Una de las curvas más estudiadas en la geometría es, sin duda, la circunferencia. Tiene características únicas y ha sido pieza fundamental en invenciones humanas como la rueda. Para trazar esta figura usamos el compás, y su longitud está determinada por un número muy particular: el número pi.
¿Qué es una circunferencia?
Es la curva plana y cerrada cuyos puntos equidistan del centro; es decir, están a la misma distancia del centro de la circunferencia.
Los griegos y la circunferencia
Sin lugar a duda, los antiguos griegos tuvieron una gran influencia en el perfeccionamiento de la geometría. Para ellos, la línea recta y la circunferencia eran muy importantes en sus construcciones matemáticas, lo que permitió que realizaran increíbles descubrimientos para su época. Por ejemplo, Eratóstene de Cirene, que vivió entre 276 y 194 a. C., fue la primera persona en calcular la circunferencia de la Tierra.
Elementos de la circunferencia
En la circunferencia se pueden observar los siguientes elementos:
Centro: es el punto en torno al cual equidistan todos los puntos de la curva.
Radio: es un segmento de recta que une el centro de la circunferencia con cualquiera de sus puntos.
Diámetro: es un segmento de recta que une a dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro de la misma. Su longitud es igual al doble del radio.
Cuerda: es un segmento de recta que une a dos puntos de la circunferencia sin pasar por el centro.
Arco: es una porción de la circunferencia que se encuentra limitada por una cuerda.
Semicircunferencia: es la porción de circunferencia limitada por el diámetro. Equivale a la mitad de la circunferencia.
Posiciones de una recta en relación a la circunferencia
Recta tangente: es la recta que comparte un mismo y único punto con la circunferencia.
Recta secante: es la recta que comparte dos puntos con la circunferencia.
Recta exterior: es la recta que no comparte ningún punto con la circunferencia.
¿Sabías qué?
La circunferencia de la tierra mide cerca de 40.000 km de longitud.
Diferencia entre círculo y circunferencia
Es posible que confundamos los conceptos de círculo y circunferencia porque están muy relacionados entre sí, pero se trata de dos términos diferentes. El círculo es una figura plana que corresponde al área contenida dentro de una circunferencia. La circunferencia, por su parte, representa el perímetro del círculo, es decir, es la línea que forma el contorno de la figura.
El círculo es una figura que presenta diferentes elementos, como el semicírculo, los sectores circulares y los segmentos circulares. El primero es el área comprendida entre el diámetro y una semicircunferencia; el segundo consiste en las regiones comprendidas entre dos radios y el arco que estos forman; y el tercero se trata de los segmentos que se forman entre una cuerda y su arco.
Trazado de circunferencias
El compás es el instrumento por excelencia para trazar circunferencias y su origen es muy antiguo. Un compás consta de los siguientes elementos principales:
Un mango.
Una punta metálica.
Una punta trazadora.
Dos brazos regulables.
El uso de esta herramienta es relativamente sencillo. Para trazar una circunferencia con un compás lo primero que debemos hacer es conocer el radio de la circunferencia y trazarlo con la ayuda de una regla. Luego posicionamos la punta metálica en uno de los extremos del segmento y luego abrimos los brazos hasta que la punta trazadora esté ubicada en el otro extremo del segmento. Finalmente, con ayuda del mango, trazamos la circunferencia.
Circunferencias a nuestro alrededor
Un anillo o un aro son ejemplos de circunferencias, pero hay muchos más. Al ser una circunferencia el contorno de un círculo, la observamos en los bordes de las ruedas de los autos, en un molde para hacer una torta o un pastel y hasta incluso en juguetes como los platos voladores.
Las circunferencias han sido elementos fundamentales en el desarrollo de la geometría y con ello también han permitido a los seres humanos realizar grandes invenciones como la rueda.
La circunferencia es el contorno de una de las figuras más comunes: el círculo. Es frecuente observarlas en platos, ruedas, pasteles, diseños y pinturas. Han permitido realizar cálculos y aproximaciones, como el descubrimiento del número pi que relaciona la longitud de la circunferencia con su radio y que ha tenido numerosas aplicaciones prácticas.
¡A practicar!
Además del centro, ¿qué elementos de la circunferencia observas?
a)
Solución
Diámetro.
b)
Solución
Arco.
c)
Solución
Cuerda.
d)
Solución
Radio.
2. ¿Cuál de las siguientes rectas es una tangente?
a)
b)
c)
d)
Solución
c) Es tangente porque solo comparte un punto en común con la circunferencia.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Circunferencia”
El siguiente artículo explica de forma resumida qué es una circunferencia y los diferentes elementos que la integran como el radio, la cuerda, el diámetro, etc.
El volumen y la capacidad son dos conceptos que empleamos a diario. A veces necesitamos medir la cantidad de agua para una receta y otras veces necesitamos saber cuánto puede contener un molde para tortas. En el primer caso hablamos de volumen y en el segundo de capacidad. A pesar de estar relacionados, cada magnitud emplea distintas unidades de medida para los cálculos.
Cálculo de volumen de cubos
Así como en área empleamos cuadrados como referencia para medir una superficie, en la medición del volumen empleamos cubos como referencia.
El volumen es el espacio ocupado por un objeto. Por ejemplo, si una caja tiene un volumen de 200 cm3 (centímetros cúbicos) quiere decir que está formado por 200 cubos que miden 1 cm en cada lado, cada uno.
Para comprender mejor el concepto de volumen, debemos aprender cómo calcularlo en cubos. La fórmula es la siguiente:
Donde:
V = volumen.
a = longitud de los lados del cubo.
La fórmula de volumen también puede expresarse como
– Ejemplo:
Calcula el volumen del siguiente cubo:
Como es un cubo, cada lado mide 3 cm y hay que aplicar la fórmula de volumen, es decir, multiplicar la longitud de un lado tres veces:
Observa que la unidad centímetro se multiplicó tres veces, por lo tanto, al final se expresa en cm3.
Un cubo tiene tres dimensiones: alto, ancho y profundidad.
Cuando medimos, relacionamos una cantidad con una unidad de medida base, en otras palabras, medir es un proceso de comparación. El volumen es una característica muy importante de los cuerpos porque permite saber cuánto ocupa el mismo en el espacio. Los científicos suelen medir volúmenes de muestras en sus diferentes estudios y ensayos a través de equipos especializados.
Comparación de volúmenes
Todos los objetos ocupan un lugar en el espacio, por lo tanto tienen volumen. Ese espacio ocupado depende de las características del material, por eso, para realizar comparaciones entre objetos usamos medidas de volumen.
Cuanto mayor sea el lugar que ocupe un cuerpo en el espacio, mayor será su volumen. Por ejemplo, el volumen que ocupa un grano de arroz no es igual al volumen que ocupa un edificio.
Observa las siguientes figuras:
Imaginemos que cada cubo equivale a 1 cm3, ¿cuántos cubos de 1 cm3 tiene la figura 1?, ¿y la figura 2?, ¿cuál figura tiene mayor volumen?
La figura 1 tiene 5 cubos de 1 cm3, así que su volumen es de 5 cm3.
La figura 2 tiene 15 cubos de 1 cm3, así que su volumen es de 15 cm3.
La figura 2 tiene mayor volumen que la figura 1 y, por lo tanto, ocupa mayor espacio.
Otras unidades de volumen
La unidad empleada por el Sistema Internacional de Unidades es el metro cúbico (m3), sin embargo, esta unidad tiene múltiplos y submúltiplos que en situaciones cotidianas suelen emplearse, por ejemplo, el milímetro cúbico (mm3), el decímetro cúbico (dm3), el centímetro cúbico (cm3), etc.
También existen otras unidades de volumen como pulgada cúbica (pulg3) y pie cúbico (pie3).
El litro y las unidades de capacidad
La capacidad es la propiedad que tienen los objeto de contener a otras sustancias dentro de él. Por ejemplo, es común ver en el supermercado diferentes productos con envases en los que hay cierto volumen en su interior, ya sea de gaseosas, aceites o detergentes. El litro (L) es la medida de capacidad que vemos en las etiquetas de estos artículos.
Al ocupar un lugar en el espacio, todos los objetos tienen volumen pero no todos tienen capacidad. Por ejemplo, un objeto sólido como una barra de metal, tiene volumen pero no tiene capacidad.
Relación entre capacidad y volumen
La capacidad que tiene un recipiente es equivalente al volumen del objeto. De este modo, si construimos un cubo de 10 cm en cada lado y lo llenamos con agua en su interior, notaremos que la capacidad de ese cubo es igual a 1 litro ya que su volumen es igual a 1.000 cm3.
Recordemos que:
Algunas equivalencias útiles
1 litro es igual a 2 medios litros.
1 litro es igual a 4 cuartos de litro.
Medio litro es igual a 2 cuartos de litro.
¡A practicar!
Calcula el volumen de los siguientes cubos.
a)
Solución
V = 2 x 2 x 2 = 8 cm3.
b)
Solución
V = 1 x 1 x 1 = 1 cm3.
c)
Solución
V = 4 x 4 x 4 = 64 cm3.
d)
Solución
V = 5 x 5 x 5 =125 cm3.
2. ¿Cuál de los siguientes cubos tiene un volumen igual a 343 cm3?
a)
b)
c)
d)
Solución
b) Porque .
RECURSOS PARA DOCENTES
Video “Volumen de los cuerpos sólidos”
Este video muestra cómo se forman los cuerpos geométricos y explica las diferentes fórmulas de volumen en cada caso.
En este artículo destacado se explica qué es un sistema de medición, sus aplicaciones y los diferentes tipos de instrumentos para medir algunas unidades.
Vemos cuadriláteros en todas partes: desde la cara de un dado hasta una hoja de papel. Estas figuras geométricas son polígonos de cuatro lados con múltiples aplicaciones en la geometría. Se caracterizan por su diversidad y de acuerdo a ciertos criterios se pueden clasificar como paralelogramos, trapecios y trapezoides.
Características de los cuadriláteros
La palabra “cuadrilátero” proviene del latín y quiere decir “que tiene cuatro lados”. Entonces, los cuadriláteros son polígonos con cuatro lados que forman entre sí cuatro ángulos. Estas características permiten clasificarlos en varios tipos.
Curiosidades de los cuadriláteros
1. Presentan cuatro lados, cuatro vértices y cuatro ángulos.
2. Todo cuadrilátero tiene dos diagonales.
3. Las dos diagonales del cuadrilátero dividen al mismo en cuatro triángulos.
4. También se denominan cuadrángulo y tetrágono (ambas hacen mención a sus cuatro ángulos y lados).
¿Sabías qué?
La suma de los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero siempre es igual a 360°.
Un ángulo es la porción de plano comprendida entre dos semirrectas que tienen un origen común. Existen muchos tipos, algunos son:
Ángulo agudo: que tiene una amplitud menor a 90° pero mayor a 0°.
Ángulo recto: que tiene una amplitud igual a 90°.
Ángulo obtuso: que tiene una amplitud mayor a 90° pero menor a 180°.
Ángulo oblicuo: que no es recto. Los ángulos agudos y obtusos son ejemplo de ángulos oblicuos.
Clasificación de los cuadriláteros
La forma de un campo de fútbol no es igual a la forma de un campo de béisbol, pero en ambos casos hablamos de cuadriláteros. Este tipo de figuras se clasifica en tres grandes grupos: paralelogramos, trapecios y trapezoides.
Paralelogramos
Son cuadriláteros que presentan dos pares de lados paralelos. Los lados opuestos de todo cuadrilátero tienen la misma longitud. Se clasifican en:
Cuadrilátero
Nombre
Características
Cuadrado
– Todos sus lados son iguales.
– Sus ángulos internos son iguales y miden 90° (ángulo recto).
Rectángulo
– Sus lados contiguos (lados que están juntos) no son iguales, pero sus lados opuestos sí lo son.
– Sus ángulos interiores son iguales y miden 90° (ángulo recto).
Rombo
– Todos sus lados son iguales.
– Sus ángulos interiores son agudos (menores a 90°).
Romboide
– Sus lados contiguos son desiguales.
– Sus ángulos opuestos son iguales.
– De sus cuatro ángulos interiores siempre hay un par de ángulos mayor que el otro.
¿Sabías qué?
Los ángulos opuestos de un paralelogramo son congruentes, es decir, tienen la misma medida.
Trapecios
Son cuadriláteros en los que solo dos de sus lados son paralelos, estos lados son llamados bases y siempre hay una de mayor longitud, denominada base mayor; y otra de menor longitud, denominada base menor. Se clasifican en:
Cuadrilátero
Nombre
Características
Trapecio rectángulo
– Dos de sus ángulos interiores son iguales a 90°, es decir, son rectos.
Trapecio isósceles
– Sus lados no paralelos tienen la misma medida.
– Presentan dos ángulos agudos del mismo valor en una de las bases y dos ángulos obtusos del mismo valor sobre la otra base.
Trapecio escaleno
– Ninguno de sus lados tiene la misma longitud.
– Ninguno de sus ángulos es recto.
Trapezoides
Son cuadriláteros que no poseen ninguno de sus lados paralelos.
Cuadrilátero
Nombre
Características
Trapezoide
– Ninguno de sus lados consecutivos es igual.
Diagonales de los cuadriláteros
Las diagonales son los segmentos de rectas que unen el vértice de un ángulo con el vértice del ángulo opuesto no consecutivo. Todos los cuadriláteros tienen dos diagonales, pero sus características varían de acuerdo al tipo.
Paralelogramos
Las diagonales se cortan en el punto medio de ambas.
De acuerdo al tipo de paralelogramo las diagonales presentan estas características:
Cuadrado: sus diagonales son iguales y se cortan en ángulo recto.
Rombo: sus diagonales no son iguales pero se cortan en ángulo recto.
Rectángulo: sus diagonales tienen la misma longitud pero se cortan en un ángulo oblicuo.
Romboide: sus diagonales no son iguales y se cortan en un ángulo oblicuo.
Trapecios
Solo en los trapecios isósceles las diagonales son iguales, en los demás casos ambas diagonales son diferentes. En este tipo de figuras las diagonales siempre se cortan en un ángulo oblicuo.
Trapezoide
Los trapezoides presentan diagonales diferentes y oblicuas.
Disciplinas como la arquitectura, la ingeniería y las artes emplean las formas geométricas dentro de sus actividades. Conocer la geometría de las cosas permite tener una mejor visión de nuestro entorno y realizar comparaciones de manera más sencilla. De igual forma, muchas veces la geometría permite resolver problemas matemáticos de forma más simple.
¿Dónde podemos observar cuadriláteros?
Si prestamos atención a nuestro entorno seguramente vamos a ver más cuadriláteros de los que imaginábamos: las baldosas del piso, el techo de la casa, las puertas y ventanas… Incontables objetos tienen forma de cuadriláteros.
Conocer los cuadriláteros tiene muchas aplicaciones. Por ejemplo, si deseamos encontrar el punto medio de un objeto cuadrado como un cartón, basta con trazar dos diagonales y ubicar su punto de intersección.
El baloncesto es un deporte muy popular que emplea un tablero en forma de cuadrilátero, específicamente un rectángulo que mide por lo general 1,80 m de ancho y 1,05 m de alto. En su parte interna se encuentra otro rectángulo que permite calcular el tiro y de esta forma lograr que la pelota caiga sobre la canasta que se encuentra en su parte inferior.
¡A practicar!
Responde las siguientes preguntas.
a) ¿Cuántas diagonales tienen los cuadriláteros?
Solución
Dos diagonales.
b) ¿Qué tipo de trapecio tiene dos ángulos rectos?
Solución
Trapecio rectángulo.
c) ¿Qué tipo de paralelogramo tiene las dos diagonales diferentes pero se cortan en ángulo recto?
Solución
El rombo.
d) ¿Qué cuadrilátero no presenta ningún lado paralelo?
Solución
El trapezoide.
2. Identifica si las siguientes figuras corresponden a un paralelogramo, trapecio o trapezoide.
a)
Solución
Trapezoide.
b)
Solución
Paralelogramo.
c)
Solución
Paralelogramo.
d)
Solución
Trapecio.
e)
Solución
Paralelogramo.
f)
Solución
Trapecio.
g)
Solución
Paralelogramo.
h)
Solución
Trapecio.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Cuadriláteros”
Este artículo destacado describe los tipos de cuadriláteros y sus diferentes tipos y subtipos. También explica la importancia de reconocerlos y sus aplicaciones en la geometría y la publicidad.
Esta infografía permite comprender de manera ilustrada qué son los rectángulos y sus propiedades. También se enfoca en cómo construir este tipo de figura geométrica.
Son convencionalismos adoptados por el ser humano para medir la posición y otras magnitudes físicas. Se usan para hallar cuerpos celestes en el espacio y son la base para determinar nuestra ubicación en el planeta. También permiten establecer comparaciones y transformaciones entre las figuras representadas.
Ejes de coordenadas
El sistema de coordenadas cartesianas es uno de los sistemas de referencias usados para ubicar puntos en el espacio. En este caso específicamente se explicarán estas coordenadas orientadas al plano, es decir, en dos dimensiones.
El plano donde ubicamos los puntos se denomina plano cartesiano y está formado por los siguientes elementos:
Eje X: es también denominado eje de las abscisas, y se encuentra ubicado dentro del plano en forma horizontal.
Eje Y: es conocido también como eje de las ordenadas y está ubicado en sentido vertical dentro del plano.
Origen: es el punto de intersección entre los ejes de coordenadas X e Y.
Los ejes de coordenadas permiten ubicar puntos, gráficos o figuras dentro del plano cartesiano. Al tratarse de dos ejes: el de las abscisas o eje X y el de las ordenadas o eje Y, se requieren de dos coordenadas para ubicar un punto, es decir, un punto está definido dentro del plano si, y solo si, se conocen sus coordenadas en el eje X y en el eje Y.
¿Sabías qué?
El nombre de las coordenadas cartesianas proviene de la persona que las empleó por primera vez: René Descartes.
Un punto está definido por un par de números que hacen referencia a su posición respecto al eje X y al eje Y. Estos puntos son denominados coordenadas cartesianas y permiten graficarlo.
Para hacerlo, dividimos los ejes en segmentos con la misma longitud y a cada uno le asignamos el valor de un número entero. A la derecha del origen, escribimos los números de menor a mayor, esos serán los valores del eje X. Arriba del origen escribimos los números que le siguen al cero de menor a mayor, esos serán los valores del eje Y:
¿Sabías qué?
Los números negativos se representan a la izquierda del origen (eje X) y debajo del origen (eje Y).
Para ubicar un punto en el plano necesitamos las coordenadas de cada eje, que de ahora en adelante llamaremos coordenada en X y coordenada en Y para hacer mención a cuál eje se refieren. La coordenada X determina cuán a la derecha del origen está ubicado el punto; mientras que la coordenada Y, cuán arriba del origen está el punto.
La manera más frecuente de representar un punto es a través de paréntesis, y dentro indicamos la coordenada X y la coordenada Y, separadas por una coma:
El punto desde dónde se empieza a contar es en el origen porque se encuentra en la coordenada (0,0) lo que quiere decir que está a 0 posiciones de la derecha y a 0 posiciones hacia arriba.
Por ejemplo:
El punto A (3,2) se encuentra a tres posiciones a la derecha y a dos posiciones hacia arriba. Si lo queremos graficar, cada coordenada debe estar representada en el respectivo eje y el punto de intersección de ambas sería el punto A:
Cuando algunas de las coordenadas del punto sea igual a cero, significa que el punto se encuentra sobre el eje al cual corresponde la coordenada diferente de cero. Por ejemplo, el punto B (0,3) indica que se movió cero posiciones a la derecha y tres posiciones hacia arriba, por lo tanto se ubica sobre el eje Y que es el que tiene la coordenada diferente de cero:
Ejes de simetrías
La simetría es una relación proporcionada entre las partes que componen un todo. Así, por ejemplo, decimos que una imagen es simétrica cuando su forma no cambia si es girada o volteada. Para que exista simetría entre dos objetos, ambos deben ser del mismo tamaño y de la misma forma y uno debe estar en una orientación diferente a la del primero.
La forma de una mariposa es un ejemplo de simetría: si trazamos una línea imaginaria de forma vertical en el centro de la mariposa (eje de simetría), obtendríamos dos imágenes iguales pero con diferente orientación. Nuestros cuerpos también son simétricos: esto se debe a que contamos con la misma cantidad de miembros a cada lado.
El eje de simetría es una línea imaginaria que divide al dibujo en dos partes idénticas pero con diferente orientación. Los ejes de simetría pueden ser horizontales, verticales o inclinados.
De acuerdo a la figura geométrica, algunas pueden presentar uno o más ejes de simetría. Otras, en cambio, no presentan ninguno. Cuando una figura no es simétrica se denomina asimétrica.
Por ejemplo, no todos los triángulos tienen ejes de simetría, todo depende de su tipo. Si son equiláteros tienen tres ejes de simetría; si son isósceles tienen dos ejes de simetría, y si son escalenos no tienen ningún eje de simetría.
Transformaciones isométricas
Las transformaciones isométricas son los cambios de posición u orientación que experimenta una figura sin alterar su forma.
Traslación
Es un tipo de transformación isométrica donde se mueven todos los puntos de una figura en una misma dirección, sentido y longitud.
Rotación
También es conocida como giro. Es una transformación isométrica en la que la figura se mueve alrededor de un punto sin alterar su forma. El movimiento es determinado por un ángulo de rotación y puede ser en sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario.
La simetría como transformación isométrica
La simetría entre dos objetos es un tipo de transformación isométrica porque a cada punto del objeto o figura se lo asocia a otro conocido como imagen. Cada punto está a una misma distancia del otro respecto al eje de simetría. Este tipo de transformación también se conoce como reflexión.
¡A practicar!
1. ¿Cuál es la posición de estos números?
a)
Solución
C (4,3)
b)
Solución
D (1,2)
c)
Solución
E (5,0)
d)
Solución
F (4,5)
e)
Solución
G (3,3)
2. ¿A cuál de los siguientes puntos corresponde la coordenada (6,3)?
Solución
Corresponde al punto K (6,3).
3. ¿Cuál de estas figuras no es simétrica?
a)
b)
c)
d)
Solución
d) No es simétrica porque no tiene ningún eje de simetría.
4. ¿A qué tipo de transformación isométrica corresponde la gráfica?
Solución
Traslación.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Simetrías”
Este artículo explica qué es una simetría, sus tipos y su relación con los ejes. También incluye algunos ejemplos de simetría.
Este artículo explica qué es el plano cartesiano, sus características y divisiones por cuadrante. También incluye ejemplos sobre como ubicar puntos en este sistema.
El ángulo es uno de los elementos fundamentales para la geometría porque está presente en las figuras ¡Incluso las paredes de nuestras casas forman ángulos entre ellas! Se puede definir como la porción del plano que se encuentra delimitada por dos semirrectas que comparten el mismo origen.
Tipos de ángulos
Antes de poder reconocer los diferentes tipos de ángulos es necesario comprender los elementos que los forman.
Lado: es cada una de las semirrectas que conforman el ángulo y que tienen un origen en común.
Vértice: es el punto común o de origen de los lados.
Sistema de medida
El sistema usado para medir ángulos se denomina sistema sexagesimal, su unidad de medida es el grado (°) y resulta de dividir un ángulo llano en 180 partes, cada una de ellas representa un grado. Para medidas más pequeñas se usa el minuto (′) y el segundo (′′). Se denomina sexagesimal porque cada unidad es 60 veces mayor que la siguiente y 60 veces inferior que la anterior. Es por ello que 1° = 60′ y 1′ = 60′′.
De acuerdo a su tamaño los ángulos se clasifican en:
Ángulo agudo: es aquel mayor a 0° pero menor a 90°.
Ángulo recto: es aquel que mide 90°.
Ángulo obtuso: es aquel cuya medida es mayor a 90°pero menor a 180°.
Ángulo llano: es aquel cuyo ángulo es igual a 180°.
Uno de los instrumentos más usados para medir ángulos es el transportador, este presenta una serie de marcas que indican los grados. El más común es el transportador semicircular el cual viene graduado en 180°. Sus partes fundamentales son:
Para medir un ángulo con el transportador debemos seguir los siguientes pasos:
Ubicar el origen del transportador en el vértice del ángulo que se va a medir.
Hacer coincidir uno de los lados del ángulo con la línea horizontal de la base.
Leer el ángulo que corta el segundo lado. Si el ángulo está abierto hacia la izquierda se usa la escala externa, si está abierto hacia la derecha se usa la escala interna (de acuerdo al tipo de instrumento las escalas pueden invertirse).
¿Sabías qué?
El teodolito es un instrumento con mayor precisión que el transportador que permite medir grados, minutos y segundos.
Construcción de ángulos
Una de las formas de construir ángulos es a través de una regla y un transportador. Para ello debemos realizar los siguientes pasos:
1. Trazamos con ayuda de la regla una semirrecta que será más adelante uno de los lados del ángulo.
2. Ubicamos el origen del transportador en uno de los extremos de la semirrecta (este también será el origen del ángulo), de manera que el número cero de la escala coincida con el otro extremo.
3. Ubicamos en la escala el ángulo que deseamos construir, para este ejemplo queremos construir un ángulo de 40°.
4. Hacemos una marca en el punto donde leímos el ángulo deseado.
5. Unimos el origen con la lectura marcada, de esta forma construimos un ángulo agudo de 40°.
Además del transportador, otros instrumentos usados para construir ángulos son el compás y la escuadra. Esta última permite construir ángulos rectos. Disciplinas como la arquitectura hacen uso de los ángulos en sus diseños. La exactitud en las mediciones es importante porque de lo contrario muchas de las estructuras podrían sufrir daños y afectar a las personas.
Comparación de ángulos
Luego de conocer cómo funciona el sistema sexagesimal en la medición de ángulos, podemos concluir que los ángulos llanos son mayores que los obtusos, que los obtusos son mayores que los rectos y que estos últimos son mayores que los agudos.
De manera que cuando necesitemos comparar ángulos lo primero que debemos hacer es identificar qué tipo de ángulo es. En el caso de conocer los valores de los ángulos, realizamos la comparación de de los números de acuerdo a la cantidad que representan, es decir: un ángulo de 35° es mayor que uno de 20°, pero es menor que uno de 150°.
Los ángulos y el triángulo
Los ángulos son tan importantes que en sí mismos determinan un criterio de clasificación de los triángulos. En este sentido, los triángulos se clasifican en acutángulos, rectángulos y obtusángulos. Los triángulos acutángulos tienen todos sus ángulos internos agudos, los triángulos rectángulos tienen un ángulo recto y los otros dos agudos, los triángulos obtusángulos tienen un ángulo obtuso y los otros dos agudos. En los triángulos se cumple que la suma de sus ángulos internos siempre es igual 180°.
¡A practicar!
1. ¿A qué tipo de ángulo corresponde cada imagen?
a)
Solución
Ángulo recto.
b)
Solución
Ángulo llano.
c)
Solución
Ángulo obtuso.
d)
Solución
Ángulo agudo.
2. ¿Cuál de los siguientes ángulos no es agudo?
a) 95°
b) 30°
c) 3°
d) 84°
Solución
a) 95°. No es agudo porque no es menor a 90°.
3. ¿Cuál de los siguientes ángulos no es obtuso?
a) 125°
b) 95°
c) 160°
d) 180°
Solución
d) 180°. No es obtuso porque es igual a 180°, los ángulos obtusos deben ser mayores a 90° y menores a 180°.
4. ¿Cuál de los siguientes ángulos es agudo?
a) 90°
b) 180°
c) 200°
d) 50°
Solución
d) 50°. Es agudo por ser menor a 90°.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Ángulos”
El presente artículo profundiza más en los diferentes tipos de ángulos que existen según su medida, su posición y sus características.
Este artículo detalla los elementos y tipos de ángulos, su construcción y el uso del transportador. Al final se proponen una serie de ejercicios relacionados.
La fracciones están presentes en la vida cotidiana. Su utilidad es inmensa y sin ellas muchos cálculos matemáticos serían más complejos. La resolución de operaciones como la suma, la resta, la división y la multiplicación se lleva a cabo de una manera particular cuando involucran fracciones.
Cálculo de fracciones equivalentes
Las fracciones equivalentes son aquellas que representan la misma cantidad pero sus numeradores y denominadores no son iguales. Se pueden calcular por amplificación o por simplificación:
Para encontrar una fracción equivalente por amplificación tenemos que multiplicar el numerador y denominador por un mismo número. En este caso, las fracciones y son equivalentes porque:
Por otro lado, para calcular una fracción equivalente por simplificación, debemos hacer el procedimiento contrario, es decir, dividir el numerador y denominador por un mismo número. En este caso, ambos términos de la fracción deben tener un divisor común, de lo contrario se dice que la fracción es irreducible.
Las fracciones y son fracciones equivalentes porque:
¿Sabías qué?
Las fracciones irreducibles son aquellas cuyo numerador y denominador no tienen un divisor común.
Adición y sustracción de fracciones homogéneas
Sumar o restar fracciones homogéneas es sencillo. Primero se suman o restan los numeradores según indique el signo y el número obtenido será el numerador de la fracción resultante, luego se coloca el mismo denominador. Por ejemplo:
Calcula:
Suma los dos numeradores, que son 1 y 4, y luego coloca el mismo denominador de las fracciones. La fracción resultante es entonces .
Calcula:
Resta los numeradores, 7 y 3, y el número obtenido será el numerador de la fracción resultante cuyo denominador será el mismo de las fracciones originales. En este caso, el resultado es .
En la práctica simplificamos fracciones hasta su mínima expresión, es decir, obtenemos fracciones equivalentes que no tengan divisores comunes entre su numerador y su denominador. Hacemos esto porque dichas fracciones simplifican la escritura y los cálculos. Por lo general, para reducir fracciones empleamos los criterios de la divisibilidad.
Las fracciones heterogéneas son aquellas que tienen distinto denominador. Un método para resolver adiciones y sustracciones de este tipo de fracciones es el método en cruz, el cual consiste en calcular fracciones equivalentes con el mismo denominador y luego sumar o restar según indique el signo.
Pasos para resolver sumas y restas de fracciones heterogéneas
Multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción, luego coloca el signo según indique la operación y seguido de eso multiplica el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda. La suma o resta de esos dos productos será el numerador de la fracción resultante.
Multiplica el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda, el resultado de esa multiplicación será el denominador de la fracción resultante.
Calcula:
Se aplican los pasos anteriores, es decir: multiplicamos el numerador de la primera fracción (4) por el denominador de la segunda (2), colocamos el signo más (+) y luego multiplicamos el denominador de la primera fracción (3) por el numerador de la segunda fracción (5). Ambos productos forman parte del numerador de la fracción resultante.
Luego multiplicamos los denominadores y el producto formará parte del denominador de la fracción resultante.
Resolvemos los productos.
Finalmente, resolvemos la suma en el denominador y obtenemos el resultado:
Calcula:
El procedimiento es el mismo que el anterior, pero al momento de realizar los productos cruzados colocamos el signo menos (−) y luego restamos. El procedimiento sería el siguiente:
Simplificación
Podemos simplificar la fracción y llevarla a su mínima expresión, para esto solo dividimos el numerador y el denominador por dos (2). Por lo tanto:
Multiplicación de fracciones
La multiplicación de fracciones se realiza de forma lineal entre sus elementos, es decir, primero multiplicamos todos los numeradores y el producto será el numerador resultante. Luego multiplicamos todos los denominadores y el producto será el denominador de la fracción resultante.
Calcular: .
Simplificación
Podemos simplificar la fracción y llevarla a su mínima expresión, para esto solo dividimos el numerador y el denominador por tres (3). Por lo tanto:
La inversa de una fracción es aquella en la que su numerador es igual al denominador y el denominador es igual al numerador de la primera fracción en ambos casos. La inversa de la fracción 3/2 es 2/3 y la inversa de 5/8 es 8/5. Si multiplicamos una fracción por su inversa, el resultado siempre va a ser la unidad. En este sentido 3/2 x 2/3 = 1 y 5/8 x 8/5 = 1.
¡A practicar!
1. Resuelve las siguientes adiciones y sustracciones de fracciones:
a)
Solución
b)
Solución
c)
Solución
La fracción simplificada es
d)
Solución
La fracción simplificada es .
e)
Solución
La fracción simplificada es .
2. Resuelve las siguientes multiplicaciones:
a)
Solución
La fracción simplificada es .
b)
Solución
La fracción simplificada es .
c)
Solución
d)
Solución
La fracción simplificada es .
e)
Solución
La fracción equivalente es
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Adición y sustracción de fracciones”
En este artículo destacado se exponen diferentes formas de resolver adiciones y sustracciones de fracciones con igual o diferente denominador.
Artículo “Multiplicación y división de fracciones”
En este artículo se expone cómo resolver problemas de multiplicación de fracciones. También describe como realizar la simplificación de estos números y ayuda a comenzar a trabajar con problemas de división de fracciones.
El contorno de una figura geométrica se denomina perímetro. De acuerdo al tipo de figura, el contorno puede ser calculado por medio de la suma de sus lados o a través de diferentes fórmulas. Estas operaciones tienen muchas aplicaciones en la vida cotidiana: por ejemplo, sirven para determinar la longitud de la cerca de una casa.
Cálculo de perímetro en figuras planas
El perímetro es la longitud del contorno de una figura. Para calcular el perímetro de una figura, simplemente tenemos que sumar cada uno de sus lados.
Es importante tener presente que existen figuras con lados regulares como el cuadrado, y figuras con lados irregulares como en el caso de un rectángulo. Las figuras regulares son conocidas como polígonos regulares y los más comunes son:
POLÍGONO
NÚMERO DE LADOS
Triángulo equilátero
3
Cuadrado
4
Pentágono
5
Hexágono
6
Heptágono
7
Octágono
8
Eneágono
9
Decágono
10
¿Sabías qué?
De acuerdo a sus lados, los triángulos son clasificados en: equiláteros (tres lados iguales), isósceles (dos lados iguales) y escalenos (ningún lado igual).
La ventaja de los polígonos regulares es que al tener todos sus lados iguales su perímetro es igual a la longitud de uno de sus lados multiplicada por la cantidad de lados que este tiene. La fórmula sería:
Donde: P = perímetro. n = número de lados de la figura. L = longitud de un lado de la figura.
Un ejemplo de cálculo de perímetro
– Calcula el perímetro de un cuadrado cuyos lados miden 5 cm:
El cuadrado es un polígono regular de cuatro lados iguales, por lo tanto, calculamos su perímetro de la siguiente forma:
P = 4 × 5 cm
Resolvemos la multiplicación y el resultado obtenido es:
P = 20 cm
Observa que al final añadimos la unidad de longitud inicial, que son centímetros (cm), pero puede ser cualquier otra unidad de medida, los pasos en estos casos siempre son los mismos.
Otro camino
Aunque las fórmulas permiten realizar cálculos más sencillos, el perímetro también puede determinarse a través de la suma de cada uno de los lados. En el caso del ejemplo anterior sabemos que cada lado mide 5 cm, de manera que tenemos que sumar los cuatro lados para obtener el perímetro:
P = 5 cm + 5 cm + 5 cm + 5 cm = 20 cm
Esta forma de calcular el perímetro suele aplicarse a figuras que tienen al menos un lado diferente, pues al no tener sus lados iguales, no es posible aplicar la fórmula de polígonos regulares. Un ejemplo sería:
– Calcula el perímetro del siguiente triángulo:
Al sumar cada uno de sus lados obtenemos que:
P = 6 cm + 7 cm + 5 cm = 18 cm
Este triángulo escaleno tiene un perímetro de 18 cm.
El perímetro de un círculo
El perímetro de un círculo se denomina circunferencia, y para calcularlo empleamos un número matemático muy particular: el número pi, llamado así porque se escribe con la letra π del alfabeto griego, que lleva ese mismo nombre. Este número es irracional, por lo tanto es infinito. Se obtiene al dividir la longitud de la circunferencia entre su diámetro. Los primeros 10 números decimales del número pi son 3,1415926535…
La fórmula para determinar el perímetro de un círculo es:
P = π × d
Donde:
π = número pi (en los cálculos generalmente se redondea hasta los dos decimales).
d = la longitud del diámetro de la circunferencia.
Perímetro de figuras compuestas
Primero que todo, es importante saber que una figura compuesta está formada por dos o más figuras geométricas, por lo que tienen un arreglo irregular de lados y ángulos. En el caso de estas figuras, realizamos el cálculo del perímetro de la misma forma que en el ejemplo anterior del triángulo.
Observemos esta figura:
Es una figura compuesta porque está formada por un cuadrado y un triángulo:
Determinamos el perímetro de esta figura al sumar solo los lados exteriores de la figura:
P = 5 cm + 5 cm + 1 cm + 7 cm + 9 cm = 27 cm
El perímetro de la figura es 27 cm.
Las figuras compuestas pueden estar formadas por triángulos, cuadrados, rectángulos, trapecios, círculos, etc. Conocer sus diferentes elementos es importante al momento de resolver problemas de perímetros y de áreas, ya que no se puede aplicar una fórmula en común: es necesario identificar las figuras geométricas que integran la figura compuesta.
Aplicaciones del perímetro
Debido a que el perímetro y el área representan las magnitudes fundamentales al momento de trabajar con figuras geométricas y polígonos, sus usos en la vida cotidiana son frecuentes.
En el caso del perímetro, disciplinas como la arquitectura lo emplean para determinar la frontera de un objeto como en el caso de la cerca de una edificación o la valla de un campo. Sus usos también se extiende al ámbito militar, donde permite delimitar las áreas de interés ofensivo o de defensa.
La geometría
Es una rama de la matemática encargada del estudio de las figuras, sus propiedades y medidas en el plano y en el espacio. Su origen no es reciente, de hecho, antiguas civilizaciones como las del Antiguo Egipto, Sumeria y Babilonia ya la empleaban en mediciones de terrenos y en la construcción de edificaciones. Mucho tiempo después, los antiguos griegos la empezaron a perfeccionar y hoy en día es una disciplina fundamental.
¡A practicar!
1. Calcular el perímetro de las siguientes figuras:
a)
Solución
P = 15 cm
b)
Solución
P = 12 cm
c)
Solución
P = 48 cm
d)
Solución
P = 18 cm
e)
Solución
P = 34 cm
2. ¿Cuál de las siguientes figuras es un polígono regular?
a)
b)
c)
d)
e)
Solución
c) Es un polígono regular porque tiene 6 lados iguales y se denomina hexágono.
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “Áreas y perímetro”
En este cuadro comparativo se muestra una tabla con las fórmulas de área y perímetro para las principales figuras geométricas.
Una fracción está formada por dos términos principales: el numerador y el denominador. Estos son números enteros que están separados por una línea horizontal denominada raya divisoria o raya fraccionaria. Una fracción es la división de un entero o una unidad en partes iguales. El numerador indica las partes a considerar de esa división y el denominador indica las partes en las que se dividió el entero o unidad. Estos números son más antiguos que lo que se piensa y están relacionados con la división.
Las fracciones están presentes en la vida cotidiana, sobre todo en las mediciones usadas en la cocina, pero también están presentes en algunas monedas.
Fracciones diversas
De acuerdo a la relación que exista entre el numerador y el denominador, las fracciones pueden ser propias o impropias. Las fracciones propias son aquellas en las que el numerador es menor que el denominador, contrario a las fracciones impropias, en las que el numerador es mayor que el denominador. Por otro lado, si comparamos dos o más fracciones, estas pueden ser homogéneas o heterogéneas. Las fracciones homogéneas son las que poseen el mismo denominador, las heterogéneas, en cambio, presentan diferentes denominadores.
Las fracciones pueden expresarse en forma de gráfica o viceversa. Lo emocionante de ellas es que las usamos a diario para dividir cosas o cantidades.
Gráficas de fracciones
Las fracciones suelen expresarse en gráficos para interpretar de manera más sencilla los datos. La forma para representar estos gráficos dependen del tipo de fracción. Si la fracción es propia elegimos cualquier figura, la dividimos en partes iguales según el denominador y señalamos las partes que indique el numerador. Cuando se trata de una fracción impropia dividimos una figura geométrica en las partes que señale el denominador, pero debido a que en este tipo de fracción el numerador es mayor que el denominador, serán necesarias más de una figuras.
Los números mixtos son un tipo de número fraccionario que posee una parte entera y otra fraccionaria.
Orden de fracción
Las fracciones presentan un sentido de orden, es decir, hay fracciones que son mayores o menores que otras. Una herramienta muy útil para reconocer este orden es la recta numérica. Se trata de un gráfico en forma de línea horizontal en el que los números están ordenados de menor a mayor. Para ubicar fracciones propias en la recta numérica dividimos la unidad en segmentos iguales según indique el denominador y la fracción se ubicaría en el número de segmento indicado por el numerador. Las fracciones impropias, por su parte, deben ser transformadas en números mixtos.
En la recta numérica, si se toma un número como referencia, los números de su izquierda son menores a él y los de la derecha mayores.
Problemas con fracciones
Las fracciones, además de ayudarnos a resolver problemas que impliquen proporciones, nos permiten resolver las operaciones básicas matemáticas como la adición, la sustracción, la multiplicación y al división. En el caso de la adición y la sustracción de fracciones debemos tener en cuenta su tipo: si las fracciones son homogéneas sumamos o restamos los numeradores y colocamos el denominador, si son heterogéneas usamos el método de cruz para resolverlas. Las multiplicaciones se resuelven de forma lineal, al multiplicar los numeradores y los denominadores.
La adición y sustracción de fracciones heterogéneas suele realizarse por el método en cruz que permite calcular de manera directa fracciones equivalentes.
El área mide la extensión de una superficie, por eso permite saber información importante de las cosas, como el tamaño de un país o la cantidad de baldosas que se necesitan en el piso de una casa. De acuerdo al tipo de figura, el área puede calcularse a través de fórmulas o mediante la descomposición de las figuras en otras más sencillas.
Cálculo de áreas en figuras planas
El área es la superficie o extensión comprendida en una figura. En el caso de las figuras planas, para calcular su área es necesario reconocer cada figura, porque su cálculo es diferente en cada caso.
Triángulos
En los triángulos se cumple que su área es igual a la base por la altura y el resultado se divide entre dos:
– Calcula el área del siguiente triángulo:
Es importante tener en cuenta que al multiplicar dos unidades de longitud (en este caso centímetros) escribimos el producto al cuadrado; es decir, colocamos el exponente “2” arriba de la unidad de medida, por eso se escribe cm2, y se lee “centímetros cuadrados”.
El área y las unidades al cuadrado
En el Sistema Internacional de Unidades el área siempre se expresa en unidades de longitud elevadas al cuadrado, esto se debe a que el área es la medida de una superficie. Un área de 15 cm2 quiere decir que esa superficie está cubierta por 15 cuadrados que miden 1 cm en cada uno de sus lados. Otras unidades de área comunes son: mm2 (milímetros cuadrados), m2 (metro cuadrado) y km2 (kilómetro cuadrado).
El área de un cuadrado es igual a la multiplicación de dos de sus lados. Como los lados de un cuadrado son todos iguales, la fórmula también se puede expresar como la medida de un lado al cuadrado.
– Calcula el área del siguiente cuadrado
Es un cuadrado de nueve metros cuadrados de área.
Rectángulos y romboides
El área de los rectángulos y romboides es igual al producto de su base por su altura.
– Calcula el área del siguiente rectángulo:
Rombos
El área de un rombo es igual al producto de su diagonal mayor (D) y su diagonal menor (d) dividido entre 2.
– Calcula el área del siguiente rombo:
El área del rombo es de 22,5 centímetros cuadrados.
Trapecios
En el caso de los trapecios el área es igual a la suma de su base mayor y su base menor, el resultado se divide entre 2 y luego se multiplica por la altura.
– Calcula el área del siguiente trapecio:
El trapecio tiene un área de 48 milímetros cuadrados.
Polígonos regulares
Los polígonos regulares son figuras geométricas donde todos sus lados miden lo mismo. En todos los polígonos regulares se cumple que:
Donde:
N = número de lados del polígono regular.
L = longitud de uno de los lados.
ap = longitud de la apotema.
¿Sabías qué?
La apotema es la menor distancia que existe entre el centro de un polígono y cualquiera de sus lados.
– Calcula el área del siguiente polígono regular:
Observa que en este caso como el polígono regular tiene seis lados (hexágono) se coloca el número 6. El área de este hexágono es de 40,8 centímetros cuadrados.
¿Cómo calcular el área de un círculo?
Para determinar el área de un círculo se debe multiplicar el número pi (que aunque es un número infinito se redondea a 3,14) por el radio de la circunferencia elevado al cuadrado, es decir; . El área para un círculo con un radio igual a 2 cm, por ejemplo; se calcularía como .
Cálculo de áreas en figuras compuestas
Las figuras compuestas se llaman así porque están formadas por dos o más figuras geométricas. Para calcular el área en estas figuras debemos “separar” las figuras geométricas presentes y calcular por separado el área de cada una. El área total de la figura compuesta será igual a la sumatoria de las áreas de las figuras geométricas que la conformen.
– Calcula el área de la siguiente figura compuesta:
Lo primero para resolver es identificar las figuras geométricas presentes, en este caso es un triángulo (figura 1) y un rectángulo (figura 2).
Calculamos las áreas de las figuras por separado.
– Área del triángulo:
La altura es un dato del problema y es 2 cm, la base del triángulo tiene la misma longitud que la base mayor del rectángulo, por lo tanto tiene el mismo valor que es 5 cm. Calculamos el área según la fórmula de área para el triángulo:
– Área del rectángulo:
Calculamos con la fórmula de área para rectángulos.
El área total es igual a la sumatoria de las áreas de las figuras geométricas calculadas:
Quiere decir que el área de la figura compuesta es de 25 centímetros cuadrados.
¿Por qué es útil conocer el área?
Conocer la superficie del área tiene múltiples usos desde los cotidianos hasta lo científico. Por ejemplo, gracias al área podemos saber cuánta tela necesita un vestido, o cuántas baldosas son necesarias en la construcción de un piso. También se usa para realizar comparaciones, por ejemplo, con el área podemos comparar países de acuerdo a su tamaño. O, también, podemos estimar la superficie de un planeta de acuerdo a su forma.
Además, el área es un parámetro usado en otras fórmulas más avanzadas como los cálculos de presiones. Por otra parte, las diferentes medidas permiten cuantificar desde áreas de tamaños microscópicos hasta áreas del tamaño de una estrella.
Aunque el Sistema Internacional de Unidades es el más extendido en el mundo, no todos los países emplean el metro cuadrado y sus múltiplos o submúltiplos para hablar de área. Hay países, como Estados Unidos, que emplea la yarda cuadrada (equivalente a 0,863 metros cuadrados), otras unidades usadas son la pulgada cuadrada, el pie cuadrado, la hectárea y el acre.
¡A practicar!
1. Calcular el área de las siguientes figuras:
a)
Solución
A = 6 cm2
b)
Solución
A = 20 m2
c)
Solución
A = 18 cm2
d)
Solución
A = 61,5 mm2
e)
Solución
A = 79 cm2
2. ¿A cuál de estas figuras corresponde la fórmula de área ?
a)
b)
c)
d)
e)
Solución
d) Es un romboide.
RECURSOS PARA DOCENTES
Video “Resolución del área”
En este video se explica cómo resolver cálculos de áreas en figuras compuestas y se muestran dos de las fórmulas de área más usadas.
Las fracciones forman parte del conjunto de números racionales. Estos números pueden ser expresados como cociente de un número entero y un número natural. Todos los números siguen una secuencia, por lo tanto, es posible ordenarlos en la recta numérica y determinar cuál número es mayor, menor o igual a otro.
Ordenar fracciones en la recta numérica
La recta numérica es un recurso muy útil para comparar números. Consiste en un gráfico en forma de línea en el que se ordenan los números de menor a mayor en sentido de izquierda a derecha.
Las fracciones propias (las que tienen el numerador menor que el denominador) son las más fáciles de graficar porque solo tienes que dividir la unidad en tantos segmentos iguales como indique el denominador y luego, según el numerador, contar los segmentos y ubicar la fracción en la recta.
Por ejemplo, si queremos graficar la fracción , tenemos que dividir la unidad en seis segmentos iguales:
Para ubicar la fracción contamos los segmentos que nos indique el numerador, como en este caso el numerador es cinco (5), se cuentan cinco segmentos a partir del cero:
Por medio del diagrama anterior también podemos graficar la fracción , que es una fracción que comparte el mismo denominador con la fracción ya ubicada en la gráfica. Al seguir los mismos pasos anteriores se obtiene:
Las fracciones con el mismo denominador se pueden comparar fácilmente, la que tenga el numerador mayor será también la mayor fracción. Es por eso que es mayor que .
¿Sabías qué?
En la recta numérica, un número es mayor a los números ubicados a su izquierda y menor a los ubicados a su derecha.
¿Qué hacer si tenemos dos fracciones con denominadores diferentes?
Cuando existan dos fracciones con denominadores diferentes multiplicamos el numerador y denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción, y así, tendremos una fracción equivalente. Luego se hace lo mismo con la segunda fracción pero se multiplica su numerador y denominador por el denominador de la primera fracción.
Las dos fracciones obtenidas tendrán el mismo denominador y de esta manera, solo queda ubicar la fracción en la recta tal como se explicó en el punto anterior.
Por ejemplo, si queremos ubicar las fracciones y en la recta numérica, no podemos dividir la recta en segmentos iguales porque no comparten el mismo denominador. Entonces determinamos fracciones equivalentes de cada una, es decir, calculamos fracciones que con diferente valor de numerador y denominador representan la misma cantidad.
Para calcular la fracción equivalente de multiplicamos su numerador y denominador por el denominador de la segunda fracción que es cuatro (4):
En este sentido, la fracción es equivalente a .
Calculamos ahora la fracción equivalente de que se obtiene al multiplicar su numerador y denominador por el denominador de la primera fracción que es dos (2).
De esta manera obtenemos la fracción que es equivalente con .
Las fracciones y son equivalentes con las fracciones anteriores. Observemos que tienen el mismo denominador y para poder ubicarlas en la recta numérica debemos dividir la unidad en 8 segmentos iguales, después escribimos cada fracción en el número de segmento que indique su respectivo numerador. El gráfico quedaría:
Como representa la misma cantidad que , y representa la misma cantidad que . Estas fracciones pueden ser sustituidas en la recta numérica anterior:
De la imagen anterior se puede que concluir que es mayor que por estar ubicado a su derecha.
La recta numérica es una herramienta muy usada para ordenar y observar de manera más sencilla los datos. Este simple gráfico, además de los números naturales, permite ubicar números negativos, números racionales y números irracionales. Hay disciplinas como la física que emplean este tipo de diagrama para resolver problemas de cuerpos en movimiento.
¿Qué hacer si la fracción es impropia?
Si la fracción es impropia (aquella que su numerador es mayor que el denominador) se debe transformar a un número mixto: un número formado por una parte entera y una fracción. En la gráfica, la fracción impropia estará ubicada entre el número entero del número mixto y el número siguiente de la recta. La ubicación exacta la proporciona la parte fraccionaria y la graficamos como se explicó en los casos anteriores.
Pasos para transformar una fracción impropia a un número mixto
1. Divide el numerador entre el denominador.
2. Escribe el cociente de la división anterior, el mismo será la parte entera del número mixto.
3. Escribe al lado de la parte entera la fracción del número mixto. En esta, el numerador será igual al resto de la división y el denominador será el mismo de la fracción original.
– Grafiquemos la fracción
Lo primero es transformar la fracción a número mixto, para esto solo debes dividir el numerador entre el denominador:
El número mixto será . Observa que:
La parte entera es el cociente de la división: 1.
El numerador de la parte fraccionaria es el resto: 2.
El denominador de la parte fraccionaria es el mismo de la fracción original: 3.
Ahora que tenemos nuestro número mixto sabemos que la fracción se encuentra ubicada entre el 1 y el 2 de la recta numérica, pero no sabemos en qué lugar. Para ello debemos hacer los mismos pasos que hicimos inicialmente para graficar fracciones, es decir, dividir el entero o unidad (que en este caso será el intervalo comprendido entre 1 y 2. Como el divisor es tres (3) entonces dividimos el intervalo en tres segmentos iguales:
Luego ubicamos la fracción de acuerdo a la cantidad de segmentos que indique el numerador. De esta manera, el número mixto que es igual a la fracción original se ubicaría así:
Relación de orden entre fracciones y naturales
Los números que se representan en la recta numérica cumplen el mismo criterio: los números de la izquierda de un número son menores a este y los de su derecha son mayores. Es por ello que representar las fracciones en la recta es de gran utilidad, pues permite relacionar los números de manera más fácil.
En el ejemplo anterior, la fracción se ubica en la gráfica entre el número 1 y el número 2. De esta manera, la fracción es mayor a 1 por estar a su derecha pero es menor que 2 por estar a su izquierda.
Uso de los símbolos “>” y “<“
Hay números naturales o fraccionarios que representan una mayor cantidad que otros. Por ejemplo, no es lo mismo decir 3 computadoras que decir 1.500 computadoras. Esta relación entre los números se denomina orden y nos permite diferenciar números mayores o menores.
En la práctica se emplean los símbolos “>” y “<” para denotar el orden de los números:
Símbolo
Significado
>
Mayor que
<
Menor que
Por ejemplo, el 5 es mayor que el 2, entonces, se puede expresar como . Por otro lado, el número 3 es menor que el 9, en este caso se expresaría como .
La misma teoría es aplicada a las fracciones. De los ejemplos anteriores tenemos que:
a)
b)
¿Cómo reconocer cuando una fracción es menor o mayor que otra?
Si las fracciones tienen el mismo denominador, se comparan los numeradores, el numerador mayor corresponde a la fracción mayor. Por ejemplo:
a)
b)
Si las fracciones tienen denominadores diferentes, se convierten ambas en fracciones equivalentes con el mismo denominador. Por ejemplo, las fracciones y
En este ejemplo, como , entonces .
Las fracciones equivalentes son aquellas que aunque tengan diferente numerador y denominador, representan la misma cantidad. Son útiles para comparar fracciones y también para simplificar operaciones, como la suma de fracciones con diferentes denominadores. Existen varias formas de calcularlas, como el método del mínimo común múltiplo.
¡A practicar!
1. ¿Qué fracción representa la siguiente gráfica?
a)
b)
c)
d)
Solución
c)
2. ¿Cuál de las siguientes imágenes representa la gráfica de la fracción ?
a)
b)
c)
d)
Solución
c)
3. ¿Cuál de las siguientes fracciones es mayor?
a) y
Solución
b) y
Solución
4. ¿Cuál de las siguientes fracciones es menor?
a) y
Solución
b) y
Solución
5. Completa la expresión con los símbolos “>” y “<“.
a)
Solución
>
b)
Solución
<
c)
Solución
>
d)
Solución
<
RECURSOS PARA DOCENTES
Artículo “La recta numérica”
En este artículo destacado se explica con mayor detalle qué es la recta numérica y cómo representar en ella varios tipos de números como los fraccionarios.
El presente artículo permite conocer los símbolos usados en la comparación de números y muestra una serie de ejemplos de acuerdo a la cantidad de dígitos o cifras.
Corresponde al punto K (6,3). 
Luego ubicamos la fracción de acuerdo a la cantidad de segmentos que indique el numerador. De esta manera, el número mixto que es igual a la fracción original se ubicaría así:
