lee “dos”.
  • 3 decenas = 30 se lee “treinta”
  • 5 centenas = 500 se lee “quinientos”.
  • 9 unidades de mil = 9.000 se lee “nueve mil”.
  • 4 decenas de mil = 40.000 se lee “cuarenta mil”.
  • 8 centenas de mil = 800.000 se lee “ochocientos mil”.
  • 1 unidad de millón = 1.000.000 se lee “un millón”

Por lo tanto, el número 1.849.532 se lee “un millón ochocientos cuarenta y nueve mil quinientos treinta y dos”.

 

– Otro ejemplo:

Según la tabla posicional, los valores son:

  • 5 unidades = 5 se lee “cinco”.
  • 8 decenas = 80 se lee “ochenta”.
  • 9 centenas = 900 se lee “novecientos”.
  • 2 unidades de mil = 2.000 se lee “dos mil”.
  • 4 decenas de mil = 40.000 se lee “cuarenta mil”.
  • 6 centenas de mil = 600.000 se lee “seiscientos mil”.
  • 1 unidad de millón = 1.000.000 se lee “un millón”.

Entonces, el número 1.642.985 se lee “un millón seiscientos cuarenta y dos mil novecientos ochenta y cinco”.

¡Es tu turno!

Coloca los siguientes números en sus tablas posicionales:

  • 1.022.467
Solución

  • 270.628
Solución

  • 896.501
Solución

VALOR POSICIONAL DE DECIMALES

Los números decimales se componen de una parte entera y una parte decimal que van separadas por una coma. Esto quiere decir que de un lado de la coma vamos a tener la parte de los números enteros con unidades, decenas, centenas, etc.; y del otro lado, la parte decimal que también tiene valores posicionales conocidos como décimas, centésimas, milésimas, etc.

 

La parte decimal de los números decimales también puede ser representada en una tabla posicional. Al igual que la parte entera, el valor cambia de acuerdo a la posición de la cifra.

Unidades decimales

Son las que obtenemos al dividir la unidad en partes iguales. Las primeras unidades decimales son las décimas, las centésimas y las milésimas.

Décimas Centésimas Milésimas
\boldsymbol{\frac{1}{10}=0,1} \boldsymbol{\frac{1}{100}=0,01} \boldsymbol{\frac{1}{1.000}=0,001}
1 unidad = 10 décimas

1 décima = 0,1 unidades

 1 unidad = 100 centésimas

1 centésima = 0,01 unidades

 1 unidad = 1.000 milésimas

1 milésima = 0,001 unidades

– Ejemplo:

Podemos leer los números decimales de dos formas:

  1. Leemos la parte entera seguida de la palabra “enteros”. Luego leemos la parte decimal como se lee la parte entera y mencionamos la posición en la que está la última cifra.
  2. Leemos la parte entera seguida de la palabra “coma”. Después leemos la parte decimal de la misma forma en la que lees la parte entera.

De este modo, el número 5.897,234 puede ser leído de dos formas, ambas correctas:

  1. “Cinco mil ochocientos noventa y siete enteros doscientos treinta y cuatro milésimas“.
  2. “Cinco mil ochocientos noventa y siete coma doscientos treinta y cuatro”.

DESCOMPOSICIÓN ADITIVA DE UN NÚMERO

Todos los números pueden descomponerse de diversas maneras. Una de ellas es la descomposición aditiva, la cual consiste en representar números como la suma de otros.

Por ejemplo, podemos descomponer el número 128 de forma aditiva y representarlo así:

128 = 100 + 20 + 8

Observa que sumamos los valores posicionales de cada cifra.

– Otros ejemplos:

  • 419.847 = 400.000 + 10.000 + 9.000 + 800 + 40 + 7
  • 1.589.634 = 1.000.000 + 500.000 + 80.000 + 9.000 + 600 + 30 + 4
  • 25,39 = 20 + 5 + 0,3 + 0,09 
Cualquier número puede ser expresado a través de la suma, en lo que se conoce como descomposición aditiva. Este tipo de descomposición considera el valor posicional de cada una de sus cifras, pero también es posible verlo como la suma de diferentes cifras, por ejemplo, 15 = 10 + 5, pero también lo podemos escribir como 15 = 7 + 8.

DESCOMPOSICIÓN MULTIPLICATIVA DE UN NÚMERO

Es otro tipo de descomposición en el que representamos números por medio de multiplicaciones. Aquí tomamos en cuenta el valor del dígito por el valor de su posición.

– Ejemplo:

Este número tiene:

  • 2 unidades = 2 × 1
  • 3 decenas = 3 × 10
  • 9 centenas = 9 × 100
  • 6 unidades de mil = 6 × 1.000

Su descomposición multiplicativa es:

6.932 = 6 × 1.000 + 9 × 100 + 3 × 10 + 2 × 1 

– Otros ejemplos:

  • 958.348 = 9 × 100.000 + 5 × 10.000 + 8 × 1.000 + 3 × 100 + 4 × 10 + 8 × 1
  • 22.076 = 2 × 10.000 + 2 × 1.000 + 7 × 10 + 6 × 1
  • 143,896 =1 × 100 + 4 × 10 + 3 × 1 + 8 × 0,1 + 9 × 0,01 + 6 × 0,001

¡A practicar!

1. Coloca los siguientes números en tablas posicionales.

  • 775.426
Solución

  • 2.325,682
Solución

  • 987.110,85
Solución

 

2. Escribe la descomposición aditiva de los siguientes números:

  • 6.887
Solución

6.887 = 6.000 + 800 + 80 + 7

  • 359
Solución

359 = 300 + 50 + 9

  • 856.421
Solución

856.421 = 800.00 + 50.00 + 6.000 + 400 + 20 + 1

  • 1.325.644,856
Solución

1.325.644,856 = 1.000.000 + 300.000 + 20.000 + 5.000 + 600 + 40 + 4 + 0,8 + 0,05 + 0,006

 

3. Escribe la descomposición multiplicativa de los siguientes números:

  • 427
Solución

427 = 4 × 100 + 2 × 10 + 7 × 1

  • 17.504
Solución

17.504 = 1 × 10.000 + 7 × 1.000 + 5 × 100 + 4 × 1

266.915

Solución

266.915 = 2 × 100.000 + 6 × 10.000 + 6 × 1.000 + 9 × 100 + 1 × 10 + 5 × 1

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo destacado “Sistemas posicionales de numeración”

El siguiente artículo te permitirá conocer más acerca del valor posicional en distintos sistemas de numeración.

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Artículo destacado “Composición y descomposición de números”

El siguiente artículo te permitirá profundizar la información sobre la composición y descomposición de los números.

VER

CAPÍTULO 5 / TEMA 4

OPERACIONES CON FRACCIONES homogéneas

Si la mamá de Carla compró 1/2 kg de naranjas y su papá compró 3/2 kg de naranjas, ¿cuántos kg de naranja hay en total? Esta situación la podemos encontrar a diario en nuestra vida. Para resolverla tenemos que involucrar operaciones básicas como la suma o la resta a números fraccionarios. Las características de cada fracción nos indicarán qué pasos tenemos que seguir.

Cada vez que dividimos un todo en varias partes iguales usamos fracciones. Todas las fracciones son divisiones sin resolver que tienen un numerador y un denominador, ambos separados por una raya fraccionaria. Las usamos cuando repartimos comida, seguimos instrucciones de recetas o pedimos una parte o porción de algo.

VER INFOGRAFÍA

suma de fracciones homogéneas

Recordemos que dos o más fracciones son homogéneas cuando comparten el mismo denominador. Sumar este tipo de fracciones es muy fácil. Primero sumamos los numeradores, el número resultante será el numerador de la fracción y mantenemos el mismo denominador. Veamos un ejemplo:

\boldsymbol{\frac{{\color{Blue} 1}}{{\color{Red} 5}}+\frac{{\color{Blue} 6}}{{\color{Red} 5}}=\frac{{\color{Blue} 1+6}}{{\color{Red} 5}}=\frac{7}{5}}

 

– Otros ejemplos:

\boldsymbol{\frac{{\color{Blue} 1}}{{\color{Red} 2}}+\frac{{\color{Blue} 3}}{{\color{Red} 2}}=\frac{{\color{Blue} 1+3}}{{\color{Red} 2}}=\frac{4}{2}=2}

 

\boldsymbol{\frac{{\color{Blue} 12}}{{\color{Red} 8}}+\frac{{\color{Blue} 4}}{{\color{Red} 8}}=\frac{{\color{Blue} 12+8}}{{\color{Red} 8}}=\frac{20}{8}}

sustracción de fracciones homogéneas

Del mismo modo que se resuelve la suma de fracciones homogéneas, en la sustracción primero restamos los numeradores y conservamos el mismo denominador. Por ejemplo:

\boldsymbol{\frac{{\color{Blue} 6}}{{\color{Red} 7}}-\frac{{\color{Blue} 3}}{{\color{Red} 7}}=\frac{{\color{Blue} 6-3}}{{\color{Red} 7}}=\frac{3}{7}}

– Otros ejemplos:

\boldsymbol{\frac{{\color{Blue} 8}}{{\color{Red} 5}}-\frac{{\color{Blue} 4}}{{\color{Red} 5}}=\frac{{\color{Blue} 8-4}}{{\color{Red} 5}}=\frac{4}{5}}

 

\boldsymbol{\frac{{\color{Blue} 10}}{{\color{Red} 3}}-\frac{{\color{Blue} 8}}{{\color{Red} 3}}=\frac{{\color{Blue} 10-8}}{{\color{Red} 3}}=\frac{2}{3}}

fracciones equivalentes

Las fracciones equivalentes son fracciones que tienen distinto numerador y denominador pero representan una misma cantidad. Hay dos métodos para calcular fracciones equivalentes: por amplificación y por simplificación.

  • Por el método de amplificación multiplicamos el numerador y el denominador por un mismo número.

Por ejemplo, \frac{1}{3} es la fracción equivalente a \frac{3}{9}, porque tanto el numerador como el denominador fueron multiplicados por 3.

 

  • Por el método de simplificación dividimos el numerador y el denominador por un mismo número.

Por ejemplo, la fracción \frac{22}{10} es equivalente a \frac{11}{5} porque tanto el numerador como el denominador fueron divididos por 2.

 

Se puede simplificar una fracción hasta obtener su mínima expresión, es decir, hasta conseguir la fracción irreducible. Se la llama irreducible porque el numerador y el denominador no comparten los mismos divisores. Obtener esta expresión hace que se simplifiquen los cálculos y la escritura de fracciones.

¿Cómo sabemos si dos fracciones son equivalentes?

El cálculo que permite determinar si dos fracciones son iguales es el método de multiplicar cruzado los numeradores y denominadores de ambas fracciones.

Para saber si \frac{2}{5} y \frac{4}{10} son fracciones equivalentes debes seguir estos pasos:

1. Multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda.

2. Multiplica el numerador de la segunda fracción por el denominador de la primera.

3. Compara los dos resultados. Sin los dos son iguales significa que las dos fracciones son equivalentes.

\boldsymbol{\frac{2}{5}=\frac{4}{10}}

orden de fracciones

Todos los números tienen un orden y las fracciones no son la excepción. Para establecer ese orden podemos comparar sus elementos y determinar si son mayores, menores o iguales unas con otras. Los símbolos que se usan para compararlas son:

Símbolo Significado
> Mayor que
< Menor que

Cuando las fracciones tienen igual denominador y se quiere saber si una es mayor que la otra solo tenemos que comparar sus numeradores. Una fracción es mayor que otra si tiene el numerador más grande. Por ejemplo:

\boldsymbol{\frac{7}{6}>\frac{5}{6}} porque 7 es mayor que 5.

Para determinar si una fracción es menor que otra y sus denominadores son iguales, solo comparamos los numeradores. Veamos un ejemplo:

\boldsymbol{\frac{8}{9}<\frac{13}{9}} porque 8 es menor que 13.

problemas

Día a día nos cruzamos con problemas que involucran fracciones y son las diferentes operaciones básicas las que nos permiten resolverlos. Algunas veces nos toca comparar fracciones para saber, por ejemplo, quién comió más chocolate; otras veces cuántas partes de jugo se tomó y cuántas quedan.

Pasos a seguir para resolver problemas con fracciones

Los siguientes pasos también servirán para resolver problemas con números naturales.

  1. Lee atentamente el problema.
  2. Identifica y anota los datos del problema.
  3. Piensa qué pide el problema, ¿qué pregunta hace?
  4. Establece qué operaciones permiten resolver el problema.
  5. Haz los cálculos.
  6. Relee la pregunta del problema para luego contestarla.

1. Carla y María se repartieron una barra de chocolate en 6 partes iguales, Carla comió \frac{3}{6} y María \frac{2}{6}. ¿Quién comió más chocolate?

  • Datos

Cantidad de chocolate que comió Carla: \frac{3}{6}

Cantidad de chocolate que comió María: \frac{2}{6}

  • Pregunta

¿Quién comió más chocolate?

  • Piensa

Para saber quién comió más hay que comparar las dos fracciones. Como son homogéneas solo no fijamos en los numeradores.

  • Calcula

\boldsymbol{\frac{3}{6}>\frac{2}{6}} porque 3 es mayor que 2.

  • Respuesta

Carla comió más chocolate que María.

2. Pedro tenía en la heladera \frac{3}{4} de litro de jugo de naranja. Si tomó \frac{1}{4} de litro, ¿cuánto jugo le quedó?

  • Datos

Litros de jugo naranja en la heladera: \frac{3}{4}

Litros de jugo que tomó Pedro: \frac{1}{4}

  • Pregunta

¿Cuánto jugo le quedó?

  • Piensa

Hay que restar la cantidad de jugo que tomó Pedro a la cantidad de jugo que había en la heladera.

  • Calcula

\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{3-1}{4}=\boldsymbol{\frac{2}{4}}

  • Respuesta

A Pedro le quedaron \frac{2}{4} de litro de jugo de naranja.

3. Si Pedro prepara \frac{5}{4} de litro de jugo y los une con \frac{2}{4} de litro de jugo que le quedaron, ¿cuánto jugo tiene ahora?

  • Datos

Litros de jugo que preparó Pedro: \frac{5}{4}

Litro de jugo que ya tiene Pedro: \frac{2}{4}

  • Pregunta

¿Cuánto jugo tiene ahora?

  • Piensa

Para saber la cantidad total de jugo hay que sumar las dos cantidades.

  • Calcula

\frac{5}{4}+\frac{2}{4}=\frac{5+2}{4}=\boldsymbol{\frac{7}{4}}

  • Respuesta

Pedro tiene ahora \frac{7}{4} de litro de jugo de naranja.

¡A practicar!

1. Resuelve las siguientes operaciones.

  • \frac{7}{8}-\frac{2}{8}=
Solución

\frac{7}{8}-\frac{2}{8}=\frac{7-2}{8}=\boldsymbol{\frac{5}{8}}

  • \frac{4}{3}+\frac{6}{3}=
Solución

\frac{4}{3}+\frac{6}{3}=\frac{4+6}{3}=\boldsymbol{\frac{10}{3}}

  • \frac{16}{5}-\frac{4}{5}=
Solución

\frac{16}{5}-\frac{4}{5}=\frac{16-4}{5}=\boldsymbol{\frac{12}{5}}

  • \frac{9}{7}+\frac{3}{7}=
Solución

\frac{9}{7}+\frac{3}{7}=\frac{9+3}{7}=\boldsymbol{\frac{12}{7}}

 

2. Ordenar de mayor a menor las siguientes fracciones.

\frac{4}{5},\: \: \: \frac{2}{5},\: \: \: \frac{1}{5},\: \: \: \frac{6}{5},\: \: \: \frac{3}{5}

Solución

\frac{6}{5}>\frac{4}{5}>\frac{3}{5}>\frac{2}{5}>\frac{1}{5}

3. Ordenar de menor a mayor las siguientes fracciones.

\frac{7}{7},\: \: \: \frac{3}{7},\: \: \: \frac{5}{7},\: \: \: \frac{2}{7},\: \: \: \frac{9}{7}

Solución

\frac{2}{7}<\frac{3}{7}<\frac{5}{7}<\frac{7}{7}<\frac{9}{7}

 

4. Determina si las siguientes fracciones son equivalentes.

  • \frac{3}{5} y \frac{9}{15}
Solución
Son fracciones equivalentes porque 3 × 15 = 45 y 9 × 5 = 45.

  • \frac{2}{9} y \frac{10}{42}
Solución
No son fracciones equivalentes porque 2 × 42 = 84 y 10 × 9 = 90.

  • \frac{6}{18} y \frac{3}{9}
Solución
Son fracciones equivalentes porque 6 × 9 = 54 y 18 × 3 = 54.

 

5. Marianela se va de vacaciones con su familia. En la primera hora de viaje recorrieron \frac{3}{8} del trayecto y en la segunda hora, \frac{2}{8} del trayecto. ¿Cuánto del trayecto ya recorrieron?

Solución
Recorrieron \frac{5}{8} del trayecto.

 

6. Marcos tiene \frac{9}{12} de una tarta y le regala a su vecino \frac{3}{12}, ¿cuánto le queda de la tarta?

Solución
Le queda \frac{6}{12} de tarta.
RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Adición y sustracción de fracciones”

Este recurso permitirá profundizar en el tema de la suma y resta de fracciones.

VER

Artículo “Fracciones decimales y equivalentes”

Este recurso permitirá complementar la información sobre fracciones equivalentes mediante múltiples ejemplos.

VER

Artículo “Partes y porciones”

El siguiente artículo profundiza temas tales como fracciones equivalentes, orden de las fracciones y otros.

VER

CAPÍTULO 1 / TEMA 1

¿QUÉ SON LOS NÚMEROS?

¿QUÉ EDAD TIENES?, ¿QUÉ HORA ES?, ¿CUÁNTOS HERMANOS TIENES?, ¿QUÉ FECHA ES HOY? PARA RESPONDER TODAS ESTAS PREGUNTAS TENEMOS QUE USAR LOS NÚMEROS. LOS NÚMEROS SON SÍMBOLOS QUE REPRESENTAN CANTIDADES Y LOS USAMOS TODOS LOS DÍAS PARA CONTAR. HOY APRENDERÁS CUÁLES SON Y CÓMO ESCRIBIRLOS.

LOS NÚMEROS ESTÁN POR TODAS PARTES: EN LAS RECETAS DE COMIDA, EN LOS BILLETES, EN LO CALENDARIOS, EN LA LISTA DE CLASE, EN NUESTRO DOCUMENTO DE IDENTIDAD, EN LOS TELÉFONOS Y HASTA EN LAS CAMISETAS DE LOS JUGADORES. TODOS LOS DÍAS USAMOS NÚMEROS, NO SOLO PARA CONTAR SINO TAMBIÉN PARA IDENTIFICAR COSAS O PERSONAS.

¿CUÁLES SON LOS PRIMEROS NÚMEROS?

¿HAS CONTADO CORDEROS CUANDO NO PUEDES DORMIR? SI ES ASÍ, ENTONCES YA PUEDES IMAGINAR LO QUE SIGNIFICA CADA NÚMERO. OBSERVA:

COMO VES, CADA NÚMERO TIENE UN SÍMBOLO QUE LO REPRESENTA. ¡Y PODEMOS SEGUIR CON LA CUENTA!

¿SABÍAS QUÉ?
CUANDO NO HAY NADA PARA CONTAR USAMOS EL NÚMERO CERO. SU SÍMBOLO ES 0.

HISTORIA DE LOS NÚMEROS

DESDE LA PREHISTORIA LOS SERES HUMANOS HAN NECESITADO USAR LOS NÚMEROS. AL PRINCIPIO UTILIZABAN LOS DEDOS DE LAS MANOS PARA CONTAR, ALGUNOS USARON PIEDRAS Y PALOS CUANDO TENÍAN QUE CONTAR MÁS DE DIEZ COSAS Y NO LES ALCANZABAN LOS DEDOS.

PASARON MILES DE AÑOS HASTA QUE SE INVENTARON SÍMBOLOS PARA REPRESENTAR A LOS NÚMEROS, Y MUCHOS AÑOS MÁS HASTA QUE SE INVENTARON LOS NÚMEROS TAL COMO LOS CONOCEMOS AHORA.

¿CUÁNTO DEDOS TIENE UNA DE TUS MANOS? ¡5! CON ESOS CINCO DEDOS PODEMOS HACER CUENTAS SENCILLAS, Y SABER, POR EJEMPLO, LA CANTIDAD DE PELOTAS QUE TENEMOS, O LA CANTIDAD DE TAREA QUE TENEMOS QUE HACER. LOS DEDOS DE LAS MANOS FUERON UNO DE LOS PRIMEROS SISTEMAS PARA CONTAR Y CON EL TIEMPO ESAS CANTIDADES SE REPRESENTARON CON SÍMBOLOS COMO 1, 2, 3, 4 Y 5.

USOS DE LOS NÚMEROS EN LA VIDA COTIDIANA

EN LA ACTUALIDAD USAMOS LOS NÚMEROS PARA MUCHAS COSAS MÁS QUE PARA CONTAR CORDERITOS. SI PRESTAS ATENCIÓN, HAY NÚMEROS POR TODAS PARTES.

  • EN LOS PASTELES DE CUMPLEAÑOS.

  • EN LAS CALCULADORAS.

  • EN LOS RELOJES.

 

  • EN LAS REGLAS Y ESCUADRAS DEL COLEGIO.

¡CONTEMOS!

  • ¿CONOCES EL CUENTO DE LOS CERDITOS?, ¿RECUERDAS CUÁNTOS SON?

¡VAMOS A CONTARLOS! UNO, DOS Y TRES. ¡SON TRES CERDITOS!

EL NÚMERO TRES SE ESCRIBE ASÍ: 3

  • ¿SABES CUÁNTOS SON LOS ENANITOS DEL CUENTO DE BLANCANIEVES?

¡VAMOS A CONTARLOS! UNO, DOS, TRES, CUATRO, CINCO, SEIS Y SIETE. ¡SON SIETE ENANITOS!

EL NÚMERO SIETE SE ESCRIBE ASÍ: 7

  • ¿CUÁNTOS CARACOLES HAY?

¡VAMOS A CONTARLOS! UNOS, DOS, TRES, CUATRO, CINCO, SEIS, SIETE, OCHO Y NUEVE. ¡HAY NUEVE CARACOLES!

EL NÚMERO NUEVE SE ESCRIBE ASÍ: 9

CONTAR GRANDES CANTIDADES

CUANDO QUEREMOS CONTAR UN NÚMERO GRANDE DE OBJETOS ES IMPORTANTE SEGUIR UN ORDEN: DE IZQUIERDA A DERECHA. OTRO TRUCO PARA NO CONFUNDIRSE AL CONTAR ES HACERLE UNA PEQUEÑA MARCA AL OBJETO QUE YA HEMOS CONTADO.

¡A PRACTICAR!

1. PARA CADA GRUPO, ENCIERRA EN UN CÍRCULO EL NÚMERO CORRECTO.

SOLUCIÓN

 

2. RESPONDE LAS PREGUNTAS:

  • ¿CUÁNTAS CAPERUCITAS HAY?

SOLUCIÓN
HAY 6 CAPERUCITAS.
  • ¿CUÁNTOS LOBOS HAY?

 

SOLUCIÓN
HAY 8 LOBOS.
  • ¿CUÁNTOS ZAPATOS HAY?

SOLUCIÓN
HAY 4 ZAPATOS.

 

3. COLOREA. SIGUE LAS CLAVES Y DESCUBRE LA IMAGEN.

 

4. COLOREA NUEVE CORDEROS.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Matemática en la vida cotidiana”

Este artículo permitirá profundizar sobre la presencia de los números en incontables aspectos de nuestra vida cotidiana.

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